TAXONOMÍA
FORMAL
Jesús
MOSTERÍN
1. CLASIFICAR
Una de las ac i idades cien í icas más ecuen-
es es la que consis e en clasi ica ' los indi iduos
de un ámbi o de e minado, de al modo que po-
damos habla , pensa y o mula leyes o hipó e-
sis sob e ellos con más acilidad. Cuando nos po-
nemos a clasi ica un dominio de obje os, no
conside amos e minada nues a a ea has a que
la clasi icación o colección de clases in oducidas
los aba ca a odos. Es o puede p ecisa se dicien-
do que el esul ado de clasi ica un conjun o A ha
de cons i ui un ecub imien o de A.
Un ecub imien o de A es una amilia de sub-
conjun os no acíos de A al que la unión de
odos ellos es idén ica a A. Fo malmen e,
1.1. G es un ecub imien o de
A
++Gc"AA@$GAUG=A.
Las clases que cons i uyen una clasi icación
pueden solapa se, pueden se solapan es. Po
ejemplo, la clasi icación de los humanes po na-
cionalidades es solapan e, pues hay indi iduos
con doble nacionalidad. La clasi icación de los
es udian es de una uni e sidad po la acul ad en
que es án ma iculados puede se solapan e, pues
algunos alumnos pueden es a ma iculados en
más de una acul ad. La clasi icación ecológica de
los animales po el ipo de ecosis emas en que se
encuen an es solapan e, pues algunos animales
mo an en ecosis emas de di e so ipo. F en e a
es a clasi icación ecológica la clasi icación sis e-
má ica de los animales no admi e solapamien os,
sino que p e ende clasi ica los de al modo que
un mismo animal no pueda es a en dos clases
dis in as (del mismo ni el), es deci , p e ende se
una clasi icación no-solapan e. La clasi icación
de los á omos en elemen os químicos y la clasi i-
cación de los humanes po su año de nacimien o
ambién son no-solapan es. El esul ado de clasi-
ica A no-solapan emen e cons i uye no sólo un
ecub imien o de A, sino incluso una pa ición
de
A.
Una pa ición de
A
es un ecub imien o de A
cuyas clases son odas disjun as en e sí, es deci ,
sin elemen os comunes. Fo malmen e,
1.2. G es una pa ición de A
e+Gc PAA~$G uG=AAVXY
(XEGA YEGAX# Y+Xn Y=
0)
Las clasi icaciones más impo an es cien í ica-
men e son las no-solapan es, y a ellas nos limi a-
emos aquí. En lo sucesi o, siemp e que hable-
mos de clasi icaciones, que emos deci clasi ica-
ciones no-solapan es.
Suele llama se clasi icación an o a la ac i idad
de clasi ica como al esul ado de esa ac i idad, la
pa ición. Es a ambigüedad es ino ensi a. Más
g a e es que a eces se u iliza la misma palab a
clasi icación pa a e e i se a dos ac i idades o
p ocesos o almen e dis in os: la clasi icación de
un dominio de indi iduos en clases, po un lado,
y el diagnós ico o iden i i~ación,~ de uno de esos
indi iduos como pe enecien e a una de esas cla-
ses p e iamen e es ablecidas, po o o. La p ime-
a cons i uye una ac i idad cien í ica c ea i a,
mien as que la segunda es una me a p ác ica.
Es a dis inción es pa alela a la que puede es able-
ce se en e me ización (in oducción de una
magni ud mé ica en un campo p e iamen e cua-
li a i o) y medición (de e minación del alo
conc e o de esa magni ud pa a un indi iduo de-
e minado). No puede habe medición sin me i-
zación p e ia, como no puede habe diagnós ico
sin p e ia clasi icación.
El médico diagnos ica la dolencia conc e a que
padece el pacien e en un momen o dado in e p e-
ándola o econociéndola como (elemen o de)
una en e medad de e minada, lo cual p esupone
una p e ia clasi icación de las dolencias conc e as
en en e medades.
El
na u alis a de campo, o el
a icionado p o is o de una guía de campo, diag-
nos ica o iden i ica una plan a o un pája o que
iene an e sus ojos como pe enecien e a una cie -
a clase de una clasi icación p e iamen e es able-
cida.
A
las clases es ablecidas po una clasi ica-
ción les llamamos axones. En es e sen ido, una
en e medad (clase de dolencias)
o
un elemen o
químico (clase de á omos) o una especie biológi-
ca (clase de o ganismos) es un axón y, po an o,
el diagnós ico es el p oceso que asigna un indi i-
duo de un dominio de e minado al axón que le
co esponde (al que pe enece).
El diagnós ico es, pues, una unción que a cada
indi iduo de un dominio de e minado asigna el
axón de una clasi icación o pa ición dada, ese
dominio al que el indi iduo en cues ión pe ene-
ce. Pues o que odo indi iduo pe enece a un
axón y sólo a uno de una pa ición dada, el
axón al que ese indi iduo pe enece es á uní o-
camen e de e minado. la unción
dQ
diagnós ica
depende de la pa ición dada
Q.
Sea
Q
una pa i-
ción de A. dQ: A
+
Q.
De inimos:
1.3.
dQ
=
{(a,
2)
1
aEA
A
ZEQ
A
aEZ)
La a ea de diagnos ica o iden i ica aEA es-
pec o a la pa ición
Q
de A signi ica calcula el
alo dQ(a). Pa a ello a eces nos se imos de la
obse ación de los sín omas obse ables de a y
los compa amos con los sínd omes (conjun os de
sín omas ca ac e ís icos) de los di e sos axones.
O as eces hemos de conside a cie as elacio-
nes en que a es á o no es á con o os indi iduos,
e c.
La nomencla u a es la asignación de nomb es
con enidos po la comunidad cien í ica a los di-
e sos axones dis inguidos en la clasi icación.
Pe o aquí no amos a ocupa nos del diagnós ico,
ni de la nomencla u a, sino sólo del esul ado di-
ec o de la clasi icación: las pa iciones.
2.
PARTICIONES
Y
RELACIONES DE
EQUIVALENCIA
2.1.
Como es sabido, hay una es echa co ela-
ción en e las pa ici-ones
y
las elaciones de equi-
alencia, y aquí mismo usa emos más adelan e
una cie a elación de equi alencia pa a de ini
una pa ición (la usión de dos pa iciones dadas)
que nos in e esa ca ac e iza .
Una elación de equi alencia en A es una ela-
ción R
C
AxA, que es e lexi a, simé ica y an-
si i a.
Po ejemplo, la iden idad es una elación de
equi alencia en cualquie conjun o. El pa alelis-
mo es una elación de equi alencia en e ec as.
El ene el mismo núme o de p o ones en el nú-
cleo es una elación de equi alencia en e
á omos.
Si R es una elación de equi alencia en A
y
x en
un miemb o de A, en onces el conjun o de odos
los miemb os de A que es án en la elación
R
con
x se llama la clase de equi alencia ( espec o
a
R)
de x, simbolizada como
XR.
x
mismo es un ep e-
sen an e de
XR.
De inimos:
De aquí se sigue como co ola io que dos clases
de equi alencia
XR
y z~ son idén icas si y sólo si
sus ep esen an es x
y
z
es án en e sí en la ela-
ción de equi alencia R.
Llamemos Pa A al conjun o de odas las pa i-
ciones de A.
Y
llamemos EqA al conjun o de
odas las elaciones de equi alencia en
A.
La co-
elación aludida an e io men e consis e en que
cada pa ición de A de e mina una cie a elación
de equi alencia en A, y cada elación de equi a-
lencia en A de e mina una cie a pa ición de
A.
Sea Q una pa ición de A. La elación de equi-
alencia RQ inducida o de e minada po
Q
es la
elación en que es án dos indi iduos de A si
y
sólo si ambos pe enecen al mismo Q- axón. De-
inimos
:
Fácilmen e se comp ueba que Rq es una ela-
ción de equi alencia.
Sea R una elación de equi alencia en A. La
pa ición AIR de A inducida o de e minada po
R es el llamado espacio cocien e de A espec o a
R, es deci , la clase de odas las elaciones de
equi alencia de R. De inimos:
2.5.
AIR
=
{
x~
1
xEA)
Fácilmen e se comp ueba que AIR es una pa -
ición de A.
P ecisamen e una pa ición cualquie a de
A
coincide con el espacio cocien e de A espec o a
la elación de equi alencia inducida po esa pa i-
ción. En esumen:
Con ecuencia se in oducen las pa iciones
median e elaciones de equi alencia. La pa ición
de las ec as del plano en di ecciones es la pa i-
ción inducida po la elación de equi alencia de
pa alelismo, es deci el conjun o cocien e de las
ec as po el pa alelismo. La pa ición de los á o-
mos en elemen os químicos es la pa ición indu-
cida po la elación de equi alencia de ene igual
núme o de p o ones en el núcleo, es deci , el
conjun o cocien e de los á omos po la igualdad
del núme o de p o ones. La pa ición de los
onos de una lengua en onemas es la pa ición
inducida po la elación de equi alencia de sus i-
uibilidad sal a signi ica ione, es deci , el
conjun o cocien e de los onos po la sus i uibili-
dad sal a signi ica ione.
Llamemos
IA
es la iden idad es ingida a A, es
deci ,
IA
=
{(x,y) E A2
(
x
=
y), y llamamos A2
a la clase de odos los pa es de elemen os de A, es
deci , A2
=
A
x
A.
Como ácilmen e se comp ueba,
IA
es no sólo
una elación de equi alencia en A, sino incluso la
mínima elación de equi alencia en A, en el sen i-
do de que es á incluida en odas las demás. A2,
po el con a io, no sólo es ambién una elación
de equi alencia en A, sino que además es la máxi-
ma, en el sen ido de que odas las demás es án
incluidas en ella. En esumen:
2.9.
IA
E
EqA
2.10.
IA
=
nEqA
2.11.
pa a oda R: (R E EqA
3
IA
C
R)
2.12.
A2 E EqA
2.13.
A2
=
UEqA
2.14.
pa a oda R: (R
E
EqA
+
R
C
A2)
2.15.
(EqA,
C)
es una o denación pa cial, con
mínimo, IA, y máximo, A2.
3.
LA RELACION DE MAYOR
O
IGUAL
FINURA
Un dominio A de indi iduos puede clasi ica se
o ~a i se de muy di e sas mane as, an as como
elemen os posee Pa A. Así po ejemplo, los ani-
males pueden clasi ica se geog á icamen e, según
el con inen e u océano en que i en, o ecológica-
men e, según el ipo de bio ipo que habi an, o
sis emá icamen e po especies, o sis emá icamen-
e po ó denes, e c. Unas clasi icaciones o pa i-
ciones son a eces más inas que o as, pe o con
ecuencia son incompa ables en e sí. La clasi i-
cación geog á ica de los animales es incompa a-
ble con su clasi icación sis emá ica en especies,
pe o es a úl ima es compa able con su clasi ica-
ción sis emá ica en ó denes y esul a más ina que
ella.
Una pa ición es más (o igual de) ina que o a
cuando hace odas las dis inciones que esa o a
hace, y quizás oda ía algunas más. Más p ecisa-
men e, una pa ición
P
es más (o igual de) ina
que Q si y sólo si cada axón de P es á incluido en
un axón de Q. Cada especie es á incluida en un
géne o y en un o den. Po eso la clasi icación de
los animales en especies es más ina que la clasi i-
cación en géne os o en ó denes. Simbolicemos la
elación de mayo o igual inu a en e pa iciones
median e
«S)).
Sean P y Q pa iciones de A. De-
inimos:
3.1.
P
S
Q
+
VXEPZZEQ (XCZ)
O a condición equi alen e (no en e ecub i-
mien os en gene al, pe o sí en e pa iciones) es
la de que cada axón de la p ime a pa ición es é
incluido en o sea disjun o con cada axón de la
segunda.
3.2.
P
<
Q
+
VXEPVZEQ
(XCZ
XnZ
=
0)
Como ácilmen e se ap ecia, la elación
S
de
mayo o igual inu a en e pa iciones de A es
e lexi a, an isimé ica y ansi i a, es deci , es
una elación de o den pa cial en Pa A. Es a o -
denación pa cial iene un mínimo, el conjun o de
odas las clases uni a ias o single ones de A, al
que simboliza emos po SngA y iene un máxi-
mo, {A). En e ec o, SngA no sólo es una pa i-
ción de A, sino que además es más ina que cual-
quie o a pa ición de A. Y {A} no sólo es una
pa ición de A, sino que es la más g ose a de
odas las pa iciones de A.
3.3.
SngA
=
{{x} /x€A)
3.4.
VQEPa ,: SngA
S
Q
3.5.
VQEPa A: Q
<
{A}
En esumen, (Pa A,<) es una o denación pa -
cial con mínimo, SngA, y máximo, {A}.
4.
JERARQUIAS TAXONOMICAS
Un mismo dominio de indi iduos puede clasi-
ica se de muy di e sas mane as, dando luga a
dis in as pa iciones del mismo. Así, podemos
clasi ica los mine ales po su colo , o po su es-
uc u a c is alina, o po su composición quími-
ca, o po el luga en que se encuen an, e c.
Todas es as clasi icaciones son independien es
unas de o as y son incompa ables en e sí en
cuan o a inu a. No o man una je a quía axo-
nómica.
O as eces sin emba go nos encon amos con
clasi icaciones in e dependien es, cuyas pa icio-
nes son compa ables en e sí. Así podemos clasi-
ica las dolencias que nos aquejan en he edi a ias
y
adqui idas. Más inamen e podemos clasi ica
las adqui idas en aumá icas, degene a i as e in-
ecciosas. Toda ía más inamen e podemos clasi-
ica las in ecciosas en í icas, bac e ianas, úngi-
cas, e c. Podemos segui a inando más y clasi i-
ca las bac e ianas en p oducidas po bacilos, po
es ep ococos, e c.
Y
aún más inamen e pode-
mos clasi ica las dolencias bac e ianas p oduci-
das po bacilos en en e medades como el é anos,
la ube culosis, e c. Todas es as clasi icaciones
son compa ables en e sí en cuan o a inu a. Fo -
man una je a quía axonómica. Todos los indi i-
duos (en es e caso, las dolencias conc e as) que
sean miemb os de un axón de la pa ición más
ina (en es e caso, la pa ición en en e medades),
se án ambién miemb os de un mismo axón en
cada una de las o as clasi icaciones. Todas las
dolencias conc e as que sean casos de ube culo-
sis se án p oducidos po bacilos, de o igen bac-
e iano, in ecciosas y adqui idas.
La mayo ía de los subconjun os de Pa A, es
deci , la mayo ía de los conjun os de pa iciones
de A con ienen pa iciones incompa ables en e
sí en cuan o a inu a. Si ocu e que un conjun o
H
de pa iciones de A sólo con iene pa iciones
compa ables en e sí en cuan o a inu a, di emos
que
H
cons i uye una je a quía axonómica
sob e A.
4.1.
H
es una je a quía axonómica sob e A
++
HCPa A
A
VXYEH (X
d
Y
Y
6
X)
Habíamos is o en 3 que <Pa A,.
0
es una o -
denación pa cial. Un subsis ema de <Pa A,<)
que cons i uya una o denación o al (o lineal o
cadena, según la e minología que se p e ie a)
cons i uye siemp e una je a quía axonómica
sob e A. Po eso una de inición al e na i a de je-
a quía axonómica es:
4.2.
H
es una je a quía axonómica sob e
A
++
HCPa A
A
<H,d)
es una o denación o al
En el con ex o de una je a quía axonómica H,
las di e sas pa iciones que o man
H
se suelen
llama ca ego ías de
H.
Así los indi iduos del
dominio básico A son miemb os de los axones
de di e sas pa iciones o ca ego ías. Los axones
mismos son miemb os de las pa iciones
s
ca e-
go ías.
Y
las pa iciones o ca ego ías son mie n-
b os de la je a quía axonómica.
Las je a quías axonómicas más conocidas so i
las usadas en la biología. La llamada je a quia a-
xonómica linneana cons a de sie e ca ego ías: es-
pecie, géne o, amilia, o den, clase, phylum y
eino, que cons i uyen o as an as pa iciones
del dominio de los o ganismos. Así, un o ganis-
mo conc e o, po ejemplo, es a abeja que pasa
aho a zumbando po aquí, pe enece a la especie
Melli e a, al géne o Apis, a la amilia Apidae, al
o den Hymenop e a, a la clase Insec a, alphylum
A h opoda y al eino Animalia. Cada uno de los
axones ci ados es á incluido en odos los si-
guien es. Cuando decimos que es a abeja pe en-
ce po ejemplo al géne o Apis, que emos deci
que pe ence al axón Apis, el cual,
a
su ez, pe -
enece a la ca ego ía géne o (o, si se p e ie e, en
la ín, genus). Es a abeja es un indi iduo que es
miemb o del axón Apis. El axón Apis es miem-
b o de la ca ego ía géne o. La ca ego ía géne o es
miembo de la je a quía axonómica linneana.
A pa i de la je a quía linneana se ob ienen a
eces o as je a quías axonó nicas más amplias
añadiendo nue as ca ego ías, como ibu (en e
géne o y amilia) o coho e (en e o den y clase),
o como las o madas con los p e ijos supe y sub
(supe amilia, sub amilia, e c.).
Dada una je a quía axonómica
H
cada ca ego-
ía de esa je a quía iene un cie o ango o ni el.
Pues o que odas las ca ego ías o pa iciones de
H
son compa ables en e sí, podemos o dena las
de al modo que la más ina apa ezca en p ime
luga ( enga ango
l),
la siguien e
nás
ina enga
ango 2, e c., has a llega a la menos ina, que
end á máximo ango o ni el. Así, en la je a quía
axonómica linneana la ca ego ía especie iene
ango
1,
la ca ego ía géne o iene ango 2, la ca e-
go ía amilia iene ango 3, la ca ego ía o den
iene ango 4, la ca ego ía clase iene ango
5,
la
ca ego ía phylum iene ango
6
y la ca ego ía
eino iene ango
7.
Sea
H
una je a quía axonómica que cons e de
n pa iciones o ca ego ías. Pues o que
(H,S)
es
una o denación o al, hay un isomo ismo de
(H,d) con ({1,2,
...
n),d) es deci , una unción
biyec i a :
H
+
{1,2,..n) al que pa a cada
X,
YEH:
Es a unción es á uní ocamen e de e minada y
cons i uye el ango. Pa a cualquie
XEH:
4.3.
ango
(X)
=
(X)
Na u almen e es a de inición sólo ale pa a je-
a quías ini as, es deci , con un núme o ini o
de pa iciones o ca ego ías, que son las que se
usan en la ciencia. Si quisie an conside a se am-
bién je a quías in ini as bas a ía con oma seg-
men os iniciales cualesquie a del conjun o
Q
de
odas los o dinales, en ez de segmen os iniciales
de
N,
como hemos hecho aquí.
El ango de una ca ego ía o pa ición de una
je a quía axonómica es un núme o na u al.
Cuan o mayo es el ango an o meno la inu a
de la pa ición. Pa a cualesquie a pa iciones
X,
Y
de una je a quía H:
4.4.
X
d
Y
++
ango
(X)
d
ango
(Y)
También se suele deci que un axón iene
ango, a sabe , el ango de la ca ego ía a la que
ese axón pe ence. Así, en la je a quía axonó-
mica linneana el géne o Apis iene ango 2, es
deci , el géne o Apis pe enece a la ca ego ía gé-
ne o, que es la que p opiamen e iene ango 2.
5.
LA PARADOJA
DE
GREGG
Los biólogos clasi ican los o ganismos en a-
xones de di e so ango. No malmen e los axo-
nes de ango supe io incluyen a ios axones de
cada ango in e io y, po ello, ienen más miem-
b os que ellos y son ex ensionalmen e dis in os
de ellos. Así, po ejemplo, la clase Insec a in-
cluye muchos o os ó denes, además de Hyme-
nop e a; el o den Hymenop e a incluye o as
muchas amilias, además de Apidae. La amilia
Apidae incluye o os géne os, además de Apis,
e c. Así, pues, el caso no mal consis e en que un
axón de cie o ni el es un subconjun o p opio
de o o axón de ni el supe io , pe o no coincide
con él. Es os axones no males, que incluyen a-
ios axones de ni el in e io dado, se llaman a-
xones poli ípicos. Sin emba go, no odos los a-
xones son poli ípicos, ambién los hay mono ípi-
cos. Veamos algunos ejemplos.
Los bo ánicos clasi ican las plan as del modo
ya indicado en especies, géne os, amilias, ó de-
nes, e c. Así los ginkgos, los conocidos á boles
p oceden es de la China con hoja en o ma de
abanico pe encen a la especie Ginkgo biloba, al
géne o Ginkgo, a la amilia Ginkgoaceae y el
o den Ginkgoales. Pe o odos esos axones, de
di e en e ango, con ienen exac amen e los mis-
mos indi iduos: los ginkgos. El o den Ginkgoa-
les incluye una sola amilia, que incluye un solo
géne o, que posee una sola especie. Todos esos
axones son mono ípicos.
Los o ni ólogos clasi ican las a es den o de
las ca ego ías de la je a quía linneana. Los kiwis,
p imi i as a es sin alas ípicas de Nue a Zelanda,
son los únicos animales pe enecien es al géne o
Ap e yx, a la amilia Ap e ygidae y al o den Ap-
e ygi o mes, que, po an o, son axones mono-
ípicos. El o den Ap e ygi o mes con iene una
sola amilia, Ap e ygidae, que a su ez incluye un
solo géne o, Ap e yx el cual, sin emba go, se
subdi ide en
3
especies dis in as.
Los o ni o incos son unos p imi i os mamí-
e os aus alianos y los zoólogos los ag upan en
una sola especie, O ni h~ h~nchus ana inus, que
es la única de que cons a el géne o O ni ho hyn-
chus, que a su ez es el único incluido en la ami-
lia de los O ni ho hynchidae. Los es axones
mencionados son po an o mono ípicos.
Los o ic e opos o ce dos ho migue os son
unos mamí e os a icanos de la go mo o cilín-
d ico
y
pode osas pa as delan e as que les si en
pa a exca a la ie a. Los zoólogos los clasi ican
en una sola especie, O yc e opus a e , que es la
única de que cons a el géne o O yc e opus, que a
su ez es el único que es á incluido en la amilia
O yc e opodidae y en el o den Tubuliden a a.
Todos es os axones son ambién mono ípicos.
Si los axones de la clasi icación biológica son
conjun os, en onces los axones mono ípicos
(que ienen los mismos elemen os) han de se
idén icos, pues dos conjun os con los mismos
elemen os son el mismo conjun o. Pe o los bió-
logos sis emá icos, que es ablecen las clasi ica-
ciones, piensan que una especie es siemp e algo
muy dis in o de una amilia, po ejemplo. Po
an o, aunque una amilia y una especie engan
los mismos elemen os (o ganismos), se án axo-
nes dis in os. El p ime o que se dio cuen a de
es a di icul ad ue John
R.
G egg, y desde en on-
ces se conoce como la pa adoja de G egg.

Desde 1954 en que G egg' llamó la a ención
sob e la pa adoja que lle a su nomb e, se han
p opues o di e sos in en os de solución.
En 1957 Pa ke -Rhodes' p opuso de ini un
axón supe io no como un conjun o de indi i-
duos (es deci , de o ganismos), sino como el
conjun o de sus axones inmedia amen e in e io-
es. Con es o se soluciona la pa adoja de G egg,
pe o se apa a uno ambién de la noción in ui i a
de axón. Así, un axón de clase ya no se ía un
conjun o de o ganismos, sino un conjun o de ó -
denes. No pod íamos segui diciendo que es e
ga o es un mamí e o. La solución esul a insa is-
ac o ia.
En 1964 A. Skla 5 p opuso añadi a las n pa i-
ciones de una je a quía
H
n conjun os (disjun os
con
UH,
po ejemplo, conjun os de núme os na-
u ales) G1
,...
G,, ales que pa a cada
i,j
(1 i
<
j
S
n):
G,
c
G,, pe o
G,
C
G,, de al
modo que cada axón
X
de ango
k
de iniese
X
U
Gk. Así (pa a e oma nues o úl imo ejem-
plo de axones mono ípicos), la especie O yc e-
opus a e de end ía {o ic epopos)
u
{l), el
nue o géne o O y e opus se ía {o ic e opos)
u
{1,2), la nue a amilia Oy e opodidae se-
ía {o ic e opos)
u
{1,2,3), y el o den Tubuli-
den a a se ía {o ic e opos)
u
{1,2,3,4). Con
es o se soluciona la pa adoja de G egg, pues cada
axón es dis in o de sus co espondien es axones
supe io es y es á incluido en ellos. Se a a de un
uco écnico o malmen e co ec o, pues se con-
se an las elaciones de pe enencia de los o ga-
nismos a los axones (en es e sen ido es un p o-
g eso espec o a la solución de Pa ke -Rhodes)
y
las de inclusión en e axones, al iempo que se
dis inguen las axones mono ípicos de dis in o
ango (que se di e encian aho a po posee algún
núme o más o menos). Pe o esul a a i icioso
concebi los axones como conjun os de algo más
que de o ganismos, y esul a insa is ac o io deci
que el núme o 1 es un ce do ho migue o.
En 1966 R. C. Buck y D. L. Hu116 p opusie-
on de ini in ensionalmen e, median e lis as de
p opiedades, los axones, de al modo que se exi-
gie an más p opiedades pa a la pe enencia a los
axones de meno ango. Pe o aquí hay una cie -
a con usión, pues los axones siguen siendo con-
side ados como conjun os, es deci , como en i-
dades ex ensionales.
Y
dos conjun os que ienen
los mismos elemen os son idén icos, cualquie a
que sea el camino que sigamos pa a de ini los.
En 1969 p opuso
N.
~a dine' la p ime a solu-
ción sa is ac o ia de la pa adoja de G egg, que
consis ía en de ini un axón
T
como un pa o -
denado (D,Y), donde
D
es la ex ensión del axón
y es su ango. Así, aunque T1,
T2
y
T3
sean
axones mono ípicos (es deci , de igual ex ensión
D)
de dis in o ango (es deci , de ango
l,
2,
3,
donde l
$
Y:!
+
3), sin emba go son dis in os
axones, pues <D, l>
i!=
(D.12)
$
(D. 3).
Desde un pun o de is a in ui i o lo más sa is-
ac o io es conside a los axones como conjun-
os de o ganismos. El p oblema de G egg puede
esol e se (o, mejo dicho, disol e se) po el i-
ial expendien e de dis ingui los axones a secas,
que se án menos conjun os de o ganismos, de los
axones je a quizados, que se án pa es o dena-
dos de axones a secas y angos. Po an o dos
axones mono ípicos coinciden en cuan o axo-
nes a secas (son el mismo conjun o de o ganis-
mos), pe o di ie en en cuan o axones je a quiza-
dos (pues poseen ango dis in o).
Y
el que los
conside emos de un modo u o o depende de ns-
so os, no de ellos.
6. SUPERPOSICION DE PARTICIONES
F ecuen emen e ob enemos nue as e in e e-
san es pa iciones supe poniendo dos pa iciones
que ya eníamos. La nue a pa ición así ob enida
es más ina que ambas
y
ecoge odas las dis in-
ciones hechas po cualquie a de ellas. Si Q y
G
son pa iciones de
A,
una mane a usual de ep e-
sen a la supe posición de Q y
G
consis e en di-
buja una abla cuyas ilas co espondan a los a-
xones de
Q
y cuyas columnas co espondan a los
axones de
G.
Los cuad os o casillas de la abla
ep esen an en onces la nue a pa ición, que es la
supe posición de las dos an e io es. Po ejemplo,
sea
A
=
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9),
Q
=
{Ql,Q2),
donde
Q1
=
{0,1,2,3,4) y
Qz
=
{5,6,7,8,9), y
G
=
{Gl,G2,G3,G4), donde G1
=
{O),
G2
=
{1,3,5,7,9), G3
=
{2,4,),
y
G4
=
{6,8).
La abla
ep esen a la supe posición de Q y
G.
Es a su-
pe posición,
{{O),
{1,3), {2,4), {5,7,9), {6,8)),
es ella misma una nue a ~a ición de A. Las casi-
llas acías de la abla no o man pa e de la supe -
posición de Q y G, pues que emos que és a sea
una pa ición y una pa ición es una colección de
clases no acías.
La supe posición de pa iciones pa a la p o-
ducción de nue as pa iciones ocu e en casi
odas las ciencias, aunque has a aho a (que yo
sepa) no ha sido analizada. En onología, po
ejemplo, la pa ición de las consonan es po su
pun o de a iculación (en labiales, labioden ales,
in e den ales, al eola es, e c.) se supe pone con
ecuencia con la pa ición de las consonan es
po su modo de a iculación (en oclusi as, ica-
i as, a icadas, ib an es, e c.) pa a sí p oduci
una nue a pa ición o clasi icación de las conso-
nan es, que es más ina y más in o ma i a que
cualquie a de las o as dos, omadas po sepa a-
do. No odos los ejemplos son an i iales como
és e. Uno de los más po en es esul ados eó icos
de la química, la abla pe iódica de los elemen os,
es la pa ición de los elemen os químicos que e-
sul a de la supe posición de la pa ición de los
elemen os químicos en g upos (en gases ine es,
me ales alcalinos, e c.), y de la pa ición de los
elemen os químicos en pe iodos. El hecho de
que la mayo ía de los axones de la pa ición e-
sul an e con ienen un solo miemb o, mien as
que dos de ellos ienen quince, complica la ep e-
sen ación g á ica de la abla, pe o es e iden e que
se a a de una supe posición de dos pa iciones
dadas. O o ejemplo eó icamen e ecundo de
supe posición de pa iciones, es a ez p o enien-
e de la as onomía, es á cons i uido po el dia-
g ama de He zsp ung-Russell, que es la pa i-
ción de las es ellas que esul a de la supe posi-
ción de la pa ición de las es ellas en clases es-
pec ales y de la pa ición de las es ellas en mag-
ni udes absolu as.
La supe posición de dos pa iciones P y
Q
del
mismo dominio A, que simboliza emos median-
e P
@
Q, consis e en la clase de odas las in e -
secciones no acías de axones de P con axones
de
Q.
La ope ación
@
de supe posición se de ine
así:
A
pa i de es a de inición se puede p oba que
la supe posición de dos pa iciones de A es siem-
p e a su ez una pa ición de A, que
@
conduce
de pa iciones de A a pa iciones de A.
P ueba. Sean P y
Q
pa iciones de A. Hemos
de p oba que
P
@
Q
es ambién una pa ición
de A, lo cual a su ez nos obliga a pasa e is a a
las 4 condiciones de la de inición de pa ición. (1)
P
8
Q
C
PA. En e ec o, cada elemen o de
P @Q es la in e sección de dos subconjun os de
A y, po an o, es
él
mismo su subconjun o de A.
(2)
@$P@Q, po de inición de P
€3
Q.
(3)
U
(P
@
Q)
=
A. Sea aEU(P
@
Q). Pa a algún
ZEP
@
Q, aEZ. Pa a algún XEP y algún
YEQ, Z
=
Xn Y. Luego aEXn Y, aEX, y
(pues o que XCA, ya que XEP y P es una pa i-
ción de A) aEA. Po an o U(P
@
Q)CA. Sea
aho a bEA. Pues o que P y Q son pa iciones de
A, b€dp(b) y b€dQ(b), po an o b€dp(b)
n
dQ
(b) y po consiguien e, pa a algún XEP (a sabe ,
dp (b)) y algún YEQ (a sabe ,
dq
(b)) b~Xn Y.
Pe o es e X
n
Y, que no es acío, pues iene b
como elemen o, es un miemb o de P
@
Q, po
de inición de P
@
Q. Luego b~ U(P
@
Q).
Po an o ACU(P
@
Q). Con lo que queda p o-
bado que U(P
@
Q)
=
A. (4) Si XEP
@
Q,
YEP
€3
Q
y X
/
Y
en onces
X
n
Y
=
0. Sea
XEP
@
Q y YEP
@
Q. En onces hab á XI,
YIEP y X2, Y2EQ, ales que
X
=
X1
n
X2 y
Y
=
Y,
n
Y2.
Si X
n
Y
=/=
0,
en onces
X,
n
X2
n
Y,
n
Y2
+
0,
con lo que
X1
n
Y1
$
0
y X2
n
Y2
@,
y, po an o,
X,
=
Y, y X2
=
Y2 (pues P y Q son pa icio-
nes), y, po consiguien e, X
=
Y. Luego si
X
+
Y, en onces X
n
Y
=
0, que es la úl ima
que quedaba po demos a .
La ope ación
€3
de supe posición es asocia i-
a, conmu a i a e idempo en e, es deci , pa a
cualesquie a pa iciones P, Q, G del mismo do-
minio
:
El semig upo (Pa A,
8)
iene un elemen o ab-
so ben e, SngA, y un elemen o neu o,
{A),
es
deci , pa a cada pa ición
P
de A:
6.6. P
€9
SgnA
=
SngA
6.7.
P
@
{A)
=
P
{Es la supe posición de dos pa iciones siem-
p e compa able con ellas espec o a inu a? Sí. La
supe posición es siemp e más o igual de ina que
cada una de las pa iciones supe pues as. Pa a
cualesquie a pa iciones,
P,
Q, de A:
De aquí se sigue como co ola io que la ca di-
nalidad (el núme o de miemb os) de la supe po-
sición es igual o mayo que la de las pa iciones
supe pues as
:
¿Es el semig upo (Pa A,
8)
un g upo? No, no
lo es. Si A iene al menos 2 elemen os, en onces
(Pa A,@> no es un g upo, pues no puede habe
una o mación de in e so. En e ec o, si A iene
2
o más elemen os, siemp e hab á pa iciones de A
que engan 2 o más miemb os. Sea Q una de
ellas. Si Pa A,@) ue a un g upo, end ía que
habe , un in e so de Q, es deci , una pa ición
Q' de A, al que Q
@
Q'
=
{A).
Pe o en onces
2
S
lQ/
d
1
€3
Q'l, po el co ola io 6.9. Pe o
(Q
@
QJ/
=
7
{A}(
=
l.
De donde se sigue que
2
6
1. Es a con adicción mues a que no puede
habe un in e so de Q y que, po an o,
<Pa A,
@>
no es un g upo.
La supe posición de dos pa iciones sólo es e-
cunda o in e esan e cuando ambas pa iciones
supe pues as son incompa ables. Sólo en ese caso
se gene a una pa ición nue a. Si las dos pa icio-
nes supe pues as son compa ables, su supe posi-
ción se limi a a ep oduci la más ina de ellas.
Sean P,
Q
pa iciones de A.
P ueba. Supongamos que P
S
Q. Sea
ZEP
@
Q.
En onces (po 6.1.) hay un XEP
y
un YEQ, ales que Z
=
X
n
Y y
Z
$
0. Po
3.2. y pues o que P
d
Q, enemos que
XCY XnY=@. Pe oXnY=Z+0.
Luego X
C
Y. Po an o, X
n
Y
=
X y, enien-
do en cuen a que Z
=
X
n
Y, enemos que
Z
=
X. Luego ZEP, pues XEP. Así pues,
P@QCP. Sea ZEP. En onces (po 3.1.) hay un
YEQ al que ZCY. Luego Z
=
2
n
Y y, ade-
más, Z
$
0,
ya que ZEP
y
P es una pa ición.
Luego ZEP@Q, po
6.1.
Así pues, PCP@Q.
En esumen, P@Q
=
P.
7. FUSION DE PARTICIONES
Sea G un conjun o de subconjun os de A, es
deci , GcPA. Decimos que un indi iduo cual-
quie a aEA es G-conec able con o o indi iduo
bEA si podemos pasa de un conjun o de G que
con iene a a o o conjun o de
G
que con iene b a
a és de una se ie de conjun os no-disjun os in-
e medios. En la igu a siguien e los cí culos e-
p esen an conjun os de G.
Mi ando la igu a di emos que
a
es conec able
con b y con
e,
pe o no con
c
o con
d.
Simboli-
cemos median e
KG
la elación de G-co-
nec abilidad. Sea GC uPA. Sean a,b~A. De i-
nimos
:
Sea
G
un ecub imien o de
A.
Es á cla o que la
elación
KG
de G-conec abilidad es e lexi a, si-
mé ica y ansi i a en A. Pa a cualquie ecub i-
mien o de
G
de A:
7.2.
KG
es una elación de equi alencia en A.
Conside emos aho a dos pa iciones cuales-
quie a de A, po ejemplo P
y
Q. E iden emen e
la unión PuQ se á un ecub imien o de A y
Kp Q
se á una elación de equi alencia en
A.
La
elación
KpuQ
de PuQ-conec i idad es la ela-
ción de equi alencia en que es án dos elemen os
cualesquie a de A si
y
sólo si es posible conec a
el uno con el o o a a és de una se ie de axones
solapan es de en e los pe enecien es
a
cualquie-
a de las dos pa iciones P o Q. Como ya imos,
oda elación de equi alencia en A induce una Como ácilmen e se comp ueba, cada una de
pa ición de A, a sabe , el espacio cocien e de A las ope aciones de supe posición y usión es ab-
po esa elación. Es o nos pe mi e de ini una so ben e espec o a la o a, es deci , pa a cuales-
nue a ope ación en e pa iciones, a la que lla- quie a pa iciones
P
y Q del mismo dominio:
ma emos usión y simboliza emos po
$
.
Sean
P
y Q pa iciones de A. De inimos:
7.8.
P 63 (P$Q)
=
P; P
$
(P63Q)
=
P
De es a de inición de P$Q como espacio co-
cien e de A po una elación de equi alencia se
sigue po
2.6.
que
$
es una ope ación que lle a
de pa iciones de A a pa iciones de A, es deci ,
que la usión de dos pa iciones siemp e es de
nue o una pa ición.
Quizá no es é de más a a de cap a in ui i a-
men e la di e encia en e la supe posición y la u-
sión de pa iciones. Dadas dos pa iciones P y Q
del mismo dominio A, su supe posición P@Q es
la pa ición que hace odas (y solas) las dis incio-
nes que hacen A o
B,
mien as que su usión
P$Q es la pa ición que hace sólo aquellas dis-
inciones comunes a P y Q. El siguien e cuad o
puede ayuda a isualiza es as ope aciones. Se
a a de pa i el conjun o A de los pun os de la
línea ho izon al dibujada. Las pa iciones P, Q
P63Q y P@Q de
A
se ep esen an median e ilas
de casillas.
La ope ación
$
de usión es asocia i a, con-
mu a i a e idempo en e, es deci , pa a cuales-
quie a pa iciones P, Q,
G
del mismo dominio:
Hemos de inido la ope ación de usión de dos
pa iciones de A como el espacio cocien e de A
po la elación de conec abilidad en la unión de
ambas pa iciones. Aho a p esen amos o a ma-
ne a (equi alen e) de de ini la usión de dos pa -
iciones.
Cuando usionamos dos pa iciones, jun amos
en un solo axón odos los axones de ambas pa -
iciones que son comunicables en e sí po un ca-
mino de axones no-disjun os. La noción in ui i-
a de camino puede p ecisa se median e una un-
ción numé ica que oscila en e axones comuni-
cados (no-disjun os) de ambas pa iciones. Dos
axones son comunicables si hay un camino de
uno al o o. Un g upo máximo de axones comu-
nicables o man una isla.
Y
la usión de ambas
pa iciones es p ecisamen e el conjun o de esas
islas, que o man una nue a pa ición. Las si-
guien es de iniciones p ecisan es a ca ac e iza-
ción de la usión.
Un camino en dos pa iciones P y Q es una
unción
:
N
+
PU Q, al que (n)€P si n es pa ,
(n)EQ si n es impa , y pa a odo n:
(n>
n
(n
+
1)
+
0.
Un axón ZEPUQ es comunicable ( espec o a
las pa iciones P y
Q)
con o o axón WEPuQ si
y sólo si exis e un camino
en
P
y Q, y núme os
n, mEN, ales que (n)
=
Z
y (m)
=
W.
Dado un axón YEPu Q, la isla de
'Y
( espec o
a las pa iciones
P
y Q) es la unión de odos los
axones comunicables con Y.