OTROS TRABATOS
LA DEMOSTRACION AUTOMATICA DE
TEOREMAS EN GEOMETRIA ELEMENTAL
Y
SU REPERCUSION DIDACTICA
MIRANDA DIAZ,
1.
Escuela Uni e si a ia de Fo mación del P o eso ado de
EGB.
Uni e sidad de Can ab ia. San ande .
SUMMARY
The ele an ole o alida o y asks in he adi ional eaching o geome y is cu en ly app oached as a me e
in oduc ion o logical easoning. The exis ence o au oma ic p oo algo i hms o any elemen a y geome y heo-
em and hei ecen implemen a ion in compu e s gi es a peculia cha ac e o he kind o easoning used in
his heo y -one o he ew being decidible- and modi ies i s educa ional meaning. On he o he hand, he analysis
o he way o eaching geome y shows excessi e emphasis on aining by disco e ing models, neglec ing he buil-
ding up o heo e ical bodies o knowledge. Bo h ac s demand an explo a ion o new echniques in he eaching
o geome ic p oo s; we desc ibe and analyze he use o educa i e so wa e (based on
A.I.
ecnhiques) o au o-
ma ic p oo p og ams now ope a ing.
1. LA DEMOSTRACION AUTOMATICA DE
TEOREMAS GEOMETRICOS
En los úl imos a ios se han p oducido a ances impo - puede se g ande: nos e e imos a la implan ación e in-
an es en un ema en el que se in e elacionan aspec os es igación de di e sos sis emas in o má icos que ea-
de ma emá ica pu a y de ciencias de la compu ación lizan demos ación au omá ica de eo emas en geome-
y cuya in luencia en la ense ianza de las ma emá icas ía elemen al.
ENSERANZA
DE LAS CIENCIAS,
1988, 6 (11, 61-65 61
OTROS TRABAJOS
U ilizando un lenguaje sencillo pod íamos deci que el
obje i o inal de la demos ación au omá ica en geo-
me ía consis e en log a que un o denado , al que se
k
suminis e una se ie de hipó esis y una esis, espon-
da si dicha esis es cie a o alsa; y, en caso a i ma i-
o, suminis e una demos ación de dicha esis. Es e
obje i o se abo da en la ac ualidad desde dos en oques
dis in os, usando en ambos la ayuda de los
o denado es.
El p ime en oque, que a anca en los abajos de Ta s-
ki en la década de los 30 -sob e eliminación de
cuan i i cado es-, consis e en aduci los enunciados
geome icos, po medio de coo denadas, a ó mulas al-
geb aicas. Es a aducción iene que se ealizada p e-
iamen e a la in oducción de da os en la máquina. Se
ob iene inalmen e una exp esión del ipo A =>B don-
de A
y
B son un conjun o de ecuaciones polinómicas,
como en el ejemplo siguien e (Ku zle , B., S i e , S.,
1986), que desc ibe la demos ación del caso especial
del eo ema del cí culo de Apolonio, «en un iángulo
ec ángulo el pie de la al u a de la hipo enusa y los pun-
os medios de los es lados es án en una
ci cun e encia».
Conside amos aho a la siguien e o mulación algeb ai-
ca de las hipó esis de es e p oblema.
(R
as pun a medio
de
CA)
hl
=
p
-
Y
3
1-O
h2
=
a4
-
yl
=
O
(P
as pun o -dio
de
AB) h3
=
b5
-
Y2
=
0
-
(C
es
pun e medio de BC)
hg
=
-
Y2
=
O
(longi ud
81
long
Fll)
h5
=
(y7
-
Y31Z
+
Y;
-
(Y?
-
-
(ya
-
yg12
=
O
(1-
81-
lOn.
Q)
h6
Iy7
-
y3)2
+
y:
-
(y8
-
y6)'
-Y:
=
O
( i
es á
en
AB)
h7
=
(Y,,
-
yl) y2
+
y1 Y10 0
(DH
pe pendicula
a
AB)
h8
=
-Yl Y,,
+
Y2 Y10
=
O
La
emi. admi e 1s siguien e o iulación:
(lo,,,,
Ell
=
lon.
Hn)
C
=
(y7
-
y312
+
Y;
-
(y7
-
-
-
yl0+
=
O
Po an o el eo ema que se desea comp oba puede
educi se a e i ica la e dad o alsedad de la siguien-
e exp esión:
A pa i de es a Úl ima exp esión algeb aica se pueden
u iliza di e sos algo i mos pa a decidi mecánicamen e
si la misma es e dade a o alsa.
El p ime o de ellos -sólo de in e és eó ico- se en-
cuen a en los abajos de Ta ski an es mencionados;
pe o el iempo que necesi a pa a se ejecu ado en un
o denado lo hace imp ac icable aun pa a a aca p e
blemas bas an e sencillos. Po ello el p ime algo i -
mo ejecu able e ec i amen e en un o denado es el de-
nominado de
descomposicidn algeb aica cilínd ica
(CAD), debido a Collins y que ha sido implemen ado
con las mejo as in oducidas po A non
y
Mc Callum
en un IBM 4341 en 1984. Es e p og ama es á en la ac-
ualidad disponible, con cie as es icciones, pa a g u-
pos de in es igación que lo solici en a sus au o es; aun-
que en Espaiia aún no se posee. Debido a que el iem-
po de ejecución de es e p og ama CAD sigue siendo
bas an e ele ado, se conside a como un a ance impo -
an e o o algo i mo, desa ollado po el p o eso Wu
Wen-Tsün en 1984, que pe mi e demos a au omá i-
camen e aquellos eo emas de geome ía elemen al en
los que no se haga e e encia a los axiomas de o den.
Es e algo i mo, aún no o almen e en endido desde el
pun o de is a eó ico, iene una meno complejidad
ope a i a que los an e io es; implemen ado en un HP
1000 ha pe mi ido ecien emen e la demos ación au o-
má ica de más de escien os eo emas: Desa gues, Sim-
son, Ce a, cí culo de los nue e pun os e c., en algu-
nos segundos. Una bibliog a ía bas an e comple a de
los algo i mos mencionados aquí apa ece en Kapu , D.
((Geome y Theo em P o ing using Hilbe 's Nulls e-
llensa z)). P oceed. SYMSAC 86. U. Wa e loo. 1986.
Es e en oque que es amos comen ando se ca ac e iza
po que, an e cualquie cues ión geomé ica plan eada
al o denado , és e o ece siemp e una espues a a i -
ma i a o nega i a co ec a; los pasos del algo i mo que
ejecu a el o denado cons i uyen la demos ación o e-
u ación de la cues ión; además puede p og ama se pa-
a que seiiale bajo qué hipó esis adicionales la cues ión
es
cie a. Po ejemplo: si plan eamos como eo ema que
hay que p oba que po es pun os del plano pasa al
menos una ci cun e encia, seiiala ía que es necesa io
que no es én alineados pa a su e i icación.
O o en oque adicalemn e dis in o pa a la demos a-
ción au omá ica de eo emas geomé icos u iliza los mé-
odos de la in eligencia a i icial. Aquí no se a a, ha-
blando con cie a imp ecisión, de que el o denado u i-
lice, como en el en oque an e io , un algo i mo. En es e
caso los p og amas de demos ación au omá ica inclu-
yen una base de conocimien os geomé ico o mada po
una se ie de axiomas y eo emas de la geome ía ele-
men al y unas eglas de in e encia p opo cionadas a
a és de un lenguaje de p og amación lógica. Una ez
p opues a una esis a pa i de unas hipó esis, el p o-
g ama gene a deducciones de las hipó esis usando la
base de conocimien os; es as deducciones pueden se
o no ap opiadas pa a consegui la demos ación de la
esis. De es a mane a se ob iene un á bol de deduccio-
ENSERANZA
DE
LAS
CIENCIAS,
1988,
6
(1)
OTROS TRABAJOS
nes en cascada en e las que e en ualmen e se encuen-
a el obje i o p opues o; o bien, anscu ido cie o
iempo, el p og ama econoce que no es capaz de ha-
lla la demos ación. A es a desc~ipción ex emadamen-
e simplis a del compo amien o del demos ado au o-
má ico en es e segundo en oque debemos a iadi que
el p og ama con iene, además, una se ie de es a egias
heu ís icas pa a encauza la explosión combina o ia del
á bol de deducciones
(p.
ej. consul ando a la base de
da os an es de inicia una deducción, egis ando p o-
cedimien os que no han enido éxi o en in en os p ece-
den es, desa ollando el á bol de deducciones simul á-
neamen e a pa i de las hipó esis
y
ambién de las e-
sis, ajus ando la búsqueda del obje i o en el á bol usan-
do di e sas écnicas, como las de examen en anchu a
o en p o undidad, e c.).
Un análisis más de allado del abajo exis en e en es e
campo -usando el en oque de la in eligencia a i icial
y
compa ando los dis in os p og amas- puede con-
sul a se en Coelho-Moniz (1986). Además podemos se-
Aala que en los úl imos dos aAos se conocen expe ien-
cias conc e as, aunque aún en una ase explo a o ia,
de u ilización de es os mecanismos de demos ación
au omá ica, usando PROLOG e implemen ados en mi-
c os (128 Kb), en la ense ianza de la geome ía pa a
alumnos del ni el de ense ianzas medias. Los abajos
de Ande son (1985), Gio giu i (1986)
y
Hadzikadic,
Lich enbe gue -Yun (1986) son un ejemplo de es o,
aunque oda ía con un escaso desa ollo de los aspec-
os de comunicación con el alumno (in e ace huma-
na) que conduje an a si uaciones de ap endizaje. Po
ejemplo, en el p og ama GEOM elabo ado po Coelho-
Moniz, supongamos que el alumno se plan ea la de-
mos ación o e u ación del siguien e eo ema geomé-
ico: «la ec a que une los pun os medios de las dia-
gonales de un apecio in e seca a és e en los pun os
medios de los lados no pa alelos)), es deci
Cues ión: M pun o medio de AD (aná-
logamen e pa a la in e sección de
la ec a EF con CB)
Pa a ello el p o eso in oduce las siguien es hipó esis
así como el obje i o, con enien emen e codi icados, en
el demos ado de eo emas (o al ez es a a ea es ea-
lizada po el p opio alumno si conoce los códigos).
Con ex o
(op a i o)
Da os
.
-
ec as AKB
Hipó esis
AB
//
DC
BC E pun o medio de AC
CD F pun o medio de BD
DM A
AEC
DFB
MEF
CFK
Obje i o
M es pun o medio de AD
La espues a del o denado en es e caso es simplemen-
e una colección de ases en inglés que desc iben es-
cue amen e el p ocedimien o de demos ación.
GIVEN LINES: AKB. BC. CD. DMA. AEC, DFB, MEF. CPK
GIMN A0 PARALLEL TO DC
GIVEN E MIDPOINT OP AC
GIVEN F MIDPOINT OP BD
READY
M 15 MIDPOINT OP AD TO
-
BE
-
PROVED
PROOF
:
TOP
DQUN
SEUICH:
<
DPC
=
<
BPK IDENTITY
DP
=
BF BY
-
MID
-
POINT
CDP
=
<
KBP PARALLEL
-
OR
-
ANTIPARALLEL
-
SIDES
THEREFORE: TRIANGLE DPC CONGRUENT TO TRIANGLE BFK
AS^
THERBFORE:
FC
=
PK BY
-
CONGRUENT
-
TRIANGLES
P IS YIDWINT OF CK E0
-
SIDES
E IS UIDWINT O? CA DATABASE
THEREPORE: AK PARALLEL TO EP BY TWO YIDPOINTS IN TRIANGL8 AKC
AK II
D€
DATA0ASE
M
II
a
PROMD
mFsFoRE:
M
//
DC BY
-
TWSITIVITY
-
OP
-
PARALLELISY
a
//
DC
PROVED
E IS MIDPOINT OF AC DATABASE
TWBREPORE: W IS THE MIDPOINT OP
AD
BY BISECTION O? THIRD SIDE IN TRINIGLE
*M:
THEREFORE:
U=W
BY
-
MID
-
WINT
Q.E.D.
&le-Sid -Anpls
(angula-lado-anpulol.
Se
e ie e al c i s lo de conp uencia
e npasido
po
el
p owani..
ENSEÍ~NZA DE LAS CIENCIAS, 1988,
6
(1)
OTROS TRABAJOS
Sin emba go el demos ado de eo emas de Gio -
giu i hace ya apa ece , an es de o ece la demos a-
ción, algún ipo de menú en la pan alla: po ejemplo,
jnecesi as ayuda?, ¿no necesi as ayuda? En el p ime
caso un nue o menú o ecena una pis a espec ica o
bien un lis ado de eo emas u ilizados (o simplemen e
elacionados con el ema) en e los que el sis ema ha
manejado de su base de da os o ha ido ob eniendo y
que son pe inen es pa a la demos ación. Pueden aho-
a apa ece los enunciados de es os eo emas y sus co-
ola ios más impo an es; o, en o o caso, o ece pis-
as de di e en es ni eles de di icul ad, según el luga
del esul ado pa cial en el á bol de deducciones: jsa-
bes p oba que AK es pa alelo a EF?, jsabes p oba
que el i iángulo DFC es cong uen e con el iángulo
BFK? e c.
E iden emen e queda aún un la go echo que eco e
-en las dos ap oximaciones al ema que hemos
comen ado- has a explo a o almen e las po encia-
les aplicaciones didác icas de es os a ances
ma emá icos.
2.
IMPLICACIONES DIDACTICAS DE LOS
PROGRAMAS DE DEMOSTRACION
AUTOMATICA
Una pa e de es e abajo de acomodación de es as
he amien as a las si uaciones de enseñanza/ap endi-
zaje consis e, en nues a opinión, p ecisamen e en el
análisis gene al de sus implicaciones didác icas. Aná-
lisis que esbozamos en es a pa e del a ículo conside-
ando es aspec os: ámbi o donde se ci cunsc ibi ían
ales imglicaciones, consecuencias eó icas y obse a-
ciones nie odológicas de i adas de las mismas.
El p ime aspec o hace e e encia, na u almen e, al pa-
pel de la enseñanza de las écnicas de demos ación (o
del p opio concep o de demos ación) en los obje i os
de la enseñanza ac ual de las ma emá icas. Podemos
cons a a el in e és, pa en e en documen os de nues-
as au o idades educa i as y e lejo de una co ien e
amplia de opinión en e los p o eso es, po explici a
como obje i os de es a enseñanza la in oducción en
el mé odo cien í ico (de ini , conje u a , demos a ) y
en el azonamien o lógico (MEC, sin echa). Po o a
pa e se hace hincapié, me odológicamen e, en el pa-
pel de las ma emá icas «como ú il ins umen o pa a la
esolucicin de p oblemas)) (A ie a, 1986), en (( esal a
el sen ido p ác ico de las ma emá icas)) (MEC, 1984),
lo que se aduce -po ejemplo- en la ealización de
ac i idades geomé icas en oncadas en la ida co idia-
na del alumno. El ac ual desa ollo de un en oque heu-
ís ico en la enseñanza de las ma emá icas puede con-
empla se -además de desde o os pun os de is a-
como una adecuada sín esis de los obje i os ( azona-
mien o lbgico-cien i ico) y mé odos ( esolución de p o-
blemas in e esan es). Como seííaló Polya hace muchos
años, sólo las ma emá icas p opo cionan las mejo es
opo unidades pa a que los alumnos no uni e si a ios
se en en en a au én icos p oblemas con posibilidad de
esol e los en un ni el au én ico cien í ico.
Indudablemen e la igencia de es as endencias didác-
icas debe conlle a ambién una e i alización del uso
de demos aciones en geome ía elemen al -después
de odo, las dis in as es a egias pa a esol e un p o-
blema geomé ico conduci ían a una p ueba de la so-
lución adop ada. Pa ece, pues, que es opo uno con-
clui la ac ualidad e in e és del ema de la enseñanza
de la demos ación en geome ía -y en pa icula de
los aspec os que se e ie en al posible uso didác ico de
ma e ial in o má ico que e ec úa ales demos aciones.
Sin emba go -y aquí en amos en la segunda pa e de
nues o análisis- no es p ecisamen e la ía del uso de
algo i mos o de mecanismos que los sopo an la más
p óxima a un en oque heu ís ico. Sin duda la ap oxi-
mación que hemos comen ado median e écnicas de In-
eligencia A i icial se ace ca algo a al en oque en el
plan eamien o de los c eado es de los p og amas, aun-
que no en el in pa a el que és os se conciben: la de-
mos ación au omá ica. Es a e lexión pa ece in alida
la posibilidad de que es as écnicas in o má icas en-
gan una aplicación en la enseñanza ac ual. En ende-
mos que al in alidación es sólo apa en emen e y que
exis en algunas consecuencias undamen ales que se de-
i an de la me a exis encia y e ec i idad de es os pa-
que es de demos ación.
En p ime luga ello implica una ma ización adical es-
pec o de la elación -mencionada an o en los docu-
men os del MEC ci ados, como en la opinión de Pol-
ya ecogida a iba- en e ap endizaje de las ma emá-
icas e iniciación al mé odo cien i ico o al azonamien o
lógico. Indudablemen e uno y o o se en en an en la
ida co idiana o en las ciencias (de cualquie índole),
habi ualmen e, con p oblemas pa a los que no se co-
noce «a pno i)) un mecanismo de esolución. Sin em-
ba go en enamos a nues os alumnos, p e e en emen-
e, en la esolución de p oblemas que sí poseen e ec i-
amen e (y no sólo eó icamen e) ales mecanismos.
Aún sin cues iona lo adecuado de ese campo de en-
enamien o, jno se ía más hones o ad e i -a p o-
eso es y alum ios- de la adical di e encia epis emo-
lógica en e uno y o o ipo de si uaciones?
Po o a pa e, si la apa ición de las calculado as su-
puso (y aún supone) un deba e en e los p o esionales
de la enseñanza sob e el papel y los lími es del ap en-
dizaje de las des ezas del cálculo a i mé ico, jno de-
be ía susci a se o o deba e simila en el u u o sob e
la esolución de p oblemas geomé icos? ¿Pod án o no
pod án nues os alumnos esol e las a eas p opues-
as -como el p oblema ípico de insc ibi un cuad a-
do en un iángulo, manejado po Polya- usando un
o denado pe sonal con un paque e de demos ación
au omá ica?
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS,
1988,
6
(1)
OTROS TRABAJOS
Na u almen e, en una enseñanza heu ís ica de las
ma emá icas el conocimien o de la solución a un
p oblema no es p ecisamen e el obje i o inal sino el
ap endizaje de las écnicas que conducen a su descu-
b imien o (aunque ambién an es se decía que el obje-
i o inal de la ealización de ediosas ope aciones a i -
mé icas no e a el esul ado sino el eje cicio men al in-
oluc ado).
Y
sin emba go la posibilidad de sabe , con
una máquina auxilia , la solución puede elimina
mo i ación..
.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
ANDERSON, J.R., BOYLE C.F., YOST G.,
1985,
The Geo-
me y Tu o ,
P oceedings IJCAI'85,
Los Angeles, pp.
1-7.
ARRIETA, J.,
1986,
La eo ía de Piage y el desa ollo Cu-
icula en Ma emá icas. A De las es uc u as a las un-
ciones.
Ac as Simposio Psicología del Ap endizaje y De-
sa ollo.
O iedo.
COELHO, H., MONIZ PEREIRA, L.,
1986,
Au oma ed
Reasoning in Geome y Theo em P o ing wi h P olog.
Jou nal o Au oma ed Reasoning
2,
pp.
229-290.
Cabe, en in, explo a la acomodación me odológica
de es os demos ado es au omá icos, en iqueciendo con
ellos las écnicas ac uales de enseñanza. Implemen a
los modos de comunicación en si uaciones de ap endi-
zaje es
in o ná icamen e
sencillo (más que c ea los
p og amas de demos ación), pe o ex ao dina iamen e
complejo desde un pun o de is a didác ico
y
exige una
in es igación que apenas ha comenzado (aunque éa-
se lo que hemos comen ado sob e el p og ama de
Gio giu i).
GIORGIUTTI, I.,
1986,
Comunicación al IREM Uni e si-
dad de Rennes.
HADZIKADIC, M., LICHTENBERGER, F., YUN, D.Y.,
1986,
An Applica ion o Knowledge
-
Base Technology
in Educa ion:
A
Geome y Theo em P o e .
Ac as
SYMSAC
86.
Uni e si y o Wa e loo.
MEC, (sin echa).
Hacia la Re o ma.
Di ección G al. de
EE.MM. Mad id.
MEC,
1984,
An ep oyec o pa a la e o ma del Ciclo Supe-
io de la
E.G.B.
Di ección Gene al de Educación Básica.