Análisis de los niveles de comprensión de los objetos f'(a) y f'(x) en profesores de matemáticas

191 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2011, 29(2), 191–206 ANÁLISIS DE LOS NIVELES DE COMPRENSIÓN DE LOS OBJETOS ’(a) Y ’(x) EN PROFESORES DE MATEMÁTICAS Badillo, Edelmi a1; Azcá a e, Ca men1 y Fon , Vicenç2 1 Depa amen de Didàc ica de les Ma emà iques i les Ciències Expe imen als. Uni e si a Au ònoma de Ba celona 2 Depa amen de les Ciències Expe imen als i de la Ma emà ica. Uni e si a de Ba celona [email p o ec ed] [email p o ec ed] [email p o ec ed] INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA Resumen. En es e a ículo desc ibimos los ni eles de comp ensión de la elación en e ’(a) y ’(x) de cinco p o eso es de ma emá icas que de- sa ollaban la asigna u a de Ma emá icas con alumnos de 16-18 años en di e en es cen os educa i os de Colombia. La eo ía APOE, ampliada con apo aciones semió icas, se u iliza como ma co eó ico undamen al. Los cinco p o eso es con es a on a un cues iona io indi ec o sob e la comp ensión de ’(a) y ’(x) y, pos e io men e, ue on en e is ados con iñe as. Los esul ados mues an que la comp ensión de es os dos mac o- obje os, ’(a) y ’(x) puede es a elacionada con la es uc u a de los esquemas g á ico y algeb aico de los mismos, y con los con lic os semió icos asociados. Palab as cla e. Conocimien o del p o eso , de i adas, eo ía APOE, ep esen aciones semió icas. Analysis o Ma hema ics eache s’ le el o unde s anding o he objec s ’(a) and ’(x) Summa y. This pape desc ibes he le el o unde s anding o he ela ion be ween ’(a) and ’(x) among i e Ma hema ics eache s who we e eaching classes o 16-18 yea olds in di e en schools in Colombia. The analysis is based on he APOS amewo k, in his case wi h he addi ion o ce ain semio ic aspec s. The i e eache s esponded o an indi ec ques ionnai e abou hei unde s anding o ’(a) and ’(x), and we e subsequen ly in e iewed in ela ion o a se ies o igne es. Resul s illus a e how he comp ehension o hese wo mac o-objec s, ’(a) and ’(x), can be ela ed o he s uc u e o bo h g aphic and algeb aic schemes and he associa ed semio ic con lic s. Keywo ds. Teache ’s knowledge, De i a i es, APOS F amewo k, Semio ic Rep esen a ions. En es e abajo nos si uamos, básicamen e, en un en oque cogni i o, la eo ía APOE (Dubinsky, 1991, 1996; Asiala e al., 1996; Asiala e al., 1997), pa a es udia la comp en- sión de los p o eso es pa icipan es en es e es udio sob e los mac oobje os ’(a) y ’(x). Pa iendo de dicha posición cog- ni i is a, es a in es igación p e ende media en e las o ien- aciones cogni i a y semió ica de la comp ensión. Dicho de o a mane a, conside amos que el ma co eó ico cogni i o APOE es insu icien e pa a explica la comp ensión de los p o eso es si no se amplía con la mi ada que nos o ecen las pe spec i as semió icas sob e la comp ensión. Den o de es as úl imas, hemos enido en cuen a la eo ía de los egis- os semió icos de Du al (1995, 2006) y el en oque on ose- mió ico de la cognición e ins ucción ma emá ica (Godino, Ba ane o y Fon , 2007; Fon y Con e as, 2008). La cues ión especí ica que abo damos en es e abajo es la siguien e: ¿Qué ni eles de comp ensión de los mac o- obje os ’(a) y ’(x) ienen los p o eso es de ma emá icas que pa icipa on en el es udio? 1. INTRODUCCIÓN INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 192 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2011, 29(2) Comenzamos el abajo e isando, en la sección 2, la li e a u a sob e la descomposición gené ica de la de- i ada y, más en gene al, los abajos ealizados en el ma co de la eo ía APOE sob e la comp ensión de la de i ada. En la sección 3, explica emos la me odolo- gía u ilizada. En la sección 4, se p esen an los esul a- dos del es udio sob e los ni eles de comp ensión del esquema de la de i ada exhibidos po los p o eso es. Y e minamos en la sección 5, con unas conside acio- nes inales. 2. MARCO TEÓRICO 2.1. Una ap oximación eó ica pa a e lexiona sob e el conocimien o p o esional del p o eso de ma emá icas: la eo ía APOE Una de las p oblemá icas que más ha in e esado en el á ea de educación ma emá ica es la de de e mina cuál es el conocimien o didác ico-ma emá ico del p o eso ado, eque ido pa a enseña ma emá icas. Se han dado di e - sas espues as; en e o as: «conocimien o pedagógico» (Moo e, 1974), «conocimien o pedagógico del con eni- do» (Shulman, 1986) y «conocimien o ma emá ico pa a la enseñanza» (Ball, Lubienski y Mewbo n, 2001; Hill e al., 2008). La línea de in es igación sob e el conocimien o del p o- eso ha e olucionado desde pe spec i as más cogni i- as (es udio del pensamien o del p o eso ), cuyas bases se cimen an en la psicología cogni i a (Shulman, 1986; Leinha d y G eeno, 1986; Simon y Tzu , 1999; Mo eno y Azcá a e, 2003), has a pe spec i as más sociocul u a- les (es udio del conocimien o y p ác ica p o esional del p o eso ), cuyas bases se cimen an en p incipios an o- pológicos y epis emológicos del conocimien o (Espi- noza y Azcá a e, 2000; Le man, 2001; Llina es, 2000; Sense y e al., 2005; Ga ilán, Ga cía y Llina es, 2007; Ramos y Fon , 2008). A pa i de la úl ima década del siglo pasado, se pasó a in es iga el conocimien o del p o eso en emas de con enido ma emá ico especí ico, lo cual pe mi ió com- p ende mejo el pensamien o ma emá ico de los p o e- so es y su in luencia sob e la enseñanza y el ap endizaje de las ma emá icas (Ga cía y Llina es, 1998; No man, 1993; E en, 1993). En es a misma línea, nos ha in e e- sado indaga la comp ensión que ienen los p o eso es de los mac oobje os ’(a) y ’(x) cuando se en en an a la esolución de si uaciones p oblema enunciadas en di e en es con ex os y que equie en aducciones y e- laciones en e di e en es ep esen aciones semió icas. Dado que en el caso de la de i ada in e ienen dos un- ciones ( (x) y ’(x)), u iliza emos la exp esión « aduc- ciones y elaciones» pa a indica an o los a amien os y con e siones en e di e en es ep esen aciones de la misma unción (( (x) o ’(x)) –siguiendo la e minolo- gía de Du al (1995, 2006)–, como el paso de un ipo de ep esen ación de la unción a una ep esen ación de la unción de i ada. Dado que la eo ía APOE ha mos ado se ú il pa a desc ibi la cons ucción po pa e de es udian es de a ios concep os ma emá icos (Dubinsky, 1991, 1996; Asiala e al., 1996; Bake , Cooley y T igue os, 2000; T igue os y Ma ínez, 2010; Cooley, T igue os y Bake ; 2007; Sánchez-Ma amo o, Ga cía y Llina es, 2006), conside amos que ambién podía esul a ú il en la comp ensión de cómo se es uc u a el concep- o de de i ada po pa e de p o eso es de ma emá ica en eje cicio y po es a azón la hemos u ilizado como p incipal e e en e eó ico. APOE es un ac ónimo de las iniciales de los siguien es é minos: acciones, p ocesos, obje os y esquemas, que son las cons ucciones men ales que, en el ma co de es a eo ía, un suje o ealiza pa a cons ui signi ica- dos a pa i de las si uaciones p oblemas. Una acción es una ans o mación de obje os que el suje o pe ci- be como algo ex e no. Dicha ans o mación se lle a a cabo como eacción a una indicación que da in o - mación p ecisa sob e los pasos que se an a ealiza . Cuando una acción se epi e y el indi iduo e lexiona sob e ella, és a puede in e io iza se en un p oceso. El p oceso es una ans o mación basada en una cons- ucción in e na, ya no di igida po es ímulos ex e - nos al indi iduo, de o ma que és e puede desc ibi los pasos in oluc ados en la ans o mación e incluso in e i los. Los obje os se pueden cons ui cuando un suje o e lexiona sob e las ope aciones aplicadas a un p oceso en pa icula , oma conciencia del p o- ceso como un odo, ealiza aquellas ans o maciones (ya sean acciones o p ocesos) que pueden ac ua sob e él, y puede cons ui de hecho esas ans o maciones. En onces es á pensando en es e p oceso como un ob- je o. En es e caso, el p oceso se ha encapsulado en un obje o. Finalmen e, una ez cons uidos, obje os y p ocesos pueden se in e conec ados de a ias o mas: po ejemplo, dos o más p ocesos pueden se coo di- nados ligándolos median e una composición u o as o mas; p ocesos y obje os se elacionan en i ud de que los p ime os ac úan sob e los segundos. Una colección de p ocesos y obje os puede se o ganiza- da en una mane a es uc u ada pa a o ma esquemas (Asiala e al., 1996; Dubinsky, 1996). Los mecanis- mos men ales que pe mi en hace es as cons ucciones son las abs acciones e lexi as (in e io ización, coo - dinación, encapsulación, gene alización y e e sión). La p opues a eó ica APOE pe mi e delimi a y des- c ibi el camino hacia la cons ucción, de un concep o ma emá ico, en la men e de un suje o. La desc ipción eó ica de los pasos que ha de segui es a cons ucción se llama descomposición gené ica. La eo ía APOE se ha aplicado pa a desc ibi e in e - p e a el desa ollo de un concep o en la men e de los es udian es en el ni el p euni e si a io –po ejemplo, el es udio de Cla k y o os (1997) sob e la comp en- sión de los es udian es de las eglas de de i ación; y el es udio Bake y o os (2000) sob e la comp ensión de es udian es de un p oblema complejo del cálculo (g á ico)–. Es as in es igaciones han des elado que la eo ía APOE e a insu icien e pa a analiza sus da os sob e la comp ensión de los es udian es cuando los INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 193 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2011, 29(2) concep os e an conside ados como esquemas, pe o que la íada de Piage y Ga cía (1982) en el desa ollo de un esquema (in a, in e y ans) e a ú il en la in e - p e ación de los ni eles de comp ensión. El uso de la íada apo a en ajas, en especial cuando un esquema puede depende mucho del desa ollo de uno o más es- quemas. En ales casos, se ha de es a p epa ado pa a iden i ica esos esquemas componen es y su mul idi- mensionalidad. Po consiguien e, en la comp ensión del desa ollo de un esquema global, se deben iden i- ica no sólo los esquemas componen es del desa o- llo en é minos de acciones, p ocesos y obje os, sino ambién su coo dinación. Den o del esquema global, su coo dinación nos conduce a nue as es uc u as que se cons uyen sob e las p opiedades de los esquemas componen es (ni eles in e , in a y ans). En la e apa in a, se cons uyen elaciones in e nas del obje o o enómeno. Las explicaciones en es e ni el son locales y pa icula es. Un obje o en el ni el in a no pue- de se econocido po el es udian e como debe ía se y su o ma es simila a la de una gene alización simple (Bake e al., 2000). En es e ni el el es udian e se con- cen a en una acción epe i i a o una ope ación, pe o no iene la capacidad pa a elaciona la acción con el sis e- ma de condiciones a a és del cual puede ex ende sus aplicaciones e inclui las en un sis ema de ans o macio- nes in e dependien es. Pos e io men e, en la e apa in e , el indi iduo cons uye elaciones en e los obje os y enómenos de conocimien- o. En el ni el in e , los es udian es usan, compa an y e- lexionan sob e ideas que ellos ienen aisladas y es o les lle a a cons ui elaciones y ans o maciones (Bake e al., 2000). En es e ni el los es udian es pueden es able- ce elaciones y pueden deduci de una ope ación inicial, una ez la ienen comp endida, o as ope aciones que es án implicadas o que pueden coo dina se con ope a- ciones simila es. Es e p oceso lle a a los es udian es a un g upo de sis emas u ilizando un mé odo que incluye nue as ans o maciones. Y, inalmen e, en la e apa ans, las elaciones cons ui- das adquie en mayo cohe encia y se es uc u an las e- laciones de la e apa an e io . En el ni el ans, el es u- dian e e lexiona sob e es as coo dinaciones y elaciones desa ollando nue as es uc u as. A a és de las sín esis de las ans o maciones en el ni el in e , el es udian e cons uye y iene conciencia de que el esquema es á comple o, y puede pe cibi nue as p opiedades globales que e an inaccesibles en o os ni eles an e io es (Bake e al., 2000). En cada e apa de la íada el es udian e eo ganiza el conocimien o adqui ido du an e la e apa an e io . La p og esión es g adual y no necesa iamen e lineal. En el p oceso de ap endizaje los indi iduos desa ollamos di- e en es esquemas, y el c ecimien o y cambio de cada esquema puede se desc i o u ilizando la íada. Mien as se desa olla el conocimien o, las pe sonas cons uyen muchos esquemas coexis en es y odos ellos es án cons- an emen e cambiando y a ían en los ni eles de e o- lución. Po an o, en algunas si uaciones p oblemá icas una pe sona puede necesi a coo dina a ios esquemas. Cada esquema es á cons i uido po acciones, p ocesos, obje os y o os esquemas y sus elaciones. En pa icula un esquema puede in lui ue emen e en el desa ollo de uno u o os esquemas. En cada caso, se pueden iden i i- ca algunos componen es del esquema y su mul idimen- sionalidad. Po an o, en la comp ensión del desa ollo del esquema en gene al, uno puede iden i ica no sólo el c ecimien o de una de las componen es del esquema, sino ambién la coo dinación. En onces, en el esquema gene al es a coo dinación lle a a nue as es uc u as que ue on cons uidas sob e las p opiedades de las componen es de los esquemas. 2.2. Limi aciones de la eo ía APOE Somos conscien es de cie as limi aciones que p esen a la eo ía APOE. En conc e o hay dos que, en nues a opi- nión, son muy ele an es: 1) En la eo ía APOE, el cons uc o «obje o» se con- side a como el p oduc o del p oceso de ei icación (encapsulación en la e minología de dicha eo ía). Es a ca ac e ización, que p o iene básicamen e de la adición psicológica, es insu icien e pa a a on a la p oblemá ica on ológica que p esen an los obje os ma emá icos. Pa a a on a es a limi ación esul a ú il ene en cuen a la p opues a de ca ac e ización de la eme gencia de los obje os ma emá icos a pa i de las p ác icas que o ecen las pe spec i as semió icas, en especial el en oque on osemió ico (Godino, Ba ane o y Fon , 2007). 2) Los cons uc os de ep esen ación o «medio semió- ico» no son conside ados explíci amen e en la eo ía APOE. En el ma co APOE se echa de menos un a a- mien o especí ico del papel de las ep esen aciones se- mió icas asociadas a los concep os ma emá icos. 2.3. Ampliaciones semió icas de la eo ía APOE In es igaciones ecien es que han ampliado la eo ía APOE con pe spec i as semió icas ecu en a la eo ía de los egis os semió icos (TRS) de Du al (T igue os y Ma ínez, 2010) o bien al en oque on osemió ico (EOS) (Fon e al., 2010). Con elación a la TRS, T igue os y o os (2010) en un es udio sob e el análisis de cómo los alumnos abajan con unciones de dos a iables, sos iene que, «En pa icula , el análisis de g á icas de unciones, jun o con o as ep esen aciones, es undamen al en la cons ucción de elaciones ue es en e las componen es de un posible esquema pa a el concep o de unción de dos a iables. La desc ipción de los a amien os y las con e siones como ac- ciones o p ocesos pa a lle a a cabo con ep esen aciones como g á icos o símbolos añade especi icidad y un nue o pun o de is a de la desc ipción y el análisis u ilizando la eo ía APOE. Es os dos ma cos concep uales se pueden u i- liza de una mane a cohe en e y complemen a ia, an o en INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 194 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2011, 29(2) el análisis de espues as de los es udian es y las es a egias cuando abajan en las a eas y pa a diseña la enseñanza en el u u o.» (T igue os y Ma ínez, 2010, p. 5). En es e abajo, al como p opone T igue os y Ma ínez (2010), hemos enido en cuen a la impo ancia de los e- gis os semió icos. En especial, la siguien e mane a de en ende el cálculo de la unción de i ada (Fon , 2005, p. 118). «(…) se conside a que el cálculo de ’(x) a pa i de (x) se puede in e p e a como una p ác ica, en la que a su ez se han de conside a es subp ocesos: 1) T aducciones y con e siones en e las dis in as o mas de ep esen a (x) 2) El paso de una ep esen ación de (x) a una o ma de e- p esen ación de ’(x) 3) T aducciones y con e siones en e las dis in as o mas de ep esen a ’(x)» Los di e en es ipos de ep esen aciones que in e ienen en es os es subp ocesos son cua o ep esen aciones de la unción y cua o de su unción de i ada (desc ipción e bal, g á ica, ó mula y abla). Más en gene al, en es e abajo hemos conside ado es apo aciones del EOS: 1) la e lexión sob e los egis- os semió icos ealizada en Fon (2005); 2) las ideas de complejidad semió ica, ama de unciones semió icas y con lic o semió ico (Fon y Con e as, 2008); y, 3) la e- lexión ealizada po es e ma co eó ico sob e la na u a- leza de los obje os ma emá icos y su eme gencia a pa i de las p ác icas. Con elación al segundo aspec o, el EOS ha pues o de mani ies o la complejidad semió ica –conc e ada en a- mas de unciones semió icas que deben se ac i adas (Fon y Con e as, 2008)– elacionada con el cálculo de la de i ada en un pun o y de la unción de i ada. Según como se ges ione dicha complejidad semió ica en el p o- ceso de ins ucción, se puede acili a (o no) la apa ición de con lic os semió icos, en endidos como dispa idad o desajus e en e los con enidos a ibuidos a una misma exp esión po el alumno y la ins i ución. Po ejemplo, en algunos lib os de ex o se puede obse a un con- lic o semió ico po encial causado po la in oducción implíci a de la unción de i ada en la de inición de la de i ada en un pun o, al usa la no ación inc emen al como p ime a no ación (Badillo, Fon y Azcá a e, 2005; Fon y Con e as, 2008). La egula idad con la que se mani ies an en los alum- nos los con lic os semió icos elacionados con la unción de i ada se conside a en el EOS un indicado de un e- nómeno ele an e: la di icul ad de comp ensión de la no- ción de «de i ada» y la p incipal a iable explica i a que da es e en oque es la complejidad semió ica, conc e ada en una ama de unciones semió icas, asociada a es a noción. Las nociones de complejidad semió ica, ama de uncio- nes semió icas y con lic o semió ico nos han sido muy ú iles pa a e ina la descomposición gené ica de los ma- c oobje os (x) y ’(x) u ilizada en es a in es igación. Con elación al e ce aspec o, el en oque on osemió- ico (Godino, Ba ane o y Fon , 2007) conside a que el p oceso po el cual los obje os ma emá icos eme gen a pa i de las p ác icas es muy complejo y que deben se dis inguidos, al menos, dos ni eles de eme gencia. En un p ime ni el, eme gen ep esen aciones, de iniciones, p oposiciones, p ocedimien os, p oblemas y a gumen- os, mien as que, en un segundo ni el, eme ge un ob- je o ma emá ico, po ejemplo el obje o unción, que es conside ado como un obje o que puede se ep esen ado po di e en es ep esen aciones, que puede ene a ias de iniciones equi alen es, que iene p opiedades, e c. En nues a opinión, es a mane a de en ende la eme gencia de los obje os ma emá icos mejo a lo que se dice en la eo ía APOE sob e los obje os. Nues a opción ha sido man ene nos en el ma co de la eo ía APOE pe o ampliando nues a mane a de en ende los obje os ma emá icos que o man los esquemas en la di ección que sugie e el EOS. En conc e o hemos pos u- lado la siguien e hipó esis: el esquema del concep o de de i ada es á con o mado po la coo dinación de a ios obje os ma emá icos. Conc e amen e, en es e es udio nos cen a emos en desc ibi el esquema de la de i a- da como la conexión in e na de dos obje os complejos o mac oobje os, como son: el mac oobje o de i ada en un pun o ’(a) y el mac oobje o unción de i ada ’(x). Es os dos mac oobje os, a su ez, son el esul ado de la coo dinación, conscien e o inconscien e, de es obje os: pendien e de la ec a (O1), lími e de las asas medias de a iación (O2) y azón de cambio (O3). La elección de conside a el esquema de la de i ada con- o mado po los dos mac oobje os ’(a) y ’(x), los cuales a su ez son el esul ado de la conexión in e na de es obje os p e ios (O1, O2 y O3), la hicimos basándonos en la in o mación que nos p opo cionan es uen es. En p ime luga , el análisis eó ico inicial del concep o de de i ada que nos lle a a la cons ucción de la descomposición ge- né ica del concep o de de i ada, la cual oma en cuen a, en e o as cosas, la his o ia, la epis emología del mismo concep o y la ampliación on osemió ica comen ada en el pá a o an e io . En segundo luga , la in o mación que apo an las di e en es in es igaciones en didác ica de la ma emá ica que se han cen ado en el es udio an o del ap endizaje como de la enseñanza del concep o de de i a- da (Azcá a e, 1990), las cuales han e elado la compleji- dad y iqueza que iene el concep o y las di icul ades que iene la comp ensión del mismo cuando un suje o se en- en a a la esolución de p oblemas u ina ios y no u ina- ios. Y, inalmen e, el análisis p elimina de las espues as que han dado los p o eso es que pa icipan en es e es udio a los dos ins umen os que diseñamos pa a analiza su comp ensión sob e el concep o de de i ada (Anexos 1 y 2), que han e idenciado di e en es g ados de comp ensión de los obje os de inidos, dependiendo del con ex o en el que se enuncia el p oblema y las ep esen aciones semió- icas asociadas a dichos p oblemas. '(a) = lim Δx ➝ 0 Δy Δx(en x = a) INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 195 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2011, 29(2) 2.4. El esquema y los ni eles de comp ensión de los mac oobje os ’(a) y ’(x) en es a in es igación La coo dinación de los mac oobje os ’(a) y ’(x) en la esolución de p oblemas u ina ios y no u ina ios enun- ciados en di e en es con ex os nos pe mi e desc ibi el ni el de comp ensión del esquema de la de i ada que ienen los suje os. Pa a llega a ene un esquema co- he en e del concep o de de i ada se equie e coo dina dos esquemas p e ios, uno algeb aico y o o g á ico, los cuales son el esul ado de la coo dinación de los mac o- obje os ’(a) y ’(x), que equie en a su ez de la coo - dinación in e na de es obje os: O1, O2 y O3 (Figu a 1). En las ablas 1, y 2, p esen amos las ca ego ías de cada uno de es os dos esquemas. Pa a ello, se ha u iliza- do la descomposición gené ica que hemos cons uido pa a la elación de los mac oobje os ’(a) y ’(x). Di- cha descomposición gené ica no se de alla en es e abajo po cues iones de espacio. 3. METODOLOGÍA En es e a ículo analizamos la comp ensión que mues- an cinco p o eso es de ma emá icas de secunda ia de di e en es ins i u os, públicos y conce ados, del Depa - amen o del A lán ico de Colombia, que acep a on de mane a olun a ia o ma pa e de la in es igación sob e el conocimien o p o esional del p o eso de ma emá ica. Es os p o eso es enseñaban la de i ada en p ime o y se- gundo cu so de bachille a o (16-18 años). Se a a de un es udio de casos. Se diseñó un ins umen o, que hemos denominado cues- iona io indi ec o ( e anexo 1), en el cual se les pedía a los p o eso es que a a an de explici a po esc i o, lo más de alladamen e posible, lo que conside aban que debe ía esponde uno de sus es udian es que hubie a comp endido el concep o de de i ada, como esul ado del p oceso de es udio que ellos hubie an impa ido. Pa a lo cual, p e iamen e, enían que esol e los p oblemas p opues os. Es e o ma o nos pe mi ió accede indi ec a- men e, de mane a in eg ada y po sepa ado, a las o mas de conoce el concep o de de i ada como obje o ma e- má ico y como obje o de enseñanza y ap endizaje. Todos los p o eso es esol ie on po esc i o los p oble- mas p opues os. Pa a de e mina si los da os ob enidos ealmen e e lejaban el ni el de comp ensión del concep- o de de i ada que enían los p o eso es, ealizamos una iangulación de da os y les p opusimos una en e is a semies uc u ada sob e las espues as del cues iona io. En ese ambien e de in e cambio, ap o echamos pa a p e- sen a un segundo cues iona io, de cinco p oblemas, en iñe as ( e anexo 2), con el que pudimos indaga di ec- amen e, aspec os concep uales de los mac oobje os (x), ’(a) y ’(x) que nos pe mi ie an alida y con as a los esul ados ob enidos en el p ime cues iona io (Badillo, 2003). La selección de las a eas del cues iona io 1 y de las i- ñe as de la en e is a se ealizó en dos e apas. En la p i- me a, se con eccionó una lis a de a eas cuya esolución implicaba la coo dinación de los mac oobje os ’(a) y ’(x) en con ex os algeb aicos y g á icos. En la segunda, se eelabo ó la mues a de mane a que las a eas uesen simila es a las que el g upo de p o eso es p oponían a sus alumnos. Una de las consecuencias de es e p oceso ue que algunas a eas que se han conside ado ele an es en o as in es igaciones no se con empla on en los ins u- men os u ilizados –po ejemplo, a eas de cons ucción de g á icas a pa i de cie as condiciones que cumple la unción, algunas de las cuales son sob e discon inuida- des (Ga cía, Llina es y Sánchez-Ma amo os, 2010). La me odología implemen ada pa a el análisis de es a componen e del conocimien o p o esional ue la si- guien e: P ime a ase: Elabo ación del cons uc o «ni eles de comp ensión de los esquemas g á ico y algeb aico de la de i ada» (Tablas 1 y 2), a pa i de la descomposición gené ica elabo ada po los au o es, la cual u o en cuen a descomposiciones gené icas p e ias, apo es de la his o ia y epis emología de es e concep o y los esul ados de una in es igación p e ia (Badillo, 1999). Figu a 1 Coo dinación de los mac oobje os ’(a) y ’(x). INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 196 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2011, 29(2) NIVEL INTRA NIVEL INTER NIVEL TRANS – No exis e una cla a coo dinación en e los obje os ’(a) y ’(x),lo cual se de ec a en las aplicaciones con- c e as (cuando u ilizan el obje o azón de cambio o bien el obje o pendien e de la ec a angen e). – Se necesi a ene o cons ui la exp esión simbólica de la unción pa a ob ene el alo de la de i ada en un pun o: ES (x) a ES ’(x) C – Se iene una pe spec i a p oceso de la di e encia- ción de unciones, lo cual implica que pa a ob ene la exp esión simbólica de ’(x) a pa i de (x) se aplican co ec amen e las écnicas de de i ación di ec a (de- inición o mal del concep o en é minos del lími e) y de de i ación indi ec a ( eglas de de i ación), pe o sin jus i icación alguna de las mismas, y luego pa a calcula ’(a) se calcula ’(x) en x = a. – No exis e una coo dinación de los obje os: azón de cambio, pendien e de la ec a angen e y lími e de las asas medias de a iación (O1, O2 y O3). – Dado que los obje os O1, O2 y O3 no es án coo di- nados no han llegado a cons ui el obje o ’(x) como sín esis de es os es obje os, lo cual lle a a come e e o es, como po ejemplo: con undi la ’(x) con la exp esión simbólica de la ec a angen e a la cu a en un pun o. – El obje o azón de cambio sólo se sabe aplica en si uaciones de la cinemá ica pa a esol e la elocidad ins an ánea [ ]. – En de e minados p oblemas en los que es necesa io calcula el lími e de las azones de cambio se aplica co ec amen e an o las eglas de de i ación como la de inición de la unción de i ada en é minos de lími- e. Es o lle a a conside a la posibilidad de que hay una coo dinación en e es os dos obje os, pe o cuando se les p egun a sob e es a elación dan espues as que mues an que no son conscien es de ella o que no la ienen elabo ada. – Dependiendo del con ex o de la si uación elacionan los obje os ’(a) y ’(x), como elemen o y clase. – La unción de i ada se en iende como la unción que asocia, a cada alo x del dominio de la unción, el alo de la pendien e de la ec a angen e a la cu a en ese pun o. La pendien e de la ec a angen e que es en endida básicamen e como el coe icien e de la x en la ecuación de la ec a angen e (coe icien e angula ). – Dependiendo del con ex o de la si uación puede da se una co- o dinación en e los obje os: pendien e de la ec a angen e, azón de cambio y lími e de las asas medias de a iación. Pe o en o os con ex os es a elación no se da. – El obje o azón de cambio aho a se puede aplica a si uaciones donde la magni ud que depende del iempo no es sólo el espacio [ ; ]. – Se aplican co ec amen e las écnicas de de i ación di ec a (de i- nición o mal del concep o en é minos del lími e) y de de i ación indi ec a ( eglas de de i ación), jus i icando el uso de las mismas, y apa ecen algunas écnicas de ap oximación ( unción pendien e), mos ando una pe spec i a obje o de la di e enciación de uncio- nes. – En algunos con ex os pa a calcula el lími e de las azones de cambio aplican co ec amen e an o eglas de de i ación como la de inición de unción de i ada en é minos de lími e, mos ando una coo dinación en e es os dos obje os, pe o en de e minados casos puede no da se esa coo dinación. – El obje o ’(x), según la si uación, se puede en ende como una clase de obje os los cuales son la de i ada de la unción en cada pun o del dominio, o bien como un obje o en el que se pueden ealiza nue as acciones, p. e.: la segunda de i ada. – La exp esión simbólica de obje os ’(x) es el modelo ma emá ico que les pe mi e asocia , a cada pun o del dominio, el alo de la pendien e de la ec a angen e a la g á ica de la unción en dicho pun o; y ob ene el lími e de las azones de cambio y el lími e de las asas medias de a iación. – Independien emen e del con ex o de la si uación se coo dinan los es obje os: pendien e de la ec a angen e, lími e de las azones de cambio y lími e de las asas medias de a iación. – El obje o azón de cambio se puede aplica aho a a si uaciones donde se puede conside a las a iaciones de dos magni udes cualesquie a, sin necesidad de limi a se a a iaciones donde la a iable independien e sea el iempo [ ; ; ]. – Se hacen aducciones en e di e en es ep esen aciones de unciones. – Se coo dinan algunas ep esen aciones de la unción y la unción de i ada y se hacen algunas aducciones en e di e en es ep esen a- ciones de la unción de i ada . – Se manejan y coo dinan jus i icadamen e odas las écnicas di ec as e indi ec as de de i ación: u ilizando lími es, eglas de de i ación, ecua- ciones di e enciales, y ap oximación g á ica y numé ica. Tabla 1 Ni eles de comp ensión del esquema algeb aico de la de i ada. Lim  ➝0 e  Lim  ➝0 e  Lim  ➝0 mag  Lim  ➝0 e  Lim  ➝0 mag  Lim mag➝0 mag mag' INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 197 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2011, 29(2) NIVEL INTRA NIVEL INTER NIVEL TRANS – Se iene una única in e p e ación de la ep esen a- ción g á ica de la ec a angen e a la g á ica de una cu a, como el lími e de las ec as secan es. – Se in e p e a g á icamen e ’(x) como la pendien- e de la ec a angen e a la cu a en un pun o, y la g á ica de ’(x) se iende a con undi con la g á ica de es a ec a angen e a la g á ica de la unción en un pun o. – Los obje os O1, O2 y O3 son analizados aislada- men e en é minos de las condiciones analí icas. Más conc e amen e, se puede u iliza la inclinación de la ec a angen e pa a de e mina el signo de la de i ada de la unción en algunos pun os conc e os (in ui i amen e se aplica el c i e io de la p ime a de i ada), pe o no se gene aliza es a écnica pa a hace la ep esen ación g á ica de ’(x). – Pa a ob ene la g á ica de ’(x) a pa i de la g á- ica de la unción se equie e hace las siguien es aducciones y elaciones: G (x) ➝ ES (x) a ES ’(x) ➝ G ’(x) – Dado que no hay una coo dinación en e los ob- je os O1, O2 y O3, se iene di icul ad pa a esol e p oblemas que in oluc an el obje o azón de cambio a pa i de la in o mación que le p opo ciona la g á- ica de la unción. – La in e p e ación de la de i ada como elocidad ins an ánea le pe mi e sabe en una g á ica los pun- os en los que la elocidad es máxima, mínima o nula. Sin emba go, sólo lo puede hace en un pun o o a ios pun os y no en in ini os pun os (sean in e - alos o bien odo el dominio). – En si uaciones que in oluc an azones de cambio se iende a con undi la a iación media con la a- iación ins an ánea. – Se ienen dos, o más, in e p e aciones de la ep esen ación g á ica de la ec a angen e a la g á ica de una cu a: como el lími e de las ec as secan es y como la ec a más p óxima a la g á ica de la unción (cu a) en el en o no del pun o. – Se coo dinan el obje o de pendien e de la ec a angen e a la g á ica en un pun o con el obje o lími e de las azones de cam- bio en un pun o, es as úl imas aplicadas aho a a la a iación de magni udes di e en es del espacio que dependen del iempo. – Se maneja con p opiedad el c i e io de la p ime a de i ada pa a desc ibi la a iación local y global de la unción exp esa- da g á icamen e, y po an o, pueden hace la g á ica de ’(x) a pa i de la g á ica de (x). – Se comienza a dis ingui los obje os ’(a) de ’(x), pe o de- pendiendo del con ex o de la si uación aún se iene di icul ad pa a di e encia los. – De mane a incipien e y especialmen e en los pun os de in- lexión se u iliza g á icamen e el c i e io de la segunda de i ada coo dinadamen e con el c i e io de la p ime a de i ada, pe o no pueden jus i ica g á icamen e que si ’’(x) >0 en un in e alo del dominio de la unción, en onces la unción es cónca a hacia a iba en dicho in e alo. – Pueden ob ene la g á ica de ’(x) a pa i de la g á ica de la unción (G (x) ➝ G ’(x)), sin ene que hace las siguien es aducciones y elaciones: G (x) ➝ ES (x) a ES ’(x) ➝ G ’(x) – Se di e encia la a iación media de la a iación ins an ánea, en p oblemas ep esen ados en di e en es con ex os. – Se coo dinan los obje os O1, O2 y O3. Po an o, se puede en ende la pendien e de la ec a angen e como: 1. La inclinación de la ec a angen e. 2. Lími e de las pendien es de las ec as secan es. 3. Cuando la si uación se elaciona con la a iación de dos mag- ni udes cualesquie a, ep esen adas g á icamen e, pueden en ende que la pendien e de la ec a angen e es el lími e de las azones de cambio. – El obje o azón de cambio es aplicado aho a a la a iación de dos magni udes cualesquie a. – Se ag upa en una nue a unción odas las de i adas en cada pun o, como el alo de las pendien es de la ec a angen e a la g á ica de la unción en cada pun o del dominio, como el lími e de las asas medias de a iación y como el lími e de las azones de cambio en cada pun o del dominio. – Se maneja con p opiedad los c i e ios de la p ime a y la segunda de i ada pa a desc ibi la a iación local y global de la unción ep esen ada g á icamen e, lo cual le pe mi e hace las siguien es elaciones en e ep esen aciones de la unción y de la unción de i ada: G (x) ➝ G ’(x); G ’(x) ➝ G (x); DV ’(x) ➝ G (x); DV (x) ➝ G ’ (x) – Se disc imina en e aquellas elaciones y p opiedades que es án incluidas y aquellas que no es án incluidas en la coo dinación de los es obje os, demos ando una cohe encia en el esquema. Tabla 2 Ni eles de comp ensión del esquema g á ico de la de i ada. INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 198 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2011, 29(2) Segunda ase: 1. T ansc ipción li e al de la en e is a sob e la jus i i- cación del p oceso de esolución de los p oblemas del cues iona io, inco po ando la espues a de cada una de las p egun as del mismo. 2. T ansc ipción li e al de la en e is a con iñe as. 3. P ime a sín esis de la in o mación: elabo ación de unas ablas esumen donde se des acaban los aspec os más signi ica i os en las espues as de los p o eso es del concep o de de i ada como obje o ma emá ico. 4. Cons ucción de las edes sis émicas (Bliss, Monk y Ogbo n, 1983), de las espues as de los p o eso es a cada uno de los p oblemas del cues iona io y de las iñe as, a pa i de las ca ego ías de los ni eles de comp ensión del esquema algeb aico y g á ico de inidos en las ablas 1 y 2. 5. T iangulación de la in o mación pa a cons ui las lí- neas de cohe encia del p oceso de esolución (Ga bin, 2005; Ga bin y Azcá a e, 2002). En o al cons uimos es líneas de cohe encias, clasi icando los p oblemas de la siguien e mane a: – Línea de cohe encia 1: elación en e los obje os pendien e de la ec a angen e y azón de cambio en la cons ucción del mac oobje o ’(a). Se u ie on en cuen a las espues as de cada p o eso a los p oblemas 3 y 4 del cues iona io, y la pa e de la en e is a en la que el p o eso comen aba es os dos p oblemas y el p oblema V de las iñe as. – Línea de cohe encia 2: la elación g á ica en e los mac oobje os ’(a) y ’(x). Se u ie on en cuen a las espues as de cada p o eso a los p oblemas 1 y 2 del cues iona io, y la pa e de la en e is a en la que el p o eso comen aba es os dos p oblemas y el p oblema IV de las iñe as. – Línea de cohe encia 3: la elación algeb aica en e los mac oobje os ’(a) y ’(x). Se u ie on en cuen a las espues as de cada p o eso al p oblema 5 del cues- iona io, y la pa e de la en e is a en la que el p o eso comen aba es e p oblema y los p oblemas I, II y III de las iñe as. 6. De e minación del ni el de comp ensión de cada uno de los p o eso es pa icipan es (Tabla 3). 4. RESULTADOS DEL ESTUDIO: NIVELES DE COMPRENSIÓN DEL ESQUEMA DE LA DERI- VADA EXHIBIDOS POR LOS PROFESORES El análisis pa icula de los cinco casos nos pe mi e e una plu alidad en los ni eles de comp ensión que ienen los p o eso es que pa icipa on en es e es udio sob e el concep o de de i ada, al y como se ilus a en la abla 3. Po cues iones de espacio nos limi a emos a p esen a de mane a global la clasi icación de los p o eso es de la abla 3 y jus i ica emos la ca ac e ización de los p o e- so es A y B, ci ando ex ualmen e algunos agmen os de las en e is as, donde jus i ican las espues as dadas a los p oblemas plan eados, que ue on signi ica i os pa a de- ini el ni el de comp ensión del esquema de la de i ada. Así, encon amos dos p o eso es que ienen un ni el in- a algeb aico-in a g á ico (in a-in a) ca ac e izado po ene una pe spec i a p oceso de los mac oobje os (x), ’(a) y ’(x), que no son coo dinados en la esolu- ción de p oblemas u ina ios y no u ina ios enunciados en di e en es con ex os. Es a pe spec i a p oceso de los mac oobje os ’(a) y ’(x) es á de e minada a su ez po la no coo dinación in e na de los obje os O1, O2 y O3 que engloba el mac oobje o ’(a); y po no llega al p oceso de sín esis de es os es obje os O1, O2 y O3 en los obje os O’1, O’2 y O’3 que engloba el mac oobje o ’(x). Igual- men e, en los p ocesos de esolución de p oblemas que in oluc an los obje os an e io es, los p ocesos cogni i- os que ac i an es os p o eso es son la coo dinación de acciones ex e nas y de p ocesos, y la in e io ización de es as acciones en p ocesos. Tal como se ha dicho, la ubicación de un p o eso en un de e minado ni el de comp ensión es el esul ado de la iangulación del análisis de las es líneas de cohe encia. Si conside amos el caso del p o eso A, y omamos, po ejemplo, la in o mación que nos p opo ciona el análisis de la línea de cohe encia 2 –si uaciones de aplicación de la comp ensión g á ica de los mac oobje os (x), ’(a) y ’(x)–, emos que es e p o eso necesi a ecu i a la ex- p esión simbólica de la unción pa a pode hace aduc- ciones y elaciones en e di e en es ep esen aciones de es os es mac oobje os. Es e hecho nos pe mi e in e i que iene una pe spec i a p oceso del concep o de unción en la que a pa i del obje o exp esión simbólica de (x) Ni el del esquema algeb aico Ni el del esquema g á ico INTRA INTER TRANS INTRA A, E C ? INTER D TRANS ? B Tabla 3 Análisis gene al de los ni eles de comp ensión del concep o de de i ada que exhiben los p o eso es. INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 199 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2011, 29(2) hace ans o maciones men ales dinámicas a es e obje o p oduciendo nue os obje os, pe o e idencia di icul ades en desa olla acciones (men ales) sob e el obje o ma emá ico unción que la ans o men globalmen e (Dubinsky e al., 1996). Es a pe spec i a p oceso del concep o de unción iene más peso que la p opia in e p e ación g á ica del con- cep o como y = (x) a la ho a de esol e p oblemas. Un indicado de que es e p o eso necesi a ecu i a la exp esión simbólica de la unción lo enemos en el si- guien e segmen o de la en e is a ealizada sob e la es- pues a al í em a) del p oblema 1 del cues iona io: «Calculo la pendien e de la ec a L, luego la ecuación. Ob e- nida la ecuación calcula (5) en la ecuación que debe da le 3 (...) Bueno, yo c eo que el alumno lo ealiza ía así, po que con el p oceso comp oba ía que (5) le debe da 3, al y como se e en el g á ico.» La ubicación del p o eso A en el ni el de comp ensión in a-in a se jus i ica ambién po o as espues as. Po ejemplo, analizando su espues a a los í ems b) y c) del mismo p oblema, conside amos que el p o eso A ex- hibe una pe spec i a p oceso de ’(a) y de ’(x), donde pa a calcula el alo de ’(a) a pa i de la in o mación que le p opo ciona la g á ica necesi a: (1) encon a la exp esión simbólica que ep esen a la unción, o en su de ec o la exp esión simbólica de la ec a angen e; (2) aplica écnicas indi ec as de de i ación pa a encon a la exp esión simbólica de ’(x); y (3), sus i ui el alo de x = a en la exp esión simbólica de ’(x) pa a ob ene el alo de ’(a). Es o nos pe mi e in e i , po un lado, que el p o eso A iene di icul ad pa a coo dina , an o g á ica como algeb aicamen e, los obje os de i ada de la unción en un pun o y el obje o pendien e de la ec a angen e de la g á ica de la unción en ese pun o; y po o o lado, que deja como esponsabilidad del alumno la comp ensión de los mac oobje os ’(a) y ’(x) como elemen o y clase, lo cual puede se un indicado de la di icul ad que iene el p o eso pa a elaciona y coo - dina es os mac oobje os. «En la ecuación de la ec a angen e hallada calcula dy/dx en x = 5, que ep esen a la de i ada de la unción en el pun o de angencia, segu amen e el alumno deduci á que ’(x) = mL, ’(5) se á la pendien e de la ec a L que en es e caso da 2/5. (...) Sí, po que el ’(5) como in e p e ación es la pendien e de la ec a angen e en ese pun o.» C eemos con enien e deci que, si bien es cie o que a los p o eso es A y E los hemos ubicado en es e mismo ni el de comp ensión, en el análisis pa icula de cada uno de los casos se desc iben su iles di e encias en los p ocesos de esolución de los p oblemas; pe o encon- amos en sus esquemas di icul ades y e o es comunes, ales como educi el mac oobje o ’(x) al mac oobje o ’(a), e incluso con undi la exp esión simbólica de ’(x) con la exp esión simbólica de la ec a angen e a la cu a en un pun o, o bien, la g á ica de ’(x) con la g á ica de la ec a angen e a la cu a en un pun o. Encon amos un solo p o eso en el ni el de comp en- sión in e algeb aico-in a g á ico (in e -in a). El ni- el in e -in a que iene el p o eso C es á ca ac e i- zado po una pe spec i a p oceso de los mac oobje os ’(a) y ’(x) que, dependiendo del con ex o de la si ua- ción, son coo dinados en la esolución de p oblemas u ina ios y no u ina ios. Es a pe spec i a p oceso de los mac oobje os ’(a) y ’(x) es á de e minada a su ez dependiendo del con ex o de la si uación, po la coo dinación in e na de los obje os O1, O2 y O3 que engloba el mac oobje o ’(a); y, dependiendo del con- ex o del p oblema, se da el p oceso de sín esis de es- os es obje os O1, O2 y O3 en los obje os O’1, O’2 y O’3 que engloba el mac oobje o ’(x). Igualmen e, los p ocesos cogni i os que ac i a el p o eso C en la e- solución de p oblemas elacionados con el concep o de de i ada son la coo dinación de acciones y p ocesos, la in e io ización de es as acciones en p ocesos; y sólo pod íamos habla de los p ocesos cogni i os de encap- sulación de p ocesos en obje os y desencapsulación de obje os en p ocesos con elación a la di e enciación de unciones (esquema algeb aico), pues o que encon a- mos que el p o eso C hace un uso jus i icado de las écnicas de de i ación. En el ni el de comp ensión ans algeb aico-in e g á- ico enemos al p o eso D ( ans-in e ). Es e ni el es á ca ac e izado po ene una pe spec i a obje o de los mac oobje os ’(a) y ’(x), que son coo dinados en la esolución de p oblemas u ina ios y no u ina ios, pe o dependiendo del con ex o en que son enunciados. Es a pe spec i a obje o de los mac oobje os ’(a) y ’(x) es á de e minada a su ez po la coo dinación in e na de los obje os O1, O2 y O3 que engloba el mac oobje o ’(a); y po el p oceso de sín esis de es os es obje os O1, O2 y O3 en los obje os O’1, O’2 y O’3 que engloba el mac oobje o ’(x). Igualmen e, encon amos que el p o eso D en los p ocesos de esolución de los p oblemas plan eados ac- i a, dependiendo del con ex o de la si uación, una se ie de p ocesos cogni i os complejos como son in e io iza- ción de acciones en p ocesos, encapsulación de p ocesos en obje os y desencapsulación de obje os en p ocesos, sín esis de p ocesos en esquemas y coo dinación de ac- ciones y p ocesos. Un aspec o cla e pa a habe ubicado el esquema del p o eso D en el ni el in e g á ico es á en las di icul ades que hemos de ec ado en la comp ensión g á ica de las unciones acumula i as y algunas con a- dicciones en e los azonamien os algeb aicos y g á icos aplicados al obje o asa media de a iación (simul ánea- men e usaba a gumen os del cálculo di e encial y del cálculo in eg al). Finalmen e, el p o eso B iene un ni el de comp en- sión del esquema de la de i ada ans algeb aico- ans g á ico ( ans- ans) ca ac e izado po ene una pe s- pec i a obje o de los mac oobje os ’(a) y ’(x), que son coo dinados en la esolución de p oblemas u ina ios y no u ina ios enunciados en di e en es con ex os. Es a pe spec i a obje o de los mac oobje os ’(a) y ’(x) es á de e minada a su ez po la coo dinación in e na de los obje os O1, O2 y O3 que engloba el mac oobje o ’(a) y po el p oceso de sín esis de es os es obje os O1, O2 y O3 en los obje os O’1, O’2 y O’3 que engloba el mac o- obje o ’(x). Igualmen e, encon amos que el p o eso B en los p ocesos de esolución de los p oblemas plan ea- INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 206 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2011, 29(2) Summa y This pape desc ibes he le els o unde s anding o he ela ion be ween ’(a) and ’(x) among i e Ma hema ics eache s who we e eaching classes o 16-18 yea olds in di e en schools in Colombia. The analysis is based on he APOS amewo k, in his case wi h he addi ion o ce ain semio ic aspec s. The i e eache s esponded o an indi ec ques ionnai e abou hei unde s anding o ’(a) and ’(x), and we e subsequen ly in e iewed in ela ion o a se ies o igne es. The speci ic ques ion ad- d essed by his s udy is: Wha le els o unde s anding o he mac o-objec s ’(a) and ’(x) do hese i e eache s ha e? One o he main con ibu ions o he s udy is heo e i- cal in na u e and consis s in cha ac e izing a p io i he le els o unde s anding o he de i a i e schema. This cha ac e iza ion was achie ed by ex ending APOS he- o y h ough con ibu ions om he semio ic pe spec- i e. This enabled us o desc ibe he de i a i e schema as esul ing om he coo dina ion o wo p e ious schemas, one algeb aic and he o he g aphical, which hemsel es esul om he coo dina ion o he mac o- objec s ’(a) and ’(x), each o which equi es in u n he in e nal coo dina ion o h ee objec s: he slope o he s aigh line (O1), he limi o he mean a es o a i- a ion (O2) and he a io o change (O3). The le els o unde s anding o he g aphical and algeb aic schemas o he de i a i e a e p esen ed as he esul , abo e all, o he gene ic decomposi ion o he de i a i e concep , which is complemen ed he e by he semio ic analysis and by he analysis o he esponses gi en by he i e pa icipa ing eache s. On he basis o he empi ical da a analysed we conclude he ollowing: (1) only some o he de ined le els o un- de s anding we e ound among hese i e eache s; (2) he ichness o he esul s enables us o alida e some o he heo e ical ca ego ies e e ing o le els o he dual iad, o example, in a/in a ( eache s A and E), in e / in a ( eache C), ans/in e ( eache D) and ans/ ans ( eache B); and (3) he iabili y o o he ca ego ies e- mains doub ul, o example, he in a algeb aic/ ans g aphical (in a/ ans) le el and he le els ans algeb a- ic/in a g aphical ( ans/in a) and in e algeb aic/ ans g aphical (in e / ans). Indeed, we conside ha he in a algeb aic/ ans g aphical le el o unde s anding is no possible in eali y. In o he wo ds, i is no cogni i ely iable, since he g aphical in e p e a ion o he mac o- objec s ’(a) and ’(x) equi es a deg ee o complexi y in handling he o mal appa a us o hese objec s ha is no p esen in he in a algeb aic le el. By con as , we belie e ha one is mo e likely o ind he ans algeb aic/ in a g aphical le el o unde s anding because i is in lu- enced by he adi ional eaching o ma hema ical con- cep s, in which p io i y is gi en o he algeb aiza ion o ma hema ical concep s, o he de imen o hei g aphi- cal in e p e a ion. The in e algeb aic/in e g aphical (in e /in e ) and in e algeb aic/ ans g aphical (in e / ans) le els o unde s anding could, in heo y, be ound, al hough hey did no appea in he p esen analysis. The esponses o some o he eache s a he in a/in a le els e ealed con usion abou o a lack o di e en ia- ion be ween he mac o-objec s ’(a) and ’(x). This con- usion can also be obse ed in many o he Ma hema ics ex books used by he pa icipa ing eache s (Badillo, Fon & Azcá a e, 2005). Some o he indica o s o his con usion a e: (1) he di icul y expe ienced by some eache s (A, E and C) as ega ds he g aphical unde - s anding o he mac o-objec s (x), ’(a) and ’(x); and (2) some eache s ep oduced inconsis encies in ela ion o hese mac o-objec s ha ha e been p e iously high- ligh ed by esea ch in o how such objec s a e lea n , spe- ci ically: (a) hey con used ( eache s A and E) he mac o objec s ’(a) and ’(x); (b) hey educed ( eache s A, E and C) he symbolic exp ession o he mac o-objec ’(x) o he equa ion o he angen ial line, and he g aph o he mac o-objec ’(x) o he g aph o he angen ial line; and (c) hey ailed o jus i y ( eache s A, E, C and D) he use o di ec and indi ec de i a ion echniques (de ini ion in e ms o he limi and he ules o de i a ion). The heo e ical and analy ical ca ego ies adap ed om APOS heo y, oge he wi h he le els o de elopmen o he schema, enable us o explain why some eache s a e able o manage he semio ic complexi y associa ed wi h he mac o-objec s ’(a) and ’(x), while o he s ha e di - icul y in doing so. This phenomenon is due o he le el o concep ual de elopmen and he coo dina ion o he algeb aic and g aphical schemas. Analysis o Ma hema ics eache s’ le el o unde s anding o he objec s ’(a) and ’(x) Badillo, Edelmi a1; Azcá a e, Ca men1 y Fon , Vicenç2 1 Depa amen de Didàc ica de les Ma emà iques i les Ciències Expe imen als. Uni e si a Au ònoma de Ba celona 2 Depa amen de les Ciències Expe imen als i de la Ma emà ica. Uni e si a de Ba celona [email p o ec ed] [email p o ec ed] [email p o ec ed]