Notas sobre difusión de Arnold

Pub . Ma . UAB N° 22 No . 1980 Ac es VII JMHL NOTAS SOBREDIFUSIONDE ARNOLD AmadeoDelshams Facul a de Ma emá iques Uni e si a de Ba celona Abs ac .- KAM heo emdoesn' ensu es abili y o dynamical sys ems close o in eg able Hamil onian sys ems when he dimension o he phase space is mo e han ou . In his case, i egula uns able o bi smay oc- cu , a bi a ily close o s able in a ian o i . This is he A nold di - usion . We s udy he e some su £icien condi ions which gua an ee he exis- ence o his di - usion . §1 .- In oducción . Un p oblema de g an impo ancia en los sis emas dinámi- cos, y en pa icula , en los sis emas hamil onianos, es el p oblema de la ines abilidad, an o de ipo local (en el en o no de un conjun o in a ian- e po el lujo), como de ipo global . De g an impo ancia es el eo ema de Kolmogo o -A nold-Mose {1} pa a sis emas pe u bados de sis emas in e- g ables, que nos asegu a que casi odo o o in a ian e (en el sen ido de la medida de Lebesgue) del sis ema no pe u bado, se de o ma lige amen e al a- ñadi la pe u bación . Es o asegu a es abilidad pa a sis emas con dos g a- dos de libe ad, pues los o os in a ian es sepa an la hipe supe icie don- de el hamil oniano es cons an e, cosa que no ocu ecuandohay más de dos g ados de libe ad, donde una ó bi a que se apoya en el complemen a io de es os o os in a ian es, p óxima en un pun o a uno de ellos, puede aleja se has a una dis ancia a bi a iamen e g ande, si log a "esqui a " es a colec- ción de o os in a ian es . El p ime ejemplo de ello lo dio A nold {2}, que ideó el p oceso de las cadenas de ansición, que pe mi en empalma las a iedades in a ian es es able e ines able de dis in os o os de ansición . Es e enómeno ecibe el nomb e de di usión de A nold (pa a más de alles éase{ 3}) . eamos a con inuación algunas condiciones su icien es pa a la exis encia de es as a iedades in a ian es pe enecien es a o os así mismo in a ian es, pa a pasa luego al p oblema de ines abilidad global . 2 7 §2 .-Ines abilidad local . Conside emos el siguien e sis ema de ecuaciones : ~ 1 ET d ~ 2 E T e cla amen e di idido en dos subsis emas, el p ime o de ellos con F, 2n- peiiódicas en  de clase C 1 , siendo el o igen I 1 =0,~ 1 =0 un pun o ijo hi- e pe bólico . Pa acada wER  el sis ema (1) iene o os in a ian es Tw de ecua clones I1=0, ~1=0, I 2 = w . Aplicando el eo ema de Ha man{ 4}, exis en a- iedadesin a ian es ines able y es able Ww, Ww del sis ema (1) con WW()Ww =T w , donde las ayec o ias de Wcua se ace can a Tw cuando -> - ~, y las ayec o ias de Ww se ace can a T w cuando  Di emos que T w es un o o con mos achos, siendo WW el mos acho salien e, y Ww el mos acho en- an e . Nos p egun amos aho a : ¿Qué ocu e si pe u bamoslige amen e el sis ema (1) ? ¿El sis ema pe u bado con iene o os con mos achos,ei la pe u ba- ción es su icien emen e pequeña? . La espues a es a i ma i a cuando la pe u bación no a ec a a los o os T w ' P oposición .- Sea el sis ema - (2 )I S ~1=  (I 1 ,~ 1 )  + 28 I 1 = F(I 1 ,¢ 1 ) + EG 1 (1 1 ,~ 1 1 2 ,~ 2 , ) , I2= eg 1 (i 1 ,~ 1 .i2 ,~ 2 , ) 1 ~2= 12 La demos ación se hace po el mé odo imaciones sucesi as . Así pues, pa a con mos achos del sis ema (2)con inua eniendo o os o mados . La exis encia de lidad local de es os o os cep o global . eG 2 (1 1 ,~ 1 ,I2,~ 2 , ) eg 2 (1 1 .~112'~2' ) las hipó esis del sis ema (1), clase C 2 , 2n-pe iódica con espec o a con I1,~1,i2,~2,F, cumpliendo con G=(G 1 ,9 1 ~G 2 9 2 ) de ~1'~2' ; anulándose en En onces, exis e e >0 0 con mos achos del espacio de ases ampliado . T w w E R e .  G(O,O,w,~2, )  " 2 E T e ,y G T . al que si Iel<e o , el o o T wes un o o s anda d de las ap ox- pe u baciones que se anulan sob e los o os no pe u bado, el sis ema pe u bado con mos achos, és os lige amen e de- es os mos achos implica la ines abi in a ian es . Pasemos aho a al con- I1 =_F(I1,~1) 1 = 20I 1 FRd , ~1 = (I 1 ~ 1 ) ~ 2= 1 2 1 2 ER e §3 .- Ines abilidad glo bal . Una p opiedad impo an e del sis ema (1), que no habíamos ci ado, es que los o os CT w son o os de ansición, es deci que en o nos a bi a ios de dos pun os a - bi a ios del mos acho en an e y salien e espec i amen e, es- án conec ados po ó bi as del sis ema (1), siemp ey cuando w e sea  inconmensu able  (  E n .w .=0,  n .E Z -n=0,  i=1, . . . . n),  pues 1 1  1  i en oncescadaó bi a del subsis ema (1b) es densa . Es de espe- a que es o ambién se cumpla en el sis ema pe u bado (2), aunquepa ece se necesa io impone unas condiciones más es- ic i asa w . Ac ualmen e se es á abajando en ello . Expliquemos b e emen e el mecanismo que asegu a la ines abi- lidad global . Se basa en encon a una cadena de o os de an- sición T 1 , . ... Tn , ales que pa a cada i, la a iedad in a ian e ines able Wu del o o T, co a ans e salmen e a la a iedad in a ian e  es able Wi+1  del  o o T i+1  (W u` w Wi+1)'  Así  se puede asegu a que un en o no a bi a io de un pun o x 1 E WS es á co- nec ado con cualquie en o no de cualquie pun o x E W u po una n n ó bi a del sis ema . Pa a pode aplica es e mecanismo de cade- nas de ansición, es necesa io p ime amen e es udia bajo qué condiciones se cumple Wu¡EW,, en nues o sis ema pe u bado (2), s siendo Wu el mos achosalien e de T_ , W el mos acho en an e w  w w de T  del sis ema  (2), pa a dos ecuencias w,w E R e . Es oequi- w ale, a esol e unas ecuaciones que en el caso en que el sis- ema (1) sea in eg able, se simpli ican conside ablemen e, pues podemossupone Ww C Ww , po ejemplo . Sean V s ,V u las ecuaciones de es as a iedades in a ian es del sis ema no pe u badc (1), 0 0 0 0 0 0 0 de lujo~( - ,x ), x =(I1,41,I2,~2) . T abajando en p ime a a- p oximación, ob enemos la siguien e P oposición . T ans e salidad de las a iedades in a ian es 0 0 o oooo0 Sea y =(x , )=(I1,~1,I2,~2, ) . Si 1 ° ) s(iol~0 = 8V s  o  0  0  0  0  o  o  0  0 -eJ óóÍ1(I1( - ,I1,~1) .~1( - ,I1 .~1))01(( - ,x ), - ) + + d V s0  0  0  ( - 0 il0  0  ó (I ( - I  ) .  0  0 ~1  1 ,0 1 ))g 1 W -  x  ), -  )  }d 1 IZ-w= -e c 2 (4)( - o ,x 0 ), - o )d o 29 2°) i 'Di { iV- (I1( - °,I°,~o),~1( - o,I°,~o))G1(~( - o,x0), - °) + 1 qV u o ' 0 ' 0  0 0 0  0 0  0 + - 1 (I ( - I  )  ( - I  ))g ( p( - ,x ), - )}d = 0 ó 1 1  1 1 ' 1  ' 1' 1  1 Z' - -w = el G2 W - o ,x 0 ), - o )d 3°) Pa a o ijo, x0 es soluciónúnica de 1°) y 2-) .(Aquí po solución única se sob een iende que la di e encial sea in e si- ble . Así, la ecuación (x)=0 end á soluciónúnica si exis e x al que (x)=0 y D (x) es in e sible) . En onces, bajo las hipó esis 1°),2°),3°), W u 7Tiw s en yo . w w Fijémonos que las in eg ales con ienen únicamen e el lujo del sis ema no pe u bado (1), que se supone conocido . Es a p oposición aplicada a cada caso pa icula (median e el cálcu- lo e ec i o de las in eg ales dé 1°),2°)),es la quenos da las condiciones su icien es pa a la exis encia de cadenasde an- sición pa a una sucesión w 1 , . . ,w n su icien emen e adecuados pa a que los o os Tw . . ,Tw sean o os de ansición, con 1  I I  , lo que se puede es ablece la ines abilidad global . _ §4 .- Bibliog a ía {1} A nold, V .I . P oo o a heo em o A .N . Kolmogo o on he in a iance o quasi-pe iodicmo ions unde small pe u ba- ions o he hamil onian, Russian Ma h . Su eys V 18 N 5, 1 .963, pag . 9-36 . { 2} A nold, V .I . Ins abili y o dynamical sys ems wi h se e al deg ees o eedom, So . Ma h . Doklady . V 5 N 3, 1 .964, pag . 581-585 . { 3} A iold, V .I . e A ez,A . P oblémes E godiques de la Mécani- que Classique, Gau hie -Villa s, 1 .967 . {4} Ha man, P . O dina y Di e en ial Equa ions, John Wiley, 1 .964 .