Equa ion Chap e 1 Sec ion 1
T abajo de Fin de G ado
Ingenie ía en Tecnologías Indus iales
Diseño e implemen ación de un modelo de
op imización pa a el con ol de aglome aciones en las
es aciones de una línea de me o
Dp o.
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Au o : Ped o Mo án Co dón
Tu o : José Da id Canca O iz
Se illa, 20
21
Índice de Tablas
2
T abajo de Fin de G ado
Ingenie ía en Tecnologías Indus iales
Diseño e implemen ación de un modelo de op imización
pa a el con ol de aglome aciones en las es aciones de
una línea de me o
Au o :
Ped o Mo án Co dón
Tu o :
José Da id Canca O iz
Ca ed á ico de Uni e sidad
Dp o. de O ganización Indus ial y Ges ión de Emp esas I
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2021
Índice de Tablas
4
P oyec o Fin de Ca e a: Diseño e implemen ación de un modelo de op imización pa a el con ol de
aglome aciones en las es aciones de una línea de me o
Au o :
Ped o Mo án Co dón
Tu o : José Da id Canca O iz
El ibunal nomb ado pa a juzga el P oyec o a iba indicado, compues o po los siguien es miemb os:
P esiden e:
Vocales:
Sec e a io:
Acue dan o o ga le la cali icación de:
Se illa, 2021
El sec e a io del T ibunal

Índice de Tablas
6
A mi amilia
Índice de Tablas
8
Ag adecimien os
Du an e oda mi e apa uni e si a ia he enido la sue e de compa i clases, ho as de es udio, exámenes con
compañe os inc eíbles. Da las g acias a odos ellos po su ayuda de o ma desin e esada, sus ánimos
cuando las cosas no salían odo lo bien que nos gus a ía y los momen os i idos.
Quie o da las g acias a odos los p o eso es que me han ayudado du an e odos es os años. Además de
ap ende conocimien os que me ayuda án, y me es án ayudando, en mi ca e a p o esional ambién me
lle o muchas expe iencias que me han hecho c ece pe sonalmen e. En especial, me gus a ía da las g acias
a mi u o pa a es e abajo. Ag adezco eno memen e su ayuda, implicación y disponibilidad du an e odo
el p oyec o.
Po úl imo y más impo an e, a mis pad es. La azón úl ima po la que me quedaba una ho a más en la
biblio eca, me epasaba una úl ima ez un eje cicio… e an ellos. Todo lo que he conseguido y consegui é
se lo debo a ellos.
Ped o Mo án Co dón
G ado de Ingenie ía en Tecnologías Indus iales.
Se illa, 2022
Índice de Tablas
16

2 ÍNDICE DE GRÁFICAS
Illus ación 1: 2ª suposición ....................................................................................................................... 14
G á ico 2:Ejemplo de iesgo de aglome ación ........................................................................................... 23
G á ico 3: Riesgo de aglome ación en unción de pasaje os...................................................................... 27
G á ico 4:Riesgo de aglome ación en 1ª expe imen ación ......................................................................... 52
G á ico 5 :Flujo de pasaje os en 1ª expe imen ación ................................................................................. 53
G á ico 6:Máximo núme o de pasaje os po es ación pa a ac o de escala 0.6 ........................................ 55
G á ico 7:Demanda en es ación 4 pa a ac o de escala 0.6 ....................................................................... 57
G á ico 8:Flujo de pasaje os en 3ª expe imen ación .................................................................................. 58
Índice de G á icas
18
3 ÍNDICE DE FIGURAS
Ilus ación 1. Aumen o de población en á eas u banas (Fuen e: UN Wo ld U baniza ion P ospec s) ......... 3
Ilus ación 2: Zona de espe a de pasaje os ................................................................................................. 12
Ilus ación 3: Pasaje os espe ando el p ime en ....................................................................................... 12
Ilus ación 4: Pasaje os a bo do del en sin ese a de agones ................................................................ 13
Ilus ación 5: Ejemplo con ese a de agones .......................................................................................... 13
Ilus ación 6:Lib e ías usadas en Py hon .................................................................................................... 33
Ilus ación 7: IOFunc ionsExcel en Py hon ................................................................................................ 33
Ilus ación 8:Uso de IOFunc ionsExcel ..................................................................................................... 34
Ilus ación 9:Va iables decla adas en Py hon ............................................................................................. 35
Ilus ación 10:Res icciones 1 en Py hon ................................................................................................... 35
Ilus ación 11:Res icciones 2 en Py hon ................................................................................................... 35
Ilus ación 12:Res icciones 3 en Py hon ................................................................................................... 36
Ilus ación 13: Res icciones 5 en Py hon .................................................................................................. 36
Ilus ación 14:Relación en e 𝑖,𝑘,𝑠 y 𝑖,𝑘 en Py hon .................................................................................. 37
Ilus ación 15:Res icciones 6 en Py hon ................................................................................................... 37
Ilus ación 16:Res icciones 7 en Py hon ................................................................................................... 38
Ilus ación 17:Res icciones 8 en Py hon ................................................................................................... 38
Ilus ación 18:Res icciones 9 en Py hon ................................................................................................... 39
Ilus ación 19::Res icciones 10 en Py hon ................................................................................................ 39
Ilus ación 20:Res icciones 11 en Py hon ................................................................................................. 39
Ilus ación 21:Res icciones 12 en Py hon ................................................................................................. 40
Ilus ación 22:Res icciones 13 en Py hon ................................................................................................. 40
Ilus ación 23:Va iables p e ias en Res icciones 14 en Py hon ................................................................ 41
Ilus ación 24:Res icciones 14 en Py hon ................................................................................................. 41
Ilus ación 25:Res icciones 15 y 16 en Py hon ......................................................................................... 42
Ilus ación 26:Función obje i o en Py hon................................................................................................. 42
Ilus ación 27:Es ación de me o en Mad id .............................................................................................. 46
Ilus ación 28: Demanda as pasa se icio 8. ........................................................................................... 49
Índice de Figu as
20
1
4 OBJETIVOS
El obje i o p incipal de es e p oyec o es conc e o: P opone un mecanismo de solución a la aglome ación
en las dis in as es aciones de una línea u bana o me opoli ana de e oca il (ce canías o me o) que esul e
ácil de aplica y de implemen a .
En p ime luga , e i a es as aglome aciones pe mi i á que las es aciones no supe en su a o o máximo y
p e isiblemen e que ampoco se alcance un alo ce cano al máximo. Acumulaciones ce canas a es os
alo es máximos p esen an muchos incon enien es a ni el de segu idad (piénsese en lo que ocu e en
es aciones de me o en líneas al amen e conges ionadas en megalópilis como Tokyo) y po an o man ene
ni eles de conges ión lejanos a es os alo es máximos se una p io idad en el modelo p opues o. El
mecanismo p opues o consis e en con ola el acceso de pasaje os a los andenes en unción de la capacidad
disponible y a iable de los enes a lo la go de la línea. La capacidad a iable se consigue median e la
ese a de agones en las p ime as es aciones de la línea. Los agones ese ados an siendo libe ados a
medida que el en se ace ca a es aciones con mayo demanda, educiendo de es a o ma los iempos medios
de espe a en las es aciones con mayo núme o de usua ios y e i ando, al dispone de mayo capacidad, que
se p oduzcan eno mes conges iones en es as es aciones como consecuencia de que los agones se han
llenbado de usua ios en es aciones p eceden es.
En segundo luga , una ez se hayan conseguido unos ni eles de conges ión azonables, podemos
p opone nos un obje i o más ambicioso: Disminui la can idad de pasaje os que espe an en cada es ación,
lo que no solo aumen a á la e iciencia de la línea de en, sino que ambién aumen a á la sa is acción de los
usua ios.

Obje i os
2
3
5 INTRODUCCIÓN
l núme o de habi an es en es e mundo es á c eciendo ápidamen e. Se es ima que en 2050 la población
mundial hab á llegado a los 10.000 millones de habi an es (Rose , 2013) Además, desde el comienzo
de la indus ialización, la población que es á asladándose a i i en g andes ciudades no pa a de c ece .
A día de hoy, al ededo del 50% de la población mundial i e en ciudades de más de 300.000 habi an es y
se es ima que ese núme o alcanza á el 70% en el año 2050. (Mon añés, 2018)
Ilus ación 1. Aumen o de población en á eas u banas (Fuen e: UN Wo ld U baniza ion P ospec s)
Es e úl imo año se ha pues o de mani ies o la impo ancia de e i a aglome aciones. La pandemia global
segu amen e ae á como consecuencia que la dis ancia social sea una p io idad en el u u o. En es as
g andes ciudades, son ípicas las aglome aciones en el anspo e público y en las es aciones du an e las
ho as pun a. Según a ios es udios como (Shi, e al., 2020)la elación en e el núme o de casos po COVID-
19 y el núme o de pasaje os en enes es á es echamen e elacionado. Algo que, según es e es udio, no
ocu e con el anspo e en a ión y coche.
E
In oducción
4
O o aspec o a ene en cuen a es el cambio climá ico. El cambio climá ico es una ealidad y exis en di e sos
campos en los que se espe an g andes cambios en los p óximos años. En e ellos es á la ganade ía, la moda
o el anspo e.
El anspo e es esponsable del 26% de las emisiones de gases de e ec o in e nade o a ni el mundial. En
conc e o, los au omó iles pa icula es con ibuyen con un 18% del o al (Chapman, 2007). El p oblema con
los au omó iles pa icula es no sólo acaba ahí. Fab ica un coche pa icula iene un p oceso muy cos oso
an o a ni el de ma e ia p ima como de impac o medioambien al.
Como hemos dicho an e io men e, la población mundial c ece y en conc e o en las g andes ciudades. Que
odos los habi an es engan coche p opio puede se insos enible en un u u o ce cano.
Pa a que un ciudadano no sien a la necesidad de comp a se un au omó il se an oja cla e mejo a el
anspo e público, an o pa a la gas dis ancias como a ni el u bano e in e u bano. En muchas ciudades
como Mad id con la No ma i a de Zona de Bajas Emisiones (El País, 2021) se es án p omo iendo leyes
que incen i an a los ciudadanos a usa el anspo e público.
En los úl imos meses ha apa ecido un nue o ac o que pod ía ena el aumen o de ciudadanos que usan el
anspo e público cada día: el ele abajo. Sin emba go, las es adís icas nos siguen mos ando que la
can idad de pe sonas que iajan en me o y en es inmensa.
A ni el in aes uc u al la indus ia e o ial; in e u bana, nacional e in e nacional, debe mejo a pa a que
la ansición al anspo e u bano sea lo más lle ade a posible pa a los ciudadanos. Además, el uso de
es a egias que ayuden a mejo a el lujo de pasaje os, la segu idad de es os y op imicen el se icio público
pueden se igualmen e impo an es.
Es e abajo analiza una de es as es a egias: El modelo p opues o in en a á abo da los p oblemas
ocasionados po la aglome ación de pasaje os en las es aciones de líneas de e oca il de ánsi o ápido
en g andes edes del mundo a a és de una idea, a p io i, ácil de implemen a .
5
6 REVISIÓN DE LA LITERATURA
o odos los mo i os que hemos expues o has a aho a, en los úl imos años se han publicado nume osos
es udios cuyo obje i o e a a aja la conges ión en es aciones de en y me o de g andes ciudades.
Cada uno de es os es udios ha usado un en oque di e en e. Sin emba go, se pueden ag upa en 3 g andes
g upos:
1. Op imización de los ho a ios de se icios pa a que se adap en a la demanda.
Se ha demos ado que la op imización de ho a ios es una o ma muy e ec i a de con ola la demanda y
e i a aglome aciones. Pa a da con el ho a io co ec o se han usado a os mé odos.
Po ejemplo, en el es udio de (Canca, e al., 2014)se cons uye un ho a io de enes adap ado a una demanda
de pasaje os dinámica. En él se es udia la línea C5 de la es ación de me o de la ciudad de Mad id. La
demanda se p esen a como una a iable con inua en unción del iempo con cie as ho as pun a a lo la go
del día. El ho a io de cada en se basa en las ap oximaciones de la demanda median e una se ie de a iables
y es icciones especí icas.
O o es udio que me ece la pena menciona se ía el es udio de (Ba ena, e al., 2014). Como en el an e io
es udio mencionado, se iene en cuen a una demanda de pasaje os dinámica. Después de analiza odas las
a iables y p opiedades del p oblema, se implemen a un mé odo de algo i mo gené ico. Se consigue educi
el iempo de espe a de pasaje os en un 26% si se compa a con el uso de mé odos como el algo i mo B anch-
and-Cu .
O o es udio en ocado en el diseño de ho a ios es el de (Niu & Zhou, 2013). Basándose en un egis o
dependien e del iempo de iajes con o igen y des ino conocido, Niu desa olla un modelo de op imización
no lineal pa a ob ene ho a ios óp imos. La úl ima ho a de llegada de los pasaje os a bo do es usada pa a
calcula pe iodos de iempo de espe a que puedan se e ec i os. El modelo se esuel e con un algo i mo
gené ico al igual que en (Ba ena, e al., 2014).
He de des aca es udios cuyo en oque es á más di igido a conges iones ocu idas po una eme gencia.
Apa e de las aglome aciones que pueden p oduci se du an e una ho a pun a en una jo nada labo al común,
ambién pueden ocu i si uaciones como acciden es o e asos de enes que p o oquen una g an
acumulación de pasaje os.
P
Desc ipción del modelo
14
14
2. Conges ión: Los pasaje os se acumula án en la zona de espe a de la es ación siguien e. Es o,
además de esul a incómodo, pueden p o oca si uaciones de pelig o e insegu idad si el núme o
de pasaje os es muy al o. Además, como hemos comen ado en la in oducción ha á di ícil man ene
la dis ancia de segu idad.
Hipó esis
7.1.1 Hipó esis 1
Con el obje i o de pode simpli ica cálculos hemos incluido una se ie de hipó esis que no debe ían in lui
en el desa ollo del p oblema:
Las es aciones de o igen y des ino de cada pasaje o se án conocidas, así como su iempo de llegada. No
con empla emos la posibilidad de que un pasaje o cambie de es ación de des ino du an e el ayec o.
7.1.2 Hipó esis 2
Los g upos de pasaje os se suponen pe ec amen e mezclados. Es o supone que la p opo ción de pasaje os
espe ando con des ino a la es ación ‘k’ se á exac amen e igual a la p opo ción de pasaje os que se suben a
bo do con des ino a la es ación ‘k’, pa a un en y una es ación dada.
En el g á ico a con inuación podemos comp ende ácilmen e es a suposición. Se a a de un en con
capacidad pa a 4 pe sonas, al que es án a pun o de mon a se 8 pe sonas. Es as 8 pe sonas es án di ididas
en 4 g upos, cada g upo con des ino a una es ación di e en e.
Debido a que sólo caben 4 pe sonas, hab á 4 que suban al en y 4 que engan que espe a en la es ación.
La p opo ción de las es aciones de des ino en e los pasaje os espe ando y en e los pasaje os que suben a
bo do es la misma. Es o es lo que implica nues a suposición.
Illus ación 1: 2ª suposición

15
7.1.3 Hipó esis 3.
La demanda o al de pasaje os es meno que la capacidad o al de los enes, pa a pode ga an iza que odos
los pasaje os puedan ealiza su iaje.
Da os eque idos
Pa a pode esol e el modelo ma emá ico necesi a emos un conjun o de da os que pe mi i án o mula de
o ma consis en e odas las es icciones. Es os da os se e ie en a la in o mación elacionada an o con los
ho a ios de los dis in os se icios como con el lujo de pasaje os a lo la go de la línea.
Sin emba go, hab á o os muchos da os que se án o almen e a bi a ios. Es os da os nos se án ú iles pa a
modela cie as es icciones, además de se nos ú iles a la ho a de alo a la impo ancia de cada pa áme o.
Todos los da os que usa emos en el en o no Py hon/GUROBI se án ex aídos de un a chi o Excel. Es e
a chi o Excel con end á an o da os uni a ios (pa áme os del modelo) como di e sas ablas que
p opo cionan in o mación de ho a ios y lujo de pasaje os.
7.1.3.1 Conjun os
En p ime luga , como hemos de allado en la in oducción del modelo, necesi a emos una se ie de conjun os
que eco e emos en Py hon, pa a modela nues as es icciones.
Es os conjun os se án:
P, que consis i á en los g upos de pasaje os que llegan a una ho a de e minada a cada una de las es aciones.
S, que con iene odas las es aciones desde la 1ª has a la úl ima en la di ección seleccionada. Además
end emos que decla a el conjun o I, que ep esen a á los di e en es se icios que eco en las dis in as
es aciones.
Po úl imo, el conjun o T se e e i á al iempo. Nues o ho izon e empo al con empla á una ho a,
di idiendo es a en pe íodos de minu os.
7.1.3.2 Pa áme os
Los dis in os pa áme os necesa ios pa a o mula el modelo son:
np : Se e ie e al núme o de pasaje os en un g upo 𝑝∈ 𝑃 .
Desc ipción del modelo
16
16
𝑜 : La es ación de o igen de un g upo de pasaje os 𝑝∈ 𝑃.
𝑡 : La ho a de llegada del g upo de pasaje os del g upo 𝑝∈ 𝑃, a la es ación de o igen 𝑜 .
𝑑 : La es ación de des ino del g upo de pasaje os 𝑝.
La Tabla 1 mues a la o ma que que es os da os se es uc u an en el lib o de Excel que con iene los da os
del p oblema.
Tabla 1: 𝑛,𝑑,𝑜,𝑡 ep esen ados en Excel
Es os da os se ob end án di ec amen e de la demanda. Es a demanda se ep esen a en una ma iz dis ibuida
de acue do con el ayec o ealizado (o igen, des ino) y el ins an e de iempo den o del ho izon e de
plani icación.
Tabla 2: Demanda en los p ime os 5 minu os
17
La no ación co espondien e a es os da os y o os pa áme os que se usa á en la o mulaciñon del p oblema
se mues a a con inuación.
𝑑 : La ho a de salida de un de e minado se icio 𝑖 desde la es ación.
𝐻 : El máximo a o o pe mi ido en una de e minada es ación 𝑘.
𝑈 : El máximo núme o de pasaje os espe ando que se conside e segu o en una de e minada es ación 𝑘.
𝛷: Usa emos es a a iable en la unción a minimiza . Se á el coe icien e de iesgo de acumulación de
pasaje os.
𝛩, 𝛩 : Pesos de los 2 componen es de la unción obje i o, el iesgo de aglome ación de pasaje os 𝑟 y
el núme o de pasaje os espe ando 𝑤. Ve sección 7.1.3.4.
𝑀 posi i o muy g ande.
𝑛: Núme o máximo de agones ese ables.
𝑄: Núme o o al de agones en cada en.
𝐶: Capacidad de cada agón.
Después de de ini los dis in os da os necesa ios pasamos a de ini las a iables de decisión del modelo.
En ealidad, la única a iable de decisión eal se á el núme o de agones ese ados po cada en y es ación.
El es o de las a iables depende án di ec amen e de es a decisión. El núme o de agones lo de ini emos
como 𝑛 e i iéndonos al núme o de agones ese ados en un se icio 𝑖 a la salida de cie a es ación 𝑘.
A pa i del núme o de agones que ese amos en cada en y es ación, apa ece án dis in as a iables
in e medias que se án ele an es sob e odo en la unción obje i o.
La unción obje i o a a á de minimiza an o el iesgo de aglome ación de pasaje os en las dis in as
es aciones como el núme o de pasaje os espe ando. Ambos é minos apa ece án mul iplicados po los
pa áme os 𝛩 y 𝛩de inidos p e iamen e.
Po lo an o, las a iables que debe emos decla a son:
7.1.3.3 Va iables de decisión
𝑛 : Se án las únicas a iables ealmen e suje as a decisión. Son núme os en e os que podemos de ini
como el núme o de agones ese ados en un el se icio 𝑖 al sali de la es ación 𝑘.
Desc ipción del modelo
18
18
7.1.3.4 Va iables in e medias
𝑐 : Como hemos dicho con an e io idad, a pa i de 𝑛 apa ece án dis in as a iables. La a iable 𝑐
se á en conc e o la capacidad es an e del en que ealiza el se icio 𝑖 a su llegada a la es ación 𝑘.
𝑤 : Núme o de pasaje os espe ando el se icio 𝑖 en la es ación 𝑘.
𝑏: Núme o de pasaje os que se mon an en el en que ealiza el se icio 𝑖 cuando llega a la es ación 𝑘.
𝑎 : Núme o de pasaje os que bajan en la es ación k desde el se icio 𝑖.
𝑣 : El núme o de pasaje os a bo do del en que ealiza el se icio 𝑖 cuando sale de la es ación 𝑘.
𝑙 : Núme o de pasaje os que no han podido mon a se en el en que ealiza el se icio 𝑖 y han sido dejados
en ie a en la es ación 𝑘.
𝑤 : En es e caso ha emos una nue a dis inción elacionada con la es ación de des ino. 𝑤s se á el
núme o de pasaje os que espe an el se icio 𝑖 en la es ación 𝑘, con des ino a la es ación 𝑠.
𝑙 : Al igual que con 𝑤,, 𝑙 se á el núme o de pasaje os dejados en ie a po el se icio𝑖 en la es ación
𝑘, cuyo des ino e a la es ación 𝑠.
𝑤(𝑡) : El núme o de pasaje os que espe an en la es ación 𝑘 a lo la go del iempo.
𝑟(𝑡): El iesgo de aglome ación en la es ación 𝑘 a lo la go del iempo.
𝑤 : El núme o o al de pasaje os que espe an en la es ación k.
𝑟 : El alo o al de iesgo de aglome ación en la es ación k.
Todas es as a iables se án decla adas en Py hon median e la unción p opia de GUROBI llamada add a .
Más adelan e se da án de alles de cómo usa emos es a uncionalidad.
7.1.4 Res icciones
Todos es os da os y a iables nos se i án pa a desa olla las es icciones necesa ias pa a lle a
a cabo el modelo. Mien as que la mayo ía de las es icciones es a án elacionadas con da le o ma
y sen ido al p oblema, hab á algunas que ha án mención a las dis in as hipó esis que plan eamos
con an e io idad.
7.1.4.1 Res icciones 1 0≤𝑛≤𝑛á, ∀𝑖∈𝐼,𝑘∈𝑆
El p ime conjun o de es icciones hace e e encia al núme o de agones que podemos ese a . Pa a e i a
que se ese en un núme o insos enible de agones, hemos decla ado el pa áme o 𝑛. En es a es icción
19
simplemen e limi amos el núme o de agones que pueden se ese ados en cada se icio 𝑖 al sali de la
es ación 𝑘 a un alo máximo 𝑛.
7.1.4.2 Res icciones 2 𝑛≥𝑛,,∀𝑖∈𝐼,𝑘,𝑘+1∈𝑆
El segundo conjun o de es icciones ue za que el núme o de agones ese ados en un en a la salida de
una cie a es ación sea igual o meno al núme o de agones ese ados que en la es ación an e io . Es deci ,
el núme o de agones que se ese an en un cie o en an disminuyendo con o me es e ci cula po las
dis in as es aciones.
El obje i o del modelo consis e en e i a la aglome ación de pasaje os en cie as es aciones. Pa a ello, se
ese an agones en es aciones p e ias, pe mi iendo así que pasaje os en es aciones pos e io es puedan
subi se a bo do. Po es e mo i o, el el núme o de agones ese ados i á disminuyendo con o me el en
haga su eco ido, ab iendo es os agones al público pa a disminui el núme o de pasaje os espe ando.
7.1.4.3 Res icciones 3
𝑣=𝑏 𝑠𝑖 𝑘=1
𝑣−𝑎,+ 𝑏 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 , ∀𝑖∈𝐼,𝑘∈𝑆
En es a es icción nos encon amos con a iables in e medias, es deci , a iables que son necesa ias pa a
desa olla el modelo pe o que no cons i uyen la decisión p incipal
Es e conjun o de es icciónes hace e e encia al núme o de pasaje os a bo do del en que ealiza el se icio
𝑖 al sali de la es ación 𝑘. Puede se explicado de o ma muy sencilla si se a a de la p ime a es ación del
eco ido: El núme o de pasaje os a bo do del en se án odos aquellos que se mon en en él.
Si, po el con a io, se a a de una es ación supe io end emos que añadi odos aquellos pasaje os que
es aban p e iamen e a bo do (los que enían en el en desde la es ación an e io 𝑘−1) y es a odos
aquellos que bajen del en en dicha es ación.
7.1.4.4 Res icciones 4

Desc ipción del modelo
20
20
𝑤=
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
 𝑛
∈󰇥𝑝󰆒∈𝑃󰇻𝑜󰆓=𝑘,0≤𝑡󰆓≤𝑑󰇦 𝑠𝑖 𝑖=1
𝑙,+  𝑛
∈󰇥𝑝󰆒∈𝑃󰇻𝑜󰆓=𝑘,𝑑,≤𝑡󰆓≤𝑑󰇦 𝑠𝑖 𝑖≠1 ∀𝑖∈𝐼,𝑘∈𝑆,𝑝∈𝑃
Al igual que en el conjun o an e io de es icciones, el conjun o 4 es a á o mado únicamen e po a iables
in e medias. En es e caso las es icciones hacen e e encia al núme o de pasaje os que es án espe ando un
de e minado se icio 𝑖 en la es ación 𝑘.
Es e núme o se á igual a la can idad de pasaje os que no han podido subi se en el en an e io (po al a de
espacio) más los pasaje os que llega on a la es ación 𝑘 después de que el an e io en pa ie a.
En el p ime en, ob iamen e, el núme o de pasaje os dejados en ie a an e io men e se á igual a 0. En
cuan o a la suma o ia de pasaje os, debe emos de ene en cuen a a ias condiciones.
La p ime a de ellas especi ica que el o igen del g upo de pasaje os 𝑝 debe de se la es ación 𝑘. Po úl imo,
la ho a de llegada del g upo de pasaje os debe de se pos e io al ins an e en que el se icio 𝑖−1 llega la
es ación 𝑘 y, además, an e io a la ho a de llegada del se icio 𝑖.
7.1.4.5 Res icciones 5
𝑤,,=
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
 𝑛
∈{󰆒∈|󰆓,󰆓} 𝑠𝑖 𝑖=1
𝑙,,+  𝑛 𝑠𝑖 𝑖≠1
∈{󰆒∈|󰆓,,󰆓} ∀𝑖∈𝐼,∀𝑘,𝑠∈𝑆,𝑘<𝑠
El conjun o de es icciones 5 y 4 es án muy elacionadas, ya que en es a ocasión que emos calcula el
núme o de pasaje os espe ando al se icio 𝑖 en la es ación 𝑘, cuyo des ino es la es ación 𝑠.
Es po ello que la es icción se á p ác icamen e igual. Va ia á únicamen e que los pasaje os que no han
podido subi se en el an e io en, deben además ene como des ino la es ación 𝑠.
7.1.4.6 Res icciones 6
𝑐,=󰇫 (𝑄−𝑛)× 𝐶 𝑠𝑖 𝑘=1
(𝑄−𝑛)×𝐶−𝑣,−𝑎, 𝑠𝑖 𝑘≠1 ∀𝑘∈𝑆,∀𝑖∈𝐼
En es e conjun o de es icciones calcula emos la capacidad es an e de cada se icio 𝑖 al llega a la es ación
𝑘. En es e caso, usa emos la a iable de decisión 𝑛 pues la capacidad depende á en g an medida del
núme o de agones disponibles y ese ados.
21
La capacidad se á igual al núme o de agones que no es án ese ados mul iplicado po la capacidad 𝐶 de
cada agón en el caso de la es ación 1. Si se a a de la segunda es ación en adelan e hab á que suma le
además la di e encia en e los pasaje os que abandonan el en que ealiza el se icio 𝑖 en la es ación 𝑘 y
los que se habian subido a bo do en la es ación an e io .
7.1.4.7 Res icciones 7
𝑏,=𝑚𝑖𝑛{𝑐,𝑤}, ∀𝑖∈𝐼,∀𝑘∈𝑆
El conjun o de es icciones sie e pe mi e calcula de o ma sencilla el núme o de pasaje os que pueden
subi a bo do en el se icio 𝑖 al llega a la es ación 𝑘. Depende á de la capacidad del en a llega a la
es ación 𝑘 y del núme o de pasaje os espe ando el se icio 𝑖, siendo 𝑏 el mínimo en e es as dos
can idades.
7.1.4.8 Res icciones 8
𝑙=𝑤−𝑏 , ∀𝑖∈𝐼,𝑘∈𝑆
Las es icciones núme o ocho mues an el núme o de pasaje os que son dejados en ie a po el se icio 𝑖
en la es ación 𝑘. Lógicamen e, es e núme o se á la di e encia en e el núme o de pasaje os espe ando el
se icio 𝑖 en la es ación 𝑘 y los que ienen la opo unidad de mon a se en el en que ealiza el se icio.
7.1.4.9 Res icciones 9
𝑏=𝑤
𝑤×𝑏, ∀𝑖∈𝐼,𝑘,𝑠∈𝑆,𝑘<𝑠
Las es icciones núme o nue e es án es echamen e elacionadas con una de las hipó esis plan eadas con
an e io idad, en conc e o la Hipó esis 2. Según es a hipó esis, la p opo ción en e el o al de pasaje os
espe ando en una es ación y los pasaje os espe ando con un cie o des ino se á la p opo ción que se aplica
a los pasaje os que suben al en que ealiza el se icio.
7.1.4.10 Res icciones 10
𝑙=𝑤−𝑏, ∀𝑖∈𝐼,∀𝑘,𝑠∈𝑆,𝑘<𝑠
Desc ipción del modelo
22
22
El décimo conjun o de es icciones, al igual que el conjun o ocho de es icciones mues a el núme o de
pasaje os dejados en ie a po el se icio n 𝑖 en la es ación 𝑘. En es e caso, sin emba go, ambién se
especi ica la es ación de des ino de es os pasaje os.
7.1.4.11 Res icciones 11
𝑎=  𝑏 ,∀𝑖∈𝐼,𝑘∈𝑆


En es e caso, el conjun o de es icciones 11 mues a cómo calcula el núme o de pasaje os que se baja an
con la llegada del se icio 𝑖 a la es ación 𝑘. Es e núme o se puede calcula como la suma de odos aquellos
que se mon a on en es e en en una es ación an e io , cuyo des ino e a la es ación 𝑘.
7.1.4.12 Res icciones 12
𝑙||=0, ∀𝑘∈𝑆
𝑙|| hace e e encia al núme o de pasaje os que no han podido accede al úl imo en en la es ación 𝑘. Uno
de los equisi os que plan eamos en es e p oblema es que odos los pasaje os puedan subi se a bo do de
algún en y llega a su des ino. Debido a es e equisi o, el úl imo en no debe ía deja a ningún pasaje o
en ie a.
7.1.4.13 Res icciones 13
𝑤(𝑡)=  𝑛−  𝑏, ∀𝑘∈𝑆,𝑡∈[0,𝑇]
∈{󰆒∈|󰆓∈{󰆒∈|󰆓,󰆓
w_k k( ) es una a iable muy ele an e en nues o el modelo, pues se encuen a den o de nues a la unción
obje i o. En es a es icción, que emos especi ica el núme o de pasaje os que es a á espe ando en una
es ación k a lo la go del iempo.
Pa a ello, debemos calcula la di e encia en e los pasaje os que han llegado a la es ación (en endiendo es a
como su es ación de o igen) an es del ins an e y los que han enido la opo unidad de subi se a bo do de
algún en, an es de .
Pa a ello, suma emos odos los pasaje os cuya es ación de o igen sea k y cuyo ho a io de llegada sea
an e io a . A es o le es a emos la suma de odos aquellos pasaje os que hayan subido a bo do de un en
en la es ación k, an es de .
23
7.1.4.14 Res icciones 14
𝑟(𝑡)=
⎩
⎨
⎧
0, 𝑠𝑖 0≤𝑤(𝑡)≤𝑈
𝑤(𝑡)−𝑈
𝐻−𝑈∙ 𝜀, 𝑠𝑖 𝑈<𝑤(𝑡)<𝐻
𝑀, 𝑠𝑖 𝑤(𝑡)≥𝐻, ∀𝑘∈𝑆,𝑡∈[0,𝑇]
La o a a iable ele an e den o de nues a unción obje i o se ía el iesgo de aglome ación 𝑟(𝑡). Es e
iesgo se á igual a 0 si no supe amos el umb al de iesgo 𝑈 y un alo muy g ande 𝑀 si supe amos un
alo que conside amos inacep able como se ía 𝐻.
Pa a los alo es que se encuen en en e es os 2, se p opone una ó mula que ha á el alo de 𝑟(𝑡) mayo
con o me nos ace quemos a 𝐻.
7.1.4.15 Res icciones 15
𝑟=𝑟(𝑡)𝑑𝑡, ∀𝑘∈𝑆


In eg ando 𝑟(𝑡) podemos calcula el á ea de es a unción, que es una o ma mucho más e ec i a y cla a de
comp oba el iesgo que se co e a lo la go del iempo, en una es ación 𝑘 de e minada.
G á ico 2:Ejemplo de iesgo de aglome ación
Como podemos e en el g á ico supe io , puede ocu i que el iesgo de aglome ación en una cie a
es ación a íe de mane a con inua. Po ejemplo, una es ación de me o puede es a ela i amen e anquila
Riesgo a lo la go del iempo
Desc ipción del modelo
30
30
3)
𝑣

=

𝑏

𝑠𝑖
𝑘
=
1
𝑣



−
𝑎

+
𝑏

𝑒𝑛
𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟
𝑜𝑡𝑟𝑜
𝑐𝑎𝑠𝑜
,
∀
𝑖
∈
𝐼
,
𝑘
∈
𝑆
4) 𝑤=
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧

𝑛

∈󰇥
𝑝
󰆒
∈
𝑃
󰇻
𝑜
󰆓
=
𝑘
,
0
≤
𝑡
󰆓
≤
𝑑
,󰇦
∀
𝑖
=
1
𝑙,+  𝑛

∈
󰇥
𝑝
󰆒
∈
𝑃
󰇻
𝑜

󰆓
=
𝑘
,
𝑑



,

≤
𝑡

󰆓
≤
𝑑

,

󰇦
∀𝑖≠1 , ∀𝑖∈𝐼,𝑘∈𝑆,𝑝∈𝑃
5) 𝑤=
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧

𝑛

∈󰇥
𝑝
󰆒
∈
𝑃
󰇻
𝑜
󰆓
=
𝑘
,
0
≤
𝑡
󰆓
≤
𝑑
󰇦
𝑠𝑖
𝑖
=
1
𝑙,,+  𝑛 𝑠𝑖 𝑖≠1

∈
󰇥
𝑝
󰆒
∈
𝑃
󰇻
𝑜

󰆓
=
𝑘
,
𝑑



,

≤
𝑡

󰆓
≤
𝑑

󰇦
, ∀𝑖∈𝐼,∀𝑘,𝑠∈𝑆,𝑘<𝑠
6)
𝑐

=
󰇫
(
𝑄
−
𝑛

)
×
𝐶
𝑠𝑖
𝑘
=
1
(
𝑄
−
𝑛

)
×
𝐶
−

𝑣

,



−
𝑎


,
𝑠𝑖
𝑘
≠
1
,
∀
𝑘
∈
𝑆
,
∀
𝑖
∈
𝐼
7)
𝑏

=
min
{
𝑐

,
𝑤

}
,
∀
𝑖
∈
𝐼
,
∀
𝑘
∈
𝑆
8)
𝑙

=
𝑤

−
𝑏

,
∀
𝑖
∈
𝐼
,
𝑘
∈
𝑆
9)
𝑏

=
𝑤

𝑤

×
𝑏

,
∀
𝑖
∈
𝐼
,
𝑘
,
𝑠
∈
𝑆
,
𝑘
<
𝑠
10)
𝑙

=
𝑤

−
𝑏

,
∀
𝑖
∈
𝐼
,
∀
𝑘
,
𝑠
∈
𝑆
,
𝑘
<
𝑠
11)
𝑎

=

𝑏

,






∀
𝑖
∈
𝐼
,
𝑘
∈
𝑆
12)
𝑙
|

|

=
0
,
∀
𝑘
∈
𝑆
13)
𝑤

(
𝑡
)
=

𝑛

−

𝑏

,

∈
{

󰆒
∈

|


󰆓
,




∈
{

󰆒
∈

|


󰆓


,




󰆓


∀
𝑘
∈
𝑆
,
𝑡
∈
[
0
,
𝑇
]
14)
𝑟

(
𝑡
)
=
⎩
⎨
⎧
0
,
𝑠𝑖
0
≤
𝑤

(
𝑡
)
≤
𝑈

𝑤

(
𝑡
)
−
𝑈

𝐻

−
𝑈

∙
𝜀
,
𝑠𝑖
𝑈

<
𝑤

(
𝑡
)
<
𝐻

𝑀
,
𝑠𝑖
𝑤

(
𝑡
)
≥
𝐻

,
∀𝑘∈𝑆,𝑡∈[0,𝑇]
15)
𝑟

=

𝑟

(
𝑡
)
𝑑𝑡
,


∀
𝑘
∈
𝑆
16)
𝑤

=

𝑤

(
𝑡
)
𝑑𝑡
,


∀
𝑘
∈
𝑆

31
Es e se ía el modelo al comple o que nos disponemos a esol e . Pa a desa olla an o las es icciones
como la unción obje i o, se ha usado Py hon y unciones p opias de la lib e ía de GUROBI, como addVa
o addCons .
Con la unción addVa se pod á decla a odas las a iables necesa ias pa a esol e el p oblema. En cuan o
a la unción addCons , nos pe mi i á desa olla odas las es icciones an e io men e explicadas.
Los da os p e ios e in o mación necesa ia es a án ecogidos en un a chi o Excel. En es e a chi o se
encon a án an o los ho a ios de los dis in os enes, como o a se ie de da os ele an es pa a nues o
p oblema (núme o de agones en cada en, capacidad de cada agón…)
Pa a pode usa es os da os den o de nues o modelo en Py hon, se usa á la lib e ía openpyxl, con la que
se pod án lee odos los da os p o enien es de un a chi o Excel.
Desc ipción del modelo
32
32
33
8 IMPLEMENTACIÓN EN PYTHON Y GUROBI
En p ime luga , se habla á de la lec u a de da os p o enien es de Excel. De es e a chi o Excel se lee án
da os uni a ios, en o ma o lis a y po úl imo en o ma o ma iz.
Pa a ello se impo a án 2 lib e ías:
Ilus ación 6:Lib e ías usadas en Py hon
La segunda de ellas se a a de un código que nos pe mi e lee da os de Excel en o ma o lis a y ma iz. Po
ejemplo, pa a lee una ma iz de Excel en Py hon se usa ía la siguien e unción:
Ilus ación 7: IOFunc ionsExcel en Py hon
Implemen ación en Py hon y Gu obi
34
34
Pa a después en el código p incipal usa se de la siguien e mane a:
Ilus ación 8:Uso de IOFunc ionsExcel
Donde d se á 𝑑 y la ma iz B2:J10 de la hoja Ho a io se á el ho a io que siguen es os enes en las dis in as
es aciones:
Tabla 3: Ho a io del se icio
Una ez odos los da os necesa ios han sido llamados, se decla an las a iables de decisión e in e medias
del modelo. Pa a ello se usa á la ó mula add a :
35
Ilus ación 9:Va iables decla adas en Py hon
Pa a cons ui las es icciones de nues o p oblema se usa á addCons . A con inuación, se mos a á cómo
se han desa ollado las 16 es icciones:
1) 0≤𝑛≤𝑛á,∀𝑖∈𝐼,𝑘∈𝑆
Ilus ación 10:Res icciones 1 en Py hon
En es e caso no ha ía al a desa olla la Res icciones pues se puede especi ica el lími e supe io cuando
se añade la a iable con ub=nmax.
2) 𝑛≥𝑛,,∀𝑖∈𝐼,𝑘,𝑘+1∈𝑆
Ilus ación 11:Res icciones 2 en Py hon

Implemen ación en Py hon y Gu obi
36
36
3) 𝑣=𝑏 𝑠𝑖 𝑘=1
𝑣,−𝑎+ 𝑏 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 , ∀𝑖∈𝐼,𝑘∈𝑆
Ilus ación 12:Res icciones 3 en Py hon
4) 𝑤=󰇱∑𝑛
∈󰇥𝑝󰆒∈𝑃󰇻𝑜󰆓=𝑘,0≤𝑡󰆓≤𝑑󰇦 ∀𝑖=1
𝑙,+ ∑𝑛
∈󰇥𝑝󰆒∈𝑃󰇻𝑜󰆓=𝑘,𝑑,≤𝑡󰆓≤𝑑󰇦 ∀𝑖≠1 ∀𝑖∈𝐼,𝑘∈𝑆,𝑝∈𝑃
5) 𝑤=󰇫∑𝑛∈{󰆒∈|󰆓,󰆓} 𝑠𝑖 𝑖=1
𝑙,,+ ∑𝑛 𝑠𝑖 𝑖≠1
∈{󰆒∈|󰆓,,󰆓} ∀𝑖∈𝐼,∀𝑘,𝑠∈𝑆,𝑘<𝑠
Ilus ación 13: Res icciones 5 en Py hon
Como se puede ap ecia en la imagen supe io , pa a p og ama la 5ª es icción se debe c ea una
a iable numpy llegadas. Es a a iable se á una ma iz idimensional de amaño IxSxS.
37
En cada una de las posiciones de es a ma iz se gua da el núme o de pasaje os con di ección
es ación s que llegan a una es ación k desde que sale el en an e io i-1 has a que llega el en i. En
el caso de se el p ime en, es e se ía igual a 𝑤 y a pa i del segundo en se end ía que suma ,
además, los pasaje os que no pueden mon a se en el en an e io .
También se acla a la elación en e 𝑤y 𝑤 así como con b y l. Es o hace que no sea ncesa io
desa olla la es icción 4, pues ya queda ía desa ollada en la es icción 5.
Ilus ación 14:Relación en e 𝑖,𝑘,𝑠 y 𝑖,𝑘 en Py hon
6) 𝑐=󰇫 (𝑄−𝑛)× 𝐶 𝑠𝑖 𝑘=1
(𝑄−𝑛)×𝐶−𝑣,−𝑎, 𝑠𝑖 𝑘≠1 ∀𝑘∈𝑆,∀𝑖∈𝐼
Ilus ación 15:Res icciones 6 en Py hon
Implemen ación en Py hon y Gu obi
38
38
7) 𝑏=min{𝑐,𝑤}, ∀𝑖∈𝐼,∀𝑘∈𝑆
En es e caso, GUROBI iene una unción min_ que pe mi e esc ibi la es icción 7 de o ma muy
sencilla. De no habe sido así, la es icción hubie a sido no lineal y hab ía que desa olla la de
o ma di e en e.
Ilus ación 16:Res icciones 7 en Py hon
8) 𝑙=𝑤−𝑏 , ∀𝑖∈𝐼,𝑘∈𝑆
Ilus ación 17:Res icciones 8 en Py hon
9) 𝑏=
 ×𝑏, ∀𝑖∈𝐼,𝑘,𝑠∈𝑆,𝑘<𝑠
Es a es icción, como se ha comen ado an e io men e, se ía no lineal y debe á se desa ollada de
o ma di e en e. Hab á que c ea una a iable Gu obi llamada X con un alo en e 0 y 1.
⎩
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎧
𝑋

 =1 ∀𝑖∈𝐼,∀𝑘∈𝑆
𝑌

 =1 ∀𝑖∈𝐼,∀𝑘∈𝑆
𝑤=𝑋∙𝑤 ,𝑖∈𝐼,𝑘,𝑠∈𝑆,𝑠>𝑘
𝑏=𝑌∙𝑏 ,𝑖∈𝐼,𝑘,𝑠∈𝑆,𝑠>𝑘
39
Ilus ación 18:Res icciones 9 en Py hon
10) 𝑙=𝑤−𝑏, ∀𝑖∈𝐼,∀𝑘,𝑠∈𝑆,𝑘<𝑠
Ilus ación 19::Res icciones 10 en Py hon
11) 𝑎= ∑𝑏 ,∀𝑖∈𝐼,𝑘∈𝑆


Ilus ación 20:Res icciones 11 en Py hon
12) 𝑙||=0, ∀𝑘∈𝑆
Caso de es udio
46
46
Aun así, si nos e e imos únicamen e a la zona en la que se espe a la llegada del sub e áneo, la capacidad
no suele a ia mucho de una es ación a o a.
Ilus ación 27:Es ación de me o en Mad id
Po es a azón, en los dis in os expe imen os an o 𝐻 como 𝑈 se conside a án iguales pa a odas las
es aciones.
Po úl imo, hab á a ios a ios da os uni a ios cuyo alo puede cambia mucho el desa ollo del modelo.
Es os da os es a án ecogidos en una hoja llamada “DATOS” y pod emos modela los pa a simula dis in as
si uaciones.
Tabla 8:Da os p e ijados
𝑛 (núme o máximo de agones a ese a ) y 𝑄 (núme o de agones) es a án muy elacionados, ya que
aumen a el núme o de agones po en da á la posibilidad de aumen a , como es lógico, el máximo núme o
de agones que se pueden ese a .

47
O os alo es como 𝜀 o 𝜃 depende án del peso y la impo ancia que se le dé a pa áme os muy impo an es
de la unción obje i o y las es icciones. Dependiendo del obje i o del modelo es os pa áme os oma án
unos alo es u o os.
El modelo puede busca simplemen e disminui el iesgo de aglome ación pa a mejo a la segu idad de las
es aciones. Si, po el con a io, la mo i ación del p oblema es libe a las es aciones con el in de cumpli
dis ancias de segu idad, educi iempos de espe a y aumen a la e iciencia de las es aciones de me o es os
alo es debe án se mucho más ambiciosos.
Caso de es udio
48
48
49
10 EXPERIMENTACIÓN
A con inuación, se modi ica án los da os explicados an e io men e (demanda, capacidad de enes…)
buscando esul ados que apo en alo y que nos ayuden a comp ende la e icacia del sis ema.
Demanda
Pa a decidi an o la demanda como la capacidad de los enes se obse a á la ed de me o de una g an
ciudad como Lond es. Es a demanda se á nula en el momen o en que el úl imo en de nues o modelo pase
po cada es ación 𝑘, pues suponemos que esa demanda se á sa is echa po los enes siguien es.
Ilus ación 28: Demanda as pasa se icio 8.
Expe imen ación
50
50
La can idad de pasaje os es a á condicionada po un ac o de escala. A con inuación, se es udia á cuán o
debe ale es e ac o de escala pa a que el modelo se ap oxime lo máximo posible a la ealidad.
Tomando como e e encia la es ación 1, ap oximadamen e 7500 pasaje os pa en desde la es ación 1
du an e los 60 minu os que se ienen de ho izon e empo al con un ac o de escala 1. Pe o, ¿Es es e alo
lógico y p opo cional al núme o de se icios de nues o modelo? Pa a pode esponde a es a p egun a se
puede obse a el lujo de pasaje os en di e sas es aciones de Lond es.
Según da os del ayun amien o de Lond es ( e e encia), la demanda dia ia de pasaje os en sus es aciones
a ía desde 5.000 pasaje os en es aciones de ex a adio como Queens, has a supe a los 100.000 pasaje os
en la es ación de London B idge.
Si se usa como e e encia una es ación con un al o lujo de pasaje os como es a úl ima, la es ación London
B idge u o un lujo de pasaje os dia io de 113.606 en el año 2017. Es e núme o di idido en e las 19h en
las que el me o londinense es á uncionando se ían unos 6.000 pasaje os po ho a.
No obs an e, es e alo debe se modi icado po a ias azones:
 El modelo busca educi los iempos de espe a en ho a pun a. El lujo de pasaje os en una ciudad
es muy di e en e a las 08:00am y po ejemplo, a las 22:00pm.
 El modelo con empla una sola línea de me o. Es aciones g andes, como la que se es án es udiando,
suelen albe ga más de una línea de me o.
La es ación London B idge, po ejemplo, iene un o al de 16 andenes. Es á conec ado a 2 líneas de me o,
No he n Line y Jubilee Line, y a o as an as líneas de en a ni el nacional. Dado que la g an mayo ía de
andenes es én des inados a iajes nacionales esul a di icil sabe cuán os usua ios usan la línea de me o
dia iamen e.
Po o o lado, se obse a la es ación King’s C oss-Sain Panc as, en Camden (T anspo Fo London, 2017).
Es a es ación u o un lujo de pasaje os dia io de 149.150 pe sonas, y albe ga has a 6 líneas de me o.
51
Es e núme o de pasaje os di idido en e las 6 líneas de me o, y las 19 ho as en las que el me o se encuen a
ac i o nos da una media de 1308 pasaje os po ho a y línea.
Aunque es e núme o deba se mucho mayo si se a a de una ho a concu ida, se puede conclui con o al
segu idad que el ac o de escala 1 de nues o modelo es demasiado al o. Con un ac o de escala de 0.6 la
demanda en la es ación 1 pa a una ho a onda ía los 3000 pasaje os. Un alo que se ace ca más a la ealidad
que se quie e ep esen a .
O o aspec o impo an e a decidi es la capacidad de cada en. Pa a ello ambién el modelo de Lond es
se i á de g an ayuda. En Lond es hay dis in os ipos de enes y odos ellos ondan las 1100 pe sonas de
capacidad. Conside ando que es a capacidad es o ien a i a y que en nume osas ocasiones se supe a, el
máximo se á 1200 pe sonas. Es a capacidad es a á di idida en 6 agones de 200 pasaje os cada uno.
De inición de expe imen os
Hay dos obje i os mínimos que deben consegui se a a és de la expe imen ación:
1. Hk, la capacidad de una es ación k, nunca debe de se supe ada. Es o dispa a ía el alo de la unción
obje i o y a ni el p ác ico, comp ome e ía la segu idad de los pasaje os.
2. De o ma ideal nos gus a ía que oda la demanda ue a sa is echa. Sin emba go, es o depende á de la
elación en e capacidad y demanda o al.
10.1.1 P ime a expe imen ación
Tabla 9: Da os iniciales pa a la 1ª expe imen ación

Expe imen ación
52
52
Pa a la p ime a expe imen ación los da os que se usa án se án los mencionados a iba. Se án da os es ánda
pues se le da á la misma impo ancia an o al iesgo de aglome ación como a la espe a ( éase 𝜃 y 𝜃) y el
ac o de escala 0.6 da á una demanda que se ace ca a la ealidad que se quie e ep esen a .
En es e p ime expe imen o no se pod án ese a agones, simulando una si uación en la que el modelo
no su i ía e ec o. De es a mane a se comp oba á el e ec o de ese a agones pa a una demanda con un
ac o de escala 0,6.
Los esul ados pa a es e caso son los siguien es:
Valo Función Obje i o: 𝜽𝟏∙∑𝒘𝒌+ 𝜽𝟐∙ ∑𝒓𝒌
𝒌𝝐𝑺𝒌∈𝑺 = 22.349
Es e alo an al o se debe a que el alo de iesgo de aglome ación máximo se ha supe ado en a ias
ocasiones.
Tabla 10:Riesgo de aglome ación en 1ª expe imen ación
G á ico 4:Riesgo de aglome ación en 1ª expe imen ación
RIESGO DE
AGLOMERACIÓN Es ación 1 Es ación 2 Es ación 3 Es ación 4 Es ación 5 Es ación 6 Es ación 7 Es ación 8
T en 1 0 0 0 0 0 0 0 0
T en 2 0 0 0 0 0 0 0 0
T en 3 0 14 25 42 8 0 0 0
T en 4 96 36 45 94 3 0 0 0
T en 5 20 45 72 200 0 0 0 0
T en 6 2 0 71 83 0 0 0 0
T en 7 35 0 12 65 0 0 0 0
T en 8 13 6 18 200 3 0 0 0
53
Cuando el núme o de pasaje os espe ando supe a el alo de 1000 pe sonas, que es el alo elegido como
iesgo máximo, el iesgo de aglome ación oma el alo de M=200. Pa a un ac o de escala de 0,6 la
acumulación de pasaje os es la siguien e:
Tabla 11:Flujo de pasaje os en 1ª expe imen ación
G á ico 5 :Flujo de pasaje os en 1ª expe imen ación
Como se puede imagina po el alo que adquie e la unción obje i o, no sob epasa es e umb al máximo
es una p io idad pa a el modelo. En el siguien e expe imen o se comp oba á si la ese a de agones
consigue palia es a sob eca ga de pasaje os y disminui signi ica i amen e la unción obje i o.
PASAJEROS
ESPERANDO Es ación 1 Es ación 2 Es ación 3 Es ación 4 Es ación 5 Es ación 6 Es ación 7 Es ación 8
T en 1 241 295 328 296 270 275 32 0
T en 2 193 161 176 173 168 158 8 0
T en 3 345 482 549 653 447 321 19 0
T en 4 973 614 670 964 416 146 13 0
T en 5 520 668 831 1014 121 147 4 0
T en 6 409 252 827 898 227 128 16 0
T en 7 611 296 471 790 35 117 1 0
T en 8 480 433 509 1226 420 286 20 0
Expe imen ación
54
54
10.1.2 Segunda expe imen ación
En es e segundo expe imen o el único da o inicial que a ia á se á el máximo núme o de agones
ese ables. De es e modo pod á comp oba se si, pa a una demanda con un ac o de escala 0.6, la ese a
de agones apo a alo y es capaz de desconges iona las es aciones del modelo.
Tabla 12:Da os iniciales en 2ª expe imen ación
Los esul ados ob enidos son los siguien es:
Valo Función Obje i o: 𝜽𝟏∙∑𝒘𝒌+ 𝜽𝟐∙ ∑𝒓𝒌
𝒌𝝐𝑺𝒌∈𝑺 = 22.331
Lo que, compa ado con el alo de la unción obje i o pa a las mismas condiciones, pe o sin la posibilidad
de ese a agones supone una mejo a en 18 pun os. Es a mejo a se debe en g an medida a que el umb al
de iesgo máximo no se ha supe ado en es a ocasión.
Compa ando el núme o de pasaje os espe ando pa a ambos casos (con y sin ese a de agones) se puede
ap ecia el e ec o de es a ese a:
55
G á ico 6:Máximo núme o de pasaje os po es ación pa a ac o de escala 0.6
En la g á ica se puede obse a que en el expe imen o con ese a de agones el umb al máximo no se
llega a supe a en ningún ins an e. Los agones se han ese ado de la siguien e mane a:
Tabla 13: Vagones disponibles en 2ª expe imen ación
En la si uación en la que la ese a de agones es aba deshabili ada el umb al máximo se supe aba en 2
ocasiones: Cuando el en 5 llegaba a la es ación 4 y cuando el úl imo en 8 llegaba a la 4ª es ación.
Pa a ambos casos, la ese a de agones se an oja cla e pa a que es e lími e no se sob epase. La ese a de
agones en los se icios 3, 4 y 5 pe mi en que en la es ación 4 el núme o de pasaje os espe ando al quin o
en se eduzca de 1014 a 997, su icien e pa a que el a o o no se supe e. Es a demanda debe po supues o
epa i se y se sa is echa po o os se icios. Po ejemplo, en la es ación 3 el núme o de pasaje os
espe ando al 5º en aumen a en 190 pasaje os.
VAGONES
LIBRES Es ación 1 Es ación 2 Es ación 3 Es ación 4 Es ación 5 Es ación 6 Es ación 7 Es ación 8
T en 1 26666666
T en 2 66666666
T en 3 2 4 6 6 6 6 6 6
T en 4 5 5 6 6 6 6 6 6
T en 5 56666666
T en 6 3 3 5 66666
T en 7 4 5 5 66666
T en 8 66666666
Expe imen ación
62
62

63
11 CONCLUSIONES
El mayo alo del modelo p opues o eside en la ácil implemen ación de las soluciones ob enidas. En
modelos an e io men e mencionados como (Cu ie, 2010) la implemen ación de las soluciones al p oblema
de conges ión de las pla a o mas dependía de di e sos ac o es ex e nos que podían di icul a la. En e o os,
un cie o núme o de consumido es debían oma la decisión de cambia su ho a io pa a que el modelo
ob u ie a esul ado. O os modelos mencionados an e io men e (Niu & Zhou, 2013) se basan en un cambio
del ho a io en unción de la demanda, que da luga a modelos más complejos y aplicables a ins ancias de
pequeño amaño.
Pa a la ese a de agones la única p emisa necesa ia se ía ob ene da os sob e la demanda con cie a
iabilidad. Si los da os p e ios son iables, el modelo que se p popone esul a de desa ollo sencillo y sus
soluciones pueden se pues as en p ác ica de o ma ácil en ci cuns ancias eales. Fac o es ex e nos como
ho a ios o la p edisposición del consumido no in lui ían en las soluciones a implemen a .
A pa i de los expe iem os ealizados se puede comp oba la u ilidad del modelo en di e sas si uaciones.
Resul a muy e ec i o si el obje i o es e i a sob epasa alo es de iesgo que pongan en pelig o al pasaje o.
En esencia, al ese a agones, el modelo epa e la demanda de pasaje os en e los dis in os enes que se
de ienen en las es aciones. Si el lujo de pasaje os en una es ación oma alo es muy ele ados o de iesgo,
la ese a de agones ga an iza á que los enes en an es engan la capacidad su icien e pa a ali ia la
demanda.
Un ejemplo de es e caso se ían los Expe imen os 1 y 2. G acias a que los enes man ienen a ios de sus
agones ce ados el núme o de pasaje os espe ando nunca llega a supe a la capacidad de las es aciones.
Sin es a ese a, po el con a io, alguna de las es asciones hab ían supe ado el a o o máximo en dis in os
momen os.
Además, es a misma casuís ica puede se usada pa a disminui la acumulación de pasaje os aun cuando no
suponen un iesgo. Es deci , el modelo es capaz de epa i la demanda de o ma que ninguna es ación su a
una acumulación de pasaje os, y po ende unos iempos de espe a mucho mayo es que las demás.
Aun así, el modelo su e ambién cie as limi aciones. Exis en di e sos modelos (Xu, e al., 2016) que
con emplan la posibilidad de una demanda incie a, es deci , de una si uación inusual que dispa a la
demanda a alo es a ípicos. La ese a de agones al como se ha plan eado no con empla más que el caso
de e minis a y se ía necesa io modi ica el modelo p opues o pa a a on a una si uación de demanda
alea o ia.
Conclusiones
64
64
O o aspec o a ene en cuen a son las es aciones con un lujo de pasaje os bajo, dado que el modelo
p opues o se basa en equilib a la demanda a lo la go de la línea pa a e i a aglome aciones, en el caso de
que la demanda sea muy baja, los pasaje os en esas es aciones pod ían e se pe judicados en lo que espec a
sus iempos de espe a. Vol iendo al ejemplo de la ed de anspo e sub e áneo en Lond es, exis en
es aciones cuyo lujo dia io es á en o no a los 1000 pasaje os. Si el modelo conside a que en es as es aciones
no exis e iesgo de aglome ación pod ía no habili a agones, y po an o un aumen o en los iempos de
espe a de los pasaje os espe ando en la es ación.
En la mayo ía de g andes ciudades, las es aciones con un lujo meno de pasaje os se suelen encon a en
el ex a adio o pe i e ia de la ciudad. Impedi a un pasaje o del ex a adio que suba a bo do de un en
pa a e i a aglome aciones en zonas más concu idad en la ciudad puede ocasiona p oblemas de injus icia
o exclusión social.
Pa a conclui , la ese a de agones puede se un elemen o muy in e esan e como solución a la
aglome ación en es aciones de e oca il de g andes ciudades. Su ácil implemen ación y adap abilidad
hacen que sea una opción a ene en cuen a. Como se ha comen ado, la es a egia de ese a de agones
p esen a cie as limi aciones que di icul an el con ol de los iempos de espe a o la espues a an es
si uaciones emo as. A pesa de ello, se ha mos ado como una solución álida en cie as ocasiones. O o
aspec o in e esan e es la posible combinación del mecanismo de ese a con o as es a egias u ilizadas
pa a mejo a la expe iencia de los usua ios, ales como S op-Skipping o Sho -Tu ning.
65
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