T igonome ía
y
as onomía
en
cl
T a ado del Cuad an e Senne o
(c.
1
2
8
0)
"
1.
INTRODUCCION
El Cuad an e Senne o, al como apa ece b e emen e desc i o en el a-
ado d o isí que lle a su nomb e, es un ins umen o de obse ación que
p esen a dos a ian es: la p ime a consis e en un cuad an e mó il com-
bi lado con un cí culo azado en el suelo, en el plano del ho izon e, y
di idido en 3600
(1);
la segunda consis e en un cuad an e ijo si uado en
el plano del me idiano.
La ob a, o iginal de Rabí Gag, es aba,
al
pa ece , di idida en dos
pa es -dedicadas
a
los dos ipos de cuad an es-, la p ime a de las
cuales comp ende ía
13
capí ulos. De és os, los ocho que oda ía se
co ise a i ue on edi ados y es udiados po Millás Vallic osa (MILLÁS
VAI.LIC:ROSA, 1968).
Sin emba go, an o su ca ác e como sus con enidos hacen de es e
b e e a ado una ob a singula den o de la p oducción cien í ica
al-
o isí, po lo que esul a in e esan e e isa lo a la luz de las nue as in-
es igaciones sob e la ob a del Rey Sabio.
En p ime luga , la ob a que nos ocupa no se ajus a a las ca ac e ís i-
cas p opias de los a ados medie ales e e en es a ins umen al as o-
ió nico. El ins umen o en cues ión apa ece desc i o de mane a b e e e
inip eeisa, la ob a no dedica ni una sola línea a su cons ucción
(2),
y, a
10
la go del ex o, son a as las e e encias al ins umen o usado a la
ho a de esol e los di e en es p oblemas plan eados.
A
di e encia de
los a ados ecogidos en los Lib os del Sabe de As onomía (RICO,
1866),
'"
El p c~s '~i c a mjo ia
sido
ealizado g acias a una sub e ició i de la Co iisió i Aseso a de
I i cs igació~i Cicii i ica
y
Técnica.
':'',a
Dc:pa a iiai o dc A ab . C ii c sidad dc Ha celo ia. España.
(1
j
C i i is u nen o simila , aunque p o is o de un doble cuad an e que pe mi e a dos pe -
sonas ealiza obse~ aciones simul áneas, apa ece explicado con odo de alle po al-
"lj (IY e i
su
desc ipción de los i is u nen os del obse a o io de Ma aga (siglo XIIIj
{SEE-
MAN,
1928, pp. 72-81;. Pos e io nie i e, ambién al-~a4 (siglo XV) desc ibi á es e mismo
i is u ie i o -- e i iéndose explíci amen e a bla aga- (KF~~ .F.DY, 196 1, pp. 102- 103).
(2) Se@~n el índice
<MILI.As,
1960, pp. 240-241), e1 capí ulo XI -hoy pe dido- es a ía dedi-
cada a la cons ucción del ins umen o. En la adición medie al los a ados e e en es
al
uso del ins umen al as onómico suelen comenza con la desc ipción del apa a o, pa a
pasa
pos e io men e
a sus aplicaciones.
DYNAMIS
Ac a IIispa lica ad Medicinae Scien ia umqw His okm Illus andam.
Vol. 4, 1984, pp.
7
-2
2.
ISSN:
021
1-9536.
8
ELENA
AUSEJO
o ien ados a la cons ucción
y
al uso p ác ico
y
conc e o de di e sos i is-
umen os as onómicos, el
T a ado del Cuad an e Senne o
p esc i a
u ia
colección de p oblemas, cada uno de los cuales apa ece plan eado, e-
suel o
y
demos ado con odo igo . Es as demos aciones cons i uycn
un hecho excepcional en la bibliog a ía al onsí. En ellas
y
c i la eco is-
ucción de las igu as desc i as pa a su ilus ación -que io se ha i
conse ado- se cen a en buena medida nues o es udio.
El ni el de conocimien os igonomé ices expues o en es e a ado
cons i uye ambién la única p ueba de la asimilación
y
uso, po pa e al-
onsí, del ipo de igonome ía supe io ep esen ada po ibn Mu@
(siglo XI) (VILLUENDAS, 1979; SAMSO, 1980; GARC~A DONCEL, 1982) c
Ibn
A lah
(siglo XII) (LORCH, 1973) en la Península Ibé ica, e ilus a el
man enimien o en el siglo XIII de la coexis encia -iniciada en e1
siglo XI- de es e ipo de igonome ía supe io ju i o con una de c~z-
ác e más p ác ico -en el caso al onsí, la co espondie i e a los
Lib os
del Sabe de As onomía
(AUSEJO, 1984)-. El p esen e abajo es a unda-
men almen e en ocado hacia el análisis de es a cues is i.
Sin emba go, el hecho de que es a ob a mues e cómo el ((u ili a-
ismo)) que a menudo ca ac e iza el quehace cien í ico id s isí no i i-
plica necesa iamen e un bajo ni el de desa ollo eó ico no debe a i-
poco lle a a una sob e alo ación del ex o en el sen ido de un a ado
mode no. El
T a ado del Cuad an e Senne o
apa ece conio u ia colección
de p oblemas as onómicos o denados según un g ado de di icul ad
c ecien e y des inados a un público ya iniciado en el nanejo de los co i-
cep os básicos de la as onomía
y
de la igonome ía.
a)
De ecl~ icas a ecua o iales
La declinación de un as o
(a ed amien o del ecuado -
se ob iene a pa -
i
de
$11
longi ud
(longu a)
y
la i ud
(ladeza)
median e la ó mula
sen
(P
P')
.
cos
E
sen
6
=
cos
P'
(MILLAS, 1968,
p.
241)
donde
P'
es la declinación del g ado de la eclíp ica que culmina c a i el
g ado del eba imien o del as o -es deci ,
P"
HC
=
DG
en la Fi-
gu a 1
-.
El p ocedimien o se encuen a documen ado cn di e s s au-
o es, en e ellos Tolomeo
(NELGEBAIJER,
1975,
1,
p.
33:,
al-Ba Ziii
;Kx-
T igonome ia
y
as onomia en
el
T a ado del Cuad an e Senne o
(c.
1280)
9
LLINO,
1899-1907, 1, pp. 192-193), Ibn Y-ünus (DELAMBRE, 1.819,
página l41), Abü-1-Hasan (NALLINO,
1899-1907,
1,
p. 192), Ibn al-
HannZ' (VERNET,
ORUS,
1950) y Ulug Beg (SEDILLOT, 1847-1853, 11,
páginas 89-00). La Figu a 2 econs uye la explicada en el ex o, que es
o alnien e co ec a sal o en la e e encia al iángulo BDA, donde debe
lee se BDN (MILLÁS, 1960, p. 242):
Siendo ABC e1 ce co del mediodía -que en es e caso no es el
ie idimo-, DHZ e1 ecuado , AHC la eclíp ica y T la posición del
as-
o, la
demos ación
se basa en la p opo ción (Figu a
2):
sen NT
- -
sen NB
sen TL sen BD
donde
TL
es la unica incógni a, ya que sen NB
=
cos NK
y
sen BD
=
=
cos
E.
En e ec o, aplicando el eo ema de Menelao se iene:
sen DB
=-
sen BN sen TL'
sen DPQ sen TN sen LP,
sen NT sen BD sen
(p
I
p')
cos
E
sen TL
=
- -
sen NB cos
p'
La
demos ación, sencilla
y
cla a, sólo o ece un pun o de duda en
10
ela i o a la
declinacidn
en sen ido al onsí, es deci ,
a
la can i-
dad
P'
=
NK de la Figu a 2. Al plan ea la igu a a i ma (MILLÁS, 1960,
página 242) que si la es ella es u iese sob e el pun o
K,
su declinación
Figu a
1
Figu a
2
1
O
ELENA AUSEJQ
/a ed amien oj
se ía NK, lo cual, además de se also. con adice la ó -
mula del au o -sus i uyendo
B
=
O
se ob iene se 1
S
=
g cc~s
e--.
La poca cla idad del pasaje que desc ibe la de e iinación dc es a
con usión de
B'
con
S
plan ean dudas ace ca de la co ec a de e hii ia-
ción
y
uso de es a magni ud po pa e del au o .
La ascensión ec a
(sobimien os eguales)
de
un
as o se de e iiiia i ic-
dian e la ó mula
cos
$3
+
p.)
.
eo
a
=
h'
- -
A,
donde cos
A
=
-
os
S
sie ido
A
=
LN
la di e encia de paso
[des a iamien o d lpussn nie o
o
di-
ue ssida del passamien oj
y
h'
=
HN
(a ed amien o q ~ul.
--
Figu a
2--.
Buscando en la abla de ascensiones ec as se ob ie ie el g ado
dc
la
eclíp ica que culmina con el as o.
La demos ación igonomé ica (MILIAS, 1960,
pp.
244-244)
sc
basa en una aplicación di ec a del eo ema dcl cose io
al
iá igulo
es e-
ico ec ángulo TLN (Figu a
2):
cos
TN
-
-
cos
NL
cos
(p
I
p'il
,
de donde cos
A
=
60.
-
'_
cos TL sen 90 cos
6
El pun o
M
ep esen a el g ado de la eclíp ica que culmi ia co i
(31
as-
o (Figu a
2).
Hay que señala que en oda la desc ipció i de la
igu a
debe lee se
R
po
h.
Se o ece además o a igu a (Figu a
3)
pa a
.1
caso
en que la declinación y la la i ud son de signos dis in os
--U
c~p ese i i
la posición del as o y Qel g ado que culmina con el--.
Es e p ocedimien o no pa ece habe sido oniado
de
la adició i
o-
lemaica, ni apa ece desc i o en ningu io de los a~i o es bak~cs a i c io es
a Al onso
X
a iba ci ados. Sí que apa ece, si 1 eniba go, ecogido pos c-
io nien e po Ibn ai-Banná"/V~~x~~;
QRUS,
1950;.
b)
De ho izon ales
a
ecl(b icas
A es a cues ión es á dedicado el capí ulo scp i io del
l a udo
del
Cua-
d an e Senne o
(MILLÁS, 1960, pp. 251-255). P obable ie i e debido
i
la
complejidad del p ocedimien o empleado en es e capi ulo, a di e c icia
de los seis que le p eceden, no se expone la ó mula u ilizada pa a pasa
luego a la demos ación, sino que se de allan cada u io de los pasos e ec-
-
T igonome ia
y
as onomía en
el
T a ado del Cuad an e Senne o
(c.
1280)
11
uados, quedando la igu a más como ilus ación que como base de la
de ios ación. Veamos el p oceso:
Sea IEOC e1 ho izon e, QEQ' el ecuado , KOB la eclíp ica, ABC el
iic idia io,
0
el ascenden e,
A
el céni
y
H la posición del as o (Figu-
a
4).
Co no da os disponemos de la al u a HD
y
acimu
(zon e de la al-
u a)
BC del as o
y
de la longi ud del ascenden e. Podemos, pues, ob e-
ie la decli iación del g ado de medio cielo BQ'
y,
con ella, la al u a del
g ado de nedio cielo BC median e la ó mula:
Au a me idiana
=
cola i ud
declinación (MILLÁS, 1960, pp. 241-242)
Hallando la ampli ud o i a del ascenden e
(anchu a del o ien amien o)
E0
-po un p ocedimien o que de alla emos más adelan e- conoce-
emos el acimu del ascenden e CO
(a ed amien o del zon e del ascenden )
suniando
o
es ando de 900. Hallando además la dis ancia, medida so-
b e
la eclíp ica, del ascenden e al g ado de medio cielo
(a ed amien o del
ci~enden del g ado de medio cielo)
OB se ob iene:
sen BC 60
sen O
=
sen OB (Teo ema del seno en BOC)
OB=OC-DC
cos OD sen O
cos
z
=
60
[Teo ema de Gebe en OZD; debe lee se cos OD po sen OD (MI-
LLÁS,
1960,
p.
232, lín. 24)].
Pa
A
Figuia
S
Figu a
4

12
ELENA
AUSEJO
sen OD 60
sen OZ
=
sen
Z
(Teo ema del se io en OZD)
sen OZ sen O
sen ZD
=
60 (Teo ema del sc io en
OZD)
sen HZ
.
sen
Z
sen HT
=
60 (Teo ema del seno en
HTZ)
cos HZ 60
cos ZT
=
cos HT (Teo ema del coseno en
HTZ)
longu a p ime a
=
90
-
a csen (cos ZT)
=
ZT
longu a cie a
=
ZT
OZ
=
OT
longu a
=
o0
I
OT
=
yT
Con es o hemos ob enido la la i ud
(ladeza)
HT
y
la lo igi ud
(Lon-
gu a)
yT del as o. Sólo señala que la di e enciación de signos que se
p oduce a pa i de la de e minación de la
longu a p ime a
dcpendc
de
si
HD) ZD (la i ud No e) o HD
(
ZD (la i ud Su ), co no indica el ex o
en un pasaje bas an e oscu o (MILLAS, 1960,
p.
253, lin. 5-7
y
12-13).
En el caso en que OC
=
DC se iene que los ángulos an cs designa-
dos po O y
Z
(a,
y
Un
en la Figu a 5) son comgleme i a ios
y
que
la
lon-
gu a p ime a
es
igual
a la
longu a cie a.
Si además
y
=
O
e i o iccs la
10~2-
gu a cie a
es igual a la longi ud.
Una úl ima p ecisión: la sol u a y ecuencia con que en el ex o se
manejan ó mulas que incluyen la u ilización indisc i ninada de a cos
y
ángulos, senos y cosenos
al
mismo iempo, la exp esió i
de
dichas ií -
mulas y la igu a desc i a señalan, a nues o juicio,
el
uso
dc
los
cio e-
mas indicados, sin que ello quie a deci que io pudie a11 se ob c iidos
más o menos labo iosamen e a pa i del eo ei na de Mc ielao.
A
señala que ampoco es e p ocedimien o apa ece en ii iguno de
los au o es has a aho a ci ados.
I
c)
Declinacidn sola
El capí ulo oc a o (MILLAS, 1960, pp. 255-238), el único e i el
que
apa ece una e e encia explíci a a la u ilización del
Cuad an e Senne o
(MILLAS, 1960, p. 255), expone un p ocedimien o pa a halla la declina-
Tngonome ia
y
as onomía en
el
T a ado del Cuad an e Senne o
(c.
1280)
13
A
B
C
Figu a
5
Figu a
6
ció i del Sol a pa i de sus coo denadas ho izon ales, que ampoco se
encuen a en los au o es p e iamen e ci ados -habi ualmen e
se
ob-
iene la declinación del Sol a pa i de su longi ud median e la ó mula
sesi
S
=
aen
h
.
sen
E-.
El p oceso es el siguien e:
Sea LEZ el ho izon e,
LA
el ecuado , MN la eclíp ica, DZ el me i-
diano,
D
el polo del ecuado , B el céni , T la posición del Sol, TE su
al-
u a y EZ su acimu (Figu a 6). En onces se iene:
sen EZ sen
(90
-
cp)
60
=
COS
C
(Teo ema de Gebe en BCA, ya que B
=
EZ y BA
=
cp
=
90
-
AZ. En
la demos ación debe lee se AZ po AC (MILLÁS, 1960, p.
257,
lín. 11).
90
-
a csen (cos C)
=
C
sen
cp
.
60
=
sen BC
sen C (Teo ema del seno en BCA, ya que A
=
900)
90-BC=CE
TE- CE=TC
se 1 TC sen C
60
=
sen TH'
=
sen
S
[Teo ema del seno en TCH'
(3)]
(3)
El ex o ol ida onia seno en
TC
(MILLÁS,
1960,
p.
256, 1.7-8).
Además, en la
p.
257,
líneas
34
y
SS., debe lee se
H'
po
H,
ya que
H
es el segundo pun o de co e de ho izon e
y
ecuado
-
que no apa ece en nues a igu a-. En las es p ime as líneas de la
p.
258
de x* lee sep opwczón del szno de .c.
.
al szno del angulo de
h',
el que
es
sub ende al angulo de echo a
14
ELENA
AUSBJO
La declinacián se á nula si TE
=
CE, posi i a si
TE:
)
CE:
y
icga i a si
TE
<
CE. Una ez ob enida la declinación emi e, pa a el co ioci iie i o
de la longi ud, a una abla de declinación sola que no apa ece c i las
e siones la inas de las ablas al onsies
(41,
aunque sí sc alude a clla e i
los cánones cas ellanos
(RICO,
1866,
IV,
p.
136,
cap.
XX).
El hecho de conside a la longi ud como incógni a explica la no u i-
lización del p ocedimien o habi ual
al
que aludía nos
u1
p incipio de
es e apa ado. Sin emba go, pod ía habe u ilizado
el
p scedi iic i o dc
cambio de coo denadas desc i o en el apa ado an e io pa a ob e ic
di ec amen e la longi ud sola sin pasa po la declinación. En es e scn-
ido, la ob a p esen a un encomiable a án de suy>e ació i
e
inno-
ación.
En el caso en que el Sol se encuen e en el cuad an e o ien al sepeen-
ional u occiden al sep en ional se expone un p ocedixnien o a ialogo
al
an e io :
Siendo HKLT el ho izon e, HLE el ecuado , KT la eclíp ica,
ANE
el
me idiano,
A
el céni ,
P
el polo del ecuado ,
B
la posición del as o,
DL
y
BD nues os da os, se iene (Figu a
7):
sen
ND
sen (90
.-
cp)
60
=
cos
C
(Teo ema de Gebe en DCL, ya que L
=
90
-
cp,
L,D
=
90
-
ND
y
D
=
900).
90
-
a csen (cos C)
=
C
sen LD sen (90
-
cp)
a csen
(
sen C +BD=HC
[Teo ema del seno en DCL, aunque el ex o ol ida onia a csc io
(MILLAS, 1960, p. 258, 1.26)].
sen
BC
sen
C
60
=
sen
6
[Teo ema del seno en
BCH',
aunque
el
ex o ol ida onia
seno
en
BC
y en
6
(MILLAS, 1960, p. 258, lín. 27-28)].
Ix.
Pues de la mul iplicac ón del sino de .c. . en el s no del angulo de
.c. .
en
el
sino
del angulo d
.e.
el
que nomb amos padmq
e
de
la pa ición de lo que salie e sob e
lx
se a
el
sino de
.hl. .
sabiido.
(4)
Hemos consul ado
las
ediciones
de
1483,
1524
y
1553.
T igonome ía
y
as onomía en
el
T a ado del Cuad an e Senne o
(c.
1280)
15
111.
UNA CONSTRUCCION DE ORIGEN HINDU
La de e minación del a co diu no, de las ho as iguales
y
empo ales
y
de
la
di isión de las casas del zodiaco iene especial ele ancia en es e
ex o al o isí po que desemboca en la u ilización, pa a la esolución de
un g oble ia conc e o, de écnicas de o igen hindú.
Veamos cómo se esuel e:
a)
De e ninacidn del a co diu no. Ho as iguales
y
empo ales
El a co diu no se ob iene median e la ó mula:
a c. diu no
=
1800
2P
(MILLAS, 1960, p. 246)
sen
cp
.
sen
6
donde se i
P
=
60 cos
cp
cos
6
siendo
P
la ecuación del día
(di e ssida
o
des a iamien o).
Di idiendo el
a co diu no po
12
ob end emos ho as empo ales,
y
di idiendo po
15, ho as iguales.
Siendo ABCD el me idiano, AVC
el
ho izon e, BVD
el
ecuado ,
O
y
E
los polos del ecuado
y
M la posición del as o (Figu a 8) la demos a-
ción es
la
siguien e (MILLAS, 1960, pp. 246-247):
sen M
-
os
--
sen
L
cos
6
(Teo ema de Gebe )
Figu a
7
Figu a
8
22
ELENA
AUSEJO
sobimien os de u luga :
ascensión oblicua.
sobimien os eguales:
ascensión ec a.
sob e az:
plano.
zon e de la al u a:
acimu .
zon e de la cabeca:
ceni .
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