Una investigación del aprendizaje del cálculo aritmético

OTROS TRABAJOS I UNA INVESTIGACION DEL APRENDIZAJE DEL CALCULO ARITMETICO(*) l LAMARCA PARIS, J.Ma. C up A es a. I.R. San1 Josep de Calassanq. I (*) Es e abajo o ma pa e de una in es igación mas amplia que el G upo A es a es á lle ando a cabo con el sopo e del ICE de la Uni e sidad de Ba celona. SUMMARY The aim o his a icle is ha o showing a speci ic app oach in he ~idac ics o A i hme ic Calculus, and he esulis ha ha e been achie ed using i wi h abou 300 s uden s in he i s yea o BUP; we also wan lo show ce ain c i e ia which could allow us o imp o e ou me hod. Such c i e ia a e based bo h on he ealiza ion o he didac jc me hod i sel and on he assump ion o ce ain cogni i e ac o s which ha e g ea in luence on he lea nin o A i h ne ic Calculus. Th oughou he de eloping o ou app oach in he Didac ics i A i hme ic Calculus we ha e emphasized he sec- ions de o ed o he eaching o calculus, e o enalysis and calculus p oblem sol ing (acco ding o Polya). INTRODUCCION En es e a iculo se p e ende da a conoce una apo a- e, el obje i o del mismo consis e en la exposición de ción a la in es igacibn de la ense ianza y del ap endi- una «Didác ica de cálculo a i mé ico» especi ica (D.), zaje en el campo del cAlculo a i mé ico. Conc e amen- de los esul ados que con su aplicación se han ob eni- ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1985. pp. 121-130 121 OTROS TRABAJOS do y de unos c i e ios de modi icación que pe mi an mejo a la. Po cues iones de espacio hemos c eído con enien e e ec ua un esumen de la D. y no de ene nos en cues- iones de de alle (1). In e esa ambi n obse a que di- cha D. se ha aplicado a unos 300 alumnos de lo de B.U.P. de es Ins i u os de Ba celona (2) po miem- b os del G up A es a al comienzo del cu so 83/84. En lo ie e en e a los c i e ios de modi icación dis in- guimos dos ipos: po un lado, los que se desp enden de la p opia expe iencia ealizada y que denominamos c i e ios in e nos ( ales como, P.e., a iaciones de iem- po, con ol del abajo del alumno, e c.); po o o, aquellos que se ob engan de un conocimien o de los ac- o es cogni i os que más in luencia ienen en los esul- ados de la D. Es os úl imos (que llamamos c i e ios ex e nos), po su p opia na u aleza, pod án i se con- c e ando a medida que a ance la in es igación especi- ica que el G up A es a es á lle ando a cabo desde los inicios del p esen e cu so (3); po el momen o, sólo se- a posible adelan a un limi ado núme o de conclusio- nes p o isionales. Llegados a es e pun o, podemos explici a las es ca- ac e ís icas de la D. que conside amos más esenciales: (A) En p ime luga , p e endemos que sea ans e i- ble, es deci , que pueda se u ilizada po cualquie p o- eso de Ma emá icas; de ahí que, en la e sión in e- g a, se expongan con de alle las dis in as ases de la misma, sus espec i as du aciones, e c. I (B) En segundo luga , debe se posible e alua la ob- je i amen e; así pues, se han diseñado p uebas pa ale- las (una inicial, que denominamos)) P ueba mo» - cons i uye ei-Ap. 1 - y o a inal) a in de pode dis- pone de algún ipo de medida de su e ec i idad (c . 2.2.). íC) En e ce luga , se a a de una D. esencialmen e modi icable; es o signi ica que p e endemos ap oxima - nos en e apas sucesi as a un ni el óp imo de e icacia. En es e pun o es donde más se e, la necesidad de acce- de a unos c i e ios. lo más obje i os posible de modi- icación (c . 3.1. y 3.2.). 3. RESUMEN DE LA DIDACTICA PROPUESTA _ 1.0. In oducción Con la p esen e D. se p e ende alcanza es obje i os cuyos ni eles de di icul ad son, en p incipio, p og esi- amen e c ecien es (c . 2.1). En p ime luga , se in en a consegui que los alumnos alcancen unos conocimien os y una segu idad mínimos en el cálculo a i mé ico elemen al. Su g ado de di icul- ad se conc e a en la «P ueba mo» (Ap. 1). En nues a opinión, lo undamen al es que 10s alum- nos adquie an un dominio sa is ac o io del cálculo, aunque pa a ello debamos sac i ica , en cie a medi- da, el igo concep ual en la p esen ación de los núme- os acionales e i acionales. De hecho, una in oduc- ci6n adecuada de dichos núme os ampoco c eemos que sea necesa io ealiza la en 1 de BUP, y más bien nos inclinamos a sos ene que bas a ea i ma sucin amen e unos concep os con los que el alumno es i ya amilia- izado desde la EGB, a in de que ap endan a mane- ja los con sol u a. No c eemos, sin emba go, que se deban ense ia s6l0 unos mínimos udimen os de cálculo; abandona la as- pi ación de que los alumnos adquie an un dominio e ec i o de écnicas de cálculo con un g ado de com- plejidad más ele ado, lo cual cons i uye nues o segun- do obje i o, es abona las insegu idades del u u o alumno de COU que no se a e e á a simpli ica una de i ada o que acila á en la esolución de los de e - minan es. De ahí pues, que se in oduzcan eje cicios de longi ud y di icul ad conside able, que pueden e - se e lejadas en la que denominamos «P ueba de Ni- el A» (PRNA, y que igu a en el Ap. 11). La ealización de dichos eje cicios es, en muchos ca- sos, ex ao dina iamen e á ida y engo osa; ob iamen- e, el alumno no es á mo i ado pa a e ec ua unos cál- culos pesados e in e minables cuya aplicación p ác ica conside a, en el mejo de los casos, dudosa. Desde lue- go, pa ece bas an e a i icioso imagina si uaciones ea- les en las que ales cálculos uesen necesa ios; pe o aún admi iéndolas no hay, desde la pe spec i a del alu n- nos, a gumen os que apoyen la penosa ealización de los mismos en e al ácil uso de la calculado a de bolsillo. Así pues, la con eniencia de inclui es e obje i o en una didác ica de calculo a i mé ico es discu ible; en nues- a opinión, sin emba go, exis en azones que pueden jus i ica sil inclusión; conc e amen e, des aca emos dos: (a) No es posible abo da p oblemas ma emá icos de cie a en egadu a si el cálculo cons i uye un obs áculo en el camino de su esolución, y el alumno debe se ple- namen e conscien e de es e hecho. (b) Pa ece azonable a i ma que los ac o es cogni i- os que mayo ele ancia ienen en la capacidad de cal- cula de un alumno an a se desa ollados ap eciable- men e a a és de un a amien o su icien emen e in- ensi o del calculo an m ico. El conocimien o de al- gunos de es os ac o es (que pod i ob ene se con la in- es igación especí ica que es á lle ando a cabo el Gnip A es a -c . no a (3)-) pe mi i á da la su icien e e- le ancia a dicha a i mación (c . 3.2). Finalmen e, deseamos alcanza un e ce obje i o. ES- e se conc e a en log a que el alumno sea capaz de e- sol Po m< bo de Si si SO i (c! a CL ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS I OTROS TRABAXIS . sol e cualquie p oblema de cálculo en el sen ido de Polya, es o es, aqu l cuya esoluci6n se desa olla en cua o aaes de uiidas: comp ensión del enunciado, ela- bo ación de un plan, ejecuci6n del mismo y e aluación de odo el p oceso (4). Sin duda, es a me a es ealmen e ambiciosa. C eemos, sin emba go, que con iene ene en cuen a que la c- solución de e dade os p oblemas de dlculo es á jus- i icada no s61o po lo que obse ábamos an e io men e (c . el comen a io (b) p eceden e) sino ambikn po a- a se de una inmedia a aplicación de las écniw de cál- culo ecien emen e ap endidas (po lo que Cs as se consolidan). Desde el pun o de is a me odoldgico, en la D. se dis- inguen seis me: F. 1: Fundamen os d icos, F.2: En- se ianza de écnicas de cálculo, F.3: De ección de e o- es aislados y den o de un con ex o de ope aciones a i - mé icas, F.4: T a amien o de la p oducción di e gen- e y esoluci6n de p oblemas, F.5: ConsolidacMn y e- paso y F.6: Realización de las pmebas de con ol. l Comen a emos cada una de ellas po sepa ado. Se in- cluyen ambién unos apéndices en los que igu an las p uebas y los eje cicios y p oblemas más signi ica i os pa a pe mi i una co ec a comp ensión de oda la D. 1 .l. Fases de la Didhc ica 1.1.1. Fase 1: Fundamen os eó icos En nues a opinión, la o ma de p esen a los con eni- dos eó icos básicos no es especialmen e ele an e, po lo que hemos omi ido expone un guión de allado de los concep os undamen ales a a a . Sin emba go, y a in de que el p o eso pueda ene un pun o de e e- encia pa a u u as e lexiones, se ha incluido una co- lección exhaus i a de cues iones, que cub e p ác ica- men e odo el complejo de con enidos básicos que el alumno debe domina an es de pasa a ni eles supe- io es ( éase en el Ap. 111 una mues a de las mismas). Dicha lis a de p egun as co as elemen ales se puede comen a en clase ac i amen e, en base a las espues- as dadas po los p opios alumnos a cada cues ión. 1-a du ación o al de es a ase es de unas seis ho as. 1.1.2. Fase 2: Enseñanza de écnicas de c llculo En es a ase se a a de p opo ciona al alumno el do- minio de las écnicas undamen ales de dlculo. Pa a ello se al e na la exposición de los ejemplos in oduc- o ios de cada écnica con eje cicios de consolidación, du an e un mhimo de once sesiones de una ho a. Con- c e amen e, se dedican seis de ellas a explica seis ejem- plos de cálculo con acciones y cinco a de alla la e- solución de cinco ejemplos de cálculo con adicales ( e el Ap. 111). Todos los ejemplos y eje cicios u ilizados en es a ase se ca ac e izan po el hecho de que las écnicas de cl- culo in olunadas en ellos se desp enden dd p opio as- pec o o mal del enunciado o bien es án explici adas cla amen e en él (p.e., «Racionaliza la acción ... »). 1 1.1.3 Fase 3: De ección de e o es (DDE) aislados y den o de un con ex o de ope aciones n i mC icas La. inclusión de es a ase iene como inalidad úl ima po encia la capacidad de au oc i ica del alumno. Sin duda, la ap i ud de c i ica unos esul ados o unos cál- culos in e medios es decisi a pa a la co ec a ealiza- ción de las ope aciones: más que de e i a los e o es, se a a de da se cuen a de los que ya se hayan podido come e . En es e sen ido, alcanza dicha me a es c u- cial pa a consegui los es obje i os p opues os en es- a D. El desa ollo de es a ase se lle a a cabo a a és del a amien o de dos ipos de eje cicios: los de DDE ais- lados y los de DDE den o de un con ex o de ope a- ciones a i mé icas. Ejemplos del p ime ipo pueden ob- se a se en la 2' pa e de la «Pmeba m. (Ap.l.), dado que hemos conside ado que la capacidad de de ec a e o es aislados o ma pa e de los conocimien os mi- nimos de cálculo que un alumno debe posee ; de ahí que in en a mejo a dicha capacidad o me pa e de nues o p ime obje i o. Los esul ados ob enidos en DDE, sin emba go, exigen un eplan eamien o de di- cho obje i o (c . 2.1). Ejemplos del segundo ipo igu an en el Ap. 111; como se puede e , son eje cicios cuyos cálculos es án o al- men e ealizados, pe o con alguna inco ección en cie - os pasos que el alumno debe descub i . Su a amien- o se lle a a cabo a lo la go de es sesiones, p ecedi- das po o as dos en las que se ha pues o la a ención en la DDE aislados. Básicamen e, la me odología se- guida en es a ase se undamen a en un abajo del p o- pio au o (5). En esencia, lo que se in en a es u iliza p ocedimien- os especí icos que, en nues a opinión, in e ienen de- cisi amen e en la DDE de e o es (esp. aislados): (a) La endencia a emi i espues as incon oladas (6) (b) La pe cepción del enunciado, in luida ue emen- e po su p esen ación o mal, ya que és a oscu ece la au én ica di icul ad del eje cicio. Una jus i icación de la a ención que dedicamos a la DDE la p opo ciona el hecho de que, en su ealización, in e ienen de o ma p eponde an e ac o es in ima- men e elacionados con la capacidad de au oc í ica a la que an es nos e e íamos (7) po lo que, lógicamen- e, un a amien o adecuado de ales eje cicios de DDE debe ía po encia dicha capacidad. Po o a pa e, es un e o c ee que el ap endizaje de las knicas de cálculo implica la adquisición de una ca- ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS OTROS TRABAJOS pacidad sa is ac o ia de de ec a e o es. E ec i amen- e, se ha comp obado epe idamen e que los alumnos ienen unas especiales di icul ades pa a de ec a e o- es aislados (8); ecien emen e, además, hemos ob e- nido una co obo ación de dicho ase o: el coe icien e de co elación ob enido en e los pun ajes de cnicas de cálculo y de DDE aislados de una mues a de unos 300 alumnos de 1 de BUP ha sido de 0.37; dicho coe- icien e ha subido sólo has a 0'48 al cabo de es me- ses de dedicación in ensi a al ema del cáldlo a i mb- ico; como pun o de e e encia, engase en cuen a que el coe icien e de co elación ob enido en e los pun a- jes de cnicas de cálculo y de la PRNA (cuya di e en- cia undamen al adica en su dis in o g ado de di icul- ad) ha sido 0.73. Finalmen e, la necesidad de e ec ua una sepa ación en dos pa es (DDE aislados y DDE den o de un con ex- o de ope aciones a i mé icas) se undamen a no sólo en la expe iencia adqui ida como p o esionales de la enseñanza, sino ambién en c i e ios psicológicos de i- nidos (9). 1.1.4. Fase 4: T a amien o de la p oducción di e gen e y esolución de p oblemas An e odo, con iene e ec ua una dis inción p ecisa en- e p oblema de cálculo y eje cicios de cálculo. En és- e, el alumno debe limi a se a u iliza un conjun o de écnicas de cálculo explíci a o implíci amen e indicado en el p opio enunciado; en un eje cicio de cálculo la di icul ad esencial consis e en sabe u iliza unas he- amien as de cálculo especí icas. En un p oblema de cálculo, en cambio, el alumno debe hace uso de su po- encial de ecu sos ya que la di icul ad p imo dial se cen a en la elabo ación del plan des inado a esol e (2= ase en la noplencla u a de Polya), es o es, en el qué hay que hace más que en el cómo hay que hace - lo. En un p oblema de cálculo, además, no es posible es ablece un p oceso gene al algo í mico de esolución, con a iamen e a lo que ocu e en un eje cicio de cál- c*ulo; de hecho, el p oblema se con ie e en un eje ci- cio (o conjun o deeje cicios) de cálculo en la e ce a ase (o ase de esolucibn), una ez de e minado el plan de esolucibn, pe o no an es. Pa a abo da la enseíianza de la esolución de p oble- mas de cálculo se ha dedicado un iempo a amilia i- za al alumno con unos eje cicios en los que la p o- ducción di e gen e in e iene de mane a p imo dial, de- bido a la ín ima conexión exis en e en e los p incipa- les ac o es in oluc ados en dichas ope aciones men- al y las ap i udes elacionadas con la c ea i idad (10). Po lo que se e ie e di ec amen e a la enseñanza de la esolución de p oblemas de cálculo se ha elabo ado una «di ec iz» especi ica, o conjun o sis emá ico de indicaciones heu ís icas (en el sen ido de Landa, o sea, en con aposición a algo í micas (1 1)), que se conside- an ú iles pa a esol e p oblemas de cálculo a i mé i- co. Dicha di ec iz p e ende se un es imulo pa a el alumno in e esado en e lexiona sob e el p oblema p opues o y no un conjun o de limi aciones a la ac i i- dad del alumno imagina i o, po lo que no se debe usa con igidez. En su con ección se han enido en cuen a las cua o ases de esolución de un p oblema; conc e amen e: (a) Se hace hincapié en la comp ensión del enunciado (1 ' ase) a a és de pone el acen o en la es uc u a a i mb ica del enunciado, o a maz6n ope- a o io, a in de asimila co ec amen e la je a quía de las ope aciones. (b) Se dan a ias ideas que pueden con- duci a la elabo ación de un plan (2' ase). (c) Se dan algunas ó mulas que pueden se Ú iles en la ejecución delplan (3a ase). (d) Se insis e en la necesidad de e ec- ua una e aluación comple a de odo el cálculo (41 ase). A in de que el alumno adquie a un dominio su icien- e en la u ilización de la di ec iz. se esuel en a ios ejemplos e lexionando en oz al a, en base a in e o- gaciones p og esi as suge idas po la di ec iz. Segui- damen e, se ab e una ((e apa de en enamien o)) du an- e la cual el alumno debe eje ci a se a esol e p oble- mas con la ayuda de la di ec iz, mien as que el p o- eso debe limi a se a p opo ciona le sblo indicaciones que la p opia di ec iz p opone. Es a ase 4 se cie a con una e apa de consolidación en la que se e ue za el uso de la di ec iz median e la esolución de dis in- os p oblemas ( e Ap. IV). En o al, la du acibn de es a ase es de sie e ho as de clase. 1.1.5. Fase 5: Consolidación - Repaso Du an e dos o es sesiones se esuel en di é sos eje - cicios y p oblemas a in de ol e a insis i en los pun- os c uciales y de epasa sucin amen e las p incipales di ec ices que se han ido dando du an e el desa ollo de la D. 1.1.6. Fase 6: Realización de las p uebas Median e la ealización de es p uebas (que se lle an a cabo en sendas sesiones de una ho a), se p e ende ob- ene una alo ación minimamen e obje i a de los e- sul ados ob enidos en cada uno de los es obje i os iniciales de la p esen e D. Dichas p uebas son, espec- i amen e: «P ueba m,», que cons a de dos pa es: écnicas de cálculo (TDCF) y de ección de e o es (DDEF) y cons i uye una éplica p ác icamen e idén i- ca a la «P ueba m. inicial)) ( ealizada inmedia amen- e an es del comienzo de la Fase 1) que igu a en el Ap. 1; «P ueba Ni el A» (PRNA), que cons i uye el Ap. 11, y «P ueba de Ni el B» (PRNB), una mues a cuyo con enido se encuen a en el Ap. IV. O Un ce (1) dia e ici de je : e e COI e1 P c COI di COI P~C ac La un ch~ e, pe: e! la As VO ic la I OTROS TRABAJOS I 2. RESULTADOS Y VALORACIONES DE LA DIDACTICA allan los esul ados inales ob enidos en cada una de 2.1. Resul ados de la DidQc ica las p uebas de con ol ealizadas en la Fase 6, jun o con o os da os es adís icos de in e ks; asimismo, se han ( O ecemos a con inuación un cuad o en el que se de- incluido los da os co espondien es a la «P ueba m,». DDEF 3'242 2'66 27'2 'p 10 '6 :: 56'6 ';ó PRNA 3'739 3'5 37'2 ",ó 15 $7 37'2 $ 1 PRNB 1'478 0'5 9'7 $ 2'7% 80'9% Un p ime analisis del cuad o an e io nos pe mi e ha- ce las obse aciones siguien es: (1) Nó ese que la media de DDEF es in e io a la me- dia de la PRNA. Una simple ojeada a las p uebas co- espondien es pone de mani ies o la exis encia de di- icul ades especiales en la DDE que no podemos deja de lado pues o que epe cu en en los dos p jme os ob- je i os a los que nos e e iamos en la in oducción. En e ec o, cuando a i mábamos que un p ime obje i o consis ía en consegui que el alumno alcanzase un «ni- el mínimo» de conocimien o en el cálculo a i mé ico, p esuponiamos que la DDE o maba pa e de dichos conocimien os básicos (c . 1.1.3.) y que, además, su di icul ad se man enía en un p ime ni el. Asimismo, conside ábamos que la ealización de cálculos más com- plejos ( e Ap. 11) poseía un segundo ni el de di icul- ad y cons i uía pues, un obje i o mas ambicioso. La ealidad, sin emba go, es que la DDE se si úa en un ni el de di icul ad más al o que la ealización de di- chos cálculos más complejos si bien és os, po su pa - e, cons i uyen un segundo g ado de complejidad es- pec o a las écnicas de cálculo en sí (el p ime g ado end ía de e minado po la 1' pa e de cualquie a de la p uebas pa alelas m, y m,, o sea, TDCI y TDCF). Así pues, la dis inción en e los dos p ime os obje i- os es con usa ya que se en ec uzan sus ni eles de di- icul ades, po lo cual debe án eplan ea se o e o mu- la se adecuadamen e. (2) Po lo que se e ie e al e ce obje i o, es ob io que es amos lejos aún de alcanza unos esul ados sa is ac- o ios: la media de la PRNB (1 '478) y el po cen aje de alumnos que la supe an (9'7 %) así lo indican. Las p incipales azones que, a nues o juicio, explican es e hecho son: A) El poco iempo empleado en la Fase 4, especial nen- e si enemos en cuen a el no able g ado de di icul- ad de los p oblemas de cálculo. B) El hecho de que odos los alumnos ue on a a- dos con la misma me odología, a pesa de que la mayo ía de ellos (el 62'8 %) no habia supe ado la PRNA. .(3) En lo e e en e al segundo obje i o, el po cen aje de alumnos que supe an la PRNA no es ampoco su i- cien emen e ele ado (37'2 %) mien as que, po el con- a io, el de los alumnos que no alcanzan el 3 es aún excesi amen e al o (37'2 %). .C eemos que hay que des aca , de en e Las causas que pe mi en explica es os esul ados, las siguien es: A) El hecho de que sólo unos pocos alumnos ealiza- on e ec i amen e un mínimo núme o de eje cicios. B) Al igual que en el apa ado (2), el hecho de que o- dos los alumnos ue on some idos al mismo i mo de abajo, con una misma me odologia, a pesa de que el 33% no habia supe ado la p ueba co es- ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS OTROS TRABAJOS C - pondien e a las écnicas de cálculo de ni el míni- mo (TDCF). (4) En cuan o al p ime obje i o, hay que dis ingui S la DDE de las TDC; sólo el 27'2 % supe ó la p ueba de la DDEF, lo que da una medida de la di icul ad que en a ia la ealizaci6n de es e ipo de p uebas; debe e- mos pues e isa el a amien o de la Fase 3 (c . 3.1). Finalmen e, en TDC podemos a i ma que se ha alcan- zado un ni el su icien emen e sa is ac o io (que, no obs an e, espe amos inc emen a ), puesio que casi el 70 % de los alumnos supe a la p ueba de TDCF y sólo un 16'6 % no alcanza el 3, mien as que casi un 40 '70 ob iene una no a supe io o igual a 7. 2.2 E icacia de la Didác ica Es e iden e que el anáiisis de unos esul ados no es su- icien e pa a de e mina la e icacia de una DidAc ica. En e ec o, hay que ene en hen a ambién el ni el ini- cial del alumnado. Así, y a in de cuan i ica en lo posible dicha e icacia, se han de inido es índices en unción de las no as i- nales ( ) e iniciales (i); conc e amen e: 11 = -i; 12 = ( -i).( + i) / ; 13 = ( -1) / (M-i); donde M es la no a máxima que se puede ob ene en la p ueba. En el siguien e cuad o pueden obse a se algunos da- os ele an es e e en es a los dos p ime os índices: -€scaia: Media Mediana % ~iumnos(~ Alumnos I con 1 < 3 I 1' in e esa sólo ema ca algunos aspec os: 3. CRITERIOS DE MODIFICACION 1 1) Es os índices son, esencialmen e, medidas de con- as ación; debe emos pues dispone de los da os cm- espondien es a o as Didác icas (en pa icula , a modi icaciones de és a) @es de emi i juicios de a- lo de ini i os de los ac uales da os. 2) En es e sen ido, el p ime índice no es muy adecua- do, pues o que iden i ica p og esos cla amen e no equi alen es, (p.e., el paso de 1 a 4 y el paso de 6 a 9). I 3) A simple is a se obse a una di e encia no able en- e los indices de TDC y de DDE, lo que pone de mani ies o, una ez más, las di icul ades inhe en- es al ap endizaje de la DDE. 4) Finalmen e, y eniendo en cuen a lo que hemos ob- se ado en 1). que emos des aca el al o alo de I2TDC; signi ica que un alumno medio con no a ini- cial N, E Ii alcanza una no a iinal N, E li+,, don- de 1,,= (0.3). 1,= (3.5) 1+= (5,7), 1,= (7.8'51, 1,= (8'5.10),, 0s i <2- 3.1. C i e ios in e nos de modi icación Tan o el an e io análisis de los esul ados ob eni- dos como el p opio desa ollo de la D. nos pe mi- en dispone de unos c i e ios pa a modi ica la en una di ección que, en p incipio, pa ece adecuada. C eemos pues opo uno des aca es aspec os que debe án se obje o de e isión en una p óxima e - sión de dicha D.: 1) El con ol e ec i o del abajo del alumno Tal y como es aba concebida es a D., se dejaba un amplio ma gen de esponsabilidad al alumno pa a la ealización de su abajo; la ealidad, sin emba - go, se impone y obliga a eplan ea se algún ipo de con ol más con inuado y p o undo. Debe íamos, en e ec o, pode dis ingui obje i amen e aquellos alumnos que se au oexcluyen del seguimien o de la D. de aquellos que no pueden, pese a in en a lo, man ene el i mo. OTROS TRABAJOS 2) La alención a los casos pa icula es De acue do con lo que'obse Abamos en un pun o an e io (c . 2.1. (2) B) y (3) B), nos pa ece imp es- cindible conoce (median e algún ipo de p ueba de con ol) quC alumnos no es án aún capaci ados pa- a accede a ni eles supe io es de di icul ades (es- pecialmen e a la F.4). Ello nos obliga l a elabo a me odologias especi i- cas que pe mi an a ende especialmen e a dichos alumnos. 3) La e o mulación de los obje i os 1' y 2' mamen e ligada an o a las espec i as du aciones de las ases cen ales (c . 2.1 (2) A) como a la a i- culación en e las mismas (especialmen e la Fase 3 con las Fases 2 y 4). 3.2.'Cn enos ex e nos de modi icación Un p ime análisis de los esul ados de la in es iga- ción que el Gmp A es a es á lle ando a cabo pa a de e mina , en lo posible, algunos de los ac o es cogni i os más ele an es en el ap endizaje de cie - as A eas de la Ma emá icas (c . no a (3)) se sin e i- za en el siguien e cuad o: (Recué dese que TDCF signi ica «Técnicas de cálculo inal» - 1 '. pa e dc la o ueba ((P ueba m,» -; DDEF. ((De ección de Hemos insis ido su icien emen e ya en es e aspec o e o es inal» - 2'. Pa e.de la ((P ueba m,» -; (: . 1.1.3. y 2.1. (1)); aquí sólo nos in e esa des a- PRNA, ((P ueba de Ni el A» y PRNB, {(P ueba de Ni el B)) - éanse los Apéndices -): . , ca e1 hecho de que dicha e o mulación es á in i- (*) Es signi ica i o a un ni el de con ianza de 0.05 Una explicación más de allada de es a in es igación no ie íe cabida aquí;. ( ease a es e espec o el a iculo de J. Gascón (1984) que apa ece en es a misma pu blicacibn). F (*) 24.26 21.20 13.33 Unicamen e nos limi a emos a esumi sucin amen e el signi icado de aquellos ac o es que p esen an un pa - icula in e és. Fac o es que in e ienen más siqni ica i amen e(in- c emen an ~2 en mds de 2%) CS.$, E=$, o=#, mi$ N, CS$ Cc$, $, mi$ CS$, € $, RUS, ~ $ Así, llamamos ((Co e ge sis emas simbólicos» (Cs.%) a la ap i ud de gene a la espues a de e minada po un conjun o de in o macibn, cuando es a espues a consis e, po su pa e, en un conjun o, es uc u a u o - ganización de pa es en in e acción de ca ác e simbblico. 4 En endemos po ((E alua elaciones simbó/icm» (E $) la capacidad de emi i juicios co ec os, en base a c i- e ios p e ijados, sob e ope aciones undamen ales en- e núme os, ínculos de igualdad y desigualdad y, en TDCF DDEF PRNH PRNB mbl i~le in, odo ipo de enlaces o puen es en e concep os ex- p esados simbólicamen e o, incluso, en e g upos de símbolos con un signi icado a bi a io conocido de an emano. R .S6 .49 .4Ei .47 Po di e ge elaciones simbólicas» (D $ en endemos la capacidad de gene a , a pa i de una in o mación p e ia de ipo simbólico, una di e sidad de elaciones cuali a i amen e di e en es (en endidas es as como ne- xos o enlaces en el sen ido apun ado an e io men e). R~ .31 -24 .23 .22 In e p e amos «Memo iza implicaciones simbólicas» (Mi$)como la capacidad de eco da consecuencias de- e minadas y conocidas a pa i de una in o mación da- da, de ipo simbólico. Pa a una ampliación del signi icado de odos es os ac- o es, así como de su papel en la Es uc u a de la In e- ligencia, debemos emi i nos a la bibliog a ía ( éase Guil o d (1977)). ENSERANZA DE LAS CIENCIAS OTROS TRABAJOS C eemos opo uno e ec ua algunas obse aciones: (A) Un pun o de e e encia pa a comp ende el alcance de es os esul ados lo p opo ciona un abajo de Guil- o d y dos de sus colabo ado es, en el cual se in en a conoce en qué medida un conjun o de 20 ac o es (en- e los que se encuen an los 9 ac o es u ilizados en nues os análisis) puede p edeci el éxi o de un cu so de no eno g ado (13-14 años) en ((Basic Ma hema ics)) (de inido como «a i mé ica a anzada» y o os campos de las Ma emi icas. El coe icien e de co elación múl- iples (ccm) ob enido en dicho es udio es R =0'48 (c . Guil o d, Hoep ne y Pe e sen (1965). especialmen e pp. 660-61 y 671-72). Se obse a á que, en nues o caso, el ccm en TDCF- es lige amen e supe io (R = 0'56) y sensiblemen e idén- ico en DDEF, PRNA Y PRNB. Así pues, se con i ma el hecho de que los ac o es es- cogidos son insu icien es pa a explica el endimien o en cálculo a i méiico (medido, cla o es á, con nues as p uebas de con ol - c . Fase 6-), lo que es á de acue do con la in e p e ación de Guil o d de sus p o- pios esul ados (c . Guil o d (1977), p.48) y, po lo an- o, sena con enien e in oduci nue os ac o es en aná- lisis pos e io es. (B) La inclusión de o os ac o es (en nues o análi- sis), conc e amen e: TDCI, DDEI, Sexo, Si uación de pa o del cabeza de amilia y Condición de epe ido de 1 ele a el ccm en TDCF a R =0'64, en DDEF y PRNA a R = 0'58 y en PRNB a R =0957, con ni eles de signi icancia ele ados de TDCI, y DDEI (espc. en DDEF, PRNA y PRNB). Ello ha& pensa que si se hu- biesen incluido ac o es de conocimien o adecuados en un p incipio (de un ni el e ec i amen e elemen al, da- da la si uación inicial del alumno) muy p obablemen- e se explica ía un po cen aje ele ado de la a iabili- dad o al de las p uebas inales (c .. a es e espec o, el abajo de N.Webb (1979), o ambién el a ículo ci- ado an e io men e). (C) La dis ibución de los ac o es en cada una de las . a iables inales nos p opo ciona unos c i e ios ex e - nos (no inhe en es a la p opia D.) de modi icación, si no absolu amen e de ini i os, si po lo menos con más base que me as in uiciones a iesgadas. En conc e o e- sal a emos los siguien es pun os: I ) El hecho de que p ecisamen e en DDEF (De ección de e o es inal) al ac o .E $ (E alua elaciones simbólicas) adquie a mayo ele ancia que el ac- o Cs$ (Con e ge sis emas simbólicos) y, po o a pa e, la impo an e pa icipación de dicho ac o E $ en odas las a iables inales, nos pe mi e a i - ma que debe emos po encia la Fase 3 a in de in- c emen a las habilidades cogni i as e e e!i es a la e aluación. 2) En is a de la pa icipación signi ica i a del ac o D $ (Di e ge elaciones simbólicas), debe emos po- ne más én asis en los eje cicios de di e ge (c . Ap. 111) a in de desa olla las habilidades elaciona- das con la p oducción di e gen e. 3) Hab á que in oduci algún ipo de eje cicio de me mo izacibn, de acue do con la especial apo ación del ac o Mi$ (Memo iza implicaciones simbóli- cas). i 4) Si obse amos los ac o es que in e ienen en la PRNA nos da emos cuen a de que no apa ecen ac- o es dis in os de los que se encuen an en TDCF. Con ello, nues o 2' obje i o (a sabe , el p opósi o de que el alumno domine unas écnicas de cálculo con un ni el de complejidad ele ado-c Ap. 11-) que- da bas an e en un segundo é mino, ya que su con- secución no apo a un desa ollo de nue os ac o- es cogni i os (del ipo de habilidades p ima ias), con lo que uno de los p incipales a gumen os que p opo cionaba («a p io i))) una jus i icación de di- cho obje i o (c . 1 .O. (b)) no iene base. 5) La an e io objeción no es álida, en cambio, pa a el e ce obje i o de nues a D., pues o que apa e- ce un nue o ac o , el RUS (Reconoce unidades se- mán ica~, ambién denominado Comp ensión e - bal, c . Guil o d, (1965) p. 665), sin duda de di ícil in e p e ación. Po o a pa e, nó ese que la apo - ación de D $ es ele an e en compa ación con su in luencia en DDEF y en PRNA. h 4. CONCLUSIONES Si bien con ca ác e p o isional, c eemos es a en con- diciones de des aca algunas conclusiones: (1) La sepa ación en dis in as ases obedece, undamen- almen e, a la necesidad de pone un pa icula én- asis en los ac o es especialmen e in oluc ados en ( los dis in os aspec os del cálculo; es deci , en la Fa- se 2 acen uamos el ac o Cs$ (Con e ge sis emas simbólicos) en la Fase 3, el ac o E S y en la Fase 4, el ac o D $ (lo que no signi ica que cada ac o in e enga sólo en las ac i idades que se ealizan en las espec i as ases). Es a necesidad, a su ez, p o- iene de la ela i a independencia de dichos ac o- es (c . Guil o d (1977)). (2) La capacidad de de ec a e o es es á Ín imamen e asociada a la capacidad de au oe aluación. Así, el desa ollo de una implica, en cie a medida, el de , la o a, po lo que la Fase 3 adquie e especial ele ancia. ( (3) La dis inción en e eje cicio de cálculo yp oblema de cálculo pe mi e dedica una a ención a a eas en ( las que las ap i udes de c ea i idad puedan mani- es a se con una mayo in ensidad po lo que la Fase 4 adquie e una especial signi icación. (4) Aunque no de ini i os, los esul ados ob enidos en 1 écnicas de cálculo elemen ales han sido mínima- men e sa is ac o ios, especialmen e en lo que e io ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS E . . OTROS TRABAJOS I e al inc emen o de los conocimien os iniciales. Po el con a io, en de ecci6n de e o es elemen ales no se ha alcanzado un ni el mínimo, po lo que debe- emos es o za nos en comp ende mas p o unda- . men e los p ocesos in e nos que se lle an a cabo en es a ac i idad. I (S) De acue do con lo que hemos ei e ado en el pun o an e io (c . 3.2. 4/) nues o segundo obje i o de- be & se eplan eado, mien as que el e ce obje i- o, en cambio, ecibi & un nue o impulso pa a su ea i mación. Po úl imo, que emos pone de mani ies o que o- do el abajo ealizado iene como in úl imo ele- a el ni el de ap endizaje del alumno a a és de nues o p opio pe eccionamien o wmo ense ian es, po lo que ag adecemos de an emano odas las su- ge encias, indicaciones y c i icas que nos pe mi an p og esa en es a a ea. NOTAS (1) La e sión in eg a o ma pa e de la Memo ia de Final de Cu so p esen ada po el G up A es a al I.C.E. de la Uni e sidad de Ba celona (Junio. 1984). (2) Conc e amen e, c Jaume Balmes)). «San Josep de Ca- lassanq)) y «VaU d'Heb on». (3) Con ella se p e ende llega a conoce la in luencia de di e sos ac o es cogni i os del ipo de habilidades p i- ma ias (en el sen ido de Gui o d) en el ap endizaje de, di e sos campos de la Ma emh ica. Dichos ac o es ie- nen su in e p e acidn en el ma co eó ico de la Es uc- u a de la In eligencia de J.P. Guil o d y se han ob cni- do a a ks de las knicas del análisis ac o ial aplica- das a un conjun o de 30 p uebas iniciales pasadas a los REFERENCLAS BIBLlOGRAFlCAS GUILFORD, J.P.. 1977, Na u aleza de la in eligencia hu- mana (Paid6s: Buenos Ai es). GUILFORD, J.P.. HOEPFNER. R., PETERSEN, H., 1965, P edic ing achie emm in nin h-g ade ma he na ics om m asu es o in eUec uai-a~ i uds ac o s, Educa iona and Psychologica ~easu emen , XXV, No 3, pp. 659-682. LAMARCA, J.Ma, 1982. De ecci6n de e o es en el dlcu10 a i mk ico: un ensayo me odológico, Ac as de las II Jo - nadas sob e Ap endizaje y Ense lanza de las Ma ema i- cas, 11, pp. 549-574. ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS alumnos du an e la p ime a semana del p esen e cu so. Dichas p uebas debe án se e inadas an es de pode da las conclusiones po de ini i as. (4) Véase, P.e., Polya (1981). (5) Véase Lama ca (1982). (6) «No cabe duda de que las di icul ades (. . .) pa a ence la endencia a emi i espues as incon oladas (...) es- an en e las más impo an es que debe a on a odo pedagogo (...)M (A.R.Lu ia (1981). p. 239). (7) C . Guil o d (1977), cap. VIII. (8) C . Lama ca (1982). especialmen e, p. 554. (9) Véase, P.e., Piage (1975). (10) C . Guil o d (1977), cap. VI, esp. p. 199 y cap. XVI. (1 1) Véase Landa (1972). LANDA, L.N., 1972, Cibe nb ica y pedagogía (Labo : Ba celona). LURIA, A.R. y TSVETKOVA, L.S., 1981. La esolución de p oblemas y sus as o nos (Fon anella: Ba celona). PIAGET, J. y SZEMINSKA. A., 1975, GQnesis del nume o en el niño (Guadaiupe: Buenos Ai es). POLYA, G., 1981, Cdmo plan ea y esol e p oblema (Tn- Ilas: MCxico). WEBB, N.L.. 1979, P ocesses. Concep ual Knowledge. and Ma hema ical p oblem-sol ing abili y, Jou nal o Re- sea ch in Ma he'ma ics Educa ion. 10. No 2, pp. 83-93.