i
Equa ion Chap e 1 Sec ion 1
P oyec o Fin de G ado
G ado en Ingenie ía de Tecnologías Indus iales
Con ol P edic i o Basado en Modelo Aplicado a un
Mo o de Inducción
Au o : Albe o Díaz Do ado
Tu o : Se gio Vázquez Pé ez
Dep. Ingenie ía Elec ónica
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2015
ii
iii
P oyec o Fin de G ado
G ado en Ingenie ía de Tecnologías Indus iales
Con ol P edic i o Basado en Modelo Aplicado a un
Mo o de Inducción
Au o :
Albe o Díaz Do ado
Tu o :
Se gio Vázquez Pé ez
P o eso Con a ado Doc o
Dep. Ingenie ía Elec ónica
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2015
i
Ag adecimien os
Quie o ap o echa la ocasión de la en ega del T abajo de Fin de G ado, con el que concluyo mi o mación
uni e si a ia de p ime ciclo, pa a da las g acias a mi amilia po su apoyo incondicional a lo la go de oda una
ida y po habe sido el impulso cons an e hacia odas mis me as.
También quie o da las g acias a los maes os y p o eso es que han con ibuido a que alcance es e hi o
académica, y muy especialmen e al u o de mi abajo, Se gio Vázquez Pé ez, po su g an es ue zo y dedicación,
aun en la dis ancia.
Po úl imo, ag adezco a mis g andes amigos, los que siemp e es án ahí, habe me acompañado a lo la go de odo
el camino y habe lo hecho mucho más di e ido.

i
ii
Resumen
Una de las muchas aplicaciones de los disposi i os de elec ónica de po encia es el con ol de los mo o es
eléc icos. En pa icula , el con ol del mo o de inducción esul a un e o bas an e a ac i o po las muchas
ca ac e ís icas en ajosas de es e ipo de máquina, pe o ambién po la complejidad del sis ema. Desde la
apa ición de los in e so es de po encia se han desa ollado esquemas de con ol que pe mi en modula el pa
elec omagné ico y la elocidad de la máquina pa a adap a los a las necesidades del usua io.
La apa ición de mic op ocesado es cada ez más po en es en las úl imas décadas ha abie o la pue a a nue as
énicas de con ol, más complejas que las adicionales y que equie en una mayo po encia de compu ación.
Des aca en e odas ellas el Con ol P edic i o Basado en Modelos (MPC), que lle a siendo empleado en la
Ingenie ía de P ocesos desde los años 70 del siglo pasado pe o que sólo ecien emen e ha encon ado su
aplicación en el con ol de mo o es de inducción. Su idea undamen al es u iliza un modelo del sis ema pa a
p edeci el impac o que end án sob e él las acciones de con ol, y así selecciona las que p oducen un
compo amien o óp imo.
Sin emba go, exis en a ios in e ogan es abie os sob e es e nue o esquema. P egun as como el diseño de la
unción de cos e que de ine el obje i o de con ol o la es abilidad misma del con olado siguen eniendo una
espues a incie a a día de hoy. El obje i o del p esen e abajo es con ex ualiza las es a egias de con ol del
mo o de inducción, explica el undamen o eó ico de la écnica MPC y hace una ap oximación al ema del
diseño de la unción de cos e y la es abilidad. Pa a alida los esul ados se p oponen simulaciones sob e un
accionamien o eléc ico compues o po una máquina asínc ona de o o en jaula de a dilla y un in e so de dos
ni eles, que se án desa olladas median e la he amien a Simulink del en o no de p og amación ma emá ica
Ma lab.
iii
ix
Índice
Ag adecimien os
Resumen ii
Índice ix
Índice de Tablas xi
Índice de Figu as xiii
No ación x
1 In oducción 1
2 Modelo ec o ial de la máquina de inducción 3
2.1. Limi aciones del modelo y sis emas de coo denadas 3
2.2. Los aso es espaciales 4
2.3. Faso es espaciales en dis in os sis emas de e e encia 5
2.4. Ecuaciones eléc icas del modelo 6
2.4.1. Modelo en a iables i ásicas 6
2.4.2. Faso es espaciales: modelo ma icial 8
2.4.3. Faso es espaciales: no ación compleja 9
2.5. Ecuaciones mecánicas del modelo 10
2.5.1. El pa elec omagné ico 10
2.5.2. La ecuación de mo imien o 10
3 Esquemas de Con ol de la Máquina de Inducción 13
3.1. Con ol de la Máquina de Con inua 13
3.2. Con ol Vec o ial del Mo o de Inducción 15
3.3. Con ol A anzado y Con ol P edic i o (P edic i e Con ol) 18
4 Model P edic i e Con ol (MPC) 21
4.1 Modelado de sis emas 21
4.2. Con olado lineal cuad á ico (Linea Quad a ic Regula o , LQR) 23
4.3. P og amación dinámica (Dynamic P og amming, DP) 24
4.4. DP aplicada al LQR 25
4.5. Ho izon e de p edicción, con olabilidad y es abilidad 28
4.6. MPC, LQR y mo o de inducción 29
5 MPC aplicado a Accionamien os Eléc icos 31
5.1. MPC con se de con ol con inuo 31
5.2. Model P edic i e Di ec Cu en Con ol, MPDCC 32
5.3. Model P edic i e Di ec To que Con ol, MPDTC 33
6 MPC con Compo amien o Es able Aco ado 35
6.1. FCS-MPC cuad á ico con ho izon e de p edicción uni a io 35
6.2. Es abilidad del Sis ema: Función de Lyapuno 37
x i

1
1 I
NTRODUCCIÓN
OS mo o es eléc icos son una pieza undamen al del mundo en el que i imos. Las sociedades mode nas
se ca ac e izan po el amplio uso de la ene gía eléc ica a odos los ni eles y el mo o eléc ico es la
he amien a po excelencia pa a ans o ma esa ene gía en abajo mecánico. Desde los mo o es de los
enes eléc icos has a oda clase de u ensilios domés icos, y desde po encias indus iales has a pequeños
accionamien os eléc icos de p ecisión, los mo o es eléc icos son una pied a angula de la sociedad
indus ializada.
Aunque exis en de alguna o a índole, los p incipales mo o es eléc icos son los de eje o a o io. En es a amilia
cabe di e encia es miemb os des acados: el mo o de co ien e con inua, el mo o de inducción y el mo o
sínc ono. T adicionalmen e, el mo o de co ien e con inua ha sido u ilizado en aplicaciones de elocidad
a iable po la sencillez de su esquema de con ol. Pa a aplicaciones de elocidad ija se ese aba el mo o de
inducción, supe io al de con inua en p es aciones, iabilidad y cos e. En cuan o al mo o sínc ono, se ha u ilizado
p incipalmen e en unciones de gene ado en cen ales eléc icas.
El desa ollo de la elec ónica de po encia cambió el pa adigma. Los in e so es de po encia pe mi ían c ea
ondas sinusoidales de la ampli ud y la ecuencia deseadas y así con ola la elocidad del mo o de inducción,
que de epen e se ol ía compe i i o en e a los mo o es de co ien e con inua en aplicaciones de elocidad
a iable. Las nume osas en ajas de la máquina asínc ona –en é minos de obus ez, iailidad, endimien o, cos e
de ab icación y explo ación, e c.- jus i icaban la in es igación en es a nue a línea. Ello eque ía desa olla
nue os esquemas de con ol pa a es a máquina, esencialmen e mucho más compleja que la máquina de con inua.
Los con olado es adicionales han demos ado su alía en aplicaciones de elocidad a iable, pe o es án
es ingidos en su desa ollo po sus p opias limi aciones in e nas. No obs an e, el a ance en la capacidad de
compu ación de los mic op ocesado es ha mo i ado la ap ición de nue os esquemas de con ol, po lo gene al
bas an e más complejos que los an e io es. En e ellos se e ela especialmen e p ome edo el Con ol P edic i o
Basado en Modelos (MPC), que u iliza modelos pa a p edeci el compo amien o u u o del sis ema y op imiza
dicha p edicción de acue do a una unción de cos e que e alúa la des iación del sis ema espec o a los obje i os
de con ol.
El MPC ha sido aplicado al con ol de mo o es de inducción de di e en es mane as. Los MPC explíci os calculan
la acción óp ima de con ol y la aplican al sis ema median e un modulado de ensión (PWM o SVM). Los MPC
di ec os, po el con a io, ienen en cuen a la na u aleza disc e a de los in e so es ( ep esen ada en el es ado
bina io de los in e up o es de po encia: abie o o apagado) y gene an di ec amen e la señal de con ol sin e apa
de modulación in e media.
A pesa de los buenos esul ados ob enidos has a la echa, el MPC sigue plan eando algunas cues iones po
esol e . No exis e una écnica es anda izada pa a diseña la unción de cos e y la es abilidad del sis ema
con olado aún no ha sido a ada igu osamen e en los accionamien os eléc icos. La complejidad de es os emas
se de i a de la na u aleza del p oblema: la máquina de inducción es un sis ema no lineal y a ian e en el iempo,
el in e so de po encia es un sis ema disc e o con un se de con ol ini o y se a a, po lo gene al, de un p oblema
de op imización mul i a iable, pues no sólo el pa elec omagné ico sino ambién el lujo de la máquina debe
se con olado.
L
2
Es as son las cues iones que se abo dan en el p esen e abajo. Sob e a ias hipó esis de linealidad y con una
elección cuidadosa del modelo se busca á exp esa el p oblema de con ol del mo o de inducción como un
p oblema lineal cuad á ico, el cual ha sido p o usamen e es udiado en la li e a u a. Bajo cie as asunciones se
a a á de ex apola las conclusiones del p oblema lineal al p oblema eal de la máquina asínc ona, p es ando
a ención a los emas an e io men e ci ados: es abilidad y diseño de la unción de cos e.
El Capí ulo 2 con iene la exposición del modelo del mo o que se necesi a como base pa a el con olado MPC.
En el Capí ulo 3 se hace una e isión de los di e sos esquemas de con ol que exis en has a la echa pa a el
mo o de inducción, incluyendo una explicación de la écnica adicional de con ol ec o ial. En el Capí ulo 4
se p o een las bases eó icas del p oblema lineal cuad á ico y del MPC, y en el Capí ulo 5 se p esen an las
di e sas aplicaciones que ha enido el MPC en el con ol de la máquina asínc ona. El Capí ulo 6 p opone la
adap ación del con olado de es a máquina como con olado lineal cuad á ico (LQR), y inalmen e en el
Capí ulo 7 se comp ueba median e simulación el uncionamien o del esquema de con ol p opues o. Po úl imo,
el b e e Capí ulo 8 inal ecoge las conclusiones más impo an es de la monog a ía.
3
2 M
ODELO VECTORIAL DE LA MÁQUINA DE
INDUCCIÓN
ANTO las es a egias adicionales de con ol ec o ial como las es a egias de con ol p edic i o se basan
en el conocimien o del uncionamien o in e no de la máquina de inducción. Exis en modelos que
desc ib en de o ma muy p ecisa, bajo cie as condiciones, el compo amien o de la máquina an e
exci aciones ex e nas, como pueden se las ensiones de ase y la ca ga mecánica.
Es os modelos de la máquina de inducción pe enecen al es ado del a e y pueden consul a se en cualquie
manual sob e máquinas eléc icas. Aquí se p esen a á un b e e esumen de los modelos más ecuen emen e
usados en los esquemas de con ol, p es ando especial a ención a los modelos en cuad a u a (los que sus i uyen
un sis ema i ásico equilib ado de a iables po dos a iables en cuad a u a) y a las di e en es nomencla u as
disponibles pa a es a clase de modelos: ma icial y compleja. Se usa á [1] como ex o de e e encia pa a odo el
capí ulo.
2.1. Limi aciones del modelo y sis emas de coo denadas
En una ap oximación gene al se conside a una
máquina de inducción de o o bobinado, con
a ollamien os i ásicos equilib ados y un único pa
de polos. Además, las pe meabilidad del hie o se
supone in ini a y el lujo magné ico se asume adial
en el en ehie o (se desp ecia, po an o, el e ec o
anu a). Po úl imo, se desp ecian las pé didas
magné icas en el hie o y los e ec os de bo de.
En la Fig. 2-1 se ep esen a un co e ans e sal de la
máquina, donde po simplicidad se sus i uyen los
a ollamien os dis ibuidos p opios del mo o de
inducción po a ollamien os concen ados a ambos
lados del en ehie o. Los a ollamien os es án
sepa ados 120º en e sí.
En la igu a se de inen a ios ángulos, que a su ez
de inen di e en es sis emas de coo denadas. El eje
di ec o 8 de la máquina se hace coincidi con el eje
del a ollamien o $E/,E/′& del es a o , es ableciendo los ejes solida ios con el es a o 89. El eje 8 es la
e e encia pa a de ini el es o de ángulos y coo denadas de la máquina.
3
@
es el ángulo eléc ico del o o , que se desc ibe como el ángulo del eje del a ollamien o o ó ico $GH,GH′&.
Es e ángulo de ine a su ez los ejes $G:,G;&: el sis ema de e e encia solida io con el o o . Adicionalmen e se
de ine la elocidad eléc ica del o o como:
T
Figu a 2-1: Co e ans e sal de una máquina asínc ona
4
I
@
$
J
&
=
:
3
@
$
J
&
:J
(2-1)
Que coincide con la elocidad mecánica del o o en máquinas de un solo pa de polos. En mo o es con a ios
pa es de polos se de ine la siguien e elación en e el ángulo eléc ico y el ángulo mecánico de la máquina:
3
@
$
J
&
=
K
3
L
$
J
&
(2-2)
Donde K es el núme o de pa es de polos. Po úl imo, se de ine 3 como el ángulo pe i é ico, que es el la
coo denada undamen al de la máquina. El ángulo 3 de ine los ejes :;, que son un sis ema de e e encia
gené ico. El ángulo pe i é ico es á e e ido al es a o ; pa a e e i una coo denada angula al o o se emplea
al e na i amen e el ángulo M$J&, de inido como:
M
$
J
&
=
3
−
3
@
$
J
&
(2-3)
2.2. Los aso es espaciales
Los aso es espaciales cons i uyen una no ación muy compac a de las magni udes elec omagné icas de la
máquina (co ien es, ensiones y enlaces de lujo) en ausencia de componen e homopola . Es os aso es pueden
in oduci se median e la no ación compleja o di ec amen e median e la educción a dos ejes ía la T anso mada
de Pa k. Po b e edad se expond á aquí és e úl imo en oque, si bien la in oducción de los aso es espaciales ía
no ación compleja es de in e és ísico y ma emá ico y puede consul a se en [1].
La T ans o mada de Pa k ans o ma las a iables i ásicas HOP al sis ema en cuad a u a 890 o :;0, según se
use un sis ema de e e encia es á ico o sínc ono. Es a ans o mación iene la pa icula idad de que la
componen e homopola se anula en condiciones simé icas. Como se e á más adelan e en el desa ollo del
modelo, es o iene impo an es en ajas desde el pun o de is a de la compacidad de las ecuaciones y el cos e
compu acional. De o ma gene al se de ine:
4
QRS
=T?
Q
?
R
?
S
U=P
V
W
W
X
cos
3
cos
Y
3
−
2
[
3
cos
Y
3
−
4
[
3
−sin3 sinY3−2[
3 sinY3−4[
3
1
2
1
2
1
2
]
^
^
_
T?
`
?
a
?
b
U=<$3&4
`ab
(2-4)
Donde 4
`ab
ep esen a el alo ins an áneo de a iables i ásicas (po ejemplo, las co ien es de ase c
`ab
),
<$3& es la ma iz de la ans o mada de Pa k a unos ejes de inidos po el ángulo pe i é ico 3 y c es una cons an e.
La ans o mada in a ian e en módulo u iliza el alo de la cons an e P=2/3, mien as que la ans o mada
in a ian e en po encia u iliza el ac o P=d2/3 . En es a monog a ía, sal o que se indique lo con a io, se
emplea á de o ma gene al la ans o mada de Pa k in a ian e en módulo.
Además se de ine la ans o mada in e sa como:
4
`ab
=
<
e
$
3
&
4
QRS
=
cos
$
3
&
−
sin
$
3
&
1
cos
$
3
−
2
[
/
3
&
−
sin
$
3
−
2
[
/
3
&
1
cos
$
3
−
4
[
/
3
&
−
sin
$
3
−
4
[
/
3
&
1
g
4
QRS
(2-5)
En condiciones simé icas, y sin pé dida de gene alidad, la componen e homopola se anula y puede esc ibi se:
5
4
QR
=
h
?
Q
?
R
i
=
2
3
Y
cos
3
cos
$
3
−
2
[
/
3
&
cos
$
3
−
4
[
/
3
&
−
sin
3
sin
$
3
−
2
[
/
3
&
sin
$
3
−
4
[
/
3
&
T
?
`
?
a
?
b
U
=
<
$
3
&
4
`ab
(2-6)
4
`ab
=
cos
$
3
&
−
sin
$
3
&
cos
$
3
−
2
[
/
3
&
−
sin
$
3
−
2
[
/
3
&
cos
$
3
−
4
[
/
3
&
−
sin
$
3
−
4
[
/
3
&
g
4
QR
(2-7)
Po úl imo, la T ans o mada de Pa k puede hace se a los ejes es a o icos 89 y en onces ecibe el nomb e
pa icula de ans o mada de Cla ke:
4
jk
=
h
?
j
?
k
i
=
2
3
1
−
1
2
−
1
2
0
√
3
/
2
−
√
3
/
2
g
T
?
`
?
a
?
b
U
=
<
$
3
=
0
&
4
`ab
≜
2

4
`ab
(2-8)
4
`ab
=
2
e
4
jk
=
1
0
−
1
/
2
√
3
/
2
−
1
/
2
−
√
3
/
2
g
4
jk
(2-9)
Donde 2

deno a la ma iz de la ans o mada de Cla ke. Quedan así in oducidos los aso es espaciales, que no
son sino el esul ado de una ans o mación de las a iables i ásicas a los ejes en cuad a u a.
Vale la pena no a que odos los aso es espaciales ambién pueden exp esa se en no ación compleja sin más
que hace :
4
QR
=
h
?
Q
?
R
i
=
?
Q
+
=
?
R
=
n
4
QR
n
∙
o
p
q
(2-10)
Donde j es la unidad imagina ia ==√−1, |∙| es la no ma euclidiana y 3
+
es el ángulo del ec o ? espec o al
eje eal del es a o 8.
2.3. Faso es espaciales en dis in os sis emas de e e encia
Lo habi ual en la T ans o mada de Pa k es ans o ma las a iables i ásicas a un sis ema de e e encia solida io
con el es a o , con el o o o con alguna magni ud eléc ica, como se e á más adelan e (po ejemplo, con unos
ejes alineados con el aso espacial del lujo del o o ). Como se ha is o en el apa ado an e io , cuando se hace
la ans o mación a los ejes 89 se habla de la T ans o mada de Cla ke.
Como en lo sucesi o se an a maneja a ios sis emas de e e encia, con iene de ini la ans o mación de
a iables en e sis emas de coo denadas di e en es. Sean dos sis emas de e e encia gene ales $:

,;

& y $:

,;

&
de inidos espec i amen e po los ángulos 3

y 3

. En onces, la ans o mación de coo denadas en e las dos
bases iene dada po :
4

=
h
?
Q

?
R

i
=
Y
cos
$
3

−
3

&
sin
$
3

−
3

&
−
sin
$
3

−
3

&
cos
$
3

−
3

&
h
?
Q

?
R

i
=
2

$
3

−
3

&
4

=
2

4

(2-11)
Y su in e sa:

6
4

=
h
?
Q

?
R
i
=
Y
cos
$
3

−
3

&
sin
$
3

−
3

&
−
sin
$
3

−
3

&
cos
$
3

−
3

&
h
?
Q

?
R
i
=
Y
cos $3

−3

& −sin$3

−3

&
sin
$
3

−
3

&
cos
$
3

−
3

&
h
?
Q
?
R

i
=
2

e
$
3

−
3

&
4

=
2

$
3

−
3

&
4

(2-12)
En no ación compleja es a ans o mación es aun más sencilla y se ealiza median e la exponencial compleja:
4

=
?
Q

+
=
?
R

=
4

∙
o
e
p
$
q
s
e
q
&
(2-13)
4

=
?
Q

+
=
?
R

=
4

∙
o
p
$
q
s
e
q
&
(2-14)
Si los ejes $:

,;

& se hacen coincidi con los ejes del es a o 89, en onces el ángulo 3

se anula y las exp esiones
se simpli ican. Más aún, puede comp oba se que la ans o mada de Pa k no es más que el esul ado de aplica
un cambio de coo denadas a la ans o mada de Cla ke:
<
$
3
&
=
2
3
Y
cos
3
cos
$
3
−
2
[
/
3
&
cos
$
3
−
4
[
/
3
&
−
sin
3
sin
$
3
−
2
[
/
3
&
sin
$
3
−
4
[
/
3
&
≜
2

$
3
&
2

=
2
3
Y
cos $3& sin$3&
−
sin
$
3
&
cos
$
3
&
u
1 −1/2 −1/2
0
√
3
/
2
−
√
3
/
2
(2-15)
Es a igualdad puede demos a se eniendo en cuen a los desa ollos del coseno de la di e encia y del seno de la
di e encia.
2.4. Ecuaciones eléc icas del modelo
Las ecuaciones di e enciales que gobie nan la máquina son álidas an o en égimen pe manen e como en
égimen ansi o io. Pueden esc ibi se en a ios conjun os de a iables ( i ásicas o en cuad a u a), con dis in a
nomencla u a (ma icial o compleja) o aun en dis in os ma cos de e e encia (es a ó ico, o ó ico o gené ico). A
con inuación se p esen an las di e en es desc ipciones del modelo.
2.4.1. Modelo en a iables i ásicas
Las ecuaciones di e enciales pa a el es a o son:
w
xy
$
J
&
=
z
x
c
xy
$
J
&
+
:
{
xy
$
J
&
:J
(2-16)
w
x|
$
J
&
=
z
x
c
x|
$
J
&
+
:
{
x|
$
J
&
:J
(2-17)
w
x}
$
J
&
=
z
x
c
x}
$
J
&
+
:
{
x}
$
J
&
:J
(2-18)
Donde ~
xy|}
$J& son los alo es ins an áneos de las ensiones de ase del es a o , •
xy|}
$J& son los alo es
ins an áneos de las co ien es de ase del es a o , y z
x
es la esis encia de cada uno de los de andos es a ó icos.
Po o a pa e, €
xy|}
$J& son los alo es ins an áneos de los enlaces de lujo del es a o , de inidos como:
7
{
xy
=
•
x
‚
c
xy
+
ƒ
x
„
„
„
„
c
x|
+
ƒ
x
„
„
„
„
c
x}
+
ƒ
x@
„
„
„
„
„
cos
$
3
@
&
c
@`
+
ƒ
x@
„
„
„
„
„
cos
$
3
@
+
2
[
/
3
&
c
@a
+
ƒ
x@
„
„
„
„
„
cos
$
3
@
+
4
[
/
3
&
c
@b
(2-19)
{
x|
=
•
x
‚
c
x|
+
ƒ
x
„
„
„
„
c
xy
+
ƒ
x
„
„
„
„
c
x}
+
ƒ
x@
„
„
„
„
„
cos
$
3
@
+
4
[
/
3
&
c
@`
+
ƒ
x@
„
„
„
„
„
cos
$
3
@
&
c
@a
+
ƒ
x@
„
„
„
„
„
cos
$
3
@
+
2
[
/
3
&
c
@b
(2-20)
{
x}
=
•
x
‚
c
x}
+
ƒ
x
„
„
„
„
c
xy
+
ƒ
x
„
„
„
„
c
x|
+
ƒ
x@
„
„
„
„
„
cos
$
3
@
+
2
[
/
3
&
c
@`
+
ƒ
x@
„
„
„
„
„
cos
$
3
@
+
4
[
/
3
&
c
@a
+
ƒ
x@
„
„
„
„
„
cos
$
3
@
&
c
@b
(2-21)
Donde •
x
‚ es la induc ancia p opia de cada a ollamien o es a ó ico, ƒ
x
„
„
„
„
es la induc ancia mu ua en e las ases
del es a o , y ƒ
x@
„
„
„
„
„
es el alo máximo de la induc ancia mu ua en e o o y es a o . El acoplamien o magné ico
en e dos ases del es a o y el o o es máximo cuando dichas ases es án alineadas.
Análogamen e se de inen las ecuaciones di e enciales de ensión pa a el o o :
w
@`
$
J
&
=
z
@
c
@`
$
J
&
+
:
{
@`
$
J
&
:J
(2-22)
w
@a
$
J
&
=
z
@
c
@a
$
J
&
+
:
{
@a
$
J
&
:J
(2-23)
w
@b
$
J
&
=
z
@
c
@b
$
J
&
+
:
{
@b
$
J
&
:J
(2-24)
Siendo z
@
la esis encia de cada uno de los de anados o ó icos. A su ez se de inen los enlaces de lujo del
o o como:
{
@`
=
•
@
„
„
„
c
@`
+
ƒ
@
„
„
„
„
c
@a
+
ƒ
@
„
„
„
„
c
@b
+
ƒ
x@
„
„
„
„
„
cos
$
3
@
&
c
xy
+
ƒ
x@
„
„
„
„
„
cos
$
3
@
+
4
[
/
3
&
c
x|
+
ƒ
x@
„
„
„
„
„
cos
$
3
@
+
2
[
/
3
&
c
x}
(2-25)
{
@a
=
•
@
„
„
„
c
@a
+
ƒ
@
„
„
„
„
c
@`
+
ƒ
@
„
„
„
„
c
@b
+
ƒ
x@
„
„
„
„
„
cos
$
3
@
+
2
[
/
3
&
c
xy
+
ƒ
x@
„
„
„
„
„
cos
$
3
@
&
c
x|
+
ƒ
x@
„
„
„
„
„
cos
$
3
@
+
4
[
/
3
&
c
x}
(2-26)
{
@b
=
•
@
„
„
„
c
@b
+
ƒ
@
„
„
„
„
c
@`
+
ƒ
@
„
„
„
„
c
@a
+
ƒ
x@
„
„
„
„
„
cos
$
3
@
+
4
[
/
3
&
c
xy
+
ƒ
x@
„
„
„
„
„
cos
$
3
@
+
2
[
/
3
&
c
x|
+
ƒ
x@
„
„
„
„
„
cos
$
3
@
&
c
x}
(2-27)
Pa a exp esa lo odo de o ma compac a en una única ecuación ma icial se sus i uyen las exp esiones de los
lujos en las ecuaciones de ensión y se de ine el ope ado de i ación K=:/:J. La ecuación esul an e es la
siguien e y la ma iz … se de ine más abajo:
h
~
xy|}
~
@`ab
i
=
…
Y
•
xy|}
•
@`ab
(2-28)
8
…=
V
W
W
W
X
z
x
+
K
•
x
‚
K
ƒ
x
„
„
„
„
K
ƒ
x
„
„
„
„
K
ƒ
x@
„
„
„
„
„
cos
3
K
ƒ
x@
„
„
„
„
„
cos
3

K
ƒ
x@
„
„
„
„
„
cos
3

K
ƒ
x
„
„
„
„
z
x
+
K
•
x
‚
K
ƒ
x
„
„
„
„
K
ƒ
x@
„
„
„
„
„
cos
3

K
ƒ
x@
„
„
„
„
„
cos
3
K
ƒ
x@
„
„
„
„
„
cos
3

Kƒ
x
„
„
„
„
Kƒ
x
„
„
„
„
z
x
+K•
x
‚Kƒ
x@
„
„
„
„
„
cos3

Kƒ
x@
„
„
„
„
„
cos3

Kƒ
x@
„
„
„
„
„
cos3
Kƒ
x@
„
„
„
„
„
cos3 Kƒ
x@
„
„
„
„
„
cos3

Kƒ
x@
„
„
„
„
„
cos3

z
@
+K•
@
„
„
„
Kƒ
@
„
„
„
„
Kƒ
@
„
„
„
„
K
ƒ
x@
„
„
„
„
„
cos
3

K
ƒ
x@
„
„
„
„
„
cos
3
K
ƒ
x@
„
„
„
„
„
cos
3

K
ƒ
@
„
„
„
„
z
@
+
K
•
@
„
„
„
K
ƒ
@
„
„
„
„
K
ƒ
x@
„
„
„
„
„
cos
3

K
ƒ
x@
„
„
„
„
„
cos
3

K
ƒ
x@
„
„
„
„
„
cos
3
K
ƒ
@
„
„
„
„
K
ƒ
@
„
„
„
„
z
@
+
K
•
@
„
„
„
]
^
^
^
_
(2-29)
Donde se de inen los ángulos 3=3
@
, 3

=3
@
+2[/3 y 3

=3
@
+4[/3. Es impo an e des aca aquí la
complejidad del sis ema, desc i o po una ma iz de 36 elemen os donde odas las ases es án acopladas en e sí
y donde además apa ecen coe icien es no lineales y dependien es del iempo: de o ma gene al, el ángulo del
o o se á una unción no lineal del iempo.
Aunque es as ecuaciones se han desa ollado pa a una máquina de inducción de o o bobinado i ásico, es muy
co ien e el diseño de o o es de máquinas de inducción como “jaula de a dilla”. Es os o o es pueden
conside a se como un sis ema poli ásico, donde el núme o de ases depende del núme o de ba as de la jaula de
a dilla y del núme o de pa es de polos de la máquina. No obs an e, en cons ucciones simé icas puede
ep esen a se el o o median e un equi alen e i ásico, con lo cual las ecuaciones supe io es siguen siendo
álidas. En el caso especial de la cons ucción en jaula de a dilla, el o o es á co oci cui ado y las ensiones
o ó icas $w
@`
w
@a
w
@b
&
†
se anulan, simpli icando las ecuaciones.
2.4.2. Faso es espaciales: modelo ma icial
El modelo ma icial de a iables en cuad a u a puede ob ene se sin más que aplica la ans o mada de Pa k a la
ecuación an e io :
‡h~
xjk
~
@QR
i=u2
e
0
0 2
e
h~
xjk
~
@QR
i=…u2
e
0
0 2
e
Y•
xjk
•
@QR
=…‡Y•
xjk
•
@QR
In i iendo la ma iz y eliminando la secuencia homopola esul a:
h
~
xjk
~
@QR
i
=
‡
e

…‡
Y
•
xjk
•
@QR
=
…
ˆ
Y
•
xjk
•
@QR
(2-30)
Donde apa ece la nue a ma iz …′:
‰
w
xj
w
xk
w
@Q
w
@R
Š=‰
z
x
+
K
•
x
0
K
•
L
cos
3
@
−
K
•
L
sin
$
3
@
&
0
z
x
+
K
•
x
K
•
L
sin
$
3
@
&
K
•
L
cos
3
@
K
•
L
cos
3
@
−
K
•
L
sin
$
3
@
&
z
@
+
K
•
@
0
K
•
L
sin
$
3
@
&
K
•
L
cos
3
@
0
z
@
+
K
•
@
Š‰
c
xj
c
xk
c
@Q
c
@R
Š (2-31)
Se de inen aquí la induc ancia del es a o , la induc ancia del o o y la induc ancia magne izan e como:
•
x
=
•
x
‚
−
•
L
„
„
„
„
(2-32)
•
@
=
•
x
‚
−
•
L
„
„
„
„
(2-33)
•
L
=
32
ƒ
x@
„
„
„
„
„
(2-34)
Median e es a ans o mación se educe el núme o de ecuaciones de 6 a 4 y se pasa de 36 a 12 coe icien es. Hay
que no a que en la o mulación an e io las a iables eléc icas es án exp esadas en sus e e encias na u ales
(las a iables del es a o en los ejes es a ó icos 89 y las o ó icas en los ejes :;). Si las a iables o o icas se
e ie en al es a o median e un cambio de coo denadas, apa ece un nue o modelo:
9
‹‰w
xj
w
xk
w
@Q
w
@R
Š=YŒ

0
0 2
e
$3
@
& ‰w
xj
w
xk
w
@Q
w
@R
Š=…′YŒ

0
0 2
e
$3
@
& ‰c
xj
c
xk
c
@Q
c
@R
Š=…′‹‰c
xj
c
xk
c
@Q
c
@R
Š
In i iendo y despejando apa ece la nue a ma iz …′′:
‰
w
xj
w
xk
w
@j
w
@k
Š=…
ˆˆ
‰
c
xj
c
xk
c
@j
c
@k
Š=‹
e
…′‹‰
c
xj
c
xk
c
@j
c
@k
Š (2-35)
…′′=‰
z
x
+
K
•
x
0
K
•
L
0
0
z
x
+
K
•
x
0
K
•
L
K
•
L
I
@
•
L
z
@
+
K
•
@
I
@
•
@
−
I
@
•
L
K
•
L
−
I
@
•
@
z
@
+
K
•
@
Š (2-36)
En es e modelo, la dependencia con el ángulo 3
@
se sus i uye po la dependencia de la elocidad angula I
@
.
2.4.3. Faso es espaciales: no ación compleja
Median e la no ación compleja puede alcanza se una desc ipción mucho más compac a y manejable del sis ema,
que es además la más habi ual en con ol ec o ial. P e iamen e a la exposición de las ecuaciones di e enciales
en no ación compleja se de inen los aso es espaciales de los enlaces de lujo. Teniendo en cuen a las
de iniciones de dichos enlaces de lujo (2-19) a (2-21) y (2-25) a (2-27) y las induc ancias del es a o , el o o y
magne izan e (2-32 a 2-34), se iene:
€
x
=
•
x
•
x
+
•
L
•
@
(2-37)
€
@
=
•
L
•
x
+
•
@
•
@
(2-38)
Donde los aso es espaciales de los lujos y las co ien es es án exp esados en un eje de coo denadas cualquie a.
Pa iendo de la ecuación (2-35) y (2-36) y eniendo en cuen a la de inición de los aso es espaciales, esul a el
sis ema:
~
x
=
z
x
•
x
+
:
€
x
:J
(2-39)
~
@
=
z
@
•
@
+
:
€
@
:J
−
=
I
@
€
@
(2-40)
Donde odos los aso es espaciales es án exp esados en los ejes solida ios con el es a o . En no ación ma icial,
el ope ado complejo = co esponde a la ma iz ==h0 −1
1 0i. Jun o con las ecuaciones pa a los enlaces de lujo,
el modelo elec omagné ico de la máquina de inducción queda comple o [ecuaciones (2-37) a (2-40)].
Aún cabe la posibilidad de exp esa las ecuaciones de la máquina en un sis ema de e e encia gene al, que o a
a una elocidad gené ica I
•
$J& y iene una posición ins an ánea 3
•
$J&, que no iene po qué coincidi
necesa iamen e con el sis ema de e e encia solida io al o o . U ilizando la no ación compleja pa a ans o ma
las a iables al nue o sis ema de e e encia esul a:
~
x•
o
pq
Ž
=z
x
•
x•
o
pq
Ž
+:€
x•
o
pq
Ž
:J
16
~
@•
=
z
@
•
@•
+
:
€
@•
:J
−
=
$
I
@
−
I
•
&
€
@•
(3-9)
€
x•
=
•
x
•
x•
+
•
L
•
@•
(3-10)
€
@•
=
•
L
•
x•
+
•
@
•
@•
(3-11)
Aquí pueden despeja se •
@
en (3-11) y €
x
en (3-10). Al sus i ui los en (3-8) y en (3-9) y desa olla las
ecuaciones escala es (pa e eal y pa e imagina ia) esul a:
w
xQ
=z
x
c
xQ
+¢•
x
:c
xQ
:J−I
•
¢•
x
c
xR
+•
L
•
@
:{
@Q
:J −I
•
•
L
•
@
{
@R
w
xR
=I
•
¢•
x
c
xQ
+z
x
c
xR
+¢•
x
:c
xR
:J+I
•
•
L
•
@
{
@Q
+•
L
•
@
:{
@R
:J
0=−•
L
•
@
z
@
c
xQ
+z
@
•
@
{
@Q
+:{
@Q
:J −•I
•
−I
@
‘{
@R
0=−•
L
•
@
z
@
c
xR
+•I
•
−I
@
‘{
@Q
+z
@
•
@
{
@Q
+:{
@R
:J
Donde se ha de inido ¢=1−•
L

/•
@
•
x
. Teniendo en cuen a que {
@R
=0 en i ud de (3-6) las ecuaciones
an e io es se simpli ican a:
w
xQ
=
z
x
c
xQ
+
¢
•
x
:
c
xQ
:J
−
I
•
¢
•
x
c
xR
+
•
L
•
@
:
{
@Q
:J
(3-12)
w
xR
=
I
•
¢
•
x
c
xQ
+
z
x
c
xR
+
¢
•
x
:
c
xR
:J
+
I
•
•
L
•
@
{
@Q
(3-13)
0
=
−
•
L
•
@
z
@
c
xQ
+
z
@
•
@
{
@Q
+
:
{
@Q
:J
(3-14)
0
=
−
•
L
•
@
z
@
c
xR
+
•
I
•
−
I
@
‘
{
@Q
(3-15)
Po inspección puede comp oba se que c
xQ
es esponsable de es ablece el lujo magné ico a a és de una
dinámica de p ime o den (3-14), mien as que c
xR
con ola el pa elec omagné ico (3-7). c
xQ
y c
xR
son análogas,
espec i amen e, a la co ien e de exci ación y la co ien e de a madu a en el mo o de con inua. El con ol de
ambas co ien es, no obs an e, es más complejo que en la máquina DC po que las ecuaciones de ensión (3-12)
y (3-13) apa ecen acopladas en e sí. Pa a el lazo de con ol de co ien e pueden usa se sis emas de
desacoplamien o (de allados en el Capí ulo 4.1.1 de [1]) o di ec amen e desp ecia se dicho acoplamien o y
supone c
xQ
=£$w
xQ
&;c
xR
=£$w
xR
& [2].
El p oblema del con ol ec o ial se educe en úl ima ins ancia al co ec o cálculo de €
@
=Y{
@j
{
@k
; o lo que es
lo mismo, la magni ud ¡
@
y el ángulo 3
œ
•
espec o a los ejes 89. Exis en undamen almen e dos écnicas pa a
calcula es os alo es, que se comen an suma iamen e a con inuación:
a) O ien ación di ec a del lujo o ó ico (DRFO: Di ec Ro o Flux O ien a ion): En es e esquema se
oman las ecuaciones (3-12) y (3-13) en el ma co de e e encia 89 (i.e. I
•
=0) y se calcula el alo
ins an áneo del lujo o ó ico como:

17
{
@j
=
•
@
•
L
¥
¦
$
w
xj
−
z
x
c
xj
&
:J
−
¢
•
x
c
xj
§
(3-16)
{
@k
=
•
@
•
L
¥
¦
•
w
xk
−
z
x
c
xk
‘
:J
−
¢
•
x
c
xk
§
(3-17)
Donde ~
x
y •
x
pueden medi se di ec amen e en los de anados es a ó icos. El ángulo y la magni ud
se hacen ans o mando a coo denadas pola es las componen es de €
@
.
b) O ien ación indi ec a del lujo o ó ico (IRFO: Indi ec Ro o Flux O ien a ion): U ilizando las
ecuaciones (3-14) y (3-15):
:
{
@Q
:J
=
−
z
@
•
@
{
@Q
+
•
L
•
@
z
@
c
xQ
(3-18)
3
œ
•
=
¦
I
•
$
J
&
:J
=
¦
Y
I
@
+
•
L
z
@
•
@
¡
@
c
xR
:J
(3-19)
Donde (3-18) es una ecuación di e encial con é mino independien e a iable con el iempo que debe
esol e se numé icamen e, mien as que (3-19) u iliza el esul ado de (3-18) pa a calcula el
desplazamien o angula 3
œ
•
.
En la Fig. 3-3 se ha dibujado el diag ama de bloques del con ol ec o ial con o ien ación di ec a del lujo
o ó ico. El con ol ec o ial con o ien ación indi ec a es idén ico pe o u iliza alo es di e en es pa a de e mina
la magni ud y la posición del aso espacial del lujo del o o . Los bloques ma cados con 3/2 y 2/3 ep esen an
la ans o mada de Cla ke di ec a e in e sa, espec i amen e. Los bloques ma cados con o
pq
•
y o
epq
•
hacen
la ans o mación en e los ejes 89 (T ans o mada de Cla ke) y los ejes :; (T ans o mada de Pa k). Pa a hace
el cambio de coo denadas es necesa io conoce la posición del aso espacial del lujo o ó ico 3
œ
•
, que es
calculado po el obse ado (obse e ) a pa i de la medición de las co ien es y las ensiones del es a o en el
concep o de o ien ación di ec a (pa a o ien ación indi ec a se ía necesa io medi adicionalmen e la elocidad del
eje del mo o ). En azul se ha ep esen ado el lazo de con ol de elocidad, que p oduce el alo de e e encia c
xR
∗
(en i ud de la ecuación (3-7), la componen e en cuad a u a de la in ensidad es a ó ica con ola el pa y, en
úl ima ins ancia, la elocidad de la máquina). Po o a pa e se ha dis inguido en colo ma ón el lazo de con ol
de lujo, que pe mi e calcula el alo de e e encia c
xQ
∗
. Además se ha desp eciado el acoplamien o de w
xQ
y w
xR
con c
xQ
y c
xR
, po lo que las e e encias de las componen es de di ec a y cuad a u a de •
x•
si en pa a calcula
la e e encia de las componen es de di ec a y cuad a u a de la ensión de alimen ación ~
x•
.
18
Figu a 3-2: Esquema de bloques del con ol ec o ial (FOC) con o ien ación di ec a del lujo o ó ico (DRFO)
La ensión de e e encia ~
x•
∗
se ans o ma consecu i amen e a los ejes 89 y a a iables i ásicas y se suminis a
la e e encia ~
x`ab
∗
a un modulado PWM (Pulse Wid h Modula ion) o SVM (Space Vec o Modula ion), que
aplica dicha ensión al mo o . El esquema de con ol puede comple a se incluyendo el uncionamien o en
debili amien o de campo, que consis e en educi el alo del lujo de la máquina pa a segui aumen ando la
elocidad de la máquina po encima de la elocidad nominal sin sob epasa la po encia nominal. Aquí se ha
omi ido po simplicidad.
3.3. Con ol A anzado y Con ol P edic i o (P edic i e Con ol)
El con ol ec o ial ha sido aplicado con éxi o en las aplicaciones de elocidad a iable de los mo o es de
inducción. No obs an e, su dinámica es á limi ada po la es uc u a de con ol en cascada. El desa ollo de
mic opocesado es más ápidos y más po en es ha pe mi ido la implemen ación de esquemas de con ol más
complejos, que equie ien una capacidad compu acional mucho mayo que el FOC.
En [3] se hace una e isión de los di e en es concep os de con ol a anzado pa a con e ido es de po encia en
gene al y accionamien os eléc icos en pa icula . Se en iende po con ol a anzado odo aquel que es supe io
al adicional con olado lineal PID. En es e sen ido se ci an el con ol po lógica di usa (de aplicación en
sis emas de uncionamien o o al o pa cialmen e desconocido) y el con ol de modo deslizan e (sliding mode
con ol). Sin emba go, las en ajas del con ol p edic i o hacen que sea especialmen e adecuado pa a el con ol
de con e ido es de po encia. Es el esquema de con ol a anzado que goza de mayo popula idad.
El concep o undamen al del Con ol P edic i o (PD, po sus siglas en inglés) es el uso de un modelo del sis ema
pa a p edeci el compo amien o u u o de las a iables con oladas. Median e es a in o mación el con olado
puede escoge la acción óp ima de con ol de acue do a unos p incipios de op imización p e iamen e de inidos.
Los esquemas de Con ol P edic i o pueden clasi ica se, de hecho, a endiendo a su c i e io de op imización.
Según la ap oximación ealizada en [3] puede dis ingui se en e PD basado en his é esis, PD basado en
ayec o ias, con ol deadbea y MPC.
Los dos p ime os ienen un in e és ela i o pa a el obje i o de es a monog a ía. E ec i amen e exis en
con olado es de his é esis y de ayec o ia que u ilizan modelos del sis ema pa a p edeci el compo amien o
del mismo en unción de la acción de con ol. No obs an e, se a a de aplicaciones cuyo concep o undamen al
no es el Con ol P edic i o y que en gene al no dis u an de una g an popula idad.
El Con ol Deadbea , po o a pa e, es un mé odo de con ol bien es udiado y i memen e es ablecido con sus
en ajas y sus incon enien es. En cada in e alo de mues eo se usa un modelo del sis ema pa a calcula la
acción de con ol que pe mi e alcanza el es ado de e e encia con e o ce o en el siguien e in e alo. En
PWM
SVM
M
2/3
3/2
3/2
o
p
q
•
o
e
p
q
•
PI
PI
PI
PI
I
@
∗
c
xR
∗
c
xQ
∗
w
xR
∗
w
xQ
∗
I
@
c
xjk
w
xjk
+
+
+
+
−
−
−
−
¡
@
∗
¡
@
∗
3
œ
•
w
x`ab
∗
Obse ado
DC/AC
19
accionamien os eléc icos, es a acción de con ol suele se una ensión de e e encia que debe se p o is a po
un in e so de po encia y que se aplica median e un modulado (modulado po anchu a de pulsos, PWM, o en
espacio de es ados, SVM). Aunque es a écnica de con ol es muy ap opiada en aplicaciones que equie en una
muy ápida espues a dinámica, no iene un buen compo amien o en égimen pe manen e y es ágil an e e o es
en los pa áme os del modelo, an e una mala es imación del es ado del sis ema y an e dinámicas no modeladas.
Po úl imo, el Con ol P edic i o Basado en Modelos (MPC, po sus siglas en inglés) u iliza un c i e io de
op imización más lexible que el Con ol Deadbea , exp esado median e una unción de cos e que debe se
minimizada. A pesa del nomb e, que especi ica que es una e sión del con ol p edic i o que se basa en el uso
de modelos, odas las aplicaciones de con ol p edic i o se basan en el uso de modelos, como se ha explicado
más a iba. El MPC se ca ac e iza y se dis ingue, sob e odo, po la unción de cos e an e io men e e e ida. Es a
écnica ambién ha ecibido el nomb e de Con ol de Ho izon e Deslizan e ( eceding ho izon con ol), pues el
p oblema de minimización de la unción de cos e debe esol e se en cada in e alo de mues eo, como se e á
más adelan e.
En el ámbi o del MPC puede hace se una dis inción en e los MPC con se de con ol con inuo, donde las
acciones de con ol deben se p oducidas median e un modulado , y el MPC con se de con ol disc e o (FS-
MPC, Fini e Se Model P edic i e Con ol). Aunque el plan eamien o del p oblema de op imización es idén ido
pa a es as dos écnicas, la na u aleza disc e a de los in e so es de po encia hace que el FS-MPC me ezca una
conside ación apa e. Po úl imo, si la solución al p oblema de minimización de la unción de cos e se ob iene
de o ma analí ica, en onces se habla de MPC explíci o (explici MPC). En caso con a io (e.g. solución numé ica
po enume ación exhaus i a de las acciones de con ol) se habla de MPC implíci o (implici MPC).
20
21
4 M
ODEL
P
REDICTIVE
C
ONTROL
(MPC)
MPC is (…) a o m o con ol in which he con ol ac ion is ob ained by
sol ing online, a each sampling ins an , a ini e ho izon op imal con ol
p oblem in which he ini ial s a e is he cu en s a e o he plan .
Op imiza ion yields a ini e con ol sequence, and he i s con ol ac ion in
his sequence is applied o he plan .
- James Rawlings and Da id Mayne, Model P edic i e Con ol: Theo y and Design, 2009 -
L Con ol P edic i o Basado en Modelos (MPC, po sus siglas en inglés) es la única écnica a anzada de
con ol – en endiéndose aquí más a anzada que el adicional con olado PID – que ha enido un impac o
signi ica i o en la indus ia en gene al y en la ingenie ía de p ocesos en pa icula [4]. Sólo ecien emen e
y g acias al desa ollo de los mic op ocesado es, la comunidad de la elec ónica de po encia ha empezado a
inco po a el MPC a sus esquemas de con ol [3], [5].
El concep o undamen al que subyace al MPC es el uso de modelos dinámicos pa a p edeci el compo amien o
u u o del sis ema con olado, y op imiza es a p edicción de acue do a una unción de cos e pa a elegi la mejo
acción de con ol en el momen o p esen e [6]. Además, dado que las p edicciones dependen del es ado inicial
del sis ema, el p oblema de la es imación del es ado –en base a es ados an e io es y a las mediciones e ec uadas–
ambién es impo an e.
De en e las ca ac e ís icas del MPC des acan especialmen e las siguien es, que lo dis inguen de los sis emas de
con ol adicionales (e.g., con ol lineal PID) y lo hacen especialmen e ap opiado pa a de e minadas
aplicaciones:
a) Se adap a con acilidad a p oblemas mul i a iable;
b) inco po a de o ma na u al el a amien o de p oblemas de op imización con en adas disc e as (e.g.,
el es ado de los in e up o es de un con e ido de po encia) o limi adas (e.g. la sa u ación de una
ál ula);
c) y pe mi e in oduci de o ma sencilla obje i os de con ol no lineales en la unción de cos e (e.g. la
ecuencia de conmu ación de un con e ido de po encia).
En es e Capí ulo se p esen a una in oducción a los concep os más gene ales del MPC, como base pa a su
aplicación pos e io al campo de los accionamien os eléc icos. Pa a es e Capí ulo se ha elegido el ex o [6] como
e e encia.
4.1 Modelado de sis emas
Po explicado más a iba, la desc ipción y el modelado de sis emas ep esen an un concep o cen al en el MPC.
Con es e in se explicó el modelo dinámico de la máquina de inducción en el Capí ulo 2 de la p esen e
monog a ía. Se o ece aho a un a amien o más igu oso del ema del modelado de sis emas pa a in oduci el
MPC en base a de iniciones gené icas.
De o ma gene al, un sis ema dinámico puede se desc i o median e una unción de sus en adas, salidas y las
de i adas empo ales de és as. Pa a el MPC esul a de especial u ilidad la llamada ep esen ación en espacio de
E

22
es ados, donde se iene en cuen a el es ado del sis ema pa a su desc ipción. La desc ipción de un sis ema de
p ime o den en espacio de es ados iene dada po :
:
4
:J
=
£
$
4
,
~
,
J
&
(4-1)
¨
=
—
$
4
,
~
,
J
&
(4-2)
4
$
J
S
&
=
4
©
(4-3)
Donde 4∈ℝ

es el es ado del sis ema; ~∈ℝ
L
son las en adas; ¨∈ℝ
ª
son las salidas y J∈ℝ es el iempo.
Las unciones £ y — son absolu amen e gene ales y pueden oma cualquie o ma.
No obs an e, lo más habi ual es que se manejen sis emas lineales –o, en su de ec o, se linealicen los sis emas
que no lo son-. En es e caso el sis ema admi e una no ación ma icial que es muy compac a y acili a mucho su
es udio y manipulación:
:
4
:J
=
/
$
J
&
4
$
«
&
+
¬
$
J
&
~
$
«
&
(4-4)
¨
=
2
$
J
&
4
$
«
&
+
•
$
J
&
~
$
«
&
(4-5)
4
$
J
S
&
=
4
S
(4-6)
Donde se ha incluido po gene alidad la dependencia con el iempo de las ma ices del sis ema. Las ma ices
[/ ¬ 2 •] se denominan, espec i amen e, ma iz de es ados, de en ada, de salida y de ansmisión di ec a. Po
simplicidad, la ma iz • se omi e en la mayo ía de los casos.
En la mayo ía de los algo i mos MPC, donde la op imización de la p edicción del sis ema es compu ada online
po un mic opocesado , esul a necesa io ob ene la disc e ización del sis ema desc i o en las ecuaciones (4-4) a
(4-6). Pa a ello se usa un man enedo de o den ce o pa a la en ada (ze o-o de -hold inpu ):
~
$
J
&
=
~
[
–
]
=
~
¯
,
∀
J
∈
[
–
•
x
,
$
–
+
1
&
•
x
]
( 4-7)
Donde •
x
es el pe iodo de mues eo. Aquí la no ación como subíndice $~
¯
& o median e co che es $~[–]& es
equi alen e y se emplea á una u o a a endiendo a c i e ios de cla idad y compacidad. Bajo la condición (4-7)
puede disc e iza se el sis ema, que queda de inido po las ecuaciones:
4
[
–
+
1
]
=
/
Q
[
–
]
4
[
–
]
+
¬
Q
[
–
]
~
[
–
]
(4-8)
¨
[
–
]
=
2
Q
4
[
–
]
(4-9)
4
[
–
=
0
]
=
4
S
(4-10)
Donde las ma ices son [7]:
/
Q
[
–
]
=
o
°
y
$
±
&
Q±
$
²
³
&
´
µ
²
´
µ
(4-11)
¬
Q
[
–
]
=
¦
Y
o
°
y
$
±
&
Q±
$
²
³
&
´
µ
¶
¬
$
·
&
:·
$
¯
¸

&
†
µ
¯
†
µ
(4-12)
2
Q
[
–
]
=
2
(4-13)
Las ma ices así de inidas ep esen an un modelo disc e o exac o del sis ema. Se en iende po exac o que las
23
soluciones en los ins an es de mues eo coinciden con las del sis ema con inuo pa a dichos ins an es si se usa un
man enedo de o de ce o en la en ada. Sin emba go, pa a modelos dependien es del iempo no es p ác ico
esol e de o ma online las an e io es exp esiones po su ele ado cos e compu acional.
Una ap oximación habi ual consis e en supone cons an e el alo de las ma ices du an e un pe iodo de mues eo
(así como se hizo con las en adas del sis ema). En ese caso las ma ices (4-11) y (4-12) se simpli ican:
/
Q
=
o
y
†
µ
(4-14)
¬
Q
=
¦
o
y±
¬
$
¹
&
:¹
†
µ
S
(4-15)
La ap oximación an e io es de in e és en el modelado del mo o de inducción en espacio de es ados, pues el
sis ema (desc i o po la ma iz /) depende del iempo a a és de la elocidad angula I
L
. Po úl imo, ale la
pena des aca aquí la llamada disc e ización de Eule . És a es la o ma más sencilla de ob ene modelos disc e os
y consis e en unca el desa ollo en se ie de las exp esiones (4-14) y (4-15) en su coe icien e lineal. Resul a así:
/
Q
º»
[
–
]
=
Œ
+
/
•
x
(4-16)
¬
Q
º»
[
–
]
=
¬
•
x
(4-17)
Donde Œ deno a la ma iz iden idad de las dimesiones ap opiadas. Cabe hace no a que aunque la disc e ización
de Eule es la más sencilla y la más ácil de ob ene , ambién es la más inexac a.
4.2. Con olado lineal cuad á ico (Linea Quad a ic Regula o , LQR)
El Con ol Lineal Cuad á ico es un p oblema de op imización donde se asume un sis ema lineal e in a ian e
en el iempo así como una unción de cos e cuad á ica, como se p esen a á más adelan e. El obje i o de con ol
es lle a el sis ema desc i o po las ecuaciones (4-8) a (4-10) a un alo de e e encia, de inido po 4
@AB
. Además,
se de ine un alo de e e encia pa a la acción de con ol como aquel que hace al a pa a man ene el sis ema en
su es ado de e e encia en el égimen pe manen e. Ma emá icamen e decimos:
~
@AB
=
~
∗
n
/
Q
4
@AB
+
¬
Q
~
∗
=
4
[
–
+
1
]
=
4
@AB
(4-18)
De es e pun o en adelan e se omi i á el subíndice d pa a e e i las ma ices disc e as. Todas las ma ices que
apa ezcan a con inuación, sal o que se indique lo con a io, se e e i án a sis emas disc e os. Además, pa a
indica el es ado de e e encia se emplea á indis in amen e el subíndice 4
@AB
o el supe índice 4
∗
.
Adicionalmen e se de inen a iables inc emen ales como la di e encia en e el alo ins an áneo del es ado o la
en ada y sus alo es de e e encia, designadas con una ilde:
4¼[–]=4[–]−4
@AB
~¼[–]=~[–]−~
@AB
Po simplicidad de no ación se omi i á de aho a en adelan e la ilde ¼ pa a las a iables inc emen ales.
Al e na i amen e puede supone se nulo el es ado de e e encia sin pé dida de gene alidad, pues o que en ese
caso el alo inc emen al coincide con la a iable en cues ión. Se ol e á a las a iables inc emen ales cuando
el con ex o así lo equie a po mo i os de cla idad.
El es ado u u o del sis ema depende an o del es ado inicial (impo ancia de la es imación del es ado) como de
la secuencia de en adas aplicada (p oblema de op imización). La secuencia de en adas ½
¾
se de ine como las
acciones de con ol aplicadas a lo la go de ¿ in e alos de con ol, llamados ho izon e de p edicción, con ¿∈
ℕ
∗
. El supe índice ¿ se omi i á cuando sea e iden e o no sea necesa io p ecisa lo.
½
¾
=
½
=
ž
~
[
0
]
,
~
[
1
]
,
~
[
2
]
,
…
,
~
[
¿
−
1
]
Ÿ
(4-19)
24
Se de ine en es e pun o la unción obje i o del Con olado Lineal Cuad á ico (LQR) que e alúa escala men e
la des iación del sis ema de su es ado de e e encia. La unción de cos e del LQR debe se cuad á ica, y el cos e
depende del es ado inicial 4
S
y de la secuencia de en adas ½.
Á
$
4
S
,
½
&
=
Â
$
4
[
–
]
†
Ã
4
[
–
]
+
~
[
–
]
†
z
~
[
–
]
&
+
4
[
¿
]
†
<
4
[
¿
]
¾
e

¯
Ä
S
(4-20)
La unción Á e alúa la des iación sob e el es ado de e e encia como una suma cuad á ica ponde ada de los
e o es ( eco da aquí que las a iables $4,~& son a iables inc emen ales o, si se p e ie e, que el es ado de
e e encia es el o igen). La ma iz à ponde a la des iación espec o al es ado de e e encia, y la ma iz z e alúa
la des iación de la acción de con ol. Usualmen e se ese a una ponde ación di e en e pa a el es ado inal, aquí
la ma iz <.
à y z e alúan el cos e de cada in e alo de mues eo (s age cos ), mien as que < e alúa el cos e del es ado inal
( inal cos ). Asigna alo es a dichas ma ices cons i uye el p oblema de sin onización ( uning) y no es ni mucho
menos i ial. Siguiendo la no ación de [8], de aquí en adelan e se deno a á la suma cuad á ica po :
4
†
<
4
∶
=
|
4
|
Æ

(4-21)
La unción obje i o puede eesc ibi se en onces como:
Á
$
4
©
,
½
&
=
Â
•
|
4
¯
|
Ç

+
|
~
¯
|
È

‘
¾
e

¯
Ä
S
+
|
4
¾
|
Æ

(4-22)
El p oblema de con ol cuad á ico queda así o mulado como la búsqueda de la secuencia de en ada ½ que
minimiza la unción de cos e Á:
½
ÉÊ«
=
a g
h
min
½
Á
$
4
S
,
½
&
i
(4-23)
Donde a g$∙& quie e deci HG—w™oËJÌ :o $∙&. Lo habi ual es que las ma ices [Ã,z,<] sean escogidas como
ma ices diagonales pe o es o no es necesa io. Si se asume, sin emba go, que à y z son ma ices semide inidas
posi i as (i.e. odos sus au o alo es son mayo es o iguales que 0) y que la ma iz < es de inida posi i a [8] (i.e.
odos sus au o alo es son mayo es que 0). Ma emá icamen e decimos:
Ã,z≽0, <≻0
4.3. P og amación dinámica (Dynamic P og amming, DP)
Los p oblemas de op imización donde la unción de cos e es á compues a de la suma de a ios é minos, cada
uno de ellos dependien e del é mino an e io de la se ie, se denominan p oblemas de op imización mul ie apa
(mul is age op imiza ion p oblem). El p oblema cen al que debe esol e el LQR (4-23) es un ejemplo de
p oblema de op imización mul ie apa, ya que cada es ado 4[–] den o del ho izon e de p edicción N (i.e. –≤
¿) depende del es ado an e io 4[–−1] y de la acción de con ol aplicada en dicho es ado ~[–−1].
Fo malmen e puede p esen a se un p oblema de es a clase como la op imización de una unción del ipo:
£
$
Î
,
?
&
+
—
$
?
,
,
&
+
ℎ
$
,
,
Ð
&
(4-24)
Es e p oblema puede abo da se en di e en es e siones. En la que esul a de in e és pa a su aplicación al LQR
se oma una de las a iables como pa áme o y se op imiza el es o. Ma emá icamen e, hay que soluciona el
p oblema:
25
[
x
ÒÓÔ
,
y
ÒÓÔ
,
z
ÒÓÔ
]
=
a g
Y
min
+
,
Ö
,
×
ž
£
$
Î
,
?
&
+
—
$
?
,
,
&
+
ℎ
$
,
,
Ð
&
Ÿ
Ew=oJÌ
H
Î
=
PJo
(4-25)
La semejanza con el p oblema del Con ol Lineal Cuad á ico se á explicada más adelan e. Bas e po aho a
adelan a que cada a iable $Î,?,,,Ð& co esponde a un pa compues o po un es ado del sis ema y una acción
de con ol.
Dada la especial es uc u a del p oblema, la solución puede ob ene se op imizando una secuencia de p oblemas
simples de una sola a iable de inidos así:
4
تÙ
=
a g
Ú
min
+
¥
£
$
Î
,
?
&
+
min
Ö
h
—
$
?
,
,
&
+
min
×
ℎ
$
,
,
Ð
&
i
§
Û
Ew=oJÌ
H
Î
=
PJo
(4-26)
En p ime luga se esuel e el p oblema del lazo más in e io , plan eado en la a iable Ð. El alo óp imo
(mínimo) y la solución al p oblema en Ð ienen dados po :
ℎ
تÙ
$,&=min
×
ℎ$,,Ð& Ð
تÙ
$,&=a ghmin
×
ℎ$,,Ð&i
Aquí hay que ema ca que los alo es óp imos Ð
تÙ
y ℎ
تÙ
pa a es e p oblema dependen de la a iable ,.
Inmedia amen e se abo da el siguien e p oblema de op imización anidado, plan eado en la a iable ,. El alo
óp imo y la solución son espec i amen e:
—
تÙ
$?&=min
Ö
ž—$?,,&+ℎ
تÙ
$,&Ÿ, ,
تÙ
$?&=a g¥min
Ö
ž—$?,,&+ℎ
تÙ
$,&٤
Como ocu ie a en el caso an e io , es a ez la solución óp ima pa a la a iable , es unción de la a iable
es an e ? . El alo óp imo del p oblema de op imización plan eado en (4-25) así como la solución en ? esul an:
£
تÙ
$Î&=min
+
ž£$Î,?&+—
تÙ
$?&Ÿ ?
تÙ
$Î&=a ghmin
+
ž$Î,?&+—
تÙ
$?&Ÿi
Si el in e és se cen a en la p ime a a iable ?, en onces la unción ?
تÙ
=?
تÙ
$Î& e a el obje i o p incipal y
se ha ob enido de una o ma e icien e. Es a clase de solución anidada pe enece a las llamadas écnicas de
p og amación dinámica (DP, po sus siglas en inglés). En pa icula , la e sión aquí p esen ada se conoce
como backwa d DP po que p ime o se despeja la “úl ima a iable” Ð y se p osigue en o den in e so has a llega
a la p ime a a iable a op imiza (?). Una ez que se llega a la p ime a a iable, la de mayo in e és, puede
conoce se el alo óp imo del es o de a iables como unción de aquella. El núme o de a iables a op imiza
[?,,,Ð,…] puede se , eó icamen e, an al o como se desee.
4.4. DP aplicada al LQR
La P og amación Dinámica puede u iliza se pa a esol e la op imización del LQR p esen ado en la Sección
4.2. Pa a ello, con iene eesc ibi la ecuación (4-22) de la siguien e mane a:
Á
$
4
©
,
½
&
=
Â
ž
ℓ
$
4
[
–
]
,
~
[
–
]
&
Ÿ
¾
e

¯
Ä
S
+
ℓ
¾
$
4
[
¿
]
&
Ew=oJÌ
H
4
[
–
+
1
]
=
/
4
[
–
]
+
¬
~
[
–
]
(4-27)
Donde ℓ[–] ep esen a el cos e de e apa, y ℓ
¾
, el cos e e minal:
ℓ[–]∶=4[–]
†
Ã4[–]+~[–]
†
z~[–]
ℓ
¾
∶=4[¿]
†
<4[¿]
La unción de cos e iene la misma es uc u a o mal que la ecuación (4-24), así que puede soluciona se median e
la énica de backwa d DP. Pa a ello con iene eo dena la unción de cos e de mane a que pueda op imiza se
sob e la úl ima e apa –=¿−1:
32
Figu a 5-1: Esquema de bloques del con ol ec o ial (FOC) con o ien ación indi ec a del lujo o ó ico (IRFO)
Figu a 5-2: Diag ama de bloques con MPC en el lazo de con ol de co ien e
5.2. Model P edic i e Di ec Cu en Con ol, MPDCC
La implemen ación di ec a del con ol de co ien e ía MPC (MPDCC, po sus siglas en inglés) a un paso más
allá que la idea p esen ada en la Sección 5.1: an o el lazo de con ol de co ien e como el modulado se su i uyen
po una e apa de con ol p edic i o. El diag ama de lujo es á ep esen ado en la Fig 5.3.
En es a e sión, el lazo ex e io de con ol de pa y lujo p opo ciona al MPC las e e encias de co ien e en el
plano 89. El con olado calcula el es ado óp imo del in e so en sucesi as e apas de p edicción de ayec o ias
y minimización de la unción de cos e y en ía di ec amen e las señales a los in e up o es de po encia sin pasa
po un modulado in e medio.
Es a aplicación ap o echa la lexibilidad y e sa ilidad del MPC pa a consegui esul ados supe io es a los del
FOC. F en e al con ol lineal, limi ado en su c i e io de con ol, el MPC pe mi e inclui obje i os de con ol no
lineales pa a mejo a el uncionamien o del accionamien o eléc ico, ales como pueden se las pé didas de
conmu ación del in e so . Es a ap oximación ha sido p opues a en [10]. En el mismo a ículo se demues a que
PWM
SVM
M
2/3
3/2
o
p
q
•
o
e
p
q
•
PI
PI
PI
PI
I
@
∗
c
xR
∗
c
xQ
∗
w
xR
∗
w
xQ
∗
I
@
c
xjk
+
+
+
+
−
−
−
−
¡
@
∗
¡
@
∗
3
œ
•
w
x`ab
∗
Obse ado
DC/
AC
PWM
SVM
M
2/3
3/2
3/2
o
p
q
•
o
e
p
q
•
MPC
PI
PI
I
@
∗
c
xR
∗
c
xQ
∗
w
xQR
∗
I
@
c
xjk
w
xjk
+
+
+
+
−
−
−
−
¡
@
∗
¡
@
∗
3
œ
•
w
x`ab
∗
Obse ado
DC/
AC

33
las p es aciones del MPC mejo an cuan o mayo es el ho izon e de p edicción conside ado has a supe a
ampliamen e la modulación po PWM adicional.
Figu a 5-3: Model P edic i e Di ec Cu en Con ol
No obs an e, el cos e compu acional c ece exponencialemen e con el ho izon e de p ediccón. Es e aspec o es de
impo ancia capi al en el con ol p edic i o y me ece un comen a io apa e.
Si se usa un p ocedimien o de enume ación exhaus i a como écnica de op imización (i.e., calcula los es ados
p oducidos po odas las secuencias de en adas posibles y e alua el cos e de cada uno de ellos), el cos e
comupu acional es p opo cional al núme o de secuencias posibles, que c ece exponencialmen e con el ho izon e
de p edicción. Pa a un in e so de dos ni eles, con 6 ni eles de ensión posibles, un ho izon e de p edicción
¿=10 p oduce la ingen e can idad de 6
S
∼6∙10
þ
secuencias de es ados posibles, muy ue a del alcance
compu acional en iempo eal de los o denado es de nues o iempo. Sin que sea el obje i o de es a monog a ía,
en [11] se hace un epaso de las es a egias p opues as pa a lidia con la gos ho izon es de p edicción sin ele a
excesi amen e el cos e compu acional. En e ellas cabe ci a las es a egias de bloqueo de mo imien o (Mo e
Blocking S a egy), de ex apolación (Ex apola ion S a egy) y con ho izon e basado en e en os (E en -Based
Ho izon).
Una al e na i a adical pa a e i a la escalada del cos e compu acional es educi el ho izon e de p edicción a
¿=1. En es e caso la unción de cos e es especialmen e simple (sólo iene en cuen a el es ado del sis ema
inmedia amen e siguien e al ac ual) y el abajo de sin onía esul a mucho más ácil. La implemen ación de
ho izon es de p edicción uni a ios ha sido exi osa en máquinas eales [12] g acias a que los p ocesado es ac uales
pueden asumi el cos e de compu ación del algo i mo casi sin modi icaciones; no obs an e, como indica [10],
las p es aciones en égimen pe manen e se educen no ablemen e espec o a ho izon es de p edicción más
ex ensos.
5.3. Model P edic i e Di ec To que Con ol, MPDTC
La e ce a aplicación del MPC omi e el lazo de con ol de co ien e y con ola di ec amen e el pa
elec omagné ico y el lujo de la máquina. Lo más habi ual es que se emplee un lazo de con ol lineal ex e no
pa a la elocidad, al como se desc ibe en la Fig. 5.4. En el diag ama se ha inco po ado la dis inción en e las
ases de p edicción de ayec o ias y minimización de la unción de cos e.
En es e ipo de con ol la unción de salida de una unción no lineal de la o ma (4-2):
M
3/2
3/2
o
e
p
q
•
MPDCC
PI
PI
I
@
∗
c
xR
∗
c
xQ
∗
I
@
c
xjk
w
xjk
+
+
+
+
−
−
−
−
¡
@
∗
¡
@
∗
3
œ
•
o
p
q
•
c
xjk
∗
Obse ado
DC/
AC
34
hJ
A
¡
x
i=—$4&
Donde 4 es el ec o de es ado compues o po un pa cualquie a del conjun o ô=ž•
õ
,•
ö
,€
õ
,€
ö
Ÿ. La aplicación
MPDTC ambién se ha aplicado exi osamen e con ho izon es de p edicción uni a ios [12]. No obs an e, como
ambién ad ie e [10], las p es aciones del accionamien o eléc ico disminuyen no ablemen e si se educe el
ho izon e de p edicción.
Figu a 5-4: Model P edic i e Di ec To que Con ol
DC/
AC
M
3/2
PI
I
@
∗
•
A
∗
I
@
c
xjk
+
−
¡
@
∗
Obse ado
P edicción de
ayec o ias
Minimización de la
unción de cos e
€
x
35
6 MPC
CON
C
OMPORTAMIENTO
E
STABLE
A
COTADO
L con olado MPC ya ha sido u ilizado con éxi o en el con ol de con e ido es de po encia en gene al y
de accionamien os eléc icos en pa icula . No obs an e, como se ha mencionado an e io men e, se a a
de una écnica de con ol muy ecien e y aún hay p oblemas p ác icos y eó icos que no han sido esuel os
o ni siquie a han sido a ados. En e los p ime os puede ci a se el p oblema del cos e compu acional pa a la gos
ho izon es de p edicción. En cuan o a los segundos, emas como el diseño de la unción de cos e y la es abilidad
del sis ema con olado no han sido es udiados en p o undidad.
En la Sección 4.5 se p esen a on condiciones de es abilidad pa a el LQR, pe o limi adas a condiciones muy
conc e as. Una de ellas, de especial ele ancia, es que sólo se ga an iza la es abilidad del sis ema pa a un
ho izon e de con ol in ini o. En el con ol de mo o es eléc icos, po la p opia na u aleza del p oblema y las
limi aciones écnicas de compu ación, un ho izon e de p edicción de esa clase es implan eable. Más aún: como
se explicó en la Sección 4.6, la ue za del MPC adica en que pe mi e ealiza la labo de con ol solucionando
online el p oblema de op imización en cada in e alo de mues eo; es o es, sin necesidad de encon a una ley
de con ol explíci a ó$∙&. No obs an e, la ausencia de dicha ley de con ol supone una di icul ad adicional pa a
e alua la es abilidad del sis ema.
El abajo [8], ecien emen e publicado, p opone una de las p ime as ap oximaciones al p oblema del diseño de
la unción de cos e y de la es abilidad en MPC pa a aplicaciones de elec ónica de po encia. El concep o
undamen al es ep esen a los con e ido es de po encia como sis emas lineales con en adas disc e as y una
unción de cos e cuad á ica como la del LQR. Bajo es as condiciones y haciendo uso de la Teo ía de
Es abilidad de Lyapuno se p opone un diseño de la unción de cos e que ga an iza que el es ado inal del
sis ema queda con inado a un en o no ini o del alo de e e encia.
6.1. FCS-MPC cuad á ico con ho izon e de p edicción uni a io
El modelo gené ico del sis ema es lineal, disc e o e in a ian e en el iempo. Se epi e aquí po con eniencia la
desc ipción del sis ema en espacio de es ados:
4
[
–
+
1
]
=
/
+
4
[
–
]
+
¬
+L
~
[
–
]
(6-1)
Con 4∈⊆ℝ

y ~∈⊂ℝ
L
. Median e es a desc ipción se es inge ~ a un suconjun o ini o de ℝ
L
, dado
po :
~
[
–
]
∈

=

~

,
~

,
…
,
~
ª

(6-2)
Que son los ec o es de ensión que puede p oduci el in e so . Se de inen además el es ado de e e encia del
sis ema, ep esen ado po 4
@AB
∈ℝ

, y la en ada de e e encia, que e i ica:
4
@AB
=
$
Œ
−
/
&
e

¬
~
@AB
(6-3)
E
36
Donde Πep esen a la ma iz unidad de las dimensiones ap opiadas. Con iene hace no a en es e pun o que si
bien la ecuación (6-3) es lineal y con inua, las en adas del sis ema son disc e as (6-2), de modo que de o ma
gene al puede a i ma se que ~
@AB
∉.
Se de ine además una unción de cos e cuad á ica idén ica a la que se p opuso en el LQR (4-20) pe o
pa icula izada a un ho izon e de p edicción uni a io:
Á
$
4
,
~
&
=
n
4
−
4
@AB
n
Ç

+
n
~
−
~
@AB
n
È

+
n
4
¯
¸

−
4
@AB
n
Æ

(6-4)
Donde 4=4
¯
y ~=~
¯
y se cumple Ã,z≽0 y <≻0. Hay que no a que, dado que el es ado ac ual del
sis ema es un pa áme o del p oblema de op imización, el é mino n4−4
@AB
n
Ç

es una cons an e y con ibuye
po igual al cos e de odas las acciones de con ol elegidas. Se man iene aquí sin emba go po in e és eó ico,
como se e á más adelan e. Asimismo con iene des aca que es ingiendo la unción de cos e a es a o mulación
se pie de g an pa e de la lexbilidad del MPC, pues sólo pueden con ola se a iables de es ado y no una salida
cualquie a del sis ema, como pueden se el pa elec omagné ico y la magni ud del lujo en una máquina de
inducción.
El p oblema, así plan eado, coincide con el LQR sal o po la es icción de las en adas al conjun o disc e o ⊂
ℝ
L
. La solución lib e ~
»b
تÙ
[–] (uc po las iniciales en inglés de uncons ained) se calcula como en (4-34):
~
»b
تÙ
[
–
]
=
á
•
4
[
–
]
−
4
@AB
‘
+
~
@AB
(6-5)
Donde
á
=
−
$
¬
†
<¬
+
z
&
e

¬
†
</
,

=
¬
†
<¬
+
z
(6-6)
Aquí, a di e encia del LQR con ho izon e de p edicción ¿>1, no ha luga a la i e ación de Ricca i. La ley de
con ol á se calcula sin necesidad de un p oceso de i e ación. La solución ob enida (6-5) pod ía aplica se
median e un modulado como se explicó en la Sección 5.1 con los incon enien es ya señalados. Sin emba go,
la imp ecisión in oducida po el modulado hace di ícil e alua la es abilidad del sis ema.
En [8] se op a po una ap oximación di e en e: busca la mejo acción de con ol es ingida al se de con ol .
La solución óp ima en el FCS-MPC no es necesa iamen e la cuan ización de la solución lib e (i.e. el ec o ~∈
 cuya di e encia con ~
»b
تÙ
∈ℝ
L
es mínima) [8]. An es al con a io, pa a ob ene el óp imo es ingido
(cons ained, en inglés) la cuan ización debe hace se sob e una ans o mación lineal del se de con ol,
gobe nada po la ma iz . Así queda de inida la solución óp ima como:
~
تÙ
[
–
]
=

e

/

;

•


/

~
»b
تÙ
[
–
]
‘
(6-7)

=


/


(6-8)
Donde ;

$∙& es el ope ado cuan ización en el espacio gené ico . La ope ación de cuan ización y el e o de
cuan ización se de inen sob e un subespacio ec o ial gené ico ⊂ℝ
L
como
;

$
~
»b
&
=
a g
min
~
•
∈

‖
~
»b
−
~

‖
(6-9)
·

=
~
»b
−
;

$
~
»b
&
(6-10)
Donde ;

$∙&⊂∈ℝ
L
, ~
»b
∈ℝ
L
. Pa icula izando a los espacios  y  , la solución óp ima es ingida
puede eesc ibi se eniendo en cuen a las ecuaciones (6-7), (6-9) y (6-10):
~
تÙ
[
–
]
=
~
»b
تÙ
[
–
]
+

e

/

·

$
4
[
–
]
&
(6-11)
37
Sus i uyendo (6-5) y (6-11) en (6-1) se ob iene el lazo de con ol en bucle ce ado:
4
¯
¸

=
/
4
¯
+
¬
•
á
•
4
−
4
@AB
‘
+
~
@AB
+

e

/

·

$
4
&
‘
;
4
¯
¸

=
$
/
+
‡
&
4
−
‡
4
@AB
+
¬
~
@AB
+
¬

e

/

·

$
4
&
;
4
¯
¸

=
$
/
+
‡
&
4
−
‡
4
@AB
−
/
4
@AB
+
4
@AB
+
¬

e

/

·

$
4
&
;
4
¯
¸

=
/
å
$
4
−
4
@AB
&
+
4
@AB
+
¬

e

/

·

$
4
&
(6-12)
Donde se ha u ilizado (6-3) pa a desa olla ¬~
@AB
y se ha man enido 4
¯
≔4. Además se ha de inido la ma iz
en bucle ce ado
/
å
≔
/
+
‡
(6-13)
6.2. Es abilidad del Sis ema: Función de Lyapuno
La con e gencia LQR p esen ada en la Sección 4.5 no es su icien e pa a asegu a la es abilidad del sis ema
con olado. El MPC es un p oblema más amplio y pa icula men e suele es a es ingido a un se de en adas
disc e o. Tal es el caso de los con e ido es de po encia. Po ello es necesa io ex ende el concep o de es abilidad:
se segui á aquí la ap oximación ealizada en los capí ulos 2.4 y 2.5 de [6], ambién pa icula izada pa a el caso
de los con e ido es de po encia en [8] y más p opiamen e en el apéndice de és a úl ima. En lo sucesi o se
supond á un sis ema disc e o, lineal e in a ian e en el iempo desc i o en espacio de es ados po la ecuación
siguien e:
4
[
–
+
1
]
=
/
4
[
–
]
+
¬
~
[
–
]
(6-14)
Con 4∈ℝ

,~∈⊂ℝ
L
,/
+
y ¬
+L
. Es deci , el se de con ol  es disc e o y ini o.
6.1.1 Lími e al e o de cuan ización
Es ablece la es abilidad del sis ema equie e en p ime luga que se de e mine un lími e pa a el e o de
cua ización en (6-12). Se de ine así el se nominal de en adas como:

‚
≜
ž
~
‚
∈
ℝ
L
:
|
~
‚
|
≤
~
‚
L`+
Ÿ
(6-15)
Donde ~‚
ùúû
∈$0,∞& es un pa áme o de diseño. Si la en ada óp ima al sis ema (6-5) se es inge al se nominal
de en adas, en onces el e o de cua ización ambién es á limi ado como:
|
·

|
≤

R
≜
max
~
‚
∈

|
;

$
~
‚
&
−
~
‚
|
≤
∞
(6-16)
Y es o es la mo i ación pa a de ini una egión e minal como:

B
≜

4
∈
ℝ

:
n
4
−
4
@AB
n
≤
O
=
~
‚
L`+
−
n
~
@AB
n
|
á
|

(6-17)
Donde debe no a se que la egión e minal depende del pa áme o de diseño ~‚
L`+
.
Todo es ado 4 de la egión e minal p oduce una en ada óp ima lib e (6-5) que pe enece al se nominal de
en adas ‚:

38
~
»b
تÙ
=
ó
$
4
&
∈

‚
∀
4
∈

B
(6-18)
Como consecuencia de (6-16), el e o de cuan ización es a á aco ado pa a odos los es ados comp endidos en
la egión e minal:
n
·

$
~
»b
تÙ
&
n
≤

R
∀
4
∈

B
(6-19)
6.1.2 Funcionamien o es able aco ado
Seguidamen e se usa án los eo emas de es abilidad de Lyapuno (Capí ulo 2.4 en [6]) pa a es ablece el
uncionamien o es able aco ado del sis ema. Se dice que una unción Á:ℝ→ℝ
S
es una unción p ác ica de
Lyapuno en una egión /⊆ℝ

pa a el sis ema (6-14) si exis e un se compac o ⊆/ y cons an es posi i as
H

H

H

: ¢ y ë>1 que e i ican:
Á
$
4
&
≥
H

|
4
|

∀
4
∈
/
(6-20)
Á
$
4
&
≤
H

|
4
|

+
:
∀
4
∈

(6-21)
Á
$
4
¯
¸

&
−
Á
$
4
¯
&
≤
−
H

|
4
|

+
¢
(6-22)
Se habla aquí de es abilidad p ác ica po que sólo se ga an iza la es abilidad a un en o no de la e e encia, y no
a su alo exac o. El eo ema que ga an iza la es abilidad es:
Teo ema 1: Si el sis ema (6-14) admi e una unción p ác ica de Lyapuno en la egión /, en onces es
asin ó icamen e es able en /.
El eo ema an e io implica que encon a una unción de Lyapuno pa a el sis ema con olado es condición
su icien e pa a asegu a la exis encia de un con olado ~$4&=ó$4& (i.e., comp ende la condición de
con olabilidad LQR dada po (4-48)).
Es habi ual ensaya la unción de cos e cuad á ica del LQR como unción de Lyapuno [6]. En pa icula , en [8]
se demues a que la unción de cos e
Á
$
4
,
~
&
=
n
4
−
4
@AB
n
Ç

+
n
~
−
~
@AB
n
È

+
n
4
¯
¸

−
4
@AB
n
Æ

(6-23)
Es una unción de Lyapuno pa a H

=ï
L
$<&,H

=ï
L`+
$<&,H

=ï
L
$Ã&,:=0,¢=||
R
y ë=2
si se e i ica la condición:

R

≤
O

|

|
$
H

−
H

+
H

&
(6-24)
Y además la ma iz < ha sido elegida como solución de la Ecuación algeb aica disc e a de Ricca i p esen ada en
(4-57) y ecupe ada aquí po con eniencia:
<
=
Ã
+
/
†
</
−
/
†
<¬
$
¬
†
<¬
+
z
&
e

¬
†
</
(6-25)
En la ecuación (6-24), O ha sido de inido como en (6-17) y las unciones ï
L
$∙& y ï
L`+
$∙& ep esen an el
meno y el mayo au o alo de la ma iz $∙&. Si se e i ican las condiciones (6-24) y (6-25), en onces puede
de ini se un en o no de es abilidad dado po
•

≜

4
∈
ℝ

:
n
4
−
4
@AB
n
≤
M

(6-26)
M

=
H

H

H

H


R
(6-27)
39
Y asegu a se la siguien e condición de es abilidad p ác ica:
lim
¯
→
ò
n
4
¯
−
4
@AB
n
≤
M
∀
4
S
∈

éÆ}
(6-28)
Donde la egión de a acción 
éÆ}
se de ine como la in e sección de la egión e minal 
B
y una cie a unción
—(4):

éÆ}
=

B
∪
ž
4
∈
ℝ

:
—
$
4
&
<
0
Ÿ
(6-29)
Suje o a:
—
$
4
&
=
−
H

n
4
−
4
@AB
n

+
¢

R
(6-30)
La demos ación puede consul a se en el apéndice de [8]. La egión 
éÆ}
es de in e és po que pe mi e expandi
la egión e minal 
B
en an o se man enga la es icción impues a po las ecuaciones (6-28) y (6-29).
En esumen: si el e o de cuan ización es á limi ado po (6-15) y (6-16), si se diseña la ma iz de ponde ación
< de acue do a (6-25) y además se e i ica la condición (6-24), en onces cualquie es ado inicial 4
S
pe enecien e
a la egión de a acción 
éÆ}
(6-29) se á con olado a la egión e minal 
B
(6-17). En 
B
el e o de
cuan ización es á e ec i amen e aco ado y en onces el sis ema se á con olado al en o no de es abilidad p ác ica
•

(6-26), donde pe manece á con inado.
40
41
7 R
ESULTADOS DE
S
IMULACIÓN SOBRE UN
M
OTOR DE
I
NDUCCIÓN
(…) Because o he ime- a ying na u e o he p oblem, i is impossible o
ob ain a con olle by sol ing an in ini e ho izon op imal con ol p oblem. I
is possible, howe e , o de e mine o each 4¯ and each –∈ℕ, he MPC
ac ion ó¾$4¯&. Hence, MPC makes i possible o sol e an o he wise
in ac able p oblem.
J. Rawlings and D. Mayne, Model P edic i e Con ol: Theo y and Design, Capí ulo 2.5.1.2
L es udio eó ico de [8] ha sido p obado con éxi o en dos aplicaciones di e en es: un con e ido Buck
DC-DC que debe alimen a con ensión cons an e una ca ga esis i a y un in e so de dos ni eles que
debe p oduci una seña sinusoidal pa a alimen a una ca ga RL. En ambas se de inie on la egión de
a acción 
éÆ}
, la egión e minal 
B
y la egión de es abilidad p ác ica •

, se diseñó la unción de cos e de
acue do a (6-25) y se con i mó el obje i o de con ina el sis ema a un en o no del alo de e e encia.
La aplicación del MPC con ga an ía de uncionamien o a un mo o de inducción plan ea nue os in e ogan es.
En el p esen e Capí ulo se explican las di icul ades encon adas pa a adap a la solución p opues a en [8] a la
máquina de inducción, se de i a el modelo en espacio de es ados en dicha máquina, se explica el esquema de
con ol p opues o, se p esen an los esul ados ob enidos en simulación y se hace una alo ación de los mismos.
7.1. Con olado del mo o de inducción como LQR
En es a Sección se ecupe a de o ma o denada y comp ehensi a (ya ue adelan ado en la Sección 4.6) el
p oblema de o mula el con olado de la máquina de inducción como un LQR, equisi o necesa io pa a aplica
el MPC con compo amien o es able aco ado (MPC-GP, Model P edic i e Con ol wi h Gua an eed
Pe o mance) como ha sido p opues o en [8]. Con iene eco da aquí que el LQR es á suje o a la condición de
un sis ema lineal e in a ian e con el iempo así como a una unción de cos e cuad á ica. Ma emá icamen e
decimos que un sis ema gene al
4
¯
¸

=
£
$
4
¯
,
~
¯
,
–
&
(7-1)
¨
¯
=
—
$
4
¯
,
–
&
(7-2)
Á
=
Á
$
4
S
,
½
¾
&
Ew=oJÌ
H
$
7
−
1
&
(7-3)
Puede se con olado po un LQR si e i ica:
•cËoHëc:H:
:
£
$
4
¯
,
~
¯
,
–
&
=
/
¯
4
¯
+
¬
¯
~
¯
(7-4)
ŒË:oKoË:oËPcH
:oë
Jco™KÌ
:
/
¯
=
/
,
¬
¯
=
¬
∀
–
(7-5)
E
48
$%ö
á
&'«öÉ
(•)•*•+%É
,%-Éö
,
>B
Tensión del bus de con inua
700
[
Á
]
8
<:
Resis encia in e na del IGBT
10
e

[

]
8
()
Resis encia snubbe del IGBT
10
e
0
[

]
Tabla 7-4: Ca ac e ís icas del in e so de dos ni eles
No odas las combinaciones de in e up o es son posibles. En pa icula , no pueden conec a se al mismo iempo
los dos in e up o es de una misma ama. De hace lo se co oci cui a ía la uen e de ensión. Es a peculia idad
hace que sea posible de ini el es ado de cada ama del in e so con un alo bina io: 1 si se conec a el in e up o
supe io $ê

,ê

,ê
0
&, 0 si se conec a el in e io $ê

,ê

,ê
/
&. De es a o ma, el es ado del in e so queda
ca ac e izado po un ec o de la e na:
(
%C+
=Tê
`
ê
a
ê
b
U∈D≜ET000U,T100U,T010U,T110U,T001U,T101U,T011U,T111UF
El in e so de dos ni eles ecibe ese nomb e po que las ensiones de ase espec o al e minal nega i o de la
uen e de ensión $Á
`¾
,Á
a¾
,Á
b¾
& sólo pueden oma los alo es $Á
G}
,0&. U ilizando los ec o es de es ado D
pueden exp esa se las ensiones de ase como
TÁ
`¾
Á
a¾
Á
b¾
U=Á
G}
Tê
`
ê
a
ê
b
U
Y el aso espacial de ensión puede exp esa se como
x
=
Á
G}
<
$
3
&
(
%C+
=
Á
G}
õ
(7-24)
Donde <$3& es la T ans o mada de Pa k según (2-4) y õ es el ec o de es ado del in e so exp esado en el
plano :; (en el plano 89 si se pa icula iza la T ans o mada de Pa k a la T ans o mada de Cla ke).
x
es el
ec o de en ada en el sis ema en espacio de es ados (7-20) y pa a la T ans o mada de Cla ke de ine el se de
con ol del in e so de dos ni eles como:
x
∈

=
2

Á
G}
D
=

h
00
i
,
h
2
/
3
0
i
,
u
−
1
/
3
√
3
/
3
,
u
1
/
3
√
3
/
3
,
u
−
1
/
3
−
√
3
/
3
,
u
1
/
3
−
√
3
/
3
,
h
−
2
/
3
0
i
,
h
00
i

(7-25)
7.5. Objeciones al compo amien o es able aco ado
En la Sección 7.1 se han explicado los p oblemas de a on a el con ol de la máquina de inducción como un
p olema lineal cuad á ico y se han expues o las a ian es de solución que exis en. En la Sección 7.2 se ha
de i ado el modelo del sis ema en espacio de es ados, desc i o po las ma ices (7-18) y (7-20), y en la Sección
7.3 se han dado alo es conc e os a los pa áme os del mo o cuyo uncionamien o se simula á. Pa a aplica el
MPC con compo amien o es able aco ado p ocede, en siguien e luga , comp oba el cumplimien o de la
inecuación (6-24) que p ueba que la unción de cos e ponde ada po las ma ices $Ã,z,<& es una unción
p ác ica de Lyapuno y el sis ema es po an o con olable a un en o no de es abilidad p ác ica •

.
Como ya se ha expues o, el sis ema es dependien e del iempo y la ma iz /$J& oma alo es di e en es en
unción de los alo es ins an áneos de I
@
$J& (medida eal de la máquina) y I
•
$J& (pa áme o de diseño). Dado
que la ma iz < se elige como solución de la DARE, y que la DARE depende de las ma ices $/$J&,¬,Ã,<&, la

49
unción de cos e es ambién una unción del iempo (y, po an o, así lo es la ga an ía de es abilidad (6-24)).
Sin emba go, alga en p ime a ap oximación conside a el égimen pe manen e de uncionamien o de la
máquina. El égimen pe manen e lo de inen la elocidad de uncionamien o I
@
$J&=I
¾
y la elocidad de
sinc onismo I
•
$J&, que depende del alo de la ca ga. Se han ealizado simulaciones de elocidad con olada
median e un algo i mo MPDTC (explicado en de alle en la Sección siguien e) y se ha llegado al alo de la
elocidad de sinc onismo en égimen pe manen e I
•
$J&≈2[∗42GH:/E. Pa a es os alo es es an las
ma ices à y z como pa áme os ajus ables: en unción de como se sin onicen, la ma iz < oma á di e en es
alo es y pod á comp oba se la condición de es abilidad (6-24). Sean las ma ices $Ã,z& gené icas:
Ã=‰;

0 0 0
0 ;

0 0
0 0 ;

0
0 0 0 ;

Šz=hG 0
0 Gi
En [8] se p opone de ini à como la ma iz iden idad (i.e. Ã=Œ
+
) y u iliza G como pa áme o ajus able. No
obs an e, se ha comp obado que la condición (6-24) no se e i ica pa a ningún alo de G≥0. Como ejemplo
se p esen a el caso G=0.25:
Ã=‰1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1Šz=h0.25 0
0 0.25i
<=‰14.63 0 6.24 −0.97
0 14.63 0.976.24
6.24 0.97 82.39 0
−0.976.24 0 82.39Š
ï
L
$<&=14.05 ï
L`+
$<&=82.98ï
L
$Ã&=1
Se ecupe a aquí po con eniencia la inecuación de es abilidad:

R

O

≤
1
|

|
$
H

−
H

+
H

&
=
P
(7-26)
Donde los alo es H

co esponden a los au o alo es de la línea supe io . Los é minos 
R
y O

son siemp e
posi i os. Además, || ambién lo es po que se ha exigido que las ma ices à y z sean semide inidas posi i as.
No obs an e, el signo del miemb o de echo de la inecuación (aquí denominado po la le a P) sí puede se
nega i o en unción de los alo es H

,H

y H

. Po inspección se comp ueba ácilmen e que si P<0, en onces
la inecuación nunca se cumpli á, po que el miemb o de la izquie da es siemp e posi i o con independencia de
los alo es 
R
y O

, los cuales dependen del se nominal de con ol de inido po ~‚
L`+
. Dicho de o o modo:
P<0 es condición su icien e pa a que no se e i ique la inecuación de es abilidad, aun p e iamen e a la
de inición del se de con ol nominal.
En el caso conc e o a iba expues o se comp ueba
=h0.270
0 0.27i||=0.2679
Y inalmen e se ope a pa a e i ica que no se cumple la condición de es abilidad:
P=−253.53<0
50
En [8] se p opone que se cambie el alo de G si no se cumple la condición de es abilidad. No obs an e, se ha
p obado es e mé odo median e un algo i mo de ue za b u a (i.e. ensayando alo es de G desde 0.0001 has a 5)
y en ningún caso se cumple la condición (7-23). Más aún: en is a de que los alo es ;

y ;

ponde an
magni udes di e en es del ec o de es ado del sis ema, se ha op ado po p oba ambién di e en es alo es de la
ma iz Ã. En es e caso se ha op ado po man ene ;

=1 y p oba di e en es alo es pa a G y ;

(nue amen e
median e un algo i mo de ue za b u a).
Pa a G se han ensayado alo es en el in e alo $0.0001,5&. Pa a ;

se ha hecho lo p opio en el in e alo
$1,2500&. Los esul ados se mues an en la Fig. 7-2.
Puede comp oba se que P=
•I
JKL
$Æ&eI
JM
$Æ&¸I
JKL
$Ç&‘
|N|
<0 pa a odos los alo es ensayados. Obse ando la
endencia con G,;

c ecien es, puede conclui se azonablemen e que no se encon a án alo es de sin onía con
los que pueda e i ica se e en ualmen e la condición de es abilidad, aun a expensas de de ini el se nominal de
con ol y comp oba si los alo es absolu os cumplen la inecuación.
En conclusión: pa a la máquina ensayada, en el égimen pe manen e expues o más a iba, no exis e unción de
cos e calculada según [8] que e i ique la condición de es abilidad, luego ampoco puede asegu a se el
compo amien o es able aco ado según la eo ía de es abildiad de Lyapuno .
Es o no quie e deci que no exis a una unción de cos e que sea unción p ác ica de Lyapuno , ni mucho menos
que no exis a dicha unción pa a ningún o o mo o de inducción. No obs an e, po el alcance de la p esen e
monog a ía el es udio se limi a á a es e caso conc e o. En lo sucesi o se demos a á que si bien la eo ía de [8]
no es su icien e pa a ga an iza el compo amien o es able aco ado, su p opues a pa a diseña la unción de cos e
p oduce no ables mejo as en e a las ó mulas de sin onía pu amen e heu ísi cas que suelen emplea se (e.g.
[12]).
Figu a 7-2: Valo de P pa a di e en es alo es de G y ;

51
7.6. Simulación: MPDTC
Es a simulación eplica los esul ados ob enidos en [12]. El diag ama de bloques del con olado se ep esen a
en la Fig. 7-3 y cons a de un lazo ex e no de con ol de elocidad y de la e apa de con ol p edic i o. Todos los
aso es espaciales es án exp esados en el ma co de e e encia 89 solida io con el es a o . La unción de cos e de
es e con olado con empla un ho izon e de p edicción uni a io y penaliza el e o en el pa elec omagné ico y
en el enlace de lujo del es a o :
Á
•
4
,
~
p
‘
=
n
J
A
,
p
−
J
A
,
@AB
n

+
ï
n
¡
x
,
p
−
¡
x
,
@AB
n

(7-27)
Donde ï es un ac o de peso. La ecuación (7-20) es á suje a a
4
p
[
–
+
1
]
=
/
$
I
L
&
4
[
–
]
+
¬
~
p
[
–
]
( 7-28
J
A
,
p
=
32
K
•
L
•
L

−
•
@
•
x
•
€
õ
,
O
×
€
ö
,
O
‘
( 7-29
¡
x
,
p
=
P
€
õ
,
O
P
=
Q
{
xj
,
p

+
{
xk
,
p

( 7-30
En [12] se aconseja sin oniza la unción de cos e no malizando ambos é minos; es o es, e i iéndolos a su alo
nominal. Siendo es os alo es •
¾
y ¡
x¾
los de inidos en la Tabla y eniendo en cuen a que los é minos son
cuad á icos, el ac o de peso que da igual alo a ambos obje i os de con ol es
ï
¾
=
•
¾

¡
x¾

=
581
.
5036
( 7-31
Adicionalmen e se p esen an simulaciones con es alo es di e en es de ï pa a comen a la in luencia del ac o
de peso en el uncionamien o del con olado .
Figu a 7-3: Model P edic i e Di ec To que Con ol
Las Fig. 7-4 a 7-7 p esen an los esul ados de la simulación con ï=ï
¾
. En la Fig. 7-4 se ecoge el
compo amien o mecánico el mo o : elocidad angula y pa . El mo o se a anca en acío $•
Ø`Q
=0& y la
elocidad e oluciona de o ma ap oximadamen e lineal (pa ap oximadamen e cons an e, limi ado po la
sa u ación del con ol de elocidad) has a que se es abiliza en el pun o de uncionamien o. Cuando se conec a la
ca ga en el iempo J=•
ÙØ@R»A
iene luga un b e e ansi o io: la elocidad se educe, pe o el lazo de con ol
DC/
AC
M
3/2
PI
I
@
∗
•
A
∗
I
@
c
xjk
+
−
¡
@
∗
Obse ado
P edicción de
ayec o ias
Minimización de la
unción de cos e
€
x
52
de elocidad aumen a la e e encia del pa elec omagné ico y el con olado MPC uel e a lle a el mo o a su
pun o de uncionamien o.
En la Fig. 7-5 se mues a el p oblema de seguimien o del enlace de lujo es a ó ico y un de alle de las co ien es
del es a o en égimen pe manen e. El lujo iene una dinámica muy ápida y se man iene en una banda
ela i amen e es echa en el en o no de su alo de e e encia. Las co ien es, po su pa e, mues an una o ma
cla amen e sinusoidal aunque no se ha con olado en ningún momen o su alo y su ecuencia. Es as co ien es
se han es udiado median e el análisis de Fou ie de la co ien e de la ase a del es a o , cuyo espec o se ecoge
en la Fig. 7-6 an o en escala lineal como loga í mica. Pueden obse a se los a mónicos 5º, 7º, 11º y 13º
cla amen e de inidos. Además no hay a mónicos po encima de la mi ad de la ecuencia de mues eo, que es la
ecuencia de conmu ación máxima pa a es a clase de con olado . En es e caso £
x
1/•
x
=200007Ð. El
a mónico undamen al es á en los 427Ð (la ecuencia de gi o del ángulo eléc ico es 39.847Ð) y la Dis o sión
A mónica To al oma un alo •7•$%&
"`
=37.91.
Seguidamen e se ha es udiado el izado del pa elec omagné ico, cuyo espec o apa ece en la Fig. 7-7. El
a mónico undamen al es e iden emen e la componen e de con inua y la dis o sión es •7•$%&
†A
=7.22. Los
a mónicos se concen an, como cab ía espe a , en o no a los 10007Ð, que es la ecuencia de mues eo del lazo
de con ol de elocidad.
Po úl imo, en la Fig. 7-8 se ep esen a la ayec o ia del ec o de es ados ( lujo del es a o y lujo del o o ).
Dicha ayec o ia es una ci cun e encia cen ada en el o igen, como cab ía espe a pa a un aso o a o io.
Figu a 7-4: Velocidad y pa del mo o con olado en MPDTC con ï=ï
¾
53
Figu a 7-5: Enlace de lujo del es a o y de alle de co ien es en égimen pe manen e en MPDTC con ïï
¾
Figu a 7-6: Esp ec o a mónico de la co ien e de la ase a del es a o en MPDTC con ïï
¾

54
Figu a 7-7: Espec o a mónico del izado del pa elec omagné ico en MPDTC con ïï
¾
Figu a 7-8: Flujo es a ó ico y o ó ico en el plano 89 en égimen pe manen e pa a MPDTC con ï=ï
¾
55
Pa a comple a el es udio del MPDTC se incluyen a con inuación simulaciones que mues an el e ec o de a ia
el ac o de peso ï sob e el uncionamien o del mo o . Las igu as 7-9 y 7-10 co esponden a un alo ï


ï
¾
/10; es o es, un o den de magni ud meno . Con es a sin onización se le da 10 eces menos impo ancia al
seguimien o del lujo o, al e na i amen e, 10 eces más impo ancia al seguimien o del pa . En la Fig. 7-9 se
obse a que el compo amien o mecánico del mo o es muy simila al ep esen ado en la Fig. 7-4; no obs an e,
el compo amien o de las magni udes eléc icas empeo a conside ablemen e. En la Fig. 7-10 se obse a que el
seguimien o de la e e encia de lujo es peo y que el ca ác e sinusoidal de las co ien es de ase esul a
se e amen e pe judicado. La dis o sión de la co ien e y del pa elec omagné ico ienen los alo es
•7•$%&
"`
=50.72 y •7•$%&
†A
=7.27. Po úl imo, la ep esen ación de los aso es espaciales del lujo del
es a o y del o o en la Fig. 7-13 e ue za las conclusiones an e io es, pues la ípica ayec o ia en cincun e encia
se e cla amen e de o mada.
Po úl imo se incluyen simulaciones con un ac o de peso 10 eces mayo al nominal; i.e. ï

=10ï
¾
. La Fig.
7-14 mues a que la e olución de la elocidad del mo o no cambia de o ma ap eciable. Sin emba go, en la Fig.
7-15 se obse a que el seguimien o de la e e encia de lujo ha mejo ado y unido a ello se ha educido la
dis o sión de las co ien es.
Figu a 7-9: Velocidad y pa del mo o con olado en MPDTC con ï=ï
¾
/10
56
Figu a 7-10: Enlace de lujo del es a o y de alle de co ien es en égimen pe manen e en MPDTC con ïï
¾
/10
Figu a 7-11: Esp ec o a mónico de la co ien e de la ase a del es a o en MPDTC con ï=ï
¾
/10
57
Figu a 7-12: Espec o a mónico del izado del pa elec omagné ico en MPDTC con ïï
¾
/10
Figu a 7-13: Flujo es a ó ico y o ó ico en el plano 89 en égimen pe manen e pa a MPDTC con ï=ï
¾
/10
64
pa a p oduci los alo es ex emos del pa supe an ampliamen e el lími e de ampe aje del mo o , pe o es o es
p oblema de la sin onía de la unción de cos e. Lo que sí se comp ueba es que el pa medio es ap oximadamen e
el pa de e e encia (i.e. el pa de ca ga) y y la elocidad de la máquina se man iene cons an e.
Figu a 7-22: P oblema de seguimien o pa a £
•
397Ð
En la Fig. 7-22 se ap ecia el cambio de esquema de con ol. El pun o ma cado como ‘O igen de la ayec o ia’
co esponde al ins an e J
S
: ahí se p oduce el cambio de coo denadas al plano :; y el ec o de es ado se man iene
en el en o no de la e e encia aunque con un isible e o de o se .
En las Fig. 7-23 y 7-24 se p esen an esul ados homólogos pa a una elocidad de sinc onismo supe io I
•
=
2[∙457Ð. La elocidad del mo o queda po encima de la elocidad de e e encia y el p oblema de seguimien o
mues a una ca ac e ís ica di e en e.
Es os esul ados mo i an la in oducción de un con olado lineal PI pa a ajus a la elocidad I
•
$J& del sis ema.
Se hace en un lazo de con ol de elocidad, donde la salida del PI es p opo cional al e o de seguimien o de la
elocidad y a la in eg al del mismo. Los esul ados se mues an en la Fig. 7-21, donde el PI se ha sin onizado de
o ma heu ís ica llegando a los alo es <
Æ
=0.5 y 1/•

=20. Aunque se consigue con ina la elocidad del
mo o a una es echa banda al ededo del alo de e e encia, la e icacia del PI se cons a a especialmen e cuando
se hace una buena elección de los ac o es de peso de la unción de cos e (como se explica á en el epíg a e
siguien e). La simulación de la Fig. 7-23 co esponde a los siguien es pa áme os de la unción de cos e y del PI:
;

=ï
¾
;

=1 G=0.25 <
Æ"
=1 1/•

=10

65
Figu a 7-23: Velocidad y pa mo o pa a £
•
457Ð
Figu a 7-24: P oblema de seguimien o pa a £
•
=397Ð
66
Figu a 7-25: Velocidad y pa del mo o con I
•
egulado median e PI
Figu a 7-26: Velocidad y pa del mo o con I
•
egulado po PI y unción de cos e mejo ada
67
7.7.2. Ajus e de la unción de cos e como solución de la DARE
Un concep o undamen al del MPC con compo amien o es able aco ado es la elección de la ma iz de
ponde ación < como solución de la Ecuación algeb aica disc e a de Ricca i, lo que es equi alen e a u iliza un
LQR con ho izon e de p edicción in ini o. Como se ha explicado en la Sección 7.3, es o no es su icien e pa a
ga an iza el compo amien o es able aco ado del mo o de inducción conc e o con el que se ha abajado en es a
monog a ía. Sin emba go, esul a una es a egia de sin onía de la unción de cos e muy adecuada: cons i uye una
mejo a cla a sob e la sin onía pu amen e heu ís ica, especialmen e cuando se desconoce po comple o un pun o
de pa ida pa a los ac o es de peso.
Las siguien es simulaciones p e enden ilus a es a idea. En odas ellas se emplea un lazo de con ol de la
elocidad de sinc onismo I
•
con los mismos pa áme os del con olado PI y pa a z se de ine un alo
cons an e.
Po o a pa e, se hace la ap oximación de que I
L
y I
•
no se des ían excesi amen e de sus alo es de e e encia
y po an o se oma la ma iz / como in a ian e en el iempo. Es o implica que las ma ices á y  (i.e. la ley de
con ol) sólo dependen de la ma iz à y de la ma iz, si se elige la ma iz < como solución de la DARE, o
di ec amen e de la ma iz < si és a se elige de o ma heu ís ica. Po mayo cla idad, se ecupe an aquí las
ecuaciones del Capí ulo 4 que explican cómo se ob iene la ley de con ol del LQR. Pa a un ho izon e de con ol
uni a io:
Á
$
4
S
,
~
&
=
n
4
S
−
4
@AB
n
Ç

+
n
~
¯
−
~
@AB
n
È

+
n
4

−
4
@AB
n
Æ

(7-35)
á
=
−
$
¬
†
<¬
+
z
&
e

¬
†
</
(7-36)

=
¬
†
<¬
+
z
(7-37)
•/z›
:
<
=
Ã
+
/
†
</
−
/
†
<¬
$
¬
†
<¬
+
z
&
e

¬
†
</
(7-38)
~
»b
تÙ
=
á
•
4
S
−
4
@AB
‘
+
~
@AB
(7-39)
~
تÙ
=

e

/

;

•


/

~
»b
تÙ
‘
(7-40)

=


/


(7-41)
Donde  es el se de con ol. Como ya ha sido explicado, la solución al p oblema de minimización de la unción
de cos e (7-35) es idén ica bien se encuen e explíci amen e la ley de con ol ~
تÙ
=ó$4& (explici MPC), bien
se encuen e la en ada de con ol óp ima po enume ación comp ehensi a de odos los elemen os del se de
con ol (implici MPC). Así pues, la ley de con ol (sea explíci a o implíci a) sólo depende del es ado de
e e encia $4
∗
,~
∗
& y de las ma ices de ponde ación $Ã,z,<&.
En p incipio puede pa ece que la ley de con ol no depende de la ma iz Ã, ya que el p ime é mino de la
unción de cos e (7-35) es una cons an e al a a se 4
S
de un pa áme o. Es ic amen e es cie o; no obs an e, si
se desea elegi la ma iz < como solución de la DARE, es p eciso ene en cuen a la de inición de la ma iz Ã
(que no es sino el peso ela i o que se le da a cada uno de los elemen os del ec o de es ados). A modo de
esumen se expone a con inuación la dependencia uncional de la ley de con ol con los pa áme os de diseño
pa a el caso en el que la ma iz < se elige de o ma heu ís ica $<
V
& y pa a el caso donde se oma como solución
de la Ecuación algeb aica disc e a de Ricca i $<
GyȺ
,Ã
V
&:
68
B%õÉ A:<=<
V
á=£$/,¬,z,<
V
&
/=PJo
¬=PJo
z=PJo Wá=£$<
V
&
B%õÉ :Ú<=<
GyȺ
Ã=Ã
V
Ûá=£$/,¬,z,<
GyȺ
&
<
GyȺ
=—$/,¬,Ã
V
,<&
/=PJo
¬=PJo
z=PJo
X
Y
Z
Y
[
á=£$Ã
V
&
Donde el supe índice ℎ quie e deci que la ma iz se ha elegido de o ma heu ís ica. En ealidad, el Caso 1
equi ale a ob ene la ley de con ol del LQR con ho izon e de p edicción uni a io, mien as que el Caso 2
p opo ciona la ley de con ol del LQR son ho izon e in ini o. A con inuación se p esen an es ejemplos donde
se compa an las dos a ian es: en p ime luga se elige la ma iz < de o ma heu ís ica; en segundo luga , se
elige como ma iz à la ma iz < an e io y la nue a ma iz < se ob iene como solución de la DARE. En odos
los casos se u iliza á una ma iz z dada po :
z
=
h
0
.
2
0
0
0
.
2
i
(7-42)
7.7.2.1. Ejemplo 1
Pa a el p ime ejemplo se p opone u iliza una ma iz de ponde ación de es ado de la o ma:
<
V
=
‰
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
Š
(7-43)
Se p esen a aho a la ma iz á co espondien e a los casos 1 y 2; es o es, la ley de con ol co espondien e al LQR
de ho izon e de p edicción uni a io e in ini o, espec i amen e:
á

=
h
−
173
−
2
.
30
−
0
.
456
0
2
.
30
−
173
0
−
0
.
456
i
∙
10
e

(7-44)
á

=
h
−
2
.
13
−
0
.
0
27
−
0
.
912
0
.
126
0
.
027
−
2
.
13
−
0
.
126
−
0
.
912
i
(7-45)
En lo que sigue se p esen an las g á icas co espondien es al Caso 1 y al Caso 2. Pa a acili a la compa ación,
se ha p e e ido mos a cada pa eja de g á icas homónimas (e.g. las g á icas co espondien es a la elocidad y
el pa elec omagné ico de los dos casos) en una sola página.
La di e encia en e los dos casos esul a muy e iden e. En las Fig. 7-27 y 7-28 se comp ueba inmedia amen e
que la ley de con ol pa a el LQR de ho izon e de p edicción in ini o (imagen in e io ) p oduce un mucho mejo
seguimien o de la elocidad de e e encia y un pa elec omagné ico mucho más es able, además de es ingido
a una banda más es echa. En las Fig. 7-29 y 7-30 se obse a que el seguimien o del lujo es mucho mejo en el
Caso 2. Asimismo, mien as que las co ien es del Caso 1 apa ecen absolu amen e dis o sionadas, mues an una
o ma más ce cana a la senoide en el caso con a io.
Una cuan i icación de lo an e io se mues a en las Fig. 7-31 y 7-32: compa ando el espec o a mónico de las
co ien es es a ó icas no cabe duda de que la ley de con ol del Caso 2 p oduce mucha meno dis o sión. Po
úl imo, como cons a ación de odo lo anunciado, se comp ueba e ec i amen e que el seguimien o de la e e encia
es mucho peo cuando se u iliza la ley de con ol del LQR con ho izon e de p edicción uni a io (Fig. 7-33 y 7-
34).
69
Figu a 7-27: Velocidad y pa mo o del Ejemplo 1, Caso 1
Figu a 7-28: Velocidad y pa mo o del Ejemplo 1, Caso 2

70
Figu a 7-29: Flujo del es a o y de alle de co ien es en égimen pe manen e del Ejemplo 1, Caso 1
Figu a 7-30: Flujo del es a o y de alle de co ien es en égimen pe manen e del Ejemplo 1, Caso 2
71
Figu a 7-31: Espec o de la co ien e de la ase ‘a’ del es a o en el Ejemplo 1, Caso 1
Figu a 7-32: Espec o de la co ien e de la ase ‘a’ del es a o en el Ejemplo 1, Caso 2
72
Figu a 7-33: P oblema de seguimien o en el Ejemplo 1, Caso 1
Figu a 7-34: P oblema de seguimien o en el Ejemplo 1, Caso 2
73
7.7.2.2. Ejemplo 2
En el segundo ejemplo se elige una ma iz de ponde ación que p ima el seguimien o del lujo del es a o . Se
conside a que el seguimien o de la e e encia ¡
x¾
es necesa io an o pa a man ene el lujo de la máquina como
pa a p oduci el pa , mien as que el seguimien o de la e e encia del lujo del o o sólo con ibuye a lo segundo.
Es a línea de pensamien o conduce a de ini una ma iz de cos e de la o ma:
<
V
=
‰
ï
¾
0
0
0
0
ï
¾
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
Š
(7-46)
Donde ï
¾
=581.5036 ha sido de inido en la ecuación (7-31). Nue amen e se de ine la ley de con ol pa a los
Casos 1 y 2 (ho izon e de p edicción uni a io en e a ho izon e de p edicción in ini o):
á

=
h
−
23
.
18
−
0
.
31
−
0
.
10
0
.
0002
0
.
31
−
23
.
18
−
0
.
0002
−
0
.
10
i
(7-47)
á

=
h
−
22
.
24
−
0
.
29
−
0
.
06
0
0
.
29
−
22
.
24
0
−
0
.
06
i
(7-48)
En es a ocasión sal a a la is a que las ma ices son mucho más simila es que en el Ejemplo 1. Como cab ía
espe a , los esul ados de la simulación pa a los dos Casos son muy pa ecidos.
En las Fig. 7-35 a 7-38 se mues an las g á icas co espondien es a la elocidad del mo o , el pa
elec omagné ico, el lujo del es a o y las co ien es en égimen pe manen e. La p ime a obse ación es que el
compo amien o es p ác icamen e indis inguible pa a los Casos 1 y 2. La segunda obse ación es que con la
alo ación del ec o de es ados (7-46) se ob ienen esul ados mucho mejo es que en el Ejemplo 1.
80

81
8. C
ONCLUSIONES
Lo la go de la monog a ía se ha p esen ado el modelo elec omecánico del mo o de inducción y se ha
hecho una exposición de los p incipales esquemas de con ol pa a es e ipo de máquina. Se ha
p o undizado en el ondo eó ico del Con ol P edic i o Basado en Modelos (MPC) y se han comen ado
las aplicaciones que ha enido en la li e a u a como con olado de la máquina asínc ona. Po úl imo, se ha
abo dado el p oblema muy escasamen e a ado en la li e a u a de la es abilidad del MPC y se ha pa icula izado
ese es udio al con ol del mo o de inducción.
En el Capí ulo 7 se ha p opues o una aplicación del MPC con compo amien o es able aco ado pa a dicho mo o .
Como se ha explicado en el luga ap opiado, los esul ados han sido desiguales, pues po una pa e se ha
conseguido una mejo a en el diseño de la unción de cos e, mien as que po o a pa e no se ha conseguido
asegu a la es abilidad del sis ema. En el p esen e Capí ulo se exponen suma iamen e las conclusiones que se
desp enden del p esen e es udio:
1. Se ha analizado la di icul ad de exp esa el con ol del mo o de inducción como un p oblema de con ol
lineal cuad á ico, como p ime paso pa a implemen a un MPC con compo amien o es able aco ado. Se
han des acado los obs áculos que plan ea al o mulación y se ha p opues o una solución en o ma de con ol
del lujo es a ó ico y el lujo o ó ico en el plano :;.
2. Se ha de i ado el modelo disc e o en espacio de es ados de la máquina empleando los aso es espaciales
de los lujos del o o y el es a o como a iables de es ado (i.e. como espacio de es ados).
3. Se ha es udiado la posibilidad de ga an iza el compo amien o es able aco ado de un mo o de inducción
conc e o con pa áme os eales, con esul ado nega i o. Dicho es udio ha p e endido se lo más
comp ehensi o posible, incluyendo un algo i mo de ue za b u a que ago ó odas las posibilidades den o
de la ap oximación p opues a en [8]. Que no se haya encon ado una ga an ía de es abilidad en es e sen ido
no signi ica, ni mucho menos, que la es abilidad no pueda asegu a se de alguna o a o ma.
4. Se ha simulado con éxi o el con olado MPDTC p opues o en [12], que pos e io men e se ha u ilizado pa a
lle a la máquina al égimen pe manen e y ensaya así los nue os esquemas de con ol p opues os.
5. Pese a las limi aciones encon adas y la imposibilidad de ga an iza el compo amien o es able aco ado, se
ha p opues o un nue o esquema de con ol pa a el mo o de inducción. Es e esquema es á limi ado al
égimen pe manen e, no iene en cuen a el cos e compu acional del algo i mo y ob ia el p oblema de la
obus ez en e a imp ecisiones del modelo, en e o as condiciones de alidez.
6. Se ha es udiado la impo ancia del pa áme o I
•
en el nue o esquema de con ol p opues o. Se ha de ec ado
su in luencia di ec a sob e la elocidad inal del mo o y se ha p opues o un lazo de con ol PI que pe mi e
ajus a dicha elocidad. Los esul ados se han con i mado en simulación con éxi o no able.
7.
Se han e aluado las en ajas de elegi la ma iz de cos e < como solución de la Ecuación algeb aica disc e a
de Ricca i. Se ha co obo ado que en oda ci cuns ancia es e c i e io de diseño supone una mejo a sob e la
elección pu amen e heu ís ica de los ac o es de peso (Ejemplo 1, Sección 7.1.2.1) o la que sigue un
azonamien o e óneo (Ejemplo 3, Sección 7.1.2.3). Se comp ueba que es a ap oximación eó ica supone
una al e na i a eal pa a la elección de las ma ices de peso en algo i mos MPC.
A
82
83
R
EFERENCIAS
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