Trigonometría y astronomía en el "Tratado del Cuadrante Sennero" ("c". 1280)

Trigonometría y astronomía en cl Tratado del Cuadrante Sennero (c. 1 2 8 0) " 1. INTRODUCCION El Cuadrante Sennero, tal como aparece brevemente descrito en el tratado dforisí que lleva su nombre, es un instrumento de observación que presenta dos variantes: la primera consiste en un cuadrante móvil combirlado con un círculo trazado en el suelo, en el plano del horizonte, y dividido en 3600 (1); la segunda consiste en un cuadrante fijo situado en el plano del meridiano. La obra, original de Rabí Gag, estaba, al parecer, dividida en dos partes -dedicadas a los dos tipos de cuadrantes-, la primera de las cuales comprendería 13 capítulos. De éstos, los ocho que todavía se coriservari fueron editados y estudiados por Millás Vallicrosa (MILLÁS VAI.LIC:ROSA, 1968). Sin embargo, tanto su carácter como sus contenidos hacen de este breve tratado una obra singular dentro de la producción científica alforisí, por lo que resulta interesante revisarlo a la luz de las nuevas investigaciones sobre la obra del Rey Sabio. En primer lugar, la obra que nos ocupa no se ajusta a las características propias de los tratados medievales referentes a instrumental astroriórnico. El instrumento en cuestión aparece descrito de manera breve e inipreeisa, la obra no dedica ni una sola línea a su construcción (2), y, a 10 largo del texto, son raras las referencias al instrumento usado a la hora de resolver los diferentes problemas planteados. A diferencia de los tratados recogidos en los Libros del Saber de Astronomía (RICO, 1866), '" El prc~st'~itc tratmjo tia sido realizado gracias a una subvericióri de la Corriisióri Asesora de Irivcstigació~i Ciciitifica y Técnica. ':'',a Dc:partariiaito dc Arabr. Criivcrsidad dc Harceloria. España. (1 j Cri iristrurnento similar, aunque provisto de un doble cuadrante que permite a dos personas realizar obse~vaciones simultáneas, aparece explicado con todo detalle por al- "ljr(IY eri su descripción de los iristrurnentos del observatorio de Maraga (siglo XIIIj {SEEMAN, 1928, pp. 72-81;. Posteriornierite, también al-~a4f (siglo XV) describirá este mismo iristrurrierito --refiriéndose explícitamente a blaraga- (KF~~\.F.DY, 196 1, pp. 102103). (2) Se@~n el índice <MILI.As, 1960, pp. 240-241), e1 capítulo XI -hoy perdidoestaría dedicada a la construcción del instrumento. En la tradición medieval los tratados referentes al uso del instrumental astronómico suelen comenzar con la descripción del aparato, para pasar posteriormente a sus aplicaciones. DYNAMIS Acta IIispatlica ad Medicinae Scientiarumqw Histokm Illustrandam. Vol. 4, 1984, pp. 7 -2 2. ISSN: 021 1-9536. 8 ELENA AUSEJO orientados a la construcción y al uso práctico y concreto de diversos iristrumentos astronómicos, el Tratado del Cuadrante Sennero prescrita uria colección de problemas, cada uno de los cuales aparece planteado, resuelto y demostrado con todo rigor. Estas demostraciones constituycn un hecho excepcional en la bibliografía alfonsí. En ellas y cri la recoristrucción de las figuras descritas para su ilustración -que rio se hari conservadose centra en buena medida nuestro estudio. El nivel de conocimientos trigonométrices expuesto en este tratado constituye también la única prueba de la asimilación y uso, por parte alfonsí, del tipo de trigonometría superior representada por ibn Mu@ (siglo XI) (VILLUENDAS, 1979; SAMSO, 1980; GARC~A DONCEL, 1982) c Ibn Aflah (siglo XII) (LORCH, 1973) en la Península Ibérica, e ilustra el mantenimiento en el siglo XIII de la coexistencia -iniciada en e1 siglo XIde este tipo de trigonometría superior jurito con una de c~zrácter más práctico -en el caso alfonsí, la correspondierite a los Libros del Saber de Astronomía (AUSEJO, 1984)-. El presente trabajo esta fundamentalmente enfocado hacia el análisis de esta cuestisri. Sin embargo, el hecho de que esta obra muestre cómo el ((utilitarismo)) que a menudo caracteriza el quehacer científico idfsrisí no irriplica necesariamente un bajo nivel de desarrollo teórico no debe tarripoco llevar a una sobrevaloración del texto en el sentido de un tratado moderno. El Tratado del Cuadrante Sennero aparece conio uria colección de problemas astronómicos ordenados según un grado de dificultad creciente y destinados a un público ya iniciado en el rnanejo de los coriceptos básicos de la astronomía y de la trigonometría. a) De ecl~ticas a ecuatoriales La declinación de un astro (arredramiento del ecuadorse obtiene a partir de $11 longitud (longura) y latitud (ladeza) mediante la fórmula sen (P f P') . cos E sen 6 = cos P' (MILLAS, 1968, p. 241) donde P' es la declinación del grado de la eclíptica que culmina crari el grado del rebatimiento del astro -es decir, P" HC = DG en la Figura 1 -. El procedimiento se encuentra documentado cn diverstrs autores, entre ellos Tolomeo (NELGEBAIJER, 1975, 1, p. 33:, al-BatrZiii ;Kx- Trigonometria y astronomia en el Tratado del Cuadrante Sennero (c. 1280) 9 LLINO, 1899-1907, 1, pp. 192-193), Ibn Y-ünus (DELAMBRE, 1.819, página l41), Abü-1-Hasan (NALLINO, 1899-1907, 1, p. 192), Ibn alHannZ' (VERNET, ORUS, 1950) y Ulug Beg (SEDILLOT, 1847-1853, 11, páginas 89-00). La Figura 2 reconstruye la explicada en el texto, que es totalniente correcta salvo en la referencia al triángulo BDA, donde debe leerse BDN (MILLÁS, 1960, p. 242): Siendo ABC e1 cerco del mediodía -que en este caso no es el rrieridimo-, DHZ e1 ecuador, AHC la eclíptica y T la posición del astro, la demostración se basa en la proporción (Figura 2): sen NT - - sen NB sen TL sen BD donde TL es la unica incógnita, ya que sen NB = cos NK y sen BD = = cos E. En efecto, aplicando el teorema de Menelao se tiene: sen DB =- sen BN sen TL' sen DPQ sen TN sen LP, sen NT sen BD sen (p I p') cos E sen TL = - - sen NB cos p' La demostración, sencilla y clara, sólo ofrece un punto de duda en 10 relativo a la declinacidn en sentido alfonsí, es decir, a la cantidad P' = NK de la Figura 2. Al plantear la figura afirma (MILLÁS, 1960, página 242) que si la estrella estuviese sobre el punto K, su declinación Figura 1 Figura 2 1 O ELENA AUSEJQ /arredramientoj sería NK, lo cual, además de ser falso. contradice la fórmula del autor -sustituyendo B = O se obtiene ser1 S = tg cc~s e--. La poca claridad del pasaje que describe la deterrriinación dc esta confusión de B' con S plantean dudas acerca de la correcta deterhiiriación y uso de esta magnitud por parte del autor. La ascensión recta (sobimientos eguales) de un astro se deterrriiiiari rricdiante la fórmula cos $3 + p.) . eo a = h' -tA, donde cos A = - tos S sierido A = LN la diferencia de paso [desvariamiento drlpussnrnierrto o diuerssidat del passamientoj y h' = HN (arredramiento qt~ul. -- Figura 2--. Buscando en la tabla de ascensiones rectas se obtierie el grado dc la eclíptica que culmina con el astro. La demostración trigonométrica (MILIAS, 1960, pp. 244-244) sc basa en una aplicación directa del teorema dcl coserio al triárigulo esferico rectángulo TLN (Figura 2): cos TN - - cos NL cos (p I p'il , de donde cos A = 60. - '_ cos TL sen 90 cos 6 El punto M representa el grado de la eclíptica que culmiria cori (31 astro (Figura 2). Hay que señalar que en toda la descripcióri de la figura debe leerse R por h. Se ofrece además otra figura (Figura 3) para r.1 caso en que la declinación y la latitud son de signos distintos --U rc~preseritti la posición del astro y Qel grado que culmina con el--. Este procedimiento no parece haber sido toniado de la tradicióri tolemaica, ni aparece descrito en ningurio de los a~itores bak~cs aritcriores a Alfonso X arriba citados. Sí que aparece, sir1 enibargo, recogido postcriorniente por Ibn ai-Banná"/V~~x~~; QRUS, 1950;. b) De horizontales a ecl(bticas A esta cuestión está dedicado el capítulo scptirrio del lratudo del Cuadrante Sennero (MILLÁS, 1960, pp. 251-255). Probablerrierite debido ri la complejidad del procedimiento empleado en este capitulo, a difercricia de los seis que le preceden, no se expone la fórmula utilizada para pasar luego a la demostración, sino que se detallan cada urio de los pasos efec- - Trigonometria y astronomía en el Tratado del Cuadrante Sennero (c. 1280) 11 tuados, quedando la figura más como ilustración que como base de la derriostración. Veamos el proceso: Sea IEOC e1 horizonte, QEQ' el ecuador, KOB la eclíptica, ABC el riicridiario, 0 el ascendente, A el cénit y H la posición del astro (Figura 4). Corno datos disponemos de la altura HD y acimut (zonte de la altura) BC del astro y de la longitud del ascendente. Podemos, pues, obterier la decliriación del grado de medio cielo BQ' y, con ella, la altura del grado de rnedio cielo BC mediante la fórmula: Aura meridiana = colatitud f declinación (MILLÁS, 1960, pp. 241-242) Hallando la amplitud ortiva del ascendente (anchura del orientamiento) E0 -por un procedimiento que detallaremos más adelanteconoceremos el acimut del ascendente CO (arredramiento del zonte del ascendent) suniando o restando de 900. Hallando además la distancia, medida sobre la eclíptica, del ascendente al grado de medio cielo (arredramiento del ci~endent del grado de medio cielo) OB se obtiene: sen BC 60 sen O = sen OB (Teorema del seno en BOC) OB=OC-DC cos OD sen O cos z = 60 [Teorema de Geber en OZD; debe leerse cos OD por sen OD (MILLÁS, 1960, p. 232, lín. 24)]. Pa A Figuia S Figura 4 12 ELENA AUSEJO sen OD 60 sen OZ = sen Z (Teorema del serio en OZD) sen OZ sen O sen ZD = 60 (Teorema del scrio en OZD) sen HZ . sen Z sen HT = 60 (Teorema del seno en HTZ) cos HZ 60 cos ZT = cos HT (Teorema del coseno en HTZ) longura primera = 90 - arcsen (cos ZT) = ZT longura cierta = ZT f OZ = OT longura = o0 I OT = yT Con esto hemos obtenido la latitud (ladeza) HT y la lorigitud (Longura) yT del astro. Sólo señalar que la diferenciación de signos que se produce a partir de la determinación de la longura primera dcpendc de si HD) ZD (latitud Norte) o HD ( ZD (latitud Sur), corno indica el texto en un pasaje bastante oscuro (MILLAS, 1960, p. 253, lin. 5-7 y 12-13). En el caso en que OC = DC se tiene que los ángulos antcs designados por O y Z (a, y Un en la Figura 5) son comglemeritarios y que la longura primera es igual a la longura cierta. Si además y = O eritoriccs la 10~2gura cierta es igual a la longitud. Una última precisión: la soltura y frecuencia con que en el texto se manejan fórmulas que incluyen la utilización indiscrirninada de arcos y ángulos, senos y cosenos al mismo tiempo, la expresióri de dichas fiírmulas y la figura descrita señalan, a nuestro juicio, el uso dc los rcioremas indicados, sin que ello quiera decir que rio pudiera11 ser obtcriidos más o menos laboriosamente a partir del teoreirna de Mcrielao. A señalar que tampoco este procedimiento aparece en riiriguno de los autores hasta ahora citados. I c) Declinacidn solar El capítulo octavo (MILLAS, 1960, pp. 255-238), el único eri el que aparece una referencia explícita a la utilización del Cuadrante Sennero (MILLAS, 1960, p. 255), expone un procedimiento para hallar la declina- Tngonometria y astronomía en el Tratado del Cuadrante Sennero (c. 1280) 13 A B C Figura 5 Figuta 6 cióri del Sol a partir de sus coordenadas horizontales, que tampoco se encuentra en los autores previamente citados -habitualmente se obtiene la declinación del Sol a partir de su longitud mediante la fórmula sesi S = aen h . sen E-. El proceso es el siguiente: Sea LEZ el horizonte, LA el ecuador, MN la eclíptica, DZ el meridiano, D el polo del ecuador, B el cénit, T la posición del Sol, TE su altura y EZ su acimut (Figura 6). Entonces se tiene: sen EZ sen (90 - cp) 60 = COS C (Teorema de Geber en BCA, ya que B = EZ y BA = cp = 90 - AZ. En la demostración debe leerse AZ por AC (MILLÁS, 1960, p. 257, lín. 11). 90 - arcsen (cos C) = C sen cp . 60 = sen BC sen C (Teorema del seno en BCA, ya que A = 900) 90-BC=CE TECE=TC ser1 TC sen C 60 = sen TH' = sen S [Teorema del seno en TCH' (3)] (3) El texto olvida toniar seno en TC (MILLÁS, 1960, p. 256, 1.7-8). Además, en la p. 257, líneas 34 y SS., debe leerse H' por H, ya que H es el segundo punto de corte de horizonte y ecuador - que no aparece en nuestra figura-. En las tres primeras líneas de la p. 258 detx* leersepropwczón del szno de .c. t. al szno del angulo de h', el que es subtender al angulo derecho a 14 ELENA AUSBJO La declinacián será nula si TE = CE, positiva si TE: ) CE: y ricgativa si TE < CE. Una vez obtenida la declinación remite, para el coriocirriierito de la longitud, a una tabla de declinación solar que no aparece cri las versiones latinas de las tablas alfonsies (41, aunque sí sc alude a clla eri los cánones castellanos (RICO, 1866, IV, p. 136, cap. XX). El hecho de considerar la longitud como incógnita explica la no utilización del procedimiento habitual al que aludíarnos u1 principio de este apartado. Sin embargo, podría haber utilizado el prscedirriicrito dc cambio de coordenadas descrito en el apartado anterior para obtericr directamente la longitud solar sin pasar por la declinación. En este scntido, la obra presenta un encomiable afán de suy>eracióri e innovación. En el caso en que el Sol se encuentre en el cuadrante oriental sepeentrional u occidental septentrional se expone un procedixniento arialogo al anterior: Siendo HKLT el horizonte, HLE el ecuador, KT la eclíptica, ANE el meridiano, A el cénit, P el polo del ecuador, B la posición del astro, DL y BD nuestros datos, se tiene (Figura 7): sen ND sen (90 .- cp) 60 = cos C (Teorema de Geber en DCL, ya que L = 90 - cp, L,D = 90 - ND y D = 900). 90 - arcsen (cos C) = C sen LD sen (90 - cp) arcsen ( sen C +BD=HC [Teorema del seno en DCL, aunque el texto olvida toniar arcscrio (MILLAS, 1960, p. 258, 1.26)]. sen BC sen C 60 = sen 6 [Teorema del seno en BCH', aunque el texto olvida toniar seno en BC y en 6 (MILLAS, 1960, p. 258, lín. 27-28)]. Ix. Pues de la multiplicactón del sino de .c.t. en el stno del angulo de .c.t. en el sino del angulo dr .e. el que nombramos padmq et de la partición de lo que saliere sobre lx sera el sino de .hl.t. sabiido. (4) Hemos consultado las ediciones de 1483, 1524 y 1553. Trigonometría y astronomía en el Tratado del Cuadrante Sennero (c. 1280) 15 111. UNA CONSTRUCCION DE ORIGEN HINDU La determinación del arco diurno, de las horas iguales y temporales y de la división de las casas del zodiaco tiene especial relevancia en este texto alforisí porque desemboca en la utilización, para la resolución de un groblerria concreto, de técnicas de origen hindú. Veamos cómo se resuelve: a) Deterrninacidn del arco diurno. Horas iguales y temporales El arco diurno se obtiene mediante la fórmula: arc. diurno = 1800 f 2P (MILLAS, 1960, p. 246) sen cp . sen 6 donde seti P = 60 cos cp cos 6 siendo P la ecuación del día (diverssidat o desvariamiento). Dividiendo el arco diurno por 12 obtendremos horas temporales, y dividiendo por 15, horas iguales. Siendo ABCD el meridiano, AVC el horizonte, BVD el ecuador, O y E los polos del ecuador y M la posición del astro (Figura 8) la demostración es la siguiente (MILLAS, 1960, pp. 246-247): sen M - tos v -- sen L cos 6 (Teorema de Geber) Figura 7 Figura 8 22 ELENA AUSEJO sobimientos de tu lugar: ascensión oblicua. sobimientos eguales: ascensión recta. sobrefaz: plano. zonte de la altura: acimut. zonte de la cabeca: cenit. REFERENCIAS BZBLIOGRAFICAS Aüs~jo, E. (1984). Sobre los conocimientos trigonomktricos eri los 1,ibros del Saber da Astronomía de Alfonso X el Sabio. Llull, 6, 5-36. DELAMBRE, J. B. (1819). Histoire de 1'Astronomie du Moyen Age. Paris. GARC~A DONCEL, M. (1982). (Luadratic interpolation in Ibn ~u%h. Archives Z~~tematiorzaks d'Histoire des Sciences, 32, 68-7 7. KENXEDY, E. S. (1961). Al-KGhi's treatise on astronomical observütional instrurrierits. Jourtlal Near Easta ~tudiei. 20, 98108. Reeditado en KENNEDY, E. S. (1 9831. a'tudks ir1 tlie Zslumie Exact Sciences. 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