OTROS TRABATOS
ENSEÑANZA DE LA TOPOLOGIA
Y
GEOMETRIA
EN LOS NIVELES ELEMENTALES
VlDAL COSTA, E., DE LA TORRE FERNANDEZ, E.
SUMMARY
Bo h opological and geome ic no ions a e a pa icula ly essen ial componen in he de elopmen o child en's
awa eness. Many au ho s ag ee in he impo ance o his knowledge bu a e in dispu e
as
o how i should be
s uc u ed. We a e di iding he wo k in o wo pa s: in he i s we a e dealing wi h he con en and o e ing
a lea ning scheme; in he second we a e o e ing some didac ic guidance.
INTRODUCCION
En las úl imas décadas la Ma ema ica ha p og esado má ica se o alecie on
y
desa olla on. Es os cambios
conside ablemen e desbo dando su cauce adicional e y los expe imen ados po las Ciencias de la Educación
inundando, po p ime a ez, ex ensas zonas del cono- han obligado a hace un eplan eamien o de su
cimien o, zonas que, al ecibi el in lujo de la ma e- enseñanza.
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS,
1984,
pp.
11
1-1
15
11
1
OTROS TRABAJOS
Desde los ni eles elemen ales la e o ma de los p og a-
mas y los mé odos ha sido espec acula : nue os emas,
plan eamien os, en oques, e c. Una de las pa es esen-
ciales de la Ma emá ica que bas an es años después de
es a e o ma educa i a oda ía no ha encon ado el si-
io adecuado es la Geome ía. Su paula ina desapa i-
ción de los ni eles básicos ha ido en aumen o y la p eo-
cupación po es e ema se mani ies a en a ios aba-
jos y cong esos (Guzmán Ozámiz 1983, Howson 1973,
Voll a h 1976). En las 111 Jo nadas sob e Ap endizaje
y Ense ianza de las Ma emá icas, celeb adas en 1983
en Za agoza, Hans F euden al mani es ó en la con e-
encia inaugu al: «En cada ni el de desa ollo cognos-
ci i o -escola o no- hay una Geome ía que se
ap ende po sí misma, siemp e que se le dé la opo u-
nidad de desa olla se, y que es un componen e esen-
cial de es e desa ollo)). Uno de los obje i os de es e
abajo es esal a la impo ancia de la enseñanza de
la Topología
y
de la Geome ia desde los p ime os ni-
eles, pa a que, de una (( o ma equilib ada)), los ni-
ños ayan desa ollando sus capacidades cognosci i as
y descub iendo las nociones ma emá icas.
Tal como a i ma Mese e (Howson, 1973), noso os
pensamos que la Geome ia es undamen al en el es u-
dio de la ma emá ica a cualquie ni el y i al pa a el
uso e ec i o o el es udio de cualquie ama de la Ma e-
má ica.
Y,
en pa icula , c emos que ((juega un papel
cada ez más impo an e en los mode nos p og amas
de la enseñanza de la ma emá ica elemen al)) (UNES-
CO, 1973).
A lo la go de es e abajo comen a emos algunos plan-
eamien os
y
cambios ecien es en la enseñanza de la
Topología y de la Geome ia en los p ime os ni eles,
di idiéndolo en dos pa es: a) Con enidos, b) Didác ica.
a)
Con enidos:
En cuan o a los con enidos que deben enseña se en la
Ma emá ica elemen al nos encon amos, aunque pa ez-
ca pa adógico, con una pa e mode na de la ma emá-
ica, la Topología, la cual «según algunos)) (Piage e
Inhelde 1956, Sau y 1972) es el pun o de a anque.
El niño, a lo la go de sus juegos, iene ocasión de a-
milia iza se con la i encia opológica; sin emba go,
es as adquisiciones se ealizan en un o den dispe so y
son nume osas las lagunas. Si el niño posee solamen e
una colección de imágenes aisladas le es imposible al-
canza un pensamien o geomé ico supe io . Pa a su-
pe a la e apa imagina i a como base del pensamien o
ep esen a i o y pode cons ui y ans o ma igu as
espaciales, necesi a maneja obje os, cuyo uso con i-
nuado conduce al descub imien o de elaciones y és-
as, pos e io men e, se hacen leyes de Geome ia.
Según Piage -Inhelde (1956), ap oximadamen e a pa -
i de los
6
años los concep os opológicos an ans-
o mándose len amen e en concep os p oyec i os y
euclideos. El espacio p oyec i o apa ece, psicológica-
men e, cuando un obje o empieza a se conside ado
men almen e no aislado, sino en elación a un pun o
de is a; el niño comienza en onces a ap ecia cómo
se p esen an los obje os cuando son con emplados des-
de di e en es posiciones.
Aho a bien, Lo e11 (1966) dice que no es posible sabe
con ce eza si es co ec a la esis de Piage -Inhelde
ace ca de la p imacía opológica, es o es, que la con-
cepción del espacio en el niño comienza con los con-
cep os opológicos. ¿No se á que los niños han pe ci-
bido cie o ipo de elaciones en el espacio euclideo que
pueden exp esa se mejo y en é minos más p ecisos
empleando elaciones opológicas? Analizando algunos
expe imen os de Piage , como el de la pe cepción de
o mas po medio del ac o, no pa ece se e iden e que
las elaciones opológicas, como ales, posibili en al ni-
ño a iden i ica unas igu as más acilmen e que o as.
Análogamen e Da ke (1 982) a i ma que es os expe i-
men os de Piage conducen es a p oba su esis de la
p imacia opológica es án a menudo complicados po
ac o es no concep uales, y los concep os de espacio
en el niño son a ec ados po ac o es como el lengua-
je, si uación social, escuela, e c.
Y
e mina diciendo,
lo mismo que Kapadia (1974), que pa ece imp uden e
conclui de los expe imen os de Piage la necesidad de
enseña los concep os opológicos en los p ime os ni-
eles, como p oponen
J.
y
S. Sau y (1972).
Como esumen de es a la ga polémica ci a emos
a
Schippe (1983), quien hace un análisis de es a discu-
sión eó ica
y
expe imen almen e, pa a e mina a i -
mando: «Lo más impo an e no son los concep os que
deben se enseñados, sino las ac i idades que ealicen
los niños con papeles, ije as, goma, cue das, made a,
e c. y la e lexión sob e es as ac i idades)).
p esen amos un esquema (Fig. 1) sob e el desa ollo
de es os concep os opológicos y geomé icos, en el que
(( a amos)) de expone una o ma es uc u ada de o -
ganiza los con enidos. En muchos aspec os
es
mas p ó-
ximo a los esquemas desa ollados po The Associa-
ion o Teache s o Ma hema ics (1977), que a los p o-
g amas o iciales, incluyendo los de las di e en es Au o-
nomías. Lo hacemos con odas las ese as sob e es as
es uc u aciones que son me amen e o ien a i as y que
deben conside a se con g an lexibilidad. Resal amos
las (( ans o maciones» en el sen ido es ado-ope ado -
es ado ( ans o mación geomé ica en nues o caso, en
el a i mé ico, ope ación), que p opugna Dienes (1970).
b)
Didác ica:
En los ni eles elemen ales, la mejo o ma de ap oxi-
ma se a la Ma emá ica consis e en hace , cons ui y
descub i sob e la expe iencia. Es o conduci á de lo pa -
icula a lo gene al (Dienes, 1970). Las nociones espa-
ciales no pueden aisla se de lcs o os emas y deben se
expe imen adas en cada año de la escuela, median e las
expe iencias y el uso del ma e ial didác ico adecuado
(Dienes y Golding, 1967).
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS
OTROS TRABAJOS
Toma de concienc;a
FIGURA
1
del cue po
~s uc u ac;Ón del
espacio
P
e
e
s
a
Nomb es
da
algunos
.-.
TRANSFORMACIONES
.-m,-
.--
.-
C
l
C
1
Escala
O
GRUPO DE LOS
M
MOVIMLENTOS
1
i
SEMEJANZAS
En el pa ula io, la enseñanza debe dedica se mucho Con odas esas igu as puec4on cons ui mu os y mo-
saicos, descub iendo qué o mas ? icajan mejo , sin de-
más a la o mación de capacidades e iniciación de con-
ja
huecos.
Le an ando
y
dando
la
uel a
o
gi ando
CeP oS que a la adquisición de hechos. Debemos ene dichos bloques descub en las
p ime as
nocioiic
de
si-
p esen e que los concep os no se enseiian: lo Único que me ia. Pos e io men e, los niilos pueden comenza a
podemos hace es c ea y p esen a las si uaciones y ex-
pe iencias que ayuden a los niilos a o ma los. En compa a el amailo de las supe icies cub iendo algu-
nas igu as planas con cuad ados, cí culos, exágonos,
P eescola , los niaos deben juga con sólidos de di e- e c.
clasi ica án
las
supe icies
de
acue do
con
su
en es amaños
y
o mas, sin necesidad de conoce o-
á ea
y
sin
necesidad
de
u ilim
ninguna
ó mula,
lo
cual
dos sus nomb es, y pueden comenza a clasi ica los en
se
ha á
más
a de.
i ud de sus p opiedades. El examen de las ca as de
es os sólidos conduce a las o mas bidimensionales. T a ando de de e mina más ac i idades que si an pa-
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS
113
OTROS TRABAJOS
a el desa ollo de las ideas p eceden es en la p ác ica,
c eemos que lo más ú il es comen a algunas de las ya
ci adas po Holloway (1982), Dienes y Golding (1967)
y
J.
y S. Sau y (1972).
1.
PARA DESARROLLAR CONCEPTOS
TOPOL~GICOS:
Las p ime as ep esen aciones del espacio que el niño
se a a o ma an a pa i de las pe cepciones elemen-
ales co espondien es a las elaciones de p oximidad,
sepa ación, o den, con o no y con inuidad. Pa a agi-
liza la in e io ización de dichas pe cepciones se pue-
den p opone las sigdien es ac i idades:
Reconocimien o de o mas po el sen ido del ac o ex-
clusi amen e. Dibuja de e minadas igu as. Los más
pequeños descuida án las elaciones p oyec i as y eucli-
deas; sólo a pa i de los 8 años end án en cuen a las
p opo ciones y la dis ancia.
Podemos in en a que los niños anspongan un «o -
den)) lineal en o o ambién lineal, de o ma di ec a o
in e sa; o un ((o den)) ci cula en lineal, e c. A pa i
de los 6 o de los 7 años se alcanza g adualmen e la cons-
ucción del o den in e so po ensayo-e o .
Realización de eje cicios de lazos o nudos. Es os se in-
culan a elaciones opológicas ales como p oximidad
y
sepa ación y ambién a o den, con o no y
en elazado.
Pa a cap a la idea de egión y de on e a podemos
oma laminas di ididas po a ias líneas. Cogiendo i-
chas de colo es (de dis in o an e so y e e so) las des-
plazamos sob e dichas láminas de modo que al pasa
po encima de una de esas líneas damos la uel a a la
icha: al acaba el juego p egun a emos cómo son las
ichas que es án en una u o a egión.
Clasi icación de igu as según c i e ios opológicos. Lí-
neas abie as o ce adas, supe icies con uno o más agu-
je os, e c.
Se pueden ealiza eje cicios de ipo opológico de di-
icul ad muy di e en e. En pa icula los g a os o e-
cen un buen ejemplo de es o. Podemos comenza con
caminos sencillos e i complicándolo con esquemas ca -
og a icos, ablas de doble en ada, e c. Es o nos su-
gie e ac i idades de e o zamien o de nociones ap e-
hendidas en ciclos an e io es. De cie a di icul ad son
el ((juego de Conwayn y el de las ((coles de B uselas))
o de los ((bo ones)) (Sau y, 1972).
2.
PARA DESARROLLAR CONCEPTOS
PROYECTIVOS:
En el lib o de Dienes y Golding (1967) encon amos una
se ie de ichas de abajo en elación con lo que lla-
man ((geome ía de las somb as)). La obse ación de
las somb as que p oyec an di e sos obje os da luga
al es udio de las ans o maciones in e sas, la seme-
janza, la con exidad, las escalas, e c.
Podemos coloca an e el niño la maque a de un paisa-
je y si ua en di e en es luga es, al ededo de ella, un
muñeco. Si p egun amos al niño qué es lo que e el mu-
ñeco, aquel iene que es o za se po disocia su p o-
pio pun o de is a del de los demás. Aquí apa ecen e-
laciones de o den aplicadas a dos de las es dimensio-
nes p esen es en las pe spec i as conside adas: delan e-
de ás e izquie da-de echa. Al ededo de los 8 años,
el ag upamien o de elaciones es aún incomple o y es-
as se cons uyen pa cialmen e y po sepa ado, una as
o a. A los
9
o
10
años el niño puede elabo a una es-
pecie de esquema ope acional comple o de la es uc u-
a, a pa i del cuál puede cons ui o os pun os de
is a.
En cuan o a adi ina la o ma que end án las di e en-
es secciones de un sólido, los p ime os acie os los en-
d emos en niños de
5
a 7 años y con igu as sencillas
(cilind o, es e a); a es a edad hay con usión de pun os
de is a, pues la abs acción o mal que se equie e pa a
ello exige una ac i idad men al mucho mayo que la
abs acción de o mas sencillas po medio del ac o.
Si p egun amos a los niños cuál se á la o ma que adop-
a á una hoja de papel doblada en o ma de ejado,
al desplega la, o cual se á el desa ollo de un cilind o
ealizado con un papel en ollado, sus espues as nos
an a da una idea de las di icul ades con las que o-
piezan al a a de imagina el desa ollo de supe i-
cies y la magni ud de la dependencia de es a capacidad
espec o de la expe iencia del p oceso eal de desple-
ga sólidos. A i ma Hoiloway (1982) que ((un niño a-
milia izado con el plegado de papel es á dos o es años
adelan ado con espec o a los niños que ca ecen de es-
a expe iencia)).
3. PARA DESARROLLAR CONCEPTOS
EUCLIDEOS:
Podemos deci que una p opiedad euclidea es aquella
que pe manece in a ian e al p oyec a una igu a pla-
na, median e un haz de ayos pa alelos, sob e un pla-
no pa alelo al plano de la igu a. Es o ya nos puede
suge i a ias ac i idades, p oyec ando igu as y o-
mando como oco al Sol.
An es de en a en la p ác ica de las ans o maciones
euclideas, podemos plan ea con los niños alguna dis-
cusión ace ca de la idea de ángulo y de di ección. Es o
da luga a a ias ac i idades como eco e caminos
sob e el suelo, es udia los cambios de di ección en un
c uce de au opis as, e c.
Como p e endemos es udia la Geome na euclidea des-
de un pun o de is a no es á ico, amos a ealiza ac i-
idades ace ca de los gi os o o aciones, las sime ías
y las aslaciones. El es udio de los gi os se puede abo -
da haciendo camina a los niilos sob e con o nos po-
ligonales con exos y no con exos y eniendo en cuen-
a los gi os a la de echa y a la izquie da.
Podemos es udia la sime ía bajo dos aspec os: como
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS
OTROS TRABAJOS
ans o mación
y
como p opiedad de las igu as,
y
así
es necesa io ealiza ac i idades en ambas di ecciones.
Los p ime os eje cicios en o no a es a ans o mación
se án a base de dobla papel
y
calca . Luego ha emos
obse a al ni io el e ec o p oducido al coloca en e
a la igu a un espejo o dos pa alelos. Si colocamos aho-
a los dos espejos e icalmen e, o mando di e en es
ángulos, podemos engend a las sime ías
y
los di e-
en es gi os de la igu a
y
ambién es udia sus ejes de
luga a una aslación.
Todas es as ac i idades ienen po obje o la acumula-
ción de una g an can idad de expe imen os geome i-
cos, que da án luga a la con o mación en la men e de
los niños de las es uc u as geomé icas de modo que,
más adelan e
y
en el momen o opo uno, sean capaces
de asimila una cla i icación analí ica de odo lo que
han ap endido.
sime ía. Po úl imo insis imos en la necesidad de u iliza el ma-
En cuan o al es udio de las aslaciones, podemos ha- e ial didác ico adecuado, en e el que debe empeza
ce e lexiona al niño sob e cual es el camino seguido a conside a se el mic oo denado , el cual, con el len-
po un pun o cualquie a de la igu a a lo la go de su guaje ((LOGO)), pe mi e un ace camien o de los niños
aslación. Si colocamos dos espejos pa alelos, el niño a la in o má ica
y
a la ((geome á de la o uga)) desde
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