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ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2011, 29(2), 191–206
ANÁLISIS DE LOS NIVELES DE COMPRENSIÓN DE LOS
OBJETOS ’(a) Y ’(x) EN PROFESORES DE MATEMÁTICAS
Badillo, Edelmi a1; Azcá a e, Ca men1 y Fon , Vicenç2
1 Depa amen de Didàc ica de les Ma emà iques i les Ciències Expe imen als. Uni e si a Au ònoma de Ba celona
2 Depa amen de les Ciències Expe imen als i de la Ma emà ica. Uni e si a de Ba celona
[email p o ec ed]
[email p o ec ed]
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INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
Resumen. En es e a ículo desc ibimos los ni eles de comp ensión de la elación en e ’(a) y ’(x) de cinco p o eso es de ma emá icas que de-
sa ollaban la asigna u a de Ma emá icas con alumnos de 16-18 años en di e en es cen os educa i os de Colombia. La eo ía APOE, ampliada
con apo aciones semió icas, se u iliza como ma co eó ico undamen al. Los cinco p o eso es con es a on a un cues iona io indi ec o sob e la
comp ensión de ’(a) y ’(x) y, pos e io men e, ue on en e is ados con iñe as. Los esul ados mues an que la comp ensión de es os dos mac o-
obje os, ’(a) y ’(x) puede es a elacionada con la es uc u a de los esquemas g á ico y algeb aico de los mismos, y con los con lic os semió icos
asociados.
Palab as cla e. Conocimien o del p o eso , de i adas, eo ía APOE, ep esen aciones semió icas.
Analysis o Ma hema ics eache s’ le el o unde s anding o he objec s ’(a) and ’(x)
Summa y. This pape desc ibes he le el o unde s anding o he ela ion be ween ’(a) and ’(x) among i e Ma hema ics eache s who we e
eaching classes o 16-18 yea olds in di e en schools in Colombia. The analysis is based on he APOS amewo k, in his case wi h he addi ion
o ce ain semio ic aspec s. The i e eache s esponded o an indi ec ques ionnai e abou hei unde s anding o ’(a) and ’(x), and we e
subsequen ly in e iewed in ela ion o a se ies o igne es. Resul s illus a e how he comp ehension o hese wo mac o-objec s, ’(a) and ’(x),
can be ela ed o he s uc u e o bo h g aphic and algeb aic schemes and he associa ed semio ic con lic s.
Keywo ds. Teache ’s knowledge, De i a i es, APOS F amewo k, Semio ic Rep esen a ions.
En es e abajo nos si uamos, básicamen e, en un en oque
cogni i o, la eo ía APOE (Dubinsky, 1991, 1996; Asiala
e al., 1996; Asiala e al., 1997), pa a es udia la comp en-
sión de los p o eso es pa icipan es en es e es udio sob e los
mac oobje os ’(a) y ’(x). Pa iendo de dicha posición cog-
ni i is a, es a in es igación p e ende media en e las o ien-
aciones cogni i a y semió ica de la comp ensión. Dicho de
o a mane a, conside amos que el ma co eó ico cogni i o
APOE es insu icien e pa a explica la comp ensión de los
p o eso es si no se amplía con la mi ada que nos o ecen las
pe spec i as semió icas sob e la comp ensión. Den o de
es as úl imas, hemos enido en cuen a la eo ía de los egis-
os semió icos de Du al (1995, 2006) y el en oque on ose-
mió ico de la cognición e ins ucción ma emá ica (Godino,
Ba ane o y Fon , 2007; Fon y Con e as, 2008).
La cues ión especí ica que abo damos en es e abajo es
la siguien e: ¿Qué ni eles de comp ensión de los mac o-
obje os ’(a) y ’(x) ienen los p o eso es de ma emá icas
que pa icipa on en el es udio?
1. INTRODUCCIÓN
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
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Comenzamos el abajo e isando, en la sección 2, la
li e a u a sob e la descomposición gené ica de la de-
i ada y, más en gene al, los abajos ealizados en el
ma co de la eo ía APOE sob e la comp ensión de la
de i ada. En la sección 3, explica emos la me odolo-
gía u ilizada. En la sección 4, se p esen an los esul a-
dos del es udio sob e los ni eles de comp ensión del
esquema de la de i ada exhibidos po los p o eso es.
Y e minamos en la sección 5, con unas conside acio-
nes inales.
2. MARCO TEÓRICO
2.1. Una ap oximación eó ica pa a e lexiona
sob e el conocimien o p o esional del p o eso de
ma emá icas: la eo ía APOE
Una de las p oblemá icas que más ha in e esado en el
á ea de educación ma emá ica es la de de e mina cuál es
el conocimien o didác ico-ma emá ico del p o eso ado,
eque ido pa a enseña ma emá icas. Se han dado di e -
sas espues as; en e o as: «conocimien o pedagógico»
(Moo e, 1974), «conocimien o pedagógico del con eni-
do» (Shulman, 1986) y «conocimien o ma emá ico pa a
la enseñanza» (Ball, Lubienski y Mewbo n, 2001; Hill
e al., 2008).
La línea de in es igación sob e el conocimien o del p o-
eso ha e olucionado desde pe spec i as más cogni i-
as (es udio del pensamien o del p o eso ), cuyas bases
se cimen an en la psicología cogni i a (Shulman, 1986;
Leinha d y G eeno, 1986; Simon y Tzu , 1999; Mo eno
y Azcá a e, 2003), has a pe spec i as más sociocul u a-
les (es udio del conocimien o y p ác ica p o esional del
p o eso ), cuyas bases se cimen an en p incipios an o-
pológicos y epis emológicos del conocimien o (Espi-
noza y Azcá a e, 2000; Le man, 2001; Llina es, 2000;
Sense y e al., 2005; Ga ilán, Ga cía y Llina es, 2007;
Ramos y Fon , 2008).
A pa i de la úl ima década del siglo pasado, se pasó
a in es iga el conocimien o del p o eso en emas de
con enido ma emá ico especí ico, lo cual pe mi ió com-
p ende mejo el pensamien o ma emá ico de los p o e-
so es y su in luencia sob e la enseñanza y el ap endizaje
de las ma emá icas (Ga cía y Llina es, 1998; No man,
1993; E en, 1993). En es a misma línea, nos ha in e e-
sado indaga la comp ensión que ienen los p o eso es
de los mac oobje os ’(a) y ’(x) cuando se en en an
a la esolución de si uaciones p oblema enunciadas en
di e en es con ex os y que equie en aducciones y e-
laciones en e di e en es ep esen aciones semió icas.
Dado que en el caso de la de i ada in e ienen dos un-
ciones ( (x) y ’(x)), u iliza emos la exp esión « aduc-
ciones y elaciones» pa a indica an o los a amien os
y con e siones en e di e en es ep esen aciones de la
misma unción (( (x) o ’(x)) –siguiendo la e minolo-
gía de Du al (1995, 2006)–, como el paso de un ipo de
ep esen ación de la unción a una ep esen ación de la
unción de i ada.
Dado que la eo ía APOE ha mos ado se ú il pa a
desc ibi la cons ucción po pa e de es udian es de
a ios concep os ma emá icos (Dubinsky, 1991, 1996;
Asiala e al., 1996; Bake , Cooley y T igue os, 2000;
T igue os y Ma ínez, 2010; Cooley, T igue os y
Bake ; 2007; Sánchez-Ma amo o, Ga cía y Llina es,
2006), conside amos que ambién podía esul a ú il
en la comp ensión de cómo se es uc u a el concep-
o de de i ada po pa e de p o eso es de ma emá ica
en eje cicio y po es a azón la hemos u ilizado como
p incipal e e en e eó ico.
APOE es un ac ónimo de las iniciales de los siguien es
é minos: acciones, p ocesos, obje os y esquemas, que
son las cons ucciones men ales que, en el ma co de
es a eo ía, un suje o ealiza pa a cons ui signi ica-
dos a pa i de las si uaciones p oblemas. Una acción
es una ans o mación de obje os que el suje o pe ci-
be como algo ex e no. Dicha ans o mación se lle a
a cabo como eacción a una indicación que da in o -
mación p ecisa sob e los pasos que se an a ealiza .
Cuando una acción se epi e y el indi iduo e lexiona
sob e ella, és a puede in e io iza se en un p oceso. El
p oceso es una ans o mación basada en una cons-
ucción in e na, ya no di igida po es ímulos ex e -
nos al indi iduo, de o ma que és e puede desc ibi
los pasos in oluc ados en la ans o mación e incluso
in e i los. Los obje os se pueden cons ui cuando
un suje o e lexiona sob e las ope aciones aplicadas
a un p oceso en pa icula , oma conciencia del p o-
ceso como un odo, ealiza aquellas ans o maciones
(ya sean acciones o p ocesos) que pueden ac ua sob e
él, y puede cons ui de hecho esas ans o maciones.
En onces es á pensando en es e p oceso como un ob-
je o. En es e caso, el p oceso se ha encapsulado en
un obje o. Finalmen e, una ez cons uidos, obje os y
p ocesos pueden se in e conec ados de a ias o mas:
po ejemplo, dos o más p ocesos pueden se coo di-
nados ligándolos median e una composición u o as
o mas; p ocesos y obje os se elacionan en i ud
de que los p ime os ac úan sob e los segundos. Una
colección de p ocesos y obje os puede se o ganiza-
da en una mane a es uc u ada pa a o ma esquemas
(Asiala e al., 1996; Dubinsky, 1996). Los mecanis-
mos men ales que pe mi en hace es as cons ucciones
son las abs acciones e lexi as (in e io ización, coo -
dinación, encapsulación, gene alización y e e sión).
La p opues a eó ica APOE pe mi e delimi a y des-
c ibi el camino hacia la cons ucción, de un concep o
ma emá ico, en la men e de un suje o. La desc ipción
eó ica de los pasos que ha de segui es a cons ucción
se llama descomposición gené ica.
La eo ía APOE se ha aplicado pa a desc ibi e in e -
p e a el desa ollo de un concep o en la men e de los
es udian es en el ni el p euni e si a io –po ejemplo,
el es udio de Cla k y o os (1997) sob e la comp en-
sión de los es udian es de las eglas de de i ación; y
el es udio Bake y o os (2000) sob e la comp ensión
de es udian es de un p oblema complejo del cálculo
(g á ico)–. Es as in es igaciones han des elado que la
eo ía APOE e a insu icien e pa a analiza sus da os
sob e la comp ensión de los es udian es cuando los
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ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2011, 29(2)
concep os e an conside ados como esquemas, pe o
que la íada de Piage y Ga cía (1982) en el desa ollo
de un esquema (in a, in e y ans) e a ú il en la in e -
p e ación de los ni eles de comp ensión. El uso de la
íada apo a en ajas, en especial cuando un esquema
puede depende mucho del desa ollo de uno o más es-
quemas. En ales casos, se ha de es a p epa ado pa a
iden i ica esos esquemas componen es y su mul idi-
mensionalidad. Po consiguien e, en la comp ensión
del desa ollo de un esquema global, se deben iden i-
ica no sólo los esquemas componen es del desa o-
llo en é minos de acciones, p ocesos y obje os, sino
ambién su coo dinación. Den o del esquema global,
su coo dinación nos conduce a nue as es uc u as que
se cons uyen sob e las p opiedades de los esquemas
componen es (ni eles in e , in a y ans).
En la e apa in a, se cons uyen elaciones in e nas del
obje o o enómeno. Las explicaciones en es e ni el son
locales y pa icula es. Un obje o en el ni el in a no pue-
de se econocido po el es udian e como debe ía se y
su o ma es simila a la de una gene alización simple
(Bake e al., 2000). En es e ni el el es udian e se con-
cen a en una acción epe i i a o una ope ación, pe o no
iene la capacidad pa a elaciona la acción con el sis e-
ma de condiciones a a és del cual puede ex ende sus
aplicaciones e inclui las en un sis ema de ans o macio-
nes in e dependien es.
Pos e io men e, en la e apa in e , el indi iduo cons uye
elaciones en e los obje os y enómenos de conocimien-
o. En el ni el in e , los es udian es usan, compa an y e-
lexionan sob e ideas que ellos ienen aisladas y es o les
lle a a cons ui elaciones y ans o maciones (Bake e
al., 2000). En es e ni el los es udian es pueden es able-
ce elaciones y pueden deduci de una ope ación inicial,
una ez la ienen comp endida, o as ope aciones que
es án implicadas o que pueden coo dina se con ope a-
ciones simila es. Es e p oceso lle a a los es udian es a
un g upo de sis emas u ilizando un mé odo que incluye
nue as ans o maciones.
Y, inalmen e, en la e apa ans, las elaciones cons ui-
das adquie en mayo cohe encia y se es uc u an las e-
laciones de la e apa an e io . En el ni el ans, el es u-
dian e e lexiona sob e es as coo dinaciones y elaciones
desa ollando nue as es uc u as. A a és de las sín esis
de las ans o maciones en el ni el in e , el es udian e
cons uye y iene conciencia de que el esquema es á
comple o, y puede pe cibi nue as p opiedades globales
que e an inaccesibles en o os ni eles an e io es (Bake
e al., 2000).
En cada e apa de la íada el es udian e eo ganiza el
conocimien o adqui ido du an e la e apa an e io . La
p og esión es g adual y no necesa iamen e lineal. En el
p oceso de ap endizaje los indi iduos desa ollamos di-
e en es esquemas, y el c ecimien o y cambio de cada
esquema puede se desc i o u ilizando la íada. Mien as
se desa olla el conocimien o, las pe sonas cons uyen
muchos esquemas coexis en es y odos ellos es án cons-
an emen e cambiando y a ían en los ni eles de e o-
lución. Po an o, en algunas si uaciones p oblemá icas
una pe sona puede necesi a coo dina a ios esquemas.
Cada esquema es á cons i uido po acciones, p ocesos,
obje os y o os esquemas y sus elaciones. En pa icula
un esquema puede in lui ue emen e en el desa ollo de
uno u o os esquemas. En cada caso, se pueden iden i i-
ca algunos componen es del esquema y su mul idimen-
sionalidad. Po an o, en la comp ensión del desa ollo
del esquema en gene al, uno puede iden i ica no sólo el
c ecimien o de una de las componen es del esquema, sino
ambién la coo dinación. En onces, en el esquema gene al
es a coo dinación lle a a nue as es uc u as que ue on
cons uidas sob e las p opiedades de las componen es de
los esquemas.
2.2. Limi aciones de la eo ía APOE
Somos conscien es de cie as limi aciones que p esen a
la eo ía APOE. En conc e o hay dos que, en nues a opi-
nión, son muy ele an es:
1) En la eo ía APOE, el cons uc o «obje o» se con-
side a como el p oduc o del p oceso de ei icación
(encapsulación en la e minología de dicha eo ía).
Es a ca ac e ización, que p o iene básicamen e de
la adición psicológica, es insu icien e pa a a on a
la p oblemá ica on ológica que p esen an los obje os
ma emá icos. Pa a a on a es a limi ación esul a ú il
ene en cuen a la p opues a de ca ac e ización de la
eme gencia de los obje os ma emá icos a pa i de las
p ác icas que o ecen las pe spec i as semió icas, en
especial el en oque on osemió ico (Godino, Ba ane o
y Fon , 2007).
2) Los cons uc os de ep esen ación o «medio semió-
ico» no son conside ados explíci amen e en la eo ía
APOE. En el ma co APOE se echa de menos un a a-
mien o especí ico del papel de las ep esen aciones se-
mió icas asociadas a los concep os ma emá icos.
2.3. Ampliaciones semió icas de la eo ía APOE
In es igaciones ecien es que han ampliado la eo ía
APOE con pe spec i as semió icas ecu en a la eo ía
de los egis os semió icos (TRS) de Du al (T igue os y
Ma ínez, 2010) o bien al en oque on osemió ico (EOS)
(Fon e al., 2010).
Con elación a la TRS, T igue os y o os (2010) en un
es udio sob e el análisis de cómo los alumnos abajan
con unciones de dos a iables, sos iene que,
«En pa icula , el análisis de g á icas de unciones, jun o con
o as ep esen aciones, es undamen al en la cons ucción
de elaciones ue es en e las componen es de un posible
esquema pa a el concep o de unción de dos a iables. La
desc ipción de los a amien os y las con e siones como ac-
ciones o p ocesos pa a lle a a cabo con ep esen aciones
como g á icos o símbolos añade especi icidad y un nue o
pun o de is a de la desc ipción y el análisis u ilizando la
eo ía APOE. Es os dos ma cos concep uales se pueden u i-
liza de una mane a cohe en e y complemen a ia, an o en
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el análisis de espues as de los es udian es y las es a egias
cuando abajan en las a eas y pa a diseña la enseñanza en
el u u o.» (T igue os y Ma ínez, 2010, p. 5).
En es e abajo, al como p opone T igue os y Ma ínez
(2010), hemos enido en cuen a la impo ancia de los e-
gis os semió icos. En especial, la siguien e mane a de
en ende el cálculo de la unción de i ada (Fon , 2005,
p. 118).
«(…) se conside a que el cálculo de ’(x) a pa i de (x) se
puede in e p e a como una p ác ica, en la que a su ez se han
de conside a es subp ocesos:
1) T aducciones y con e siones en e las dis in as o mas de
ep esen a (x)
2) El paso de una ep esen ación de (x) a una o ma de e-
p esen ación de ’(x)
3) T aducciones y con e siones en e las dis in as o mas de
ep esen a ’(x)»
Los di e en es ipos de ep esen aciones que in e ienen
en es os es subp ocesos son cua o ep esen aciones de
la unción y cua o de su unción de i ada (desc ipción
e bal, g á ica, ó mula y abla).
Más en gene al, en es e abajo hemos conside ado es
apo aciones del EOS: 1) la e lexión sob e los egis-
os semió icos ealizada en Fon (2005); 2) las ideas de
complejidad semió ica, ama de unciones semió icas y
con lic o semió ico (Fon y Con e as, 2008); y, 3) la e-
lexión ealizada po es e ma co eó ico sob e la na u a-
leza de los obje os ma emá icos y su eme gencia a pa i
de las p ác icas.
Con elación al segundo aspec o, el EOS ha pues o de
mani ies o la complejidad semió ica –conc e ada en a-
mas de unciones semió icas que deben se ac i adas
(Fon y Con e as, 2008)– elacionada con el cálculo de
la de i ada en un pun o y de la unción de i ada. Según
como se ges ione dicha complejidad semió ica en el p o-
ceso de ins ucción, se puede acili a (o no) la apa ición
de con lic os semió icos, en endidos como dispa idad o
desajus e en e los con enidos a ibuidos a una misma
exp esión po el alumno y la ins i ución. Po ejemplo,
en algunos lib os de ex o se puede obse a un con-
lic o semió ico po encial causado po la in oducción
implíci a de la unción de i ada en la de inición de la
de i ada en un pun o, al usa la no ación inc emen al
como p ime a no ación (Badillo, Fon y Azcá a e, 2005;
Fon y Con e as, 2008).
La egula idad con la que se mani ies an en los alum-
nos los con lic os semió icos elacionados con la unción
de i ada se conside a en el EOS un indicado de un e-
nómeno ele an e: la di icul ad de comp ensión de la no-
ción de «de i ada» y la p incipal a iable explica i a que
da es e en oque es la complejidad semió ica, conc e ada
en una ama de unciones semió icas, asociada a es a
noción.
Las nociones de complejidad semió ica, ama de uncio-
nes semió icas y con lic o semió ico nos han sido muy
ú iles pa a e ina la descomposición gené ica de los ma-
c oobje os (x) y ’(x) u ilizada en es a in es igación.
Con elación al e ce aspec o, el en oque on osemió-
ico (Godino, Ba ane o y Fon , 2007) conside a que el
p oceso po el cual los obje os ma emá icos eme gen a
pa i de las p ác icas es muy complejo y que deben se
dis inguidos, al menos, dos ni eles de eme gencia. En
un p ime ni el, eme gen ep esen aciones, de iniciones,
p oposiciones, p ocedimien os, p oblemas y a gumen-
os, mien as que, en un segundo ni el, eme ge un ob-
je o ma emá ico, po ejemplo el obje o unción, que es
conside ado como un obje o que puede se ep esen ado
po di e en es ep esen aciones, que puede ene a ias
de iniciones equi alen es, que iene p opiedades, e c. En
nues a opinión, es a mane a de en ende la eme gencia
de los obje os ma emá icos mejo a lo que se dice en la
eo ía APOE sob e los obje os.
Nues a opción ha sido man ene nos en el ma co de la
eo ía APOE pe o ampliando nues a mane a de en ende
los obje os ma emá icos que o man los esquemas en la
di ección que sugie e el EOS. En conc e o hemos pos u-
lado la siguien e hipó esis: el esquema del concep o de
de i ada es á con o mado po la coo dinación de a ios
obje os ma emá icos. Conc e amen e, en es e es udio
nos cen a emos en desc ibi el esquema de la de i a-
da como la conexión in e na de dos obje os complejos
o mac oobje os, como son: el mac oobje o de i ada en
un pun o ’(a) y el mac oobje o unción de i ada ’(x).
Es os dos mac oobje os, a su ez, son el esul ado de la
coo dinación, conscien e o inconscien e, de es obje os:
pendien e de la ec a (O1), lími e de las asas medias de
a iación (O2) y azón de cambio (O3).
La elección de conside a el esquema de la de i ada con-
o mado po los dos mac oobje os ’(a) y ’(x), los cuales
a su ez son el esul ado de la conexión in e na de es
obje os p e ios (O1, O2 y O3), la hicimos basándonos en la
in o mación que nos p opo cionan es uen es. En p ime
luga , el análisis eó ico inicial del concep o de de i ada
que nos lle a a la cons ucción de la descomposición ge-
né ica del concep o de de i ada, la cual oma en cuen a,
en e o as cosas, la his o ia, la epis emología del mismo
concep o y la ampliación on osemió ica comen ada en el
pá a o an e io . En segundo luga , la in o mación que
apo an las di e en es in es igaciones en didác ica de la
ma emá ica que se han cen ado en el es udio an o del
ap endizaje como de la enseñanza del concep o de de i a-
da (Azcá a e, 1990), las cuales han e elado la compleji-
dad y iqueza que iene el concep o y las di icul ades que
iene la comp ensión del mismo cuando un suje o se en-
en a a la esolución de p oblemas u ina ios y no u ina-
ios. Y, inalmen e, el análisis p elimina de las espues as
que han dado los p o eso es que pa icipan en es e es udio
a los dos ins umen os que diseñamos pa a analiza su
comp ensión sob e el concep o de de i ada (Anexos 1 y
2), que han e idenciado di e en es g ados de comp ensión
de los obje os de inidos, dependiendo del con ex o en el
que se enuncia el p oblema y las ep esen aciones semió-
icas asociadas a dichos p oblemas.
'(a) = lim
Δx ➝ 0
Δy
Δx(en x = a)
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
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ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2011, 29(2)
2.4. El esquema y los ni eles de comp ensión de los
mac oobje os ’(a) y ’(x) en es a in es igación
La coo dinación de los mac oobje os ’(a) y ’(x) en la
esolución de p oblemas u ina ios y no u ina ios enun-
ciados en di e en es con ex os nos pe mi e desc ibi el
ni el de comp ensión del esquema de la de i ada que
ienen los suje os. Pa a llega a ene un esquema co-
he en e del concep o de de i ada se equie e coo dina
dos esquemas p e ios, uno algeb aico y o o g á ico, los
cuales son el esul ado de la coo dinación de los mac o-
obje os ’(a) y ’(x), que equie en a su ez de la coo -
dinación in e na de es obje os: O1, O2 y O3 (Figu a 1).
En las ablas 1, y 2, p esen amos las ca ego ías de cada
uno de es os dos esquemas. Pa a ello, se ha u iliza-
do la descomposición gené ica que hemos cons uido
pa a la elación de los mac oobje os ’(a) y ’(x). Di-
cha descomposición gené ica no se de alla en es e abajo
po cues iones de espacio.
3. METODOLOGÍA
En es e a ículo analizamos la comp ensión que mues-
an cinco p o eso es de ma emá icas de secunda ia de
di e en es ins i u os, públicos y conce ados, del Depa -
amen o del A lán ico de Colombia, que acep a on de
mane a olun a ia o ma pa e de la in es igación sob e
el conocimien o p o esional del p o eso de ma emá ica.
Es os p o eso es enseñaban la de i ada en p ime o y se-
gundo cu so de bachille a o (16-18 años). Se a a de un
es udio de casos.
Se diseñó un ins umen o, que hemos denominado cues-
iona io indi ec o ( e anexo 1), en el cual se les pedía
a los p o eso es que a a an de explici a po esc i o, lo
más de alladamen e posible, lo que conside aban que
debe ía esponde uno de sus es udian es que hubie a
comp endido el concep o de de i ada, como esul ado
del p oceso de es udio que ellos hubie an impa ido. Pa a
lo cual, p e iamen e, enían que esol e los p oblemas
p opues os. Es e o ma o nos pe mi ió accede indi ec a-
men e, de mane a in eg ada y po sepa ado, a las o mas
de conoce el concep o de de i ada como obje o ma e-
má ico y como obje o de enseñanza y ap endizaje.
Todos los p o eso es esol ie on po esc i o los p oble-
mas p opues os. Pa a de e mina si los da os ob enidos
ealmen e e lejaban el ni el de comp ensión del concep-
o de de i ada que enían los p o eso es, ealizamos una
iangulación de da os y les p opusimos una en e is a
semies uc u ada sob e las espues as del cues iona io.
En ese ambien e de in e cambio, ap o echamos pa a p e-
sen a un segundo cues iona io, de cinco p oblemas, en
iñe as ( e anexo 2), con el que pudimos indaga di ec-
amen e, aspec os concep uales de los mac oobje os (x),
’(a) y ’(x) que nos pe mi ie an alida y con as a los
esul ados ob enidos en el p ime cues iona io (Badillo,
2003).
La selección de las a eas del cues iona io 1 y de las i-
ñe as de la en e is a se ealizó en dos e apas. En la p i-
me a, se con eccionó una lis a de a eas cuya esolución
implicaba la coo dinación de los mac oobje os ’(a) y
’(x) en con ex os algeb aicos y g á icos. En la segunda,
se eelabo ó la mues a de mane a que las a eas uesen
simila es a las que el g upo de p o eso es p oponían a sus
alumnos. Una de las consecuencias de es e p oceso ue
que algunas a eas que se han conside ado ele an es en
o as in es igaciones no se con empla on en los ins u-
men os u ilizados –po ejemplo, a eas de cons ucción
de g á icas a pa i de cie as condiciones que cumple la
unción, algunas de las cuales son sob e discon inuida-
des (Ga cía, Llina es y Sánchez-Ma amo os, 2010).
La me odología implemen ada pa a el análisis de es a
componen e del conocimien o p o esional ue la si-
guien e:
P ime a ase:
Elabo ación del cons uc o «ni eles de comp ensión de
los esquemas g á ico y algeb aico de la de i ada» (Tablas
1 y 2), a pa i de la descomposición gené ica elabo ada
po los au o es, la cual u o en cuen a descomposiciones
gené icas p e ias, apo es de la his o ia y epis emología
de es e concep o y los esul ados de una in es igación
p e ia (Badillo, 1999).
Figu a 1
Coo dinación de los mac oobje os ’(a) y ’(x).

INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
196 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2011, 29(2)
NIVEL INTRA NIVEL INTER NIVEL TRANS
– No exis e una cla a coo dinación en e los obje os
’(a) y ’(x),lo cual se de ec a en las aplicaciones con-
c e as (cuando u ilizan el obje o azón de cambio o
bien el obje o pendien e de la ec a angen e).
– Se necesi a ene o cons ui la exp esión simbólica
de la unción pa a ob ene el alo de la de i ada en
un pun o:
ES (x) a ES ’(x) C
– Se iene una pe spec i a p oceso de la di e encia-
ción de unciones, lo cual implica que pa a ob ene la
exp esión simbólica de ’(x) a pa i de (x) se aplican
co ec amen e las écnicas de de i ación di ec a (de-
inición o mal del concep o en é minos del lími e)
y de de i ación indi ec a ( eglas de de i ación), pe o
sin jus i icación alguna de las mismas, y luego pa a
calcula ’(a) se calcula ’(x) en x = a.
– No exis e una coo dinación de los obje os: azón de
cambio, pendien e de la ec a angen e y lími e de las
asas medias de a iación (O1, O2 y O3).
– Dado que los obje os O1, O2 y O3 no es án coo di-
nados no han llegado a cons ui el obje o ’(x) como
sín esis de es os es obje os, lo cual lle a a come e
e o es, como po ejemplo: con undi la ’(x) con la
exp esión simbólica de la ec a angen e a la cu a en
un pun o.
– El obje o azón de cambio sólo se sabe aplica en
si uaciones de la cinemá ica pa a esol e la elocidad
ins an ánea [ ].
– En de e minados p oblemas en los que es necesa io
calcula el lími e de las azones de cambio se aplica
co ec amen e an o las eglas de de i ación como la
de inición de la unción de i ada en é minos de lími-
e. Es o lle a a conside a la posibilidad de que hay
una coo dinación en e es os dos obje os, pe o cuando
se les p egun a sob e es a elación dan espues as que
mues an que no son conscien es de ella o que no la
ienen elabo ada.
– Dependiendo del con ex o de la si uación elacionan los obje os
’(a) y ’(x), como elemen o y clase.
– La unción de i ada se en iende como la unción que asocia, a
cada alo x del dominio de la unción, el alo de la pendien e de
la ec a angen e a la cu a en ese pun o. La pendien e de la ec a
angen e que es en endida básicamen e como el coe icien e de la x
en la ecuación de la ec a angen e (coe icien e angula ).
– Dependiendo del con ex o de la si uación puede da se una co-
o dinación en e los obje os: pendien e de la ec a angen e, azón
de cambio y lími e de las asas medias de a iación. Pe o en o os
con ex os es a elación no se da.
– El obje o azón de cambio aho a se puede aplica a si uaciones
donde la magni ud que depende del iempo no es sólo el espacio
[ ; ].
– Se aplican co ec amen e las écnicas de de i ación di ec a (de i-
nición o mal del concep o en é minos del lími e) y de de i ación
indi ec a ( eglas de de i ación), jus i icando el uso de las mismas,
y apa ecen algunas écnicas de ap oximación ( unción pendien e),
mos ando una pe spec i a obje o de la di e enciación de uncio-
nes.
– En algunos con ex os pa a calcula el lími e de las azones de
cambio aplican co ec amen e an o eglas de de i ación como la
de inición de unción de i ada en é minos de lími e, mos ando
una coo dinación en e es os dos obje os, pe o en de e minados
casos puede no da se esa coo dinación.
– El obje o ’(x), según la si uación, se puede en ende como una clase
de obje os los cuales son la de i ada de la unción en cada pun o del
dominio, o bien como un obje o en el que se pueden ealiza nue as
acciones, p. e.: la segunda de i ada.
– La exp esión simbólica de obje os ’(x) es el modelo ma emá ico que
les pe mi e asocia , a cada pun o del dominio, el alo de la pendien e
de la ec a angen e a la g á ica de la unción en dicho pun o; y ob ene
el lími e de las azones de cambio y el lími e de las asas medias de
a iación.
– Independien emen e del con ex o de la si uación se coo dinan los es
obje os: pendien e de la ec a angen e, lími e de las azones de cambio
y lími e de las asas medias de a iación.
– El obje o azón de cambio se puede aplica aho a a si uaciones donde
se puede conside a las a iaciones de dos magni udes cualesquie a, sin
necesidad de limi a se a a iaciones donde la a iable independien e
sea el iempo [ ; ; ].
– Se hacen aducciones en e di e en es ep esen aciones de unciones.
– Se coo dinan algunas ep esen aciones de la unción y la unción
de i ada y se hacen algunas aducciones en e di e en es ep esen a-
ciones de la unción de i ada .
– Se manejan y coo dinan jus i icadamen e odas las écnicas di ec as e
indi ec as de de i ación: u ilizando lími es, eglas de de i ación, ecua-
ciones di e enciales, y ap oximación g á ica y numé ica.
Tabla 1
Ni eles de comp ensión del esquema algeb aico de la de i ada.
Lim
 ➝0
e

Lim
 ➝0
e
 Lim
 ➝0
mag

Lim
 ➝0
e
 Lim
 ➝0
mag
 Lim
mag➝0
mag
mag'
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
197
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2011, 29(2)
NIVEL INTRA NIVEL INTER NIVEL TRANS
– Se iene una única in e p e ación de la ep esen a-
ción g á ica de la ec a angen e a la g á ica de una
cu a, como el lími e de las ec as secan es.
– Se in e p e a g á icamen e ’(x) como la pendien-
e de la ec a angen e a la cu a en un pun o, y la
g á ica de ’(x) se iende a con undi con la g á ica
de es a ec a angen e a la g á ica de la unción en
un pun o.
– Los obje os O1, O2 y O3 son analizados aislada-
men e en é minos de las condiciones analí icas.
Más conc e amen e, se puede u iliza la inclinación
de la ec a angen e pa a de e mina el signo de la
de i ada de la unción en algunos pun os conc e os
(in ui i amen e se aplica el c i e io de la p ime a
de i ada), pe o no se gene aliza es a écnica pa a
hace la ep esen ación g á ica de ’(x).
– Pa a ob ene la g á ica de ’(x) a pa i de la g á-
ica de la unción se equie e hace las siguien es
aducciones y elaciones:
G (x) ➝ ES (x) a ES ’(x) ➝ G ’(x)
– Dado que no hay una coo dinación en e los ob-
je os O1, O2 y O3, se iene di icul ad pa a esol e
p oblemas que in oluc an el obje o azón de cambio
a pa i de la in o mación que le p opo ciona la g á-
ica de la unción.
– La in e p e ación de la de i ada como elocidad
ins an ánea le pe mi e sabe en una g á ica los pun-
os en los que la elocidad es máxima, mínima o
nula. Sin emba go, sólo lo puede hace en un pun o
o a ios pun os y no en in ini os pun os (sean in e -
alos o bien odo el dominio).
– En si uaciones que in oluc an azones de cambio
se iende a con undi la a iación media con la a-
iación ins an ánea.
– Se ienen dos, o más, in e p e aciones de la ep esen ación
g á ica de la ec a angen e a la g á ica de una cu a: como el
lími e de las ec as secan es y como la ec a más p óxima a la
g á ica de la unción (cu a) en el en o no del pun o.
– Se coo dinan el obje o de pendien e de la ec a angen e a la
g á ica en un pun o con el obje o lími e de las azones de cam-
bio en un pun o, es as úl imas aplicadas aho a a la a iación de
magni udes di e en es del espacio que dependen del iempo.
– Se maneja con p opiedad el c i e io de la p ime a de i ada
pa a desc ibi la a iación local y global de la unción exp esa-
da g á icamen e, y po an o, pueden hace la g á ica de ’(x) a
pa i de la g á ica de (x).
– Se comienza a dis ingui los obje os ’(a) de ’(x), pe o de-
pendiendo del con ex o de la si uación aún se iene di icul ad
pa a di e encia los.
– De mane a incipien e y especialmen e en los pun os de in-
lexión se u iliza g á icamen e el c i e io de la segunda de i ada
coo dinadamen e con el c i e io de la p ime a de i ada, pe o no
pueden jus i ica g á icamen e que si ’’(x) >0 en un in e alo
del dominio de la unción, en onces la unción es cónca a hacia
a iba en dicho in e alo.
– Pueden ob ene la g á ica de ’(x) a pa i de la g á ica de la
unción (G (x) ➝ G ’(x)), sin ene que hace las siguien es
aducciones y elaciones:
G (x) ➝ ES (x) a ES ’(x) ➝ G ’(x)
– Se di e encia la a iación media de la a iación ins an ánea,
en p oblemas ep esen ados en di e en es con ex os.
– Se coo dinan los obje os O1, O2 y O3. Po an o, se puede en ende la
pendien e de la ec a angen e como:
1. La inclinación de la ec a angen e.
2. Lími e de las pendien es de las ec as secan es.
3. Cuando la si uación se elaciona con la a iación de dos mag-
ni udes cualesquie a, ep esen adas g á icamen e, pueden en ende
que la pendien e de la ec a angen e es el lími e de las azones de
cambio.
– El obje o azón de cambio es aplicado aho a a la a iación de dos
magni udes cualesquie a.
– Se ag upa en una nue a unción odas las de i adas en cada pun o,
como el alo de las pendien es de la ec a angen e a la g á ica de la
unción en cada pun o del dominio, como el lími e de las asas medias
de a iación y como el lími e de las azones de cambio en cada pun o
del dominio.
– Se maneja con p opiedad los c i e ios de la p ime a y la segunda
de i ada pa a desc ibi la a iación local y global de la unción
ep esen ada g á icamen e, lo cual le pe mi e hace las siguien es
elaciones en e ep esen aciones de la unción y de la unción de i ada:
G (x) ➝ G ’(x); G ’(x) ➝ G (x); DV ’(x) ➝ G (x); DV (x)
➝ G ’ (x)
– Se disc imina en e aquellas elaciones y p opiedades que es án
incluidas y aquellas que no es án incluidas en la coo dinación de los
es obje os, demos ando una cohe encia en el esquema.
Tabla 2
Ni eles de comp ensión del esquema g á ico de la de i ada.
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
198 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2011, 29(2)
Segunda ase:
1. T ansc ipción li e al de la en e is a sob e la jus i i-
cación del p oceso de esolución de los p oblemas del
cues iona io, inco po ando la espues a de cada una de
las p egun as del mismo.
2. T ansc ipción li e al de la en e is a con iñe as.
3. P ime a sín esis de la in o mación: elabo ación de
unas ablas esumen donde se des acaban los aspec os
más signi ica i os en las espues as de los p o eso es del
concep o de de i ada como obje o ma emá ico.
4. Cons ucción de las edes sis émicas (Bliss, Monk y
Ogbo n, 1983), de las espues as de los p o eso es a cada
uno de los p oblemas del cues iona io y de las iñe as, a
pa i de las ca ego ías de los ni eles de comp ensión del
esquema algeb aico y g á ico de inidos en las ablas 1 y 2.
5. T iangulación de la in o mación pa a cons ui las lí-
neas de cohe encia del p oceso de esolución (Ga bin,
2005; Ga bin y Azcá a e, 2002). En o al cons uimos
es líneas de cohe encias, clasi icando los p oblemas de
la siguien e mane a:
– Línea de cohe encia 1: elación en e los obje os
pendien e de la ec a angen e y azón de cambio en
la cons ucción del mac oobje o ’(a). Se u ie on en
cuen a las espues as de cada p o eso a los p oblemas
3 y 4 del cues iona io, y la pa e de la en e is a en la
que el p o eso comen aba es os dos p oblemas y el
p oblema V de las iñe as.
– Línea de cohe encia 2: la elación g á ica en e los
mac oobje os ’(a) y ’(x). Se u ie on en cuen a las
espues as de cada p o eso a los p oblemas 1 y 2 del
cues iona io, y la pa e de la en e is a en la que el
p o eso comen aba es os dos p oblemas y el p oblema
IV de las iñe as.
– Línea de cohe encia 3: la elación algeb aica en e
los mac oobje os ’(a) y ’(x). Se u ie on en cuen a
las espues as de cada p o eso al p oblema 5 del cues-
iona io, y la pa e de la en e is a en la que el p o eso
comen aba es e p oblema y los p oblemas I, II y III de
las iñe as.
6. De e minación del ni el de comp ensión de cada uno
de los p o eso es pa icipan es (Tabla 3).
4. RESULTADOS DEL ESTUDIO: NIVELES DE
COMPRENSIÓN DEL ESQUEMA DE LA DERI-
VADA EXHIBIDOS POR LOS PROFESORES
El análisis pa icula de los cinco casos nos pe mi e e
una plu alidad en los ni eles de comp ensión que ienen
los p o eso es que pa icipa on en es e es udio sob e el
concep o de de i ada, al y como se ilus a en la abla 3.
Po cues iones de espacio nos limi a emos a p esen a
de mane a global la clasi icación de los p o eso es de la
abla 3 y jus i ica emos la ca ac e ización de los p o e-
so es A y B, ci ando ex ualmen e algunos agmen os de
las en e is as, donde jus i ican las espues as dadas a los
p oblemas plan eados, que ue on signi ica i os pa a de-
ini el ni el de comp ensión del esquema de la de i ada.
Así, encon amos dos p o eso es que ienen un ni el in-
a algeb aico-in a g á ico (in a-in a) ca ac e izado
po ene una pe spec i a p oceso de los mac oobje os
(x), ’(a) y ’(x), que no son coo dinados en la esolu-
ción de p oblemas u ina ios y no u ina ios enunciados
en di e en es con ex os. Es a pe spec i a p oceso de los
mac oobje os ’(a) y ’(x) es á de e minada a su ez po
la no coo dinación in e na de los obje os O1, O2 y O3 que
engloba el mac oobje o ’(a); y po no llega al p oceso
de sín esis de es os es obje os O1, O2 y O3 en los obje os
O’1, O’2 y O’3 que engloba el mac oobje o ’(x). Igual-
men e, en los p ocesos de esolución de p oblemas que
in oluc an los obje os an e io es, los p ocesos cogni i-
os que ac i an es os p o eso es son la coo dinación de
acciones ex e nas y de p ocesos, y la in e io ización de
es as acciones en p ocesos.
Tal como se ha dicho, la ubicación de un p o eso en un
de e minado ni el de comp ensión es el esul ado de la
iangulación del análisis de las es líneas de cohe encia.
Si conside amos el caso del p o eso A, y omamos, po
ejemplo, la in o mación que nos p opo ciona el análisis
de la línea de cohe encia 2 –si uaciones de aplicación de
la comp ensión g á ica de los mac oobje os (x), ’(a) y
’(x)–, emos que es e p o eso necesi a ecu i a la ex-
p esión simbólica de la unción pa a pode hace aduc-
ciones y elaciones en e di e en es ep esen aciones de
es os es mac oobje os. Es e hecho nos pe mi e in e i
que iene una pe spec i a p oceso del concep o de unción
en la que a pa i del obje o exp esión simbólica de (x)
Ni el del esquema
algeb aico
Ni el del esquema g á ico
INTRA INTER TRANS
INTRA A, E C ?
INTER D
TRANS ? B
Tabla 3
Análisis gene al de los ni eles de comp ensión del concep o de de i ada que exhiben los p o eso es.
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
199
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2011, 29(2)
hace ans o maciones men ales dinámicas a es e obje o
p oduciendo nue os obje os, pe o e idencia di icul ades en
desa olla acciones (men ales) sob e el obje o ma emá ico
unción que la ans o men globalmen e (Dubinsky e al.,
1996). Es a pe spec i a p oceso del concep o de unción
iene más peso que la p opia in e p e ación g á ica del con-
cep o como y = (x) a la ho a de esol e p oblemas.
Un indicado de que es e p o eso necesi a ecu i a la
exp esión simbólica de la unción lo enemos en el si-
guien e segmen o de la en e is a ealizada sob e la es-
pues a al í em a) del p oblema 1 del cues iona io:
«Calculo la pendien e de la ec a L, luego la ecuación. Ob e-
nida la ecuación calcula (5) en la ecuación que debe da le
3 (...) Bueno, yo c eo que el alumno lo ealiza ía así, po que
con el p oceso comp oba ía que (5) le debe da 3, al y
como se e en el g á ico.»
La ubicación del p o eso A en el ni el de comp ensión
in a-in a se jus i ica ambién po o as espues as. Po
ejemplo, analizando su espues a a los í ems b) y c) del
mismo p oblema, conside amos que el p o eso A ex-
hibe una pe spec i a p oceso de ’(a) y de ’(x), donde
pa a calcula el alo de ’(a) a pa i de la in o mación
que le p opo ciona la g á ica necesi a: (1) encon a la
exp esión simbólica que ep esen a la unción, o en su
de ec o la exp esión simbólica de la ec a angen e; (2)
aplica écnicas indi ec as de de i ación pa a encon a
la exp esión simbólica de ’(x); y (3), sus i ui el alo
de x = a en la exp esión simbólica de ’(x) pa a ob ene
el alo de ’(a). Es o nos pe mi e in e i , po un lado,
que el p o eso A iene di icul ad pa a coo dina , an o
g á ica como algeb aicamen e, los obje os de i ada de
la unción en un pun o y el obje o pendien e de la ec a
angen e de la g á ica de la unción en ese pun o; y po
o o lado, que deja como esponsabilidad del alumno
la comp ensión de los mac oobje os ’(a) y ’(x) como
elemen o y clase, lo cual puede se un indicado de la
di icul ad que iene el p o eso pa a elaciona y coo -
dina es os mac oobje os.
«En la ecuación de la ec a angen e hallada calcula dy/dx en
x = 5, que ep esen a la de i ada de la unción en el pun o de
angencia, segu amen e el alumno deduci á que ’(x) = mL,
’(5) se á la pendien e de la ec a L que en es e caso da 2/5.
(...) Sí, po que el ’(5) como in e p e ación es la pendien e de
la ec a angen e en ese pun o.»
C eemos con enien e deci que, si bien es cie o que a
los p o eso es A y E los hemos ubicado en es e mismo
ni el de comp ensión, en el análisis pa icula de cada
uno de los casos se desc iben su iles di e encias en los
p ocesos de esolución de los p oblemas; pe o encon-
amos en sus esquemas di icul ades y e o es comunes,
ales como educi el mac oobje o ’(x) al mac oobje o
’(a), e incluso con undi la exp esión simbólica de ’(x)
con la exp esión simbólica de la ec a angen e a la cu a
en un pun o, o bien, la g á ica de ’(x) con la g á ica de la
ec a angen e a la cu a en un pun o.
Encon amos un solo p o eso en el ni el de comp en-
sión in e algeb aico-in a g á ico (in e -in a). El ni-
el in e -in a que iene el p o eso C es á ca ac e i-
zado po una pe spec i a p oceso de los mac oobje os
’(a) y ’(x) que, dependiendo del con ex o de la si ua-
ción, son coo dinados en la esolución de p oblemas
u ina ios y no u ina ios. Es a pe spec i a p oceso
de los mac oobje os ’(a) y ’(x) es á de e minada a
su ez dependiendo del con ex o de la si uación, po
la coo dinación in e na de los obje os O1, O2 y O3 que
engloba el mac oobje o ’(a); y, dependiendo del con-
ex o del p oblema, se da el p oceso de sín esis de es-
os es obje os O1, O2 y O3 en los obje os O’1, O’2 y
O’3 que engloba el mac oobje o ’(x). Igualmen e, los
p ocesos cogni i os que ac i a el p o eso C en la e-
solución de p oblemas elacionados con el concep o de
de i ada son la coo dinación de acciones y p ocesos,
la in e io ización de es as acciones en p ocesos; y sólo
pod íamos habla de los p ocesos cogni i os de encap-
sulación de p ocesos en obje os y desencapsulación de
obje os en p ocesos con elación a la di e enciación de
unciones (esquema algeb aico), pues o que encon a-
mos que el p o eso C hace un uso jus i icado de las
écnicas de de i ación.
En el ni el de comp ensión ans algeb aico-in e g á-
ico enemos al p o eso D ( ans-in e ). Es e ni el es á
ca ac e izado po ene una pe spec i a obje o de los
mac oobje os ’(a) y ’(x), que son coo dinados en la
esolución de p oblemas u ina ios y no u ina ios, pe o
dependiendo del con ex o en que son enunciados. Es a
pe spec i a obje o de los mac oobje os ’(a) y ’(x) es á
de e minada a su ez po la coo dinación in e na de los
obje os O1, O2 y O3 que engloba el mac oobje o ’(a); y
po el p oceso de sín esis de es os es obje os O1, O2 y O3
en los obje os O’1, O’2 y O’3 que engloba el mac oobje o
’(x). Igualmen e, encon amos que el p o eso D en los
p ocesos de esolución de los p oblemas plan eados ac-
i a, dependiendo del con ex o de la si uación, una se ie
de p ocesos cogni i os complejos como son in e io iza-
ción de acciones en p ocesos, encapsulación de p ocesos
en obje os y desencapsulación de obje os en p ocesos,
sín esis de p ocesos en esquemas y coo dinación de ac-
ciones y p ocesos. Un aspec o cla e pa a habe ubicado
el esquema del p o eso D en el ni el in e g á ico es á en
las di icul ades que hemos de ec ado en la comp ensión
g á ica de las unciones acumula i as y algunas con a-
dicciones en e los azonamien os algeb aicos y g á icos
aplicados al obje o asa media de a iación (simul ánea-
men e usaba a gumen os del cálculo di e encial y del
cálculo in eg al).
Finalmen e, el p o eso B iene un ni el de comp en-
sión del esquema de la de i ada ans algeb aico- ans
g á ico ( ans- ans) ca ac e izado po ene una pe s-
pec i a obje o de los mac oobje os ’(a) y ’(x), que son
coo dinados en la esolución de p oblemas u ina ios y
no u ina ios enunciados en di e en es con ex os. Es a
pe spec i a obje o de los mac oobje os ’(a) y ’(x) es á
de e minada a su ez po la coo dinación in e na de los
obje os O1, O2 y O3 que engloba el mac oobje o ’(a) y
po el p oceso de sín esis de es os es obje os O1, O2 y
O3 en los obje os O’1, O’2 y O’3 que engloba el mac o-
obje o ’(x). Igualmen e, encon amos que el p o eso B
en los p ocesos de esolución de los p oblemas plan ea-
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
206 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2011, 29(2)
Summa y
This pape desc ibes he le els o unde s anding o he
ela ion be ween ’(a) and ’(x) among i e Ma hema ics
eache s who we e eaching classes o 16-18 yea olds
in di e en schools in Colombia. The analysis is based
on he APOS amewo k, in his case wi h he addi ion
o ce ain semio ic aspec s. The i e eache s esponded
o an indi ec ques ionnai e abou hei unde s anding
o ’(a) and ’(x), and we e subsequen ly in e iewed in
ela ion o a se ies o igne es. The speci ic ques ion ad-
d essed by his s udy is: Wha le els o unde s anding o
he mac o-objec s ’(a) and ’(x) do hese i e eache s
ha e?
One o he main con ibu ions o he s udy is heo e i-
cal in na u e and consis s in cha ac e izing a p io i he
le els o unde s anding o he de i a i e schema. This
cha ac e iza ion was achie ed by ex ending APOS he-
o y h ough con ibu ions om he semio ic pe spec-
i e. This enabled us o desc ibe he de i a i e schema
as esul ing om he coo dina ion o wo p e ious
schemas, one algeb aic and he o he g aphical, which
hemsel es esul om he coo dina ion o he mac o-
objec s ’(a) and ’(x), each o which equi es in u n
he in e nal coo dina ion o h ee objec s: he slope o
he s aigh line (O1), he limi o he mean a es o a i-
a ion (O2) and he a io o change (O3). The le els o
unde s anding o he g aphical and algeb aic schemas
o he de i a i e a e p esen ed as he esul , abo e all,
o he gene ic decomposi ion o he de i a i e concep ,
which is complemen ed he e by he semio ic analysis
and by he analysis o he esponses gi en by he i e
pa icipa ing eache s.
On he basis o he empi ical da a analysed we conclude
he ollowing: (1) only some o he de ined le els o un-
de s anding we e ound among hese i e eache s; (2)
he ichness o he esul s enables us o alida e some o
he heo e ical ca ego ies e e ing o le els o he dual
iad, o example, in a/in a ( eache s A and E), in e /
in a ( eache C), ans/in e ( eache D) and ans/ ans
( eache B); and (3) he iabili y o o he ca ego ies e-
mains doub ul, o example, he in a algeb aic/ ans
g aphical (in a/ ans) le el and he le els ans algeb a-
ic/in a g aphical ( ans/in a) and in e algeb aic/ ans
g aphical (in e / ans). Indeed, we conside ha he in a
algeb aic/ ans g aphical le el o unde s anding is no
possible in eali y. In o he wo ds, i is no cogni i ely
iable, since he g aphical in e p e a ion o he mac o-
objec s ’(a) and ’(x) equi es a deg ee o complexi y
in handling he o mal appa a us o hese objec s ha is
no p esen in he in a algeb aic le el. By con as , we
belie e ha one is mo e likely o ind he ans algeb aic/
in a g aphical le el o unde s anding because i is in lu-
enced by he adi ional eaching o ma hema ical con-
cep s, in which p io i y is gi en o he algeb aiza ion o
ma hema ical concep s, o he de imen o hei g aphi-
cal in e p e a ion. The in e algeb aic/in e g aphical
(in e /in e ) and in e algeb aic/ ans g aphical (in e /
ans) le els o unde s anding could, in heo y, be ound,
al hough hey did no appea in he p esen analysis.
The esponses o some o he eache s a he in a/in a
le els e ealed con usion abou o a lack o di e en ia-
ion be ween he mac o-objec s ’(a) and ’(x). This con-
usion can also be obse ed in many o he Ma hema ics
ex books used by he pa icipa ing eache s (Badillo,
Fon & Azcá a e, 2005). Some o he indica o s o his
con usion a e: (1) he di icul y expe ienced by some
eache s (A, E and C) as ega ds he g aphical unde -
s anding o he mac o-objec s (x), ’(a) and ’(x); and
(2) some eache s ep oduced inconsis encies in ela ion
o hese mac o-objec s ha ha e been p e iously high-
ligh ed by esea ch in o how such objec s a e lea n , spe-
ci ically: (a) hey con used ( eache s A and E) he mac o
objec s ’(a) and ’(x); (b) hey educed ( eache s A, E
and C) he symbolic exp ession o he mac o-objec ’(x)
o he equa ion o he angen ial line, and he g aph o he
mac o-objec ’(x) o he g aph o he angen ial line; and
(c) hey ailed o jus i y ( eache s A, E, C and D) he use
o di ec and indi ec de i a ion echniques (de ini ion in
e ms o he limi and he ules o de i a ion).
The heo e ical and analy ical ca ego ies adap ed om
APOS heo y, oge he wi h he le els o de elopmen o
he schema, enable us o explain why some eache s a e
able o manage he semio ic complexi y associa ed wi h
he mac o-objec s ’(a) and ’(x), while o he s ha e di -
icul y in doing so. This phenomenon is due o he le el
o concep ual de elopmen and he coo dina ion o he
algeb aic and g aphical schemas.
Analysis o Ma hema ics eache s’ le el o unde s anding o he objec s ’(a) and ’(x)
Badillo, Edelmi a1; Azcá a e, Ca men1 y Fon , Vicenç2
1 Depa amen de Didàc ica de les Ma emà iques i les Ciències Expe imen als. Uni e si a Au ònoma de Ba celona
2 Depa amen de les Ciències Expe imen als i de la Ma emà ica. Uni e si a de Ba celona
[email p o ec ed]
[email p o ec ed]
[email p o ec ed]