EL
PROBLEMA
DE
n
CUERPOS
C
.
Sim6
¢1
.-
Ecuaciones
y
de inición
del
p oblema
.
In eg alesp ime as
:
Teo
-
ema
sde
B uns,
Painle
é y
Poinca é
.
Desde
el
pun o
de
is a
ma emá ico
conside a emos
el
p oble-
ma
de
n
cue pos
como
el
de
n
masas
no
nulas,
pun uales,
some idas
a la
ley
de
la
a acción
uni e sal
de
New on
.
Si
x
i
es la
posición
del
i-ésimo
cue po
espec o
al
c.d
.m
.
y m
i
su
masa,
se
iene
x
=
Z
mi

i=1=n

(1)
i
i¢3
=1

Ix
j
-xi
13
como
sis ema
de
ecuaciones
di e enciales
que
ige
el
mo imien o
de
los
n
cue pos
.
(a)
Desde
el
pun o
de
is a
ísico és e
es
un
modelo
idealizado
.
Po
un
lado
los
cue pos
celes es
no
son
pun uales
.
Po
o o
las
ue zas
en
juego
pueden
se
de
o o ipo
dis in o
al
l/
2
new o
niano
(sin
emba go
muchos
de
los
esul ados
de la eo ía
siguen
siendo
álidos
pa a
o as
ue zas,
po
ejemplo
del
ipo l/ a
q
e
11,31

,
o
exigiendo
s61o
compo amien o
l/
2
pa a
dis ancias
g andes)
.
Finalmen e
(1)
implica
una hipó esis
conse a i a
.
Las
pé didasde
ene gía
po
e ec o de
ma eas,
po
ejemplo,
no se
ie
nen
en
cuen a
.
Vol e emos
a
es e
pun o
más
adelan e
(en¢5)
.
O o
aspec o
a
ene
en
cuen a
es
que
condiciones
iniciales
desp eciables
ma emá icamen e,
po
ejemplo
un conjun ode medida
nula en el
espacio
ísico,
pueden
se
undamen ales
ísicamen e
.
Supongamos
que
el
inicio
del
cosmos
ue a
debido
a
una
explosión
"
Se
end ía
en onces
momen oangula
o al

nulo,
lo
que
es-
inge
el
mo imien o
a
una
a iedad
de
medida
de
bebesgue
nula
.
A
al a
de
una
mejo
comp ensión
de
las
leyes
ísicas
que i-
gen
el
mo imien o
de
los
as os
oma emos
(1)
como
modelo
.
Es e
(a)
Se
supond áen
lo
que
sigue
que
la
cons an e
de
New on
ale
1
.
38
es un
sis ema
de
6n
ecuaciones
de
p ime
o den
.
Son
clásicas
las
in
eg ales
p ime asdelcen ode
masas
y de su
elocidad,
del
momen-
o
angula

C = E

mi x
i
n
x
i

y de la ene gia

h
=
F,
1
mi
z2
i

_

1
2

1
_

E

m
i
m
j
.
En
o al
se
dispone
de
10 in eg ales
p ime as
.
1<i<j<n
I
xi
-x
j1
Además,
debido
a
que
la
acción
de
S
1
enel
espacio
ásico
ans o ma
oda
solución
de
(1)
eno asolución(eliminación
.
del
nodo
)
y
a
que
es
posible
elimina
el
iempocomo
a iable
independien e,
se
iene
una
educción
a
un sis ema
de
6n
-12
ecuaciones
.
As!
el
p oblema
de
2
cue pos
queda
esuel o
y el
de
3,
educido
a
6ó
o den
.
Tal
educción
puede
e se
en
Whi ake
.
Es
na u al
p egun a se
po
la
exis encia
de
más in eg alesp ime
asde
(1)
.
Po
el
momen o
no
se
conoce
ningunao a
(con
ca ác e
global
;
ease
Losco
pa a
o mas
in a ian es)
y las
expe iencias
num_é
icas
e ec uadas
pa ecen
indica
que
no
exis enmásin eg alesp i-
me as
( e §5)
.
Resul ados
clásicos
en
es a
di ección
son los
céleb es
Teo ema
(B uns
1887)
:
Todain eg al
p ime ade
(1)
algeb aica'en
x,
.x,
es
unción
algeb aica
de lasin eg ales
clásicas
.
Teo ema
(Painle é
1896-1898)
:Toda
in eg alp ime a
de
(1)
algeb aica
enz

es
unción
algeb aica
de
lasclásicas
.
Teo ema
(Poinca é
1889)
:
Sea
F =
F
o
+
PF
1
+
~l
2
F
2
+
.. .

el
hamil oniano
del
p oblema
de n cue pos
desa ollado
en
po encias
de un
pequeño
pa á
me o
u
(po
ejemplo,
la
masade
uno
de los
cue pos)
.
Suponemos
F an_a
lí ico
en 4,
Fo =
FO(p)(independien e
de
q),
Fi

,

unciones
de
p,q,
i>0
2n-
pe iódicas
enq
.
Suponemos,
además,
quepa acadacue po
p4gi
son
a iables
canónicas
asociadas
a loselemen oselíp icos
.
En onces
el
sis emaPi=_bF/ag
i

,
qi =

bF/api
3
9
no
ienemásin eg ales
p ime as
analí icas
en
P,p,qy
2n
-pe iódicas
en
q
que
las
clásicas
.
Es e eo ema
no
es
excesi amen e
so p enden e
ya
que
se
sabe(MoseB'
que
pa acie oconjun o
denso
de
sis emas
hamil onianos
no
exis en
in eg ales
p ime as
de
clase
le
1

dis in as
del
hamil oniano
.
12
.-
2
cue pos
:
Solución
;
e emé ides
;
de e minación
de
ó bi as
.
Coli
-
sione
s
:
Regula izaciónLC y KS
.
Espacio
de
ó bi
as
.
T ans e encia
.
El
p oblema
más
sencillo,
único
esuel o
yel
que
si ede
base
a
las
écnicas
de
pe u baciones
y a
la
mayo ía
de
p oblemas
de
la
As odinámica
es
el
de
2
cue pos
.
Pa aes udia
el
mo imien o
(Keple
iano)
de
uno
de
los
cue pos
espec o
al
c
.d.m
común
(u,
homo
.é ica-
men e,
espec o
al
o o
cue po)
se
in oducen
2
ángulos
:I(inclinaci6n)
y
Q(a gumen o
del
nodo)
pa a ija
la
posición
del
plano
de
la
ó bi
a espec oa
un
sis ema
de
e e encia
dado
.
La ó bi a
en
dichopla-
no
es
unacónicade semiejea
y
ex
cen icidad
e,
con
un
ocoen
el
c
.
d
.m
. .
Se
de ine
el
ángulow
(a gu
men o
del
pe ias o)
comoel
que
o man
la
di ección
delnodoy
la
delpun ode
la
ó bi amás
ce cano
al
c .d
.ii1
.
(pe ias o)
.
Los
elemen os
a,e,I,n
,
w,
o
,
se
llaman
Keple ianos
.
El
sex ou
0
0
anomalía
media
en
la
épocaes áde
inido
módulo
2n
y
a ia
linealme- e
con
.

Tos
demásson
cons an es
.
La
posición
en la
ó bi a
se
de e mina
median e
el
ángulo
V,
anomalía
e dade a,
o mada
po
el
pe ias

1

sici6nac ualdelas o
.
Es e
se
elaciona
median e

g
2
=

1+
e
é
g
E/2

con
la
llamada
anomalia
excén ica
E
,
ángulo
auxilia ,
quea
su
ezse
elaciona
con
el
iempo
median e
M=M
.
+ a
-1/3

=
E
+
e
sin
E

(mod
2n)
.
Es aecuación
se
conoce
como
ecuación
de
Keple
.
Su
esolución
impulsó
enpa e
la
con ibución
de
Cauchy
a
la
eo íade
la
a iable
compleja
.
Una
exp esión
de E-M
como
se ieen sin
KIT
con
coe icien es
4
0
unciones
de
e
ue
dadapo
Lag ange
en
1769
.
Los
coe icien es
e
sul an
se
unciones
de
Bessel
,
cuyo
es udio
sis emá icose
abo
da lapo p ime a ez
55
añosmás a de
.
El
p oceso
de
de e mina
la
posición
de
un
as o
del
que
se co
nocen
los
elemen os
se
llama
cálculo
de
e emé ides
.
Sin
emba go,
pa a
el
cálculoe ec i ode
la
posición
debe emos
ene
en cuen a
la
p esenciade
pe u baciones
que
al e an
el
p oblemade
2
cue -
pos
.
El
p oblemain e so
:
conocida
la
posición
delas o
calcula
sus
elemen os,
se
conoce
como
de e minación
de ó bi as
.
Debido
a
la
di icul ad
de
conoce x
y x

enun
ins an e
dado,
dichocál
culo
se
con ie een un
p oblema
de alo es
en
la
on e a
.
Es
ípica
la
de e minación
de
la
ó bi ade un
as e oide
o
un
come a
median e
obse aciones
angula es,
es o
es
:
pa acadains an
e
de
iempo
se
conoceen
qué
di ección
es á
espec o
al
obse a
do ,
pe o
no se
saben
ni su
dis ancia
ni su
elocidad
.
Losp oblemas
mo i ados
po
la
disponibilidad
de un
ele ado
núme o
de
obse aciones
no
compa iblesdebido
a
los
e o esdeob
se aci6nlle a on
a
Gauss
a
desa olla
en
1801
el
mé odo
de
mí-
nimoscuad ados
.
O oejemplo
ípico
de
de e minación
deó bi asen
el
p oblema
de
2
cue pos
es
el
del
endez- ous
o
in e cep ación
:
los
da os
de
quese pa eson
l
,
x
1
,
2
y
x2
.
No ablein e és
p esen a
el
es udiode
las
ó bi asde
colisión
(es-
-
1
1-s,
en
enque
los
doscue pos
chocan)
.
En
el
espacio
ásico
(6
dimensional
llenan
una
a iedad
4
dimensional,
po
lo
que
su
medida
es
nula
.
Des a-
quemos
que
(1)
deja
de
ene sen ido
si
x
1
_x
2
:
la
ayec o ia
ha
llegado
a
una
singula idad
.
Es
na u al
p egun a se
si
es posible
encon a
un cambiode
a
iables
x {
YO}
que
pe mi a
egula iza
(1),
es o
es,
ans o ma-
la
en
una
ecuación
sin
singula idades,
y encaso
a i ma i o
in e -
41
p e a ísicamen eel
esul ado
.
Pa a
mo imien o
enR
2
la
espues a
uedadaen
1906
po
Le i-
Ci i a
.
La
ans o mación
Z1
-
Z21
1
Zl
l

'x
1
L
(Z)
Z
=I
Z2

Z
11

I

Z2I

=
I
x
2'

,

ds

=

Ix1

d
que in oduceun
nue a
a iableespacial
Z
(
la
aíz
cuad ada
de
x
conside ados
x,Z
e
T
)
y
unanue a
empo al,
s,
ans o man
(1)
en
Z"
+
2
Z
=
0 (2),
donde
1
=
ds
y h
es
ene gía o al
.
Se
obse
a
de paso
que
(2)
es
la
ecuación
deun
mo imien o
a mónico
.

I
3
Se
buscóen
ano
una
ma iz
en
R
que
gene aliza a
la
ma iz
de
Le i-Ci i a
L(Z),
o
sea,
cuyap ime a
columna
ue a
Z
y
las
demás ue an
o ogonales
en e
sí
y a
Z
.
Es a
imposibilidad
es de
bidaal
eo ema
de
Poinca éde
no
exis encia
de campos
ec o ia-
les
con inuos
en
S2
_
Sinemba go
si
exis en
dichoscampos
(que
además
engend an
el
e
. angen e)
en
S3
.
(Un
céleb e esul ado
es ablece
queS
l ,S
3
,S7
son las
únicases e asconesa
p opiedad)
.
En R
4
se
sus i uye
L(Z)
po
Z1
-
Z2 -
Z3

Z4
Z2
Z
1
_
Z4_
Z3
L
(Z)
=
Z3
2
4Z1Z
2
Z4_
Z3

Z2_
Z1
R4
-~
R4
La
aplicación
Z
i
L
(Z)
Z
uedadapo
Hop
en
1931
y
esuci ada
po
Kus aanheimo

y S ie-
elen
1965
que
la
aplica on
a
la
egula ización
.
Se sume geR
3
en
R4
haciendo
x
4
=
0
.
El
cambio
L
(Z)
Z
=x,

ds
=
Ixi

d
con ie e
(1)
en
(2)
.
La
ib a
de cadapun ode R
3
po
la
aplicación
KS es
una
ci cun e encia
de cen oel
o igen
y
adio
YIXI
Tan o
en
el
ca
soLC como
en
elKS
la
egula izaciónequi ale
ísicamen e
a una
co
lisi6n
elás ica
:
El
mo imien o
Keple iano
se
p olonga
después
de
la
colisión
conse ando
ene gíay
cambiandó
de signo
la
can idad
demol
imien o
.
-
I
O a
p egun a
que
podemos
o mula nos
ace ca
delp oblemade
dos
cue pos
es
la
de qué
es uc u a opol6gica
puede
da seal
conjun-j
42

P
o de
las
ó bi as
9
.
Es epuede
ob ene se
delespacio ásico
iden i
icando odos
los
pun osdeunamismaó bi ao
bien,
equi alen emen
e,
de iniendo
una
dis ancia
en e
ó bi as,
ya sea
a
pa i
de
las
in eg ales
p ime as
o
geomé icamen e,ex endiendo
adecuadamen e
la
mé ica
de
Hausdo
a
conjun os
no aco ados
.
Pa a
que
se
engaun
espacio
sepa ado
deben
iden i ica se
la
ó bi a
de
llegada
auna
co-
lisióncon
la
co espondien e
de
salida
(Sou iau)
.
Mose
p obó
(1970)
quepa ah<
0
ijado,
el conjun ode
ó bi as
es
homeomo o
aS
2
XS
2
(y
que
la
sub
.
del
espacio
de
las
ases
co espondien e
es
T.S
3
).
Gene alizando
es e
esul ado
se
iene
Teo ema
(Simó
1974)
El conjun ode
las
ó bi asdel
p oblema
de
2
cue pos
es
homeomo o
a
S2
x
S2
xR- i
a,
-a,h)l
a
e
S2,
h?
0}
.
Es e
esul ado
implica
la
no
exis encia
de "elemen os"
sin
singula ida-
desen
el
p oblema
de
2
cue pos,
pues
unaca a
es
insu icien e
.
O a
consecuencia
debida
al
eo ema
de
Poinca é
de no
exis encia
de
camposcon inuos
en
S
2
es
que
no
exis eninguna
aplicación
con inua
9->-R
3
queasignea cadaó bi aunpun ode
la
misma
.
Es o
es,
ningún
elemen o
del
ipo
Mp
puedese asignadode
. o ma
con inua
a
unaó -
bi a
.
Finalmen e
un
p oblema
que
no se
halla
en la
na u aleza
pe o
apa ece
en
as odinámica
es
elde
ans e encia
op imalde
ó bi as
.
Se
a a
de pasa de
una
ó bi a
Keple iana
ao a
de
mane a
queel
consumode ene gíaen dichopasosea
mínimo
.
El p oblemaes á
esue_1
o enel casode
que
ambas
ó bi as
sean
coplana ias,
pe o
no en
el
caso
gene al
.
Además
exis encasos
en
los que
la
ans e encia
6p i
ma desde
el
pun o
de
is a
ene gé ico
equie e
iempo
in ini o
(las
llamadas
ans e encias
po
el
in ini o,
a a és
de
2
ó bi asin-
e medias)
.
3
.-
T es
cue pos
:
PequeñoT
.
de Sundman
Teo ema
de
Sundman
Solu-
ciones
conocidas
:
soluciones
pe iódicasPosicionesde
equilib io
ela i o
.
In e ésen
el
cálc
ulo
de a iedadesin a ian es
.
El paso de
2 a
-
3
cue pos
ep esen a
la
apa ición
de
mul i ud
de
di e encias
.
Podemos
deci
que
en
el
p oblema
gene al(masas
cualesquie a)
el
conocimien o
de
soluciones
del
p oblema
de
2
cue pos
no
ep esen a
ninguna
apo ación
.
Un p ime
eo ema
que
se
aplica
a
un n4
cualquie a
de cue
pos
es
llamado
.del
colapso
o al
o
pequeño
.de
Sundman
:
Condi
ci6n
necesa ia
pa a
que
los
n
cue pos
colisionen
es
que
el
momen
o
angula
o al
sea
nulo
.
Po
an o
si c9£0
y
n=
3
s61o
puede
habe
colisionesdobles
.
Sundman
p obó
que
la
p esenciadel e
ce
cue po
no
es
obs áculo
pa a
que
el
mo imien osea
egula iza
ble,
y
de
hecho,
si
no
se
anula
c,
di6
la
soluciónal
p oblema
de
3
cue pos
.
Teo ema
(Sundman(1913)

Si c
y¿0,
las
coo denadasca esianas
y
el
iempo
son unciones
analí icas
de
w
que
con e gen
si
Iwl
<
1,
donde

w= h
b
4

s=
~

(U+
1)

d

siendo
U la
ene gía
o
po encial
y
b
un núme o
posi i o
unción
de
las
masas
y
de
las
condiciones
iniciales
pa a
=
.,
En
pa icula
el
desa ollo
es
álido pa a oda
eal
.
A
pesa
de
que
es e
eo ema
esuel e
el
p oblema
de
3
cue pos
excep o
en un caso
de
medida
nula
(c
=0),
no
es
p ác ico
dada
la
len a
con e gencia
de
las
se ies
y
el
hecho
de
que
no
suminis a
in o mación
del
compo amien ocuali a i o
.
La
ob ención
de
soluciones
pa a
in e alos
de iempo
ela i-
amen e
pequeños
no
o ece
di icul ad
(sea
desde
el
pun o
de
is a
analí ico
o
numé ico
.Véa3e
sin
emba go i0)
.Sin
emba go
si
que emos
p e
deci
algo
pa a
iempo
no
aco ado
end emosdi icul ades
.
Es as
desapa ecen
si
la
ó bi a
es
pe iódica
.
En es e caso el
conocimien o
de la
misma
pa a
un
iempo ini o
pe mi e
conoce la
pa a odo iempo
.
Póinca é
conje u ó
que
dada
una
ó bi a
x( )
de
condiciones
4
4
iniciales
X
o
,
X
o
pa a
=
0

V
E
>0
,

d T
>
0
exis en
condicio-
nes X*,
Xó

alesque

IXO-
X
ó~
<
6

IX
o
-
X
*
I
<g

danuna
ó
bi ape iódicax
*
( )
de mane aque

d
e

[O,T]

Ix( )-x*( )~
<
.
Es a
conje u a,
ala
quehabíaque
añadi
h
<
0
es la
queha impul
sado
la
búsqueda
deó bi as
pe iódicas
.
Ac ualmen e
no
se
conoce
oda ía
la
ce eza
o
alsedaddedicha
conje u a
.
En
el
caso
de que
2
de
las
masas
ue an
pequeñas
(caso
pla-
ne a io)
Poinca é
di idió
las
ó bi as
en
3
especies
:
1)
I=0,
e 0
2)
I
=0,
e
g ande
3)

I
g ande,

e
-
0
La
búsqueda
e ec i ade soluciones
pe iódicas
del
p oblema
de
3
cue pos,
se
abo da
a
pa i
del
p oblema
es ingido
( e §4),
pe
o
una
explo ación
comple adis ade
lle a se
a
cabo
.
Un ipo
pa icula
de
soluciones
pe iódicas
es
aquél
en
que
se
pasade
Xi(0)

a
Xi( )
median eunahomo eciaH
.
unciónde
,
idén icapa a
i
=l`
.
n,(en
pa icula
H
puede
se
un
gi o),
Eule
(1765)
ob u o
los
alo es
de
Xi(0)
en
el
caso
en
que
X
l
,X
2
,X
3
es u ie an
alineadas,
ob eniendo
3
solucionesy Lag ange
(1772)
de e minó
las
o as
2
soluciones es an es
(simé icas)
en
las
que
los
3
cue pos
o man iángulo
equilá e o
.
(Na u almen e
hay
solucionesde ipo
homo é ico
no
pe iódicas,
lle ando
a
colapso
o
a
desin eg ación)
.
El
conjun o
de
condiciones
iniciales
que
da
ó bi ashomo é-
icas
pe iódicas
es
ce adopo
homo ecias
.
cada
clasese llama
una
posición
de equilib io ela i o
(p
.e .
.)
.
Se
demues a
que
en
una
p
.e
.
.
los
n
cue posdebenes a en
un
plano
.
El
in e és
del
conocimien o
de
los
p
.e .
.
en
el
caso
gene alseha is oau-
men ado
po
el
hechode
que los
p .e
.
.
coincidencon
los
pun os
mi
m*
c i icos
del
po encial

-E

es ingido
a
la
a iedad
x
l$i<j<n
I
x
.
i-
.
4
5
l

E

mi

l
xi
l
2
2

= 1
.
i-1
espacio
ásico
del que
se excluyen
las
colisiones
le
hace
co es
ponde
ene gia
y
momen oangula
.
Dados
h
E
R, ce
R
3el
conjun-
-1
o
I
hc
=(E,J)

(h,c)
es'in a ian e
po
el
lujo
. .
El
conocimien-
o
de
Ih
c
puede
da
in o mación
sob e
las
ó bi as
con
esos
a-
lo es
de
ene gía
y
momen o
.
Smale
in odujo
el
concep o
de
conjun o
de
bi u cación
:
a-
lo es
de
h,c
donde
I
h
.
cambia de
es uc u a
.
G acias
a
esul a-
dos
de
Eas on
y
Cab al,
se
sabe
que
el
conjun o
de
bi u cación
con iene
a
los
pun os
c í icos
.
En el caso
plano
del
p oblemade
n
cue pos
los
pun osc i icos
son
:
Conside emos
aho a
la
aplicación
(E,J)
que
a
cada
pun o
del
U

{(-V
(c

z)
.c)

E

R
2
1
cyÉ
0,

zEa
.
2
E

m
i
1
Z
i~
2

-1~
a
E
P
"
e
.
.
y
el
conjun o
bi u cación
es la
unión
de
los
pun os
c í icos
con
los
ejes
h,c
.
En
el
caso
espacial
los
pun os
c í icosde
(E,J)
se
ob ie-
nenpo
unión
del eje
h
con
los
pun os
(h,c)
ales
que
( i,

Ic
1)

es
pun o
c i ico
del
caso
plano
.
El
es udio
del
conjun ode
bi u cación
en el
caso espacial
debe
lle a se
a
cabo
di ec amen e,
pe o en odo caso equie e
conoce
el
de pun os
c í icos,
y
es e
el
de
p
.e .
.
Es o ha sido
lle ado
a
cabo
po
C
.
Simó
y
J
.
Llib e
.
Se
pue
de
calcula
Ih
c
en
é minos
de
an iimágenes
de lc
donde
1
C
(z)
=
-V(Z)2/
2y
c
(z)

siendo
2
E
mi
IZil
2
=
l,
V
el
po en-
cial
y Y
c
(z)
la
ene gía
ciné ica
de
los
cue pos conside ados
como sólido ígido
con
momen oangula
c
.
Sin
en a en
de alles
digamos
que
en
el caso de
masas
dis in as
se
ienen
11
es uc-
u as
de
I
hc pa a
el
caso
plano
y 17
en el caso espacial
.
46
Finalmen edes aquemos
que

H
=
c e
.
da
una a iedad
2n
-1
di-
mensional
y
los
o os
in a ian es
de un
sis ema
p óximo
son
n-dimensionales
.
Si
n=
2
dichos
o os
."sepa an"
de ene gía
cons an e
.
Si un
mo imien o
se
inicia
siemp esob e
él
y si en e
2
o os
escapa
del
ecin o
que
delimi an
.
Es ono
es
así
si
n
?
3
en cuyocaso
los
y
el
sis emapuede
e oluciona
des uyéndose
la
es abilidad
.
Un
ejemplo ue
dado
po
A nol'd
median e
las
llamadas
cadenasde
la
llamada
ines abi-
ble
dad
in a ian equeda
ansición
de o os
bigo udos
.
Se
iene
así
lidad
opol6gica
o
di usión
de
A nol'd
.
Según
Mose
podemosimagina
el
espacio
Los
minúsculos
aguje osco esponden
a
las
zonas
o os
in a ian es
y
la
ines abilidad
co es
de
inísimos ubos
sabe
si la
di usl6n
de
A nol'd
se
sis emas
hamil onianos
o
si
ocu e
muydi ícil
de de e mina numé i-
ponjaes able
.
si uadas ue ade
los
ponde
a la
exis encia
Has a
la
ac ualidad
no
se
p esen a
en la
mayo ía
de
los
lo
con a io
.
En
odocaso
es
camen e
.
§6
.-
Colisión
iple
:
Impo ancia
ísica
.
Teo ema
qula izaci6n
.
O a
ca ac e ís ica
esencialmen e
dis in a
del
p oblema
de
3
cue pos
espec o
al de
2
es la
posibilidad
de
colisiones
i-
ples
.
Se sabe
(Siegel
1941)
que
las
ó bi as
queconducen
a
coli
sión
iple
o man
una
a iedad
13-dimensional
en el
espaciode
emba gose
c ee
que
el
conjun ode ó -
bi as
que
pasan
ce cadela
colisión
#Je
iene
conside ableimpo an-
cia
en
la
e olución
del
p oblemade
es
cue pos
.
De
hecho
pa e
ce
comp obado
queg anpa ede
las
expulsiones
de
es ellasde
unagalaxiase debe
a
ap oximación
de
una
es ella
a
una
bina ia
ases
18-dimensional
.
Sin
5
3
a
in eg a
la
a ie
en
un
o o
no puede
o os
"no
sepa an"
ásico
como
una es-
comunicando
los
aguje os
.
de
Siegel
.
Re-

ue e
(es
deci ,
o mada
po
es ellas
muy
ce canas,
con
ele ada
ene gía
po encial)
.
Se
es á
así
en
una si uación
p óxima
a
colisión
iple
.
Un
esul ado
clásicoasegu a
que
cuando
K
cue pos
se
ace can
a
un
pun o
en el
que
colisionan,
sus
posiciones
ela i as
a
dicho
pun
o
ienden
a
una
con igu ación
homo é ica
.
Así, en
el
caso
K
=3
los
cue pos ienden
a
o ma
iángulo
equila e o
(independien ede
sus
masas)
o
a
es a
alineados
.
Un
caso
pa ecido
se
iene
cuando
los
cue pos
se
alejan
unos
de
o os
en
una expansión
pa abólica
o
hipa
b6lica
.
Siegel
p obó
que
con
la
excepción
de
un
conjun odisc e o
de
alo es
de
las
masas
las
coo denadas
de
los
es
cue pos
que
coli-
sionan
( e e idos
al
c
.d
.m
.)
se exp esan
analí icamen e
(pa a
>
0)
en
unción
de
las
a iables
1/2
,
-
~
2
,
-
~
3
en el
caso
equila e al
y
2/3
,
-X2
en
el
colineal
.
Excep uando
un
conjun odisc e o
de
masas,X
2
,X
y
son
i acionales
y
po
an o
la
singula idad
pa a
=0
es
esencial
(a
di e encia
de
la
colisión
bina ia, en
la
que
el
pa-
áme o
de
uni o mizaci6n
es
2/3)
.
As¡
pues,
no
pa ece
que
sea
posible
una egula ización
analí i-
ca
de la
colisión
iple
en
el caso
gene al
.
De
hecho
McGehee,
Ma
chal
y
Wald ogelhan
dado ejemplos
de
casos
en
los que al
egula-
ización
es
imposible
.
Una
egula ización
más
débil
que
la
analí ica
es la
geomé ica
.
Sea
{Xi,}{
i
}
una
sucesión
de
condiciones
iniciales
que
iende
hacia
una
c
.i
.(x,x)
que
lle a
a
colisión
iple
.
Si

V
e
R
*
ijo,
X( ,xi)
depende
con inuamen e
de Xi
.
podemos
de ini
la
p olongación
de
X( ) en
el
caso
de
colisión
iple como
lim
X( ,x
i
)
.
Sin
emba go
hay
ejemplosen
los
que

V
s
>
0 la
e-bola
de
(x,x)
con iene
pun os
cuyas
ayec o ias
se
alejan
despues
del
paso
po las
p oximidades
de colisión iple
y
uno
de
los
cue pos
puede
sali
de
es a si ua-
ción
con
ene gía
a bi a iamen e
g ande
.
Sin
emba go
és e
es
o o
campo
en
el
quehay
mucho
camino
po
eco e
.
5
4
7
.-
E olución
inal
:
Clasi icación
de
iposde
mo imien os
.
Chazy
(1922)
clasi icó
los iposde
mo imien os
del
p oblema
de es
cue pos
cuando
ico
en
7
ipos
:
1)
H
:
Mo imien o
hipe bólico,enque
las
dis ancias
mu uas
Ix
i
-
x
j
1
son
de
la
o ma
0( )
.
2)
HPi
:
Mo imien o
hipe bólico-pa abólico
.
El
cue po
i
se
aleja
hipe bólicamen e
de
los
o os
2,
yés osse
hallan
en un
mo imien opa abólico
(es o
es la
dis ancia
es
O(
2/3
))-
3)

P
:
Mo imien o
ipa ab6lico
:

(X
i
_X
j
1

=
0(
2/3
),
4)
HE
i
:
Mo imien o
hipe bólico-elíp ico
.
Análogo
a
HP
i
pe o
hallándose
los
2
cue pos
es an es
en
mo imien o
elíp i-
co
.
5)
PEi
:
Pa abólicoelíp ico
.
6)
L
:
Mo imien os
es ables
a
la
Lagange
:
sup

{IX
i_
X
.I}
l}<
.
ij,
>0
7)
OS

:
Mo imien os
oscila o ios
:
lim
sup
{/X
.-
X
.I}
=
~,
~oo
i,j

1

J
lim

sup
{ix
.- X
.I}
<

.
Del
ipo
7)
Chazy
no
disponía
-,
oo

i, j

1

J
de
ningún
ejemplo
.
El p ime o
ue
suminis ado
po
Si -
niko (1959)
.

( e
§
8)
.
Si
h
>
0

é61o

sonposibles
1),2),4)
.
Dado
que
i
puede
se
1,
2,3,
hayun o al
de
7
posibles
e oluciones
inales
pa a
-
+
m
.
Lasmismas
se
ienen
pa a
-+-oo
.
Puedepasa sede
cualquie a
de
ellas
pa a
-4
-co
a
cualquie
o a
->
+oo,
segúnha sidop obado
po
Bi kho ,
Si niko yAlexeye ,y el conjun ode
condiciones
que
pe mi e
el
paso
de
una
a
o a iene
medida
posi i a
(excep-
o
en
el
ipo
HPi, cuya
medida
o al
es
nula)
.
Es
deci ,
puede
da secap u apa cial
(H

-+
HEi+
0
~)
y
su
ecip oco(desin eg a-
ci6n
comple a),
asícomoin e cambio

(HE
.

->
HE
.

) .
Si
h
9
0
la
1-00

7+
00
si uación
es
mucho
más
complicada
.
Dejando
de
lado el
casoPE
i
5 5
(de
medida
nula)
conside amos
el
HE
i
,
L y OS
(cuya
medida
no se
conoce
aún)
.
ciones
Se sabe
que
es
posibleel paso
de
cualquie a
de es assi ua-
pa a
->
-oo

a
o a
~
+
oo ,
.
pe oque
las
ansiciones
HE
.

HE
.

,
1
.}

HE
J
.-

HE
J
.
+
m,

L-
°°
yL
+
°°

ocu en
pa a
conjun-
os
de
c .i
.
de medidaposi i a
mien as
que
los
pasos
HE,
1-
oo
->
L
+
ao ,

HE
1
.
-ao
-->
OS
+
o0

ienenluga pa a
conjun os
de
medi-
da
nula
.
Exis e
mul i ud
de c i e iospa a
econoce
que
se
es-
á enun caso
HE,
1
cuando
se
p ocede
ala
in eg ación
numé ica
de
las
ecuaciones
del
mo imien o
.
HE
i
son
abie os
conexosen
el
espacio
ásico,
pe ocada
uno
de ellos iene
ami icaciones
complicadasen
el
espacio
de
ases
.
Bi kho decíaqueHE
i
e an
como es
co ien es
de aguap o i-
niendo
de
-oo
que
se
ami icaban
en un
conjun o
nume able
de a o
yos
que-pos e io men e
se
jun aban
pa a
(a
excepción
de
una
can-
idadde
agua
de
medida
nula
quepuede
queda
en
L o
OS)
pasa
a o ma
las
3
co ien es
HE
.
1
+
oo'
Szebehely
ha
conje u ado
que
si la
elación
en e
2
masas
pe-
queñases
su icien emen e
ce cana
a 1
y
si
c2
h<0 y su icien e-
men ece canoa
ce o,
casi odas
las
soluciones
sondel ipoHE
i
an opa a
-s
+
o
o
como

pa a
->
-
oo
.
8
.-
Mo imien o
Quasi-al
ea o io
:
P oblema
de Si niko
.
Conside emos
dos
masas
m,
=m
2
=
1/2en
mo imien o
el planox,y y
una
e ce a
masa
m,
n
:
0
en
el
eje
Z,
el
c .d
.m
.
de
n~ y
m
2
.
Sea
que ige
el
mo imien o
de
( ) es la
dis ancia
de
n~
al
o igen
.
el
mo imien o
de
m
3
es
pe iódico
.
5
6
elíp ico
en
pasando
po
2n
el
pe iodo
de
m,
y
m
2
.
La
ecuación
m
3
es
z =
-z
(
Z
2
+ 2
( ))
-3/2

,

donde
Si la
ó bi aes
ci cula
Sean
k
,
kE
Z,
ce os
de
z
.
Suponemos

k<
k
+
1,
e
in oducimos
Sk
=

k
2
l
-
k

.
A cada
solución
z( )
podemos
asocia
la
Buce
si6n
(in ini a
po ambos
lados)
{
Sk}
.
Teo ema
.(Si niko )
Dadauna
excen icidad
e>p

su icien emen e
pe-
queñaexis eun
en e o
m
=
m(e)
alquecualquie
sucesión
(Sk}
con
S
k
k
m co esponde
a
una
solución
de
la
ecuación
di e encial
an e-
io
.
El eo emapuede
ex ende se
a
alo esde
m
3
no
nulosy
de
e
cualesquie a
(con
excepción
de
un
conjun o
disc e o)
.
Si,
po
ejemplo
Sk-soo

pa ak

,,,
,
Sk
aco ado
pa ak
.,
-oo
en
d emosuna
ansición
de
mo imien o
ipo
Lag ange
a

oscila o io
.
Si
S
k ale
in ini o
pa aun alo dek
ini o,
se
end áun escape
.
Apa en emen e
el
mo imien o,siendo
de e minis a,
ieneun compo -
amien o
alea o io
ya
que
la
sucesión
(
SO
puede
se
cualquie a
(con
S
k
>
m)
.
Básicamen e
la
demos ación
del eo ema
usa
el
shi
de Be -
noulli
:
Sea
A un
al abe o
ini oo nume able
.
Conside a
el
espacio
X
de
las
sucesionesdoblemen e
in ini asls
k
},
Sk
EA
.
En dichoespa
ciose
in oducé
una
opología
d
: miendo

comobasede en o nosde
S

_
{
Sk i
a
.
Uj={SI

Sk=
Sk

,

¡k¡
<
j
}
.

Si
P
es unamedidaen
A¡S E
P(Sk)
=
1,
puede
do a se
a
X
de
la
medidap oduc o
de la
o ma
keA
habi ual
.
La
aplicación

a
:
X , X
I
(a
(s)) k
=
S
k-
1
se llama
el
shi
de Be noulli
.
T i ialmen e
p ese a
medida,
es
e gódica
y
además
es
un
homeomo ismo
.
De iniendo
la
en opia
como
E

-
P(Sk)
1
n
P(Sk)
SkCA
se
ienequedos shi s
sonisomo os
si
y
sólo
si
ienen
la
mis-
ma en opia
.
En
el
casode queAsea ini o
Q
equi ale
a
la
llamada
ans o
maci6n
del
.panade o
.
La ideaesencial
es
inclui
el
shi
como
subsis ema
de un homeo
mo ismo
~
=
Y,Y
,
es o
es
:
3
T
alque

XáX
e olución
inal
.
T1 1T
conmu a,
siendo
T
un
homeomo ismo
en e
X
y
-
Y
imagen
.
y
su
La eo íade
los
sis emas
dinámicos
quasi-alea o ios
(=_
sis e-
masconen opía
opol6gica
posi i a)
ha sido
desa ollada
po
Alexeye
.
Se
sabe
(Ma kus,
Meye )
queconca ác e gené ico
(una
p o-
piedad
es
gené ica
si es
cie apa auna
in e sección
nume a-
ble
de
abie os
densos),

los
sis emas
hamil onianos
no
son
ni
in eg ables
ni
e g6dicos
(en
cada a iedad
H=
c e)
.
Podemos
conje u a
sinemba goque
un
compo amien o
del ipodelp o-
blemade Si niko
( elacionados
con
la
di usión
de
A nol'd)
si
es
gené ico
.
9
.-
Pa icula idades
del
p oblemade cua o
cue pos
:
P
e .
.
y
El p oblema
de cua ocue poso eceun nue o
sal o
en
cuan
o
a
di icul ad
espec oal de
3
cue pos
.
Sinemba go
pa ece
que
no
haya
ya
a iación
cuali a i ade
las
si uaciones
quepue
den
da se
al
aumen a
el
núme ode
cue pos
(aunque
no
hay esul-
adosenes e
sen ido)
.
En cuan o
a
p
.e .
.
se
conocían
clásicamen e
algunas
solucio
nes
.
Si
las
masas
son
iguales
las
soluciones
e andel ipocua-
d ado,
iánguloequilá e o
con
una
masaenel
.cen o
o
colinea-
les
.
El au o
,
en
colabo ación
conJ
.
Llib e,
ha
encon ado
ecien emen e
o a amiliade
soluciones
en
las
que
es
de
las
masas
se
hallan
en
los
é icesde un
iángulo
isósceles
y
la
cua a
en
el
in e io
.
En o al
se
conocen
50
p
.e
.
.
y
se
enTan
undados
mo i os
pa a
c ee que
e anlasúnicas
.
Véanse
sin
emba -
.
go
esul ados
de
Palmo e
.
Smale
conje u ó
que
la
ene gía
po encial
1
sob e
2
E
m
i
(
zi
)2
=1
es
unci6n
de
Mo se
.
En es ecaso
K
dado
que
dicho
conjun o
es
homeo o mo
aPn-Z
(
T
)
-D
(D
=colisiones)
,
la
conje u aimplica
que
el ná
de p
.e
.
.
es
ini o
pa a
odo
n, y
que pa a n
=
4
la
suma
al-
5
8

e nada
deln4
de
p
.e .
.
que
ienen
indicepo
e
impa
es 2( alo
dela
ca ac e is ica
de
Eule -Poinca é
de
P2 (T)
-D)
.
Es o
se
cumple
en nues ocaso
ya
quehay
12
p
.e
.
.
alineadas
y
8
de ipoequilá-
e oconindice
2,
24de ipoisóscelesconindice
3
y 6
de
ipo
cuad ado
conindice
4
.
A
di e encia
delcaso
n=3
en
qie
el
núme o
de
las
p
.
e
.
.
es
inde-
pendien e
de
las
masas,
sabemosque
si
una
de
las
masas
es
su icien
emen e
pequeñahay
38
p
.e
.
.
si
las
o as
3
son
su icien emen e
pa ecidas
y
34
en casocon a io
.
Pa a
los
alo es
en queocu e
la
ansición
(que
o manuna
a iedad
decodim
.
1

enel
espacio
de
las
masas)el
po encial es ingido
deja
de
se

.
de
Mo se
.
Un
análisiscomple o
es á
en
es udio
.
Respec o
a
e olución
inal
apa ecen
dos iposnue os
de
compo -
amien o
:
a)
La
expansión
supe -hipe bólica
.
S61o
-
se
p esen a
si
n
?
4
.
Si d( ) es el
diáme o
del
sis ema,
se iene
d( )/
~
.
.
Como
mínimo
hay
2
dis ancias
mu uas

¡Xi
-X
j
1

ales
que
lim

IX
i -
X
j
i/
=+
a
lim

IXi -
X
j
l
/
= o
.
b)
La
expansión
in ini aen
iempo
ini o
(Ma he -McGehee)
.
S61o
se
p esen a
si
n>
_
4
.
Pa a
ello
imaginemosun
cue po
C de masapeque
ña
oscilando
en e
unabina-
ia
AB
y
el
cua o
cue poD

A9
que
se
alejan
de
o ma
ap o-
ximadamen e
lineal
del
c
.d
.m
.
Las
colisiones
conD son
de
ipo
elás ico
.
.
Con
la
bina iaAB son
de
ipo
explosi o,
ex ayen-
do
C
an a
ene gía
como
se
quie a,
que
pos e io men e
comunica á
a
D
y
colapsando
la
bina ia
haciaene gíaspo enciales
mayo es
.
Tan oen
el
caso
a)
como
en
b) la
demos ación
se
lle a
a
ca-
bo
po
un
p oceso
análogo
al
delT
.
de
Si niko
.
Un no able
es ue zo
sededica
úl imamen e
a
la
ob ención
de
59
ó bi as
pe iódicas
del
p oblema
gene al
de
4_
.
cue pos
(e
incluso
pa
a
mayo
núme o de
cue pos)
po
pa e
de
Hadjideme icu
y
su
escue
la
.
Pa iendo
de
un p oblema
con
2
cue pos
no
nulos
y
los
es an es
nulos
alesque
.las
masas
nulas
desc iben
ó bi as
pe iódicas
del
p o
blema
es ingido
con
pe iodos
conmensu ables,
se
usa
el
mé odo
(b
la
con
inuaci6nanalí ica
p olongando
la
amilia
de
ó bi as
pe iódicas
a
masas
no
nulas
.
§10
.-
alo esmayo es
de n
.
Soluciones
pa icula es
.
Teo ema
de Moul
-
on
.
Expe iencias
numé icas
.
Caso
n
<
1000
.
RecTula
ización
.
Caso
ñk
10004
Pa a
alo es
de
n
>
4

se sabe
que
el p oblema
de
n
cue pos
pue-
de
descompone se
en
subsis emas
o
cgmulos
.
Si cuando
-+
oo
esos
sub
sis emasse
alejan
unos
de
o os
en
mo imien odel
ipo
pa abólico
o
hipe bólico

los
cen os
de
masas
de
cada subsis ema
ienden
hacia
una
solución
homo é ica
.
Poco se sabe
del
mo imien o
in e no
en
cada cúmulo
(excep o
si
es á
o mado
po
2
o
3
cue pos
o
si su
mo imien o
es
del
ipo
l)
.
Pa a
n
>
4
y
masas
cualesquie a
se
dispone
de
algunas
expe ien
cias
en la
búsqueda
de
ó bi as
pe iódicas
( e ¢9)
.
Si
odas
las
ma
sas
excep o
una
son
pequeñas
(caso
plane a io)
es
posible
la
apli-
cación
del
eo ema
KAM
( e §5)
.
Se
desconoce
el
nó
y
o ma
de
los
p
.e
.
.
( e ¢4)
.
Sin
emba go
si
se
conocen
pa a
el
caso
alineado
.
En
e ec o,
Moul on
p obó
que
en
el
p oblemade
n
cue posexis en
pa a
odos
los
alo es
de
las
masasn!1/2
p
.e
.
.
alineadas
.
E
l
eo ema
se
demues apo inducción
espec oal nó de
masas
y
po
p olongación
espec oal
alo
de
la
úl ima masa
in oducida
.
Po
lo
que
an ecede
sólo
queda
el
ecu so
de
las
expe iencias
numé icas
.
Es e ha sido
u ilizado
in
ex enso
y
ha
con ibuido
en
g an
pa e
al
e inamien o
de
los
mé odos
de
esolución
de
e.d.o
.
60
Sonco ien es
los
p og amas
que
in eg an
las
ecuaciones
del
mo imien o
pa a a ios
cien os
de
cue pos,
sea
di ec amen e
o po
mé odos
de
Mon eca lo
.
En odocasodebepensa se
que
la
in eg a
ci6ndi ec a equie epasos
a iables
pa a
cadacue po
.
En caso
con a io
cadapasode
in eg ación
signi ica ía
la
e aluación
de
(Z)
dis ancias
.
En es e
p oblema
jueganun
papel
p eponde an e
las
bina ias
.
Es as
exigen
un paso
de
in eg ación
muy
pequeño
y
en
las
p oximidades
de
una
colisión
pueden ene see o esno ables
.
Po
ello
es
imp escindible
e ec ua un
paso
a a iables
egula i-
zadas
pa a
a a
es ep oblema
.
Una écnicadebida
a
Heggie
pe mi e
la
egula ización
de odas
las
colisiones
bina ias
.
Pa aellose conside an
yij
=
xi-x
j
como
a iables
independien es
y
se
e ec ua
la
egula ización
KS pa a
cada
unade ellas
.
Sinemba go
el nó
de g ados
de
libe ad
c ece
de 3n
a
2n(n-1),
po
lo
que
deja
de
se p ác ico
si
n-> 4
.

Indique
mosqueen es ecaso
el
Hamil oniano
es polinomial
.Pa a
alo esde
n
mayo es
debe
ecu i se
a
p ocedimien os
ap oximadosmas g ose os
.
Una
écnicaadecuada
puede
se
la de
es imación
del
campo
c eado
po las
pa ículas
alejadas
y
el es udioco ec o
sólo
pa a
los
más p óximos
.
O o
mé odo
consis een
la
ap oximación
de
los
é -
minos

12

pe
can idadesp e iamen e
almacenades
en
memo ia
.
Es a
1)
écnicaha sidousadapo Hohl

y
le
pe mi e
a a
cien os
demi
les
de
pa ículas
.
De es a
mane a
puedeconsegui se
simula
el
com
po amien o
de galaxias
.
Sin
emba go
el
mo imien o
es
ines abley
el escape
de
es ellas
es con inuo
.
¢11
.-
Técnicas
de
pe u baciones
.
Teo íasplane a ias
.
Mo imien os
de
la
luna
.
Pequeños
denominado es
.
Reso iancias
.
En
los
p oblemasp ác icos
de
cálculode e emé idesde as os
6
1
delsis ema
sola
se
ec=e
a
la
in eg ación
numé ica
y a
las
eo ías
de
pe u baciones
.
En odocaso
si la
ó bi a
eal
se
aleja
len amen
e deunaó bi aKeple iana,puede oma se
és a como
ó bi a
de
e-
e enciay.da sólo
las
des iaciones
con
espec o
a
la
misma
.
En
cie oscasos
es
más
.in e esan e
oma
como
ó bi a
de
e e encia
o as
soluciones,
sean
las
del
p oblema
de
los
dos
cen os
(como
en la
eo ía
de
Vin i
de
un sa éli e
a i icial
enel campo
e es
e)
o

las
ó bi asin e mediasde
Ga inkel

o
Aksnes

pa a
el
mismop oblema,o
bien
la
ó bi ade
a iación
de
Hill
pa a
el
mo imien o
de
la
luna,
e c
.
O a
écnicaconsis e
en acili a en cada
momen o
la
ó bi a
Keple iana
(
o
no)
oscula iz
.
Es e
se
de ine
como
la
ó bi a
keple
ianacuya
posición
y
elocidadcoinciden
en cada
momen o
con
la
ó bi a
eal
.
Po
supues oque
los
elemen osa,e,I,ui,n,M
o
-
a-1/3
.
se án uncionesdel iempo
.
Sea
c
el
ec o
o madopo
dichos
elemen os
.
Se end á
á = e
C
p
(a
"
),
donde
el
ac o
6
indicaque
se ia
ce os¡
no
hubie a
la
pe u bación,
y
queés ase supone
pequeña
.
Pa iendo
de un alo inicial
a

se
ob iene
a,
median
e

a~
=a
0
+e
J 0 p
(
a0,
T
)

dT

.
Elmé odm(lePica ddejadese p ác
icoya
que
puede
cp4e
l
,
)
se
exp esión
di
cil
,
.
Se
aplicaun
desa--
llo
de
Taylo
limi ado
cp(a
1
, )

=
cp(a
0
, )

+
Dcp
(a,,,
)

E

~
c
p(Q
o
,T)dT
"
n
con
lo
quea
2
=a
1
+ e2 Jc
Dcp(
ao
.
T)
J
T
cp(ao
.Q)
dg
.
.
0

0
La i e ación
da
luga
al
mé odo
clásico
de
eo íade pe u ba-
cionesiniciadopo
Lag ange,
Laplacey
Poisson
.
Los
mé odos
de se iesde
Lie,
p omedios,
on
Zeipel,
e c
.
con-
sis enen
écnicas
i e a i as
pa a
elimina
la
pe u bación
del
hamil oniano
inicialH=H
o
+
CH, +
e8H2+
. . .
.con
obje o
de
con e i
lo en
un
hamil oniano
independien e
de
las
a iables
angula es
.
Las sucesi as
i e aciones
y
su
con e gencia
se
en
di icul adas
6 2