Pub
.
Ma
.
UAB
N°
22
No
.
1980
Ac es
VII
JMHL
NOTAS
SOBREDIFUSIONDE
ARNOLD
AmadeoDelshams
Facul a
de
Ma emá iques
Uni e si a
de
Ba celona
Abs ac
.-
KAM
heo emdoesn'
ensu es abili y
o
dynamical
sys ems
close
o
in eg able
Hamil onian
sys ems
when
he dimension
o
he
phase
space
is
mo e
han ou
.
In
his
case,
i egula
uns able
o bi smay oc-
cu ,
a bi a ily
close
o s able
in a ian
o i
.
This
is
he
A nold
di -
usion
.
We
s udy
he e some
su £icien
condi ions
which
gua an ee
he
exis-
ence
o his
di - usion
.
§1 .-
In oducción
.
Un
p oblema
de g an
impo ancia
en
los
sis emas
dinámi-
cos,
y
en
pa icula ,
en
los
sis emas
hamil onianos,
es el
p oblema
de
la
ines abilidad,
an o
de
ipo
local
(en
el
en o no
de
un
conjun o
in a ian-
e
po
el
lujo),
como de ipo global
.
De g an
impo ancia
es
el
eo ema
de
Kolmogo o -A nold-Mose
{1}
pa a
sis emas
pe u bados
de
sis emas
in e-
g ables,
que nos
asegu a
que
casi
odo o o
in a ian e
(en
el
sen ido
de la
medida
de
Lebesgue)
del
sis ema
no
pe u bado,
se
de o ma
lige amen e
al
a-
ñadi
la
pe u bación
.
Es o
asegu a
es abilidad
pa a
sis emas
con dos
g a-
dos
de
libe ad,
pues
los
o os
in a ian es
sepa an
la
hipe supe icie
don-
de
el
hamil oniano
es
cons an e,
cosa
que
no
ocu ecuandohay más
de
dos
g ados
de
libe ad,
donde
una
ó bi a
que
se
apoya
en el
complemen a io
de
es os o os
in a ian es,
p óxima
en un
pun o
a
uno
de
ellos,
puede
aleja se
has a
una
dis ancia
a bi a iamen e
g ande,
si
log a
"esqui a "
es a
colec-
ción
de
o os in a ian es
.
El
p ime
ejemplo
de ello
lo
dio A nold
{2},
que
ideó
el
p oceso
de
las
cadenas
de
ansición,
que
pe mi en
empalma
las
a iedades
in a ian es
es able
e
ines able
de
dis in os
o os
de
ansición
.
Es e
enómeno
ecibe
el
nomb e
de
di usión
de
A nold
(pa a
más
de alles
éase{
3})
.
eamos
a
con inuación
algunas
condiciones
su icien es
pa a
la
exis encia
de
es as
a iedades
in a ian es
pe enecien es
a
o os
así
mismo
in a ian es,
pa a
pasa luego
al
p oblema
de
ines abilidad
global
.
2
7
§2
.-Ines abilidad
local
.
Conside emos
el
siguien e
sis ema
de
ecuaciones
:
~
1
ET
d
~
2
E
T
e
cla amen e
di idido
en
dos subsis emas,
el
p ime o
de
ellos
con F,
2n-
peiiódicas
en

de
clase
C
1 ,
siendo
el
o igen
I
1
=0,~
1
=0
un
pun o
ijo
hi-
e
pe bólico
.
Pa acada
wER

el
sis ema
(1)
iene
o os
in a ian es
Tw
de ecua
clones
I1=0, ~1=0,
I 2
=
w
.
Aplicando
el
eo ema
de
Ha man{
4},
exis en
a-
iedadesin a ian es
ines able
y
es able
Ww,
Ww
del
sis ema
(1)
con
WW()Ww
=T
w
,
donde
las
ayec o ias
de
Wcua
se
ace can
a Tw
cuando
->
- ~,
y
las
ayec o ias
de Ww
se
ace can
a
T
w
cuando

Di emos
que
T
w
es
un
o o
con
mos achos,
siendo
WW el
mos acho
salien e,
y
Ww el
mos acho
en-
an e
.
Nos
p egun amos
aho a
:
¿Qué
ocu e
si
pe u bamoslige amen e
el
sis ema
(1)
?
¿El
sis ema
pe u bado
con iene o os
con
mos achos,ei
la
pe u ba-
ción
es
su icien emen e
pequeña?
.
La
espues a
es
a i ma i a
cuando
la
pe u bación
no
a ec a
a
los
o os
T
w
'
P oposición
.-
Sea
el
sis ema
-
(2
)I
S
~1=

(I
1
,~
1
)

+
28
I
1
=
F(I
1
,¢
1
)
+
EG
1
(1
1
,~
1
1
2
,~
2
, )
,
I2=
eg
1
(i
1
,~
1
.i2
,~
2
, )
1
~2=
12
La
demos ación
se
hace
po
el
mé odo
imaciones
sucesi as
.
Así
pues,
pa a
con
mos achos
del
sis ema
(2)con inua
eniendo
o os
o mados
.
La
exis encia
de
lidad
local
de
es os o os
cep o
global
.
eG
2
(1
1
,~
1
,I2,~
2
, )
eg
2
(1
1
.~112'~2' )
las
hipó esis
del
sis ema
(1),
clase
C
2
,
2n-pe iódica
con
espec o
a
con
I1,~1,i2,~2,F,
cumpliendo
con
G=(G
1
,9
1
~G
2 9 2
)
de
~1'~2'
;
anulándose
en
En onces,
exis e
e
>0
0
con
mos achos
del
espacio
de
ases
ampliado
.
T
w
w
E
R e
.

G(O,O,w,~2, )

"
2
E T
e
,y G
T
.
al
que
si
Iel<e
o
,
el
o o
T
wes un
o o
s anda d
de las
ap ox-
pe u baciones
que
se
anulan
sob e
los
o os
no
pe u bado,
el
sis ema
pe u bado
con
mos achos,
és os
lige amen e
de-
es os
mos achos
implica
la
ines abi
in a ian es
.
Pasemos
aho a
al
con-
I1
=_F(I1,~1)
1
=
20I
1
FRd
,
~1
=
(I
1
~
1
)
~
2=
1 2 1
2
ER
e
§3
.-
Ines abilidad
glo
bal
.
Una
p opiedad
impo an e
del
sis ema
(1),
que
no
habíamos
ci ado,
es
que los
o os
CT
w
son
o os
de
ansición,
es
deci
que
en o nos
a bi a ios
de
dos
pun os
a -
bi a ios
del
mos acho
en an e
y
salien e
espec i amen e,
es-
án
conec ados
po
ó bi as
del
sis ema
(1),
siemp ey
cuando
w
e
sea

inconmensu able

(

E
n
.w
.=0,

n
.E
Z
-n=0,

i=1,
. .
. .
n),

pues
1
1

1

i
en oncescadaó bi a
del
subsis ema
(1b)
es
densa
.
Es de
espe-
a que
es o
ambién
se
cumpla
en el
sis ema
pe u bado
(2),
aunquepa ece
se
necesa io
impone
unas
condiciones
más
es-
ic i asa
w
.
Ac ualmen e
se
es á
abajando
en
ello
.
Expliquemos
b e emen e
el
mecanismo
que
asegu a
la
ines abi-
lidad
global
.
Se
basa
en
encon a
una
cadena
de
o os
de
an-
sición
T
1 ,
.
...
Tn
,
ales
que
pa a cada
i,
la
a iedad
in a ian e
ines able
Wu
del
o o
T,
co a
ans e salmen e
a
la
a iedad
in a ian e

es able
Wi+1

del

o o
T
i+1

(W u`
w
Wi+1)'

Así

se
puede
asegu a
que
un
en o no
a bi a io
de un
pun o
x
1
E
WS
es á
co-
nec ado
con
cualquie
en o no
de
cualquie
pun o
x E
W
u
po
una
n n
ó bi a
del
sis ema
.
Pa a
pode
aplica
es e
mecanismo
de
cade-
nas
de
ansición,
es
necesa io
p ime amen e
es udia
bajo
qué
condiciones
se
cumple
Wu¡EW,,
en
nues o
sis ema
pe u bado
(2),
s
siendo
Wu
el
mos achosalien e
de
T_
,
W el
mos acho
en an e
w

w
w
de T

del
sis ema

(2),
pa a
dos
ecuencias
w,w
E
R
e
.
Es oequi-
w
ale,
a esol e
unas
ecuaciones
que
en el
caso
en
que
el
sis-
ema
(1)
sea
in eg able,
se
simpli ican
conside ablemen e,
pues
podemossupone
Ww
C
Ww
,
po
ejemplo
.
Sean
V
s
,V
u
las
ecuaciones
de
es as
a iedades
in a ian es
del
sis ema
no
pe u badc
(1),
0 0
0
0 0 0
0
de
lujo~( -
,x ),
x
=(I1,41,I2,~2)
.
T abajando
en
p ime a
a-
p oximación,
ob enemos
la
siguien e
P oposición
.
T ans e salidad
de
las
a iedades
in a ian es
0 0
o oooo0
Sea
y
=(x
,
)=(I1,~1,I2,~2,
) .
Si
1
°
)
s(iol~0
=
8V
s

o

0

0

0

0

o

o

0

0
-eJ óóÍ1(I1( -
,I1,~1)
.~1( -
,I1
.~1))01(( -
,x
), -
)
+
+
d
V
s0

0

0

( -
0
il0

0

ó
(I
( -
I

) .

0

0
~1

1
,0
1
))g
1
W
-

x

), -

)

}d
1
IZ-w=
-e
c
2
(4)( - o
,x
0
), -
o
)d
o
29
2°)
i
'Di
{
iV-
(I1( - °,I°,~o),~1( - o,I°,~o))G1(~( - o,x0), - °)
+
1
qV
u
o
'
0
'
0

0 0 0

0 0

0
+
-
1
(I
( -
I

)

( -
I

))g
( p( -
,x
), -
)}d
= 0
ó
1
1

1
1 ' 1

'
1'
1

1
Z'
-
-w
= el G2
W -
o ,x
0
), -
o
)d
3°)
Pa a
o
ijo,
x0 es
soluciónúnica
de 1°)
y
2-)
.(Aquí
po
solución
única
se
sob een iende
que
la
di e encial
sea
in e si-
ble
.
Así, la
ecuación
(x)=0 end á
soluciónúnica
si
exis e
x
al
que
(x)=0
y
D (x)
es
in e sible)
.
En onces,
bajo
las
hipó esis
1°),2°),3°),
W
u
7Tiw
s
en
yo
.
w w
Fijémonos
que las
in eg ales
con ienen
únicamen e
el
lujo
del
sis ema
no
pe u bado
(1),
que
se
supone
conocido
.
Es a
p oposición
aplicada
a
cada
caso
pa icula
(median e
el
cálcu-
lo
e ec i o
de
las
in eg ales
dé
1°),2°)),es
la
quenos
da
las
condiciones
su icien es
pa a
la
exis encia
de
cadenasde an-
sición
pa a
una
sucesión
w
1
,
. .
,w
n
su icien emen e
adecuados
pa a
que
los
o os
Tw
.
.
,Tw
sean
o os
de
ansición,
con
1

I
I

,
lo
que
se
puede
es ablece
la
ines abilidad
global
. _
§4
.-
Bibliog a ía
{1}
A nold,
V
.I
.
P oo
o
a
heo em
o
A
.N
.
Kolmogo o
on
he
in a iance
o
quasi-pe iodicmo ions
unde
small
pe u ba-
ions
o
he
hamil onian,
Russian
Ma h
.
Su eys
V 18 N
5,
1
.963,
pag
.
9-36
.
{
2}
A nold,
V
.I
.
Ins abili y
o
dynamical
sys ems
wi h
se e al
deg ees
o
eedom,
So
.
Ma h
.
Doklady
.
V
5
N
3,
1
.964,
pag
.
581-585
.
{
3}
A iold,
V
.I
.
e
A ez,A
.
P oblémes
E godiques
de la
Mécani-
que
Classique,
Gau hie -Villa s,
1
.967
.
{4}
Ha man,
P
.
O dina y
Di e en ial
Equa ions,
John
Wiley,
1
.964
.