Equa ion Chap e 1 Sec ion 1
T abajo Fin de Más e
Más e Uni e si a io en Ingenie ía Indus ial
Sis ema de cálculo au omá ico de esis encias PCB
pa a calen ado es en Lab-on-chip
Au o a: E a Aguile a Mazuela
Tu o : José Manuel Que o Reboul
Dp o. Ingenie ía Elec ónica
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2021
iii
T abajo Fin de Más e
Más e Uni e si a io en Ingenie ía Indus ial
Sis ema de cálculo au omá ico de esis encias PCB
pa a calen ado es en Lab-on-chip
Au o a:
E a Aguile a Mazuela
Tu o :
José Manuel Que o Reboul
Dp o. de Ingenie ía Elec ónica
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2021
T abajo Fin de Más e : Sis ema de cálculo au omá ico de esis encias PCB pa a calen ado es en Lab-on-chip
Au o :
E a Aguile a Mazuela
Tu o :
José Manuel Que o Reboul
El ibunal nomb ado pa a juzga el P oyec o a iba indicado, compues o po los siguien es miemb os:
P esiden e:
Vocales:
Sec e a io:
Acue dan o o ga le la cali icación de:
Se illa, 2021
El Sec e a io del T ibunal

ii
A mi amilia y amigos
ix
Resumen
Pa a di e sas aplicaciones se desea ob ene una zona de un Lab-on-Chip a una empe a u a cons an e y, pa a
ello, se emplean pis as de cob e a modo de calen ado es.
Sin emba go, no es a ea ácil ob ene una empe a u a cons an e, ya que las zonas in e nas de los calen ado es
ienden a libe a menos calo y, po an o, se encuen an a empe a u as más ele adas. Pa a log a una
empe a u a cons an e se puede diseña una pis a de ancho a iable, pe o, a día de hoy, la decisión de qué
anchos impone y en qué zonas, solo puede ealiza se de o ma manual.
Así que, pa a simpli ica es e abajo, se desea elabo a un p og ama de cálculo capaz de de ini los anchos de
una pis a de cob e pa a ob ene una empe a u a cons an e en una de e minada zona. En es e documen o se
explica, no solo el con enido de dicho p og ama, sino ambién los cálculos p e ios necesa ios, el
p ocedimien o a segui pa a su co ec o uso y algún ejemplo que mues e su uncionamien o de mane a
ilus a i a.

x ii
ÍNDICE DE FIGURAS
Figu a 1-1. Modelo en COMSOL de un ejemplo de LoC con un se pen ín de cob e. 1
Figu a 2-1. Rep esen ación de las esis encias é micas la e ales y e icales en una celda. 6
Figu a 2-2. Pe spec i a del modelo cons uido en COMSOL. Bloque de 7x7 celdas en el cen o, odeado de un
bloque de 20mm de lado y a a esado po la pis a de cob e en línea ec a. 7
Figu a 2-3. Plan a del bloque cen al del modelo, donde es án señalizadas las celdas en las que se ha medido
cada empe a u a pa a ob ene las esis encias la e ales. Siendo T1 y T2 usadas pa a el cálculo de la esis encia
é mica en e dos celdas sin pis a de cob e, T3 y T4 pa a el de dos celdas con pis a de cob e, y T3 y T5 pa a el
de una celda con pis a de cob e y o a sin ella. 8
Figu a 2-4. Ecuación del coe icien e en e una celda con cob e y o a sin cob e, en unción de la elación en e
el ancho de la pis a de cob e y el lado de la celda. 11
Figu a 2-5. Plan a del bloque cen al del modelo, donde es án señalizadas la dis ancias a una celda con cob e
de cada celda en la que se han medido empe a u as pa a ob ene las esis encias e icales. Siendo D=0 una
celda que con iene pis a de cob e, D=1 una celda con igua a una celda con pis a de cob e y así sucesi amen e.
11
Figu a 2-6. Co e de empe a u a ob enido en COMSOL, en el que se dis inguen las a iaciones de
empe a u a en als supe icies en las que se han omadado medidas pa a el cálculo de las esis encias é micas
e icales. 13
Figu a 2-7. Diag ama de lujo que sigue el p og ama de cálculo pa a ob ene la esis encia de ancho a iable
de ini i a. 15
Figu a 2-8. Imagen de una línea que de ine el eco ido de la pis a de cob e, en la que se ha ma cado, en ojo,
el bo de de la zona ac i a y, en azul, el de la zona ocupada po el plano de cob e. 17
Figu a 2-9. G á icas mos adas en Ma lab pa a el seguimien o de pa áme os. 27
Figu a 2-10. Diaga ama de lujo pa a el co ec o uso del código en el p og ama de cálculo. 29
Figu a 3-1. Plan a ob enida de COMSOL del LoC del ejemplo en el que se desea coloca una pis a de cob e.
Los es cí culos que se mues an son las zonas en la que se desea ob ene una empe a u a de 65ºC y po
encima de los cuales no puede pasa la pis a de cob e. 31
Figu a 3-2. P ime diseño de la línea que de ine el eco ido de la pis a de cob e con el con o no de la zona
ac i a ma cado en ojo y el de la zona ocupada po el plano de cob e ma cado en azul. Las es zonas en las
que no hay línea de cob e se co esponden con las zonas ocupadas po los es cí culos de la Figu a 3-1. 32
Figu a 3-3. Pis a de cob e ob enida en L-Edi as deshace la disc e ización en el esul ado ob enido en Ma lab
pa a una línea como la mos ada en la Figu a 3-2. 32
Figu a 3-4. Co e de empe a u a en el plano de la pis a de cob e, ob enido en COMSOL, pa a una pis a de
cob e como la mos ada en la Figu a 3-3. 33
Figu a 3-5. Dis in os diseños de la línea que de ine el eco ido de la pis a de cob e, nume ados según el o den
c onológico en el que ue on c eados. 34
Figu a 3-6. Mapa de empe a u a del co e ealizado en el plano de la pis a de cob e, ob enido con las dis in as
líneas que de inen la pis a de cob e de la Figu a 3-5. 35
Figu a 3-7. Diseño de la línea que de ine el eco ido de la pis a de cob e co espondien e a R5 en la Figu a 3-5
y 3-6, con el con o no de la zona ac i a ma cado en ojo y el de la zona ocupada po el plano de cob e ma cado
en azul. Zona ac i a de inida as comp oba que no se puede alcanza la misma empe a u a en los cí culos
que en la pis a de cob e. 36
Figu a 3-8. Pis a de cob e ob enida en L-Edi as deshace la disc e ización en el esul ado ob enido en Ma lab
pa a una línea co espondien e a R5 en la Figu a 3-5 y 3-6. 36
Figu a 3-9. Co e de empe a u a en el plano de la pis a de cob e, ob enido en COMSOL, pa a la pis a de cob e
de la Figu a 3-8. 37
Figu a 3-10. Pis a de cob e de la Figu a 3-8 ab icada en un PCB de doble ca a. Los pun os azules se
co esponden con los dis in os pun os en los que se ha ob enido una medida de la empe a u a. 38
Figu a 3-11. Mapa de empe a u as de la supe icie del me ac ila o. La zona oja se co esponde con la de
mayo empe a u a, mien as que la azul se co esponde con la de meno empe a u a. La empe a u a media
de la supe icie es de 54.9ºC. 39
Figu a 3-12. Pues o de abajo en el labo a o io. 39
Figu a AA-0-1. Reco ido de la pis a de cob e diseñado en L-Edi . 43
Figu a AA-0-2. Imágenes de uel as po leelinea.m as con e i el iche o .DXF a una ma iz. En la
imagen de la izquie da se mues a una línea con inua según el eco ido de la pis a de cob e, y en la de la
de echa se ma can los pun os disc e os que con o man el eco ido. 44
Figu a AA-0-3. Imagen del eco ido de la pis a de cob e con el con o no de la zona ac i a ma cado en ojo y
el del plano de cob e ma cado en azul. 45
Figu a AA-0-4. G á icas mos adas en Ma lab pa a el seguimien o de pa áme os. 46
Figu a AA-0-5. Pe il de empe a u as de la línea media del LoC en una i e ación. 47
Figu a AA-0-6. Pis a de cob e ob enido as el cálculo de los anchos. A la izquie da se mues an los anchos de
la pis a median e escala de g ises, siendo el neg o un ancho 0. A la de echa se mues an los anchos de mane a
disc e izada, de mane a que se e la pis a de cob e o mada po pequeños cuad ados de dis in o amaño. 47
Figu a AA-0-7. Pis a de cob e ob enida en Ma lab impo ada en L-Edi . Se encuen a seleccionada la línea
comple a y ma cado el icono de “me ge”. 48
Figu a AA-0-8. Mapa de empe a u as en el plano de la pis a de cob e ob enido en COMSOL. A la izquie da
con el ango comple o de empe a u as del LoC. A la de echa con el ango de empe a u as pe mi ido, es deci
Tobj±1ºC. 49
1
1 INTRODUCCIÓN AL PROBLEMA
e quie e emplea una línea de cob e como esis encia, pa a ob ene una empe a u a cons an e en una
de e minada zona de un Lab-on-Chip (LoC). Pa a ello es necesa ia una de inición de allada del ancho de
la línea de cob e.
Ac ualmen e se u iliza un simulado basado en el mé odo de los elemen os ini os, pe o es e no sopo a la
simulación de una geome ía a iable, po lo que se necesi a un p oceso i e a i o manual pa a la modi icación
del ancho de la pis a de cob e a lo la go de su eco ido. Es deci , se puede es ablece una o ma conc e a pa a
la esis encia con un ancho de cob e a iable, ealiza una simulación en COMSOL con dicha esis encia y a
pa i del esul ado ob ene conclusiones. Pe o esas conclusiones se e án muy limi adas, ya que se puede
in ui en qué zona puede se necesa io un aumen o o disminución del ancho de la pis a de cob e, pe o esas
zonas son muy amplias y un cambio en ellas puede cambia el esul ado po comple o, alejándose del obje i o
deseado. Incluso si se hicie an cambios muy localizados, es os cambios ambién a ec an a las zonas ce canas,
debido a la ansmisión de calo , y dicho cambio no es ácil de in ui al hace lo de o ma manual pa a in e a
compensa lo si ue a necesa io.
Po odo ello, es e p oceso i e a i o manual se uel e muy la go y edioso, po lo que se hace p ác icamen e
imposible llega al obje i o a a és de él. Y pa a agiliza es e p oceso, se p e ende ealiza un p og ama que
pe mi a calcula de o ma au omá ica los anchos de la pis a de cob e necesa ios.
Figu a 1-1. Modelo en COMSOL de un ejemplo de LoC con un se pen ín de
cob e.
Un posible ejemplo de lo que pod ía se un LoC con una pis a de cob e que hace de calen ado se mues a en
la Figu a 1-1. En ella se dis inguen las capas de PCB (in e io ) y me ac ila o (supe io ), así como la igu a
se pen ean e que o ma la pis a de cob e. En es e ejemplo se e un canal que pasa po encima del calen ado , el
cual se i ía pa a lle a un líquido que se desea pone a una de e minada empe a u a. Es a pod ía se una de
las aplicaciones pa a las que se desea ene una zona a una empe a u a cons an e.
S
3
2 DESCRIPCIÓN DE LA SOLUCIÓN
omo se ha dicho an e io men e, se necesi a agiliza el p oceso de de inición de los anchos de la pis a de
cob e y, pa a ello, se p e ende ealiza un p og ama de cálculo que pe mi a calcula los anchos
necesa ios de o ma au omá ica.
Dicho p og ama debe se capaz:
 de lee el diseño de esis encia hecho p e iamen e, en el que se de ine la o ma y eco ido de la línea
de cob e,
 de es ima ma emá icamen e la gene ación y ans e encia de calo ,
 de modi ica de mane a localizada el ancho de la pis a de cob e, así como ealiza cambios en la
co ien e pa a log a la empe a u a deseada,
 de ene en cuen a las limi aciones ecnológicas y
 de gene a la geome ía de la línea de esis encia pa a que pueda se pos e io men e leída desde la
he amien a CAD.
Es as unciones se explican con mayo g ado de de alle en el apa ado 2.2.
Además, al ealiza dis in as simulaciones con dicho p og ama, se ha is o que es impo an e pa a log a el
obje i o deseado, coloca un plano de cob e en la zona ocupada po la esis encia, ya que es o con ibuye en
g an medida a la homogeneización de la empe a u a. Es e e ec o es debido a que el cob e es el ma e ial, de los
empleados, con mayo conduc i idad eléc ica, lo cual hace que enga una esis encia é mica meno , po lo
que en el in e cambio en e una zona con cob e y o a sin cob e, hay una g an di e encia en el alo de las
esis encias, siendo la zona con cob e la dominan e en el in e cambio de calo . Sin emba go, al coloca el plano
de cob e, ya no exis e esa g an di e encia en las esis encias, ya que oda la zona con iene cob e, po lo que no
hay unas zonas dominan es en e a o as y el calo se dis ibuye de o ma más homogénea.
2.1 T ansmisión de calo
Pa a pode elabo a el código que gene e au omá icamen e una esis encia de ancho a iable, es necesa io
es ablece las ecuaciones que de inen la ansmisión de calo y el cálculo de esis encias é micas.
El modelo de ans e encia de calo en sólidos po conducción es [1]:
𝜌𝐶𝑝𝜕𝑇
𝜕𝑡 +∇𝑞 =𝑄
(2–1)
donde ρ es la densidad,
Cp es la capacidad calo í ica especí ica,
T es la empe a u a,
es el iempo,
q es el lujo de calo po conducción y
Q es la uen e de calo .
Simpli icando pa a un sis ema en el que no hay a iación de empe a u a con el iempo, la ecuación de
ans e encia de calo en sólidos po conducción es:
𝑞 =−𝑘∇𝑇
(2–2)
C

Desc ipción de la solución
4
4
donde q es el lujo de calo po conducción,
k es la conduc i idad é mica y
T es empe a u a.
El modelo de ans e encia de calo po con ección es:
𝑞 =ℎ(𝑇𝑠−𝑇𝑎𝑚𝑏)
(2–3)
donde q es el lujo de calo po con ección,
h es el coe icien e de película con ec i o,
Ts es la empe a u a en la supe icie del sólido y
Tamb es la empe a u a ambien e.
Disc e izando el LoC y conside ando que es e es á o mado po celdas de lado L, cuyas supe icies se
encuen an a empe a u a cons an e, las ecuaciones que se ob ienen pa a una celda son las siguien es:
 Gene ación de calo po e ec o Joule [1]
𝑄𝑐𝑢 =𝑅𝑒_𝑐𝑢𝐼2
(2–4)
donde Qcu es el calo gene ado,
I es la co ien e que ci cula po la pis a de cob e y
𝑅𝑒_𝑐𝑢 = 𝜌𝐿
𝐻𝑐𝑢𝑊𝑐𝑢 es la esis encia eléc ica del cob e [2],
donde ρ es la esis i idad del cob e,
L es la longi ud del lado de la celda,
Hcu es el espeso del cob e y
Wcu es el ancho de la pis a de cob e.
 T ansmisión de calo e ical, suponiendo que las empe a u as en las supe icies de cada celda son
cons an es [1]
𝑇𝑐𝑢 −𝑇𝑡=𝑄𝑢𝑝𝑅𝑚𝑒𝑡
𝑇𝑐𝑢 −𝑇𝑏=𝑄𝑑𝑤𝑅𝑝𝑐𝑏
(2–5)
donde Tcu es la empe a u a en el cen o de la supe icie de la celda que sepa a el me ac ila o y el PCB,
T es la empe a u a en el cen o de la supe icie supe io de la celda,
Tb es la empe a u a en el cen o de la supe icie in e io de la celda,
Qup es el calo disipado hacia a iba,
Qdw es el calo disipado hacia abajo,
𝑅𝑚𝑒𝑡 =𝐻𝑚𝑒𝑡
𝐾𝑚𝑒𝑡𝐿2 es la esis encia é mica del me ac ila o y
𝑅𝑝𝑐𝑏 =𝐻𝑝𝑐𝑏
𝐾𝑝𝑐𝑏𝐿2 es la esis encia é mica del PCB,
5
5
Sis ema de cálculo au omá ico de esis encias PCB pa a calen ado es en Lab-on-chip
donde L es la longi ud del lado de la celda,
Hme es el espeso del me ac ila o,
Hpcb es el espeso del PCB,
Kme es la conduc i idad é mica del me ac ila o y
Kpcb es la conduc i idad é mica del PCB.
 T ansmisión de calo la e al [1]
𝑇𝑐𝑢 −𝑇𝑐𝑢(±1,±1)=𝑄𝑙𝑎𝑡𝑅𝑙𝑎𝑡
(2–6)
donde Tcu es la empe a u a en el cen o de la supe icie de la celda que sepa a el me ac ila o y el PCB,
Tcu(±1, ±1) es la empe a u a en el cen o de la supe icie que sepa a el me ac ila o del PCB en cada
una de las celdas con iguas a la p ime a,
Qla es el calo disipado hacia los la e ales y
Rla es la esis encia é mica en e dos celdas con iguas, que puede calcula se de es o mas:
𝑅𝑙𝑎𝑡_𝑠𝑖𝑛𝑐𝑢 =𝐿
𝐾𝑝𝑐𝑏𝐻𝑝𝑐𝑏𝐿+𝐾𝑚𝑒𝑡𝐻𝑚𝑒𝑡𝐿 en e dos celdas sin pis a de cob e,
𝑅𝑙𝑎𝑡_𝑐𝑜𝑛𝑐𝑢 =𝐿
𝐾𝑝𝑐𝑏𝐻𝑝𝑐𝑏𝐿+𝐾𝑚𝑒𝑡𝐻𝑚𝑒𝑡𝐿+𝐾𝑐𝑢𝐻𝑐𝑢𝑊𝑐𝑢 en e dos celdas con pis a de cob e y
𝑅𝑙𝑎𝑡_𝑐𝑜𝑛𝑐𝑢_𝑠𝑖𝑛𝑐𝑢 =𝑊𝑐𝑢/2
𝐿(𝐾𝑚𝑒𝑡(𝐻𝑚𝑒𝑡−𝐻𝑐𝑢)+𝐾𝑐𝑢𝐻𝑐𝑢+𝐾𝑝𝑐𝑏𝐻𝑝𝑐𝑏)+𝐿−𝑊𝑐𝑢/2
𝐿(𝐾𝑚𝑒𝑡𝐻𝑚𝑒𝑡+𝐾𝑝𝑐𝑏𝐻𝑝𝑐𝑏) en e una celda con
pis a de cob e y o a sin ella,
donde L es la longi ud del lado de la celda,
Wcu es el ancho de la pis a de cob e,
Hme es el espeso del me ac ila o,
Hpcb es el espeso del PCB,
Hcu es el espeso del cob e,
Kme es la conduc i idad é mica del me ac ila o,
Kpcb es la conduc i idad é mica del PCB y
Kcu es la conduc i idad é mica del cob e.
 Disipación de calo e ical [1]
𝑇𝑡−𝑇𝑎𝑚𝑏 =𝑄𝑢𝑝𝑅ℎ
𝑇𝑏−𝑇𝑎𝑚𝑏 =𝑄𝑑𝑤𝑅ℎ
(2–7)
donde T es la empe a u a en el cen o de la supe icie supe io de la celda,
Tb es la empe a u a en el cen o de la supe icie in e io de la celda,
Tamb es la empe a u a ambien e,
Qup es el calo disipado hacia a iba,
Qdw es el calo disipado hacia abajo y
𝑅ℎ=1
ℎ𝐿2 es la esis encia é mica con ec i a,
donde L es la longi ud del lado de la celda y
Desc ipción de la solución
6
6
h es el coe icien e de película con ec i o.
Haciendo balance de ene gía con las ecuaciones an e io es se iene que
𝑄𝑢𝑝 +𝑄𝑑𝑤 +∑𝑄𝑙𝑎𝑡
4
1=𝑄𝑐𝑢
(2–8)
de donde se puede ob ene la empe a u a de cada celda (Tcu(i, j)) que, al compa a la con la empe a u a
deseada, pe mi e oma decisiones en el cambio del ancho de la pis a y en la co ien e a aplica .
Figu a 2-1. Rep esen ación de las esis encias é micas la e ales y e icales en
una celda.
7
7
Sis ema de cálculo au omá ico de esis encias PCB pa a calen ado es en Lab-on-chip
2.1.1 Cálculo de coe icien es
La ob ención de las esis encias é micas en el apa ado an e io se ha hecho de mane a eó ica, pe o en la
ealidad la ansmisión de calo no es homogénea, sino que se de o ma a medida que se aleja del oco de
emisión de calo (la pis a de cob e). Pa a no ene en cuen a es e e ec o en el cálculo eó ico, pe o que el
esul ado se asemeje a la ealidad, se aplican unos coe icien es sob e las esis encias é micas ob enidas de
mane a eó ica.
Pa a ob ene dichos coe icien es se han ealizado unas simulaciones en COMSOL. Se ha omado un sis ema
de 7x7 celdas de lado L=1mm, donde cada celda es á compues a de una capa supe io de me ac ila o de al u a
Hme = 5mm, cuya conduc i idad é mica es Kme = 0.19W/mK, y una capa in e io de PCB de al u a Hpcb =
1,6 mm, cuya conduc i idad é mica es Kpcb = 0.3W/mK.
Es e sis ema es más pequeño que el eal, e incluso las celdas más in e nas es a ían muy ce ca del ex e io y,
po an o, se e ían a ec adas po las condiciones del ambien e. Así que pa a aleja las, y que el esul ado se
pa ezca más a lo que ealmen e se a a implemen a , se ha añadido un bloque de 20mm de lado que odea al
an e io men e desc i o de lado 7mm, con la misma es uc u a espec o a las capas de me ac ila o y PCB que
es e.
Po úl imo, se añade una pis a de cob e de espeso Hcu = 18µm , cuya conduc i idad é mica es Kcu =
400W/mK, en e la capa de me ac ila o y la de PCB po la zona cen al del bloque. Se hace pasa po dicha
pis a una co ien e de 1.5A ( as comp oba p e iamen e que a ia la co ien e no a ec a al esul ado) y se a
modi icando su ancho desde 200µm has a 600μm. No se han hecho p uebas con anchos mayo es a es e,
po que al ace ca se la pis a a la zona en la que se oman las medidas (pa ed que sepa a una celda de o a) se
dis o sionan los esul ados.
Figu a 2-2. Pe spec i a del modelo cons uido en COMSOL. Bloque de 7x7
celdas en el cen o, odeado de un bloque de 20mm de lado y a a esado po la
pis a de cob e en línea ec a.
Se han ob enido coe icien es an o pa a las esis encias la e ales, como pa a las e icales. Y en el p ime caso,
se ha di e enciado si la ansmisión de calo e a en e dos celdas sin pis a de cob e, dos celdas con pis a de
cob e o en e una de cada ipo.
Desc ipción de la solución
14
14
2.2 Desc ipción del p og ama de cálculo
En es e apa ado se a a el con enido del p og ama de cálculo que, as lee la o ma de la pis a de cob e es
capaz de modi ica el ancho de es a pa a log a una empe a u a obje i o en una zona de e minada del LoC. Se
explica el p oceso que sigue, así como las u inas que lo o man.
En la Figu a 2-6 se mues a el diag ama de lujo que sigue el p og ama de cálculo pa a ob ene la esis encia
de ancho a iable de ini i a.
Pa a en ende mejo es e diag ama de lujo se explican a con inuación de mane a de allada cada uno de los
pasos a segui .
Paso 1. En p ime luga se lee el iche o .DXF elabo ado en un p og ama de diseño, que con iene la línea
que ma ca el eco ido de la pis a de cob e. Una ez ealizado es o i al paso 2.
Paso 2. A con inuación, se ans o ma el iche o leído en el apa ado an e io en una ma iz que con iene
el alo del ancho en cada pun o de la pis a de cob e, pa a que Ma lab pueda ope a con ella. T as
es o i al paso 3.
Paso 3. En es e paso se de inen las cons an es que son necesa ias en el cálculo, así como los alo es
iniciales de los pa áme os que lo equie en. Es os alo es pueden se de inidos di ec amen e en el
código p incipal, u ob ene se de o o iche o. En e los alo es de las cons an es se encuen a el
cálculo de las esis encias que no dependen del ancho de la pis a de cob e. O o alo ele an e
pa a segui el diag ama de lujo, que se de ine en es e pun o, es el índice “Pasos”, que se inicializa
a 0 e indica el núme o de i e aciones ealizadas. Una ez de inido es o, i al paso 4.
Paso 4. Se calculan las esis encias es an es, las que dependen del ancho de la pis a de cob e. Y, as ello,
se a al paso 5.
Paso 5. Se elabo an las ma ices de conduc ancias é micas, 𝐺 = 1
𝑅, y de uen es (o sumide os) de ene gía,
Q. Y se a al paso 6.
Paso 6. Ob enidas las ma ices G y Q se p ocede al cálculo de las empe a u as en cada pun o del LoC,
median e la ecuación 𝑄 =𝐺𝑇, y se a al paso 7.
Paso 7. Si en una celda Tobj – Tcu > máximo e o local pe mi ido i al paso 8, si no i al paso 11.
Paso 8. Se disminuye el ancho de la pis a de cob e en la celda en cues ión y se a al paso 9.
Paso 9. Si, as diminui el ancho de la pis a de cob e en una celda, es e es meno que el mínimo pe mi ido
i al paso 10, si no i al paso15.
Paso 10. Se iguala el ancho que es meno que el ancho mínimo pe mi ido a es e y se aumen a la co ien e.
T as es o, i al paso 15.

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Sis ema de cálculo au omá ico de esis encias PCB pa a calen ado es en Lab-on-chip
Figu a 2-7. Diag ama de lujo que sigue el p og ama de cálculo pa a ob ene la
esis encia de ancho a iable de ini i a.
Desc ipción de la solución
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Paso 11. Si en una celda Tcu – Tobj > máximo e o local pe mi ido i al paso 12, si no i al paso 16.
Paso 12. Se aumen a el ancho de la pis a de cob e en la celda en cues ión y se a al paso 13.
Paso 13. Si, as aumen a el ancho de la pis a de cob e en una celda, es e es mayo que el máximo
pe mi ido i al paso 14, si no i al paso 15.
Paso 14. Se iguala el ancho que es mayo que el ancho máximo pe mi ido a es e y se disminuye la
co ien e. T as es o, i al paso 15.
Paso 15. Se compa a el e o medio ob enido en una i e ación con la an e io y, en base a ello, se aumen a o
disminuye el paso de modi icación del ancho de la pis a de cob e. T as es o, i al paso 17.
Paso 16. Si el e o medio ob enido es mayo que el e o medio máximo pe mi ido i al paso 17, si no i al
paso 19.
Paso 17. Se aumen a el índice de i e ación, Pasos, en una unidad y se a al paso 18.
Paso 18. Si Pasos < Pasos máximo pe mi ido i al paso 4, si no i al paso 19.
Paso 19. Bien po que se ha con e gido y se ha ob enido la esis encia de anchos a iables necesa ia pa a
ob ene el obje i o, o bien po que se ha llegado al lími e de i e ación es ablecido, se inaliza el
p oceso de cálculo y se esc ibe un iche o .DXF que con iene la úl ima igu a de la pis a de cob e
ob enida con los anchos calculados.
En los siguien es subapa ados, se explica y se mues a pa e del código elabo ado en Ma lab.
2.2.1 Cons an es
En el iche o MisCons.m se encuen an algunas de las cons an es necesa ias, que se án llamadas desde o os
de los iche os Ma lab. Tales como:
 la empe a u a obje i o (Tcu),
 las dimensiones del LoC (DimLoC),
 la longi ud del lado de las celdas en la que se di ide el LoC pa a disc e iza lo (Paso),
 el ancho inicial de la pis a de cob e (anchoCu_inicial),
 el ancho mínimo que se le puede da a la pis a de cob e debido a las limi aciones écnicas (Emin),
 el espeso de la pis a de cob e (Espeso Cu),
 el espeso del plano de cob e (Espeso planoCu),
 el coe icien e que se necesi a aplica sob e la esis encia la e al eó ica en e dos celdas sin pis a de
cob e (coe COMSOL_Resis encia_la e al_sincu),
 la co ien e inicial suminis ada (I0),
17
17
Sis ema de cálculo au omá ico de esis encias PCB pa a calen ado es en Lab-on-chip
 las coo denadas de la zona ac i a (Xmin,Ymin, Xmax, Ymax), es deci , la zona en la que se desea
consegui la empe a u a obje i o, ya que si la zona en la que se desea una empe a u a cons an e es
muy amplia, se ía imposible alcanza dicha empe a u a solo cambiando los anchos de la pis a; y
 las coo denadas en las que se encuen a el plano de cob e (XminCu,YminCu, XmaxCu, YmaxCu).
Es e plano de cob e, es impo an e coloca lo en la zona en la que se dispone la esis encia, po que
cumple un papel decisi o en la homogeneización de la empe a u a.
classde MisCons
p ope ies (Cons an = ue)
Tcu=95; %degC
ConCon eccion=1;
DimLoC=64; %en mm, amaño del LoC
Paso=0.5; %en mm, amaño de la cuad ícula de diseño
anchoCu_inicial=500; %en mic as, ancho pis a cob e inicial
Emin=200; %en mic as, ancho mínimo de pis a
Espeso Cu=18e-6; %en m, espeso pis a cob e
Espeso planoCu=100e-6; %en m, espeso plano Cu
coe COMSOL_Resis encia_la e al_sincu=1.85;
I0=1.02; %en A, co ien e inicial
%á ea ac i a
Xmin=15;
Ymin=32;
Xmax=25;
Ymax=65;
%á ea de la placa de cob e
XminCu=3;
YminCu=4;
XmaxCu=46;
YmaxCu=100;
end
end
Figu a 2-8. Imagen de una línea que de ine el eco ido de la pis a de cob e, en
la que se ha ma cado, en ojo, el bo de de la zona ac i a y, en azul, el de la zona
ocupada po el plano de cob e.
Desc ipción de la solución
18
18
2.2.2 Lec u a de la línea que de ine la o ma de la pis a de cob e
El código enca gado de la lec u a de la línea que de ine la o ma de la pis a de cob e es leelinea.m.
Es a pa e del código ecibe como en ada:
 Resis encia_ a iable.dx ,
que es el iche o en el que se encuen a el diseño de la línea que de ine el eco ido de la pis a de cob e,
ealizado p e iamen e con un p og ama de diseño como, po ejemplo, L-Edi .
Y se ob iene como salida:
 linea.da ,
que es el a chi o que con iene los alo es de los anchos de la pis a de cob e, ob enido a pa i del iche o de
en ada, pa a que Ma lab pueda ope a con los da os que con iene. Es a con e sión se ealiza g acias a la
unción DXF oolq.m, ob enida de modi ica la lib e ía DXF ool.m.
%mis a iables
global p ime e ex dimma paso
p ime e ex=1;
global milinea amano_PCB
amano_PCB=MisCons.DimLoC; %LoC cuad ado de 64mm de lado, en unidades de 1 mm
paso=MisCons.Paso; % 0.5 mm/cuad ado
dimma = ound( amano_PCB/paso); %64/0.5=128 cuad ados/lado
milinea=255*ones(dimma ,dimma ); %un pixel es 1mm %ma iz de dimensiones 128x128 con un 255 en
cada elemen o de la ma iz
% ead ile and plo
dx = DXF oolq('Resis encia_ a iable.dx ');
2.2.3 Cálculo y de inición de los anchos de la pis a de cob e
El iche o esis encia_au oma ica.m con iene el código p incipal, en el que se ealizan los cálculos
necesa ios pa a de ine los anchos de la pis a de cob e.
Es a pa e del código ecibe como en ada:
 linea.da ,
que es el a chi o que con iene los alo es de los anchos de la pis a de cob e, ob enido de leelinea.m.
Y gene a a la salida:
 ma izTODO.da y
 pa ame os.da ,
que son, espec i amen e, el a chi o que con iene los alo es de los anchos de la pis a de cob e en odo el LoC
as habe sido calculados pa a consegui el obje i o deseado, y el a chi o con los alo es ob enidos de los
pa áme os más ele an es.
Una ez ca gados los da os del a chi o de en ada en una ma iz (Me), se calculan las esis encias que no
dependen del ancho de la pis a de cob e, es deci , las que man ienen un alo cons an e du an e odo el p oceso
de cálculo. Pa a calcula las se emplean:
 la longi ud del lado de la celda (L),
 los espeso es de cada capa (Hpcb, Hme , Hplanocu) ,
 las conduc i idades é micas (Kpcb, Kme , Kcu),
 el coe icie ne de película de con ección (h) y
19
19
Sis ema de cálculo au omá ico de esis encias PCB pa a calen ado es en Lab-on-chip
 los coe icien es necesa ios calculados en el apa ado 2.1.1 (coe COMSOLla e al_sincu,
coe _ e ical_me =4.78, coe _ e ical_pcb).
Las esis encias inales que se usa án en el cálculo de los anchos son:
 Rlsincu. Es la esis encia é mica la e al po conducción en e dos celdas sin cob e.
 Rlsincu_planoCu. Es la esis encia é mica la e al po conducción en e dos celdas sin pis a de
cob e, pe o que sí con ienen al plano de cob e.
 Rhl. Es la esis encia é mica la e al po con ección en e las celdas que se encuen an en el con o mo
del LoC y el ambien e.
 Ramb. Es la esis encia é mica e ical o al. Aúna la esis encia e ical po conducción debida al
me ac ila o y la debida al PCB, y ambién incluye las esis encias con ec i as de la supe ecie
supe io e in e io de cada celda.
% esis encias é micas
coe COMSOLla e al_sincu=MisCons.coe COMSOL_Resis encia_la e al_sincu;
Rpcbl=L/(Kpcb*L*Hpcb); %K/W esis encia é mica la e al pcb
Rml= L/(Kme *L*Hme ); %K/W esis encia é mica la e al me ac ila o
RplanoCU= L/(Kcu*L*Hplanocu); %K/W esis encia e mica la e al plano cob e
Rlsincu_i=Rpcbl*Rml/(Rpcbl+Rml); % esis encia o al la e al sin cob e
Rlsincu_planoCu_i=Rpcbl*Rml*RplanoCU/(Rpcbl*Rml+Rpcbl*RplanoCU+RplanoCU*Rml); % esis encia o al
la e al sin pis a de cob e
Rlsincu=Rlsincu_i*coe COMSOLla e al_sincu;
Rlsincu_planoCu=Rlsincu_planoCu_i*coe COMSOLla e al_sincu;
h=5; %coe icien e de película con ec i o
Rhl=1/(h*L*(Hpcb+Hme )); % esis encia é mica la e al con ección
% esis encia e ical
Rme =Hme /(Kme *L*L); %K/W % esis encia é mica e ical me ac ila o
Rpcb=Hpcb/(Kpcb*L*L); %K/W % esis encia é mica e ical PCB
Ramb=ze os(N,N); % esis encia é mica e ical o al
o i=1:N
o j=1:N
i Me(i,j)>0 %si hay cob e
coe _ e ical_me =4.78;
coe _ e ical_pcb =7.29;
else %si no hay cob e
i (i<N && Me(i+1,j)>0) || (i>1 && Me(i-1,j)>0) || (j<N && Me(i,j+1)>0) || (j>1 &&
Me(i,j-1)>0) %D=1
coe _ e ical_me =2.54;
coe _ e ical_pcb =1.42;
elsei (i<(N-1) && Me(i+2,j)>0) || (i>2 && Me(i-2,j)>0) || (j<(N-1) && Me(i,j+1)>0) ||
(j>2 && Me(i,j-2)>0) %D=2
coe _ e ical_me =1.64;
coe _ e ical_pcb =0.39;
elsei (i<(N-2) && Me(i+3,j)>0) || (i>3 && Me(i-3,j)>0) || (j<(N-2) && Me(i,j+3)>0) ||
(j>3 && Me(i,j-3)>0) %D=3
coe _ e ical_me =1.19;
coe _ e ical_pcb =0.32;
else %D>3
coe _ e ical_me =1;
coe _ e ical_pcb =1;
end
end
Rsup=coe _ e ical_me *Rme ; % esis encia é mica e ical supe io
Rin =coe _ e ical_pcb*Rpcb; % esis encia é mica e ical in e io
i MisCons.ConCon eccion==1
%con eccion
Rh=1/(h*L*L);
Rsup=Rsup+Rh;
Rin =Rin +Rh;
end
Ramb(i,j)=Rsup*Rin /(Rsup+Rin ); % esis encia al ambien e, pa alelo e ical PCB y
me ac ila o
end %j
end %i

Desc ipción de la solución
20
20
T as es o, se inicia el bucle while en el que se calcula la empe a u a de cada celda y se ealizan las
modi icaciones sob e el ancho de la pis a de cob e y/o sob e la co ien e aplicada. De dicho bucle se sale si:
 se alcanza un e o conside ado azonable, es deci , si el e o medio de empe a u a es meno de 2ºC
y en ninguna celda hay un e o mayo de 1ºC (E o TMedio < E o TMedioMax y
E o Local = 0), o si
 se ha epe ido es e bucle 30 eces (Pasos = PasosMax).
Den o de es e bucle, lo p ime o que se hace es calcula las esis encias que dependen del ancho de la pis a de
cob e y que, po an o, a ían en cada i e ación del código. Pa a calcula las se emplean:
 la longi ud del lado de la celda (L),
 los espeso es de cada capa (Hpcb, Hme ,Hcu) ,
 las conduc i idades é micas (Kpcb, Kme , Kcu),
 el ancho de la pis a de cob e (Wcu),
 la esis i idad del cob e ( o_Cu) y
 los coe icien es necesa ios calculados en el apa ado 2.1.1
(coe COMSOLla e al_concu_sincu).
De aquí se ob ienen:
 ReCu. Es la esis encia eléc ica en cada celda debida a la ci culación de co ien e.
 RCu. Es la esis encia é mica la e al po conducción de la pis a de cob e.
 Rlconcu_sincu. Es la esis encia é mica la e al po conducción en e una celda que con iene pis a
de cob e y o a que no. Pues o que el plano de cob e se encuen e en la zona ocupada po la pis a de
cob e, se en iende que cualquie in e cambio en e una celda con pis a de cob e y o a sin ella a a
con ene pa e del plano de cob e.
 Rlconcu. Es la esis encia é mica la e al en e dos celdas con pis a de cob e y que, po an o,
con ienen al plano de cob e.
. . .
ReCu=ze os(N,N); % esis encia eléc ica
Rcu=ze os(N,N); % esis encia é mica de cob e
Rlconcu_sincu=ze os(N,N); % esis encia é mica en e celda con cob e y sin
Rconcu=ze os(N,N); % esis encia é mica en e celdas con cob e
%se i e a
while(Pasos < PasosMax) && (E o TMedio > E o TMedioMax || E o Local==1 )
Resis _To al=0; % esis encia eléc ica o al
Wcu=Me*1e-6; %se pasa a me os %ma iz con los espeso es del cob e en cada cuad ado (i,j)
%ma iz de esis encias elec icas y é micas
o i=1:N
o j=1:N
i Me(i,j)>0 %si hay cob e
% esis encia eléc ica
ReCu(i,j)= o_Cu*L/(Hcu*Wcu(i,j)); %ohm
Resis _To al=Resis _To al+ReCu(i,j);
% esis encia é mica la e al pis a cob e
Rcu(i,j)=L/(Kcu*Wcu(i,j)*Hcu); %K/W
% esis encia é mica en e celda con Cu y celda sin Cu
coe COMSOLla e al_concu_sincu(i,j)=4.3089*((Wcu(i,j)/L)^(-0.214));
21
21
Sis ema de cálculo au omá ico de esis encias PCB pa a calen ado es en Lab-on-chip
R1(i,j)=(Wcu(i,j)/2)/(L*(Kcu*Hcu+Kpcb*Hpcb+Kme *(Hme -Hcu)));
R2(i,j)=(L-AnchoCu(i,j)/2)/(L*(Kpcb*Hpcb+Kme *Hme ));
Rlconcu_sincu(i,j)=R1(i,j)+R2(i,j);
Rlconcu_sincu(i,j)=Rlconcu_sincu(i,j)*RplanoCU/(Rlconcu_sincu(i,j)+RplanoCU); %se añade
plano de cob e
Rlconcu_sincu(i,j)=Rlconcu_sincu(i,j)*coe COMSOLla e al_concu_sincu(i,j);
% esis encia é mica en e dos celdas con cob e
Rlconcu(i,j)=Rlsincu_planoCu_i*Rcu(i,j)/(Rlsincu_planoCu_i+Rcu(i,j));
else %si no hay cob e
ReCu(i,j)=0;
Rcu(i,j)=1e6;
Rlconcu_sincu(i,j)=1e6;
Rlconcu(i,j)=1e6;
end
end %j
end %i
. . .
end %while
T as el cálculo de las esis encias, y a pa i de:
 la co ien e suminis ada (I),
 la empe a u a ambien e (Tamb) y
 las esis encias calculadas p e iamen e (ReCu, Ramb, Rhl, Rlsincu, Rlsincu_planoCu,
Rlconcu_sincu,Rlconcu).
se gene an
 la ma iz de conduc ancias é micas (G) y
 la ma iz de uen es (o sumide os) de ene gía (Q).
Dichas ma ices, a pa i de la ecuación 𝑄 =𝐺𝑇, pe mi en calcula
 las empe a u as en cada celda (T_cu),
pa a, en base a ellas, ealiza modi icaciones sob e el ancho de la pis a de cob e o sob e el alo de la co ien e.
En p ime luga , se calcula la gene ación é mica, así como la con ibución al ambien e de cada celda. Pa a
es o ul imo, se iene en cuen a que 𝑄𝑘=𝑇𝑘−𝑇𝑎𝑚𝑏
𝑅𝑎𝑚𝑏 =𝑇𝑘
𝑅𝑎𝑚𝑏 −𝑇𝑎𝑚𝑏
𝑅𝑎𝑚𝑏 . Po lo que 1
𝑅𝑎𝑚𝑏 pe enece a la ma iz G y
𝑇𝑎𝑚𝑏
𝑅𝑎𝑚𝑏 al se un alo cons an e, que no depende de Tk, pasa sumando a la ma iz Q.
o i=1:N
o j=1:N
%pa a cada nodo i,j
%gene ación é mica
Q((i-1)*N+j)=Q((i-1)*N+j)+I*I*ReCu(i,j);
%con ibucion al ambien e
Q((i-1)*N+j)=Q((i-1)*N+j)+Tamb/Ramb(i,j);
% ansmisión con el ambien e
G((i-1)*N+j,(i-1)*N+j)=G((i-1)*N+j,(i-1)*N+j)+1/Ramb(i,j);
. . .
Desc ipción de la solución
22
22
Después, se calcula la ansmisión la e al de una celda que no con iene pis a de cob e con las cua o celdas
( ambién llamadas nodos) ecinas. Al igual que pa a el caso an e io , hay que ene en cuen a que la
ansmisión la e al con el ambien e es 𝑄𝑘=𝑇𝑘−𝑇𝑎𝑚𝑏
(𝑅𝑙𝑠𝑖𝑛𝑐𝑢+𝑅ℎ𝑙)=𝑇𝑘
(𝑅𝑙𝑠𝑖𝑛𝑐𝑢+𝑅ℎ𝑙)−𝑇𝑎𝑚𝑏
(𝑅𝑙𝑠𝑖𝑛𝑐𝑢+𝑅ℎ𝑙) , po lo que se ope a
de la misma mane a. Y pa a el in e cambio en e dos celdas con iguas se iene que 𝑄𝑘=𝑇𝑘−𝑇𝑘+𝑁
𝑅=𝑇𝑘
𝑅−
𝑇𝑘+𝑁
𝑅, donde R puede se Rlsincu_planoCu, Rlconcu_sincu o Rlsincu. En es e caso 1
𝑅 se suma á a Gk y
−1
𝑅 se suma á a Gk+N.
A con inuación se mues a el código pa a la ansmisión con una de las celdas ecinas, pa a las celdas ecinas
es an es se usa el mismo código cambiando solo los índices según co esponda.
i Me(i,j)==0 %nodo sin cob e
%nodo i+1,j % ansmisión de calo con el nodo de abajo(i+1)
i i==N %si es nodo de un can o (Rhl), no hay cob e al lado (Rlsincu)
G((i-1)*N+j,(i-1)*N+j)=G((i-1)*N+j,(i-1)*N+j)+1/(Rlsincu+Rhl);
%con ibucion al ambien e
Q((i-1)*N+j)=Q((i-1)*N+j)+Tamb/(Rlsincu+Rhl);
else %si es nodo in e io
i i>=MisCons.YminCu && i<=MisCons.YmaxCu && j>=MisCons.XminCu && j<=MisCons.XminCu
%si hay plano de cob e
i Me(i+1,j)==0 %si no hay cob e en el adyacen e (Rlsincu_planoCu)
G((i-1)*N+j,(i-1)*N+j) =G((i-1)*N+j,(i-1)*N+j) +1/Rlsincu_planoCu;
G((i-1)*N+j,(i-1+1)*N+j)=G((i-1)*N+j,(i-1+1)*N+j)-1/Rlsincu_planoCu;
else %si hay cob e en el adyascen e (Rlconcu_sincu)
G((i-1)*N+j,(i-1)*N+j) =G((i-1)*N+j,(i-1)*N+j) +1/Rlconcu_sincu(i+1,j);
G((i-1)*N+j,(i-1+1)*N+j)=G((i-1)*N+j,(i-1+1)*N+j)-1/Rlconcu_sincu(i+1,j);
end
else %si no hay plano de cob e
i Me(i+1,j)==0 %si no hay cob e en el adyacen e (Rlsincu)
G((i-1)*N+j,(i-1)*N+j) =G((i-1)*N+j,(i-1)*N+j) +1/Rlsincu;
G((i-1)*N+j,(i-1+1)*N+j)=G((i-1)*N+j,(i-1+1)*N+j)-1/Rlsincu;
else %si hay cob e en el adyascen e (Rlconcu_sincu)
G((i-1)*N+j,(i-1)*N+j) =G((i-1)*N+j,(i-1)*N+j) +1/Rlconcu_sincu(i+1,j);
G((i-1)*N+j,(i-1+1)*N+j)=G((i-1)*N+j,(i-1+1)*N+j)-1/Rlconcu_sincu(i+1,j);
end
end
end
. . .
Po ul imo, se calcula la ansmisión la e al de una celda con pis a de cob e con sus cua o celdas ecinas.
T as es o, se ob ienen los alo es de las empe a u as en cada celda.
Se ope a igual que en el caso an e io , pe o a iando las esis encias empleadas y sin comp oba si hay plano
de cob e, ya que, al a a se de una celda con pis a de cob e, siemp e a a con ene pa e del plano de cob e.
Se mues a el código pa a la ansmisión con una de las celdas ecinas, pa a las celdas ecinas es an es se usa
el mismo código cambiando solo los índices según co esponda.
else %Me(i,j)>0 nodo con cob e
%nodo i+1,j % ansmisión de calo con el nodo de abajo(i+1)
i i==N %si es nodo de un can o (Rhl), no hay cob e al lado (Rlsincu)
G((i-1)*N+j,(i-1)*N+j)=G((i-1)*N+j,(i-1)*N+j)+1/(Rlsincu+Rhl);
%con ibucion al ambien e
Q((i-1)*N+j)=Q((i-1)*N+j)+Tamb/(Rlsincu+Rhl);
else %si es nodo in e io
i Me(i+1,j)==0 %si no hay cob e en el adyacen e (Rlconcu_sincu)
G((i-1)*N+j,(i-1)*N+j) =G((i-1)*N+j,(i-1)*N+j)+1/Rlconcu_sincu(i,j);
G((i-1)*N+j,(i-1+1)*N+j)=G((i-1)*N+j,(i-1+1)*N+j)-1/Rlconcu_sincu(i,j);
else %si hay cob e en el adyacen e (Rlconcu)
G((i-1)*N+j,(i-1)*N+j) =G((i-1)*N+j,(i-1)*N+j)+1/Rlconcu(i,j);
G((i-1)*N+j,(i-1+1)*N+j)=G((i-1)*N+j,(i-1+1)*N+j)-1/Rlconcu(i,j);
end
end
23
23
Sis ema de cálculo au omá ico de esis encias PCB pa a calen ado es en Lab-on-chip
. . .
end %Me
end %j
end %i
% in gene acion ecuaciones
%cálculo empe a u as po ma iz in e sa
T=G Q;
T_cu = eshape(T(1:N*N),[N,N]); %pa a ol e a pasa del ec o de T(k) a la ma iz de posiciones
T(i,j)
T_cu=T_cu';
Pasos=Pasos+1;
T as el cálculo de empe a u as, se p ocede a e el e o , pa a ac ua modi icando el ancho de la pis a (Me) y/o
la co ien e aplicada (I). Se compa a la di e encia en e:
 la empe a ua obje i o (Tobje i o) y
 la empe a u a calculada en cada celda (T_cu), con
 el máximo e o local de empe a u a pe mi ido (MaxE o LocalT).
Si Tobje i o-T_cu(i,j)>MaxE o LocalT,
 se indica que hay un e o local (E o Local=1) y
 se educe el ancho de la pis a de cob e (Me(i,j)= Me(i,j)-PasoAncho).
 Pe o si al educi el ancho, es e es meno que el mínimo pe mi ido, se sube la co ien e
(I=I+del aI).
Si, po el con a io, T_cu(i,j)-Tobje i o>MaxE o LocalT,
 se indica que hay un e o local (E o Local=1) y
 se aumen a el ancho de la pis a de cob e (Me(i,j)= Me(i,j)+PasoAncho).
 Pe o si al aumen a el ancho, es e es mayo que el máximo pe mi ido, se disminuye la co ien e
(I=I-del aI).
o i=MisCons.Ymin:MisCons.Ymax
o j=MisCons.Xmin:MisCons.Xmax %en zona ac i a
i Me(i,j)>0 %nodo con cob e
E o TMedio=E o TMedio+(Tobje i o-T_cu(i,j))^2;
NumNodos=NumNodos+1; %con abilizamos el nodo po que iene pis a cob e
%ajus e esis encia
i Tobje i o-T_cu(i,j)>MaxE o LocalT
E o Local=1;
Me(i,j)= Me(i,j)-PasoAncho; %en um
i Me(i,j)<emin
Me(i,j)=emin;
subi _co ien e=1; %se aumen a la co ien e po que no se puede disminui la pis a
end
elsei T_cu(i,j)-Tobje i o>MaxE o LocalT
E o Local=1;
Me(i,j)= Me(i,j)+PasoAncho;
i Me(i,j)>emax
Me(i,j)=emax;
baja _co ien e=1; %se disminuye la co ien e po que no se puede aumen a la pis a
end
end
end %Me
end %j
Desc ipción de la solución
30
30
Paso 8. Si con e ge y se inaliza la simulación con éxi o i al paso 8, si no, i al paso 10.
Paso 9. Si el amaño de la zona ac i a de inida es el deseado i al paso 12, si no, i al paso 9.
Paso 10. Se inc emen a el amaño de la zona ac i a, se simula de nue o el código y se uel e al paso 3.
Paso 11. Si la mayo zona ac i a pa a la que se ha conseguido que con e ja an e io men e esul a su icien e
pa a el obje i o buscado, i al paso 12, si no, i al paso 11.
Paso 12. Se uel e a L-Edi (o equi alen e) pa a modi ica el eco ido inicial de la línea sepa ando las
líneas que la con o man. Inicialmen e se sepa a án al menos dos de las líneas cen ales de la
esis encia al doble de la sepa ación inicial. Según en qué si uación se llegue a es e pun o se á
necesa io sepa a más líneas o sepa a las más espacio. En cualquie caso se ope a á de mane a
g adual. Una ez ealizada una modi icación en el eco ido de la línea i al paso 2.
Paso 13. Una ez conseguida una o ma de pis a de cob e álida, se in oduce el a chi o dado po el
p og ama de cálculo en L-Edi (o equi alen e) y se deshace la disc e ización de la línea (en L-Edi
hace “me ge”). El esul ado se in oduce en el p og ama de simulación (COMSOL) en el que
p e iamen e se ha diseñado el escena io sob e el que se quie e abaja y se a al paso 13.
Paso 14. Si en COMSOL se consigue el esul ado espe ado i al paso 14, si no i , al paso 11.
Paso 15. Una ez ob enida una simulación en COMSOL sa is ac o ia, se inaliza el p oceso y se p ocede a
implemen a la pis a ob enida y a comp oba su alidez en labo a o io.

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3 CASO PRÁCTICO
e ha lle ado a cabo un ejemplo en el que se desea ob ene una empe a u a de 65ºC en es pun os
conc e os de un LoC de 68mm de lado, compues o po una capa in e io de PCB de 1.6mm de espeso y
una capa supe io de me ac ila o de 5mm de espeso . La línea de cob e que con o ma la esis encia se
coloco á en e ambas capas. Los pun os en los que se quie e ob ene la empe a u a obje i o son es cí culos,
colocados en las posiciones que se mues an en la Figu a 3-1, que ienen una composición dis in a al es o del
LoC, no ienen una capa de PCB y o a de me ac ila o, sino que es án compues os en su o alidad de
me ac ila o. Además, po encima de esos es pun os no puede pasa la pis a de cob e, ya que se necesi a que
es én lib es.
Figu a 3-1. Plan a ob enida de COMSOL del LoC del ejemplo en el que se
desea coloca una pis a de cob e. Los es cí culos que se mues an son las zonas
en la que se desea ob ene una empe a u a de 65ºC y po encima de los cuales
no puede pasa la pis a de cob e.
Inicialmen e se dibujó como eco ido de la pis a de cob e una línea de sepa ación uni o me de 1mm que
bo deaba los es pun os de in e és, al y como se mues a en la Figu a 3-2.
T as es o se in odujo la esis encia ob enida en Ma lab, se de inió una zona ac i a que aba caba una g an pa e
de la pis a de cob e, se añadió un plano de cob e en la zona ocupada po la esis encia y se simuló. Es e
esul ado no con e gió, pe o se decidió in oduci la pis a de cob e esul an e, mos ada en la Figu a 3-3, en
COMSOL, pa a comp oba su compo amien o y así ene una idea de cómo se ía el mapa de empe a u as
con una pis a de cob e con es a sepa ación en e líneas.
S
Caso p ác ico
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32
Figu a 3-2. P ime diseño de la línea que de ine el eco ido de la pis a de cob e
con el con o no de la zona ac i a ma cado en ojo y el de la zona ocupada po el
plano de cob e ma cado en azul. Las es zonas en las que no hay línea de cob e
se co esponden con las zonas ocupadas po los es cí culos de la Figu a 3-1.
Figu a 3-3. Pis a de cob e ob enida en L-Edi as deshace la disc e ización en el esul ado
ob enido en Ma lab pa a una línea como la mos ada en la Figu a 3-2.
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33
Sis ema de cálculo au omá ico de esis encias PCB pa a calen ado es en Lab-on-chip
Figu a 3-4. Co e de empe a u a en el plano de la pis a de cob e, ob enido en COMSOL,
pa a una pis a de cob e como la mos ada en la Figu a 3-3.
El esul ado ob enido en COMSOL se mues a en la Figu a 3-4, donde se e que la empe a u a alcanzada en
los pun os de in e és es algunos g ados meno que la que se ob iene en la zona po la que pasa la esis encia.
Además, el g adien e de empe a u a en los cí culos e a al o, a iando 4ºC desde el cen o al pe íme o, y
di e en e en los es pun os, siendo el de la izquie da el que se encon aba a meno empe a u a y el cen al el
de mayo empe a u a. Po ello se decidió sepa a las líneas cen ales de la esis encia.
Se hicie on a ias p uebas, sepa ando las líneas en zonas p og esi amen e más amplias e incluyendo pis a de
cob e po los huecos que se habían dejado inicialmen e jun o a los cí culos (Figu a 3-5). Todas es as o mas se
simula on en COMSOL con la misma zona ac i a que la que apa ece en la Figu a 3-2 y, a pesa de que
ninguna con e gió, se decidió in oduci el esul ado en COMSOL y e cómo a iaba el mapa de
empe a u as en el plano de la pis a de cob e en unción del eco ido de es a (Figu a 3-6).
R1 R2
Caso p ác ico
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R3 R4
R5 R6
Figu a 3-5. Dis in os diseños de la línea que de ine el eco ido de la pis a de
cob e, nume ados según el o den c onológico en el que ue on c eados.
R1 R2
R3 R4
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Sis ema de cálculo au omá ico de esis encias PCB pa a calen ado es en Lab-on-chip
R5 R6
Figu a 3-6. Mapa de empe a u a del co e ealizado en el plano de la pis a de
cob e, ob enido con las dis in as líneas que de inen la pis a de cob e de la Figu a
3-5.
El p ime diseño que se ealizó ue el de R1, sepa ando algunas de las pis as cen ales 2mm en e sí, y se io
una cla a mejo a con espec o al esul ado ob enido en la Figu a 3-4. Los es cí culos enían unas empe a u as
simila es y además, el g adien e de empe a u a den o de ellos e a lige amen e meno . Así que se decidió
man ene es a o ma y añadi pis a de cob e po debajo de uno de los cí culos, pa a comp oba qué e ec o
end ía ese cambio en el eco ido.
Po lo an o, se odeó uno de los cí culos po comple o con pis a de cob e y, po simpli ica el abajo, se
bo deó solo uno pa a e el esul ado y decidi si e a necesa io bo dea los demás. P ime o se añadió una pa e
de la pis a de cob e con una dis ancia de 1mm en e las líneas, ob eniendo R2, y después con una dis ancia de
2mm, ob eniendo R3, y, aunque el esul ado de es a segunda e a algo mejo , ealmen e ninguno de los dos e a
álido. Ya que, aunque, como se obse a en la Figu a 3-6, el hecho de inclui pa e de la pis a de cob e po
debajo de uno de los cí culos hace que la di e encia de empe a u as en oda la zona que ocupa la esis encia
sea meno , al es udia el cí culo que ha sido odeado po la pis a de cob e, se obse a que la dis ibución de
empe a ua s den o de él es menos uni o me que en los o os cí culos y que el g adien e de empe a u a es
mayo . Po lo que es as dos p opues as ue on echazadas y no se p obó cuál se ía el esul ado si se bo dea an
odos los cí culos con la pis a de cob e.
Desechada la idea de bo dea odos los cí culos, se decidió segui sepa ando líneas de la pis a de cob e,
ob eniendo así R4, R5 y R6 sucesi amen e. En odas ellas el esul ado e a pa ecido, siendo la empe a u a en
odos los cí culos bas an e simila . Sin emba go, en R5 la di e encia de empe a u a en e el cen o del cí culo
y su pe íme o e a lige amen e in e io (2ºC), po lo que se decidió oma es a o ma, aunque cualquie a de las
o as dos pod ía ambién habe sido álida.
T as e los dis in os esul ados y comp oba que la empe a u a en los cí culos siemp e es meno que en la
pis a de cob e, se llegó a la conclusión de que no se podía coge una zona ac i a que incluyese una zona con
pis a de cob e y o a sin ella, ya que, al se la esis encia del cob e más pequeña que la del es o de los
ma e iales, es e se con ie e en dominan e en la ansmisión de calo y, po an o, las zonas que con ienen a la
pis a de cob e siemp e end án una empe a u a mayo a la de los cí culos en los que nos in e esa ob ene la
empe a u a obje i o. Po ello, se decidió oma una zona ac i a que no incluyese a los cí culos (Figu a 3-7) y
aumen a la empe a u a obje i o en el código de Ma lab a 68ºC, pa a así ob ene una empe a u a algo meno
en los cí culos.
La zona ac i a seleccionada es al que no incluya a los cí culos, que es é p óxima a odos ellos, y, po an o,
cen ada, y que pe mi a que la simulación con e ja. Una ez ob enida dicha zona ac i a e in oducida la línea
en el p og ama de cálculo, es e de uel e el esul ado de la Figu a 3-8, y dicho esul ado se dio pa a una
co ien e de 0.855A. T as se in oducido en COMSOL ,se ob iene el co e de empe a u a de la Figu a 3-9.

Caso p ác ico
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Figu a 3-7. Diseño de la línea que de ine el eco ido de la pis a de cob e
co espondien e a R5 en la Figu a 3-5 y 3-6, con el con o no de la zona ac i a
ma cado en ojo y el de la zona ocupada po el plano de cob e ma cado en azul.
Zona ac i a de inida as comp oba que no se puede alcanza la misma
empe a u a en los cí culos que en la pis a de cob e.
Figu a 3-8. Pis a de cob e ob enida en L-Edi as deshace la disc e ización en el
esul ado ob enido en Ma lab pa a una línea co espondien e a R5 en la Figu a
3-5 y 3-6.
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Sis ema de cálculo au omá ico de esis encias PCB pa a calen ado es en Lab-on-chip
Figu a 3-9. Co e de empe a u a en el plano de la pis a de cob e, ob enido en COMSOL, pa a la
pis a de cob e de la Figu a 3-8.
En es e úl imo esul ado de la Figu a 3-9, se ap ecia cómo el sal o de empe a u a es meno , no solo en los
pun os en los que se desea ob ene la empe a u a obje i o, sino ambién en compa ación con la empe a u a en
la esis encia. Además, la dis ibución de empe a u a en los es pun os es bas an e simila . También es
impo an e des aca , que el ancho de la esis encia ha su ido pocas modi icaciones, po lo que queda de
mani ies o que es más ele an e la o ma dada inicialmen e a la pis a de cob e, que la modi icación del ancho
ealizada po Ma lab.
En el esul ado de COMSOL se obu o una ensión de 1.63V pa a una co ien e de 0.855A, po lo que la
esis encia de la pis a de cob e es 𝑅 =𝑉
𝐼=1.63
0.855 =1.91Ω.
Po úl imo, se ab icó es a esis encia en una de las ca as de un PCB de doble ca a (Figu a 3-10) y se hicie on
a ias comp obaciones en el labo a o io.
En p ime luga se colocó un bloque de me ac ila o sob e el PCB pa a semeja lo lo máximo posible al modelo
sob e el que se habían ealizado las simulaciones p e ias. Y se colocó un senso de empe a u a en e el PCB y
el me ac ila o pa a pode medi la empe a u a en dis in os pun os de dicho plano.
Inicialmen e dicho senso se colocó sob e la pis a de cob e en el cen o de la zona in e io (T1), y se some ió la
pis a a una co ien e, que se ue aumen ando has a ob ene en el senso una empe a u a simila a 65ºC. La
co ien e alcanzada ue de 1.57A y la ensión ob enida pa a dicha co ien e ue de 3V, po lo que la esis encia
eléc ica de la pis a de cob e es 𝑅 =𝑉
𝐼=3
1.57 =1.91Ω, coincidiendo con el esul ado ob enido en COMSOL.
Se usó un e móme o que mues a un mapa de empe a u as, pa a e la empe a u a en la supe icie del
me ac ila o, de lo cual se mues a una imagen en la Figu a 3-11, y se colocó el senso de empe a u a ubicado
en e el PCB y el me ac ila o en dis in os pun os de ese plano pa a medi sus empe a u as. Se ob u ie on los
siguien es esul ados, pa a cada uno de los pun os en los que se midió la empe a u a (Figu a 3-10):
Caso p ác ico
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 T1 = 65.3ºC. Pun o in e io cen al sob e la pis a de cob e.
 T2= 66.2 ºC. Pun o pe enecien e a la pis a de cob e, en la zona in e io izquie da.
 T3 = 57.8ºC. Pun o co espondien e al hueco in e io izquie do.
 T4 = 59.6 ºC. Pun o co espondien e al hueco supe io .
 T5 = 59.6ºC. Pun o co espondien e al hueco in e io de echo.
T4
T3 T2 T1 T5
Figu a 3-10. Pis a de cob e de la Figu a 3-8 ab icada en un PCB de doble ca a. Los
pun os azules se co esponden con los dis in os pun os en los que se ha ob enido
una medida de la empe a u a.
La p ime a empe a u a se ha omado pa a de ini la co ien e que se le suminis aba y la segunda, pa a pode
compa a la empe a u a en dos pun os pe enecien es a la pis a de cob e. Se comp ueba que se ob iene una
di e encia de empe a u a de ap oximadamen e 1ºC, lo cual es acep able.
En las empe a u as omadas en los huecos co espondien es a las posiciones que ocupa ían los cí culos, se
obse a que el pun o cen al y el de la de echa se encuen an a la misma empe a u a (T4 = T5), sin emba go,
no hay sime ía y el pun o de la izquie da (T3) se encuen a a una empe a u a que es in e io en 2ºC. Además,
es as es zonas se encuen an a unos 6ºC menos que las zonas que se encuen an sob e la pis a de cob e.
Sin se el ob enido un esul ado plenamen e sa is ac o io, puede se acep ado, ya que la di e encia de
empe a u a en e el hueco de la izquie da y los o os no es excesi amen e g ande y las condiciones en las que
se es án ealizando es as medidas no son exac amen e las mismas pa a las que se ha simulado.
En e las di e encias de las condiciones en e la expe imen ación ísica y la simulación se encuen a que en el
p ime caso no se han ealizado los aguje os, luego la zona en la que se es á midiendo no es á o mada solo po
me ac ila o, sino que ambién hay PCB y cob e. También en la expe imen ación, el bloque de me ac ila o se ha
mo ido pa a pode coloca el senso de empe a u a en dis in as posiciones, dejando en ocasiones pa e del
PCB en con ac o con el ai e. Po odo ello, es lógico, que los esul ados ob enidos en la expe imen ación ísica
no coincidan po comple o con los ob enidos en la simulación en COMSOL.
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Sis ema de cálculo au omá ico de esis encias PCB pa a calen ado es en Lab-on-chip
Figu a 3-11. Mapa de empe a u as de la supe icie del me ac ila o. La zona oja se
co esponde con la de mayo empe a u a, mien as que la azul se co esponde con
la de meno empe a u a. La empe a u a media de la supe icie es de 54.9ºC.
Figu a 3-12. Pues o de abajo en el labo a o io.
En la imagen se dis ingue la uen e de ene gía al ondo, ma cando la co ien e
( ojo) y ensión ( e de) a la que se some e la pis a de cob e. Es a es á conec ada con
los cables ojo y neg o a la placa de PCB, la cual iene un bloque de me ac ila o
sob e ella suje o po dos pinzas. Se obse a ambién, un cable e de y blanco que
sale de la placa po su pa e supe io , en cuyo ex emo se encuen a el senso de
empe a u a, y que se conec a al apa a o que apa ece en p ime plano, po el que se
mues a el alo ob enido con el senso . Po úl imo, delan e de la placa, se
encuen a el e móme o, mos ando po pan alla el mapa de empe a u as de la
supe icie del me ac ila o.
Anexo A: Manual de usua io
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 Du an e la simulación, mues a
o la e olución de (de izquie da a de echa y de a iba a abajo):
 el e o medio de empe a u a en ºC,
 el paso de modi icación del ancho de la pis a de cob e en µm,
 el ancho medio de la pis a de cob e (c uz azul), su ancho máximo (cí culo
u quesa) y su ancho mínimo (cí culo ojo) en µm y den o de la zona ac i a,
 el mapa de empe a u as en ºC, así como los pun os de máxima (c uz oja) y
mínima (cí culo azul) empe a u a den o de la zona ac i a,
 la co ien e aplicada en A y
 la empe a u a máxima (c uz oja) y mínima (cí culo azul) alcanzadas en la
zona ac i a; y
o el pe il de empe a u as de la línea media del LoC en cada i e ación.
Figu a AA-0-4. G á icas mos adas en Ma lab pa a el seguimien o de pa áme os.
De izquie da a de echa y de a iba abajo se mues an: En la g á ica 1, el e o medio de empe a u a en ºC. En la g á ica
2, el paso de modi icación del ancho de la pis a de cob e en µm. En la g á ica 3, el ancho medio de la pis a de cob e
(c uz azul), su ancho máximo (cí culo u quesa) y su ancho mínimo (cí culo ojo) en µm y den o de la zona ac i a. En
la igu a 4, el mapa de empe a u as en ºC, así como los pun os de máxima (c uz oja) y mínima (cí culo azul)
empe a u a den o de la zona ac i a. En la g á ica 5, la co ien e aplicada en A. En la igu a 6, la empe a u a máxima
(c uz oja) y mínima (cí culo azul) alcanzadas en la zona ac i a.

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Sis ema de cálculo au omá ico de esis encias PCB pa a calen ado es en Lab-on-chip
Figu a AA-0-5. Pe il de empe a u as de la línea media del LoC en una i e ación.
 Al inaliza la simulación, mues a dos imágen con los espeso es de la línea de cob e
disc e izados.
Figu a AA-0-6. Pis a de cob e ob enido as el cálculo de los anchos. A la izquie da se mues an los anchos de la
pis a median e escala de g ises, siendo el neg o un ancho 0. A la de echa se mues an los anchos de mane a
disc e izada, de mane a que se e la pis a de cob e o mada po pequeños cuad ados de dis in o amaño.
Anexo A: Manual de usua io
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5. Impo a la másca a en L-Edi desde masca a_cu.dx . Al impo a la, indica 0.001 en la
escala (1dx = 1µm). Una ez impo ada, hace isible la capa “21”, en la que se
encuen a la másca a, selecciona oda la pis a de cob e y hace “me ge”. El esul ado se
expo a en DXF en el a chi o MiResis encia.dx .
Figu a AA-0-7. Pis a de cob e ob enida en Ma lab impo ada en L-Edi . Se encuen a seleccionada la línea
comple a y ma cado el icono de “me ge”.
6. Impo a la másca a MiResis encia.dx gene ada en L-Edi en el iche o
esis encia2.0.mph de COMSOL pa a pode la simula . Es e iche o ha sido
p e iamen e gene ado con las condiciones del LoC que se desea simula .
Pa a ca ga la másca a, i al apa ado Componen es → Geome ía → Plano de abajo
cob e → Geome ía de plano → Impo a MiResis encia.dx → Selecciona a chi o en el
na egado → Cons ui odo.
In oduci en el apa ado Pa áme os → Ipc 95 el alo de la co ien e ob enida en Ma lab
y simula en COMSOL.
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Sis ema de cálculo au omá ico de esis encias PCB pa a calen ado es en Lab-on-chip
Figu a AA-0-8. Mapa de empe a u as en el plano de la pis a de cob e ob enido en COMSOL. A la izquie da
con el ango comple o de empe a u as del LoC. A la de echa con el ango de empe a u as pe mi ido, es
deci Tobj±1ºC.
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REFERENCIAS
[1]
P. S ei , J. Nes le , R. Schulze, A.Shapo in and T. O o, «In es iga ion on he Tempe a u e Dis ibu ion o
In eg a ed Hea e Con igu a ion in a Lab-on-a-Chip Sys em,» 2017 18 h In e na ional Con e ence on
The mal, Mechanical and Mul i-Physics Simula ion and Expe imen s in Mic oelec onics and
Mic osys ems (Eu oSimE), pp. 1-8, 2017, doi: 10.1109/Eu oSimE.2017.7926229
[2]
J. Ma inez-Quijada e al., «De e minis ic Design o Thin-Film Hea e s o P ecise Spa ial Tempe a u e
Con ol in Lab-on-Chip Sys ems, ,» Jou nal o Mic oelec omechanical Sys ems, ol. 25, no. 3, pp. 508-
516, 2016, doi: 10.1109/JMEMS.2016.2536561.