Homogeneización en un sistema de tipo Leontief (o Leontief-Sraffa)

Homogeneización en un Sis ema de ipo Leon ie (o Leon ie -S a a). Xose Luis Quiñoa, Laia Pié Dols 11.04 De p a amen d'Economia A p licada Facul a d'Economia i Emp esa Aques documen pe any al Depa amen d'Economia Aplicada. Da a de publicació : Depa amen d'Economia Aplicada Edi ici B Campus de Bella e a 08193 Bella e a Telè on: (93) 581 1680 Fax:(93) 581 2292 E-mail: [email p o ec ed] h p://www.ecap.uab.es Feb e 2011 1 Homogeneización en un Sis ema de ipo Leon ie (o Leon ie -S a a) Xose Luis Quiñoa 1 * /Laia Pié 2 Resumen Dado un sis ema ipo Leon ie (o Leon ie - S a a), se demues a que puede se ans o mado en uno es uc u almen e equi alen e que denomina emos sis ema homogeneizado en el que la ma iz ecnológica A así como la in e sa de Leon ie poseen p opiedades ma emá icas ele an es elacionadas con el au o alo máximo a de A . Las ma ices ( ) AI Π+− 1 , 1 1 0−<Π≤ a son de diagonal dominan e po columnas. Pa a un sis ema homogeneizado es condición necesa ia y su icien e pa a que los p ecios ela i os en el sen ido S a a pe manezcan in a ian es al modi ica el ipo de bene icio, que los coe icien es de abajo di ec o sean iguales. Asimismo pa a es e ipo de sis emas, la azón en e la suma de las me cancías que componen el exceden e y la suma de las me cancías u ilizadas como medios de p oducción coincide con el ipo máximo de bene icio 1 1 ~−=Π a , es lo que S a a denomino “ azón pa ón” (global) en su Sis ema Pa ón. Palab as cla e: Homogeneización, sis ema de Leon ie , Leon ie -S a a, ipo de bene icio, exceden e, capi al, abajo . 1 * Co esponding au hou . Depa amen o de Economía Cuan i a i a, Uni e sidad de San iago de Compos ela, Facul ad de Ciencias Economicas y Emp esa iales, C/ Bu go das Nacións, s/n, San iago de Compos ela, Spain Tel. +34 8818 11516, [email protected] 2 Depa amen o de Economia Aplicada, Uni e sidad Au onoma de Ba celona, Facul ad de Economia y Emp esa, Edi ici B- Campus de Bella e a, 08193 Bella e a, Spain Tel. +34 93 581 4582, Fax. +34 93 581 2292, [email protected] 2 1. INTRODUCCIÓN En el anscu so del análisis u iliza emos las no aciones siguien es: 1) ( ) nj ni qq q qq q nnn ij n ij ≤≤ ≤≤ =           1 1 ... ...... ... 1 111 ep esen a la ma iz de ansacciones in e indus iales; q ij deno a la can idad ísica de me cancía i u ilizada po la indus ia j en el pe íodo de iempo conside ado (po ejemplo, un año). 2) β =                 n i β β β 1 M M es el ec o columna que ep esen a el exceden e del sis ema; así, β i es el exceden e de la indus ia i y suponemos que exis e al menos una indus ia i pa a la que β i > 0. 3) Q i = q i1 +…+ q ij +…+ q in + β i deno a la p oducción o al de la indus ia i en el pe íodo conside ado. Deno ando q i = q i1 +…+ q in (consumos in e medios de la indus ia i), enemos, en onces, Q i = q i +β i Q =                 n i Q Q Q M M 1 ep esen a el ec o columna de p oducción o al del sis ema. 4) (L 1 ,…, L i ,…, L n ) deno a el ec o ila de las can idades de abajo u ilizadas po cada indus ia; L i ep esen a la can idad de unidades de abajo u ilizadas po la indus ia i. 3 Suponemos que el abajo es uni o me en calidad o que cualquie di e encia en calidad ha sido educida a di e encias en can idad. 5) Como es habi ual en es e ipo de análisis, A = (a ij ) deno a la ma iz cuad ada n×n, de inida po j ij ij Q q a= ; a ij es, pues, la can idad ísica de me cancía i u ilizada en la p oducción de una unidad de me cancía j. 6) Asimismo, i i i Q L l= ep esen a la can idad de abajo u ilizada en la p oducción de una unidad de me cancía i. l = (l 1 ,…, l i ,…, l n ) es el ec o ila de los coe icien es de abajo. Pa a simpli ica llama emos a       l A “ écnica del sis ema”. Po comodidad, pa a ep esen a explíci amen e el p oblema u iliza emos el able o: (*) 1 :                                                                     nj n i n i nnnjn nj LLL Q Q Q q...q...q q...q...q β β β 1 11 1 1111 M M M M MMM MMM MMM 2. EL SISTEMA DE PRECIOS DE SRAFFA Comenza emos u ilizando las mismas hipó esis de pa ida del p opio S a a, que pueden se esumidas en: 1) El sis ema económico se encuen a en es ado es aciona io. P oduce cada año la misma can idad de me cancías. 2) Cada indus ia p oduce una sola me cancía median e el empleo de abajo y me cancías. Una pa e de la p oducción o al debe á se des inada a eemplaza las me cancías que han sido u ilizadas y el es o −el exceden e− se des ina á al consumo. 3) El alo añadido del sis ema económico o alo del exceden e se dis ibuye al inal 4 del pe íodo en o ma de sala ios y bene icios: los sala ios en p opo ción a la can idad ísica de abajo empleada y los bene icios en p opo ción al alo de los medios de p oducción empleados po cada indus ia. Cabe señala que el p opio S a a dis ingue dos aspec os en los sala ios: 3 a) Como elemen o de subsis encia. b) Como pa icipación en la p oducción exceden e. 2.1. FORMULACIÓN DEL SISTEMA DE PRECIOS Deno ando p 1 ,…, p i ,…, p n los p ecios de las me cancías 1, 2,…, n; Π el ipo de bene icio y w el sala io uni a io y con no aciones de (*) 1 , siguiendo a S a a enemos: (*) 2 ( ) ( ) ( )          =+++Π+++ =+++Π++++ =+++Π++++ nnnnnnnnnnn jjjnnjjnnjjj nnnn pQwLpq...pqpq...pq ... pQwLpq...pqpq...pqpq ... pQwLpq...pqpq...pqpq 1111 112211 11111111221111 Di idiendo los dos é minos de cada ecuación j po el é mino Q j co espondien e y eag upando queda: (*) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )          =+Π+++Π++Π+ =+Π+++Π++Π+ =+Π+++Π++Π+ nnnnnn jjnjjj n pwla...aa ... pwla...aa ... pwla...aa 1 1 1 1 1 1 1 1 1 21 21 1112111 o, ma icialmen e, 3 “A la is a de es e doble ca ác e de los sala ios, se ía ap opiado, cuando engamos a conside a la di isión del exceden e en capi alis as y abajado es, sepa a las dos pa es que componen el sala io y conside a sólo la pa e del «exceden e» como a iable, en an o que los bienes necesa ios pa a la subsis encia de los abajado es con inua ían apa eciendo en e los medios de p oducción, con el pe óleo, e c.” (S a a, 8). “También supond emos en lo sucesi o que el sala io se paga «pos ac um» como una pa icipación del p oduc o anual, abandonándose así la idea de los economis as clásicos de un sala io «a anzado» desde el capi al. Re enemos, sin emba go, el supues o de un ciclo anual de p oducción con un me cado anual” (S a a, 9). 5 (*) 4 ( ) [ ] lwAIp =Π+− 1 sis ema de n ecuaciones y n+2 incógni as: Π, w, p 1 ,…, p n lo cual signi ica que debe án ija se dos de ellas pa a que el sis ema se haga de e minado. 3. LIMITACIONES DEL TIPO DE BENEFICIO El sis ema (*) 4 puede esc ibi se como ( ) lwAIp =      − Π+ Π+ 1 1 1 o, si se p e ie e, como (*) 5 w l AIp Π+ =      − Π+ 11 1 La ma iz A es po cons ucción posi i a (a ij ≥ 0, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n) y admi e un au o alo máximo a posi i o. Sabemos que ∀ λ ∈ R, λ > a , enemos que (λ I – A) es in e sible y que su in e sa es posi i a. En onces, pa a que (*) 4 o (*) 5 engan solución con signi icado económico debe se a> Π+1 1 o bien 1 1−<Π a . Examinemos las ca ac e ís icas de las posibles soluciones de (*) 4 . Pa a hace lo de e minado es p eciso ija dos incógni as. Si empezamos ijando Π, 0≤Π< a 1 –1, en onces el sis ema se con ie e en lineal con n ecuaciones y n + 1 incógni as: los n p ecios y el sala io uni a io, po lo que, haciendo una cualquie a de es as igual a la unidad, el sis ema queda pe ec amen e de e minado. Si no ijamos Π y la man enemos como incógni a, el sis ema no es lineal y no 6 podemos ija a bi a iamen e dos cualesquie a de las demás incógni as. Supongamos, po ejemplo, que ijamos w = 1 e in en amos ija p 1 , debemos ene : ( ) ( ) ( ) ( ) 11221111 1 1 11 lpa...papa nn =Π+−−Π+−Π+− de donde ( ) ( ) 111 1 11 lpa ≥Π+− o bien ( ) KKK 11 1 1 11 a l pΠ+− ≥ 4. REPARTO DEL EXCEDENTE ENTRE LA “SOCIEDAD” DE LOS CAPITALISTAS Y LA “SOCIEDAD” DE LOS TRABAJADORES Deno ando ,lL n ii ∑ ==1 q i = q i1 +...+ q in Q i = q i + β i y sumando po columnas los dos miemb os de las ecuaciones (*) 2 , enemos: q 1 p 1 +...+ q n p n + Π (q 1 p 1 +...+ q n p n ) + Lw = (q 1 +β 1 ) p 1 +...+( q n +β n ) p n de donde esul a (*) 6 Π (q 1 p 1 +...+ q n p n ) + Lw = β 1 p 1 +...+β n p n En el caso ex emo en que Π = 0, esul a Lw = β 1 p 1 +...+ β n p n y pa a w = 1 enemos que el alo del exceden e coincide p ecisamen e con la can idad o al L de abajo empleado; como consecuencia, odo el exceden e a a pa a a los abajado es. Es ese caso, la ecuación (*) 4 : p (I – A) = lw iene como solución (haciendo w = 1), que deno a emos (*) 7 = l (I – A) –1 que es a lo que Ma x denominaba “ alo es”. 7 5. HOMOGENEIZACIÓN DE LAS UNIDADES Conside emos el p oblema desc i o en el able o (*) 1 ; la ila i, 1≤i≤n, es ep esen a i a de la me cancía i; así, q ij es la can idad ísica de unidades de me cancía i u ilizadas po la indus ia j en el pe íodo conside ado –po ejemplo, quilos de igo, y nada impide medi es as unidades en oneladas en ez de en quilos–; lo mismo se puede deci pa a el es o de las me cancías. Sea = ( 1 ,..., i ,..., n ) ∈ R n , > 0 (e.d.: i > 0 ∀i) y ans o memos el able o (*) 1 en: (*) 9 ( )                         β β β               β ′ ni nnnn nnnninnn ni ni ij LLL Q Q Q q ...q ...q q ...q ...q q ...q ...q Qq ' ' 1 22 11 22 11 1 2222212 1111111 M En onces, siendo w el sala io uni a io y Π el ipo de bene icio, enemos el sis ema ( ) ( ( )( ( )(          =++++Π+ =++++Π+ =++++Π+ nnnnnnnnnn iiiinninii nnn pQ wLpq ...pq pq ... pQ wLpq ...pq pq ... pQ wLpq ...pq pq 1 1 1 222111 222111 1111122121111 y di idiendo los dos miemb os de cada ecuación i po i Q i : ( )     ≤≤=        +++++Π+ nip Q wL pa ...pa ...pa i ii i nni i n iii i i i i 1 1 11 1 y poniendo ij j i ij a a = ′ , ( ) ij aA ′ = ′ , , ii i iQ L l= ′ ( ) ni llll ′ ′ ′ = ′ ,...,,..., 1 14 5.2. ALGUNAS PROPIEDADES RELEVANTES DE ESTE TIPO DE MATRICES 1) Sean A = (a ij ), B = (b ij ) ma ices cuad adas de o den n, ales que ∀j, 1≤ j ≤ n, ∑= = n iij aa 1 ∑= = n iij bb 1 poniendo ( ) ij BA γ=⋅ con ∑ = = n kkjikij ba 1 γ , enemos ∀j, 1≤ j ≤ n, abbaabba kkj iik kkj i k kjik iij =      ∑ =      ∑∑∑ =      ∑∑ = γ y pa a es e ipo de ma ices se e i ica BABA ⋅=⋅ de lo que se deduce en pa icula (*) 13 n n n aAA == 2) La suma de los elemen os de cada columna de la ma iz homogeneizada A es 1 < a o, lo que es lo mismo, 1<= aA . En onces, un esul ado clásico nos indica (I – A) –1 = I + A +...+A n +... y en onces ∀j, 1 ≤ j ≤ n la suma de los elemen os de la columna j de (I – A) –1 se á: 1+ a +...+ n a+...= a−1 1 de lo que se deduce ambién 15 (*) 14 ( ) a AI − =− − 1 1 1 Po un azonamien o análogo, dada una asa de bene icio Π, 1 1 0−<Π≤ a , la suma de los elemen os de cada columna j de ( ) ( ) 1 1− Π+− AI es ( ) a 11 1 Π+− po lo que ( )( ) ( ) a AI 11 1 1 1 Π+− =Π+− − 5.3. INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DE LA INVERSA ( I − −− − ( 1 + П ) A ) − −− −1 HOMOGENEIZADA Deno emos (α ij ) = (I – A) –1 . Si suponemos que la ma iz ecnológica A, así como el ec o l de coe icien es de abajo, pe manecen cons an es an e un inc emen o in ini esimal ∆β j de β j de X = (I – A) –1 β, enemos: X i (β 1 ,..., β j ,..., β n ) = α i1 β 1 +...+ α ij β j +...+ α in β n X i (β 1 ,..., β j +∆β j ,..., β n ) = α i1 β 1 +...+ α ij (β j +∆β j ) +....+ α in β n de donde: X i (β 1 ,..., β j +∆β j ,..., β n ) – X i (β 1 ,..., β j ,..., β n ) = α ij ∆β n y si suponemos que A pe manece in a iable cuando ∆ β j = 1, α ij ep esen a la can idad ísica de me cancía i necesa ia pa a ob ene una unidad ísica de me cancía inal j. En onces, cada columna j de (I – A) –1 ep esen a las can idades ísicas he e ogéneas de me cancías necesa ias di ec a e indi ec amen e en odo el sis ema económico pa a ob ene una unidad ísica de me cancía inal j. 16 Po o a pa e, l (I – A) –1 es un ec o cuya componen e j: j = α ij l 1 +...+α nj l n es ep esen a i a de la can idad de abajo u ilizado di ec a e indi ec amen e pa a ob ene una unidad j de me cancía inal. Di emos que los j son los coe icien es de abajo e icalmen e in eg ados. Como la ma iz ecnológica ue homogeneizada, (α ij ) = (I – A) –1 iene la p opiedad ∀j, 1 ≤ j ≤ n, α 1j +...+ α ij +...+ α nj = a − 1 1 y, como consecuencia, si se die a la ci cuns ancia de que l 1 = l 2 =...= l i =...= l n = end íamos que ∀j, 1 ≤ j ≤ n, j = α 1j +...+ α ij +...+ α nj = a − 1 con lo que concluimos que en un sis ema homogeneizado, si los coe icien es de abajo di ec o l i son iguales, en onces los “ alo es” i ambién son iguales. Igualmen e, y po un azonamien o análogo, si conside amos una asa de bene icio Π, 1 1 0−<Π≤ a , de p = lw ( ) ( ) 1 1 − Π+− AI , si odos los l i son iguales a , omando w = 1, end emos: ( ) ( ) ni, a p i ≤≤ Π+− =Π 1 11 es deci , los p ecios son odos iguales y c ecen al aumen a Π, según 17 ( ) ( )( ) 2 11 a a p i Π+− =Π ′ . 5.4. PROPIEDADES DE LA INVERSA ( I − −− −( 1 + П ) A ) -1 NORMALIZADA Pongamos aho a, w l AIp Π+ =− Π+       11 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,1 1− Π+−=Π=Π AI ij αα y ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 − Π+−=Π=Π AIlwlwp α deno emos: Como ( ) ( ) a ij Π+− =Π 11 1 α (A es homogenizada) enemos que la ma iz ( ) ( ) Π ij α ~ es al que ( ) 1 ~ =Π ij α o lo que es lo mismo, ,j ∀ ( ) nj ≤ ≤ 1 ( ) 1 ~ =Π ∑ iij α (la suma de los elemen os de cada columna de ( ) ( ) Π ij α ~ es uno), po lo que exis e ( ) ( ) ( ) Π=Π Π→Π ~ ~ ~ lim ~ijij αα Si deno amos ( ) ( ) ( ) ( ) a AI lwp Π+− Π+− =Π − 11 1 1 ~ 1 Tenemos: (*) 15 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 111 ~ − Π+−Π+−=Π AIalwp ( ) ( ) ( ) ( ) Π Π =Π ij ij ij α α α ~ 18 o mul iplicando los dos miemb os po ( ) :1 AI Π + − (*) 16 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) alwAIp Π + − = Π + − Π 111 ~ y omando limi es en los miemb os cuando 1 1 ~−=Π→Π a queda ( ) 0 1 ~ ~=      −Π A a Ip o lo que es lo mismo ( ) ( ) ;0 ~ ~ =−Π AIap aho a bien, siendo ( ) 1 ~ ~ ,=Π∀ ∑ iij j α enemos: ( ) ( ) ( ) Π++Π=Π ~ ~ ... ~ ~ ~ ~ 1njniji llp αα ( ) ( ) 0in ~ ~ in ~ ~>=      Π       ≤Π ∑ ii iij iij llp α y ambién ( ) ( ) +∞<=      Π       ≤Π ∑ i i iij iij llp sup ~ ~ sup ~ ~ α po lo que podemos conclui que ( ) Π ~ ~ p es au o ec o izquie do de A asociado al au o alo máximo a y siendo A homogenizada, ( ) Π ~ ~ p es de la o ma ( ) α α α ...,,, con 0 > α ; es deci , cuando Π iende a Π ~ los p ecios ela i os ienden a se odos iguales. Es un esul ado que no bebe ía so p ende nos demasiado pues o que cuando Π iende al ipo máximo de bene icio, la p opo ción de p oduc o ne o que a al abajo iende a ce o y nos encon amos en una si uación igual a cuando los coe icien es de abajo di ec o i l ue an iguales a ce o. De lo an e io se deducen una se ie de p opiedades in e esan es de la ma iz ( ) : ~ ~ Π ij α a) De (*) 6 enemos: ( ) nnnn ppLwpqpq ββ ++=+++Π KKKK 1111 Cuando Π iende a Π ~ , ( ) Π i p ~ iende a ( ) Π ~ ~ i p , Lw iende a ce o, po lo que, siendo los ( ) Π ~ ~ i p odos iguales, y poniendo ( ) pp i ~ ~ ~ =Π , enemos: 19       =         Π=       Π ∑∑∑ ii ji ij ii pqpqp β ~~ ~ ~ ~ , o lo que es lo mismo (*) 17 ∑ ∑ =Π ji ij ii q , ~ β po lo que concluimos que en un sis ema homogeneizado la azón en e exceden e global y la suma de los medios de p oducción u ilizados coinciden con el ipo máximo de bene icio. Es lo que S a a denomina azón pa ón (global) pa a los sis emas pa ón. 5 b) Re omando la (*) 15 , y dado que exis e ( ) ( ) ( ) Π=Π Π→Π ~ ~ ~ lim ~ijij αα y ambién ( ) ( ) ( ) 0,,, ~ ~ ~ lim ~ >=Π=Π Π→Π ααα Kpp debemos ene : ( ) ( ) ( ) Π++Π==Π ~ ~ ~ ~ ~ ~ 11 ninii wlwlp ααα KK ( ) ( ) ( ) Π++Π==Π ~ ~ ~ ~ ~ ~ 11 njnjj wlwlp ααα KK de donde se deduce ( ) ( ) ( ) ( ) Π=ΠΠ=Π ~ ~ ~ ~ ,, ~ ~ ~ ~ 11 njniji αααα KK 5 Ve S a a (1975): Capi ulo 4: “La me cancía pa ón” del lib o “P oducción de me cancías po medio de me cancías”. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 1 111 ~ ~ − Π+−Π+−=Π=Π AIalwp ij α 20 es deci , en cada ila k de la ( ) ( ) Π ~ ~ ij α los elemen os ( ) ( ) nj kj ≤≤Π 1, ~ ~ α son iguales; o lo que es lo mismo, los ec o es columna de ( ) ( ) Π ~ ~ ij α son odos iguales. 5.5. CONDICIÓN NECESARIA DE IGUALDAD DE PRECIOS PARA DISTINTOS TIPOS DE BENEFICIOS Es udiamos aho a que condiciones deben da se en un sis ema homogenizado pa a que a dis in os ipos de bene icio Π y Π ′ co espondan p ecios ela i os iguales ( ) ( ) ppp ~ ~ ~ = Π ′ = Π . En p ime luga , los p ecios ela i os del ipo ( ) Π i p son idén icos a los de ipo ( ) Π i p ~ , en e ec o si Π≤Π≤ ~ 0 , enemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ Π Π = Π+−      Π Π + − Π = Π Π ii i ii i ii i p p ap ap p p 11 11 ~ ~ y cuando Π→Π ~ , los limi es del nume ado y del denominado exis en y son dis in os de ce o. Tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ Π Π = Π Π Π→Π ii i ii i p p p p lim ~ ~ ~ ~ ~ po lo que enemos que los p ecios ela i os ( ) Π i p son los mismos que los ( ) Π i p ~ incluso cuando Π = Π ~ . Si ( ) ( ) ppp ~ ~ ~ = Π ′ = Π , de (*) 16 enemos: ( ) ( ) ( ) ( ) alwAIp Π + − = Π + − 111 ~ ( ) ( ) ( ) ( ) alwAIp Π ′ + − = Π ′ + − 111 ~ de donde y median e cálculos elemen ales se ob iene: 21 ( )( ) ( )( ) ( ) 0 ~ 1111 =− Π′ +−Π+− Π ′ − Π AIap aa o aun ( ) 0 ~ = − AIap y p ~ es au o ec o izquie do de A. Asimismo, de ( ) ( ) ( ) ( ) alwAIp Π + − = Π + − 111 ~ y siendo p ~ au o ec o izquie do, enemos ( ) ( ) ( ) ( ) alwaIp Π + − = Π + − 111 ~ po lo que lwp = ~ y siendo A homogeneizada los componen es de p ~ son odos iguales po lo que las de l ambién son iguales. Ya hemos is o an e io men e 6 que si las componen es i ldel ec o l e an iguales, los p ecios e an iguales pa a cualquie Π . Podemos pues enuncia : (*) 18 Teo ema: En un sis ema homogeneizado, es condición necesa ia y su icien e pa a que los p ecios ela i os pe manezcan in a ian es al modi ica ( ) Π≤Π≤Π ~ 0 que los coe icien es de abajo di ec o i lsean iguales. Supongamos aho a que los coe icien es de abajo di ec o son odos iguales a ; los p ecios son en onces odos iguales y dependen solo de Π y de w : ( ) ( ) a w p i Π+− =Π 11 , Π≤Π≤ ~ 0 , de (*) 6 enemos: (*) 19 ( ) ( )       Π=+         ΠΠ ∑∑ iii ji iji pLwqp β , dado Π , el alo del p oduc o ne o del sis ema es ( )       Π ∑ iii p β . Y el bene icio o al de odas las indus ias es ( )         ΠΠ ∑ ji iji qp , . 6 Ve página 18 y 19. 22 Deno amos W la pa e del p oduc o ne o que a al abajo. Sabemos que si 0 = Π ( ) Lp iii =       ∑ β 0 y en onces 1 = W ; po el con a io si Π→Π ~ , 0 = W po lo que W a ia en e ce o y uno. Di idiendo los dos miemb os de (*) 19 po ( )       Π ∑ iii p β y eniendo en cuen a (*) 17 se ob iene 1 ~=+ Π Π W o aun ( ) W−Π=Π 1 ~ lo que nos p opo ciona una elación lineal en e el ipo de bene icio Π y la p opo ción W del p oduc o ne o que a a los abajado es. 5.6. EL SISTEMA HOMOGENEIZADO Y EL SISTEMA PATRON DE SRAFFA Re omamos (*) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Π++Π=+Π++ΠΠ nnnn ppLwpqpq ββ KKKK 1111 y deno amos ( ) Π W la pa e del exceden e que a a los abajado es dado un ipo de bene icio Π . Tenemos: (*) 20 ( ) ( ) ( ) 1= Π + Π Π Π ∑∑ ∑ iii iii iii p Lw p pq ββ Como ( ) ∑ Π = iii p Lw W β , si p e endemos que W dependa linealmen e de Π , debe se ( ) Π ∑ i ii pq p opo cional a i ii p ∑ β aho a bien 23 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Π++Π+Π=Π+ + Π++Π+Π=Π =Π ∑ nnnnnnnn nn i ii lllqpq lllqpq pq ααα ααα KK M K KK 2211 1212111111 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ql qqql qqql ij nnnnnn nn ⋅⋅= Π++Π+Π+ + Π + + Π + Π = α ααα α α α KK M K KK 2211 11221111 donde q ep esen a el ec o columna cuyas componen es son los i q , igualmen e y po un azonamien o análogo ( ) βαβ iji ii lp ⋅⋅= ∑ . Si se dan las condiciones del sis ema pa ón de S a a, en onces i ∀ , Π =~ 1 i i q β . Po lo que i ∀ , ( ) ( ) Π = Π Π ~ 1 ii ii p pq β y de (*) 20 esul a: 1 ~=+ Π Π W o bien ( ) W−Π=Π 1 ~ . Relación lineal en e W y Π cuando el sala io se exp esa como p opo ción del p oduc o ne o pa ón. Pa a el sis ema pa ón homogeneizado sabemos que si los i l son iguales, en onces los ( ) Π i p ambién son iguales, que deno amos p y de (*) 20 di ec amen e deducimos: ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ =             = ii ii ii ii ii ii q p qp p pq β β β