Enseñanza de la Topología y Geometría en los niveles elementales

OTROS TRABATOS ENSEÑANZA DE LA TOPOLOGIA Y GEOMETRIA EN LOS NIVELES ELEMENTALES VlDAL COSTA, E., DE LA TORRE FERNANDEZ, E. SUMMARY Bo h opological and geome ic no ions a e a pa icula ly essen ial componen in he de elopmen o child en's awa eness. Many au ho s ag ee in he impo ance o his knowledge bu a e in dispu e as o how i should be s uc u ed. We a e di iding he wo k in o wo pa s: in he i s we a e dealing wi h he con en and o e ing a lea ning scheme; in he second we a e o e ing some didac ic guidance. INTRODUCCION En las úl imas décadas la Ma ema ica ha p og esado má ica se o alecie on y desa olla on. Es os cambios conside ablemen e desbo dando su cauce adicional e y los expe imen ados po las Ciencias de la Educación inundando, po p ime a ez, ex ensas zonas del cono- han obligado a hace un eplan eamien o de su cimien o, zonas que, al ecibi el in lujo de la ma e- enseñanza. ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1984, pp. 11 1-1 15 11 1 OTROS TRABAJOS Desde los ni eles elemen ales la e o ma de los p og a- mas y los mé odos ha sido espec acula : nue os emas, plan eamien os, en oques, e c. Una de las pa es esen- ciales de la Ma emá ica que bas an es años después de es a e o ma educa i a oda ía no ha encon ado el si- io adecuado es la Geome ía. Su paula ina desapa i- ción de los ni eles básicos ha ido en aumen o y la p eo- cupación po es e ema se mani ies a en a ios aba- jos y cong esos (Guzmán Ozámiz 1983, Howson 1973, Voll a h 1976). En las 111 Jo nadas sob e Ap endizaje y Ense ianza de las Ma emá icas, celeb adas en 1983 en Za agoza, Hans F euden al mani es ó en la con e- encia inaugu al: «En cada ni el de desa ollo cognos- ci i o -escola o no- hay una Geome ía que se ap ende po sí misma, siemp e que se le dé la opo u- nidad de desa olla se, y que es un componen e esen- cial de es e desa ollo)). Uno de los obje i os de es e abajo es esal a la impo ancia de la enseñanza de la Topología y de la Geome ia desde los p ime os ni- eles, pa a que, de una (( o ma equilib ada)), los ni- ños ayan desa ollando sus capacidades cognosci i as y descub iendo las nociones ma emá icas. Tal como a i ma Mese e (Howson, 1973), noso os pensamos que la Geome ia es undamen al en el es u- dio de la ma emá ica a cualquie ni el y i al pa a el uso e ec i o o el es udio de cualquie ama de la Ma e- má ica. Y, en pa icula , c emos que ((juega un papel cada ez más impo an e en los mode nos p og amas de la enseñanza de la ma emá ica elemen al)) (UNES- CO, 1973). A lo la go de es e abajo comen a emos algunos plan- eamien os y cambios ecien es en la enseñanza de la Topología y de la Geome ia en los p ime os ni eles, di idiéndolo en dos pa es: a) Con enidos, b) Didác ica. a) Con enidos: En cuan o a los con enidos que deben enseña se en la Ma emá ica elemen al nos encon amos, aunque pa ez- ca pa adógico, con una pa e mode na de la ma emá- ica, la Topología, la cual «según algunos)) (Piage e Inhelde 1956, Sau y 1972) es el pun o de a anque. El niño, a lo la go de sus juegos, iene ocasión de a- milia iza se con la i encia opológica; sin emba go, es as adquisiciones se ealizan en un o den dispe so y son nume osas las lagunas. Si el niño posee solamen e una colección de imágenes aisladas le es imposible al- canza un pensamien o geomé ico supe io . Pa a su- pe a la e apa imagina i a como base del pensamien o ep esen a i o y pode cons ui y ans o ma igu as espaciales, necesi a maneja obje os, cuyo uso con i- nuado conduce al descub imien o de elaciones y és- as, pos e io men e, se hacen leyes de Geome ia. Según Piage -Inhelde (1956), ap oximadamen e a pa - i de los 6 años los concep os opológicos an ans- o mándose len amen e en concep os p oyec i os y euclideos. El espacio p oyec i o apa ece, psicológica- men e, cuando un obje o empieza a se conside ado men almen e no aislado, sino en elación a un pun o de is a; el niño comienza en onces a ap ecia cómo se p esen an los obje os cuando son con emplados des- de di e en es posiciones. Aho a bien, Lo e11 (1966) dice que no es posible sabe con ce eza si es co ec a la esis de Piage -Inhelde ace ca de la p imacía opológica, es o es, que la con- cepción del espacio en el niño comienza con los con- cep os opológicos. ¿No se á que los niños han pe ci- bido cie o ipo de elaciones en el espacio euclideo que pueden exp esa se mejo y en é minos más p ecisos empleando elaciones opológicas? Analizando algunos expe imen os de Piage , como el de la pe cepción de o mas po medio del ac o, no pa ece se e iden e que las elaciones opológicas, como ales, posibili en al ni- ño a iden i ica unas igu as más acilmen e que o as. Análogamen e Da ke (1 982) a i ma que es os expe i- men os de Piage conducen es a p oba su esis de la p imacia opológica es án a menudo complicados po ac o es no concep uales, y los concep os de espacio en el niño son a ec ados po ac o es como el lengua- je, si uación social, escuela, e c. Y e mina diciendo, lo mismo que Kapadia (1974), que pa ece imp uden e conclui de los expe imen os de Piage la necesidad de enseña los concep os opológicos en los p ime os ni- eles, como p oponen J. y S. Sau y (1972). Como esumen de es a la ga polémica ci a emos a Schippe (1983), quien hace un análisis de es a discu- sión eó ica y expe imen almen e, pa a e mina a i - mando: «Lo más impo an e no son los concep os que deben se enseñados, sino las ac i idades que ealicen los niños con papeles, ije as, goma, cue das, made a, e c. y la e lexión sob e es as ac i idades)). p esen amos un esquema (Fig. 1) sob e el desa ollo de es os concep os opológicos y geomé icos, en el que (( a amos)) de expone una o ma es uc u ada de o - ganiza los con enidos. En muchos aspec os es mas p ó- ximo a los esquemas desa ollados po The Associa- ion o Teache s o Ma hema ics (1977), que a los p o- g amas o iciales, incluyendo los de las di e en es Au o- nomías. Lo hacemos con odas las ese as sob e es as es uc u aciones que son me amen e o ien a i as y que deben conside a se con g an lexibilidad. Resal amos las (( ans o maciones» en el sen ido es ado-ope ado - es ado ( ans o mación geomé ica en nues o caso, en el a i mé ico, ope ación), que p opugna Dienes (1970). b) Didác ica: En los ni eles elemen ales, la mejo o ma de ap oxi- ma se a la Ma emá ica consis e en hace , cons ui y descub i sob e la expe iencia. Es o conduci á de lo pa - icula a lo gene al (Dienes, 1970). Las nociones espa- ciales no pueden aisla se de lcs o os emas y deben se expe imen adas en cada año de la escuela, median e las expe iencias y el uso del ma e ial didác ico adecuado (Dienes y Golding, 1967). ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS OTROS TRABAJOS Toma de concienc;a FIGURA 1 del cue po ~s uc u ac;Ón del espacio P e e s a Nomb es da algunos .-. TRANSFORMACIONES .-m,- .-- .- C l C 1 Escala O GRUPO DE LOS M MOVIMLENTOS 1 i SEMEJANZAS En el pa ula io, la enseñanza debe dedica se mucho Con odas esas igu as puec4on cons ui mu os y mo- saicos, descub iendo qué o mas ? icajan mejo , sin de- más a la o mación de capacidades e iniciación de con- ja huecos. Le an ando y dando la uel a o gi ando CeP oS que a la adquisición de hechos. Debemos ene dichos bloques descub en las p ime as nocioiic de si- p esen e que los concep os no se enseiian: lo Único que me ia. Pos e io men e, los niilos pueden comenza a podemos hace es c ea y p esen a las si uaciones y ex- pe iencias que ayuden a los niilos a o ma los. En compa a el amailo de las supe icies cub iendo algu- nas igu as planas con cuad ados, cí culos, exágonos, P eescola , los niaos deben juga con sólidos de di e- e c. clasi ica án las supe icies de acue do con su en es amaños y o mas, sin necesidad de conoce o- á ea y sin necesidad de u ilim ninguna ó mula, lo cual dos sus nomb es, y pueden comenza a clasi ica los en se ha á más a de. i ud de sus p opiedades. El examen de las ca as de es os sólidos conduce a las o mas bidimensionales. T a ando de de e mina más ac i idades que si an pa- ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS 113 OTROS TRABAJOS a el desa ollo de las ideas p eceden es en la p ác ica, c eemos que lo más ú il es comen a algunas de las ya ci adas po Holloway (1982), Dienes y Golding (1967) y J. y S. Sau y (1972). 1. PARA DESARROLLAR CONCEPTOS TOPOL~GICOS: Las p ime as ep esen aciones del espacio que el niño se a a o ma an a pa i de las pe cepciones elemen- ales co espondien es a las elaciones de p oximidad, sepa ación, o den, con o no y con inuidad. Pa a agi- liza la in e io ización de dichas pe cepciones se pue- den p opone las sigdien es ac i idades: Reconocimien o de o mas po el sen ido del ac o ex- clusi amen e. Dibuja de e minadas igu as. Los más pequeños descuida án las elaciones p oyec i as y eucli- deas; sólo a pa i de los 8 años end án en cuen a las p opo ciones y la dis ancia. Podemos in en a que los niños anspongan un «o - den)) lineal en o o ambién lineal, de o ma di ec a o in e sa; o un ((o den)) ci cula en lineal, e c. A pa i de los 6 o de los 7 años se alcanza g adualmen e la cons- ucción del o den in e so po ensayo-e o . Realización de eje cicios de lazos o nudos. Es os se in- culan a elaciones opológicas ales como p oximidad y sepa ación y ambién a o den, con o no y en elazado. Pa a cap a la idea de egión y de on e a podemos oma laminas di ididas po a ias líneas. Cogiendo i- chas de colo es (de dis in o an e so y e e so) las des- plazamos sob e dichas láminas de modo que al pasa po encima de una de esas líneas damos la uel a a la icha: al acaba el juego p egun a emos cómo son las ichas que es án en una u o a egión. Clasi icación de igu as según c i e ios opológicos. Lí- neas abie as o ce adas, supe icies con uno o más agu- je os, e c. Se pueden ealiza eje cicios de ipo opológico de di- icul ad muy di e en e. En pa icula los g a os o e- cen un buen ejemplo de es o. Podemos comenza con caminos sencillos e i complicándolo con esquemas ca - og a icos, ablas de doble en ada, e c. Es o nos su- gie e ac i idades de e o zamien o de nociones ap e- hendidas en ciclos an e io es. De cie a di icul ad son el ((juego de Conwayn y el de las ((coles de B uselas)) o de los ((bo ones)) (Sau y, 1972). 2. PARA DESARROLLAR CONCEPTOS PROYECTIVOS: En el lib o de Dienes y Golding (1967) encon amos una se ie de ichas de abajo en elación con lo que lla- man ((geome ía de las somb as)). La obse ación de las somb as que p oyec an di e sos obje os da luga al es udio de las ans o maciones in e sas, la seme- janza, la con exidad, las escalas, e c. Podemos coloca an e el niño la maque a de un paisa- je y si ua en di e en es luga es, al ededo de ella, un muñeco. Si p egun amos al niño qué es lo que e el mu- ñeco, aquel iene que es o za se po disocia su p o- pio pun o de is a del de los demás. Aquí apa ecen e- laciones de o den aplicadas a dos de las es dimensio- nes p esen es en las pe spec i as conside adas: delan e- de ás e izquie da-de echa. Al ededo de los 8 años, el ag upamien o de elaciones es aún incomple o y es- as se cons uyen pa cialmen e y po sepa ado, una as o a. A los 9 o 10 años el niño puede elabo a una es- pecie de esquema ope acional comple o de la es uc u- a, a pa i del cuál puede cons ui o os pun os de is a. En cuan o a adi ina la o ma que end án las di e en- es secciones de un sólido, los p ime os acie os los en- d emos en niños de 5 a 7 años y con igu as sencillas (cilind o, es e a); a es a edad hay con usión de pun os de is a, pues la abs acción o mal que se equie e pa a ello exige una ac i idad men al mucho mayo que la abs acción de o mas sencillas po medio del ac o. Si p egun amos a los niños cuál se á la o ma que adop- a á una hoja de papel doblada en o ma de ejado, al desplega la, o cual se á el desa ollo de un cilind o ealizado con un papel en ollado, sus espues as nos an a da una idea de las di icul ades con las que o- piezan al a a de imagina el desa ollo de supe i- cies y la magni ud de la dependencia de es a capacidad espec o de la expe iencia del p oceso eal de desple- ga sólidos. A i ma Hoiloway (1982) que ((un niño a- milia izado con el plegado de papel es á dos o es años adelan ado con espec o a los niños que ca ecen de es- a expe iencia)). 3. PARA DESARROLLAR CONCEPTOS EUCLIDEOS: Podemos deci que una p opiedad euclidea es aquella que pe manece in a ian e al p oyec a una igu a pla- na, median e un haz de ayos pa alelos, sob e un pla- no pa alelo al plano de la igu a. Es o ya nos puede suge i a ias ac i idades, p oyec ando igu as y o- mando como oco al Sol. An es de en a en la p ác ica de las ans o maciones euclideas, podemos plan ea con los niños alguna dis- cusión ace ca de la idea de ángulo y de di ección. Es o da luga a a ias ac i idades como eco e caminos sob e el suelo, es udia los cambios de di ección en un c uce de au opis as, e c. Como p e endemos es udia la Geome na euclidea des- de un pun o de is a no es á ico, amos a ealiza ac i- idades ace ca de los gi os o o aciones, las sime ías y las aslaciones. El es udio de los gi os se puede abo - da haciendo camina a los niilos sob e con o nos po- ligonales con exos y no con exos y eniendo en cuen- a los gi os a la de echa y a la izquie da. Podemos es udia la sime ía bajo dos aspec os: como ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS OTROS TRABAJOS ans o mación y como p opiedad de las igu as, y así es necesa io ealiza ac i idades en ambas di ecciones. Los p ime os eje cicios en o no a es a ans o mación se án a base de dobla papel y calca . Luego ha emos obse a al ni io el e ec o p oducido al coloca en e a la igu a un espejo o dos pa alelos. Si colocamos aho- a los dos espejos e icalmen e, o mando di e en es ángulos, podemos engend a las sime ías y los di e- en es gi os de la igu a y ambién es udia sus ejes de luga a una aslación. Todas es as ac i idades ienen po obje o la acumula- ción de una g an can idad de expe imen os geome i- cos, que da án luga a la con o mación en la men e de los niños de las es uc u as geomé icas de modo que, más adelan e y en el momen o opo uno, sean capaces de asimila una cla i icación analí ica de odo lo que han ap endido. sime ía. Po úl imo insis imos en la necesidad de u iliza el ma- En cuan o al es udio de las aslaciones, podemos ha- e ial didác ico adecuado, en e el que debe empeza ce e lexiona al niño sob e cual es el camino seguido a conside a se el mic oo denado , el cual, con el len- po un pun o cualquie a de la igu a a lo la go de su guaje ((LOGO)), pe mi e un ace camien o de los niños aslación. Si colocamos dos espejos pa alelos, el niño a la in o má ica y a la ((geome á de la o uga)) desde pod á conclui que dos sime ías de ejes pa alelos dan el comienzo de la E.G.B. (Pape 1980, Abelson y di- Sessa 1981). REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS ABELSON, HAROLD y diSESSA, 1981, Tu le Geome y. (MIT P ess: Camb idge, Mass.) THE ASSOCIATION OF TEACHERS OF MATHEMA- TICS, 1977, No es on ma hema ics o child en. (Cam- b idge U.P., Camb idge). DARKE, I., 1982, A e iew o esea ch ela ed o he opo- logical p imacy hesis. Educa ional S udies in Ma hema- ics, ol. 13, pp. 119-142. DIENES, Z.P., 1970, Les six é apes du p ocessus d'app en- issage cn ma héma ique. (OCDL, Pa ís). T aducción: Las seis e apas del ap endizaje en ma emá ica (4a edición) (Tei- de, Ba celona) 1981. DIENES, Z.P. y GOLDING, E.W., 1967, Geome y o dis- o sion. (OCDL, Pa is). T aducción: La geome ía a I a- és de las ans o maciones: Topología. Geome ía p o- ec ii,a y a ín. (4a edición) (Teide, Ba celona) 1979. DIENES, Z.P. y GOLDING, E.W., 1967, Geome y o dis- o sion. (OCDL, Pa is). T aducción: La geomq ía a a- és de las ans o maciones: Geome ná euclidiana. (4a edi- ción) (Teide, Ba celona) 1982. EGSGARD, J.C., 1970, Some ideas in Geome y ha can be augh om K4. Educa ional S udies in Ma hema ics, ol. 2, PP. 478-495. FREUDENTHAL, HANS, 1981, Majo p oblems o ma - hema ics educa ion. Educa ional S udies in Ma hemalics, ol. 12, PP. 133-150. FREUDENTHAL, HANS, 1983, En odos los ni eles: iGeo- me ía! III J.A.E.M. (Za agoza). GUZMAN OZAMIZ, MIGUEL DE, 1983, G a os, cue pos con exos.. . , o as o mas de Geome ía, Coloquios In- e nacionales Uni e sidad-Enseñanzas Medias. (Mad id). HOLLOWAY, G.E.T., 1982, ConcepciSn del espacio en el niño según Piage . (Paidós, Ba celona). HOWSON, A.G. (ed.), 1973. De elopmen s in .Ma[l eiiia i- cal Educa io i, P oceedings o he Second ln e na ional Cong ess on Ma hema ical Educa ion (Camb idge U. P., Ca nb idge). KAPADIA, R., 1974, A c i ica1 examina ion o Piage - Inhelde 's iew on Topology, Educa ional S udies i i .Va[- he na ics, ol. 5, pp. 419-424. LANG, B. y RUANE, P.. 1981, Geome in English Secon- da y Schools, Educa ional S udies in lWa~he~na ic.~, ol. 12, PP. 123-132. LOVELL, K., 1966, T/ie G owh o basic lWa~he na[ical and Scien ~ ic concep s in child en (Hodde , London). T a- ducción: Desa ollo de los concep os básicos ina e na i- cos -V cien ~~icos en los niños. (4a edición) (Mo a a. Ma- d id) 1982. PAPERT, SEYMOUR, 1980, M1,VDSTORMS: Child's Compu e s and Po we ul Ideas, (Basic Books). T aduc- ción: Desa ío a la men e, (Galápago, Buenos Ai es), 198 1. PIAGET, J. y INHELDER, B., 1956, The child's concep- (ion o space. (Rou ledge and Kegan Paul, London). SAUVY, J. y S., 1972, L'en an á la décou e e de I'espace. (Cas e man). T aducción: El niño un e el espacio. (Pa- blo del Rio, Mad id), 1980. SCHIPPER, WILHELM, 1953, The opological p imacy he- sis: gene ic and didac is aspec s, Educa ional S udies in Ma hema ics, ol. 14, pp. 285-296. UNESCO, 1973, Nue as endencias en la enseñanca de la Ma emá ica. VOLLRATH, H.J., 1976, The place o Geome y in ma he- ma ics eaching: An analisis o ecen de elopmen s, Edu- ca ional S udies in Ma hema ics. ol. 7, pp. 431-442. ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS