OPTIMIZACIÓN DÍNAMICA
Lo enzo ESCOT MANGAS
Elena OLMEDA FERNÁNDEZ
E a DEL POZO GARCÍA
OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
J.
In oducción.
Lo enzo
ESCOT
MANGAS
Uni e sidad Complu ense de Mad id
Elena
OLMEDO
FERNÁNDEZ
Uni e sidad de Se illa
E a del
Pozo
GARCIA
Uni e sidad Complu ense de Mad id
2.
Ca ac cl'ización del
pl'oble1na
de
op hnización
dinán1ica.
2.1.
El
p oblema de decisión en iempo disc e o.
2.2.
El
p oblema de decisión en iempo con inuo.
2.3.
El
concep o de o ma uncional.
2.4. Valo es del pun o inal y condiciones de as e salidad.
2.5.
La
o ma uncional como obje i o.
3.
El cálculo de a iaciones: la ecuación de Enlc .
3.1.
El
p oblema undamen al del cálculo de a iaciones.
3.2. La ecuación de Eule .
3.3. Gene alizaciones de
la
condición de as e salidad.
3.4. Condiciones de segundo o den.
4.
Teo ía
del
con ol
óp imo: el P incipio del Máximo.
4.1. El P incipio del Máximo.
4.2. O as condiciones de as e salidad.
4.3. Condiciones su icien es.
4.4. Teo ía del con ol óp imo con ho izon e in ini o.
4.4.1.
El
Hamil oniano a alo co ien e.
5.
P og nmación
dinámica: el p incipio
ele
op imaliclacl de Bcllman.
6.
Bibliog a ía
Anexo
A.
Gene alizaciones de
la
ecuación de Eule .
Anexo
B.
Condiciones su icien es
de
conca idad
Anexo C. Gene alización del P incipio del Máximo
OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
Lo enzo Esco , Elena Olmedo y E a del Pozo
1.
INTRODUCCIÓN.
«Todos
ene111os
que
on1a
decisiones.
En
cada
mo1nen o
de
nues a
ida,
an o
p i ada
co no
p o esional,
nos
emos obligados a selecciona una al e na i a den o
de
un conjun o de opciones. La calidad de las decisiones
que
o1nan1os
a e
e a
adicaln1en e
a
nues a
salud,
nues o
bienes a
econó1nico,
las
elaciones
que
man ene1nos
con
o as
pe sonas, e c. Es a a i mación puede aplica se ambién a las emp esas, los o ganismos
de
la Adminis ación Pública
y las ins i uciones p i adas sin ines de luc o.
La uni e salidad del p oblema de oma
de
decisiones da luga a que esul e de g an in e és p egun a se cuál es la
me odología adecuada pa a oma decisiones, en endiendo
po "adecuada"
aquella que p opo ciona un mayo g ado
de consecución de los obje i os deseados» (Villalba y Je ez, 1990, pp. 17). En es e sen ido,
la
Teo ía
de
la
Op imización
cons i uye la he amien a ma emá ica más "adecuada" pa a
la
solución de p oblemas que implican
la
oma
de
decisiones.
Una
p ime a clasi icación
de
los dis in os mé odos de op imización dis ingue en e la op imización es á ica y
la
op imización
diná111ica.
La op imización es á ica p opo ciona una magni ud
óp ima,
aislada en
el
iempo, pa a las
a iables de las que depende la unción obje i o del p oblema, en endiendo como óp ima aquella magni ud
compa ible con las es icciones del p oblema que hace máxima o mínima dicha unción obje i o'. En la
op imización es á ica el iempo no in e iene en
la
o mulación del p oblema. Cuando exis e una elación
in e1 empo al en e las a iables que de inen el p oblema', ca ece
de
sen ido u iliza
la
op imización es á ica,
ya
que
esa elación dinámica no queda ecogida en es os mé odos de op imización, no esul ando po ello necesa iamen e
óp ima
la
solución po és os ob enida.
En
es os casos, pa a ob ene soluciones óp imas deben u iliza se las
he1 a1nien as
que
p opo ciona
la
op ilnización
diná111ica
3•
La op imización
diná111ica
si e pa a calcula cadenas o secuencias óp imas de acciones en
el
iempo, es deci , pa a
de e mina la magni ud o alo óp imo
de
las a iables que de inen
el
obje i o del p oblema en cada ins an e
de
iempo den o de un in e alo dado
(pe íodo
de
plani icación). Es as secuencias de alo es se á óp ima en
el
sen ido
de que hacen máximos o mínimos los obje i os del p oblema eniendo en cuen a an o las es icciones en és e
impues a, como
la
elación dinámica exis en e en e sus a iables. La solución
de
un
p oblema
de
op imización
dinámica p opo ciona, po an o, una ayec o ia
empo al
óp ima comple a pa a cada a iable del p oblema,
mos ando el mejo alo
de
la a iable, hoy, mañana, y así has a el inal del pe íodo de plani icación'.
A lo la go del p esen e abajo, epasa emos algunos de los mé odos undamen ales
de
op imización dinámica.
Comenza emos con un análisis global del p oblema de op imización dinámica en el que in oduci emos las
p incipales ca ac e ís icas del mismo. En los siguien es apa ados nos cen a emos en las es o mas de soluciona lo
más ampliamen e u ilizadas: el cálculo de a iaciones,
la
eo ía del con ol óp imo y
la
p og amación ma emá ica.
1
La
unción
obje i o
ep esen a
el
g ado
de
consecución
de
los
obje i os
deseados
en
el
p oble1na
de
decisión.
Según
se
de ina
es a
unción
obje i o
el
óp imo
del
p oblema
de
decisión
se
alcanza á
cuando
és a
alcance
un
1náxin10
o
un
1n{ni1110.
Po
ejemplo,
si
la
unción
obje i o
ep esen a
los
bene icios
de
una
emp esa,
el
óp imo
se
alcanza á
cuando
es os
bene icios
sean
máximos,
mien as
que
si
la
unción
obje i o
se
ep esen a
median e
los
cos es
de
p oducción,
el
óp iino
se
alcanza á
cuando
los
cos es
sean
m nimos.
2
Es a
e oalimen ación
empo al
se
1nani ies a
cuando
el
alo
que
ome
alguna
de
esas
a iables
en
el
ins an e
a ec a
al
alo
de
esa
a iable
en
un
ins an e
+
con
. .
.
En
es e
abajo
nos
ocupa emos
(lnicainen e
de
la
op imización
dinánlica.
Sob e
el
concep o
de
Op imización
es á ica
y
los
dis in os
1né odos
de
solución
id
Bo cll,
J.
J !é odos
111a emá icos
pa a
la
economía.
P og amación ma emá ica.
Ediciones
Pi ámide,
Mad id,
1989.
~Es
in e esan e
se11ala
que
en
el
caso
en
que
no
haya
elación
in e cmpo al
en e
las
a iables,
la
solución
del
p oble1na
dinámico
coincide
con
la
secuencia
de
soluciones
que
o ece
el
p oblen1a
es á ico
esuci o
pe iodo
as
pe íodo
.
.
2.
2.
CARACTERIZACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN DINÁMICA.
Pa a analiza cuales son los in eg an es esenciales que dis inguen y ca ac e izan al p oblema de op imización
diná1nica,
a1nos
a
u iliza ,
a
1nodo
de
in oducción,
un
ejen1plo
econó111ico
en
iempo
disc e o, gene alizándolo
pos e ionnen e
pa a
el
caso
con inuo
5•
1
2.
1.
El p oblema
de
decisión
en
iempo
disc e o.
Aunque la op imización dinámica es a ada ecuen emen e como la ob ención de una secuencia óp ima en el
iempo ( ya sea és e con inuo o disc e o), ambién es posible concebi el p oblema como la ob ención de una
secuencia conc e a de es ados óp ima den o de un p oceso económico cons i uido po a ias e apas. En es e úl imo
caso,
la
op imización dinámica puede se en ocada como
un
p oblema de oma de decisión mul ie ápica más que
como una oma de decisión empo al.
Supongamos, po ejemplo, una emp esa que se en en a a
la
ans o mación de una cie a sus ancia desde un es ado
inicial A (es ado de ma e ia p ima) has a un es ado inal Z (es ado de p oduc o e minado), median e un p oceso
p oduc i o que comp ende cinco e apas. En cada e apa,
la
emp esa se encuen a an e el p oblema de elección en e
a ias al e na i as posibles pa a con inua el p oceso p oduc i o (subp oceso), cada una de las cuales en aña un
cos e especí ico.
El
p oblema de decisión al que se en en a
la
emp esa se á el de selecciona la secuencia de
subp ocesos a
lo
la go de las cinco e apas pa a minimiza el cos e o al.
Es ado
A
E apa 1 E apa 2 E apa 3 E apa 4 E apa 5
Fig2.l
En
la
igu a 2.1 ilus amos el p oblema.
En
el eje ho izon al se ep esen an las dis in as e apas, y en el eje e1 ical
los es ados que puede oma dicha sus ancia a
lo
la go de odo el p oceso de ans o mación.
El
es ado inicial A,
se ep esen a a la izquie da y el inal
Za
la
de echa. Los pun os
B,
C,
.. .,
K, mues an los es ados in e medios en
los que
se
puede i ans o mando
la
sus ancia inicial du an e el p oceso de ans o mación. Tales pun os ienen
5
Seguimos
aquí
a
Chiang,
A.C.:
Ele111e11 s
o
Dy11amic
Op imiza ion.
-.1cG aw-Hill,
lnc.
Ne '
Yo k,
1992.
págs.
4-22
- 3 -
unidos po
un
a co
al
que se
le
asigna
un
alo (cos e).
Cada
a co mues a
la
posibilidad y
el
cos e de pasa
de
un
es ado a o o. Nues o p oblema se á, según
el
g á ico, selecciona
la
secuencia
de
es ados conec ados po a cos
desde
el
es ado inicial A has a
el
inal
Z,
ales que
la
suma
de
los
alo es
de
los
a cos que
la
componen
sea
mínima.
En
es e ejemplo
es
ácil
e
que
la
ayec o ia óp ima
es
ACEHJZ,
con
14
unidades
de
cos e. A es e esul ado
podemos llega enume ando odos
los
p ocesos posibles y calculando
el
cos e pa a cada
uno,
eligiendo
el
que enga
el
neno
cos e.
Sin
e111ba go,
se á
ú il
encon a
algún
1né odo
sis e ná ico
pa a_
encon a
la
solución
óp iina
aplicable a p oblemas
más
complicados. Sob e es e pun o ol e emos
en
los
siguien es apa ados cuando es udiemos
los
dis in os mé odos de solución
del
p oblema
de
op imización. De momen o se iala emos simplemen e que de es e
sencillo ejemplo podemos ex ae una impm an e conclusión:
la
elección miope
de
op imización es á ica e apa a
e apa,
no
conduce po
lo
gene al
a
la
ayec o ia óp ima.
Como
ya
hemos
comen ado, es o
se
debe a que
los
mé odos
es á icos de op imización,
no
ienen
en
cuen a que
la
elección que·
se
haga
en
una
e apa de e minada es a á
condicionando
las
posibilidades
de
elección
en
las
e apas pos e io es. Po ejemplo, pa a
la
elección es á ica
en
la
p ime a e apa,
en
luga
de
elegi
el
paso
AC
(que se ía
el
paso óp imo a ealiza conside ando odo
el
p oceso
co1 jun amen e
),
se hab ía elegido
AB
al
ene és e
un
meno cos e
en
es a p ime a e apa. Es a elección es á ica e apa
a e apa conduci ía
al
p oceso global ep esen ado po ABEHJZ con
un
cos e o al de
15
unidades,
es
deci ,
una
si uación dis in a,
con
un
mayo cos e global, que
la
e dade amen e óp ima.
2.
2.
El p oblema
de
decisión
en
iempo con inuo.
El
ejemplo an e io es á ca ac e izado po una a iable
de
e apa disc e a,
es
deci , que
oma
como alo es sólo
núme os en e os. Igualmen e
los
di e en es es ados pe enecen a
un
in e alo
ini o
y nume able dado
[A,
B,
C,
...
,
Z].
Si
ambas a iables
uesen
con inuas,
el
an e io p oblema
de
decisión mul ie ápica
se
pod a ep esen a po
la
igu a 2.2,
en
la
cual
se
ep esen an
las
posibles ayec o ias o p ocesos de ans o mación desde A has a Z (en
es e caso sólo
se
han
ep esen ado 5). Cada ayec o ia posible se
e
aho a como una senda que puede oma
un
in ini o
núme o
de e apas
en
el
in e alo
[O,
T].
Hay
ambién
un
núme o
in ini o
de
es ados
en
cada ayec o ia,
siendo cada es ado
el
esul ado
de
la
elección pai icula hecha
en
una
e apa especi ica an e io .
Es ado
z
A
E apa
o T
Fig2.2
Es e
ipo
de
en oque
en
iempo con inuo si e pa a ep esen a mul i ud de p oblemas de decisión. Puede supone se,
po ejemplo,
que
la
igu a 2.2 ep esen a
un
mapa
de
ca e e as, donde
la
a iable e apa ep esen a
la
longi ud y
la
- 4 -

a iable es ado ep esen a
la
la i ud. El p oblema de op imización pod ía consis i en es e caso en anspo a una
ca ga desde A has a Z con el mínimo cos e, seleccionando la ayec o ia o u a de iaje ap opiada. El cos e de cada
ayec o ia depende, en gene al, no sólo de la dis ancia iajada, sino además de la opog a la del e eno
po
la que
anscu e.
Si
suponemos que el e eno uese homogéneo (ej. una llanu a) la solución depende ía simplemen e de
la
dis ancia
eco ida,
siendo
la
solución
óp i1na
la
ayec o ia
ec a.
En la mayo ía de los casos nues a a iable e apa end á ep esen ada po el iempo, y los alo es que oma
la
a iable de es ado, la que de ine en que es ado o si uación se encuen a el p oceso o enómeno en cada momen o,
se ep esen a án en el eje e ical. Las cu as de la igu a 2.2 se án, po an o, ayec o ias en el iempo, siendo
ep esen ada cada una de ellas po los alo es que oma
la
a iable de es ado en cada ins an e del iempo.
2.3. El concep o de o ma uncional.
Una ez expues os algunos ejemplos sencillos de op imización dinámica, podemos pasa a con inuación a epasa
algunas de sus p incipales ca ac e ís icas.
En
pa icula , podemos se iala que odo p oblema de op imización
dinámica debe ene los siguien es elemen os:
a) Un pun o inicial y un pun o inal'.
b) Un conjun o de posibles ayec o ias desde el es ado inicial
al
es ado inal.
c) Un conjun o de alo es asociados a cada ayec o ia comple a.
d) Un obje i o especí ico que nos conduzca a la ayec o ia óp ima: maximiza o minimiza el alo
asociado a la ayec o ia.
Dejando pa a más adelan e
la
clasi icación de las dis in as posibilidades pa a
el
pun o inicial y el pun o inal, nos
cen amos aho a
en
la elación en e cada ayec o ia y el alo asociado a la misma. Pa a ello ep esen amos en la
igu a 2.3
un
conjun o de posibles ayec o ias en el iempo y su alo asociado.
Fig2.3
y
Conjun o de posibles
ayec o ias (cu as)
y 1 ( ) z
A~··
y
y
11
( ) z
A~
y
y
111
( ) z
••
A e
Conjun o de alo es asociados
( ec a eal)
'•
V1
• V
111
I
' •
VII
6 A
lo
la go
del
p esen e
abajo
conside amos,
sin
pé dida
de
gene alidad,
que
el
ins an e
inicial
1
0
oma
alo
ce o,
1
0=0.
- 5 -
La no ación gene al de es a elación denominada como o ma uncional es
V[y( )].
Hay que acla a que en es e caso
el alo de V
a
a depende , en gene al, de cada ayec o ia comple ay( ), y no explíci amen e del iempo. Es deci ,
es a no ación no implica, a di e encia de
lo
que ocu e en la unción compues a
g[ MJ
que
ges
una unción de x,
g(x). Tenemos que en ende V como una unción de y( ) como al, en su conjun o'. Es po ello que pa a e i a
con usiones la o ma uncional suela ano a se como VM eliminando el iempo. Es á cla o pues que sólo cambios
en la posición o al de la ayec o ia
-y-
pueden conduci a cambios en el alo asociado de la ayec o ia -V(y)-.
Rep esen amos, po an o, cada ayec o ia como
y,
en endiendo que es una unción del iempo y que cuando
que amos ep esen a el es ado de la a iable y
en
un ins an e conc e o se ha á de o ma explici a, po ejemplo
y(O)
ep esen a el es ado inicial
A,
ey(J)
el es ado inal
Z.
Po y( ) en endemos " ayec o ia y". La ayec o ia óp ima
es a á deno ada po y*( ) o simplemen e po ayec o ia y*.
2.4. Valo es del pun o inal y condiciones de as e sal/dad.
An e io men e hemos simpli icado el p oblema asumiendo que an o el pun o inicial
(O,A),
como el pun o inal
(T,Z)
es aban dados. Sin emba go podemos lexibiliza el p oblema conside ando que ales pun os
no
es án
p ede e minados'. El supues o de que el pun o inicial es á dado no es demasiado es ic i o,
ya
que en la mayo ía
de los p oblemas de op imización suele conside a se como comienzo del pe íodo
la
posición co ien e. Así que
analiza emos únicamen e las dis in as posibilidades que pueden apa ece en un p oblema de op imización pa a el
alo del pun o inal, asumiendo que con los del pun o inicial p ocede íamos de mane a análoga.
A
o
Fig 2.4. a)
z
·---··
---·~
Fig. 2.4. b)
'
'
'
'
L
T
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
z
Z2
Z3
__
_l_
__
,
Una p ime a posibilidad,
la
cons i uye aquella
si uación en la que el ins an e inal es á ijado o
p ede e1 ninado en cie o alo
T,
pe o que po el
con a io, se iene comple a libe ad pa a elegi el
es ado inal a la ho a de de e mina
la
ayec o ia
óp ima (Figu a 2.4. a)).
En
es e caso, mien as el ho izon e de plani icación
es á ijo en
T,
cualquie pun o en
la
e ical
~T
es
acep able como pun o inal, como pueden se los
pun os Z1, Z2, Z3• Es e ipo de p oblemas se denomina
como
p nblema
con ec a inal
e ical
( e ical-
e minal-line p oblem).
O o ipo de posibilidades pa a el pun o inal en los
p oblemas de op imización dinámica son las que
asumen un es ado inal dado
Z,
mien as que se iene
libe ad pa a elegi el ins an e inal conc e o en el que
acaba cada ayec o ia ( igu a 2.4. b)). En es e ipo de
p oblemas la ec a ho izon al y=Z cons i uye el
conjun o de pun os inales acep ables.
Es e ipo de p oblemas se conoce con el nomb e de
p oblema
con
ec a
inal
ho izon al
(ho izon al-
e 111i11al-line
p oblem). Un ejemplo de es e ipo de
7
En
los
eje1nplos
ilus ados
en
las
igu as
2.
l y
2.2
a
cada
p oceso
p oducli 'o
comple o
y a
cada
plan
o
u a
de
iaje
le
co esponde
un
cos e
o al
especi ico.
K
Re omamos
as
la
conside ación
del
an e io
pun o
a).
- 6 -
p oblemas
lo
cons i uye
la
p oducción
de
un
bien
con
una
de e minada calidad
con
mínimo
cos e,
pe o
no
suje a
a
ningún
iempo
máximo
de p oducción.
Z=i{T}
1
~z,
A
T1
,
Fig
2.4.
c)
'
'
'
'
'
'
- i -
----
T3
El
e ce ipo
de
alo pa a
el
pun o
inal
que puede
apa ece
en
un
p oblema de op imización dinámica
lo
cons i uye
aquél
en
el
que
ni
el
ins an e
inal
ni
el
es ado
inal
es án dados a p io i, aunque
ambos
alo es
ienen ligados
po
una
es icción
del
ipo Z= p(T). Se
denomina
a es e ipo
de
p oblemas
como
p oblema
de
cu a inal
( e n1i11al-cu e
p oblen1).
En
es os úl imos
el
agen e deciso iene
mayo
libe ad
pa a
elegi
el
pun o
inal,
po
lo
que
ambién debe se
capaz
de
consegui
un
mejo alo
óp imo
de
ayec o ia
V*,
que
el
alcanzable
con
un
pun o
inal
p ede e minado (T,Z).
Pa a de i a
la
solución óp ima
de
un
p oblema
de
op imización (es deci
la
ayec o ia óp ima), end emos
que
ene
en
cuen a es e ipo
de
es icciones sob e
el
pun o
inal.
De
es a
o ma,
la
in oducción de
es e
ipo
de
condiciones
inales da á
luga
a
que
en
la
esolución
del
p oblema
deba
de cumpli se
lo
que
se
conoce
como
condición
ele
as c salidad, indicando
és a
como
debe a a esa
la
ayec o ia
óp ima
la
cu a o ec a
inal
. A
modo
de
esumen, podemos conclui
que
dicha
condición
de
as e salidad pod á adop a
las
siguien es
o mas
según
sea
la
condición
inal:
a)
Un
pun o p ede e minado y
único:
y(T)=Z
b)
Cualquie pun o si uado
en
una
ec a:
b.l) Rec a e ical =T
b.2) Rec a ho izon al
y=Z
c)
Cualquie pun o si uado
en
una
cu a:
Z= p(T)
2.
5.
La o ma uncional como obje i o.
Una
ayec o ia
óp in1a
es,
po
de inición,
aquella
que
1naxi niza
o
1ninilniza
el
alo
asociado
a
cada
ayec o ia
VM.
Pues o
que
cualquie ayec o ia y
debe
es a de inida obliga o iamen e
en
un
in e alo
de
iempo
o pe iodo
de
plani icación (que end á dado
po
la
condición
inicial
y
la
condición
inal),
el
alo
o al
asociado a
la
misma
puede
de ini se
co1no
una
su1na
de
alo es
asociado
a
la
ayec o ia
en
cada
ins an e.
Pa a
acla a
es e
pun o, e omemos
el
ejemplo
en
iempo
disc e o ep esen ado
en
la
igu a 2.1.
En
dicho p oblema
el
alo
de
cada
ayec o ia o senda comple a posible,
iene
de inido
como
la
suma
de
los alo es
de
los
a cos que
la
componen. Gene alizando pa a
el
caso con inuo
la
suma
se
con ie e
en
una
in eg al de inida pa a
el
in e alo
[O,
Tj
del
alo
de
cada a co'. Pe o,
¿cómo
de inimos
el
alo
del
a co
en
el
iempo
con inuo?.
Pa a esponde a es a p egun a, p ime o enemos
que
iden i ica
el
a co
en
el
iempo
con inuo.
La
igu a
2.1
sugie e
es componen es necesa ios pa a iden i ica comple amen e cada
a co:
-
La
e apa ( iempo) inicial
de
la
que pa e
el
a co.
-
El
alo inicial
de
la
a iable de es ado
(en
dicha
e apa)
de
la
que
pa11e
el
a co.
-
La
di ección
en
la
que
se
dib ija
el
a co,
ya
que
pueden exis i a ios a cos di e en es que pa an
del
mismo
pun o.
~
1'6:J=
J'
(" alo del
a co'')
d
o
- 7 -
Si
gene aliza1nos
es os
es
co1nponen es
pa a
el
caso
con inuo
ob end e1nos
espec i a1nen e,
que
cada
a co
es a á
de inido
po :
a)
1
b)
y(I)
!O
c) y'( )
~
dy/dl
As!,
pa a
una ayec o ia daday1,
el
a co
asociado a
un
de e minado pun o
del
iempo
1
0, es a á ca ac e izado
po
un
único
alo y1
(1
0) y
una
única pendien e y'1
(1
0}
11
•
Si
exis ie a alguna unción
F,
que asigna a a
cada
a co
un
alo , en onces
el
alo
de
dicho a co pod ía esc ibi se
como
F{1
0,
y¡(1
0
),
y'¡(1
0
)}.
Igualmen e, pa a o a ayec o ia,
J'u,
el
alo
y
la
pendien e
de
la
cu a
en
el
ins an e
= 0 (es
deci ,
en
el
n1is1no
ins an e
que
pa a
el
caso
an e io )
se ian y
11
(1,J
e
y'
11
(1
0
},
espec i amen e, y
el
alo
del
a co
se ía
F[1
0, y
11
(1
0
),
y'
11
(1
0
)}.
De
es a mane a, se puede llega a
la
exp esión gene al pa a
el
alo
asociado a
cada
a co
1
',
F[I,
y
(1),
y'(I}], y
al
del
alo asociado a
la
ayec o ia, de inido
po
la
o ma
uncional -la
suma
de
alo es
de
los
dis in os a cos
que
o man
la
ayec o ia-,
que
puede gene aliza se esc ibiéndolo
como
la
in eg al de inida:
T
(2.l) V[y} =
F[I,
y(I),
y'( )} di
o
Reco demos
de
nue o
que
el
símbolo
V[y]
en a iza,
que
sólo
la
a iación
en
la
ayec o ia y
ú•
1
e sus
)ii)
es
capaz
de
al e a
la
magni ud
de
V.
Cada
ayec o ia o senda a
lo
la go
del
iempo
y, es a á a su ez compues a po
un
conjun o
de
a cos
en
el
in e alo
{O,T]1',
los
cuales, a a és
de
la
unción
F(que
asigna
un
alo a
cada
a co),
p opo cionan
un
conjun o
de
alo es
de
a co,
que
se á di e en e pa a cada ayec o ia según és a es é compues a
po
unos
a cos o
po
o os.
La
in eg al
de inida suma á odos es os alo es
de
a co
pa a cada ayec o ia
p opo cionando
un
alo
~
el
cual
nos
si e
pa a
elegi o selecciona
la
ayec o ia
óp ima
que se á
la
que
maximice
o minimice dicho
alo .
Una
ez de inida nues a
ünción
obje i o median e
la
ecuación
(2.1
),
és a puede gene aliza se
pa a
el
caso
en
que
haya
dos
a iables
de
es ado z e y
en
el
p oblema 1
4.
Pa a de e mina
el
alo
de
los
a cos
pa a
cada ayec o ia end á
que
ene se
en
cuen a aho a
las
dos a iables
de
es ado en
la
unción
obje i o,
que
queda á como:
T
(2.2) V[y,z] = J
F[I,
y( ),
z(I),
y'( ), z'(I}]
di
o
El
p oblema es ánda es a á cons i uido
po
aquél que enga
como
obje i o
la
o ma
uncional
dada
po (2.1) o
(2.2). Pa a simpli ica sup imimos
el
a gumen o
(1)
de
las
a iables
de
es ado, esc ibiendo
la
in eg al
de
o ma
que
la
unción
F quede
F(I,
y,
Y?
o
F(I,
y,
z,
y',
z?.
Un
ejemplo Mac oeconómico
10
En
es e
caso
y( )
no
ep esen a
ninguna
ayec o ia
sino
que
es
el
alo
de
Ja
a iable
de
es ado
en
el
ins an e
.
1
dy
1
" y
(1
)~-'
1 o
di
'º
12
Nó ese
que
en
el
caso
con inuo
la
dimensión
del
a co
iende
a
se
in ini esimal.
1
~
Dando
dis in os
alo es
a
en e
[ (!<
T],
y a
a •és
de
y( ) e y'( ),
ob end emos
los
dis in os
a cos,
y
po
medio
de
Fsus
alo es
asociados.
u
Es e
caso
se
co esponde
con
el
p oblema
en
el
cual
el
es ado
del
enómeno
o
p oceso
obje o
de
análisis
es á
de inido
en
cada
ins an e
po
el
alo
que
01nen
es as
dos
a iables
- 8 -
se
basa
en
un
nue o concep o: La/unción Hamil oniano. Dicho Hamil oniano
se
de ine pa a
el
an e io p oblema
4.1.
COIH0
23
:
H( ,
y,
u,
.l)"
F
( ,
y,
u)
+ l( ) ( ,
y,
u)
Función Ha1nil oniano
dónde
la
a iable auxilia
J.( ),
dependien e
del
iempo, ac úa como
un
mul iplicado dinámico
de
Lag ange o p ecio
somb a
de
la
a iable
de
es ado asociada.
Las
condiciones
del
P incipio
del
Máximo ienen dadas
po
24:
(4.2)
Max
H(IJ',11).)
/
E
[O,
T]
25
11cU
1
oH
(4.3) y
=¡;¡:
(4.4)
)..'=-
ºH
ay
(4.5a)
y{T)
=
Y
(ecuación
de
mo imien o pa a
la
a iable
de
es ado
y)
(ecuación de mo imien o pa a
la
a iable auxilia ),,)
(condición
de
T as e salidad)
La
solución
al
sis ema o mado po
las
ecuaciones (4.2)-(4.Sa) p opo ciona
las
ayec o ias óp imas pa a cada
una
de
las
a iables u*( ), y*( ) y},
*(1)
26
•
Maximiza
V=
-11
2 d
o
suje o a
y'=
y+
u
y(O)=
1
y(l)
=O
El
p ime
paso
pa a soluciona
el
p oblema
se á
cons ui
la
unción Hamil oniano:
a pa i de aquí aplicamos
las
condiciones
del
P incipio
del
Máximo
(4.2)-(4.5a), que pa a es e
p oblema queda ían:
n
Aunque
el
P incipio
del
Máxi1110
se
onnuló
inicialmen e
pa a
el
p oblema
de
op imización
en
ie1npo
con inuo
ambién
puede
gene aliza se
pa a
el
caso
disc e o.
Véase
Shone,
R.:Economic
Dynamics.
Phase
diag ams and hei economic applica ion.
Camb idge
Uni e si y
P ess,
Camb idge, 1997, págs. 192·196
H
Pa a
un
desa ollo
de
es as
condiciones
éase
Chiang,
A.
C.
elemen s
o
dynamic
....
op.ci .
págs.177-181
H
Si
la
solución
a
es e
p oble1ua
uese
in e io ,
la
an e io
condición
queda ía:
aH/au
=O.
Si
es e
p oblc1na
iene
una
solución
esquina,
Ja
condición
queda a
u
'=O
:6
El
P incipio
del
I .1áxín10
puede
gene aliza se
pa a
el
caso
en
que
exis en
nu s
de
una
a iable
de
es ado
y
de
con ol.
Véase
Anexo
C.
-
15
-

( 2 )
1
aH
y
=-=y+u
a>..
(3)
¡./~-ªH~-i..
ay
(4)
y(/)
=O
Pa a ob ene a pa i
de
es e sis ema
de
ecuaciones
las
ayec o ias óp imas u*( ), y*( ) y
J.
*( ),
debemos obse a en p ime luga , que
de
(1) se ex ae
la
solución pa a
la
a iable
de
con ol u( )
=
J.( )/2.
Sin emba go
como
dicha solución depende
de
la
a iable auxilia ,
la
ayec o ia óp ima
u*( )
no
queda oda ía pe ec amen e de e minada. Pa a ello debemos ene
en
cuen a el es o
de
las
condiciones
del
P incipio
del
Máximo.
Así,
a pa i
de
(3) se ob iene
la
solución gene al pa a
la
a iable auxilia J,( )=k
e·',
siendo k una cons an e a bi a ia. A paiii
de
aquí y sus i uyendo
los
an e io es esul ados
en
(2) se ob iene
la
siguien e ecuación di e encial:
y'=
y+
(ke"~/2
cuya solución
es
y( )=
ce'
-
(I/4)ke·',
siendo e o a cons an e a bi a ia.
Las
cons an es e y k se
pueden de e mina aho a u ilizando
la
condición inicial y
la
condición
de
as e salidad:
1
e=
--
l-e2
k=
4e
2
l-e
2
y a pa i
de
ellas, se pueden ob ene
las
ayec o ias óp imas
del
p oblema
de
op imización:
y*( )=
e'-
e'
e·'
l -e2
I-e
2
),
*( )= 4e2
e·'
l
-e
2
11*(1)
= 2e2
e·'
l-e
2
4.2. O as condiciones de as e salidad.
Co1no
ya
hici nos
con
el
Cálculo de Va iaciones,
an1os
aho a a e
co1no
se
1nodi ican
las
condiciones
de
p ime
o den
del
P incipio del Máximo cuando en el p oblema
de
con ol óp imo apa ecen o as condiciones pa a
el
pun o
inal
al
y como se se ialó
en
el
apa ado 4.2.
En
gene al, es as al e na i as a ec an a
la
condición
de
as e salidad
( 4.5a)
del
P incipio
del
Máximo, que oma an
las
siguien es exp esiones dependiendo
de
los
supues os que se hagan
sob e
el
pun o inal":
a) Rec a inal e ical: (4.5b)
b)
Rec a inal ho izon al: (4.5c)
[HJ,. =O
~
7
Ya
que
la
unción
Hamil oniano
es
no
lineal
y
quela
a iable
de
con ol
puede
oma
alo es
en
oda
la
ec a
eal,
la
condición
(4.2)
equi ale
a (1).
Además
comoa2H/au1
""
-2,
se
cumple
la
condición
su icien e
pa a
que
es a
solución
sea
ealmen e
un
1náxi1110
del
l-lamil oniano
"ll
Pa a
un
desa ollo
de
es as
condiciones
yéase
Chiang,
A.
C.
elemen s
o
dynamic
....
op.ci .
págs.225-226.
-
16
-
e)
Cu a inal: (4.5d)
[H
-
A'Jl
1
l,~
= O
(con
Y
~
q¡{J))
4.3.
Condiciones su icien es.
El
P incipio del Máximo cons i uye
una
condición necesa ia o
de
p ime o den pa a encon a
las
ayec o ias
c í icas. Sin e1nba go, es as condiciones
no
son
en
gene al su icien es. Se á necesa io, po an o, que esas
ayec o ias
cu1nplan
aden1ás
unas condiciones su icien es o
de
segundo o den pa a que sean eahnen e óp i nas,
es
deci , pa a que ealmen e maximicen
la
o ma
uncional in oducida
en
(4.1). Es as condiciones
de
segundo
o den, como
ya
imos pa a
el
p oblema
del
cálculo
de
a iaciones, equie en que
se
sa is agan cie as condiciones
de
conca idad. P esen amos a con inuación
el
eo ema
de
Su iciencia
de
A ow29 de inido pa a
el
p oblema de
maximización (
4.1
).
Es e eo ema es ablece que
las
condiciones necesa ias es ablecidas po
el
P incipio
del
Máximo
son
ambién su icien es
si
se
cumple
que
la
unción Hamil oniana maximizada30:
H°( ,
y,1(}~
F( ,
y,
u*)+ ). ( ,
y,
u*)
es
cónca a
en
la
a iable y
' 1
E[O,
T},
dado
2.
4.4. Teo la del con ol óp imo con ho izon e in ini o.
La
eo ia
del
con ol óp imo, a pesa
de
sus limi aciones,
ha
sido ampliamen e u ilizada
en
economía
31
• En e
los
emas abo dados bajo es e en oque
se
encuen a
la
elabo ación y ex ensión
de
los
modelos ela i os
al
c ecimien o
económico12•
Una
ca ac e ís ica di e encial de es e
ipo
de
aplicaciones,
es
que conside an
un
ho izon e de
plani icación in ini o. Cuando a amos con
un
p oblema de con ol
óp imo
con ho izon e de plani icación in ini o
apa ece
el
p oblema conocido como con e gencia
de
las
imciones obje i o
la
ho a
de
aplica
el
P incipio del
Máximo. Es e p oblema adica
en
que
la
o ma
uncional obje i o:
(4.6)
~
J
F( ,
y,
u)
d
o
es
aho a una in eg al imp opia, que puede ene
un
alo
ini o
o in ini o.
En
es e úl imo caso, es deci ,
si
la
in eg al
di e ge, pueden exis i más
de
una
ayec o ia pa a
la
a iable de es ado y
de
con ol que conduzca a
un
alo
in ini o
en
la
o ma
uncional, siendo di icil de e mina
cuál
de
ellas
es
la
óp ima.
Pam
e i a es e ipo
de
p oblemas,
se
suele exigi
el
cumplimien o de alguna condición
que
ga an ice
la
con e gencia
de
la
o ma
uncional a
un
alo
conc e o,
lo
que pe mi e de e mina
las
ayec o ias óp imas y*( ) y u*( ) sin equí ocos. Es e ipo de condición
su icien e pa a
la
con e gencia de
la
o ma
uncional suele apa ece
en
o ma
de
asa
de descuen o,
de
o ma
que
si
en
la
in eg al imp opia (4.6),
la
unción
in eg al
F( ,y,1(}
oma
la
o ma
G( ,y,1(}·e.,,,,
donde
pes
una
asa posi i a
de
descuen o, y
la
unción G( ,y,u) es á aco ada,
se
ga an iza que
la
o ma
uncional con e ge a
un
alo ini o33•
n
A ow,
K.
J.:
<<Applica ions
o Con ol
Theo y
o
Economic
G o 1hi>,
en
Geo ge
B.
Dan zing
y
A hu
F.
Veino ,
J .
(eds.)
i 1a hema ics
o he Dec sion
Scie11ces,
Pa e
2,
An e ican
Ma hema ical
Socic y,
P o idencc,
1968,
pág.92.
w
Es a
unción
se
encuen a sus i uyendo
el
alo
óp imo
de
la
a iable
de
con ol
u*
que
soluciona
la
condición (4.2)
en
la
unción
1
amil oniano.
·
11
Véase
Fe nández
Dlaz,
A.
y Rod íguez
Saiz,
L.:
In oducción y A e odolog a
de
la
pol ica
Económica.
Ediciones
CE,
-.1ad id,
1986,
pág
319-333.
-
1
~
La
modelización
del
c echnien oeconómico
co1no
un
p oblema
de
op imización
dinán1ica
bajo
es e
en oque
del
con ol
óp imo
se
ecoge
bajo
la
denmninación
de
n1odelos
de
c ecimien o
óp imo.
Pa a
una
amplia
pano ámica
de
es e
en oque
éase
Ba o,
R.J.
y Sala-i-Ma in,
X.:Economic G ow h.
McG aw-Hill,
!ne.
New
Yo k,
1995.
33
Ja( ,y,11)e
·
1
d ~
jce
· d o=Q
donde
6
es
la
co a supe io
de
Ja
unción
G( ,y,11)
" o p
-
17
-
O o
p oblema
que
apa ece en es e
ipo
de
p oblemas
con
ho izon e de plani icación in ini o hace e e encia a
las
condiciones
de
as e salidad,
ya
que
en
es os casos
no
exis e
un
ins an e
inal
T
dado,
ompiéndose
la
alidez
gene al
de
las
condiciones de as e salidad (4.5a-d)
de
las
condiciones necesa ias
del
P incipio
del
Máximo".
En
es e
ipo
de
p oblemas y pa a de i a
las
espec i as condiciones
de
as e salidad,
se
hacen
dos
ipos
de
supues os
sob e
el
pun o
inal:
a)
El
alo
inal
de
la
a iable
de
es ado con e ge
en
el
in ini o a
un
alo conc e o":
lim
y( )=y. (con y.dado)
'""
En
es e caso,
la
condición
de
as e salidad (4.5c) queda á sus i uida
po :
(4.7)
lim
H=O
, ..
b)
Cuando
no
se
in oduce
el
supues o sob e
la
con e gencia
de
la
a iable
de
es ado,
es
deci ,
lim
y( )•y.
debe u iliza se
una
condición
de
as e salidad
como
la
( 4.5b),
que
aho a oma á
la
o ma:
(4.8)
lim
),(1)=0
T'eniendo
en
cuen a
es as
ci cuns ancias,
el
p oble1na
de
con ol
óp ilno
se
soluciona
u ilizando
las
condiciones
necesa ias
del
P incipio
del
Máximo
(4.2)-(4.4), a
las
que
hay
que
añadil·
las
condiciones
de
as e salidad (4.7)
o (4.8).
En
cuan o a
las
condiciones su icien es,
se
aplica
el
eo ema
de
la
su iciencia
de
A ow,
en
la
que
hay
que
ene
en
cuen a
que
pa a
que
las
condiciones
necesa ias
sean
a
su
ez su icien es
es
necesa io
que
ade111ás
de
que
la
unción
Hamil oniana maximizada,
l ( ,
y,u)=
F( ,
y,
u*)
+
2/(1,
y,
u*),
sea
cónca a
en
la
a iable y
.l E{O,
T],
dado
;,,
debe e i ica se
que:
lim
1.(1)[!'(1)-y
'(1)]>0
,,.
4.4.
1.
El
Hamilloniano a alo co ien e.
Una
a ian e
del
P incipio del
Máximo
analizado an e io men e, y
que
es u ilizado
en
aquellos p oblemas
de
con ol
óp imo
con
ho izon e in ini o
en
los
que
en
la
in eg al apa ece
el
ac o
de
descuen o
e·'',
es
el
que
u iliza
el
denominado
Hamil o11ia110
a
mia
co ien e.
Es e
ipo
de
p oblemas
se
pueden
o mula
de
o ma
gené ica
como:
Maximiza
V=
J F
[ ,
y,
u]
d
= J G
[ ,
y,
u}
e·P'
d
o o
s1¡je o
a
y(O)
=A
(A
dado)
(4.9) y'( ) =
[ ,
y(I), u( )]
u( )
EV
pa a
Os/
sT
El
Hamil oniano a
alo
co ien e (H.)
del
p oblema ( 4.9)
se
cons uye a pa i del Hamil oniano es ánda (H)
como:
H,
~He""=
G( ,y,u) + m ( ,y,u)
(con
m =},e·'' - a iable auxilia a
alo
co ien e)
A pa i
de
es e Hamil oniano a alo co ien e
se
cons uyen
las
nue as
condiciones
de
p ime o den
del
P incipio
del
Máximo,
donde
las
condiciones (4.2), (4.3) y (4.4)
se
pueden exp esa aho a
como:
31
Sob e
es os
p oblemas
éase
Chiang,
A.
C.
elemen s
o
dynamic
....
op.ci .
págs.240-241.
H·Es e
1né odo
pa a
de i a
la
condición
de
as e salidad
es
álido
ínicamen e
cuando
la
unción
Fes
au ó1101na,
es
deci ,
cuando
en
ella
no
apa ece
el
ie1npo,
,
como
a g m1en o
explici o,
o
cuando
sólo
apa ece
en
el
ac o
de
descuen o.
(4.10)
Max
He
!
E
[O,
00
]
(4.11)
(4.12)
11EU
,
aH,
)'
=--=j{IJ',U)
am
aH
111
1
=
___
e
+pn
ay
(ecuación de mo imien o pa a
la
a iable
de
es ado y)
(ecuación
de
n1o i1nien o
pa a
la
a iable
auxilia
a
alo
co ien e)
y donde las condiciones
de
as e salidad (4.7) y (4.8) se sus i uyen aho a po :
(4.13)
li n
H
ce
-p
=O
36
(4.14) lim m( )e
-pi
=O
,,.
~
6
En
caso
de
que
el
p oblema
sea
au ónonio,
es
deci ,
G=
06',u}; = ó"u),
es a
condición
de
nsYe salidad
se
educe
a
[H.J=O
-
19
-
5.
PROGRAMACIÓN DINÁMICA:
EL
PRINCIPIO DE OPTIMALIDAD DE BELLMAN.
La p og amación dinámica p esen a o a al e na i a pa a abo da el p oblema de con ol óp imo mencionado en
el apa ado an e io . Dos son las ca ac e ís icas di e enciales de es e mé odo:
• La p og amación dinámica asocia el p oblema de con ol óp imo a una amilia de p oblemas de
con ol, es deci , pa a esol e
el
p oblema de con ol enemos que esol e oda una amilia de
p oblemas.
• Pa a cada miemb o de
la
amilia de p oblemas de op imización, la a ención p incipal
se
cen a
en el a o óp imo de
V*,
y no
eny*
( ),
como en el Cálculo de Va iaciones, o en u* ( ), como en
el P incipio del Máximo. Es deci , el alo óp imo de cada miemb o de
la
amilia se asocia al
alo óp imo del p oblema.
En
los
casos disc e os
la
esolución
del
p oble na
se
con ie e
en
un
p oceso
de
i e ación
hacia
a ás,
en
el
que
en
cada e apa se calcu[a un óp imo. La ayec o ia o al (incluyendo odas las e apas) sólo se á óp ima
si
las
sub ayec o ias que incluye, ambién son óp imas pa a cada subp oblema de op imización ealizado en cada e apa
o
i e ación.
Vean1os
es o
nás
cla a1nen e
en
un
ejen1plo.
Es ado
D
1
L___
K E apa
o 1 2 3 4 5
E apa 1 E apa 2 E apa 3 E apa 4 E apa 5
Fig 5.1.
En la igu a
5.1
se ep esen a
un
p oblema como el expues o en el apa ado 2.1. Pa a esol e lo di idimos el
p ob[ema en una secuencia de subp oblemas de op imización de o ma que ob engamos los alo es óp imos de las
dis in as sub ayec o ias calculadas pa a cada pun o inicial posible, p incipio de op imalidad de Bellman
37
, es
deci ,
ene1nos
que
ob ene ;
V*
=V*
(i)
pa a i
=A,
B,
C,
...
,
Z.
37
Pa a
una
in oducción
a
la
p og amación
dinámica
e
Be
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P og amming,
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Annals
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págs.
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1962.
-20 -

De
es a o ma, pa a encon a
la
ayec o ia óp ima
AZ
enemos que encon a :
Mín.
{
AB
+
V*
(B),
AC
+
V*
(C)}
Pa a
esol e es e p oblema enemos que conoce
los
alo es
de
V*
(B)
y
de
V*
(C),
y pa a conoce es os a
su
ez
hay
que conoce
los
alo es
óp imos
V*
(D),
V*
(E),
V*
(F)
y así sucesi amen e. A
modo
de
ejemplo calcula emos
el
alo óp imo
V*
(G):
V*
(G) = mín. { alo del a co GJ +
V*(!),
alo del a co
GJ
+
V*
(J)}
=
=mln.
{2+3,
8+/}
= 5
po loqueela coóp imose íaGIZ
Pa a
el
caso gene al,
el
p oblema puede exp esa se
en
iempo disc e o
como:
..
· .
..:
T-1
Maximiza o minimiza V[y] = L F[y(k), u(k)] + G(y(T))
o
s.a.
y(O)
=A
(A
dado)
y(T) = Z
(I',
Z dados)
(5.1) y(k+l) =
[y(k),
u(k)]
u(k)
EU
pa aO>k
,;T
Siendo
k,
el
indicado
de
cada pe iodo
(k
=O,
1,
2,
..
.,
T)
y
[y(k),
u(k)]
la
ecuación
de
mo imien o
en
iempo
disc e o.
La
esolución
al
p oblema (5.1) implica encon a
el
alo
de
óp imo de u(k) E U que hace máximo o
mínimo
el
alo
de
V[y}
en
cada pe iodo empezando po
el
inal.
De es a mane a
el
p oblema
se
con ie1 e
en
Tsubp oblemas
de
op imización siguiendo
el
p incipio
de
Bellman, donde
en
cada i e ación end iamos38:
Vó'.
k)* = Max
[Fó'.
1(1
+ l'( (. ,u),
k+l)}
ll'Ell
con
V(y(T),
T)*
= G(y(T))
Es e
p oblema puede gene aliza se pa a
el
caso
con inuo, y pa a
el
caso
en
que
no
exis e
un
ho izon e ini o de
op inlización.
La
solución
n1a e1ná ica
a es os
p oble1nas
equie en
una
onnulación
1na emá ica
co1npleja
y
po
es a
azón
no
se
es udia á
en
el
p esen e
abajo
39.
6.
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p oblema
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39
La
p og amación
diná1nica
ha
sido
ainplimnen e
u ilizada
en
economía.
Pueden
encon a se
a ios
eje1nplos
que
u ilizan
la
p og amación
diná nica
pa a
la
modelización
del
ciclo
económico
en
Lo enz,
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ANEXO A. GENERALIZACIONES DE LA ECUACIÓN
DE
EULER.
A con inuación gene alizamos
la
exp esión pa a
la
ecuación
de
Eule (3.3) pa a
el
caso
en
el
que exis an
más
de
una
a iable
de
es ado, y pa a
el
caso
en
que apa ezcan de i adas
de
o den supe io
en
nues o p oblema.
Exis e
1nás
de una a iable
de
es ado.
Cuando exis en
11>
/ a iables
de
es ado,
el
p oblema undamen al (3.1.) queda:
T
A: axinziza
o
111iui111iza
J "{y
1,
...
, y
11
] = [ F
( ;
Y1,
...
, y
11
; y'1,
...
,
Y'11)
d
o
si¡je o
a:
y,
(O),
...
,
y,,
(O)= A1, ••• ,
A,,
)'¡
(1)'
...
'y,,
(T)
= z,'
...
'
z,,
Nues o obje i o se á encon a n ayec o ias óp imas Jj *
( )
pa a} =
/,
.... ,
n.
La
condición
de
p ime o den
de
nues o
p oble1na
de
1naxi nización
se
con e11i á
en
un
sis e111a
de
n ecuaciones.
Es as
n ecuaciones
de
Eule
sinn1l áneas
se
pueden
exp esa
de
la
siguien e
onna:
[ecuaciones
de
Eule ] F -
!1._F
, = O
>'1
d
)'
j
l E[
0,T]
(j
=
1....11
)
La
esolución
de
es as n ecuaciones u ilizando
las
211
condicionesde con o no
del
p oblema
de
op imización,
nos
pe mi i á de e mina
las
n ayec o ias óp imas y1 •
( )
...
y,,*
( )
. Tenemos
que
ene
en
cuen a que
al
de i a
dF,.,
1
d
como F (
;
y1,
••.
,
y,,;
y'
1, ••• , y',,}, dicha de i ada depende á ambién de odas esas a iables.
Ejemplo
-
22
-
T
1 Jaxin1iza
V[y,z]= J (y+ z +
y'
1 +
z'
1)
di
o
suje o
a:
y(O)=A
1; y(I')=Z1;
z(O)=A
2; z(T)=Z2
De i amos
las
ecuaciones
de
Eule eniendo
en
cuen a
las
de i adas:
F,.
= 1 ;
F,
= 1 ;
F,
..
= 2y'
;
F,.
= 2z'
1 2
11
Q
/1
[ / j • j 2
~
J'
= - y
=-
-y
=- +c
1 -y
=-
+c1
+c
2
2 2 4
Las
cons an es
c1 , c2 , c1 , c4
que
apa ezcan
en
la
solución
gene al
del
an e io
sis e1na
de
ecuaciones di e enciales
se
pueden
ob ene
con
las
cua o condiciones
y(O),
y(T),
z(O),
z(I').
De i adas
de
mayo o den.
Cuando
en
el
p oblema undamen al (3.1.) apa ecen o as de i adas supe io es a
las
de
p ime o den,
la
o ma
uncional se ía
del
ipo:
T
V[y}
= F (
1,
y,
y',
y",
...
, ) "J) di
o
Las
condiciones iniciales e leja án
no
sólo
los
alo es
inicialy(O}
y inaly(I'), sino ambién
de
y',
y",
...
,
/"·
1!.
En
o al
end emos
211
condiciones pa a esol e
el
p oblema
de
op imización.
Pa a esol e es e
ipo
de
p oblemas ans o mamos
las
a iables
pa a
que
en
luga
de
ene
una
a iable
de
es ado
y
con
n
de i adas
en
la
onna
uncional
obje i o,
en
la
1nis1na
sólo
engan1os
p ilne as
de i adas
y n
a iables
de
es ado di e en es,
de
al
mane a
que podamos aplica
los
esul ados ob enidos
en
el
pun o an e io .
Ejemplo
Ma imiza
suje o
a
T
1'{):)
=
(1-y
1 + yy'
+y"')
d
o
y(O)
= A ; y(T) = Z
y'(O)=a; y'(I') =
J
hace1nos:
z
"'°Y'
-
z'
=y",
de
onna
que:
F =
·y2
+ yy' +
y"2
=
·y2
+ yz + z
,2
Con es a ans o mación podemos aplica
los
esul ados de i ados an e io men e
cuando
exis en
más
de
una a iable
de
es ado, eniendo p esen e
que
aho a
las
condiciones iniciales y inales
se án:
y(O)
= A ; y(I') = Z
z(O}=a; z(I') =
J
De
o ma
al e na i a, cuando
en
el
p oblema apa ecen de i adas
de
o den 112
l,
se
puede aplica
la
condición
de
p ime o den o mulada
po
la
ecuación Eule -
Poisso11:
-
23
-
d d2
d"
F
--F
,+-F
.-
......
+(-1)"-F
o=O
)'
d
)'
d
2 y
d .
y ' 'IE [0,T]
que se á
en
gene al
una
ecuación di e encial
de
g ado
2n.
Pa a
su
solución
se
necesi a á po an o
211
condiciones iniciales y inales que apa ecen
en
el
p oblema.
ANEXO B. CONDICIONES SUFICIENTES
DE
CONCAVIDAD.
Como
ya
imos, si
F( ,y,y~
iene segundas de i adas con inuas,
la
condición su icien e de conca idad/con exidad
puede es ea se examinando
el
signo (de inido o semide inido)
de
la
siguien e
o ma
cuad á ica:
q = F
du
2 + 2F
,dudu
1 + ., ,du
12
})'
,7
)J'
,7
,7
)' )'
'J
Una
de
las
o mas que enemos pa a deduci
si
la
o ma
cuad á ica q
es
de inida o semide inida
de
algún
signo,
es
la
que
se
basa
en
el signo
de
sus
aíces
ca ac e ís icas.
La
ecuación
ca ac e ís ica
puede
esc ibi se
con10:
F,
,-
F
J'Y y)· =o
F",-
su
esolución
nos
p opo ciona
la
aíces
ca ac e ís icas
1 y 1•
q
es
de inida nega i a 1
<O,
1
<O
q
es
de inida posi i a
I'¡
>o,
1'2
>o
q
es
se1nide inida
nega i a
q
es
semide inida posi i a
si
los
signos
son
opues o q
es
inde inido
ANEXO C. GENERALIZACIÓN DEL PRINCIPIO DEL MÁXIMO.
En
el
caso
en
el
que
en
el
p oblema
de
con ol óp imo apa ezcan
más
de una a iable de es ado
y/o
más
de
una
a iable
de
con ol,
el
P incipio del Máximo segui á siendo álido.
Las
condiciones (4.2-4.5) debe án cumpli se
aho a pa a odas y cada
una
de
las
a iables que apa ecen
en
el
p oblema. Es o
es,
dado
el
siguien e p oblema
de
con ol óp imo, con
/1
a iables de es ado'° y m a iables
de
con ol:
A1axi111iza
T
V=
F{ ,y
1
,y
2,
...
,y
11
, U¡, u2,
...
, umJd
o
suje o a
y'¡
=
{1,)'¡,)'z, ···
.)'
11
,
ll¡,
ll1,
···,
llm}
H
Obsé ese
que
aho a
debe
apa ece
una
ecuación
de
mo iTnien o
pa a
cada
a iable
de
es ado.
-
24
-