OTROS
TRABAJOS
I
UNA INVESTIGACION DEL APRENDIZAJE
DEL CALCULO ARITMETICO(*)
l
LAMARCA PARIS, J.Ma.
C up
A es a.
I.R.
San1
Josep
de
Calassanq.
I
(*)
Es e abajo o ma pa e de una in es igación mas amplia que el G upo A es a es á lle ando a cabo con
el sopo e del ICE de la Uni e sidad de Ba celona.
SUMMARY
The aim o his a icle is ha o showing a speci ic app oach in he ~idac ics o A i hme ic Calculus, and he
esulis ha ha e been achie ed using
i
wi h abou
300
s uden s in he i s yea o
BUP;
we also wan lo show
ce ain c i e ia which could allow
us
o imp o e ou me hod.
Such c i e ia a e based bo h on he ealiza ion o he didac jc me hod i sel and on he assump ion o ce ain
cogni i e ac o s which ha e g ea in luence on he lea nin o A i h ne ic Calculus.
Th oughou he de eloping o ou app oach
in
he Didac ics
i
A i hme ic Calculus we ha e emphasized he sec-
ions de o ed o he eaching o calculus, e o enalysis and calculus p oblem sol ing (acco ding o Polya).
INTRODUCCION
En es e a iculo se p e ende da a conoce una apo a- e, el
obje i o
del mismo consis e en la exposición de
ción a la in es igacibn de la ense ianza y del ap endi- una
«Didác ica
de
cálculo a i mé ico»
especi ica
(D.),
zaje en el campo del cAlculo a i mé ico. Conc e amen- de los
esul ados
que con su aplicación se han ob eni-
ENSEÑANZA
DE
LAS CIENCIAS,
1985.
pp.
121-130
121
OTROS TRABAJOS
do
y
de unos
c i e ios de modi icación
que pe mi an
mejo a la.
Po cues iones de espacio hemos c eído con enien e
e ec ua un esumen de la
D.
y
no de ene nos en cues-
iones de de alle (1). In e esa ambi n obse a que di-
cha
D.
se ha aplicado a unos
300
alumnos de
lo
de
B.U.P.
de es Ins i u os de Ba celona
(2)
po miem-
b os del G up A es a al comienzo del cu so 83/84.
En lo ie e en e a los c i e ios de modi icación dis in-
guimos dos ipos: po un lado, los que se desp enden
de la p opia expe iencia ealizada
y
que denominamos
c i e ios in e nos
( ales como, P.e., a iaciones de iem-
po, con ol del abajo del alumno, e c.); po o o,
aquellos que se ob engan de un conocimien o de los ac-
o es cogni i os que más in luencia ienen en los esul-
ados de la
D.
Es os úl imos (que llamamos
c i e ios
ex e nos),
po su p opia na u aleza, pod án i se con-
c e ando a medida que a ance la in es igación especi-
ica que el G up A es a es á lle ando a cabo desde los
inicios del p esen e cu so (3); po el momen o, sólo se-
a posible adelan a un limi ado núme o de conclusio-
nes p o isionales.
Llegados a es e pun o, podemos explici a las es ca-
ac e ís icas de la D. que conside amos más esenciales:
(A) En p ime luga , p e endemos que sea
ans e i-
ble,
es deci , que pueda se u ilizada po cualquie p o-
eso de Ma emá icas; de ahí que, en la e sión in e-
g a, se expongan con de alle las dis in as ases de la
misma, sus espec i as du aciones, e c.
I
(B) En segundo luga , debe se posible
e alua la ob-
je i amen e;
así pues, se han diseñado p uebas pa ale-
las (una inicial, que denominamos)) P ueba mo»
-
cons i uye ei-Ap. 1
-
y o a inal) a in de pode dis-
pone de algún ipo de medida de su e ec i idad (c .
2.2.).
íC) En e ce luga , se a a de una D.
esencialmen e
modi icable;
es o signi ica que p e endemos ap oxima -
nos en e apas sucesi as a un ni el óp imo de e icacia.
En es e pun o es donde más se e, la necesidad de acce-
de a unos c i e ios. lo más obje i os posible de modi-
icación (c . 3.1. y 3.2.).
3.
RESUMEN
DE
LA DIDACTICA PROPUESTA
_
1.0.
In oducción
Con la p esen e
D.
se p e ende alcanza
es obje i os
cuyos ni eles de di icul ad son, en p incipio, p og esi-
amen e c ecien es (c . 2.1).
En p ime luga ,
se in en a consegui que los alumnos
alcancen unos conocimien os
y
una segu idad mínimos
en el cálculo a i mé ico elemen al. Su g ado de di icul-
ad se conc e a en la «P ueba mo» (Ap.
1).
En nues a opinión, lo undamen al
es
que 10s
alum-
nos adquie an un dominio sa is ac o io del cálculo,
aunque pa a ello debamos sac i ica , en cie a medi-
da, el igo concep ual en la p esen ación de los núme-
os acionales e i acionales. De hecho, una in oduc-
ci6n adecuada de dichos núme os ampoco c eemos que
sea necesa io ealiza la en
1
de BUP,
y
más bien nos
inclinamos a sos ene que bas a ea i ma sucin amen e
unos concep os con los que el alumno es i ya amilia-
izado desde la EGB, a in de que ap endan a mane-
ja los con sol u a.
No c eemos, sin emba go, que se deban ense ia s6l0
unos mínimos udimen os de cálculo; abandona la
as-
pi ación de que los alumnos adquie an un dominio
e ec i o de écnicas de cálculo con un g ado de com-
plejidad más ele ado,
lo cual cons i uye nues o segun-
do obje i o,
es abona las insegu idades del u u o
alumno de COU que no se a e e á a simpli ica una
de i ada o que acila á en la esolución de los de e -
minan es. De ahí pues, que se in oduzcan eje cicios
de longi ud y di icul ad conside able, que pueden e -
se e lejadas en la que denominamos
«P ueba de Ni-
el
A»
(PRNA, y que igu a en el Ap. 11).
La ealización de dichos eje cicios es, en muchos ca-
sos, ex ao dina iamen e á ida y engo osa; ob iamen-
e, el alumno no es á mo i ado pa a e ec ua unos cál-
culos pesados e in e minables cuya aplicación p ác ica
conside a, en el mejo de los casos, dudosa. Desde lue-
go, pa ece bas an e a i icioso imagina si uaciones ea-
les en las que ales cálculos uesen necesa ios; pe o aún
admi iéndolas no hay, desde la pe spec i a del alu n-
nos, a gumen os que apoyen la penosa ealización de
los mismos en e al ácil uso de la calculado a de
bolsillo.
Así pues, la con eniencia de inclui es e obje i o en una
didác ica de calculo a i mé ico es discu ible; en nues-
a opinión, sin emba go, exis en azones que
pueden
jus i ica sil inclusión; conc e amen e, des aca emos
dos:
(a) No es posible abo da p oblemas ma emá icos de
cie a en egadu a si el cálculo cons i uye un obs áculo
en el camino de su esolución, y el alumno debe se ple-
namen e conscien e de es e hecho.
(b) Pa ece azonable a i ma que los ac o es cogni i-
os que mayo ele ancia ienen en la capacidad de cal-
cula de un alumno an a se desa ollados ap eciable-
men e a a és de un a amien o su icien emen e in-
ensi o del calculo an m ico. El conocimien o de al-
gunos de es os ac o es (que pod i ob ene se con la
in-
es igación especí ica que es á lle ando a cabo el Gnip
A es a -c . no a (3)-) pe mi i á da la su icien e e-
le ancia a dicha a i mación (c . 3.2).
Finalmen e, deseamos alcanza un
e ce obje i o.
ES-
e se conc e a en log a que el alumno sea capaz de e-
sol
Po
m<
bo
de
Si
si
SO
i
(c!
a
CL
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS
I
OTROS
TRABAXIS
.
sol e cualquie
p oblema
de cálculo en el sen ido de
Polya, es o
es,
aqu l
cuya
esoluci6n
se
desa olla en
cua o
aaes
de uiidas: comp ensión del enunciado, ela-
bo ación de un plan, ejecuci6n del mismo
y
e aluación
de odo el p oceso (4).
Sin duda, es a me a
es
ealmen e ambiciosa. C eemos,
sin emba go, que con iene ene en cuen a que la c-
solución de e dade os p oblemas de dlculo es á jus-
i icada no s61o po lo que obse ábamos an e io men e
(c . el comen a io (b) p eceden e) sino ambikn po a-
a se de una inmedia a aplicación de las écniw de cál-
culo ecien emen e ap endidas (po lo que Cs as se
consolidan).
Desde el pun o de is a
me odoldgico,
en la
D.
se dis-
inguen
seis
me:
F.
1:
Fundamen os d icos, F.2: En-
se ianza de écnicas de cálculo,
F.3:
De ección de e o-
es aislados y den o de un con ex o de ope aciones a i -
mé icas, F.4: T a amien o de la p oducción di e gen-
e
y
esoluci6n de p oblemas, F.5: ConsolidacMn y e-
paso y
F.6:
Realización de las pmebas de con ol.
l
Comen a emos cada una de ellas po sepa ado. Se in-
cluyen ambién unos apéndices en los que igu an las
p uebas
y
los eje cicios
y
p oblemas más signi ica i os
pa a pe mi i una co ec a comp ensión de oda la D.
1
.l.
Fases de la Didhc ica
1.1.1.
Fase
1:
Fundamen os eó icos
En nues a opinión, la o ma de p esen a los con eni-
dos eó icos básicos no
es
especialmen e ele an e, po
lo que hemos omi ido expone un guión de allado de
los concep os undamen ales a a a . Sin emba go,
y
a in de que el p o eso pueda ene un pun o de e e-
encia pa a u u as e lexiones, se ha incluido una co-
lección exhaus i a de cues iones, que cub e p ác ica-
men e odo el complejo de con enidos básicos que el
alumno debe domina an es de pasa a ni eles supe-
io es ( éase en el Ap. 111 una mues a de las mismas).
Dicha lis a de p egun as co as elemen ales se puede
comen a en clase ac i amen e, en base a las espues-
as dadas po los p opios alumnos a cada cues ión.
1-a du ación o al de es a ase es de unas seis ho as.
1.1.2.
Fase
2:
Enseñanza de écnicas de c llculo
En es a ase
se
a a de p opo ciona
al
alumno el do-
minio de las écnicas undamen ales de dlculo. Pa a
ello se al e na la exposición de los ejemplos in oduc-
o ios de cada écnica con eje cicios de consolidación,
du an e un mhimo de once sesiones de una ho a. Con-
c e amen e,
se
dedican seis de ellas a explica seis ejem-
plos de cálculo con acciones
y
cinco a de alla
la
e-
solución de cinco ejemplos de cálculo con adicales ( e
el
Ap. 111).
Todos los ejemplos y eje cicios u ilizados en
es a
ase
se
ca ac e izan po el hecho de que
las
écnicas de
cl-
culo in olunadas
en
ellos
se
desp enden dd p opio
as-
pec o o mal del enunciado o bien es án explici adas
cla amen e en él (p.e., «Racionaliza
la
acción
...
»).
1
1.1.3
Fase
3:
De ección de e o es
(DDE)
aislados
y
den o
de
un con ex o de ope aciones
n i mC icas
La. inclusión de es a ase iene como inalidad úl ima
po encia la capacidad de au oc i ica del alumno. Sin
duda, la ap i ud de c i ica unos esul ados o unos cál-
culos in e medios es decisi a pa a la co ec a ealiza-
ción de las ope aciones: más que de e i a los e o es,
se a a de da se cuen a de los que ya se hayan podido
come e . En es e sen ido, alcanza dicha me a es c u-
cial pa a consegui los es obje i os p opues os en es-
a D.
El desa ollo de es a ase
se
lle a a cabo a a és del
a amien o de dos ipos de eje cicios: los de DDE ais-
lados y los de DDE den o de un con ex o de ope a-
ciones a i mé icas. Ejemplos del p ime ipo pueden ob-
se a se en la
2'
pa e de la «Pmeba m. (Ap.l.), dado
que hemos conside ado que la capacidad de de ec a
e o es aislados o ma pa e de los conocimien os
mi-
nimos de cálculo que un alumno debe posee ; de ahí
que in en a mejo a dicha capacidad o me pa e de
nues o p ime obje i o. Los esul ados ob enidos en
DDE, sin emba go, exigen un
eplan eamien o
de di-
cho obje i o (c .
2.1).
Ejemplos del segundo ipo igu an en el Ap. 111; como
se puede e , son eje cicios cuyos cálculos es án o al-
men e ealizados, pe o con alguna inco ección en cie -
os pasos que el alumno debe descub i . Su a amien-
o se lle a a cabo a lo la go de es sesiones, p ecedi-
das po o as dos en las que se ha pues o la a ención
en la DDE aislados. Básicamen e, la me odología se-
guida en es a ase
se
undamen a en un abajo del p o-
pio au o
(5).
En esencia, lo que se in en a es u iliza p ocedimien-
os especí icos que, en nues a opinión, in e ienen de-
cisi amen e en la DDE de e o es (esp. aislados):
(a) La endencia a emi i espues as incon oladas
(6)
(b) La pe cepción del enunciado, in luida ue emen-
e po su p esen ación o mal, ya que és a oscu ece la
au én ica di icul ad del eje cicio.
Una jus i icación de la a ención que dedicamos a la
DDE
la
p opo ciona el hecho de que, en su ealización,
in e ienen de o ma p eponde an e ac o es in ima-
men e elacionados con
la
capacidad de au oc í ica a
la que an es nos e e íamos
(7)
po lo que, lógicamen-
e, un a amien o adecuado de ales eje cicios de DDE
debe ía po encia dicha capacidad.
Po o a pa e, es un e o c ee que el ap endizaje de
las knicas de cálculo implica la adquisición de una
ca-
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS
OTROS
TRABAJOS
pacidad sa is ac o ia de de ec a e o es. E ec i amen-
e, se ha comp obado epe idamen e que los alumnos
ienen unas especiales di icul ades pa a de ec a e o-
es aislados
(8);
ecien emen e, además, hemos ob e-
nido una co obo ación de dicho ase o: el coe icien e
de co elación ob enido en e los pun ajes de cnicas
de cálculo
y
de DDE aislados de una mues a de unos
300 alumnos de
1
de BUP ha sido de 0.37; dicho coe-
icien e ha subido sólo has a
0'48
al cabo de es me-
ses de dedicación in ensi a al ema del cáldlo a i mb-
ico; como pun o de e e encia, engase en cuen a que
el coe icien e de co elación ob enido en e los pun a-
jes de cnicas de cálculo
y
de
la
PRNA (cuya di e en-
cia undamen al adica en su dis in o g ado de di icul-
ad) ha sido 0.73.
Finalmen e, la necesidad de e ec ua una sepa ación en
dos pa es (DDE aislados y DDE den o de un con ex-
o de ope aciones a i mé icas) se undamen a no sólo
en la expe iencia adqui ida como p o esionales de la
enseñanza, sino ambién en c i e ios psicológicos de i-
nidos
(9).
1.1.4.
Fase
4:
T a amien o de
la
p oducción di e gen e
y
esolución de p oblemas
An e odo, con iene e ec ua una dis inción p ecisa en-
e
p oblema
de cálculo y
eje cicios
de cálculo. En és-
e, el alumno debe limi a se a u iliza un conjun o de
écnicas de cálculo explíci a o implíci amen e indicado
en el p opio enunciado; en un
eje cicio
de cálculo la
di icul ad esencial consis e en sabe u iliza unas he-
amien as de cálculo especí icas. En un
p oblema
de
cálculo, en cambio, el alumno debe hace uso de su
po-
encial de ecu sos ya que la di icul ad p imo dial se
cen a en la elabo ación del plan des inado a esol e
(2=
ase en la noplencla u a de Polya), es o es, en el
qué
hay que hace más que en el
cómo
hay que hace -
lo. En un
p oblema
de cálculo, además, no es posible
es ablece un p oceso gene al algo í mico de esolución,
con a iamen e a lo que ocu e en un
eje cicio
de cál-
c*ulo; de hecho, el
p oblema
se con ie e en un
eje ci-
cio
(o conjun o deeje cicios) de cálculo en la e ce a
ase (o ase de esolucibn), una ez de e minado el plan
de esolucibn, pe o no an es.
Pa a abo da la enseíianza de la esolución de p oble-
mas de cálculo se ha dedicado un iempo a amilia i-
za al alumno con unos eje cicios en los que la p o-
ducción di e gen e in e iene de mane a p imo dial, de-
bido a la ín ima conexión exis en e en e los p incipa-
les ac o es in oluc ados en dichas ope aciones men-
al
y
las ap i udes elacionadas con la c ea i idad (10).
Po lo que se e ie e di ec amen e a la enseñanza de
la esolución de p oblemas de cálculo se ha elabo ado
una
«di ec iz»
especi ica, o conjun o sis emá ico de
indicaciones heu ís icas (en el sen ido de Landa, o sea,
en con aposición a algo í micas (1 1)), que se conside-
an ú iles pa a esol e p oblemas de cálculo a i mé i-
co. Dicha
di ec iz
p e ende se un es imulo pa a el
alumno in e esado en e lexiona sob e el p oblema
p opues o y no un conjun o de limi aciones a
la
ac i i-
dad del alumno imagina i o, po lo que no
se
debe usa
con igidez. En su con ección se han enido en cuen a
las cua o ases de esolución de un p oblema; conc e
amen e: (a) Se hace hincapié en la
comp ensión del
enunciado
(1
'
ase) a a és de pone el acen o en la
es uc u a a i mb ica
del enunciado, o a maz6n ope-
a o io, a in de asimila co ec amen e la je a quía de
las ope aciones. (b) Se dan a ias ideas que pueden con-
duci a la
elabo ación de un plan
(2'
ase). (c) Se dan
algunas ó mulas que pueden se Ú iles en la
ejecución
delplan
(3a ase). (d) Se insis e en la necesidad de e ec-
ua una
e aluación
comple a de odo el cálculo
(41
ase).
A in de que el alumno adquie a un dominio su icien-
e en la u ilización de la
di ec iz.
se esuel en a ios
ejemplos e lexionando en oz al a, en base a in e o-
gaciones p og esi as suge idas po la
di ec iz.
Segui-
damen e, se ab e una ((e apa de en enamien o)) du an-
e la cual el alumno debe eje ci a se a esol e p oble-
mas con la ayuda de la
di ec iz,
mien as que el p o-
eso debe limi a se a p opo ciona le sblo indicaciones
que la p opia
di ec iz
p opone. Es a ase
4
se cie a
con una e apa de consolidación en la que se e ue za
el uso de la
di ec iz
median e la esolución de dis in-
os p oblemas ( e Ap. IV). En o al, la du acibn de
es a ase es de sie e ho as de clase.
1.1.5.
Fase
5:
Consolidación
-
Repaso
Du an e dos o es sesiones se esuel en di é sos eje -
cicios y p oblemas a in de ol e a insis i en los pun-
os c uciales y de epasa sucin amen e las p incipales
di ec ices que se han ido dando du an e el desa ollo
de la D.
1.1.6.
Fase
6:
Realización de las p uebas
Median e la ealización de es p uebas (que se lle an
a cabo en sendas sesiones de una ho a), se p e ende ob-
ene una alo ación minimamen e obje i a de los e-
sul ados ob enidos en cada uno de los es obje i os
iniciales de la p esen e D. Dichas p uebas son, espec-
i amen e: «P ueba m,», que cons a de dos pa es:
écnicas de cálculo (TDCF)
y
de ección de e o es
(DDEF) y cons i uye una éplica p ác icamen e idén i-
ca a la «P ueba m. inicial)) ( ealizada inmedia amen-
e an es del comienzo de la Fase 1) que igu a en el Ap.
1; «P ueba Ni el A» (PRNA), que cons i uye el Ap.
11, y «P ueba de Ni el B» (PRNB), una mues a cuyo
con enido se encuen a en el Ap.
IV.
O
Un
ce
(1)
dia
e
ici
de
je :
e e
COI
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P c
COI
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La
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ch~
e,
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la
As
VO
ic
la
I
OTROS TRABAJOS
I
2.
RESULTADOS
Y
VALORACIONES DE
LA
DIDACTICA
allan los esul ados inales ob enidos en cada una de
2.1.
Resul ados
de
la DidQc ica
las p uebas de con ol ealizadas en la Fase
6,
jun o
con o os da os es adís icos de in e ks; asimismo,
se
han
(
O ecemos a con inuación un cuad o en el que se de- incluido los da os co espondien es a
la
«P ueba
m,».
DDEF
3'242
2'66
27'2
'p
10
'6
::
56'6
';ó
PRNA
3'739 3'5 37'2
",ó
15
$7
37'2
$
1
PRNB
1'478
0'5
9'7
$
2'7%
80'9%
Un p ime analisis del cuad o an e io nos pe mi e ha-
ce las obse aciones siguien es:
(1)
Nó ese que la media de DDEF es in e io a la me-
dia de la PRNA. Una simple ojeada a las p uebas co-
espondien es pone de mani ies o la exis encia de di-
icul ades especiales en la DDE que no podemos deja
de lado pues o que epe cu en en los dos p jme os ob-
je i os a los que nos e e iamos en la in oducción. En
e ec o, cuando a i mábamos que un p ime obje i o
consis ía en consegui que el alumno alcanzase un «ni-
el mínimo» de conocimien o en el cálculo a i mé ico,
p esuponiamos que la
DDE
o maba pa e de dichos
conocimien os básicos (c . 1.1.3.) y que, además, su
di icul ad se man enía en un p ime ni el. Asimismo,
conside ábamos que la ealización de cálculos más com-
plejos ( e Ap. 11) poseía un segundo ni el de di icul-
ad y cons i uía pues, un obje i o mas ambicioso.
La ealidad, sin emba go, es que la DDE se si úa en
un ni el de di icul ad más al o que la ealización de di-
chos cálculos más complejos si bien és os, po su pa -
e, cons i uyen un segundo g ado de complejidad es-
pec o a las écnicas de cálculo en sí (el p ime g ado
end ía de e minado po la
1'
pa e de cualquie a de
la p uebas pa alelas m, y m,, o sea, TDCI y TDCF).
Así pues, la dis inción en e los dos p ime os obje i-
os es con usa ya que se en ec uzan sus ni eles de di-
icul ades, po lo cual debe án eplan ea se o e o mu-
la se adecuadamen e.
(2)
Po lo que se e ie e
al
e ce obje i o, es ob io que
es amos lejos aún de alcanza unos esul ados sa is ac-
o ios: la media de la PRNB
(1
'478)
y
el po cen aje de
alumnos que la supe an (9'7
%)
así lo indican.
Las p incipales azones que, a nues o juicio, explican
es e hecho son:
A) El poco iempo empleado en
la
Fase 4, especial nen-
e si enemos en cuen a el no able g ado de di icul-
ad de los
p oblemas
de
cálculo.
B)
El hecho de que
odos
los alumnos ue on a a-
dos con la misma me odología, a pesa de que la
mayo ía de ellos (el 62'8
%)
no habia supe ado la
PRNA.
.(3)
En lo e e en e al segundo obje i o, el po cen aje
de alumnos que supe an la PRNA no es ampoco su i-
cien emen e ele ado (37'2
%)
mien as que, po el con-
a io, el de los alumnos que no alcanzan el
3
es
aún
excesi amen e al o (37'2
%).
.C eemos que hay que des aca , de en e Las causas que
pe mi en explica es os esul ados, las siguien es:
A) El hecho de que sólo unos pocos alumnos ealiza-
on e ec i amen e un mínimo núme o de eje cicios.
B)
Al igual que en el apa ado (2), el hecho de que o-
dos los alumnos ue on some idos al mismo i mo
de abajo, con una misma me odologia, a pesa
de que el 33% no habia supe ado la p ueba co es-
ENSEÑANZA
DE
LAS CIENCIAS

OTROS TRABAJOS
C
-
pondien e a las écnicas de cálculo de ni el míni-
mo (TDCF).
(4) En cuan o al p ime obje i o, hay que dis ingui
S
la DDE de las TDC; sólo el 27'2
%
supe ó la p ueba
de
la
DDEF, lo que da una medida de
la
di icul ad que
en a ia la ealizaci6n de es e ipo de p uebas; debe e-
mos pues e isa el a amien o de la Fase
3
(c . 3.1).
Finalmen e, en TDC podemos a i ma que se ha alcan-
zado un ni el su icien emen e sa is ac o io (que, no
obs an e, espe amos inc emen a ), puesio que casi el
70
%
de los alumnos supe a la p ueba de TDCF y sólo
un
16'6
%
no alcanza el
3,
mien as que casi un 40
'70
ob iene una no a supe io o igual a 7.
2.2
E icacia de la Didác ica
Es e iden e que el anáiisis de unos esul ados no
es
su-
icien e pa a de e mina
la
e icacia de una DidAc ica.
En e ec o, hay que ene en hen a ambién el ni el ini-
cial del alumnado.
Así,
y
a in de cuan i ica en lo posible dicha e icacia,
se han de inido es índices en unción de las no as
i-
nales
( )
e iniciales
(i);
conc e amen e:
11
=
-i; 12
=
( -i).(
+
i)
/
;
13
=
( -1)
/
(M-i);
donde
M
es la no a máxima que se puede ob ene en
la p ueba.
En el siguien e cuad o pueden obse a se algunos da-
os ele an es e e en es a los dos p ime os índices:
-€scaia:
Media Mediana
%
~iumnos(~ Alumnos
I
con
1
<
3
I
1'
in e esa sólo ema ca algunos aspec os:
3.
CRITERIOS
DE
MODIFICACION
1
1)
Es os índices son, esencialmen e, medidas de con-
as ación; debe emos pues dispone de los da os
cm-
espondien es a o as Didác icas (en pa icula , a
modi icaciones de és a)
@es
de emi i juicios de a-
lo de ini i os de los ac uales da os.
2) En es e sen ido, el p ime índice no es muy adecua-
do, pues o que iden i ica p og esos cla amen e no
equi alen es, (p.e., el paso de
1
a
4
y
el paso de
6
a
9).
I
3)
A
simple is a se obse a una di e encia no able en-
e los indices de TDC y de DDE, lo que pone de
mani ies o, una ez más, las di icul ades inhe en-
es al ap endizaje de la DDE.
4)
Finalmen e,
y
eniendo en cuen a lo que hemos ob-
se ado en 1). que emos des aca el al o alo de
I2TDC; signi ica que un alumno medio con no a ini-
cial
N,
E
Ii
alcanza una no a iinal
N,
E
li+,, don-
de 1,,= (0.3).
1,=
(3.5)
1+=
(5,7),
1,=
(7.8'51,
1,=
(8'5.10),, 0s
i
<2-
3.1.
C i e ios in e nos de modi icación
Tan o el an e io análisis de los esul ados ob eni-
dos como el p opio desa ollo de la D. nos pe mi-
en dispone de unos c i e ios pa a modi ica la en
una di ección que, en p incipio, pa ece adecuada.
C eemos pues opo uno des aca es aspec os que
debe án se obje o de e isión en una p óxima e -
sión de dicha
D.:
1)
El con ol e ec i o del abajo del alumno
Tal y como es aba concebida es a D., se dejaba un
amplio ma gen de esponsabilidad al alumno pa a
la ealización de su abajo; la ealidad, sin emba -
go, se impone y obliga a eplan ea se algún ipo de
con ol más con inuado y p o undo. Debe íamos,
en e ec o, pode dis ingui obje i amen e aquellos
alumnos que se au oexcluyen del seguimien o de
la
D.
de aquellos que no pueden, pese a in en a lo,
man ene el i mo.
OTROS TRABAJOS
2)
La
alención a los casos pa icula es
De acue do con lo que'obse Abamos en un pun o
an e io (c . 2.1. (2) B)
y
(3)
B), nos pa ece imp es-
cindible conoce (median e algún ipo de p ueba de
con ol) quC alumnos no es án aún capaci ados pa-
a accede a ni eles supe io es de di icul ades (es-
pecialmen e a la F.4).
Ello nos obliga l a elabo a me odologias especi i-
cas que pe mi an a ende especialmen e a dichos
alumnos.
3)
La e o mulación de los obje i os
1'
y
2'
mamen e ligada an o
a
las espec i as du aciones
de las ases cen ales (c . 2.1
(2)
A)
como a la a i-
culación en e las mismas (especialmen e la Fase 3
con las Fases 2
y
4).
3.2.'Cn enos ex e nos de modi icación
Un p ime análisis de los esul ados de la in es iga-
ción que el Gmp A es a es á lle ando a cabo pa a
de e mina , en lo posible, algunos de los ac o es
cogni i os
más
ele an es en el ap endizaje de cie -
as A eas de la Ma emá icas (c . no a
(3))
se sin e i-
za
en el siguien e cuad o: (Recué dese que TDCF
signi ica «Técnicas de cálculo inal»
-
1
'.
pa e dc
la o ueba ((P ueba m,»
-;
DDEF. ((De ección de
Hemos insis ido su icien emen e ya en es e aspec o e o es inal»
-
2'. Pa e.de la ((P ueba m,»
-;
(: .
1.1.3.
y
2.1. (1)); aquí sólo nos in e esa des a- PRNA, ((P ueba de Ni el A»
y
PRNB,
{(P ueba de
Ni el
B))
-
éanse los Apéndices
-):
.
,
ca e1 hecho de que dicha e o mulación es á in i-
(*)
Es signi ica i o a un ni el de con ianza de
0.05
Una explicación más de allada
de
es a in es igación no
ie íe cabida aquí;. ( ease
a
es e espec o el a iculo de
J.
Gascón (1984) que apa ece en es a misma
pu
blicacibn).
F
(*)
24.26
21.20
13.33
Unicamen e nos limi a emos a esumi sucin amen e el
signi icado de aquellos ac o es que p esen an un pa -
icula in e és.
Fac o es que in e ienen
más siqni ica i amen e(in-
c emen an
~2
en mds de
2%)
CS.$,
E=$,
o=#,
mi$
N,
CS$
Cc$, $, mi$
CS$,
€ $,
RUS,
~ $
Así,
llamamos ((Co e ge sis emas simbólicos»
(Cs.%)
a la ap i ud de gene a la espues a de e minada po
un conjun o de in o macibn, cuando es a espues a
consis e, po su pa e, en un conjun o, es uc u a u o -
ganización de pa es en in e acción de ca ác e
simbblico.
4
En endemos po ((E alua elaciones simbó/icm»
(E $)
la capacidad de emi i juicios co ec os, en base a c i-
e ios p e ijados, sob e ope aciones undamen ales
en-
e núme os, ínculos de igualdad y desigualdad y, en
TDCF
DDEF
PRNH
PRNB
mbl i~le
in, odo ipo de enlaces o puen es en e concep os ex-
p esados simbólicamen e o, incluso, en e g upos de
símbolos con un signi icado a bi a io conocido de
an emano.
R
.S6
.49
.4Ei
.47
Po di e ge elaciones simbólicas» (D $ en endemos
la capacidad de gene a , a pa i de una in o mación
p e ia de ipo simbólico, una di e sidad de elaciones
cuali a i amen e di e en es (en endidas es as como ne-
xos o enlaces en el sen ido apun ado an e io men e).
R~
.31
-24
.23
.22
In e p e amos «Memo iza implicaciones simbólicas»
(Mi$)como la capacidad de eco da consecuencias de-
e minadas
y
conocidas a pa i de una in o mación da-
da, de ipo simbólico.
Pa a una ampliación del signi icado de odos es os ac-
o es, así como de su papel en la Es uc u a de la In e-
ligencia, debemos emi i nos a la bibliog a ía ( éase
Guil o d (1977)).
ENSERANZA
DE
LAS CIENCIAS
OTROS TRABAJOS
C eemos opo uno e ec ua algunas obse aciones:
(A) Un pun o de e e encia
pa a
comp ende
el
alcance
de es os esul ados lo p opo ciona un abajo de Guil-
o d y dos de sus colabo ado es, en el cual
se
in en a
conoce en qué medida un conjun o de
20
ac o es (en-
e los que se encuen an los 9 ac o es u ilizados en
nues os análisis) puede p edeci el éxi o de un cu so
de no eno g ado (13-14 años) en ((Basic Ma hema ics))
(de inido como «a i mé ica a anzada» y o os campos
de las Ma emi icas. El coe icien e de co elación múl-
iples (ccm) ob enido en dicho es udio
es
R =0'48 (c .
Guil o d, Hoep ne y Pe e sen (1965). especialmen e
pp. 660-61
y
671-72).
Se obse a á que, en nues o caso, el ccm en TDCF-
es lige amen e supe io (R
=
0'56) y sensiblemen e idén-
ico en DDEF, PRNA
Y
PRNB.
Así pues, se con i ma el hecho de que los ac o es
es-
cogidos son insu icien es pa a explica el endimien o
en cálculo a i méiico (medido, cla o es á, con nues as
p uebas de con ol
-
c . Fase 6-), lo que es á de
acue do con la in e p e ación de Guil o d de sus p o-
pios esul ados (c . Guil o d (1977), p.48) y, po lo an-
o, sena con enien e in oduci nue os ac o es
en
aná-
lisis pos e io es.
(B)
La inclusión de o os ac o es (en nues o análi-
sis), conc e amen e: TDCI, DDEI, Sexo, Si uación de
pa o del cabeza de amilia
y
Condición de epe ido
de
1
ele a el
ccm
en TDCF a
R
=0'64, en DDEF
y
PRNA a
R
=
0'58 y en PRNB a R =0957, con ni eles
de signi icancia ele ados de TDCI,
y
DDEI (espc. en
DDEF, PRNA
y
PRNB). Ello ha& pensa que si se hu-
biesen incluido ac o es de conocimien o adecuados en
un p incipio (de un ni el e ec i amen e elemen al, da-
da la si uación inicial del alumno) muy p obablemen-
e se explica ía un po cen aje ele ado de la a iabili-
dad o al de las p uebas inales (c .. a es e espec o,
el abajo de N.Webb (1979), o ambién el a ículo ci-
ado an e io men e).
(C) La dis ibución de los ac o es en cada una de las
.
a iables inales nos p opo ciona unos c i e ios ex e -
nos (no inhe en es a la p opia D.) de modi icación, si
no absolu amen e de ini i os, si po lo menos con más
base que me as in uiciones a iesgadas. En conc e o e-
sal a emos los siguien es pun os:
I
)
El hecho de que p ecisamen e en DDEF (De ección
de e o es inal) al ac o .E $ (E alua elaciones
simbólicas) adquie a mayo ele ancia que el ac-
o Cs$ (Con e ge sis emas simbólicos) y, po o a
pa e, la impo an e pa icipación de dicho ac o
E $ en odas las a iables inales, nos pe mi e a i -
ma que debe emos po encia la Fase 3 a in de in-
c emen a las habilidades cogni i as e e e!i es a la
e aluación.
2)
En is a de la pa icipación signi ica i a del ac o
D $ (Di e ge elaciones simbólicas), debe emos
po-
ne más én asis en los eje cicios de di e ge (c . Ap.
111) a in de desa olla las habilidades elaciona-
das con la p oducción di e gen e.
3) Hab á que in oduci algún ipo de eje cicio de me
mo izacibn, de acue do con la especial apo ación
del ac o Mi$ (Memo iza implicaciones simbóli-
cas).
i
4) Si obse amos los ac o es que in e ienen en
la
PRNA nos da emos cuen a de que no apa ecen ac-
o es dis in os de los que se encuen an en
TDCF.
Con ello, nues o 2' obje i o (a sabe , el p opósi o
de que el alumno domine unas écnicas de cálculo
con un ni el de complejidad ele ado-c Ap. 11-) que-
da bas an e en un segundo é mino, ya que su con-
secución no apo a un desa ollo de nue os ac o-
es cogni i os (del ipo de habilidades p ima ias),
con lo que uno de los p incipales a gumen os que
p opo cionaba («a p io i))) una jus i icación de di-
cho obje i o (c .
1
.O.
(b)) no iene base.
5)
La an e io objeción no es álida, en cambio, pa a
el e ce obje i o de nues a D., pues o que apa e-
ce un nue o ac o , el RUS (Reconoce unidades
se-
mán ica~, ambién denominado Comp ensión e -
bal, c . Guil o d, (1965) p. 665), sin duda de di ícil
in e p e ación. Po o a pa e, nó ese que la apo -
ación de D $ es ele an e en compa ación con su
in luencia en DDEF
y
en PRNA.
h
4.
CONCLUSIONES
Si bien con ca ác e p o isional, c eemos es a en con-
diciones de des aca algunas conclusiones:
(1) La sepa ación en dis in as ases obedece, undamen-
almen e, a la necesidad de pone un pa icula én-
asis en los ac o es especialmen e in oluc ados
en
(
los dis in os aspec os del cálculo; es deci , en la Fa-
se
2
acen uamos el ac o Cs$ (Con e ge sis emas
simbólicos) en la Fase 3, el ac o E S y en la Fase
4, el ac o D $ (lo que no signi ica que cada ac o
in e enga sólo en las ac i idades que se ealizan en
las espec i as ases). Es a necesidad, a su ez, p o-
iene de la ela i a independencia de dichos ac o-
es (c . Guil o d (1977)).
(2)
La capacidad de de ec a e o es es á Ín imamen e
asociada a la capacidad de au oe aluación. Así, el
desa ollo de una implica, en cie a medida, el de
,
la o a, po lo que la Fase 3 adquie e especial
ele ancia.
(
(3)
La dis inción en e eje cicio de cálculo yp oblema
de cálculo pe mi e dedica una a ención a a eas
en
(
las que las ap i udes de c ea i idad puedan mani-
es a se con una mayo in ensidad po lo que la Fase
4 adquie e una especial signi icación.
(4) Aunque no de ini i os, los esul ados ob enidos en
1
écnicas de cálculo elemen ales han sido mínima-
men e sa is ac o ios, especialmen e en lo que e io
ENSEÑANZA
DE
LAS
CIENCIAS
E
.
.
OTROS TRABAJOS
I
e al inc emen o de los conocimien os iniciales. Po
el con a io, en de ecci6n de e o es elemen ales no
se ha alcanzado un ni el mínimo, po lo que debe-
emos es o za nos en comp ende mas p o unda-
.
men e los p ocesos in e nos que se lle an a cabo en
es a ac i idad.
I
(S)
De acue do con lo que hemos ei e ado en el pun o
an e io (c .
3.2.
4/)
nues o segundo obje i o de-
be & se eplan eado, mien as que el e ce obje i-
o, en cambio, ecibi & un nue o impulso pa a
su
ea i mación.
Po úl imo, que emos pone de mani ies o que o-
do el abajo ealizado iene como in úl imo ele-
a el ni el de ap endizaje del alumno a a és de
nues o p opio pe eccionamien o wmo ense ian es,
po lo que ag adecemos de an emano odas las su-
ge encias, indicaciones
y
c i icas que nos pe mi an
p og esa en es a a ea.
NOTAS
(1) La e sión in eg a o ma pa e de la Memo ia de Final
de Cu so p esen ada po el G up A es a al
I.C.E.
de la
Uni e sidad de Ba celona (Junio. 1984).
(2)
Conc e amen e, c Jaume Balmes)). «San Josep de Ca-
lassanq))
y
«VaU d'Heb on».
(3)
Con ella se p e ende llega a conoce la in luencia de
di e sos ac o es cogni i os del ipo de habilidades p i-
ma ias (en el sen ido de Gui o d) en el ap endizaje de,
di e sos campos de la Ma emh ica. Dichos ac o es ie-
nen su in e p e acidn en el ma co eó ico de la Es uc-
u a de
la
In eligencia de J.P. Guil o d
y
se
han ob cni-
do a a ks de las knicas del análisis ac o ial aplica-
das a un conjun o de 30 p uebas iniciales pasadas a los
REFERENCLAS BIBLlOGRAFlCAS
GUILFORD, J.P.. 1977,
Na u aleza de la in eligencia hu-
mana
(Paid6s: Buenos Ai es).
GUILFORD, J.P.. HOEPFNER. R., PETERSEN,
H.,
1965,
P edic ing achie emm in nin h-g ade ma he na ics om
m asu es o in eUec uai-a~ i uds ac o s,
Educa iona and
Psychologica ~easu emen ,
XXV, No 3, pp. 659-682.
LAMARCA, J.Ma, 1982. De ecci6n de e o es en el dlcu10
a i mk ico: un ensayo me odológico,
Ac as de las
II
Jo -
nadas sob e Ap endizaje y Ense lanza de las Ma ema i-
cas,
11, pp. 549-574.
ENSEÑANZA
DE
LAS CIENCIAS
alumnos du an e la p ime a semana del p esen e cu so.
Dichas p uebas debe án se e inadas an es de pode da
las conclusiones po de ini i as.
(4)
Véase, P.e., Polya (1981).
(5) Véase Lama ca (1982).
(6)
«No cabe duda de que las di icul ades
(.
.
.)
pa a ence
la endencia a emi i espues as incon oladas
(...)
es-
an en e las más impo an es que debe a on a odo
pedagogo
(...)M
(A.R.Lu ia (1981). p. 239).
(7) C . Guil o d (1977), cap. VIII.
(8) C . Lama ca (1982). especialmen e, p. 554.
(9) Véase, P.e., Piage (1975).
(10) C . Guil o d (1977), cap. VI, esp.
p.
199
y
cap. XVI.
(1 1) Véase Landa (1972).
LANDA, L.N., 1972,
Cibe nb ica
y
pedagogía
(Labo :
Ba celona).
LURIA, A.R. y TSVETKOVA, L.S., 1981.
La esolución
de p oblemas
y
sus as o nos
(Fon anella: Ba celona).
PIAGET, J.
y
SZEMINSKA. A.,
1975,
GQnesis del nume o
en el niño
(Guadaiupe: Buenos Ai es).
POLYA, G., 1981,
Cdmo plan ea
y
esol e p oblema
(Tn-
Ilas: MCxico).
WEBB, N.L.. 1979, P ocesses. Concep ual Knowledge. and
Ma hema ical p oblem-sol ing abili y,
Jou nal o Re-
sea ch in Ma he'ma ics Educa ion.
10.
No
2,
pp. 83-93.