Pub
.
Ma
.
IIAI3
N4 26
N°1
Ma q 1982
Con ibución
al
es udio
de
los
espacioselec o ales
F ancescCa e as
Escoba
Rebu
el 3
de
juliol
del
1981
Abs ac
.-
The sim
o
his
pape ,
inspi ed
in
he
line
ollowed
by
Shapley
and
Owen
in
Game
Theo y,
is
he
s udy
o
ce ain
s uc u es
associa ed
wi~h
he
collec i e
choice
p ocesses,
om
a
s ic ly
o mal
poin
o
iew
.
A
gene al
model
o
o ing
(decision
se ) is
used
o
mo i a e
he
pos ula es
o
elec o al
space
(Shapley's
p ope
simple
game),
based
upon
he
winne coali ions
.
In
he
i s
chap e
he
necessa y
dé ini
ions
a e
gi en,
and
hen
he
ollowing
poin s
a e
discussed
:
1)
ole
o
Shapley's
powe ,
as
a
undamen al
in a ian
o
he
so-called
comple e
spaces,
whose
g oup
o
au omo phisms
comes
o
be
£o med
by
all he
pe mu a ions
p ese ing
he
powe
;
2)
classi ica ion
o
he
comple e
simplespaces
-whe e
all
he
minimal
winne
coali ions
ha e
he
same
numbe
o
elemen o-and
de e mi-
na ion
o
hei
nume ical
in a ian s
by
means
o£
he
associa ed
"
la ice,
gi ing
he
heo ems
o
exis ence
and
unici y
in
e ms
o
hosein a-
ian s
;
3)
conc e izing
elec o al
spaces
by
means
o
decision
se s,
de o ma ion
o
decision
se s
- o
example,
s anda diza ion-
and
dis-
cussion
o
simple
spaces
by
using
hei
classi ica ion
.
INDICE
INTRODUCCIÓN
. .
.
........
.
.....
.
. .
.
. .
.
. .
.
................
.
...
.
.....
.
.
21
Cap
.
I
ESPACIOS
ELECTORALES
...............
.
...
.
..........
.
. .
.
. . . .
31
1
.1
De iniciones
.
. .
.
. . . . . .
.
. .
.
...
.
..........
.
...
.
..........
.
. .
.
. .
. .
31
1
.2
Homo ismos,
subespacios, cocien es
............
.
.. . . . . . .
.
. .
.
. .
.
...
.
36
Cap
.
II
PODER
DE
SHAPLEY
........
.
.....
.
. . . . . .
.
.... . . . . .
.
.....
.
...
.
42
11
.1
Valo es
del
pode
.
.....
.
.....
.
............
.
.........
.
.....
.
...
.
43
11
.2
In a iancia
del
pode
a
a és de
los
au omo ismos
.........
.
.....
.
...
.
48
Cap
.
III
ESPACIOS
COMPLETOS
. . .
.
. . .
.
.....
.
.....
. .
. .
.
.
.
. . . .
.
...
.
.
.
...
.
.
55
111
.1
Sime ía
y
sus i ución
.
. .
.
. .
.
. .
.
...........
. .
. . . .
.
. . . .
.
..... . ...
.
56
111
.2
Re ículo asociado
a
un
espacio
comple o
. . . .
.
. .
.
. . . . .
.
. . . .
.
.....
.
...
.
59
111
.3
Clasi icación
de
espacios
simples
comple os
. .
.
. .
.
. . . .
.
. . . .
.
.........
.
67
Cap
.
IV
CONJUNTOS
DECISORIOS
. . . .
.
.....
.
........
.
. .
.
. . . .
.
.....
.
. . . . .
84
IV
. 1
Espacio
elec o al
asociado
. . .
.
...
.
..............
.
. . .
.
...
.
. .
.
......
85
IV
.2
Espacios
elec o ales ealizables
. .
.
.....
.
. . . . . .
.
. . . .
.
. . . .
.
.....
.
. . . .
88
IV
.3
Realización
de
espacios
elec o ales
simples
. . . . . .
.
. . . .
.
. . . .
.
.........
.
100
BIBLIOGRAFÍA
..........
.
. .
.
.....
.
...
.
.
.
......
.
. .
.
. . . .
.
. . . .
.
.........
.
107
INTRODIICCION
El
obje o
de la
p esen e
Memo ia
(1)
es
el
es udio
de
cie as
es uc u as
inhe en es
a
los
p ocesos
de
elección
colec i a,
en
los
cuales
un
conjun o
de
pe sonas
oma
decisiones
median e
una o ación
suje a
a
eglas
p ecisas
.
Es os
p ocesos
han
sido
a ados
po
la
Teo ía
deJuegos-con
el
nomb ede
juegos
de
o ación-
po
lo
que
puede
se
pe inen e
una
b e e
desc ipción
de
las
líneas
de
dicha eo ía
que
han
inspi ado
es e
abajo
.
El
p ime
in en o
se io
de
o ece
un
mé odo
yunlenguaje
ma emá icos
ealmen eadecuados
a
los
p oblemas
de
las
ciencias
econó-
micas
y
sociales
es la
ob a
de
Von
Neumann
y Mo gens e n
[49],
publi
cada
en
1944
desa ollando
unas
ideas
p e ias
del
p ime o
de
es os
au-
o es
(48]
.
O ien ado
p incipalmen e
po
sus
in e p e aciones
económi-
cas,
dicho
abajo
cons i uye
el
pun o
de
pa ida
de
laTeo ía
de
Jue-
gos,
y
e e encia
casi
obligada
en
es e
campo
.
Aunquela
ele ancia
y
pe ección
del
a amien odado
po
Von
Neumann
y Mo gens e n
a
los juegos
de
dos
jugado es
inspi a onla
in es igación
inmedia amen e
pos e io ,p on o
pasó
a unp ime
plano
la eo ía
de
los n-juegos,
o
juegos
de
n
pe sonas
con
n
a bi a io
.
En
p ime luga po que
Von
Neumann
y
Mo gens e n
se
limi a on
en
es a
cues ión
a
ab i
di
camino
;
y
además,
la
a iedad
de
alo es
de
n
en
(l)
Tesis
doc o al
del
au o
.

las
es uc u as
económicas
y
sociales
eales
(2)
jus i ica
po
sí
sola
el
in e 6s
en
ob ene
esul ados
gene ales
.
Von
Neumann
y
Mo gens e n
p opusie on
las
de iniciones
bási-
cas
pa a
los
n-juegos
:
o ma
ex ensi a
y
o ma
no malizada,
unción
ca-
ac e ís ica,
equi alencia
es a égica,sim6 ía
-median e
el
g upo
de
pe mu aciones
de
los
jugado es-
y
los
concep os
de
impu ación,
domina-
ci6n
y
solución
.
Su
a amien o
de
los
n-juegosconsis e
en
analiza
dos
amilias
pa icula es
:
a)
juegos
descomponibles,
cuyassoluciones
exp esan
a
pa i
de
las
de
sus
juegos
componen es
;
y
b)
juegos
simples
(p opios
y
ue es,
según
la
nomencla u a
pos e io
de
Shapley),
donde
la
sencillez
de
la
unciónca ac e ís ica
pe mi e
sus i ui la
po
una
amilia
de
subconjun os,
llamados
coaliciones encedo as
;
aquí s61o
se
dan las
soluciones
de
algunas
sub amilias
de
juegos
simples,
po
ejem-
plo
los
juegos
homog6neos
de
mayo ía
ponde ada,
en
pa icula
los
jue-
gos
de
mayo ía
simple
(3)
.
22
A
pa i
de
1960,
la
conside ación
de
juegos
o mados
po ung an
núme o
de
"pequeños"
indi iduos
(consumido es,
o an es)
ha
suge i-
do
incluso
su
a amien o
como
un
in ini o
con inuo-de
jugado es,
en
los
juegos
llamados
no-a ómicos
(Shapley,
Aumann
[45])
.
En la
in oducción
a
Con ibu ions
o
he
Theo y
o
Games
I,
publi-
cado en
el
olumen
24 de
los
Annals
o
Ma hema ical
S udies,
1950,
p ime
compendio
de
abajos
pos e io es
a
Von
Neumann-Mo gens e n,
se
p oponían
como
p oblemas
abie os
pa a
n-juegos
:
a)
exis encia
de
solución
pa a
odo
juego
;
b)
es udio
de
los
n-juegos
es in-
giendo
la
o mación
de
coaliciones
;
c)
de inición
deun
alo
o -
mal
pa a cada
n-juego
;
y
d)
p opiedadesasin 6 icas
pa a
n
-D
oo
.
Un
supues o
básico
en la
ob a
de
Von
Neumann-Mo gens e n
es
el
ca ác e
casi
numé ico
de
las
u ilidades,
que
desc iben
los
posibles
esul ados
del
juego
pa a cada
jugado
.
Dicho
ca ác e
se
exp esa
po
una
co espondencia
en e
u ilidades
y
náme os
eales,
deducida
de
dos
pos ulados
simples
:
posibilidad
de
o dena
las
u ilidades
y
de
e ec ua
combinacionesp obabilís icas
de
lasmismas
.
El
u ili a ismo
ha
sido
muy
discu ido
en la
li e a u a
económica
p e ia
(
.
g
.
Je ons(18),
Pa e o

351)
y pos e io
(A ow
[11,
Sen
[421,
e c
.)
.
Aquí sólo
des a-
ca emos
el
papel
cen al
de es a
hipó esis
en la ob a
comen ada
.
Po
una
pa e,
al
habe una
o al
libe ad
de
ans e encia
deu ilidades
se
pe mi e
la
coope ación
y
el
ega eo
median e
la
o e a
-yen
su
ca-
so
ealización-
de
pagos
la e ales
.
Po
o a,
al
p opo ciona
una
o -
denaci6n
o al
de
las
al e na i as
de
cada
jugado pe mi e
de ini
el
alo
de un
2-juego
de
suma
ce o
(median e
el
eo ema
del
Minimax)
y,
pos e io men e,
la
unciónca ac e ís ica
de
odo
n-juego
.
No
exis e
en
la
ob a
de
Von
Neumann-Mo gens e n
ninguna
e e-
encia
explíci a
a
los
juegos
de
o ación
-o
juegos
sociopolí icos,
en
con aposición
a
los
de ipo
económico-
.
Ello se debe al
papel unda
men al
del
concep o
de
u ilidad,
que
no
es
na u al
en
los
juegos
de
o-
aci6n
.
Po
o o
lado,
la
o ma
en
que
se
es udian
los
n-juegos,
po
medio
de
unad ás ica
simpli icación
que los
con ie e
en
2-juegos
pa-
a
cons ui
la unción
ca ac e ís ica,
ampoco
es
adecuada
pa a
los
juegos
de
o ación
.
Pa ece
que
es os
juegos,
po
sus
ca ac e ís icas,
han
de
ene
un
a amien o
p opio,
independien e
de
losjuegos
econó-
micos
.
No
es á
cla o
que
en
los
p oblemas
sociopolí icos
pueda
pensa -
se
uc í e amen e
en
é minos
"mone a ios"
.
Después
de
es ablece
Von
Neumann
y
io gens e n
el
alo
de
un
2-juego,
es
Shapley
l431
el
p ime o
que de ine
el
alo
de
un
n-juego,
como
una
e aluación
a
p io i,
a
pa i
de es
axiomas
que
pe mi en
p oba
la
exis encia
y unicidad
del
alo
de
odo
juego
de inido
po
su
unciónca ac e ís ica
.
Se
a a
de la
espe anza
asociada
a
una
dis i-
buci6n
de
p obabilidad,
y
cons i uye
una
al e na i a
al
.
concep o
de
so-
luci6n
de
Von
Neumann-Mo gens e n,
que
ni es
ánica
en
gene al
ni
exis e
pa a cada
juego
(Lucas[20])
.
La
c i ica
p incipal
(Sel en
[41)),
la
de-
pendencia
de la
unci6n
ca ac e ís ica,
es
i ele an e
á ecisamen e
na-
a
juegos
simples
.
Shapley
[44]
de ine
un
n-juego
simple
como
un
pa
(X,F)
donde
X
es
un
conjun o
con
n
elemen os
y F
una
colección
no
acía
de
subcon-
jun os
de
X
(coaliciones encedo as)
que
no
con iene
al
acío
y
es
il-
o
de o den,
es
deci ,
A E
F,

A
C
B

implican

BEF
.
Un
juegosimple
es
p opio
si
A
EF
implica
X-A
1
F,
y
ue e
si
se
sa-
is ace
el
ecip oco,
o
sea
si A
F
implica
X-A
E F
.
La
di e encia
de
es a
de inición
con
la
p imi i a
es
que
los
juegos
simples
de
Von
Neu-
mann
y
Mo gens e n
son
simples,
p opios
y
ue es
segan
Shapley,
po
se
de
suma
cons an e
.
Shapley
[44]
y
0wen[301
es udia onindependien emen e
el
com-
po amien o
de
los
juegos
simples
a
a és
de
la
composición,
dando
p e iamen e
las
leyes
gene ales
de
dichaope ación,
que
se
ealiza
in
oduciendo
un
juego
cocien ecomo
conexión
de
los
juegoscomponen es
y
es
una
gene alización
dela
p opues a
po
Von
Neumann-Mo gens e n
.
Shapley
y
Shubik
[46]son
quizás
los
p ime os
que
p esen an
una
e ec i a
aplicación
de
la
eo ía
a
los
juegos
de
o ación,
pues o
que
adap an
la
idea
de
alo
de
"
un
juego
a
cie os
esquemas
de
o ación
e
in oducen
el
concep o
de
pode
.
Se
desc ibe
el
pode
asociado
a
p io-
i
a
cada
o an e
o
coalición,
p escindiendo
de
odo lo
que
no
sea
las
dis ibución
de
p obabilidad
ini a
.
de
e alua
las
posiciones
ela i as
adelan e,
Luce
y Rogow
[22)
incluye on
eales
.
Y
Rike
[39]
sugi ió
una
la
alidez
de
es e
indice
de
pode
.
Exis en
dos
lineas
p incipales
pa a es udia
los
juegos
de
o-
aci6n
:
in en a
asimila los
a
los
juegos
económicos
o
elabo a
una
eo-
ía
p opia
.
In e esa
a
los
cien í icos
polí icos
qué
coaliciones
han
de
o ma se
y
cu4l
se á
el
pago
-en
sen ido
amplio-
.
Así,
Downs
[11l
supo-
ne
que
los
pa idos
buscan
el
máximo
posible
de
o os
pa a
alcanza
y
conse a
desahogadamen e
las
p ime as
posiciones
;
en
cambio,
Rike
[401
conside a
que
el
obje i o
es
o ma coaliciones
encedo asminimales
pa-
a
epa i
la
ic o ia
en e
un
mínimo
de
indi iduos
.
Más
ecien emen e,
los
abajos
de
Owen
se
han
di igido
en
es-
a
linea
de
los
juegos
de
o ación
.
En
[31]
Owen
modi ica
el
pode
de
Shapley
pa a
ob ene
un
indice
más
lexible,
que
puede
e leja aspec os
no
incluidos
en
las eglas
o males
del
juego
.
En [321
es udia
la
elec-
ci6n
p esidencial
de
los
Es adosUnidos,
calculando
ap oximadamen e
el
pode
de
Shapley
de
cada
Es adopo
el
lineales,
ideado
po
el
p opio
Owen,
y
el
indice
de
pode de
Banzha -Coleman,
un
ibunal
de
jus icia
.
Su
desa ollo
ecien ees udio
[34)
.
An e io men e,
Owen
enlaza
jo
de
Shapley
y
el
suyo
p opio
ya
ci ados, sob e
composición
de
juegos,
eglas
de
o ación,
ob eniendo
una
Su
esquema
es el
in en o
más
se io
en
un
juego
de
o ación
.
Más
o osda os
y
lo
aplica on
a
comp obación
expe imen al
de
p oblemas
mé odo
de
las
ex ensiones
mul i-
compa a
el
pode
de
Shapley
con
único
econocido
has aaho a
po
axiomá ico
es el
obje o
de
un
en
1331
con
el
aba-
En
cadaocasión
es a áde e minado
el
conjun o
de
opciones
o
al e na i as
posibles
que
se
p esen an
a
la
conside ación
de
X
;
dicho
conjun o
se
ep esen a á
po
D
=
idl,d2#
.
.
.,d }
.
Una o ación
ela i a
a
la
cues ión
ep esen ada
po
D
es
una
aplicación
:
X
-
;>
D
U
Ido},
donde
do es
un
elemen o
ex ano
aD
que
se
añade
como
imagen
de
los
miemb os
que
es án
ausen es,
se
abs ienen,
o an
en
blanco
o
danun
o o nulo
:
es os
cua o
casos
son
iden i ica-
bles
en e
sí
desde
una
pe spec i a
o mal
.
El
esul ado
dela
o ación
es
la
aplicación

:

D
U
1
do
~

--->
N
dada
po (d
i
)
=
(
l
(d
i
))
pa a
i =
0,1,2,
. .
.,
.
P oposición
I.1 .1 .- Si
exis ealgún
i
no nulo
que
e i ique
(d
i
)
-11
d,
l(di)
:D
V
e
,

en onces
dicho
i
es
-único
.
Po
an o,
si
V
e
no
es
acío
a
lo sumo
un
i
e i ica
las
condiciones
.
s i
Ve
es
acío,
la
exis encia
de
dos
subíndicesdis in os
i,j
da ía
lu_
ga a
las
siguien es
desigualdades
T <
d
+
d

(d
i )
+
(d
j
)
=
(
l
(d
i)) +
(
l
(d
j
))
=
(
l
(d
i )
U
-l
(
d
j
)) ~
:
(X)
= T
.
demos ación
.
Si i
~
j
es á
cla o
que
l
(
di
)ll
l
(d
j
)
Si
exis e,
se
llama
decisión
(única)
esul an e
de
la o ación
,
ela i a
a
la
cues ión
ep esen ada
po
D,
al
elemen o
d
i
cuyo sub-
índice
e i ique
las
condiciones
de
la
P oposición
I.1 .1
.
Si no
exis e
al
subíndice
se da como
esul ado
do
,
lo
que
se
in e p e a
como
que
noseha
omado
ninguna
.d
e
las
decisiones
p opues as
po D
.
Se llega,
inalmen e,
al
concep o
de
coalición encedo a
po
las
siguien es
conside aciones
.

Sea
A
C
X
un
subconjun o
cuyos
miemb os
es án
in e esados
en
que
cie a
d
i
sea
la
decisión
esul an e
de la
o ac
.i6n
;
pa a
que
en
cualquie
caso
-sea como
sea
la
o ma
en
que
o en
los
demás
elemen os
de X-
el
subconjun o
A
consiga
su
p opósi o,
debe
e i ica
las
condi-
cionessiguien es
:
ADV
e
,
(A)
~
d
.
Se
dice en onces
que
A
es
una
coalición
encedo a
.
P oDósici6n
1
.1 .2 .-
La
amilia
F
de
las
coaliciones
encedo as
e i ica
las
siguien es
p opiedades
:
a) si
A E
F, A CB,
en onces
B
E F
b)
si
A
E
F,
en onces
A
U
B
EF
pa a cada
B
C
X
c)
A
n
B
no
es
acío
pa a
ningún
pa A,B
E
F
i
d)
si
AE
.
F,
en onces
X-A
~
F
e)
XEF,
0
F
demos ación
.
a)
inmedia a
.
b)
equi alen e
a
la
an e io
.
c)
po
la
P op
.
I
.l
.l
.
d)
se
deduce
de la
an e io
y
la
implica
jun o
con
la
p ime a
.
e)
po se
F
no
acía
y po
la
cua a
.
Haciendo
abs acción
y
is a
la
p oposición
an e io ,
omamos
como
pun o
de
pa ida
de
es e
abajo
la
De inición
1
.1 .2
.-
Sea
X
un
conjun o
ini o
.
Un
il oelec o
al
en
X
es
una
amilia
no
acía
F
C
P(X)
que
e i ique
(A
.1)
A
EF,
A
C
B
implica
B E
F
(axioma
de
il o
de
o den)
(A
.2)

d
A,B
E F

se
e i ica

A
nB
(axioma
de
conexión)
El
pa
(X,F)
ecibi á
el
nomb e
de
espacio
elec o al
.
ican
:
Además,
los
pa es
(A
.3,A
.4),
(A
.l,A
.4)
y
(A
.2,A
.3)
son sis e-
masde
axiomas
equi alen es
al
dado
de
il o
elec o al
.
demos ación
.
Ve
P oposición
1
.1 .2
.
Los
minimales
de
F
end án
un
papel undamen al
en lo
sucesi-
o
;
en
la
p óxima
p oposición
se
des acan
sus
p opiedadesca ac e ís i
cae
.
P ooosicibn
1 .1 .4
.- La
amilia
F
o
de
los
minimales
de
un
il-
o
elec o al
F
no es
acía
y e i ica
(A
0
.1)

si
A
C
B,

es
A =
B,
pa a
cada
pa A,B
E
F
o
(A
o .2)

d
A,BE F
se
e i ica
A
nB~
0
Recíp ocamen e,
dadauna
amilia
no
acía
F
o
C
P(X)
que
sa ip
.
aga(A
0
.1)
y
(A
o
.2),
exis e
unúnico
il o
elec o al
F
en
X
cuya
a-
miliade
minimales
sea
F
o
.
Además,
F
o
C
Fó
implica
F
C
F'
.
demos ación
.
Po
se
X
ini o,
F
o
no es
acía
.
(A
0 .1)
esul-
a
de
que
F
o
C
F,
y
(A
o
.2)
de
la
condición
de
minimalidad
.
Dada
inicialmen e
Fo
e i icando
(A
o.1) y
(A
o
.2)
se
de ine
F = {A
CX
/

3
B E F
o
con
A
-
D
B
Es
inmedia o
que
F
es
un
il o
elec o al
en
X, y
po
se
X
ini o
esul a
se
F
o
la
amilia
de
los
minimalesdeF
.
Si Fo
e a
la
amilia
de
minimales
de
un
il o
F,
po se
X
ini o
F
coincide
con
el
il ocons uido
po
la
ó mulaan e io
.
Todo ello
p ueba
quela
3
4
P o osicibn
1.1.3
.-
Si
(X,F)
es
uñ
espacio
elec o al
se
e i-
a)
si
A E
F,
A
U
B E
F pa a
cada
B
C
X
(A,3)
b)
si
A E
F,
X-A
1
F
(A
.
4)
c)
XEF,
01F
co espondencia
F
H
F
o
es
biyec i a,
y es
ácil
e
que
su
in e sa
es
c ecien e
.
De inición
1
.1 .3 .-
Se
dice
que
Fo
es el
ge men
o
base
del
il
o
F,
y
que
és e es á
gene ado
po
F
0
,
De iniciones
1
.1
.4
.-
En
un
espacio
elec o al
(%,F),
llama emos
a
cada
A
E F una
coalición encedo a
.
Si
7-A
E
F,
di emos
que
A
es
una
coalición
pe dedo a
.
Finalmen e,
si
A,%-A
1
F,
di emos
que
A
es
una
cp
alici6n
de
bloqueo
.
De iniciones
1
.1.5
.-
Un
x E
Res
un
elemen onulo
(o
sin
in-
luencia)
si
upo
pe enece
a
ninguna
coalición encedo a
minimal
.
{x}
es
en onces
una
coalición
pe dedo a,
pe o
el
ecip oco
es
also
.
Un
x
E
%
es
un
dic ado
si
{x}
es
una
coalición
encedo a
.
Es
sabidoque
en
al
caso
x
es
el inico
dic ado ,
F
0se
educe
a íx}y F
a
los
subconjun os
que
con ienen
x,
y
que los
demás
elemen os
son
nulos
.
Recíp ocamen e,
si
odos
los
elemen os
sal o
x
sonnulos,
x
es
dic ado
.
UnxER
es
un
elemen o
con
e o
si
{x}
es
una
coalición
de
bloqueo
.
Designando
po Vla
in e sección
de
odas
las
coaliciones
en
cedo as,
que
coincide
con
la
de
odas
las
minimales,
se
obse a
que
V =
(XI
si
hayun
dic ado
x,
mien as
que
en
o o
caso
V
coincide
con
el
conjun o
de
elemen os
con
e o
.
Man end emos
es a
no ación,
así
como
la
de
16
pa a
el
subcon-
jun o
de
elemen os
nulos, que
es
la
in e sección
de
los
complemen a ios
de
las
coaliciones encedo asminimales
.
I
.2.-
HOMOMORFISMOS,
SUBESPACIOS,
COCIENTES
.
Da emos
aquí es
al e na i as
pa a
una
de inición
dehomomo
iemoen e
espacios
elec o ales
.
Ello
daluga
a
es ca ego ías,
su
que
los
isomo ismos
son
los
mismos
en
las
es
.
Discu i emos
el
con
cep o
de
subespacio,
señalando
en
especial
los
subespacios
densos
.
Po
úl imo,
se
p esen a á
la
o mación
del
espacio
cocien e
po
una
ela-
ci6nde
equi alencia
.
De iniciones
1
.2
.1
.-
Sean
(X,F),
(X',F')
espacioselec o ales,
:
X
-- >
X'
una
aplicación
.
a)
es
un
mo ismo
si
A
E F
implica
(A)
E
F',
lo
que con
un
abuso
de
no ación
ab e iamos
po
(F)
C
F'
.
b)
es
un
an imo ismo
si
A'
E
F'
implica
1
(A')
E
F,
que
con
el
mismoabusoesc ibi emos
_1(F1)
C
F
.
c)
es
bimo ismo
si
es
a
la
ez
mo ismo
y
an imo ismo
.
En
los
es
casos
pond emos
:
(X,F)
--->
(X',F')
La
iden idad
es
un
bimo ismo,
y
la
composición
de
mo ismos
( esp,
an imo ismos)
es
un
mo ismo
( esp
.
an imo ismo)
.
Quedan
de i
nidas,
po
an o,
es ca ego ías,
E,
E
-l
,
E
1
¿
-l
,
cuyos
obje os
son
los
espacios
elec o ales
y
cuyos
homomo ismos
son,
espec i amen-
e,
.los
mo ismos,
an imo ismos
y
bimo ismos
.
Po las
de iniciones,
P onosicibn
1
.2
.1 .-
Enlas
es
ca ego ías
los
isomo ismos
son las
aplicaciones
biyec i as
ales
que
,
1
son
mo ismos
.
Ade-
más, si
es
biyec i a,
la
condiciónnecesa ia
y
su icien e
pa a
que
sea
isomo ismo
es
que (F
0
)
=
Fol
.
36
Hom

-,-
n
Hom

Hom

-1
-,-
n
demos ación
.
Es
una
comp obación
s anda d
.
Dado
un
espacio
elec o al
(X,F)
yun
subconjun o
Y C
X,
esc 1
bi emos
F
y=F
11
P(Y),
y
ambién
F
(1 Y
=
A
(1
Y /
A
E
F}
.
Si
Y

F,
esul a
F
y

En
cambio,
si
Y
E F,
Py
sa is ace
los
axiomas
de
il o
en
Y,
con
base
(FY)o
=
Fo
n
P(Y)
.
De inición
1
.2.2
.-
Un
subespacio
elec o al
de
(X,F)
es
un
pa
(Y,F
Y
)
donde
Y E F
.
La
de inición o maliza
la
idea
in ui i a
de
subconjun o
con
su icien e
capacidad
deciso ia
.
La
inclusión
canónica
i
:
Y -->X
es
un
monomo ismo
en
E
.
.
De inición
1
.2
.3 .-
Un
subespacio
(Y,F
Y
)
es
denso
si
Fo
C
P(Y)
.
Resul a
en onces
(FY)o
=
Fo'
P oposición
1
.2.2
.-
Si
Y E
F,
son
equi alen es
:
i)
(Y,Fy
)
es
denso
ii)
dada
:
R
--->
X',
siendo
(X',F')
un
espacio
élec o al,
es
mo ismo
si
y
sólo si
la
es icción
oi
de
a
Y
lo
es
iii)
A
(1
YEF
pa a cada
A
EF
i )
la
inclusión
i
es
bimo ismo
)
X-N
C
Y
i)
Py
= F
l
Y
demos ación
.
(i)

(ii)
.
Dada
:
X
--+
X', si
Y
es
denso
y
oi
mo ismo
se
iene
(F
0
)
_
( oi)(F
0
)
C
F',
luego
es
mo ismo
.
(ii)
-(iii)
.
Sean
%' =
R,
F'
el
il o
gene ado
en
X po
(F
Y
)
o
,
=
id
:
X
---
>
X'
.
Po se
oi
mo ismo,
ambién
lo
es,
po
la
hipó esis
.
Po
an o,
pa a
cada
A E F esul aA =
(A)
E
F',
así que

A
7
B E
(P
Y
)
o
,
de
donde
A
n
Y
D
B
E
F,
esul ando
A
n
YEF
.
(iii)
===1>(i )
.
ies
mo ismo,
y
siendo
i
-l
(A)
= A
n
Y
la
hi-
pb esisasegu a
que
i
es
an imo ismo
.
(i )
== =~
( )
.
Sea
x
~
N
.
Exis ealgún
A
E
Fo
al
que
xEA
.
Po
se
i
un
an imo ismo,
A
l
Y =
i
-l
(A)
E F
Y
C
F,
pe o
al
se
A
mini
mal
esul a
A =
A
(1 Y,
x
EY
.
( )
==
:5
( i)
.
,En
odo caso
P
y
C
F
l
Y
.
Si
A
EF
o
,
enemos
que
A
C
X-N
C Y,
luego
A
(1
Y=A
E
P
y
.
Si
B
E
F,
exis e
A
E
F
o
conA
C
B,
de
dondeA = A
11
Y
C
B
n
Y,

y
po
an o
B
1
YE
P
y
*
( i)
==1
(i)
.

Sea
AE F
o
.

Tenemos
A
h
Y
E
F
Y
,
pe o
siendo
A
minimal
y
F
Y
C
F,
debe
se
A=A(1Y,luego
A
E
P(Y)
.
P o osicibn
1
.2
.3 .-
Los
subespacios
densos
de
(X,F)
o man
un
álgeb a
de
Boole
isomo a
a
P(N)
.
demos ación
.
Launión
de
subespacios
es
un
subespacio,
po
se
F
il o
de
o den
.
Si
uno
de
los dos
es
denso,
la
unión
ambién
.
Po
o a
pa e,
la
in e sección
de
subespaciosdensos
es
un
subespacio
denso
.
Po
an o,
los
subespacios
densos o man
un
sub e ículo
R C
P(X)
cuyo
máximo
es
(X,F)
y
cuyo
mínimo
es
(X-N,FX_N)
.
De iniendo
:
R
-
.>
P(N)
po
la
ecuación
(Y)
= Y
1
N,
es
un
isomo ismo
de
e ículos,
u ilizando
la
condición
( )
de
la
P oposi
ción
1 .2 .2
.
Siendo
P(N)
unálgeb ade
Boole,
el
paso al
complemen a io
se
aslada
a R
como
sigue
:
si
Y
E
R, es
Y
=
(X-N)
U
N',
con
N'
C
N
;
su
complemen a io
en
R
es
YR=
(X-N)
U
(N-N')
=
X-N'
.
De
es e
modo
R
se
con ie e
en
un
álgeb a
de
Boole
isomo a
a
P(N)
-aunque
no
subálgeb a
de
P(X)-,
Lema
1 .2
.1.-
Sea
Fun
il o
en
X,
:
X
--
~>
X'
exhaus i a
.
En onces
(F)
es
un
il o
en
X',
y

(X', (F))
es
un
bi-
mo ismo
.
demos ación
.
Si
A,B
E
F,
A
!1
B

implica
(A)
(1
(B)

~,
Si B'
:D
(A),

AE
F,

en onces
-
'(B')
J
A,

-
'(B')
E
F,

y
po se
exhaus i a
B'
=
(
-1
(B'))
E
(F)
.
Po
an o,
(F) es
il o
.
Es
e iden e
que
£
es
mo ismo
.
Y
es
an imo ismopo que
pa a
cada
AEF
enemos
1( (A))
D
A
.
en
X
.
os
.
Sea
(X,F)
un
espacioelec o al,
R
una
elación
de
equi alencia
Se
designa
el
conjun o
cocien e
po X =
X/R,
ylaaplicación
de
paso
al
cocien e
po
T
:
X ---X
.
Po
el
Lema
1
.2
.1,
la
amilia
F =
TT(F)
es
un
il o
en
X
.
De inición
1.2
.4
.- El
espacio
elec o al
(X,F)
es el
espacio
cocien e
de
(X,F)
po
la
elación
de
equi alencia
R
.
La
de inición o maliza
la
idea
in ui i a
de
o máci6n
depag
El
paso
al
cocien e
TC
:
(M)
--->
(!
*
«
F)
es
un
bimo ismo
.
E'em

.
Sea
(X,F)
un
espacio
elec o al,
Y
C
X
.
Llama emos
eg
pacio
cocien e
po la
alianza
Y
al
espacio
X/Y
ob enido
como
cocien e
po
la
elación
de
equi alencia
RY
de inida
en
X
po
Designa emos
el
paso
al
cocien e
po
T y
,
con
y =
TCY(Y)
.
Po
se
TU
Y
un
bimo ismo,
el
ipo
de
la
coalición
1yJ
coincide
con
el
de
Y
.
Así,
si
Y
es
encedo a
X/Y
es
una
dic adu a
de
y
.
Si
Y
es
de
bip
queo,
y iene
e o
.
y
si
y
8610 si
x=y
6
x,y
E Y
Sea
aho a
(X,F)
un
espacio
elec o al,
y
sean
Y,Z
-
*C
X
.
Designg
mos
po
X/YZ
el
cocien e
doble (X/Y)/Z,
donde
Z=TUY
(Z),
Y
po
TYZ
el
bimo ismo
exhaus i o
desde
X
.
P onosici6n
1
.2.4
.- a)
Hay
un
isomo ismo
:
X/YZ
=>
X/ZY
al
que
T
ZY
= o
Tzyz
.
b)
Si
Y
1
Z
no es
acio,
en onces
X/YZ
=-~
X/YVZ
;
si Y
(1
Z=
0,

en onces
X/Y
V
Z
es el
cocien e
de
X/YZ
po
la
iden i ica
ci6ndey
=
TU
YZ
(Y)
con
z
=
T zy(Z)
.
demos aci6n
.
Como
esul ado
p e io,
si
enemos
la
si uación
X/
Y
donde
F-
es
un
bimo ismo
exhaus i o
cons an e
e i Y,
es
ácil
e
que
exis e
unúnico
bimo ismo
exhaus i o
£
:
X/Y -->
X'
al
que
o
T y =
F,
dado
po
([X])
a)
Aplicando
es a
p opiedad,

CZY
ac o iza
po
un
bimo ismo
exhaus i o
l
,
que
a
su
ez
ac o iza
po
o o
:
X/YZ
-->
X/ZY
.
Es e
úl imo
esul a
biyec i oy
e i ica
o
TT
YZ=
l o
1
1
y
=
b)
Unanue aaplicación
del
esul ado
p e io
pe mi e ac o i-
za
TC
YU
Z
,
p ime o
a X/Yy
luego
a
X/YZ,
dando
un
bimo ismo
exhaus i
o
g
:

X/YZ
-
.>
X/Y
V
Z
.

__
Si
Y
(l
Z
no es
acío,
g
es
biyec i o
.
Si
Yn
Z =
0,
g
no es
inyec i o
s61o
po que
g(Y)

=
g(
z)
.

con
y #
z
.
Po
an o,
aplicando
de
nue o
el
esul ado
p e io
se
ob iene
un
isomo ismo
EX/YZViy,z}
C-,
X/YUZ
.
Es e
enunciado
se
gene aliza
inmedia amen e,
p obando
que
el
cocien e
múl iple
X/Y
1y2
. .
.Y
de
X
po las
alianzas
Y
l
,Y
2
,. . . y
Y
no
dg
pende
del
o den
de
és as
po
(a),
yque
se
pueden
supone
disjun os
cg
da
pa Y
i
,Y
j
,
o
de lo
con a io
se
sus i uyen
ambos
po Y
i
U
Y
j
,
Ilo as
.
Dos
obse aciones
ace ca
de la
ca ego ía
F
--1
.
lá)
F
(l
Y
es
il o
en
Y
si
y
sólo si
A
(1
B
(1
Y
no es
acío
pa a
ningún
pa A,B
E F
o
.
Po
ejemplo
si
Y
(1
V
no
es
acío
.
Si F
n
Y
es
il o
en
Y, i
:
Y
--
:>
X
es
monomo ismo
en la
ca ego ía
E-1
.
i
es
bimo ismo
si
y
sólo
si
Y
es
denso
.
En
cie a
mane a,
los
pa es
(Y,F 1Y),cuando
F
l
Y
es
in,
o,
pod ían
$e
conside ados
los
subespacios
de
(X,F)
en
E7
1
.
21
1 )
Sean
(X,F),
(X',F')
espacios
elec o ales
con
X
n
X'
_~
.
La
amiliaF
®F'
=
{A
U
A'
A
E
F, A'
E
F'~
es
un
il o
en
X
U
X',
cuya base
es (F
®
F')
o-
F
o
®
Fó
.
(X
U
X'
F
(DF'
.)
es el
p oduc o
de
Shapley
o
unión
disjun a
de
los
espacioselec o ales
dados
.
Se
cumple
:
VF
®
F' -
VF
U
VF
"
NF
®
F'
-NF
u
NF'
.

Si
(X,F)
es
una
dic adu a
de
x,
en
el
p oduc o
de
Shapley
x
se
educe
a
elemen o
con
e o
.
El
p oduc o
de
Shapley
es
p ecisamen e
el
cop oduc o
en
la
ca ego íaE7
1
.
En
e ec o,
si
i,i'
son
las
inclusiones
espec i as
en
el
p oduc o
de
Shapley,
dados
dos
an imo ismos
(X,F)

i
(X",F"),
(X',F')

'
i
(X",F"),

exis e
unaúnicag
:
(X
U
X',F
®F')
-->
(X",F")
que
cie a
el
diag ama
po
los dos
lados,
dada
po
g(x)
=
(x)

si
x
E
X
g(x')
=
'(x')
si x'
E
X',
y
es
an imo ismopo que
g
7-1
(A")
=
1
(A")
U
( ')_l(A")

dA"
E
F"
.
11.2.-
INVARIANCIA
DEL
PODER
A
TRAVES
DELOS
AUTOBIORFISA OS
.
Los
au omo ismos
de
un
espacio
elec o alconse an
el
pode ,
como
caso
pa icula de
la
P oposición
I1
.1
.4
.a),
pe o
hay
un
ecip oco
pa cial
de
in e és
cuando
el
espacio
es
comple o
.
El
g upo
de
au omo -
iemosqueda
en onces
pe ec amen e
desc i o,
e idenciándose
la elación
en e
el
pode y
los
axiomas
de
espacio
elec o al
.
Añadimos
dos
con a-
ejemplos
de
que
la
comple i ud
no
puedesup imi se
.
De inición
11.2
.1
.-
Sea
(X,F)
un
espacio
elec o al
.
Un
au o-
mo ismo
de
(X,F)
es
un
isomo ismo
:
(X,F)
-~,(X,F)
.
Es
inmedia ocomp oba
que con
la
ope ación
de
composición
los
au omo ismos
de
(X,F)
o man
un
g upo
Au (X,F),
subg upo
del
g upo
si-
mé ico
S(X)
.
El
g upo
Au (X,F)
no
de e mina
al
il o
F
.
Po
ejemplo,
si
un
espacio
simé ico
es
aquél
en
que
Au (X,F)
=
S(X),
es
ácil
e
que
hay
espacios
simé icos
no
isomo os
en e
si
con
igual
sopo e
X
.
Todo
es-
pacio
simé ico
es
simple,
es deci ,
exis e
un
ca dinal
comán
a
odas
sus
coaliciones encedo asminimales
.
El
es udio
y la
clasi icación
de
los
espacios
simples,
en
pa icula
de
los
simé icos,
es
el
obje odel
capi ulo
siguien e
.
P onosici6n
11.2
.1 .-
El
índice
£S(X)
:Au (X,F)]
es
el
nííme o
il os
en
X
isomo os
aF
.
demos ación
.
A cada E
S(X) se
le
asocia
(F),
que
po
el
Lema
1
.2
.1
es
un
il o
en
X
isomo o
a
F
.
La
aplicación
s
. .
~
(F) es
e iden emen e
exhaus i a
en e
S(X)
y
el
conjun o
de
il os
en
X
iso
mo osa F
.
Además,
(F)
=
g(P)
equi ale
a gl
o
E
Au (X,F),
es deci ,
48
de

a
que
g
=
m6d
.
Au (X,F),po
lo
que
exis e
una
biyecci6n
en e
el
cp
cien e
S(X)/Au (X,F)
y
el
conjun o
de
il os
enX
isomo os
a
F
.
De inición
11 .2 .2 .-
La
elaci6n
de
sime ía
enX
es
x
R y
si
y
s61o si

xy
E
Au (X,F),
siendo
XY
la
asposici6n
de
x
po y
(con enimos
que
xx=
id)
.
Es
inmedia o
comp oba
que
R
es
una
elaci6n
de
equi alencia,
ya
que
xx
= id,
yx=
XY
,
y,
si
x,y,z
son
dos
a
dos
dis in os,
xz
=
yz
o
XY
o
yz
"
Las
clases
de
equi alencia
de
R
se án
las clases
de
sime ía
.
Pues o que
Au (X,F)
es
un
g upo
que
ope a
en X,
conside a emos
las
ó bi as
de
X
espec o
a
dicho
g upo
.
Pa a cada
a
E
X
su
6 bi a
es
O
x
= {y
'
E
X
/

3
E
Au (X,F),
y
=
(x)
}
.
Las
ó bi as
cons i uyen
una
pa ición
de
X,
siendo
cada
una
in a ian e
po
cada
au omo ismo
.
El
g upo
se
llama
ansi i ocuando
exis e
unaúnica
6 bi a,
0
= X
.
Po la
de inición
dada
an es, es
inmedia o
que
cada
6 bi a
es
eunión
de
clases
de
sime ía
.
En
pa icula , an o
A
como
n
son
a
la
ez
ó bi as
y
clases
de
sime ía
.
Dos
elemen os
x,y
E X
son
equi alen es
si
xRy,
es
deci ,
si
xy es
un
au omo ismo
.
En
cambio,
x,y son
ela i amen e
equi alen es
si
y
E
Ox
,
es
deci ,
si
exis ealgúnsu omo ismo
(no
necesa iamen e
la
asposici6n
XY
)
al
que
y
=
(x)
.
Tambi6n
son
in e cambiables,
pS
o
con
una
ans o mación
simul ánea
del
es o
(o
pa e)del
espacio
.
P oposición
II
.2.2
.-
El
pode
es
in a ian e
po
au omo ismos,
es deci ,
es
una
unción
cons an e
en
cada
6 bi a
.
demos ación
.
Caso
pa icula
de
la
P oposición
II
.1
.4
.a)
.
Co ola io
.
Si
Au (X,F)
es
ansi i o,
en
pa icula
si
(X,F)
es
simé ico,
se
e i ica
:
a) p
es
cons an e
en
X
b)
N =
0
c) o
bien
V =
X,
F
=
{X}
y
el
espacio
quedade e minado,
o
si
no
V
=
9(
y
odas
las
clases
de
sime ía
ienen
el
mismo
ca dinal
(son
unipun uales
si n
es p imo)
.
demos ación
.
a)
Po
se
el
g upo
ansi i o
exis e
una
única
ó bi a
0 = X,
donde
p
es
cons an e
po
la
p oposición
an e io
.
b)
Y po
se
N
una
posible
ó bi a
si
no es acío,
al
habe
una
soladebe
se
N=o
.
c)
Si
V
no
es
acío,
po
se
una
ó bi a
es
V
=
X, de
donde
el
il o
es
F
=
{XI
.
En
o o
caso,
conV
e emos
que dos clases
de
sime ía
ienen
el
mismo
ca dinal
.
Sean
C,C'
dos
clases
dis in as,
y
sean
x
E
C, x'
E
C'
.
Po la
ansi i idad
exis e
E
Au (X,F)
al
que
x'
=
(x)
.
Bas a á
e que
(C)
C
C',
pues o
que
el
mismo
a gumen o
pa a
_l
nos
da ía
C'
C
(C)
.
Si
y E
C,
la
igualdad
x,y,
= o
XY
o
1
,

siendo
Y'
=
(Y),
lle aa
que
a'Ry'
.
Po
descon ado,
si
n es
p imo, como no
puedehabe
una
sola
clase
de
sime ía
con
n
elemen os
po quese ia
V
= X,
ha
de
habe
n
clases
de
sime ía
odas
unipun uales
.
U iliza emos
en
la
p óxima
de inición
las
siguien es
no acio-
nes
:
pa a cada
x
E X,
Fx = {A
E
F
Ix
E
Al,

(Fo)x
={A 1 F
o
/x E
Al
.
De inición
11
.2.3
.-
La
elación
de
sus i ución
en
X
es
x
S
y
si
y
s61o si

XCY(px)
C
F
y
.
Se
e i ican
inmedia amen e
las
p opiedades
e lexi a
y an-
si i a
de
S,
p eo den
en
X
que
elaciona emos
en
seguida
con
R
.
Si
(X,F)
es
simple,
xSy
implica
xy(Fo)x
C
(F
0
)
y
,
mien as
que
el
ecip oco
es
álido
en
cualquie
espacio
.
P oposici6n
11 .2
.3.-
xRy
si y
s61o
si xSY,
YSx, es deci ,
R
es
la
elación
de
equi alencia
asociada
al
p eo den
S
.
demos ación
.
Bas a
obse a
que
xRy,
o sea,
XY
E
Au (X,F),
signi ica
exac amen e
que
Xy(Fx)
=
Fy
.
Resuj
. a
de ello
que
en
el
conjun ococien e
X
=
XIR
queda
in-
ducida
po
S
una
elación
de
o den
1,
de la que,
si
no es acía,
la
clase
N
( espec i amen e
V)
es
el
mínimo( esp
.
máximo)
.
U iliza emos
un
esul ado
gene al
de
la
eo ía
de
g upos
que
se
expone
a
con inuación
(Hall
[131)
.
Si G
C
S(X)
es án
de inidas
las
clases
de
sime ía
de
X
es-
pec o
a
G
po
el
p ocesoseguido
en la
De inición
11
.2
.2
.
Se
e i ica
que
cada
ó bi a
es
eunión
de
clases
de
sime ía
de
G
.
Po
o a
pa e,
si U
C
X, el
g upo
S(U)
puedeconside a se
sub_- upo
de
S(X)
median e
un
monomo ismo,
y
si
U,V
C
X
son
disjun os, ambién
el
p oduc o
di e-q
o
S(U)
x
S(V)
se
inyec a
en
S(X)
.
El
p óximo
lema,
pu amen e
écnico,
combinado
con
el
siguien-
e,
que
es ablece
una
ue e
conexión
en e
S
y
el
pode ,
pe mi i án
llega
al
esul ado
p incipal
de
es a
sección
.
Lema
11.2
.1 .-
Si
GC
S(%)
son
equi alen es
:
i) G
es á
gene ado
po
(sus)
asposiciones
ii)
cada
ó bi a
de
G
coincide
con
una
clase
de
sime ía
de
G
iii)
exis en
subconjun os
U1,U2,
.
.
.
.
U
de
R,
dosa
dos
disjun-
os,
ales
que
G =
S(U
1
)
x
S(U
2
)
x
...
x
S(U
)
.
demos ación
.
i)
==i>ii)
Sean
x,y
de
una
misma
ó bi a
.
Exis e
EG
al
que
y
=
(x)
.
Po
hipó esis
es
=
l o 2 o
...
o i
,
p oduc
o de
asposiciones
de
G,
de
donde
esul a
x R
i
(x),
i(x)
R
i_l i
(x),
.
.
.,

2 3
. .
. i (x)
R
1 2 3
. .
. i
(x)
=y
.
Po
ansi i idad,

es
lo
que son
de
la
mismaclase
.
ii)
==*
iii)
Sean
U1,U2@
. .
.,U
las
ó bi as
de
G,
que
po
hipó
esis
son
ambi6n
sus
clases
de
sime ía
.
Po
lo
p ime o
y
las
considg
acionesp e ias
al
lema,
es
G
C
S(U
1
)
x
S(U
2
)
x
...
x
S(U
) .
Po lo sg
gundo
y
aquellasconside aciones
alela
inclusión
ecip oca,
y
esul a
la
igualdad
.
iii)
===4 i)
Es
inmedia o
que
G,
po
se
p oduc o
de
g upos
si-
m6 icos,
es á gene ado
po sus
asposiciones
.
Lema
11.2.2
.- Si
XSy, YOx,
en onces
p(x)
<
P(Y)
.
damos aci6n
.
La
aplicación
C
»b-->
XY
o
Tes
una
pe mu ación
del
conjun o
de
o denaciones
de%
.
Po
se
xSy,
si
x
es
pi o e
de
s',
y
es
el
pi o e
de
xy
o
6',
po
an o
p(x)
É
p(y)
.
Po
se
yox,
exis e
A E (F
o
)
y
al
que
17
(A)
~
F,
po
lo
que
A
E
F
o
,
y
E
A,
x
~
A
.
De ello
esul a,
llamando
i
=
ca d(A),
que hay
(i-1)!(n-i)!
o denaciones
cuyo
pi o e
es y, la
an iimagen
de
las cuales
no
iene
pi o e
x,
de donde,
siendo
1
<
i<n,
esul a
52
xRy,
po
P oposición
11
.2
.4.-
Los
su omo ismos
de un
espacio
(X,F)
en
donde
S
es
o al
son
exac amen e
las
pe mu aciones
de
X
que
conse an
el
pode ,
es deci ,
Au (X,F)
=
E
S(X)
1
p( (x))
=
p(x),

dx
E
X}
.
Además,
si
X1,X2,
. .
.,Xk
son las
clases
de
sime ía
de
(X,F),
Au (X,F)
=
S(X
1
)
x
S(X
2
)
x
.
.
.
x
S(X
k
)
.
,
demos ación
.
Pues o
que
el
pode
es
in a ian e
po
losau o-
mo ismos
según
la
P oposición
11.2
.2,
bas a á
p oba
que
oda
pe mu-
ación
de
X
cue
conse e
el
pode
es
un
au omo is
-
i
de
(X,F)
.
Sea
una
al
pe mu icibn
.
Pa a'
cada
xE
X,
sea
y
=
(x)
.
Suponiendo
YXx,
po
se
S
o al
end íamos
ySx
o
bien
xSy,
excluyéndose
mu uamen e
.
Po
el
lema
an e io
llega íamos
a
con adicción
con
que
conse e
el
po-
de
.
Po
an o,
pa a
cada
x
E X
esul a
xR (x),
de
donde
ans o ma
cada
clase
de
sime ía
en
s1
misma
y,
po
ello,
E
Au (X,F)
.
En
segundo
luga ,
pues o
que
el
p oduc o
di ec o
de
los
g upos
simé icos
de
las
clases
dé
sime ía
es á
con enido
en
Au (X,F),
y
se
acaba
de
e
que
cada
E
Au (X,F)
descompone
en
p oduc o
de
pe mu a
ciones
de
dichas
clases,
queda
p obada
la
coincidencia
delos
g upos
.
Co ola io
1
.
Si
(X,F)
es
un
espacio
elec o alcon
S
o al,
a)
cada
ó bi a
de
Au (X,F)
es
una
clase
de
pa es
de
elemen os
equi alen es
sólo
b)
p(x)
=
p(y)
si
y
sólo
si
c)
los
alo es
pl
.P2'
.
.
.,pk
Au (X,F)
son
odos
dis in os
(lo que
d) el
núme o
de
il os
en
X
isomo os
na o io
Cn
l
~
n2'
. .
~
nk
,
donde
ni
=
ca d(X
i
),
i
=
1,2,
.
.
.,k
.
sime ía,
y
no
hay
ela i amen e
x
R y
del
pode
sob e
las
ó bi as
de
gene aliza
la
P oposición
11.1
.3)
a
F
es
el
núme ocombi-

demos ación
.
a)
Po la
p oposición
an e io
y
el
Lema
11
.2 .1
.
b)
p(x)
=
p(y)
implica
que x,y son
de la
misma
ó bi a,
o
sea
de
la
mismaclase
;
el
ecip oco
iene
de la
P oposición
11
.2.2
.
c)
Resul a
de
combina
los
pun os
a)
y
b)
.
d)
Resul ade
la
P oposición
11.2
.1
iendo
que
Au (X,F)
es
el
p oduc odi ec o
de
los
g upossimé icos
de
sus clases
de
sime ía
.
Co ola io
2
.
Supues a
S
o al, si
p
es
cons an e
o el
g upo
ansi i o
el
espacio
es
simé ico
.
demos ación
.
Po los
pun os
a),c)
del
co ola io
an e io
.
Eiem lo
1
.
Sea
X =
la,b,c,d,e, i,
Fel
il o
cuyo
ge men
es
F
o
=
S{a,b},
La,c,dJ,
~b,e,d},
{a,c,e, l
,}
.
En
el
espacio
(X,F)
la
el
.&
ci6n
Sl
no es o al, sino
que
iene
dada
po
el
diag ama
_

c

-
a
-~
d
!
=a
b
El
g upo
es
Au (X,F)
=
{idj,
de
o ma
que
coinciden
las
ó bi-
as con las
clases,
odas
unipun uales
.
Sin
emba go,
p(c)
= 0
,
1
=
p(e),
sin
se
equi alen es
:
ce
conse a
el
pode
sin
se
au omo ismo
.
E'em

2
.

Sea
X
=
1,2,
....
n1,
n>,5,

q
=
E(n/2)+1,
F
el
il
o
de
ge men
F
o
=

12,
...
.q+1},
. .
.,
in,l,
. .
.,q-1~l
.
Es e
es
un
l
espacio
simple
no
simé ico,
con
Au (X,F)
=D2n'
g upo
diéd ico
de
las
isome ías
de
un
polígono
egula den
lados,
po
con ene
el
"gi o"
(1,2,
. .
.,n)
y la
sime ía
e(i)
=
n-i+l
.
No
hay
asposiciones
.
Po
se
ansi i o
hay
una
sola
6 bi a,
.pe o
n
clases
de
sime ía
unipun uales
.
El
pode es
cons an e,
a
pesa
de lo
an e io
.
Na u almen e,
S
no es
o al
:
se
e i ica
solamen e
xSxpa a
cada
x
E
X
.
5
4
ESPACIOS
COMPLETOS
En
la
úl ima
secci6n
del
capi ulo
II
se
ha
es ablecido
que
el
pode
es
el
in a ian e
undamen al
del
g upo
de
au omo ismos
pa auna
clase
de
espacios
elec o ales
:
aquéllos
donde
el
p eo den
de
sus i ución
S
es
o al
.
Es os
espacios,
que
llama emos
comple os,
cons i uyen
el
obje o
del
p esen e
capí ulo
.
En
él,
median e
la
gene alización
de
las
elacio-
nes
de
sime ía
y
sus i ución
alos
subconjun os,
cons ui emos
un
co
cien e
o denado
que
pa a
dichos
espacios
esul a á
se
un
e ículo
dis-
ibu i o,
del
que
da emos
dos
e siones
numé icas
-el
de
los
indices
y
el
de
los
modelos-
des inadas
a
se los
ins umen os
esenciales
pa a
abo da
el
ema
de
la
clasi icación
de
los
espacios
simples
comple os
.
La
clasi icación
de
espacios,apa e
de
su
in e és
in ínseco,
iene
mo i adapo una
cues ión
impo an e
que
plan eamos
en
el
úl imo
capi ulo,
la
ealización
de
espacios
elec o ales
po
medio
de
conjun os
deciso ios
.
Dada
la
gene alidad
de
aquéllos,
una
p ime a
ap oaimaci6n
consis e
en
in es iga
los
espacios
simples
.
Y
pues o
quela
cues ión
queda
inmedia amen e
zanjada
pa a
los
espacios
no
comple os
el
pun o
in e esan e
es
jus amen e
el
de
la
comple i ud
.
Así,
la
p ime asecci6n
se
dedica á
a la
gene alización
deR
y
S,
yla
segunda
al
p oceso
de
asocia
a
cada
espaciocomple o
el
ci ado
e ículo,
es udiando
sus
p opiedades
.
En
la
e ce a
secci6n
clasi ica
emos
los
espacios
simples
comple os,
p og esando
desde
los
elemen ales
a
losmás
complejos,
es deci ,
con
mayo núme o
de
in a ian es
.
III
.1 .-
SIMETRIA
Y
SUSTITUCION
.
Sea
(X,F)
un
espacio
elec o al
.
En
el
capi ulo
II se
han
de i-
nido
la
sime ía
R
y
la
sus i ución
S,
e i icándose
que
R
es la
ela-
ci6n
de
equi alencia
asociada
al
p eo den
S
.
Ex ende emosaho a
R
y S
a
P(X)
conse ando
la
conexión
en e
ambas
elaciones
.
Y
la
elación
de
sime ía
se
ca ac e iza á
num6 ica-
men e
median e
los
indices,
que
pe mi en
después
es udia
el
e ículo
asociado
a
cada
espacio
donde
S
sea
o al
(espacios
comple os)
.
De inición
I1I
.1
.1
.-
La
elación
de
sime ía
en
P(X)
es
la
elación
de
equi alenciaengend ada
po
la
elación
siguien e
:
A
1
B

si y
sólo
si

3xRy
/
Xy
(A) =
B
;
es deci ,
A
B
si
y
s61o
si
A
1
C1
1

.
1
C
h=
B,
h
a bi a io
.
es de
equi alencia
po
se
-1
e lexi a
y
simé ica,
y
es
una
ex ensión
de
R a
P(X)
iden i icando
X
con sus
subconjun os
uni a ios
.
Si A
B,

AEF
( esp
.

A E F
o
)
implica
BCF
( esp
.

B
E F
o
) .
De inición
111
.1
.2
.-
La
elación
de
sus i ución
s
en
P(X)
es
la
elación
de
p eo den
engend ada
po
la
elación
siguien e
:
A - B
si
y
s61o
si
A
= 0
o
3xSy
/ x
E
A,
XY
(A)
C
B
;
es
deci ,
A
aBsi
y
s61o si
A
-¡>
C1
-'>
...
-->
C
h =
B,
h
a bi a io
.
s
es
unp eo den
po se
- >
e lexi a,
y
ex iende
S
a
P(X)
.
Si
A s
B,
AEF
implica
B
E
F
.
Tan o
AC
B
como
A
1
B
implican
A->B
.
Además,
si
A
a B,
los
c
lo

,Ch
, .
l
pueden
elegi se
con
igual
ca dinal
que
A
.
Pa a
ello
bas a
e
que
si
A
-+>
B
exis e
B'
CB
al
queA
-~
B',

ca d(A)
=
ca d(B'),

Y,
en
e ec o,
si
A= 0
bas a oma
B'
=0
;
si
no,
exis iendo
xSy
al
que
x
E
A,
(A)
C
B,
se
pone
B'
=
(A)
.
5
6
Sea
p
la
unción
de
pode
de
Shapley
en
X,
y g
:
X
->
N
dada
po
g(x)
=
p(x)
+ E,
siendo
E
>0
cons an e
.
Es a
unción
sa is ace
:
g(x)
>0
pa a
cada
x E
X
;
g(x)
=
g(y)
si
xRy
;
y
según
el
Lema
11
.2 .2,
g(x)
<
g(y)
si
xSy
pe o
yIx
.
(En
gene al,
si
S
es un
p eo den
en
un
X
ini o
yR
la
equi alencia
asociada,
siemp eexis en
ales
. unciones
g)
.
Ex endiendo
g a
P(X)
po
g(A)
=
y-
g(x) pa a
cada
A
C
X,
queda
x
EA
g(A)
=
g(B) si
A
B,
g(A)
<
g(B)
si
A
CB,
y
g(A)
L
g(B)
si
A
s
B
.
P onosici6n
III
.1
.1.-
es la
elación
de
equi alencia
asociada
al
p eo den
s,
es deci ,
A
B
si
y
s61o si
A
sB,Bs
A
.
demos ación
.
Veamos
que
A
-i
B
pe o
A7¿
B
implica
g(A)
<
g(B)
.
Sea
xSy,
x
E
A
;
XY
(A)
C
B
.
Si
y C
A,
en onces
A
C
B,
A ~
B,
de
donde
g(A)
<
g(B)
.
Si y
~
A
pe o
yOx, es
g(A)
<
g(
XY
(A»
<
g(B)
.
Y
si
y
1
A
pe o ySx,
esul a
xy
(A)
~
B,
y
g
(A)
=
g(
XY(A))
<
g(B)
.
Sea
A B
:
la
cadena
A
1
C
l
1
. .
.-L
C
h =
B
puede
esc ibi se
A

Cl
-i
,,
.
--4-
Ch
=
B
-~,
C
h-l
-
.-, . . .
-->
Cl
->
A,
luego
A
s
B,
B
s A
.
Recíp ocamen e,
si
A
s
B, B s A,
empalmamos
las
dos
cadenas
:
A
--s
Cl
-->
,..
-->
C
h= B -aD
l
.-*>
...
-
.
Dk = A
;

si
alguna
-+
no
uese
l
ob end íamos
g(A)
<
g(A),
de
modo
que
A
B
.
(También
hemos
p obado
que
A
1
B
si
y
s61o
si
A
-->
B, B
.->
A)
.
La
o denación
inducida
po
s
en
el
cocien e
P
X
= P(X)/
se
designa á
po
!É,
como
hicimos
con
la
dada
po
S
en
'
¡ =
X/R
.
Pues o
que
A
B
supone
que
ca d(A)
=
ca d(B),
habla emos
li-
b emen e
de
ca d(1)
pa a
oda
clase
A
E
P
X
.
Tomando
P
j (X)
= {AE
P(X)
/
ca d(A)
=
j},
j
=
0,1,
. .
.,n,
los
cocien es
P
j
X
=
P
j
(X)/
cons i uyen
una
pa ición
de
P
X
.
(0,
.
.
.,0)
=
in (A)
y
(1

,1

,k,
. .
.,k)
=
sup(A)
ninzán
o o
elemen-
o
iene
complemen o,
po
lo
queA
no
puede
se
e ículo
complemen ado
.
Finalmen e,
de
las
ó mulas
de
sup emo
e
ín imo
esul a
inme-
dia amen e
que
cada
Aj
es
un
e ículo,
sub e ículo
de
A
.
Todases as
p opiedades
se
aducen
en
seguida
a
R77
si el
espacio
(X,F)
es
comple o,
ía
los
isomo ismosp eceden es
.
Co ola io
.
Si
(X,F)
es
un
espacio
elec o alcomple o,
(
_
P(77,
es
un
e ículo,
dis ibu i o,
comple o
e
isome o
a
un
sub e ículo
de
la
di isibilidad
en
los
na u ales,
pe o
no
es
complemen ado
si n
>1
.
Las
es uc u as
(
n,s)
y
(A,!!-)
co espondien es
a
los
ca di
nalesn
l
, . .
.,n
k
de
las
clases
de
sime ía
de
(X,F)
son
e ículos
isomo -
os
a
Cada
J
P
.
X
es
un
sub e ículo
de
P X
,
que
en
los
isomo ismos
co esponde
a
los
sub e ículos
n
.
y
A,
de
A
y A
espec i amen e
.
JJ
demos ación
.
Bas a
ene
en
cuen a
las
es
p oposiciones
an-
e io es
y el
hecho
de
que
si
dos
conjun oso denados
son
isomo os
co-
mo
ales
y uno
de
ellos
es
e ículo,
en onces
el o o
ambién
lo
es,
y
ambos
e ículos
son
isomo os
(Szász
[471
,
eo ema
9)
.
De inición
111
.2.2
.-
Llama emos
e ículo
asociado
al
espacio
elec o al
comple o
(X,F)
al
e ículo
(P
X
,
i!-)
oa
sus
modelos
isomo os
(A
s) o
e ículo
de
los
indices,
y
(A,!!)
e ículo
de
los
modelos
de
coaliciones
.
A
espacios
isomo osco esponden
e ículos
isomo os,
pe o
el
ecíp oco
es
also
.
Po
ejemplo,
pa aX =
{a,b,c1
do adodel il o
de
baseF
o
=
{ía,b},{a,c}},
y
X'
=
la',b',c'}
con
el
de
base
Fó
=
{ a'},
.

Te mina emos
es a
sección
con
un
ejemplo
de
espacio
elec o al
comple o,que
ilus a á
la
o mación
del
e ículo
A
.y
el
nomb e
que
se
le ha
dado,
el de
los
"modelos
de
coaliciones"
.
Sea
R =
{a,b,c,d,e},
do adodel il o
F
cuya
base
Fo
cons a
de
a,bJ
y
{a,c}
.
Las
clases
de
sime ía
son
7C
1 =
{d,e},
%
2
=
b,c},
%
3
=
{al,
y
la
o denación
de
%
es
N =
Xl
c
R
2
c
x3
= V
.
La igu a
siguien e
mues a
un
esquema
del
e ículo
A,
en el
que
se
des aca
la
pa ición
en
sub e ículos
IAo,Al,
...
.AJ
.
11223
Esquema
.-
Se
han
sup imido
los
ce os iniciales,
así
como
los
pa én esis
y
comas,
en
a as
de
una
mayo
cla idad
.
Cada
sub e ículo
A
i
se
o macombinando
de
odas
lasmane as
posibles
i
símboloselegidos
en es e
ejemplo
en e
1,1,2,2,3
.
Llamamosa A
el
e ículo
de
los
modelos
de
coaliciones
po que
cualquie
coalición,
es
deci , odo
subconjun o
de
X,
queda
ep esen a-
da
po
uno
de
ales
modelos,
a endiendo
a
sus
indices
.
Se
u iliza
el
mismo
símbolo
numé ico
pa a
ep esen a elemen os
R- elacionados,
Cada
A C X
queda ep esen ado
po
un
modelo
de
A
i
,
i
=
ca d(A),
y
A,B
[
X
co esponden
a
un
mismo
modelo
si
y
s61o
si
A
B
.
Se
sob een iende
que
el
sen ido
c ecien e
de
la
o denación
de
A
eco e
los
segmen os
del
diag ama
de
izquie da
a
de echa
y
de
abajo
a iba
.
Es a
o denación
del
e ículo
de
modelos
co esponde
ala
o de-
nación
a
de
P(X)
.
F
o
pasaa
se
un
solo
modelo,
el 23,
y F
se
con ie e
en
odos
los
modelos
si uados
po encimadel
23
(inclusi e)
.
Las
coaliciones
pe dedo as
es án
ep esen adas
po
odos
los
modelos
del 112
haciaaba
jo,
y
las
de
bloqueo
po
los
seis
modelos
in e medios
es an es
.
III
.3.-
CLASIFICACION
DE
ESPACIOSSIMPLES
COMPLETOS
.
Da emos
aquí
los
in a ian esnumé icos
undamen ales
decada
espacio,jun o
con los
co espondien es eo emas
de
exis encia
y
de
clasi icación
(unicidad
sal o
isomo ismos)
.
In oduci emos
alguna
nomencla u a
adicional
pa a
ci a
con
comodidad
los
dis in os
ipos
de
espacios
.
Dado
un
espacio
(X,F)
designa emos
po
N,X
1
,X
2
,

.,X
k,V
sus
clases
de
sime ía
-obse ando
que
k
no
iene
aho a
exac amen e
el
mis-
mo
signi icado
que
en la
sección
an e io -
.
n y
n,,n
l
,n
2
9. .
.,n
k
,n
V
designa án
los
ca dinales
de
X
y de
las
mencionadasclases
de
sime ía
.
De inición
111
-3.1
.-
Un
espacio
elec o al
(X,F)
es
simple
si
odas
las
CE
F
o
ienen
un
mismo
ca dinal
p
.
Es udia emds
p ime o
los
espacios
simples
más
elemen ales
.
De inición
111
-3
.2
.-
Un
espacio
(X,F)
es
a ómico
si
F
o
cons a
de
una
sola
coalición
.
En
o o caso
di emos
que
el
espacio
es
molecula
.
La
es uc u a
de
los
espacios
a ómicos
queda
desc i a
po
el
Teo ema
III
.3
.1 .- a)
(X,F)
es
a ómico
si
y
s61o
si
k =
0
;
b) odo
espacio
a ómico
es
simple,
comple o
y
con
V

0
;
c)
dos
espacios
a ómicos
(X,F),
(X',F')
son
isomo os
si
y
sólo
si n = n',
p =
p'
(n
y p
se án
los
in a ian es
del
espacio)
;
d)
dados
n,p
ales
que
0<p
6n,
exis e
un
espacio
a ómico
con
in a ian es
n,p
.
demos ación
.
a) Si
(X,F)
es
a ómico,
sea
F
o =
C}
.
En onces
V =
C,
N =
X-C,
k =
0
.
Recíp ocamen e,
si
k =
0,
solamen e
exis en
las
clases
N,
que
puede
se
acía,
y
V,
que
no
puede
se lo
.
Si
C
EF
o
debe
se
C = V,
po
an o
el
espacio
es
a ómico
.
b)
Ob iamen e,
odo
espacioa ómico
es
simple
;
po
se
k =
0
es
comple o
y
con
V
no
acío
;
además,
nV= p
.
c)
Si
exis e
un
isomo ismo
:
X
--~
X',
enemos
n
=
n',
y
al
se
(V)
=
V,
p=
p'
.
Recíp ocamen e,
si
n
=
n',
p
=
p',
bas a
oma
una
biyección
:
X
-->
X'
al
que
(V)
=
V,
y
se á
un
isomo ismo
.
d)

Sea
X =
1,2,
. .
.,ni,

con
F
o
=

{C},

C
=
{
1,2,
. .
.,p}
.

Es e
espacio
(X,F)
es
a ómico
con
in a ian es
n,p
.
En
pa icula ,
pa a
p =
1
esul a
el
espacio
dic a o ial,
mien as
que
pa ap =n
esul a
el
espacio
de
unanimidad
.
De inición
111
.3
.3.-
Un
espacio
(X,F)
es
simé ico
si
Fo
es
un
cie o
P
(X),
donde
debe
se
p
>
n/2
.
p
El
ánico
espacio
simé ico
a ómico
es
el
de
unanimidad
.
Llama emos
asimé icos
a
los
espacios
no
simé icos
.
La
es uc u a
de
los
espacios
simé icos
se
expone
en
el
Teo ema
111
.3
.2
.-
a)
(X,F)
es
simé ico
si
y
sólo si su
g upo
de
au omo ismos
es S(X)
;
b)
odo
espacio
simé ico
es
simple,
comple o,con
N
=
y
(sal o
el de
unanimidad)
molecula ,
conV
= 0, k
=
1
;
c)
dos
espacios
simé icos
(X,F),
(X',F')
son
isomo os
si
y
sólo
si
n
=
n',
p =
p'
(ny
p
se án
los
in a ian es
del
espacio)
;
d)
dados
n,
.p
ales
que n/2
< p
L-
n,
exis e
un
espacio
(X,F)
simé ico
con
dichos
in a ian es
.
demos ación
.
a)
Si
(X,F)
es
simé ico,
sea
F
o
= PP
(X)
.
Pa a
cada
6 E
S(X)
se
e i ica
a-
PP
(X)
=
PP
(X),
luego
E
Au (X,F)
.
En
cuan o
al
ecíp oco,
si
Au (X,F)
=
S(X),
sea
C E
P
o
,
p =
ca d(C)
.
Al
aplica
a
C
odas
las
6
E
S(X)
esul a
P
P
(X)
C
Fo
;
análogo
azonamien o
y lamini-
malidad
de
las
coaliciones
de
Fo
p ueban
que
no
exis en
C'
E
Fo
ales
que
ca d(C')
~
p,
po
lo
que
F
o
=
PP(X)
.
b)
Ob iamen e
odo
espacio
simé ico
es
simple,
y
comple o
po -
que
X = X/R
cons a
solamen e
de
una
clase
;
po
lo
mismo
N=0
;
si la
clase ue a
V
es a íamos
en
el
caso
a ómico
de
espacio
de
unanimidad
;
po
an o,
si
el
espacio
es
molecula
esul a
V =
0,
k =
1
.
c) Si
exis e
un
isomo ismo
:
X
--->
X',
enemos
n =
n',
y
si
C
E F
o
,
(C)
E
Fó,
po
an o
p =
p'
.
Recíp ocamen e,
si
n =
n',
p =
p',
cualquie biyecci6n
:
X
-
.+ X'
es
un
isomo ismo
.
d)
Sea
X =
[1,2#
. .
.,ni,lcon
F
o =
P
P
(X)
;
la
condición
p >
n/2
asegu a
la
e i icación
del
axioma
A
0
.2
de
base
de
il o,
.luego
(X,F)
es
un
espacio
simé ico
con
in a ian es
n,p
.
En
pa icula ,
pa a
el
alo
mínimo
.p
=
E(n/2)+1
ob enemos
el
espacio
elec o al
de
mayo ía
simple,
y
el
máximo
p=n
nos
da
el
de
unanimidad
.
Los
espaciossimples
no
comple os
son
molecula es,
asimé icos
y
con
k
-1
2,
y
no
se ánes udiados
.
De
los
es an es
espacios
simples,
que son
comple os,
molecula es
y
asimé icos,
sepa a emos
p ime amen e
los
pseudosimé icos,
que
ienencie a
simili ud
con los
simé icos
.
D
e inición
111
.3.4.-
Un
espacio
(X,F)
es
pseudosim6 ico
si
k=1,
NUV~0
.
Su
es uc u a
se
expone
en el
siguien e
eo ema
.

Teo ema
111
.3.3.-
a)
Todo
espaciopseudosim6 ico
es
simple,
comple o,
molecula
y
asimé ico
;
b)
dos
espacios
pseudosim6 icos
(X,F),
(X',F')
son
isomo os
si
y
s61o
si n =
n',
p
=
p',
nV=n
9
,
nl
=
nl
(n,
p,
nV,
nl
se án
los
in a ian es
del
espacio
;
nN =
n-nl-ny
es
supe luo)
;
c)
dados
n,
p,
nV,
nl
que
sa is agan
nV+n
l
1
:
n, 0 <
n
l
<
n,
nV < p <
n
l
+n
V
,
así
como
p>n
1
/2
si
nV=
0,
exis e
un
espacio
pseudo-
sim6 ico
(X,F)
que
iene
po
in a ian es
los
núme os
dados
.
demos ación
.
a)
Sea
C
E F
o
,
ca d(Cn
x
i
)
= p-n
V
.

Si
exis ie a
C'
E F
o
al que
ca d(C'(N
X
l
)
~ p-n
,
aplicando
una
adecuada
pe mu ación
T
E
S(X
1
)
C
Au (X,F)
se
ob end ía
una
elación
de
inclusión
en e
C
y
0
-
(C'),
absu da
al
se

0-(C')
EF
o
.
Así que
ca d(C)
=p
pa a oda
CEF
o
,
y
el
espacio
es
simple
.
Es
comple o
y
molecula
po se
k
= 1,
así
como
asimé ico
po
se
N
U
V
no
acío
.
b) Si
exis e
un
isomo ismo
:
X
-->
X',
enemos
n
=n'
.
Po
se
£(V)
= V',
esul a
nV=
n~,
y
de (N)
=
N'
se
ob iene
(X
1
)
=
X1
de
donde
n
l
=
nl
.
Po
úl imo,
si
CE
F
o
enemos
(C}
E
Fó,
luego
p =
p'
.
Recíp ocamen e,
una
biyecci6n
:
X
->
X'
al que
(V)
=
V',
(X
l
)
=
Xl
de ine
un
isomo ismo
en e
los dos
espacios
.
c)
Sea
X =
{1,2,
.
.
.,n},
y
pongamos
V
=
{1,2
9....
nV
},

así
como
X1
=
{
nV+1,nV+2,
. .
.,nV+nl},
N
=
X
.
.V-X
l
.
Conside emos
ambi6n
la
amilia
Fo
= {CCX /
ca d(C)
.
= p,
V C
C,
C-V
CX
l
}
.
La
p ime a
condición
im
pues a
a los
da os
se
u iliza
pa apode
o ma
X
.
Dela
cua a
esul a
el
axioma
A
o
.2
de
base
de
il o,
y A
o .l
sale
de
se
de
ca dinal
p
oda
C
E F
o
.
Así que
(X,F)
es
un
espacio
elec o al
simple
.
De
la
segunda
con-
dici6n
sale
que
Xl
y
N
UY
no
son
acíos,
y
de la
e ce a
que
no
coinci-
den
.
Así,
(X,F)
es
pseudosim6 ico
y de
in a ian es
n, p,
nV y n
l
.
7
0
Se
incluye
aho a
el
siguien e
esquema
pa a
da una isión
glo-
bal
de
los
espacios
simples,
señalando
los
ipos
ya
es udiados
y los
pendien es
de
esolución
:
pa a
és os
se á
necesa io
conside a
el
e
ículo
asociado
.
En
es e
cuad o
los
espacios
de
unanimidad
se
conside-
an
a ómicos,
no
simé icos
.
k=0,
a ómicos
simples
)

1
N
U
V
=
0,
simé icos
k=1
)
l
N
U
V
~
0,
pseudosimé icos
k!2
F
ideal
dual
comple os
(
-
F
-
no
ideal
dual
no
comple os
Los
espacios
pendien es
son los molecula es,
k 1
2,
comple os
.
Ladis inción
que
se
es ablece
en
ellos
se
debe
a
F,
que
es
laimagen
del
il o
F
a
a és
del
paso
al
cocien e
de
P(R)
a
P R
.
Comenza emos
el
es udio
de
es os
espacios
es ableciendo
un
pa
de
esul adosgene ales
auxilia es
.
Sea
(x,F)
un
espacio
elec o al
com-
ple o,
(P
R
,
~-
)
el
e ículoasociado
.
Designa emos
po
F
( esp
.
F
o
)
la
imagen
del
il o
F
( esp
.
de
la
baseF
o
)
al
pasa
de
P(R)
a
P(%
.
Lema
111
.3
.1 .- a)
*
¡C-
F
si
y
sélo si
31C7
con
"í
É=
1,
b)
F
es
un
il o
de
o den,
y sus
minimales
son
losdeF
o
;
d)

si (%, F)
es
simple,

en onces
F
o
=
F l
Pp
7C
.
demos ación
.
a)
Po
su
análoga
en
P(%) pa a
FyF
o
,
po que
B
C
A implica
Bs
A,
y B
s A,
B
E
F
implican
A E F
.
b)
esul a
de
a),
y
c)
de
su
análoga
en
P(X)
pa aFyF
o
,
Lema
111
.3.2
.-
Sea
(X,F)
simple
comple o
.
Son
equi alen es
:
i)
F
ienemínimo
;
ii)
F
o
ienemínimo
;
iii)
Fo
es
un
ideal
dual
del
e ículo
P
p
X
;
i )
F
es
un
ideal
dual
del
e ículo
P X
.
Y
en onces
F y
Fo
son
ideales
p incipales
gene ados
po
su
mínimocomún
.
demos ación
.
i)
equi ale
a ii)
po
la
pa e
b)
del
lema
p e io
.
ii)
implica
iii)
i ialmen e
.
iii)
implica
i )
po
la
pa e
a)
del
Lema
111
.3 .1
.
i )
implica
i)
po que
la
exis encia
de
dos
minimales
en
F
a
con a
la
p opiedad
del
ideal
dual
F
de
se
ce ado
pa ala
in e sección
.
El
es o
del
enunciado
es
inmedia o
.
Conside a emos
en
p ime
luga
los
espacios
simples
molecula es
con
k A
2
comple os
en
los
cuales
F
sea
ideal dual,
designando
po
11
el
mínimo
deF y F
o
cuya
exis encia
asegu a
el
lema
an e io
.
Es ablece emos
es
esul ados
:
condiciones
que
sa is acen
los
in a ian es
de
ales
espacios,
eo ema
de
exis encia
de
espacios
dados
sus
in a ian es
y
eo ema
de
clasi icación
po
medio
de
los
mismos
.
Sea
(X,F)
uno
de
ales
espacios
y
conse emos
las
no aciones
expues as
al
p incipio
de la
sección
:
N,X1,X2,
. .
.,Xk,V
se án
las clases
de
sime ía
(aunque
N
y/o
V
pueden
se
acías)
;
además,
n
=
ca d(X),
y
el
ec o
nR=
(nN,n1,n29
. .
.,nk,nV)
p
se á
el
ca dinal
cons an e
en
Fo
.
72
Del
mínimo
M
EFo=F
(1
Pp X
C P
X
,
conside a emos
sus
índices
así
como
su
modelo
T(h)
=
z
= (Cshl h
2
9
. .
.sh
k
,n
V
)
Enp
C
A,
nosda á
el
ca dinal
de
cada
clase
.
=
(C
.. .
.ICoz
n-p+l
o..
.oz
n
)
E
A
p
C A
.
Po se
p=h
l
+h
2
+
. .
.+h
k+n
,
n = nN
+n
l
+n
2
+
. .
.+n
k+n0
,
no
se án
conside ados
in a ian es
básicos
ni
p
ni
n
N
.
La
siguien e
p oposición
exp esa
las
condiciones
que
e i ican
los
in a ian es
básicos
.
No
han
sido
expues as
sus
análogas
pa alos
an e io es ipos
de
espacios
po que
las
condiciones
a
quees aban
suje
os sus
in a ian es,
aunque
sí
se
han
mencionado,
e an
e iden es
.
El
Teo ema
111
.3.4,
po
su pa e,
análogo
a
los
enunciados
pa-
a
los
an e io es
ipos
de
espacios,
comple a
el
es udio
de
los
que
aho a
es udiamos,
incluyendo
la
clasi icación
po
medio
de
los
in a ian
es
desc i os
y
la
exis encia
de
espacios
con
in a ian esdados
.
P onosicibn
111
.3 .1
.-
Los
núme os
n
;
n
l
,
. .
.,n
k9
n
;
h
l
Y..
.,h
k
1
asociados
al
espacio
en
la
o ma
expues a
an e io men e
e i ican
:
1)
0
11
n
<
n
;
2)
n
l
+n
2+
. .
.+n
k+n
6n
;
3) 0<
h
i < ni
,
i
=
1,2,

k
;
4)

n = 0

implica

Z
(h)
=
~E
(n
R
)
(

es
el
ope ado
desc i o
al
p incipio
de
la
sección
111
.2)
.
demos ación
.
1)
y
2)
son
ob ios,
y se
incluyen
pa aquelas
condiciones
expues as
sean
ambién
su icien es
.
La
demos ación
del
pun o
3)
cons a
de
a ios
pasos
.
a) hl > 0
:
Elijamos
x
E
3l,
y
ambién
C
E
Po
conx E
C
;
si
el
modelo
de
C es
Vky(C)
_
(a,,
. .
.,an)
end emos
al
=
.
. .
= a
n
_p
=
0,
a
n-p+1
=1
;
y po
se
T

C,
esul a
z
n-p+1
=
1,
de
dondeh
l > 0
.
b)
hk < nk
:
si
uese
h
k
= nk
,
pa a
cada
C E
P
o
deduci íamos,
de
¡1
7
1
C,
que
el
k-ésimo
indice
de
C
es
nk,
lo
que
lle a
a
Xk C
C,
y
al
absu do
X
k
C
.
del
segundo
ipo,
llamémosle
h
.,
de
las
condiciones
ZJo¿)
,
Z
.(h
.),
J
y-1-l(°C)
:Di

Zi-l
(h
i
),
y
de

b¿i-l
-1
n
i-1
,

esul a

~
i
(oc)

>

2
:
i
(h
j
),
po
lo
que
T( XY
17A)
ambién
es
supe io
a
h
j
,
y po
an o
(A)
EP
.
8) Si
ue a
n
V
= 0
y
u ié amos

E
h
J
.)
+

Z(h
k
)
6

~(n
.)
pa a
cie opa
j,
9
l,
conside emos
h'
= n
R
-
h
j
en
n
.
Si Mi
C X
es
un ep e-
sen an e
del
minimal
de
ec o
h
j
,
.la
de inición
de
h'
indica
que
és e
es
el
ec o
de
indices
del
complemen a io
M'
= X
-
M
j
,
y
pa a
p oba
que
M'
es
una
coalición encedo a
-absu do
al
que
que emosllega -
bas a
obse a
que
Z(h')
=
Z(n
R
)
-
J(h
j
)
-1
Z(h¡~)
.
Teo ema
111
.3
.5 .- a)
Dos
espacios
(X,P),
(X',P')
del
ipo con-
side ado
son
isomo os
si
y
s61o
si
n =
n',
nR
=
q,
H =
H'
(sal o
el
o den
de
las ilas)
:
los
in a ian es
del
espacio
son
n,
nR y H
;
b)
Dados
n, n
R
,
H
suje os
a
las
condiciones
0),1),
.
.
. .
8)
de la
P oposición
111,3
.2,
exis e
un
espacio
del
ipo
conside ado
(simple,
molecula ,
k
-'
2,
comple o,
donde
P
no es
ideal dual)
cuyos
in a ian es
son
n,
nR y H
.
demos ación
.
a)
Si
exis e
un
isomo ismo
:
X
--->
X'
enemos
n
=
n',
ycomo
en el
Teo ema
111
.3 .4,
nR =
nR,
Sean
aho a
M
1
,..
.,M
los
minimales
de
P,
y Mi

.
.,M
ú los
minimales
de
P'
.

Al
conse a
y
_l
la
elación
S
ambién
conse an
s,
po
an o
ans o man
minimales
en
minimales,
=
u,
y,
sal o
o den
de
las
ilas,
H =
H'
.
Recíp ocamen e,
si
n =
n',
n
R = ni,
H =
H'
(sal o
o den),
bas a oma
una
aplicación
biyec i a
:
X
-->
X'
que
cumpla
(N)
=
I'7',
(X
i
)
=
Xi,
i =
l,
. .
.
,k,
(V)
=
V
.
Pues o
que
y
_l
conse an
los
índices
ans o man
minimales
en
minimales,
po
an o
son
mo ismos
y
es
isomo ismo
.
b)
Dados
n,
nR yH
conside emos
X
=
{1,2,
. .
.,n},
y
designemos
80

po N,X
l
,X
2
,-
,X
k
,V
los
subconjun os
deX
o mados
espec i amen e
po
n,,n
l ,n
29
...1
nk
,n
V
elemen os
elegidos
en
es e
o den
siguiendo
la
se ie
na u al
de
los
elemen os
de
X
.

Pa a
cada
AC
X,
ac
=
(

,
d
l
,

..,
~,
cIQ
ú
end á
el
mismosigni icado
que
en la
pa e
b)
del
Teo ema
111
.3.4
.
De inimos
F
=
A
C
X /

2(oc)
:~i
Z(h
j )
pa aalgún
j1
.
.
P oba emosque
(X,F)
es
un
espacio
elec o al
del
ipo
p opues o
que
ienelos
in a ian-
ea
dados
.
En
p ime
luga ,
F
sa is ace
losaxiomas
de
il o
.
3i
A,B
EP,
se
co an
:
si
V
no es
acío,
po que
VC
A
pa a
cada
A
E
F
;
si
no
hay
e-
os,
po que
de
A
(1B
=
0
llega íamos,
como
en
el
eo ema
an e io ,
a una
con adicción,
en
es e caso
con
la
condición
8) de la
P op
.
111
.3.2
.
Si
A E
F,
A
C
B,
en onces
B
E
F,
como
en
el
Teo ema
1811
.3.4
.
Sea
p el
núme o
dado
po la
condición
3)
de la
P op
.
111
.3.2
.
Po
un
camino
análogo
al
del
eo emaan e io
se
p ueba
que
(X,F)
es
un
espacio
simple
de
ca dinal
cons an e
p
.
siguien e
pun o
es
p oba queN
es
el
conjun o
de
elemen os
nulos,
V
el
de
los
e os,
y
Xl,X2#"'
,Xk las
demásclases
de
sime ía,
así
como
es ablece
la
cadena
X
l
<
-
X
2<
. . .
< X
k
,
lo
que
p oba á
que
el
espacio
es
comple o
;
como
k
:1
2
po
hipó esis
(de
hecho
k
~l
3),
esul a
que
el
espacio
es
molecula
y
que sus
in a ian es
n y nR
son
los
dados
.
Como
en
el
eo ema
an e io ,
es
ob io
que los
elemen os
de
N
son
nulos
y
los
de
V
ienen
e o
.

Sea
x
4
N
V
V
:
la
condición
5)
de
los
da os
pe mi e
elegi
AE
F
o
con
x E
A,
y
ambién
B
E
Fo
con
x
1
B,
po
lo
que
x
no es
nulo
ni
iene
e o
.
Tampoco
o ece
no edad
la
p ueba
de
que
si
x,y
E
X
.
es xRY, ni la de
que
sixE
X
i
,
yER
i+l
,
es
xSy
.
Sí
de alla-
emos
la
comp obación
de
que
yox
:
po
7)
exis e
unA
=
M,
al que
y E
M
i
,
x
4
T4
j
.

El
ec o
de
índices
de
XY(M
j
)
es
el
siguien e
:
J
El
h' =
(
0
,hjl
,..
.,h
ji
+1,h
ji+1
-1
. .
. h
jkxn
V
).
Y
po se

2(h')<

2(hj)x
la
condición
6)
impide
cualquie
o a
J(hR)
6
Z(h'),
po
lo
an o
XY(M
j
)

F,
es deci ,
yoX
.
Po
úl imo,
la
de inición
de
F
asegu a
que
F
no es
un
ideal
dual sino
que
iene
minimales,cuyos
ec o es
de
índices
son
p ecisa-
men e
las
ilas
de
la
ma iz
H,
que e a
el
e ce in a ian e
dado
.
Hemos
esquema izado
solamen e
la
demos ación
de
es e
eo ema,
po que
las
ideasesenciales
con enidas
en
la
misma
yahan
sido
expues-
as
con
.
de alle
en
la
del
Teo ema
111
.3 .4
.
E'em

,
Tomemos
como
in a ian es
n = 10,
nR =
(0,2,4,3x1),
H =

01
3
2
1l
.
Resul a,pues,
k =
3, =
2,
n
V
=
1,
n11
=
0,
y
se
10
21
311
comp ueban
inmedia amen e
las
condiciones
de la
P op
.
111
.3
.2
.
Tenemos
:
z(H)=
(7
7763
1
)
,
Z(n
R
)
=
(10,10,8,4,1),
p=
7
.
7541
Tomando
como
sopo e
X = a,b,c,d
.e,
y
g,h,ipj},
es os
elemen os
se cla-
si ican
según
R
en
_
{a ó}+

X2
=
{C,d e,
x

=
g,h,¡}

V =
ljJ
.
En
el
e ículo
de
modelos
Alos
minimales
son
:
(1,2,2,2,3,3,4),
que
co esponde
a
24
minimales
en
X,
y
(1,1,2,3,3,3,4),
que
co esponde
a4
minimales
en
X
.
Es os
dos
minimales
pe enecena A
.,,
isomo o
a
P7
(x),
donde
es á
F
o
.
Con
es e
ejemplo
in en amos
pone
de
mani ies o
que las
co _-
diciones
enunciadas
en
laP oposición
111
.3.2
son
manejables
.
Pa a
ce a
es a
secciónda emos
una
isión
de
ipo
deduc i o
que
complemen e
el
p oceso
induc i o
seguido
en
la
clasi icación
.
En
de ini i a,
odos
los
espacios
simples
comple os
quedan
ca ac e izados
po
un
ec o
n
R
=
(n
p
,n
l
,n
2
"
.
.,n
k
,n .)
y una
ma iz
H
=
(h
ji
)
-sal oo den
de
sus
ilas-,
suje os
a
las
condiciones
de
la
P oposición
111
.3
.2
que,
con enien emen e
pa icula izadas,
son
álidas
pa a
odoses os
espacios
.
En
odos
ellos
es
n
=
d(
R
),
p =
d(h
j
)
pa a
cada
j, y n
es á epe ido
en
n
R
y
odas
las
ilas
de
H
.
Si
la
ma iz
iene
más
de
una
ila
F
no es
ideal
dual
.
Si
iene
una
sola
en onces
F
es
ideal
dual
(lo
que
incluye
a
los a ómicos,
simé icos
y
pseudosimé icos)
.
En es e caso
:
si
k ?
2
enemos
el
ipo
de
espacios
del
Teo ema
111
.3.4
;
si
k
C-
1
es amos
en
uno
de
los
es
ipos
iniciales,
es
deci
:
a ómicos
:
nR
=,(n
N
,n
V
),
h =
(0,n
V
),
k
=0
;
simé icos
:
n
R
=
(0,n
l
,0),
h =
(0,h
1
,0),
k
=
1,
P=N
=0
;
o
bien
pseudosimé icos
:
nR
=
(n
j
,n
l
,n
V
),
h =
(0,h
l
,nV),
k =
1,
V
U
N ~
~,
habiendoexcluido
el
espacio
de
unanimidad
de
los
simé icos
.
En
es os
es
úl imos
casos
F
o
cons a
de
un
sello
elemen o
M,
que
apa e
de
mínimo
de
F
es
ambién
máximo
deP
p
R
.
Además,
pa alos
simé icos,
P $
p

=
F
o
=
{-Mi
.
En
los
a ómicos
F
es
una
cadena
e ical
yP
p
R
una
ho izon al
.
En
los
simé icos
F
es
una
cadena
e ical
po que
odo
P
T7
lo
es,
y
cada
M
i
X
se
educe
a
un
elemen o
.
IV
CONJUNTOSDECISORIOS
En
la
secci6n
I.l
se
han
desc i o
los
conjun osdeciso ios
y
su
uncionamien o,ex ayendo
el
concep o
de
coalición
encedo a
cuyas
p opiedades
cons i uyen
los
axiomas
de
espacio
elec o al
.
En
es e capí ulo
p o undizamos
en
el
es udio
de
los
conjun os
deciso ios
median e
la
eo ía
de
los
espacios
elec o ales
.
La
cues ión
p incipal
es
si
así
como
a
cada
conjun o
deciso io
asociamos
un
espacio
elec o al
es
cie o
el
ecip oco,
es deci ,
odo
espacio
elec o al
es
ealizable
median e
un
conjun o
deciso io
.
En
la
e ce asecci6n
del
capi ulo
se
esuel ees a
cues ión
pa a
los
espacios
no
comple os
y
los
espaciossimples
donde
F
es
ideal
dual
.
P e iamen e,
en
la
p ime a
secci6n
es ablecemos
el
p oceso
de
asociación
como
un
unc o
.
En
la
segunda
secci6n
da emos
esul ados
gene ales
ace ca
de la
ealización
de
espacios,
especialmen e
dos sim
pli icaciones
del
p oblema
:
la
densidad
y
la
no malización
.
En
sen ido
amplio,
odo
espacio
elec o al
es
" ealizable"
ob-
iamen e,
pe o
no
que emos
igno a
los
usos
impe an es
en
las
es uc u-
as
sociales,
como
epa o
de
o os, e os, e c
.
Ello
condiciona
sin
dudala
ealización
.
Y
a
o o
ni el,
es
p esumible
que
alguna
a iación
en
la
de inición
de
conjun o
deciso io
-en
pa icula
sob e
la
condi-
ci6n
de
elección
única-
modi ica ía
la
clase
de
espacios
ealizables
.
Po
supues o,
aquí
conse a emos
el
signi icado
de
los
é minoscomo
se
han
dado
desde
el
p incipio,
y
ello
ela i iza
nues os
esul ados
.
IV
.1
.-
ESPACIO
ELECTORAL
ASOCIADO
.
Sea
(X,
e
, ,d)
un
conjun o
deciso io
.
Po
la
P op
.
1.1 .2,
la
amilia
F
=
{ACX
/
V
eCA,
(A)
:N
di
es
un
il o
elec o al
en
X
.
De inición
IV.1
.1 .-
(X,F)
es el
espacio
elec o al
asociado
al
conjun o
deciso io
(X,Ve, ,d)
.
En lo
sucesi o
adje i a emos
a
los
conjun os
deciao ios
según
las
ca ac e ís icas
del
espacio
elec o al
asociado
:
habla emos,
pues,
de
conjun osdeciso ios
simples,
comple os,
simé icos,
e c
.
Es
ácil
e que
la
base
del
il o
F
es
la
amilia
dada
po
F
o=
A
EF
/
dx
E
A-V
e
,
(A)- (x)
<
d}
.
Asimismo
se
e
que
V
e
C
V,
pe o
en
gene al
no
coinciden
.
Una
discusión
sob e
las
dis in as
clases
de
e o
se
lle a á
a
cabo
en
la
sección
IV
.2
.
El
p oceso
de
asociación
lle a
a
deci
que
dos
conjun os
deci-
so ios
son
equi alen es
si
ienen
el
mismo
espacio
elec o al
asociado
.
De inición
IV
.1 .2
.-
Sean
(X, e, ,d),
(X',Ve, ',d')
conjun os
deciso ios
ales
que
d
~l
d'
.
Unaaplicación
:
X
-
.)
X'
di emos
que
es
un
mo ismo
de
conjun osdeciso ios
si
e i ica
que
(V
e
)
D
Ve',
y
que
'(x')
a
(
1
(x')),
pa a
cada
x' E X'
.
Pues o
que
la
iden idad
es
un
mo ismo
y
la
composición
de
dos
mo ismos
ambién
lo
es,
queda
de inida
una
ca ego ía
Z
;
cuyos
obje os
son
los
conjun os
deciso ios
y
cuyos
mo ismos
son
los
desc i os
.
Es
inmedia ocomp oba
que
son
equi alen es
:
i)
es
un
isomo ismo
;
ii)
es
biyec i a,
d
=
d',
y
_1
son
mo ismos
;
iii)
es
biyec i a,
d
=
d', ' o
=
,
(V
e
)
=
Ve
.
.

P ooosicibn
IV
.1 .1 .-
La
egla
que
asigna
a
cada conjun o
deci-
so io
(X,V
e
, ,d)
el
espacio
elec o al
asociado
(X,F),
y
a
cada
mo ismo
:
(X,V
e
, ,d)
-->
(X',V,, ',d')
el
co espondien e
:
(X,F)
.-l~
(X',F'),
es
un
unc o
co a ian e
iel
.P
:
-1
---3D
E
.
Po
an o,
dos
conjun os
deciso iosisomo os
son
equi alen es
.
Además,
Au (X,V
.
, ,d)
=
{
E
Au (X,F)
/
o
=
,
(V
e
)
=
Ve}
.
demos ación
.
Lap ime a
cues ión
es
que
si
es
mo ismo
en
=
.P( )
lo es en
E
.
En
e ec o
:
si A EF,
enemos
Ve
C
A,
(A)
?
d
.
Deducimos
que
(A)
C
F'
al
conside a
que
(A)
D
(V
e
)
3
Ve,
y que
'( (A))

(
l
( (A)))

(A)
A
d
á
d'
.
De
lade inición
de 37
esul a
P
-
(go )
_
-P(g)
o
P( ),
,#(id)
=
id,
así
que
P
es
un
unc o
co a ian e,
y
conjun osdeciso ios
isomo os
son
equi alen es
.
."
es
iel
po que
P( )
=
.C(g)
implica
= g
.
Po
ello,
el
g upo
de
au omo ismos
de
un
conjun o
deciso io
es
un
subg upo
del
g upo
de
su omo ismos
del
espacio
elec o al
asociado
;
su
ca ac e ización
es
una
adap ación
inmedia a
de la
condición
iii)
dada
en
la
De
.
IV
.1
.2
.
Te minamos
es a
sección
con las
ideas
de
subconjun o
deciso io
y
conjun o
deciso io
cocien e
.
Sea
(X,V
e
, ,d)
un
conjun o
deciso io
.
Sea
Y
C
X
al
que
V
e
C
Y,
(Y)
,
d
.
Llamando
y
a
la
es icción
de
a
Y
es
inmedia o
comp oba
que
(Y,V
e
,
y
,d)
es
un
conjun o
deciso io
.
De inición
IV
.1
.3.-
Di emos
que
(Y,V
e,
y
,d)
es
un
subconjun o
deciso io
de
(X,Ve, ,d)
.
La
inclusión
i
:
Y
---1
X
es
un
mo ismo
de
conjun os
deciso ios
.
Po o a
pa e,
el
espacio
elec o al
asociado
al
subconjun o
deciso io
(Y,V
e
,
y
,d)
es
p ecisamen e
el
subespacio
elec o al
(Y,F
y
)
de
(X,F),
obse ando
que
YEF
.
Ampliando
el
comen a io
de la
De
.
1
.2
.2,
Y
iene
su icien e
capacidaddeciso ia
en
el
sen ido
de
que
oda
decisión
adop ada
en
Y
iene
asegu ada
su
ap obación
en
X,
suponiendona u almen e
que
los
ele
men os
de
Y
man engan
sus
o os
.
Es o
puede
agiliza
un
p oceso
de o a-
ci6n
(igno andoausencias,
c eando
comisiones,
e c
.)
.
La es icción
de
queY EF
no
pa ece
excesi a,
pues
no
siendo
necesa iamen e
minimal
Y
no
se
exige
unanimidad
de
sus
miemb os
pa a
ap oba
unamedida
.
Sea
aho a
R una
elación
de
equi alencia
en X,
seaX =
X/R,
y
sea
TL
:
X
-+
Xel
paso
al
cocien e
.
Poniendo
V
e
=
i(V
e
),
y
de iniendo
N
median e
(s)
= ( TC
-1
(
~
x),
es
inmedia o
comp oba
que
se
ob iene
un
conjun o
deciso io
(X,Ve, ,d)
.
De inición
IV
.M
.-
Di emos
que
(X,7e
, ,d)
es el
conjun o
deci-
so io
cocien e
de
(X,V
e
, ,d)
po la
elación
de
equi alencia
R
.
El
paso
al
cocien e
es
un
mo ismo
de
conjun os
deciso ios
.
El
espacio
elec o al
asociado
al
conjun o
deciso io
cocien e
(X,7
e
, ,d)
es
jus amen e
el
espacio
(X,F)
cocien e
de
(X,F)
po R
.
Reco dando
el
comen a io
de
la
De
.
1
.2
.4,
el
conjun o
deciso-
io
cocien edesc ibe
la
si uación esul an e
as la
o mación
de
pac-
os
(las
clases
de
R),
cuyo
conocimien osimpli ica
el
p oceso
al
dismi-
nui
el
núme o
de
elemen os,
aunque
aumen e
el núme o
de o os
con ola-
dos
po cada
uno
de
ellos
.
IV.2
.-
ESTACIOS
ELECTORALES
REALIZABLES
.
El
es udio
de
los
espacios
ealizablespuede
educi se
a
los
espacios
densos
.
Además
bas a
conside a
ealizaciones
no malizadas
.
La
no malización
in luye
en
el
g upo
de
au omo ismos
y
elaciona
el
epa o
de
o os
con
cie as
alo aciones
del
e ículo
asociado
.
De inición
IV.2
.1
.-
Un
espacio
elec o al
(X,F)
es
ealizable
si
es á
asociado
po
el
unc o
,P
a
algún
conjun o
deciso io,
del
que
di emos
que
ealiza
el
espacio
.
P onosicibnIV
.2
.1
.- a)
Todos
los
subespacios
y
cocien es
de
un
espacio
ealizable
lo
son
ambién
.
b)
Si
un
subespacio
denso
es
ealizable,
el
espacio
ambién
.
demos ación
.
a)
Sea
(X,V
e#
,d)
una
ealización
de
(X,F)
.
Si
Y E
F,
el
subconjun o
deciso io
(Y,V
e
,
Y
,d)
ealiza
el
subespacio
(Y,FY)i
análogamen e,
si
R
es
una
elación
de
equi alencia
en
X,
el
conjun o
de-
ciso iococien e
(X,O
e, ,d)
ealiza
el
espacio
cocien e
(X,F)
.
b)
Sea
(Y,F
Y
)
un
subespaciodenso
y
ealizable
de (X,F),
y
sea
(Y,V
e
, ,d)
una
ealización
del
mismo
.
Ex endiendo
el
epa o
a X po
(x)
= 0
pa a
x 1
Y,
(X,V
e
, ,d)
es
un
conjun o
deciso io
que
ealiza
(X,F)
po
se
denso
(Y,F
Y
)
.
Al
conside a en
cada
espacio
(X,F)
el
subespacio
densomínimo
(X-N,F
X-N
),
esul a
de la
p oposición
an e io
que
el
p oblema
de
a e-
igua
los
espacios
ealizables
puede
limi a se
a
la
subca ego íaplena
de
los
espacios
densos,
es
deci ,
aquéllos
donde
N =
o
.
Sea
(X,V
e
, ,d)
un
conjun o
deciso io,
Rla
elación
de
sime ía
en el
espacio
asociado
(X,F)
.
Si
x,y
E
R-Ve
,
(x)
=
(y)
implica
xRy,
pe o ello
no es
cie o
si
x, y o
amboses án
enV
e
,
ni
ampoco
es
cie o
el
ecíp oco,
es o
es,
que xRy
implique
(x)
=
(y) si
x,y
E
X
.
De inición
IV
.2
.2.-
Un
conjun o
deciso io
(X,V
e
, ,d)
es á
no malizado
si (x)
=
(y)
equi ale
a
xRy
pa a
odo
pa
=,y
E X
.
La
no malización
no
depende,pues,
an
sólo
de
,
sino
de
Ve
,
e
incluso
de la
clase
de
sime ía
V
.
Desde
el
p incipio
hemos
llamado
a
los
elemen os
de
V
e
miemb os
con
e o
explíci o
:
el
adje i o
indica
que
la
posesión
de
e o
de
ales
elemen os
es ádada
po
las
condiciones
del
conjun o
deciso io
.
Pe o
la
inclusión
Ve
C
V
puede
se
es ic a,po
lo
1
que,
pa a dis ingui ,
a
los
e en uales
elemen os
de
V-V
e
les
llama emos
elemen os
con
e o
implíci o,
condición
que les
iene
dada
po
el
núme o
de
o os
que
con olan
.
Da emos
a
con inuación
algunosmé odos
de
ans o mación
de
conjun osdeciso ios
en
o os
equi alen es,
a iando
Ve
,
o d
.
T a amos
de
ob ene una
o macon enien e
a
pa i
de
un
conjun o
deciso io
sin
sali
de su
clase
de
equi alencia
módulo
.4-
.
Exac amen e
demos a emos
que
odo
conjun o
deciso io
es
equi alen e
a uno
no malizado
.
kema
IV.2
.1 .-
(Eliminación
de
e os
implíci os)
.
Todo
conjun o
deciso io
(X,V
e
, ,d)
es
equi alen e
a
(X,V, ,d),
siendo
V
el
conjun o
de
los
elemen os
con
e o
del
espacio
asociado
(X,F)
.
demos ación
.
Es
inmedia o
comp oba
que
(X,F)
es
ambién
el
espacio
asociado
a
(X,V, ,d)
.
P oposiciónIV
.2.3.-
Sea
(X,F)
un
espacio
elec o al
ealizable
con
g upo
Au (X,FF)
gene ado
po
asposiciones
.
En onces
:
a) Si
(X,V
e
, ,d)
es
una
ealización
de
(X,F)
al
que
V
e
o
bien
al
que
V
e
=
V,
(x)
= 0
si
y
sólo si
x E
V,
es á
no malizada
si
y
s61o si
Au (X,V
e
, ,d)
=
Au (X,P)
;
b)
exis en
ealizaciones
de
(X,F)
cuyo
g upo
es
Au (X,F)
.
En
pa icula ,
odo
ello
es
álido
pa a
espacios
ealizables
comple os,
en cuyo
caso,
enlas
condiciones
de
a),
es á
no malizada
si
y
sólo
si
Au (X,V
e
, ,d)
=
[
E
S(X)
/
po
=
p)
.
demos ación
.
En
la
P oposiciónIV
.1
.1
hemos is o
que,
po
lo
gene al,
Au (X,V
e
, ,d)
es
sólo
un
subg upo
de
Au (X,F),
o mado
po los
ales
que
o =
,
(V
e
)
=
V
e
.
Designemos
po
S(X,F)
el
p oduc o
di
ec o
de
los
g upos
simé icos
de
las clases
de
sime ía
de
(X,F)
;
se
a a
de
un
subg upo
de
Au (X,F)
.
a) Si
es á
no malizada
y
además
V
8
=
0
o
bienV
e
=
V,
pa a
cada
pa xRy
se
e i ica
o
xy
=
,
XY(V
e
)
=
V
e
,
de
mane a
que
p,V
es á
en
Au (X,V
., ,d)
.
En
consecuencia,
S(X,P)
C
Au (X,V
e
, ,d)
C
Au (X,F)
;
pues o
que
po
hipó esis
Au (X,F)es á
gene ado
po
asposiciones,
coig
cide,
po
el
Lema
11.2
.1,
con
S(X,F)
y,
po
an o,
con
Au (X,V
e
, ,d)
.
Recíp ocamen e,
po
hipó esis
y po
se
Au (X,F)
gene ado
po
asposiciones
enemos
.
S(X,F)
=
Au (X,V
e
, ,d),
po
an o,
xRy
implica
o
xy
=
,
dedonde
(x)
=
(y)
.
Como
además
suponemos
V
e=0o
bien
V
e = V,
(x)
=0
si
y
s61o
sixEV,
esul a
que
(x)
=
(y)
implica
o
xy
=
,
y
ambién
xy
(V
e
)
= V
e
,
an o
si
x,y
E V
como
si
x,y
1
V
(el
caso
x
EV, y
+
V
o
ice
e sa
es
imposible
po se
=
0
exac amen-
e en
V),
po
lo
que
XY
E
Au (X,F),
xRy,
y
es á
no malizada
.

b)
Bas a
ene
en
cuen a
que,
según
la
P oposición
IV
.2
.2,
hay
ealizaciones
de
(X,F)
que
sa is acen
las
hipó esis
de
a),
incluyendo
la
no malización
de
.
inalmen e,
según
la
P oposición
11.2.4
el
g upo
de
au omo is-
mos
deun
espacio
elec o al
comple oes á
gene ado
po
asposiciones,
po
an o,
si
es
ealizable
le
son
aplicables
a)
y
b)
.
Y
po
la
ci ada
p oposición,
la
no malización
de
se á
equi alen e
a
que
Au (X,V
., ,d)
=
Au (X,F)
=
{ E
S(X)
/ po =
p}
.
Sea
(/ ,s) el
e ículode inido
en la
sección
111
.2
.
Además,
sea
w
:
/ --->
N
una
alo ación
de inida
en
dicho
e ículo
.
1
De inición
IV
.2.3.-
Di emos
que
w
es
una
alo ación
lineal
si
exis en
0
<
1
<
2
<
...

<
k
ales
que,

si
oc
=
(acl,d2,
....
«
k
)
E
P oposición
IV
.2.4
.-
Sea
(X,F)
un
espacio
elec o al
denso
y
comple o
.
Son
equi alen es
:
i)
(X,F)
es
ealizable
;
ii)
exis e
una
alo ación
:
P
X
-+
N
al
que
1)
induce
una
alo ación
lineal
W
en el
e ículo
asociado
(n
,s),
2)
F
es
la
an iimagen
de
una
semi ec a
[d,+oo),
3)
(X)
<
2d
.
demos ación
.
i) ==>
ii)
.
Sea
(X,V
e
, ,d)
una
ealización
de
(X,F),
que po
la
P oposición
IV
.2.2
podemos
supone
no malizada
y
sin
e os
explíci os
:
V
e=0
.
Designemos
po X
i
, . .
.,X
k
(=V,
.e en ualmen e)
las
clases
de
sime ía
de
(X,F)
.
Po
se
és e
comple o
podemos
supone
que
X
1
<
. . .
< Xk
es la
o denación
de
Xhñ
.
Po se
no malizada,
queda
comple amen e
de e minada
po
sus
alo es
cons an es
l
,..
.,
k
en
las
clases
de
sime ía
.
Po
se
denso
y
comple o
el
espacio
y
sin
e os
ex-
plíci os
la
ealización,
0
<
l
<
...

< k
.
Po
se
no malizada,
A B
implica
(A)
=
(B),
po
an o
la
ex ensión
de
a
P(X)
ac o iza
pa a
da
una
alo ación
:
P
X
---,>
N
.
Es a
se
aslada
po
el
isomo ismo
de la
P oposición
111
.2
.1
a
una
alo ación
w
:
%
-->
N,
que
es
li-
neal
po que
iene
dada
po
W(a)
=
i
a
l +
.
. .
+ k
oc
k
,
pa a
cada
ec o
o
=
(o l,
. .
.,ok)
.
Se
comp ueba
inmedia amen e
que
F
es
laan iimagen
de
la
semi ec a
[d,+oo),
yaque
no
habiendo
e os
explíci os
A E F
equi a-
le
a
(A)
:1
d
.
Finalmen e,
ambién
po
no
habe e osexplíci os
en
la
ealizaciSn,
(X)
=
(X)
=
T <
2d
.
ii)
=~> i)
.
Supues a
la
exis encia
deuna
alo ación
que
cum-
plalas
condiciones
1),2),3),
cons ui emos
una
ealización
de
(X,F)
.
Tomamos
V
e
=
9),
y
si
X,,
.
.
.,X
k
(=V,
e en ualmen e)
son las
cla-
ses
de
sime ía
de
(X,F),
y
i
,..
.,
k
los
coe icien es
de la
alo ación
W
asociada
a
,
de inimos
como
epa o
de
o os
:
X
--->
N
dada
po
(x)
=
i
si
y
sólo
si
xE
X
i
,
i
=
1,
...
.
k
.

Al
ex ende
a
P(X)
esul a
T
=
(X)
=
(X)
<2d,
así que
(X,V
e
, ,d)
es
un
conjun o
deciso io
.
Es e
es
una
ealización
de
(X,F)
po
la
condición
2)
y po
se
V
e
= ~
.
Po
su
cons ucción,
es á
no malizada,
e
induce
a
su
ezla
alo ación
.
El
siguien e
esul ado
ecoge
algunas
p opiedades
de
in e és
pa a
las
alo aciones
lineales
.
P oposición
IV
.2 .5 .-
Toda
alo ación
lineal
w
:
n
--
.b
N
cumple
a)
W(0)
= 0
;
b)

cu
es
posi i a
:

el
s
~,

o(

implica

W(«)
<

W(p)
;
c)
w
es
ue emen e
adi i a
:
W(a)
+
"Kp)
=W(oc p) +
m(ccnl)
.
demos ación
.
a)
w(0)
=
O
1
+
...
+
O k =
0
.
b)
Sean
e¿
=
(e¿l,
"""
,ak),

P=
(P
1
,
. .
.,
k
)
.
Si
as
p,
oc~p,
sea
h
máximo
al
que
Z
h
(o<)
<
2
h
(j)
esul a
en onces
W
h <
h,
y
ambién
'h+1
=
Ph+l'
""
a
k
=
?k
-
Poniendo
di =
I
i -
o(
i
,
i = l,
. .
.,k,
esul a
dl ,d
2""'
dh-l
:i
0,

dh
>0,

d
h+l
=
. .
.

= d
k
=
0
.

Po an o,
hdh
>
0,
h-l
d
h-1
+ h
d
h
>
h-l
d
h-1
+
h-ldh
:1
0,
y
po
ecu encia
llegamos
a
1d1
+
2d2
+
...
+
h
dh
>
0,
lo
que
lle a
a
que
w(Cc)
<
"'(P)
.
c)
Sean
o<,
P
como en
b)
.
Es
inmedia o
comp oba
que
en el
e-
ículo
n
las
ó mulaspa a
el
sup emo
y
el
ín imo
son
las
siguien es
oc

_

si
y
salo
si

~
i(T)
=
max
a<
n
=

si
y
sólo
si

~
i(b)
=min
Po
an o,

ly
i
~o()
+

1
i (p) _

~
i
(Y)
+

i
(a),

i =
1,
. .
.
.
k,

de
donde
+
~i
=
Ói
+

,

i
=
1,
....
k,

y
de
aquí

W(£C) +
w(p)
=
w(~)+ W(d)
.
Ejemplo
.
Un
caso
in e esan e
de
alo aciónlineal
se
ob iene
al
conside a
en
un
espacio
denso
y
comple o
el
pode
de
Shapley,
ya
que
es
cons an e
en
cada
ó bi a,
es
deci ,
en
cada
clase
de
sime ía
.
Po
an o
y
de
o ma
análoga
a
la de
la
demos ación
de la
P oposición
IV
.2
.4
pa a
,
el
pode
p
induce
una
alo ación
p
en
el
e ículo
P
R
que
es
lineal
en el
sen ido
de
la
De inición
IV.2
.3,
p escindiendo
del
hecho
no
esen-
cial
de
que
no es
a
alo es
en
N
sino en
Q
.
IV
.3
.-
REALIZACION
DE
ESPACIOS
ELECTORALES
SIMPLES
.
Toma emos
como
a gumen o
el
esquema
de
clasi icación
de
los
es-
pacios
simples
de la
sección
111
.3
.
En
las
demos aciones
nos
limi a e-
mos
a
da
una
ealizaci6n,
si
bien
añadi emosalgúncomen a iosob e
la
di e sidad
de
ealizaciones
posibles
.
P oposición
IV-3
.1 .-
Todo
espacio
a ómico
es
ealizable
.
demos ación
.
Sea
(X,F)
el
espacio,
F
o =
c}
la
base
del
il o
.
Se
ob iene
una
ealizaci6n
(X,V
e
, ,d)
d
=
ca d(C)
.
Una
ealización
a ín
más
apoyada
en
los
e osexplíci osse ia
:
V
e
=
C,
(x)
=
0
c e,
d =
0
.
En
cambio,
la
ealizaci6n
más
sencilla
sin
e osexplíci os
iene
dada
po
V
e
=
0, d
=
ca d(C),
=
unción
ca ac
e ís ica
de
C
enX
.
Finalmen e,
o a
que
excluye
e os
explíci os
pe o
esconde
lanulidad
de
los
elemen os
de
X-C
iene
dada
po V
e
=
0,
(x)
=
¡
a, si
z E
C, d
=
ia,
con
i =
ca d(C),
a
>
n-i,
n =
ca d(X)
.
Se
ob iene
una
ealizaci6n
(X,V
e
, ,d)
omando
V
e
=
0,
(x)
= 1, d
= p
.
omando
Ve
=
C,
(x)
=
1
cons an e,
P oposiciónIV
.3.2.-
Todo
espacio
simé ico
es
ealizable
.
demos ación
.
Sea
(X,F)
el espacio,
F
o
=
Pp
(X)
la
base
de
F
.
Comen a io
.
Se
exige
unanimidad
cuando
p
= n
.
La
llamada
mayo-
íaabsolu a
se
p esen a
cuando
p =
E(n/2)
+ 1
.
En
cualquie
caso,
d
puede
exp esa se
como el
1
n0p
%
del
o al
de
o os, que
es
n
.
Si
llamamosconjun o
deciso io
democ á ico
a
aquél
donde
Ve
es
acío
y
(x)
=
1
cons an e,
a endiendo
al
slogan
"un
homb e,
un
o o",
concluimos
de la
P oposición
IV
.3.2
que
un
conjun o
deciso i¿
es
(equi-
alen e
a
uno)
democ á ico
si
y
sólo si
el
g upo
de
au omo ismos
del
espacio
asociado
es
el
g upo
simé ico
.
a
>
n-p,
P oposici6n
IV.3.3
.-
Todo
espacio
pseudosim6 ico
es
ealizable
.
demos aci6n
.
Sea
(X,F)
el
espacio,
p
el
ca dinal
c e
.
en
F
o
.
Po
la
P oposici6n
IV.2
.l
.b)
suponemos
N = b
.
Se
ob iene
una ealizaci6n
(X,V
e
, ,d)
omando
V
e
=
V,
(x)
=
1,
d
= p
.
Y
o a
sin
e os
explíci os
:
si
n =
ca d(X)
nV
=
ca d(V),
sea
y
omemos
Ve
=
yi,
(x)

a,
si x
E
V,
d = p
-
n
V+
an
V
;
bas a
{1,
si
xiV
e
que
cada
xEV
iene
e o,
y
ello
esul a
de
que
los
es an es
ele-
men os
suma ían
(n
V
-1)a
+ n
-n
V
o os,
mien as
,
que
a
>
n-p
implica
que
any
>
(n
V
-1)a
+ n
-
p,

de
donde
d >
(nV
-9
a +
n -
nV
.
P oposici6n
IV
.3.4
.-
Todo
espacio
no
comple o
es
i ealizable
.
demos aci6n
.
Po
educción
al
absu do,
supongamos
(X,F)
no
comple o
ealizable
.
Según
el
Lema
IV
.2 .2
exis i á
una
ealizaci6n
sin
explíci os
(X,O, ,d)
.
Po
an o,
A
EF
si
y
sblo si (A)
:2!
d,
de
que,
dadosx,y
E
X,
según
sea
(x)
6
(y)
o
(y)
L
(x)
deducimos
e os
o ma
xSy
o
Insis imos
en
que
es e
esul ado
es
ela i o,
po
cuan o
es á
e e ido
a
la
clase
de
conjun os
deciso ios
conside ada
aquí
.
Acabamos
de
e que
la
comple i ud
es
una
condiciónnecesa ia
pa aque
un
espacio
sea
ealizable
.
El
p óximo
esul ado
mos a á
que
no
es
su icien e
.
ySx,
po
se
V
e
=
0
.
Ello
p ueba
que
(X,F)
debe
se
comple o
.
Sea
(X,F)
un
espacio
simple
molecula
comple o
con
k 1
2
donde
ideal
dual
del
e ículo
asociado
P(
-
XT,
y
sea
M
su
mínimo
.
Respe a-
las
no aciones
de la
sección
111-3
sin
necesidad
de
epe i las
.
F
sea
emos
Las
posibilidades
de
ealizaci6n
ienen
.
dadas
po
la
siguien e

comple o,con
k
~l
2,
donde
F
sea
ideal
dual
de
P
X
.
En onces
:
denso
en
ambos
apa ados
.
P oposición
IV.3
.5 .-
Sea
(X,F)
un
espacio
elec o al
símule,
a) Si
k
>
2,
(X,F)
es
i ealizable
;
b) si
k =
2,
(X,F)
es
ealizable
si
y
sólo si se
e i ica
(k
2
h2
)
.(n
1
-h
l
)
<
donde
kl
= max
(h
l
+h
2
1-n
2
,0),
k
2
=
min
(h
l
+h
2
-1,n
2
),
y
como
en la sec-
cibn
111
.
3,
nl
--
ca d(X
l
),
n
2
=
ca d(X
2
),
M =
min
F,

T(-")
=
(hl,h29nV)
.
demos ación
.
Po
la
P oposición
IV.2
.1
se
puede
supone
(X,F)
a)
Sea

l (7)
=
(hl,h2,
. .
.,hk,nV)
.

Si
V =
0
bas a
sup imi
nV
.
Conside emos
N
y F
de inidos
po sus
ec o es
de
indices
le(7J)
=
(h
l
-l,h
2
1,h
3
9
...
.h
k-l
,hk
+l,n
V
)1
T(P)
=
(hl+l,h2+l,h39
....
hk-1,hk-1,nV)
.
Ello es
posible
po
se
k
>
2, y
po
la
P oposición
111
.3
.1,3)
.
Además,
po
sus
indices,
M 1
N,
M 1
F,
luego
N,P
1
F
.
Sean
M,N,P
ep esen an es
en
P(X),
donde
N,P
4 F
.
Si
hubie a
una
ealización
(X,Ve, ,d),
aplicando
laP op
.
IV.2.2 la
supond íamos
no malizada,
conV
e
=
V,
y
con
(x)
=0
si
y
sólo
si
x
E V,
po se
denso
(X,F)
.
Siendo
V (
N,P
pe o
N,P
1
F,
esul an
(N)
<
(M),
(P)
<
(M),
es deci ,
(h1-1)
l
+(
h2
1) 2+
. .
.+(hk+1) k

<

h
l
l
+h
2 2
+
..
.+h
k k
,
(hl+l) l+(h2+1) 2+
.
.,+(hk-1) k

<

hl l+h2 2+
2 2+-
.
.+h
que
noslle an
a
la
con adicción
k
<
1
+
2
,
1
+
2 < k
.
b)
k
= 2
.
De e mina emos
en
p ime
luga
los
maximales
que hay
ue a
deF
.
Se
conside an
N y
P
de inidos
po
sus
indices
espec i os,
k (N)
=
(n
l
,h21,n
V
),
1(P)
=(k
l
,k
2
,n
V
),
siendo
kl,k2
los
del
enunciado
.
Si
V =
~,
bas a
sup imi
nV de
oda la
demos ación
.
Si
V
~0
conside a-
emos
ambién
Q,
de inido
po sus
indices
~(Q)
_
(nl,n2,n,-1)
.
Todo ello
es
posible
po que
0
L-
k
l
<
nl,
0 <
k2
£-
n
2
,
a
la
is a
de la
P op
.
111
.3
.1
.3)
.
Además,
po sus
indices,
M
y
N,
M#
P, M 4Q,
po
lo
que
N,P,Q

F
.
Vb emos
aho a
que
es os
es
son
los
únicos
maaimales
del
complemen a io
de
F
.
Sea
A

F,
de
indices

1(A)
_
(al'
2
'
0(
.)
.
Po
se
also
que
~(M)
s
~A),
hay
es
casos
posibles
:
1)
o(
Y <
nV
(sólo
posible
si
V
~
0),
y
en onces
A
6 Q
;
2)
o(
=nV
,
0l
2<
h
2
,
y
en onces
A L
N
;
3)
I
V= n
V
,
h2
li-
a2,
h
l
+h
2 >
«1"2'
y
en onces
A

P
pues o
que
w
2
5
n2'
<~<2
ch
]
.
+h
2-1'
de
dondec<
2
~l-
k2
,

y

+«
2
1
~+h
2-1

kl+k2
po
~

-
la
de inición
de
k
l
y
k2
.
Demos a emos
aho a
que
la
condición
enunciada
es
necesa ia
pa-
a
que
el
espacio
(X,F)
sea
ealizable
.
Sea
(X,V
., ,d)
una
ealización,
que
po laP oposición
IV.2.2
podemossupone
no malizada,
conV
e
=
V,
y
con
(z)
= 0
si
y
sólo si
s E V,
po
se
denso
(X,F)
.
Sean
M,N,P ep e-
sen an es
en
P(X)
de
M,N,P
espec i amen e
.
Po
se
VC
N,P,
N,P
~
F,
esul a
(P1)
<
(M),
(P)
<
(M),
lo
que nos
lle a
a
las
desigualdades
n
l l
+(h
2
1)
2 <
hl l+h2 2,

kl l+k2 2
< h
l
l
+
h
2 2
,
y
al
simpli ica las
(n
l
-h
l ) l <
2
,

(k
2
h
2
)
2
<
(h
l
-k
l
)
l
.
Obse ando
que
k
2
-h
2
-?
0
siemp e
po que
h
2 < n2
,
h
2
L-
h
l
+h
2
1,
mul iplicamos
y
ob enemos
(k
2
h2
)(n
l
-h
1
)
l
`-'

(k2h
2
)
2
<

(hl-kl) l,
de
donde esul a
la
condición
del
enunciado
.
Cuandosea
k2-h2
=
0,
ello
da
h
l
=
1,
en
cuyo caso
kl
=
0,
y
la
condición
queda
0 < 1,
es deci ,
aún
es ic a
.
Obse emos
que
siemp e
es
hl-k1
> 0,
po
se
h
2 <
n2
.
Finalmen e
p oba emos
que
la
condición
es
su icien e
.
Elegi e-
mos
i
y
2
con
de e minadascondiciones
y
con
ellos
de ini emos
y una
ealización
del
espacio
dado
.
Cuando
apa ezca
una
acción
con
denomina
do
=I
0
con end emos
en
que
al
anula seás e
la
acción
alga
+oo
.
Si
nV
~
0,
oma emos
l, 2
EN
que
sa is agan
nl-hl
<
2/ 1
<
(h
l
-k
l
)/(k2h
2
)

(1)
lo
cual
es
posible
po
hipó esis
.
Guando
nV =
0,
exigi emos
a
l, 2
con-
dicíones
suplemen a ias
que
amos
a
expone
.
De la
P op
.
111
.3 .1
.4)
se
e
que
es
alsa
la
conjunción
de 2h
2
!G
n
2
con
2h1
+2h
2
!L
n
l
+n
2
,
Po
an-
o,
caben
es
posibilidades
:
a)
2h
2>
n
2
,
2h
1
,
nl,
b)
2h
2 >
n
2
,
2h
l <
nl,
c)
2h
2
~G
n
2
,
2h
1
+2h
2 >
nl+n2
;
en el
caso
a)
no
exigimos
condicionesadicionales
a
1
,
2
,
sólo
(1)
;
en el
caso
b)
enemos
(k
2
-h
2
)(n
1
-2h
l)
=
(k2-h2)(nl-hl)-(k2
h2)
:11
6
(k
2
h2
)
(n
l
-h
1
)
<
(h
l
-k1)
6
(hl-k1)
(2h
2
-n
2
) ,
y
omando
los ex emos,
(k
2
h
2
)(n
l
-2h
1
)
<
(h
l
-k
1
)(2h
2
n
2
),
que
esc i o
equi alen emen e
queda
(n
l
-2h
1
)/(2h-n
2
)
<
(h
l
-k
l
)/(k
2
h
2
) ;
en es e
caso
oma emos
l, 2
E
N
de
mane a
que
sa is agan
las
condiciones
max
ln
l
-h
1
,(n
l
-2h
1
)/(2h2n
2
)}
<
2
/
1
<
(hl-k1)/(k2-h2)
(2)
más
es ic i as
que las
impues as
cuando
nV
:~
0,
pues
las
incluyen
;
en el
caso
c)
se
deduce
de
las
hipó esis
que
2h
l
-n
1>
n
2
2h
2
->
0
;
aquí
p oba emos
que
se
e i ica
(2h
l
-n
1
)/(n
2
:2h
2
)
>
nl-h1,
po
lo
que
oma-
emos l, 2
E
N
de
mane a
que
sa is agan
las
condiciones
n
l
-h
l <
2/ 1
<
min
{(2h
l
-n
1
)/(n
2
-2h
2
)~(h
l
-k
l
)/(k2h
2
)}

(3)
ambién
más
es ic i as
que
si
n
V
~
0
;
pongamos
dl
=
2h
l
-n
1
,
y
ambién
d2
=
n
2
2h
2
;

obse emos
que
d
l
,d
2
>
0,
dl <
h
l
,
dl > d2
;

hay
dos
casos
:
14
Si
k
l =
h
l
+h21-n
2
,
en onces
k
2
=
n2,
k1
=
hl-h2-d2
1,
k
2
=
2h
2
+d
2
,
y
la
condición
pasa
a
se
(h
2
+d
2
)(h
l
-d
1)
<
1+h
2
+d
2
,
de la
que
esul a
dl
= h
l
-1
;
si
ue a alsa
la
desigualdad
que
hemos
de
p o-
ba
ob end íamos
d
l
/d
2
=
1,
en
con adicción
con
d
l
>
d2
.
104
2g
.
Si
k
l
=
0,
en onces
k2
= h
l
+h
2
1,
y
la
condición
pasa
a
se
(hl-1)(hl-dl)
<
h
l
,
de
donde
d
l
>
h
l
(h
l
-2)/(h
l
-1)
>
h
l
-2,
y
concluimos
que
dl
=
hl
-1,
inalizando
el
azonamien o
como
en el caso 14
.
Se
de ine
un
conjun o
deciso io
(%,V
e
, ,d)
omando
V
e
=
V,
(x)
=
l
,
2 ,0
según
x
E
X,,R
2,V,
yd
= h
l
l
+h
2 2
,
iniendo
dados
l, 2
po las
ó mulas
(1),(2),(3)
según
los
casos
.
El
p ime
pun o
-que
ha
exigido
la
discusión
an e io -
es
la
comp obación
de
que
(%,V
e
, ,d)
es
un
conjun o
deciso io
.
Se
a a
de
p oba
que
si V = 0
es 2d
>T,
donde
T
=
(R)
=
n
l
i
+
h
2
2
.
Dis ingui emos
los
casos
a),b),c)
de
an es
:
a)
De
las
dos
hipó esis
esul a
inmedia amen e
2d
=
21il
1
+2h
2
2
>
n
l
l
+n
2 2
=
T
.
b)
Po
las
desigualdades
(2)
esul a
(n
l
-2h
l
)/(2h
2
n
2
)
<
2/ l,
y
de aquí 2d
=
2h
l
l
+2h
2 2
>
n
1
1
+n
2
2= T
.
c)
Po
las
desigualdades
(3)
enemos,
análogamen e,
2/ 1
<
(2h
l
-n,
)/(n2
2h
2
)
.
de
donde
2d
>
T
.
El
úl imopun o
de la
demos ación
consis e
en
p oba
que
el
il o
F'
asociado
en
%
a
es e conjun o
deciso io
coincide
con
F,
Sean
M,N,P,Q
(és e
úl imo
si
V

~)
ep esen an es
en
P(%)
de

Pa a
empeza enemos
V
4
Q
;
(P)
<
(M),
ya
que aplicando
la
aco ación
supe-
io
de
(l),(2),(3)
es
(M)- (P)
=
(hl
-k
l
) l
+(h
2
k2
)
2
>
0
;
asimismo,
(N)
<
(M),
pues
aplicando
aho a
la
aco ación
in e io
de
las
ó mulas
(14)- (N)
=
(hl-nl) l+(h2h2+1) 2
>
0
.
Sea
aho a
A
C R,
y
pongamos

1,
2sup imiendo
el
e ce indice
si
V
=
~
.
Si
A E
F,
A
E
F,
luego
14
1 A,
que
se
exp esa
po
o~
l
=
n
V
;
d2
~l
h2
.
c~+o(
2
_
h1
+h
2
,
de
donde
ob enemos
V C
A,
así
como