P oyec o Fin de Ca e a
Ingenie ía de Telecomunicación
Fo ma o de Publicación de la Escuela Técnica
Supe io de Ingenie ía
Au o : F. Ja ie Payán Some
Tu o : Juan José Mu illo Fuen es
Dep. Teo ía de la Señal y Comunicaciones
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2013
Tesis Doc o al
Ingenie ía de Caminos, Canales y Pue os
Pa ame e es ima ion o dynamic
sys ems: applica ion o ci il
enginee ing s uc u es
Au o : Ja ie Na anjo Pé ez
Di ec o es: Ja ie Fe nando Jiménez Alonsoy
And és Sáez Pé ez
Depa amen o de Mecánica de Medios
Con inuos y Teo ía de Es uc u as
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2020
Tesis Doc o al
P og ama de Doc o ado en Ingenie ía Mecánica y de O ganización
Indus ial
Pa ame e es ima ion o dynamic sys ems: applica ion o
ci il enginee ing s uc u es
Es imación de pa áme os de sis emas dinámicos: aplicación a es uc u as
de ingenie ía ci il
Au o :
Ja ie Na anjo Pé ez
Tesis pa a la ob ención del g ado de Doc o po la
Uni e sidad de Se illa
Di ec o :
Ja ie Fe nando Jiménez Alonso
P o eso Ayudan e Doc o de la Uni e sidad Poli écnica de Mad id
Codi ec o :
And és Sáez Pé ez
Ca ed á ico de Uni e sidad de la Uni e sidad de Se illa
Depa amen o de Mecánica de Medios Con inuos y Teo ía de Es uc u as
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
2020
Tesis Doc o al: Pa ame e es ima ion o dynamic sys ems: applica ion o ci il enginee ing
s uc u es
Au o : Ja ie Na anjo Pé ez
Di ec o : Ja ie Fe nando Jiménez Alonso
Codi ec o : And és Sáez Pé ez
El ibunal nomb ado pa a juzga la Tesis a iba indicada, compues o po los siguien es
doc o es:
P esiden e:
Vocales:
Sec e a io:
acue dan o o ga le la cali icación de:
El Sec e a io del T ibunal
Fecha:

P e acio
Es a Tesis Doc o al se ha ealizado en el Depa amen o de Mecánica de Medios Con inuos
y Análisis Es uc u al de la Uni e sidad de Se illa. Es e abajo ha sido supe isado po los
p o eso es Ja ie Fe nando Jiménez Alonso y And és Sáez Pé ez. La esis se basa en los
seis a ículos cien í icos indicados a con inuación. Pa es de los a ículos se emplean en el
esumen ampliado de la esis. Los a ículos incluidos como apéndices han sido p epa ados
en colabo ación con los au o es.
La lis a de los seis a ículos cien í icos es la siguien es:
A: Jiménez-Alonso, J. F., Na anjo-Pé ez, J., Pa ic, A., Sáez, A. Maximum likelihood
ini e-elemen model upda ing o ci il enginee ing s uc u es using na u e-inspi ed compu-
a ional algo i hms. S uc u al Enginee ing In e na ional. 2020. (Accep ed).
B: Na anjo-Pé ez, J., Sáez, A., Jiménez-Alonso, J.F., Pachón, P., Compán, V. (2019). A
hyb id UKF-MGA algo i hm o ini e elemen model upda ing o his o ical cons uc ions.
IABSE Symposium, Guima aes 2019: Towa ds a Resilien Buil En i onmen Risk and
Asse Managemen – Repo pp. 29-36.
C: Na anjo-Pé ez, J., Jiménez-Alonso, J. F., Pa ic, A., Sáez, A. Fini e-elemen model
upda ing o ci il enginee ing s uc u es using a hyb id UKF-HS algo i hm. S uc u e and
In aes uc u e Enginee ing. 2020.
D: Na anjo-Pé ez, J., Jiménez-Alonso, J. F., Sáez, A. Pa ame e iden i ica ion o he
dynamic Winkle soil-s uc u e in e ac ion model using a hyb id UKF-MHS algo i hm.
Ad ances in S uc u al Enginee ing. 2020.
E: In an es M, Na anjo-Pé ez J, Jiménez-Alonso JF, Sáez A (2019). De e mining he Bes
Pa e o-solu ion in a Mul i-Objec i e App oach o Model Upda ing. IABSE Symposium,
Guima aes 2019: Towa ds a Resilien Buil En i onmen Risk and Asse Managemen –
Repo pp. 523-530.
F: Na anjo-Pé ez, J., In an es, M., Jiménez-Alonso, J.F., A. Sáez. A collabo a i e
machine lea ning-op imiza ion algo i hm o imp o e he ini e elemen model upda ing o
ci il enginee ing s uc u es. Submi ed o publica ion.
I
A mi amilia

Índice
Resumen VII
Abs ac IX
Índice de Figu as XV
Índice de Tablas XVII
1 In oducción 1
1.1 An eceden es 1
1.2 Es ado del a e 2
1.3 Mo i ación 5
1.4 Obje i os de la esis 6
1.5 Publicaciones elacionadas con la esis 6
1.5.1 A ículos en e is as in e nacionales 6
1.5.2 A ículos en cong esos 7
1.6 O ganización del ex o 7
2 Es imación de pa áme os a a és de p oblema in e so 9
2.1 En oques del p oblema in e so 9
2.2 Fil o de Kalman 13
2.3 Es imado de máxima e osimili ud 14
2.4 Algo i mos de op imización 15
2.4.1 Algo i mos gené icos 18
2.4.2 Algo i mo Ha mony Sea ch 20
2.4.3 Algo i mo de enjamb e de pa ículas 20
2.5 Compa ación de algo i mos me aheu ís icos pa a es imación
de pa áme os 23
2.5.1 Ac ualización de modelos de EF 23
2.5.2 Ejemplo de aplicación 24
2.5.3 Compa ación de los es algo i mos con un único obje i o 26
XI
XII Índice
2.5.4 Compa ación de los es algo i mos mul iobje i o 27
2.5.5 Compa ación de los plan eamien os de único obje i o y
mul iobje i o 29
2.6 Conclusiones 29
3 Algo i mo híb ido UKF-HS pa a es imación de pa áme os 31
3.1 Fuen es de e o 31
3.2 Unscen ed Kalman Fil e 32
3.2.1 Ac ualización del modelo de EF de una cúpula de áb ica 34
3.3 Implemen ación del algo i mo híb ido UKF-MHS 37
3.3.1 Validación del algo i mo p opues o 38
Ac ualización u ilizando el algo i mo UKF-HS 38
Ac ualización u ilizando el algo i mo UKF-MHS 40
3.4 Aplicación pa a es ima los pa áme os del modelo dinámico
de Winkle 41
3.5 Conclusiones 45
4 Algo i mo colabo a i o de in eligencia a i icial pa a es imación de pa-
áme os 47
4.1 El p oblema de la oma de decisiones en op imización mul iobje i o 47
4.2 Desc ipción del algo i mo colabo a i o 50
4.2.1 Análisis de componen es p incipales 51
4.2.2 Redes neu onales a i iciales 51
4.2.3 Algo i mo colabo a i o pa a es imación de pa áme os
y oma de decisiones 53
4.3 Ejemplo de aplicación 54
4.3.1 Ac ualización del modelo de EF aplicando el algo i mo
colabo a i o 56
4.3.2 Compa ación de esul ados y iempos de ejecución con
un algo i mo con encional 59
4.4 Conclusiones 60
5 Conclusiones y abajos u u os 63
5.1 Conclusiones 63
5.2 Líneas de in es igación u u as 65
Bibliog a ía 67
Apéndice A A ículo A 77
Apéndice B A iculo B 105
Apéndice C A iculo C 115
Apéndice D A iculo D 151
Índice XIII
Apéndice E A iculo E 179
Apéndice F A iculo F 189
Apéndice G A iculo G 191
Índice de Figu as
1.1 Diag ama gene al del p oceso de es imación de pa áme os 2
2.1 Compa ación de en oques: a) un único obje i o y b) mul iobje i o 16
2.2 Diag ama de lujo del algo i mo GA 19
2.3 Diag ama de lujo del algo i mo HS 21
2.4 Diag ama de lujo del algo i mo PS 22
2.5 Pasa ela de labo a o io de la Uni e sidad de Exe e y con igu a-
ción del ensayo de ib ación o zada. [Tomada del A ículo del
Apéndice A] 25
2.6 Modelo de EF de la pasa ela de labo a o io de la Uni e sidad de
Exe e , con igu ación del ensayo de ib ación o zada y pa áme-
os de ac ualización. [Tomada del A ículo del Apéndice C] 26
2.7 Análisis de sensibilidad de los pa áme os del modelo de EF:
ma iz de sensibilidad ep esen ada en un diag ama de ba as 27
2.8 Compa ación de los alo es esiduales en el espacio uncional
mul iobje i o, siendo 1la componen e de la unción mul iobje i-
o asociada a los esiduos de las ecuencias na u ales y 2la
componen e asociada a los esiduos de los modos de ib ación,
pa a los es algo i mos compa ados, a) en oque de un único ob-
je i o y b) en oque mul iobje i o 28
2.9 Compa ación de los alo es esiduales en el espacio uncional
mul iobje i o, siendo 1la componen e de la unción mul iobje i-
o asociada a los esiduos de las ecuencias na u ales y 2la
componen e asociada a los esiduos de los modos de ib ación,
pa a los es algo i mos compa ados siguiendo ambos en oques 30
3.1 a) Vis a in e io de la capilla de la Residencia Wü zbu g, b) es-
uc u a de la cúpula y c) modelo de EF de la es uc u a. [Tomada
del A ículo del Apéndice B] 35
XV

XVI Índice de Figu as
3.2 Ilus ación de los es modos de ib ación de la cúpula 36
3.3 Diag ama de lujo del algo i mo híb ido UKF-MHS p opues o en
es e capí ulo pa a esol e p oblemas de es imación de pa áme os 39
3.4 Pasa ela pa a la es imación de los pa áme os del modelo diná-
mico de Winkle : a) is a on al, b) plano de la sección y c) plano
de alzado 43
3.5 Modelo de in e acción suelo-es uc u a de cimen aciones supe -
iciales y p o undas y modelo de EF de la pasa ela. [Tomada del
A ículo del Apéndice D] 44
4.1 Rep esen ación de comp omiso en una op imización de dos ob-
je i os. Tomada del A ículo E 48
4.2 Compa ación g á ica de los knee poin s ob enidos po los di e-
en es mé odos 50
4.3 A qui ec u a del MLP con una capa de en ada, jcapas ocul as y
la capa de salida. La capa de en ada iene mneu onas (pa áme-
os de en ada) y la capa de salida iene nneu onas (pa áme os
de salida) 52
4.4 Esquema del algo i mo colabo a i o de in eligencia a i icial y op-
imización mul iobje i o 55
4.5 Pasa ela en es udio: a) ilus ación de la pasa ela, b) modelo de
EF y c) con igu ación del ensayo de ib ación ambien al 56
4.6 Rep esen ación g á ica de la ma iz de sensibilidad pa a la elec-
ción de los pa áme os a ac ualiza 57
4.7 F en e de Pa e o del p oblema de es imación de pa áme os de
la pasa ela: a) O iginal poco poblado, b) en e de Pa e o p o-
cesado en el espacio de componen es p incipales y ap oximado
po la ed neu onal a i icial 59
4.8 Compa ación en e las soluciones del algo i mo p opues o y el
con encional pa a a) 150 i e aciones, b) 200 i e aciones, c) 250
i e aciones y d) 300 i e aciones 60
Índice de Tablas
2.1 P opiedades modales numé icas y expe imen ales de la pasa e-
la del labo a o io de la Uni e sidad de Exe e 25
2.2 Valo es medios de los esiduos en é minos de los ac o es de
peso pa a la ac ualización del modelo de EF basado en un único
obje i o pa a los es algo i mos me aheu ís icos 28
3.1 P opiedades modales numé icas y expe imen ales de la cúpula
de la capilla de la Residencia Wü zbu g an es de la ac ualiza-
ción. num y exp son las ecuencias na u ales numé icas y expe-
imen ales, espec i amen e 35
3.2 P opiedades modales numé icas y expe imen ales de la cúpula
de la capilla de la Residencia Wü zbu g después de la ac uali-
zación usando el algo i mo híb ido. num,ac .son las ecuencias
na u ales numé icas ac ualizadas 36
3.3 P opiedades modales numé icas y expe imen ales de la cúpula
de la capilla de la Residencia Wü zbu g después de la ac ualiza-
ción usando el GA 37
3.4 Compa ación de los es algo i mos pa a la ac ualización del mo-
delo de EF de la pasa ela de labo a o io siguiendo el en oque de
un único obje i o. I e es el núme o de i e aciones, Pob es el a-
maño de la población, E al es el núme o de e aluaciones de la
unción obje i o y el alo de la unción obje i o 40
3.5 Compa ación de los es algo i mos pa a la ac ualización del mo-
delo de EF de la pasa ela de labo a o io siguiendo el en oque
mul iobje i o. I e es el núme o de i e aciones, Pob es el amaño
de la población, N.Pob es el amaño de la población que se c ea
en cada i e ación, E al es el núme o de e aluaciones de la un-
ción obje i o, Dis es la dis ancia euclídea al o igen y Sum es la
suma de 1y 242
XVII
XVIII Índice de Tablas
3.6 P opiedades modales numé icas y expe imen ales de la pasa e-
la in eg al an es de la ac ualización 44
3.7 P opiedades modales numé icas y expe imen ales de pasa ela
in eg al después de la ac ualización 45
4.1 P opiedades modales numé icas y expe imen ales de la pasa ela 57
4.2 Valo es de la unción mul iobje i o pa a el modelo mejo ac uali-
zado, dis ancia en e las mejo es soluciones ob enidas po am-
bos algo i mos y iempo o al de simulación 61
1 In oducción
1.1 An eceden es
Los sis emas dinámicos se encuen an p esen es en la p ác ica o alidad de ámbi os de la
ida eal, desde sis emas mecánicos y eléc icos has a los sis emas biológicos. Conoce
el compo amien o de dichos sis emas es c ucial y los modelos, ya sean analí icos o
numé icos, ep esen an uno de los modos más ecuen es de simula los. No obs an e,
los sis emas p esen an p opiedades desconocidas o incie as que deben se asumidas
cuando se diseña el modelo. Po an o, los modelos solo quedan bien de inidos cuando los
pa áme os que lo ca ac e izan son calib ados, es deci , adop an un alo que p esen a la
meno ince idumb e posible.
Pa a de ini los pa áme os hay que esol e un p oblema de es imación de pa áme os
a pa i del conocimien o de las en adas y salidas del sis ema dinámico. Tal y como se
ilus a en la Figu a 1.1, la idea p incipal de es os p oblemas es minimiza el e o (de inido
p e iamen e) en e las salidas que el modelo o ece,
ˆy
, y las medidas (salidas del sis ema
dinámico) egis adas expe imen almen e,
z
, median e la modi icación de los pa áme os
del modelo. Las uen es de e o , como el uido en las medidas, pueden inclui se en el
análisis. El cons an e a ance que desa olló la ingenie ía in o má ica en el úl imo e cio
del siglo pasado ajo consigo la apa ición de nue os algo i mos que pe mi ían es ima
los pa áme os de modelos cada ez más complejos, siendo la mayo pa e aplicados a
p oblemas de ingenie ía ae onáu ica donde los pa áme os de la ae ona e se es iman a
pa i de los da os egis ados du an e el uelo [61, 62].
En el ámbi o de la ingenie ía ci il, la es imación de pa áme os se ha aplicado de mane a
más ecien e al caso pa icula de la ac ualización de modelos de elemen os ini os (EF).
Pa a modeliza las es uc u as ci iles se ecu e a modelos numé icos, como los modelos
de elemen os ini os, que se de inen a pa i de pa áme os mecánicos y geomé icos que
pueden p esen a ince idumb e. Es en es e aspec o donde el p oblema de es imación
de pa áme os pe mi e de ini los pa áme os del modelo a pa i del compo amien o
ealmen e obse ado de la es uc u a. En el caso de es uc u as se ecu e habi ualmen e a
los da os ob enidos en ensayos de ib ación, como las p opiedades modales, las unciones
de espues a en ecuencia o las his o ias empo ales de acele ación [81, 102].
1
8Capí ulo 1. In oducción
El
Capí ulo 5
cie a la esis incluyendo las p incipales conclusiones y con una discusión
de los abajos u u os.
El
Apéndice A
con iene al a ículo “Jiménez-Alonso, J. F., Na anjo-Pé ez, J., Pa ic, A.,
Sáez, A. (2020). Maximum likelihood ini e-elemen model upda ing o ci il enginee ing
s uc u es using na u e-inspi ed compu a ional algo i hms”.
El
Apéndice B
con iene al a ículo “J. Na anjo-Pé ez, J.F. Jiménez-Alonso, P. Pachón,
V. Compán, A. Sáez (2019). A hyb id UKF-MGA algo i hm o ini e elemen model
upda ing o his o ical cons uc ions”.
El
Apéndice C
con iene al a ículo “J. Na anjo-Pé ez, J.F. Jiménez-Alonso, A. Pa ic, A.
Sáez (2020). Fini e elemen model upda ing o ci il enginee ing s uc u es using a hyb id
UKF-HS algo i hm”.
El
Apéndice D
con iene al a ículo “J. Na anjo-Pé ez, J.F. Jiménez-Alonso, A. Sáez
(2020). Pa ame e iden i ica ion o he dynamic Winkle soil-s uc u e in e ac ion model
using a hyb id UKF-MHS algo i hm”.
El
Apéndice E
con iene al a ículo “M. In an es, J. Na anjo-Pé ez, J.F. Jiménez-Alonso,
A. Sáez (2019). De e mining he bes Pa e o-solu ion in a mul i-objec i e app oach o
model upda ing”.
El
Apéndice F
con iene al a ículo “J. Na anjo-Pé ez, M. In an es, J.F. Jiménez-Alonso,
A. Sáez (2020). A collabo a i e machine lea ning-op imiza ion algo i hm o imp o e he
ini e elemen model upda ing o ci il enginee ing s uc u es”.
El
Apéndice G
con iene al a ículo “J. Na anjo-Pé ez, J.F. Jiménez-Alonso, I. Díaz
M., G. Qua an a, A. Sáez (2020). Mo ion-Based Design o Passi e Damping Sys ems o
Reduce Wind-Induced Vib a ions o S ay Cables unde Unce ain y Condi ions.

2 Es imación de pa áme os a
a és de p oblema in e so
Cuando el p oblema de es imación de los pa áme os de un modelo se lle a a cabo a pa i
de medidas o da os obse ados se le conoce como p oblema in e so. Es e ipo de p oblemas
puede plan ea se según es mé odos: mé odos basados en eo ía de conjun os di usos, el
mé odo Bayesiano (es imado es de in e alo) o usando es imado es pun uales. Los es
se esuel en de mane a i e a i a ecu iendo a algo i mos de op imización. El p esen e
capí ulo p e ende a oja luz sob e los algo i mos que p esen an mejo endimien o pa a
esol e p oblemas de ingenie ía ci il.
En es e sen ido, el capí ulo se es uc u a de la siguien e mane a. En p ime luga se
desc iben los en oques del p oblema in e so, haciendo hincapié en los dos es imado es
que se usan en es a esis, el es imado de máxima e osimili ud y el il o de Kalman.
Seguidamen e, se exponen los dis in os ipos de algo i mos de op imización basados en
mé odos me aheu ís icos, desc ibiendo con mayo de alle los es que se emplean en los
siguien es capí ulos.
Finalmen e se ealiza un es udio compa a i o de los es algo i mos desc i os y de
los dos plan eamien os que puede adop a el p oblema, único obje i o o mul iobje i o,
median e la aplicación a un p oblema de ac ualización de modelo de EF de una pasa ela
de labo a o io.
Pa es de es e capí ulo han sido publicado en el A ículo del Apéndice A.
2.1 En oques del p oblema in e so
Un p oblema in e so se de ine como aquel donde los pa áme os de un modelo o sis ema
se de i an a pa i de los da os obse ados o medidas. La a iación de los alo es de
los pa áme os p o oca un cambio en la salida del sis ema, po lo que de es a mane a, el
p oblema consis e en ob ene aquellos alo es de los pa áme os que p opo cionen alo es
de la salida del sis ema más ce canos a los da os obse ados.
9
10 Capí ulo 2. Es imación de pa áme os a a és de p oblema in e so
Exis en es p incipales en oques a la ho a de esol e un p oblema de es imación
de pa áme os esol iendo un p oblema in e so: aplicando eo ía de conjun os di usos,
aplicando mé odos Bayesianos o aplicando es imado es pun uales.
En el en oque de la eo ía di usa, la ince idumb e en el alo de los pa áme os se a a de
mane a no p obabilís ica, lo que es especialmen e ap opiado pa a modeliza ince idumb e
sis emá ica (no alea o ia). La mayo ía de los mé odos no p obabilís icos se basan en el
análisis po in e alos, donde la ince idumb e de los pa áme os se ep esen a po un
de e minado ango de alo es aco ado. La eo ía di usa ue p opues a en 1965 po Zadeh
[
116
] con el obje i o de ex ende los ope ado es lógicos clásicos a un ma co concep ual
donde a a la ince idumb e no p obabilís ica. La idea de es e plan eamien o es da un
g ado de pe enencia haciendo que el ango de alo es de pe enencia de un elemen o
a un conjun o pueda a ia en el in e alo
[0,1]
en luga de segui la lógica clásica, es
deci , oma el alo 0 o 1. Es un mé odo muy adecuado pa a a a la ince idumb e
en si uaciones donde, además de los lími es de los in e alos, se dispone de alo es de
e e encia de los pa áme os a es ima .
La eo ía di usa ha sido aplicada a a ios p oblemas de ingenie ía es uc u al como, po
ejemplo, dinámica es uc u al [
1
], análisis de iabilidad [
97
], ac ualización de modelos de
EF [59] o diseño es uc u al [77].
Los mé odos Bayesianos, que pe mi en conoce la unción de dis ibución de los pa á-
me os, es án basados en el eo ema de Bayes, que puede o mula se pa a la iden i icación
de pa áme os como [76]:
P(θ|D) = P(D|θ)(P(θ)
P(D)(2.1)
donde
θ
ep esen a el ec o de pa áme os a iden i ica y
D
es el ec o que ecoge
los da os obse ados. Po an o, cada é mino de la ecuación se de ine del siguien e
modo:
P(θ|D)
es la unción de densidad de p obabilidad pos e io de los pa áme os
condicionada po el alo de los da os obse ados,
P(D|θ)
es la unción de e osimili ud
de los da os condicionada po el alo de los pa áme os,
P(θ)
es la unción de densidad
de p obabilidad an e io , es deci , en ausencia de los da os obse ados y
P(D)
es un ac o
de no malización. La espe anza pos e io condicionada de una unción
(θ)
se calcula
como:
E[ (θ)|D] = R (θ)P(D|θ)P(θ)dθ
P(D).(2.2)
Resol e la Ecuación 2.2 analí icamen e puede no se posible pa a sis emas complejos
ya que la in eg al depende de la unción de densidad de p obabilidad pos e io . Pa a sal a
es a limi ación, exis en a ias al e na i as que pe mi en ob ene una ap oximación de la
solución de la ecuación.
La p ime a al e na i a consis e en esol e la median e e aluaciones numé icas, u ilizan-
do po ejemplo el mé odo de ap oximación asin ó ica, el cual conside a una ap oximación
gaussiana de la unción de densidad de p obabilidad pos e io . Sin emba go, si el amaño
de la unción de densidad es g ande es e mé odo no es p eciso [11].
La segunda al e na i a la cons i uyen las ap oximaciones analí icas, como las ap oxima-
ciones de máxima e osimili ud, máximo a pos e io i y de Laplace. El incon enien e de
2.1 En oques del p oblema in e so 11
es os mé odos es su ca ác e local, po lo que la con e gencia puede no se a un mínimo
global.
Finalmen e, las écnicas de mues eo, como los mé odos de Mon e Ca lo basados
en cadenas de Ma ko , son las más empleadas ya que dan como esul ado una mejo
ap oximación pa a unciones complejas [
9
]. A con inuación se esboza án solo b e emen e
las écnicas de mues eo más comunes pa a la iden i icación de pa áme os en ingenie ía
ci il.
Los mé odos de Mon e Ca lo a an de es ima la dis ibución de p obabilidad median e
epe iciones alea o ias de mues eo [
94
]. El p oceso comienza po c ea de mane a alea o ia
mues as de los pa áme os a pa i de la unción de dis ibución pos e io . Es a nue a
mues a es acep ada o echazada al aza y se epi e i e a i amen e has a que el núme o de
mues as ha alcanzado un alo p e ijado. El alo medio de la unción de dis ibución se
calcula a pa i del conjun o de mues as acep adas.
El mé odo de Mon e Ca lo basado en cadenas de Ma ko es una écnica en la cual la
unción de dis ibución de p obabilidad se iden i ica median e una cadena de Ma ko . En
es e sen ido, se asume que la e olución del sis ema se ca ac e iza a a és de un p oceso
es ocás ico de a iables alea o ias (cuyo dominio o man el espacio es ado),
Ki
, donde
cada a iable es un ec o que con iene los pa áme os a iden i ica . Como las a iables
alea o ias o man una cadena de Ma ko , la p obabilidad de que el sis ema es é en un
es ado
Kn
en un iempo
n
depende únicamen e de que el sis ema es u ie a en un es ado
Xn−1
en el iempo
n−1
. El es ado ac ual se acep a o echaza aplicando el algo i mo
Me opolis.
Pa a lle a a cabo una simulación de Mon e Ca lo basada en cadenas de Ma ko exis en
di e en es algo i mos, como el algo i mo Me opolis-Has ings, el algo i mo Slice Sampling
o el algo i mo Me opolis-Has ings adap a i o [76].
Los mé odos Bayesianos equie en, en gene al, de un iempo de compu ación excesi a-
men e al o pa a calcula la unción de dis ibución de los pa áme os. Además, el cálculo
de la media de los pa áme os no es muy p eciso, po lo que debe calcula se p e iamen e
usando es imado es pa a asegu a que la unción de dis ibución sea adecuada al p oblema.
Es e segundo en oque median e es imado es pun uales es en el que se basa la p esen e
esis.
Uno de los aspec os undamen ales de los es imado es pun uales es el mé odo pa a
de ini el e o que se conside e [
92
]. El p ime mé odo es el de e o de ecuación (equa ion
e o ), donde el e o es la di e encia en e la medida y la salida ob enida po la ecuación
del modelo con los alo es de los pa áme os es imados. La unción de cos e es lineal en
los pa áme os. El segundo mé odo es el de e o en la salida (ou pu e o ), donde el e o
es la di e encia en e la salida del modelo y la medida del sis ema eal. Pa a la aplicación
de es e mé odo, la en ada al modelo y al sis ema debe se la misma. Finalmen e, el mé odo
de e o de pa áme os (pa ame e e o ) se de ine como la di e encia en e los alo es
es imados de los pa áme os y sus alo es eales. De es e modo, el e o de pa áme o sólo
puede se ob enido si el alo eal es conocido, lo que limi a su aplicación pa a p oblemas
eales.
En e los es imado es más comunes se encuen an el es imado de mínimos cuad ados,
el es imado de máxima e osimili ud y los il os de Kalman.
12 Capí ulo 2. Es imación de pa áme os a a és de p oblema in e so
El es imado de mínimos cuad ados se basa en un modelo de ecuación de la medida
que oma la siguien e o ma:
z=y+ =Xθ
θ
θ+ (2.3)
siendo
z
el ec o que ecoge las medidas,
y
las salidas del modelo,
un ec o que
ep esen a el uido/e o en las medidas, que se asume como gaussiano y con media
ce o,
θ
θ
θ
el ec o de pa áme os y
X
una ma iz que con iene las a iables explica i as
del p oblema, las cuales ep esen an el compo amien o del modelo y son pe ec amen e
conocidas. El obje i o del es imado de mínimos cuad ados es encon a el alo de los
pa áme os que minimice la unción de cos e,
J
, de inida como la suma de los e o es al
cuad ado en e las medidas y las p edicciones del modelo:
J∼
=
M
∑
j=1
2
j= (z−Xθ
θ
θ)T(z−Xθ
θ
θ)(2.4)
donde
M
es el núme o de medidas. La minimización con espec o a
θ
θ
θ
de la unción
J
conduce a una exp esión analí ica de la es imación de mínimos cuad ados de
θ
θ
θ
:
ˆ
θ
θ
θ=
(XTX)−1XTz
. Po consiguien e, como el ec o de medidas
z
y la ma iz
H
son conocidos,
las es imaciones se ob ienen de mane a di ec a. El es imado de mínimos cuad ados
p esen a es p opiedades p incipales. La p ime a es que la es imación
ˆ
θ
θ
θ
es una unción
lineal del ec o de medidas
z
. La segunda es que el e o en el es imado ,
θ
θ
θ−ˆ
θ
θ
θ
, es una
unción lineal de los e o es en las medidas
. La e ce a es que si la espe anza ma emá ica
del e o en las medidas
es ce o, la es imación
ˆ
θ
θ
θ
es no sesgada ya que la espe anza del
e o en la es imación ,
E[θ
θ
θ−ˆ
θ
θ
θ]
, ambién es nula. Po an o, si
z=y
,
ˆ
θ
θ
θ
es una can idad
de e minis a igual a
θ
θ
θ
. No obs an e, en p esencia de uido en la medida la es imación
ˆ
θ
θ
θ
es
sesgada y el es imado de mínimos cuad ados es empleado como pun o de pa ida pa a
o os mé odos de es imación como el es imado de mínimos cuad ados gene alizado o el
mé odo de e o en la salida basado en el es imado de máxima e osimili ud. El mé odo
de mínimos cuad ados gene alizado, ambién llamado mínimos cuad ados ponde ado,
consis e en inclui una ma iz de peso simé ica y de inida posi i a en la de inición de la
unción
J
que si e pa a con ola la in luencia de medidas especí icas en las es imaciones
de los pa áme os. El es imado de mínimos cuad ados puede aplica se pa a sis emas
no lineales asumiendo que las salidas del modelo ( ambién no lineal) adop a la o ma
y=h(θ
θ
θ)
, donde
h
es una unción no lineal conocida. Pa a es e caso, la es imación
ˆ
θ
θ
θ
se
ob iene a a és de un p oceso i e a i o.
El es imado de máxima e osimili ud es el caso gene al del es imado de mínimos
cuad ados ya que la es imación es idén ica cuando se a a de un sis ema lineal con uido
gaussiano. La idea p incipal es de ini una unción de las medidas y de los pa áme os,
llamada unción de e osimili ud, y maximiza la con espec o a los pa áme os. La unción
de e osimili ud ep esen a la densidad de p obabilidad de las medidas dados los pa á-
me os. El es imado de máxima e osimili ud puede aplica se pa a los mé odos de e o
de ecuación (se conside a uido únicamen e en el p oceso de es imación) y de e o en la
salida (se conside a uido únicamen e en las medidas). No obs an e, pa a pode conside a
ambos uidos en el p oblema es necesa io ecu i a o as écnicas.
El il o de Kalman [
53
] es un mé odo de es imación de pa áme os que pe mi e ene
2.2 Fil o de Kalman 13
en cuen a uido en el p oceso de es imación y en las medidas. En el caso de sis emas no
lineales, la es imación del il o de Kalman no es óp ima y hay que ecu i a a iaciones
del il o de Kalman, como el il o de Kalman ex endido (EKF de Ex ended Kalman Fil e )
[
49
]. No obs an e, su aplicación pa a es imación de pa áme os e ela que los esul ados
son muy sensibles a los alo es iniciales de las ma ices de co a ianza del uido en las
medidas [92].
La o a al e na i a consis e en aplica los denominados mé odos de e o de il o, los
cuales implemen an el il o de Kalman den o de la es uc u a del mé odo de e o en la
salida basado en el es imado de máxima e osimili ud, de modo que pe mi e maneja
uidos en las medidas y en el p oceso de es imación. Es a idea jus i ica el plan eamien o
del algo i mo híb ido que se p opone en es a esis. En conc e o, se emplea una a ian e
del il o de Kalman pa a sis emas no lineales y el es imado de máxima e osimili ud po
lo que se án explicados con mayo de alle en los siguien es apa ados.
2.2 Fil o de Kalman
El il o de Kalman es un algo i mo que pe mi e es ima las medias y las co a ianzas de
los pa áme os lle ando a cabo un p oceso i e a i o en el que se educe la co a ianza del
e o en el p oceso de es imación has a con e ge en una solución en los pa áme os no
sesgada.
La ep esen ación ma emá ica de un p oblema de iden i icación de pa áme os se basa en
el modelo de espacio de es ados donde la Ecuación 2.5 ep esen a el p oceso de ansición
es aciona io en la es imación y la Ecuación 2.6 ep esen a la ecuación del modelo:
θk=θk−1+wk−1(2.5)
yk=h(θ)+ k(2.6)
siendo
h
una unción de modelización,
w
el uido en el p oceso de es imación y
el uido
en la modelización. Ambos é minos de uido se conside an uido blanco gaussiano con
media ce o y ma ices de co a ianza
Q
y
R
, espec i amen e. La ma iz
R
p esen a dos
con ibuciones, el uido en la modelización y el uido en las medidas.
El il o de Kalman se basa en un p oceso i e a i o en el que cada i e ación ejecu a
dos pasos: p edicción y co ección. El p ime paso se basa en las es imaciones del paso
an e io (Ecuación 2.5) pa a p edeci las es imaciones del paso ac ual. El segundo paso
iene en cuen a las medidas pa a co egi las es imaciones de mane a que se eduzca la
co a ianza del e o .
Pa a p oblemas no lineales se desa olló el EKF que iene mejo es p es aciones pa a
sis emas lige amen e no lineales. El EKF equie e la linelización de la Ecuación 2.6 (la
Ecuación 2.5 ya lo es), po lo que es necesa io calcula el Jacobiano de la unción de
modelización
h
. Sin emba go, cuando el sis ema p esen a una ue e no linealidad, el
endimien o del EKF disminuye. En el caso de que la unción
h
se de ina median e un
modelo numé ico no hay una exp esión analí ica pa a calcula el Jacobiano y hay que
ap oxima lo numé icamen e.

14 Capí ulo 2. Es imación de pa áme os a a és de p oblema in e so
Más ecien emen e se desa olló el Unscen ed Kalman Fil e (UKF) [
52
]. Se a a de
un algo i mo que no equie e ninguna ope ación di e encial ya que no hay que linealiza
ninguna unción [
105
,
84
]. La p emisa del UKF es que un conjun o de pun os pueden
cap u a y p opaga la media y co a ianza de los pa áme os a a és de la unción
h
pa a
ob ene la media y co a ianza pos e io , que se usan en la siguien e i e ación pa a p edeci la
media y co a ianza an e io . Va ios es udios han demos ado que el algo i mo UKF supe a
al EKF. Ma iani y Ghisi los compa a on pa a la calib ación de la ley cons i u i a de un
sis ema dinámico de un g ado de libe ad [
73
]. Más ecien emen e, Nguyen y Nes o o ić
compa a on es os dos algo i mos pa a la es imación de pa áme os geomecánicos en
modelos del suelo pa a p oblemas de úneles [
85
]. Po an o, en es a esis se conside a el
algo i mo UKF pa a su implemen ación en p oblemas de es imación de pa áme os.
2.3 Es imado de máxima e osimili ud
El es imado de máxima e osimili ud se basa en la de inición de una unción, llamada
unción de e osimili ud, que depende de las medidas expe imen ales del sis ema y de los
pa áme os del modelo. El obje i o de es e es imado es maximiza dicha unción, es deci ,
busca aquellos pa áme os que hacen que de mane a más p obable la unción conduzca a
las medidas. Como se dijo an e io men e, la unción de e osimili ud es la densidad de
p obabilidad de las medidas y se calcula pa a las medidas es adís icamen e independien es
donde el e o se asume que es á no malmen e dis ibuido. La densidad de p obabilidad
conjun a se halla como el p oduc o de las p obabilidades de las medidas indi iduales.
La unción de e osimili ud puede esc ibi se como el loga i mo de la unción de densidad
de p obabilidad ya que es a unción y su loga i mo siguen eniendo el máximo en el mismo
a gumen o. Es a unción depende del e o en e las medidas y las salidas del modelo,
asumido como no malmen e dis ibuido, y es á de inida de mane a que la minimización del
e o conlle e la maximización de la p obabilidad, es deci , de la unción de e osimili ud.
Po an o, el p oblema de maximización se educe a un p oblema de minimización. A
di e encia del es imado de mínimos cuad ados, la es imación no es di ec a y es necesa io
ealiza un p oceso i e a i o.
El p oceso comienza po ealiza una p ime a es imación de los pa áme os y calcula
a pa i de ellos la salida del modelo. Teniendo en cuen a las medidas y la salida del
modelo se e alúa el e o y la unción obje i o. En la siguien e i e ación, los pa áme os
se ac ualizan a pa i de los pa áme os del paso an e io y del alo de la unción obje i o.
Es e p oceso con inua has a que se log a la con e gencia. Es a me odología puede se
aplicada a sis emas no lineales. Además, el es imado de máxima e osimili ud p esen a
a ias en ajas ma emá icas. En p ime luga , la es imación es consis en e. Segundo, en
di e sas condiciones el es imado iene una dis ibución asin ó ica no mal. Finalmen e, el
es imado de máxima e osimili ud es e icien e [92].
Es os mo i os jus i ican su elección pa a la esolución de p oblemas de es imación de
pa áme os. El p oceso i e a i o puede de ini se como un p oblema de op imización, donde
el obje i o es encon a los alo es de los pa áme os que op imicen la unción, exp esado
2.4 Algo i mos de op imización 15
ma emá icamen e como:
min (θ
θ
θ)(2.7)
suje o a: θ
θ
θl≤θ
θ
θ≤θ
θ
θu(2.8)
donde
es la unción obje i o a minimiza ,
θ
θ
θ
es el ec o de pa áme os a es ima y
θ
θ
θl
y
θ
θ
θuson los lími es in e io es y supe io es de los pa áme os.
Pa a la ejecución del p oceso i e a i o se ecu e a algo i mos de op imización que
solucionen el p oblema de mane a au omá ica [
86
]. En el siguien e apa ado se desc ibi án
los p incipales algo i mos de op imización y su aplicación a los dis in os en oques del
p oblema de es imación de pa áme os.
2.4 Algo i mos de op imización
Cuando se elige el algo i mo de op imización hay que conside a el ca ác e local o global
de la solución que ob iene. Un óp imo local es una solución óp ima en un en o no p óximo,
mien as que un óp imo global es la solución óp ima de odas las posibles soluciones. Po
consiguien e, según sea la unción obje i o (o de cos e), puede esul a más ap opiado
elegi un ipo de algo i mo u o o.
Los algo i mos locales con e gen a óp imos locales ya que se basan en el g adien e y
son los más adecuados cuando la unción obje i o iene o ma cónca a/con exa pa a las
que el óp imo local es la solución óp ima del p oblema. Po el con a io, los algo i mos
globales pe mi en halla óp imos globales y su aplicación es adecuada cuando la unción
obje i o p esen a múl iples mínimos o máximos locales [86].
A la ho a de de ini la unción obje i o que hay que op imiza hay que ene en cuen a
los e o es esiduales en e las salidas del modelo y las medidas. La unción obje i o se
de ine a pa i de uno o a ios esiduos según el núme o de c i e ios de op imización,
asumiendo en es e úl imo caso unos ac o es de peso que ep esen an la in luencia de cada
esiduo (Figu a 2.1). A es e ipo de plan eamien o se le conoce como op imización de un
único obje i o. El obje i o de es e ipo de plan eamien o es sencillo ya que se a a de
halla el alo de los pa áme os que encuen e el óp imo de dicha unción.
En múl iples casos, no es adecuado o posible uni los esiduos en una misma unción
obje i o. En es os casos se ecu e a la op imización mul iobje i o, donde cada unción
obje i o es á de inida po un esiduo. Pa a es e plan eamien o se ecu e al concep o de
óp imo de Pa e o o mulado en el siglo XIX. El obje i o de es e en oque es encon a
una solución Pa e o-óp ima cuando no exis e o a solución que mejo e un obje i o sin
sac i ica al menos uno de los o os. Al conjun o de soluciones que cumplen es e c i e io
se les denomina en e de Pa e o o soluciones no dominadas. El esul ado de es e ipo de
p oblemas es una cu a o mada po un conjun o de pun os donde cada uno de ellos es una
posible solución óp ima al p oblema. Po an o, pa a inaliza el p oblema es necesa io
elegi el mejo pun o median e écnicas de oma de decisiones (Figu a 2.1).
Es p eciso ema ca en es e pun o que el ca ác e local o global del algo i mo no es á
di ec amen e elacionado con el en oque de un único obje i o o mul iobje i o, ya que un
16 Capí ulo 2. Es imación de pa áme os a a és de p oblema in e so
a)
En oque único obje i o
Función obje i o:
suma ponde ada esiduos
Op imización
Análisis sensibilidad pesos
Elección mejo solución
Modi ica
pesos
b)
En oque mul iobje i o
Función
mul iobje i o
Op imización
F en e de Pa e o
Toma de decisiones
Figu a 2.1 Compa ación de en oques: a) un único obje i o y b) mul iobje i o.
único obje i o puede p esen a un único óp imo local ( ambién global) o a ios óp imos
locales.
En el caso de que la elación en e los pa áme os y la unción obje i o sea no lineal o
el espacio de solución sea muy amplio, las écnicas me aheu ís icas ep esen an la mejo
opción pa a esol e el p oblema en e a los algo i mos de e minis as con encionales [
74
].
Son mé odos que en ocan el p oblema desde un pun o de is a p obabilís ico, como el
mé odo de Mon e Ca lo. Los mé odos me aheu ís icos se basan en c i e ios que pe mi en
disce ni qué al e na i a es la más e ec i a pa a loga un obje i o, es deci , qué candida o
a solución es el más e ec i o pa a segui conside ándolo en la gene ación de nue os
candida os.
Los algo i mos me aheu ís icos se pueden clasi ica según su es a egia de búsqueda po
pun os singula es o basada en poblaciones. Los p ime os gene an una única solución en
cada i e ación. Los segundos man ienen un conjun o de candida os que an e olucionando
a aíz de la explo ación en el espacio de búsqueda.
Las p incipales en ajas de es e ipo de algo i mos es su independencia del alo inicial
de los candida os (que son es imados alea o iamen e den o de un ango de inido a pa i
del conocimien o ísico del p oblema) y su habilidad pa a encon a el óp imo global. No
obs an e, p esen an un cla o incon enien e: el al o iempo de simulación eque ido pa a
esol e el p oblema de op imización.
Aunque la mayo ía de los algo i mos me aheu ís icos son algo i mos globales, exis en
ambién algo i mos locales como es el caso del algo i mo Hill Climbing (escalada simple
o escalada de colinas) [
39
] que comienza po una solución a bi a ia y busca encon a una
mejo solución a iando inc emen almen e un único elemen o (pa áme o) de la solución.
El p oceso con inua has a que no se encuen a ninguna solución mejo .
Hay una amplia a iedad de algo i mos me aheu ís icos globales que han sido usados
pa a aplicaciones de ingenie ía ci il [
107
,
114
]. Mo adi e al. [
80
] explo a on la e iciencia
del algo i mo de colonia de abejas pa a la esolución de un p oblema de ac ualización
2.4 Algo i mos de op imización 17
del modelo de EF de un sis ema de ube ías. Las edes neu onales a i iciales ambién
han demos ado su e iciencia pa a esol e p oblemas de op imización no lineales [
63
,
88
,
42
,
40
,
68
]. El algo i mo de colonia de ho migas ha sido igualmen e usado pa a
p oblemas de op imización [
25
]. Los algo i mos gené icos han sido ampliamen e usados
pa a aplicaciones de ingenie ía, como es el caso de p oblemas de ac ualización de modelos
o pa a de ección de daño [
51
,
67
,
50
]. El algo i mo Ha mony Sea ch, ideado en 2001
[
38
], sigue un p oceso muy simila a los algo i mos gené icos aunque más simpli icado ya
que no se basa en poblaciones. Aunque exis an múl iples aplicaciones pa a es imación de
pa áme os en ingenie ía es uc u al, su uso en p oblemas de ac ualización de modelos de
EF es escaso [
71
]. El algo i mo de enjamb e de pa ículas, a di e encia de los algo i mos
gené icos, man iene la misma población la cual a e olucionando du an e el p oceso
i e a i o. En [
96
] se aplica es e algo i mo pa a la ac ualización del modelo de EF de
igas con el obje i o de iden i ica el daño. El algo i mo de e olución di e encial puede
conside a se como una e sión más desa ollada de los algo i mos gené icos donde las
ecuaciones de ac ualización de la población son explíci as. Qua an a e al. [
91
] emplea on
es e algo i mo pa a el diseño óp imo (en é minos económicos) de igas de ho migón
p e ensadas. El algo i mo Cuckoo sea ch es uno de los más ecien es. Fue desa ollado
po Yang y Deb en 2009 [
115
] y es á basado en el pa asi ismo de algunas especies de
cuco que dejan sus hue os en nidos de o as especies. Gandomi e al. [
33
] emplea on es e
algo i mo pa a el diseño óp imo de es uc u as en celosía. El algo i mo colliding bodies
(cue pos en colisión) se basa en las leyes de conse ación del momen o y la ene gía de
una colisión unidimensional [
54
]. Cada cue po posee una masa, posición y elocidad y la
colisión con o os cue pos ac ualiza la posición de acue do a unas leyes de colisión. El
algo i mo de búsqueda g a i acional es á basado en las leyes de la g a i ación de New on.
Es e algo i mo ha sido aplicado a una amplia a iedad de p oblemas de op imización,
como el diseño óp imo de la o ma de p esas de g a edad de ho migón [
57
] o el diseño
basado en la iabilidad de s uc u as de ho migón e o zado conside ando in e acción
suelo-es uc u a [58].
Los esul ados ob enidos po el algo i mo de enjamb e de pa ículas y el algo i mo
gené ico ue on compa ados po Pe e a e al. [
89
] pa a la ac ualización del modelo de EF
de un pó ico de una plan a de ho migón a mado. Igualmen e, Le in y Lie en compa a on
los esul ados en e los algo i mos gené icos y el algo i mo simula ed annealing pa a la
ac ualización de un modelo de EF conside ando da os simulados [
64
]. Es os es algo i mos,
enjamb e de pa ículas, gené icos y simula ed annealing, ue on compa ados en un mismo
es udio po Ma wala, concluyendo que el algo i mo de enjamb e de pa ículas e a supe io
a los o os dos [75].
Pa a ence el p oblema del al o iempo de simulación eque ido, la endencia ac ual
es usa algo i mos híb idos ap o echando la sine gia del algo i mo esul an e. Algunos
ejemplos de es a endencia es la combinación de algo i mo gené ico y simula ed annealing
p opues o po Feng e al. [
27
], la combinación del algo i mo simula ed annealing con
el UKF [
4
] o la combinación del algo i mo de enjamb e de pa ículas con un su oga e
model [90].
Den o del amplio abanico de algo i mos de op imización exis en es, los algo i mos
gené icos cons i uyen la opción más empleada pa a esol e p oblemas de ac ualización
de modelos de EF en p oblemas p ác icos de ingenie ía ci il. El algo i mo de enjamb e de
24 Capí ulo 2. Es imación de pa áme os a a és de p oblema in e so
j= num,j− exp,j
exp,j
(2.10)
( m
j)2=(1−pMACj)2
MACj
(2.11)
donde
num,j
y
exp,j
son la ecuencia na u al numé ica y expe imen al
j
, espec i amen e,
y
MACj
es un pa áme o pa a medi la co elación en e dos modos de ib ación que se
calcula como [3]:
MACj=(φnum,j·φexp,j)2
(φT
num,j·φnum,j)·(φT
exp,j·φexp,j)(2.12)
siendo
φnum,j
y
φexp,j
los ec o es con las coo denadas modales del modo de ib ación
j
numé ico y expe imen al, espec i amen e.
En segundo luga , el en oque mul iobje i o se o mula como [51]:
min (θ
θ
θ) = min
 1=1
2"n
∑
j
(
j)2#1/2
, 2=1
2"n
∑
j
( m
j)2#1/2

T
(2.13)
siendo
1
y
2
las dos componen es de la unción mul iobje i o, es ando la p ime a de ellas
de inida en é minos de los esiduos de las ecuencias na u ales y la segunda a pa i de
los esiduos de los modos de ib ación. La solución de es e plan eamien o es el en e de
Pa e o del p oblema, donde cada pun o ep esen a una posible solución, es deci , un ec o
de pa áme os del modelo de EF que pe mi e educi las di e encias en e las p opiedades
modales numé icas y expe imen ales.
2.5.2 Ejemplo de aplicación
La es uc u a de labo a o io consis e en una pasa ela po icada de un solo ano de
15 m
de longi ud si uada en el labo a o io de la sección de Vib aciones de la Uni e sidad de
Exe e [
45
]. Dos igas de ace o sepa adas
2.5m
en la di ección ans e sal a la pasa ela
la eco en longi udinalmen e. Es as igas se encuen an suje as po dia agmas de ace o
colocados cada
1.25 m
cuya sección ans e sal es una placa ec angula de
200 ×12 mm
.
Toda la pasa ela se apoya en cua o pila es de ace o si uados en los ex emos de las dos
igas la e ales que es án anclados al suelo. El able o de la pasa ela es á o mado po un
panel compues o a o nillado a las igas la e ales y a los dia agmas. En la Figu a 2.5 se
ilus a la pasa ela en es udio.
El modelo inicial de EF de la es uc u a se cons uye en el so wa e ANSYS [
78
]. Pa a
las dos igas la e ales, los dia agmas y los paneles compues os se conside an elemen os
ipo placa de cua o nodos con seis g ados de libe ad po nodo (elemen o Shell181). Los
o nillos que unen los paneles a los elemen os me álicos se modelizan median e elemen os
ipo iga de dos nodos y seis g ados de libe ad po nodo (elemen o Beam188). Finalmen e,
los apoyos se modelizan a a és de elemen os ipo muelle en la di ección longi udinal

2.5 Compa ación de algo i mos me aheu ís icos pa a es imación de pa áme os 25
Figu a 2.5
Pasa ela de labo a o io de la Uni e sidad de Exe e y con igu ación del ensayo
de ib ación o zada. [Tomada del A ículo del Apéndice A].
Tabla 2.1
P opiedades modales numé icas y expe imen ales de la pasa ela del labo a o io
de la Uni e sidad de Exe e .
Modo num [Hz] exp [Hz]∆ [%]MAC [-]
1 3.638 3.810 -4.509 0.999
2 5.329 5.144 3.600 0.994
3 10.185 8.485 20.033 0.990
4 11.310 12.366 -8.540 0.877
5 17.364 18.605 -6.670 0.985
6 20.238 20.459 -1.080 0.993
7 21.105 22.980 -8.159 0.910
y ans e sal (elemen o COMBIN14). El modelo de EF ( e Figu a 2.6) consis e en una
malla de 31903 elemen os. El análisis modal numé ico ealizado al modelo de EF de la
pasa ela da como esul ado las sie e ecuencias numé icas y sus co espondien es modos
de ib ación que se mues an en la Tabla 2.1.
Las p opiedades modales expe imen ales se ob ienen a pa i del análisis modal expe i-
men al de las señales de acele ación egis adas du an e un ensayo de ib ación o zada,
lle ado a cabo en la pasa ela cuya con igu ación se ep esen a en la Figu a 2.6 (consúl ese
el A ículo del Apéndice A pa a mayo in o mación). En la Tabla 2.1 se indican los a-
lo es de las ecuencias na u ales expe imen ales. Pa a analiza la co elación en e las
p opiedades modales numé icas y expe imen ales se indican en la Tabla 2.1 los alo es de
las di e encias ela i as en e ecuencias y del pa áme o MAC. A pesa de los buenos
alo es del MAC, las di e encias ela i as de cua o de las sie e ecuencias son oda ía
g andes [
117
]. Po an o, pa a mejo a el modelo de EF de mane a que se ajus e mejo al
compo amien o eal de la pasa ela es necesa io ac ualiza lo.
Pa a elegi los pa áme os a ac ualiza , que ep esen an las a iables de diseño del
p oblema, se ealiza un análisis de sensibilidad de a ios pa áme os pa a conoce la
in luencia de cada uno de ellos en una ca ac e ís ica de e e encia de la es uc u a. Siguiendo
la o mulación de Fox y Kapoo se adop a la ene gía de de o mación modal como es a
ca ac e ís ica de e e encia [
29
]. De es a mane a, los pa áme os seleccionados son aquellos
que ienen una mayo in luencia en la ene gía de de o mación modal pa a cada modo de
26 Capí ulo 2. Es imación de pa áme os a a és de p oblema in e so
Figu a 2.6
Modelo de EF de la pasa ela de labo a o io de la Uni e sidad de Exe e , con igu-
ación del ensayo de ib ación o zada y pa áme os de ac ualización. [Tomada
del A ículo del Apéndice C].
ib ación. En la Figu a 2.7 se mues a la ma iz de sensibilidad en o ma de diag ama
de ba as. De acue do a dicha ma iz, las pa áme os ísicos más ele an es son los diez
siguien es: el módulo de Young del ace o de las igas longi udinales en 6 secciones
(
θ1−θ6
), el módulo de Young del poliu e ano del panel compues o (
θ7
), el módulo de
Young del ace o de los o nillos (
θ8
), la igidez longi udinal equi alen e de los apoyos (
θ9
)
y la igidez ans e sal equi alen e de cada apoyo (
θ10
). En la Figu a 2.6 se ilus an los
pa áme os de ac ualización. En el A ículo del Apéndice A se puede encon a los lími es
in e io es y supe io es impues os a cada pa áme o pa a ga an iza un signi icado ísico
adecuado de los pa áme os.
2.5.3 Compa ación de los es algo i mos con un único obje i o
En p ime luga se soluciona el p oblema de ac ualización del modelo de EF siguiendo el
plan eamien o de un único obje i o median e la implemen ación de los es algo i mos
desc i os an e io men e, GA, HS y PS. Se conside an dos c i e ios de compa ación pa a
alida el endimien o de los algo i mos: el cos e compu acional ( iempo de simulación)
y la exac i ud del ajus e. Pa a odos los algo i mos las a iables siguien es se conside an
comunes: amaño de la población (100), núme o máximo de i e aciones (50) y ole ancia
de la unción obje i o (
10−5
). Los pa áme os in ínsecos de cada algo i mo se indican
con de alle en el A ículo del Apéndice A.
Se conside an once casos dis in os en unción de los alo es de los pesos asociados a las
ecuencias na u ales,
∑w
j
, y a los modos de ib ación,
∑wm
j
, pa a conside a su impac o
en los esiduos [
104
]. Además, cada caso se ejecu a diez eces pa a ene en cuen a la
alea o iedad con la que la población inicial se gene a.
En la Tabla 2.2 se mues a la solución al p oblema pa a los once casos y los es
2.5 Compa ación de algo i mos me aheu ís icos pa a es imación de pa áme os 27
Figu a 2.7
Análisis de sensibilidad de los pa áme os del modelo de EF: ma iz de sensi-
bilidad ep esen ada en un diag ama de ba as.
algo i mos me aheu ís icos. Además, en la Figu a 2.8a se mues an es as soluciones en el
espacio uncional mul iobje i o. El cos e compu acional de cada algo i mo se calcula como
la media de los iempo de simulación de los once casos, dando como esul ado los alo es
siguien es. Pa a el GA: =74072 s, pa a el HS, =34380 s y pa a el PS, =43857 s.
De acue do con los alo es ob enidos y analizando la exac i ud en la solución y el
iempo de simulación se pueden ex ae dos conclusiones p incipales. La p ime a es que
la p ecisión de los es algo i mos es simila . La segunda es que el algo i mo HS es más
e icien e, ya que pe mi e educi el iempo de compu ación eque ido pa a ejecu a la
ac ualización del modelo de EF sin comp ome e la p ecisión en el ajus e.
2.5.4 Compa ación de los es algo i mos mul iobje i o
Los dos mismos c i e ios se es ablecen pa a la compa ación de la solución dada po los
es algo i mos cuando se aplican a la ac ualización del modelo de EF siguiendo el en oque
mul iobje i o. Los pa áme os ela i os a los es algo i mos se asumen iguales al caso
an e io . De igual mane a, se ejecu a diez eces cada algo i mo pa a ene en cuen a la
gene ación alea o ia de la población inicial.
En la Figu a 2.8b se ep esen a el en e de Pa e o ob enido po los es algo i mos.
28 Capí ulo 2. Es imación de pa áme os a a és de p oblema in e so
Tabla 2.2
Valo es medios de los esiduos en é minos de los ac o es de peso pa a la ac ua-
lización del modelo de EF basado en un único obje i o pa a los es algo i mos
me aheu ís icos.
Caso ∑w
j∑wm
j
GA (·10−3) PS (·10−3) HS (·10−3)
∑(
j)2∑( m
j)2∑(
j)2∑( m
j)2∑(
j)2∑( m
j)2
1 1 0 3,63 2,69 3,56 2,68 3,55 2,69
2 0,9 0,1 3,57 2,66 3,56 2,68 3,55 2,69
3 0,8 0,2 3,59 2,62 3,58 2,51 3,58 2,66
4 0,7 0,3 3,58 2,53 3,57 2,52 3,61 2,52
5 0,6 0,4 3,57 2,56 3,57 2,5 3,62 2,5
6 0,5 0,5 3,58 2,51 3,58 2,51 3,58 2,57
7 0,4 0,6 3,58 2,52 3,58 2,49 3,62 2,51
8 0,3 0,7 3,59 2,48 3,58 2,49 3,63 2,51
9 0,2 0,8 3,58 2,51 3,58 2,49 3,62 2,49
10 0,1 0,9 3,58 2,53 3,59 2,47 3,7 2,47
11 0 1 3,59 2,5 3,59 2,49 3,64 2,46
a)
45 6 7
·10−3
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7·10−3
1
2
GA
PS
HS
b)
4567
·10−3
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7·10−3
1
2
MGA
MPS
MHS
Figu a 2.8
Compa ación de los alo es esiduales en el espacio uncional mul iobje i o,
siendo
1
la componen e de la unción mul iobje i o asociada a los esiduos
de las ecuencias na u ales y
2
la componen e asociada a los esiduos de los
modos de ib ación, pa a los es algo i mos compa ados, a) en oque de un
único obje i o y b) en oque mul iobje i o.
Los iempos que ha a dado cada simulación son:
=307057 s
pa a el GA,
=121676 s
pa a el MHS y =240663 s pa a el PS.
De acue do a los esul ados pa a las diez simulaciones pueden saca se es conclusiones.
La p ime a es que la p ecisión de los algo i mos PS y MHS es mayo que la del GA ya que
2.6 Conclusiones 29
el en e de Pa e o de ambos pe mi e educi el alo o al de los esiduos. La segunda es
que la p ecisión en e el PS y el MHS es simila . La úl ima es que el iempo de simulación
del MHS es signi ica i amen e meno al de los o os dos algo i mos. Po an o, nue amen e
el MHS es el algo i mo más e icien e pa a esol e la ac ualización del modelo de EF
siguiendo un plan eamien o mul iobje i o.
2.5.5 Compa ación de los plan eamien os de único obje i o y mul iobje i o
La compa ación en e ambos en oques se e ec úa en base a es c i e ios: la capacidad de
as eo, el cos e compu acional y el ajus e de la solución.
En la Figu a 2.9 se ep esen a la solución ob enida po los es algo i mos pa a los
dos en oques. Puede ap ecia se que a pesa de que las soluciones ob enidas siguiendo el
plan eamien o de un único obje i o pe enecen al en e de Pa e o, se cen an en una sola
ama de la cu a. De es e modo, la capacidad de as eo del en oque de un único obje i o
es meno .
Po o o lado, el conjun o de soluciones del en oque mul iobje i o p esen an un mejo
ajus e ya que la dis ancia al o igen de coo denadas es meno que la de los pun os del
en oque de un obje i o, que se encuen an más lejos del pun o de la cu a que mejo
equilib a ambos esiduos (llamado knee poin ) [23].
Finalmen e, pa a compa a los iempos de simulación es p eciso ema ca que bajo el
en oque de un único obje i o se conside a la suma de los once casos ya que el es udio de
sensibilidad de los pesos es undamen al y necesa io pa a cada p oblema. De es e modo,
se ob iene que el iempo de simulación del algo i mo MHS es meno que el del algo i mo
HS (121676 s en e a 378180 s).
Po odos es os mo i os se puede jus i ica que el en oque mul iobje i o del algo i mo
HS (MHS) ep esen a la mejo opción pa a lle a a cabo la ac ualización del modelo de
EF de es uc u as ci iles.
2.6 Conclusiones
En es e capí ulo se han desc i o los dos en oques más gene ales que pueden segui se pa a
es ima pa áme os esol iendo un p oblema in e so. El es imado de máxima e osimili ud
es el empleado en es a esis debido a su buena elación cos e compu acional/p ecisión en
la solución. La es imación de los pa áme os se ealiza siguiendo un p oceso i e a i o que
puede plan ea se de dos mane as: conside ando una única unción obje i o o una unción
mul iobje i o.
Exis en di e sos algo i mos de op imización pa a esol e el p oceso i e a i o, siendo
los mé odos me aheu ís icos los más adecuados, ya que no ienen dependencia del alo
inicial y log an encon a el óp imo global.
En es e capí ulo se ha lle ado a cabo un análisis compa a i o pa a es ima qué algo i mo
es el que mejo endimien o o ece. Además, ambién se han analizado y compa ado los
dos en oques del p oblema, el de un único obje i o y el de mul iobje i o.
Como esul ado de es a compa ación se han ob enido dos conclusiones: la p ime a es
que el algo i mo HS es el más e icien e en los dos en oques y la segunda es que el en oque
mul iobje i o pe mi e ob ene una mejo solución al p oblema.

30 Capí ulo 2. Es imación de pa áme os a a és de p oblema in e so
3.544.5 5 5.5 6 6.577.5
·10−3
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7·10−3
1
2
GA
PS
HS
MGA
MPS
MHS
Figu a 2.9
Compa ación de los alo es esiduales en el espacio uncional mul iobje i o,
siendo
1
la componen e de la unción mul iobje i o asociada a los esiduos
de las ecuencias na u ales y
2
la componen e asociada a los esiduos de los
modos de ib ación, pa a los es algo i mos compa ados siguiendo ambos
en oques.
Es as dos conclusiones son la base pa a el desa ollo eó ico de los algo i mos que se
p oponen en es a esis en los Capí ulos 3 y 4.
3 Algo i mo híb ido UKF-HS pa a
es imación de pa áme os
En es e capí ulo se abo da la conside ación de los e o es en el p oceso de es imación y en
las medidas que apa ecen en el p oblema de ac ualización de pa áme os de modelos. En
p ime luga se esbozan las dis in as uen es de e o que apa ecen al cons ui un modelo
numé ico y es ima sus pa áme os. A con inuación se explica la eo ía que encie a el
il o de Kalman empleado y su o mulación, así como una p ime a aplicación. En es e
ejemplo se implemen a un algo i mo híb ido que combina el algo i mo GA y el il o de
Kalman explicado an e io men e.
Seguidamen e y a endiendo a las conclusiones del Capí ulo 2, se desc ibe la implemen a-
ción de un algo i mo híb ido basado en el MHS que esuel a el p oblema de op imización.
Pa a al in, el algo i mo MHS se combina con el il o de Kalman explicado. La en aja
de la implemen ación de es e algo i mo híb ido es doble. En p ime luga el iempo de
compu ación es educido y, en segundo luga , el e o en la medida y en el p oceso de es i-
mación no se igno an en la esolución del p oblema. La alidación del algo i mo se ealiza
esol iendo un p oblema de ac ualización del modelo de EF de una pasa ela de labo a o io.
Los esul ados se compa an con los ob enidos po dos algo i mos con encionales.
Finalmen e, se desc ibe una aplicación adicional del algo i mo híb ido p opues o basado
en el MHS y en el il o de Kalman, pa a la es imación de los pa áme os del modelo
dinámico de Winkle en un p oblema de in e acción suelo-es uc u a de una pasa ela.
Pa es de es e capí ulo se han publicado en los A ículos B, C y D.
3.1 Fuen es de e o
Cuando se cons uye el modelo numé ico/ma emá ico de un sis ema en an en juego
nume osos ipos de e o , algunos de los cuales se co igen median e la esolución del
p oblema de es imación de pa áme os (ince idumb e de los pa áme os). En cambio, hay
o os a los que hay que p es a a ención. Den o de es e segundo g upo se encuen an las
dos uen es de e o que se indican a con inuación [
82
]. En p ime luga , los e o es debido
31
32 Capí ulo 3. Algo i mo híb ido UKF-HS pa a es imación de pa áme os
a las hipó esis asumidas pa a ca ac e iza al sis ema. Es os e o es gene almen e su gen de
simpli icaciones en la modelización (po ejemplo, una placa modelizada como una iga) o
asumi compo amien o lineal cuando ealmen e es no lineal. En segundo luga , los e o es
gene ados po la dis e ización de la que hacen uso los mé odos numé icos, aunque suelen
igno a se al se de un o den muy in e io a los e o es en la modelización [99].
Sin emba go, cuando se o mula un p oblema de es imación de pa áme os no solo
apa ecen los e o es ci ados a iba asociados al modelo numé ico sino que ambién exis e
ince idumb e en los da os expe imen ales. Es os e o es pueden se alea o ios o sis e-
má icos debido a impe ecciones en los equipos de medida o en el p ocesamien o de las
señales.
Finalmen e, cuando se ealiza la ac ualización de pa áme os del modelo apa ece un
e o , denominado e o en el p oceso de es imación. Es e e o se u iliza pa a es ablece las
es imaciones de una i e ación basadas en la bondad de las es imaciones del paso an e io .
Pa a ene en cuen a las uen es de e o , an o del modelo como de las medidas y
p oceso de es imación, el algo i mo híb ido que se p opone en es e capí ulo hace uso de las
en ajas que p esen a el algo i mo UKF. En el siguien e apa ado se explica la o mulación
que sigue es e algo i mo.
3.2 Unscen ed Kalman Fil e
Debido a las en ajas sob e el EKF (Ex ended Kalman Fil e ), el algo i mo de minimización
local usado pa a acele a al algo i mo ha mony sea ch mul iobje i o (MHS) es el UKF
(Unscen ed Kalman Fil e ). Se a a de un algo i mo que no p ecisa de ealiza ninguna
ope ación di e encial ya que no es necesa io calcula el Jacobiano ni el Hessiano. El UKF
se desa olló pa a esol e p oblemas de es imación de pa áme os de la mano de Wan y
an de Me we [109, 108], asumiendo que puede se o mulado como:
θ
θ
θk=θ
θ
θk−1+wk−1(3.1)
zk=h(θ
θ
θk)+ k(3.2)
con
θ
θ
θ
siendo el ec o de pa áme os a es ima ,
h
la unción de modelización no lineal,
z
z
z
el ec o que ag upa las salidas del sis ema dinámico y
w
w
w
y
los uidos es adís icos del
p oceso de es imación y de las obse aciones, espec i amen e. Pa a la de inición de es os
dos úl imos é minos se asume que no es án co elacionados y que se a a de uido blanco
con media ce o y ma ices de co a ianza
Q
y
R
, espec i amen e. La ma iz
R
se calcula
como la suma de dos componen es, el uido en la medida y el uido en la modelización
[101].
La es imación se ealiza po medio de
2nd+1
, siendo
nd
el núme o de pa áme os a
es ima , pun os de mues eo de e minis as o pun os sigma que oman la an e io media
y co a ianza eal de las can idades a es ima . La p opagación de es os pun os a a és
de la unción no lineal
h
pe mi e de i a la media y la co a ianza pos e io . Los pun os
sigma se calculan median e la ac o ización aíz cuad á ica de la ma iz de co a ianza
pos e io ,
P
. Po ello, es a ma iz debe se semide inida posi i a en cada paso, lo que
supone el p incipal es ue zo compu acional del algo i mo. La ac o ización de Cholesky
3.2 Unscen ed Kalman Fil e 33
puede emplea se de mane a e icien e pa a ealiza es e p oceso. No obs an e, la ma iz
P
ha de ac ualiza se en cada paso y la apa ición de e o es numé icos puede da luga a
una ma iz no semide inida posi i a. El algo i mo squa e- oo UKF p opues o po an
de Me we y Wan [
106
] supe a es a limi ación ya que se e i a ac o iza en cada paso. En
su luga , la ac o ización de Cholesky (
A=√P=chol(P)
, siendo
P=AAT
) se p opaga
di ec amen e asegu ándose que la ma iz de co a ianza es semide inida posi i a.
El algo i mo consis e en los dos siguien es pasos. El paso de p edicción se lle a a
cabo conside ando los esul ados an e io es pa a calcula los pun os sigma, p edeci las
es imaciones de la ma iz de co a ianza del e o en la es imación,
Aθ
θ
θ
, y calcula las
salidas del modelo zk|k−1.
El paso de co ección o ac ualización es ima la media y co a ianza del e o en la
es imación pos e io en é minos de la ma iz de ganancia de Kalman,
K
, las medidas,
zobs, y las salidas del modelo ponde adas, ˆ
z.
La o mulación del algo i mo UKF es la siguien e (en el A ículo del Apéndice C se
encuen an más de alles de los undamen os ma emá icos de la o mulación):
ˆ
θ
θ
θ=θ
θ
θp io (3.3)
Aθ
0=chol(Pθ
0)(3.4)
Bucle p incipal: pa ak =1 : NUKF (núme o de i e aciones)
P edicción
Calcula los 2nd+1pun os sigma :(χk−1)i(3.5)
(χk|k−1)i= (χk−1)i(3.6)
θ
θ
θk|k−1=
2nd
∑
0
Wi·(χk|k−1)i(3.7)
Aθ
k|k−1=γ−0.5Aθ
k−1|k−1(3.8)
(zk|k−1)i=h((χk−1)i)(3.9)
ˆzk|k−1=
2nd
∑
0
Wi·(zk|k−1)i(3.10)
Co ección
Sz
k|k−1=q ([qW1:2nd·[(zk|k−1)1:2nd−ˆ
zk|k−1]√R]) (3.11)
Sz
k|k−1=cholupda e(Sz
k|k−1,(zk|k−1)0−ˆ
zk|k−1,sgn(W0)) (3.12)
40 Capí ulo 3. Algo i mo híb ido UKF-HS pa a es imación de pa áme os
Tabla 3.4
Compa ación de los es algo i mos pa a la ac ualización del modelo de EF de
la pasa ela de labo a o io siguiendo el en oque de un único obje i o. I e es el
núme o de i e aciones, Pob es el amaño de la población, E al es el núme o de
e aluaciones de la unción obje i o y el alo de la unción obje i o.
I e Pob NUKF Pθ
0Rj j E al Tiempo
[s]
GA 50 20 - - - 1020 9790 0.0036
HS 500 20 - - - 520 6640 0.0033
UKF-HS
2 5 1 diag((θ
θ
θu−θ
θ
θl
2000 )2)0.001 147 2100 0.0037
2 5 3 diag((θ
θ
θu−θ
θ
θl
500 )2)0.001 441 5680 0.0034
2 5 3 diag((θ
θ
θu−θ
θ
θl
2000 )2)0.001 441 5710 0.0033
2 5 3 diag((θ
θ
θu−θ
θ
θl
4000 )2)0.001 441 5690 0.0036
2 5 3 diag((θ
θ
θu−θ
θ
θl
2000 )2)0.1441 5680 0.0060
2 5 3 diag((θ
θ
θu−θ
θ
θl
2000 )2)0.0001 441 5640 0.0040
2 5 5 diag((θ
θ
θu−θ
θ
θl
2000 )2)0.001 735 9440 0.0033
siguien es alo es:
NUKF =3
,
Rj j =0.001
y
Pθ
0=diag((θ
θ
θu−θ
θ
θl
2000 )2)
, ya que mejo an la
p ecisión sin sac i ica el iempo de compu ación.
Los esul ados se compa an con los p opo cionados po dos algo i mos di e en es, el
HS y el GA. Pa a el p ime o se adop an los mismos alo es de los pa áme os
hmc
,
pa
y
bw. En el segundo caso, se asume que la elación de c uce es de 0.8 y la de mu ación 0.4
[
74
]. Es a compa ación se es ablece en base a dos c i e ios, la elocidad de con e gencia,
analizada a a és del iempo de simulación y el núme o de e aluaciones de la unción
obje i o, y la p ecisión del ajus e, analizada a a és del alo de la unción obje i o. Los
esul ados ob enidos median e es os dos algo i mos se incluyen en la Tabla 3.4.
A la is a de los esul ados, el algo i mo híb ido UKF-HS demues a se el más e icien e
ya que p esen a la misma p ecisión en el esul ado que el HS pe o siendo el iempo de
simulación y el núme o de e aluaciones de la unción obje i o meno . Además, es p eciso
incidi en que el GA es el menos e icien e de los es compa ados pa a esol e es e
p oblema de ac ualización.
Ac ualización u ilizando el algo i mo UKF-MHS
La ac ualización del modelo de EF de la pasa ela se lle a a cabo ambién aplicando el
algo i mo híb ido basado en un en oque mul iobje i o del p oblema de op imización. Los
pa áme os del algo i mo híb ido son los mismos que los adop ados pa a la esolución
del p oblema de un único obje i o. La selección del pun o óp imo de en e odos aquellos
que o man el en e de Pa e o se hace aplicando el mé odo de in e sección no mal al

3.4 Aplicación pa a es ima los pa áme os del modelo dinámico de Winkle 41
con o no [
23
]. Con el in de compa a los esul ados con o os algo i mos, la ac ualización
del modelo de EF se ealiza ambién aplicando los algo i mos MHS y el GA mul iobje i o
(MGA), adop ando los mismos alo es de los pa áme os de los dos algo i mos que en el
caso an e io .
En p ime luga , se ealiza un análisis de sensibilidad de los pa áme os del algo i -
mo híb ido. Pa a ello, se conside an los es mismos pa áme os,
NUKF
,
Rj j
y
Pθ
0
. Los
esul ados de es e análisis se mues an en la Tabla 3.5. En elación al pa áme o
NUKF
se
ob iene una elación di ec a en e el alo de es e pa áme o y la p ecisión del ajus e y una
elación in e sa en e es e pa áme o y el iempo de simulación. Respec o al pa áme o
Rj j
, un alo in e medio,
Rj j =0.001
, mejo a la p ecisión del ajus e sin comp ome e
el iempo de simulación. Finalmen e, el pa áme o
Pθ
0
do a de una mayo p ecisión en el
ajus e cuando su alo disminuye aunque su in luencia no es signi ica i a. Los alo es
que se adop an pa a los es pa áme os son los siguien es:
NUKF =3
,
Rj j =0.001
y
Pθ
0=diag((θ
θ
θu−θ
θ
θl
2000 )2).
Finalmen e, el endimien o del algo i mo híb ido aplicado a la ac ualización del modelo
de EF se compa a con el de los dos algo i mos con encionales mencionados an e io men e,
el MHS y el GA. Como c i e ios de compa ación se ienen en conside ación el núme o de
e aluaciones de la unción obje i o y el iempo de simulación pa a analiza la elocidad
de con e gencia y, po o o lado, la p ecisión en el ajus e e aluada en é minos de la
dis ancia en e el pun o seleccionado del en e de Pa e o y el o igen y de la suma de los
dos é minos de la unción obje i o. En la Tabla 3.5 se de allan los esul ados ob enidos
pa a la ac ualización del modelo de EF implemen ando los es algo i mos. A endiendo a
los esul ados puede comp oba se que el algo i mo UKF-MHS es más e icien e, ya que
iene un iempo de simulación meno alcanzando la misma p ecisión en el ajus e. Po
o o lado, es nue amen e des acable que el algo i mo MGA es el que p opo ciona un peo
ajus e, además, con un iempo de simulación mayo .
Median e es os dos p oblemas de op imización se ha alidado el algo i mo híb ido
p opues o an o en la e sión pa a un único obje i o como la de mul iobje i o.
3.4 Aplicación pa a es ima los pa áme os del modelo dinámico de
Winkle
Además de es ima los pa áme os del modelo de EF de una es uc u a, el algo i mo híb ido
p opues o en es e capí ulo puede implemen a se pa a esol e cualquie p oblema donde
haya que es ima pa áme os de un sis ema donde hay in oluc adas mediciones. En es e
apa ado, el algo i mo se aplica pa a es ima los pa áme os del modelo dinámico de
Winkle pa a la in e acción suelo-es uc u a de una pasa ela in eg al de es uc u a mix a
de ace o y ho migón si uada en la p o incia de Se illa ( e Figu a 3.4).
El modelo de Winkle es un modelo simpli icado pa a simula la in e acción suelo-
es uc u a. Su o mulación depende del ipo de cimen ación que enga la es uc u a, que
g osso modo, pueden clasi ica se en cimen aciones di ec as y cimen aciones p o undas.
El p ime caso se ca ac e iza po que las cimen aciones son, gene almen e, es uc u as
masi as ígidas que se modelizan a a és de elemen os muelle-amo iguado equi alen es
42 Capí ulo 3. Algo i mo híb ido UKF-HS pa a es imación de pa áme os
Tabla 3.5
Compa ación de los es algo i mos pa a la ac ualización del modelo de EF de la
pasa ela de labo a o io siguiendo el en oque mul iobje i o. I e es el núme o de
i e aciones, Pob es el amaño de la población, N.Pob es el amaño de la población
que se c ea en cada i e ación, E al es el núme o de e aluaciones de la unción
obje i o, Dis es la dis ancia euclídea al o igen y Sum es la suma de 1y 2.
I e Pob N.Pob NUKF Pθ
0Rj j E al Tiempo [s] Dis Sum
(·10−5) (·10−4) (·10−4)
MGA
25 50 - - - - 1450 0.18 50.7 68.6
45 50 - - - - 2570 0.33 50.2 66.9
150 10 - - - - 16600 2.12 52.0 68.0
MHS
50 50 25 - - - 1300 0.17 45.4 62.1
100 100 25 - - - 2600 0.33 45.1 61.8
300 200 50 - - - 15200 1.98 43.7 60.6
UKF-MHS
3 10 3 3 diag((θ
θ
θu−θ
θ
θl
2000 )2)0.001 1197 0.16 45.2 62.1
3 10 3 3 diag((θ
θ
θu−θ
θ
θl
500 )2)0.001 1197 0.15 43.0 63.5
3 10 3 3 diag((θ
θ
θu−θ
θ
θl
4000 )2)0.001 1197 0.15 44.6 61.4
3 10 3 3 diag((θ
θ
θu−θ
θ
θl
2000 )2)0.11197 0.15 52.6 71.3
3 10 3 3 diag((θ
θ
θu−θ
θ
θl
2000 )2)0.0001 1197 0.15 145.0 177.6
8 15 3 3 diag((θ
θ
θu−θ
θ
θl
2000 )2)0.001 2457 0.32 44.3 61.1
20 40 10 3 diag((θ
θ
θu−θ
θ
θl
2000 )2)0.001 15120 1.96 43.7 60.4
3 8 3 1 diag((θ
θ
θu−θ
θ
θl
2000 )2)0.001 357 0.05 50.6 68.2
3 8 3 3 diag((θ
θ
θu−θ
θ
θl
2000 )2)0.001 1071 0.14 49.1 66.5
3 8 3 5 diag((θ
θ
θu−θ
θ
θl
2000 )2)0.001 1785 0.23 45.2 62.0
[
35
] (Figu a 3.5). No obs an e, pa a ni eles bajos de ib ación de la cimen ación la compo-
nen e de amo iguamien o puede se excluida sin pe juicio de la alidez en la simulación.
La igidez equi alen e en los seis g ados de libe ad, es de aslación y es de gi o, se
calculan a pa i de los da os geomé icos de la cimen ación y de los pa áme os mecánicos
del suelo ya sean cimen aciones embebidas en el suelo o supe iciales según la o mula-
ción p opues a po Gaze as [
35
]. En el A ículo del Apéndice D se pueden consul a las
ó mulas que pe mi en ob ene las igideces del modelo de in e acción suelo-es uc u a.
Po o o lado, las cimen aciones p o undas se ca ac e izan po se es uc u as lexibles
y esbel as cuyo compo amien o es uc u al depende p incipalmen e de su longi ud. En
es e caso es p eciso ene en cuen a la componen e de amo iguamien o pa a simula
adecuadamen e la in e acción suelo-es uc u a ya que los e ec os dinámicos ienen una
mayo in luencia (Figu a 3.5). El modelo dinámico de Winkle es el modelo más simple
debido a la buena elación en e complejidad y p ecisión en los esul ados que o o ga.
La igidez se calcula en unción de las p opiedades del suelo y de la cimen ación. El
amo iguamien o se calcula como la suma de dos mecanismos de disipación de ene gía, a
sabe , amo iguamien o his e é ico (debido al ma e ial) y amo iguamien o po adiación
[
36
]. Se asume que la con ibución del amo iguamien o his e é ico no se iene en cuen a
3.4 Aplicación pa a es ima los pa áme os del modelo dinámico de Winkle 43
a) b)
c)
Figu a 3.4
Pasa ela pa a la es imación de los pa áme os del modelo dinámico de Winkle :
a) is a on al, b) plano de la sección y c) plano de alzado.
en la o mulación del p oblema ya que p esen a dos ó denes de magni ud in e io al
amo iguamien o de adiación en el ango de ecuencias de in e és. En el A ículo del
Apéndice D se encuen an las ecuaciones empleadas pa a calcula la componen e de
igidez y de amo iguamien o del modelo dinámico de Winkle .
La pasa ela in eg al iene un único ano de
12 m
de longi ud y
2.5m
de ancho. La
sección ans e sal es mix a con un cajón de ace o de
0.4m
de al o y un able o de
ho migón de
0.2m
de al o y
2.5m
de ancho. Los es ibos de los ex emos se apoyan sob e
4 mic opilo es de
0.2m
de diáme o y
15 m
de longi ud. El modelo de EF se implemen a en
el so wa e ANSYS [
78
]. El able o de ho migón, la sección cajón de ace o, la ba andilla
y los mic opilo es se modelizan median e elemen os ipo iga de dos nodos y seis g ados
de libe ad po nodo (Beam188). La in e acción suelo-es uc u a se simula median e
elemen os ipo muelle-amo iguado unidimensionales (COMBIN14) colocados en cada
nodo de los mic opilo es y los es ibos (Figu a 3.5). El modelo de EF p esen a un o al de
2008 elemen os.
Pa a la ca ac e ización de los elemen os muelle-amo iguado se pa e de los da os
del e eno, que consis e en una p ime a capa de ma e ial de elleno de
5m
de espeso y
una segunda capa de a cilla de espeso inde inido y de los que se dispone el alo de la
densidad, módulo de Young, coe icien e de Poisson y coe icien e de balas o. El análisis
modal da como esul ados las es ecuencias na u ales numé icas y sus amo iguamien os
numé icos asociados,
ξnum
, que se mues an en la Tabla 3.6. Las p opiedades modales
expe imen ales se ob ienen median e el análisis modal ope acional de las señales de
44 Capí ulo 3. Algo i mo híb ido UKF-HS pa a es imación de pa áme os
Figu a 3.5
Modelo de in e acción suelo-es uc u a de cimen aciones supe iciales y p o-
undas y modelo de EF de la pasa ela. [Tomada del A ículo del Apéndice D].
Tabla 3.6
P opiedades modales numé icas y expe imen ales de la pasa ela in eg al an es
de la ac ualización.
Modo num [Hz] exp [Hz]ξnum [%]ξexp [%]∆ [%]∆ξ[%]MAC [-]
1 15.322 15.602 3.103 4.650 1.795 33.268 0.975
2 32.179 35.971 1.121 1.049 10.542 6.863 0.692
3 38.614 40.017 0.700 4.846 3.506 85.555 0.907
acele aciones medidas du an e un ensayo de ib ación ambien al. En el A ículo del
Apéndice D se encuen an más de alles sob e la con igu ación del ensayo y el a amien o de
las señales. Las es ecuencias na u ales expe imen ales ob enidas se ecogen en la Tabla
3.6. Además, ambién se han calculado los amo iguamien os modales expe imen ales,
ξexp
,
[
70
]. Puede obse a se que el modelo no simula el compo amien o eal de la es uc u a
ya que exis en di e encias al as en e los alo es numé icos y expe imen ales, po lo que
se p ocede a ac ualiza el modelo [117].
El conjun o de pa áme os seleccionado esul a de la combinación de aquellos que
ienen una mayo in luencia en la ene gía de de o mación modal y los pa áme os que
3.5 Conclusiones 45
Tabla 3.7 P opiedades modales numé icas y expe imen ales de pasa ela in eg al después
de la ac ualización.
Modo num [Hz] exp [Hz]ξnum [%]ξexp [%]∆ [%]∆ξ[%]MAC [-]
1 16.380 15.602 4.588 4.650 4.987 1.333 0.975
2 35.377 35.971 1.058 1.049 1.651 0.858 0.907
3 40.599 40.017 4.701 4.846 1.454 2.992 0.964
ca ac e izan el enómenos de in e acción suelo-es uc u a. Den o de és os úl imos se
hallan: el módulo de Young del elleno y de la a cilla y el coe icien e de balas o ambién
de ambos ma e iales.
Pa a la implemen ación del algo i mo híb ido se adop an los siguien es alo es. El
núme o de a monías gene adas alea o iamen e po el algo i mo MHS al inicio de la
simulación es de 40, en cada i e ación del MHS se c ean 20 a monías nue as y el núme o
de i e aciones del MHS es de 20. Respec o a la implemen ación del algo i mo UKF
se conside an 5 i e aciones, el ec o de obse aciones se cons uye a pa i de las es
ecuencias na u ales expe imen ales, los es amo iguamien os expe imen ales y es
componen es uni a ias ela i as al esiduo de los modos. Se adop an los siguien es alo es
pa a los ac o es de escala: λ=0.0001 [4] y pa a γ=0.99 [106].
A di e encia de las o as aplicaciones, en es e p oblema se conside an es unciones
obje i os que se de inen a pa i de los esiduos de las ecuencias na u ales, modos de
ib ación y amo iguamien os modales, espec i amen e. La ac ualización del modelo
de EF iene de es e modo dos en ajas. La p ime a es ob ene un modelo de EF más
p eciso y la segunda es de ini el modelo dinámico de Winkle a pa i de los alo es de
los pa áme os del e eno ac ualizados.
Los pa áme os del e eno ob enidos son: módulo de Young del elleno:
7.77·108N/m2
;
módulo de Young de la a cilla:
3.5·107N/m2
; coe icien e de balas o del elleno:
4.16 ·
107N/m3
y coe icien e de balas o de la a cilla:
1.27 ·108N/m3
. A pa i de es os alo es se
es iman los pa áme os del modelo dinámico de Winkle dando como esul ado: igidez en
la capa del elleno:
4.16 ·106N/m
; amo iguamien o en la capa del elleno:
7.93 ·105sN/m
;
igidez en la capa de a cilla:
1.27 ·107N/m
y amo iguamien o en la capa de a cilla:
1.68 ·105sN/m
. La alidación de es os esul ados se ealiza en base a la di e encias en e
las p opiedades modales expe imen ales y ac ualizadas. Como puede obse a se en la
Tabla 3.7, las di e encias ela i as en e ecuencias na u ales y amo iguamien os han
disminuido y el alo del MAC ha aumen ado. Además, al habe de inido un ango de
búsqueda pa a los pa áme os, se ga an iza que los alo es encon ados man ienen un
signi icado ísico adecuado.
3.5 Conclusiones
Los algo i mos de op imización usados pa a la es imación de pa áme os de es uc u as
de ingenie ía ci il, gene almen e, no ienen en conside ación el e o en el p oceso de
es imación ni en las medidas. En el p esen e capí ulo se ha p opues o, desa ollado e

46 Capí ulo 3. Algo i mo híb ido UKF-HS pa a es imación de pa áme os
implemen ado un algo i mo híb ido que pe mi a esol e de mane a e icien e el p oblema
de es imación de pa áme os bajo la hipó esis de e o es asumidos como uido blanco
gaussiano en las medidas y en el p oceso de es imación.
Es e algo i mo esul a de la combinación de dos écnicas, un algo i mo de búsqueda
global, el algo i mo HS, y o o algo i mo de búsqueda local, el algo i mo UKF. Bajo
es e esquema, el ca ác e local del algo i mo UKF acele a la búsqueda de una solución
global po pa e del algo i mo HS. Pa a ga an iza el buen uncionamien o del algo i mo en
múl iples p oblemas, se ha desa ollado pa a dos casos dis in os: el en oque de op imización
de un solo obje i o y el en oque de op imización mul iobje i o.
Es a p opues a se ha alidado a a és de la solución de un p oblema de ac ualización
del modelo de EF de una pasa ela donde se es iman los pa áme os ísicos del modelo de
mane a que las p opiedades modales numé icas y expe imen ales de la pasa ela sean lo
más pa ecidas posible. El p oblema se ha esuel o asumiendo los dos en oques ci ados
an e io men e y los esul ados se han compa ado con los ob enidos po dos algo i mos
me aheu ís icos con encionales. La compa ación ha demos ado que el algo i mo p opues o
es más e icien e ya que log a esul ados más p ecisos en un iempo de simulación meno .
Finalmen e, se ha desc i o una aplicación adicional del algo i mo pa a esol e un
p oblema de es imación de pa áme os. Es e p oblema consis e en la es imación de los
pa áme os del modelo dinámico de Winkle pa a el modelo de una pasa ela in eg al
donde el enómeno de in e acción suelo-es uc u a iene g an in luencia. De es a o ma se
p ueba que el algo i mo híb ido puede ex ende se con éxi o a o os ipos de p oblemas de
ingenie ía ci il.
4 Algo i mo colabo a i o de
in eligencia a i icial pa a
es imación de pa áme os
El p esen e capí ulo abo da la implemen ación de un nue o algo i mo colabo a i o que,
además de educi el iempo de compu ación, pe mi e elegi la mejo solución en e odo
el conjun o de posibles soluciones óp imas que o man el en e de Pa e o de una mane a
obus a. Pa es del p esen e capí ulo se pueden encon a en los A ículos de los Apéndices
E y F.
La o ganización del capí ulo es la siguien e. En p ime luga se expone el p oblema
que p esen a el uso de algo i mos de op imización mul iobje i o. Bajo es e en oque no se
ob iene una solución única, sino un conjun o de soluciones y, po an o, pa a inaliza el
p oblema, hay que elegi el pun o óp imo de en e odos ellos. Se desc iben los mé odos
más comunes encon ados en la li e a u a pa a esol e es e p oblema.
Seguidamen e se desc ibe el algo i mo que se p opone en es a esis pa a esol e p o-
blemas de es imación de pa áme os empleando algo i mos mul iobje i o, educiendo el
cos e compu acional e implemen ando un mé odo pa a esol e la oma de decisiones de
mane a obus a. Asimismo, se de allan las écnicas de in eligencia a i icial y numé icas
que se conside an en el algo i mo.
Finalmen e se expone una aplicación del algo i mo pa a su alidación, aplicándolo a un
p oblema de ac ualización del modelo de EF de una pasa ela.
4.1 El p oblema de la oma de decisiones en op imización mul iobje-
i o
La esolución de un p oblema de op imización mul iobje i o da como esul ado el en e
de Pa e o, que es á o mado po la on e a de pun os pa a los que no exis e o a solución
al que mejo e un obje i o sin sac i ica el o o. Cada pun o que o ma es a cu a es una
posible solución al p oblema y la elección de la solución más adecuada gene almen e no
47
48 Capí ulo 4. Algo i mo colabo a i o de in eligencia a i icial pa a es imación de pa áme os
es inmedia a ya que no exis e un pun o que minimice ambos obje i os simul áneamen e
( e Figu a 4.1). Pa a ayuda en la a ea de elegi la mejo solución se ealiza un análisis
eniendo en cuen a múl iples c i e ios que pe mi e ob ene la solución óp ima de una
mane a sis emá ica. No obs an e, como puede ap ecia se en la Figu a 4.1, la solución
óp ima es sensible a la disc e ización del en e de Pa e o, ya que a meno núme o de
pun os la p obabilidad de que la solución óp ima es é mal ep esen ada es mayo .
easible
egion
In easible
egion
GOOD ←− Objec i e 1 −→BAD
GOOD ←− Objec i e 2 −→BAD
Pa e o-op imal on
Domina ed solu ions
U opian solu ion
Figu a 4.1
Rep esen ación de comp omiso en una op imización de dos obje i os. Tomada
del A ículo E.
A es e ipo de análisis se les denomina p oblema o es a egia de oma de decisiones y
pueden clasi ica se según el momen o en el que se aplica en [14]:
•
Mé odos a p io i: an es de ealiza el p oceso de op imización es necesa io apo a
su icien e in o mación sob e la p e e encia de los obje i os.
•
Mé odos in e ac i os: consis e en exp esa las p e e encias en cada i e ación del
algo i mo de op imización.
•
Mé odos a pos e io i: Las p e e encias ace ca de los obje i os se in oducen una
ez ealizado el p oceso de op imización.
Los mé odos a pos e io i cons i uyen la opción más empleada debido a dos azones. La
p ime a de ellas es que la oma de decisión se ealiza conside ando oda la in o mación de
comp omiso en e los obje i os. La segunda azón es que los algo i mos son más simples
en compa ación con aquellos empleados en los o os dos mé odos ya que no es necesa io
modi ica los pa a inclui las p e e encias. Las p e e encias se o mulan de mane a que
haya un comp omiso en e los alo es de los obje i os. En es e sen ido, la solución del
en e de Pa e o que pa a una pequeña mejo a en un obje i o conlle e un g an de e io o en
al menos o o obje i o es las más adecuada. Es e pun o se conoce como knee poin [
22
].
4.1 El p oblema de la oma de decisiones en op imización mul iobje i o 49
Po an o, la de inición del knee poin es undamen al a la ho a de esol e el p oblema
de oma de decisiones. Exis en en la li e a u a di e sas de iniciones del knee poin , de las
cuales se desc ibi án a con inuación las más empleadas. En el A ículo del Apéndice E se
puede encon a una de inición más de allada de cada uno de los siguien es mé odos.
•Mé odo de in e sección no mal al con o no [22].
La idea de es e mé odo es uni median e una línea ec a los dos pun os ex emos del
en e de Pa e o no malizado pa a cons ui el con o no. El pun o que se encuen e
a una mayo dis ancia en la di ección no mal al con o no es el knee poin .
•Mé odo del ángulo de e lexión [15].
Es e mé odo de ine el knee poin como aquel que enga el máximo ángulo de e lexión
con el pun o inmedia amen e p óximo a la izquie da y a la de echa.
•Mé odo del ángulo de lexión [23].
Análogo al an e io , el knee poin que p opo ciona es e mé odo es aquel que iene el
máximo ángulo de lexión posi i o.
•Mé odo basado en la u ilidad [15].
Es e mé odo equie e de ini una unción de u ilidad lineal que es unción del alo
de los dos obje i os y de un pa áme o, λ:
U( ,λ) = λ 1+(1−λ) 2(4.1)
siendo
1
y
2
el alo de los dos obje i os de un pun o del en e de Pa e o. La
aplicación del mé odo consis e en los siguien es pasos: i) pa a cada solución del
en e de Pa e o se de ine un con ado
c
que oma el alo nulo inicialmen e, ii) se
oma un ec o con alo es de
λ∈[0,1]
di idiendo el ango en un núme o dado,
iii) pa a cada alo de
λ
se calcula el alo de
U( ,λ)
pa a odos los pun os del
en e de Pa e o, i ) pa a cada alo de
λ
a aquella solución del en e de Pa e o
que enga el alo mínimo de
U
se le inc emen a su con ado en una unidad, ) se
epi en los pasos ii)-i ) i e a i amen e. Pa a ga an iza la p ecisión de es e mé odo
es undamen al que el núme o de di isiones del ango ealizado en el paso ii) no
sea el mismo en cada i e ación. La solución del en e de Pa e o con mayo alo de
ces el knee poin .
•Mé odo de comp omiso [23].
Finalmen e, es e mé odo do a al usua io de un mayo con ol en la oma de decisiones
ya que se especi ican dos pa áme os,
α
y
β
, pa a p opo ciona la in o mación sob e
la p e e encia en el balance de obje i os.
En el A ículo del Apéndice E se ealiza un análisis compa a i o de los mé odos an e io-
es pa a la ob ención de la mejo solución de en e el conjun o de posibles soluciones que
o man el en e de Pa e o. Pa a al in, el modelo de EF de una pasa ela eal se ac ualiza en
base a las p opiedades modales expe imen ales empleando un algo i mo de op imización
con dos unciones obje i os. En la Figu a 4.2 se mues a el en e de Pa e o esul an e y la
solución óp ima según los cua o p ime os mé odos an e io es, siendo NBI el mé odo de
56 Capí ulo 4. Algo i mo colabo a i o de in eligencia a i icial pa a es imación de pa áme os
Figu a 4.5
Pasa ela en es udio: a) ilus ación de la pasa ela, b) modelo de EF y c) con igu-
ación del ensayo de ib ación ambien al.
4.3.1 Ac ualización del modelo de EF aplicando el algo i mo colabo a i o
Pa a esol e el p oblema de ac ualización del modelo de EF de la pasa ela se eligen como
a iables de diseño los pa áme os ísicos del modelo que p esen an mayo ince idumb e.
La elección de es os pa áme os a ac ualiza se hace de mane a sis emá ica ealizando
un análisis de sensibilidad que pe mi e conoce aquellos que engan mayo in luencia en
alguna ca ac e ís ica de e e encia de la es uc u a. La ene gía de de o mación modal,
siguiendo la o mulación de Fox y Kapoo [
29
], es el pa áme o empleado pa a dilucida
cuáles son los pa áme os ísicos que más in luyen en el compo amien o dinámico de la
pasa ela. En la Figu a 4.6 se ep esen a la ma iz de sensibilidad, donde puede ap ecia se
aquellos pa áme os que ienen una mayo in luencia en la ene gía de de o mación modal.
En is a a los esul ados, se oman los siguien es doce pa áme os de ac ualización: igidez
de la in e acción suelo-pilo e de cada pilo e ( es), igideces en los es ibos (longi udinal,
ans e sal, gi o sob e eje e ical y gi o sob e eje ans e sal), módulo de Young del
able o y módulos de Young del ace o de cada ano (cua o). En el A ículo del Apéndice F

4.3 Ejemplo de aplicación 57
Tabla 4.1 P opiedades modales numé icas y expe imen ales de la pasa ela.
Modo num [Hz] exp [Hz]∆ [%]MAC [-]
1. La e al 1.704 1.872 -8.974 0.997
2. La e al 3.560 3.506 1.540 0.969
3. La e al 6.424 5.851 9.793 0.922
4. Longi udinal 6.610 6.914 -4.397 0.966
5. La e al 8.868 8.217 7.923 0.958
6. La e al 9.486 8.515 11.403 0.929
7. Ve ical 9.483 9.189 3.199 0.947
8. Ve ical 9.720 9.483 2.499 0.914
9. Ve ical 11.788 11.240 4.875 0.875
10. La e al 13.854 11.828 17.129 0.765
11. Ve ical 14.068 12.812 9.803 0.816
se puede encon a una desc ipción más de allada del análisis de sensibilidad lle ado a
cabo.
Figu a 4.6
Rep esen ación g á ica de la ma iz de sensibilidad pa a la elección de los
pa áme os a ac ualiza .
La es imación de pa áme os empleando el algo i mo colabo a i o comienza con la
gene ación de un conjun o de posibles soluciones alea o ias. Pa a ello, 100 a monías
iniciales se c ean alea o iamen e usando el algo i mo MHS donde cada a monía es un ec o
de 12 componen es (los 12 pa áme os ísicos a ac ualiza ). Pa a ob ene el en e de Pa e o
poco poblado se adop an los siguien es alo es pa a los pa áme os del algo i mo MHS:
núme o máximo de i e aciones, 100; nue as a monías en cada i e ación, 25;
hmc =0.8
y
58 Capí ulo 4. Algo i mo colabo a i o de in eligencia a i icial pa a es imación de pa áme os
pa =0.4
[
110
]. La ejecución de es e p oceso i e a i o iene una du ación de
1=11700 s
,
empleado un o denado con un p ocesado de
3.6GHz
y una memo ia RAM de
8Gb
. En
la Figu a 4.7a se mues a el en e de Pa e o poco poblado ob enido median e el algo i mo
MHS.
A con inuación, se ealiza el análisis de componen es p incipales del en e de Pa e o. La
ma iz de co a ianza de los da os se descompone aplicando el mé odo de descomposición
en alo es singula es. En la Figu a 4.7b se puede obse a la ep esen ación en el espacio
de componen es p incipales del en e de Pa e o p ocesado. Como se indicó an e io men e,
es a ep esen ación oma la o ma de una cu a con exa cuya p incipal en aja es la
simplicidad que oma la de inición de knee poin . La ejecución de es e paso es inmedia a
asumiendo que el o den de magni ud del p oceso comple o se á del o den de
1
. Po ello,
el iempo de ejecución de es e paso se edondea a 2=1s.
Al se el en e de Pa e o p ocesado una cu a o mada po pocos pun os, cabe la
posibilidad de que no enga ep esen ada la solución óp ima del p oblema. La ed neu onal
a i icial pe mi e ene una unción con inua que ap oxima al en e de Pa e o p ocesado.
La con igu ación de es a ed neu onal consis e en una capa de en ada con 12 neu onas
(pa áme os a es ima ), una capa de salida con 2 neu onas (núme o de unciones obje i o)
y una capa ocul a como se jus i icó an e io men e. El núme o de neu onas de es a capa
ocul a se calcula empleando la egla de Ke manshahi [56]
neu onas =m+n
2+δ(4.2)
siendo
m=12
,
n=2
y
δ
un ac o de no malización que puede oma el alo de 1 o
2. Asumiendo
δ=1
se ob iene que el núme o de neu onas de la capa ocul a de 8. El
en enamien o de la ed pa a calcula los pesos de las conexiones en e neu onas se ealiza
usando el algo i mo de Le enbe g-Ma qua d , o mulando la unción de e o median e el
e o cuad á ico medio [
41
]. La con e gencia del algo i mo de en enamien o se alcanza
en la i e ación 8 eniendo un iempo de ejecución del o den de
3=1s
. En la Figu a 4.7b se
ep esen a el en e de Pa e o ap oximado po la ed neu onal donde puede con empla se
la exac i ud con la que la ed ap oxima los pun os.
Finalmen e, ap o echando las i udes que el en e de Pa e o ap oximado p esen a po
sus p opiedades con exas, la elección del knee poin se ealiza esol iendo un p oblema
de minimización con es icciones usando el algo i mo de minimización local ac i e-
se . Las es icciones implemen adas en el algo i mo ep esen an los lími es donde el
en e de Pa e o ap oximado queda de inido. El iempo de simulación de es e paso es
de ap oximadamen e
4=2s
. En el A ículo del Apéndice F se pueden consul a más
de alles sob e la esolución del p oblema de ac ualización del modelo de EF empleando el
algo i mo colabo a i o p opues o.
La solución ob enida es la solución óp ima al p oblema de es imación de pa áme os
y los pa áme os ísicos asociados son aquellos que asegu an el mejo ajus e en e las
p opiedades modales numé icas y expe imen ales de la pasa ela.
4.3 Ejemplo de aplicación 59
a)
8·10−29·10−20.1 0.11 0.12
5.5
6
6.5
7
7.5
8·10−2
1
2
b)
−2·10−202·10−2
−4
−2
0
2
4
6·10−3
P ime a componen e p incipal
Segunda componen e p incipal
Valo eal
Salida es imada
Figu a 4.7
F en e de Pa e o del p oblema de es imación de pa áme os de la pasa ela: a)
O iginal poco poblado, b) en e de Pa e o p ocesado en el espacio de compo-
nen es p incipales y ap oximado po la ed neu onal a i icial.
4.3.2 Compa ación de esul ados y iempos de ejecución con un algo i mo con encional
Pa a e alua el endimien o del algo i mo colabo a i o p opues o, se compa an los esul a-
dos y el iempo de simulación con los de la ac ualización del modelo de EF conside ando el
algo i mo MHS de mane a clásica, es deci , gene ando como esul ado un en e de Pa e o
con muchos pun os y p ocesándolo con alguno de los mé odos de oma de decisiones.
Se asume, po an o, que pa a ga an iza que el en e de Pa e o es á bien de inido
la población inicial del algo i mo MHS es de 200 a monías gene adas alea o iamen e.
Los alo es de
hmc
y
pa
son los mismos indicados an e io men e. El p oblema de la
oma de decisiones pa a ob ene la solución óp ima se esuel e empleando el mé odo
de in e sección no mal al con o no desc i o en el apa ado 4.1 [
22
]. Pa a en iquece la
compa ación en e ambos mé odos se lle a a cabo un es udio de sensibilidad pa a analiza
la a iación de la mejo solución en é minos del núme o de i e aciones conside ado. Con
es e p opósi o, la ac ualización del modelo de EF se esuel e pa a cua o alo es di e en es
del núme o de i e aciones: 150, 200, 250 y 300.
En las Figu as 4.8a-d se ep esen a una compa ación g á ica de la solución ob enida
empleando el algo i mo colabo a i o y las soluciones conside ando el algo i mo MHS
con encional. Además, en la Tabla 4.2 se mues a numé icamen e la compa ación en e las
soluciones en é minos de dis ancia en e los pun os ob enidos po el algo i mo colabo a i o
y el con encional y en é minos del iempo de simulación. El iempo que a da el algo i mo
colabo a i o se ob iene como la suma de 1, 2, 3y 4.
Queda ilus ado el buen endimien o del algo i mo colabo a i o pa a abo da p oblemas
de es imación de pa áme os basados en op imización mul iobje i o debido a la cla a
con e gencia que exhibe la solución con la solución ob enida median e la aplicación del
mé odo con encional cuando el núme o de i e aciones aumen a. En pa icula , el algo i mo
60 Capí ulo 4. Algo i mo colabo a i o de in eligencia a i icial pa a es imación de pa áme os
a)
8·10−20.1 0.12
6·10−2
7·10−2
8·10−2
9·10−2
0.1
0.11
1
2
Pa e o poco poblado
Algo i mo p opues o
Pa e o con encional
Mé odo NBI
b)
9·10−20.1 0.11 0.12 0.13
5·10−2
6·10−2
7·10−2
8·10−2
1
2
Pa e o poco poblado
Algo i mo p opues o
Pa e o con encional
Mé odo NBI
c)
9·10−20.1 0.11 0.12
6·10−2
7·10−2
8·10−2
1
2
Pa e o poco poblado
Algo i mo p opues o
Pa e o con encional
Mé odo NBI
d)
9·10−20.1 0.11 0.12
6·10−2
7·10−2
8·10−2
1
2
Pa e o poco poblado
Algo i mo p opues o
Pa e o con encional
Mé odo NBI
Figu a 4.8
Compa ación en e las soluciones del algo i mo p opues o y el con encio-
nal pa a a) 150 i e aciones, b) 200 i e aciones, c) 250 i e aciones y d) 300
i e aciones.
p opues o pe mi e educi el iempo de simulación en más de un 50%. De es e modo, se ha
alidado el algo i mo p opues o. Además, se pos ula como una he amien a e icien e pa a
esol e p oblemas de es imación de pa áme os, educiendo el iempo de compu ación
sin pe de p ecisión en los esul ados y abo dando el p oblema de la oma de decisiones
de mane a obus a.
4.4 Conclusiones
Los p oblemas de op imización mul iobje i o p esen an dos p incipales incon enien es:
el p ime o es el al o cos e compu acional que equie en y el segundo es la necesidad de
4.4 Conclusiones 61
Tabla 4.2
Valo es de la unción mul iobje i o pa a el modelo mejo ac ualizado, dis ancia
en e las mejo es soluciones ob enidas po ambos algo i mos y iempo o al de
simulación.
Algo i mo I e aciones 1(θ
θ
θ) 2(θ
θ
θ)dis ancia [−] [s]
Colabo a i o 100 9.47 ·10−25.99 ·10−2- 11704
MHS 150 9.09 ·10−26.41 ·10−25.66 ·10−316336
MHS 200 9.78 ·10−25.78 ·10−23.74 ·10−323640
MHS 250 9.52 ·10−25.92 ·10−28.60 ·10−425194
MHS 300 9.48 ·10−25.94 ·10−25.10 ·10−429582
esol e un p oblema de oma de decisiones pa a elegi el mejo pun o del en e de Pa e o
cuya p ecisión depende de la de inición de un Pa e o su icien emen e poblado.
A pesa de la exis encia de a ios mé odos pa a esol e es e p oblema de oma de
decisiones, el obje i o de es e capí ulo es desa olla e implemen a un algo i mo cola-
bo a i o que a on a los dos incon enien es an e io es de mane a simul ánea. Pa a ello
se emplean écnicas de in eligencia a i icial, es adís icas y de op imización. En conc e o,
el algo i mo p opues o se desc ibe como una sucesión de pasos empleando el algo i mo
MHS, el análisis de componen es p incipales, una ed neu onal y inalmen e un algo i mo
de minimización local pa a ob ene el pun o óp imo.
El endimien o del algo i mo se ha alidado median e la aplicación del mismo pa a
esol e un p oblema de ac ualización del modelo de EF de una pasa ela y compa ando
los esul ados con los ob enidos po un algo i mo con encional. Es a compa ación epo a
unas educciones de iempo de compu ación de más del 50% sin comp ome e la p ecisión
de la solución.

5 Conclusiones y abajos u u os
5.1 Conclusiones
En es a esis se han p opues o, implemen ado y alidado dos algo i mos de op imización
pa a la es imación de pa áme os, que de un modo u o o, p esen an una mayo e iciencia
que los algo i mos con encionales cuando se emplean pa a p oblemas de ingenie ía ci il.
Pa a lle a a cabo es as p opues as se ha ealizado, en p ime luga , un análisis compa-
a i o pa a conoce el algo i mo de op imización que mejo endimien o o ece, así como
cual de los dos en oques posibles, la op imización de un único obje i o y la op imización
mul iobje i o, p esen a mejo es esul ados. Pa a la compa ación en e algo i mos de op-
imización se ha op ado po es algo i mos me aheu ís icos, dos de ellos ampliamen e
aplicados pa a la ac ualización de modelos de EF, el GA y el PS. El e ce o es el algo i mo
HS, del que exis en muy pocos casos p ác icos donde se aplique a la ac ualización de
modelos de EF.
Pa a ealiza la compa ación se ha esuel o un p oblema de ac ualización del modelo
de EF de una pasa ela de labo a o io. Los esul ados de es e análisis compa a i o han
epo ado una mayo e iciencia del algo i mo HS, an o en un único obje i o como en
mul iobje i o, ya que ob iene una solución con la misma p ecisión que el PS pe o con
cos e compu acional meno . Es des acable ambién que el GA es el que p esen a una peo
e iciencia de los es. Compa ando los dos en oques en e sí, se concluye que el en oque
mul iobje i o o ece soluciones más p ecisas en é minos de los alo es de los esiduos ya
que los pun os de la op imización de un único obje i o se encuen an más lejos del knee
poin del en e de Pa e o. Además, el iempo de simulación es mayo pa a el caso de un
único obje i o ya que es necesa io lle a a cabo un análisis de sensibilidad de los pesos de
los esiduos. Es os dos mo i os jus i ican la elección del algo i mo HS en op imización
mul iobje i o (MHS) pa a la o mulación de los dos algo i mos que se han p opues o en
es a esis.
El p ime algo i mo que se ha p opues o es un algo i mo híb ido UKF-MHS que
ap o echa las i udes que un algo i mo global (el MHS) y uno local (el UKF) p esen an
de mane a independien e. El algo i mo UKF, al pe enece a la amilia de los il os de
Kalman, pe mi e conside a el e o an o en las medidas (obse aciones) como en el
63
64 Capí ulo 5. Conclusiones y abajos u u os
p oceso de es imación pa a con e ge a un alo espe ado de los pa áme os. Además,
el ca ác e global del MHS asegu a que el algo i mo no con e ge á a un mínimo local
de la unción obje i o. De es e modo, la en ajas de es e algo i mo es doble: p ime o, el
modelo ac ualizado es más p eciso ya que al conside a los e o es, las disc epancias en e
el modelo numé ico ac ualizado y la es uc u a eal se educen y, segundo, se ap o echa el
ca ác e local-global pa a acele a la búsqueda de soluciones sin cae en un mínimo local.
La alidación del algo i mo se ha ealizado a a és de la ac ualización del modelo de
EF de una pasa ela de labo a o io, compa ando los esul ados con los epo ados po los
algo i mos GA y HS. Como p incipal conclusión cabe indica que el algo i mo p opues o
p esen a una mayo e iciencia ya que la solución elegida del en e de Pa e o se encuen a a
meno dis ancia del o igen de coo denadas. El GA es el que p esen a un peo endimien o
de los es en é minos de p ecisión y iempo de simulación. Se ha p esen ado ambién
una segunda aplicación del algo i mo pa a es ima los pa áme os del modelo dinámico de
Winkle en el es udio del enómeno de in e acción suelo-es uc u a de una pasa ela in eg al.
Los pa áme os se han de inido a pa i de los alo es de las p opiedades mecánicas del
e eno calib ados en base a las p opiedades modales de la es uc u a.
El en oque mul iobje i o de la op imización da como esul ado un conjun o de soluciones
óp imas ep esen ado en el en e de Pa e o. Elegi la adecuada exige esol e un p oblema
de oma de decisiones donde la p ecisión de la solución depende del núme o de pun os que
o men el Pa e o. Pa a abo da es a cues ión, el segundo algo i mo p opues o en es a esis
se de ine como un algo i mo colabo a i o, ya que las écnicas no se combinan sino que se
aplican de mane a sucesi a, e icien e y que esuel e el p oblema de oma de decisiones
de mane a sis emá ica sin necesidad de dispone de un ele ado núme o de pun os en el
Pa e o.
Es e algo i mo colabo a i o comienza po la aplicación del algo i mo MHS pa a ob ene
el en e de Pa e o poco poblado. En segundo luga , u iliza el análisis de componen es
p incipales pa a ep esen a el en e de Pa e o en el espacio de componen es p incipales.
Pos e io men e, se emplea una ed neu onal pa a simula el compo amien o de es e nue o
en e de Pa e o que p esen a la ca ac e ís ica de se con exo. Es a ed neu onal pe mi e
es ablece una elación no lineal en e los pa áme os a es ima y los alo es de los esiduos.
La oma de decisiones se esuel e a a és de un algo i mo de minimización local que
encuen e el mínimo de la unción con exa de inida po la ed neu onal. Es e p oceso
o o ga al algo i mo colabo a i o dos en ajas p incipales. La p ime a es que el iempo
de compu ación se educe signi ica i amen e ya que son p ecisas menos i e aciones pa a
ob ene el en e de Pa e o poco poblado. La segunda hace e e encia a la obus ez del
mé odo pa a esol e el p oblema de oma de decisiones y halla el knee poin del p oblema.
El endimien o de es e algo i mo se ha alidado a a és de la ac ualización del modelo
de EF de una pasa ela compa ando los esul ados con aquellos ob enidos po el algo i mo
MHS con encional y esol iendo el p oblema de oma de decisiones median e el mé odo de
in e sección no mal al con o no. Sin comp ome e la p ecisión en la solución, el algo i mo
colabo a i o educe el iempo de simulación en un 50%.
5.2 Líneas de in es igación u u as 65
5.2 Líneas de in es igación u u as
El alcance de es a esis puede ex ende se a a és de nue os abajos de in es igación.
El pun o más inmedia o concie ne al desa ollo e implemen ación de un algo imo que
combine los dos algo i mos p opues os en es a esis. En es e con ex o, es e nue o algo i mo
se ca ac e iza ía po calcula un en e de Pa e o poco poblado u ilizado el algo i mo
híb ido UKF-MHS y a pa i de él con inua con el p oceso del algo i mo colabo a i o
pa a acaba eniendo la solución óp ima del p oblema.
O a posible u u a aplicación de los algo i mos p opues os es la ac ualización de
modelos de EF de al a idelidad de es uc u as de ingenie ía ci il. Es os modelos de EF
se ca ac e izan po ep esen a con un al o ni el de de alle la es uc u a en conside ación.
De es e modo, la ince idumb e es meno y el p oceso de ac ualización del modelo iene
meno cos e compu acional.
Las aplicaciones de los algo i mos p opues os pueden i más allá de la ac ualización de
modelos de EF, como po ejemplo, es ima los pa áme os de los disposi i os de con ol
pasi o de ib aciones aplicando el mé odo de diseño basado en el mo imien o (mo ion-
based design). Es e abajo, incluido en el Apéndice G, ha sido abo dado po los au o es
conside ando como algo i mo de op imización el GA pa a calcula los pa áme os de los
amo iguado es pasi os que mi igan las ib aciones de los cables de puen es a i an ados
[
83
]. Como con inuación a es a in es igación se p opone ealiza el diseño de amo igua-
do es aplicando el algo i mo colabo a i o ya que los análisis ansi o ios in oluc ados
aumen an signi ica i amen e el iempo de cálculo.
72 Bibliog a ía
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(2007), no. 1-2, 126–145.
Apéndice A
A ículo A
Jiménez-Alonso, J.F, Na anjo-Pé ez, J., Pa i , A., Sáez, A. Maximum likelihood ini e-
elemen model upda ing o ci il enginee ing s uc u es using na u e-inspi ed compu a ional
algo i hms. S uc u al Enginee ing In e na ional. 2020. (Accep ed).
Re is a: S uc u al Enginee ing In e na ional
ISSN: 1683-0350
JCR (Jou nal Ci a ion Repo s) (2018): Fac o de impac o: 0.608
•Ci il Enginee ing: Q4 (120/132)
•Cons uc ion and Building Technology: Q4 (54/63)
77

Maximum Likelihood Fini e-Elemen Model Upda ing o Ci il
Enginee ing S uc u es Using Na u e-Inspi ed Compu a ional
Algo i hms
Ja ie Fe nando Jiménez-Alonsoa*, Ja ie Na anjo-Pe ezb, Aleksanda
Pa icc and And és Sáezd
a*Assis an p o esso . Depa men o Con inuum Mechanics and S uc u es, E.T.S.
Ingenie os de Caminos, Canales y Pue os. Uni e sidad Poli écnica de Mad id, Mad id
(Spain).
bPhD Candida e. Depa men o Con inuum Mechanics and S uc u al Analysis,
Uni e sidad de Se illa, Se ille (Spain).
cFull p o esso . Vib a ion Enginee ing, College o Enginee ing, Ma hema ics and
Physical Sciences, Uni e si y o Exe e , Exe e (U.K.).
dFull p o esso . Depa men o Con inuum Mechanics and S uc u al Analysis,
Uni e sidad de Se illa, Se ille (Spain).
*Co esponding au ho : Assis an P o esso : Ja ie Fe nando Jiménez-Alonso.
Depa men o Con inuum Mechanics and S uc u es. E.T.S. Ingenie os de Caminos,
Canales y Pue os. Uni e sidad Poli écnica de Mad id, Calle del P o eso A angu en, 3,
28040 Mad id (Spain) Ph:+34 91 0674154. e-mail: j [email protected].
Maximum Likelihood Fini e-Elemen Model Upda ing o Ci il
Enginee ing S uc u es Using Na u e-Inspi ed Compu a ional
Algo i hms
In ini e-elemen model upda ing o ci il enginee ing s uc u es, he nume ical
ini e-elemen model is calib a ed in o de o i he expe imen ally measu ed
dynamic p ope ies (say mode shapes and na u al equencies) o he s uc u e.
Such upda ing p ocess is usually pe o med unde he maximum likelihood me hod
in p ac ical enginee ing applica ions. Acco ding o his app oach, he upda ing
p oblem is ans o med in o an op imiza ion p oblem, whe e he alues o he mos
ele an physical pa ame e s o he s uc u e a e ob ained ia he minimiza ion o
an objec i e unc ion. This unc ion is usually de ined in e ms o he ela i e
di e ences be ween he nume ical and he expe imen al modal p ope ies o he
s uc u e. To his aim, ei he (i) a single-objec i e o (ii) a mul i-objec i e app oach
may be adop ed. In he majo i y o applica ions, and due o he complexi y o he
p oblem, global op imize s a e conside ed. Among hese algo i hms, na u e-
inspi ed compu a ional algo i hms ha e been widely employed wi h sa is ac o y
esul s. Ne e heless, such model upda ing app oach p esen s wo main limi a ions:
(i) a clea dependence be ween he upda ed model and he objec i e unc ion
conside ed o he upda ing p oblem; and (ii) a high simula ion cos in e ms o
compu a ion ime. In o de o o e come hese d awbacks, a de ailed s udy has been
pe o med he ein bo h o assis in he selec ion o an e icien compu a ional
algo i hm among se e al well-known na u e-inspi ed algo i hms and o u he
es ablish he mos adequa e (single- o mul i-) objec i e unc ion o ackle he
upda ing p oblem. Fo his pu pose, a labo a o y oo b idge has been conside ed as
benchma k o conduc he upda ing p ocess unde di e en scena ios.
Keywo ds: ini e-elemen model upda ing, maximum likelihood me hod, single-
objec i e op imiza ion, mul i-objec i e op imiza ion, na u e-inspi ed
compu a ional algo i hms, ha mony sea ch, ci il enginee ing s uc u es.
In oduc ion
Fini e-elemen (FE) models a e ex ensi ely used o simula e nume ically he
beha iou o ci il enginee ing s uc u es. Howe e , hese nume ical models may no
always e lec adequa ely he ac ual beha iou o he s uc u e. To sol e his issue, such
models can be uned based on he expe imen al esul s ob ained om ei he ield es s o
con inuous moni o ing [1]. Fo p ac ical enginee ing applica ions, he uning o he
nume ical models is usually achie ed ia he modi ica ion o he mos ele an physical
pa ame e s o he s uc u e, in o de o educe he di e ences be ween i s nume ical and
expe imen al beha iou s. A e he calib a ing p ocess, he esul ing upda ed model can
be used ei he o assess mo e accu a ely he beha iou o ci il enginee ing s uc u es [2,
3, 4] o o es ablish s a egies o hei main enance o damage de ec ion [5, 6].
Thus, gi en ha one o he main objec i es o FE model upda ing is o indi ec ly
es ima e he alues o some ele an physical pa ame e s o he s uc u e, he upda ing
p ocess may be o mula ed as a pa ame e iden i ica ion p oblem [7], whe e app op ia e
es ima o s need o be employed [8]. Gene ally speaking, es ima o s may be classi ied in o
wo ca ego ies [9, 10]: (i) Poin es ima o s, which e u n he expec ed alue o each
conside ed design pa ame e ; and (ii) In e al es ima o s, which de e mine ei he an
in e al in which he alue o each pa ame e lies o a p obabili y densi y unc ion o
each pa ame e . Among he in e al es ima o s, he Bayesian me hod [11] has p e ailed,
since he de e mina ion o he p obabilis ic densi y unc ion o he design pa ame e s is
ele an when pe o ming subsequen s uc u al eliabili y analyses [12]. Meanwhile,
among he poin es ima o s, he maximum likelihood me hod (MLM) has been widely
implemen ed due o i s p o ed e iciency and accu acy when ackling model upda ing [8].
In his pape , we will ocus on analysing he pe o mance o FE model upda ing
unde he MLM, based on he ad an ages his app oach exhibi s o p ac ical ci il
enginee ing applica ions, when compa ed o Bayesian me hods, in pa icula in e ms o :
(i) ease o implemen a ion, (ii) lowe simula ion imes equi ed; and (iii) s aigh o wa d
use o he upda ed models o de e minis ic applica ions [2, 13]. In his manne , he
pa ame e iden i ica ion p oblem unde he MLM, assuming a no mal dis ibu ion o he
adjus men e o s, is equi alen o an o dina y leas squa es p oblem [14]. The e o e, he
FE model upda ing aims a sol ing an op imiza ion p oblem, whose objec i e is o
de e mine he alues o he design pa ame e s ha minimize he di e ence be ween he
nume ical (FE) modal p ope ies o he s uc u e and i s expe imen al coun e pa s. The
expe imen al da a ollow om he signal p ocessing (applying ei he expe imen al o
ope a ional modal analysis) o a o ced o an ambien ib a ion es [15].
A his s age, he o mula ion o he op imiza ion p oblem equi es o adop wo
key decisions: (i) he de ini ion o an adequa e objec i e unc ion; and (ii) he selec ion
o an e icien compu a ional op imiza ion algo i hm.
On he one hand, he objec i e unc ion is usually de ined in e ms o he esiduals
be ween he nume ical and expe imen al modal p ope ies o he s uc u e. Since wo
ypes o modal p ope ies a e no mally conside ed (na u al equencies and associa ed
ib a ion modes), wo ypes o esiduals come in o play. As bo h se s o modal p ope ies
ha e di e en na u e, a new p oblem a ises, namely, how o weigh he in luence o each
esidual. Two app oaches may be adop ed, depending on whe he a single-objec i e
unc ion (SOF) o a mul i-objec i e unc ion (MOF) [16] is conside ed. Whils in he SOF
app oach a single objec i e is op imized wi h di e en weigh ing ac o s assigned o
balance he in luence o each esidual, in he MOF app oach he di e en e ms o a mul i-
objec i e unc ion a e op imized (wi hou he need o de ine weigh ing ac o s). Al hough
bo h app oaches ha e been used in e changeably o p ac ical enginee ing applica ions
[17, 18], he numbe o s udies in which hei pe o mance has been compa ed is sca ce.
On he o he hand, he selec ion o an app op ia e op imiza ion algo i hm is a key
ing edien o he success o he FE model upda ing. Due o he nonlinea ela ionship
be ween he modal p ope ies o he s uc u e and he conside ed physical pa ame e s,
compu a ional in elligence algo i hms a e usually conside ed o ensu e he inding o he
so-called Pa e o on de ining a se o possible solu ions o he upda ing p oblem, is
ob ained.
a) GA
b) PS
c) HS
Fig. 2. Flowcha o he h ee conside ed NIC algo i hms: a) gene ic algo i hms (GA);
b) pa icle swa m (PS); and c) ha mony sea ch (HS).
Simila ly, he MOF app oach o he PS algo i hm is also based on he
classi ica ion o he non-domina ed pa icles [32]. Hence, once he ini ial pa icles’
popula ion is c ea ed and he mul i-objec i e unc ion is e alua ed, he non-domina ed
solu ions a e ob ained and s o ed in he pa icles’ eposi o y. A simila p ocess, o de ine
he Pa e o on , is ob ained a e he mu a ion o he posi ion. Thus, i he mu a ed pa icle
domina es he non-mu a ed, he la e is upda ed. This s ep is applied i e a i ely o bo h
he upda ed pa icle’s posi ion and he bes pa icle’s posi ion. Then, he non-domina ed
solu ions a e added o he eposi o y and inally, he domina ion is e alua ed o he
o e all eposi o y o dismiss he domina ed pa icles. These s eps a e epea ed i e a i ely
un il some con e gence c i e ion is me . As esul s o his p ocess, he Pa e o on is
ob ained.
Finally, he MOF app oach o he HS algo i hm has also been implemen ed [33]
conside ing he main ules o he NSGA-II algo i hm. In his manne , he HS algo i hm
unde a MOF app oach consis s o he ollowing s eps: (i) an ini ial se o ha monies is
gene a ed (ha mony memo y ma ix, 𝐇𝐌); (ii) he mul i-objec i e unc ion is e alua ed
o all o ha monies; (iii) he a ibu es o each indi idual a e calcula ed using he c owded
compa ison ope a o ; (i ) he ha monies a e so ed based on he c owding dis ance; ( ) a
new se o ha monies is c ea ed based on he h ee men ioned design a iables (𝐻𝑀𝐶𝑅,
𝑃𝐴𝑅 and 𝑏𝑤); ( i) he mul i-objec i e unc ion is e alua ed o he new ha monies; ( ii)
he ha mony memo y ma ix, 𝐇𝐌, is unca ed using bo h he non-domina ed so ing
echnique and he c owding dis ance; and ( iii) he s eps ( ) o ( ii) a e epea ed un il
some con e gence c i e ion is me . Finally, as esul o his p ocess, he Pa e o on is
ob ained.
Ini ialize
Popula ion
E alua e Selec
C osso e
Mu a e
Con e gence?
S op
Yes
No
Ope a ions
Upda e
Popula ion
Con e gence?
S op
Yes
No
Posi ion
Veloci y
Ope a ions
E alua e
Ini ialize
Popula ion
Ini ialize
HM
Con e gence?
S op
Yes
No
Ope a ions
E alua e Selec
Imp o ise
Random
Upda e
HM

P elimina y discussion on he Pe o mance o he Th ee Conside ed Na u e-Inspi ed
Algo i hms
As Fig. 2 illus a es, he h ee conside ed NIC algo i hms unde he SOF app oach
sha e h ee common cha ac e is ics: (i) he andom ini ializa ion o a popula ion; (ii) he
implemen a ion o se e al ma hema ical ope a ions o modi y his popula ion; and (iii)
he i e a i e applica ion o his e-gene a ion p ocess un il some con e gence c i e ia is
me . Simila ly, hey also sha e he use o he non-domina ed so ing ules o hei
implemen a ion unde a MOF app oach.
Howe e , some pa icula di e ences among hese NIC algo i hms make
in e es ing compa ing hei pe o mance when hey a e implemen ed o he FE model
upda ing o ci il enginee ing s uc u es.
Be ween he GA and he HS algo i hm, he main di e ence lies in he di e en
complexi y o he ope a ions ha con ol he upda ing o he popula ion: he ope a ions
associa ed wi h he HS algo i hm (selec ion, imp o emen and andomiza ion) a e
compu a ionally easie han he ope a ions associa ed wi h he GA (selec ion, c osso e
and mu a ion). Thus, i is expec ed ha he compu a ional ime equi ed o sol e an
op imiza ion p oblem using he HS algo i hm is lowe han he one equi ed employing
GA. Howe e , he simplici y o he ope a ions can ha e a nega i e in luence on bo h he
accu acy o he solu ion and he sweeping capaci y o he algo i hm, educing he
pe o mance o he HS algo i hm when i is implemen ed o a p ac ical enginee ing
applica ion.
Addi ionally, among hese wo algo i hms (GA and HS) and he PS algo i hm, he
main di e ence is ela ed o he e-gene a ion o he popula ion. While he wo men ioned
algo i hms (GA and HS) gene a e i e a i ely di e en popula ions (new popula ions)
du ing he upda ing p ocess; he PS algo i hm main ains he ini ial popula ion and i only
upda es i e a i ely i s a ibu es. In his manne , he PS algo i hm may educe he
simula ion ime equi ed o sol e an op imiza ion p oblem. Howe e , as on he one hand,
he sweeping capaci y o he algo i hm is lowe han he GA; and on he o he hand, he
compu a ional ope a ions needed o compu e he posi ion and he eloci y o each pa icle
a e mo e complex han he e-gene a ing ope a ions o he HS algo i hm, i is no possible
o es ablish a p io i whe he he PS algo i hm is he mos e icien compu a ional
algo i hm among he h ee conside ed NIC ones.
Fo all hese eason, i is no possible o p elimina y conclude which will be he
mos e icien algo i hm o sol e a pa icula op imiza ion p oblem, being necessa y o
pe o m a compa a i e s udy o analyse hei pe o mance. This will be done in he nex
sec ion.
Applica ion Example: FE Model Upda ing o a Labo a o y Foo b idge
A eal case-s udy is nex analysed o shed some ligh on o he wo objec i es o
his pape : (i) es ablishing he mos adequa e app oach (SOF o MOF) o o mula e he
upda ing p oblem unde he MLM; and (ii) de e mining he mos e icien NIC algo i hm
among he h ee selec ed abo e (GA, PS and HS). A compa ison o he pe o mance o
he di e en app oaches when applied o he FE model upda ing o a benchma k
labo a o y oo b idge is conduc ed in his sec ion.
P elimina y FE Model and Nume ical Modal Analysis o he Labo a o y Foo b idge
The labo a o y oo b idge adop ed o his s udy is a ame s uc u e wi h a single
span o 15 m. The s uc u e is con igu ed by wo la e al s eel beams sepa a ed
ans e sally 2.5 m. These beams a e b aced by diaph agms sepa a ed longi udinally 1.25
m. The diaph agms consis o ec angula pla es o 200x12 mm. The la e al beams a e
connec ed a bo h sides o s eel columns. These columns a e di ec ly pinned o he g ound.
The deck o he s uc u e is o med by composi e SPS panels [34]. These composi e SPS
panels a e bol ed o bo h he longi udinal and ans e sal elemen s. An o e all iew o
he s uc u e and i s main cons i u i e componen s is illus a ed in Fig. 3. A mo e de ailed
desc ip ion o his benchma k s uc u e may be ound in Re [25].
The s uc u e was modelled wi h h ee ypes o elemen s in he comme cial FE
package Ansys [35]. All he nume ical simula ions we e pe o med using a lap op
compu e wi h a p ocesso o 3.6 GHz and a RAM memo y o 8 GB. The mesh consis ed
o 31903 elemen s (Fig. 5). The FE model has been ealized acco ding o he ollowing
scheme: (i) he wo main la e al beams and he ans e sal pla es ha e been modelled wi h
a ou node shell elemen s wi h six deg ees o eedom a each node (SHELL181); (ii) he
SPS panels ha e been modelled wi h he same ype o elemen (SHELL181), conside ing
i s sandwich- ype beha iou h ough he i s -o de shea -de o ma ion heo y; (iii) he
bol s ha con igu e he connec ion be ween he SPS panel and he s eel s uc u e ha e
been modelled by 3-D beam elemen s (BEAM188); and (i ) he suppo s we e modelled
by means o longi udinal and la e al sp ing elemen s (COMBIN14) and assuming ha he
e ical displacemen was cons ained.
The ini ial alue o hese sp ing pa ame e s has been es ima ed om a simpli ied
FE model o jus he column ha con igu e he suppo , esul ing an equi alen s i ness
o 𝑘𝑙𝑜𝑛=5.5∙107 N/m in he longi udinal di ec ion and 𝑘𝑙𝑎𝑡=1.9∙107 N/m in he
la e al di ec ion.
The mechanical p ope ies o he cons i u i e ma e ials adop he ollowing
alues: (i) o he s eel [36], a densi y 𝛾𝑠=7850 kg/m3, a Young’s modulus 𝐸𝑠=2.1∙
105 MPa and a Poisson’s a io 𝜈𝑠=0.3; and (ii) o he polyu e hane [37], a densi y 𝛾𝑝=
1100 kg/m3, a Young’s modulus 𝐸𝑝=750 MPa and a Poisson’s a io 𝜈𝑝=0.5.
This FE model has been used o pe o m a nume ical modal analysis: The ob ained
i s se en na u al equencies, 𝑓𝑛𝑢𝑚,𝑗(𝛉), a e gi en in Table 1; whils he associa ed
nume ical ib a ion modes, 𝝓𝑛𝑢𝑚,𝑗(𝛉), a e depic ed in Fig. 3 ( 𝑗 being he conside ed
ib a ion mode).
Labo a o y Foo b idge
𝑓𝑛𝑢𝑚,1(𝛉)=3.638 Hz
SPS Panel Suppo
T ans e sal Pla e
Longi udinal
Beam
Connec ion
(Bol s)
2.5 m
𝑓𝑛𝑢𝑚,2(𝛉)=5.329 Hz
𝑓𝑛𝑢𝑚,3(𝛉)=10.185 Hz
𝑓𝑛𝑢𝑚,4(𝛉)=11.310 Hz
𝑓𝑛𝑢𝑚,5(𝛉)=17.364 Hz
𝑓𝑛𝑢𝑚,6(𝛉)=20.238 Hz
𝑓𝑛𝑢𝑚,7(𝛉)=21.105 Hz
Fig. 3. Desc ip ion o he s uc u e and ini ial i s se en nume ical ib a ion
modes, 𝝓𝑛𝑢𝑚,𝑗(𝛉), being 𝑗 he conside ed ib a ion mode.
Expe imen al Iden i ica ion o he Modal P ope ies o he Labo a o y Foo b idge
Subsequen ly, a o ced ib a ion es was conduc ed o iden i y expe imen ally he
modal p ope ies o he oo b idge. A se o p oo -mass ac ua o s and owing
accele ome e s we e used o his pu pose (Fig. 4). The ac ua o s we e simul aneously
d i en by unco ela ed andom signals conside ing a Mul i-inpu Mul i-ou pu (MIMO)
con igu a ion [15, 25]. A all he conside ed e e ence poin s (ins umen ed poin s), he
F equency Response Func ions (FRFs) we e de e mined conside ing an o e lap o 50%.
La e , p obable mode loca ions we e iden i ied in he FRFs i ed cu es ia a complex
mode indica o unc ion. Finally, a global polynomial cu e i ing me hod was used o
iden i y expe imen ally he i s se en na u al equencies and associa ed ib a ion modes
based on he men ioned p obable mode loca ions [15]. Bo h he o ced ib a ion es and
he co esponding expe imen al modal analysis a e desc ibed wi h mo e de ail in Re [25].
Fig. 4. Fo ced ib a ion es o he labo a o y oo b idge [25].
The i s se en expe imen al na u al equencies (Table 1), 𝑓𝑒𝑥𝑝,𝑗, and associa ed
expe imen al ib a ion modes (Fig. 5), 𝝓𝑒𝑥𝑝,𝑗, we e ob ained as esul o his
expe imen al modal analysis (being 𝑗 he conside ed ib a ion mode).
Co ela ion be ween he P elimina y Nume ical and Expe imen al Modal P ope ies o
he Labo a o y Foo b idge
In o de o analyse he co ela ion be ween he nume ical and expe imen al modal
p ope ies o he labo a o y oo b idge, he ela i e di e ences, ∆𝑓𝑒𝑥𝑝,𝑗
𝑛𝑢𝑚,𝑗(𝛉), and he
𝑀𝐴𝐶(𝛉)𝑒𝑥𝑝,𝑗
𝑛𝑢𝑚,𝑗 a ios we e de e mined. Table 1 shows he co ela ion be ween he
nume ical and expe imen al modal p ope ies o he labo a o y oo b idge. Addi ionally,
Fig. 5 illus a es a compa ison be ween he nume ical, 𝝓𝑛𝑢𝑚,𝑗(𝛉), and expe imen al,
𝝓𝑒𝑥𝑝,𝑗, ib a ion modes.
Table 1. Co ela ion be ween he ini ial nume ical (FE) and expe imen al modal
p ope ies o he labo a o y oo b idge (being 𝑓𝑛𝑢𝑚,𝑗(𝛉) he nume ical na u al
equencies; 𝑓𝑒𝑥𝑝,𝑗 he expe imen al na u al equencies; ∆𝑓𝑒𝑥𝑝,𝑗
𝑛𝑢𝑚,𝑗(𝛉), he ela i e
di e ences be ween he nume ical and expe imen al na u al equencies; and he
𝑀𝐴𝐶(𝛉)𝑒𝑥𝑝,𝑗
𝑛𝑢𝑚,𝑗 a io o he 𝑗 conside ed ib a ion mode).
Vib a ion Mode
𝑓𝑛𝑢𝑚,𝑗(𝛉) [Hz]
𝑓𝑒𝑥𝑝,𝑗 [Hz]
∆𝑓𝑒𝑥𝑝,𝑗
𝑛𝑢𝑚,𝑗(𝛉) [%]
𝑀𝐴𝐶(𝛉)𝑒𝑥𝑝,𝑗
𝑛𝑢𝑚,𝑗 [-]
1 (1s Bending)
3.638
3.810
-4.509
0.999
2 (1s To sional)
5.329
5.144
3.600
0.994
3 (2nd To sional)
10.185
8.485
20.033
0.990
4 (2nd Bending)
11.310
12.366
-8.540
0.877
5 (3 d Bending)
17.364
18.605
-6.670
0.985
6 (3 d To sional)
20.238
20.459
-1.080
0.993
7 (4 h Bending)
21.105
22.980
-8.159
0.910
Ac ua o
Y
X
ZY
ZX
Fo ced Vib a ion Tes
Accele ome e
15 m
2.5 m
Table 1 shows ha , al hough he shapes o six o he se en iden i ied ib a ion
modes we e in good ag eemen (wi h 𝑀𝐴𝐶(𝛉)𝑒𝑥𝑝,𝑗
𝑛𝑢𝑚,𝑗 a ios g ea e han 0.90), he ela i e
di e ences, ∆𝑓𝑒𝑥𝑝,𝑗
𝑛𝑢𝑚,𝑗(𝛉), be ween he nume ical and expe imen al na u al equencies o
ou o he se en ib a ion modes we e oo la ge o be accep able. The e o e, i becomes
necessa y o imp o e he FE model o his s uc u e in o de o ensu e a be e co ela ion
be ween i s nume ical and expe imen al modal p ope ies and, consequen ly, o ob ain a
alid FE model ha e lec s he ac ual dynamic beha iou o his s uc u e [5].
FE Model Upda ing o he Labo a o y Foo b idge
In o de o o mula e he FE model upda ing p oblem o his labo a o y oo b idge
unde he MLM, he ollowing elemen s mus be de ined: (i) he objec i e unc ion; (ii)
he design pa ame e s; (iii) he sea ch domain; and (i ) he op imiza ion algo i hm. Whils
he wo app oaches o he objec i e unc ion (SOF/MOF) and he conside ed
op imiza ion algo i hms (GA/PS/HS) we e desc ibed p e iously, bo h he design
pa ame e s and hei co esponding sea ch domains will be es ablished he e.
Hence, a se wi h he mos ele an physical pa ame e s o he model needs o be
selec ed, 𝛉. To his end, he a io be ween modal s ain ene gy associa ed wi h each
physical pa ame e and he o e all modal s ain ene gy o he s uc u e was conside ed as
selec ion c i e ion [38]. Following he sensi i i y analysis ca ied ou o his pu pose, en
physical pa ame e s o he s uc u e we e selec ed as design pa ame e s (Fig. 7), 𝛉=
[𝜃1,𝜃2,𝜃3,𝜃4,𝜃5,𝜃6,𝜃7,𝜃8,𝜃9,𝜃10]: (i) he Young’s modulus o he s eel o he
longi udinal beams in di e en sec ions, 𝜃1−𝜃6 [MPa]; (ii) he Young’s modulus o he
polyu e hane, 𝜃7 [MPa]; (iii) he Young’s modulus o he s eel o he bol s, 𝜃8 [MPa];
(i ) he equi alen longi udinal s i ness o each suppo , 𝜃9 [N/m]; and ( ) he equi alen
la e al s i ness o each suppo , 𝜃10 [N/m]. Addi ionally, a sea ch domain has been
included o cons ain his op imiza ion p oblem and hus, o gua an ee he physical
meaning o he upda ed model. Thus, he lowe , 𝛉𝒍, and he uppe , 𝛉𝒖, bounds o his
sea ch domain we e de ined as ollows, 𝛉𝒍=[1.89∙105,1.89∙105,1.89∙105,1.89∙
105,1.89∙105,1.89∙105,0.75∙103,2.1∙105,1.38∙107,4.75∙106 ] and 𝛉𝒖=[2.31∙
105,2.31∙105,2.31∙105,2.31∙105,2.31∙105,2.31∙105,1.5∙103,2.1∙106,1.1∙
108,3.8∙107 ].
FEM
1s ib a ion mode
X X Exp.
Num.

2nd ib a ion mode
3 d ib a ion mode
4 h ib a ion mode
5 h ib a ion mode
6 h ib a ion mode
7 h ib a ion mode
Fig. 5. FE model and compa ison be ween he nume ical, 𝝓𝑛𝑢𝑚,𝑗(𝛉), and
expe imen al, 𝝓𝑒𝑥𝑝,𝑗, ib a ion modes o he labo a o y oo b idge (being 𝑗 he
conside ed ib a ion mode).
Subsequen ly, he FE model upda ing was conduc ed conside ing he wo
app oaches and he h ee conside ed NIC algo i hms.
Compa ison among GA, PS and HS o FE Model Upda ing unde he SOF App oach
Fi s , he ini ial FE model o he oo b idge was upda ed using he SOF app oach
and conside ing he h ee men ioned NIC algo i hms (GA, PS and HS). The solu ion o
each upda ing p oblem was pe o med ia i s implemen a ion using bo h he FE analysis
package Ansys [35] and he ma hema ical package Ma lab [39]. Two compa ison c i e ia
we e conside ed o assess he pe o mance o he h ee NIC algo i hms: (i) he
compu a ional cos ; and (ii) he accu acy o he adjus men .
Fo he h ee NIC algo i hms, he ollowing common design a iables we e
adop ed: (i) popula ion size, 𝑃𝑜𝑝=100; (ii) maximum numbe o i e a ions, 𝐼𝑡𝑒𝑟=50;
X X Exp.
Num.
X X Exp.
Num.
X X Exp.
Num.
X X Exp.
Num.
X X Exp.
Num.
X X Exp.
Num.
and (iii) objec i e unc ion ole ance, 𝑇𝑜𝑙𝐹=10−5 (so ha he algo i hm s ops i he
a e age ela i e change o he bes alue o he objec i e unc ion is less han o equal o
𝑇𝑜𝑙𝐹).
Addi ionally, o each NIC algo i hm, he ollowing pa icula design a iables
we e conside ed: (i) o he GA, as selec ion a io, 𝑠𝑒𝑙𝑟=0.1, as c osso e a io, 𝑐𝑟𝑜𝑠𝑟=
0.9, and as mu a ion a io, 𝑚𝑢𝑡𝑟=0.1; (ii) o he PS algo i hm, as pa icle’s ine ia,
𝑖𝑝𝑎𝑟=0.95, as sel -adjus men weigh , 𝑠𝑒𝑙𝑤=0.05, and as social-adjus men weigh ,
𝑠𝑜𝑐𝑤=0.02; and (iii) o he HS algo i hm, as new popula ion size, 𝑁𝑒𝑤_𝑃𝑜𝑝=40, as
ha mony memo y conside a ion a e, 𝐻𝑀𝐶𝑅=0.9, as pi ch adjus men a e, 𝑃𝐴𝑅=0.3,
and as bandwid h, 𝑏𝑤=1
100(𝛉𝐮−𝛉𝐥).
In o de o assess he impac o he esidual weigh s on he upda ed alue o he
single-objec i e unc ion, 𝑓(𝛉), a ial-and-e o c i e ion [5] was adop ed. Table 2 shows
he ele en cases es ablished in e ms o he di e en alues conside ed o he esiduals
associa ed wi h he na u al equencies, ∑𝑤𝑗𝑓, and ib a ion modes., ∑𝑤𝑗𝑚, espec i ely.
Addi ionally, each case was un en imes o ake in o accoun he andom gene a ion o
he ini ial popula ion.
As esul o he upda ing p ocess, Table 2 shows he a e age alues o he
esiduals o he h ee conside ed algo i hms in e ms o he di e en alue o he
weigh ing ac o s. Addi ionally, Fig. 6a illus a es he ep esen a ion in a mul i-objec i e
unc ional space o he esiduals associa ed wi h each case and compu a ional algo i hm.
The a e age alues o he upda ed pa ame e s ob ained using he h ee conside ed NIC
algo i hms unde he SOF app oach a e shown in Table 3.
Table 2. A e age alues o he esiduals in e ms o he weigh ing ac o s unde he SOF
app oach o he h ee conside ed NIC algo i hms (GA, PS and HS).
Case
∑𝑤𝑗𝑓
∑𝑤𝑗𝑚
GA [𝑥10−3]
PS [𝑥10−3]
HS [𝑥10−3]
∑𝑟𝑗𝑓(𝛉)2
∑𝑟𝑗𝑚(𝛉)2
∑𝑟𝑗𝑓(𝛉)2
∑𝑟𝑗𝑚(𝛉)2
∑𝑟𝑗𝑓(𝛉)2
∑𝑟𝑗𝑚(𝛉)2
01
1.0
0.0
3.63
2.69
3.56
2.68
3.55
2.69
02
0.9
0.1
3.57
2.66
3.56
2.68
3.55
2.69
03
0.8
0.2
3.59
2.62
3.58
2.51
3.58
2.66
04
0.7
0.3
3.58
2.53
3.57
2.52
3.61
2.52
05
0.6
0.4
3.57
2.56
3.57
2.50
3.62
2.50
06
0.5
0.5
3.58
2.51
3.58
2.51
3.58
2.57
07
0.4
0.6
3.58
2.52
3.58
2.49
3.62
2.51
08
0.3
0.7
3.59
2.48
3.58
2.49
3.63
2.51
09
0.2
0.8
3.58
2.51
3.58
2.49
3.62
2.49
10
0.1
0.9
3.58
2.53
3.59
2.47
3.70
2.47
11
0.0
1.0
3.59
2.50
3.59
2.49
3.64
2.46
Finally, he a e age simula ion ime equi ed o sol e he upda ing p oblem o
each case was: (i) 74072 s o he GA; (ii) 43857 s o he PS; and (iii) 34380 s o he
HS.
Acco ding o hese esul s, wo main conclusions may be d awn: (i) he accu acy
o he h ee men ioned NIC algo i hm is simila ; and (ii) he HS algo i hm allows educing
he simula ion ime equi ed o pe o m he upda ing p ocess. In his manne , he HS
algo i hm allows pe o ming he FE model upda ing o his s uc u e mo e e icien ly han
he o he algo i hms, since i educes he compu a ional cos wi hou comp omising he
accu acy o he adjus men .
Compa ison among GA, PS and HS o he FE Model Upda ing unde he MOF
App oach
Subsequen ly, he ini ial FE model o he labo a o y oo b idge was also upda ed
unde he MOF app oach and conside ing he h ee men ioned NIC algo i hms. Once
mo e, he upda ing p ocess was pe o med ia i s implemen a ion using bo h Ansys [35]
and Ma lab [39] so wa e packages and conside ing he same compa ison c i e ia as
abo e.
Fo he h ee NIC algo i hms unde he MOF app oach, he same design a iables
(common and pa icula ) as hose employed o he SOF case we e adop ed. Addi ionally,
he numbe o elemen s o he Pa e o on was es ablished in 25. The upda ing p oblem
was sol ed en imes o each NIC algo i hms o ake in o accoun he andom gene a ion
o he ini ial popula ion.
As esul o he upda ing p ocess, Fig. 6b illus a es he a e age Pa e o on
ob ained o each conside ed NIC algo i hm. Addi ionally, he a e age alue o he
upda ed pa ame e s o he h ee conside ed NIC algo i hms unde he MOF app oach is
gi en in Table 3 ( he NBI me hod [24] has been adop ed o his pu pose).
2.20E-03
2.30E-03
2.40E-03
2.50E-03
2.60E-03
2.70E-03
3.50E-03 4.00E-03 4.50E-03 5.00E-03 5.50E-03 6.00E-03 6.50E-03 7.00E-03 7.50E-03
2
1
SOF-GA
SOF-PS
SOF-HS
2.20E-03
2.30E-03
2.40E-03
2.50E-03
2.60E-03
2.70E-03
3.50E-03 4.00E-03 4.50E-03 5.00E-03 5.50E-03 6.00E-03 6.50E-03 7.00E-03 7.50E-03
2
1
MOF-GA
MOF-PS
MOF-HS
a)
b)
Fig. 6. Compa ison among he di e en esiduals in he unc ional space conside ing
he h ee NIC algo i hms (GA, PS and HS): a) he SOF app oach; b) he MOF app oach;
and c) bo h he SOF and MOF app oaches.
Addi ionally, he a e age simula ion ime equi ed o ob ain he Pa e o on
co esponding o each men ioned NIC algo i hm has been eco ded: (i) 307057 s o he
GA; (ii) 240663 s o he PS; and (iii) 121676 s o he HS.
Table 3. A e age upda ed alue o he physical pa ame e s o model, 𝛉, a e he upda ing
p ocess, conside ing he wo app oaches and he h ee men ioned compu a ional
algo i hms.
𝛉
SOF
MOF
GA
PS
HS
GA
PS
HS
𝜃1
2.22∙105
2.23∙105
2.23∙105
2.28∙105
2.29∙105
2.29∙105
𝜃2
2.11∙105
2.16∙105
2.09∙105
2.12∙105
2.25∙105
2.22∙105
𝜃3
2.09∙105
2.10∙105
2.09∙105
2.02∙105
2.19∙105
2.13∙105
𝜃4
2.07∙105
2.09∙105
2.05∙105
2.18∙105
2.19∙105
2.19∙105
𝜃5
2.10∙105
2.04∙105
2.12∙105
2.15∙105
2.15∙105
2.17∙105
𝜃6
2.14∙105
2.09∙105
2.12∙105
2.17∙105
2.12∙105
2.15∙105
𝜃7
1.43∙103
1.43∙103
1.42∙103
1.02∙103
1.09∙103
1.03∙103
𝜃8
4.40∙105
4.33∙105
4.29∙105
2.90∙105
2.96∙105
2.83∙105
𝜃9
4.26∙107
4.24∙107
4.24∙107
4.29∙107
4.12∙107
4.13∙107
𝜃10
1.50∙107
1.49∙107
1.49∙107
1.45∙107
1.42∙107
1.43∙107
Acco ding o hese esul s, h ee main conclusions can be d awn: (i) he accu acy
o bo h he PS and HS algo i hm is g ea e han he one p o ided by he GA since he
Pa e o on ob ained by hese wo algo i hms allows educing he o e all alue o he
esiduals be ween he nume ical and expe imen al modal p ope ies o he s uc u e; (ii)
he accu acy be ween he PS and HS algo i hms is simila ; and (iii) he HS algo i hm
allows educing again he simula ion ime equi ed o pe o m he upda ing p ocess. In
his manne , he HS algo i hm is again he mos e icien NIC algo i hm o sol e he
upda ing p oblem unde he MOF app oach.
2.20E-03
2.30E-03
2.40E-03
2.50E-03
2.60E-03
2.70E-03
3.50E-03 4.00E-03 4.50E-03 5.00E-03 5.50E-03 6.00E-03 6.50E-03 7.00E-03 7.50E-03
2
1
SOF-GA
SOF-PS
SOF-HS
MOF-GA
MOF-PS
MOF-HS
c)

Apéndice B
A iculo B
Na anjo-Pé ez, J., Sáez, A., Jiménez-Alonso, J.F., Pachón, P., Compán, V. (2019). A hyb id
UKF-MGA algo i hm o ini e elemen model upda ing o his o ical cons uc ions. IABSE
Symposium, Guima aes 2019: Towa ds a Resilien Buil En i onmen Risk and Asse
Managemen – Repo pp. 29-36.
ISBN: 978-385748163-5
105
IABSE Symposium 2019 Guima ães
Towa ds a Resilien Buil En i onmen - Risk and Asse Managemen
Ma ch 27-29, 2019, Guima ães, Po ugal
1
A Hyb id UKF-MGA Algo i hm o Fini e Elemen Model Upda ing o
His o ical Cons uc ions
Ja ie Na anjo-Pé ez, And és Sáez
Depa men o Con inuum Mechanics and S uc u al Analysis, Uni e sidad de Se illa, Se ille, Spain
Ja ie F Jiménez-Alonso, Pablo Pachón, Víc o Compán
Depa men o Building S uc u es and Geo echnical Enginee ing, Uni e sidad de Se illa, Se ille,
Spain
Con ac ing au ho : [email protected]
Abs ac
The ini e elemen model (FE) upda ing is a calib a ion me hod ha allows minimizing he
disc epancies be ween he nume ical and expe imen al modal pa ame e s. As esul , a mo e
accu a e FE model is ob ained and he s uc u al analysis can ep esen he eal beha iou o he
s uc u e. Howe e , i is a high compu a ional cos p ocess. To o e come his issue, al e na i e
echniques ha e been de eloped. This s udy ocuses on he use o he unscen ed Kalman il e
(UKF), which is a local op imiza ion algo i hm based on s a is ical es ima ion o pa ame e s aken
in o accoun he measu emen s. The dome o a eal chapel is conside ed as benchma k s uc u e.
A FE model is upda ed applying wo di e en algo i hms: (i) he mul i-objec i e gene ic algo i hm
and (ii) a hyb id unscen ed Kalman il e -mul i-objec i e gene ic algo i hm (UKF-MGA). Finally, a
discussion o he esul s will be p esen ed o compa e he pe o mance o bo h algo i hms.
Keywo ds: model upda ing; his o ical cons uc ions; unscen ed Kalman il e ; mul i-objec i e
gene ic algo i hm.
1. In oduc ion
The s uc u al assessmen o his o ical
cons uc ions is an inc easingly ele an issue. The
mos usual app oach o he assessmen o hei
s uc u al beha iou is o design a ma hema ical
model (e.g. ini e elemen model). To build he
Fini e Elemen (FE) model, he ma e ial and
geome ical p ope ies a e assumed and he
bounda y condi ions implemen ed may no be he
p ope . These ac s may in ol e la ge
disc epancies be ween he nume ical esul s
ob ained om hese ma hema ical models and
he expe imen al esul s ob ained om ield
ib a ion es s. The model upda ing may be
o mula ed as an op imiza ion p ocedu e whe e
hese disc epancies a e minimized. F iswell e al.
[1] in oduced in 1995 he main echniques which
may be employed o FE model upda ing. The
p ocedu e consis s in selec ing one o se e al
physical pa ame e s o he nume ical model and
changing hei s alues i e a i ely. Fo each
i e a ion, he di e ences be ween nume ical and
expe imen al esul s (usually modal pa ame e s)
a e e alua ed. In his manne , iewed om he
op imiza ion pe spec i e, he pa ame e
iden i ica ion sol ed as an in e se p oblem can be
conside ed as a gene al minimiza ion p oblem.
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2
The objec i e is o ind he physical pa ame e s
ha minimizes he mean squa e e o (objec i e
unc ion) be ween ac ual and simula ed modal
pa ame e s.
Due o he high nonlinea i y in insic o s uc u al
models, he objec i e unc ions could p esen
many local minima. To p e en he algo i hm o
con e ge o a local minimum, he use o global
op imiza ion algo i hms mus be conside ed.
Gene ic algo i hm (GA) has been widely used o
sol e a pa ame e iden i ica ion in e se p oblem.
The high compu a ional cos has led o he
eme gence o hyb id echniques ha educe he
con e gence ime o global op imiza ion
algo i hms. In his s udy, a hyb id unscen ed
Kalman il e -mul i-objec i e gene ic
algo i hm (UKF-MGA) is conside ed. The
unscen ed Kalman il e (UKF) [6] is an algo i hm
used o es ima e he pa ame e s o a nonlinea
sys em subjec ed o whi e noise. The pa ame e s
upda ing is based on he es ima ion o he
Gaussian means and co a iances o he quan i ies
being es ima ed, minimizing he a iance o he
es ima ion e o . The Kalman il e inds he local
minimum a ound he cu en es ima e.
This s udy ocuses on he compa ison o he
esul s ob ained using bo h he maximum
likelihood app oach and a hyb id UKF-MGA
algo i hm. As benchma k s uc u e, he chapel o
he Wü zbu g Residence (Ge many) is conside ed.
This building, whose cons uc ion da es om he
ea ly eigh een h cen u y, was decla ed a Wo ld
He i age Si e by UNESCO in 1981. The upda ing
p ocedu e is based on he ac ual modal
pa ame e s o he s uc u e, ob ained h ough he
accele a ions eco ded du ing an ambien
ib a ion es . Finally, he numbe o i e a ions,
he compu a ion ime and he di e ences
be ween he upda ed and expe imen al modal
pa ame e s a e compa ed o bo h algo i hms.
2. FE Model Upda ing based on he
maximum likelihood me hod
2.1 Basics o FE Model Upda ing
The FE model upda ing ool aims o design a
nume ical model which is mo e adequa e o he
eal beha iou o he s uc u e [1]. I is an i e a i e
p ocess in which he alues o ce ain p e-selec ed
physical pa ame e s a e changed un il he op imal
solu ion is eached. The upda ed FE model, unde
he maximum likelihood me hod, is ob ained by
minimizing he objec i e unc ions de ined in
e ms o he ela i e di e ences be ween
expe imen al and nume ical modal pa ame e s.
Wi hin he amewo k o mul i-objec i e
op imiza ion, he p oblem o be sol ed consis s in
minimizing he objec i es unc ions de ined wi h
ega d o he esidual o he na u al equencies
and he esidual o he ib a ion modes. The
exp essions o calcula e bo h esiduals a e:
𝑟𝑓,𝑗=𝑓𝑛𝑢𝑚,𝑗−𝑓𝑒𝑥𝑝,𝑗
𝑓𝑒𝑥𝑝,𝑗 , 𝑗=1,…,𝑚𝑓
(1)
𝑟𝑠,𝑗
2=(1−√𝑀𝐴𝐶𝑗)2
𝑀𝐴𝐶𝑗, 𝑗=1,…,𝑚𝑓
(2)
whe e 𝑓𝑒𝑥𝑝,𝑗 is he expe imen al na u al equency
𝑗, 𝑓𝑛𝑢𝑚,𝑗 is he nume ical na u al equency 𝑗 and
𝑀𝐴𝐶𝑗 is he Modal Assu ance C i e ion. The MAC
is a pa ame e used o assess he co ela ion
be ween he nume ical and expe imen al na u al
equency 𝑗 and is calcula ed by he ollowing
exp ession:
𝑀𝐴𝐶𝑗=(𝜙𝑛𝑢𝑚,𝑗
𝑇·𝜙𝑒𝑥𝑝,𝑗)2
(𝜙𝑛𝑢𝑚,𝑗
𝑇·𝜙𝑛𝑢𝑚,𝑗)·(𝜙𝑒𝑥𝑝,𝑗
𝑇·𝜙𝑒𝑥𝑝,𝑗)
(3)
being 𝜙𝑛𝑢𝑚 and 𝜙𝑒𝑥𝑝 he nume ical and
expe imen al ib a ion modes, espec i ely. Bo h
esiduals a e used o de ine he objec i e
unc ions. The e o e, he minimiza ion p oblem
may be de ined as ollows:
min𝑓1(𝜃)=min1
2[∑𝑟𝑓,𝑗
2(𝜃)
𝑚𝑓
𝑗=1 ]1
2
(4)
min𝑓2(𝜃)=min1
2[∑𝑟𝑠,𝑗
2(𝜃)
𝑚𝑓
𝑗=1 ]1
2
(5)
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3
whe e 𝑓1(𝜃) and 𝑓2(𝜃) a e he objec i e unc ions
ela ed o he na u al equencies and ib a ion
modes, espec i ely, 𝜃 is he possible solu ion
ec o con aining he upda ed physical
pa ame e s o he model and 𝑚𝑓 is he numbe o
ib a ion modes conside ed.
2.2 Mul i-objec i e Gene ic Algo i hm
(MGA)
The mul i-objec i e global op imiza ion algo i hm
(MGA) employed in his s udy is he na u e-
inspi ed NSGA-II (Non-Domina ed So ing Gene ic
Algo i hm) algo i hm [3]. This algo i hm consis s
o he ollowings s eps. Fi s , he ini ializa ion
consis s in c ea ing an ini ial andom popula ion
(solu ions) and he assessmen o he objec i e
unc ions. The alue o he objec i e unc ions a e
hen classi ied o dis inguish be ween domina ed
and non-domina ed (Pa e o on ) solu ions.
Second, he s ochas ic selec ion unc ion selec s
se e al classi ied solu ions and gene a e a new
popula ion by using he c osso e and he
mu a ion unc ions. The o me allows c ea ing a
new solu ion om wo p e ious ones and he
la e is used o andomly modi y he alue o one
pa ame e o he new solu ion in o de o sea ch
on new a eas o he domain. Finally, he objec i e
unc ions a e e alua ed o he new gene a ion
and he non-domina ed solu ions a e ob ained.
The wo las s eps a e epea ed un il a s op
c i e ion is eached. As esul , he Pa e o’s op imal
on is build whe e each poin ep esen s a
possible solu ion.
3. FE Model Upda ing conside ing he
hyb id UKF-MGA algo i hm
The Kalman il e [2] is an es ima o ha consis s
in es ima ing he unknown a iables by
conside ing he measu emen s which con ain
s a is ical whi e noise. The ma hema ical
ep esen a ion o a gene al pa ame e
iden i ica ion p oblem sol ed by using he Kalman
il e is based on he s a e-space model:
𝜽𝑘=𝜽𝑘−1+𝒘𝑘−1
(6)
𝒛𝑘=𝒉(𝜽𝑘,𝒙𝑘)+𝒗𝑘
(7)
whe e 𝜽 is he ec o con aining he model
pa ame e s and 𝒛 ex ac s he modelling ou pu s
o he modelling unc ion 𝒉( ). The es ima ion
p ocess noise and he modelling unce ain y a e
aken in o accoun in he ec o s 𝒘 and 𝒗,
espec i ely. Bo h e ms a e assumed o be whi e
Gaussian noise wi h ze o-mean and co a iance
ma ices 𝑸 and 𝑹, espec i ely. The ma ix 𝑹 is
he sum o measu emen s noise and modelling
noise: 𝑹=𝑹𝑚𝑒𝑎𝑠+𝑹𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙 [4]. Ne e heless, he
modelling unce ain y is neglec ed in his s udy as
he same model is conside ed o each i e a ion o
he simula ion.
An ex ension o he Kalman il e o nonlinea
sys ems, he so-called ex ended Kalman il e
(EKF) was de eloped [5]. The EKF equi es
linea iza ion (Taylo se ies expansion) o Equa ion
(7). In case 𝒉 is a nume ical model, he e is no
analy ical solu ion o he Jacobian o he unc ion.
Ins ead, a nume ical me hod such as he ini e
di e ence algo i hm mus be used o app oxima e
he Jacobian.
To o e come his issue, he unscen ed Kalman
il e (UKF) was p oposed by Julie e al. [6]. The
UKF is an es ima o o nonlinea sys ems whe e
no linea iza ion o he modelling unc ion 𝒉 is
needed. This algo i hm uses he unscen ed
ans o m echnique o selec a g oup o sample
poin s (sigma poin s) which a e p opaga ed
h ough he nonlinea unc ions o calcula e he
mean and he co a iance o he es ima ed
pa ame e s [7]. I implies ha he second o de
Gaussian app oxima ion o he es ima es is
p ese ed. In his s udy, he gene ic algo i hm
hyb idized wi h UKF is conside ed due o he
ad an ages o his algo i hm o e he EKF. A
de ailed desc ip ion o he algo i hm o
pa ame e es ima ion p oblems is gi en below.
As a Kalman il e , he UKF consis s o wo s eps:
(i), he p edic ion and; (ii) he co ec ion (o
upda e). The o me consis s in assessing he
sigma poin s and he p io es ima ion e o ,
modelling e o and he c oss co a iance. The
la e in ol es compu ing Kalman's Gain ma ix
(𝑲) and co ec ing he p io es ima es o he
pa ame e s and he co a iance, based on he
measu emen s 𝒛𝑜𝑏𝑠.

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4
The sigma poin s a e 2𝑛+1 dis ibu ed poin s in
he icini y o he cu en es ima e. They a e
de ined om he p io es ima ion e o co a iance
[8]:
𝓢=𝜂√𝑷𝑘−1
(8)
(𝜒𝑘−1)0=𝜽
𝑘−1
(9)
(𝜒𝑘−1)𝑖=𝜽
𝑘−1+𝓢𝑖, 𝑖=1,2,…,𝑛
(10)
(𝜒𝑘−1)𝑖+𝑛=𝜽
𝑘−1−𝓢𝑖, 𝑖=1,2,…,𝑛
(11)
being 𝑛 he numbe o pa ame e s, 𝜂 is he scaling
pa ame e compu ed as 𝜂=√𝑛+𝜆, 𝑷 is he
es ima ion e o co a iance and 𝝌 a e he 2𝑛+1
sigma poin s. The sigma poin s a e mul iplied by a
weigh , de ined as:
𝑊0=𝜆
𝑛+𝜆
(12)
𝑊𝑖=𝑊𝑖+𝑛=1
2(𝑛+𝜆), 𝑖=1,2,…,𝑛
(13)
This algo i hm is in eg a ed in o he MGA.
Speci ically, he UKF sea ches a ound he
candida e alues o he pa ame e s p oposed by
he gene ic algo i hm. Once he alue o he
pa ame e s 𝜽
𝑘|𝑘 a e ob ained, he objec i e
unc ions a e assessed by minimising he mean
squa e e o be ween nume ical and expe imen al
modal pa ame e s. The gene ic algo i hm uses
hese alues o he objec i e unc ions o p opose
a new possible solu ion ( ec o o pa ame e s).
The algo i hm is shown below.
Ini ial S ep:
𝜽
0=𝜽𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟
𝑷0
𝑚=𝑷𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟
Main loop: 𝑓𝑜𝑟 𝑘=1:𝑁𝑈𝐾𝐹 (numbe o i e a ions o he UKF)
P edic ion s ep:
(𝜒𝑘−1)𝑖
(𝜒𝑘|𝑘−1)𝑖=(𝜒𝑘−1)𝑖
𝜽
𝑘|𝑘−1=∑𝑊𝑖·(𝜒𝑘|𝑘−1)𝑖
2𝑛
0
𝑷𝑘|𝑘−1
𝜃=∑(𝑊𝑖[(𝜒𝑘|𝑘−1)𝑖−𝜽
𝑘|𝑘−1]·[(𝜒𝑘|𝑘−1)𝑖−𝜽
𝑘|𝑘−1]𝑇)
2𝑛
0+𝑸
(𝓏𝑘|𝑘−1)𝑖=𝒉((𝜒𝑘|𝑘−1)𝑖)
𝒛𝑘|𝑘−1=∑𝑊𝑖·(𝓏𝑘|𝑘−1)𝑖
2𝑛
0
𝑷𝑘|𝑘−1
𝑧=∑(𝑊𝑖[(𝓏𝑘|𝑘−1)𝑖−𝒛𝑘|𝑘−1]·[(𝓏𝑘|𝑘−1)𝑖−𝒛𝑘|𝑘−1]𝑇)
2𝑛
0+𝑹
𝑷𝑘|𝑘−1
𝜃𝑧 =∑(𝑊𝑖[(𝜒𝑘|𝑘−1)𝑖−𝜽
𝑘|𝑘−1]·[(𝓏𝑘|𝑘−1)𝑖−𝒛𝑘|𝑘−1]𝑇)
2𝑛
0
Co ec ion (upda e) s ep:
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𝑲𝑘=𝑷𝑘|𝑘−1
𝜃𝑧 (𝑷𝑘|𝑘−1
𝑧)−1
𝜽
𝒌=𝜽
𝑘|𝑘−1+𝑲𝑘(𝒛𝑜𝑏𝑠−𝒛𝑘|𝑘−1)
𝑷𝑘
𝑚=𝑷𝑘|𝑘−1
𝑚−𝑲𝑘𝑷𝑘|𝑘−1
𝑧𝑲𝑘
𝑇
𝑒𝑛𝑑
4. Model upda ing o a eal his o ical
cons uc ion
As benchma k s uc u e, he domes o he chapel
in eg a ed in he Wü zbu g Residence (Ge many)
is conside ed. The domes a e mason y su aces o
b icks g own in a single lawye . The b icks a e 30
cm hick, and a he base o he dome, hey a e
ein o ced by inc easing he hickness un il 45 cm.
The ein o cemen is also p esen ed in he adial
ibs eaching a sec ion o 45x45 cm. In he
cons uc ion p ocess o he domes, he ne es a e
buil alongside he es o he shee .
a)
b)
Figu e 1. a) In e io o he chapel and b) ex e io o
he dome o he chapel o he Wü zbu g Residence
4.1 P elimina y Nume ical Model
The p elimina y FE model was buil using he
Ansys so wa e [9]. The s uc u al model o he
dome was de ined by conside ing 3D shell
elemen s (SHELL63) which ha e 4 nodes pe
elemen . The e ec o he la e al walls o he
chapel on he dome was es ablished, in a
simpli ied manne , by means o wo 1D sp ing
elemen s (COMBIN14) whose s i ness ep esen s
he bending igidi y o he wall in he di ec ion
unde conside a ion. The ollowing mechanical
p ope ies o he ma e ial ha e been conside ed:
Young’s modulus, E (GPa) = 2; Poisson’s a io, 𝜈 =
0.2; densi y, 𝜌 (kg/m3) = 1700 and ho izon al
s i ness o he walls, 𝑘ℎ = 1000 kN/m. The la e
was de e mined by conside ing ha hese
elemen s we e made wi h he same ma e ial han
he es and assimila ing hei beha iou o a
can ile e . To adequa ely model he beha iou o
he walls, ou di e en zones we e assumed (a
wall o each la e al dome and wo walls o he
main dome) (see Figu e 2). The nume ical modal
analysis led o he h ee na u al equencies
shown in Table 1.
Figu e 2. FE model o he dome o he chapel
4.2 Ambien Vib a ion Tes and
Ope a ional Modal Analysis
An ambien ib a ion es was pe o med in o de
o expe imen ally iden i y he modal pa ame e s
o he s uc u e. To his e ec , he accele a ions
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we e eco ded du ing 10 minu es by eigh uniaxial
accele ome e s a 51 ins umen ed poin s. The
signals we e p ocessed using he ime domain SSI
algo i hm [10], implemen ed in he so wa e
ARTeMIS Modal [11]. This whole p ocedu e has
been de ailed in [12]. The h ee iden i ied na u al
equencies a e shown in Table 1. Besides, he
ela i e di e ence be ween he nume ical and
expe imen al na u al equencies and he MAC
a e calcula ed o each ib a ion mode.
Table 1. Nume ical and expe imen al na u al
equencies
Vib a ion
Mode
𝒇𝒏𝒖𝒎
[Hz]
𝒇𝒆𝒙𝒑
[Hz]
𝚫𝒇
[%]
MAC
1
(la e al)
3.362
2.764
21.635
0.809
2
(longi udinal)
3.431
3.231
6.190
0.877
3
(la e al)
3.988
4.015
-0.672
0.648
F om he esul s in Table 1, i can be no iced ha
despi e he use o a e y de ailed FE model, he
na u al and expe imen al mode shapes a e no in
good ag eemen as he e o s be ween hem a e
high. A FE model upda ing p ocess mus be
conduc ed o gua an ee ha he nume ical model
ep esen s mo e accu a ely he ac ual beha iou
o he dome.
4.3 Fini e Elemen Model Upda ing
This p ocess was implemen ed in he so wa e
p og amme MATLAB [13]. As global op imiza ion
algo i hm, he MGA was used. This s udy ocuses
on he compa ison o he wo p e ious desc ibed
echniques o ind he global minimum o he
objec i e unc ions: (i), he maximum likelihood
me hod (MLM) based on MGA and; (ii), he hyb id
UKF-MGA algo i hm.
The pa ame e s selec ed o he model upda ing
p ocess a e he same o bo h p oblems. A
sensi i i y s udy was pe o med o selec he
physical pa ame e s ha in luence mo e he
dynamic beha iou . This in luence was aken in o
accoun on he basis o he modal s ain ene gy.
The se en pa ame e s chosen we e he
ollowings: he Young’s modulus o he dome, he
Young’s modulus o he ibs, he Young’s modulus
o he s a ing wall, he longi udinal s i ness o
he walls 1 and 4, he la e al s i ness o he walls
2 and 3, he la e al s i ness o he walls 1 and 4
and he longi udinal s i ness o he walls 2 and 3.
The sea ch ange o he pa ame e s we e: (i) o
he Young’s moduli, [1–4] GPa and; (ii) o he
s i ness, [200-2200] kN/m.
The objec i e unc ions we e de ined as exp essed
in Equa ions (4) and (5).
4.3.1 MLM-MGA me hod
The alue o he upda ed pa ame e s is shown in
Table 2.
Table 2. Upda ed physical pa ame e s (MLM-
MGA)
Pa ame e
Upda ed
alue
𝑬 dome [Pa]
1.164E+9
𝑬 ibs[Pa]
1.468E+9
𝑬 s a ing wall [Pa]
1.319E+9
𝒌𝒙 walls 1 and 4 [N/m]
7.531E+5
𝒌𝒚 walls 2 and 3 [N/m]
3.941E+5
𝒌𝒚 walls 1 and 4 [N/m]
1.729E+6
𝒌𝒙 walls 2 and 3 [N/m]
9.793E+5
The modal analysis o he upda ed FE model led o
he h ee na u al equencies gi en in Table 3. The
imp o emen o he ela i e di e ences be ween
na u al equencies (excep he hi d ib a ion
mode) and he inc ease o MAC a ios exhibi he
good pe o mance o he upda ing p ocedu e.
Table 3. Na u al equencies o he upda ed FE
model (MLM-MGA)
Vib a ion
Mode
𝒇𝒏𝒖𝒎,𝒖𝒑
[Hz]
𝒇𝒆𝒙𝒑
[Hz]
𝚫𝒇
[%]
MAC
1
2.725
2.764
-1.411
0.861
2
3.237
3.231
-0.186
0.921
3
4.188
4.015
4.299
0.728
IABSE Symposium 2019 Guima ães: Towa ds a Resilien Buil En i onmen - Risk and Asse Managemen
Ma ch 27-29, 2019, Guima ães, Po ugal
7
4.3.2 Hyb id UKF-MGA algo i hm
In he implemen a ion o he UKF-MGA he
ollowing pa ame e s we e chosen [14]: ini ial
es ima ion e o co a iance, 𝑷0
𝑚=
𝑑𝑖𝑎𝑔((𝑢𝑏−𝑙𝑏
100 )2); co a iance ma ix o p ocess
noise, 𝑸=0.005𝑷0; he co a iance ma ix o
measu emen s noise is aken om he OMA, 𝑹=
0.001·𝐈(𝑟,𝑟), wi h 𝐈(𝑟,𝑟) he iden i y ma ix
ha ing dimensions equal o he size o he
measu emen s da a, 𝑟 and 𝜆=0.0001. The
measu emen s ec o , 𝒛𝑜𝑏𝑠, was de ined aking
in o accoun bo h he expe imen al na u al
equencies and he mode shapes. The la e was
implemen ed in e ms o he MAC, conside ing
he uni o he h ee ib a ion modes. In his
manne , he di e ence 𝒛𝑜𝑏𝑠−𝒛 ep esen he
e o be ween obse ed and nume ical modal
pa ame e s. The upda ing p ocess ga e as a esul
he model pa ame e s p esen ed in Table 4.
Table 4. Upda ed physical pa ame e s (UKF-MGA)
Pa ame e
Upda ed
alue
𝑬 dome [Pa]
2.848E+9
𝑬 ibs[Pa]
3.424E+9
𝑬 s a ing wall [Pa]
2.778E+9
𝒌𝒙 walls 1 and 4 [N/m]
6.418E+5
𝒌𝒚 walls 2 and 3 [N/m]
2.371E+5
𝒌𝒚 walls 1 and 4 [N/m]
1.862E+6
𝒌𝒙 walls 2 and 3 [N/m]
9.728E+5
The na u al equencies ob ained a e his
op imiza ion a e shown in Table 5. This algo i hm
also conduc s o a good adjus men o he
nume ical and expe imen al modal pa ame e s.
Table 5. Na u al equencies o he upda ed FE
model (UKF-MGA)
Vib a ion
Mode
𝒇𝒏𝒖𝒎,𝒖𝒑
[Hz]
𝒇𝒆𝒙𝒑
[Hz]
𝚫𝒇
[%]
MAC
1
2.741
2.764
-0.832
0.859
2
3.207
3.231
-0.743
0.928
3
4.423
4.015
10.161
0.695
4.4 Discussion o he esul s
A discussion o he pe o mance o bo h
algo i hms, GA and GA-UKF, is p esen ed. The
compa ison is de eloped in e ms o wo key
c i e ia: ega ding he ela i e di e ences
be ween nume ical and expe imen al na u al
equencies and MAC a ios and wi h espec o
he numbe o i e a ions and compu a ion ime.
Fi s , om Table 3 and Table 5, i can be obse ed
ha he ela i e di e ences, Δ𝑓, a e smalle o
he MLM-GA (excep he i s ib a ion mode). In
addi ion, he MAC a ios a e la ge o his
algo i hm (excep o he second ib a ion mode).
Second, he numbe o i e a ions and he
compu a ional cos is compa ed (see Table 6). The
algo i hms we e un in a 3.60 GHz p ocesso wi h
a 29.3 RAM. Fo he MLM-GA, he numbe o
i e a ions o he mul i-objec i e gene ic algo i hm
was es ablished in 100 and a popula ion o 200
solu ions ( ec o o possible pa ame e s) was
conside ed. The ime o comple e he p ocedu e
was a ound 47000 seconds. Howe e , o he UKF-
MGA, he numbe o i e a ions o he mul i-
objec i e gene ic algo i hm was se o 20, he
ini ial popula ion was made up o 10 ec o s and 5
i e a ions o he unscen ed Kalman il e we e
conside ed. The educed numbe o i e a ions and
popula ion o he gene ic algo i hm is due o he
mul iple (2𝑛+1, being 𝑛 he numbe o
pa ame e s) e alua ions o he objec i e unc ions
o each i e a ion o he UKF. The du a ion o he
UKF-MGA is a ound 16000 seconds. This is 34%
less han he ime o he GA.
Based on he wo c i e ia, he UKF-MGA
ep esen s a use ul ool o pe o m a model
upda ing p ocess, as he compu a ional cos is
conside ably educed and he esul s, al hough
wo s , a e simila o hose ob ained wi h he
MLM-MGA.
Table 6. Compa ison o he MLM-MGA and UKF-
MGA algo i hms
𝑵 (MGA)
Pop.
𝑵 (UKF)
Time [s]
MLM-MGA
100
200
-
47710
UKF-MGA
20
10
5
16068
in ol ed in Bayesian upda ing may signi ican ly be educed by pa alleliza ion, he ease
o implemen a ion o he maximum likelihood me hod o such p ac ical applica ions
has p omp ed us o ackle he upda ing p oblem using hese la e algo i hms.
In o de o sol e he esul ing op imiza ion p oblem, ei he local o global
op imiza ion algo i hms can be employed (Nocedal and W igh , 1999). As he
ela ionship be ween he conside ed physical pa ame e s and he modal p ope ies o he
s uc u e is clea ly nonlinea , mul iple op imums a e no mally expec ed in he objec i e
unc ion o his p oblem. P o ided ha local op imiza ion algo i hms may ha e
di icul ies o ind he global op imum unde such scena io, global op imiza ion
algo i hms a e usually employed o sol e he upda ing p oblem. To his end,
compu a ional in elligence algo i hms, like gene ic algo i hms (GA) and a i icial neu al
ne wo ks (ANN) ha e been widely used o p ac ical enginee ing applica ions
(Ma wala, 2010). Bo h algo i hms ha e shown hei e iciency when sol ing nonlinea
op imiza ion p oblems (Koh and Pe y, 2009; Le in and Lie en, 1998a). Fo ins ance,
GA ha e been success ully employed o assess he s uc u al beha iou o exis ing
b idge s uc u es (Jiménez-Alonso and Sáez, 2016) o o de ec damage in ci il
enginee ing s uc u es (Hao and Xia, 2002). ANN ha e as well been implemen ed o
conduc he ini e-elemen -model upda ing o a wide a ie y o s uc u al sys ems (Lu
and Tu, 2004; Hasançebi and Dumlupına , 2013; Guo e al., 2017). Many o he success
s o ies a e sca e ed in he scien i ic li e a u e o ini e elemen upda ing.
The main limi a ion o hese compu a ional algo i hms is he high simula ion
ime equi ed o pe o m he ini e-elemen -model upda ing when he complexi y o he
s uc u e inc eases. Two ends ha e been conside ed o o e come his d awback (i we
keep pa alleliza ion aside in his e iew): (i) he implemen a ion and alida ion o mo e
ecen global op imiza ion algo i hms and (ii) he hyb idiza ion be ween local and
global op imiza ion algo i hms.
As ep esen a i e examples o he i s end, Le in and Lie en (1998b)
pe o med a compa ison be ween he pe o mance o he GA and he simula ed
annealing (SA) o sol e he ini e-elemen -model upda ing p oblem o a la pla e wing;
Pe e a e al. (2010) compa ed he esul s ob ained be ween GA and he pa icle swa m
op imiza ion (PSO) o he ini e-elemen -model upda ing o a one-s o y ein o ced
conc e e ame.
On he o he hand, wo ou s anding examples o he second end can be
ema ked: (i) he wo k epo ed by Shabbi and Omenze e (2015), who p oposed a
hyb id sequen ial niche-PSO algo i hm o pe o m he ini e-elemen -model upda ing o
a oo b idge, and (ii) he s udy p o ided by As oza e al. (2016), who implemen ed a
hyb id unscen ed Kalman il e -SA algo i hm o pe o m he ini e-elemen -model
upda ing o a s eel ame s uc u e.
In his pape , a no el compu a ional algo i hm de ised o imp o e he e iciency
o ini e-elemen -model upda ing o ci il enginee ing s uc u es is p oposed,
implemen ed and u he alida ed. The design o his new algo i hm employs he
maximum likelihood app oach and s ems om he wo ends men ioned abo e.
On he one hand, as basis o his new algo i hm, he Ha mony Sea ch (HS)
global op imiza ion algo i hm is adop ed. The ha mony sea ch algo i hm is based on he
imp o isa ion p ocess in which musicians seek ha mony (Geem e al., 2001). This
algo i hm has been applied e icien ly in mul iple p ac ical enginee ing applica ions
(Yang and Koziel, 2011). Howe e , acco ding o he bes o he au ho s’ knowledge, i

has been a ely applied o he ini e-elemen -model upda ing o ci il enginee ing
s uc u es (Fadel e al., 2012; Ka eh e al., 2014).
On he o he hand, he pe o mance o he o iginal HS algo i hm is imp o ed ia
i s hyb idiza ion wi h a local op imiza ion algo i hm: he so-called Unscen ed Kalman
Fil e (UKF) is conside ed he ein. This algo i hm belongs o he Kalman il e amily
(Kalman, 1960) which o iginally ocused on es ima ing he means and he co a iance o
he cons i u i e pa ame e s o a linea sys em h ough a ecu si e p ocess wi h wo
s eps: (i) he p edic ion; and (ii) he co ec ion s eps. Subsequen ly, he o iginal Kalman
il e was adap ed o nonlinea sys ems (Jazwinski, 1970) h ough he so-called
Ex ended Kalman Fil e (EKF). The basic idea o his algo i hm is o linea ize locally
he nonlinea unc ion, which ep esen s he beha iou o he sys em, be o e applying
he Kalman il e . Thus, one o he main d awbacks o his algo i hm is ha i only
allows compu ing a i s o de app oxima ion o he nonlinea unc ion. In o de o
o e come his limi a ion, he Unscen ed Kalman Fil e (UKF) was subsequen ly
p oposed by Julie and Uhlmann (1997). This algo i hm de ines a se o sampling poin s
which allow es ima ing he mean and co a iance o he cons i u i e pa ame e s a e
hei p opaga ion h ough he nonlinea sys em. The di ec es ima ion o hese s a is ical
p ope ies allows compu ing a second o de app oxima ion (o e en a hi d o de
app oxima ion in case o a Gaussian andom ec o is p opaga ed) o he nonlinea
unc ion (Van De Me we, 2004; Nguyen and Nes o o ić, 2015).
The esul ing hyb id UKF-HS algo i hm is hen o mula ed o ackle wo ypes
o op imiza ion p oblems: (i) single-objec i e and (ii) mul i-objec i e app oaches. The
implemen a ion de ails a e nex ho oughly p esen ed and discussed. The pe o mance
o he new algo i hm is alida ed and u he compa ed wi h he esul s o o he wo
global compu a ional in elligence algo i hms (GA and HS). To his end, he ini e
elemen model upda ing o a benchma k econ igu able s eel oo b idge (Hudson and
Reynolds, 2017) loca ed a he labo a o y o he Vib a ion Enginee ing Sec ion o he
Uni e si y o Exe e (U.K.) is conside ed. The expe imen al modal p ope ies o he
s uc u e we e ob ained ia he signal p ocessing o he eco ds ob ained du ing a o ced
ib a ion es (Maia and Sil a, 1997).
The pape is o ganized as ollows. Fi s , some basics abou ini e-elemen -model
upda ing unde he maximum likelihood me hod a e p esen ed. Subsequen ly, he h ee
conside ed compu a ional in elligence algo i hms (GA, HS, UKF-HS) a e desc ibed in
de ail, wi h special emphasis on he newly p oposed UKF-HS algo i hm. Subsequen ly,
he pe o mance o he h ee men ioned algo i hms is compa ed when hey a e
implemen ed o he ini e-elemen -model upda ing o a labo a o y oo b idge. Finally,
some concluding ema ks a e d awn o close he pape in he i h sec ion.
2. Basics o Fini e-elemen -model Upda ing unde he Maximum Likelihood
Me hod
As indica ed abo e, he ini e-elemen -model upda ing p oblem may be
conside ed as a pa ame e iden i ica ion p oblem in which he alues o he mos
ele an physical pa ame e s o he s uc u e a e o be es ima ed h ough he
minimiza ion o he di e ences be ween he nume ical and expe imen al modal
p ope ies o he s uc u e (Mo e shead e al., 2011). Di e en es ima o s a e no mally
used o sol e his pa ame e iden i ica ion p oblem. Among hem, he maximum
likelihood me hod has been widely used o pe o m he ini e-elemen -model upda ing
o ci il enginee ing s uc u es (Ma wala, 2010) and i will be he app oach conside ed
he ein.
In his manne , he ini e-elemen -model upda ing p oblem is ans o med in o
an op imiza ion p oblem, whe e he upda ed model ollows om i e a i e modi ica ions
o he mos ele an physical pa ame e s, un il an op imal solu ion is ob ained. The
objec i e unc ion o such op imiza ion p oblem may be de ined in e ms o he squa e
ela i e di e ences ( esiduals) be ween he nume ical and he expe imen al modal
p ope ies o he s uc u e (na u al equencies and ib a ion modes). As design
pa ame e s o his p oblem, he mos ele an physical pa ame e s o he model a e
conside ed. P o ided ha he ela ionship be ween he esiduals and he design
pa ame e s is nonlinea , global op imiza ion algo i hms a e needed o pe o m he
op imiza ion p ocess (Nocedal and W igh , 1999). Addi ionally, a sea ch domain is
usually es ablished o gua an ee ha he solu ion ob ained e ains i s physical meaning.
Two app oaches can be conside ed o de ine he objec i e unc ion: (i) he single-
objec i e app oach; and (ii) he mul i-objec i e app oach.
Unde he single-objec i e app oach, he op imiza ion p oblem consis s in
minimizing a single-objec i e unc ion de ined in e ms o he weigh ed esiduals
be ween he nume ical and expe imen al modal p ope ies o he s uc u e. These
weigh s ake in o accoun he ela i e con ibu ion o each esidual. The alue o hese
weigh s can be es ablished ei he by a s a is ical c i e ion (F iswell and Mo e shead,
1995) o by a co ela ion c i e ion (Teughels e al., 2002). Acco ding o he i s
c i e ion, he weigh s a e de e mined in e ms o he unce ain y associa ed wi h he
es ima es o he expe imen al modal p ope ies o he s uc u e. Acco ding o he second
c i e ion, he weigh s a e de ined by an i e a i e p ocess ( ial and e o ) which ensu es
he bes ag eemen be ween he nume ical and expe imen al modal p ope ies o he
s uc u e. The second c i e ion will be conside ed he ein.
Unde he mul i-objec i e app oach, he op imiza ion p oblem consis s in
minimizing a mul i-objec i e unc ion de ined by se e al unc ional componen s. The
o e all objec i e unc ion is no mally de ined by wo unc ional componen s o
p ac ical enginee ing applica ions (Jin e al., 2014). One componen may be de ined in
e ms o he esiduals associa ed wi h he na u al equencies, 𝑟𝑓,𝑗(𝛉), whils he o he
componen may be de ined in e ms o he esiduals associa ed wi h he ib a ion
modes, 𝑟𝑚,𝑗(𝛉) (𝑗 being he conside ed ib a ion mode). In his case, no weigh s a e
needed o de ine he objec i e unc ion. Howe e , a se o possible solu ions ( he so-
called Pa e o on ) is ob ained as esul o he op imiza ion p ocess. Hence, a
subsequen decision making p oblem mus be add essed in o de o selec he bes
solu ion among he di e en elemen s o he Pa e o on . Among he di e en c i e ia
p o ided in li e a u e (In an es e al., 2019), he no mal bounda y in e sec ion (NBI)
me hod has been conside ed he ein (Deb and Gup a, 2011).
Residuals 𝑟𝑓,𝑗(𝛉) and 𝑟𝑚,𝑗(𝛉) can be de ined as ollows:
𝑟𝑓,𝑗(𝛉)=𝑓num,𝑗(𝛉) − 𝑓𝑒𝑥𝑝,𝑗
𝑓exp,𝑗 𝑗=1,2,3,…𝑛𝑓
(1)
𝑟𝑚,𝑗(𝛉)2=(1−√𝑀𝐴𝐶𝑗(𝛉))2
𝑀𝐴𝐶𝑗(𝛉) 𝑗=1,2,3,…𝑛𝑓
(2)
whe e 𝛉 is a ec o con aining he mos ele an physical pa ame e s o he model;
𝑛𝑓is he o al numbe o ib a ion modes conside ed o conduc he upda ing; 𝑓𝑛𝑢𝑚,𝑗
and 𝑓𝑒𝑥𝑝,𝑗 [Hz] a e he nume ical and expe imen al na u al equencies (𝑗 being he
numbe o he conside ed ib a ion mode), espec i ely; and 𝑀𝐴𝐶𝑗 deno es he Modal
Assu ance C i e ion (Allemang and B own, 1982) which assesses he co ela ion
be ween he nume ical and expe imen al ib a ion modes. The 𝑀𝐴𝐶𝑗 a io can be
exp essed as ollows:
𝑀𝐴𝐶𝑗(𝛉)=(𝜙num,𝑗(𝛉)·𝜙exp,𝑗)2
(𝜙num,𝑗
𝑇(𝛉)·𝜙num,𝑗(𝛉))·(𝜙exp,𝑗
𝑇·𝜙exp,𝑗)
(3)
wi h 𝜙𝑛𝑢𝑚,𝑗 and 𝜙𝑒𝑥𝑝,𝑗 being he nume ical and expe imen al ib a ion modes,
espec i ely.
On he one hand, he o mula ion o he ini e-elemen -model upda ing p oblem
using he single-objec i e app oach can be o mula ed as ollows:
min𝑓(𝛉)=12[∑𝑤𝑓,𝑗·𝑟𝑓,𝑗(𝛉)2
𝑛𝑓
𝑗]1/2+12[∑𝑤𝑚,𝑗·𝑟𝑚,𝑗(𝛉)2
𝑛𝑓
𝑗]1/2
subjec o{ 𝛉𝐥≤𝛉≤𝛉𝐮;∑𝑤𝑓,𝑗+𝑤𝑚,𝑗=1
𝑛𝑓
𝑗}
(4)
𝑤𝑓 and 𝑤𝑚 being he weigh s associa ed wi h he esiduals o he na u al equencies
and ib a ions modes; and 𝛉𝐥 and 𝛉𝐮 being he lowe and uppe bounds o he sea ch
domain o he conside ed physical pa ame e s, espec i ely.
On he o he hand, he o mula ion o he ini e-elemen -model upda ing
p oblem using he mul i-objec i e app oach can be o mula ed as ollows:
min𝑓(𝛉)=min(𝑓1(𝛉) 𝑓2(𝛉)) whe e {𝑓1(𝛉)=12[∑𝑟𝑓,𝑗(𝛉)2
𝑛𝑓
𝑗]1/2
𝑓2(𝛉)=12[∑𝑟𝑚,𝑗(𝛉)2
𝑛𝑓
𝑗]1/2
subjec o: 𝛉𝐥≤𝛉≤𝛉𝐮
(5)
In summa y, a ypical ini e-elemen -model upda ing consis s o he ollowing
s eps (Ma wala, 2010): (i) he expe imen al modal p ope ies o he s uc u e a e
iden i ied ia he signal p ocessing (ei he expe imen al o ope a ional modal analysis
may be employed o his end) o he eco ds ob ained du ing a ib a ion es (ei he
o ced ib a ion es o ambien ib a ion es ); (ii) he nume ical modal p ope ies o
he s uc u e a e ob ained ia a modal analysis based on a ini e-elemen model; (iii) he
mos ele an physical pa ame e s o he model a e modi ied i e a i ely (using a global
op imiza ion algo i hm); (i ) he objec i e unc ion is e alua ed; and ( ) his i e a i e
p ocess is epea ed un il some con e gence c i e ion is me . As esul o his p ocess,
ei he a ec o o upda ed pa ame e s (single-objec i e app oach) o a Pa e o on
(mul i-objec i e app oach) is ob ained. In he la e case, a subsequen decision making
p oblem mus be add essed in o de o selec he ec o o upda ed pa ame e s.
3. Compu a ional In elligence Algo i hms o he Fini e-elemen model
Upda ing o Ci il Enginee ing S uc u es.
The ini e-elemen -model upda ing p oblem using he maximum likelihood
me hod is usually ackled in p ac ical enginee ing applica ions by employing
compu a ional in elligence algo i hms (Ma wala, 2010). These algo i hms p esen as
main ad an age ha he solu ion ob ained is a global op imum o he objec i e unc ion.
Howe e , hey ha e he d awback o he high simula ion ime equi ed o pe o m he
upda ing p ocess, especially when he complexi y o he model inc eases. In o de o
o e come his limi a ion, se e al s a egies ha e been adop ed, as summa ized in he
in oduc ion: om pa allelizing he algo i hms o he de elopmen o al e na i e global
op imize s o he de ising o hyb id local-global algo i hms. In his pape , a no el
hyb id Unscen ed Kalman Fil e -Ha mony Sea ch (UKF-HS) algo i hm is p oposed and
alida ed. This hyb id algo i hm akes ad an age o bo h he accele a ion scheme
p o ided by he unscen ed Kalman il e algo i hm and he global sea ch cha ac e is ics
o he ha mony sea ch algo i hm.
The pe o mance o his hyb id algo i hm is assessed by compa ing he esul s o
he ini e-elemen -model upda ing o a labo a o y oo b idge conduc ed using h ee
di e en compu a ional in elligence algo i hms: (i) he classic gene ic algo i hms (GA);
(ii) he ha mony sea ch algo i hm (HS); and (iii) he no el hyb id UKF-HS algo i hm.
Fu he compa ison o he pe o mance o he new algo i hm wi h he qui e nume ous
op imize s a ailable in he li e a u e is ou o he scope o his pape . Howe e , i is
ele an o poin ou he e ha p e ious s udies (Ma wala, 2010) e eal ha Pa icle
Swa m Op imize s (PSO) ou pe o m o he algo i hms like Nelde -Mead (NM) o
Simula ed Annealing (SA). Mo e ecen s udies (Jiménez-Alonso e al., 2017) show ha
he HS op imize ou pe o ms bo h GA and PSO when add essing he ini e elemen
model upda ing o ci il s uc u es. Fo his eason, ou p oposal selec s HS as global
op imize and hyb idizes i wi h he local UKF algo i hm, in o de o speed up he
upda ing p ocess.
In o de o make his pape as sel -con ained as possible, he h ee men ioned
compu a ional algo i hms conside ing bo h single-objec i e and mul i-objec i e
app oaches a e nex desc ibed. Fi s , a gene al o e iew o GA is included. Nex , he
HS algo i hm is summa ized. Subsequen ly, he heo e ical o mula ion o he UKF
algo i hm is p esen ed. Finally, he newly p oposed hyb id UKF-HS algo i hm is
desc ibed in de ail.
3.1. Gene ic Algo i hms (GA)
Gene ic algo i hms (GA) a e na u e-inspi ed compu a ional algo i hms based on
he na u al selec ion heo y. Thus, he assessmen o each ch omosome (physical
pa ame e ec o ) is based on he alue o he objec i e unc ion o each candida e.
The GA, unde he single-objec i e app oach, can be summa ized in he
ollowing s eps (Koh and Pe y, 2009): (i) an ini ial popula ion o pa ame e ec o s is
andomly c ea ed; (ii) he objec i e unc ion is e alua ed o all he candida es; (iii) an
i e a i e p ocess is de eloped whe e pa ame e ec o s a e selec ed in o de o c ea e a
new popula ion; (i ) a new popula ion is c ea ed using bo h mechanisms, he c osso e ,
which allows ob aining a new ec o om o p e ious ones, and he mu a ion, which
consis s in modi ying he alue o one componen o he pa ame e ec o o explo e
new a eas o he sea ch domain; ( ) he objec i e unc ion is e alua ed o he new
popula ion a each i e a ion and he candida es wi h highe i ness a e selec ed; (i ) he
s eps (iii) o ( ) a e epea ed i e a i ely un il a con e gence c i e ion is me . The
lowcha o he GA is shown in Figu e 1a.
On he o he hand, he gene ic algo i hms, unde he mul i-objec i e app oach
(MGA), a e add essed by he non-domina ed so ing gene ic algo i hms ( he so-called
NSGA-II algo i hm) p oposed by Deb e al. (2002). Acco ding o his algo i hm, he
non-domina ed solu ions a e classi ied using he non-domina ed so ing me hod. In his
manne , a new popula ion is gene a ed conside ing only he non-domina ed solu ions.
Bo h mechanisms a e con olled by an ope a o denomina ed c owded compa ison
ope a o . This ope a o is based on wo a ibu es o each solu ion: (i) he ank; and (ii)
he c owding dis ance. As esul , a se o solu ions, which cons i u es he Pa e o on , is
ob ained. The lowcha o he MGA algo i hm is shown in Figu e 1b.
Figu e 1. Flowcha o he gene ic algo i hms: a) GA and b) MGA.
3.2. Ha mony Sea ch Algo i hm (HS)
The HS algo i hm was p oposed by Geem e al. (2001). The algo i hm is
inspi ed in he musical imp o isa ion whe e ha mony is sea ched acco ding o aes he ic
equi emen s. As he GA, he HS inds he global minimum o he objec i e unc ion by
modi ying i e a i ely he alue o he conside ed physical pa ame e s o he model.
Al hough his algo i hm has been implemen ed success ully o se e al p ac ical
enginee ing applica ions (Manja es e al., 2013); howe e i has no been ye
implemen ed o he ini e-elemen -model upda ing o ci il enginee ing s uc u es
acco ding o he bes o he au ho s’ knowledge.
The HS algo i hm, unde he single-objec i e app oach, can be summa ized in
he ollowing s eps: (i) he ha mony ma ix, 𝐇, is c ea ed (which con ains he ini ial
candida e solu ions, pa ame e ec o , c ea ed andomly); (ii) he objec i e unc ion is
e alua ed o each solu ion; (iii) a new ha mony is gene a ed using h ee di e en
mechanisms (memo y conside a ion, pi ch adjus men s and andomiza ion); (i ) he
Ini ial
Popula ion
E alua e Selec ion
C osso e
Mu a ion
Con e gence?
Solu ion
Yes
No
Ope a ions
Upda e
Popula ion
Ini ial
Popula ion
E alua e
Upda e
Popula ion
E alua e
Is Domina ed?
Upda e
Popula ion
Yes
No
Con e gence?
Yes
No
Pa e o F on
a) b)

objec i e unc ion is e alua ed o each new ha mony, ( ) he ha mony ma ix, 𝐇, is
upda ed wi h he bes gene a ed ha monies; and ( i) he s eps (iii) o ( ) a e epea ed
un il a con e gence c i e ion is me .
When a new ha mony is gene a ed, each elemen o a new candida e ec o can
be de ined in e ms o ei he a p e ious alue s o ed in he ha mony ma ix, 𝐇, o
adop ing a new andom alue. This ac is con olled by he ha mony memo y
conside a ion a e, 𝐻𝑀𝐶𝑅. This a io es ablishes he p obabili y o selec ing a p e ious
componen o he ha mony ma ix, 𝐇. Addi ionally, when some elemen s adop s he
alue o a p e ious one, i can be mu a ed acco ding o he pi ch adjus men a e, 𝑃𝐴𝑅.
This a io es ablishes he p obabili y o mu a ing an elemen o he candida e ec o .
The adjus men is based on an addi ional pa ame e , he so-called bandwid h, 𝑏𝑤, which
is added o sub ac ed o mu a e he conside ed candida e ec o . The lowcha o he
HS algo i hm is shown in Figu e 2a.
The HS algo i hm, unde he mul i-objec i e app oach (MHS), is an ex ension o
he abo e men ioned algo i hm which allows minimizing mul i-objec i e unc ions. A
each i e a ion, a se o new possible candida e solu ions is c ea ed acco ding o bo h he
𝐻𝑀𝐶𝑅 and 𝑃𝐴𝑅 a ios. The classi ica ion o he non-domina ed solu ions is pe o med
using bo h he non-domina ed so ing me hod (Deb e al., 2002) and he c owding
dis ance. In o de o es o e he ini ial size o he ha mony ma ix, 𝐇, he wo s solu ions
in e ms o c owding dis ance a e dele ed. These s eps a e epea ed i e a i ely un il a
con e gence c i e ion is me . As esul o his p ocess, a se o possible solu ions is
ob ained, he so-called Pa e o on . The lowcha o he MHS algo i hm is shown in
Figu e 2b.
Figu e 2. Flowcha o he ha mony sea ch algo i hm: a) HS and b) MHS.
Ini ialize
H
Con e gence?
Solu ion
Yes
No
Ope a ions
E alua e Selec ion
Imp o isa ion
Randomiza ion
Upda e
H
Ini ialize
H
E alua e
Upda e
H
E alua e
Is Domina ed?
Upda e
H
Yes
No
Con e gence?
Yes
No
Pa e o F on
b)a)
3.3. Unscen ed Kalman Fil e (UKF)
A local minimiza ion algo i hm has been combined wi h he HS algo i hm o
educe he simula ion ime needed o pe o m he upda ing p ocess. The unscen ed
Kalman il e (UKF) has been selec ed o his pu pose (Julie and Uhlmann, 1997).
This algo i hm is a de i a i e ee es ima o , which in ol es ha nei he Jacobians no
Hessians mus be compu ed, widely used o he s a e-es ima ion o nonlinea dynamic
sys ems. Among he di e en ans o ma ions, he scaled unscen ed ans o ma ion
p oposed by Wan and Van De Me we (2000) has been adop ed he ein o de ine he
UKF algo i hm.
The o mula ion o a pa ame e iden i ica ion p oblem may be ep esen ed as
ollows (Wan e al., 2000):
𝛉𝑘=𝛉𝑘−1+𝐰𝑘−1 (6)
𝐳𝑘=ℎ(𝛉𝑘)+𝐯𝑘 (7)
whe e 𝛉 is he pa ame e ec o ; ℎ is he nonlinea modelling unc ion, 𝐳 ex ac s he
ou pu s o he dynamic sys em; 𝐰 is he s a is ical noise o he iden i ica ion p ocess;
and 𝐯 is he s a is ical noise o obse a ion p ocess. Bo h ype o noise a e assumed o
be unco ela ed and whi e Gaussian noise wi h ze o-mean and co a iance ma ices 𝐐
and 𝐑 espec i ely. I is necessa y o ema k ha he ma ix 𝐑 may be compu ed by
means o wo e ms (Ta an ola, 2005): (i) he measu emen noise; and (ii) he modelling
noise. As he same models ha e been employed du ing he simula ion and es ima ion
phases, he e ec s o modelling noise has no been conside ed he ein (As oza e al.,
2016).
The UKF is a s aigh o wa d ex ension o he unscen ed ans o ma ion (Julie
and Uhlmann, 2004). The es ima ion is add essed by conside ing 2𝑛𝑑+1 (being 𝑛𝑑 he
numbe o pa ame e s) de e minis ic sampling poin s (sigma poin s) which can be used
o e alua e he ue mean and he co a iance. The p opaga ion o hese sigma poin s
h ough he nonlinea unc ion ℎ leads o compu e he ue pos e io mean and
co a iance o he es ima ed pa ame e s up o he second o de o he Taylo se ies
expansion o he nonlinea unc ion ( hi d o de o he Taylo se ies expansion o a
Gaussian inpu s). The de e mina ion o he sigma poin s is based on he squa e- oo
decomposi ion o he pos e io co a iance ma ix, 𝐏. Fo his eason, he ma ix 𝐏 mus
be posi i e semide ini e a each s ep. E en hough he squa e- oo decomposi ion can be
e icien ly de i ed using he Cholesky ac o iza ion (𝐀=√𝐏=chol(𝐏) being 𝐏=
𝐀𝐀T), he ma ix 𝐏 is s ill upda ed a each i e a ion and nume ical e o s can gi e a non-
posi i e semide ini e ma ix 𝐏. The squa e- oo UKF algo i hm, p oposed by Van De
Me we and Wan (2001), o e comes his issue since i a oids ac o ising a each s ep.
This algo i hm p opaga es di ec ly he ma ix 𝐀 and gua an ees ha he co a iance
ma ix is posi i e semi-de ini e.
The squa e- oo UKF algo i hm has wo s eps: (i) he p edic ion s ep; and (ii) he
co ec ion (upda e) s ep.
The p edic ion s ep is ca ied ou conside ing he p io model o e alua e he
sigma poin s and p edic he es ima es o he es ima ion e o co a iance, 𝐀𝜃, and
calcula e he model ou pu s, 𝔃𝑘|𝑘−1. The 2𝑛𝑑+1 sigma poin s a e compu ed as:
(𝝌𝑘−1)0=𝛉𝑘−1|𝑘−1 (8)
(𝝌𝑘−1)𝑖= 𝛉𝑘−1|𝑘−1+√(𝑛𝑑+𝜆)(𝐀𝑘−1|𝑘−1
𝜃)𝑖 𝑖=1,2,…,𝑛𝑑 (9)
(𝝌𝑘−1)𝑖+𝑛= 𝛉𝑘−1|𝑘−1−√(𝑛𝑑+𝜆)(𝐀𝑘−1|𝑘−1
𝜃)𝑖 𝑖=1,2,…,𝑛𝑑 (10)
whe e 𝛉𝑘−1|𝑘−1 a e he pos e io pa ame e s es ima ed a he p e ious s ep and 𝜆 is a
scaling pa ame e . The sigma poin s a e weigh ed unde he assump ion ha he sum o
all he weigh s mus be equal o he uni . The weigh s a e de ined as:
𝑊0=𝜆
𝑛𝑑+𝜆 (11)
𝑊𝑖=𝑊𝑖+𝑛=1
2(𝑛𝑑+𝜆) 𝑖=1,2,…,𝑛𝑑 (12)
Fo pa ame e iden i ica ion p oblems, he es ima ion e o co a iance can be
calcula ed by applying an exponen ial weigh ing on pas da a, 𝐀𝑘
𝜃=𝛾−1/2𝐀𝑘−1
𝜃, being 𝛾
a scala ac o sligh ly less han he uni (Van De Me we and Wan, 2001).
The co ec ion (upda e) s ep consis s in es ima ing he pos e io mean and
es ima ion e o co a iance in e ms o he Kalman’s gain ma ix, 𝐊; he measu emen s,
𝐳𝑜𝑏𝑠; and he model ou pu s.
The Kalman’s gain ma ix is de i ed om he model ou pu s e o co a iance,
𝐒𝑧, and he c oss co a iance be ween he es ima ion e o and he model ou pu s e o
co a iances, 𝐏𝜃𝑧. In o de o calcula e he model ou pu s e o co a iance, 𝐒𝑧, he
ollowing exp ession (conside ing ha 𝑊𝑖>0 o all 𝑖≥1) can be used (Te ejanu,
2011):
𝐒𝑘𝑧=∑𝑊𝑖[(𝔃𝑘|𝑘−1
i−𝒛𝑘|𝑘−1)·(𝔃𝑘|𝑘−1
i−𝒛𝑘|𝑘−1)𝑇]
2𝑛𝑑
0+𝐑=
[√𝑊𝑖(𝔃𝑘|𝑘−1
i−𝒛𝑘|𝑘−1), √𝐑]·[√𝑊𝑖(𝔃𝑘|𝑘−1
i−𝒛𝑘|𝑘−1)𝑇, √𝐑𝑇]𝑇+
𝑊0[(𝔃𝑘|𝑘−1
0−𝒛𝑘|𝑘−1)·(𝔃𝑘|𝑘−1
0−𝒛𝑘|𝑘−1)𝑇] 𝑓𝑜𝑟 𝑖=1:2𝑛𝑑 (13)
The i s e m can be exp essed by means o a 𝑞𝑟 ac o iza ion
1
as he p oduc o
an o hogonal ma ix 𝐆𝑘∈ ℝ2𝑛𝑑+𝑟×𝑟 and an uppe iangula ma ix 𝐒𝑘𝑧∈ℝ𝑟×𝑟, being
𝑟 he numbe o measu emen s. The las e m, can be aken in o accoun pe o ming a
ank 1 upda e o Cholesky ac o iza ion
2
. The e o e, he ma ix 𝑺𝑘𝑧 can be calcula ed as
(Te ejanu, 2011):
𝐒𝑘𝑧=𝑞𝑟([√𝑊1:2𝑛𝑑·[(𝔃𝑘|𝑘−1)1:2𝑛𝑑−𝒛𝑘|𝑘−1], √𝐑 ]) (14)
𝐒𝑘𝑧=𝑐ℎ𝑜𝑙𝑢𝑝𝑑𝑎𝑡𝑒(𝐒𝑘𝑧, (𝔃𝑘|𝑘−1)0−𝒛𝑘|𝑘−1, sgn(𝑊0)𝑊0 ) (15)
Once he pos e io mean o he pa ame e es ima es, 𝛉𝒌|𝒌 and he pos e io
es ima ion e o co a iance, 𝐀𝑘|𝑘
𝜃, a e ob ained, he algo i hm ollows a i e a i e p ocess
un il he maximum numbe o i e a ions is eached.
The conside ed algo i hm may be o mula ed as ollows.
1
The 𝑞𝑟 ac o iza ion o a ma ix 𝐌 allows exp essing he ma ix as 𝐌=𝐐𝐑. He e, 𝐌 is an 𝑚-
by-𝑛 ma ix, 𝐑 is an 𝑚-by-𝑛 uppe iangula ma ix and 𝐐 is an 𝑚-by-𝑚 uni a y ma ix.
2
I 𝐑=𝑐ℎ𝑜𝑙(𝐀), he Cholesky ac o o he ank 1 upda e 𝐀+𝐯𝐯T is w i en as 𝐒=
𝑐ℎ𝑜𝑙𝑢𝑝𝑑𝑎𝑡𝑒(𝐑,𝐯).
Ini ial S ep:
𝛉0=𝛉𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟 (16)
𝐀0
𝜃=𝑐ℎ𝑜𝑙(𝐏0θ) (17)
Main loop: 𝑓𝑜𝑟 𝑘=1:𝑁𝑈𝐾𝐹 (numbe o i e a ions o he UKF)
P edic ion s ep:
Calcula e he 2𝑛𝑑+1 Sigma Poin s: (𝝌𝑘−1)𝑖 (18)
(𝝌𝑘|𝑘−1)𝑖=(𝝌𝑘−1)𝑖 (19)
𝛉𝑘|𝑘−1=∑𝑊𝑖·(𝝌𝑘|𝑘−1)𝑖
2𝑛𝑑
0 (20)
𝐀𝑘|𝑘−1
𝜃=𝛾−12 𝐀𝑘−1
𝜃 (21)
(𝔃𝑘|𝑘−1)𝑖=𝒉((𝝌𝑘|𝑘−1)𝑖) (22)
𝒛𝑘|𝑘−1=∑𝑊𝑖·(𝔃𝑘|𝑘−1)𝑖
2𝑛𝑑
0 (23)
Co ec ion (upda e) s ep:
𝐒𝑘|𝑘−1
𝑧=𝑞𝑟([√𝑊1:2𝑛𝑑·[(𝔃𝑘|𝑘−1)1:2𝑛𝑑−𝒛𝑘|𝑘−1] √𝐑 ]) (24)
𝐒𝑘|𝑘−1
𝑧=𝑐ℎ𝑜𝑙𝑢𝑝𝑑𝑎𝑡𝑒(𝐒𝑘|𝑘−1
𝑧,(𝔃𝑘|𝑘−1)0−𝒛𝑘|𝑘−1,𝑠𝑔𝑛(𝑊0)) (25)
𝐏𝑘|𝑘−1
𝜃𝑧 =∑(𝑊𝑖[(𝝌𝑘|𝑘−1)𝑖−𝛉𝑘|𝑘−1]·[(𝔃𝑘|𝑘−1)𝑖−𝒛𝑘|𝑘−1]𝑇)
2𝑛𝑑
0 (26)
𝐊𝑘=(𝐏𝑘|𝑘−1
𝜃𝑧 /𝐒𝑘|𝑘−1
𝑧𝑇) /𝐒𝑘|𝑘−1
𝑧 (27)
𝛉𝒌|𝒌=𝛉𝑘|𝑘−1+𝐊𝑘(𝒛𝑜𝑏𝑠−𝒛𝑘|𝑘−1) (28)
𝐔=𝐊𝑘𝐒𝑘|𝑘−1
𝑧 (29)
𝐀𝑘|𝑘
𝜃=𝑐ℎ𝑜𝑙𝑢𝑝𝑑𝑎𝑡𝑒(𝐀𝑘|𝑘−1
𝜃,𝐔,−1) (30)
𝑒𝑛𝑑
3.4. Hyb id UKF-HS algo i hm
The local minimiza ion p ocedu e ollowed by he squa e oo UKF is
implemen ed in bo h he HS and he MHS algo i hms o educe he simula ion ime
equi ed o sol e he ini e-elemen -model upda ing p oblem. The p oposed hyb id
algo i hm is a local-global op imiza ion algo i hm which combines he main i ues o
he wo componen algo i hms. In his sense, i should be emphasized ha his p oposed
algo i hm is de i a i e ee; no being equi ed he compu a ion o he Jacobian. Besides
i gua an ees he posi i e semi-de ini eness o he co a iance ma ix as he in insic
p ope ies o he squa e oo UKF algo i hm a e p ese ed.
The gene al layou o his new hyb id algo i hm ollows he gene al scheme o
he abo e men ioned HS algo i hm. Thus, he di e en s eps ha con igu e bo h he
single-objec i e app oach (UKF-HS) and he mul i-objec i e app oach (UKF-MHS
algo i hm) ha e been included he ein. Fi s , he new hyb id UKF-HS algo i hm consis s
o he ollowing s eps: (i) he HS algo i hm c ea es he ini ial candida e solu ion
(pa ame e ec o ); (ii) he squa e- oo UKF algo i hm compu es he mean o he