Contribución al estudio de los espacios electorales

Pub . Ma . IIAI3 N4 26 N°1 Ma q 1982 Con ibución al es udio de los espacioselec o ales F ancescCa e as Escoba Rebu el 3 de juliol del 1981 Abs ac .- The sim o his pape , inspi ed in he line ollowed by Shapley and Owen in Game Theo y, is he s udy o ce ain s uc u es associa ed wi~h he collec i e choice p ocesses, om a s ic ly o mal poin o iew . A gene al model o o ing (decision se ) is used o mo i a e he pos ula es o elec o al space (Shapley's p ope simple game), based upon he winne coali ions . In he i s chap e he necessa y dé ini ions a e gi en, and hen he ollowing poin s a e discussed : 1) ole o Shapley's powe , as a undamen al in a ian o he so-called comple e spaces, whose g oup o au omo phisms comes o be £o med by all he pe mu a ions p ese ing he powe ; 2) classi ica ion o he comple e simplespaces -whe e all he minimal winne coali ions ha e he same numbe o elemen o-and de e mi- na ion o hei nume ical in a ian s by means o£ he associa ed " la ice, gi ing he heo ems o exis ence and unici y in e ms o hosein a- ian s ; 3) conc e izing elec o al spaces by means o decision se s, de o ma ion o decision se s - o example, s anda diza ion- and dis- cussion o simple spaces by using hei classi ica ion . INDICE INTRODUCCIÓN . . . ........ . ..... . . . . . . . . . . ................ . ... . ..... . . 21 Cap . I ESPACIOS ELECTORALES ............... . ... . .......... . . . . . . . . 31 1 .1 De iniciones . . . . . . . . . . . . . . ... . .......... . ... . .......... . . . . . . . . 31 1 .2 Homo ismos, subespacios, cocien es ............ . .. . . . . . . . . . . . . . ... . 36 Cap . II PODER DE SHAPLEY ........ . ..... . . . . . . . . .... . . . . . . ..... . ... . 42 11 .1 Valo es del pode . ..... . ..... . ............ . ......... . ..... . ... . 43 11 .2 In a iancia del pode a a és de los au omo ismos ......... . ..... . ... . 48 Cap . III ESPACIOS COMPLETOS . . . . . . . . ..... . ..... . . . . . . . . . . . . ... . . . ... . . 55 111 .1 Sime ía y sus i ución . . . . . . . . . . ........... . . . . . . . . . . . . ..... . ... . 56 111 .2 Re ículo asociado a un espacio comple o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... . ... . 59 111 .3 Clasi icación de espacios simples comple os . . . . . . . . . . . . . . . . ......... . 67 Cap . IV CONJUNTOS DECISORIOS . . . . . ..... . ........ . . . . . . . . . ..... . . . . . . 84 IV . 1 Espacio elec o al asociado . . . . ... . .............. . . . . . ... . . . . ...... 85 IV .2 Espacios elec o ales ealizables . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... . . . . . 88 IV .3 Realización de espacios elec o ales simples . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... . 100 BIBLIOGRAFÍA .......... . . . . ..... . ... . . . ...... . . . . . . . . . . . . . . ......... . 107 INTRODIICCION El obje o de la p esen e Memo ia (1) es el es udio de cie as es uc u as inhe en es a los p ocesos de elección colec i a, en los cuales un conjun o de pe sonas oma decisiones median e una o ación suje a a eglas p ecisas . Es os p ocesos han sido a ados po la Teo ía deJuegos-con el nomb ede juegos de o ación- po lo que puede se pe inen e una b e e desc ipción de las líneas de dicha eo ía que han inspi ado es e abajo . El p ime in en o se io de o ece un mé odo yunlenguaje ma emá icos ealmen eadecuados a los p oblemas de las ciencias econó- micas y sociales es la ob a de Von Neumann y Mo gens e n [49], publi cada en 1944 desa ollando unas ideas p e ias del p ime o de es os au- o es (48] . O ien ado p incipalmen e po sus in e p e aciones económi- cas, dicho abajo cons i uye el pun o de pa ida de laTeo ía de Jue- gos, y e e encia casi obligada en es e campo . Aunquela ele ancia y pe ección del a amien odado po Von Neumann y Mo gens e n a los juegos de dos jugado es inspi a onla in es igación inmedia amen e pos e io ,p on o pasó a unp ime plano la eo ía de los n-juegos, o juegos de n pe sonas con n a bi a io . En p ime luga po que Von Neumann y Mo gens e n se limi a on en es a cues ión a ab i di camino ; y además, la a iedad de alo es de n en (l) Tesis doc o al del au o . las es uc u as económicas y sociales eales (2) jus i ica po sí sola el in e 6s en ob ene esul ados gene ales . Von Neumann y Mo gens e n p opusie on las de iniciones bási- cas pa a los n-juegos : o ma ex ensi a y o ma no malizada, unción ca- ac e ís ica, equi alencia es a égica,sim6 ía -median e el g upo de pe mu aciones de los jugado es- y los concep os de impu ación, domina- ci6n y solución . Su a amien o de los n-juegosconsis e en analiza dos amilias pa icula es : a) juegos descomponibles, cuyassoluciones exp esan a pa i de las de sus juegos componen es ; y b) juegos simples (p opios y ue es, según la nomencla u a pos e io de Shapley), donde la sencillez de la unciónca ac e ís ica pe mi e sus i ui la po una amilia de subconjun os, llamados coaliciones encedo as ; aquí s61o se dan las soluciones de algunas sub amilias de juegos simples, po ejem- plo los juegos homog6neos de mayo ía ponde ada, en pa icula los jue- gos de mayo ía simple (3) . 22 A pa i de 1960, la conside ación de juegos o mados po ung an núme o de "pequeños" indi iduos (consumido es, o an es) ha suge i- do incluso su a amien o como un in ini o con inuo-de jugado es, en los juegos llamados no-a ómicos (Shapley, Aumann [45]) . En la in oducción a Con ibu ions o he Theo y o Games I, publi- cado en el olumen 24 de los Annals o Ma hema ical S udies, 1950, p ime compendio de abajos pos e io es a Von Neumann-Mo gens e n, se p oponían como p oblemas abie os pa a n-juegos : a) exis encia de solución pa a odo juego ; b) es udio de los n-juegos es in- giendo la o mación de coaliciones ; c) de inición deun alo o - mal pa a cada n-juego ; y d) p opiedadesasin 6 icas pa a n -D oo . Un supues o básico en la ob a de Von Neumann-Mo gens e n es el ca ác e casi numé ico de las u ilidades, que desc iben los posibles esul ados del juego pa a cada jugado . Dicho ca ác e se exp esa po una co espondencia en e u ilidades y náme os eales, deducida de dos pos ulados simples : posibilidad de o dena las u ilidades y de e ec ua combinacionesp obabilís icas de lasmismas . El u ili a ismo ha sido muy discu ido en la li e a u a económica p e ia ( . g . Je ons(18), Pa e o  351) y pos e io (A ow [11, Sen [421, e c .) . Aquí sólo des a- ca emos el papel cen al de es a hipó esis en la ob a comen ada . Po una pa e, al habe una o al libe ad de ans e encia deu ilidades se pe mi e la coope ación y el ega eo median e la o e a -yen su ca- so ealización- de pagos la e ales . Po o a, al p opo ciona una o - denaci6n o al de las al e na i as de cada jugado pe mi e de ini el alo de un 2-juego de suma ce o (median e el eo ema del Minimax) y, pos e io men e, la unciónca ac e ís ica de odo n-juego . No exis e en la ob a de Von Neumann-Mo gens e n ninguna e e- encia explíci a a los juegos de o ación -o juegos sociopolí icos, en con aposición a los de ipo económico- . Ello se debe al papel unda men al del concep o de u ilidad, que no es na u al en los juegos de o- aci6n . Po o o lado, la o ma en que se es udian los n-juegos, po medio de unad ás ica simpli icación que los con ie e en 2-juegos pa- a cons ui la unción ca ac e ís ica, ampoco es adecuada pa a los juegos de o ación . Pa ece que es os juegos, po sus ca ac e ís icas, han de ene un a amien o p opio, independien e de losjuegos econó- micos . No es á cla o que en los p oblemas sociopolí icos pueda pensa - se uc í e amen e en é minos "mone a ios" . Después de es ablece Von Neumann y io gens e n el alo de un 2-juego, es Shapley l431 el p ime o que de ine el alo de un n-juego, como una e aluación a p io i, a pa i de es axiomas que pe mi en p oba la exis encia y unicidad del alo de odo juego de inido po su unciónca ac e ís ica . Se a a de la espe anza asociada a una dis i- buci6n de p obabilidad, y cons i uye una al e na i a al . concep o de so- luci6n de Von Neumann-Mo gens e n, que ni es ánica en gene al ni exis e pa a cada juego (Lucas[20]) . La c i ica p incipal (Sel en [41)), la de- pendencia de la unci6n ca ac e ís ica, es i ele an e á ecisamen e na- a juegos simples . Shapley [44] de ine un n-juego simple como un pa (X,F) donde X es un conjun o con n elemen os y F una colección no acía de subcon- jun os de X (coaliciones encedo as) que no con iene al acío y es il- o de o den, es deci , A E F,  A C B  implican  BEF . Un juegosimple es p opio si A EF implica X-A 1 F, y ue e si se sa- is ace el ecip oco, o sea si A F implica X-A E F . La di e encia de es a de inición con la p imi i a es que los juegos simples de Von Neu- mann y Mo gens e n son simples, p opios y ue es segan Shapley, po se de suma cons an e . Shapley [44] y 0wen[301 es udia onindependien emen e el com- po amien o de los juegos simples a a és de la composición, dando p e iamen e las leyes gene ales de dichaope ación, que se ealiza in oduciendo un juego cocien ecomo conexión de los juegoscomponen es y es una gene alización dela p opues a po Von Neumann-Mo gens e n . Shapley y Shubik [46]son quizás los p ime os que p esen an una e ec i a aplicación de la eo ía a los juegos de o ación, pues o que adap an la idea de alo de " un juego a cie os esquemas de o ación e in oducen el concep o de pode . Se desc ibe el pode asociado a p io- i a cada o an e o coalición, p escindiendo de odo lo que no sea las dis ibución de p obabilidad ini a . de e alua las posiciones ela i as adelan e, Luce y Rogow [22) incluye on eales . Y Rike [39] sugi ió una la alidez de es e indice de pode . Exis en dos lineas p incipales pa a es udia los juegos de o- aci6n : in en a asimila los a los juegos económicos o elabo a una eo- ía p opia . In e esa a los cien í icos polí icos qué coaliciones han de o ma se y cu4l se á el pago -en sen ido amplio- . Así, Downs [11l supo- ne que los pa idos buscan el máximo posible de o os pa a alcanza y conse a desahogadamen e las p ime as posiciones ; en cambio, Rike [401 conside a que el obje i o es o ma coaliciones encedo asminimales pa- a epa i la ic o ia en e un mínimo de indi iduos . Más ecien emen e, los abajos de Owen se han di igido en es- a linea de los juegos de o ación . En [31] Owen modi ica el pode de Shapley pa a ob ene un indice más lexible, que puede e leja aspec os no incluidos en las eglas o males del juego . En [321 es udia la elec- ci6n p esidencial de los Es adosUnidos, calculando ap oximadamen e el pode de Shapley de cada Es adopo el lineales, ideado po el p opio Owen, y el indice de pode de Banzha -Coleman, un ibunal de jus icia . Su desa ollo ecien ees udio [34) . An e io men e, Owen enlaza jo de Shapley y el suyo p opio ya ci ados, sob e composición de juegos, eglas de o ación, ob eniendo una Su esquema es el in en o más se io en un juego de o ación . Más o osda os y lo aplica on a comp obación expe imen al de p oblemas mé odo de las ex ensiones mul i- compa a el pode de Shapley con único econocido has aaho a po axiomá ico es el obje o de un en 1331 con el aba- En cadaocasión es a áde e minado el conjun o de opciones o al e na i as posibles que se p esen an a la conside ación de X ; dicho conjun o se ep esen a á po D = idl,d2# . . .,d } . Una o ación ela i a a la cues ión ep esen ada po D es una aplicación : X - ;> D U Ido}, donde do es un elemen o ex ano aD que se añade como imagen de los miemb os que es án ausen es, se abs ienen, o an en blanco o danun o o nulo : es os cua o casos son iden i ica- bles en e sí desde una pe spec i a o mal . El esul ado dela o ación es la aplicación  :  D U 1 do ~  ---> N dada po (d i ) = ( l (d i )) pa a i = 0,1,2, . . ., . P oposición I.1 .1 .- Si exis ealgún i no nulo que e i ique (d i ) -11 d, l(di) :D V e ,  en onces dicho i es -único . Po an o, si V e no es acío a lo sumo un i e i ica las condiciones . s i Ve es acío, la exis encia de dos subíndicesdis in os i,j da ía lu_ ga a las siguien es desigualdades T < d + d  (d i ) + (d j ) = ( l (d i)) + ( l (d j )) = ( l (d i ) U -l ( d j )) ~ : (X) = T . demos ación . Si i ~ j es á cla o que l ( di )ll l (d j ) Si exis e, se llama decisión (única) esul an e de la o ación , ela i a a la cues ión ep esen ada po D, al elemen o d i cuyo sub- índice e i ique las condiciones de la P oposición I.1 .1 . Si no exis e al subíndice se da como esul ado do , lo que se in e p e a como que noseha omado ninguna .d e las decisiones p opues as po D . Se llega, inalmen e, al concep o de coalición encedo a po las siguien es conside aciones . Sea A C X un subconjun o cuyos miemb os es án in e esados en que cie a d i sea la decisión esul an e de la o ac .i6n ; pa a que en cualquie caso -sea como sea la o ma en que o en los demás elemen os de X- el subconjun o A consiga su p opósi o, debe e i ica las condi- cionessiguien es : ADV e , (A) ~ d . Se dice en onces que A es una coalición encedo a . P oDósici6n 1 .1 .2 .- La amilia F de las coaliciones encedo as e i ica las siguien es p opiedades : a) si A E F, A CB, en onces B E F b) si A E F, en onces A U B EF pa a cada B C X c) A n B no es acío pa a ningún pa A,B E F i d) si AE . F, en onces X-A ~ F e) XEF, 0 F demos ación . a) inmedia a . b) equi alen e a la an e io . c) po la P op . I .l .l . d) se deduce de la an e io y la implica jun o con la p ime a . e) po se F no acía y po la cua a . Haciendo abs acción y is a la p oposición an e io , omamos como pun o de pa ida de es e abajo la De inición 1 .1 .2 .- Sea X un conjun o ini o . Un il oelec o al en X es una amilia no acía F C P(X) que e i ique (A .1) A EF, A C B implica B E F (axioma de il o de o den) (A .2)  d A,B E F  se e i ica  A nB (axioma de conexión) El pa (X,F) ecibi á el nomb e de espacio elec o al . ican : Además, los pa es (A .3,A .4), (A .l,A .4) y (A .2,A .3) son sis e- masde axiomas equi alen es al dado de il o elec o al . demos ación . Ve P oposición 1 .1 .2 . Los minimales de F end án un papel undamen al en lo sucesi- o ; en la p óxima p oposición se des acan sus p opiedadesca ac e ís i cae . P ooosicibn 1 .1 .4 .- La amilia F o de los minimales de un il- o elec o al F no es acía y e i ica (A 0 .1)  si A C B,  es A = B, pa a cada pa A,B E F o (A o .2)  d A,BE F se e i ica A nB~ 0 Recíp ocamen e, dadauna amilia no acía F o C P(X) que sa ip . aga(A 0 .1) y (A o .2), exis e unúnico il o elec o al F en X cuya a- miliade minimales sea F o . Además, F o C Fó implica F C F' . demos ación . Po se X ini o, F o no es acía . (A 0 .1) esul- a de que F o C F, y (A o .2) de la condición de minimalidad . Dada inicialmen e Fo e i icando (A o.1) y (A o .2) se de ine F = {A CX /  3 B E F o con A - D B Es inmedia o que F es un il o elec o al en X, y po se X ini o esul a se F o la amilia de los minimalesdeF . Si Fo e a la amilia de minimales de un il o F, po se X ini o F coincide con el il ocons uido po la ó mulaan e io . Todo ello p ueba quela 3 4 P o osicibn 1.1.3 .- Si (X,F) es uñ espacio elec o al se e i- a) si A E F, A U B E F pa a cada B C X (A,3) b) si A E F, X-A 1 F (A . 4) c) XEF, 01F co espondencia F H F o es biyec i a, y es ácil e que su in e sa es c ecien e . De inición 1 .1 .3 .- Se dice que Fo es el ge men o base del il o F, y que és e es á gene ado po F 0 , De iniciones 1 .1 .4 .- En un espacio elec o al (%,F), llama emos a cada A E F una coalición encedo a . Si 7-A E F, di emos que A es una coalición pe dedo a . Finalmen e, si A,%-A 1 F, di emos que A es una cp alici6n de bloqueo . De iniciones 1 .1.5 .- Un x E Res un elemen onulo (o sin in- luencia) si upo pe enece a ninguna coalición encedo a minimal . {x} es en onces una coalición pe dedo a, pe o el ecip oco es also . Un x E % es un dic ado si {x} es una coalición encedo a . Es sabidoque en al caso x es el inico dic ado , F 0se educe a íx}y F a los subconjun os que con ienen x, y que los demás elemen os son nulos . Recíp ocamen e, si odos los elemen os sal o x sonnulos, x es dic ado . UnxER es un elemen o con e o si {x} es una coalición de bloqueo . Designando po Vla in e sección de odas las coaliciones en cedo as, que coincide con la de odas las minimales, se obse a que V = (XI si hayun dic ado x, mien as que en o o caso V coincide con el conjun o de elemen os con e o . Man end emos es a no ación, así como la de 16 pa a el subcon- jun o de elemen os nulos, que es la in e sección de los complemen a ios de las coaliciones encedo asminimales . I .2.- HOMOMORFISMOS, SUBESPACIOS, COCIENTES . Da emos aquí es al e na i as pa a una de inición dehomomo iemoen e espacios elec o ales . Ello daluga a es ca ego ías, su que los isomo ismos son los mismos en las es . Discu i emos el con cep o de subespacio, señalando en especial los subespacios densos . Po úl imo, se p esen a á la o mación del espacio cocien e po una ela- ci6nde equi alencia . De iniciones 1 .2 .1 .- Sean (X,F), (X',F') espacioselec o ales, : X -- > X' una aplicación . a) es un mo ismo si A E F implica (A) E F', lo que con un abuso de no ación ab e iamos po (F) C F' . b) es un an imo ismo si A' E F' implica 1 (A') E F, que con el mismoabusoesc ibi emos _1(F1) C F . c) es bimo ismo si es a la ez mo ismo y an imo ismo . En los es casos pond emos : (X,F) ---> (X',F') La iden idad es un bimo ismo, y la composición de mo ismos ( esp, an imo ismos) es un mo ismo ( esp . an imo ismo) . Quedan de i nidas, po an o, es ca ego ías, E, E -l , E 1 ¿ -l , cuyos obje os son los espacios elec o ales y cuyos homomo ismos son, espec i amen- e, .los mo ismos, an imo ismos y bimo ismos . Po las de iniciones, P onosicibn 1 .2 .1 .- Enlas es ca ego ías los isomo ismos son las aplicaciones biyec i as ales que , 1 son mo ismos . Ade- más, si es biyec i a, la condiciónnecesa ia y su icien e pa a que sea isomo ismo es que (F 0 ) = Fol . 36 Hom  -,- n Hom  Hom  -1 -,- n demos ación . Es una comp obación s anda d . Dado un espacio elec o al (X,F) yun subconjun o Y C X, esc 1 bi emos F y=F 11 P(Y), y ambién F (1 Y = A (1 Y / A E F} . Si Y  F, esul a F y  En cambio, si Y E F, Py sa is ace los axiomas de il o en Y, con base (FY)o = Fo n P(Y) . De inición 1 .2.2 .- Un subespacio elec o al de (X,F) es un pa (Y,F Y ) donde Y E F . La de inición o maliza la idea in ui i a de subconjun o con su icien e capacidad deciso ia . La inclusión canónica i : Y -->X es un monomo ismo en E . . De inición 1 .2 .3 .- Un subespacio (Y,F Y ) es denso si Fo C P(Y) . Resul a en onces (FY)o = Fo' P oposición 1 .2.2 .- Si Y E F, son equi alen es : i) (Y,Fy ) es denso ii) dada : R ---> X', siendo (X',F') un espacio élec o al, es mo ismo si y sólo si la es icción oi de a Y lo es iii) A (1 YEF pa a cada A EF i ) la inclusión i es bimo ismo ) X-N C Y i) Py = F l Y demos ación . (i)  (ii) . Dada : X --+ X', si Y es denso y oi mo ismo se iene (F 0 ) _ ( oi)(F 0 ) C F', luego es mo ismo . (ii) -(iii) . Sean %' = R, F' el il o gene ado en X po (F Y ) o , = id : X --- > X' . Po se oi mo ismo, ambién lo es, po la hipó esis . Po an o, pa a cada A E F esul aA = (A) E F', así que A 7 B E (P Y ) o , de donde A n Y D B E F, esul ando A n YEF . (iii) ===1>(i ) . ies mo ismo, y siendo i -l (A) = A n Y la hi- pb esisasegu a que i es an imo ismo . (i ) == =~ ( ) . Sea x ~ N . Exis ealgún A E Fo al que xEA . Po se i un an imo ismo, A l Y = i -l (A) E F Y C F, pe o al se A mini mal esul a A = A (1 Y, x EY . ( ) == :5 ( i) . ,En odo caso P y C F l Y . Si A EF o , enemos que A C X-N C Y, luego A (1 Y=A E P y . Si B E F, exis e A E F o conA C B, de dondeA = A 11 Y C B n Y,  y po an o B 1 YE P y * ( i) ==1 (i) .  Sea AE F o .  Tenemos A h Y E F Y , pe o siendo A minimal y F Y C F, debe se A=A(1Y,luego A E P(Y) . P o osicibn 1 .2 .3 .- Los subespacios densos de (X,F) o man un álgeb a de Boole isomo a a P(N) . demos ación . Launión de subespacios es un subespacio, po se F il o de o den . Si uno de los dos es denso, la unión ambién . Po o a pa e, la in e sección de subespaciosdensos es un subespacio denso . Po an o, los subespacios densos o man un sub e ículo R C P(X) cuyo máximo es (X,F) y cuyo mínimo es (X-N,FX_N) . De iniendo : R - .> P(N) po la ecuación (Y) = Y 1 N, es un isomo ismo de e ículos, u ilizando la condición ( ) de la P oposi ción 1 .2 .2 . Siendo P(N) unálgeb ade Boole, el paso al complemen a io se aslada a R como sigue : si Y E R, es Y = (X-N) U N', con N' C N ; su complemen a io en R es YR= (X-N) U (N-N') = X-N' . De es e modo R se con ie e en un álgeb a de Boole isomo a a P(N) -aunque no subálgeb a de P(X)-, Lema 1 .2 .1.- Sea Fun il o en X, : X -- ~> X' exhaus i a . En onces (F) es un il o en X', y  (X', (F)) es un bi- mo ismo . demos ación . Si A,B E F, A !1 B  implica (A) (1 (B)  ~, Si B' :D (A),  AE F,  en onces - '(B') J A,  - '(B') E F,  y po se exhaus i a B' = ( -1 (B')) E (F) . Po an o, (F) es il o . Es e iden e que £ es mo ismo . Y es an imo ismopo que pa a cada AEF enemos 1( (A)) D A . en X . os . Sea (X,F) un espacioelec o al, R una elación de equi alencia Se designa el conjun o cocien e po X = X/R, ylaaplicación de paso al cocien e po T : X ---X . Po el Lema 1 .2 .1, la amilia F = TT(F) es un il o en X . De inición 1.2 .4 .- El espacio elec o al (X,F) es el espacio cocien e de (X,F) po la elación de equi alencia R . La de inición o maliza la idea in ui i a de o máci6n depag El paso al cocien e TC : (M) ---> (! * « F) es un bimo ismo . E'em  . Sea (X,F) un espacio elec o al, Y C X . Llama emos eg pacio cocien e po la alianza Y al espacio X/Y ob enido como cocien e po la elación de equi alencia RY de inida en X po Designa emos el paso al cocien e po T y , con y = TCY(Y) . Po se TU Y un bimo ismo, el ipo de la coalición 1yJ coincide con el de Y . Así, si Y es encedo a X/Y es una dic adu a de y . Si Y es de bip queo, y iene e o . y si y 8610 si x=y 6 x,y E Y Sea aho a (X,F) un espacio elec o al, y sean Y,Z - *C X . Designg mos po X/YZ el cocien e doble (X/Y)/Z, donde Z=TUY (Z), Y po TYZ el bimo ismo exhaus i o desde X . P onosici6n 1 .2.4 .- a) Hay un isomo ismo : X/YZ => X/ZY al que T ZY = o Tzyz . b) Si Y 1 Z no es acio, en onces X/YZ =-~ X/YVZ ; si Y (1 Z= 0,  en onces X/Y V Z es el cocien e de X/YZ po la iden i ica ci6ndey = TU YZ (Y) con z = T zy(Z) . demos aci6n . Como esul ado p e io, si enemos la si uación X/ Y donde F- es un bimo ismo exhaus i o cons an e e i Y, es ácil e que exis e unúnico bimo ismo exhaus i o £ : X/Y --> X' al que o T y = F, dado po ([X]) a) Aplicando es a p opiedad,  CZY ac o iza po un bimo ismo exhaus i o l , que a su ez ac o iza po o o : X/YZ --> X/ZY . Es e úl imo esul a biyec i oy e i ica o TT YZ= l o 1 1 y = b) Unanue aaplicación del esul ado p e io pe mi e ac o i- za TC YU Z , p ime o a X/Yy luego a X/YZ, dando un bimo ismo exhaus i o g :  X/YZ - .> X/Y V Z .  __ Si Y (l Z no es acío, g es biyec i o . Si Yn Z = 0, g no es inyec i o s61o po que g(Y)  = g( z) .  con y # z . Po an o, aplicando de nue o el esul ado p e io se ob iene un isomo ismo EX/YZViy,z} C-, X/YUZ . Es e enunciado se gene aliza inmedia amen e, p obando que el cocien e múl iple X/Y 1y2 . . .Y de X po las alianzas Y l ,Y 2 ,. . . y Y no dg pende del o den de és as po (a), yque se pueden supone disjun os cg da pa Y i ,Y j , o de lo con a io se sus i uyen ambos po Y i U Y j , Ilo as . Dos obse aciones ace ca de la ca ego ía F --1 . lá) F (l Y es il o en Y si y sólo si A (1 B (1 Y no es acío pa a ningún pa A,B E F o . Po ejemplo si Y (1 V no es acío . Si F n Y es il o en Y, i : Y -- :> X es monomo ismo en la ca ego ía E-1 . i es bimo ismo si y sólo si Y es denso . En cie a mane a, los pa es (Y,F 1Y),cuando F l Y es in, o, pod ían $e conside ados los subespacios de (X,F) en E7 1 . 21 1 ) Sean (X,F), (X',F') espacios elec o ales con X n X' _~ . La amiliaF ®F' = {A U A' A E F, A' E F'~ es un il o en X U X', cuya base es (F ® F') o- F o ® Fó . (X U X' F (DF' .) es el p oduc o de Shapley o unión disjun a de los espacioselec o ales dados . Se cumple : VF ® F' - VF U VF " NF ® F' -NF u NF' .  Si (X,F) es una dic adu a de x, en el p oduc o de Shapley x se educe a elemen o con e o . El p oduc o de Shapley es p ecisamen e el cop oduc o en la ca ego íaE7 1 . En e ec o, si i,i' son las inclusiones espec i as en el p oduc o de Shapley, dados dos an imo ismos (X,F)  i (X",F"), (X',F')  ' i (X",F"),  exis e unaúnicag : (X U X',F ®F') --> (X",F") que cie a el diag ama po los dos lados, dada po g(x) = (x)  si x E X g(x') = '(x') si x' E X', y es an imo ismopo que g 7-1 (A") = 1 (A") U ( ')_l(A")  dA" E F" . 11.2.- INVARIANCIA DEL PODER A TRAVES DELOS AUTOBIORFISA OS . Los au omo ismos de un espacio elec o alconse an el pode , como caso pa icula de la P oposición I1 .1 .4 .a), pe o hay un ecip oco pa cial de in e és cuando el espacio es comple o . El g upo de au omo - iemosqueda en onces pe ec amen e desc i o, e idenciándose la elación en e el pode y los axiomas de espacio elec o al . Añadimos dos con a- ejemplos de que la comple i ud no puedesup imi se . De inición 11.2 .1 .- Sea (X,F) un espacio elec o al . Un au o- mo ismo de (X,F) es un isomo ismo : (X,F) -~,(X,F) . Es inmedia ocomp oba que con la ope ación de composición los au omo ismos de (X,F) o man un g upo Au (X,F), subg upo del g upo si- mé ico S(X) . El g upo Au (X,F) no de e mina al il o F . Po ejemplo, si un espacio simé ico es aquél en que Au (X,F) = S(X), es ácil e que hay espacios simé icos no isomo os en e si con igual sopo e X . Todo es- pacio simé ico es simple, es deci , exis e un ca dinal comán a odas sus coaliciones encedo asminimales . El es udio y la clasi icación de los espacios simples, en pa icula de los simé icos, es el obje odel capi ulo siguien e . P onosici6n 11.2 .1 .- El índice £S(X) :Au (X,F)] es el nííme o il os en X isomo os aF . demos ación . A cada E S(X) se le asocia (F), que po el Lema 1 .2 .1 es un il o en X isomo o a F . La aplicación s . . ~ (F) es e iden emen e exhaus i a en e S(X) y el conjun o de il os en X iso mo osa F . Además, (F) = g(P) equi ale a gl o E Au (X,F), es deci , 48 de a que g = m6d . Au (X,F),po lo que exis e una biyecci6n en e el cp cien e S(X)/Au (X,F) y el conjun o de il os enX isomo os a F . De inición 11 .2 .2 .- La elaci6n de sime ía enX es x R y si y s61o si  xy E Au (X,F), siendo XY la asposici6n de x po y (con enimos que xx= id) . Es inmedia o comp oba que R es una elaci6n de equi alencia, ya que xx = id, yx= XY , y, si x,y,z son dos a dos dis in os, xz = yz o XY o yz " Las clases de equi alencia de R se án las clases de sime ía . Pues o que Au (X,F) es un g upo que ope a en X, conside a emos las ó bi as de X espec o a dicho g upo . Pa a cada a E X su 6 bi a es O x = {y ' E X /  3 E Au (X,F), y = (x) } . Las ó bi as cons i uyen una pa ición de X, siendo cada una in a ian e po cada au omo ismo . El g upo se llama ansi i ocuando exis e unaúnica 6 bi a, 0 = X . Po la de inición dada an es, es inmedia o que cada 6 bi a es eunión de clases de sime ía . En pa icula , an o A como n son a la ez ó bi as y clases de sime ía . Dos elemen os x,y E X son equi alen es si xRy, es deci , si xy es un au omo ismo . En cambio, x,y son ela i amen e equi alen es si y E Ox , es deci , si exis ealgúnsu omo ismo (no necesa iamen e la asposici6n XY ) al que y = (x) . Tambi6n son in e cambiables, pS o con una ans o mación simul ánea del es o (o pa e)del espacio . P oposición II .2.2 .- El pode es in a ian e po au omo ismos, es deci , es una unción cons an e en cada 6 bi a . demos ación . Caso pa icula de la P oposición II .1 .4 .a) . Co ola io . Si Au (X,F) es ansi i o, en pa icula si (X,F) es simé ico, se e i ica : a) p es cons an e en X b) N = 0 c) o bien V = X, F = {X} y el espacio quedade e minado, o si no V = 9( y odas las clases de sime ía ienen el mismo ca dinal (son unipun uales si n es p imo) . demos ación . a) Po se el g upo ansi i o exis e una única ó bi a 0 = X, donde p es cons an e po la p oposición an e io . b) Y po se N una posible ó bi a si no es acío, al habe una soladebe se N=o . c) Si V no es acío, po se una ó bi a es V = X, de donde el il o es F = {XI . En o o caso, conV e emos que dos clases de sime ía ienen el mismo ca dinal . Sean C,C' dos clases dis in as, y sean x E C, x' E C' . Po la ansi i idad exis e E Au (X,F) al que x' = (x) . Bas a á e que (C) C C', pues o que el mismo a gumen o pa a _l nos da ía C' C (C) . Si y E C, la igualdad x,y, = o XY o 1 ,  siendo Y' = (Y), lle aa que a'Ry' . Po descon ado, si n es p imo, como no puedehabe una sola clase de sime ía con n elemen os po quese ia V = X, ha de habe n clases de sime ía odas unipun uales . U iliza emos en la p óxima de inición las siguien es no acio- nes : pa a cada x E X, Fx = {A E F Ix E Al,  (Fo)x ={A 1 F o /x E Al . De inición 11 .2.3 .- La elación de sus i ución en X es x S y si y s61o si  XCY(px) C F y . Se e i ican inmedia amen e las p opiedades e lexi a y an- si i a de S, p eo den en X que elaciona emos en seguida con R . Si (X,F) es simple, xSy implica xy(Fo)x C (F 0 ) y , mien as que el ecip oco es álido en cualquie espacio . P oposici6n 11 .2 .3.- xRy si y s61o si xSY, YSx, es deci , R es la elación de equi alencia asociada al p eo den S . demos ación . Bas a obse a que xRy, o sea, XY E Au (X,F), signi ica exac amen e que Xy(Fx) = Fy . Resuj . a de ello que en el conjun ococien e X = XIR queda in- ducida po S una elación de o den 1, de la que, si no es acía, la clase N ( espec i amen e V) es el mínimo( esp . máximo) . U iliza emos un esul ado gene al de la eo ía de g upos que se expone a con inuación (Hall [131) . Si G C S(X) es án de inidas las clases de sime ía de X es- pec o a G po el p ocesoseguido en la De inición 11 .2 .2 . Se e i ica que cada ó bi a es eunión de clases de sime ía de G . Po o a pa e, si U C X, el g upo S(U) puedeconside a se sub_- upo de S(X) median e un monomo ismo, y si U,V C X son disjun os, ambién el p oduc o di e-q o S(U) x S(V) se inyec a en S(X) . El p óximo lema, pu amen e écnico, combinado con el siguien- e, que es ablece una ue e conexión en e S y el pode , pe mi i án llega al esul ado p incipal de es a sección . Lema 11.2 .1 .- Si GC S(%) son equi alen es : i) G es á gene ado po (sus) asposiciones ii) cada ó bi a de G coincide con una clase de sime ía de G iii) exis en subconjun os U1,U2, . . . . U de R, dosa dos disjun- os, ales que G = S(U 1 ) x S(U 2 ) x ... x S(U ) . demos ación . i) ==i>ii) Sean x,y de una misma ó bi a . Exis e EG al que y = (x) . Po hipó esis es = l o 2 o ... o i , p oduc o de asposiciones de G, de donde esul a x R i (x), i(x) R i_l i (x), . . .,  2 3 . . . i (x) R 1 2 3 . . . i (x) =y . Po ansi i idad,  es lo que son de la mismaclase . ii) ==* iii) Sean U1,U2@ . . .,U las ó bi as de G, que po hipó esis son ambi6n sus clases de sime ía . Po lo p ime o y las considg acionesp e ias al lema, es G C S(U 1 ) x S(U 2 ) x ... x S(U ) . Po lo sg gundo y aquellasconside aciones alela inclusión ecip oca, y esul a la igualdad . iii) ===4 i) Es inmedia o que G, po se p oduc o de g upos si- m6 icos, es á gene ado po sus asposiciones . Lema 11.2.2 .- Si XSy, YOx, en onces p(x) < P(Y) . damos aci6n . La aplicación C »b--> XY o Tes una pe mu ación del conjun o de o denaciones de% . Po se xSy, si x es pi o e de s', y es el pi o e de xy o 6', po an o p(x) É p(y) . Po se yox, exis e A E (F o ) y al que 17 (A) ~ F, po lo que A E F o , y E A, x ~ A . De ello esul a, llamando i = ca d(A), que hay (i-1)!(n-i)! o denaciones cuyo pi o e es y, la an iimagen de las cuales no iene pi o e x, de donde, siendo 1 < i<n, esul a 52 xRy, po P oposición 11 .2 .4.- Los su omo ismos de un espacio (X,F) en donde S es o al son exac amen e las pe mu aciones de X que conse an el pode , es deci , Au (X,F) = E S(X) 1 p( (x)) = p(x),  dx E X} . Además, si X1,X2, . . .,Xk son las clases de sime ía de (X,F), Au (X,F) = S(X 1 ) x S(X 2 ) x . . . x S(X k ) . , demos ación . Pues o que el pode es in a ian e po losau o- mo ismos según la P oposición 11.2 .2, bas a á p oba que oda pe mu- ación de X cue conse e el pode es un au omo is - i de (X,F) . Sea una al pe mu icibn . Pa a' cada xE X, sea y = (x) . Suponiendo YXx, po se S o al end íamos ySx o bien xSy, excluyéndose mu uamen e . Po el lema an e io llega íamos a con adicción con que conse e el po- de . Po an o, pa a cada x E X esul a xR (x), de donde ans o ma cada clase de sime ía en s1 misma y, po ello, E Au (X,F) . En segundo luga , pues o que el p oduc o di ec o de los g upos simé icos de las clases dé sime ía es á con enido en Au (X,F), y se acaba de e que cada E Au (X,F) descompone en p oduc o de pe mu a ciones de dichas clases, queda p obada la coincidencia delos g upos . Co ola io 1 . Si (X,F) es un espacio elec o alcon S o al, a) cada ó bi a de Au (X,F) es una clase de pa es de elemen os equi alen es sólo b) p(x) = p(y) si y sólo si c) los alo es pl .P2' . . .,pk Au (X,F) son odos dis in os (lo que d) el núme o de il os en X isomo os na o io Cn l ~ n2' . . ~ nk , donde ni = ca d(X i ), i = 1,2, . . .,k . sime ía, y no hay ela i amen e x R y del pode sob e las ó bi as de gene aliza la P oposición 11.1 .3) a F es el núme ocombi- demos ación . a) Po la p oposición an e io y el Lema 11 .2 .1 . b) p(x) = p(y) implica que x,y son de la misma ó bi a, o sea de la mismaclase ; el ecip oco iene de la P oposición 11 .2.2 . c) Resul a de combina los pun os a) y b) . d) Resul ade la P oposición 11.2 .1 iendo que Au (X,F) es el p oduc odi ec o de los g upossimé icos de sus clases de sime ía . Co ola io 2 . Supues a S o al, si p es cons an e o el g upo ansi i o el espacio es simé ico . demos ación . Po los pun os a),c) del co ola io an e io . Eiem lo 1 . Sea X = la,b,c,d,e, i, Fel il o cuyo ge men es F o = S{a,b}, La,c,dJ, ~b,e,d}, {a,c,e, l ,} . En el espacio (X,F) la el .& ci6n Sl no es o al, sino que iene dada po el diag ama _  c  - a -~ d ! =a b El g upo es Au (X,F) = {idj, de o ma que coinciden las ó bi- as con las clases, odas unipun uales . Sin emba go, p(c) = 0 , 1 = p(e), sin se equi alen es : ce conse a el pode sin se au omo ismo . E'em  2 .  Sea X = 1,2, .... n1, n>,5,  q = E(n/2)+1, F el il o de ge men F o =  12, ... .q+1}, . . ., in,l, . . .,q-1~l . Es e es un l espacio simple no simé ico, con Au (X,F) =D2n' g upo diéd ico de las isome ías de un polígono egula den lados, po con ene el "gi o" (1,2, . . .,n) y la sime ía e(i) = n-i+l . No hay asposiciones . Po se ansi i o hay una sola 6 bi a, .pe o n clases de sime ía unipun uales . El pode es cons an e, a pesa de lo an e io . Na u almen e, S no es o al : se e i ica solamen e xSxpa a cada x E X . 5 4 ESPACIOS COMPLETOS En la úl ima secci6n del capi ulo II se ha es ablecido que el pode es el in a ian e undamen al del g upo de au omo ismos pa auna clase de espacios elec o ales : aquéllos donde el p eo den de sus i ución S es o al . Es os espacios, que llama emos comple os, cons i uyen el obje o del p esen e capí ulo . En él, median e la gene alización de las elacio- nes de sime ía y sus i ución alos subconjun os, cons ui emos un co cien e o denado que pa a dichos espacios esul a á se un e ículo dis- ibu i o, del que da emos dos e siones numé icas -el de los indices y el de los modelos- des inadas a se los ins umen os esenciales pa a abo da el ema de la clasi icación de los espacios simples comple os . La clasi icación de espacios,apa e de su in e és in ínseco, iene mo i adapo una cues ión impo an e que plan eamos en el úl imo capi ulo, la ealización de espacios elec o ales po medio de conjun os deciso ios . Dada la gene alidad de aquéllos, una p ime a ap oaimaci6n consis e en in es iga los espacios simples . Y pues o quela cues ión queda inmedia amen e zanjada pa a los espacios no comple os el pun o in e esan e es jus amen e el de la comple i ud . Así, la p ime asecci6n se dedica á a la gene alización deR y S, yla segunda al p oceso de asocia a cada espaciocomple o el ci ado e ículo, es udiando sus p opiedades . En la e ce a secci6n clasi ica emos los espacios simples comple os, p og esando desde los elemen ales a losmás complejos, es deci , con mayo núme o de in a ian es . III .1 .- SIMETRIA Y SUSTITUCION . Sea (X,F) un espacio elec o al . En el capi ulo II se han de i- nido la sime ía R y la sus i ución S, e i icándose que R es la ela- ci6n de equi alencia asociada al p eo den S . Ex ende emosaho a R y S a P(X) conse ando la conexión en e ambas elaciones . Y la elación de sime ía se ca ac e iza á num6 ica- men e median e los indices, que pe mi en después es udia el e ículo asociado a cada espacio donde S sea o al (espacios comple os) . De inición I1I .1 .1 .- La elación de sime ía en P(X) es la elación de equi alenciaengend ada po la elación siguien e : A 1 B  si y sólo si  3xRy / Xy (A) = B ; es deci , A B si y s61o si A 1 C1 1  . 1 C h= B, h a bi a io . es de equi alencia po se -1 e lexi a y simé ica, y es una ex ensión de R a P(X) iden i icando X con sus subconjun os uni a ios . Si A B,  AEF ( esp .  A E F o ) implica BCF ( esp .  B E F o ) . De inición 111 .1 .2 .- La elación de sus i ución s en P(X) es la elación de p eo den engend ada po la elación siguien e : A - B si y s61o si A = 0 o 3xSy / x E A, XY (A) C B ; es deci , A aBsi y s61o si A -¡> C1 -'> ... --> C h = B, h a bi a io . s es unp eo den po se - > e lexi a, y ex iende S a P(X) . Si A s B, AEF implica B E F . Tan o AC B como A 1 B implican A->B . Además, si A a B, los c lo  ,Ch , . l pueden elegi se con igual ca dinal que A . Pa a ello bas a e que si A -+> B exis e B' CB al queA -~ B',  ca d(A) = ca d(B'),  Y, en e ec o, si A= 0 bas a oma B' =0 ; si no, exis iendo xSy al que x E A, (A) C B, se pone B' = (A) . 5 6 Sea p la unción de pode de Shapley en X, y g : X -> N dada po g(x) = p(x) + E, siendo E >0 cons an e . Es a unción sa is ace : g(x) >0 pa a cada x E X ; g(x) = g(y) si xRy ; y según el Lema 11 .2 .2, g(x) < g(y) si xSy pe o yIx . (En gene al, si S es un p eo den en un X ini o yR la equi alencia asociada, siemp eexis en ales . unciones g) . Ex endiendo g a P(X) po g(A) = y- g(x) pa a cada A C X, queda x EA g(A) = g(B) si A B, g(A) < g(B) si A CB, y g(A) L g(B) si A s B . P onosici6n III .1 .1.- es la elación de equi alencia asociada al p eo den s, es deci , A B si y s61o si A sB,Bs A . demos ación . Veamos que A -i B pe o A7¿ B implica g(A) < g(B) . Sea xSy, x E A ; XY (A) C B . Si y C A, en onces A C B, A ~ B, de donde g(A) < g(B) . Si y ~ A pe o yOx, es g(A) < g( XY (A» < g(B) . Y si y 1 A pe o ySx, esul a xy (A) ~ B, y g (A) = g( XY(A)) < g(B) . Sea A B : la cadena A 1 C l 1 . . .-L C h = B puede esc ibi se A  Cl -i ,, . --4- Ch = B -~, C h-l - .-, . . . --> Cl -> A, luego A s B, B s A . Recíp ocamen e, si A s B, B s A, empalmamos las dos cadenas : A --s Cl --> ,.. --> C h= B -aD l .-*> ... - . Dk = A ;  si alguna -+ no uese l ob end íamos g(A) < g(A), de modo que A B . (También hemos p obado que A 1 B si y s61o si A --> B, B .-> A) . La o denación inducida po s en el cocien e P X = P(X)/ se designa á po !É, como hicimos con la dada po S en ' ¡ = X/R . Pues o que A B supone que ca d(A) = ca d(B), habla emos li- b emen e de ca d(1) pa a oda clase A E P X . Tomando P j (X) = {AE P(X) / ca d(A) = j}, j = 0,1, . . .,n, los cocien es P j X = P j (X)/ cons i uyen una pa ición de P X . (0, . . .,0) = in (A) y (1  ,1  ,k, . . .,k) = sup(A) ninzán o o elemen- o iene complemen o, po lo queA no puede se e ículo complemen ado . Finalmen e, de las ó mulas de sup emo e ín imo esul a inme- dia amen e que cada Aj es un e ículo, sub e ículo de A . Todases as p opiedades se aducen en seguida a R77 si el espacio (X,F) es comple o, ía los isomo ismosp eceden es . Co ola io . Si (X,F) es un espacio elec o alcomple o, ( _ P(77, es un e ículo, dis ibu i o, comple o e isome o a un sub e ículo de la di isibilidad en los na u ales, pe o no es complemen ado si n >1 . Las es uc u as ( n,s) y (A,!!-) co espondien es a los ca di nalesn l , . . .,n k de las clases de sime ía de (X,F) son e ículos isomo - os a Cada J P . X es un sub e ículo de P X , que en los isomo ismos co esponde a los sub e ículos n . y A, de A y A espec i amen e . JJ demos ación . Bas a ene en cuen a las es p oposiciones an- e io es y el hecho de que si dos conjun oso denados son isomo os co- mo ales y uno de ellos es e ículo, en onces el o o ambién lo es, y ambos e ículos son isomo os (Szász [471 , eo ema 9) . De inición 111 .2.2 .- Llama emos e ículo asociado al espacio elec o al comple o (X,F) al e ículo (P X , i!-) oa sus modelos isomo os (A s) o e ículo de los indices, y (A,!!) e ículo de los modelos de coaliciones . A espacios isomo osco esponden e ículos isomo os, pe o el ecíp oco es also . Po ejemplo, pa aX = {a,b,c1 do adodel il o de baseF o = {ía,b},{a,c}}, y X' = la',b',c'} con el de base Fó = { a'}, . Te mina emos es a sección con un ejemplo de espacio elec o al comple o,que ilus a á la o mación del e ículo A .y el nomb e que se le ha dado, el de los "modelos de coaliciones" . Sea R = {a,b,c,d,e}, do adodel il o F cuya base Fo cons a de a,bJ y {a,c} . Las clases de sime ía son 7C 1 = {d,e}, % 2 = b,c}, % 3 = {al, y la o denación de % es N = Xl c R 2 c x3 = V . La igu a siguien e mues a un esquema del e ículo A, en el que se des aca la pa ición en sub e ículos IAo,Al, ... .AJ . 11223 Esquema .- Se han sup imido los ce os iniciales, así como los pa én esis y comas, en a as de una mayo cla idad . Cada sub e ículo A i se o macombinando de odas lasmane as posibles i símboloselegidos en es e ejemplo en e 1,1,2,2,3 . Llamamosa A el e ículo de los modelos de coaliciones po que cualquie coalición, es deci , odo subconjun o de X, queda ep esen a- da po uno de ales modelos, a endiendo a sus indices . Se u iliza el mismo símbolo numé ico pa a ep esen a elemen os R- elacionados, Cada A C X queda ep esen ado po un modelo de A i , i = ca d(A), y A,B [ X co esponden a un mismo modelo si y s61o si A B . Se sob een iende que el sen ido c ecien e de la o denación de A eco e los segmen os del diag ama de izquie da a de echa y de abajo a iba . Es a o denación del e ículo de modelos co esponde ala o de- nación a de P(X) . F o pasaa se un solo modelo, el 23, y F se con ie e en odos los modelos si uados po encimadel 23 (inclusi e) . Las coaliciones pe dedo as es án ep esen adas po odos los modelos del 112 haciaaba jo, y las de bloqueo po los seis modelos in e medios es an es . III .3.- CLASIFICACION DE ESPACIOSSIMPLES COMPLETOS . Da emos aquí los in a ian esnumé icos undamen ales decada espacio,jun o con los co espondien es eo emas de exis encia y de clasi icación (unicidad sal o isomo ismos) . In oduci emos alguna nomencla u a adicional pa a ci a con comodidad los dis in os ipos de espacios . Dado un espacio (X,F) designa emos po N,X 1 ,X 2 ,  .,X k,V sus clases de sime ía -obse ando que k no iene aho a exac amen e el mis- mo signi icado que en la sección an e io - . n y n,,n l ,n 2 9. . .,n k ,n V designa án los ca dinales de X y de las mencionadasclases de sime ía . De inición 111 -3.1 .- Un espacio elec o al (X,F) es simple si odas las CE F o ienen un mismo ca dinal p . Es udia emds p ime o los espacios simples más elemen ales . De inición 111 -3 .2 .- Un espacio (X,F) es a ómico si F o cons a de una sola coalición . En o o caso di emos que el espacio es molecula . La es uc u a de los espacios a ómicos queda desc i a po el Teo ema III .3 .1 .- a) (X,F) es a ómico si y s61o si k = 0 ; b) odo espacio a ómico es simple, comple o y con V  0 ; c) dos espacios a ómicos (X,F), (X',F') son isomo os si y sólo si n = n', p = p' (n y p se án los in a ian es del espacio) ; d) dados n,p ales que 0<p 6n, exis e un espacio a ómico con in a ian es n,p . demos ación . a) Si (X,F) es a ómico, sea F o = C} . En onces V = C, N = X-C, k = 0 . Recíp ocamen e, si k = 0, solamen e exis en las clases N, que puede se acía, y V, que no puede se lo . Si C EF o debe se C = V, po an o el espacio es a ómico . b) Ob iamen e, odo espacioa ómico es simple ; po se k = 0 es comple o y con V no acío ; además, nV= p . c) Si exis e un isomo ismo : X --~ X', enemos n = n', y al se (V) = V, p= p' . Recíp ocamen e, si n = n', p = p', bas a oma una biyección : X --> X' al que (V) = V, y se á un isomo ismo . d)  Sea X = 1,2, . . .,ni,  con F o =  {C},  C = { 1,2, . . .,p} .  Es e espacio (X,F) es a ómico con in a ian es n,p . En pa icula , pa a p = 1 esul a el espacio dic a o ial, mien as que pa ap =n esul a el espacio de unanimidad . De inición 111 .3 .3.- Un espacio (X,F) es simé ico si Fo es un cie o P (X), donde debe se p > n/2 . p El ánico espacio simé ico a ómico es el de unanimidad . Llama emos asimé icos a los espacios no simé icos . La es uc u a de los espacios simé icos se expone en el Teo ema 111 .3 .2 .- a) (X,F) es simé ico si y sólo si su g upo de au omo ismos es S(X) ; b) odo espacio simé ico es simple, comple o,con N = y (sal o el de unanimidad) molecula , conV = 0, k = 1 ; c) dos espacios simé icos (X,F), (X',F') son isomo os si y sólo si n = n', p = p' (ny p se án los in a ian es del espacio) ; d) dados n, .p ales que n/2 < p L- n, exis e un espacio (X,F) simé ico con dichos in a ian es . demos ación . a) Si (X,F) es simé ico, sea F o = PP (X) . Pa a cada 6 E S(X) se e i ica a- PP (X) = PP (X), luego E Au (X,F) . En cuan o al ecíp oco, si Au (X,F) = S(X), sea C E P o , p = ca d(C) . Al aplica a C odas las 6 E S(X) esul a P P (X) C Fo ; análogo azonamien o y lamini- malidad de las coaliciones de Fo p ueban que no exis en C' E Fo ales que ca d(C') ~ p, po lo que F o = PP(X) . b) Ob iamen e odo espacio simé ico es simple, y comple o po - que X = X/R cons a solamen e de una clase ; po lo mismo N=0 ; si la clase ue a V es a íamos en el caso a ómico de espacio de unanimidad ; po an o, si el espacio es molecula esul a V = 0, k = 1 . c) Si exis e un isomo ismo : X ---> X', enemos n = n', y si C E F o , (C) E Fó, po an o p = p' . Recíp ocamen e, si n = n', p = p', cualquie biyecci6n : X - .+ X' es un isomo ismo . d) Sea X = [1,2# . . .,ni,lcon F o = P P (X) ; la condición p > n/2 asegu a la e i icación del axioma A 0 .2 de base de il o, .luego (X,F) es un espacio simé ico con in a ian es n,p . En pa icula , pa a el alo mínimo .p = E(n/2)+1 ob enemos el espacio elec o al de mayo ía simple, y el máximo p=n nos da el de unanimidad . Los espaciossimples no comple os son molecula es, asimé icos y con k -1 2, y no se ánes udiados . De los es an es espacios simples, que son comple os, molecula es y asimé icos, sepa a emos p ime amen e los pseudosimé icos, que ienencie a simili ud con los simé icos . D e inición 111 .3.4.- Un espacio (X,F) es pseudosim6 ico si k=1, NUV~0 . Su es uc u a se expone en el siguien e eo ema . Teo ema 111 .3.3.- a) Todo espaciopseudosim6 ico es simple, comple o, molecula y asimé ico ; b) dos espacios pseudosim6 icos (X,F), (X',F') son isomo os si y s61o si n = n', p = p', nV=n 9 , nl = nl (n, p, nV, nl se án los in a ian es del espacio ; nN = n-nl-ny es supe luo) ; c) dados n, p, nV, nl que sa is agan nV+n l 1 : n, 0 < n l < n, nV < p < n l +n V , así como p>n 1 /2 si nV= 0, exis e un espacio pseudo- sim6 ico (X,F) que iene po in a ian es los núme os dados . demos ación . a) Sea C E F o , ca d(Cn x i ) = p-n V .  Si exis ie a C' E F o al que ca d(C'(N X l ) ~ p-n , aplicando una adecuada pe mu ación T E S(X 1 ) C Au (X,F) se ob end ía una elación de inclusión en e C y 0 - (C'), absu da al se  0-(C') EF o . Así que ca d(C) =p pa a oda CEF o , y el espacio es simple . Es comple o y molecula po se k = 1, así como asimé ico po se N U V no acío . b) Si exis e un isomo ismo : X --> X', enemos n =n' . Po se £(V) = V', esul a nV= n~, y de (N) = N' se ob iene (X 1 ) = X1 de donde n l = nl . Po úl imo, si CE F o enemos (C} E Fó, luego p = p' . Recíp ocamen e, una biyecci6n : X -> X' al que (V) = V', (X l ) = Xl de ine un isomo ismo en e los dos espacios . c) Sea X = {1,2, . . .,n}, y pongamos V = {1,2 9.... nV },  así como X1 = { nV+1,nV+2, . . .,nV+nl}, N = X . .V-X l . Conside emos ambi6n la amilia Fo = {CCX / ca d(C) . = p, V C C, C-V CX l } . La p ime a condición im pues a a los da os se u iliza pa apode o ma X . Dela cua a esul a el axioma A o .2 de base de il o, y A o .l sale de se de ca dinal p oda C E F o . Así que (X,F) es un espacio elec o al simple . De la segunda con- dici6n sale que Xl y N UY no son acíos, y de la e ce a que no coinci- den . Así, (X,F) es pseudosim6 ico y de in a ian es n, p, nV y n l . 7 0 Se incluye aho a el siguien e esquema pa a da una isión glo- bal de los espacios simples, señalando los ipos ya es udiados y los pendien es de esolución : pa a és os se á necesa io conside a el e ículo asociado . En es e cuad o los espacios de unanimidad se conside- an a ómicos, no simé icos . k=0, a ómicos simples )  1 N U V = 0, simé icos k=1 ) l N U V ~ 0, pseudosimé icos k!2 F ideal dual comple os ( - F - no ideal dual no comple os Los espacios pendien es son los molecula es, k 1 2, comple os . Ladis inción que se es ablece en ellos se debe a F, que es laimagen del il o F a a és del paso al cocien e de P(R) a P R . Comenza emos el es udio de es os espacios es ableciendo un pa de esul adosgene ales auxilia es . Sea (x,F) un espacio elec o al com- ple o, (P R , ~- ) el e ículoasociado . Designa emos po F ( esp . F o ) la imagen del il o F ( esp . de la baseF o ) al pasa de P(R) a P(% . Lema 111 .3 .1 .- a) * ¡C- F si y sélo si 31C7 con "í É= 1, b) F es un il o de o den, y sus minimales son losdeF o ; d)  si (%, F) es simple,  en onces F o = F l Pp 7C . demos ación . a) Po su análoga en P(%) pa a FyF o , po que B C A implica Bs A, y B s A, B E F implican A E F . b) esul a de a), y c) de su análoga en P(X) pa aFyF o , Lema 111 .3.2 .- Sea (X,F) simple comple o . Son equi alen es : i) F ienemínimo ; ii) F o ienemínimo ; iii) Fo es un ideal dual del e ículo P p X ; i ) F es un ideal dual del e ículo P X . Y en onces F y Fo son ideales p incipales gene ados po su mínimocomún . demos ación . i) equi ale a ii) po la pa e b) del lema p e io . ii) implica iii) i ialmen e . iii) implica i ) po la pa e a) del Lema 111 .3 .1 . i ) implica i) po que la exis encia de dos minimales en F a con a la p opiedad del ideal dual F de se ce ado pa ala in e sección . El es o del enunciado es inmedia o . Conside a emos en p ime luga los espacios simples molecula es con k A 2 comple os en los cuales F sea ideal dual, designando po 11 el mínimo deF y F o cuya exis encia asegu a el lema an e io . Es ablece emos es esul ados : condiciones que sa is acen los in a ian es de ales espacios, eo ema de exis encia de espacios dados sus in a ian es y eo ema de clasi icación po medio de los mismos . Sea (X,F) uno de ales espacios y conse emos las no aciones expues as al p incipio de la sección : N,X1,X2, . . .,Xk,V se án las clases de sime ía (aunque N y/o V pueden se acías) ; además, n = ca d(X), y el ec o nR= (nN,n1,n29 . . .,nk,nV) p se á el ca dinal cons an e en Fo . 72 Del mínimo M EFo=F (1 Pp X C P X , conside a emos sus índices así como su modelo T(h) = z = (Cshl h 2 9 . . .sh k ,n V ) Enp C A, nosda á el ca dinal de cada clase . = (C .. . .ICoz n-p+l o.. .oz n ) E A p C A . Po se p=h l +h 2 + . . .+h k+n , n = nN +n l +n 2 + . . .+n k+n0 , no se án conside ados in a ian es básicos ni p ni n N . La siguien e p oposición exp esa las condiciones que e i ican los in a ian es básicos . No han sido expues as sus análogas pa alos an e io es ipos de espacios po que las condiciones a quees aban suje os sus in a ian es, aunque sí se han mencionado, e an e iden es . El Teo ema 111 .3.4, po su pa e, análogo a los enunciados pa- a los an e io es ipos de espacios, comple a el es udio de los que aho a es udiamos, incluyendo la clasi icación po medio de los in a ian es desc i os y la exis encia de espacios con in a ian esdados . P onosicibn 111 .3 .1 .- Los núme os n ; n l , . . .,n k9 n ; h l Y.. .,h k 1 asociados al espacio en la o ma expues a an e io men e e i ican : 1) 0 11 n < n ; 2) n l +n 2+ . . .+n k+n 6n ; 3) 0< h i < ni , i = 1,2,  k ; 4)  n = 0  implica  Z (h) = ~E (n R ) (  es el ope ado desc i o al p incipio de la sección 111 .2) . demos ación . 1) y 2) son ob ios, y se incluyen pa aquelas condiciones expues as sean ambién su icien es . La demos ación del pun o 3) cons a de a ios pasos . a) hl > 0 : Elijamos x E 3l, y ambién C E Po conx E C ; si el modelo de C es Vky(C) _ (a,, . . .,an) end emos al = . . . = a n _p = 0, a n-p+1 =1 ; y po se T  C, esul a z n-p+1 = 1, de dondeh l > 0 . b) hk < nk : si uese h k = nk , pa a cada C E P o deduci íamos, de ¡1 7 1 C, que el k-ésimo indice de C es nk, lo que lle a a Xk C C, y al absu do X k C . del segundo ipo, llamémosle h ., de las condiciones ZJo¿) , Z .(h .), J y-1-l(°C) :Di  Zi-l (h i ), y de  b¿i-l -1 n i-1 ,  esul a  ~ i (oc)  >  2 : i (h j ), po lo que T( XY 17A) ambién es supe io a h j , y po an o (A) EP . 8) Si ue a n V = 0 y u ié amos  E h J .) +  Z(h k ) 6  ~(n .) pa a cie opa j, 9 l, conside emos h' = n R - h j en n . Si Mi C X es un ep e- sen an e del minimal de ec o h j , .la de inición de h' indica que és e es el ec o de indices del complemen a io M' = X - M j , y pa a p oba que M' es una coalición encedo a -absu do al que que emosllega - bas a obse a que Z(h') = Z(n R ) - J(h j ) -1 Z(h¡~) . Teo ema 111 .3 .5 .- a) Dos espacios (X,P), (X',P') del ipo con- side ado son isomo os si y s61o si n = n', nR = q, H = H' (sal o el o den de las ilas) : los in a ian es del espacio son n, nR y H ; b) Dados n, n R , H suje os a las condiciones 0),1), . . . . 8) de la P oposición 111,3 .2, exis e un espacio del ipo conside ado (simple, molecula , k -' 2, comple o, donde P no es ideal dual) cuyos in a ian es son n, nR y H . demos ación . a) Si exis e un isomo ismo : X ---> X' enemos n = n', ycomo en el Teo ema 111 .3 .4, nR = nR, Sean aho a M 1 ,.. .,M los minimales de P, y Mi  . .,M ú los minimales de P' .  Al conse a y _l la elación S ambién conse an s, po an o ans o man minimales en minimales, = u, y, sal o o den de las ilas, H = H' . Recíp ocamen e, si n = n', n R = ni, H = H' (sal o o den), bas a oma una aplicación biyec i a : X --> X' que cumpla (N) = I'7', (X i ) = Xi, i = l, . . . ,k, (V) = V . Pues o que y _l conse an los índices ans o man minimales en minimales, po an o son mo ismos y es isomo ismo . b) Dados n, nR yH conside emos X = {1,2, . . .,n}, y designemos 80 po N,X l ,X 2 ,- ,X k ,V los subconjun os deX o mados espec i amen e po n,,n l ,n 29 ...1 nk ,n V elemen os elegidos en es e o den siguiendo la se ie na u al de los elemen os de X .  Pa a cada AC X, ac = (  , d l ,  .., ~, cIQ ú end á el mismosigni icado que en la pa e b) del Teo ema 111 .3.4 . De inimos F = A C X /  2(oc) :~i Z(h j ) pa aalgún j1 . . P oba emosque (X,F) es un espacio elec o al del ipo p opues o que ienelos in a ian- ea dados . En p ime luga , F sa is ace losaxiomas de il o . 3i A,B EP, se co an : si V no es acío, po que VC A pa a cada A E F ; si no hay e- os, po que de A (1B = 0 llega íamos, como en el eo ema an e io , a una con adicción, en es e caso con la condición 8) de la P op . 111 .3.2 . Si A E F, A C B, en onces B E F, como en el Teo ema 1811 .3.4 . Sea p el núme o dado po la condición 3) de la P op . 111 .3.2 . Po un camino análogo al del eo emaan e io se p ueba que (X,F) es un espacio simple de ca dinal cons an e p . siguien e pun o es p oba queN es el conjun o de elemen os nulos, V el de los e os, y Xl,X2#"' ,Xk las demásclases de sime ía, así como es ablece la cadena X l < - X 2< . . . < X k , lo que p oba á que el espacio es comple o ; como k :1 2 po hipó esis (de hecho k ~l 3), esul a que el espacio es molecula y que sus in a ian es n y nR son los dados . Como en el eo ema an e io , es ob io que los elemen os de N son nulos y los de V ienen e o .  Sea x 4 N V V : la condición 5) de los da os pe mi e elegi AE F o con x E A, y ambién B E Fo con x 1 B, po lo que x no es nulo ni iene e o . Tampoco o ece no edad la p ueba de que si x,y E X . es xRY, ni la de que sixE X i , yER i+l , es xSy . Sí de alla- emos la comp obación de que yox : po 7) exis e unA = M, al que y E M i , x 4 T4 j .  El ec o de índices de XY(M j ) es el siguien e : J El h' = ( 0 ,hjl ,.. .,h ji +1,h ji+1 -1 . . . h jkxn V ). Y po se  2(h')<  2(hj)x la condición 6) impide cualquie o a J(hR) 6 Z(h'), po lo an o XY(M j )  F, es deci , yoX . Po úl imo, la de inición de F asegu a que F no es un ideal dual sino que iene minimales,cuyos ec o es de índices son p ecisa- men e las ilas de la ma iz H, que e a el e ce in a ian e dado . Hemos esquema izado solamen e la demos ación de es e eo ema, po que las ideasesenciales con enidas en la misma yahan sido expues- as con . de alle en la del Teo ema 111 .3 .4 . E'em  , Tomemos como in a ian es n = 10, nR = (0,2,4,3x1), H =  01 3 2 1l . Resul a,pues, k = 3, = 2, n V = 1, n11 = 0, y se 10 21 311 comp ueban inmedia amen e las condiciones de la P op . 111 .3 .2 . Tenemos : z(H)= (7 7763 1 ) , Z(n R ) = (10,10,8,4,1), p= 7 . 7541 Tomando como sopo e X = a,b,c,d .e, y g,h,ipj}, es os elemen os se cla- si ican según R en _ {a ó}+  X2 = {C,d e, x  = g,h,¡}  V = ljJ . En el e ículo de modelos Alos minimales son : (1,2,2,2,3,3,4), que co esponde a 24 minimales en X, y (1,1,2,3,3,3,4), que co esponde a4 minimales en X . Es os dos minimales pe enecena A .,, isomo o a P7 (x), donde es á F o . Con es e ejemplo in en amos pone de mani ies o que las co _- diciones enunciadas en laP oposición 111 .3.2 son manejables . Pa a ce a es a secciónda emos una isión de ipo deduc i o que complemen e el p oceso induc i o seguido en la clasi icación . En de ini i a, odos los espacios simples comple os quedan ca ac e izados po un ec o n R = (n p ,n l ,n 2 " . .,n k ,n .) y una ma iz H = (h ji ) -sal oo den de sus ilas-, suje os a las condiciones de la P oposición 111 .3 .2 que, con enien emen e pa icula izadas, son álidas pa a odoses os espacios . En odos ellos es n = d( R ), p = d(h j ) pa a cada j, y n es á epe ido en n R y odas las ilas de H . Si la ma iz iene más de una ila F no es ideal dual . Si iene una sola en onces F es ideal dual (lo que incluye a los a ómicos, simé icos y pseudosimé icos) . En es e caso : si k ? 2 enemos el ipo de espacios del Teo ema 111 .3.4 ; si k C- 1 es amos en uno de los es ipos iniciales, es deci : a ómicos : nR =,(n N ,n V ), h = (0,n V ), k =0 ; simé icos : n R = (0,n l ,0), h = (0,h 1 ,0), k = 1, P=N =0 ; o bien pseudosimé icos : nR = (n j ,n l ,n V ), h = (0,h l ,nV), k = 1, V U N ~ ~, habiendoexcluido el espacio de unanimidad de los simé icos . En es os es úl imos casos F o cons a de un sello elemen o M, que apa e de mínimo de F es ambién máximo deP p R . Además, pa alos simé icos, P $ p  = F o = {-Mi . En los a ómicos F es una cadena e ical yP p R una ho izon al . En los simé icos F es una cadena e ical po que odo P T7 lo es, y cada M i X se educe a un elemen o . IV CONJUNTOSDECISORIOS En la secci6n I.l se han desc i o los conjun osdeciso ios y su uncionamien o,ex ayendo el concep o de coalición encedo a cuyas p opiedades cons i uyen los axiomas de espacio elec o al . En es e capí ulo p o undizamos en el es udio de los conjun os deciso ios median e la eo ía de los espacios elec o ales . La cues ión p incipal es si así como a cada conjun o deciso io asociamos un espacio elec o al es cie o el ecip oco, es deci , odo espacio elec o al es ealizable median e un conjun o deciso io . En la e ce asecci6n del capi ulo se esuel ees a cues ión pa a los espacios no comple os y los espaciossimples donde F es ideal dual . P e iamen e, en la p ime a secci6n es ablecemos el p oceso de asociación como un unc o . En la segunda secci6n da emos esul ados gene ales ace ca de la ealización de espacios, especialmen e dos sim pli icaciones del p oblema : la densidad y la no malización . En sen ido amplio, odo espacio elec o al es " ealizable" ob- iamen e, pe o no que emos igno a los usos impe an es en las es uc u- as sociales, como epa o de o os, e os, e c . Ello condiciona sin dudala ealización . Y a o o ni el, es p esumible que alguna a iación en la de inición de conjun o deciso io -en pa icula sob e la condi- ci6n de elección única- modi ica ía la clase de espacios ealizables . Po supues o, aquí conse a emos el signi icado de los é minoscomo se han dado desde el p incipio, y ello ela i iza nues os esul ados . IV .1 .- ESPACIO ELECTORAL ASOCIADO . Sea (X, e , ,d) un conjun o deciso io . Po la P op . 1.1 .2, la amilia F = {ACX / V eCA, (A) :N di es un il o elec o al en X . De inición IV.1 .1 .- (X,F) es el espacio elec o al asociado al conjun o deciso io (X,Ve, ,d) . En lo sucesi o adje i a emos a los conjun os deciao ios según las ca ac e ís icas del espacio elec o al asociado : habla emos, pues, de conjun osdeciso ios simples, comple os, simé icos, e c . Es ácil e que la base del il o F es la amilia dada po F o= A EF / dx E A-V e , (A)- (x) < d} . Asimismo se e que V e C V, pe o en gene al no coinciden . Una discusión sob e las dis in as clases de e o se lle a á a cabo en la sección IV .2 . El p oceso de asociación lle a a deci que dos conjun os deci- so ios son equi alen es si ienen el mismo espacio elec o al asociado . De inición IV .1 .2 .- Sean (X, e, ,d), (X',Ve, ',d') conjun os deciso ios ales que d ~l d' . Unaaplicación : X - .) X' di emos que es un mo ismo de conjun osdeciso ios si e i ica que (V e ) D Ve', y que '(x') a ( 1 (x')), pa a cada x' E X' . Pues o que la iden idad es un mo ismo y la composición de dos mo ismos ambién lo es, queda de inida una ca ego ía Z ; cuyos obje os son los conjun os deciso ios y cuyos mo ismos son los desc i os . Es inmedia ocomp oba que son equi alen es : i) es un isomo ismo ; ii) es biyec i a, d = d', y _1 son mo ismos ; iii) es biyec i a, d = d', ' o = , (V e ) = Ve . . P ooosicibn IV .1 .1 .- La egla que asigna a cada conjun o deci- so io (X,V e , ,d) el espacio elec o al asociado (X,F), y a cada mo ismo : (X,V e , ,d) --> (X',V,, ',d') el co espondien e : (X,F) .-l~ (X',F'), es un unc o co a ian e iel .P : -1 ---3D E . Po an o, dos conjun os deciso iosisomo os son equi alen es . Además, Au (X,V . , ,d) = { E Au (X,F) / o = , (V e ) = Ve} . demos ación . Lap ime a cues ión es que si es mo ismo en = .P( ) lo es en E . En e ec o : si A EF, enemos Ve C A, (A) ? d . Deducimos que (A) C F' al conside a que (A) D (V e ) 3 Ve, y que '( (A))  ( l ( (A)))  (A) A d á d' . De lade inición de 37 esul a P - (go ) _ -P(g) o P( ), ,#(id) = id, así que P es un unc o co a ian e, y conjun osdeciso ios isomo os son equi alen es . ." es iel po que P( ) = .C(g) implica = g . Po ello, el g upo de au omo ismos de un conjun o deciso io es un subg upo del g upo de su omo ismos del espacio elec o al asociado ; su ca ac e ización es una adap ación inmedia a de la condición iii) dada en la De . IV .1 .2 . Te minamos es a sección con las ideas de subconjun o deciso io y conjun o deciso io cocien e . Sea (X,V e , ,d) un conjun o deciso io . Sea Y C X al que V e C Y, (Y) , d . Llamando y a la es icción de a Y es inmedia o comp oba que (Y,V e , y ,d) es un conjun o deciso io . De inición IV .1 .3.- Di emos que (Y,V e, y ,d) es un subconjun o deciso io de (X,Ve, ,d) . La inclusión i : Y ---1 X es un mo ismo de conjun os deciso ios . Po o a pa e, el espacio elec o al asociado al subconjun o deciso io (Y,V e , y ,d) es p ecisamen e el subespacio elec o al (Y,F y ) de (X,F), obse ando que YEF . Ampliando el comen a io de la De . 1 .2 .2, Y iene su icien e capacidaddeciso ia en el sen ido de que oda decisión adop ada en Y iene asegu ada su ap obación en X, suponiendona u almen e que los ele men os de Y man engan sus o os . Es o puede agiliza un p oceso de o a- ci6n (igno andoausencias, c eando comisiones, e c .) . La es icción de queY EF no pa ece excesi a, pues no siendo necesa iamen e minimal Y no se exige unanimidad de sus miemb os pa a ap oba unamedida . Sea aho a R una elación de equi alencia en X, seaX = X/R, y sea TL : X -+ Xel paso al cocien e . Poniendo V e = i(V e ), y de iniendo N median e (s) = ( TC -1 ( ~ x), es inmedia o comp oba que se ob iene un conjun o deciso io (X,Ve, ,d) . De inición IV .M .- Di emos que (X,7e , ,d) es el conjun o deci- so io cocien e de (X,V e , ,d) po la elación de equi alencia R . El paso al cocien e es un mo ismo de conjun os deciso ios . El espacio elec o al asociado al conjun o deciso io cocien e (X,7 e , ,d) es jus amen e el espacio (X,F) cocien e de (X,F) po R . Reco dando el comen a io de la De . 1 .2 .4, el conjun o deciso- io cocien edesc ibe la si uación esul an e as la o mación de pac- os (las clases de R), cuyo conocimien osimpli ica el p oceso al dismi- nui el núme o de elemen os, aunque aumen e el núme o de o os con ola- dos po cada uno de ellos . IV.2 .- ESTACIOS ELECTORALES REALIZABLES . El es udio de los espacios ealizablespuede educi se a los espacios densos . Además bas a conside a ealizaciones no malizadas . La no malización in luye en el g upo de au omo ismos y elaciona el epa o de o os con cie as alo aciones del e ículo asociado . De inición IV.2 .1 .- Un espacio elec o al (X,F) es ealizable si es á asociado po el unc o ,P a algún conjun o deciso io, del que di emos que ealiza el espacio . P onosicibnIV .2 .1 .- a) Todos los subespacios y cocien es de un espacio ealizable lo son ambién . b) Si un subespacio denso es ealizable, el espacio ambién . demos ación . a) Sea (X,V e# ,d) una ealización de (X,F) . Si Y E F, el subconjun o deciso io (Y,V e , Y ,d) ealiza el subespacio (Y,FY)i análogamen e, si R es una elación de equi alencia en X, el conjun o de- ciso iococien e (X,O e, ,d) ealiza el espacio cocien e (X,F) . b) Sea (Y,F Y ) un subespaciodenso y ealizable de (X,F), y sea (Y,V e , ,d) una ealización del mismo . Ex endiendo el epa o a X po (x) = 0 pa a x 1 Y, (X,V e , ,d) es un conjun o deciso io que ealiza (X,F) po se denso (Y,F Y ) . Al conside a en cada espacio (X,F) el subespacio densomínimo (X-N,F X-N ), esul a de la p oposición an e io que el p oblema de a e- igua los espacios ealizables puede limi a se a la subca ego íaplena de los espacios densos, es deci , aquéllos donde N = o . Sea (X,V e , ,d) un conjun o deciso io, Rla elación de sime ía en el espacio asociado (X,F) . Si x,y E R-Ve , (x) = (y) implica xRy, pe o ello no es cie o si x, y o amboses án enV e , ni ampoco es cie o el ecíp oco, es o es, que xRy implique (x) = (y) si x,y E X . De inición IV .2 .2.- Un conjun o deciso io (X,V e , ,d) es á no malizado si (x) = (y) equi ale a xRy pa a odo pa =,y E X . La no malización no depende,pues, an sólo de , sino de Ve , e incluso de la clase de sime ía V . Desde el p incipio hemos llamado a los elemen os de V e miemb os con e o explíci o : el adje i o indica que la posesión de e o de ales elemen os es ádada po las condiciones del conjun o deciso io . Pe o la inclusión Ve C V puede se es ic a,po lo 1 que, pa a dis ingui , a los e en uales elemen os de V-V e les llama emos elemen os con e o implíci o, condición que les iene dada po el núme o de o os que con olan . Da emos a con inuación algunosmé odos de ans o mación de conjun osdeciso ios en o os equi alen es, a iando Ve , o d . T a amos de ob ene una o macon enien e a pa i de un conjun o deciso io sin sali de su clase de equi alencia módulo .4- . Exac amen e demos a emos que odo conjun o deciso io es equi alen e a uno no malizado . kema IV.2 .1 .- (Eliminación de e os implíci os) . Todo conjun o deciso io (X,V e , ,d) es equi alen e a (X,V, ,d), siendo V el conjun o de los elemen os con e o del espacio asociado (X,F) . demos ación . Es inmedia o comp oba que (X,F) es ambién el espacio asociado a (X,V, ,d) . P oposiciónIV .2.3.- Sea (X,F) un espacio elec o al ealizable con g upo Au (X,FF) gene ado po asposiciones . En onces : a) Si (X,V e , ,d) es una ealización de (X,F) al que V e o bien al que V e = V, (x) = 0 si y sólo si x E V, es á no malizada si y s61o si Au (X,V e , ,d) = Au (X,P) ; b) exis en ealizaciones de (X,F) cuyo g upo es Au (X,F) . En pa icula , odo ello es álido pa a espacios ealizables comple os, en cuyo caso, enlas condiciones de a), es á no malizada si y sólo si Au (X,V e , ,d) = [ E S(X) / po = p) . demos ación . En la P oposiciónIV .1 .1 hemos is o que, po lo gene al, Au (X,V e , ,d) es sólo un subg upo de Au (X,F), o mado po los ales que o = , (V e ) = V e . Designemos po S(X,F) el p oduc o di ec o de los g upos simé icos de las clases de sime ía de (X,F) ; se a a de un subg upo de Au (X,F) . a) Si es á no malizada y además V 8 = 0 o bienV e = V, pa a cada pa xRy se e i ica o xy = , XY(V e ) = V e , de mane a que p,V es á en Au (X,V ., ,d) . En consecuencia, S(X,P) C Au (X,V e , ,d) C Au (X,F) ; pues o que po hipó esis Au (X,F)es á gene ado po asposiciones, coig cide, po el Lema 11.2 .1, con S(X,F) y, po an o, con Au (X,V e , ,d) . Recíp ocamen e, po hipó esis y po se Au (X,F) gene ado po asposiciones enemos . S(X,F) = Au (X,V e , ,d), po an o, xRy implica o xy = , dedonde (x) = (y) . Como además suponemos V e=0o bien V e = V, (x) =0 si y s61o sixEV, esul a que (x) = (y) implica o xy = , y ambién xy (V e ) = V e , an o si x,y E V como si x,y 1 V (el caso x EV, y + V o ice e sa es imposible po se = 0 exac amen- e en V), po lo que XY E Au (X,F), xRy, y es á no malizada . b) Bas a ene en cuen a que, según la P oposición IV .2 .2, hay ealizaciones de (X,F) que sa is acen las hipó esis de a), incluyendo la no malización de . inalmen e, según la P oposición 11.2.4 el g upo de au omo is- mos deun espacio elec o al comple oes á gene ado po asposiciones, po an o, si es ealizable le son aplicables a) y b) . Y po la ci ada p oposición, la no malización de se á equi alen e a que Au (X,V ., ,d) = Au (X,F) = { E S(X) / po = p} . Sea (/ ,s) el e ículode inido en la sección 111 .2 . Además, sea w : / ---> N una alo ación de inida en dicho e ículo . 1 De inición IV .2.3.- Di emos que w es una alo ación lineal si exis en 0 < 1 < 2 < ...  < k ales que,  si oc = (acl,d2, .... « k ) E P oposición IV .2.4 .- Sea (X,F) un espacio elec o al denso y comple o . Son equi alen es : i) (X,F) es ealizable ; ii) exis e una alo ación : P X -+ N al que 1) induce una alo ación lineal W en el e ículo asociado (n ,s), 2) F es la an iimagen de una semi ec a [d,+oo), 3) (X) < 2d . demos ación . i) ==> ii) . Sea (X,V e , ,d) una ealización de (X,F), que po la P oposición IV .2.2 podemos supone no malizada y sin e os explíci os : V e=0 . Designemos po X i , . . .,X k (=V, .e en ualmen e) las clases de sime ía de (X,F) . Po se és e comple o podemos supone que X 1 < . . . < Xk es la o denación de Xhñ . Po se no malizada, queda comple amen e de e minada po sus alo es cons an es l ,.. ., k en las clases de sime ía . Po se denso y comple o el espacio y sin e os ex- plíci os la ealización, 0 < l < ...  < k . Po se no malizada, A B implica (A) = (B), po an o la ex ensión de a P(X) ac o iza pa a da una alo ación : P X ---,> N . Es a se aslada po el isomo ismo de la P oposición 111 .2 .1 a una alo ación w : % --> N, que es li- neal po que iene dada po W(a) = i a l + . . . + k oc k , pa a cada ec o o = (o l, . . .,ok) . Se comp ueba inmedia amen e que F es laan iimagen de la semi ec a [d,+oo), yaque no habiendo e os explíci os A E F equi a- le a (A) :1 d . Finalmen e, ambién po no habe e osexplíci os en la ealizaciSn, (X) = (X) = T < 2d . ii) =~> i) . Supues a la exis encia deuna alo ación que cum- plalas condiciones 1),2),3), cons ui emos una ealización de (X,F) . Tomamos V e = 9), y si X,, . . .,X k (=V, e en ualmen e) son las cla- ses de sime ía de (X,F), y i ,.. ., k los coe icien es de la alo ación W asociada a , de inimos como epa o de o os : X ---> N dada po (x) = i si y sólo si xE X i , i = 1, ... . k .  Al ex ende a P(X) esul a T = (X) = (X) <2d, así que (X,V e , ,d) es un conjun o deciso io . Es e es una ealización de (X,F) po la condición 2) y po se V e = ~ . Po su cons ucción, es á no malizada, e induce a su ezla alo ación . El siguien e esul ado ecoge algunas p opiedades de in e és pa a las alo aciones lineales . P oposición IV .2 .5 .- Toda alo ación lineal w : n -- .b N cumple a) W(0) = 0 ; b)  cu es posi i a :  el s ~,  o(  implica  W(«) <  W(p) ; c) w es ue emen e adi i a : W(a) + "Kp) =W(oc p) + m(ccnl) . demos ación . a) w(0) = O 1 + ... + O k = 0 . b) Sean e¿ = (e¿l, """ ,ak),  P= (P 1 , . . ., k ) . Si as p, oc~p, sea h máximo al que Z h (o<) < 2 h (j) esul a en onces W h < h, y ambién 'h+1 = Ph+l' "" a k = ?k - Poniendo di = I i - o( i , i = l, . . .,k, esul a dl ,d 2""' dh-l :i 0,  dh >0,  d h+l = . . .  = d k = 0 .  Po an o, hdh > 0, h-l d h-1 + h d h > h-l d h-1 + h-ldh :1 0, y po ecu encia llegamos a 1d1 + 2d2 + ... + h dh > 0, lo que lle a a que w(Cc) < "'(P) . c) Sean o<, P como en b) . Es inmedia o comp oba que en el e- ículo n las ó mulaspa a el sup emo y el ín imo son las siguien es oc  _  si y salo si  ~ i(T) = max a< n =  si y sólo si  ~ i(b) =min Po an o,  ly i ~o() +  1 i (p) _  ~ i (Y) +  i (a),  i = 1, . . . . k,  de donde + ~i = Ói +  ,  i = 1, .... k,  y de aquí  W(£C) + w(p) = w(~)+ W(d) . Ejemplo . Un caso in e esan e de alo aciónlineal se ob iene al conside a en un espacio denso y comple o el pode de Shapley, ya que es cons an e en cada ó bi a, es deci , en cada clase de sime ía . Po an o y de o ma análoga a la de la demos ación de la P oposición IV .2 .4 pa a , el pode p induce una alo ación p en el e ículo P R que es lineal en el sen ido de la De inición IV.2 .3, p escindiendo del hecho no esen- cial de que no es a alo es en N sino en Q . IV .3 .- REALIZACION DE ESPACIOS ELECTORALES SIMPLES . Toma emos como a gumen o el esquema de clasi icación de los es- pacios simples de la sección 111 .3 . En las demos aciones nos limi a e- mos a da una ealizaci6n, si bien añadi emosalgúncomen a iosob e la di e sidad de ealizaciones posibles . P oposición IV-3 .1 .- Todo espacio a ómico es ealizable . demos ación . Sea (X,F) el espacio, F o = c} la base del il o . Se ob iene una ealizaci6n (X,V e , ,d) d = ca d(C) . Una ealización a ín más apoyada en los e osexplíci osse ia : V e = C, (x) = 0 c e, d = 0 . En cambio, la ealizaci6n más sencilla sin e osexplíci os iene dada po V e = 0, d = ca d(C), = unción ca ac e ís ica de C enX . Finalmen e, o a que excluye e os explíci os pe o esconde lanulidad de los elemen os de X-C iene dada po V e = 0, (x) = ¡ a, si z E C, d = ia, con i = ca d(C), a > n-i, n = ca d(X) . Se ob iene una ealizaci6n (X,V e , ,d) omando V e = 0, (x) = 1, d = p . omando Ve = C, (x) = 1 cons an e, P oposiciónIV .3.2.- Todo espacio simé ico es ealizable . demos ación . Sea (X,F) el espacio, F o = Pp (X) la base de F . Comen a io . Se exige unanimidad cuando p = n . La llamada mayo- íaabsolu a se p esen a cuando p = E(n/2) + 1 . En cualquie caso, d puede exp esa se como el 1 n0p % del o al de o os, que es n . Si llamamosconjun o deciso io democ á ico a aquél donde Ve es acío y (x) = 1 cons an e, a endiendo al slogan "un homb e, un o o", concluimos de la P oposición IV .3.2 que un conjun o deciso i¿ es (equi- alen e a uno) democ á ico si y sólo si el g upo de au omo ismos del espacio asociado es el g upo simé ico . a > n-p, P oposici6n IV.3.3 .- Todo espacio pseudosim6 ico es ealizable . demos aci6n . Sea (X,F) el espacio, p el ca dinal c e . en F o . Po la P oposici6n IV.2 .l .b) suponemos N = b . Se ob iene una ealizaci6n (X,V e , ,d) omando V e = V, (x) = 1, d = p . Y o a sin e os explíci os : si n = ca d(X) nV = ca d(V), sea y omemos Ve = yi, (x)  a, si x E V, d = p - n V+ an V ; bas a {1, si xiV e que cada xEV iene e o, y ello esul a de que los es an es ele- men os suma ían (n V -1)a + n -n V o os, mien as , que a > n-p implica que any > (n V -1)a + n - p,  de donde d > (nV -9 a + n - nV . P oposici6n IV .3.4 .- Todo espacio no comple o es i ealizable . demos aci6n . Po educción al absu do, supongamos (X,F) no comple o ealizable . Según el Lema IV .2 .2 exis i á una ealizaci6n sin explíci os (X,O, ,d) . Po an o, A EF si y sblo si (A) :2! d, de que, dadosx,y E X, según sea (x) 6 (y) o (y) L (x) deducimos e os o ma xSy o Insis imos en que es e esul ado es ela i o, po cuan o es á e e ido a la clase de conjun os deciso ios conside ada aquí . Acabamos de e que la comple i ud es una condiciónnecesa ia pa aque un espacio sea ealizable . El p óximo esul ado mos a á que no es su icien e . ySx, po se V e = 0 . Ello p ueba que (X,F) debe se comple o . Sea (X,F) un espacio simple molecula comple o con k 1 2 donde ideal dual del e ículo asociado P( - XT, y sea M su mínimo . Respe a- las no aciones de la sección 111-3 sin necesidad de epe i las . F sea emos Las posibilidades de ealizaci6n ienen . dadas po la siguien e comple o,con k ~l 2, donde F sea ideal dual de P X . En onces : denso en ambos apa ados . P oposición IV.3 .5 .- Sea (X,F) un espacio elec o al símule, a) Si k > 2, (X,F) es i ealizable ; b) si k = 2, (X,F) es ealizable si y sólo si se e i ica (k 2 h2 ) .(n 1 -h l ) < donde kl = max (h l +h 2 1-n 2 ,0), k 2 = min (h l +h 2 -1,n 2 ), y como en la sec- cibn 111 . 3, nl -- ca d(X l ), n 2 = ca d(X 2 ), M = min F,  T(-") = (hl,h29nV) . demos ación . Po la P oposición IV.2 .1 se puede supone (X,F) a) Sea  l (7) = (hl,h2, . . .,hk,nV) .  Si V = 0 bas a sup imi nV . Conside emos N y F de inidos po sus ec o es de indices le(7J) = (h l -l,h 2 1,h 3 9 ... .h k-l ,hk +l,n V )1 T(P) = (hl+l,h2+l,h39 .... hk-1,hk-1,nV) . Ello es posible po se k > 2, y po la P oposición 111 .3 .1,3) . Además, po sus indices, M 1 N, M 1 F, luego N,P 1 F . Sean M,N,P ep esen an es en P(X), donde N,P 4 F . Si hubie a una ealización (X,Ve, ,d), aplicando laP op . IV.2.2 la supond íamos no malizada, conV e = V, y con (x) =0 si y sólo si x E V, po se denso (X,F) . Siendo V ( N,P pe o N,P 1 F, esul an (N) < (M), (P) < (M), es deci , (h1-1) l +( h2 1) 2+ . . .+(hk+1) k  <  h l l +h 2 2 + .. .+h k k , (hl+l) l+(h2+1) 2+ . .,+(hk-1) k  <  hl l+h2 2+ 2 2+- . .+h que noslle an a la con adicción k < 1 + 2 , 1 + 2 < k . b) k = 2 . De e mina emos en p ime luga los maximales que hay ue a deF . Se conside an N y P de inidos po sus indices espec i os, k (N) = (n l ,h21,n V ), 1(P) =(k l ,k 2 ,n V ), siendo kl,k2 los del enunciado . Si V = ~, bas a sup imi nV de oda la demos ación . Si V ~0 conside a- emos ambién Q, de inido po sus indices ~(Q) _ (nl,n2,n,-1) . Todo ello es posible po que 0 L- k l < nl, 0 < k2 £- n 2 , a la is a de la P op . 111 .3 .1 .3) . Además, po sus indices, M y N, M# P, M 4Q, po lo que N,P,Q  F . Vb emos aho a que es os es son los únicos maaimales del complemen a io de F . Sea A  F, de indices  1(A) _ (al' 2 ' 0( .) . Po se also que ~(M) s ~A), hay es casos posibles : 1) o( Y < nV (sólo posible si V ~ 0), y en onces A 6 Q ; 2) o( =nV , 0l 2< h 2 , y en onces A L N ; 3) I V= n V , h2 li- a2, h l +h 2 > «1"2' y en onces A  P pues o que w 2 5 n2' <~<2 ch ] . +h 2-1' de dondec< 2 ~l- k2 ,  y  +« 2 1 ~+h 2-1  kl+k2 po ~  - la de inición de k l y k2 . Demos a emos aho a que la condición enunciada es necesa ia pa- a que el espacio (X,F) sea ealizable . Sea (X,V ., ,d) una ealización, que po laP oposición IV.2.2 podemossupone no malizada, conV e = V, y con (z) = 0 si y sólo si s E V, po se denso (X,F) . Sean M,N,P ep e- sen an es en P(X) de M,N,P espec i amen e . Po se VC N,P, N,P ~ F, esul a (P1) < (M), (P) < (M), lo que nos lle a a las desigualdades n l l +(h 2 1) 2 < hl l+h2 2,  kl l+k2 2 < h l l + h 2 2 , y al simpli ica las (n l -h l ) l < 2 ,  (k 2 h 2 ) 2 < (h l -k l ) l . Obse ando que k 2 -h 2 -? 0 siemp e po que h 2 < n2 , h 2 L- h l +h 2 1, mul iplicamos y ob enemos (k 2 h2 )(n l -h 1 ) l `-'  (k2h 2 ) 2 <  (hl-kl) l, de donde esul a la condición del enunciado . Cuandosea k2-h2 = 0, ello da h l = 1, en cuyo caso kl = 0, y la condición queda 0 < 1, es deci , aún es ic a . Obse emos que siemp e es hl-k1 > 0, po se h 2 < n2 . Finalmen e p oba emos que la condición es su icien e . Elegi e- mos i y 2 con de e minadascondiciones y con ellos de ini emos y una ealización del espacio dado . Cuando apa ezca una acción con denomina do =I 0 con end emos en que al anula seás e la acción alga +oo . Si nV ~ 0, oma emos l, 2 EN que sa is agan nl-hl < 2/ 1 < (h l -k l )/(k2h 2 )  (1) lo cual es posible po hipó esis . Guando nV = 0, exigi emos a l, 2 con- dicíones suplemen a ias que amos a expone . De la P op . 111 .3 .1 .4) se e que es alsa la conjunción de 2h 2 !G n 2 con 2h1 +2h 2 !L n l +n 2 , Po an- o, caben es posibilidades : a) 2h 2> n 2 , 2h 1 , nl, b) 2h 2 > n 2 , 2h l < nl, c) 2h 2 ~G n 2 , 2h 1 +2h 2 > nl+n2 ; en el caso a) no exigimos condicionesadicionales a 1 , 2 , sólo (1) ; en el caso b) enemos (k 2 -h 2 )(n 1 -2h l) = (k2-h2)(nl-hl)-(k2 h2) :11 6 (k 2 h2 ) (n l -h 1 ) < (h l -k1) 6 (hl-k1) (2h 2 -n 2 ) , y omando los ex emos, (k 2 h 2 )(n l -2h 1 ) < (h l -k 1 )(2h 2 n 2 ), que esc i o equi alen emen e queda (n l -2h 1 )/(2h-n 2 ) < (h l -k l )/(k 2 h 2 ) ; en es e caso oma emos l, 2 E N de mane a que sa is agan las condiciones max ln l -h 1 ,(n l -2h 1 )/(2h2n 2 )} < 2 / 1 < (hl-k1)/(k2-h2) (2) más es ic i as que las impues as cuando nV :~ 0, pues las incluyen ; en el caso c) se deduce de las hipó esis que 2h l -n 1> n 2 2h 2 -> 0 ; aquí p oba emos que se e i ica (2h l -n 1 )/(n 2 :2h 2 ) > nl-h1, po lo que oma- emos l, 2 E N de mane a que sa is agan las condiciones n l -h l < 2/ 1 < min {(2h l -n 1 )/(n 2 -2h 2 )~(h l -k l )/(k2h 2 )}  (3) ambién más es ic i as que si n V ~ 0 ; pongamos dl = 2h l -n 1 , y ambién d2 = n 2 2h 2 ;  obse emos que d l ,d 2 > 0, dl < h l , dl > d2 ;  hay dos casos : 14 Si k l = h l +h21-n 2 , en onces k 2 = n2, k1 = hl-h2-d2 1, k 2 = 2h 2 +d 2 , y la condición pasa a se (h 2 +d 2 )(h l -d 1) < 1+h 2 +d 2 , de la que esul a dl = h l -1 ; si ue a alsa la desigualdad que hemos de p o- ba ob end íamos d l /d 2 = 1, en con adicción con d l > d2 . 104 2g . Si k l = 0, en onces k2 = h l +h 2 1, y la condición pasa a se (hl-1)(hl-dl) < h l , de donde d l > h l (h l -2)/(h l -1) > h l -2, y concluimos que dl = hl -1, inalizando el azonamien o como en el caso 14 . Se de ine un conjun o deciso io (%,V e , ,d) omando V e = V, (x) = l , 2 ,0 según x E X,,R 2,V, yd = h l l +h 2 2 , iniendo dados l, 2 po las ó mulas (1),(2),(3) según los casos . El p ime pun o -que ha exigido la discusión an e io - es la comp obación de que (%,V e , ,d) es un conjun o deciso io . Se a a de p oba que si V = 0 es 2d >T, donde T = (R) = n l i + h 2 2 . Dis ingui emos los casos a),b),c) de an es : a) De las dos hipó esis esul a inmedia amen e 2d = 21il 1 +2h 2 2 > n l l +n 2 2 = T . b) Po las desigualdades (2) esul a (n l -2h l )/(2h 2 n 2 ) < 2/ l, y de aquí 2d = 2h l l +2h 2 2 > n 1 1 +n 2 2= T . c) Po las desigualdades (3) enemos, análogamen e, 2/ 1 < (2h l -n, )/(n2 2h 2 ) . de donde 2d > T . El úl imopun o de la demos ación consis e en p oba que el il o F' asociado en % a es e conjun o deciso io coincide con F, Sean M,N,P,Q (és e úl imo si V  ~) ep esen an es en P(%) de  Pa a empeza enemos V 4 Q ; (P) < (M), ya que aplicando la aco ación supe- io de (l),(2),(3) es (M)- (P) = (hl -k l ) l +(h 2 k2 ) 2 > 0 ; asimismo, (N) < (M), pues aplicando aho a la aco ación in e io de las ó mulas (14)- (N) = (hl-nl) l+(h2h2+1) 2 > 0 . Sea aho a A C R, y pongamos  1, 2sup imiendo el e ce indice si V = ~ . Si A E F, A E F, luego 14 1 A, que se exp esa po o~ l = n V ; d2 ~l h2 . c~+o( 2 _ h1 +h 2 , de donde ob enemos V C A, así como