Pub
.
Ma
.
UAB
N° 22
No
.
1980
Ac es
VII
JMHL
PROBLEMA
DE
SNELL
EN
TIEMPOCONTINUO
CON
HORIZONTEFINITO
Miguel
San
Miguel
Ma co,
Ge a do
Sanz Sáiz
Dp o
.
de
Es adis ica
e In es igaciónOpe a i a
Uni e sidad
de
Za agoza
A
B
S T R A
C T
In his pape , we ind
he
Snell en elope
o
he
p ocess
{
Z
}
E
E
0, ',]
and i s
limi
as
*
.+
-
,
and
we
compa
e
i
wi h
he
Snell en elope
o
he
p ocess
{
Z
}
>,o
'
wo ked
ou
by
Me ens
.
Sea
(
9, F, P
)
un
espacio
de
p obabilidad
comple o
y
{
Z
}
10
un
p oceso
bien
medible,
adap ado
a
una
amilia
c ecien e
y
con inua
a
de echa
{
F
}
>_0
de
sub-a-álgeb as
(
comple as
)
de
F,
de
modo
que
ZT
E
L
1
pa a odo
iempo
de
pa ada
ini o
.
1
.-
Pa a
cada
in e alo
[
o, *]
sea
Z
*
el
conjun o
de
iempos
de
pa-
ada
T,
ales
que
0S T S
*
.
Conside emos
un
conjun o
ini o
{
T1,
TZ
,
...
,
T
n
}
y
monó ono
no
c ecien e
(
T
j
>,
T
j+1
,
j
=
1,
. .
.
,
n
)
de
iempos
de
pa ada
de
_
C*
,
y
de inamos
la
siguien e
supe -ma ingala
:
al que
:
X *
=
Z
*
XT
1
XT
2
max
{
zT
,
E E
X
*
I
FT
}
1
1
max
{
ZT
,
E
[X
T
I
FT
}
2
1
2
XT
=
max
{
ZT
,
E
[X
T
I
F
T
}
a
n
n n-1 n
XO
=
max
{
z0
,
E
[X
T
I
FO
}
n
Como
X * =
Z
*
,
la
ó mula
:
O
=
min
{
T
E
{0,
T
n
,
T
n-1
,
.
.
,
T
1
,
*}
:
XT
=
zT
}
de ine
en
2
un iempo de
pa ada
al que
:
XO
= E
EX
VO
n *
I
FO
]
=
E
[
XVO
I
FO
-
E
C
Z
VO
I
F
O
debido
a
que
{
XVO
^
}
E
{
0, Tn
,
.
. .
,
T1,
*}
es
una
ma ingala
.
Po
o a
pa e,
aplicando
a
la
supe ma ingala
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eo ema
de
pa-
ada de
Doob,
se
ob iene
que
:
XO
Z
E
[ XV
I
FO
E
Z
1
FO
pa a odo
iempo
de
pa ada
E
{O,
Tn
,
. .
.
,
T
1 ,
*},
y,
po
consiguien e,
VO
es
óp imo,
en el
sen ido
de
que
sup
E
I
ZV
=
E
[ZVO1
,
cuando
V
eco e
la
V
amilia
{O,
T
n
,
.
. . ,
T
1 ,
*}
,
y
se
e i ica
que
:
X
O
=
sup
es
E
Z
V
I
F
O
sup
es
E
[
Z
V
I
F
O
(1
.
1
)
V
E
{O,
Tn
-
,T
1
,
*
}
V
E
Z
*
Po
o a
pa e,
eniendo
en
cuen aque
la
amilia
{
E
E
Z
V
I
FO
]
,
V E
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supe io men e,
exis euna
sucesión
{
T
n
}
nC
IN
lim
E
[
ZT
I
F
O
n
n
( éase
E4
-
]
,
p
.
121)
.
sup
es
El
Z
V
I
FO
(1
.2)
V
E
¿
A
pa i
de
es asucesión
{
Tn
}
n
CIN
de
iempos
de
pa &da
se
cons-
uyen
las
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sucesiones
de
a iables
alea o ias
siguien es
:
(
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)
{
Z
}
e
C
O,
*
]
Se
ob iene
acilmen e
que
'
sup
es E
CZV
I
F
O
]
>.
X0
>-
E
1Z
T
I
F
O
]
(1
.3)
e
Z*
n
Tomando
lími es,
cuando
n
-
,
y
de
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con
(1
.2), se
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que
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lim
X~
=
X
*
y
X0
*
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es
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[
Z
V
I
FO
]
.
(1
.4)
V
C
Z
*
No a
.-
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(1
.3)
es
e iden e
que con cualquie
sucesión
de
iempos
de
pa
ada
que
e i ique
(1
.2)
se
ob end á
el
esul ado
(1
.4)
.
Conside ando,
aho a,
las a iables
alea o ias
a
pa i
de un índice
,
es
e iden e
que
se
ob end á
que
:
X
=
n
m
X
=
sup
es
E
[Z
V
I
F
(1
.5)
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-<
V 6 *
es
deci ,
que
{
}
e
[,
,
i
es la
en ol en e
de
Snell
del
p oceso
2
.-
Conside emosaho a
una
sucesión,
no
dec ecien e,
de
ins an es
de
pa ada
{
n
}
endiendo
a
+
-
,
n ?
-
,
y
sea
{
X
}
' C
la
en ol en e
de
Snell
del
p oceso
{
Z
}
'
C
,
encon ada
po
Me ens
.
E
E
ZT
n
I
F
x ,
<
lim
R
x "
6
x
(2
.1)
n
pa a
T
( iempo
de
pa ada)
y
su icien emen e
a anzados
(
T
>
,
>
),
n
n
siendo
x
°
=
sup
es
EC
ZV
1
F
i
<
V
<
BIBLIOGRAFIA
Se
puede
ob ene
sin
di icul ad
que
:
n
Suponiendo
que
{
Z
}
1
0
sa is ace
la
hipó esis
1
de
Bismu
y
Skalli
El
1
,
se
iene,
omandoespe anzas
y
lími es
en
(2
.1),
que
:
x
=
lim
T
x
°
= x
(2
.2)
No a
.-
Cuando
el
p oceso
{
Z
}
>'0
sea
posi i o
o
aco ado
in e io men e
po
una
a iable
alea o iain eg able, ambién
se
ob iene
(2
.2)
.
BISMUT,
J
.
M
.
y
SKALLI,
B
.
(1977)
.
:
Temps
d'a é
op imal,
héo ie
géné ale
des
p ocessus
e
p ocessus
de
Ma ko
.
Z
.
Wah
.
Geb
.
39,
301-313
.
F2
MERTENS,
J
.
F
.
(1972)
. :
Théo ie
des
p ocessus
s ochas iques
géné aux
applica ionsaux
su ma ingales
.
Z
.
Wah
.
Geb
.
22,
45-68
.
[
:3j
MEYER,
P
.
A
.
(1966)
. :
P obabili és
e
po en iel
.
Ed
.
He man
.
Pa is
.
[
:4j
NEVEU,
J
.
(1972)
.
:
Ma ingales
á
emps
disc e
.
Ed
.
Masson
e
Cie
.
Pa is
.
