La demostración automática de teoremas en Geometría elemental y su repercusión didáctica

OTROS TRABATOS LA DEMOSTRACION AUTOMATICA DE TEOREMAS EN GEOMETRIA ELEMENTAL Y SU REPERCUSION DIDACTICA MIRANDA DIAZ, 1. Escuela Uni e si a ia de Fo mación del P o eso ado de EGB. Uni e sidad de Can ab ia. San ande . SUMMARY The ele an ole o alida o y asks in he adi ional eaching o geome y is cu en ly app oached as a me e in oduc ion o logical easoning. The exis ence o au oma ic p oo algo i hms o any elemen a y geome y heo- em and hei ecen implemen a ion in compu e s gi es a peculia cha ac e o he kind o easoning used in his heo y -one o he ew being decidible- and modi ies i s educa ional meaning. On he o he hand, he analysis o he way o eaching geome y shows excessi e emphasis on aining by disco e ing models, neglec ing he buil- ding up o heo e ical bodies o knowledge. Bo h ac s demand an explo a ion o new echniques in he eaching o geome ic p oo s; we desc ibe and analyze he use o educa i e so wa e (based on A.I. ecnhiques) o au o- ma ic p oo p og ams now ope a ing. 1. LA DEMOSTRACION AUTOMATICA DE TEOREMAS GEOMETRICOS En los úl imos a ios se han p oducido a ances impo - puede se g ande: nos e e imos a la implan ación e in- an es en un ema en el que se in e elacionan aspec os es igación de di e sos sis emas in o má icos que ea- de ma emá ica pu a y de ciencias de la compu ación lizan demos ación au omá ica de eo emas en geome- y cuya in luencia en la ense ianza de las ma emá icas ía elemen al. ENSERANZA DE LAS CIENCIAS, 1988, 6 (11, 61-65 61 OTROS TRABAJOS U ilizando un lenguaje sencillo pod íamos deci que el obje i o inal de la demos ación au omá ica en geo- me ía consis e en log a que un o denado , al que se k suminis e una se ie de hipó esis y una esis, espon- da si dicha esis es cie a o alsa; y, en caso a i ma i- o, suminis e una demos ación de dicha esis. Es e obje i o se abo da en la ac ualidad desde dos en oques dis in os, usando en ambos la ayuda de los o denado es. El p ime en oque, que a anca en los abajos de Ta s- ki en la década de los 30 -sob e eliminación de cuan i i cado es-, consis e en aduci los enunciados geome icos, po medio de coo denadas, a ó mulas al- geb aicas. Es a aducción iene que se ealizada p e- iamen e a la in oducción de da os en la máquina. Se ob iene inalmen e una exp esión del ipo A =>B don- de A y B son un conjun o de ecuaciones polinómicas, como en el ejemplo siguien e (Ku zle , B., S i e , S., 1986), que desc ibe la demos ación del caso especial del eo ema del cí culo de Apolonio, «en un iángulo ec ángulo el pie de la al u a de la hipo enusa y los pun- os medios de los es lados es án en una ci cun e encia». Conside amos aho a la siguien e o mulación algeb ai- ca de las hipó esis de es e p oblema. (R as pun a medio de CA) hl = p - Y 3 1-O h2 = a4 - yl = O (P as pun o -dio de AB) h3 = b5 - Y2 = 0 - (C es pun e medio de BC) hg = - Y2 = O (longi ud 81 long Fll) h5 = (y7 - Y31Z + Y; - (Y? - - (ya - yg12 = O (1- 81- lOn. Q) h6 Iy7 - y3)2 + y: - (y8 - y6)' -Y: = O ( i es á en AB) h7 = (Y,, - yl) y2 + y1 Y10 0 (DH pe pendicula a AB) h8 = -Yl Y,, + Y2 Y10 = O La emi. admi e 1s siguien e o iulación: (lo,,,, Ell = lon. Hn) C = (y7 - y312 + Y; - (y7 - - - yl0+ = O Po an o el eo ema que se desea comp oba puede educi se a e i ica la e dad o alsedad de la siguien- e exp esión: A pa i de es a Úl ima exp esión algeb aica se pueden u iliza di e sos algo i mos pa a decidi mecánicamen e si la misma es e dade a o alsa. El p ime o de ellos -sólo de in e és eó ico- se en- cuen a en los abajos de Ta ski an es mencionados; pe o el iempo que necesi a pa a se ejecu ado en un o denado lo hace imp ac icable aun pa a a aca p e blemas bas an e sencillos. Po ello el p ime algo i - mo ejecu able e ec i amen e en un o denado es el de- nominado de descomposicidn algeb aica cilínd ica (CAD), debido a Collins y que ha sido implemen ado con las mejo as in oducidas po A non y Mc Callum en un IBM 4341 en 1984. Es e p og ama es á en la ac- ualidad disponible, con cie as es icciones, pa a g u- pos de in es igación que lo solici en a sus au o es; aun- que en Espaiia aún no se posee. Debido a que el iem- po de ejecución de es e p og ama CAD sigue siendo bas an e ele ado, se conside a como un a ance impo - an e o o algo i mo, desa ollado po el p o eso Wu Wen-Tsün en 1984, que pe mi e demos a au omá i- camen e aquellos eo emas de geome ía elemen al en los que no se haga e e encia a los axiomas de o den. Es e algo i mo, aún no o almen e en endido desde el pun o de is a eó ico, iene una meno complejidad ope a i a que los an e io es; implemen ado en un HP 1000 ha pe mi ido ecien emen e la demos ación au o- má ica de más de escien os eo emas: Desa gues, Sim- son, Ce a, cí culo de los nue e pun os e c., en algu- nos segundos. Una bibliog a ía bas an e comple a de los algo i mos mencionados aquí apa ece en Kapu , D. ((Geome y Theo em P o ing using Hilbe 's Nulls e- llensa z)). P oceed. SYMSAC 86. U. Wa e loo. 1986. Es e en oque que es amos comen ando se ca ac e iza po que, an e cualquie cues ión geomé ica plan eada al o denado , és e o ece siemp e una espues a a i - ma i a o nega i a co ec a; los pasos del algo i mo que ejecu a el o denado cons i uyen la demos ación o e- u ación de la cues ión; además puede p og ama se pa- a que seiiale bajo qué hipó esis adicionales la cues ión es cie a. Po ejemplo: si plan eamos como eo ema que hay que p oba que po es pun os del plano pasa al menos una ci cun e encia, seiiala ía que es necesa io que no es én alineados pa a su e i icación. O o en oque adicalemn e dis in o pa a la demos a- ción au omá ica de eo emas geomé icos u iliza los mé- odos de la in eligencia a i icial. Aquí no se a a, ha- blando con cie a imp ecisión, de que el o denado u i- lice, como en el en oque an e io , un algo i mo. En es e caso los p og amas de demos ación au omá ica inclu- yen una base de conocimien os geomé ico o mada po una se ie de axiomas y eo emas de la geome ía ele- men al y unas eglas de in e encia p opo cionadas a a és de un lenguaje de p og amación lógica. Una ez p opues a una esis a pa i de unas hipó esis, el p o- g ama gene a deducciones de las hipó esis usando la base de conocimien os; es as deducciones pueden se o no ap opiadas pa a consegui la demos ación de la esis. De es a mane a se ob iene un á bol de deduccio- ENSERANZA DE LAS CIENCIAS, 1988, 6 (1) OTROS TRABAJOS nes en cascada en e las que e en ualmen e se encuen- a el obje i o p opues o; o bien, anscu ido cie o iempo, el p og ama econoce que no es capaz de ha- lla la demos ación. A es a desc~ipción ex emadamen- e simplis a del compo amien o del demos ado au o- má ico en es e segundo en oque debemos a iadi que el p og ama con iene, además, una se ie de es a egias heu ís icas pa a encauza la explosión combina o ia del á bol de deducciones (p. ej. consul ando a la base de da os an es de inicia una deducción, egis ando p o- cedimien os que no han enido éxi o en in en os p ece- den es, desa ollando el á bol de deducciones simul á- neamen e a pa i de las hipó esis y ambién de las e- sis, ajus ando la búsqueda del obje i o en el á bol usan- do di e sas écnicas, como las de examen en anchu a o en p o undidad, e c.). Un análisis más de allado del abajo exis en e en es e campo -usando el en oque de la in eligencia a i icial y compa ando los dis in os p og amas- puede con- sul a se en Coelho-Moniz (1986). Además podemos se- Aala que en los úl imos dos aAos se conocen expe ien- cias conc e as, aunque aún en una ase explo a o ia, de u ilización de es os mecanismos de demos ación au omá ica, usando PROLOG e implemen ados en mi- c os (128 Kb), en la ense ianza de la geome ía pa a alumnos del ni el de ense ianzas medias. Los abajos de Ande son (1985), Gio giu i (1986) y Hadzikadic, Lich enbe gue -Yun (1986) son un ejemplo de es o, aunque oda ía con un escaso desa ollo de los aspec- os de comunicación con el alumno (in e ace huma- na) que conduje an a si uaciones de ap endizaje. Po ejemplo, en el p og ama GEOM elabo ado po Coelho- Moniz, supongamos que el alumno se plan ea la de- mos ación o e u ación del siguien e eo ema geomé- ico: «la ec a que une los pun os medios de las dia- gonales de un apecio in e seca a és e en los pun os medios de los lados no pa alelos)), es deci Cues ión: M pun o medio de AD (aná- logamen e pa a la in e sección de la ec a EF con CB) Pa a ello el p o eso in oduce las siguien es hipó esis así como el obje i o, con enien emen e codi icados, en el demos ado de eo emas (o al ez es a a ea es ea- lizada po el p opio alumno si conoce los códigos). Con ex o (op a i o) Da os . - ec as AKB Hipó esis AB // DC BC E pun o medio de AC CD F pun o medio de BD DM A AEC DFB MEF CFK Obje i o M es pun o medio de AD La espues a del o denado en es e caso es simplemen- e una colección de ases en inglés que desc iben es- cue amen e el p ocedimien o de demos ación. GIVEN LINES: AKB. BC. CD. DMA. AEC, DFB, MEF. CPK GIMN A0 PARALLEL TO DC GIVEN E MIDPOINT OP AC GIVEN F MIDPOINT OP BD READY M 15 MIDPOINT OP AD TO - BE - PROVED PROOF : TOP DQUN SEUICH: < DPC = < BPK IDENTITY DP = BF BY - MID - POINT CDP = < KBP PARALLEL - OR - ANTIPARALLEL - SIDES THEREFORE: TRIANGLE DPC CONGRUENT TO TRIANGLE BFK AS^ THERBFORE: FC = PK BY - CONGRUENT - TRIANGLES P IS YIDWINT OF CK E0 - SIDES E IS UIDWINT O? CA DATABASE THEREPORE: AK PARALLEL TO EP BY TWO YIDPOINTS IN TRIANGL8 AKC AK II D€ DATA0ASE M II a PROMD mFsFoRE: M // DC BY - TWSITIVITY - OP - PARALLELISY a // DC PROVED E IS MIDPOINT OF AC DATABASE TWBREPORE: W IS THE MIDPOINT OP AD BY BISECTION O? THIRD SIDE IN TRINIGLE *M: THEREFORE: U=W BY - MID - WINT Q.E.D. &le-Sid -Anpls (angula-lado-anpulol. Se e ie e al c i s lo de conp uencia e npasido po el p owani.. ENSEÍ~NZA DE LAS CIENCIAS, 1988, 6 (1) OTROS TRABAJOS Sin emba go el demos ado de eo emas de Gio - giu i hace ya apa ece , an es de o ece la demos a- ción, algún ipo de menú en la pan alla: po ejemplo, jnecesi as ayuda?, ¿no necesi as ayuda? En el p ime caso un nue o menú o ecena una pis a espec ica o bien un lis ado de eo emas u ilizados (o simplemen e elacionados con el ema) en e los que el sis ema ha manejado de su base de da os o ha ido ob eniendo y que son pe inen es pa a la demos ación. Pueden aho- a apa ece los enunciados de es os eo emas y sus co- ola ios más impo an es; o, en o o caso, o ece pis- as de di e en es ni eles de di icul ad, según el luga del esul ado pa cial en el á bol de deducciones: jsa- bes p oba que AK es pa alelo a EF?, jsabes p oba que el i iángulo DFC es cong uen e con el iángulo BFK? e c. E iden emen e queda aún un la go echo que eco e -en las dos ap oximaciones al ema que hemos comen ado- has a explo a o almen e las po encia- les aplicaciones didác icas de es os a ances ma emá icos. 2. IMPLICACIONES DIDACTICAS DE LOS PROGRAMAS DE DEMOSTRACION AUTOMATICA Una pa e de es e abajo de acomodación de es as he amien as a las si uaciones de enseñanza/ap endi- zaje consis e, en nues a opinión, p ecisamen e en el análisis gene al de sus implicaciones didác icas. Aná- lisis que esbozamos en es a pa e del a ículo conside- ando es aspec os: ámbi o donde se ci cunsc ibi ían ales imglicaciones, consecuencias eó icas y obse a- ciones nie odológicas de i adas de las mismas. El p ime aspec o hace e e encia, na u almen e, al pa- pel de la enseñanza de las écnicas de demos ación (o del p opio concep o de demos ación) en los obje i os de la enseñanza ac ual de las ma emá icas. Podemos cons a a el in e és, pa en e en documen os de nues- as au o idades educa i as y e lejo de una co ien e amplia de opinión en e los p o eso es, po explici a como obje i os de es a enseñanza la in oducción en el mé odo cien í ico (de ini , conje u a , demos a ) y en el azonamien o lógico (MEC, sin echa). Po o a pa e se hace hincapié, me odológicamen e, en el pa- pel de las ma emá icas «como ú il ins umen o pa a la esolucicin de p oblemas)) (A ie a, 1986), en (( esal a el sen ido p ác ico de las ma emá icas)) (MEC, 1984), lo que se aduce -po ejemplo- en la ealización de ac i idades geomé icas en oncadas en la ida co idia- na del alumno. El ac ual desa ollo de un en oque heu- ís ico en la enseñanza de las ma emá icas puede con- empla se -además de desde o os pun os de is a- como una adecuada sín esis de los obje i os ( azona- mien o lbgico-cien i ico) y mé odos ( esolución de p o- blemas in e esan es). Como seííaló Polya hace muchos años, sólo las ma emá icas p opo cionan las mejo es opo unidades pa a que los alumnos no uni e si a ios se en en en a au én icos p oblemas con posibilidad de esol e los en un ni el au én ico cien í ico. Indudablemen e la igencia de es as endencias didác- icas debe conlle a ambién una e i alización del uso de demos aciones en geome ía elemen al -después de odo, las dis in as es a egias pa a esol e un p o- blema geomé ico conduci ían a una p ueba de la so- lución adop ada. Pa ece, pues, que es opo uno con- clui la ac ualidad e in e és del ema de la enseñanza de la demos ación en geome ía -y en pa icula de los aspec os que se e ie en al posible uso didác ico de ma e ial in o má ico que e ec úa ales demos aciones. Sin emba go -y aquí en amos en la segunda pa e de nues o análisis- no es p ecisamen e la ía del uso de algo i mos o de mecanismos que los sopo an la más p óxima a un en oque heu ís ico. Sin duda la ap oxi- mación que hemos comen ado median e écnicas de In- eligencia A i icial se ace ca algo a al en oque en el plan eamien o de los c eado es de los p og amas, aun- que no en el in pa a el que és os se conciben: la de- mos ación au omá ica. Es a e lexión pa ece in alida la posibilidad de que es as écnicas in o má icas en- gan una aplicación en la enseñanza ac ual. En ende- mos que al in alidación es sólo apa en emen e y que exis en algunas consecuencias undamen ales que se de- i an de la me a exis encia y e ec i idad de es os pa- que es de demos ación. En p ime luga ello implica una ma ización adical es- pec o de la elación -mencionada an o en los docu- men os del MEC ci ados, como en la opinión de Pol- ya ecogida a iba- en e ap endizaje de las ma emá- icas e iniciación al mé odo cien i ico o al azonamien o lógico. Indudablemen e uno y o o se en en an en la ida co idiana o en las ciencias (de cualquie índole), habi ualmen e, con p oblemas pa a los que no se co- noce «a pno i)) un mecanismo de esolución. Sin em- ba go en enamos a nues os alumnos, p e e en emen- e, en la esolución de p oblemas que sí poseen e ec i- amen e (y no sólo eó icamen e) ales mecanismos. Aún sin cues iona lo adecuado de ese campo de en- enamien o, jno se ía más hones o ad e i -a p o- eso es y alum ios- de la adical di e encia epis emo- lógica en e uno y o o ipo de si uaciones? Po o a pa e, si la apa ición de las calculado as su- puso (y aún supone) un deba e en e los p o esionales de la enseñanza sob e el papel y los lími es del ap en- dizaje de las des ezas del cálculo a i mé ico, jno de- be ía susci a se o o deba e simila en el u u o sob e la esolución de p oblemas geomé icos? ¿Pod án o no pod án nues os alumnos esol e las a eas p opues- as -como el p oblema ípico de insc ibi un cuad a- do en un iángulo, manejado po Polya- usando un o denado pe sonal con un paque e de demos ación au omá ica? ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1988, 6 (1) OTROS TRABAJOS Na u almen e, en una enseñanza heu ís ica de las ma emá icas el conocimien o de la solución a un p oblema no es p ecisamen e el obje i o inal sino el ap endizaje de las écnicas que conducen a su descu- b imien o (aunque ambién an es se decía que el obje- i o inal de la ealización de ediosas ope aciones a i - mé icas no e a el esul ado sino el eje cicio men al in- oluc ado). Y sin emba go la posibilidad de sabe , con una máquina auxilia , la solución puede elimina mo i ación.. . REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS ANDERSON, J.R., BOYLE C.F., YOST G., 1985, The Geo- me y Tu o , P oceedings IJCAI'85, Los Angeles, pp. 1-7. ARRIETA, J., 1986, La eo ía de Piage y el desa ollo Cu- icula en Ma emá icas. A De las es uc u as a las un- ciones. Ac as Simposio Psicología del Ap endizaje y De- sa ollo. O iedo. COELHO, H., MONIZ PEREIRA, L., 1986, Au oma ed Reasoning in Geome y Theo em P o ing wi h P olog. Jou nal o Au oma ed Reasoning 2, pp. 229-290. Cabe, en in, explo a la acomodación me odológica de es os demos ado es au omá icos, en iqueciendo con ellos las écnicas ac uales de enseñanza. Implemen a los modos de comunicación en si uaciones de ap endi- zaje es in o ná icamen e sencillo (más que c ea los p og amas de demos ación), pe o ex ao dina iamen e complejo desde un pun o de is a didác ico y exige una in es igación que apenas ha comenzado (aunque éa- se lo que hemos comen ado sob e el p og ama de Gio giu i). GIORGIUTTI, I., 1986, Comunicación al IREM Uni e si- dad de Rennes. HADZIKADIC, M., LICHTENBERGER, F., YUN, D.Y., 1986, An Applica ion o Knowledge - Base Technology in Educa ion: A Geome y Theo em P o e . Ac as SYMSAC 86. Uni e si y o Wa e loo. MEC, (sin echa). Hacia la Re o ma. Di ección G al. de EE.MM. Mad id. MEC, 1984, An ep oyec o pa a la e o ma del Ciclo Supe- io de la E.G.B. Di ección Gene al de Educación Básica.