Pub
.
Ma
.
UAB
N° 21
Oc
.
1980
Ac es
VII
JMHL
Ma
Pila
Al a o
Ga cía
Dp o
.
d
e
Teo ía
de
Funciones
Uni e sidad
de Za agoza
Caso
C
:
lim
e > 0
.
n
n
Caso
D
:
lím
en =
0
n
SOBRE
COMPORTAMINETO
ASINTOTICO
DE CEROS
DE
POLINOMIOS
ORTOGO-
NALES
Abs ac
:
In
his
pape ,
we ob ain
a esul
abou
he
asym o-
ic
beha io
o
he
o hogonal
polynomials
on
he
uni
ci cle
in
hé
so-called
case
C
.
En la
eo ía
de
polinomios
o ogonales
sob e
la
ci cun e-
enciaunidad,
se
p esen an
dos
si uaciones
dis in as,habi ua_1
men e
llamadascasos
C y D
[1]
.
Pa a
ambas
se
ob u ie on
en
[3]
ca ac e izaciones
de
muy
di e sa
índole,
de
lasque
sólo
u iliza emos
aquí
la
ela i a
a
la
con e gencia
de la
sucesión
de
excesos
{e
}

([2])
:
n
n
=b
En
el
p ime
caso
se
sabeademás
que
la
sucesión
de
n-n i
cleos
{Kn(z,0)}n=o
,
[2]
,
con e ge
uni o memen e
en
cualquie
disco
ce ado
D
=
{z
:Iz14
}
con enido
en
el
ci culo
unidad
abie oU
(El])
.
Es udiamos
aho a,
en
el
caso
C,
algen
aspec o
del
compo -
amien o
asin b ico
de
las
aícesde
la
sucesión
o ono mal
{Pn(z)}n=o
([2])
.
n
En

[4]

se
demos ó
quelas
aíces
a
in de
Pn
(z)

(n e N)
e i ican
la
condición
:
(X
in
p
n-1
(a
in
)
i
n-1
(a
in
,0)
e
n-1
donde
w
n=
_en-1
~e7
pn
(0)

(n
,
1)
y
0
4
Iwnl/en-1
<
1
(
.

[2]
) .
Siendo
lainl
<
1
y
pn-1(z)0)

<
1
si
Iz1 <
1,
ello
supone
1
>
lai
n
l
>
I
w
.J
/e
n-1
,
es
deci , odas
las
aíces
de
cada
1
n (z)
es án
si uadas
en la
co onade cen o
en el
o i-
gen
y
adios'Iw
n
¡/e
n-1
y
l
.

En el
caso
C,

limjwnl/en-1=0,
lo
que
hace
posible
la
exis encia
de
aíces
"muy
p óximas"
al
o _i
gen
.
En el
caso
D,
_lim
I
w
nl
/e
n-1
= X
,
(0
¿~ X
4
1),
po
lo que,
excluido
quizás
el
n
caso
a
=
0
que
co esponde
a
lim
e
n
/e
n-1
=
1
,
la
si uación
es
en
cie omodo
opues a
a
la
n
an e io
:
Pa a
cada
e,
(0
< e <
a),
exis i á
una
co onaci cu-
la
de
adios
A-e
y 1
,
en la
que
es a án
las
aícesde
Pn
(z)
desde
un cie o
n
en
adelan e
.
En
pa icula ,
en
el
caso
ex-
emo
a= 1
,
hab á aíces
a bi a iamen ep óximas
a
la
on-
e a
.
P obamos
a con inuación
cómo
es,
en
bucibn
de
las
aícesen
o no
al
o igen
.
TEOREMA
1
.
Sea
p
e N
.
En el
caso
C,
cualquie
en o no
del
o igen
con iene,
al
menos,
p
aíces
-
de
cada
polinomio
P,(z),
desde
un
cie o
n
en adelan e
.
Demos ación
.-
En
[3]
se
ob enía
la
elación
ecu en e
o den
p,
álidapa a
0<
p
4
n
,
de
Ve

p-1
np
z
pP
n-p
(z)-
~
P
n
(z)
_

Tn-jz~Kn-j-1(z~0)
j=o
donde
T
n = w
n
/e
n-1
,
n
*
~
l!
1
(
.[2])
.
Po
an o,
(~,Fen

zpPn-p(z)-
Oen
Pn(z)I
n
el
caso
C,
la
dis i-
1
Z
IT
n
-jI
.
iz
J
K
n-
J
-1(z
,0 )I
J=o
JA
Sea
p
ijo
.
Cuandon

T
n-j
---
>0
(
.
[2])

y
{z
K
n-j-1
(z,0)}
n con e ge
uni o memen e
a z
K(z,0)
(j=0,1,
.
.
. .
p-1),

(
.
'
[3])

,

en
cualquie
disco
D
con enido
en
U
.
Po
consiguien e,
cada
uno
de
los
p
sumandos
del
segundo,
miemb o
de
(2)
con e geuni o memen e
a
ce o
en
D
,
con
lo
cual
ambién
{
~en-p
z
pP
n-p
(z)
-
F
Pn(z)
}n
-~
"
0

[uni
.]
en
cada
D
Aplicando
un
conocido
eo ema
de
weie s ass
se
puede
asegu a
que,

ijado

E
>0

pa a
cada
h
=
0,l,
.
. .
.
p-1
exis e
n
h
e
N
al
que
si
n
*
~
l!
nh y
z e D
ID (h E
~
p
zp
%-p(z)
-
en
Pn(z)
I
<
E
lo
que
pa a
z
=
0
se
educe
a
:
P ih
(0)I
<E
Sea
N
=
max°

(no,ni,
. . . .
nh
)
.

Si
n
:i!
N
el
polinomio
m6nico
Pn
(z)
e i ica
:
ID(h~
Pn(z)3z_ol
<
E
h =
0,l,
. .
.,p-1
lo que,
según
un
eo ema
del
Algeb aclásica
(
.
[6]),
asegu a
la
exis encia
de
p
aíces
{ain}P=1
de
Pn
(z)
e i icando
l
a
in
1

<

E

(
.i=1,2,
....
p)
Pues o
que las
aíces
de
los
polinomios
Pn
(z)
y Kn
(z,0)
son
in e sas
espec o
de la
ci cun e encia
unidad,
podemos
enun
cia
:
TEOREMA
_2
.
En el
caso
C,
pa a
cada
p
e
N
y
A
e
R+
exis e
N
=
N(p,A)
alque
si
n
~l
N
el
polinomio
K
n
(z,0)
iene
al
menos
p
aíces

{Sin)P=1
que
e i ican

lsinl

>
A

(i=1,2,
.
. .
.,p)
.

#
Queda
abie o
el
p oblema
de
decidi
si
la
p opiedad
que
es ablece
el
eo ema
1
es
o
no
ca ac e ís icadel
caso
C,
lo
que,
en
casoa i ma i o,
supond ía
dispone de
una
nue aca ac
e izaci6n
de
los
casos
C y D
o almen e
dis in a
de
las
aho a
conocidas
.
Pa a
ello,
y
de
acue do
con
las
conside aciones
hechas
an e io men e,
bas a áes udia
el
compo amien o
asin-
6 icode
las
aíces
de
los
Pn
(z)
cuandoe
n
/e
n-1
-'-
1
y en
->
0
.
Pese
a
su
simplicidad
de
plan eamien o,el
p oblema
no pa ece
elemen al
debido
a
las
especiales
di icul ades
que
en aña
el
es udio
del
caso
D
.
BIBLIOGRAFIA
AKHIEZER,
N
.I .,
"The
classical
Momen P oblem",
Uni
.
Ma h,
Mon
;
Oli e
&
Boyd
.
Lond es,
1965
.
[2]
ALFARO,
M
.,
"Teo ía
pa amé ica
de
polinomios
o ogonales
sob e
la
ci cun e encia
unidad"
.
Re
.
Acad
.
Ci
.
Za agoza
(2)
.
29
(1974),
pp
.
5-79
.
[3
C4]
ALFARO,
M
.P
.
VIGIL,
L
.

"Sob e
ce osde
polinomios
o ogonales
ela-
i os
a
la
ci cun e enciaunidad"
.
VI Jo na-
.
das
Ma emá icas
Hispan-Lusas
.
San ande ,
1979
.
[5]
FREUD,
G
.,
"O hogonal
polynomials",
Pe gamon
P ess
.
Lon-
d es,
1971
.
[6]
KNESER,
H
.,
"Zu
S e igkei
de
Wu zeln
eine
algeb ais-
chen'Gleichung",
Ma h
.
Z
.
48
(1942),
101-104
.
[7]
MARDEN,
M,
"Geome y
o
Polynomials",
A
.M.S
.
P o idence,
1966
.
[8]
RUDIN,
W
.,
"Real
and
Complex
Analysis",
Mc
G aw-Hill
.
Lond es,
1970
.
ALFARO,
14
.P
.,
"Polinomios
o ogonales
sob e
la
ci cun e-
encia
unidad
.
Es udio
del
caso
C"
.
Tesis
Doc-
o al
.
Depa amen o
de
Teo ía
de
Funciones
.
Fa
cul adde Ciencias
.
Za agoza,
19'8
.