El problema de n cuerpos

EL PROBLEMA DE n CUERPOS C . Sim6 ¢1 .- Ecuaciones y de inición del p oblema . In eg alesp ime as : Teo - ema sde B uns, Painle é y Poinca é . Desde el pun o de is a ma emá ico conside a emos el p oble- ma de n cue pos como el de n masas no nulas, pun uales, some idas a la ley de la a acción uni e sal de New on . Si x i es la posición del i-ésimo cue po espec o al c.d .m . y m i su masa, se iene x = Z mi  i=1=n  (1) i i¢3 =1  Ix j -xi 13 como sis ema de ecuaciones di e enciales que ige el mo imien o de los n cue pos . (a) Desde el pun o de is a ísico és e es un modelo idealizado . Po un lado los cue pos celes es no son pun uales . Po o o las ue zas en juego pueden se de o o ipo dis in o al l/ 2 new o niano (sin emba go muchos de los esul ados de la eo ía siguen siendo álidos pa a o as ue zas, po ejemplo del ipo l/ a q e 11,31  , o exigiendo s61o compo amien o l/ 2 pa a dis ancias g andes) . Finalmen e (1) implica una hipó esis conse a i a . Las pé didasde ene gía po e ec o de ma eas, po ejemplo, no se ie nen en cuen a . Vol e emos a es e pun o más adelan e (en¢5) . O o aspec o a ene en cuen a es que condiciones iniciales desp eciables ma emá icamen e, po ejemplo un conjun ode medida nula en el espacio ísico, pueden se undamen ales ísicamen e . Supongamos que el inicio del cosmos ue a debido a una explosión " Se end ía en onces momen oangula o al  nulo, lo que es- inge el mo imien o a una a iedad de medida de bebesgue nula . A al a de una mejo comp ensión de las leyes ísicas que i- gen el mo imien o de los as os oma emos (1) como modelo . Es e (a) Se supond áen lo que sigue que la cons an e de New on ale 1 . 38 es un sis ema de 6n ecuaciones de p ime o den . Son clásicas las in eg ales p ime asdelcen ode masas y de su elocidad, del momen- o angula  C = E  mi x i n x i  y de la ene gia  h = F, 1 mi z2 i  _  1 2  1 _  E  m i m j . En o al se dispone de 10 in eg ales p ime as . 1<i<j<n I xi -x j1 Además, debido a que la acción de S 1 enel espacio ásico ans o ma oda solución de (1) eno asolución(eliminación . del nodo ) y a que es posible elimina el iempocomo a iable independien e, se iene una educción a un sis ema de 6n -12 ecuaciones . As! el p oblema de 2 cue pos queda esuel o y el de 3, educido a 6ó o den . Tal educción puede e se en Whi ake . Es na u al p egun a se po la exis encia de más in eg alesp ime asde (1) . Po el momen o no se conoce ningunao a (con ca ác e global ; ease Losco pa a o mas in a ian es) y las expe iencias num_é icas e ec uadas pa ecen indica que no exis enmásin eg alesp i- me as ( e §5) . Resul ados clásicos en es a di ección son los céleb es Teo ema (B uns 1887) : Todain eg al p ime ade (1) algeb aica'en x, .x, es unción algeb aica de lasin eg ales clásicas . Teo ema (Painle é 1896-1898) :Toda in eg alp ime a de (1) algeb aica enz  es unción algeb aica de lasclásicas . Teo ema (Poinca é 1889) : Sea F = F o + PF 1 + ~l 2 F 2 + .. .  el hamil oniano del p oblema de n cue pos desa ollado en po encias de un pequeño pa á me o u (po ejemplo, la masade uno de los cue pos) . Suponemos F an_a lí ico en 4, Fo = FO(p)(independien e de q), Fi  ,  unciones de p,q, i>0 2n- pe iódicas enq . Suponemos, además, quepa acadacue po p4gi son a iables canónicas asociadas a loselemen oselíp icos . En onces el sis emaPi=_bF/ag i  , qi =  bF/api 3 9 no ienemásin eg ales p ime as analí icas en P,p,qy 2n -pe iódicas en q que las clásicas . Es e eo ema no es excesi amen e so p enden e ya que se sabe(MoseB' que pa acie oconjun o denso de sis emas hamil onianos no exis en in eg ales p ime as de clase le 1  dis in as del hamil oniano . 12 .- 2 cue pos : Solución ; e emé ides ; de e minación de ó bi as . Coli - sione s : Regula izaciónLC y KS . Espacio de ó bi as . T ans e encia . El p oblema más sencillo, único esuel o yel que si ede base a las écnicas de pe u baciones y a la mayo ía de p oblemas de la As odinámica es el de 2 cue pos . Pa aes udia el mo imien o (Keple iano) de uno de los cue pos espec o al c .d.m común (u, homo .é ica- men e, espec o al o o cue po) se in oducen 2 ángulos :I(inclinaci6n) y Q(a gumen o del nodo) pa a ija la posición del plano de la ó bi a espec oa un sis ema de e e encia dado . La ó bi a en dichopla- no es unacónicade semiejea y ex cen icidad e, con un ocoen el c . d .m . . Se de ine el ángulow (a gu men o del pe ias o) comoel que o man la di ección delnodoy la delpun ode la ó bi amás ce cano al c .d .ii1 . (pe ias o) . Los elemen os a,e,I,n , w, o , se llaman Keple ianos . El sex ou 0 0 anomalía media en la épocaes áde inido módulo 2n y a ia linealme- e con .  Tos demásson cons an es . La posición en la ó bi a se de e mina median e el ángulo V, anomalía e dade a, o mada po el pe ias  1  sici6nac ualdelas o . Es e se elaciona median e  g 2 =  1+ e é g E/2  con la llamada anomalia excén ica E , ángulo auxilia , quea su ezse elaciona con el iempo median e M=M . + a -1/3  = E + e sin E  (mod 2n) . Es aecuación se conoce como ecuación de Keple . Su esolución impulsó enpa e la con ibución de Cauchy a la eo íade la a iable compleja . Una exp esión de E-M como se ieen sin KIT con coe icien es 4 0 unciones de e ue dadapo Lag ange en 1769 . Los coe icien es e sul an se unciones de Bessel , cuyo es udio sis emá icose abo da lapo p ime a ez 55 añosmás a de . El p oceso de de e mina la posición de un as o del que se co nocen los elemen os se llama cálculo de e emé ides . Sin emba go, pa a el cálculoe ec i ode la posición debe emos ene en cuen a la p esenciade pe u baciones que al e an el p oblemade 2 cue - pos . El p oblemain e so : conocida la posición delas o calcula sus elemen os, se conoce como de e minación de ó bi as . Debido a la di icul ad de conoce x y x  enun ins an e dado, dichocál culo se con ie een un p oblema de alo es en la on e a . Es ípica la de e minación de la ó bi ade un as e oide o un come a median e obse aciones angula es, es o es : pa acadains an e de iempo se conoceen qué di ección es á espec o al obse a do , pe o no se saben ni su dis ancia ni su elocidad . Losp oblemas mo i ados po la disponibilidad de un ele ado núme o de obse aciones no compa iblesdebido a los e o esdeob se aci6nlle a on a Gauss a desa olla en 1801 el mé odo de mí- nimoscuad ados . O oejemplo ípico de de e minación deó bi asen el p oblema de 2 cue pos es el del endez- ous o in e cep ación : los da os de quese pa eson l , x 1 , 2 y x2 . No ablein e és p esen a el es udiode las ó bi asde colisión (es- - 1 1-s, en enque los doscue pos chocan) . En el espacio ásico (6 dimensional llenan una a iedad 4 dimensional, po lo que su medida es nula . Des a- quemos que (1) deja de ene sen ido si x 1 _x 2 : la ayec o ia ha llegado a una singula idad . Es na u al p egun a se si es posible encon a un cambiode a iables x { YO} que pe mi a egula iza (1), es o es, ans o ma- la en una ecuación sin singula idades, y encaso a i ma i o in e - 41 p e a ísicamen eel esul ado . Pa a mo imien o enR 2 la espues a uedadaen 1906 po Le i- Ci i a . La ans o mación Z1 - Z21 1 Zl l  'x 1 L (Z) Z =I Z2  Z 11  I  Z2I  = I x 2'  ,  ds  =  Ix1  d que in oduceun nue a a iableespacial Z ( la aíz cuad ada de x conside ados x,Z e T ) y unanue a empo al, s, ans o man (1) en Z" + 2 Z = 0 (2), donde 1 = ds y h es ene gía o al . Se obse a de paso que (2) es la ecuación deun mo imien o a mónico .  I 3 Se buscóen ano una ma iz en R que gene aliza a la ma iz de Le i-Ci i a L(Z), o sea, cuyap ime a columna ue a Z y las demás ue an o ogonales en e sí y a Z . Es a imposibilidad es de bidaal eo ema de Poinca éde no exis encia de campos ec o ia- les con inuos en S2 _ Sinemba go si exis en dichoscampos (que además engend an el e . angen e) en S3 . (Un céleb e esul ado es ablece queS l ,S 3 ,S7 son las únicases e asconesa p opiedad) . En R 4 se sus i uye L(Z) po Z1 - Z2 - Z3  Z4 Z2 Z 1 _ Z4_ Z3 L (Z) = Z3 2 4Z1Z 2 Z4_ Z3  Z2_ Z1 R4 -~ R4 La aplicación Z i L (Z) Z uedadapo Hop en 1931 y esuci ada po Kus aanheimo  y S ie- elen 1965 que la aplica on a la egula ización . Se sume geR 3 en R4 haciendo x 4 = 0 . El cambio L (Z) Z =x,  ds = Ixi  d con ie e (1) en (2) . La ib a de cadapun ode R 3 po la aplicación KS es una ci cun e encia de cen oel o igen y adio YIXI Tan o en el ca soLC como en elKS la egula izaciónequi ale ísicamen e a una co lisi6n elás ica : El mo imien o Keple iano se p olonga después de la colisión conse ando ene gíay cambiandó de signo la can idad demol imien o . - I O a p egun a que podemos o mula nos ace ca delp oblemade dos cue pos es la de qué es uc u a opol6gica puede da seal conjun-j 42 P o de las ó bi as 9 . Es epuede ob ene se delespacio ásico iden i icando odos los pun osdeunamismaó bi ao bien, equi alen emen e, de iniendo una dis ancia en e ó bi as, ya sea a pa i de las in eg ales p ime as o geomé icamen e,ex endiendo adecuadamen e la mé ica de Hausdo a conjun os no aco ados . Pa a que se engaun espacio sepa ado deben iden i ica se la ó bi a de llegada auna co- lisióncon la co espondien e de salida (Sou iau) . Mose p obó (1970) quepa ah< 0 ijado, el conjun ode ó bi as es homeomo o aS 2 XS 2 (y que la sub . del espacio de las ases co espondien e es T.S 3 ). Gene alizando es e esul ado se iene Teo ema (Simó 1974) El conjun ode las ó bi asdel p oblema de 2 cue pos es homeomo o a S2 x S2 xR- i a, -a,h)l a e S2, h? 0} . Es e esul ado implica la no exis encia de "elemen os" sin singula ida- desen el p oblema de 2 cue pos, pues unaca a es insu icien e . O a consecuencia debida al eo ema de Poinca é de no exis encia de camposcon inuos en S 2 es que no exis eninguna aplicación con inua 9->-R 3 queasignea cadaó bi aunpun ode la misma . Es o es, ningún elemen o del ipo Mp puedese asignadode . o ma con inua a unaó - bi a . Finalmen e un p oblema que no se halla en la na u aleza pe o apa ece en as odinámica es elde ans e encia op imalde ó bi as . Se a a de pasa de una ó bi a Keple iana ao a de mane a queel consumode ene gíaen dichopasosea mínimo . El p oblemaes á esue_1 o enel casode que ambas ó bi as sean coplana ias, pe o no en el caso gene al . Además exis encasos en los que la ans e encia 6p i ma desde el pun o de is a ene gé ico equie e iempo in ini o (las llamadas ans e encias po el in ini o, a a és de 2 ó bi asin- e medias) . 3 .- T es cue pos : PequeñoT . de Sundman Teo ema de Sundman Solu- ciones conocidas : soluciones pe iódicasPosicionesde equilib io ela i o . In e ésen el cálc ulo de a iedadesin a ian es . El paso de 2 a - 3 cue pos ep esen a la apa ición de mul i ud de di e encias . Podemos deci que en el p oblema gene al(masas cualesquie a) el conocimien o de soluciones del p oblema de 2 cue pos no ep esen a ninguna apo ación . Un p ime eo ema que se aplica a un n4 cualquie a de cue pos es llamado .del colapso o al o pequeño .de Sundman : Condi ci6n necesa ia pa a que los n cue pos colisionen es que el momen o angula o al sea nulo . Po an o si c9£0 y n= 3 s61o puede habe colisionesdobles . Sundman p obó que la p esenciadel e ce cue po no es obs áculo pa a que el mo imien osea egula iza ble, y de hecho, si no se anula c, di6 la soluciónal p oblema de 3 cue pos . Teo ema (Sundman(1913)  Si c y¿0, las coo denadasca esianas y el iempo son unciones analí icas de w que con e gen si Iwl < 1, donde  w= h b 4  s= ~  (U+ 1)  d  siendo U la ene gía o po encial y b un núme o posi i o unción de las masas y de las condiciones iniciales pa a = ., En pa icula el desa ollo es álido pa a oda eal . A pesa de que es e eo ema esuel e el p oblema de 3 cue pos excep o en un caso de medida nula (c =0), no es p ác ico dada la len a con e gencia de las se ies y el hecho de que no suminis a in o mación del compo amien ocuali a i o . La ob ención de soluciones pa a in e alos de iempo ela i- amen e pequeños no o ece di icul ad (sea desde el pun o de is a analí ico o numé ico .Véa3e sin emba go i0) .Sin emba go si que emos p e deci algo pa a iempo no aco ado end emosdi icul ades . Es as desapa ecen si la ó bi a es pe iódica . En es e caso el conocimien o de la misma pa a un iempo ini o pe mi e conoce la pa a odo iempo . Póinca é conje u ó que dada una ó bi a x( ) de condiciones 4 4 iniciales X o , X o pa a = 0  V E >0 ,  d T > 0 exis en condicio- nes X*, Xó  alesque  IXO- X ó~ < 6  IX o - X * I <g  danuna ó bi ape iódicax * ( ) de mane aque  d e  [O,T]  Ix( )-x*( )~ < . Es a conje u a, ala quehabíaque añadi h < 0 es la queha impul sado la búsqueda deó bi as pe iódicas . Ac ualmen e no se conoce oda ía la ce eza o alsedaddedicha conje u a . En el caso de que 2 de las masas ue an pequeñas (caso pla- ne a io) Poinca é di idió las ó bi as en 3 especies : 1) I=0, e 0 2) I =0, e g ande 3)  I g ande,  e - 0 La búsqueda e ec i ade soluciones pe iódicas del p oblema de 3 cue pos, se abo da a pa i del p oblema es ingido ( e §4), pe o una explo ación comple adis ade lle a se a cabo . Un ipo pa icula de soluciones pe iódicas es aquél en que se pasade Xi(0)  a Xi( ) median eunahomo eciaH . unciónde , idén icapa a i =l` . n,(en pa icula H puede se un gi o), Eule (1765) ob u o los alo es de Xi(0) en el caso en que X l ,X 2 ,X 3 es u ie an alineadas, ob eniendo 3 solucionesy Lag ange (1772) de e minó las o as 2 soluciones es an es (simé icas) en las que los 3 cue pos o man iángulo equilá e o . (Na u almen e hay solucionesde ipo homo é ico no pe iódicas, lle ando a colapso o a desin eg ación) . El conjun o de condiciones iniciales que da ó bi ashomo é- icas pe iódicas es ce adopo homo ecias . cada clasese llama una posición de equilib io ela i o (p .e . .) . Se demues a que en una p .e . . los n cue posdebenes a en un plano . El in e és del conocimien o de los p .e . . en el caso gene alseha is oau- men ado po el hechode que los p .e . . coincidencon los pun os mi m* c i icos del po encial  -E  es ingido a la a iedad x l$i<j<n I x . i- . 4 5 l  E  mi  l xi l 2 2  = 1 . i-1 espacio ásico del que se excluyen las colisiones le hace co es ponde ene gia y momen oangula . Dados h E R, ce R 3el conjun- -1 o I hc =(E,J)  (h,c) es'in a ian e po el lujo . . El conocimien- o de Ih c puede da in o mación sob e las ó bi as con esos a- lo es de ene gía y momen o . Smale in odujo el concep o de conjun o de bi u cación : a- lo es de h,c donde I h . cambia de es uc u a . G acias a esul a- dos de Eas on y Cab al, se sabe que el conjun o de bi u cación con iene a los pun os c í icos . En el caso plano del p oblemade n cue pos los pun osc i icos son : Conside emos aho a la aplicación (E,J) que a cada pun o del U  {(-V (c  z) .c)  E  R 2 1 cyÉ 0,  zEa . 2 E  m i 1 Z i~ 2  -1~ a E P " e . . y el conjun o bi u cación es la unión de los pun os c í icos con los ejes h,c . En el caso espacial los pun os c í icosde (E,J) se ob ie- nenpo unión del eje h con los pun os (h,c) ales que ( i,  Ic 1)  es pun o c i ico del caso plano . El es udio del conjun ode bi u cación en el caso espacial debe lle a se a cabo di ec amen e, pe o en odo caso equie e conoce el de pun os c í icos, y es e el de p .e . . Es o ha sido lle ado a cabo po C . Simó y J . Llib e . Se pue de calcula Ih c en é minos de an iimágenes de lc donde 1 C (z) = -V(Z)2/ 2y c (z)  siendo 2 E mi IZil 2 = l, V el po en- cial y Y c (z) la ene gía ciné ica de los cue pos conside ados como sólido ígido con momen oangula c . Sin en a en de alles digamos que en el caso de masas dis in as se ienen 11 es uc- u as de I hc pa a el caso plano y 17 en el caso espacial . 46 Finalmen edes aquemos que  H = c e . da una a iedad 2n -1 di- mensional y los o os in a ian es de un sis ema p óximo son n-dimensionales . Si n= 2 dichos o os ."sepa an" de ene gía cons an e . Si un mo imien o se inicia siemp esob e él y si en e 2 o os escapa del ecin o que delimi an . Es ono es así si n ? 3 en cuyocaso los y el sis emapuede e oluciona des uyéndose la es abilidad . Un ejemplo ue dado po A nol'd median e las llamadas cadenasde la llamada ines abi- ble dad in a ian equeda ansición de o os bigo udos . Se iene así lidad opol6gica o di usión de A nol'd . Según Mose podemosimagina el espacio Los minúsculos aguje osco esponden a las zonas o os in a ian es y la ines abilidad co es de inísimos ubos sabe si la di usl6n de A nol'd se sis emas hamil onianos o si ocu e muydi ícil de de e mina numé i- ponjaes able . si uadas ue ade los ponde a la exis encia Has a la ac ualidad no se p esen a en la mayo ía de los lo con a io . En odocaso es camen e . §6 .- Colisión iple : Impo ancia ísica . Teo ema qula izaci6n . O a ca ac e ís ica esencialmen e dis in a del p oblema de 3 cue pos espec o al de 2 es la posibilidad de colisiones i- ples . Se sabe (Siegel 1941) que las ó bi as queconducen a coli sión iple o man una a iedad 13-dimensional en el espaciode emba gose c ee que el conjun ode ó - bi as que pasan ce cadela colisión #Je iene conside ableimpo an- cia en la e olución del p oblemade es cue pos . De hecho pa e ce comp obado queg anpa ede las expulsiones de es ellasde unagalaxiase debe a ap oximación de una es ella a una bina ia ases 18-dimensional . Sin 5 3 a in eg a la a ie en un o o no puede o os "no sepa an" ásico como una es- comunicando los aguje os . de Siegel . Re- ue e (es deci , o mada po es ellas muy ce canas, con ele ada ene gía po encial) . Se es á así en una si uación p óxima a colisión iple . Un esul ado clásicoasegu a que cuando K cue pos se ace can a un pun o en el que colisionan, sus posiciones ela i as a dicho pun o ienden a una con igu ación homo é ica . Así, en el caso K =3 los cue pos ienden a o ma iángulo equila e o (independien ede sus masas) o a es a alineados . Un caso pa ecido se iene cuando los cue pos se alejan unos de o os en una expansión pa abólica o hipa b6lica . Siegel p obó que con la excepción de un conjun odisc e o de alo es de las masas las coo denadas de los es cue pos que coli- sionan ( e e idos al c .d .m .) se exp esan analí icamen e (pa a > 0) en unción de las a iables 1/2 , - ~ 2 , - ~ 3 en el caso equila e al y 2/3 , -X2 en el colineal . Excep uando un conjun odisc e o de masas,X 2 ,X y son i acionales y po an o la singula idad pa a =0 es esencial (a di e encia de la colisión bina ia, en la que el pa- áme o de uni o mizaci6n es 2/3) . As¡ pues, no pa ece que sea posible una egula ización analí i- ca de la colisión iple en el caso gene al . De hecho McGehee, Ma chal y Wald ogelhan dado ejemplos de casos en los que al egula- ización es imposible . Una egula ización más débil que la analí ica es la geomé ica . Sea {Xi,}{ i } una sucesión de condiciones iniciales que iende hacia una c .i .(x,x) que lle a a colisión iple . Si  V e R * ijo, X( ,xi) depende con inuamen e de Xi . podemos de ini la p olongación de X( ) en el caso de colisión iple como lim X( ,x i ) . Sin emba go hay ejemplosen los que  V s > 0 la e-bola de (x,x) con iene pun os cuyas ayec o ias se alejan despues del paso po las p oximidades de colisión iple y uno de los cue pos puede sali de es a si ua- ción con ene gía a bi a iamen e g ande . Sin emba go és e es o o campo en el quehay mucho camino po eco e . 5 4 7 .- E olución inal : Clasi icación de iposde mo imien os . Chazy (1922) clasi icó los iposde mo imien os del p oblema de es cue pos cuando ico en 7 ipos : 1) H : Mo imien o hipe bólico,enque las dis ancias mu uas Ix i - x j 1 son de la o ma 0( ) . 2) HPi : Mo imien o hipe bólico-pa abólico . El cue po i se aleja hipe bólicamen e de los o os 2, yés osse hallan en un mo imien opa abólico (es o es la dis ancia es O( 2/3 ))- 3)  P : Mo imien o ipa ab6lico :  (X i _X j 1  = 0( 2/3 ), 4) HE i : Mo imien o hipe bólico-elíp ico . Análogo a HP i pe o hallándose los 2 cue pos es an es en mo imien o elíp i- co . 5) PEi : Pa abólicoelíp ico . 6) L : Mo imien os es ables a la Lagange : sup  {IX i_ X .I} l}< . ij, >0 7) OS  : Mo imien os oscila o ios : lim sup {/X .- X .I} = ~, ~oo i,j  1  J lim  sup {ix .- X .I} <  . Del ipo 7) Chazy no disponía -, oo  i, j  1  J de ningún ejemplo . El p ime o ue suminis ado po Si - niko (1959) .  ( e § 8) . Si h > 0  é61o  sonposibles 1),2),4) . Dado que i puede se 1, 2,3, hayun o al de 7 posibles e oluciones inales pa a - + m . Lasmismas se ienen pa a -+-oo . Puedepasa sede cualquie a de ellas pa a -4 -co a cualquie o a -> +oo, segúnha sidop obado po Bi kho , Si niko yAlexeye ,y el conjun ode condiciones que pe mi e el paso de una a o a iene medida posi i a (excep- o en el ipo HPi, cuya medida o al es nula) . Es deci , puede da secap u apa cial (H  -+ HEi+ 0 ~) y su ecip oco(desin eg a- ci6n comple a), asícomoin e cambio  (HE .  -> HE .  ) . Si h 9 0 la 1-00  7+ 00 si uación es mucho más complicada . Dejando de lado el casoPE i 5 5 (de medida nula) conside amos el HE i , L y OS (cuya medida no se conoce aún) . ciones Se sabe que es posibleel paso de cualquie a de es assi ua- pa a -> -oo  a o a ~ + oo , . pe oque las ansiciones HE .  HE .  , 1 .}  HE J .-  HE J . + m,  L- °° yL + °°  ocu en pa a conjun- os de c .i . de medidaposi i a mien as que los pasos HE, 1- oo -> L + ao ,  HE 1 . -ao --> OS + o0  ienenluga pa a conjun os de medi- da nula . Exis e mul i ud de c i e iospa a econoce que se es- á enun caso HE, 1 cuando se p ocede ala in eg ación numé ica de las ecuaciones del mo imien o . HE i son abie os conexosen el espacio ásico, pe ocada uno de ellos iene ami icaciones complicadasen el espacio de ases . Bi kho decíaqueHE i e an como es co ien es de aguap o i- niendo de -oo que se ami icaban en un conjun o nume able de a o yos que-pos e io men e se jun aban pa a (a excepción de una can- idadde agua de medida nula quepuede queda en L o OS) pasa a o ma las 3 co ien es HE . 1 + oo' Szebehely ha conje u ado que si la elación en e 2 masas pe- queñases su icien emen e ce cana a 1 y si c2 h<0 y su icien e- men ece canoa ce o, casi odas las soluciones sondel ipoHE i an opa a -s + o o como  pa a -> - oo . 8 .- Mo imien o Quasi-al ea o io : P oblema de Si niko . Conside emos dos masas m, =m 2 = 1/2en mo imien o el planox,y y una e ce a masa m, n : 0 en el eje Z, el c .d .m . de n~ y m 2 . Sea que ige el mo imien o de ( ) es la dis ancia de n~ al o igen . el mo imien o de m 3 es pe iódico . 5 6 elíp ico en pasando po 2n el pe iodo de m, y m 2 . La ecuación m 3 es z = -z ( Z 2 + 2 ( )) -3/2  ,  donde Si la ó bi aes ci cula Sean k , kE Z, ce os de z . Suponemos  k< k + 1, e in oducimos Sk =  k 2 l - k  . A cada solución z( ) podemos asocia la Buce si6n (in ini a po ambos lados) { Sk} . Teo ema .(Si niko ) Dadauna excen icidad e>p  su icien emen e pe- queñaexis eun en e o m = m(e) alquecualquie sucesión (Sk} con S k k m co esponde a una solución de la ecuación di e encial an e- io . El eo emapuede ex ende se a alo esde m 3 no nulosy de e cualesquie a (con excepción de un conjun o disc e o) . Si, po ejemplo Sk-soo  pa ak  ,,, , Sk aco ado pa ak ., -oo en d emosuna ansición de mo imien o ipo Lag ange a  oscila o io . Si S k ale in ini o pa aun alo dek ini o, se end áun escape . Apa en emen e el mo imien o,siendo de e minis a, ieneun compo - amien o alea o io ya que la sucesión ( SO puede se cualquie a (con S k > m) . Básicamen e la demos ación del eo ema usa el shi de Be - noulli : Sea A un al abe o ini oo nume able . Conside a el espacio X de las sucesionesdoblemen e in ini asls k }, Sk EA . En dichoespa ciose in oducé una opología d : miendo  comobasede en o nosde S  _ { Sk i a . Uj={SI  Sk= Sk  ,  ¡k¡ < j } .  Si P es unamedidaen A¡S E P(Sk) = 1, puede do a se a X de la medidap oduc o de la o ma keA habi ual . La aplicación  a : X , X I (a (s)) k = S k- 1 se llama el shi de Be noulli . T i ialmen e p ese a medida, es e gódica y además es un homeomo ismo . De iniendo la en opia como E  - P(Sk) 1 n P(Sk) SkCA se ienequedos shi s sonisomo os si y sólo si ienen la mis- ma en opia . En el casode queAsea ini o Q equi ale a la llamada ans o maci6n del .panade o . La ideaesencial es inclui el shi como subsis ema de un homeo mo ismo ~ = Y,Y , es o es : 3 T alque  XáX e olución inal . T1 1T conmu a, siendo T un homeomo ismo en e X y - Y imagen . y su La eo íade los sis emas dinámicos quasi-alea o ios (=_ sis e- masconen opía opol6gica posi i a) ha sido desa ollada po Alexeye . Se sabe (Ma kus, Meye ) queconca ác e gené ico (una p o- piedad es gené ica si es cie apa auna in e sección nume a- ble de abie os densos),  los sis emas hamil onianos no son ni in eg ables ni e g6dicos (en cada a iedad H= c e) . Podemos conje u a sinemba goque un compo amien o del ipodelp o- blemade Si niko ( elacionados con la di usión de A nol'd) si es gené ico . 9 .- Pa icula idades del p oblemade cua o cue pos : P e . . y El p oblema de cua ocue poso eceun nue o sal o en cuan o a di icul ad espec oal de 3 cue pos . Sinemba go pa ece que no haya ya a iación cuali a i ade las si uaciones quepue den da se al aumen a el núme ode cue pos (aunque no hay esul- adosenes e sen ido) . En cuan o a p .e . . se conocían clásicamen e algunas solucio nes . Si las masas son iguales las soluciones e andel ipocua- d ado, iánguloequilá e o con una masaenel .cen o o colinea- les . El au o , en colabo ación conJ . Llib e, ha encon ado ecien emen e o a amiliade soluciones en las que es de las masas se hallan en los é icesde un iángulo isósceles y la cua a en el in e io . En o al se conocen 50 p .e . . y se enTan undados mo i os pa a c ee que e anlasúnicas . Véanse sin emba - . go esul ados de Palmo e . Smale conje u ó que la ene gía po encial 1 sob e 2 E m i ( zi )2 =1 es unci6n de Mo se . En es ecaso K dado que dicho conjun o es homeo o mo aPn-Z ( T ) -D (D =colisiones) , la conje u aimplica que el ná de p .e . . es ini o pa a odo n, y que pa a n = 4 la suma al- 5 8 e nada deln4 de p .e . . que ienen indicepo e impa es 2( alo dela ca ac e is ica de Eule -Poinca é de P2 (T) -D) . Es o se cumple en nues ocaso ya quehay 12 p .e . . alineadas y 8 de ipoequilá- e oconindice 2, 24de ipoisóscelesconindice 3 y 6 de ipo cuad ado conindice 4 . A di e encia delcaso n=3 en qie el núme o de las p . e . . es inde- pendien e de las masas, sabemosque si una de las masas es su icien emen e pequeñahay 38 p .e . . si las o as 3 son su icien emen e pa ecidas y 34 en casocon a io . Pa a los alo es en queocu e la ansición (que o manuna a iedad decodim . 1  enel espacio de las masas)el po encial es ingido deja de se  . de Mo se . Un análisiscomple o es á en es udio . Respec o a e olución inal apa ecen dos iposnue os de compo - amien o : a) La expansión supe -hipe bólica . S61o - se p esen a si n ? 4 . Si d( ) es el diáme o del sis ema, se iene d( )/ ~ . . Como mínimo hay 2 dis ancias mu uas  ¡Xi -X j 1  ales que lim  IX i - X j i/ =+ a lim  IXi - X j l / = o . b) La expansión in ini aen iempo ini o (Ma he -McGehee) . S61o se p esen a si n> _ 4 . Pa a ello imaginemosun cue po C de masapeque ña oscilando en e unabina- ia AB y el cua o cue poD  A9 que se alejan de o ma ap o- ximadamen e lineal del c .d .m . Las colisiones conD son de ipo elás ico . . Con la bina iaAB son de ipo explosi o, ex ayen- do C an a ene gía como se quie a, que pos e io men e comunica á a D y colapsando la bina ia haciaene gíaspo enciales mayo es . Tan oen el caso a) como en b) la demos ación se lle a a ca- bo po un p oceso análogo al delT . de Si niko . Un no able es ue zo sededica úl imamen e a la ob ención de 59 ó bi as pe iódicas del p oblema gene al de 4_ . cue pos (e incluso pa a mayo núme o de cue pos) po pa e de Hadjideme icu y su escue la . Pa iendo de un p oblema con 2 cue pos no nulos y los es an es nulos alesque .las masas nulas desc iben ó bi as pe iódicas del p o blema es ingido con pe iodos conmensu ables, se usa el mé odo (b la con inuaci6nanalí ica p olongando la amilia de ó bi as pe iódicas a masas no nulas . §10 .- alo esmayo es de n . Soluciones pa icula es . Teo ema de Moul - on . Expe iencias numé icas . Caso n < 1000 . RecTula ización . Caso ñk 10004 Pa a alo es de n > 4  se sabe que el p oblema de n cue pos pue- de descompone se en subsis emas o cgmulos . Si cuando -+ oo esos sub sis emasse alejan unos de o os en mo imien odel ipo pa abólico o hipe bólico  los cen os de masas de cada subsis ema ienden hacia una solución homo é ica . Poco se sabe del mo imien o in e no en cada cúmulo (excep o si es á o mado po 2 o 3 cue pos o si su mo imien o es del ipo l) . Pa a n > 4 y masas cualesquie a se dispone de algunas expe ien cias en la búsqueda de ó bi as pe iódicas ( e ¢9) . Si odas las ma sas excep o una son pequeñas (caso plane a io) es posible la apli- cación del eo ema KAM ( e §5) . Se desconoce el nó y o ma de los p .e . . ( e ¢4) . Sin emba go si se conocen pa a el caso alineado . En e ec o, Moul on p obó que en el p oblemade n cue posexis en pa a odos los alo es de las masasn!1/2 p .e . . alineadas . E l eo ema se demues apo inducción espec oal nó de masas y po p olongación espec oal alo de la úl ima masa in oducida . Po lo que an ecede sólo queda el ecu so de las expe iencias numé icas . Es e ha sido u ilizado in ex enso y ha con ibuido en g an pa e al e inamien o de los mé odos de esolución de e.d.o . 60 Sonco ien es los p og amas que in eg an las ecuaciones del mo imien o pa a a ios cien os de cue pos, sea di ec amen e o po mé odos de Mon eca lo . En odocasodebepensa se que la in eg a ci6ndi ec a equie epasos a iables pa a cadacue po . En caso con a io cadapasode in eg ación signi ica ía la e aluación de (Z) dis ancias . En es e p oblema jueganun papel p eponde an e las bina ias . Es as exigen un paso de in eg ación muy pequeño y en las p oximidades de una colisión pueden ene see o esno ables . Po ello es imp escindible e ec ua un paso a a iables egula i- zadas pa a a a es ep oblema . Una écnicadebida a Heggie pe mi e la egula ización de odas las colisiones bina ias . Pa aellose conside an yij = xi-x j como a iables independien es y se e ec ua la egula ización KS pa a cada unade ellas . Sinemba go el nó de g ados de libe ad c ece de 3n a 2n(n-1), po lo que deja de se p ác ico si n-> 4 .  Indique mosqueen es ecaso el Hamil oniano es polinomial .Pa a alo esde n mayo es debe ecu i se a p ocedimien os ap oximadosmas g ose os . Una écnicaadecuada puede se la de es imación del campo c eado po las pa ículas alejadas y el es udioco ec o sólo pa a los más p óximos . O o mé odo consis een la ap oximación de los é - minos  12  pe can idadesp e iamen e almacenades en memo ia . Es a 1) écnicaha sidousadapo Hohl  y le pe mi e a a cien os demi les de pa ículas . De es a mane a puedeconsegui se simula el com po amien o de galaxias . Sin emba go el mo imien o es ines abley el escape de es ellas es con inuo . ¢11 .- Técnicas de pe u baciones . Teo íasplane a ias . Mo imien os de la luna . Pequeños denominado es . Reso iancias . En los p oblemasp ác icos de cálculode e emé idesde as os 6 1 delsis ema sola se ec=e a la in eg ación numé ica y a las eo ías de pe u baciones . En odocaso si la ó bi a eal se aleja len amen e deunaó bi aKeple iana,puede oma se és a como ó bi a de e- e enciay.da sólo las des iaciones con espec o a la misma . En cie oscasos es más .in e esan e oma como ó bi a de e e encia o as soluciones, sean las del p oblema de los dos cen os (como en la eo ía de Vin i de un sa éli e a i icial enel campo e es e) o  las ó bi asin e mediasde Ga inkel  o Aksnes  pa a el mismop oblema,o bien la ó bi ade a iación de Hill pa a el mo imien o de la luna, e c . O a écnicaconsis e en acili a en cada momen o la ó bi a Keple iana ( o no) oscula iz . Es e se de ine como la ó bi a keple ianacuya posición y elocidadcoinciden en cada momen o con la ó bi a eal . Po supues oque los elemen osa,e,I,ui,n,M o - a-1/3 . se án uncionesdel iempo . Sea c el ec o o madopo dichos elemen os . Se end á á = e C p (a " ), donde el ac o 6 indicaque se ia ce os¡ no hubie a la pe u bación, y queés ase supone pequeña . Pa iendo de un alo inicial a  se ob iene a, median e  a~ =a 0 +e J 0 p ( a0, T )  dT  . Elmé odm(lePica ddejadese p ác icoya que puede cp4e l , ) se exp esión di cil , . Se aplicaun desa-- llo de Taylo limi ado cp(a 1 , )  = cp(a 0 , )  + Dcp (a,,, )  E  ~ c p(Q o ,T)dT " n con lo quea 2 =a 1 + e2 Jc Dcp( ao . T) J T cp(ao .Q) dg . . 0  0 La i e ación da luga al mé odo clásico de eo íade pe u ba- cionesiniciadopo Lag ange, Laplacey Poisson . Los mé odos de se iesde Lie, p omedios, on Zeipel, e c . con- sis enen écnicas i e a i as pa a elimina la pe u bación del hamil oniano inicialH=H o + CH, + e8H2+ . . . .con obje o de con e i lo en un hamil oniano independien e de las a iables angula es . Las sucesi as i e aciones y su con e gencia se en di icul adas 6 2