XX Cong eso de Ecuaciones Di e enciales y Aplicaciones
X Cong eso de Ma em´
a ica Aplicada
Se illa, 24-28 sep iemb e 2007
(pp. 1–??)
Soluciones me aes ables pa a un modelo de campos de ase
con m´as de dos ases
A. Jim´
enez-Casas1, M. Cas o 2
1,2Dp o. G upo Din´amica No Lineal, Uni e sidad Pon i icia Comillas de Mad id, Albe o Aguile a
23-28015 Mad id. E-mails: [email p o ec ed],[email p o ec ed].
Palab as cla e: campo de ase, me aes abilidad, espeso de in e ase
Resumen
Conside amos una gene alizaci´on del modelo de campos de ase semilineal [11],
usando una unci´on de densidad m´as gene al. Esa unci´on de densidad desc ibe la
sepa aci´on de mezclas con es o m´as componen es, en luga de las mezclas bina ias
de los modelos an e io es. P obamos la exis encia de soluciones me aes ables, es deci
que e olucionan muy len amen e en el iempo.
1. In oducci´on
En el caso unidimensional el modelo de campos de ase es el sis ema pa ab´olico semi-
lineal dado po















τϕ =ξ2ϕxx −1
2(ϕ3−ϕ)+2u, x ∈(a, b)
u +l
2ϕ =kuxx, x ∈(a, b)
ϕ0(a) = ϕ0(b) = 0
u0(a) = u0(b) = 0
ϕ(0, x) = ϕ0(x)∈H1(a, b)
u(0, x) = u0(x)∈L2(a, b)
(1)
Aqu´ı u( , x) ep esen a ´ıpicamen e la empe a u a de un pun o xen el ins an e de
iempo de una sus ancia que puede apa ece en dos ases di e en es, (po ejemplo s´olido-
l´ıquido) y ϕ( , x) es la unci´on campo de ase, que ep esen a una media local de la ase.
Las cons an es posi i as lykes an asociadas al calo la en e y a la di usi idad, mien as
que τyξ(espeso de la in e ase) son pa ´ame os posi i os asociados al iempo y a la
longi ud de escala [2],[3], [4].
1
A. Jim´enez-Casas, M. Cas o
Los modelos de campos de ase pueden desc ibi ambi´en la densidad de una colonia
de bac e ias o la masa de c ecimien o de un umo asi como la di usi´on de la densidad de
nu ien e. Finalmen e u( , x) es ambi´en la concen aci´on, del pun o xen el ins an e de
iempo , de una de las componen es de la mezcla.
En es e abajo conside amos las din´amicas de la sepa aci´on y colapso de mezclas de
es o m´as componen es, pa a lo cual conside amos una unci´on de densidad G0(ϕ) en luga
de la unci´o 1
2(ϕ3−ϕ), e i icando:
1.- G≥0 con G∈ C3
2.-G iene solamen e un n´ume o ini o de ce os, G−1(0) = {z1, .., zm}(los cuales se
co esponden con los es ados de las ases del sis ema).
3.- G”(zi)>0, i = 1, .., m (es os pun os es ´an asociados a m´ınimos de G.)
De es a o ma, si conside amos la unci´on de en alp´ıa =u+l
2ϕ, el obje i o es el
es udio del compo amien o de las soluciones (ϕξ, ξ) del sis ema:

















τϕ =ξ2ϕxx −G0(ϕ)−lϕ + 2 , x ∈(a, b)
=k xx −kl
2ϕxx , x ∈(a, b)
ϕ0(a) = ϕ0(b) = 0
0(a) = 0(b) = 0
ϕξ(0, x) = ϕξ
0(x)∈H1(a, b)
ξ(0, x) = ξ
0(x)∈L2(a, b)
(2)
cuando ξ∼0.
2. Resul ados P e ios
En es a secci´on conside amos un uncional de Lyapuno del sis ema (2) y esc ibimos
dicho uncional de o ma que una pa e del mismo es una exp esi´on que depende solamen e
de ϕ, simila al uncional de ene g´ıa usado en [9]. De es a o ma podemos aplica algunos
lemas ´ecnicos que han sido p obados en [9].
Lema 1 El uncional de ene g´ıa de inido po
Fξ(ϕ, ) = Zb
a
[ξ2
2ϕ2
x+G(ϕ)]dx +l
2Zb
a
(2
l −ϕ)2dx (3)
es un uncional de Lyapuno pa a el sis ema (2) en H1(a, b)×L2(a, b).En pa icula
enemos que
d
d Fξ(ϕξ, ξ)+(τkϕξ
k2+dk[(−∆)−1 ξ
]k2) = 0 (4)
con d=4
kl >0.
Demos aci´on: Es su icien e con mul iplica en L2(a, b) la p ime a encuaci´on en (2)
po ∂ϕ
∂ y la segunda po 4
kl (−∂
∂x2)−1 , e in eg a po pa es. Manipulando adecuadamen e
las exp esiones de o ma simila a la expues a en [11] ob enemos (4).
Obse amos que el uncional de Lyapuno sa is ace:
1.-Fξ(ϕ, )≥0.
2
Modelos con m´as de dos ases
2.- El m´ınimo de Fξse alcanza en los pun os donde Fξis ce o, i.e. (zi,l
2zi), i = 1, .., m
con ξ≥0.(pun os de equilib io es able).
3.- Fξ oma alo es muy peque˜nos de ene g´ıa con ξ << 1,pa a un conjun o ”g ande”de
unciones. Es e conjun o con iene unciones no cons an es, en pa icula con iene a las
unciones (ϕ, ) donde ϕ∼zicon alo es g andes de g adien e en in e alos peque˜nos, y
∼l
2ϕ.
De es a o ma, podemos busca soluciones me aes ables no cons an es pa a alo es
peque˜nos de ξ. Pa a ello bas a con conside a da os iniciales en la egi´on donde el uncional
Fξ(ϕ, ) oma alo es peque˜nos h(ξ),pa a ξ << 1.Teniendo en cuen a aho a que,
0≤Fξ(ϕξ( , x), ξ( , x)) ≤Fξ(ϕξ(0, x), ξ(0, x)) ≤h(ξ)
pa a ≥0.Si conside amos da os iniciales en esa egi´on, como enemos poca ene g´ıa pa a
disipa las soluciones co espondien es ienen una e oluci´on len a en el iempo.
De inici´on de unci´on N, m- ansici´on
Una N, m −s ep unci´on con pun os de ansici´on, yj, j ∈ {1,2, ., N},deno ada po
ϕ0: [a, b]→ {zi, i = 1, .., m},es una unci´on que oma di e en es alo es zi, i.e
ϕ0=PN+1
i=1 ziXIidonde Xdeno a la unci´on ca ac e ´ıs ica del conjun o, con Ii∩Ij=∅
si i6=jy¯
I1∪¯
I2.. ∪¯
IN+1 = [a, b] y (∂(I1)∪∂(I2)∪..∂(IN+1)∩(a, b) = {yj, i = 1, ..., N}.
Donde en el caso de N > m −1 conside amos zm+ =z pa a = 1,2, N + 1 −m. Una
unci´on N, m − ansici´on es una unci´on en H1(a, b), p ´oxima a una N, m −s ep unci´on
en L1(a, b).
El obje i o, es busca soluciones que pa iendo de una es uc u a p ´oxima a una unci´on
de es e ipo conse e esa misma es uc u a du an e un in e alo de iempo que iende a
in ini o cuando el espeso de la in e ase,ξ, iende a ce o. Pa a ello amos a u iliza la
es uc u a del uncional de Lyapuno asociado al sis ema.
No es di ´ıcil e que si in en amos encon a una amilia de da os iniciales (ϕξ
0, ξ
0) ales
que l´ım in ξ→0Fξ(ϕξ
0, ξ
0) es muy peque˜no, de o den O(ξ2),en onces cualquie soluci´on
cuando ξ iende a ce o se ace can necesa iamen e a un pun o de equilib io, es deci ϕξ
se ace ca a un alo cons an e ziy ξse ace ca a l
2zi.Sin emba go el siguien e lema,
p obado en [1, 9] pa a dos ases di e en es, nos pe mi e conclui que si conside amos
alo es del o den de O(ξ), podemos inclui un conjun o de unciones (ϕξ
0, ξ
0),que sin se
pun os de equilib io ( unciones denominadas de ansici´on) man ienen su es uc u a inicial
du an e un in e alo de iempo que iende a in ini o (soluciones me aes ables). Po es a
az´on usamos el uncional de ene g´ıa eescalado Vξ=1
ξFξ, que podemos eesc ibi como
Vξ(ϕ, ) = Eξ(ϕ) + l
2ξRb
a(2
l −ϕ)2dx, con
Eξ(ϕ) = Zb
a
[ξ
2ϕ2
x+1
ξG(ϕ)]dx. (5)
Lema 2 Si {ϕξ} ⊂ H1(a, b), al que ϕξ−→ ϕ0en L1(a, b),cuando ξ→0,con ϕ0
una unci´on N, m-escale a. En onces, l´ım in ξ−→0+Eξ[ϕξ]≥1
2PN
i=1 H(zi+ 1) −H(zi) =
C(N, m)con H(s) = Rs
0G( )d .
Demos aci´on: El lema de Ego o , nos dice que dado δ > 0 exis e A⊂(a, b) con
|(a, b) A| ≤ δ al que ϕξ−→ ϕ0uni o memen e eb A. De es a o ma, podemos conside a
3
A. Jim´enez-Casas, M. Cas o
N-in e alos (ai, bi), i ∈ {1,2, .., N}con eniendo a los pun os de ansici´on ales que
ϕξ(ai)−→ ϕ0(ai) = zi,yϕξ(bi)−→ ϕ0(bi) = zi+1.
Po lo an o, enemos que:
Eξ(ϕξ) = Zb
a
[ξ
2|(ϕξ)x|2+G(ϕξ)]dx ≥
N
X
i=1
[ξ
2Zbi
ai
|(ϕξ)x|2+G(ϕξ)].
Aho a, po la desigualdad de Young, ob enemos que
Zbi
ai
ξ|(ϕξ)x|2+1
ξZbi
ai
|G(ϕξ)|2≥1
2Zbi
ai
(ϕξ)xG(ϕξ) = 1
2Zbi
ai
(H(ϕξ))x.
Finalmen e, eniendo en cuen a que Rbi
ai(H(ϕξ))x=H(ϕξ(bi)) −H(ϕξ(ai)) = H(zi+1)−
H(zi) concluimos.
3. E oluci´on de dos o m´as ases
En adelan e conside a emos ϕ0una N, m−escale a unci´on i.e. yj, j = 1, .., N son
pun os de ansici´on y es al que (yj− , yj+ )⊂(a, b) son disjun os, con C≤ una
cons an e posi i a.
3.1. E oluci´on len a cuando τes independien e del espeso de la in e -
ase ξ
En es a secci´on e emos que si conside amos una escala de iempo de longi ud T
con T≥MeC
ξ, pa a oda cons an e posi i a M, en onces la es uc u a inicial de N, m-
ansici´on, se man iene pa a el sis ema gene al (2), cuando τes independien e de ξ.
Teo ema 1 Supongamos una amilia de da os iniciales (ϕξ
0(x), ξ
0(x)) sa is aciendo:
i) l´ımξ−→0ϕξ
0(x) = ϕ0(x)en L1(Ω).
ii) Eξ[ϕξ
0]≤C(N, m) + 1
2h(ξ),con ξh(ξ)→0cuando ξ→0.
iii) lRb
a|2
l ξ
0−ϕξ
0|2dx ≤ξh(ξ).
En onces, pa a odo M > 0 enemos que
i) l´ımξ−→0sup{0≤ ≤M
g(ξ)+e
−C
ξ
}kϕξ( )−ϕ0kL1= 0.
ii) l´ımξ−→0sup{0≤ ≤M
g(ξ)+e
−C
ξ
}k2
l ξ( )−ϕξ( )kL2= 0.
iii) l´ımξ−→0sup{0≤ ≤M
g(ξ)+e
−C
ξ
}k2
l ξ( )−ϕ0kL1= 0.
En pa icula , si h(ξ) = ke−C
ξpa a alg´un k, en onces
i ) l´ımξ−→0sup0≤ ≤Me
C
ξkϕξ( )−ϕ0kL1= 0.
) l´ımξ−→0sup0≤ ≤Me
C
ξk2
l ξ( )−ϕξ( )kL2= 0.
i) l´ımξ−→0sup0≤ ≤Me
C
ξk2
l ξ( )−ϕ0kL1= 0.
4
Modelos con m´as de dos ases
Demos aci´on: Hemos de eco e a ias e apas siguiendo el p ocedimien o en [11, 13]:
1aE apa. P oba emos que exis en C1, C2cons an es posi i as independien es de ξ,
ales que la soluci´on (ϕξ, ξ) sa is ace
ZT
0Zb
a
[(ϕξ
)2+|(−∆)−1( ξ
)|2]dxd ≤C1(ξh(ξ) + ξe−C
ξ)
pa a ξsu icien emen e peque˜no, y elegimos T al que T≥C2
C1(ξh(ξ)+ξe−C
ξ)
.
En pa icula si h(ξ) = C3e−C
ξ,en onces T≥C4eC
ξ, Ci>0, i = 3,4.
En e ec o, si conside amos δpeque˜no, usando el lema 2 jun o con la con inuidad del
semig upo asociado a las soluciones del sis ema (2), pa a ξ≤ξ0 ijado, exis e T=T(ξ)>0,
dependiendo del da o inicial, y exis e C∗
1>0 cons an e al que
1.-Rb
a|ϕξ( )−ϕ0| ≤ δpa a odo 0 ≤ ≤T(ξ) con
2.-Eξ[ϕξ]( )≥C(N, m)−C∗
1e−C
ξpa a odo 0 ≤ ≤T(ξ).
Teniendo en cuen a que Gis posi i a, enemos que pa a odo 0 ≤ ≤T(ξ)
C(N, m)−C∗
1e−C
ξ≤Eξ[ϕξ]( )≤Vξ[ϕξ, ξ]( )≤Vξ[ϕξ
0, ξ
0].(6)
Usando, aho a que Vξ[ϕξ
0, ξ
0] = Eξ[ϕξ
0] + l
2ξRb
a(2
l ξ
0−ϕξ
0)2≤C(N, m) + h(ξ),ob en-
emos que pa a odo 0 ≤ ≤T(ξ)
Vξ[ϕξ
0, ξ
0]−Vξ[ϕξ, ξ]( )≤h(ξ) + C∗
1e−C
ξ.(7)
Obse amos que (7) nos dice que la a iaci´on de ene g´ıa en 0 ≤ ≤T(ξ) es muy peque˜no.
Adem´as, de (4), ob enemos que dVξ(ϕξ, ξ)
d =−ξ−1(τkϕξ
k2+dk[(−∆)−1 ξ
]k2) con
d=4
kl >0,de es a o ma in eg ando de 0 a ≤T(ξ), se iene que
Vξ[ϕξ
0, ξ
0]−Vξ[ϕξ, ξ]( ) = ξ−1Z
0Zb
a³τ(ϕξ
)2+d[(−∆)−1 ξ
]2´.
Usando es o jun o con (7) ob enemos ξ−1R
0Rb
a³τ(ϕξ
)2+d[(−∆)−1 ξ
]2´≤g(ξ) + C∗
1e−C
ξ
i.e.
Z
0Zb
a³(ϕξ
)2+ [(−∆)−1 ξ
]2´≤C1(ξg(ξ) + ξe−C
ξ),(8)
con C1=max{C∗
1,1}
min{τ,d}.
Obse amos que (7) y (8) siguen siendo cie os mien as Rb
a|ϕξ(s)−ϕ0| ≤ δ o 0 ≤
s≤ .
Finalmen e, bas a con abaja como en [], pa a p oba que es posible oma
T=T(ξ)≥C2
C1(ξh(ξ)+ξe−C
ξ)
con C2>0 independien e del da o inicial.
En e ec o, si R∞
0Rb
a|ϕξ
| ≤ 1
2δen onces la demos aci´on ha e minado, ya que
pa a odo ≥0 enemos que
Zb
a
|ϕξ( )−ϕ0| ≤ Z
0Zb
a
|ϕξ
|+Zb
a
|ϕξ
0−ϕ0| ≤ 1
2δ+1
2δ=δ(9)
5

A. Jim´enez-Casas, M. Cas o
y (7), (8) son cie os pa a odo .
Po o a pa e, si R∞
0Rb
a|ϕξ
|>1
2δ, en onces exis e T(ξ)>0, oda ´ıa dependiendo
del da o inicial, al que
1
2δ=ZT(ξ)
0Zb
a
|ϕξ
|
y como en (9), enemos que Rb
a|ϕξ( )−ϕ0| ≤ δpa a odo ∈[0, T(ξ)].De es a o ma (8)
es cie o pa a odo ∈[0, T(ξ)].Aplicando aho a la desigualdad de Holde , se iene que
1
2δ≤ÃZT(ξ)
0Zb
a
|ϕξ
|2!1
2
(T(ξ))1
2(b−a)1
2≤ξ1
2[C1(h(ξ) + e−C
ξ)]1
2T(ξ)1
2(b−a)1
2
y po an o T(ξ)≥C2
C1(ξh(ξ)+ξe−C
ξ)
wi h C2=δ2
4(b−a)con lo que el segundo miemb o es
independien e del da o inicial. El es o es inmedia o.
2aE apa.-De las e apas an e io es enemos que
Zb
a
|ϕξ( )−ϕξ
0|dx ≤Zb
aZ
0
|ϕξ
|dxds ≤(b−a)1
2 1
2[C1ξ(h(ξ) + e−C
ξ)]1
2.
De es a o ma pa a ≤T(ξ) se iene que kϕξ( )−ϕξ
0kL1≤C2[T(ξ)ξ(h(ξ) + e−C
ξ)]1
2con
C2= (C1(b−a))1
2.Po lo an o omando T(ξ) como en la 1ae apa y al que T(ξ)ξ(h(ξ) +
e−C
ξ)→0 si ξ→0, po ejemplo, T(ξ) = M
h(ξ)+e−C
ξ
,ob enemos que
l´ım
ξ−→0sup
0≤ ≤T(ξ)
kϕξ( )−ϕξ
0kL1= 0.
Usando aho a que l´ımξ−→0kϕξ
0−ϕ0kL1= 0 concluimos.
ii) Con T(ξ) como en i) y usando aho a (5) y la hip´o esis sob e (ϕξ
0, ξ
0),ob enemos
Vξ(ϕξ, ξ)( ) = Eξ(ϕξ)( ) + l
2ξZb
a
(2
l ξ−ϕξ)2( )≤Vξ(ϕξ
0, ξ
0)≤C(N, m) + h(ξ),
de es a o ma, usando el Lema 2 jun o con las e apas an e io es, ob enemos
1
2ξZb
a
|2
l ξ−ϕξ|2≤C(N, m) + h(ξ)−Eξ(ϕξ)( )≤h(ξ) + C∗
1e−C
ξ
con C∗
1cons an e posi i a que no depende de ξni de . Po lo an o, se iene que
sup
∈[0,T(ξ)]
k2
l ξ( )−ϕξ( )kL2≤C3ξ(h(ξ) + e−C
ξ) (10)
pa a una cons an e posi i a C3independien e de ξy , lo que concluye la demos aci´on .
iii) Obse amos que k2
l ξ( )−ϕξ
0kL1≤ k(2
l ξ−ϕξ)( )kL1+kϕξ( )−ϕξ
0kL1y aplicando
la desigualdad de Holde jun o con ii) ob enemos el esul ado.
6
Modelos con m´as de dos ases
3.2. E oluci´on len a cuando τ=τ(ξ)
En es a secci´on es udiamos el caso en el que τ=ξ2con ξ,espeso de la in e ase,
endiendo a ce o. En es e caso, conside amos da os iniciales ϕ0muy ce ca de la es uc u a
de N, m − ansici´on. Es deci , suponemos que Eξ[ϕξ
0]≤C(N, m) + 1
2h(ξ),con h(ξ) al
que ξ−1h(ξ)→0 as ξ→0.P obamos que la es uc u a inicial de N, m − ansici´on se
conse a pa a la soluci´on du an e una escala de iempo de longi ud Tcon T≥Mξ1+δeC/ξ,
pa a cualesquie a cons an es posi i as M, δ, (en luga de T≥MeC
ξ). De es a o ma, en
es e caso p obamos que la soluci´on conse a su es uc u a du an e un in e alo de iempo
m´as peque˜no que en el caso an e io ( e [12]).
Teo ema 2 Suponemos que el da o inicial (ϕξ
0(x), ξ
0(x)) sa is ace:
i) l´ımξ−→0ϕξ
0(x) = ϕ0(x)en L1(Ω).
ii) Eξ[ϕξ
0]≤NC0+1
2g(ξ),con ξ−1g(ξ)→0cuando ξ→0.
iii) 2c
lRb
a| ξ
0−l
2h(ϕξ
0)|2dx ≤ξg(ξ).
En onces, pa a M > 0, δ > 0 enemos que
i) l´ımξ−→0sup{0≤ ≤Mξ1+δ
g(ξ)+e
−C
ξ
}kϕξ( )−ϕ0kL1= 0.
ii) l´ımξ−→0sup{0≤ ≤Mξ1+δ
g(ξ)+e
−C
ξ
}k ξ( )−l
2h(ϕξ( ))kL2= 0.
En pa icula , si g(ξ) = ke−C
ξpa a alg´un k, en onces
i ) l´ımξ−→0sup0≤ ≤Mξ1+δe
C
ξkϕξ( )−ϕ0kL1= 0.
) l´ımξ−→0sup0≤ ≤Mξ1+δe
C
ξk ξ( )−l
2h(ϕξ( ))kL2= 0.
Demos aci´on: Bas a con usa de nue o el lema an e io pa a es a unci´on gene al
de densidad y abaja como en el caso an e io ( e [11, 12, 13]).
Ag adecimien os
Financiado pa cialmen e po los P oyec os MTM2006-08262 y MEC FIS2006-12253-
C06-06, Spain.
Re e encias
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