Homogeneización en un Sis ema de ipo
Leon ie (o Leon ie -S a a).
Xose Luis Quiñoa,
Laia Pié Dols
11.04
De
p
a amen d'Economia A
p
licada
Facul a d'Economia i Emp esa
Aques documen pe any al Depa amen d'Economia Aplicada.
Da a de publicació :
Depa amen d'Economia Aplicada
Edi ici B
Campus de Bella e a
08193 Bella e a
Telè on: (93) 581 1680
Fax:(93) 581 2292
E-mail: [email p o ec ed]
h p://www.ecap.uab.es
Feb e 2011
1
Homogeneización en un Sis ema de ipo Leon ie (o Leon ie -S a a)
Xose Luis Quiñoa
1
* /Laia Pié
2
Resumen
Dado un sis ema ipo Leon ie (o Leon ie - S a a), se demues a que puede se ans o mado en uno
es uc u almen e equi alen e que denomina emos sis ema homogeneizado en el que la ma iz ecnológica
A
así como la in e sa de Leon ie poseen p opiedades ma emá icas ele an es elacionadas con el
au o alo máximo
a
de
A
. Las ma ices
(
)
AI Π+− 1
,
1
1
0−<Π≤
a
son de diagonal
dominan e po columnas.
Pa a un sis ema homogeneizado es condición necesa ia y su icien e pa a que los p ecios ela i os en el
sen ido S a a pe manezcan in a ian es al modi ica el ipo de bene icio, que los coe icien es de abajo
di ec o sean iguales. Asimismo pa a es e ipo de sis emas, la azón en e la suma de las me cancías que
componen el exceden e y la suma de las me cancías u ilizadas como medios de p oducción coincide con
el ipo máximo de bene icio
1
1
~−=Π
a
, es lo que S a a denomino “ azón pa ón” (global) en su
Sis ema Pa ón.
Palab as cla e: Homogeneización, sis ema de Leon ie , Leon ie -S a a, ipo de bene icio, exceden e,
capi al, abajo
.
1
* Co esponding au hou . Depa amen o de Economía Cuan i a i a, Uni e sidad de San iago de Compos ela,
Facul ad de Ciencias Economicas y Emp esa iales, C/ Bu go das Nacións, s/n, San iago de Compos ela, Spain Tel.
+34 8818 11516, [email protected]
2
Depa amen o de Economia Aplicada, Uni e sidad Au onoma de Ba celona, Facul ad de Economia y Emp esa,
Edi ici B- Campus de Bella e a, 08193 Bella e a, Spain Tel. +34 93 581 4582, Fax. +34 93 581 2292,
[email protected]
2
1. INTRODUCCIÓN
En el anscu so del análisis u iliza emos las no aciones siguien es:
1)
( )
nj
ni
qq
q
qq
q
nnn
ij
n
ij
≤≤
≤≤
=










1
1
...
......
...
1
111
ep esen a la ma iz de ansacciones in e indus iales; q
ij
deno a la can idad ísica de
me cancía i u ilizada po la indus ia j en el pe íodo de iempo conside ado (po
ejemplo, un año).
2)
β
=
















n
i
β
β
β
1
M
M
es el ec o columna que ep esen a el exceden e del sis ema; así, β
i
es el exceden e
de la indus ia i y suponemos que exis e al menos una indus ia i pa a la que β
i
> 0.
3)
Q
i
=
q
i1
+…+
q
ij
+…+
q
in
+
β
i
deno a la p oducción o al de la indus ia i en el pe íodo
conside ado. Deno ando q
i
= q
i1
+…+ q
in
(consumos in e medios de la indus ia i),
enemos, en onces,
Q
i
= q
i
+β
i
Q
=
















n
i
Q
Q
Q
M
M
1
ep esen a el ec o columna de p oducción o al del sis ema.
4) (L
1
,…, L
i
,…, L
n
) deno a el ec o ila de las can idades de abajo u ilizadas po cada
indus ia; L
i
ep esen a la can idad de unidades de abajo u ilizadas po la indus ia i.
3
Suponemos que el abajo es uni o me en calidad o que cualquie di e encia en
calidad ha sido educida a di e encias en can idad.
5) Como es habi ual en es e ipo de análisis, A = (a
ij
) deno a la ma iz cuad ada n×n,
de inida po
j
ij
ij
Q
q
a=
; a
ij
es, pues, la can idad ísica de me cancía i u ilizada en la
p oducción de una unidad de me cancía j.
6) Asimismo,
i
i
i
Q
L
l=
ep esen a la can idad de abajo u ilizada en la p oducción de una
unidad de me cancía i. l = (l
1
,…, l
i
,…, l
n
) es el ec o ila de los coe icien es de
abajo.
Pa a simpli ica llama emos a






l
A
“ écnica del sis ema”. Po comodidad, pa a
ep esen a explíci amen e el p oblema u iliza emos el able o:
(*)
1
:




































































nj
n
i
n
i
nnnjn
nj
LLL
Q
Q
Q
q...q...q
q...q...q
β
β
β
1
11
1
1111
M
M
M
M
MMM
MMM
MMM
2. EL SISTEMA DE PRECIOS DE SRAFFA
Comenza emos u ilizando las mismas hipó esis de pa ida del p opio S a a, que
pueden se esumidas en:
1) El sis ema económico se encuen a en es ado es aciona io. P oduce cada año la
misma can idad de me cancías.
2) Cada indus ia p oduce una sola me cancía median e el empleo de abajo y
me cancías. Una pa e de la p oducción o al debe á se des inada a eemplaza las
me cancías que han sido u ilizadas y el es o −el exceden e− se des ina á al consumo.
3) El alo añadido del sis ema económico o alo del exceden e se dis ibuye al inal

4
del pe íodo en o ma de sala ios y bene icios: los sala ios en p opo ción a la can idad
ísica de abajo empleada y los bene icios en p opo ción al alo de los medios de
p oducción empleados po cada indus ia.
Cabe señala que el p opio S a a dis ingue dos aspec os en los sala ios:
3
a) Como elemen o de subsis encia.
b) Como pa icipación en la p oducción exceden e.
2.1. FORMULACIÓN DEL SISTEMA DE PRECIOS
Deno ando p
1
,…, p
i
,…, p
n
los p ecios de las me cancías 1, 2,…, n; Π el ipo de
bene icio y w el sala io uni a io y con no aciones de (*)
1
, siguiendo a S a a enemos:
(*)
2
(
)
( )
( )









=+++Π+++
=+++Π++++
=+++Π++++
nnnnnnnnnnn
jjjnnjjnnjjj
nnnn
pQwLpq...pqpq...pq
...
pQwLpq...pqpq...pqpq
...
pQwLpq...pqpq...pqpq
1111
112211
11111111221111
Di idiendo los dos é minos de cada ecuación j po el é mino Q
j
co espondien e y
eag upando queda:
(*)
3
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )









=+Π+++Π++Π+
=+Π+++Π++Π+
=+Π+++Π++Π+
nnnnnn
jjnjjj
n
pwla...aa
...
pwla...aa
...
pwla...aa
1 1 1
1 1 1
1 1 1
21
21
1112111
o, ma icialmen e,
3
“A la is a de es e doble ca ác e de los sala ios, se ía ap opiado, cuando engamos a conside a la di isión del
exceden e en capi alis as y abajado es, sepa a las dos pa es que componen el sala io y conside a sólo la pa e
del «exceden e» como a iable, en an o que los bienes necesa ios pa a la subsis encia de los abajado es
con inua ían apa eciendo en e los medios de p oducción, con el pe óleo, e c.” (S a a, 8). “También supond emos
en lo sucesi o que el sala io se paga «pos ac um» como una pa icipación del p oduc o anual, abandonándose así
la idea de los economis as clásicos de un sala io «a anzado» desde el capi al. Re enemos, sin emba go, el supues o
de un ciclo anual de p oducción con un me cado anual” (S a a, 9).
5
(*)
4
(
)
[
]
lwAIp =Π+− 1
sis ema de n ecuaciones y n+2 incógni as:
Π, w, p
1
,…, p
n
lo cual signi ica que debe án ija se dos de ellas pa a que el sis ema se haga
de e minado.
3. LIMITACIONES DEL TIPO DE BENEFICIO
El sis ema (*)
4
puede esc ibi se como
( )
lwAIp =





−
Π+
Π+ 1
1
1
o, si se p e ie e, como
(*)
5
w
l
AIp Π+
=





−
Π+
11
1
La ma iz A es po cons ucción posi i a (a
ij
≥ 0, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n) y admi e
un au o alo máximo
a
posi i o. Sabemos que ∀ λ ∈ R, λ >
a
, enemos que
(λ I – A) es in e sible y que su in e sa es posi i a. En onces, pa a que (*)
4
o (*)
5
engan solución con signi icado económico debe se
a>
Π+1
1
o bien
1
1−<Π a
.
Examinemos las ca ac e ís icas de las posibles soluciones de (*)
4
. Pa a hace lo
de e minado es p eciso ija dos incógni as. Si empezamos ijando Π, 0≤Π<
a
1
–1,
en onces el sis ema se con ie e en lineal con n ecuaciones y n + 1 incógni as: los n
p ecios y el sala io uni a io, po lo que, haciendo una cualquie a de es as igual a la
unidad, el sis ema queda pe ec amen e de e minado.
Si no ijamos Π y la man enemos como incógni a, el sis ema no es lineal y no
6
podemos ija a bi a iamen e dos cualesquie a de las demás incógni as. Supongamos,
po ejemplo, que ijamos w = 1 e in en amos ija p
1
, debemos ene :
(
)
(
)
(
)
(
)
11221111
1 1 11 lpa...papa
nn
=Π+−−Π+−Π+−
de donde
(
)
(
)
111
1
11 lpa ≥Π+−
o bien
( )
KKK
11
1
1
11 a
l
pΠ+−
≥
4. REPARTO DEL EXCEDENTE ENTRE LA “SOCIEDAD” DE LOS
CAPITALISTAS Y LA “SOCIEDAD” DE LOS TRABAJADORES
Deno ando
,lL n
ii
∑
==1
q
i
= q
i1
+...+ q
in
Q
i
= q
i
+ β
i
y sumando po columnas los dos miemb os de las ecuaciones (*)
2
, enemos:
q
1
p
1
+...+ q
n
p
n
+ Π (q
1
p
1
+...+ q
n
p
n
) + Lw = (q
1
+β
1
) p
1
+...+( q
n
+β
n
) p
n
de donde esul a
(*)
6
Π (q
1
p
1
+...+ q
n
p
n
) + Lw = β
1
p
1
+...+β
n
p
n
En el caso ex emo en que Π = 0, esul a Lw = β
1
p
1
+...+ β
n
p
n
y pa a w = 1
enemos que el alo del exceden e coincide p ecisamen e con la can idad o al L de
abajo empleado; como consecuencia, odo el exceden e a a pa a a los abajado es.
Es ese caso, la ecuación (*)
4
: p (I – A) = lw iene como solución (haciendo w = 1), que
deno a emos
(*)
7
= l (I – A)
–1
que es a lo que Ma x denominaba “ alo es”.
7
5. HOMOGENEIZACIÓN DE LAS UNIDADES
Conside emos el p oblema desc i o en el able o (*)
1
; la ila i, 1≤i≤n, es
ep esen a i a de la me cancía i; así, q
ij
es la can idad ísica de unidades de me cancía i
u ilizadas po la indus ia j en el pe íodo conside ado –po ejemplo, quilos de igo, y
nada impide medi es as unidades en oneladas en ez de en quilos–; lo mismo se puede
deci pa a el es o de las me cancías.
Sea
= (
1
,...,
i
,...,
n
) ∈ R
n
, > 0 (e.d.:
i
> 0 ∀i)
y ans o memos el able o (*)
1
en:
(*)
9
(
)
























β
β
β














β
′
ni
nnnn
nnnninnn
ni
ni
ij
LLL
Q
Q
Q
q ...q ...q
q ...q ...q
q ...q ...q
Qq
' '
1
22
11
22
11
1
2222212
1111111
M
En onces, siendo w el sala io uni a io y Π el ipo de bene icio, enemos el sis ema
(
)
(
( )(
( )(









=++++Π+
=++++Π+
=++++Π+
nnnnnnnnnn
iiiinninii
nnn
pQ wLpq ...pq pq
...
pQ wLpq ...pq pq
...
pQ wLpq ...pq pq
1
1
1
222111
222111
1111122121111
y di idiendo los dos miemb os de cada ecuación i po
i
Q
i
:
( )




≤≤=







+++++Π+ nip
Q
wL
pa
...pa
...pa
i
ii
i
nni
i
n
iii
i
i
i
i
1 1
11
1
y poniendo
ij
j
i
ij
a
a =
′
,
(
)
ij
aA
′
=
′
,
,
ii
i
iQ
L
l=
′
(
)
ni llll
′
′
′
=
′
,...,,...,
1
14
5.2. ALGUNAS PROPIEDADES RELEVANTES DE ESTE TIPO DE
MATRICES
1) Sean A = (a
ij
), B = (b
ij
) ma ices cuad adas de o den n, ales que ∀j, 1≤ j ≤ n,
∑=
=
n
iij aa
1
∑=
=
n
iij bb
1
poniendo
(
)
ij
BA γ=⋅
con
∑
=
=
n
kkjikij
ba
1 γ
, enemos ∀j, 1≤ j ≤ n,
abbaabba
kkj
iik
kkj
i k kjik
iij
=





∑
=





∑∑∑ =





∑∑ =
γ
y pa a es e ipo de ma ices se e i ica
BABA ⋅=⋅
de lo que se deduce en pa icula
(*)
13
n
n
n
aAA ==
2) La suma de los elemen os de cada columna de la ma iz homogeneizada A es
1
<
a
o,
lo que es lo mismo,
1<= aA
.
En onces, un esul ado clásico nos indica
(I – A)
–1
= I + A +...+A
n
+...
y en onces ∀j, 1 ≤ j ≤ n la suma de los elemen os de la columna j de (I – A)
–1
se á:
1+
a
+...+
n
a+...=
a−1
1
de lo que se deduce ambién

15
(*)
14
( )
a
AI −
=−
−
1
1
1
Po un azonamien o análogo, dada una asa de bene icio Π,
1
1
0−<Π≤
a
, la suma de
los elemen os de cada columna j de
(
)
(
)
1
1−
Π+− AI
es
( )
a 11
1
Π+−
po lo que
( )( ) ( )
a
AI 11
1
1
1
Π+−
=Π+−
−
5.3. INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DE LA INVERSA ( I −
−−
− ( 1 + П ) A )
−
−−
−1
HOMOGENEIZADA
Deno emos (α
ij
) = (I – A)
–1
. Si suponemos que la ma iz ecnológica A, así como el
ec o l de coe icien es de abajo, pe manecen cons an es an e un inc emen o
in ini esimal ∆β
j
de β
j
de X = (I – A)
–1
β, enemos:
X
i
(β
1
,..., β
j
,..., β
n
) = α
i1
β
1
+...+ α
ij
β
j
+...+ α
in
β
n
X
i
(β
1
,..., β
j
+∆β
j
,..., β
n
) = α
i1
β
1
+...+ α
ij
(β
j
+∆β
j
) +....+ α
in
β
n
de donde:
X
i
(β
1
,..., β
j
+∆β
j
,..., β
n
) – X
i
(β
1
,..., β
j
,..., β
n
) = α
ij
∆β
n
y si suponemos que A pe manece in a iable cuando ∆ β
j
= 1, α
ij
ep esen a la can idad
ísica de me cancía i necesa ia pa a ob ene una unidad ísica de me cancía inal j.
En onces, cada columna j de (I – A)
–1
ep esen a las can idades ísicas he e ogéneas
de me cancías necesa ias di ec a e indi ec amen e en odo el sis ema económico pa a
ob ene una unidad ísica de me cancía inal j.
16
Po o a pa e, l (I – A)
–1
es un ec o cuya componen e
j:
j
= α
ij
l
1
+...+α
nj
l
n
es ep esen a i a de la can idad de abajo u ilizado di ec a e indi ec amen e pa a
ob ene una unidad j de me cancía inal. Di emos que los
j
son los coe icien es de
abajo e icalmen e in eg ados.
Como la ma iz ecnológica ue homogeneizada, (α
ij
) = (I – A)
–1
iene la p opiedad
∀j, 1 ≤ j ≤ n,
α
1j
+...+ α
ij
+...+ α
nj
=
a
−
1
1
y, como consecuencia, si se die a la ci cuns ancia de que
l
1
= l
2
=...= l
i
=...= l
n
=
end íamos que ∀j, 1 ≤ j ≤ n,
j
= α
1j
+...+ α
ij
+...+ α
nj
=
a
−
1
con lo que concluimos que en un sis ema homogeneizado, si los coe icien es de abajo
di ec o l
i
son iguales, en onces los “ alo es”
i
ambién son iguales.
Igualmen e, y po un azonamien o análogo, si conside amos una asa de bene icio
Π,
1
1
0−<Π≤
a
, de p = lw
(
)
(
)
1
1
−
Π+− AI
, si odos los l
i
son iguales a , omando w =
1, end emos:
( ) ( )
ni,
a
p
i
≤≤
Π+−
=Π 1
11
es deci , los p ecios son odos iguales y c ecen al aumen a Π, según
17
( ) ( )( )
2
11 a
a
p
i
Π+−
=Π
′
.
5.4. PROPIEDADES DE LA INVERSA ( I −
−−
−( 1 + П ) A )
-1
NORMALIZADA
Pongamos aho a,
w
l
AIp Π+
=−
Π+






11
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,1
1−
Π+−=Π=Π AI
ij
αα
y
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
−
Π+−=Π=Π AIlwlwp
α
deno emos:
Como
( ) ( )
a
ij
Π+−
=Π 11
1
α
(A es homogenizada) enemos que la ma iz
(
)
(
)
Π
ij
α
~
es al que
(
)
1
~
=Π
ij
α
o lo que es lo mismo, ,j
∀
(
)
nj
≤
≤
1
(
)
1
~
=Π
∑
iij
α
(la suma de los elemen os de cada columna de
(
)
(
)
Π
ij
α
~
es uno), po lo que exis e
(
)
(
)
(
)
Π=Π
Π→Π
~
~
~
lim
~ijij
αα
Si deno amos
( )
(
)
(
)
( )
a
AI
lwp
Π+−
Π+−
=Π
−
11
1
1
~
1
Tenemos:
(*)
15
:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
111
~
−
Π+−Π+−=Π AIalwp
( )
( )
(
)
( )
Π
Π
=Π
ij
ij
ij
α
α
α
~
18
o mul iplicando los dos miemb os po
(
)
:1 AI
Π
+
−
(*)
16
:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
alwAIp
Π
+
−
=
Π
+
−
Π
111
~
y omando limi es en los miemb os cuando 1
1
~−=Π→Π
a
queda
(
)
0
1
~
~=





−Π A
a
Ip
o lo que es lo mismo
(
)
(
)
;0
~
~
=−Π AIap
aho a bien, siendo
(
)
1
~
~
,=Π∀
∑
iij
j
α
enemos:
(
)
(
)
(
)
Π++Π=Π
~
~
...
~
~
~
~
1njniji
llp
αα
( ) ( )
0in
~
~
in
~
~>=





Π






≤Π
∑
ii
iij
iij
llp
α
y ambién
( ) ( )
+∞<=





Π






≤Π
∑
i
i
iij
iij
llp sup
~
~
sup
~
~
α
po lo que podemos conclui que
(
)
Π
~
~
p
es au o ec o izquie do de A asociado al
au o alo máximo
a
y siendo A homogenizada,
(
)
Π
~
~
p
es de la o ma
(
)
α
α
α
...,,,
con
0
>
α
; es deci , cuando
Π
iende a
Π
~
los p ecios ela i os ienden a se odos iguales.
Es un esul ado que no bebe ía so p ende nos demasiado pues o que cuando
Π
iende al
ipo máximo de bene icio, la p opo ción de p oduc o ne o que a al abajo iende a ce o
y nos encon amos en una si uación igual a cuando los coe icien es de abajo di ec o i
l
ue an iguales a ce o.
De lo an e io se deducen una se ie de p opiedades in e esan es de la ma iz
(
)
:
~
~
Π
ij
α
a) De (*)
6
enemos:
(
)
nnnn
ppLwpqpq
ββ
++=+++Π
KKKK
1111
Cuando
Π
iende a
Π
~
,
(
)
Π
i
p
~
iende a
(
)
Π
~
~
i
p
,
Lw
iende a ce o, po lo que, siendo
los
(
)
Π
~
~
i
p
odos iguales, y poniendo
(
)
pp
i
~
~
~
=Π
, enemos:
19






=








Π=






Π
∑∑∑
ii
ji ij
ii
pqpqp
β
~~
~
~
~
,
o lo que es lo mismo
(*)
17
∑
∑
=Π
ji ij
ii
q
,
~
β
po lo que concluimos que en un sis ema homogeneizado la azón en e exceden e
global y la suma de los medios de p oducción u ilizados coinciden con el ipo
máximo de bene icio. Es lo que S a a denomina azón pa ón (global) pa a los
sis emas pa ón.
5
b) Re omando la (*)
15
,
y dado que exis e
(
)
(
)
(
)
Π=Π
Π→Π
~
~
~
lim
~ijij
αα
y ambién
(
)
(
)
(
)
0,,,
~
~
~
lim
~
>=Π=Π
Π→Π
ααα
Kpp
debemos ene :
(
)
(
)
(
)
Π++Π==Π
~
~
~
~
~
~
11 ninii
wlwlp
ααα
KK
(
)
(
)
(
)
Π++Π==Π
~
~
~
~
~
~
11 njnjj
wlwlp
ααα
KK
de donde se deduce
(
)
(
)
(
)
(
)
Π=ΠΠ=Π
~
~
~
~
,,
~
~
~
~
11 njniji
αααα
KK
5
Ve S a a (1975): Capi ulo 4: “La me cancía pa ón” del lib o “P oducción de me cancías po medio de
me cancías”.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
1
111
~
~
−
Π+−Π+−=Π=Π AIalwp
ij
α

20
es deci , en cada ila k de la
(
)
(
)
Π
~
~
ij
α
los elemen os
(
)
(
)
nj
kj
≤≤Π 1,
~
~
α
son iguales; o lo
que es lo mismo, los ec o es columna de
(
)
(
)
Π
~
~
ij
α
son odos iguales.
5.5. CONDICIÓN NECESARIA DE IGUALDAD DE PRECIOS PARA
DISTINTOS TIPOS DE BENEFICIOS
Es udiamos aho a que condiciones deben da se en un sis ema homogenizado pa a
que a dis in os ipos de bene icio
Π
y
Π
′
co espondan p ecios ela i os iguales
(
)
(
)
ppp
~
~
~
=
Π
′
=
Π
.
En p ime luga , los p ecios ela i os del ipo
(
)
Π
i
p
son idén icos a los de ipo
(
)
Π
i
p
~
, en e ec o si
Π≤Π≤
~
0
, enemos:
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
( ) ( )( )
(
)
( )
∑
∑
∑
Π
Π
=
Π+−





Π
Π
+
−
Π
=
Π
Π
ii
i
ii
i
ii
i
p
p
ap
ap
p
p
11
11
~
~
y cuando
Π→Π
~
, los limi es del nume ado y del denominado exis en y son
dis in os de ce o. Tenemos:
(
)
( )
(
)
( )
∑
∑
Π
Π
=
Π
Π
Π→Π ii
i
ii
i
p
p
p
p
lim
~
~
~
~
~
po lo que enemos que los p ecios ela i os
(
)
Π
i
p
son los mismos que los
(
)
Π
i
p
~
incluso cuando
Π
=
Π
~
.
Si
(
)
(
)
ppp
~
~
~
=
Π
′
=
Π
, de (*)
16
enemos:
(
)
(
)
(
)
(
)
alwAIp
Π
+
−
=
Π
+
−
111
~
(
)
(
)
(
)
(
)
alwAIp
Π
′
+
−
=
Π
′
+
−
111
~
de donde y median e cálculos elemen ales se ob iene:
21
( )( ) ( )( ) ( )
0
~
1111 =−
Π′
+−Π+−
Π
′
−
Π
AIap
aa
o aun
(
)
0
~
=
−
AIap
y p
~
es au o ec o izquie do
de A.
Asimismo, de
(
)
(
)
(
)
(
)
alwAIp
Π
+
−
=
Π
+
−
111
~
y siendo p
~
au o ec o izquie do, enemos
(
)
(
)
(
)
(
)
alwaIp
Π
+
−
=
Π
+
−
111
~
po lo que lwp
=
~
y siendo A homogeneizada los
componen es de p
~
son odos iguales po lo que las de
l
ambién son iguales.
Ya hemos is o an e io men e
6
que si las componen es
i
ldel ec o
l
e an iguales, los
p ecios e an iguales pa a cualquie
Π
. Podemos pues enuncia :
(*)
18
Teo ema:
En un sis ema homogeneizado, es condición necesa ia y su icien e
pa a que los p ecios ela i os pe manezcan in a ian es al modi ica
(
)
Π≤Π≤Π
~
0
que
los coe icien es de abajo di ec o
i
lsean iguales.
Supongamos aho a que los coe icien es de abajo di ec o son odos iguales a
; los
p ecios son en onces odos iguales y dependen solo de
Π
y de
w
:
( ) ( )
a
w
p
i
Π+−
=Π 11
,
Π≤Π≤
~
0
,
de (*)
6
enemos:
(*)
19
( ) ( )






Π=+








ΠΠ
∑∑
iii
ji iji
pLwqp
β
,
dado
Π
, el alo del p oduc o ne o del sis ema es
( )






Π
∑
iii
p
β
. Y el bene icio o al de
odas las indus ias es
( )








ΠΠ ∑
ji iji
qp
,
.
6
Ve página 18 y 19.
22
Deno amos
W
la pa e del p oduc o ne o que a al abajo. Sabemos que si
0
=
Π
( )
Lp
iii
=






∑
β
0
y en onces
1
=
W
; po el con a io si
Π→Π
~
,
0
=
W
po lo que
W
a ia en e ce o y uno.
Di idiendo los dos miemb os de (*)
19
po
( )






Π
∑
iii
p
β
y eniendo en cuen a (*)
17
se
ob iene 1
~=+
Π
Π
W o aun
(
)
W−Π=Π 1
~
lo que nos p opo ciona una elación lineal en e
el ipo de bene icio
Π
y la p opo ción
W
del p oduc o ne o que a a los abajado es.
5.6. EL SISTEMA HOMOGENEIZADO Y EL SISTEMA PATRON DE SRAFFA
Re omamos (*)
6
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Π++Π=+Π++ΠΠ
nnnn
ppLwpqpq
ββ
KKKK
1111
y deno amos
(
)
Π
W
la pa e del exceden e que a a los abajado es dado un ipo de
bene icio
Π
. Tenemos:
(*)
20
(
)
( ) ( )
1=
Π
+
Π
Π
Π
∑∑
∑
iii
iii
iii
p
Lw
p
pq
ββ
Como
( )
∑
Π
=
iii
p
Lw
W
β
, si p e endemos que W dependa linealmen e de
Π
, debe se
(
)
Π
∑
i
ii
pq
p opo cional a
i
ii
p
∑
β
aho a bien
23
(
)
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
Π++Π+Π=Π+
+
Π++Π+Π=Π
=Π
∑
nnnnnnnn
nn
i
ii
lllqpq
lllqpq
pq
ααα
ααα
KK
M
K
KK
2211
1212111111
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )( )
( )
ql
qqql
qqql
ij
nnnnnn
nn
⋅⋅=
Π++Π+Π+
+
Π
+
+
Π
+
Π
=
α
ααα
α
α
α
KK
M
K
KK
2211
11221111
donde
q
ep esen a el ec o columna cuyas componen es son los
i
q
, igualmen e y po
un azonamien o análogo
(
)
βαβ
iji
ii
lp ⋅⋅=
∑
.
Si se dan las condiciones del sis ema pa ón de S a a, en onces
i
∀
,
Π
=~
1
i
i
q
β
. Po lo
que
i
∀
,
(
)
( )
Π
=
Π
Π
~
1
ii
ii
p
pq
β
y de (*)
20
esul a: 1
~=+
Π
Π
W o bien
(
)
W−Π=Π
1
~
.
Relación lineal en e
W
y
Π
cuando el sala io se exp esa como p opo ción del
p oduc o ne o pa ón.
Pa a el sis ema pa ón homogeneizado sabemos que si los
i
l son iguales, en onces los
(
)
Π
i
p
ambién son iguales, que deno amos
p
y de (*)
20
di ec amen e deducimos:
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=












=
ii
ii
ii
ii
ii
ii
q
p
qp
p
pq
β
β
β