PROPUESTAS METODOLÓGI CAS DE PROFE SORES
NOVELES DE MATEMÁT ICA S: DISEÑO Y
PRÁCTICA EN SECUNDA RIA . ESTUDIOS DE CASO

Tesis Doctoral pre sentada por
Ana Rodríguez Chamizo

Dirigida por Dr a. Dª Pilar A zcárate Goded
Dra. Dª A na Rivero García
Departamento de Di dáctica de las Ciencias Ex perimentales y
Sociales. Facult ad de Ciencias de la E ducación
Sevilla, marzo de 2 010

DEDICATORIA

A Pascu al, Marió, Raim undo y todos los profesores nove les qu e se
embarc aron conmigo e n la aven tura de crecer c omo personas y
profesionalmen te p ara mejorar la prác tica edu cativa

AGRADECIMIENTO S

E st a investigaci ón tiene como inicio estimulant e un Proyecto de Investigación c oordinado po r
Emilio So lí s Ramírez, en el CEP de Sevilla, en el que fui acogida po r to d os sus participantes y
que me dio la oportun idad de hacer u na de las actividades más gratificant es de mi vida
profesional: trabajar cod o a cod o en la f ormación del profesorad o novel de Matemáticas de
Educación Secun daria, que me impuls ó a formar me a mi vez con y por ellos.
A Manuel Ventura Martín, director del CEP de Sevilla, que facilitó el trabajo de recogida d e
datos.
El estudio h a sido posible gracia s a la colaboración crítica, cercana y moti vadora de Pilar
Azcárate Goded y Ana Rivero García. Ellas han creído en m i trabajo y me han acompañad o a lo
largo del pr oceso.
La Licencia p or Estudios ha contribuido d e modo fund amental a que haya llegad o a su tér mino.
A todos los que me han ac ompañado, ani mado y ayu dado en el trabaj o.
Gracias.

i

ÍNDICE

INTRODUCCIÓ N

2

CAPÍTULO 1: MARCO TEÓRICO DE LA INVES TIGACIÓN

5

1. 1 EL PROFESORADO NOVEL

6

1. 1. 1 CARACTE RIZACIÓN DEL PROFESOR ADO NOVEL DE MATEMÁTICAS DE
EDUCACIÓN SECUNDARI A

6

1. 1. 1. 1 LA FORMACIÓN INICIAL DEL PROFESORADO DE MA TEMÁTICAS
DE EDUCACI ÓN SECUNDA RIA

9

1. 1. 1. 2 LOS PROBLEM AS MÁS SIGNIFICA TIVOS DEL PROFESORADO
NOVEL EN RELACIÓN CON LA ENSEÑ ANZA, LA ETAP A
EDUCATIVA Y E L ALUMNA DO

12

1. 1 . 1. 3 CONDICIONE S L ABORALES Y DE INCULTURACI ÓN EN L A
PROFESIÓN DE L PROFESOR ADO NOVEL

15

1. 1. 2 EL CONOCIMIEN TO PROFESIONAL, SUS FUENTES, COMPON ENTES Y
DESARROLLO P ROFESIONA L

17

1. 1. 2. 1 NAT URALEZA D EL CONOCI MIENTO PROFESI ONAL

19

1. 1. 2. 2 FUEN TES Y COMP ONENTES DEL CON OCIMIENTO P ROFESIONAL

20

1. 1. 2. 2. 1 El con ocimient o metadiscipli nar

20

1. 1. 2. 2. 2 El con ocimient o disciplinar

22

1. 1. 2. 2. 3 El con ocimient o que procede de la experi encia

24

1. 1. 2. 3 E L DESARROLLO P ROFESIONAL DE L PROFESOR DE MATEMÁ TICAS
DE EDUCACIÓN SECUNDAR IA

28

1. 1. 2. 3. 1 Te nd encia didá ctica tradicional

31

1. 1. 2. 3. 2 Tendencia s didácticas int ermedias o de tran sición

34

1. 1. 2. 3. 3 Te nd encia didá ctica deseable

38

1. 1. 2. 3. 4 Síntesis de la p ropuesta

42

1. 1. 3 CONO CIMIENTO D ECLARATIVO Y CONO CIMIEN TO EN LA ACC IÓN

46

1. 1. 3. 1 EL ES TUDIO DE LAS CONCEPCIONES D EL PROFESORAD O

46

ii

1. 1. 3. 1. 1 Perspec tivas de análisis de las concepci ones sobre la
naturaleza de las matemáti cas

50

1. 1. 3. 1. 2 Persp ectivas de análisis de las co ncep ciones en
torno a la enseñan za y al a prendizaje

52

1. 1. 3. 2 EL ESTUDIO DE LA PRÁCTI CA PROFESIONAL

53

1. 1 . 3. 2. 1 Perspectivas teóricas para el análisis de la práctica
del profesor

54

1. 1. 3. 2. 2 Nues tra persp ectiva para el análisis de la práctica

63

1. 1 . 3. 3 RELACIÓN ENTRE LAS CONCEPCIONES DE LOS PROFESORES Y
SU PRÁCTICA

64

1. 2 LA METODOLOGÍA DE ENSEÑANZA

69

1. 2. 1 LA ME TODOLOGÍ A DE REFERE NCIA

69

1. 2. 1. 1 CARACTERÍSTIC AS Y TIPOS DE AC TIVIDADE S

71

1. 2. 1. 2 TIP OS DE RECUR SOS DIDÁCTICOS

78

1. 2. 1. 3 SECUEN CIA DE A CTIVIDADES

82

1. 2. 1. 4 EL CLIMA D EL AULA Y L A ORGANIZACIÓN D EL ESPACIO Y L OS
AGRUPAMIEN TOS

85

1. 2. 1. 5 LA O RGANIZACIÓN DEL TIEMPO

92

1. 2. 1. 6 PA PEL DEL PROF ESOR

95

1. 2. 1. 7 PA PEL DEL A LUMNO

105

1. 2. 2 LA EVALU ACIÓN DE REFERENC IA

107

1. 3 ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN

111

1. 3. 1 INVESTIGACIO NES CENTRADAS EN LAS CONCEPCIO NES SOBRE LA
ENSEÑA NZA Y EL APRE NDIZAJE DE L PROFES ORADO NOV EL

112

1. 3. 2 ESTU DIOS S OBRE RELACION ES ENTRE CONCEPC IONES DE LOS
PROFESORES Y SU PRÁCT ICA

115

iii

1. 3. 2. 1 ALG UNOS EJEMP LOS DE RELA CIONES ENTRE LAS CONCEPCION ES
SOBRE LA ENSEÑ ANZA Y EL APRENDIZAJ E

118

1. 3. 2. 2 RE LACIONES ENTR E CONCEPCIONES SO BRE L A ENSEÑANZA DE
UN CONTENIDO CON CRETO Y LA PRÁCTICA

119

1. 3. 3 ESTUD IOS SOBRE E L DESARROLLO PROFES IONAL DESDE LA PRÁC TICA

123

CAPÍTULO 2: METODOLO GÍA. EL PROCES O DE INVES TIGACIÓN

125

2. 1 GÉNESIS DE LA INVESTIGACIÓN

125

2. 1. 1 ANTECEDENTES DE LOS CURSOS PARA LA FORMACIÓN DEL
PROFESORADO NOVEL EN EL CENTRO DEL PROFESORADO DE
SEVILLA

126

2. 1. 2 EL CURSO DE FORMACIÓN DIRIGIDO AL PROFESORADO NOVEL DE
MATEMÁTIC AS

127

2. 1. 3 PLAN TEAMIE NTO Y REALIZACIÓN DEL PROCES O DE PLAN IFICAC IÓN
DE LA INTERVE NCIÓ N DE ENSEÑ ANZA

131

2. 2 PROPÓSITO, PROBL EMAS Y CUESTIONES DE LA INVESTIGACIÓN

139

2. 3 DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN

141

2. 3. 1 PRI NCIPIOS METO DOLÓGICOS

141

2. 3. 1. 1 EL PARADIGMA CUALITATIVO

142

2. 3. 1. 2 LOS ‘ ESTUDIOS DE CASO’

148

2. 3. 1. 2. 1 C omponentes del estudi o de caso

150

2. 3. 1. 2. 2 Tipologías en r elación con el estudio de casos

151

2. 3. 1. 2. 3 El informe de l os estudios de caso

153

2. 3. 2 LA MUES TRA

155

2. 3. 2. 1 CRITERI OS DE SE LECCIÓN Y CARAC TERÍSTIC AS DE LA MUESTRA

155

iv

2. 3. 2. 2 CON TEXTO DE L DESARROLLO DE LA INTERV ENCIÓN ED UCATIVA

157

2. 3. 3 FASES D E LA INVESTIGACIÓ N

158

2. 3. 4 INS TRUMENTOS DE LA INVESTIGA CIÓN

160

2. 4 EL PROCESO DE ANÁ LISIS DE LOS DATOS. INSTRUMENTOS DE
ANÁLISIS

169

2. 4. 1 EPIS ODIOS DE L AS SESIONES

171

2. 4. 2 EL S ISTEMA D E CATEGORÍ AS DEL PRO BLEMA DE I NVESTIGACIÓ N

175

2. 4. 3 TRANSFORMA CIÓN DE LOS I NSTRUME NTOS DE ANÁ LISIS A PARTIR
DEL TRATAMIE NTO DE LOS DATOS

176

2. 4. 3. 1 TIP OLOGÍA PARA LA CLASIFICACIÓN DE LAS AC TIVIDADES

177

2. 4. 3. 2 SIST EMA DE CAT EGORÍAS EMERG ENTE

181

2. 4. 4 INDICADOR ES DEL SISTEMA DE CATE GORÍAS DEL PROBLEMA DE
INVESTIGA CIÓN

182

2. 5 CONCLUSIONES OBTENIDAS EN T ORNO A LOS CONTENIDOS DE
ENSEÑANZA EN EL DEA

186

2. 5. 1 CONCLUSIO NES REFERIDAS A CADA PROBLE MÁTICA

186

2. 5. 1. 1 FINALI DADES E DUCATIVAS

187

2. 5. 1. 2 TIP OS DE CONTE NIDOS

188

2. 5. 1. 3 ORGAN IZACIÓN DE LOS CONTEN IDOS

191

2. 5. 1. 4 ALGUN OS REFER ENTES Y FUENTES DE INFORMACIÓN

192

2. 5. 2 CON CLUSIONES RE FERIDAS A CA DA PROFES OR

194

2. 5. 2. 1 ASPEC TOS MÁS RELEVANT ES DE LA PRO PUESTA DE
CONTENIDOS DE PASCUAL

194

2. 5. 2. 2 ASPEC TOS MÁS R ELEVANTES DE LA PROPUESTA DE CONTENI DOS
DE RAIMUND O

197

v

2. 5. 2. 3 ASPEC TOS MÁS RELEVANTES DE LA PROPU ESTA DE
CONTENIDOS DE MARIÓ

200

CAPÍTULO 3: RESU LTADOS DE PASCUAL

203

3. 1 RESULTADOS DEL CONOCIMIENTO DECLAR ATIVO

204

3. 1. 1 RES ULTADOS DE LA MEDOLO GÍA

204

3.1.1.1 RESULTAD OS DE LAS CARACTERÍSTICAS Y LOS TIPOS D E
ACTIVIDADES

204

3. 1. 1. 2 RESUL TADOS D E LOS TIPOS DE RECURSOS DIDÁCTICOS

232

3. 1. 1. 3 RESUL TADOS D E LA SECUENCIA DE ACTIVID ADES

234

3. 1 . 1. 4 RESULTADOS DEL CLIMA Y ORGANIZACIÓ N D EL A ULA Y DE L
TIEMPO

238

3. 1. 1. 5 R ESULTADOS DE L PAPEL DE L PROFES OR

244

3. 1. 1. 6 R ESULTADOS DE L PAPEL DE L ALUMNO

246

3. 1. 2 RESUL TADOS DE LA EVALU ACIÓN

248

3. 1. 2. 1 RESUL TADOS D E PARA QUÉ EVA LUAR

248

3. 1. 2. 2 RESUL TADOS D E QUÉ EVALUAR

251

3. 1. 2. 3 RESUL TADOS D E CÓMO EVALUA R

253

3. 1. 2. 4 RESUL TADOS D E CUÁNDO EVA LUAR

255

3. 1. 2. 5 RESUL TADOS D E QUIÉN EVALUA 5

256

3. 2 RESULTADOS DEL CONOCIMIENTO EN LA ACCIÓN

258

3. 2. 1 RES ULTADOS OR GANIZADOS POR EPISOD IOS

258

3. 2. 1. 1 RESULTA DOS DE LA PRIMERA SESIÓN, DISTRIBUIDOS EN TRES
EPISODIOS: INT RODUCCIÓ N AL TEMA DE LOS MOVI MIENTOS

258

3. 2. 1. 2 RESULTADOS DE L A SEGUNDA SESIÓN, DISTRIBUIDOS EN UN
SOLO EPISODIO: SIMETRÍA S

265

3. 2. 1. 3 RESULTADOS DE LA TERCERA SESIÓN , DISTRIBUIDOS EN DOS
EPISODIOS: TÉR MINO DEL ESTUDIO DE LAS SIME TRÍAS E
INICIO DE LAS TRAS LACION ES

270

vi

3. 2 . 1. 4 RESULTADOS DE L A CUARTA SESIÓN, DISTRIBU IDOS EN UN SOLO
EPISODIO: CONTINUACIÓN DE LAS TRASLACION ES E INICIO DE
LOS GIROS

275

3. 2. 1. 5 RESULTADOS D E LA QUINTA SESIÓN, DISTRIBUIDOS EN UN
SOLO EPISODIO: CONTINU ACIÓN DE LOS GIROS

280

3. 2 . 1. 6 RESULTA DOS DE L A SEXTA SESIÓN, DISTRIBUIDOS EN TRES
EPISODIOS: FRIS OS

283

3. 2. 1. 7 RESULTADOS DE LA SÉPTIMA SESIÓN, ORGA NIZADOS EN UN
EPISODIO: VIS ITA AL ALCÁZ AR

289

3. 2. 2 RES ULTADOS OR GANIZADOS POR CATE GORÍAS

291

3. 2. 2. 1 R ESULTADOS DE LA MEDO LOGÍA

291

3. 2. 2. 1. 1 R esultados de las Característica s y Tip os de Activid ades

291

3. 2. 2. 1. 2 Resultados de los Tipos de Re cursos Didác ticos

301

3. 2. 2. 1. 3 Resultados de la Secuencia d e Actividades

305

3. 2. 2. 1. 4 Resultados del Clima y Org anización del A ula y del Tie mpo

307

3. 2. 2. 1. 5 Resultados del Papel del Pr ofesor

317

3. 2. 2. 1. 6 Resultados del Papel del Alu mno

322

3. 2. 2. 2 RESULTA DOS DE LA EVALUACIÓN

325

3. 2. 2. 2. 1 Resultados de para qué evalu ar

326

3. 2. 2. 2. 2 Resultados de qu é evaluar

326

3. 2. 2. 2. 3 Resultados de cómo evaluar

327

3. 2. 2. 2. 4 Resultados de cuándo evaluar

329

3. 2. 2. 2. 5 Resultados de quién evalúa

330

3. 3 CONTRASTE EN TRE EL CONOCIMIENTO DECLA RATIVO Y EN LA
ACCIÓN

331

3. 3. 1 LA ME TODOLOGÍA

331

1

En primer lug ar queremos subrayar nuestra aspiración de que el presente estudio contribuya
eficazmente a la mejora de la práctica educativa y su enfoque s ea adecuado par a consegu irlo.
No obstante, nos pregunta mos, co mo este investigad or an ónimo:
“¿Somo s, como comun idad [de investigadores en educación matemática], ad ecuadamente coherentes y
claros sobre nuestra propia visión de las direcciones, contribuciones y fiab ilid ad de nu estro campo? ¿La
investigación en educación matemática está integrada con la d e otras áreas de ed ucación, co n las
preocupaciones de los matemáticos, con las necesidades de los que ha cen las políticas ed ucativas y, quizás
lo más i mportante, con las necesidades de los q ue trabajan en l as prácticas de aula para ayudar a los
estudiantes de los niveles pre-K- 12 a aprender y aplicar las matemáticas? ” ( Anonymous, 2002: 313).
El edificio teórico en el cambio conc eptual se ha hecho más y más sofisticad o en los últimos 25
años, así como la s estrategias de enseñan za y aprendizaje son cada vez m ás complejas. Es te
desarrollo es ne cesario, por supu esto, para dirigir el c omplejo f enómeno de la enseñan za y el
aprendizaje (de las ciencias) más y más adecuad amen te. No obstante, el vacío entre l o que es
necesario desde la perspec tiva de los investigadores y lo que puede apli carse en l a práctica por
profesores ‘ norm ales ’ también ha aumentado más y más. En otras palabras, se da la paradoja
de, en orden a dirigir adec uadamente los pr ocesos de enseñanza y el aprend izaje , lo que los
investigad ores proponen con mayor frecuencia de la deseable no les parece útil a los
profesores y por lo tanto ensancha el agujero entre teoría y práctica. Los puntos de v ista de la
enseñanza y el aprendizaje desarrollad o en nuestr o campo d e investigaci ón est án lejos de las
formas de pensar normales de los profesores s obre la e ns eñanza. Las estrategias desarrolladas
por la inves tigación están lejos de la s rutinas de las clases normales. S e puede argumentar que
muchas estrategias de cam bio conceptual han sido desarrolladas y evalua das en clases reales y
a menudo en estrecha c olaboración c on profesores. N o obstante, l o que funciona en el c aso de
una implicaci ón especial, n o necesaria mente funci ona en el día a día.
“Es necesa rio cerrar el agujero entre teoría y p ráctica al men os en ci erto modo. Lo q ue la investigación en
cambio conceptual tiene q ue ofrecer a la p ráctica n o p uede aplicarse en l a práctica normal en t oda su
amplitud. Por supuesto que estos pr ogramas de desarrollo d el profesor son esenciales para cambiar los
puntos de vista del profesor so bre la enseñanza y el aprendiz aje y su práctica. No obstante, parece
también necesar io h acer más simples estas teorías y d escribir estrategias de cambio conceptual de mo do
que puedan formar parte de las rutinas normales de los profeso res ” (Duir & Treagust, 2003: 683) .

2

INTRODUCCI ÓN
Mi trayec toria profesional, dedicada en gran parte a la docencia de las matemáticas en
Educación Secundaria y, en un periodo import ante, a la formación perman ente del
profesorado, ha estado marcada en los últimos año s po r una experiencia singular en la
formación del pr ofesorad o novel de dicha área y etapa educa tiva. El encue ntro con est e
colectivo, altamente motivad o a formarse, pero con grand es dificultades en su labor docente y
serias carencias en su fo r mación inicial, me llevaron a una im plicaci ón profund a profesi onal y
personal y a un compromis o con la autof ormación y la investigación.
Este trabajo pretende ser la continuación de la actitud invest igativa con la que he afronta do la
formación del profes orado novel. Aborda el análisis de una intervención educativa de tres
profesores en sus primero s años de ejercici o, par ticipantes en una acci ón formativa dirig ida al
profesorado en este prime r est adío profesional. Entre otras muchas actividad es y propuesta s
de formación, han diseñ ado una ‘ experien cia inn ovadora’ de G eometría en Educaci ón
Secundaria Obligatoria y la han puesto en práctica en el aula. Mientras que e n un estudio
anterior nos centr áb amos en los contenidos que han seleccionado para llevarla a cabo , en la
presente in vestigación analizamos la metodología y la evaluación diseñadas por estos
profesores, así c omo su de sarrollo en el aul a y el con traste existente entre diseño y práctica.
Son escasas las investigaciones centradas en la metodol ogía del proceso de enseñanza y
aprendizaje que enfocan, más allá d el co ntenid o concreto que se esté trabajand o (en nuestr o
caso de Geometría), el estilo de intervención en el aula, es decir, cómo conciben estos
profesores que ha de ser el tipo de actividade s y recursos didá cticos que favo recen el
aprendizaje, la organ ización del aul a y del tiempo que lo hacen posible y el papel del profesor y
del alumno que conllevan estos proces os, así como la evaluación de los mismos. Por ello,
desde el deseo de contrib uir al desarrollo profesion al del profesorado novel, trato de hacer
nuevas aportaciones para facilitarla y enriquecerla, d esde una perspec tiva más general que el
cómo enseñar y evaluar un contenido concr eto de ma temáticas.
El análisis antes mencionado está precedid o por una f undamentación teórica d esarrollada en
e l Capítulo 1 . En éste, el primer Apartad o gira, por una parte, en torno a la forma ción inicial de l
profesorado novel de mate máticas de educación secu ndaria y su s probl emas más significati vos
en relación con la enseñanza, la etapa educativa y el alumnad o de Educación Secundaria

3

Obligatoria, así como las condicione s laborales y de incultura ción en la profesi ón de l
profesorado no vel ; en un a segunda parte, en to rno al conocimient o profesional como
integración de saberes de distinta naturaleza, se caracteriza el que se considera deseable, así
como sus fuentes y componentes. A continuaci ón, se da n algunas pincela das so bre la
evolución del desarr ollo profesional desde que el sujeto es discente, pasando por los primeros
años de ejercici o, etapas de mayor experiencia y/o de inno vación, hasta establecer l o que
podría ser la meta d esea ble . Por último, una te rce ra parte gira en torno al cono cimient o
declarativo y conocimient o en la acción del profeso r, desde el estudio de su s co ncepci ones
sobre la naturaleza d e la s mate máticas, su enseña nza y aprend izaje, algun as perspec tiva s
teóricas sobre la práctica, a sí como su prác tica docent e y las rela ciones entre a mbas.
En el segundo gran Aparta do del Capítulo 1 , se presentan los aspectos metodol ógicos que se
consideran más rele vantes en el proceso de enseñanza aprendizaje, tales como característica s
y tipos de Actividades sign ificativ os y deseables , tipos de recursos didácticos posibles, tan to
materiales como no físicos, la secuencia de A ct ividades o hilo conductor de referencia, la
organización del aula y del tiem po, así como el papel del profesor y del alumn o. En cuanto a la
evaluación, indicam os aspect os fundamen tales de p ara qué, qué, cómo y cuándo ev aluar, a sí
como quién e valúa.
Por últim o, en el tercer gran Apartado, presentamos los anteceden tes de nuestr a invest iga ción
que están más directa mente relacionados con el estudio realiz ado, aportándonos sus
resultados sobre los problemas que nos plantea mos, que nos ha servid o de r eferencia para
valorar después, entre nuestras conclu siones, si el presente estudi o refuerza , complem enta o
contradice lo ya investigad o.
La metodología del proceso de investigación se presenta en el Capítulo 2 mediante la
descripción del cont exto de la investigación, su prop ósito, la pres entaci ón de l os problemas ,
así como el diseño propia mente dicho de la investigación: bajo qué principi os metodológico s
se postul a, con qué m ue stra e ins trument os, sus f ases, el sist ema de categorías pre vio y
emergente y l os indicad ores utilizados en el pr oceso de análi sis.
En l os Capítulos 3, 4 y 5 se descri be n los resultados acerca d e l a metodología d e enseñanza y la
evaluación de los tres pr ofesores estud iados, utiliz ando los aspectos referid os anterior mente,
tanto respect o de sus diseños, su puesta en práctica, así c omo el c ontraste entr e s u
conocimiento declarativ o y en la acci ón, mostrando las coincid encias e incoherencias entre el
conocimiento declarativo y en la acción d e cada profe sor.

4

Como C onclusiones del análisis realizado, pres entamos, en el Capítul o 6, en primer lugar, una
síntesis interpretati va de las concepciones y creencias de los tres profesores en torno a
metodología de enseñanza y la ev aluaci ón, así como al moment o de desarr ollo didáctico d el
profesorado novel estudiado y los aspect os comunes y diferenciad ores más relevantes. En
segundo lugar, establecemos también otro tipo de Conclu siones sobre el propio estudio
realizado: qu é ap orta res pecto a otros estudios, qué limitacione s he mos en contrado, q ué
aspectos co nsid eramos mejorables, etc. En tercer lugar, ofrecemos Conclusiones sobre la
necesidad de o frecer al profes orado novel proceso s de fo rmaci ón v inculad os a la práctica
docente y a las ‘ buenas prácticas’ , esperando que todo ello contribuya a un mayor
conocimiento de este colec tivo, al enriqueci miento de acciones for mativas dirigid as al mismo y
a la mejora de l a práctica d ocente en cualquier cas o .
En otro ord en de cosas, muy consciente de la imp ortancia del l enguaje y la signifi catividad
negativa qu e pu ede co nf erirle el uso e xclusivo del mascul ino, señalo de antemano mi
intención expresa de tener muy presentes a las alumnas y a las pr ofesoras en todo el discurso,
re nunciando, no obstante, a la tediosa repetición qu e supone hac er constante mente explicitos
ambos géner os.

“¿Qué es una buena enseñanza de las matemáticas? ¿Qué factores relevantes
promueven o impiden una buena enseñanza? ¿Qué es exitoso en la ed ucación
matemática de los profesores? Contar lo que entend emos por b ueno, r elevante o
exitoso va más a llá de describ i r e interpretar las cosas. Es prescribir como deb en verse
o espera rse éstas, lo que significa estab lecer una norma. ¿Necesitamos tales normas?
Si decimos q ue sí ¿con qué pr opó sito? ¿Qu ién debe definir esas normas, para quienes y
con qué consecuen cias? ¿Cuán diversas son las opiniones? ¿Qué papel puede jugar la
investigación?” (Krainer, 2005: 75).
“Necesitamos tomar el desa fío de in formar a u n público más amplio sobre el estado
(actual) del arte de investigar en educación matemática y sus consecuencias pa ra
futuros desarrollos d e la enseña nza y la formación de los profesores, pa ra confrontar a
la sociedad con cuestiones abiertas, dilemas, alternativas, sugerencias, etc. Sólo lo que
se discute en p úblico, tien e una posibilidad de ser oído rea lmente y tene r impa cto”
(Krainer, 2005: 77).

CAPÍTULO 1
MARCO TEÓRICO DE LA INVESTIG ACIÓN
Hemos presentado en la Introducción el a mplio conte nido de este Capítulo. Pr ocediendo ahora
a desarrollar sus grandes Apartad os, comenzamos por el primero, en el que caracterizamos, en
primer lugar, al profe sor n ovel de matemáticas de Educación Secundari a, dentr o del continu o
que supone el proc eso de desarroll o profesional de todo docente, que se inici a en su et apa
como discente y c ontinúa hasta la de profesor e xperto. En segundo lugar, e studiamos la
naturaleza y las principales fuentes y component es del conocimient o profesional, señalando el
que considera mos deseabl e en el momento de ma yor desarrollo profesional. Nu estro trabajo
se centra en los aspectos de carácter epist emológico y didáctic o, sin entrar en la discusión de

Ana Ro dríguez Ch amizo: Propu estas Metodo lógicas de Prof esores Novel es de Matemát icas: Diseño y Práct ica en Secun daria
Estudi os de caso
6

otros que incid en directament e s obre la elaboración del conoci miento profesional (Azcárate ,
1995, 1998; Porlán & Rivero, 1998), caracterizand o el saber profesional en función de sus
posibles niveles de formulaci ón , mo stra nd o cómo evoluciona, de manera que podamos
esbozar adecuada mente el perfil del profesor novel, objeto de nues tro estudio. Por último, n os
centramos en el conocimi ento declara tivo y en la acció n del profes or y sus interrelaci ones,
tanto desde p erspectivas teóricas c omo prácticas.

1. 1 EL PROFESORADO NO VEL
Nos parece relevant e comenzar nuestr a investigaci ón describie ndo el periodo de los primeros
años de ejercici o de la profesión docente, así como traz ar algunas pinceladas sobre la Etapa de
la Educación Secundaria Obligatoria, en la que se desarrolla este trabajo, dadas las
circunstancias por las que atraviesa dicho niv el educa tivo en nuestro cont exto. Mencionamo s
también las características de los alumnos hacia l os que va dirigid a y l as condici ones laborales
a las que se enfr enta el profes orado novel, describie ndo la for mación inicial de la que parte y
mostra ndo las principales dificultades que encuentra este colectiv o en la enseñanza de las
matemáticas en dicha Etap a.

1. 1. 1 CARACTERIZACIÓN DEL PROFESORADO NOVEL DE MATEMÁTICAS DE
EDUCACIÓN SECUNDARIA
Cronológica mente, l os p rofesor es v iven un proceso dinámico que pode mos dividir en tr es
etapas temporales. Nos referimos, como la mayor parte de autores suele distinguir (Imbernón,
1994; Cuesta, 2003), a una primera etapa como estudiante, en general y de form aci ón inicial,
en particular, recibida previament e al ejercicio de la profesión docente; una segunda etapa, de
profesor principian te o novel, los tres o cinco años primeros de eje rcicio prof esional y una
tercera etap a de destreza o pericia que abarcarí a el r esto de vida pr ofesional.
Para delimitar mejor la segu nda etapa, de profesor novel, encontra mos diverso s criterios. Por
ejemplo, M arcelo ( 1990) habla de profesores princip iantes para referirse a aquellos que se
encuentran en su primer año de enseñanza. Serían, para él, aquellos que se enfrentan por
primera vez a la responsa bilidad de llev ar una clase, los que realmente podría n encuadrarse

Capít ulo 1: Marco Teó rico de l a Investiga ción

7

como tales. Vera (1988) distingu e en este periodo de iniciación dos sub-etapas o fases, la de
‘ umbral ’, de un o a seis meses de do cencia, y la de ‘ madurez y crecimien to ’ de los siete meses
en adelante, hasta lo s tres o cinco años. Feiman-N emser & P ar ker (19 90), denominan a la
primera fase ‘ estadio de sup ervivencia ’ y consid eran una etapa intermedia a la de destreza ,
que denominan ‘ es tadio d e consolidación ’, situándola en torno al tercer y cuarto año de
docencia.
En nuestro caso, nos consideramos próximas a est a perspecti va, consideran do que la etapa de
profesor novel abarca lo s cuatro o cinco primeros añ os de docencia, englobando los estadios
que los últimos autores que acabamos de referir denominan de ‘ sup ervivencia ’ y
‘ consolida ción ’, sin dejar de reconocer que el primer año de docencia suele ser el más dif ícil en
la vida profesi onal (Ols on & Osborne, 1 991). Por una parte, pensa mos que los proble mas a los
que se enfrenta el profesorad o novel están presente s más allá del primer añ o, así como sus
preocupaci ones más fuertes en torno a la enseñanza y al aprendiz aje . Por otra parte, la
diversidad de profe sores y de posibles situaci ones que han de afrontar, nos sugiere la
necesidad de no acortar demasiad o los intervalos de tiempo y pensar en tramos más amplio s
para afrontar p roblemas pr ofesionales no vinculados a la condición de principian te.
Son, por lo tanto, estos primer os años de labor educativa, un periodo de transición dentro d el
continuo que supon e el d esarrollo profesional, que se cons idera de primordia l im p ortancia
para la evolución posterio r, ya que tiene un carácter sing ular: existen necesidade s, exigencias y
problemas específic os que se producen en el tránsito de alumno a profesor. Es rele vante,
además, subrayar que los profesores n oveles tienen un alto nivel de motivaci ón y rece p tividad
para desarrollar se profesionalm ente en numerosos aspectos relacionad os con la enseñanz a,
por que no se si enten bi en preparados para ella, deb ido a las serias lagunas d e su fo rmaci ón
inicial y a su falta de experiencia profesi onal y también a las grandes dificultades qu e
encuentran en su labor d ocente por las característi cas de la etapa educativa y del área de
conocimiento.
“La inexperiencia de estos momentos hace que la s primeras vi vencias como docente resu lten ambiguas ,
confusas y co ntradictorias. La actitud posi tiva y la ilusi ón que supone el co mienzo en la vida laboral s e
acompaña de la duda sobre las posibilidades p ersonales y p rofesionales de a sumir este reto, de tal forma qu e
la incertidumbre y la esperanza coex isten en este inicio profesional” ( Cuesta 2003: 41).
El interés p or esta etapa profesional está amplia mente corroborad o p or nu merosos estudio s
( Bullough, 1992, 1996, 2 001; Bullough, Knowle & Crow, 1992; Reyn olds, 1992 ; Esteve, 1993;
Little, 1993; Sch empp, Sparkes & Templin, 1993; Imb ernón, 1994; Rust,1994; Fullan, 2 002a, b ;

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Estudi os de caso
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Solís et al., 2001, 2002, 2 004; Cuest a, 200 3 ; Rodríguez, 2003 a, b, 2004, 2005, 2006, 2007 ; Ball
& Even, 2004 ; Lobo et al., 2005; Rodríguez et al., 2005 ; R odríguez et al., 2006a, b ; Azcárate et
al., 2007; Goos & Benniso n, 2008). Así, por ejemplo, el decim oquinto estudio del ICMI (The
International Co mmission on Mathematical Instruction), La Educación Profesional y el
Desarrollo de los Pr ofesor es de Matemáticas, se propuso en una primera parte, investigar la
Preparación de los Profesores y sus Primeros Años de Enseñanza, en difer entes países, con un
foco particu lar en cómo se preparan para enseñar matemáti cas, combin ado con otros
aspectos profesionales o la educación académica general. También invitaba, en esta parte del
estudio, a contribu ir a iluminar la primera fase de l a práctica de los profes ores, al igual que
nosotros nos proponem os. En él se plantean cuestiones muy interesant es y en co nsonan cia
con nuestro estud io:
“d) ¿Cuáles son las condicio nes para los p rofesores principia ntes de matem áticas en marcos particulares?
¿Qué apoyo existe, para qué aspectos de los primeros años de enseña nza y cómo so n de efe ctiv os? ¿Cu áles son
los problemas especiales qu e afrontan los profesores principiantes y cómo son esas exper iencias,
intermediadas o resueltas? ¿ Cuál es la proporción de profesores principiantes que permanecen y qué fa ctore s
parecen afectar si p ermanecen o no? ¿Qu é sistemas de evalua ción se usan para los p rofesores principian tes y
cuáles son sus efectos?
e) Los p roblemas que más pr esión ej ercen en la pr eparació n de pro fesores: d urante la preparación inicial y los
primeros años, ¿cuáles son los problemas especiales de la enseñanza d e las matemáticas en un contexto
particular y cómo se preparan los p rofesores principiantes para manejar estos problemas?” (Ball & Even , 2004:
282).
Entre los aspectos que car acterizan al profesorado novel destaca su problemática específic a
como pr ofesor debutante. Las preocupaci ones domin antes tienen que ver con la supervivenci a
personal, en el sentid o ya expresado y qu e indicaba H uberman (1989). Los doc entes centran su
interés en res olver los pr oblemas de aula y mantener el c ontrol de la clase:
“L os problemas de gestión y de disciplina constituyen uno de los principa les a spectos de la montaña rus a
emocional del p rimer año de enseñanza” (Bullough, 1996: 85).
Est e autor señala que el profesorado novel posee una concepción de la enseñanza m uy simpl e
y es optimista sobre sus capacid ades y, por ello, no ha previsto es tos pr oblemas de gestión de
aula y de disciplina. También Stenh ouse ( 1997) c onsidera que el pr ofesorad o principian te
difícilmente puede prever las posibles dificultad es que pueden apar ecer en el aula ,
fundamental mente debi do a su falta de experi encia. También se expresa en este sentido
González (19 99: 212):
“La situación apremiante a la que tienen que enfrentarse, q ue exige respuestas inmediatas p ro pias de un a
madurez profesional que no poseen y que solv entan como mejor sab en y pueden, casi siempre sin ay uda, casi

Capít ulo 1: Marco Teó rico de l a Investiga ción

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siempre sin tiempo pa ra madurar la decis ión, casi siempre desde un a posició n limitada para com pren der lo s
acontecimientos y sus consecuencias”
Este profesorado llega a la escuela con conocimien to s procedentes de su larga experiencia
como alumnos y de su formaci ón previa, que co mponen el principal referente con que cuenta n
para afrontar su nueva situación y que hace que lo s noveles general mente consideren que
saben lo suficiente para enseñar, porque piensan en el saber académico, para el que han
realizado u na lic enciatura. Sin embargo, s e tra ta d e una visi ón des enfocada sobre lo q ue
significa la enseñanza, los centros educativos y los estudiantes. El co ntact o directo con la
docencia genera entonces problemas que, para Vera (198 9 ), se deben princip almente a la s
contradicciones entre la i magen idealizada de la profesión y la realidad escolar ; en tre la teoría
y la práctica; entre el papel desempeñado como alumno y el papel de profesor (Cuesta, 2003) .
El denominado ‘ shock de la realidad ’ de Veenman (1 984, 1988), indica los proble mas que
sufren los prof esores princi piantes al enfrentars e a la r ealidad esc olar.

1. 1. 1. 1 LA FORMACIÓN INICIAL DEL PROFES ORADO DE MA TEMÁTI CAS DE
EDUCACIÓN SECUNDARI A
Para comprender mejor el bagaje que tiene el profe sor novel de matemáti cas de Educación
Secundaria en nuestro país, analiz amos a contin uación, su etapa inicial de form ación, sin
olvidar que el pr oceso prev io seguido c omo estudiant es les ha marcado consider ablemen te.
Rico & Coriat (19 92), a par tir de su experiencia con alumnos de 5º curso de la licenciatura de
mate máticas de la Universid ad de Granada, de la asignatura ‘ Práctica s de En señanza de
Matemática s en Institutos ’ , nos dibujan el siguiente perfil del es tudiante de matemáticas qu e
quiere ser prof esor de Se cund aria:
(1) considera que su nivel d e formación matem ática es más que suficiente p ara ser Profesor de Matemáticas;
(2) desconoce la existencia de u n campo de trabajo denominado E ducación Matemática y de las actividades
que en él se realizan; (3) imagina los contenidos de la Didáctic a de la Matemática como u n a colección de
recomendaciones g enerales, trucos y reglas que p ermiten hacer las clases más a ctivas y agr adables; (4) carec e
de conoci mientos en historia de las Matemáticas, lo qu e conlleva una concepción estática de la s mism as, poco
adaptada a las maneras de abor dar y resolver problemas por parte d e los matemáticos; (5) posee una visión
estrictamente técnica de las Matemáticas, con la consiguiente ausencia de información acerca de:
planteamientos epistemológicos, la integración de las Matemáticas en la cul tura, en el pensamiento o en las
ciencias, las aplicaciones prácti cas de las Matemáticas, lo s modos de aprendi zaje o la adquisici ón de los
saberes matemáticos; ( 6) concibe la propia enseñanza como profesor partiendo de esquemas ‘reproductores’:

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Estudi os de caso
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si un profe sor influyó positi vamente en uno de esto s alumnos, su ‘gestalt’ se eleva i nmediatamente a la
categoría de ‘arquetipo’(7)… (Rico & Coriat, 1992: 3)
Muchos investigadores señalan la marcada influencia de estas vivencias en su desarrollo
posterior (Cardeño so & Azcárate, 1998; Barrantes , 2002 ; Navarr ete, 20 03; Barran tes & Blanco,
2004 ; Solís, 2005). Así, Zeichner y sus colaborad ores (1987) inf orman que afectan más los
antecedentes y experiencias como estudiante s d e los futur os profes ores que cursos
universitari os o la experiencia práctica en la enseñan za (Ball & Wilson, 1990). En el m is mo
sentido se pr onuncian otros autor es:
“El conocimiento de los profesores está enma rcado y formado p or experiencias, muchas de las cu ales suceden
mucho antes que entren formalme nte en el mundo de la educación m atemática” (Cooney, 1999: 170)
Podemos dar dos posibl es explicaciones para esto: h ábitos arraigados adquiridos y vividos en
la fam ilia y el aprendiz aje por observación, mediante la internalización de los modelos de
enseñanza recibidos durante los año s de estudian te ( Zeichner et. al., 1987; Brown et al., 1990;
Va n Zoest, J ones & Thornt on, 1994).
En cuanto a la formación inicial del pr ofesor de matemáticas de Educaci ón Secundari a ,
señalamos que está fuertem ente marcada por un conocimiento muy especi alizado en la
materia y una significativa carencia en fo r mación como educad ores (Flores, 1998 ). A veces, la
formación como educador es comienza en la propia f acultad de Mate máticas ( ofreciéndose en
algunas de ellas algunas asignaturas optativas rela cionadas con la docencia ) aunque, en
general, la for mación do cente no c omienza hasta que no ha ter minado la licencia tura en
Matemáticas. En el Estado español y, m ás concret amente, en la Comunidad Autónoma de
Andalucía, existe un tratamiento difer ente en las distintas Facultades de Matemáticas, aunque
en casi todas ellas se está llevando a cab o, en los últimos años, alguna m a teria relacionada con
la didáctica d e las matem áticas, dirigida al alumnado interesado en una futur a docencia en
Educación Secundaria ( por eje mpl o, en la UCA hace casi 6 años que hay dos asignaturas;
también las hay en Sevilla, en Almería y en Gr anada, e ntre otras).
Sin em barg o, l a f ormaci ón inicial específica para la enseñan za de la Educación Secundaria en
España está contemplada co mo un proceso que se realiza una vez concluida la fo rmación
académica universi taria en la especialidad correspondiente y durante much os años se ha
reducido a un Curso de Formación, con una parte te órica y una parte práctica en los Centros
de Enseñanza. Solís, su equip o (2002) y otros mu chos han señalado que la estr uctura de esos
cursos para la obtenció n del Certificado de A ptitud Pedagógica (CA P), organizado s

Capít ulo 1: Marco Teó rico de l a Investiga ción

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aprendizaje . Este hecho con lleva el riesgo de qu e la práctica profesional care zca de proc esos
reflexivos, redu ciendo la socialización a paut as adaptativas d e superviv encia al m edio.
Esteve (1 993) aporta disti ntas formas de reaccionar ante el encuentr o con la práctica de l os
docentes principiantes: O b ien consiguen la estabil idad mediante un a conducta integrada ,
acomodánd ose, sobre la marcha, a los pr oblemas de la enseñanza. O bien, hacen rutinario el
trabajo, e vi ta ndo cualquier implicación personal. O bien, la contradicción entre l os ideales y la
realidad provoca una conducta fluctuante, a veces cercana al ideal, y otras renunciand o a sus
ideales, viviéndol o co n gran insatisfacci ón . O bien, la ansiedad preside su trabajo al p retender
mantener lo s ideales sin acomodarlos a la realid ad. La distancia entre los deseos y las acciones
les lleva a suplir con su esfuerzo e hiperactividad el escaso éxito en su prá ctica docen te, sin
querer renunciar a ideales inadecuados e inalcanz ables en la realidad de la enseñan za (Cuesta,
2003).
Es, por lo tanto, urgen te y necesario contemplar esta etapa como de especial relevancia para
el desarrollo profesional del profesor y contrib uir a una evolución a de cuada de su
conocimiento profesional, como producto d e la con strucción q ue realiza en la interacción
consciente con los problemas y con las ideas en sus contextos de enseñanza y de su co ntrast e
reflexivo y críti co.

1. 1. 2 EL CO NOCIMI ENTO PROFESIONAL, SUS FUENTES , CO MPONENTES Y
DESARROLLO PROFESIONAL
De l os numerosos enfoques existentes en to rn o al desarrollo profesional del profesorado ,
optamos por definirlo desd e el propuesto p or el grupo IRES, Proyecto Curri cul ar ‘ Investigación
y Renovaci ón Escolar’ (IRES), cuyos miembros han desarrollado num erosas investig aciones en
este campo (Porlán, 1989; García D íaz & Porlán, 1990; Po rlán, 1993 ; Porlán, 199 4; Po rlán &
Martín Toscano, 1994; Azcárate, 1995; 1996; Porlán, A zcárate, Martín del Pozo, Martín
Toscano & Riv ero, 1996; Rivero, 1996; Porlán, Rivero & Martín del Pozo, 1997; 1998; 2000;
Azcárate, 1998; Cardeñ oso, 1998 ; Azcárate & Car deñoso, 1998; Porlán & Rivero, 1998 ;
Azcárate, Martín del Pozo & Porlán, 1998; Azcár ate, 1999a, b; Martín del Pozo & Porlán 199 9;
García Díaz, 2003; Wamba, 2001; Rivero, 2003; Cuesta, 2003; Azcárate & Cuesta, 2005; Solís,
2005; Luna, 2 007). P ropu esta qu e se apoya en una perspectiva sistémica y complej a,
constructiva e in vestiga tiva y crítica de la educa ción .

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Podemos definir el co n ocimiento profe sional como el qu e usan los profesores para llevar a
cabo la tarea docente. Por lo tanto, ha de incluir saberes sobre la materia que i mparte, sobre
los estudiantes y sobre las situaciones did ácticas en las qu e trabaja diariam ente.
García Blanco (19 97) hac e u na rev isión del tér mino, mostrando distintos asp ectos d el
conocimiento pr ofesional tal y como l o co nsid eran diferentes in vestigadores, m ientra s que
Escudero Pérez (2003) recoge cuestione s que giran en to rno a éste , sus caracterís ticas y
naturaleza, que los in vest igadores tra tan d e respo nd er desde diferen tes per spectiva s. Por
ejemplo, Shul man (1986, 1987), Wilson y sus co lab oradores (1987 ), Grossma n y su equipo
(1989), pon en el foco de a tención en los proces os de aprender a enseñar. Schön (1983), Elba z
(1981, 1983), Feiman-Nemser & Folder (1986) , Conelly & Clandinin (1 986) y Carter (1990),
ponen la atención en la práctica, mientras qu e L ein hardt & Greeno (1986), Leinhardt &
Fienberg (1988) l o hacen desde la psicol ogía co gnitiv a o Bromme (1988, 1994), Lli nares (1 991)
y García Blanco (1999), desde la labor del profesor como trabajo profesional. En estas
investigaciones tratan de c onceptualizar el conocimi ento pr ofesional teniendo en cuenta, al
caracterizar la enseñan za del profesor, cómo con oce la materia que imparte (Escudero P érez ,
2003).
De entre todas las pri meras investigacion es, destaca mos el modelo de Shul man (1 986 , 1987),
pues introdu jo un término de gran trascend encia y desarrollo en numer osa s investigacion es
posteriores: el conocimien to didá ctico del contenido , ( Pedagogic al Content Knowledg e : PCK).
Con él se refier e a la habilid ad de representar i deas imp ortantes de forma que sean
comprensibles para los estudiantes, es decir, los profesores n o sólo han de saber la materia,
sino el modo de enseñarla con efectividad .
Shulman (1986, 1987) señ ala en su mo del o cinc o fas es de transformación del contenido de la
materia para su enseñanza :
 Conocer la materia obje to de enseñan za comprensi va mente.
 Transformar el contenid o que se va a enseñar.
 Enseñar: g estionar el au la, presentar inf ormaci ón, interactuar c on los estud iantes, etc.
 Evaluar la compresión de los estudian tes de la materi a dada.
 Reflexionar sobre lo que se ha hecho, analizand o críticament e la acció n,
reestructurán dola.

Capít ulo 1: Marco Teó rico de l a Investiga ción

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La segunda fase, la transformación del c ontenido que se va a enseñar, es la más original y
novedosa. Esta idea tiene cierta relación con la ‘ tr an sposición didáctic a ’ surgida en el ámbito
de la didáctica francesa (Chevallard, 1985; Astolfi & D evela y, 198 9; Josuha & Dupin, 1993), que
trata del proceso de reelab oración de la materia a enseñar, para transformarla en materia
escolar. Sin e mbargo, c omo señala Bolívar (2 005), son fun damentos distint os.
Las revisiones que han reali zado diversos autores al modelo de Shulman haciendo cada vez
más compleja su propuesta ( Bullough, 2001; Hashweh, 2005; P ark & Oliver, 2008), han
conducido a una co nvergencia co n otras formas de caracterizar el conocimient o de los
profesores. Así, para Martín del Pozo & River o (2001) el PCK es con ocimiento prác tico y
profesionaliz ado del co nte nido y de su enseñanz a y ap rendizaje, es decir, el conocimient o que
han de construir los profesores para int ervenir fun damentadament e (Martín del Pozo &
Porlán, 199 9).

1. 1. 2 . 1 NATU RALEZA DE L CONOCIMIEN TO PROFESI ONAL
Consideramo s el conocimi ento del profesor como un co nocimient o práctic o ( Elbaz, 1981 ,
1983; Schön, 1983 ; Feima n-Nemser & Folder, 1986; Conelly & Clandinin , 1986; Carter, 1990),
puesto que v a dirig ido a la i ntervención en el ámbit o educativo y está orientado a la acci ón
(Johnston, 1992; Beijaard & Verl oop, 1996; Van Driel et. al., 2001). Es, ad emás, complejo
(Zuckerman, 1999) e integ rador (Van Driel et. al., 1 998), pue s no es un conjun to de técnicas
didácticas estandarizad as, ni un conjunto de rutinas y principios elaborados a partir de la
experiencia, sino que requ iere de la interacci ón e int egración rigur osa de saberes de distinto
tipo, ya que las situaciones que comúnmente se encuentran los profesores en el aula son
complejas y am biguas (Zuc kerman, 1999). Es crítico y ético (García Dí az, 1995a, b, 2002 ; Porlán
& Rivero, 1998), porque or ienta la actuación del profesor en una determinada dirección y eso
implica también una opción ideológica y un os valor es. Además, es profesionaliz ado (Bro mme,
1988, 1994; Llinares, 1991 ), ya que debe abordar específica mente los proble mas relacionados
con la práctica de la enseñanza. Es decir, u n conocimiento prof esional que emerge de la
práctica y es fruto de la integración consciente entre saberes contex tuales, adquiridos en la
experiencia profesional, y saberes formalizados, producto de la investigació n académica ,
resaltando que t odos ellos co bran sentido realmente a la luz de lo s problemas y experiencia s
del aula (Ri vero, 2003).

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“L a idea de práctica no la utilizamos en el sentido de simple actuación, de un saber - hacer irreflexivo o
inconsciente, sino en el de p raxi s, es decir, en el de una acción fundamentada y transformadora. Esto s saberes
prácticos son siempre produ cto de la r eflexió n crítica, que establece conexiones significativas entre lo s saberes
más a cadémico s y los empíricos, produciendo reconstrucciones vinculadas específicamente al campo d e la
enseñanza ” (Azcárate, 1999 a: 114).
Consideramo s, en primer lugar, sus fuentes y componente s, para presentar p osteriormen te
una hipótesis de progresi ón de su ev olución.

1. 1. 2. 2 FUEN TES Y COMPONENTES DEL CONO CIMIENTO PROFESIONAL
En este apartado describimo s las fuentes que consideramos más significati vas del saber
profesional y qu e configura n sus diferent es componen tes.
1. 1. 2. 2. 1 El conocimient o metad isciplinar
El con ocimiento metadis ciplinar aporta, en pri mer lugar, una determin ada
concepción epi stemológic a acerca de la materia. Los actuales plan teamient os en torno al
conocimiento matemáti co, lo concib en como un c onocimient o relativ o y ev olutivo y n o com o
un co nocimi ento absoluto, estático y aditivo, que conllevaría un a visión finalista y uniform e
para el tratamient o de l os contenidos en el aula (Azcárate, 2001). Relacionado con ello,
señalamos la imp ortancia de contempl ar el conocimiento de la hist oria de las matemáticas ,
centrada en los pr oblemas y los obstáculos epistemológico s que originaron la construcción de
los c onocimientos mate máticos y en la co mprensión del co n texto social, histórico e ide ológico
donde se insertó cad a proble mática, sin lo cual dichos cono cimientos aparecen como
arbitrarios .
Consideramo s, p or otra pa rte, que la persp ectiva constructivi sta y la sistémica y compleja son
saberes m etadis ciplinares relev an tes, así c omo una perspecti va ideológica crítica, y a que el
compromis o ético con ciertos valor es, tales com o justicia o solidaridad, así co mo los aspectos
ideológicos , son ineludibles .
En este sentido, la perspectiva sist émica y c ompleja, por ejempl o, al poner el énfasis en
conceptos generales tales como: elemento, interacción, organizaci ón, cambio, sistema, etc. ,
permite utilizar una estructura co nc eptual única para describir la realidad natural, para

Capít ulo 1: Marco Teó rico de l a Investiga ción

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interpretar el funcionamien to del aula, para concebir el currículo o para compr ender las ideas
de los alumn os y de los pr ofesores (García Díaz, 2004) .
En la misma línea, el enfoque constructi vista e investigati vo, al abarcar procedi miento s
generales del tipo: rec onocer y formular problemas, tomar conciencia de las id eas propias,
contrastar con informac iones y datos externos , reo rganizarl as, aplicar los nuevos
conocimiento s, etc., permi te utilizar una misma estrateg ia para orientar el aprend izaje de los
alumnos y para promover el propi o desarrollo prof es i onal.
Por último, el enfoque crítico, al aportar un conjunto de valore s generales tales como:
autonomía, respeto a la diversidad, neg ociación y cooperación crítica y rigur osa, etc., permi te
utilizar los mismos criterios para organizar el fun cionamiento d el aula, para interpretar l a
relación entre el conoci miento escolar, el discip linar y el cotidian o y para regular el aprendiz aje
colectivo de lo s alumnos y de los profe sores.
Al mismo tiempo, la int egración de est as tres perspec tivas metadi sciplinares (constructivismo ,
complejidad y crítica) constituye una cosmovisi ón que p ermite organizar la progresión del
conocimiento pr ofesional en diferentes niveles de formulación (Grupo Invest igación en la
Escuela, 1991). Por lo tanto, los conocimien tos metadisciplinares son, al mismo tiempo,
conocimiento s profesi onal es en el máximo nivel de generalidad, y orientadores de la evolución
y mejor a del conocimient o profesional ‘ de hecho ’ .
“ La reflexión e i nteracción co n las informaciones p rocedentes d e estas fuentes permiten a lo s p rofesores
elaborar su propia cosmov isión educativa. De hecho, toda decisión a doptada p or el profesor refleja un as
determinadas formas de en tender el conocimiento, sus relaciones y su elaboración y promu eve unas
determinadas concepciones ideoló gicas y unos deter minados valores que constituyen, co nsciente o
inconscientemente, su marco global de referencia ” (Azcárate, 1999: 115 ).
García Díaz (2001 ) señal a que esta integración nos ayuda a determinar el ‘ para qué enseñar ’ ,
es decir, sitúa la in tervención docente en una determinada co ncep ción de la cultura escola r
que va más allá de los meros conocimiento s m atemá ticos, ins ertando las cu estiones
educativas y los fines sociales de la escuela. También ayuda a establece r el m arco de
referencia del conocimie nto escolar y a caracterizar e in terpretar las ap ortaciones del
conocimiento cotidian o y las expresiones de las ideas de lo s alumnos. Así, pueden situarse las
aportaciones de las matemática s en un marco más general y establecer mejor las dificultades
de aprendizaje de los alumnos en la interrelación entre las distintas informaciones que se
aportan en las situa ciones del aula.

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Estudi os de caso
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1. 1. 2. 2. 2 El conocimient o discipl inar
Se refiere a aquellos saber es relacionados con la materia, las matem áticas en nuestr o
caso, y con l os proce sos de enseñanza-aprendizaje. Aunq ue son m uchas las discipli nas que
pueden aportar al co noci miento profesi onal, nos referiremos a tres de ellas que co nsidera mos
de especial relevan cia: el conocimiento mate mático, el psicopedagógico y el que aporta la
didáctica de la s matemáti cas.
 En primer lugar, es necesa rio un conocimiento adecuado d e la materia . Ello implica
conocer sus marcos conceptual es generales y la estructura interna básica d el área, lo cual
tiene gran im p ortancia par a que el profesor elabore mejores criteri os en la det erminación de
los conceptos, procedimi entos y r elaciones básica s de las mate máticas (García Bla nco, 1997) .
Hemos de c onsidera r, además, que las conexiones m atemá ticas, entre las que se incluyen
conexiones entre diferentes conceptos matemático s, sus propiedades y representacione s,
forman una parte esencial de la co mprensión matemá tica (Hieb ert & Carp enter, 1992; Leikin &
Levav-Waynberg, 2007).
Podemos añadir que no se trata solamente de considerar las conexiones antes m enci onadas,
ya que, como o tros investigadores también subrayan, es muy imp ortante establecer
conexiones entre las distintas ramas de las propias mate máticas, así como con otras ciencias y
con el saber cotidiano, es decir, las matemáticas no pueden entende rse com o un
comparti mento estanc o.
Este conocimi ento de la m at eria debe comple mentarse con el conoci miento sobre cómo se
genera el co n ocimiento mate mático y los obstácul os que han debido superar se, a los que
aludíamos en el apartado anterior. Consideram os, así mismo, que es necesari o que los
profesores elaboren un conocimiento de las m atemá ticas que les permita abordar con cierto
rigor el proble ma de la selección, formulación y organización de los contenidos de enseñanza y
adecuarlos a sus alumnos de modo que enriquezca sus aprendizajes previos y los haga más
complejos, a par tir de los problemas que éstos plant een.
También incluimos un tipo de conocimient o que supone cierta actitud cien tífica, que consis te
en el interés p or profund izar en los c onocimientos y en adqu irir o tros nu evos (Gil, 1993) , ya
que los c ambi os curricu lares o las cuestiones que plantean los alumnos, somete n
repetidamente al profesor a una serie de situaciones para las que puede no poseer, de

Capít ulo 1: Marco Teó rico de l a Investiga ción

23

entrada, la f ormación científica requerida. Esta caract erística, inh erente a la labor pr ofesional,
demanda una cierta predis posición a la investiga ción y a la realización de nuevos aprendizajes
en los profesor es.
 En segundo lugar, este conocimient o de las mate máticas debe relacionarse también
con el c onoci miento que aportan l as c ien cias de la educación . Nos referiremos
fundamental mente a lo s co nocimi entos psicopedagógicos generales , relacionados con el
pensamiento y la conducta del profesor, la f ormación del profesor y su d esarrollo profesi onal ,
la naturaleza de la profesi ón docente, el apr endizaje de los alu mnos, las característi cas del
desarrollo de los adolescentes, la relación entre desar rollo conceptual y afectivo, la interacción
y comunicación en el aula, la dinámica psico social en los contextos e scolar es, la organización
del aula y del centro, etc. Dam os especial relevancia a los estudios referidos a las concepcion es
del profesor y sus relacion es con la práctica docente, ya que formarán parte sust ancial de este
trabajo. Las aportaciones de dichos e studios pued en ayudar a promover un conocimient o
práctico más consci ente por parte de los profesores y serán tratadas más ad elante, en el
Apartado 1. 1. 3.
 En tercer lu gar, señalamos la didá ctica de las mate máticas , que c onstituye u n saber
aplicado, un conocimi ento mixto, en el sentido de ser producto de la integ ración de los
conocimiento s psicopedag ógicos y los relacionad os con la m ateria que se enseña. Su función
principal es la elaboración de modelos didácticos, con una dimensi ón desc riptivo-ex plica tiva y
otra normati va en forma de hipótesis curriculares y propuestas de actuación en el aula. La
didáctica de la s matemáticas es, por lo tanto, un saber integrador y e s además, un a fuente que
aporta con ocimientos pr óximos a la práctica, específicos para la enseñanza y a prendizaje de
contenidos escolares, y pa utas e hip ótesis, más o menos complejas, d e actuació n.
Desde una perspectiva did áctica de las matemáticas, utiliza y reinterpr eta l os c onocimientos
del área y los psicopedagó gicos para explicar los proc es os de ens eñanza y apren dizaje de ést a
y para proponer pautas concretas de diseñ o y desarrollo curricul ar. Configura un cono ci miento
matemátic o escolar distin to del conoci miento d e l as ma temáticas (Cardeños o & Azcárat e,
1994; Martínez, 2000). D esde la per spectiva didác tica, cuando un profesor se enfrenta a la
práctica docent e en el ámbito de la educación matemática , por una par te, deb e reflexionar
sobre el trata miento del conocimien to escolar, entendiend o que éste debe ser algo más que
una mera simplificaci ón d el conoci miento formal. Al tener fines y objetiv os di stintos que la
propia mate mática, necesita de otras for mas diferente s de aprender. For mas más vinculadas al

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Estudi os de caso
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contexto y a los problemas de su ento rn o, que a pr oblemas matemáticos con pri ncipio y fin en
las propias matemáticas (Azcárate, 1999a). Ello implica que el profesor ha de co nocer las
matemáticas más allá de una m era adaptación del conocimient o formal al co nt exto, es decir,
necesita un conocimien to de índole didáctic o -mate mática cuya estructura y natura leza dista
mucho de ser la del conocimient o formal m atemá tico y que se organiza en torno a la reflexión
e in teracción con problemas relevantes que surg en desde la p ropia enseñanz a d e las
matemáticas.
Por otra par te, el profesor ha de co n ocer las fina lidades de su enseñanza, su influ encia en el
desarrollo personal y social del alumno, la comprensió n del aprendizaje de los estudiantes, sus
ideas, la evolución de las mis mas y sus dificultades, su entorno sociocul tural y toda una serie
de conocimient os y capacid ades que le permitan gestionar el aula y los elem entos que en ella
interaccionan . Todo ello organizado de forma que d é respuestas ad ecuadas a los proble mas
que los profes ores tienen q ue afrontar en su práctica cotidiana.
1. 1. 2. 2. 3 El conocim iento que procede de la exper iencia
Podemos considerarl o constituido por tres componentes: las r utinas - guiones y
esquemas de acción, que son imprescindibles para organizar y dirigir el curso de los
acontecimient os en la clase -, los principios y creencias personales - c oncepcion es, metáforas e
imágenes que tienen los profesores acerca de las diferentes variables de su experiencia
profesional, y que implican mayores dosis de generali zación - y los conocimientos curriculare s
sistematizado s - co njunt o de ideas, hipótesis de trab ajo y técnicas concretas que se ponen
consciente mente en juego en el diseño, aplic ación y s eguimiento del currículo.
 Con el tér mino ‘ rutinas ’ n os r eferimos al conjunto de esquemas que predicen el curso
de los acontecimient os en el aula y que co ntienen pautas de actuación concretas para
abordarlos (Gimeno & Pérez Gómez, 1993). Pertenecen a un tipo de significados que nos
ayudan a resolver una parte imp ortante de nuestra actividad cotidiana, especial mente aquella
que se repite con cierta frecuencia, constituyend o el saber más próximo a la conducta
(Lowyck, 19 86).
 Por ‘ pri ncipios y creencias personales ’ entendem os el co njunt o de ideas que los
profesores desarrollan durante el ejercicio de la profesión acerca de diferentes aspect os de los
procesos de enseñanza-aprend izaje, tales co mo el apr endizaje de l os alumn os, la metodología,
la naturaleza de los contenidos, el papel de la programa ción y la evaluaci ón, los fines y

Capít ulo 1: Marco Teó rico de l a Investiga ción

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objetivos deseabl es, entre otros (Riv ero, 2003). Tienen un fuerte p oder or ientador de la
conducta profesi onal y, en el conocimiento de seable, es un saber autónomo y coherent e con
los sabe res acad émicos. Se expresan más claram ente en l os m omentos d e programa ción,
evaluación y, muy particularment e, en situaci ones de dia gnóstico de l os proble mas y conflict os
que se dan en el au la.
Por una parte, hay que tener en cuenta que o tra cuestión importante de este tipo de
conocimiento, los principios y creencias, es que en pa rte tiene carácter no explícito (Clandinin ,
1986; Eraut, 1994) y est o co nlle va implic aciones de gran importancia: escapan al propio
control, tiend en a bloque ar los cambios en el d ominio de l o concreto y favor ecen cierta
disociación entre el d iscurso pedag ógico y la int ervención d ocente. Es impor tante, en
consecuencia, que los prof esores se den cuenta de q ue, además d e los conocim ientos que ha n
elaborado consciente mente, existen otros im plícit os que deben intentar expresar para poder
así comprender mejor una parte significativa de sus actuaciones ante los problemas de cla s e.
Tomar conciencia de l as teo ría s implíci tas que se derivan de sus cree n cias y acciones ,
pasándolas del plan o tácito al racional, representa un avance importante en el d esarrollo
profesional del profes or (Ballenilla, 1999). Dedicare mos el Apartado 1. 1. 3 a profun dizar en los
aspectos señalados, prese ntando algunas investigaciones realizadas en est e sentid o, así como
las relaciones entre las con cepciones y la práctica del profes or.
Por o tra parte, tenemos también en cuenta que e l término ‘ creencia ’ s e utiliza en distinta s
áreas de conoci miento y en la vida cotidiana co n distin tos significad os. En nuestro caso,
entendemos qu e una creencia es un tipo de c onocimiento, una opinión fuertemente arraig ada ,
que produce hábit os y determina intenciones. Como las actitudes, se compone de cognici ón y
de afecto (Vila & Callejo, 2004). No es una tarea fácil precisar los significad os de estos
conceptos próxim os al de creencia y delimitar las fro nteras entre ellos, ya que es un términ o
ambiguo. Se encuentran más r eferencias implícitas que definici ones formales explícitas. Por
ejemplo, podem os señalar el carácter más o bjetivo del co n ocimiento y más subjetiv o de las
creencias, que se pueden manten er con diferentes g rados de co n vicción. Los conocimiento s
están consensuados por de terminadas comunidad es, mientras que las creencias no tienen por
qué ser fruto de un co nsenso. Los primeros responden a unos criterio s de validación que no
han de satisfa cer las creenc ias.
En cuanto a las relacione s entre ‘ con cepción ’ y ‘ creencia ’ es un tema controvertido , p ues
mientras algunos autores utilizan ambo s términos indistintamente, otros consideran que

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Estudi os de caso
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ambos están rela cionados pero que difieren en su significado. Así Thompson (19 92) consider a
que las creen cias son un tipo de c oncepciones y define a éstas como un a estr uctura mental
más general que incluy e creencias, significad os, conceptos, pr oposiciones, im ág enes mentales
y prefer encias. Mi entras que Ponte (1994 ) las d efine como los esquemas s ubyacentes d e
organización d e conceptos, esen cialmente de n aturaleza co gnitiv a. En nuestr o estudio,
asumimos el significado más am plio del tér mino, concep ciones, en el sentido de Thompson
(1992), por considerar qu e es el términ o más similar al empleado en las investig aciones del
Grupo de In vestigación en l a Escuela com o ‘ sistema de ideas ’ (García Díaz, 1995a, 2002).
 Los ‘ conocimientos curric ulares ’ en parte proceden del co n ocimiento disciplinar y en
parte de la propia experi encia. Se refi eren a aspec tos como los siguientes :
 Conocer có mo se formula, organiza y secuencia el co noci miento escolar. Saber
plantear situaciones problemá ticas en clase (Porlán & Martín Toscano, 1994). Saber elaborar
tramas o mapas de c ontenidos en los que se integ ren las aportaciones de distintos tip os de
conocimiento. Saber elab orar y usar hipótesis sobre la posible progresión en la construcción
del conocimient o, con el análisis de los o bstáculo s que pueden aparecer en el proceso y co n la
determinación de diferent es niveles d e formulaci ón de los contenidos.
 Conocer la existencia de c oncepciones en los alumnos, así como su utilización
didáctica (Gil, 1990; Porlán & Martín Toscan o, 1994; García D íaz, 1995a ). Saber que tienen qu e
considerarse como una va riable en el proceso de enseñanza-aprendiz aje. Saber detectarlas e
interpretarlas didácticam ente, empleand o en cada circunstancia lo s instrumentos d e
exploración adecuad os. Saber que dichas concepciones cambian en un proceso de negociación
y construcci ón compartida del conoci miento, etc.
 Saber diseñar un progra ma de acti vidades v álido para la investigación de probl emas
interesantes y con potenc ialidad para el aprendiz aje, que tenga en cuenta las hipótesis de
progresión asociadas a dic hos problemas, inclu yendo tanto acti vidades de expresión, contr aste
y cuestionamiento de las concepciones de los alumnos, como actividades de recapitulación y
síntesis (Gil, 1 990; Porlán & Martín Toscano, 199 4; García Díaz , 199 5a ).
 Saber dirigir el proceso de investigación del alumno, creando el clima de trabajo
apropiado, facilitand o la reformula ción de los pro ble mas y el contraste y cuesti onamiento de
sus concepcion es.
 Saber qué y cómo ev aluar, teniendo en cuenta la necesidad de un ajuste adecuad o
entre el proceso de enseñanza y el de aprendiz aje, conociendo las estrategias apropiad as para

Capít ulo 1: Marco Teó rico de l a Investiga ción

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Suele extraer las activida des, del libro de te xto tratando de que lo s alumnos repitan los
procedimient os mostrados por el profesor con anterioridad . La resolución de problemas se
concibe como la realización de ejercicios rutinarios, d e apl icación m ás o menos simple, directa
e inmediata de los conteni dos que se acaban de explicar, homogéneos y la mayor parte de las
veces algorí tm ic os. Organiz a la secuen cia de actividades desde la perspecti va del conoci miento
que quiere ilustrar, que se caracteriza por tratarse de actividades aisladas y frag mentadas, sin
formulacione s, ni grad os de compl ejidad diversos. El hilo conductor suele ser el l ibro de tex to.
Las actividades se concibe n como tarea individual, inclu so cuand o están sentados en parejas,
po r lo que la organiz ación d el espacio está r eferida a l a pizarra y la mesa del prof esor,
“ ignorando la d imensión so cial del aprendizaje, así co mo el p apel de la n egociación d e significados. E n los
aspectos de gestión de la dinámica del aula y de su propia organización espacio-temporal, predomina una
visión rígida y estática, con un claro control del p rofesor sobre el espacio y el tiempo, caracterizando un
sistema de comunicación unid i reccio nal, que refleja una falta de destrezas en el manejo de l a di námica del
aula ” (Azcárate, 1999: 75).
No valora el pequeño grupo, ni la interacción entre iguales, ni considera distintos ritmos de
aprendizaje, por lo que la o rganiz ación del tiempo es la misma para todos. En la fo rma de
presentar el conocimiento subyace la idea en el profe sor de que éste se aprend e y se aplica sin
consideraciones sobre cómo se produc e este aprendizaje, ni cómo se ha de enseñar. El
alumno, por lo tanto, ha de estar atent o a las exp licaciones del pr ofesor, activo para la
realización de las activ ida des que se le propo nen, pero no para la construcción del propio
conocimiento , ya que lo que se requiere de él es la r epetición de los contenidos trabajados, sin
participación en la planificación de las tareas. Se supone que, si el alumno está atent o a l as
explicaciones del profes or, aprende el co n ocimiento transmi tido , consi derándose el
protagonista central del escenario escolar y que de él depende todo el control d el proceso de
enseñanza-ap rendizaje. Esto c onlleva la importan cia de man tener el orden en la clase
b ) La evaluación es sancionadora, es decir, se en tiende, so bre todo, como cali ficación
y se centra en lo s contenid os. La comprobación del aprendiz aje de los alumnos, medido desde
un nivel prefijado, se extra e casi exclusiva mente de la informac ión aportad a po r los exámen es,
que, en general, se realizan al final del proceso y miden la capacidad de repetición de los
conceptos y el manejo de los procedi mientos algorí tmicos y ejercicios de aplica ción trabajad os
en clase, valorando más los productos que lo s procesos. Quien evalúa es el profesor y los
alumnos son l os únicos eva luad os.

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Estudi os de caso
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1. 1. 2. 3. 2 Tendencias didácti cas intermedias o de tra nsición
Cuando un profesor como el descri to anteri ormente, ya sea no vel o no , se enfr enta a
las diversas problemá ticas que pueden su rgir en el aula y/o participa en procesos de formació n
que movilizan su v i sión de la enseñanza y el aprend izaje de las m atem áticas, puede plantears e
cambios en sus prácticas e introducir innovaci ones en las mismas. Esta evolución puede v enir
orientada por d os fu erzas distintas, dand o lugar a dos tendencias innovad oras también
diferentes: la que proc ede del rig or del con ocimien to matemá tico y de las ciencias de la
educación, por un lado, y la búsqueda de mejo ras en los procesos de enseñan za -aprendizaje,
del clima e scolar, de valores democráticos y o tros aspectos ideológicos, por otra. La pri mera
constituye una tendencia tecnológica (TT) y la segund a, espontaneísta o fen omenológica (T E),
mucho menos frecuente en la enseñanza de las matemáti cas. El profesorado que se sitúa en
este nivel de transición (al que llamaremos profesor innovador), pr etend e favorecer el
aprendizaje significativ o de su alumnado y su implicac ión en el m ism o, a la vez que no quiere
renunciar a ‘ impartir los contenidos disciplinares ’. Por ello , tratará de garantizar el desarrol l o
de un cono ci miento mat emático ade cuado y coh erente y la necesidad de motivar a lo s
alumnos para qu e se i mpliqu en en los proces os de en señanza-aprendizaje .
Podríamos considerar que se va produci endo el tránsito hacia la innovaci ón, en la medida en
que :
 el protagonis mo del estudi ante vaya creciendo en es tos pr ocesos
 los pr ofesores empiecen a dar importancia a las id eas de l os alumno s y/o a sus
intereses
Como en la e ta pa tr ad i ci onal, caracteriz amos a continu ación el conocimiento profesional en
este nivel evolutivo, desarr ollando especial mente l os aspectos me todológicos.
En estas etapas de transición, se m antien e una concepción simple de la estructura del
conocimiento y de la realidad . Como en la tendencia tradicional, los profesor es cercanos a la
dirección más t ecnológica, suelen est ar más próximos a un a visión absolutista y platónica de
las matemáticas. En rela ción con los aspectos ideol ógicos, en los profesores de la TT, hay un
cierto cambi o de actitude s en la m edida en que se reconoc e la n ecesidad de mejorar l a
enseñanza, aunque con criterios más rígidos y eficientistas que los profesore s espontaneístas ,
que suelen presentar actitu des inconformistas, de mayor autonomía profesion al y tolerancia ,
d an do bastante pro tagonismo al alu mno.

Capít ulo 1: Marco Teó rico de l a Investiga ción

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Los profesores cercanos a la TT conciben el apr endizaje como la asi milación de significados
académicos preestable cid os, bien aportando nuevos co n tenidos, bien dándoles un mayor
grado de f ormalizaci ón, tratando de eliminar los er rores de l os alu mnos en este proces o.
Ti enen tambi én cierta preocupaci ón por conseguir que los estudiantes ‘ construyan ’ sus
aprendizajes desde los ‘ conoc imientos previos ’ y les den sign ificado.
En el caso de la TE, la p reocupación por el apren dizaje de los contenidos prefijados de
antemano es menor y será la m otivación de los a lumnos, sus inter eses, la diversid ad de
actividades, no siempre académ i cas, los que permitan que éstos se apropien de los
conocimiento s.
En ambos casos se requi ere la partic ipación activa del alumno y es importan te su actividad
psicológica, ya que lo s objetos de aprendizaje están m ediados por la activ ida d personal, de
forma que los conocimientos previos, la motivación, el uso de recursos didácticos ,
manipulativ os, lúdicos y variados, juega un papel importante. Por ello, la activ idad del
estudiante o su nivel de desarroll o cognitivo no se sue len o bviar. Sin embargo, aunq ue m uchas
veces se identifica aprend izaje activo o el protagonis mo del alumno con el constructivism o,
hay que tener en cuenta, que el paso a concep ciones construc tiv istas requiere una
reestructuración profunda de los conoci mientos de la persona, que no s e da con frecuencia en
este nivel.
Respecto a los procesos de enseñanza, los enfo que s de ambos tipos son c ontra puestos: en el
primero de ellos, los objetivos y contenid os selecci onados s e organizan en secuencias cerradas
de actividades y sirven de referencia ‘ objetiva ’ para la evaluación, mientras que en el segundo,
el modo de c oncebir el c onocimien to escolar da lug ar a un conjunto poco organizado de
actividades que se van pr ogramando a cort o plazo y que son más v ariadas que en el caso
anterior, sin ref erencias a l a evaluación.
El desarrollo d e esta s ‘ eta pa s de enseñanza’ se caracteriza por la evolución del profesor hacia
una mayor ayud a a los est udiantes para que construyan el conocimient o, responsabil izándo lo s
más de su propio aprendizaje y facilitando un mayor intercambio verbal entre los
componentes d el aula (Ar tzt & Ar mour-Thomas, 199 9, 2002 ).
En relación al co n ocimient o esc olar , existe una gran variedad de concepciones en la m edid a
que los profesores dan mayor o m enor import ancia a otros referentes. Las m ate máticas siguen
siendo el fundamental, aunque con un peso m ayor en la TT y con una concepción de las

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Estudi os de caso
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mismas más abierta y flexib le, en la TE, donde los contenidos que se trabajan aparecen sin
conexiones clar as entre sí.
Resumiendo, para el profe sor innovador de ambas tendencias, el aprendizaje m atemá tico es
un p roceso de e xperimen tación dire cta de las ma temá ti cas, su visión de la enseñanza es
proporcionar situaciones qu e pongan de m anifie sto a los estudiant es las ideas matemáticas y
sus relaciones, así como los aspectos claves de dichas situaciones (Tzurt et. al., 2001; Simon et.
al., 2000), l o que estos aut ore s denominan una ‘ pe rspectiva basada en la pe rcep ción’ .
Destacamos , como hicimos en el anterior apartad o, los aspectos metodo lógicos y de
evaluación que c onsideramos caracterís ticos de este nivel en la evoluci ón del conoci mient o
profesional:
a) La metodología que desarrollará n estos profesore s se sitúa desd e el plant eamiento
de actividades prefijadas de antemano, muy dirigidas y esc alonadas en cuanto a la dificultad
de los co ntenid os y con un hilo conductor ríg ido, (e n la orientación tecnológica), hasta o tro s
planteamiento s con actividad es sin un hilo condu ctor claro, en las que pri man los interes es d e
los alumnos sobre cualquie r otro criteri o organizad or (en la esp ontaneísta) .
Los profesores , en el primer caso, establecen actividades menos homogén eas que en la
tendencia tradicional, pero todavía bastan te cerra das, con solución única y prefijada. La
secuencia de actividades es lineal y detallada (Azcárate 1999) y su hilo conductor está regid o
por la lógica de la m ateria , cuyos contenidos deben ser enseñados a todos los alumnos . Esta
secuencia de actividad es está plan ificada previament e po r el pr ofesor sin la intervención del
alumno. “ A veces refleja n una aparente secuencia constructivista, pero clara mente dirigidas
por el profeso r ” (Azcárat e, 1999: 73).
En el segund o caso, los profesores pr oponen una ma yor variedad de actividades, con
propuestas m á s abiertas y flexibles, tanto colectivas como individuales. L a planificación es
escasa y muy a corto plazo, plegada a la respuesta más o menos implicati va de los alumnos en
las activ idade s. No hay en este caso, por lo tanto, una secuencia sistemátic a previament e
diseñada, sino un conjunto de actividades p oco organiz ado.
Los profesores de ambos casos tienden a incorpora r o tros muchos recurs os didácticos. La
organización del espacio y del tiempo suele ser rígida en el primer caso , mientras que es más
flexible y abierta, en el otro. Aunque el profesor organice a l os alumnos en pequ eños grupos,

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en el caso t ecnológic o, las actividades planteadas suelen ser trabajadas ind ividualment e y su
distribución te mporal está previament e establecida, mientra s que, en el caso espontaneísta , se
promueve el desarrollo de debates, asambleas y trabajo en pequeños grupos . Aquí, l a
comunicación se produce entre ig uales y también el intercambio de inf ormación, sin apenas
orientación. El profesor intenta, s obre todo, crear una dinámica psicosocial motivadora, qu e
tenga en cu enta los interes es de los alu mnos, mediant e el trabajo colectiv o.
Suelen aparecer modificaci ones significativas con re specto al rol que juegan el profesor y los
alumnos en este nivel de transición, buscando una mayor implicación de é stos en el proces o .
Las actividad es están estrictamente dirigidas por el profesor, en el caso te cnológico, aun que
trata de que el estudiant e participe activamente en el desarrollo de las mismas. Su papel
transmisivo aún ocupa un lugar importante, al meno s para introducir y cerrar las temáticas y
no existe un uso didáctico, sistemático y explícito de las ideas de los alumn os, pe ro se interesa
por sus conocimient os previ os. El protag onismo de los alumnos es mayor en el caso de la
tendencia espontaneísta, quedando el profesor relega do a ser un facilitador de las actividades,
medios y recurs os nece sarios, sin orien tar apenas el p roceso d e enseñanza-apre ndizaje.
“En cualquier caso, esto s en foques siguen presentando problemas en su co ncepción, ya sea por ex istir u na
relación en tre los contenidos, los a lumnos, el contexto y la metodología d emasiado rígida o demasiado
abierta. Al organizar y presentar las actividades, nos encontra mos con la tendencia a adoptar una únic a
perspectiva: la del profesor o la de los intereses de los a lumnos, lo que dificulta en ormemente que la
enseñanza se ajuste al aprendizaje” (Azcárate, 1999:74-5).
b) Respecto a la evaluación , el profesor de la tendencia tecnológica pretende una
medición rigurosa del g rado de cu mplimient o de los objetivos y cont enidos programados ,
mediante exámenes y notas de clase, con referencias objetivas . El o tro tipo de profesor
pretende evaluar la din ámica psicosocial del aula a t ravés de la particip ación de l os alumnos
(asambleas, murales, etc.) y de las observaciones e impresion es asistemá ticas que hace. El
aprendizaje de lo s alumnos es también en este caso, objeto direc to de evaluación pero si n
tener referen cias objeti vas claras.
No se evalúan los proces os de enseñan za-aprendizaje y quien evalúa es el profesor, en el
primer cas o, mientras qu e, en el caso de los proc esos orientad os por una dirección más
fenomenológica, juega un p apel important e la autoevalu ación del alumn o.
En resumen, ambos casos analizados tienen en común el ser expr esiones de un cierto
reduccionis mo antagónic o en relación con diferentes aspectos: en primer lugar, los elementos

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Estudi os de caso
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curriculares: el foco está situad o en los c ontenidos, en el primer caso y en los in tereses de los
alumnos, en el segundo. En segundo lugar, el papel de la progra mación, la intervención y la
evaluación: énfa sis en la programa ción previa, int erven ción dirigida y control del profesor con
criterios de evaluación objetivos, frente al énfasis en la interv ención espontánea, control
menos sistemáti co y falta de criterios de evaluación claros y, en ambos casos, ausencia de una
concepción de la evaluaci ón como regulación del proceso. Por último, la finalidad de la
intervención educativa, en el primer caso, es tratar de llegar a un conocimiento preestablecid o
por el profes or y en la te nd encia espontaneísta cubrir, en la medida de lo posible, los intereses
expresados p or los alumno s.
1. 1. 2. 3. 3 Tendencia d idáctica deseab le
La última tendencia, que considera mos como meta de la evolución del desarrollo
profesional, s e corresp onde co n un model o de enseñanz a constructivista e inve stigativo y con
un perfil profe sional coher ente con la idea de profeso r-investigador.
El profesor que ha alcanzad o este nivel de desa rrollo profesional, tie ne una visi ón del m und o
basada en una concepci ón compleja y relativa de la re alidad, con un plantea miento ideológic o
crítico y una perspectiva constructivista, din ámica y evolutiva del conocimien to, visi ón que se
concreta en :
 Una concepción sistémic a de la realidad , en gener al, y del medio esc olar en part icular.
 Un enfoque relativista y d escentrad o del con ocimiento matemático.
 Una consideración de los cam bi os, ta mbién de los cambios escola res, como pr ocesos
evolutivos e irre versibles.
 El reconocimient o del carácter abierto y complejo de los problemas educa tivos y de la
investigación c omo estrate gia adecuada par a el tra tamient o de los mism os.
 Una po sici ón ideológica que pretende el desarro llo de la autonomía en pr ofesores y
alumnos.
 Una concepción de las relaciones e intercambios basa da en la tolerancia, el relat ivismo
y el respeto crítico a la div ersid ad .
 Una construcción compartida del co nocimient o prof esional y escolar basada en datos y
argumentos y n o en principios de autoridad y en relaciones de p oder ( Porlán & Rivero,
1998).
En cuanto al conocimien to escolar , lo s co nt enidos no se reducen a los c onocimiento s
matemátic os f ormales, ni siguen la lógica tradici onal de las disciplin as, sino qu e prima un a

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lógica de carácter didác tico que impregna la selecci ó n de aquellos pr oblemas que son, a la v ez,
relevantes para las matemáticas y significativo s y funcionales para los alumn os. Esta selecci ón
está directa mente relacio nada con la est ructuración del qué enseñar y co n sus fuentes de
información.
En esta t en dencia, el conocimi ento escolar se entiende c omo un conocimi ento
epistemológica mente diferenciado , result ado de la reelaboraci ón e integración de
conocimiento s diversos, que pretende hacer progresivamente más complej o el conocimient o
cotidiano de l os alumnos.
Apostamos por una conce pción dinámi ca y falible de la a ctividad matemática, lo cual tiene
fuertes implicaciones en las ideas so br e las est r ategias y habilidad es que los estudiantes
necesitan para aprender y los tipos y caracterís ticas de las actividades en los que, tanto los
estudiantes como el profesor, deberían compromet erse durante la s interacci ones en el aula.
Concebimos entonces el aprendizaje de los alu mnos como el proce so de desa rrollar una
‘ disposición matemática’ o un ‘ punto de vista matemático’ (Schoenfeld, 1 992, 199 4), así como
adquirir conocimiento matemático y herramienta s con las que trabajar y construir
conocimiento (Henningsen & Stein, 1 997).
Por lo tanto, aprender matem áticas es, simultáneamen te, una activa construcci ón de
comprensi ón individual y social de la materia. La in strucción en la clase es un constante
cuestionami ento dirigido y basado en “ actividades qu e implican los cómo y los por qué de los
conceptos matemáti cos y los procesos” (Artzt, 1999: 144). Los profesores son facilitadore s del
aprendizaje de los estudian tes y el clima de clase está en consonancia con la orientación de las
ideas actual es sobre la ref orma de las matemáticas escolare s (NCTM, 2000; Ferre ira , 2004).
Tener una disposici ón matemática se caracteriza por aspect os tales como la búsqueda y
exploración de patrones para comprender las est ructuras mate máticas y l as relaciones
subyacentes, usar los recursos disponibles efe ctiva y apropiad amente para fo r mular y r esolve r
problemas, dar sentid o a las ideas matemáti cas, pensando y razonando de m odo flexib le:
conjeturand o, generali zando, justific ando y c omunicando las propias ideas mate máticas ,
también decidiend o si los resultados matemáticos son razonables (Schoenfel d,1992). Estas
actividades tienen mucho en común con los proce sos de razonamiento a ctivo que Resnic k
(1987) y otros han propue sto como caract erísticas de un niv el alto de pensamien to en una
variedad de dominios ac adémicos. Todo ell o en consonancia con los aspectos reseñad os en la
tendencia in vestigativa.

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Para promover un aprendizaje matemá tico de esas características, el proceso de enseñanza se
ha de apoyar en procesos de investigaci ón e scolar, conci bi en do el aula y el centro educati vo
como sistemas complejos y singulares. E n e st a t en dencia el profesor pretende el desarrollo
global de la persona, en el plano individual y socia l, así como una mejor comprensi ón del
mundo y una participaci ón activa, ética y solidaria en la gestión de los pro blemas s ocio-
ambientales ( Porlán & Riv ero, 19 98).
En lo que se refiere al aprendiz aje, el pr ofesor adopta una perspectiva cons tructivista, tanto en
el plano individu al como social, exig iendo del alu mno una actividad in tensa,
fundamental mente interna, mediante procesos reflexivos p ersonal es y gru pales, l o q ue
caracteriza a este model o de intervenci ón como particip at i vo y comunicativo, permitiendo la
evolución o transf ormación de las concepciones de los estudiantes. En esta tendencia juega un
papel impo r tante la idea de ‘ asimilación ’, es decir, el acceso d el individuo a la realidad
depende de las for mas en que las experimenta, por lo que las co ncepci ones de las persona s
condicionan lo que se aprende y cómo lo aprende (Tzurt et. al., 2001; Simon et. al., 2000) , lo
que estos autor es denomin an una ‘ perspectiva basada en las concep ciones’ .
a) Con respecto a la metodología , el profesor adopta una v isión sisté mica e
integradora del proceso metodológico, consideran do opciones de mayor co mplejidad q ue las
descritas anteriormente y dand o el protagonis mo de bido a las ideas de los alumnos y a su
implicación en sus proces os de aprendiz aje.
El eje de la estructura metodológica es la in vestigació n escolar de proble mas significativ os que
responden a los inter eses e ideas de sus alumnos, consideran do más de una posible secuencia
de actividades, com o ve rtebradoras de las acciones que surgen de los problemas de
investigación plantead os. Esto conlle va la crea ción de actividades que per mitan co nsegui r
ciertos objetivos y que faciliten su realización, a la vez que fomenta en sus alumnos la reflexión
sobre los efectos y modelos de la actividad llevada a cabo. Estas propue stas so n diversificada s
y abier tas, de acuerdo con las finalidad es, c on ac tividades que pueden requerir un alt o niv el
co gnitivo, distintas estrategi as de resoluci ón, cierto grado de incertidumbre o soluciones
múltiples, con diversos niveles de for mulación y de d istinto tipo y donde el profesor tien e en
cuenta los obstáculos a su perar. A su vez, las diferentes propuestas est án const ituidas por un
conjunto de acciones en las que los alumnos pon en en juego su capacidad de analiz ar,
conjeturar, relacionar , argumentar, comun icar y tomar decisiones, permitiend o la evolución de
sus significados pr evios.

Capít ulo 1: Marco Teó rico de l a Investiga ción

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Así, en el extremo más evoluci onado, “ aqu el que adopta un mayor nivel de complejidad y una visión
integradora y sistémica d el pr oceso metodológico (…) las estrategias se cen tran en la investigació n escolar de
problemas significativos para los alumnos y relacionados con su ento rno ” (Azcárate, 1999: 75).
La organizaci ón del aula es dinámica, con variadas formas de agrupami entos, diversidad de
recursos, distribución flexible de espacios y tiempos - dentro d e la rigidez que permite la
organización de los Centros de Secundaria -, con un cierto m argen de impro visación, como
adaptación a lo que ocurre en el aula en el momento preciso del proceso . El clima del aula que
el profesor crea favorece las interrelaciones profesor-alumno y entre iguales, como base de un
aprendizaje concebido c omo un pr oceso pers onal y social en el que la implicación ha de se r
fuerte. El profesor ofrece un clima de aprendizaje en el cual operen los estudiantes y
construyan conocimiento de las m atemática s escolares, por la interpretación subjetiva de las
actividades y la co nsiguien te reflexión sobre su trabajo. Por lo tanto, e l profeso r co nsidera la
distribución de los alu mnos como un o de los asp ectos im p ortantes de l a o rganiz ación del aula
y utiliza los agrupami entos más adecuad os según l os objetivos de aprendizaje qu e persiga. Por
una parte, el profes or aprovecha el p otencial de l trabajo de los estudiantes en pequ eños
grupos. Por otra parte, el trabajo individu al y en gran grupo es también de suma importancia y
cada uno cumple su papel en el proceso d e enseñan za aprendizaje (Rober t & Rogalski, 200 5).
Al optar el profesor por una metodología m ás integra dora, cambia sustancialmente su papel y
el de los estudiantes. En tanto que el profesor adopta una po stura constructivista de la
intervención educativa, fac ilita que el alumn o constru ya, modifique, diversifique y enriquezca
sus esquemas. Por ello, el pap el de éste no es activist a, sino reflexi vo y
“evoluciona ha cia la c apacidad de tomar decisiones. Es una participación n egociada, que ref leja tanto los
intereses del alumna do, como las intenciones didácticas del profeso r” (Azcárate, 1999: 76).
El aprendizaje se convi erte en un proceso personal, con una parti cipac ión activa e
intencionada en él, permitiendo una ev olución en la concepción del m undo del alumno. El
proceso de resoluci ón de los pr oblemas plan teados es acompañad o por el profesor mediant e
una escucha activa (o her menéutica) del pensa miento del alumno, dando atenci ón cuid adosa a
lo que los estudiantes dicen y hacen, tratand o d e c omprender sus posibl es fuent es e
implicaciones, mediante pr eguntas adecuad as .
Por último, refle xiona sobre lo que ha ocurrido, v aloran do e introduciendo los cambios que le
permitan mejorar su ense ñanza. El profesor que se aproxima a esta tendencia se acerca, al
mismo tiemp o, al perfil del ‘ p rofesor investigador en el contexto de la práctica’ , por su

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Estudi os de caso
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capacidad para reflexionar en la acció n. Las acciones de enseñanza son accione s singulares y
significativas, que dependen de las intenciones atri buidas a sus protago nistas y que pueden
aportar consciente mente a la construcción del conocimiento prác tico profesional (Schön,
1983).
c) La evaluac ión no se re duce a la compr obación de los resultad os del aprendi zaje del
alumno, sino que el pr ofesor considera que han de est ar pres entes to d os los aspecto s
implicados en el pr oceso de enseñanza y aprendiz aje -planificación, acti vidades, recurs os,
papel del profesor- así como la investig ación del grad o de ajuste entre las hipótesis
curriculares del profesor, el aprendizaje de los alumnos y la dinámica del au la. La finalidad de
la ev aluaci ón es conocer para mejorar y para ello util iza diversidad de té cnicas que le ofrecen
información d escripti va del desarrollo d el proces o.
Resumiendo, hemos el aborado un a pr opuesta g enérica, como hip ótesi s de progresión de l
co nocimiento profesional y una posible evoluci ón del mismo hasta el que consideramos
deseable, siguiendo a Azcárate (199 6) y a Rivero (2003). Pero ésta no puede ser considerada
como algo terminal a cons eguir por t odos los prof esores, cerrada y acabada, sino que nuestr o
marco teórico nos permi te la progresiv a reelaboración de esta pr opuesta e integrar los
diferentes estudi os parcial es que vayam os realizando .
Dentro de esta hipótesis, consideramo s que nuestros profesor es novel es estarán más cer ca de
la te ndencia tradicional, al tratarse de un momento inicial de la labor docente y ad mitir que
sus principales ref erentes anteriores, es decir, sus propios profesores, han sid o
frecuentem ente de est a tend encia. Esto no signific a que creamos que se identificarán con
todos los aspectos metod ológicos y de evaluación qu e hemos señalado en e ll a, porque nadie
reproduce exactament e nin gún m odelo teórico, sino que s e ap roxi marán a los principales
rasgos allí descri tos. Ade más, el hecho de participar por segundo año consecutivo en un Curso
de Formación m u y implicativo, nos induce a suponer la aparici ón de ciertos rasgos
metodológic os innovad ores.
1. 1. 2. 3. 4 S íntesis de la p ropu esta
Sintetizamos lo anteriormen te expues to en el siguien te cuadro, inspirad o librement e
en el qu e García Pérez (2000) recoge, a partir de diversas fuentes, los rasgos b ásicos que
caracterizan distint as tendencias didácticas en el desarrollo profesi onal. También hemos

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2002) considerando esto m enos important e qu e intentar entender la naturaleza del
pensamiento d el profes or (Wilson & C ooney, 200 2).
Llama especialmente la ate nción la cantidad de clasifi caciones encontradas en los informes de
las investigaciones. Más allá de las categorías de nivel superior, ha y casi tantos co njunto s de
categorías c omo investigad ores.
Aunque el debate continúa, las definiciones que aparecen con más frecu encia en las
investigaciones están enfocadas prin cipalmente en c ómo l os profesores ven la naturaleza d e
las m atemá ticas, su enseñanza y su aprendizaje, aspectos que en nuestr o estud io aglu tinamos
en el tér mino concepcion es. En este c ontext o, asumi mos:
Las concepci ones se definen como creencias, ideologí as p ersona les, visión de l mundo y
valores que dan forma a l a práctica y orientan el conocimie nto (Thompson, 1984, 1 985, 1992).
Las conc epciones son, en ese ncia, factores que dan fo rma a las decisiones de los profesores
sobre qué conocimient o es relevante, qué rutinas de enseñanza son apropiadas, qué objetivos
deben lograrse y cuáles son las caracterís ticas importantes en el cont exto de la clase.
Claramente, y a pesar de lo dicho, l o que el profesor ‘ cree ’ y lo que ‘ hace ’ pued e no c oincidir.
Hay diferentes elementos de nuestra identidad que pueden estar en conflic to o en armonía y
que pueden ca mbiar con el tiempo.
Nos parece un asunto crucial el de cambiar los pun tos de vista de la enseñanza y el aprendizaje
desde una orientación transmisi va a otra co ns tructivis ta (Duir & Treagust, 2003). No obstante,
una concepción constructivista de la enseñanza, no garantiza necesariament e
comportami entos de ense ñanza orientad os de forma constructivi sta. En otras p alabras,
“puede haber un vacío en tre la mirad a co nstructivista d e los p rofesores (su teoría subjetiva) y las acciones. Es
necesario cambiar la mirada y las acciones de los profeso res ” ( Duir & Treagust, 2003: 682 ).
Para comprend er esta dicotomía hay que mirar más allá de las co ncepciones y la práctica a los
mecanismos constitutivos d e la lógica de la práctica en orden a buscar s olucione s al conflicto.
También considera mos muy importan te cambiar el fo co desde cognici ones y concepcion es
individuales a contextos socio-culturales en los q ue la enseñanza y el apren dizaje so n co -
construidas p or los participantes (Gellert, 2001; Barwell, 2 003). Se trata de poner el foco de
atención en la naturaleza situada de la investigación de la enseñanza y las implicaciones de
esta perspec tiva para el examen de las concepciones (Ernest, 1991; Hoyles, 1992 ; Llinares,

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2002a; Speer, 2005). Una investigaci ón co gniti va se centra fuer temente en el individuo,
mientras que una perspe ctiva situada se focaliza fuertemente en el contexto so cial. No
obstante, ambas podrían mejorarse mediante un a c onsideración más eclé ctica del individu o,
formado y participant e en un co ntexto social. Podemos considerar la negociación de
significados implican do no solo la ‘ pa rticipaci ón ’ sino t ambién la ‘ ree structur ación ’ , d onde
‘ damos forma a nuest ras experien cias’ con las que entonces “ c reamos p untos foca lizados
alrededor de los cuales se convierte en organizada la negociación de significados ” (Weng er,
1998: 58). Algunas contr ibuciones recientes se f ocaliz an en las concepciones como un
constructo que se manifiesta en el context o complejo de las interacciones en el aula (Skott,
2001), mientras que otras conte mplan ‘ sistemas de va lores’ ,
“donde ‘valores’ significan no solamente estructuras más profundas que cr eencias, sino que son más estables y
coherentes ” (Chapman, 2002, citado en Gates , 2006: 351).
Vemos, pues, que los profesores entran en la comunidad con ideas o disposiciones
reestructurad as y necesit an negociar con ellas dentro de la comunidad. Lo que alguno s
investigad ores llaman ‘ comunid ades de práctic a ’ (W enger, 1998; L ave & Wenger 1991), otros
llaman ‘ campos sociales ’ ( Bourdieu & Wacquant, 1992) , con focos sutilmente diferentes, pero
que no obstant e,
“ ambos indican la importancia de la pa rticipación e in culcación de un individuo en una soci edad preexistente y
estructurada ” (Gates , 2006: 351).
A co ntinuaci ón analizamos las concepci ones de lo s pr ofesores de matemáticas en los aspe ctos
más relaci onados co n nuestro est udio, es decir, concede mos a las concepciones de los
profesores acerca de la naturaleza de las matemátic as, su enseñanza y aprendiz aje un fuerte
papel explicativo, lo cual est á avalado po r la existencia de abundan tes investigaciones en
torno a las m is mas, dado el fracaso en el e studio de otros fact ores que se co nsiderab an
relevantes para explicar la naturaleza de la inst rucci ón de los profes ores (Begle, 1979 ; Ball et
al., 2001 ; Leder et al., 2002).
1. 1. 3. 1. 1 Perspectivas de an álisis de las concepcio nes sobre la naturaleza de las
matemáticas
En torno a la naturaleza de las matemáticas, podría mos apropiarnos de esquema s
categorizad ores desd e la filosofía de las matemátic as, es decir, proponer diferen tes pun tos de
vista en torno a las m ismas: un planteamiento de resolución de problem as, una visión
platónica o instru mentalist a. El primero de ell os, que compartimos, considera las m a temáticas

Capít ulo 1: Marco Teó rico de l a Investiga ción

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como un campo de la investigación humana que se expande continuament e, mientras que ,
desde el punt o de v ista de los platónicos, las matemáticas s on un cuerpo unifi cado y estátic o
de con ocimientos, q ue se descu bre, n o se crea. En cambi o, los in strument alistas, ven las
matemáticas co mo una colección de hechos útiles, no relacionad os, reglas y habilidades
(Ernest, 198 9).
Si adoptamos una categori zación derivada de dif erent es puntos de vista s obre la naturalez a del
conocimiento m a temático, desde una perspectiva epistemológica, podemos, por ejempl o,
clasificar las concepciones en dos categorías: una visión ‘ absoluti sta ’ y otra ‘ falible ’ de las
matemáticas (Lerman, 1990). Una v isi ón absolutista conlleva concepciones de las matemática s
como una entidad cierta y abstracta, visión que comparten los plat ónicos y lo s
instrumentali stas. Por el contrario, una visión falibl e im plica que las matemá ticas son una
actividad y un pro ceso de r esolución de pr oble mas, donde la verdad n o es abs oluta.
Si nos pregunta mos qué es ‘ hacer matem á ticas ’ y ‘ p ensar matemáticamente ’ ( Hennin gsen &
Stein, 1 997), también las respuestas a estas cuestion es d ependen del pun to de vista qu e
adoptemos sobre la natura leza de las matemáticas, como en l os casos anteri ores. La visió n de
las m a temáticas en la que nos po sici onamos está basada en una concepción dinámica e
indagatoria hacia est a materia (Romberg, 1994), percibida como “ un campo dinámico y en
continua expansión de c reación e invención humana” (Ernest, 1989: 251). Es decir, “ un proceso
de cuestionamiento y ava nce p ara conocer, donde sus resultados permanecen ab iertos para ser
revisados, no un producto acabado ” (p. 2 50). Esto requiere que los que hacen y usan las
matemáticas se centren en procesos activos y g enerativ os (Sch oen feld, 1992), en lugar de v er
las matemáticas como un sistema estático y estructurado de hechos, procedimientos y
conceptos. Tales procesos matemátic os activos c onllevan el uso sistemá tico de herramientas
matemáticas para ex pl orar patrones, problema s -marco y justifica r procesos de razonamient o
(Burton, 198 4; Romberg, 1992; Sch oenfeld, 199 2, 1994).
En relación con las tendenc ias didácticas caract erizadas en el Apartado 1. 1. 2 . 3, considera mos
que una visión platónica y ab solutista de las m atemática s parece m ás coherente co n una
enseñanza tradicional y con las tendencias inter medias, aunque no sie mpre el profesor es
consciente de ello; una v isión instrumentalista se corresponde también c on la enseñanza
tradicional y, en parte, con la tendencia tecnológica; mi entra s que la resolución de problemas,
el hacer matemáticas y p ensar matemáticam ente, está n más conectad os con la tendencia
investigad ora, que también compart e una visión falib le de las matemáti cas .

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Estudi os de caso
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Re sumiend o, las tendencias didácticas citadas so n cohere ntes, cada una de ellas, con una
visión determinada sobre la naturaleza de las m atem áticas, aunque los profesores suelen no
ser conscient es de ell o.
1. 1. 3. 1. 2 Perspectivas de análisis de las concepcio nes en torno a la enseñanza y
al aprend izaje
El análisis de la práctica de l profesor de matemáticas ex ige hac er ex plícit o el modelo
de aprendizaje que subyace en ésta ( Gavilán Izquierdo, García Blanco & L lina res, 200 7), así
como de su enseñanza. Aparecen distintos est il os de enseñanza según quién o qué
protagoniza del proceso de enseñanza-aprendiz aje, algunos de los cuales presentam os a
continuación, adap tados d e Kuhs & Ball (1 986):
 El primero, ‘ centrad o en el aprendiz ’ , es decir, en las co nstruccione s personales del
conocimiento m atemá tico por parte de lo s alumnos, m ediante la implica ción activa en
hacer matemáticas. El papel del profesor es de facilit ador del aprendizaje de lo s alumnos.
Estaría relacionad o con una visión falible de las matemática s, de resoluci ón de proble mas,
cercana a la t endencia inve stigadora.
 El segundo, ‘ cen trado en el contenido ’ , que r efleja a s u vez dos for mas similares
 Una cuand o el énfasis está situad o en la comprensi ón conceptua l, focalizad o
en las relaci ones lógicas entre las ideas ma temáticas . Estaría relacionado con una visió n
absolutista y pla tónica de l as matemática s, cercana a la tendencia tradici onal.
 Otra, similar a la anteri or, pero el énfasis está más centrado en los resultad os,
focalizándos e en las reglas y en el domini o de los procedimient os. Estarí a también
relacionado con una visió n instrumentali sta de las matemáticas, cercana también a la
tendencia trad icional y, en parte, a la te cnológica.
 El tercer o, ‘ centra do en el aula’ que enfatiza la acti vid ad de la clase en d os sentidos
 Uno al c onsiderar el aul a eficient emente organiz ada, donde el profesor
presenta claramente la materia y los alu mnos practican individualm ente. Estarí a
relacionad o con la tendenc ia tecnológica y la tradicion al.
 Otro al considerarla como el espacio do nd e el profesor presenta la s
actividades, no m uy organiz adas y los alumnos practican fundamentalmente e n grup os .
Estaría relacionad o con la t endencia esp ontaneísta.

Capít ulo 1: Marco Teó rico de l a Investiga ción

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Identificándonos con el pr imer punt o de vista de l os auto r es citados, po de mos plantear la s
concepciones educa tivas de los prof esores com o un continu o, en uno de cuyos ex tremos
estaría una v isi ón de la enseñan za centrada en el alu mno y en el otro una v isi ón centrada en el
profesor. Pero si el aprendi zaje depende del con ocimiento e xistente que se ha construid o en el
contexto de experi encias previas y, por lo tanto, l os individuos tienen la pr obabilid ad de
construir conocimi entos diferentes en respues ta a una experiencia dad a (von Glasersfeld ,
1990 ; Perr y, et al., 1999), una concepción transmisiv a de la enseñanza dificulta enormem ente
el desarro ll o de construcciones útiles para dar sentido al más am pli o ran go posible de
experiencias.

1. 1. 3. 2 EL ES TUDIO DE LA PRÁCTI CA PROFES IONAL
La preocupación po r las relaciones entre la investig ación y la práctica, por hacer la prime ra
cada vez más útil y conec tada co n la segund a, ha producido una proliferaci ón enorm e de
estudios que tratan de explicar lo s proc esos de enseñanza y aprendizaje qu e realmente
ocurren en el aula, desde muy distintos m arc os t eóric os. Ést os podría n agruparse en dos
amplias per spectivas : ‘ cognitiva y antropológ ica’ , o b ien, ‘ cognitiva y situada ’ com o la califican
Schoenfeld y su equipo (19 98a).
El biólogo y teórico del currículo Joseph Schwab (197 4), ya identific ó dos perspectiva s
necesarias, desde su punt o de vista, para crear un puente entre teoría y práctica. Y, como nos
indican Even & Ball (2003: 141-2), estas p erspectivas no se pueden r educir a r eglas generale s:
“Llamó a una ‘el a rte de la práctica’ y a la segunda ‘el ar t e de lo eclé c tico’ y las describía como la
quintaesencia del método pa ra crear un puente entre teoría y p ráctica q ue coloque lo s problemas de la
práctica en el centro (Schwab, 1974). Él creía que ninguna teoría p odía explicar completamente las
particularidades y el dina mism o de la práctica. Las ‘ artes de la práctica’ organizan la práctica en formas que la
teoría n o pued e, representando la s grietas de lo concreto en situaciones específicas. Las ‘ artes d e lo ecléctico’
permiten tener una perspectiv a para la teoría cu yo foco es la pr áctica, lo que la ha ce rel evante y útil para
entender e implicarse en la práctica. Con estas ‘ artes’ los escolares y los profesores usan la teoría al servicio de
la p ráctica y haciéndolo mejoran ambas, teoría y p ráctica. Las le ntes que proporciona la teoría permiten un a
visión de l a prá ctica que ayuda a ‘ver’ y da un marco a sus problemas. Complementariamente, la conversión
de las teorías en perspectivas, c uestiones y formas de a ctuar permite el d etalle de la p ráctica p ar a formar el
significado y uso de abstra ccion es generales. Mej orar l a enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, de
estudiantes p articulares, en un amplio rango de escenario s ed ucati vos, es un p roblema nuclear d e la p ráctica.
Éste es el corazón del problema, hacia el cuál contribuyen todos lo s otros problemas imp ortantes” .

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En la práctica, podemos concebir las actuaci ones de los pr ofesores como un sistema complejo,
con deter minantes individ uales, sociales e institucionales, con fuertes vínculos que se
establecen entre su s prácticas y la adquisici ón de conocimi ento de los estudia ntes, entre lo
que determina las actividades de los profe sores y la s de los estudiantes (Robert & Rogalski ,
2005). Necesita mos conocer trabajos diversos que analicen lo que realm ente hacen lo s
profesores cuando se enfrentan a las diversas situaciones que se produce n en el aula
(Escudero Pérez, 2003). Por todo ello , presentamos algunos enfoques desde los que estos
trabajos se han ll evado a c abo, para si tuar nuestro pr opio análisis.
1. 1. 3. 2. 1 Perspectivas teóricas para el análi sis de la práctica del p rofesor
De las m últipl es perspectivas existente s en el análisis actual de la práctica, en el
ámbito de la educación matemática, pode mos difere nciar dos que son las que co nsidera mos
que las clasifi can con mayor clar id a d, aunque los inve stigadores n o siempre se sitúa n
totalmente en una de ellas, ni existe una única forma de concebirlas. N os referi mos a la s
perspectivas co gniti va y antropo l ógica que , siguiendo a Gavilán Izquierdo (2005) , presentamos
a continuación.
a) La perspect iva cogn itiva
Desde la década de los ochenta, la ciencia cognitiva ha aportad o nue vas ideas sobre l a
enseñanza y el aprendizaj e. Los investigad ores miraron más allá del comporta miento de los
profesores para estudiar sus cognici ones (Shulman, 1986 ; Ernes t, 1988; B orko & Putnam, 1996;
Calderhead, 1996; Ra ymond, 1997). Es más, sugi ri er on la importancia de la reflexión de l os
profesores como un medio para la mejora de su propia práctica ( Sch ön, 1983 ; Kemmis, 1985 ;
Jaworski, 1994 ). Cooney & Shealy (1997) indicar on que se había producid o un cambio y se
ha bía desplazado el énfasi s de los proye ctos de investigación desde las exper iencias de los
profesores a su c ognición y prácticas de instruc ción.
Esta perspe ctiva parte de la psicología co gniti va y pr etende identificar el c on oc imiento en el
que se basa una ens eñanza efec tiva y lo s procesos cognitiv os (Llinares & Sánc hez, 1 990). En
principio, estas inve stigaciones se basan en la dicotomía expert o-novel. Esto s estudios
consideran com o experto a un profesor cuyos es tudiantes consiguen buenos resultados a l o
largo de varios años de labor docente, mientras que por novel suelen referirs e a un estudiante
para profesor. Interesa co nocer qué hacen los exp ertos para que los alumnos tengan éxito en
su aprendiz aje .

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 La enseña nza como ‘ estr at egia cogn itiva’
La ma yoría de las investigaciones de esta persp ectiva, tienen la preocupación por profundizar
en la relaci ón entr e el conoci miento del pr ofesor del contenido a enseñar y las característica s
de la enseñan za ( Leinhard t & Smith, 1985; Lein hardt & Greeno, 1986). Esto s autores
consideran una doble dim ensión que caracteriza la relación prof esor, alumn o, contenido: la
relativa a la ‘ arquitectu ra relaciona l’ y la relativa al ‘ co nocimiento de la materia ’ que se enseña.
“ Estos au tores, basándose en que la enseñanza es u no d e los pr oceso s cogn itiv os más complejos e
interesantes en los que se c omprometen los seres humanos, consideran que las d estrezas d el profesor
desarrolladas en un a enseñanza efectiva se apoyan en d os sist emas fu ndamentales de conoci miento: la
estructura de la lección y la materia específica” (Escudero Pérez, 2003: 26).
Por una part e, la estructu ra de la lección es el co nocimient o nec esario para co ns truirla y
desarrollarla y se apoya en el co nocimi ento de las matemáticas. Por otra, el conocimient o de
los profesores se compone de conjunt os de accion es in terrelacionados, que se organizan en
‘ esquemas de activida d’ , que se aplican de manera flexible y tienen distintos ni veles de
generalidad . Un ejemplo de ‘ esquema de activid ad ’ es la noci ón de ‘ rutina ’ , de l a que ya hemos
hablado (Apartado 1. 1. 2. 2. 3 ), como aquellas actividad es que los profesor es hacen con
frecuencia y le requ ieren bajo nivel cognitiv o y l e permiten centrars e en otras d e mayor
importancia. Las estructur as de la actividad son parte de la le cción que tiene n un objetiv o
claro, son ‘ segmentos de lección’ , tales como presentar la lección ( el con tenido), guiar la
práctica, etc., y que pue den caracterizar la práctica del profesor desde su observación
(Leinhardt & Greeno, 1986). Estos autores introducen también el constructo ‘ ag enda ’ como un
plan operativo que ayuda en el desarrollo de la lección, que incluye la planificación tradicional ,
estructuras de actividad y ru tinas operativas , elem entos para la toma de decision es qu e
permite adaptar la agend a a las cam biantes si tuaciones del aula. A partir de estas ideas
teóricas proponen ‘ redes de planificaci ón ’ para u n co njunto de segment os de actividad,
tratando de analizar la en señanza de los profesor es expertos para co ntrastarl a con la de los
profesores noveles, carac terizando ambas e identi ficando algunos aspectos que pueden
ayudar a los noveles: automatizar rutinas, uso de patrones de c omportam iento en los
segmentos, e tc.
 Teoría de la ‘ enseñanza en contexto ’
A finales de los noventa Schoenfeld y su equipo (1998 a, b) realizaron investigaciones similare s
a las que acabamos de describir, usando el término ‘ imagen de la lección ’ co n un significado

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Estudi os de caso
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próximo al de ‘ agenda ’. También utilizan para el análisis los segment os de instrucción ,
‘ secuencias de ac ciones’ si milares a l os ya descrito s.
Tratan de explicar las co nd uctas y decisiones de los pr ofesores, desarrollando un a ‘ teoría de la
enseñanza en contexto’ usando estrategias de modelizaci ón cognitiva y elaborand o una
estructura descriptiva ana lítica. Su s prin cipales componentes s on: objeti vos, concepciones ,
conocimiento , imagen de la lección y planes de acción del profeso r, en los que ha de apoyarse
a la hora de t omar decision es.
Estos investigad ores distinguen entre conocimi ento y con cepciones, entr e concepci ones
declaradas y atribu idas, mientras que no ha y una relación clara entre acciones y objetivos.
Schoenfeld y sus colab oradores continuaron desarrolland o el modelo en sucesivos estudios
(Schoenfeld et. al., 2000; Schoenfeld , 200 2 ), todos ellos centrad os en el pr ofesor y el aula .
 La teoría cognitiva para ‘ l a reflexión y el desarroll o profesi onal’
Las autoras Ar tzt & Ar mour-Thomas (19 99) desarr ollan un modelo para examinar la práctica
docente de profesores de matemáticas de Educaci ón Secundaria, unos con experiencia y otros
noveles, en relaci ón con sus cogniciones subya centes. Los dato s del estud io fueron obtenidos
mediante o bservaci ones, la planificación de las lecciones, grabaci ones de audio de entrevista s
estructuradas y de vídeo, du rante un semestre. Ambas autoras desarrollan un marco teóric o
que permite el exam en sistem á tico de la práctica docente en matemáticas usando
dimensiones de las leccion es -tareas, cli ma de aprendiz aje y discurso - tal como se articulan en
los Professi onal Standards for Teaching Ma thematics ( NCTM, 1991a).
Estas dim ensiones se estu dian a lo largo de tres fases: de iniciaci ón, desarr ollo y clausura,
adaptadas del Connectic ut Competency Instrumen t (Armour-Thomas & Szczesiu l, 1989;
Beginning Educator Suppor t & Training Progra m, 1989). P ara comprende r mejor el papel de las
cogniciones en las prácticas, estas autoras examinan el conocimi ento, creencias y objetiv os de
los profesores a lo largo de tres et apas de enseñanz a: pre-activa, de planificación, inter-activa,
monitorizaci ón y regulaci ón, y post-activa , de revisi ón y evaluaci ón.
El valor del modelo desc ansa en su utilidad como guía para habilitar a los profesores a
reflexionar sobre su propi a práctica y sus cogn iciones subyacentes de f orma estructurada y
comprensiva. La enseñanza se co nsidera un ‘ todo in tegrado ’ para el análisis de la práctica en el
que las co gnici ones juegan un papel fundamenta l. Suministrando a los profesores est a

Capít ulo 1: Marco Teó rico de l a Investiga ción

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herramienta, también puede contribuir a su desarrollo profesi onal, incorporand o los
resultados a la for mación de profesores (Artzt, 1999; Artzt & Armour-Thomas, 1999). Esta
teoría sigu e la mis ma línea co gnitiva de Sch oenfeld (1998, a, b) y su equipo, consid erando lo s
términos con ocimient o, concepcione s y cogniciones, con un significa do similar al de ellos.
Aunque las autoras describ en un mo delo centrad o en los estudiantes , sus esquem a s de
observaci ón son útiles para describir un espectro de model os, desde los m u y fuertement e
centrados en los alumnos hasta los centrados en el profesor (Artzt & Armour-Tho mas, 2002).
Explican y aportan numerosos detalles para observa r aspectos co ncr etos de la práctica (por
ejemplo, la naturaleza del contenido, la naturaleza del discurso, los deberes para casa) y dan
pistas de cómo usar su marco teóric o pa ra analizar la propia práctica y hacer informes para un
portfolio. Este trabajo form a parte de los ante cedente s de nuestro estudio.
 Teoría so bre ‘ perspectivas y desarrollo profesional’
Para Simon y sus co labora dores (2000) entender las perspecti vas que los profesores poseen,
mientras luchan por participar efectivamente en la refo rma de la educación matemática en
EEUU (NCTM, 1991), pued e contribuir a los esfuerz os de lo s educadores mat emáticos para
trabajar más efectiva mente c on profes ores en transición. E st os au tores e ntienden po r
‘ perspectiva s ’ sistemas que construyen significadoy po r ‘ profesores en transici ón’ profesores
cuyas prácticas están ca mbian do como r esultad o de participar en la actual r eforma de l a
enseñanza (Simo n et. al., 2000). Sus estudios t ratan de aportar luz en esta dirección, tratando
de caracterizar y compren der los ca mbios en el desarrollo de los profesor es en transición,
cuando llevan a cabo prá cticas de enseñanza más coherentes c on los princip ios actuales de la
reforma. El trabaj o va más allá de estudiar algu nos aspectos del co noci miento y la práctica de
los profes ores, pues trat a de comprend er la coherencia general de las prácticas de los
profesores incluyend o las concepciones que subyacen y c onducen estas prácticas . Ellos
entienden p or ‘ práctica ’ no so la mente lo que los profesores hacen, sino lo que piensan so br e
lo que hacen y sus motiva ciones para las accione s que toman.
Estos investigador es han expresado el desarroll o profesional m ediant e tres perspectiv as ( que
hemos relacionado con las tendencias didácticas en el Apartado 1 . 1. 2. 3 ), consideradas desde
su propia visión como educadores: la tradicional, la basada en las percepciones y la basada en
las concepci ones, esta últi ma considerad a com o met a deseable del ca mbio del p rofesor.

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Estudi os de caso
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Para estos autores una ‘ perspectiva b asada en las percepciones ’ se ap oya en una v isión
platónica d e las mate máticas, como una parte d e la r ealidad ontol ógica, lógica, intercon ectada
y universalment e accesible. Desde esta perspectiva aprender y comprender las matemáticas
requiere la percepción directa (de primera m an o) de relacio n es mate máticas relevantes. E s
decir:
 Respecto de las matemática s : es un cuerp o de conocimientos inter conec tado y
comprensible, que existe independ ientemente de la actividad hu mana y, por lo tanto, es
accesible ‘ co mo es ’ a tod os los aprend ices .
 Respecto del aprendiz aje: Conocer y comprender las matemáticas implica exper iencias
de primera mano para per cibir ‘ descubrir ’ las matemáticas, que son igualm ente percibidas
por todos los individuos. L as diferencias individuales se deben a qué aspectos de la s
matemáticas han sido p ercibid os en un moment o dado (Si mon et. al., 2 000).
Una ‘ perspecti va basada en las concepci ones’ es un co njunto d e enfoque s que tienen en
común las siguient es asunc iones:
 Las matemáticas son cread as por la actividad humana. Las personas no tienen acceso a
unas matemáticas indepen dientes de sus modos d e conocer.
 Lo que las personas ven, comprend en y aprend en está co ndici onado y basad o en lo
que conocen en la a ctualid ad (concepcion es actuales) .
 El aprendizaje de las mat emáticas es un proceso d e transformación de lo que uno
conoce y las formas de actuar. Por el términ o ‘ tr an sformación ’ quer emos indicar que el
aprendizaje implica una modificaci ón de las id eas existentes, no la acumulación de ideas
adicionales (Sim on et. al., 2000).
Como elementos teóricos introducen l os términos ‘ trayecto ria hipotética de aprendizaje’,
‘ciclo de enseñanza’ e ‘informes de práctica’. Teniendo en cuenta que el aprendiz aje potencial
es lo que lo s alu mnos pueden consegu ir al hacer las tareas propuestas por el profesor, la
noción de ‘ tray ectoria hip otética de aprendiza je’ de los estudiantes es una hipótesis de l
recorrido del aprendizaje que puede obtener el alumno (Simon, 1 995). Para este invest igad or
dichas trayect orias tienen tres parte s: los objeti vos del profesor para un posible avance en las
formas de cono cer el contenid o correspondiente, p or parte de l os estudiantes; las actividade s
que pueden crear oportunid ades para que dicho avance se pro duzca, e hipótesis sobre los
procesos que pueden ocurri r para dicho aprendizaje (Tzur et. al., 2001). Mientras que el
objetivo de aprendizaje aporta una dirección para lo s otros componentes, la selecci ón de las
actividades de aprendizaj e y la hipótesis sobre el proces o son interdep endientes: las

Capít ulo 1: Marco Teó rico de l a Investiga ción

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conocimiento es, de hec ho, un conjunto d e concepciones sustentadoras de un a práctica
exitosa en las clases de matemáticas. S e trata de uno de los pocos estudios que han
identificado concepci ones específicas d e profesores de matemáticas de secun daria que so n
relevantes para la práctica :
 “ Todos los est udian tes tienen el derecho de acceder a un amplio currículo de matemáticas.
 Todos los estudian tes deberían desarrollar sus pensamientos y razonamientos en y a tra vés de las
matemáticas.
 La s matemáticas pueden ser una fuente de autoestima.
 Los estudiantes tienen que converti rse en aprendices matemáticos.
 Los adolescentes tienen que desar rollar la habilidad de ejercitar der echos y responsabilida des de
ciudadanía a través de las matemáticas.
 L os profesores tienen que tener en cuenta la realida d” (Watson & De Geest, 2005: 225).
El reconoci miento de que las c oncepciones existen como partes d e un sistema de
concepciones o sistema de ideas , como lo podem os también denominar, más que como
entidades aisladas (Green, 1971) también ha sido útil para desvelar las complej as conexiones
entre co ncepci ones y comporta miento. Cuanto más fuertemente se poseen las concepcione s,
mayor númer o de conexi ones existen entre ellas y con otras co nc epciones ce ntrales y más
difíciles s on los cambios .
En o tros muchos casos se han detectado incoherencias entre c oncepciones y prácticas . Por
ejemplo, Thompson (1 984) y Cohen & Manion (1990) presentar on análisis de casos qu e
mostraban claras diferencias entre lo que los profesores manifestaban y su práctica. No
obstante, no puede asegurarse que, en todos los casos, estas contradiccion es sean reales
(Speer, 2005). Es posible que los pr ofesores puedan tener concepciones y s e compo r ten de
modo incoherentes en sus prácticas. P ero hay otras po tencial es explicacion es para estos
descubrimien tos ligados a métodos y diseños de in vestigacione s que requieren consideración.
Por eje mplo, hemo s de tener en cuenta las diferencias entre concepcion es ‘ declarad as ’ por los
profesores y ‘ atribuida s ’ por los investigad ores , lo que provoca que las incohe re ncias
detectadas por éstos pueden proceder, en algunos c asos, de los propi os profes ores, es decir ,
de las contradic ciones entre sus co ncepcion es y sus prácticas, entre lo que pie nsan y lo q u e
hacen y, en o tros casos, de los instrumentos de investigación usados, qu e han de ser
triangulad os con el fin de conciliar amb os tipo s de concepci ones y de detec tar las verdaderas
incoherencias, si existen.

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Estudi os de caso
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La naturaleza contextual de las concepci ones (Hoyles, 1992) es de una impor tancia clave para
resolver conflict os aparentes entre las c oncepciones de los profes ores y las prácticas . Beswi ck
(2003) exa mina un número de estudios que m ue stra n tales inco h erencias e ilumina relacion es
mal construidas entre aspectos de l co n texto en los qu e los pr ofesores aporta n datos s obre sus
concepciones y los contextos en que ha n sido observadas o descritas sus prácticas, lo que
conduce a lo que el autor considera conflict os apar entes. Por ejempl o, si un profes or declara
que hacer parti cipar a los estudiantes en las tareas y en la práctica el investigad or o bserva que
sólo el profesor decide la secuenci a de actividades, puede que haya incoher encia entre el
contenido declarativo y la acción, p ero tam bi én puede suceder que por ‘ p artici paci ón del
alumno ’ el profesor entienda una co sa y el investig ador o tra, por lo que hay q ue consensua r
entre amb os estos términ os antes de c oncluir si ha y incoher encias o n o.
P on ga mos ahora el ejemplo de las demostraci ones para comprend er que las concepcione s de
los profesores pueden variar enormemente de la teo ría a la práctica, sin que haya
incoherencias por ello: a unque ex iste un amplio co nsens o entre l os mie mbros de las
comunidades matemáticas del papel que juegan las demostraciones en la ens eñanza de las
matemáticas (Davis & Hers h, 1980; Hanna, 19 96 ; García & Llinar es, 20 01; Harel, 200 8 ; Alcock &
Inglis, 2009), n o exist e consenso cuand o se refiere a cómo ll evar a cabo dicha en señanza en las
matemáticas escolares. Si se expl ora un poco este asunto, la revisión de la literatur a
relacionada con el tema muestra que los matemáti cos, los profes ores de matemáticas y los
educadores ma temáticos, tienen diferente s perspectiv as sobre el lugar que las demostraci one s
y el rigor han de ocupar en las mate máticas escolares.
De hecho, podem os imaginarnos un espect r o en el que una demostración rigur osa está en un
extremo, pruebas visuales están en el otro y entre am bos hay diferente s clases d e argumentos ,
razonamiento s, justificaciones, verificaci ones y explic aciones (Aza d & Gooya, 2006). Esto está
en línea con las concepcio nes de muchos educadores matemático s de que las demostracione s
pueden y deben jugar un pap el diferente en las matemáticas es colares, incluyendo la
verificación de que una afirmación es cierta, la ex plicación de por qué lo es, la comunicación
del conocimient o mate mático, el descubri miento o creación de nue vas ma temáticas y la
sistematizaci ón de una afirmación en un sistema axio mátic o (Hanna, 1983, 1990, 2 000;
Schoenfeld, 1994; NCTM, 1989, 1 991b, 2000; Dreyfus, 1 999; Knuth, 2002; Web er, 20 03). Así
mismo, la exigencia de cambios en la enseñanza de las matemáticas s e interpreta como l a
necesidad de incluir intent os de hacer las experien cias de aprendizaje más cooperativas , más

Capít ulo 1: Marco Teó rico de l a Investiga ción

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conceptuales e intercon ectadas, lo que requiere que los estudian tes expresen sus
razonamiento s.
Vemos, pues, que a pesar de la abundancia de investigacione s realizadas en torno a las
concepciones de los profesores, las relaci ones entr e éstas y las prácticas de los m ismos siguen
siendo un complejo y confuso campo de estudio. Lo que es más, so n muchos los casos en que
los profes ores no ven sus concepciones de las matemáticas como un determinan te crucial d e
sus prácticas de ens eñanza:
“En su lugar , ven factores pertenecientes al contexto so cio/institucional de su enseñanza como un a de las
razones pr i ncipales de lo que ocurr e en sus aulas y de las dificultades para introducir cambios en sus p rácticas’’
(Krainer, 2007: 76).
Agudelo-Vald errama (2006) se pronuncia de forma similar , señalando que los profesor es
identifican factores conte xtuales -por ejemplo, escasez de recursos, exámenes estandari zados
(en nuestro caso la selectividad) o el comportamiento de los estudiantes , su bajo ni vel
cognitivo y su falta de mo tivación- para explicar inc oherencias entr e sus creenc ias declaradas
y sus prácticas reales. Solamente uno de los profesores de dicho estudio cree que sus
conocimiento s y disposicio nes son cruciales determin antes de la ens eñanza qu e aplica.
Nuestra propia investigació n no entra en este terreno, aunque nos inclinamos a pensar que los
aspectos conte xtuales son de gran im p ortancia en el desarroll o profesional del profesor. No se
trata de responsabilizar a factor es externos todas la s influ encias que incid en en la práctica del
profesor, pero formarse y trabajar aisladamente, desarrollarse fuera de comunid ades de
práctica fuertes y nutrientes, no puede favorecer lo s cambios deseabl es en la práctica del
profesor, ni menos aún d e los profes ores novele s.
Para favorecer conexi ones adecuadas entre las concep ciones de lo s profes ores y sus prácticas,
veamos cómo conciben las ‘ buenas prácticas ’ los pro fesores y las comunidad es de práctica y
cómo se pueden caracter izar. To dos tenemos nuestra noción sobre ‘ buena s prácticas ’ de
enseñanza y to d os pode mos dar ejemplos de lo que no conside ra mos así. Esta verdad n o
pertenece solo a los educadores e investigad ores, sino tam bi én a lo s estudian tes, padres,
profesores de otras materi as, jefes de estudio o admi nistración. Lo s puntos de vista en torn o a
las buenas prácticas difier en : algu nos s on explícitos , pero la mayoría permane cen i mplícitos.
Sin embargo, nuestra noción de ‘ buenas prácticas ’ es importante porque tiene una fuerte
influencia en nu estras deci siones para diseñar e inves tigar la prácti ca.

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“¿Qué papel puede jugar la investigación para centrarse en la cuesti ón de ‘buenas pr ácticas’? ¿Qué relació n
debemos conseguir entre investigación y normas?” (Krainer, 2005: 75)
Los investigadores en educación matemática pueden elegir, al m en os, entre tres posici ones
relativas a esta cuestión: rechazando normas, estableciend o normas o negociando normas
entre todas las personas i mplicadas: desde los estudiantes, hasta los que toman decisione s
sobre políticas educati vas y de este m odo ser co -con structores de normas. Consi deramos que
solo ti ene sentido esta t ercera posibilidad, ya que ni pueden construirse éstas esperand o
resultados desde los es tamentos superior es, ni d educiéndolas de l a in vestig ación , sin o
negociando y tomando decisiones – en las clases, en equipos escolares de desarroll o
profesional, en programa s de for mación de profesores, en pub licaciones qu e describan
sup ue stos de buenas prácticas y objetiv os de enseñanza. Esto s procesos de negociació n
necesitan apoyo y orientación de sde lo s resultados de la investigación. Buenas prácticas es un
asunto de ‘ particula rizació n ’ y ‘ generalizaci ón ’ así como de equilibrar los procesos de arrib a -
abajo y viceversa. Los inve stigadores aumentan nues tra comprensión sobre la práctica, sobr e
cómo hacer sup osiciones normativas explíci t as sobre ‘ buenas prácticas ’ y sobre futuros
desarrollos de la prácti ca. El co noci miento es generado dentro y fuera de la prá ctica, si endo l a
colaboración entre todos una característica constituti va para ello (Krainer, 200 5).
El futuro de la in vestigación en educación m atemát ica pertenece a esta ter cera posición. S e
espera de los investigad ores que mejoren la enseñan za de las matemát icas, no solo
escribiendo artículos reducidos a descripciones e interpretacion es, sino también trabajand o en
formación d e prof e sores. Los inves tigadores podría n sugerir no r mas de ‘ buena s prácticas ’
indicand o clarament e que son puntos para la discusión y negocia ción, poniend o el acento en
las limitacion es de una tran sferencia ing enua a la prác tica o a las políticas educativas.
El objetivo es extraer la pericia de nuestra sociedad para construir ‘ buenas prácticas ’ en
educación matemática. De este modo, se espera que, tanto investigad ores, co mo profesores,
estudiantes y administraci ón educativa argumenten lo qu e constituye una buena p ráctica, es
decir, que ‘ ve an más ’ : desviaciones, par ticularidad es, irregularidades y peculiarid ades (Willke ,
1999). También que ve an más aspectos comunes, regularid ades y patrones (Krainer, 2005).
Podemos definir el término ‘ observación ’ como la capacidad de notar una difere ncia relevante,
mientras que el términ o ‘ intervenci ón ’ lo de finiríamos como producir una diferencia relevante.
Notar diferencias es un objetivo de la comunidad científica y un medio de incrementar el
conocimiento de los profes ores.

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Una clase de diferencia de especial interés, es el ‘ status quo ’ de una situación y el objetivo
deseado de la mis ma, es decir, la diferenci a entre l a forma hege mónica de ens eñanz a que está
establecida y aquella en la que determinados profesor es pretenden enseñar. Esto último
señala la visión sobre las ‘ buenas prácticas ’ que tienen los profes ores que describen la
enseñanza como ellos creen que la han intentado y lo que difiere de lo que r ealmente han
llevado a cabo. A v eces, l as diferencias rele vantes se producen entre el punto de vista d e
personas que están fundamental mente fuera de la práctica escolar y aquellos que trabajan en
el aula, acentuand o la importancia de escuchar la voz de los profesores co n r especto al asunto
de buenas prácticas. Éstas requieren un sólido conocimien to de las matemáticas, que
promueva c omprensión matemática, impliq ue y motive a los alu mnos y requie ra un manejo
efectivo de habilid ades. L o que es más, l os profeso res sienten que las buenas prácticas se
desarrollan desde la exper iencia, la formación, la lectura personal y la reflexión e interacción
con colegas (Wils on, Co oney & Stinson, 2005).

1. 2 LA METODOLOGÍA DE ENSE ÑANZA
Nuestro estudio, c omo ya hem os indicado en la intr oducción, se centra en anali zar y contrastar
el conocimiento declarati vo y en la acción de tres profesores noveles en relación co n la
propuesta metodol ógica en to rn o a unos conocimien tos geométricos. Desarrollam os ahora los
aspectos metodológic os de la tendencia investigati va (Apartado 1. 1. 2 . 3. 3), y caracterizamos
los element os que allí c onsideramos más significativ os.

1. 2. 1 LA METODOLOGÍA DE REFERENCI A
Se ha puesto siempre el én fasis en el ‘ qué enseñar’ y no podemos discutir que es de crucial
importancia. Pero la metodol ogía, es ‘ una forma de estar, de hacer , de cuestionar, de
escuchar’ , que tampoco pu ede minusval orarse.
La relevancia de la metodología en el proceso educativo es e videnciada por diferentes autores
que le otorgan un pap el esencial a la hora de lle var a cabo la construcci ón de conocimi entos en
el aula (García Díaz, 1988; Porlán, 1993, 1999 ; García & Cañal, 199 5; Cañal, 1997 , 1998, 2000 a,
b; Azcárate, 1999). Estos investigad ores la sitúan como uno de los problemas clave a la hora de
desarrollar la intervención educativa. P ara González (1 99 5) la reflexi ón sobre este proceso

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permite un m ejor conocimient o de la profesión docente y en concreto de las
responsabilidad es que deb en asumir los profesional es de la ens eñanza.
Es necesario otorgar a la metod ología la imp ortancia que debe tener en la práctic a docente y
dentro del ca mpo de la investigación, considerán dola como una herramient a e se n ci al par a
desarrollar el conocimi ento desde un m arc o teórico-práctico fundamentado , con una visión
innovadora y de mejora de la calidad de l os proces os de enseñanza, basados en la reflexi ón y la
colaboración.
Al plantear la pregunta ‘ cómo enseña r ’ podem os considerar numerosos aspectos relacionados
con su formulación gen érica, todos ellos interconectados entre sí, que intervienen y
determinan las ac tuaci ones tendent es a construir c onocimiento en el aula :
“ Tipo y naturaleza de las actividades que hay que seleccionar; su secuencia; tareas por realizar; tipos de
materiales y rec ursos q ue se utilizan; cómo organizar la clase; qué protagonismo d ar a los estudia ntes; cómo
usar didácticamente sus ideas; cuál debe ser el papel del profesor (director, a nimador, orient ador, facilitador,
etc.); cómo atender a la diversidad, etc. En def initiva, qué hacer , cómo y cuándo h acerlo, para que nuestros
alumnos aprendan acerca de lo que queremos enseñarles ” (Azcárate, 1999: 72).
Muchas innovaciones educativas no reflejan convenientem ente la complejidad de los proceso s
de enseñanza y aprendiz aje, proponiendo cambios poco profundos e ignoran do el pape l
fundamental de la metod ología en la construcción del conocimiento. Así mismo,
“ muchas de las decisiones metodoló gicas son p roducto d e una concepción simple d e la metodología, regida
por u n esquema causal mecánico y lineal, se gún la cual la enseñanza es causa directa d el aprendizaje (‘lo que
se enseña se aprende’). Esta idea tien de a desestimar los problemas relaciona dos con el cómo y puede
convertirse en un obstáculo importante para el cambio” (Azcárate, 1999: 73).
Es imprescindib le que ab ordemos expl ícitament e aquellos asp ectos en los que se b a sa la
actuación docent e, centrándonos en alg unos de los qu e consideramos más rel evantes, más
allá de las actividades, donde se focalizan numerosas investigaciones. Las variabl es que hemos
considerad o en nuestro es tudio son l as siguientes:
 En primer lugar, estudiarem os las característic as y lo s tipos de actividades como
mediadoras en la in teracci ón entre la enseñan za y el aprendizaje. Las ac tividades son el centro
de numerosas investig aciones, concentrand o en éstas los aspectos met odológicos (García Díaz,
1988 ; Baena, 199 3, 1995; Cañal et. al., 1993; García & Cañal, 19 9 5; González, 19 95; Cañal,
1997, 199 8, 2000; W amba, 2001; Luna, 200 7) .

Capít ulo 1: Marco Teó rico de l a Investiga ción

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 En segundo lugar, l os tipos d e recursos didácti cos, co mo herramienta s que cont ribuyen
a facilitar la compr ensión y realización de las activ idades, pues también intervienen como
mediadores entre la ens eñanz a y el aprendizaje.
 En tercer lug ar, estudiar emo s c ómo deb ería ser y qué debería orientar la secue ncia de
dichas acti vidades, aspect o crucial de toda propues ta metodológi ca .
 En cuarto lugar, nos ref eriremos a cómo ge stionar la dinámica y el cli ma del aula, la
organización de espacios, agrup amientos y tiemp o.
 Por último, nos centrarem os en el papel que ha n de jugar el profesor y los est u diantes
en el aula, su grado d e protagonis mo, su participaci ón e interacciones, entre otros aspectos a
considerar.
A pesar de esta separació n, para facilitar el análisis y profundizar en su est udio, no po d emo s
olvidar que ex is ten compl ejas interrelaci ones entre to dos estos elementos metod ológicos y
que muchos de los aspe ctos que se mencionan en alguno de ello s, están también presentes en
otros. Así, por ejemplo, la atención a la diversidad del alumnado, en lugar de ser tratada
independien temente, aparece en el niv el c ognitivo de las activ idades, en los diversos grados
de formulación de su secuencia, los tip os de agrupa mientos que se c ontemplan y el tipo de
ayuda diferenciada que ap orta el pr ofesor a los estudi antes.

1. 2. 1. 1 CARAC TERÍSTICAS Y TIPOS DE ACTIV IDADES
Inicialmente, no s cuesti onamos por qué o cuparnos de las ‘actividades’ (Zaslavsk y, 2005). Un a
de las posibles respuestas nos señala el papel tan significativo que éstas juegan en la
interacción entre la enseñanza y el aprendizaje, lo cual ha sido ampliame nte reconocido
(Leinhardt et al., 1990; Krainer, 1 993; Sullivan & Mousley, 2001).
“ El diseño, el an álisis y el examen empírico d e las tareas matemáticas es una de las responsab ilidad es más
importantes de la educación matemática” (Sierpinska, 2004: 10) .
“ La calida d de la in strucción depende d e, por ejemplo, si el profesor selecciona tareas cognitivamente
exigentes, pl anifica la lecció n elaborando, median t e esas tareas, las matemáticas que los alumnos tienen
que aprender y asigna su ficiente tiempo pa ra que los estudiantes se dediquen a éstas y empleen tiempo en
ellas ” (Kilpatrick et al., 2001: 9).
Las actividades matemátic as son centrales para el aprendiz aje de los alumnos porque ” llevan
mensajes sobre qué son las matemáticas y lo que supone hacer matemátic as ” (NCTM, 199 1 b :

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24). Las actividades a las cuales se dedican los alumnos aportan los co nt extos en los que
aprenden a pensar sobre l a materia y difer entes tareas pueden ocupar dif erentes demanda s
cognitivas en los estudiant es (Doyle, 1986; Hiebert & Wearne, 1993; Stein, et al., 1996; Stein &
Lane, 1996 ; Henningsen & Stein, 1997 ; Hache, 200 1; Mevarech, & Fridkin , 200 6).
De este modo la naturalez a de las actividad es puede influir po tencial mente y estructurar el
modo en que piensan los estudian tes y puede s ervir p ara limitar o am pliar sus puntos de vista
sobre l a materia a la que están dedicados. Los alumnos desarrollan su sentido de lo qu e
significa ‘ hacer matemátic as ’ desde sus ex peri encias reales con ellas y, con las actividades qu e
llevan a cabo en el aula, tienen la oportunidad de experimentar las matemáticas como una
disciplina (Schoenfeld, 199 2, 199 4) . Por ello, o cupan un papel fundamental en una enseñanza
que tiene por objetivo proporci onar al alumn o condiciones para que construya su
conocimiento.
Dando pues, por establecida la impo rtancia de las actividades, nos interesa co nocer qué
características han de tener las activ idade s para que fomenten el aprendiz aje, m ovili ce n un
alto nivel cogniti vo y se relacionen con la resolución d e problemas. También indag aremos si se
presenta n en contextos familiares y/o significati vos para los estudiantes, si pueden resolv erse
mediante distintas estrate gias, si so n abiertas o cerr adas, si o frecen varias solu ciones, etc. En
todo caso, tareas y acti vidades
En primer lugar, es ne cesario que aclaremos los términos ‘ tareas ’ y ‘ actividades ’ , puesto que
los hemos usad o indistin tamente con an terioridad. Muchos inves tigadores, en tre el lo s Cañal
(2000) y Luna ( 2007), consi deran
“ las actividades como co njuntos orga nizados y o rientados de tareas esc o lares, realizadas po r los alumno s o
el profesor ” (Cañal, 2000, citado en Lun a, 2007: 100).
De este modo, mientras que la actividad sería la unidad mínima usu al a la hor a de anali zar la
práctica del aula, las tareas forman parte de ella de forma coordinada y orientada a su
finalidad :
“ Las tareas no reunirían las condiciones requ eridas para constituir u na unidad funcio nal y de análisis d idáctico
de la dinámica del aula, ya que cada u na de ellas no constituye en sí misma un segmento de en señanza, sino
interacciones parciales que habrán de coordinarse y orientarse para que rea lmente haya actividad docent e
(Luna, 2007: 100).
Por ello, las tareas se pueden d efinir co mo conjunto de accio nes coordinadas y orientadas en función de la
actividad de la que forman par te ” (Cañal, 2000, citado en Luna, 2007: 100) .

Capít ulo 1: Marco Teó rico de l a Investiga ción

73

Si seguimos a Christiansen & Walther (1986) en su d istinción en tre tareas m a temática mente
interrelaci onadas y la activi dad que surg e como resul tado de impl ic arse en dichas tareas,
“el p roblema es identificar m ed i os con los que el pr ofesor pueda promover una concepción unificada – en el
aprendiz- del rol de tarea -y-actividad, del aprendizaje, de las matemáticas y su personal, consciente control de
su propio proceso de aprendizaje”
Estos aut ores co nsideran c omo ‘ a ctividad’ lo que el estudiante realmente hace, la interacción
con otros e studiante s, co n otras fuent es y con el pr ofesor, aunque el o bjetiv o que éste tiene al
proponer dicha actividad no siempre coincide con lo que los alumn os real mente aprenden
(Watson & Ma son, 200 7). Otros la definen, por ejem plo, como:
“Una activi dad q ue el maestro sugiere en el aula, que tie ne un objetivo , un estado inicial y final y una s
condiciones de realización determinadas. ( ...) Es la concreción de lo q ue h ay que hacer en el aula , la a ctividad
que se debe realizar , las preguntas que h ay que co ntestar o el p roblema que ha y que r esolv er” (Monereo,
199 5: 90).
En nuestra in vestiga ción , enten demos po r ‘ actividad ’ o ‘ tarea ’ , cualquier actuación o
secuencia organizad a de actuaciones, co n un fin concreto, vincu lada al aprend izaje de
determinado s conten idos y caracterizad a por diferentes atributos, que organiza la acción
desarrollada en el aula, tanto del profesor como del alumno (Cañal, 2000; Azc árate & Castro, 2006 ;
Luna, 2007).
En este sentido contin uaremos usand o los términos ‘ tareas ’ y ‘ actividades ’ ind istintamente.
Señalamos, además, que lo s profesores de nuestro estudio de casos utilizan siempre el
término ‘ Actividad ’ precedien do cuantas propuestas diseña n para los alumnos y les en tregan
para ser desarrollad as en la práctica .
Hemos de co nsid erar tamb ién que las actividade s m atemá ticas que se plant ean a lo s alu mnos
pasan por tres ‘ fases ’ : có mo se diseñan, cómo las establece el profesor en el aula y cómo la s
desarrollan los estudiantes durante la clase (Henningsen & Stein, 1997). En nuestro estudi o
nos centrarem os, fundame ntalmente, en las dos primeras. Además, podemos especificar dos
‘ dimensiones’ de las acti vidad es matemáticas.
La ‘ primera dimensión ’ tra ta sobre las ‘ caracte rísticas de las actividad es’ , es decir, aquello s
aspectos de las misma s que los educadores matemátic os han identificad o c omo
consideraciones importan tes para el desarrollo de la co mpr ensión matemá tica, el
razonamiento y la búsque da de significad o, así como el empl eo de registr os gráficos en la
expresión escrita del razonamiento matemático, que consideramos legítimo. Estas

Ana Ro dríguez Ch amizo: Propu estas Metodo lógicas de Prof esores Novel es de Matemát icas: Diseño y Práct ica en Secun daria
Estudi os de caso
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características, en su ‘ primera fase ’ , incluyen estrategias de solución múltip le, múltiples
representacion es y comuni cación mat emática.
Durante la ‘ segunda fase ’ , la de presentación a los alumnos, estas característi cas tienen en
cuenta en qué medida las actividades presentad as por el profesor ani man a l os estudiantes a
usar más de una estrategia , a utilizar múltiples representacion es y suministrar explicacione s y
justificaciones. Durant e la ‘ fase de desarrollo’ , la tercera, estas caract erísticas se refieren a la
medida en qu e los estudia ntes usan tod o lo anterior .
La ‘ segun da dimensión ’ se refiere a ‘ las exigencias cognitivas’ , es decir, a la clase de proces os
de pensamiento implicados en re solver la actividad como la pres enta el prof esor (durante la
fase de pres entación o planteamient o, cuando s e establece la acti vidad) y lo s procesos de
pensamiento que los estudiantes le dedican (durante la fase de desarrollo). Estos procesos de
pensamiento tienen un rang o desde la memoriza ción para el uso de procedimientos y
algoritmos (con o sin atención a los conceptos, comprensión o significad o) hasta el
pensamiento complejo y estrat egias de razona miento típic as de ‘ hacer matemática s ’ (por
ejemplo, conj eturar, justifi car o interpre tar).
En primer lugar, vamos a establecer estas caract erísticas generales de las actividades
deseables: para la educaci ón matemática, la formula ción y resolución de pr oblemas tiene u n
papel esencial, siend o el eje vertebrador de la estructu ra metodológica. Se tra ta de problemas
en contextos m úl tiples, más allá del mero conocimiento de las matemáticas, es decir, tener
presente la impor tancia de co nocer para actuar (Mason, Burton, & Stacey, 1982; M ason, 199 8;
Mason & Spenc e, 1999), p ara aplicar dicho conocimiento a contexto s v ari ados, ligados a las
experiencias de los alumn os y a otros saberes, matemátic os o no, que ponen en juego
conocimiento s divers os y utilizan procedimient os m ás complejos a los simple s algorit mos.
Estos problemas son abiertos, se abordan de distintas fo rmas e inclu yen estrategias de
solución y repr esentacion es múltiples, en la expresión oral y escrita del razonamiento y
comunicación matemátic a.
Otra característi ca importa nte de los probl emas ha de ser la incertidumbre. Frecuentement e,
la perplejidad, la confusió n y la duda se aso cian y evocan el conflicto cognitivo. Aunque
algunos psicólogos consideran el conflicto co mo m ás problemátic o que beneficioso, la mayoría
lo co nsidera como un factor que contribuye positiva mente en el pensamiento racional y a la
génesis del conocimient o (Berlyne, 1960; Piaget, 1985). La mayor parte de los investigad ores
sobre el confli cto cognitivo se han inspirado directamente en la teoría de l equilib rio de

Capít ulo 1: Marco Teó rico de l a Investiga ción

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propone la existencia de tecnol ogías cognitivas (instrument os conc eptuales), tales como l os
sistemas de not ación (sist emas de repre sentación).
Queremos subrayar especialmente la impo r tancia de los ejemplos, ya que su uso tiene una
larga historia en la pedago gía matemática . Reflexi onando sobre lo que los est udi antes pueden
ganar con ejemplos, pod e mos hacer una distinci ón entre dos usos en la enseñanza bien
diferentes. El primero es esencialmente inducti vo – aportando o motivando a los alu mnos a
que aporten eje mplos de al go. Este ‘ algo ’ es general (por ejempl o, la noción de eje de sime tría)
y el ejemplo un caso parti cular de la generalid ad.
Es bastante común el uso de ejemplos para presentar conc eptos abstractos, para provoc a r o
facilitar la abstracción, o para tipificar procedimiento s, es decir, se enseña un procedimiento
general mediante la realización de un caso particular del mismo. El segundo uso de los
ejemplos en la enseñanza, más a menudo llamad os ‘ ejercici os ’ no es i nductivo, si no ilustrativo
y orientado a la práctica. En cualquier caso, éstos so n selecci onados de un co njunt o de
posibles ejemplos de ese tipo, que no debe hacer se de forma trivial ni arbit raria. Además,
puede usarse una combinación de los tipos de ejemplos ya referidos para hace r
interconexi ones entre ellos. También podemos tener una visión d e los ejemplos como
“ ilustraci ón de conceptos y principios ” (Watson & Ma son 2 005: 3) mediante la generación de
éstos por los estudiantes, como es trategia de enseña nza que pide a los alumnos que elaboren
ejemplos bajo d eterminad as restriccion es ( Zaslavsky, & Shir, 2005 ; Zazkis & Leikin , 2008).
Del mism o modo que los ejempl os puede ser un valio so recurso para ayudar a los estudiantes
en la comprensión del contenido matemático, también los contraejemplo s cumplen una
función específica muy interesant e ( Zaslavsky & Ron, 1998 ) . Zazkis & Chernoff (2008) indican
que el poder convincente de los c ontraejemplos depende de la medida en que sean acordes
con los es paci os de ej em plos individuales. Cuando un profesor presenta un ejemplo, ve su
generalidad y lo que representa, pero los alumnos pueden quedarse con características
particulares del ejemplo específico, poniendo la atención en el ejempl o en sí m ismo y no en lo
que represent a. P or ello, abogan por el uso de ‘ ejemplos genéricos ’ que representan el ca so
general.
También los contraej emplos pueden ayudar a lo s aprend ices a reajustar sus percepci ones y
creencias so br e la naturale za de lo s o bj etos m atem áticos. El rol de los contraejemplos ha sido
discutido y r econocido par a crear conflictos cogn itivos (Lakatos, 197 8; Peled & Zaslavsk y, 1997;
Zaslavsky & R on 1998; Zazk is & Chernoff, 2008).

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Estudi os de caso
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Ponemos ahora el foc o en las definiciones matemáti cas, cuya forma de trabajarlas puede ser
también un importante recurso del profesor . Existen múltiples estudios sobre su ro l en la
enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en sec undari a (Tall & Vinner, 1981; Bo ra si,
1992; Pimm, 1993 ; De Villiers, 1998; Zaslavsky & Shir, 2 005; Zazkis & Leikin, 2008 ) y en
programas de desarrollo profesional para profesores de matemática s ( Cooney & Wilson, 1993 ;
Tirosh & Even, 1997; Leikin & Winicky-Landman, 2000, 2001; Winic ky-Landman & L eikin ,
2000).
Con el fin de que sean utilizad os en su futuro profesio nal com o un esti mable recurso didáctico,
Leikin & Winicki-Lan dman (2000, 2001) avalan el papel de trabajar con las definiciones y la s
formas de presentarlas con estudiant es para profesor, disting uiendo entr e características
matemáticas y didácti cas de las definiciones ma temáticas. Les solicitan, primero dar el mayo r
número posibl e de ejempl os para establ ecer una definición y a p osteriori estudian en qué
medida los ejemplos gener ados revelan su comprensi ón matemáti ca del concept o.

1. 2. 1. 3 SE CUENCIA DE ACTIVIDADES
Para la secuencia de las actividades, muy r elevante a la hora de definir la metodología de
trabajo, nos planteamos cuestion es tales como: su hilo conductor, la lógica de ordenación de
las activ idades , si éstas son aisladas o inter-conec tadas entre sí, con distin tos niveles de
formulación y grados d e complejidad, posibles itiner arios didáctic os que se pu eden proponer,
papel que juega la dinámic a del aula en la c onfección de la secuencia, etc. (Azcár ate, 19 99).
Cuando abordamos esta proble mática, ponemos en juego las interrelaci ones que existen entre
cómo enseñar y cómo se aprende. La secuencia de actividad es o torga coherencia a las
actividades selecci onadas p ara generar un tipo de aprendizaje concreto y s e convierte en el eje
vertebrador de los proble mas que surgen de las inv estigaciones que se plante an al tratar de
responder a los intereses dive rsos de los estudian tes y sus posibles obstácu los para el
aprendizaje, debiendo o fr ecer distint os niveles de f ormulaci ón y grados de dificultad (M uñoz
et al., 200 1; Fernán dez et al., 2 003, 20 05; Fernández-Aliseda et al., 200 5; R odrígu ez, 2008). Es
desde ahí, al tratar d e resolverlos, desde donde se trabaja el conoci miento escolar y l os
objetos de c onocimient o que subyacen en éstos. Se han de desarr ollar, por lo tanto,
secuencias abiertas y flexibles, qu e depend en del desarrollo d e los pr ocesos de enseñanza y
aprendizaje que van sucediéndose en e l aula. Tambié n están en funci ón de la evolución real de
las ideas de los alumnos.

Capít ulo 1: Marco Teó rico de l a Investiga ción

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Para algunos investigad ores, la metodología se identifica prácticamente con la secuencia de
actividades, ya que definen aquella como una
“secuencia organizada de a ctivi dad es de enseñanza dentro de un sistema con implicaci ones didá ctico-
organizativas qu e tiene por objetivo promover la c onstrucc ión de ap rendizajes significativos” (Castro,
2005 :52).
Esto puede mostrarn os la importancia del papel que juega la misma entre los aspecto s
metodológic os.
El profesor ha de organizar las activ idades de modo que, a partir de éstas, el estudiante pued a
lle gar a una profunda comprensi ón matemá tica (Artzt, 1999; Artzt & Armour-Thomas, 19 99) , a
la vez que se afrontan problemáticas relevantes q ue sean a la vez significativas para los
estudiantes. Esta s secuencias han de favorecer múltip les conexiones, de las actividades entre
sí, entre los contenidos de un mismo núcleo temático (conceptos y pr ocedimientos) , entr e
diversos núcleos m ate máticos, con distintas ramas del saber y con el saber cotidiano y el
mundo cercano a las ex p eriencias de los alumn os , ya que, desde las perspectivas actuales
sobre la cognici ón de los sujetos sabemos que las ideas matemáticas no tienen entidad propia
fuera del context o en que se utilizan y adquieren significado en las mentes de los alumnos al
ser aplicadas en diferentes situaciones, problemas y actividad es interesantes para ello s
(Azcárate, 1 999a).
Una posible secuencia podría ser: formulaci ón d e p roblemas, expresión de las ideas d e l os
alumnos, aporte de nueva infor mación, estructu ración de la misma, elab oración de
conclusiones y aplicaciones . Concretando más , el prof esor tendría que :
 Formular posibles situaciones rele vantes para los alumnos y significa tivas en el
contexto escolar, que puedan ser abordadas y resueltas desde el desarrol lo del tópic o
concreto que se quier e tra bajar, lo que f avorecerá la implicación del alumno en el proceso, al
determinar aquellos aspectos que quiere ab ordar y establecer relaciones con los problemas d e
su entorno.
 Determinar qué tipos d e conocimient os matemáticos sub yace n en la te mática
propuesta. Se trata de hacer un ciert o an álisis histórico, epistemológico y soci o ambiental,
cultural o fenomenológico que permita tener datos sobre la evo lución, aplicación y relevanci a
de dichos con ocimientos.
 Analiz ar los datos disponibles sobre las co ncepcion es de lo s alumno s, las dificult ades y
obstáculos de tectados y so bre el propio proceso de aprend izaje mate mático.

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 Aport ar la infor mación nueva desde múltiples fuent es: explicaciones del profe sor y /o
del estudiant e, el libro de texto u otr os materiales did ácticos, ví deos, Intern et, et c.
 Seleccion ar del plan de actividades pre viamente elaborado, aq uellas que pe rmitan
detectar y explicitar las ideas de los est udian tes y los obs táculos aso ciados, aquellas q ue
faciliten el contrast e y movilización de las ideas, promoviendo su argumentaci ón (Silver, 1 994) .
Es decir, plantears e qu é secuencia de actividades, en definitiva, es la m ás adecuada para
favorecer su evolución en la línea propuesta y qué tipo de estrategias se deben poner en jueg o
para facilitar el aprendizaje de los alumnos.
 Asegurar que la secuencia de las actividades perm ita también que lo s estudian tes
puedan progresar en los signifi cados acum ulad os de un contenido particu lar y puedan
establecer conexiones entre las ideas aprendidas en el pasado con las que aprend e rán en el
futuro. El hilo conductor de las actividades ha de ser adecuado para enlazar lo que los
estudiantes y a conocen con lo que necesitan apren der o mejorar (Artzt & Armour-Thomas ,
1999 ).
 Estructurar la información desde la argumentaci ón, justificación, elaboración de
conclusiones y comunicaci ón oral y/ o escrita
 Ofrecer aplicaci ones si mples y directas o c omplejas, mediante la interc onexión de
distintos conteni dos y cont extos .
Como el proc eso tiene un as finalidad es concr etas y es autónomo y negociado, necesit a el
contraste continu o durant e su desarroll o y la reflexió n sobre lo que se está haci endo, tan to por
parte del profesor com o de los estudiantes. En c onsecuencia, de los múltiples itinerari os
alternativos, en función de las relaci ones qu e se esta ble zcan entre ellos, a lo largo del pr oceso
de enseñanza y aprendi zaje, el profesor estable cerá, de acuerdo con sus intereses y
necesidades, y los de los alumnos, el itinerario más adecuado , según va adentrándose en la
resolución del probl ema elegi do, y la constata ción de si los alu mnos aprenden o no, median te
la propuesta de a ctividade s que les p ermite afr ontar dicho pr oblema.
Resumiendo, hay tres aspectos comple mentarios y no por ello m en os importan tes que nos
permiten configurar una imagen de la secuencia de actividades presentada. En primer lugar,
cómo promue ve la moti vación del alumno para su realización, si conecta d e algun a forma con
sus intereses o se mantiene ajena a ellos. Esto est á relacionad o con la relevancia y la
significación para lo s estudian tes de los problemas de partida. En segundo lugar, si consid era la
posible diversidad de ideas, intereses y realidades que pueden existir en el aula y lo s recoge en
los posibles itinerarios que se contemplan (Sarrazy, 2002 ). Y, en tercer lugar, si recoge en algún

Capít ulo 1: Marco Teó rico de l a Investiga ción

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sentido los posibles obstáculos en el aprendizaje de los alumnos que se pueden enco ntrar al
desarrollar las actividad es en el aula, aspecto de crucial im portancia para promover un
verdadero aprendizaje matemá tico ; y si posibilita que to dos adquiera n c ompetenci a
matemática (Abran tes, 2 001 ; Sáenz , 2008 ) .
En el mism o sentid o consideramos cómo se organiza el conjunt o de actividad es durante su
desarrollo en el aula, lo cual nos permite observar si la propuesta e stá det erminada de forma
única o si su pr opia presentación per mite el acceso a diferentes itinerari os de aprendiz aje y la
adaptación a los imprevis tos del aula (Azcárat e & Cas tro, 2006).

1. 2. 1. 4 EL CL IMA DEL AU LA, LA ORGANIZ ACIÓN DEL ESPACIO Y LOS A GRUPAMIEN TOS
En cuarto lugar, es neces ario atender a los pr ocesos q ue rodean la ejecución de las actividad es
matemáticas y su secuen cia, del mism o modo que acabam os de considera r también la
importancia de atender a su naturaleza. Aunque se ha escrito mucho en to rn o a los tipos de
actividades matemática s, q ue permiten a los estudian tes ‘ hace r matem á ticas’ , no hay mucha s
investigaciones sobre la clase de a mbientaci ón que es necesaria para apoyar la realizaci ón d e
tareas de es te tipo.
Esto conlleva , por una parte, una buena ‘ organ ización del aula’ , tant o en lo que se refiere a la
distribución física, como la forma de motivar a lo s estudiantes para que se int eresen por su
aprendizaje y de crear un clima adecuad o que lo favorezca, así como u na adecuada
‘ organizaci ón del tiempo’ .
Consideramo s el ‘ clima del aula ’ com o el tipo de comunicación y el ambie nte generado,
indicadores de la complejidad del proceso educativ o, así como la organizaci ón del aula y de l os
elementos que la configuran, tales como los agrup amient os y espaci os, definit orios del modo
en que se va a llevar a cabo la actividad y en qué condiciones, favor eciendo o dificultando la
puesta en marcha y la elab oración de un de terminad o aprendiz aje (Azcárate & Castro, 200 6).
Nos centramos, p or lo tanto, ahora en los factor es que influ yen en la forma en que los
estudiantes se dedican a actividades matemáticas en marcos reales del aula (Henning sen &
Stein, 1997 ; Hershkowi tz & Schwarz, 1999). Si lo s est udiantes tienen que desarrollar y
comprometers e con activid ades matemáticas ricas , dinámicas y que merecen la pena ,
entonces las aulas tienen que tener un ambiente en el que l os estudian tes ten gan frecuentes

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oportunidades de to do ell o (NC TM, 1991a, 2000; Sc hoenfeld, 1994). El profesor ha de ofrece r
un clima de aprend izaje en el cual o peren los estud iantes y co nstruyan con ocimiento de las
matemáticas escolares casi autónomam ente, por la interpretación subjetiva de l as actividade s
y la consiguiente reflexión sobre su trabajo (Steinbrin g, 1998 ).
Señalamos, ade más, algunos aspe ctos del clima del a ula, coherentes c o n el cons tructivism o, de
los que Taylor y co lab oradores (1993) describ en cuatro escalas de m edida de cómo los
percib en lo s estudiantes :
“ Autonomía : en qué medida los estudiantes controlan su aprendizaje y piensan indepe ndientemente.
Conocimientos previo s: en qu é med ida el conocimiento y las experiencias de los estudiantes están in tegradas
con significado en sus actividades de aprendizaje.
Negociación : en qué medida los estudiantes interactúan socialm ente con el propósito de n egociar significado y
construir consenso.
Centrada en el estudiante : en qué medid a la experiencia de a prender de los estudiantes se entiend e com o un a
experiencia personal de resolución de problemas” (Beswick, 2007: 99-100).
En general, un conjunto complejo de factores rodea l a organizació n d e la actividad en el aula y
el manejo equilibrad o de las necesidades y las deman das académicas. Éstos pueden tener su
raíz en el modo en que se introducen las ‘ no rmas ’ de la clase, en las ‘ condiciones de desarrollo ’
y la ‘ disposición ’ para el apre ndi zaje de los estudiantes y en general en la dir ección de la s
prácticas de aula del profe sor. Dichos fact ores inclu yen la forma en que se esta blece el orden
en la clase, la o rganización física del aula, el establecimiento de estructuras de responsab ilidad
y el m odo en que se ll evan las inter venciones sobre la discip lina (Doyle, 1 986).
Con ‘ normas ’ del aula nos referimos a las expectati vas establecidas co n respe cto a cómo se
hace el trabajo académic o, por quién y con qué grado de calidad y r esponsabilida d , así como el
comportami ento social que se espera de los estudia ntes . Con ‘ condic iones de desarr ollo’ no s
referimos a los a tributos de las actividades en relació n con un grupo particular de estudiante s
(por ejemplo, en qué medida se co nstruyen las actividades so bre co n ocimiento s previos de los
estudiantes). Con ‘ disposición ’ del profeso r y los alu mnos nos referimos a las relativamente
duraderas características del comporta miento pedag ógico y de aprendiz aje respectivament e
que tiende a influir en có mo los pr ofesores y los estud iantes enf ocan los event os del aula.
Por una par te, compartim os la idea d e que ciertos aspectos de la cognición del in dividuo se
originan en la ‘ internalizaci ón ’ de las interaccion es sociales (Piaget, 1985 ; Vygotsky, 1 978).
Todos los procesos altamen te cognitiv os ocurren primero como relaci ones sociales antes de
ser internaliz ados por el individuo (Vygotsky, 1978). Además, el trabajo de los estudiantes se

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construye con las interacciones sociales y la co municación como característic as críticas para
aprender y construir aprendiz aje compartido. Más específicamente , las interacciones sociale s
juegan un papel central en crear incertidu mbre alrededor de ciertas actividade s mate máticas
así como al tratar de soluci onarlas (Zaslavs ky, 2005) .
Por lo ta n to, aprender es un proceso situado socialmente (Kumpulainen & Mutanen, 2000) y
podríamos afir mar que las interacciones en el aula están basadas en que pensar es una forma
de comunicaci ón, con uno mismo o con otros. Aunque el conocimient o se obtien e
frecuentem ente bajo la guía de exper tos o iguales más capa ces (Vyg otsky, 19 78), la s
interacciones en el aula proporci onan un suelo fértil para explorar el de sarrollo de la
comprensi ón matemática. Analizando las accio n es del profesor y los estudi antes , que se
describen sobre todo po r el discurso entre l os pr ofesores y los est udian tes , buscamos obtener
información sobre cómo se desencadenan los acontecimi entos de aprendiz aje y l os que
pueden ser vir de obstáculo s para ello.
Desde una perspectiva social, los elementos de la micro-cultura del aula como los describ e
Cobb (1999), son importantes de considerar cuando se examinan las interac ciones entre el
profesor y los alumnos. En particular, las ‘ normas sociales ’ , las ‘ normas socio- matemática s’ y
las ‘ prácticas matemáticas del aula ’ se desarrollan de forma c onvergente co n l a comprensi ón
individual del estudiante (Yackel & Cobb, 1996) . Estos autores de finen l as ‘ norm as sociales ’ se
definen como aspect os normati vos del aula que pueden aplicarse a cualq uier asignatura, tal es
como la expectativa de que toda solución tiene que justificarse. L as ‘ normas socio-
matemática s ’ se refieren a las normas de aula que se rela cionan específicament e c on las
matemáticas, tales como un argumento acept able de dem ostraci ón. Las ‘ prácticas
matemática s del aula ’ se refieren a las prácticas to madas como compartidas, relaci onadas con
ideas específicas d e mate máticas, mé todos aceptad os de probar una afir ma ción matemá tica.
Sullivan y sus colab oradore s (2003) reelab oran y expli citan aún má s estos conceptos, par tiendo
del trabajo de Cobb & McClain (1999), en el que describen un marco teóric o socio-cultural,
usando el término ‘ normas matemática s’ para significar lo s principios, generaliz aciones,
procesos y product os que forman las bases del currículo m atemático y sirven co mo
herramientas de enseñanz a y aprendiz aje de las mat emáticas en sí mismas. Las ‘ norma s socio-
culturales’ son las prácticas usuales, las rutinas organ izativas y los modos de comunicaci ón
utilizados en los enfoques de aprendizaje, tipos de respu estas valoradas, puntos de vista sobre

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la legitimidad del conocimiento producido y responsa bilidad es individu ales de los estudiantes .
Es muy impor tante que las normas s ociales sean co mprensibles y comunicabl es.
Otro aspe cto m uy signifi cativo a tener en cuenta en el clima del aula es el de la c onfianza en el
aprendizaje de las matemáticas desde las p erspectivas tanto de los profesores como los
estudiantes. Amb os grupos argumentan que la confianz a es importante pero, curiosament e,
aunque ni los prof esores ni los e studiantes consid eran el términ o confianz a problemá tico, cada
uno de ellos lo utiliza de una fo r ma difer ente. Mientras que los profesores v en la confianz a
como un pre-requisit o o un producto del éxito de los alu mnos, la confianza para el lo s está m ás
relacionada con el senti miento de que podrán comprender, tendrán la oportunidad de
explorar, quizás co n sus iguales, estrategias, posibilid ades y alternativas. Con esto, la
confianza, y quizás otros constructos afectivos, cambian desde una vari able afectiva
independien te a formar parte de la esencia d e las matemá ticas y su enseñanz a ( Kilpatrick,
Swafford & Find ell, 2001).
Hay una estrecha relación entre la resolución de pr oblemas y l os aspe ctos emocionales, que
contribuyen sustancialmen te a bloquear o activar la creati vidad y la auto-co nfi anza, así co mo
la necesidad de integrar la dimensión afectivo-emocio nal en el aprendizaje de las matemátic a s
(Gómez Chacón, 2000, 2001, 2 003 , 2004, 2005 ; Hannula, 2002; Gil, Blanc o & Guerrero, 2007;
Barona et al. 2008; Blanco et al. 2009; Caballero et al. 2009; Guerrero et al. 2009). Las
actividades toman forma mediant e la cultura del ambiente de clase y este contexto tiene gran
influencia en l os estudian tes (Gómez Chac ón, Op’Tynd e & De Cor te, 2006) .
El profesor es una parte del clima del aula y un co ntrib uyente al mismo, cuya influencia es
evidente en forma s obvias, tales c omo el contenido q ue elige, pero ta mbién de forma má s sutil
cuando plantea las n ormas de la clase ( Shuell, 1996). Pueden enco n trarse importan tes
relaciones entre las concepciones de los pr ofesores de mate máticas y las percepciones de la
media de la clase sobre su clima d e aula (B eswick, 2005). Para Fraser (1991), el término clima
del aula se refiere al medio social y psicol ógico del aula. Específica mente, los profesores que
crean climas de aula cohe rentes con los principios d el constructivismo es m ás probable qu e
sostengan concepciones sobre las matemáti cas como resolución de problema s (Ernest, 1989 ;
Carrillo, 1997; C ontreras, 1998; Blanc o, 200 8) y sus corresp ondientes puntos de v ista sobre la
enseñanza y el ap rendizaje .

Capít ulo 1: Marco Teó rico de l a Investiga ción

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 Trabajo en pe queños gr upos. Trabajo c olaborativo
Si el trabajo de los estudia ntes s e c onstruye con las i nteracciones sociales y la comunicación
como car acterísticas crític as para aprender y co ns truir aprendizaje compartido, como hemo s
visto anteriormen te, uno de los aspect os impor tantes de la organización del aula es la
distribución de los alumnos y la utilización de l os agrupamientos más adecu ados según los
objetivos de aprendizaje que se persigan. Por una pa rte, el p otencial de trabajar en pequeñ os
grupos es tá ampliam ente reconocido (Yackel, Cobb & Wood, 1991 ; Pea, 1 993 ; Van Boxtel, Van
der Linden & Kanselaar, 19 97; Renshaw & Van der Lin den, 2004 ). Si n embargo, q uedan muchas
cu estiones por re solver sob re cómo maximizar los beneficios y có mo preparar a los profesore s
para que apor ten las tarea s y la ayud a adecuadas (Gru gnetti & Jaq uet, 1996 ).
Una de las cuestiones inte resantes que se platean lo s profesores a la hora de distribuir a los
alumnos en pequeñ os grupos, está referida a los criterios de selección de sus componentes. El
trabajo cooperati vo, por ejemplo, se plantea que esta distribución no sea aleatoria, sino que
los estudian tes se distribuy an en v arios tipos de grupos según distintas finalidad es. Un criteri o
es buscar la homogeneidad de los ‘ niveles de conocimiento ’ de los componentes del grupo,
para plantear actividades adecuadas a ese nivel y que se establezca una co la boración entre
‘ iguales ’. El otro criteri o, es constit uir grupos heterogéne os, donde haya representación de
distintos ‘ niveles de conoc imiento ’ e incluso de comp ortamiento s ocial e interes es, con el fin d e
que los alumnos más aven tajados ayuden a los que tienen m ás obstáculos para el aprendizaj e
y los más m ot i vados, impliq uen a los que lo están menos. A mbos tipos d e agrupacione s
cumplen funciones complementaria s y muy interesantes a te ner en cuenta en la organización
del trabaj o en el aula (Gavil án Bouzas, 2001).
Por otra parte, el trabajo ind ividual y en gra n grupo son también de suma imp ortancia y cad a
uno cumple su papel en el pro ceso de enseñanz a aprendizaje (Lampert, 20 01). Lo s procesos d e
implicación de lo s estudian tes es tán referidos, tan to a los individu os, como a la c lase com o un
todo (Robert & R ogalski, 200 5). Mientras qu e el trabajo individual ayuda a la interiorizaci ón de
los aprendizajes, el trabajo con el gru po clase co ntrib uye a las interacciones s ocial es co n sus
correspondient es ef ectos cognitiv os e n la resolución de proble mas (Cobo & Fortuny, 2 000 ) , así
como en la rees tructuraci ón y socializ ación del con ocimient o .
Hemos de acentuar la necesidad de que las intervenciones d el profesor sean las adecuadas
cuando los est udian tes trabajan en pequeños grup os, po rque para ellos es difíci l comunicarse
co n los demás y, además, podrían reforzarse malen tendidos co n ceptuales matemátic os. El

Ana Ro dríguez Ch amizo: Propu estas Metodo lógicas de Prof esores Novel es de Matemát icas: Diseño y Práct ica en Secun daria
Estudi os de caso
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papel del profesor manejan do est as dificultad es es problemático: uno de los principale s
escollos es que es prácti camente imp osible para un profesor, en una situ ación de au la,
mantener el hilo del trabajo de cada grup o. Por lo tanto, a sus intervenci ones les falta
precisión con lo que interfi ere en la continuidad del proceso de pensamient o y de aprendizaje
de los estudiant es.
Para c ontrarrestar el efecto negativo de estas i nterv enciones verbales del profesor, cuand o
son inoportunas, co n sus potenciales efectos po siti vos de motivaci ón y refuerzo del trabajo
que los estudiantes están realizando, se trata de lograr que la s interven ciones del profesor
cuando se acerca a cada grupo se basen en principios saludables, tales como los que m uestra
la teo ría de Lakatos (1978) sobre el aprendizaje de las matemáticas mediante una serie de
conjeturas, t entativas de p rueba y r efutaciones.
Otra posible forma de intervenci ón del pr ofesor puede ser más efecti va si se centra en la s
interacciones entre los est udiantes, más qu e en el contenid o de las activ idade s dadas ( Dekker
& Elsho ut- Mohr, 2004). Po r esta razón es tan inter esante el aprendiz aje colaborativo (Gavilán
Bouzas, 2001), ya que mediante este tip o de planteamient os, se promuev en interacci ones en
el aula de colab oración, re speto, confianza, escucha, i nterés, curiosidad, etc.
Las ac tividades para un aprendizaje c olaborativo son en general c ompleja s, verdader os
desafíos y auténticos probl em as. Éstos han de motivar a los estudiantes para probar diferent es
estrategias y co-construir y justificar sus solu ciones (Cohen, 1994; Dekker & Elsh out-Mohr ,
2004 ; Kramar ski, Mevarec h & Arami, 2002). Se necesita poseer m ucha s habilidades cognitivas
y pueden faltar tanto ést as como habilidades sociales. Se puede ofrecer ayuda de varia s
formas. Kra marski y colaborador es (2002), pre sentan un estudio en el que la a yuda se ap orta
mediante una est ra tegia general de resoluci ón de problemas que consiste en cuatro pasos,
llamados comprensi ón, c onexión, estrat egia de sele cción y refl exión. Se trata de instruir a los
estudiantes para que, dejand o sus propios procesos de resoluci ón de proble mas, se auto -
diri ja n mediant e cuestion es metac ognitivas tal es com o:
“¿En q ué m edida esta tarea es diferente/similar a las q ue hemos resuelto ya ? ¿Qu é estra tegia/táctica/
principio puede usarse y por qué?” (Kramarski et al., 2002, citado en Dekke r & E lshout-Mohr, 2004: 40).
Los estudiantes del estudi o han trabaja do en pequeños grupos y han de preguntar por turnos
las cuestiones metacogniti vas señalad as. Después de una fase de instrucción in icial, el papel
del profesor se restringe a animar a los estudian tes a usar el procedi miento. Tanto los

Capít ulo 1: Marco Teó rico de l a Investiga ción

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 cómo escucharl os de forma que comprenda sus idea s y sus procesos de pen samient o ,
para que c onstruyan apren dizaje a partir d e ellos.
 cómo estimular interaccion es positivas en el aula, tales como colabora ción, respeto,
confianza, escuch a, interés , curiosidad, etc. (Apartado 1. 2. 1. 4 ).
 cómo planifi car y actuar durante el desarr ollo de las actividades en el au la .
 cómo cerrar un proceso y e stablecer conocimien to c onjuntament e, m edia nte el
contraste y debate en tre las diferentes propu estas, señalando las dudas d e grupo, las
discrepancias y co incidenci as, organizan do los acuerdos e institucionalizando el conocimient o
adquirid o.
Del primer y cuarto aspectos hemos hablad o ya en los apartados correspondien tes. El resto l o
tratamos a c ontinuación.
 Plantear cues tiones a lo s estudian tes. Tipos de pregunta s
Con respecto a la comunicación con los alumnos , hemos de tener en cuenta que, e l lenguaj e
usado dentro de la clase tiene una signifi cativa influe ncia en lo que los estudiantes aprenden y
la com unica ción oral entr e el profesor y los alumno s juega un papel crucial e n este sentido
(Lampert & Blunk, 1998; Ferreira, 2004 ), lo que en ocasiones anteriores hem os denominado ‘ el
discurso ’ . En particu lar, para algunos investigadores el enfoque de las pregun tas del profesor,
su escucha y sus respuestas en el aula, caracterizan su práctica y reflejan sus co ncepci ones
sobre las m ate máticas y so bre su enseñanza y aprend izaje (Davis, 1997; Nicol, 1999). También
un análi sis de las preguntas de los pr ofesores, de cómo escuchan y de c ómo r esponden a sus
estudiantes puede aporta r un camino para a yuda rlos a comprend er m ejor sus propias
prácticas y mejorarlas (Da vis, 1997; Col es, 2001 ).
Las característi cas esencial es de los diferente s tipos de pregun tas que los profesores plant ean
a sus alumnos en el aula sólo pueden distinguirse teniendo en cuenta el co ntex to en el que s e
plantean y lo que les sigue (Dillon, 1990). Ferreira (2004) toma para su estudio las cuat ro
categorías de preguntas usadas por Ainley (1 988) de acuerdo con los objetiv os qu e persiguen
los profesor es cuando las plantean. Cuando preg untan media nte ‘ pseud o- pregu ntas’ , los
profesores pre tenden esta blecer un compo rtamient o aceptable o un contrato social c on sus
estudiantes. Estas cuesti ones sólo requieren el acuerd o de los estudiantes con el profesor. En
el caso de hacerlo con ‘ pregustas examinador as’ su objetivo es c omprobar si l os estudiantes
responden correctamente. Lo s profesores conocen las respuestas de este tip o de p reguntas y

Ana Ro dríguez Ch amizo: Propu estas Metodo lógicas de Prof esores Novel es de Matemát icas: Diseño y Práct ica en Secun daria
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los estudiantes son conscientes de ello. Es más, los estudiantes tienden a percibir todas las
preguntas com o preguntas examinadoras , incl uso si so n de una categ oría difer ente.
Las ‘ preguntas genuina s’ buscan información, es decir, el profesor no conoce las respuestas
para este tipo de pregun tas. Por último , las ‘ pregun tas provoca doras’ pre tenden provocar el
pensamiento de los estud iantes, haciendo nuevas conexi ones o clarificando las ex istentes,
explorand o nue vas áreas del conoci miento m ate mático, etc. El pr ofesor tam poco conoce
necesariament e las respue stas de est e tipo de cuesti ones (Ainley , 1988).
Consideramo s que l os prof esores deberían preguntar m uchas cuestiones y de diferentes tipos
para estim ular diferentes niveles de pensa miento de los estudiantes y para animar a la
participación de todos los alumnos en los eventos del aula (Ferreira, 2004). No obstante, como
las investigacione s nos mu estran, los profes ores usan demasiad o las preguntas examinad oras y
las pseudo-preguntas y extraen respuestas maquinales y cortas (Dillon, 1990; Kawanaka &
Stigler, 199 9).
En cuanto a la escucha, el propósito m ás frecuen te de los profesores es diagnosticar y
remediar dificultades sobre las actividades que los est udiantes están realizan do, de forma
estandarizad a, en lugar de considerar sus contribu ciones al discurso del aula y usar una
herramienta crucial para tomar decisiones de enseñanza bien infor mados (Davis, 1994). La
escucha de los profesores habría de ser ” una verdadera actividad hermenéutica , que requiere
apertura, humildad , preca ución y ver dad ” ( Davis, 1994: 279), una acti vidad que precisa de una
considerable cantidad de tiemp o para imaginar cómo piensan lo s estudian tes y cómo enfocan
un problema específico, lo que requier e una profun da y m inucios a comprensión de las
matemáticas y una acti tu d a pregun tar, cuestionar, como o pues ta a respon der (Ferreira,
2004).
El papel del profes or en el acompañamiento de las actividades puede ser m uy diferente, como
ya hemos visto, según qu e tienda bien a interv enir rápida y evaluativa mente a las preguntas de
los estud iantes, bien dando suficiente tiempo para que se desarroll e su pensamient o, bien
dando informaci ón anticip adamente al ri tmo de los al umnos, et c.
Plantear preguntas ex plora torias es esencial para comprend er la ‘ perspectiva de los otros’ y es
necesario que los pr ofesores se propongan aprender a preguntar otros tipos de cuesti ones co n
el fin de dirigir los proces os de des cubrir el conocimient o escondid o, perdido o presupues to
(Arcavi & Isoda, 2007). Ejercitánd ose en hacer tales preguntas los pr ofesores acaban

Capít ulo 1: Marco Teó rico de l a Investiga ción

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‘ apropiánd ose ’ , en el senti do de Moschko vich (2004) de los tipos de cuesti ones que guían , es
decir, herramientas para dirigir la co mprensión de las ideas subyacentes en una actividad, lo
cual puede considerars e como una indicación del desarrollo de la ‘ escucha atenta’ . En cambio,
la ‘ escucha evaluativa’ es lo “ dominante y está profundamente enraizada ” ( Arcavi & Isoda ,
2007 : 1 24)
La mayoría d e los pr ofesores co nsid era que las r e spuestas evaluativas s on necesarias. Sin
embargo,
“es una cuestión cronológica. Ed ucar mediante la ‘ escucha atenta’ n o implica necesariamente d escarta r
completamente la eval uación y el ju icio. En lugar de esto se debe ten der a diferirlos ha sta etapas posteriores
en las que tengamos un a compr ensión de dónde están los estudiantes ( …). E l desa fío consiste en caminar p o r
una fina línea entre echar de menos el ju icio inmediato de las idea s de los estudiantes (en lugar de tratar de
entenderlas) y beneficiarse de su evaluación” (Arcavi & Isoda , 2007 : 124 )
 Escuchar a los estud iantes
Subyacen dos afirmaciones interrelacionadas en la aplicación de la filos ofía c onstr uctivista a l a
práctica de la edu cación m atemática :
1. “ Cuando los estudiantes se compro meten genuinamente en resolver problemas matemáticos, pr oceden de
forma personalmente razonable y productiva.
2. Los investigad ores y profesores tien en que aprender a escucha r el sentido y los significados alterna tivo s de
estos enfoques” (Confrey, 1991: 111, citado en Arcavi & Isoda, 2007: 112)
Inspirados en est a cita los autores se prop onen definir ‘ la escucha ’ de lo s estudian tes como
sigue: “ Es dar a te nción cuidadosa a lo qu e los estudiantes d icen (y ver lo que hacen),
tratando de com prenderl o y sus posibles f uentes e implic aciones ” (Arca vi & Isoda, 2007: 112).
Escuchar no es pasivo, sin o que debe incluir l os sigu ientes co mponentes:
 “ Detectar, dedicarse y crear oportun idades en las que os estudian te probablemente se d ediquen a
expresar libremente sus ideas matemáticas.
 Cuestionar a los estudiantes con el fin de descubrir la esencia y las fuen tes de sus ideas
 Analizar lo que un o oye (a veces, consultando con igu ales) y haciendo el enorme esfuerzo intelectual de
tomar las otras perspectivas para entenderlas en su propio sentido.
 Decidir en qué forma puede integrar p roductiv amente la en señanza las ideas de los alumnos” ( Arcavi &
Isoda, 2007: 112).
De esta for ma, ‘ escucha r ’ promuev e la r eflexión, lo que puede llevar a un a c oncepción de la
enseñanza basada en la a daptación, una condición necesaria para el desarrollo profesional
(Cooney & Krainer , 1996). Al gunos investigad ores han descrit o diferentes formas de escuchar a
los es tudiantes como un comp onente integral del pr oceso de instrucción. Más allá de estar al

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Estudi os de caso
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servicio del desarr ollo de un enfoque co ns tructivo de la práctica de la educación matemática ,
escuchar puede tener o tras importante s funcion es i ntelectuales y afectivas. Por ejem pl o, el
desarrollo de la escucha del profesor puede ser un fuerte co mponente de ‘ una forma
cuidad osa, receptiva y empática ’ de tener una conversación profes or -e studiante (Smith, 200 3).
Así los estudiantes pueden sentirse respetados y valorados e internalizar esta actitud como un
hábito que se inc orpora a su repertorio de técnicas de aprendizaje y habilidad es
interpers onales.
’ Escuchar ’ también conllev a desafíos y dificultades : en primer lugar, el peligro de mo strar los
contenidos de modo ‘ empaquetado ’ , olvidando los proces os de aprend izaje que
experimenta mos durante nu estro propio aprendizaje del mism o contenido. Freud enthal
(1983) describe cómo las fuentes del conocimiento pueden sustituirs e por auto matismos. Uno
llega a dominar una activid ad de tal mod o que acaba olvidando lo s ‘ cómo ’ y los ‘ porqués ’ y ya
no se los vuelve a pregunta r más e incluso deja de entenderlos como una cuestión significativa
y relevante. Similarm ente a cómo se olvidan por c ompleto las disputas históricas que ciertas
nociones pr oblemáticas le vantaron (Sfard, 1994).
En segundo lugar, ‘ escuchar ’ requiere una capacidad de descentramiento , de leer a través de
las formas idiosincrási cas de expresarse y aprende r a apreciar su lógica y potencial subyacente
(Ball, 1993).
En te rcer lugar, hay que considerar diferentes forma s de ‘ escucha r ’. A veces nos engañ am os
creyendo que escuchamos , pero no lo hac emos en realidad. Podemos distinguir una forma
‘ evaluativa ’ (David, 1997) de escucha, como opuesta a una ‘ escucha atenta ’ como la define
Smith (2 003) siguien do a D avid, en su es cucha hermenéutica. La prim era es la más común y
consiste en escuchar mientras contrasta mos con la respuesta co rrect a que se espera e implic a
medir la distancia que separa el pr esente estado de conocimien to del estudian te c on el
objetivo deseado, dando i nmediata retroalim entació n basada en la ‘ corrección ’ y aplicand o
estrategias ‘ fijas ’. Para muchos profesores esa es la fo rma de entend er la escucha. No
obstante, esa forma de escuchar conlle va una forma de no hacer caso al pensamient o de los
estudiantes, las fuentes de sus particular es ideas y su po tencial como una fuente de
conocimiento.
En cuarto lugar, co nsid eram os que pueden aparec er dificultades to davía más sutiles: los
inevitables pre juicios. Algu nos investigad ores han descrito el f enómeno de la ‘ minus-escucha ’
( underhearing ) o ‘ sobre-es cucha ’ ( overhearing ), como fenómenos que pueden atribuirse a las

Capít ulo 1: Marco Teó rico de l a Investiga ción

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restricciones bajo las que suelen trabajar los prof esores o más fundamentalment e, a la
incapacidad humana de reconstruir acertadament e el pensamiento del o tro (Even & Walla ch,
2004).
Por último, el m á ximo desafío es aprender a esc uchar atentament e en vivo durante las
interacciones en el aula, propia y productivam ente. Pu ede ser una tarea de extrema exig encia
practicar la e scucha a tenta a lo largo de las múltiples activ idades educativas para las que son
requeridos los pr ofesores (Lamp ert, 2001 ).
El complejo proces o de esc uchar está profundamente relacionad o con una intrincada
colección de c oncepcione s profun damente enraiza das so bre el conocimien to, sobre los
estudiantes, sobre el aprendiz aje y sobre el papel del profesor. Uno no puede convertirse en
un buen o yente a m enos que est é genuina mente co n vencido (mucho m ás profu ndamente qu e
en un nivel d eclarativo) qu e:
 Los estudiantes dan sentido de formas idiosi ncráticamente sofisticada s.
 El aprendizaje es un proceso largo, tortuoso y multi variado en el que las interacciones sociales
(especialmente aquellas entre el profesor y los estud iantes) deben r espetar las ideas e incorpora rl a s en el
proceso.
 El pa pel del profesor desca nsa fuertemente en establecer y nutrir los diálogos, lo que es cen tral para
continuar reestructurando el conocimiento” (Arcavi & Isoda , 2007 : 12 7).

 Planificac ión de las actividades y actuación del profesor dur ante su desarrollo en el
aula
En otro orden de cosas, contemplamos la centralidad del papel del profesor en l a planificación
de l aprend izaje y de las actividad es de los estudiante s (Simo n, 1997; Steinbring, 19 98). Simon
(1997) ilustra el papel central del profesor en designar una ‘ hipotética trayectoria de
aprendiza je ’ que incluye los o bjetivo s de aprendizaje, planes para las actividades d e
aprendizaje y una hipótesis del proceso, como hemos descrito en el Apartado 1. 1 . 3. 2. 1 . El
papel del profesor co nsiste en adaptar la trayectoria de aprendizaje planificada al proceso real
de aprendizaje qu e aparec e en las interac ciones con y de los es tudiantes.
Los procesos seguidos por los estudiantes al realiz ar las actividades pueden tom ar numerosos
caminos y el profesor debe conocer posibles alternati vas (F ennema, et al. (1989); Simon 1997 ;
Fennema & R omberg 1999). El profesor debe ser co nscien te de la comprensión que lo s

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estudiantes pu eden obtener mediante la realizaci ón de est a s actividades, con el fin de adaptar
lo que ha planificad o a la n ueva situación d e aprendiz aje.
Una vez plantead o el trab ajo, el pr ofesor puede actuar de muy diferentes for mas . R obert &
Rogalski (2005) nos descr iben posibles intervenciones que no se corresponderían con la
tendencia in vestigativa :
 Toma el control inmediatamente o casi poco después, con algunos ejemplos
específicos que muestran el camin o a seguir. Todas las actividades son ca si inmediatam ente
seguidas por inter vencione s del profesor, proponiend o una serie de sub-tareas, q ue simplifican
enormement e la acti vidad inicial y también la de los es tudiantes.
 D a un bre vísimo espacio pa ra iniciar la bú squeda de un a solución abierta.
 Permite a los estudiantes proponer un camino para encontrar la soluci ón , siempre qu e
no se desvíe mucho de su idea in icial .
 Propone, lo antes p osible, la aplicación de una fórmula o una referencia de ejercicio s
previos.
 Sugiere procedimient os mixtos, procedentes de lo aprendido en clase y los específicos
de la actividad .
 Se adapta a las reacci ones de los alu mnos, pero estas adaptaciones tienen que es tar en
el marco de las actividad es que él ha establecido.
 Detecta un error debido, bien a un aprendiz aje def ectuoso de pr ocedimi entos previos ,
bien a un simpl e error d e cálculo.
 Fragmenta nueva mente el traba jo propuesto y esto hace que los estudiant es solo usen
el conoci miento parcial que la actividad requier e. Si aún así, los estudiantes no pueden
manejarla, la simplifica aún más. Esto es particularment e cierto cuando se puede usar una
fórmula y n o deja que los e studiantes de terminen l os pasos sucesiv os.
 Pide que se contes te la cuestión planteada de cóm o resol ver cada sub-tarea en el
grupo-clase y, en particula r, cómo usar la fórmula dada. Lo único que ti enen qu e hacer por sí
mismos s on los cálcul os que se preparan c olectivame nte con cuidado.
La fragmentaci ón de las actividades en pequeñas y precisas sub-tareas contrib uye a que el
profesor dirija a los estudian tes a través de una ru ta cogniti va pr edetermina da, así co mo
permite que m ant enga un fuerte control de la clase, a la vez, que rebaja considerablemen te su
nivel cognitiv o.

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“ La clase de activi dades que los estudiantes tie nen q ue desarrollar se puede relacio nar con la forma en que el
profesor introdu ce un a pregunta o una actividad , c on el tiempo c oncedido a los alumnos y con la información
que da el profesor ” ( Robert & Rogalski, 2005: 277).
El profesor quier e estar seguro de que el tiemp o que da a los estudiantes se e mplea en
aprender el c ontenido que él ha establecid o y que puede confiar en que se hará bie n. Cuando
los pro cesos de cons ecución de las a ctividades por parte de los es tudiantes s e refier en a los
estudiantes considerados como gran grup o clase, hay dos indicad ores significati vos a tener en
cuenta:
1. La forma en que el profesor reacciona a las contribuciones orales de los alumnos ,
desde sus asientos o desde la pizarra, es una oportuni dad de compar tir con la clase la actividad
del estudiante que habla. De este modo toda la clase sigue el desarrollo de la actividad. Desde
esta perspectiva, la fragmentación de las actividad es es también una forma de conseguir qu e
todos los alu mnos estén ha ciendo la mis ma actividad .
2. El tipo de decisión que toma cuando afronta el error de un estudiante o una respuesta
inesperada, ta mbién pu ede aportar luz sobr e su tend encia didáctica .
La tabla I p resenta ejemplos de las seis posib il idades de respuestas de los profesores a
las contribuciones orales de los estudiantes que e stas autoras señalan:
TABLA I: POSIBLES TIPOS DE RESPUESTAS DEL PROFESOR

- Repetición d irecta

Repetición de las palabras de los estudiantes

Repetición con un marcador simple

Repetición con marcadores , de acuerdos expresados y conclusiones de un ítem de un ejercicio

- Respuesta con un elemento de corrección

- Respuesta con una corrección implícita

- Respuesta con una corrección expl ícita

Fuente : Robert & Rog alski, 2005: 286
Como vemos, hay diferen tes p osibles reacciones del profesor a las contribuciones de los
estudiantes : dejarles que desarrollen a su ritmo una propuesta, dejar que otros estudiante s
reaccionen o bien, interactuar directamente con ellos . Aban donar algunas de las posturas que
acabamos de describ ir, pu ede ir lle vando al prof esor h acia tendencias más innova doras.

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Estudi os de caso
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Ya no s hemos expresado largament e con anteriorida d có mo considera mos que han de ser las
preguntas del profesor y su actitud ante la s aportaci ones de los estudiantes en la tendenci a
investigativa, p or lo que resumimo s: comunicars e con los estud iantes en una forma de no
juicio y animar a la participación de cada estudiante, requiere darles la oportunid ad de
explicarse completamente y de dar justificaciones o demostraciones oral es y/o escrit as .
Escuchar cuidadosam ente las ideas de los estudiante s y tomar decisiones aprop iadas, im plic a
mirar cuándo ofrecer informaci ón, cuándo clarificar u o frecer un modelo, cuand o liderar y
cuándo dejar a lo s estudian tes luchar con sus d ificulta des.
Así mismo, favorecer la interacción estudiante-estudian te implica ayudarles a escucharse,
responder, plantear cuestiones a los demás, de modo que puedan evaluar y, si es necesario,
estar en desacuerd o o rev isar las ideas y tomar completa responsabilid ad para llegar a
conjeturas matemáticas y/o conclusion es (Ar tzt & Armour- Thomas, 1 999).
 Cierre de los procesos de apren dizaje y const rucción del conocimient o
El conocimient o es un proceso creativo, en el que la persona construye los significados cuando
se implica en el proceso de aprendiz aje, es decir, el con ocimiento se genera en la actividad del
sujeto. Ta mbién es un pr oceso compartido (Ed wards & Mercer, 1987), en el qu e las personas
realizan una c onstrucción co njunta del conocimiento, negociando los sig nificados y
cooperando en dicha c onstrucción. E s un pr oceso soci al e interac tivo y lo que se aprende está
determinado socialmente y depende de los escenari os en los que tiene lugar, en nuestro caso,
el aula, con unas características específicas que lo d iferencian de uno científico o cotidian o
(Rodrigo & Cu bero, 200 0 ).
El papel del profesor, en este sentido, se refiere a c ómo dirig ir el proceso de neg ociación y el
establecimien to d e sig nifi cados c onjuntamente y q ué tipo d e p reguntas ha de hacer para
facilitar el pensamiento de los alu mnos y hacerl o evoluci onar, l o cual es fundamental en la
construcción c onjunta del c onocimiento .
Por una parte, hemos de tener e n cuenta que es difícil aprender a descu brir cuando la
aportación de un alu mno es relevante y tener la agilidad mental y la creatividad sufi ciente para
responderl e fomen tando l a ex presi ón de sus ide as como base para que avance la discusión en
la clase, así como para que esta discusión sea prod uctiva matemáticamente (Sh erin, 2002).
También es difícil ser capaz de ir haciendo una síntesis de todas esas aportac iones que van
haciendo los estudiant es en una puesta en com ún o en un debate y hacerlos subir a u n ni vel

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superior, desde el nivel en el que están l os alu mnos, sin que se pierdan. Por otra parte, como
el conocimient o se produce en la interacci ón, si esa interacción está orientada por un
profesional, es mucho más rica. L os alumno s no suele n estar entrenados en de tectar si l o que
dice el compañero es igual que lo que dice él, si es más o menos significati vo. En la actualidad,
incluso a vece s ponen en duda la autoridad del profe sor, c omo r esultado de la so ciedad en la
que viven, d onde faltan figuras de autoridad mo ral. Por todo ell o, hace falta una habilid ad
grande para controlar así el ‘ discurso ’ de la clase y hay que tener u n conocimient o muy
profundo de l a materia.
Trabajando de este modo, el profesor, al favo recer las interacciones entre los estudian tes pa ra
compartir sus aprendizajes, m ediant e el contraste y el debate entre las diferentes
aportaciones, señaland o las dudas de grupo, las discrepancias y coincidencias, organ izando los
acuerdos y , partiend o d e ello s, elevando a un nivel superior el conoci mient o expresado,
contribuye de un modo rel evante a su estruc turación y socializaci ón .

1. 2. 1. 7 PAPEL DEL AL UMNO
Pasando al papel que los alumnos juegan en el aula, consideramos que ha de ser activo,
participativ o y colaborativo, com o resolut or de problemas significativ os y relevantes y co mo
constructor - reconstruct or de su conocimi ento. Esta visión del papel del alumno se
corresponde con una epistemología relativista de la naturaleza de las matemáticas, es decir ,
con el carác ter procesual, r elativo y evolutivo del c onocimiento (García Díaz, 2002).
Abundan do en lo que acabamos de expresar, d esde una perspectiva más claramente
psicológica, nec esitamos profund izar en la naturaleza del proceso de cambi o del conocimi ento.
La idea d e conocer como un proceso creativo, donde los significados son cons truidos, implica
una concepción de las pers onas como agent es activos y responsab les de su propio aprendizaje .
El conocimiento se genera en la actividad del sujeto y, además, la actividad que determina la
organización del c onocimie nto del estudian te está en función de dicha organizac ión cognitiva,
es decir, las estructuras de co nocimi ento y el conocimien to mismo se confunden en el proces o
de construcción, asociad o siempre a la resolución de proble mas ( Fournier, 1999 ; Riv ero, 200 3).
Nuestra organización cogni tiva condici ona la for ma d e procesar la información, de interpretar
los hechos y la experien cia, de planificar la acció n y de ver el mundo. A su vez, dicha
organización s e configura y evoluciona en la acción.

Ana Ro dríguez Ch amizo: Propu estas Metodo lógicas de Prof esores Novel es de Matemát icas: Diseño y Práct ica en Secun daria
Estudi os de caso
106

La importancia de dar prot agonismo a los estudiantes está bastante admitida y lo s profesor es
están bien predispuestos a aplicarla en la práctica. Pero el profesor suele identificar
protagonism o c on activism o, es decir, trata de animar a los alumnos a hacer continua mente
actividades, sin analizar en profundidad si esas actividades sirven o no para la e laboración
compartida del saber (Garc ía Díaz, 2003 ).
De lo que se trata es de maximizar el potencial de las discusiones de los estudiantes entre sí,
para su propio apre nd izaje, en la clase de matemáticas (McNair, 2 000), de que reorganicen
sus ideas, construyan gr adual y progresivamente el conocimient o, que participen en
momentos de recapitula ción y de reflexión sobre lo aprendid o, que trat e n en profundid ad los
contenidos y no de f orma apresurada, de modo que pueda contrastar estas ideas con su s
iguales y con el profesor. De esta forma, podemo s concebir el ‘ discurso ’ en la clase de
matemáticas como un puente entre lo ind ividual y l o social (Kieran, 2001 ; Se eger, 2001 ). As í
mismo, ha de poder transf erir lo aprendido en un contexto concreto a o tros contextos (García
Dí az, 2 003) .
Por razones varias, el éxito en matemáticas puede ser una fuente de autoes tima para los
estudiantes. El sentimien to de que están progresa ndo en una materia de ’alto estatus’,
especialment e si han fracasado en ella anterior mente, puede ser m u y valioso para ellos. Más
aún, una experienci a positiva en mate máticas puede mej orar el poder de su mente. Esta
autoestima pu ede desarr ollarse a través de :
 Respondiend o, usa ndo y genera ndo sus pr opias cuesti ones.
 Ofreciend o desafíos y ap oyo, en lugar de si mplificar el trabajo.
 Animando a tomar riesg os, como cr ear sus propias hip ótesis.
 Desarrollando la colabora ción en el aula cuand o trabajan en mate máticas.
 Reforzand o la conciencia del aprendiz aje realizado, por ejemplo, u sando ejercicio s
prácticos de aut o-evaluación.
Estos aspect os, relativos al papel facilita do r que ha de jugar e l profesor, pueden tener su
correspondencia co n ciert os criteri os que sup onen u na concreción d el papel de l alumno en el
aula y que podrían indic ar po sibles actuaciones positivas de los alumnos, a la vez que , de paso,
contribuirían a fa vorecer ta mbién su pr opia auto-esti ma. Señalamos algun os a continuación :
 Ser responsab le y auto-reg ular su propio apren dizaje.

Capít ulo 1: Marco Teó rico de l a Investiga ción

113

enseñanza ‘ centrado en el al umno ’ , pero en las observaciones de aula se iba percib iendo, hacia
el tercer año de estudio, un a tendencia a la separación de ese estilo hacia otro centrado en el
profesor, abandonand o la idea del alumno como protagonista, debid o a la influ encia de la
cultura profesional dominan te en la escuela y a la necesidad de control de lo que pasa en el
aula. Al p rincipio se consi deraban más id ealistas p ero la ‘ r ealida d ’ les hacía aterrizar,
tendiendo a estil os de ens eñanz a que reflejasen un mayor dominio del aul a.
De los datos recogido s en la investigaci ón se deduc e que el cambio en las acciones de los
profesores, especialment e hacia proc esos de enseñanza más centrados en el alumno y con un
estilo investigativo, son bastante complejos y nada inmediat os. Es tos cambios requieren que
los profesores refle xionen y adopten diferentes conocimient os, pensamiento s y práctica s
docentes, que les permitan observar y analizar la realidad de sus aulas con nuevas
perspectivas. Que intercambien información y co ntr asten sus ideas con otros para cambiar y
evolucionar.
La inves tigación de P atters on (2 002) se sitúa en parámetr os si milares, analizando el impacto
de un programa de for mación para prof esorado n ovel sobr e tre s de sus participantes d e
Ciencias de Secundaria. El objetivo del pr ograma era, por una parte, construir vínculos en tre
sus experiencias de fo rma ción previa y las oportunidades que les o frecía la actuación en el
contexto de la educación tradicional y , por otra parte, facilitar el apoyo neces ario mediante
una metodología investig ativa, que promovía la reflexión de los profesores sobre sus
experiencias de enseñanza.
El est udi o des cribía las cr eencias d e est os pr ofesores sobre la enseñanza y el aprendiz aje y
exploraba cómo se desar rollaban estas concepciones durante el progra ma, mediante la
observaci ón de sus prácticas de enseñanza, así como el de cada profesor en función de las
ideas y el co ntext o de cada uno, a partir de los estudios d e caso. De sus conclusiones,
destacamos que el desarrollo de las creencias sobre los proces os de enseñanza aprendizaje
varía en los distintos casos. L a diferencia del grado d e impact o del programa en cada prof esor
podría explicarse , en parte, por las creencias que los p rofesores traen al programa, pero
también por el context o donde cada uno trabaja.
Así mismo, el est udio de Ro ehrig (2002) es complementari o del anterior, pu es se refiere a l
mismo progra ma, contemplan do otros aspectos, tales como la nece sidad de diversificar los
apoyos ante un profesora do diverso y de orientar la integración del c ontenido científico y
pedagógico que este pr ofesorado ne cesita. Pero su objeto de estudio sigue siendo el impa ct o

Ana Ro dríguez Ch amizo: Propu estas Metodo lógicas de Prof esores Novel es de Matemát icas: Diseño y Práct ica en Secun daria
Estudi os de caso
114

de esto s programas en las prácticas y creencias de un grupo de profeso res de Ciencias en su
primer año de experiencia, procedentes d e diferen tes programas de pr eparación.
La inve stigación de Cues ta (2003) pone el foco de at ención en una actividad for mativa dir igida
al profesorad o n ovel de ciencias en sus dos primeros años de ejercicio docente. En ella
participaron cuatro profesores de biología y geología, seis profesores de matemáticas y ocho
profesores de física y química. De las muchas cuest iones que se plant ea esta investigadora,
una de las más relacionad as con nuestro propi o estudi o, e s:
 “ ¿Cuále s son las concepcio nes docentes, los hábitos metodológicos, las actitud es hacia
la docencia del profesorado participante? ¿Cuáles so n las preocupaci ones docentes del
profesorado pa rticipante? ”
En primer lugar, Cuesta (2 003) se refiere a las caract erísticas del pensamiento pedagógico del
profesorado, señalan do su preo cupaci ón instructiva, es decir, cómo cumplir el programa de
enseñanza y hacerlo en las mejores condiciones. El profesor novel cree que el aprendiz aje
depende fundamentalm ente del alumnad o, de su capacidad e interés, residiendo los
problemas docentes en su actitud, co mporta miento y capacidades. Su co ncepci ón de
docentes, la responsabil idad que conlleva y las actuaciones en que se co ncr eta, se centran
fundamental mente en torn o a transmitir, c ontrolar, corregir y cali ficar.
En segundo lugar, la autora contempla los factores que facilitan el cambio, consid erando la
etapa de novel como m u y propicia a ello, debido a que, por primera v ez, se enfrentan a
problemas re ales en la prá ctica:
“ Consideramos que el p rofesorado novel comparte con el profesorado en formación inicial un sistema de ideas
arraigado y cohesionado, fruto de su experiencia escolar, pero existe tamb ién entre ambos colectivos una
diferencia fundamental: el profesorado nov el cuenta con una p ráctica p rofesional que le plantea problemas
prácticos reales a los que sus referentes no dan respuesta. L a posibilidad d e reconocer y sentir como p roblemas
las sit uaciones qu e les presen ta su práctica es un aspecto fundamenta l para ‘resquebrajar’ y plantear
desequilibrios y rupturas en su sistem a de id eas y prácticas ” (Cuesta, 2003: 461) .
Sus concepci ones están muy cerca de las del e studian te para pr ofesor, puesto que aún no ha
tenido tiempo de adquirir experiencia. Pero lo s problemas de la práctica sirven de acicate para
un aprovechami ento much o mayor de la for mación en este momento.
En tercer lugar, la autora refleja algunos obstáculos que interfieren en el ca mbio de est os
profesores, señalando r esistencias derivadas de la propia inseguridad como doc entes
inexpertos, el miedo a per der el ‘ control ’ de la clase, a salirse del camino segu ro recorrido por

Capít ulo 1: Marco Teó rico de l a Investiga ción

115

sus propios profesores (que han configurado sus esquemas de pensamiento y acción) y de los
actuales colegas que comparten la enseñanza en su centro, su concepci ón sobre la naturaleza
absolutista del c onocimien to, sobre el pap el sanci onador de la evaluación, etc.
Las c onclusiones de su estudio en estos aspectos, (recogidas más ampliam ente en el Apartad o
1. 1. 1. 2) son muy similar es a los resultad os de la investigación que hizo nuestro propio equipo
(Solís et al., 2002) en otra actividad formativa . Las conclusiones del Proyecto más cercanas a
nuestra investigación, cor roboradas en años sucesivos por esta investigador a (Rodríguez,
2003a, b, 2005; Rodríguez et al., 200 6 a, b ; Azcárate, et al., 200 7; Rodríguez, 2007 ), se han
expuesto en el Ap artado 1. 1. 1. 2.
Tanto Cuesta (2003 ) como Solís y sus colaborad ores (2002) subrayan, así m ism o, las
condiciones lab orales y de incertidumbre en las que estos profesores comienzan su andadura,
no idóneas en absoluto, tanto para atender las complejas demandas educativas como para
favorecer su pr opio desarr ollo profe sional.

1. 3. 2 ESTUDIOS SOBRE RELACIONES ENT RE CONCEPCIONES DE LOS PROFESORES
Y SU PRÁCTICA
Artzt & Arm our-Thomas (1999) presentan un es tudio, dentro d e la perspecti va c ognitiva, e n el
que, más allá del comp ortamiento de los pr ofesores, estudian sus co gnici ones y ponen el
acento en la importancia de la reflexión sobre la práctica para el desarrollo profesi on a l del
profesor.
El trabajo exploratorio de estas autoras indica que la naturaleza de la prác tica varía a menudo
durante diferentes segmentos de la lección, lo que apor ta una justificación para diseñar un
marco teóri co que permita dividi r la lección en fases te mporales.
Para el estudio de las tres dimensiones antes señala da s, las aut oras se p lant ea n unas mis mas
cuestiones que guí en la inv estigación:
a) ¿Cómo selecci onan y estructuran lo s profesores las tareas de forma que prom u evan
aprendizaje con significado ?
b) ¿Cómo crean los profesores un clima de aula de forma que promuevan apren dizaje con
significado?

Ana Ro dríguez Ch amizo: Propu estas Metodo lógicas de Prof esores Novel es de Matemát icas: Diseño y Práct ica en Secun daria
Estudi os de caso
116

c) ¿Cómo facilitan los profes ores conversacion es entre los estudiantes en el aula de fo rma
que promuevan aprendizaj e con signifi cado?
Las ‘ tareas ’ pueden ap ortar oportunid ades a los aprendices de conectar su conocimien to a
nueva información y co nstruirlo mediante una implicación activa en la resolución de
problemas signifi ca ti vos . Los conceptos se intr oducen y discuten con l os estudiantes tomand o
decisiones so bre las tareas que promuev an aprendizaje co n significado. Además, pueden
considerarse otros atributos de las tareas para que surjan y se sostenga la a tención de los
estudiantes a lo largo del tiempo. Los que resaltan las autoras para su est udi o s on: estrategi as
de motivación, niveles de dificultad / secuencia y formas de r ep resentación . To dos estos
aspectos están incluidos en nuestro estudio metodológico, aunque co n una e structuración
distinta.
El ‘ clima de aprendiza je’ puede aportar un contex to o ambient e en el que l os estudiantes
puedan explorar e intercambiar ideas. Estas condiciones contribu yen a que el los tengan
actitudes positivas hacia las matemá ticas y en su nivel de implicación en las investigaci ones
matemáticas (NCTM, 1 991 a; Chapin & Eastman, 1996). Los atributos que resaltan las autoras
para su estudio son: clima social/intelectual, modos de instrucción /ritmo y rutinas . También
estos aspect os están inclui dos en nuestr o estudio me todológico, con distin ta est ructuración.
El ‘ discurso ’ puede aportar o portunidad es a los aprend ices de compartir experiencias que lo s
capacite para darse cuenta de las relacione s de interés, para justificar las relaciones
observadas y les permit e asumir la resp onsabilidad de resolver pr oblemas. Los in vestigadore s
dan gran im portancia a las tareas y a la interacción verbal en el aula que probablement e
influye en las representaci ones que forman los estud iantes y las conexi ones qu e hacen ( Mack ,
1990 ; Behr et al., 1992 ). El ‘ discurso ’ describe el inter cambio v erbal entr e los miembros de la
comunidad del aula: profesor es y alumnos. Los atributos que resaltan las autoras para su
estudio son: las int eraccio nes profeso r-alumno y las preguntas, así mismo contempladas en
nuestro trabaj o .
Como base para la creació n del modelo las autoras han examina do las cognicion es y prácticas
de siete profes ores con experiencia y siete estudi antes de profesor de m atem áticas de
educación secundari a. Los datos se han o bt en ido mediante o bser vaciones, la planificación d e
las lecciones, grabaciones de audio y vídeo y entre vistas estructurad as, durant e un semestre.

Capít ulo 1: Marco Teó rico de l a Investiga ción

117

Las autoras de esta investigación ofrecen los resultados en tres apartados, habie ndo agru pado
a los profesores o bser vados en tres Grup os, X, Y, Z , según el tipo d e cogniciones y práctic a
observadas. Dentro de los co mponent es de cada grupo, eligen una persona como ejemplo
concreto de sus cognicione s y prácticas.
Sólo en el Grupo Y los profesor es que aparecen son to dos estudiantes para profesor y por ello,
resumim os los resul tados co rre spondientes al mism o. D e estos profesores, las autoras han
elegido a Ellen, que en cierto modo los representa. Ella ex pres ó, en la fase Pre -activa
solamente objetivos proc edimental es y su deseo de cubrir el co nteni do. Rev eló únicament e un
conocimiento vago y general sobre los estudiante s, el contenido mat emático y la pedagogí a
relacionada. Habló del contenido aislada mente y de est rat egias para conseguir ganar tiempo
para cubrir el contenido. En la fase Post-activa ha mostra do coherencia con los objetivo s de la
primera Fase, al notificar q ue los alumn os n o han cubierto todo el contenido y q uejándose del
comportami ento de los alu mnos.
En la fase Interactiva, sus secuencias se caract eriza n por ser ilógicas , demasi ado fáciles o
difíciles. Tanto la organiza ción del co nteni do como las herramientas utilizadas enmascaran la
claridad de lo s concept os. Las rutinas, combin adas con el rit mo qu e es demasiad o rápido o
demasiado lento, co ntribu yen a la creación de una atmósfera tensa y enrare cida en la que
muchos estudiantes parecen desconectad os de la tarea. L as interacciones verbales durante la
lección reflejan las cogniciones de la profesora, ev id enciándose en la naturaleza del discurso.
Todas las preguntas de Ellen son de bajo nivel, liderand o el tiempo de espera que la mayor
parte de las veces es inadecuado. No r equiere que los alu mno s d en explicaciones de sus
respuestas, ni anima a la interacci ón entre ello s, sin o que juzga sus respuestas. Ninguno de los
profesores del grup o Y hace desvia ciones respecto d e su plan original, a pesar de la confusi ón
mostrada p or los estudiant es durante la lección.
La prácti ca de enseñanz a y las co gnici ones de los profes ores del Grupo X, ejemplifican en
muchas for mas el d esarrol lo profesi onal de estos pr ofesores más allá de la ‘ et apa inic ial ’ de
enseñanza. En sus clases h ay intercambios verbales ri cos entre los estudiantes y entre estos y
el profesor. Los profes ores se implican en un seguimient o intensivo de dichas int eracciones
verbales y del comporta miento de lo s estudiantes du rante sus s esiones de clase. Este cercano
seguimiento está relacionado c on sus rigurosos juic ios posteri ores a la lecci ón relacionad os
con el cumpli miento de sus o bjetivos de enseñanz a, que los estudiantes aprendan
comprendiendo y sean buen os resolut ores de problemas, lo que es sim ilar al comportamien to

Ana Ro dríguez Ch amizo: Propu estas Metodo lógicas de Prof esores Novel es de Matemát icas: Diseño y Práct ica en Secun daria
Estudi os de caso
118

de los profes ores exp ertos (Si lver, 1 985 ; L einhar dt & Greeno, 1986; Sch oenfeld, 198 7 ;
Livingston & Bork o, 1990 ). En nuestro estudio los rela cionaríamos con profes ores de tendencia
investigativa. Es importante subra yar que uno de lo s profes ores del Grupo X , con estas
competencias, aso ciadas generalmente a la experi encia, es solo estudiant e para profesor. Esto
es, aunq ue la experi encia juega un rol i mportante en el desarr ollo del pr ofesor, es posibl e que
un princip iante enseñe c on los alumnos c omo foco de su enseñanza.
En contraste, la práctica de enseñanza y las cogniciones de los prof esores del Grupo Y, en el
mejor de los casos, parece de la ‘ etap a inicial’ del d esarrollo profesional, caracteriz ada por una
enseñanza tradicional, don de el profesor está diri gid o p or la cre encia de que los estudiantes
aprenden mejor recibien do infor mación clara transmitida por un profe sor con gran
conocimiento (G oldsmith & Shifter, 1997 ). No nos extende mos en los resultado s y análisis del
Grupo Z, mezcla de a mbos, del que sólo quere mos destacar que es en el que más
incoherencias ap arecen en tre las cogniciones y la prác tica .

1. 3. 2. 1 ALGUNOS EJEMPLOS DE RELACIO NES ENTRE LAS CO NCEPCIO NES SOBRE L A
ENSEÑA NZA Y EL APRE NDIZAJE
Otros autore s, como Potari & Georgiadou – Kab ouri dis (2 008) se plantean cómo utilizar el
conocimiento prof esional para ser capaces de tom ar decisiones sobre la e ns eñan za a partir de
sus ideas sobre el aprendiz aje, agrupando las creencia s de los profes ores en cuat ro niveles:
 “Niv el A: L os profesores en esta categoría creen que los estudiantes aprenden mejor cu ando les cuentan
cómo hacer matemáticas.
 Niv el B: L os profesores en esta ca tegoría empiezan a cuestionarse la idea d e que los estu diantes necesitan
que les muestren cómo hacer matemáticas, pero tienen conflict o con estas creencias.
 Niv el C: Los profesores piensan q ue los estudiantes podrían aprender matemáticas cuan do resuelven
muchos problemas y discuten sus soluci ones.
 Nivel D: Las creen cias de los profesores en esta ca tegoría están caracter izadas por la a ceptación de la idea
de q ue los estud iantes pueden resol ver p roblemas sin instru cción directa y que el curr ículo de matemáticas
debería estar basado en las habilidades de lo s a l umnos ” (Fennema et al., 1996: 423, citado en Po tari &
Georgiadou – Kabouridis, 2008: 72 ).
Esta concreción de cree nci as, puede contribuir tambi én a enriquecer nuestro propio an álisis.
Beswick (2007) nos presenta alguna s caracterís ticas observables de las clases, relativa mente
independien tes del enfoqu e pedagógic o utilizado, pero coherentes, en aqu ellos aspectos que
el profesor necesita identi ficar, con un punto de vista co nstruc tivista del aprendiz aje . Esto

Capít ulo 1: Marco Teó rico de l a Investiga ción

119

implica el estudio de las creencias que emergen de la observación de las interaccione s en el
aula, es decir, el ‘ clima del aula ’ refiriéndonos a la si tuación (‘ milieu ’ ) social y psicol ógica del
aula (Beswick, 2007; Fra ser, 199 1). Algunas de estas caracterís ticas que presen ta son:
 “Poner el foco de a tenció n en los estudia ntes: sus necesidades, sus antecedentes, sus i ntereses y,
particularmente, los contenidos matemáticos c omprendidos (Pirie & Kier en, 1992; Richar dson, 2 003; Simon,
2000; Taylor et al., 1993).
 Facilitaci ón de diálogo de modo que pueda negociarse el in t ercambio de las matemáticas relevantes
entendidas (Pirie & Kieren, 1992; Richardson, 2003; S imon, 2000; Taylor et al., 1993).
 Un factor importante en este tipo de consideració n es la existencia de n ormas so ciales q ue incluyen pedir a
los estudiantes que justifiquen sus ideas (Pirie & Kieren, 1992; Simon, 2000).
 El uso a propósito de tarea s, materiales, cu estiones o informació n pa ra estimular la reflexión y la posible
reestructuración de lo que los estudiante s han comprendido (Pirie & Kieren, 1992; Richardson, 2003; Simon,
2000)” (Beswick, 2007: 98).
Otro ejemplo m ás de la estrecha relación existent e entre las conc epciones de los profes ores
sobre la naturaleza de las matemáticas, su enseñanz a y aprendizaje nos las ofrecen Barkatsas
& Malone (2 005: 206):
“Mi p ropia noción sobre la estructura conceptual de las Matemáticas como asignatura era que tenían qu e ser
enseñadas de forma lineal. En otras pa l abras, qu e los conceptos más básicos hay que enseñarlos y aprend erlo s
antes que otros más difíciles. E sto limitaba el ra ngo de mis prácticas, lo que servía y rea firm aba la naturaleza
académica de la a signatura. Creía que los niños n ecesitaban una estructura, pero me cuestionaba su habilida d
para crear estas estructuras por sí mismos”.
Numerosos investigadores han propuesto otros esquemas de categorizaci ón. Por eje mplo,
Skott (2001) propuso el de Imágines de la s Matemáticas Escolares (School Mathematics
Images) como un construc to para capturar las cr eencias de lo s profes ores relacionadas con l a
enseñanza y el aprendizaje, las cuales implican prioridad es idiosincráticas en relació n con las
matemáticas, como materia escolar, y su enseñanza y aprendizaje en la escuela. Otro s
investigad ores aseguran que categorías individuales o más amplias fracasan por falta de poder
explicativo para la práctica de lo s profesores, necesitando ‘ colecciones de creencias ’
particulares y específicas para cada conte xto (Aguirre & Speer, 199 9; Speer, 2 000, 200 1).

1. 3. 2. 2 RELACION ES ENTRE CONCEPCIONES SOBRE LA ENSEÑANZA DE UN
CONTENIDO CONCRE TO Y LA PRÁCTIC A
Los estud ios de Agudelo-Valderrama (2006, 2 008) y sus colaboradores (Agudelo-Valderrama,
Clarke & Bish op, 2007) se centran en la relación entre las co nc epciones sobre el inici o de l

Ana Ro dríguez Ch amizo: Propu estas Metodo lógicas de Prof esores Novel es de Matemát icas: Diseño y Práct ica en Secun daria
Estudi os de caso
120

álgebra de profes ores d e mat emáticas colombian os y sus concepci ones sob re sus propias
prácticas de enseñanza. Se expl ora la compr ensión de estos profesores so br e s us prácticas de
enseñanza con la mirada puesta sobre sus concepciones hacia el cambi o de su enseñanza,
aportando oportunidad es de exponer el poderos o rol que los factores institucio nales y sociales
juegan en sus concepci ones so bre sus prá cticas. El grad o que los pr ofesores atribuyen a estos
factores extern os como raz ones cruciales de l o que hacen en su ens eñanza, so n la base de las
tres categorías que estos investigadores utilizan en su estudio como determinantes más
importantes de sus práctic as de enseñanz a.
Los participant es, en princi pio fueron trece profesor es de Educación Secundaria, de los que se
se leccionar on n ueve, los cuales enseñab an en seis centros d e secund aria diferentes, unos
estatales y otros privad os. De estos nueve profeso res, los investigad ores presentan cin co
estudios de caso en función de la variedad de concepciones registrada s en los e studios. De
estos cinco profesores, dos eran no veles (co n dos y tres años de experiencia do cente) y tre s
tenían más experiencia p rofesional. Los datos se recogie ron en dos fases: en la primera,
mediante dos cuestionarios a to d os y en la segund a, mediante l a observaci ón de clases,
análisis de materiales didácticos, entrevistas y una sesión de grupo. Aunque el objetivo
principal era la detección de co nc epciones en tor no al inicio del álgebra, tam bién esta
investigación tiene una parte común con la nuestra en lo que se refier e a las prácticas de
enseñanza. Los resultad os so n par ticular mente rel evantes para comprende r la estabilidad d e
sus concepcion es.
En sus conclusiones, estos investigadores m ues tran cómo las concepciones de estos cinco
profesores sobre la naturaleza del inicio del álgebra sustenta n sus concepciones sobre los
determinantes cruciales de sus prácticas de enseñanza, dividiendo al grupo en dos partes:
Pablo, un novel en su segu ndo año de ejercicio, que considera qu e este aprendiz aje se produce
in ternamente , mi entras que los otros cuatro profe sores consideran que el aprendiz aje del
álgebra se pr oduce externa mente.
Para Pablo, los estudiante s necesitan crear significa do en su trabajo matemá tico y se siente
capaz de diseña r y organizar situaciones e n el aula con este propósito, es decir, se co nsid era
con alta auto-eficacia. Él cree que sus conocimient os y disposicion es son cruciales
determinantes de la enseñanz a que trata de aplicar (control intern o). Por el contrario, para lo s
otros cua tro profesores, el conocimient o pasa del profesor y/o el libr o a los estudiantes. Si
éstos no apr enden es p orque les falta motivaci ón o conocimientos previos y est os profes ores

Capít ulo 1: Marco Teó rico de l a Investiga ción

121

no pueden hac er más en estas circunstancia s, es deci r, se co nsider an con baja au to -eficacia. Lo
que es más, los determi nantes de su enseñanza son externos y se rela cionan con el
comportami ento de los estudiantes (control extern o). P resentam os sus resultados, en este
sentido, en el siguiente Cuadro:
UN RESUMEN SIGNIF ICATIVO DEL PROP ÓSITO CENTRAL DE ENSEÑA NZA DE LOS PROFESORES, SU ESTILO DE
ENSEÑAN ZA Y DE SUS PRÁCTICAS DE EVALUACIÓN

PABLO

NORA

LUIS

ALEX

PACHO

PROPÓSITO
CENTRAL DE
ENSEÑAN ZA

Ayudar a los
alumnos a ver la
‘razón de ser’ de
lo que están
aprendiendo.

Promover el
desarroll o con
fluide z en la
manipul ación de
expresiones
simbólicas.

Preparar a los
alumnos para
siguiente nivel.

Preparar a los
alumnos para
siguiente nivel.

Preparar a los
alumnos para
siguiente nivel.

ESTILO
CENTRAL DE
ENSEÑAN ZA

Promover
conexiones
entre los
conceptos a
tra vés de
actividades
basadas en
problemas.

Dar
explicaciones
claras de las
reglas de los
procedimientos
a seguir.

Explicar los
pasos a seguir
en un a lista de
ejercicios
basados en
reglas.

Explicar las
reglas de
manipul ación
que necesitan
para resolver l os
ej ercicios del
libro de texto.

Dar
explicaciones
claras, con los
mayore s
detalles, de los
procedimientos
a seguir.

FORMAS
CENTRALES
DE
EVALUACIÓN

Haciendo un
seguimiento
continuo del
trabajo de los
alumnos.

Frecuentes
concursos de
preguntas .

Frecuentes
concursos de
preguntas .

Frecuentes
concursos de
preguntas .

Frecuentes
concursos de
preguntas y
cuestiones
orales.

Fuente: A gudelo-Valderr ama (200 8:44)
Existe una asociación directa entre el conocimient o de estos profesores (o sus ‘ modos de
conocer ’ el inicio del álgebra) y su actitud de cam bi o ante el ‘ qué ’ y el ‘ cómo’ de su enseñanza
del tópico. Los investigadores tienen la intención de representar en un modelo básic o las
interrelaci ones entre las con cepciones de la naturaleza del inicio del álgebra, sus con cepciones
sobre los determinan tes cruciales d e sus prácticas de enseñanza y sus actitudes ante el
cambio, incluyen do implica ciones específicas sobr e la investigación de las concepciones de los
profesores y sobre progra mas de forma ción en educ ación mat emáti ca.

Ana Ro dríguez Ch amizo: Propu estas Metodo lógicas de Prof esores Novel es de Matemát icas: Diseño y Práct ica en Secun daria
Estudi os de caso
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Para ilustrar la estrecha rel ación entre las concepcion es sobre la natural eza de las matemá ticas
y sus im plicaci ones en la enseñanza y el aprendizaje, ponemos otro ejemp lo, en el que
Zangeneh & Gooya (1995) se refieren a algunos aspecto s del modo en q ue los profesores
veteranos iraníes afrontan la enseñanza y el aprendizaje de la Geo metría, en estrecha relación
con su visi ón platónica de l a materia, de las qu e señal amos sola mente algunas:
- Enfoque tradicional abstracto de la Geometría e incoheren cia co n las necesidades de los estudi antes”
- Énfasis en la Geometría desde una única perspectiva.
- Desconexió n de la Geometría del mundo real.
- Desconexió n de la Geometría de otras ramas de las Matemáticas en la Enseñanza Secundaria.
- (Gooya & Zangeneh, 200 5, citado en Gooya, 2007: 334) .
En cambio, cuando se refieren a algunos aspectos que los profesores iraníes habrían de
incorporar a la enseñanza y el aprendizaje de la Geometría, en estr echa relació n con una visión
abierta e inve stigativa de l a materia, l os mis mos autores señalan :
- “Aproximarse a la Geometría desde múltiples perspectiv as.
- Usar situaciones de la vida real para desarrol lar los conceptos geométricos.
- Usar aplicaciones de la vida diaria para moti var a los estudiantes a aprender Geometría.
- Aportar enfoques experimentales de algunos temas.
- Enfatizar la modelización de aspect os de la Geometría.
- Aportar u n amplio rango d e actividades d iferentes para la enseñanza de estrategias de r esolució n d e
problemas.
- Creando oportunida des para los estudian tes de aprend er a razonar inductiva y d eductivamente y a darse
cuenta de que hay varias clases de razonamiento” (Gooya & Zangeneh , 2005, citad o en Gooya, 2007 : 334).
Recogemos a continuació n o tro ejemplo procedent e de la investigación de Beswick (2007 )
sobre las creencia s de un profesor, Jim, observado por Beswick (2007), ref erido tanto a la
naturaleza de las matemáti cas como al aprendizaje de los estudiantes. Jim articu la un pu nto de
vista coherente con la resolución de proble mas de matemáticas y las cree ncias sobre l a
enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas. Las observaci ones de sus clases apoyan tod o
lo que había d eclarado:
1. “Las matemáticas están relacionadas con conectar ideas y darles sentido”, más allá de las matemáticas
escolares. Es una disciplina amplia, compleja y que se expande: muy estructurada en un nivel, pero más allá d e
cualquier marco teórico concebible, p or otro, a la vez que contiene aspectos pa radójicos posiblemente
irresolubles.
2. “Las matemáticas, definida s de este modo, son divertidas”. Prof e sor y estudian tes pueden disfrutar juntos
cuando se implican en un problema genuino del que ninguno de ell os conoce la respuesta.
3. “El aprendizaje de los estudiantes es impredecible”.
4. “Todos los estudiantes pueden aprender matemáticas”

Capít ulo 2: Meto dología. El p roceso de invest igaci ón
129

En cuanto a los princ ipios que caracte rizar on esta acción formativa, co nsi deramos lo s
siguientes:
 Partir siempr e de situaci ones proble máticas que ellos manifiestan como más
importantes, a veces inclu so urgentes, y a que esto aumenta su motivación e implicaci ón en
el proces o.
 Favorecer la reflexión y el i ntercambio de ideas, enf oques, dificul tades y experiencias
mediante actividades y tareas adecuadas, ya qu e est o propicia el análisis crítico de la propi a
práctica. Anali zar qué co ntenidos mate máticos trabajan con sus alumnos, qué actividades y
tareas les están prop oniendo, cómo ges tionan su aula diariam ente, qué recursos didác ticos
conocen, cuál es utilizan y qué co nt enidos evalúan y co n qué instrumento s. Es ta mbién mu y
importante abordar la v isión de la educación matemát ica que sub yace en sus pro puestas, ya
que esto nos irá aportando claves d e “dónde están” nuestros profesores y có mo po de mos
avanzar.
 Presentar determinad os lib ros, revista s y otros re cursos didácticos tales c omo
materiales manipulab les, softw are mate mático, vídeos, entre otros, ya que consideramos
que también es una estrate gia importante para indu cir al ca mbio de mod o progresivo.
 Presentar propuestas curriculares que aborden aspectos tales como t rabaj o con las
ideas de los alumnos, e jemplificacione s de tarea s introductorias y moti vadoras, de
desarrollo, síntesis y evaluación. Estos material es pueden estar elaborados por otros
profesores, extraídos de libros de texto, unidades didácticas, In ternet, e ntre o tros y
seleccionado s por el coordinador del curso de f ormación, o bien aportados por l os
participantes o diseñados y elaborados p or ellos mis mos.
 Dar imp ortancia al f omento de la lectura de documentos que aporten ideas,
opiniones de expert os, nu evos enfoques y una visi ón más amplia de la educación y de los
temas a tratar y el estud io de propues tas curricular es concretas para los alu mnos
 Trabajar ta mbién aspectos generales tal es como final idades de la educación, y, más
concreta mente, de la Educación Secundaria Obligator ia, el modelo de profesor , los sab eres
profesionales, ... Y otros, m ás concretos, pero que también trascienden las Matemáticas,
como el trabajo en la tutoría, tanto con el alumna do, co mo con el equipo docent e y los
padres de alumnos, ya que creemos que propicia n procesos de búsqueda de caminos
conjuntos para dar respuesta a las cuestiones de mayor interés para el grupo de alumn os
correspondient e.
 Invitarles a diseñar y a experimentar en sus clase s tareas concretas en las que
aparezcan pequeñas modificaciones en los co nteni dos y en la m etod ología y que ellos

Ana Ro dríguez Ch amizo. Propuest as metodo lógicas d e profesores no veles de matemá ticas: diseño y prá ctica en Secunda ria
Estudi os de Ca so
130

constaten por sí m is mos que producen algunos de los beneficiosos efectos que ellos desean,
fundamental mente en una mayor m otiva ción, parti cipación y a tención a la diversidad de l
alumnado.
 Invitarles también a pone r estas ex peri encias en común, a compartir sus logros y
dificultades para que pued an apoyarse unos en o tros a la hora de co nstruir alternativas. Est e
puede ser un m odo de ir introduciendo pequeñ os cambios, ya que ellos ven que su
enseñanza no acaba de funcionar, pero lo adjudican a causas exclusiva mente concernientes
al alumnado, ajenas a su d ocencia (Rodrígu ez, 2003a ).
 Contacto con equipos d e profesores innovadores, p ara que conozcan ejemplos de
‘ buenas práctic as ’ .
Ten ía mos, por otra parte, una inquietud profesional: sentíamos gran dificultad a la hora de
presentar al grupo de profesores noveles planteami entos epistem ológicos y metodol ógicos
sobre las ma temáticas que imparten, general mente distintos a los suyos y ejempl os de
actividades para su alumnad o. Dificultad en el sentido de saber situarnos en un punto
equilibrad o entre el ‘ más de lo mismo ’ y pr opuestas de cambio más motivadoras, que les
ayud as en a ate nder mejor su propia dive rsidad, favorecedoras de un clima más adecuado
para el apr endizaje, et c., sin que éstas produz can resistencia, inseguridad o incl uso r echazo .
Es decir, situarnos en la zona de desarrollo pr óximo (Vig otsky, 1 978), estable ciendo niveles
de formulaci ón en una hip ótesis de pr ogresión ade cuada.
Hay que tener en cuenta qu e, por una parte, el momento pers onal que vive el profesorado
novel es pri vilegiado dado el alto nivel de motivación y receptividad en el que se encuentra.
Por otra, sus carencias profesionale s son tantas y tan va riadas, que no es fácil añ adir ‘ nuevas
aparentes dificu ltades ’ . Dig o aparentes, porque claram ente so n propues tas que pretende n
ser facili tadoras de su lab or d ocente y que aportan perspectivas nuevas al qu é y al cómo
enseñar e introducen la variable aprendizaje de los alumnos , que ellos consideran que se
produce casi au tomática mente, si se ‘ les enseña bien ’ .
En este marco situa mos nuestra investigación, que quiere contribuir a conocer m ejor las
concepciones del profesorado novel acerca de los aspect os metodológi cos de una
intervenci ón d e enseñan za y su puesta en práctica, a definir con más precisión su perfil
profesional, aportar prop uestas de mejora para la práctica do cente y dar respuestas
formativas más ajustadas a su realidad.

Capít ulo 2: Meto dología. El p roceso de invest igaci ón
131

2. 1. 3 PLANTEAMIENTO Y REALIZACIÓN DEL PROCESO DE PLANIFICACIÓN DE
LA INTERVENCIÓN DE ENSEÑANZA
Al resultarnos tan difícil sal ir de este círculo, nos planteam os proponer a los particip antes del
Curso-P la plan ificación de una pequeña intervención de enseñanz a, en alguna temá tica del
currículo de la Educa ción Secundaria Obligatoria, con el fin de avanz ar en p rocesos
implicativos de la práctica docente y en una reflexi ón crítica p osterior.
Llegados a este punto que remos llamar la atención de la identificación , en este caso, de la
formadora del grup o de noveles y la investigadora en una misma persona, y a que el equip o
de formador es que existi ó los dos primer os años habí a dejado de funcionar por las razones
antes explicadas. Esto co nll eva ciert os proble mas , ya que lo s relativos a la formación podrían
mezclarse o confundirse con los relativos a los problemas de la investigación, lo cuál
trataremos de ev itar en todo m omento , así como una posible tendencia a identificar unos y
otros. No obstante, esta realid ad m arca el punto de vista de la investigad ora, ya que la
preocupaci ón por el desar rollo profesional de estos profesores subyace a to d o el estudio.
También hay que tener en cuenta que en el moment o actual esta investigadora ha vuelto a
la docencia en Enseñanza Secundaria, lo que tambié n la separa de la mirada formad ora de
los primer os pasos de la investigación, interesán donos m ás por la prácti ca docente
directament e considerada.
En primer lugar, n os planteam os qué temática ab ordar. Había dos propues tas princip ales, el
azar y la geome tría, ambas con una característica común: no suelen darse en la Secundaria
Obligatoria o se dejan para el fina l del curso y apenas da tiempo a estudiarlas. Por otra part e,
los conoci mientos que los profesores tienen so br e ellas son muy abstracto s y difícilmente
pueden llev ars e al aula sin una auténtica transformación en conocimiento s escolares. Esto,
que es propio de todo contenid o escolar, lo vivían especialm ente en estos tópico s , para cuya
enseñanza se sentí an especialmente poco preparad os. Se decidieron por la geometrí a, qu e
consideraban de especial relevancia, pero no consensuaron ningún tema comú n, así que,
teniendo claro que queríamos llevar a cabo la propu esta en grupos más pequeños, cada uno
de ellos decidiría en qué contenidos c entrarían su intervenci ón.
En segundo lugar, distribuimos al grupo de profesore s noveles participante en el Curso -P en
cuatro subg rupos, de entre dos y cuatro personas cada uno de ello s, y propusimos que cada
pequeño grupo concretara :

Ana Ro dríguez Ch amizo. Propuest as metodo lógicas d e profesores no veles de matemá ticas: diseño y prá ctica en Secunda ria
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 qué contenid os geométric os enseñar,
 con qué finalidad es y criter ios seleccionarl os,
 la secuencia de actividade s,
 y otros aspe ctos metod ológicos, tales com o:
 la organización del tiemp o y del aula
 el papel del pr ofesor y l os alumnos
 la evaluación
De este modo, irían planificando una intervención y plasmándola en un diseño completo d e
todos aquellos aspect os que considerasen importantes, para después llevarla a cabo co n
uno de sus grup os de alumn os y , a su término, analizar y valo rar la práctica en el gran grup o
del Curso-P .
No se trataba, po r lo tant o, de planificar la Geometría que se iba a dar en un deter minad o
nivel de la Etapa, sino den tro de ella, selecci onar unos contenido s concret os p ero potentes,
para ser llevados a cabo durante una o d os semanas (entre 6 y 8 sesiones de clase), teniend o
en cuenta que habría que situar la práctica como máximo en abril, si queríam os a posteriori
ponerla en co mún, reflexi onar sobre lo realiz ado y val orar j un tos la experiencia .
Se establecier on los siguien tes pasos:
 Primer paso: concretar lo s co ntenidos de enseñanza , las finalidad es y criterio s de
selección y organización de los mism os.
 Segundo paso: Diseñ o de l as tareas a realizar por los alumn os, tanto de aprendiz aje
como de evaluación, su justificación y secuencia. Decisiones a tomar sobre los
agrupamient os y recursos didácticos que iban a utiliz ar y la distrib ución temporal de
las tareas.
 Tercer paso: puesta en práctica del dis eño, previo estab lecimiento de un calend ario
para cada profes or, según la marcha de cad a clase c oncreta.
 Cuarto paso: Me moria en la que se recogería un br eve análisis, v al oración y reflexión
crítica sobre la experiencia en el aula. Sesiones de puesta en común, previamente
establecidas una vez conoc ido el calendario de cada p rofesor.
 Quinto paso: ev aluaci ón global del proceso. Análisis y reflexión sobre la e xperi encia
llevada a cabo por cada un o de ellos y del proces o seguid o.

Capít ulo 2: Meto dología. El p roceso de invest igaci ón
133

Una vez presen tada la pr opuesta, los profesores particip antes en el Cur so-P se distribuyeron
en los cuatro grupos formado s previamente. Dos de estos grupos estuvier on formados por
tres pr ofesores, - que nombraremos G1 y G4 -, otro grupo se formó con cuat ro profesores -
G3 - y otro por dos profes oras - G2 -. Tras un proceso muy sencillo en el caso de G2 y más
laborioso en otros, los temas elegidos por los profesores respecti vos - siempr e en el marco
del currículo de Geometría en la ESO - fuer on:
 G 1 (constituid o por dos pro fesores y una profesora): Movimientos en el plano, en 2º
de ESO.
 G 2 (constituido por d os pro fesoras): Polígon os y mosaicos, en 1º de ESO.
 G 3 (co nstituido por dos profesores y dos pr ofesoras): Triángulos, su clasifi cación y
Teorema de Pitágoras, en 3º de ESO.
 G 4 (constituido por d os profesoras y un profes or): Áreas de figuras planas, en 3º de
ESO.
Para fa vorecer el proceso de trabajo de los pequeños grupos, l es entregamos una serie de
cuestiones (Anex o I ) o rient adoras de los principales aspectos a tener en cuenta en el proces o
(Rodríguez, 200 5). Se realizaron, además, puestas en común a lo largo del proceso para que
hubiese enriqueci miento mutuo.
A modo de ejemplo, rep ro ducimos aquí uno de los diarios de sesiones durant e el periodo de
creación de l os diseños d e cada grup o:
DIARIO DE SES IONES DEL C URSO: LA AC TIVIDAD DOC ENTE EN SUS P RIMEROS A ÑOS.
CURSO DE PROFU NDIZACI ÓN. ÁREA DE MA TEMÁTIC AS

“Descripción del trabajo prev isto

Contenidos
Lectura del diario de la sesión anterio r y d e alguno de los gru pos.
Revisar el diseño de los contenidos.
Secuencia de actividades y tareas.
Posibles recursos didácticos a utilizar.
¡¡Los Reyes Magos se han retrasado! ! (El 6 de ener o el CEP estaba cerrado).

Metodología
Trabajo en
grupos.
Estudio de
algunas de las
posibilidades de
los diseños.

Descripción de la sesión realizada
En pr imer lugar, tenemos que agradecer a Raimundo el esfuerzo que ha hech o d e pasar

Metodología

Ana Ro dríguez Ch amizo. Propuest as metodo lógicas d e profesores no veles de matemá ticas: diseño y prá ctica en Secunda ria
Estudi os de Ca so
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a ordenador las sesiones de Franci sco Ca scón en las que pa rticipó con Maribel. T ambién
a ella que renunció a estar con nosotros es os d ías. Ana: no os hemos entre gado el
trabajo, p or si ella o y o hacemos algunas aportaciones. Seguiremos trabajando algunas
dinámicas después de vacaciones.
El 15 de febrero aca ba el p lazo de presentación de co municaciones al Congreso de
Thales en Huelva y el del resu me n el 10. Tendríamos qu e ha ce r un plan para p resentarlo
esta misma tar de. Podr ía estar incluida en la temática Trabajo en equipo para la
innovación e investigación en Educación Matemática . Hab rí a qu e ver en q ué sub -tema.
El plazo ‘barato’ para inscribirse en el Congreso acaba el 15 de feb rero.
Aparte d e la selección y secuencia de las actividades quedan otras muchas tareas que
están recogidas en el esq uema ‘ Planificación d e la intervención ’ : cómo gesti onar el aula
en cada sesión, cómo vam os a distribuir a los alumnos, qué recurso s didácticos vamos a
utilizar, cómo vamos a evaluar y con qué i nstrumentos, etc. Alguna s pueden ser
comunes pa ra el grupo, pero otras tendrán que ser individua liz adas. También tenemos
que ir fijando el calendario particular para llevar a cabo la práctica y organizarnos para
hacer el seguimiento.
Sobre el diario de cada u no, se puede encargar cada vez uno de to mar todas l as notas y
los demás solo tienen q ue reflejar personalmente sus sensaciones y opiniones sobre el
proceso seguido.
17:05 Ya estamos casi todos (faltan Victoria y Demian, con esguinc e de tobillo ).
17:10 Ana comenta que las grabaciones de los grupos de geometr ía no se escuchan
bien, y por eso nos recomienda que hagamos diarios de cada sesión de geometría y que
hagamos ruedas de opinión para poder tener algún ti po de reflejo del trabajo realizado.
17:20 Llega Victoria.
17:25 Lee mos el diario de la sesión anterior, ya que, a l ser el último día que se trabajó la
geometría nos iba a poner al día.
17:30 Empezamos u na rueda de comentarios en los que Pascual comenta como en su
grupo han descartado los polígonos para centrarse en los mo vimientos en el p lano. Po r
su parte, Marió co menta que Tuco y ella sí van a ver los políg onos, dejando clara la
unidad de á rea y deduciendo las fórmulas de sus área s (cortando y p egando) a partir de
las del cuadrado y el rectángulo y utilizando geoplanos.
17:40 Ana nos d ice que tengamo s en cuenta los a lumnos con los que vamos a llevar a
cabo la experiencia, para actua r y p reparar el diseño en función de ellos. También nos
dice que vayamos hablando de cómo usar sus ideas a lo largo del proceso .
Se h abla también de las posibles visitas futur as a las clases, para la s grabaciones de l a
experiencia. Hay que establecer un horario.
17:50 Seguimos la rueda de comentarios: Maribel com enta que Rocío y ella van a

Tal vez, podríais
reuniros en
pequeños grupos
por vuestra
cuenta. ¿Tenéis
grabadoras en
casa?

Lectura al grupo
Rueda de
comentarios

Capít ulo 2: Meto dología. El p roceso de invest igaci ón
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estudiar mosaicos y p olígo n os ( construcción y clasificación). R aimundo opina q ue no
están atendiendo al mensaje de Ana: ‘¿por qué ha elegido cada uno la parte en concreto
que h a elegido?’ A lo que P ascual resp onde qu e si n o da lo s movimientos ahora, a lo
mejor su s a lumnos no los verá n nunca, siendo esto también un reto para él, en cierta
manera. Maribel dice que ella va a ver los mosaicos p orque son muy manipulativos y
Laura opina sobre la importancia d e que los a lumnos d ominen el concepto d e triángulo,
Pitágoras, etc.
17:55 Ana cierra este debate para continuar con el reparto d e diarios qu e hi zo La ura y
nos entre ga también uno que ha hecho ella, en el cual nos d ice de todo..., a pesar de lo
cual nos lo tomamos con ‘deportivi dad ’.
18:00 Ana nos h abla de u nas posibles reu niones a final de curso con los c ompañeros de
lengua con Francisco Cascón y de u n Congreso de Thales en Huelva, para el primer fin d e
semana de Semana Santa (Pascual y Marta quizás se apunten). Má s información:
http://www.uhu.es/11ceam/
18:10 Tenemos que ir viendo l os materiales que vamos a utilizar y có mo vamos a
evaluar en nuestra experiencia de geometría. Ana nos ha traído libros y unos videos d e
la serie ‘Más por Menos’.
18:25 Ana nos dice q ue no hablemos muy alto par a que n o nos molestemos unos a otros
y para que se nos pueda grabar s i n interferencias.
18:30 Tr as unos mom entos d e dudas, y ante el revuelo general, preferimos hacer el
amigo invisible antes que el trabajo en los grupos. Pasamos un rato divertido co n algu na
que otra anécdota...
19:05 Después de repartir todos los regalos, n os ponemos por grupos a trabajar el
diseño de la experiencia d e geometría. Hoy inten t aremos ver los materia les que
queremos utilizar para la propuesta geométrica en el aula. También cómo evaluar.
20:00 Acaba la sesió n y nos vamos rep artiendo el material, tanto libros como cintas de
vídeo. Ana: el que coja algún libro que se apunte en el folio .
Tareas pendientes:
Seguir pr eparando el diseño de g eometría, y a ser posi ble hacer u n diario so bre el
trabajo realizado en la sesión.
(Diario realizado por Pepe).

Serán el 26 y 27
de mayo

Nos divi dimos en
grupos.
¡¡Que vienen los
Reyes!! ¡¡Qué
nervios!!
Trabajo en
grupos.
Reparto de
material.

Cuadro 2. 1. 3: Di ario de se sion es

Relación de materiales entregados
Se han entregado libros, revistas y cintas de vídeo
Contenidos previstos para la próx ima sesión

Ana Ro dríguez Ch amizo. Propuest as metodo lógicas d e profesores no veles de matemá ticas: diseño y prá ctica en Secunda ria
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Completar el d iseño de g eometría, n o sólo en contenidos y actividades sino ta mbién en evaluación y
estructuración. ”
Todos los n ombres s on fic ticios, except o el de la fo r madora/inves tigadora. El trabajo y toda s
las interacciones de los p equeños grupos se grababan completas, por lo que no se recogía en
el diario general de la sesión. Además cada participante hacía su propio diario del trabajo e n
grupo. Aun que estos datos no se han utiliz ado en nuestr o estudio, presentam os un ejemplo
de diario, para dar una ide a de cómo lo viví an:
“ Diario de una sesión de Pa scual (G 2 )
En la línea de lo visto hoy, inte ntaré dar una opinión más personal del trabajo realizado y detallar las
conclusiones alcanzadas.
Hoy vamos a empezar a trabajar sobre las actividades q ue utilizaremos. Antes de marcharse B nos en seña el
trabajo q ue ha r ealiza do, ordenando los contenidos y proponiendo algunas actividades. Tenemos pen dien te
del día anterior: resol ver la introducción, escoger actividades, ver el orden en el que vamos a tratar los
distintos movim ientos y la evaluació n . Como el otro la d inámi ca de trabajo es ir haciendo pregu ntas e
intentando responderlas hablando entre los dos.
Fechas : Hab l amos un poco sobre cuando pen s amos realizar la activi dad , ambos vamos p or el tema de
proporcionalidad numérica y ten emos que da r el d e expresiones alg ebraic as y ecuaciones, además entre
medio yo tengo la semana cultural, y este va a ser el primer tema que demos de geometría. Así que
pretendo d ar este tema la última semana de febrero y a c abar la primera de mar zo antes de semana santa .
No me gustaría tampoco justo la última semana pues los alumnos están más dispersos entonces.
Actividades : En el día de hoy sólo hemos buscado actividades p ara la introducción del tema y para el fina l
dejando las específicas para el estudio de cada uno de l os mo vimientos par a otro día.
 Introducción del tema:
Teníamos apun tado del otro día r ealizar esta actividad: se les da los alu mnos varias figuras y d ebe n
agruparlas como ellos quieran, algun os agruparán sólo a tendiendo a la forma y no al tamaño, puede que
alguno agrupe figuras d e la mis ma á rea, puede q ue a lgunos sólo ag rupen las que estén igual orie ntadas. La
idea es p resentar distintas transformaci ones en el plano y d ecir que, de momento, sólo vamos a estudiar
aquellas que conservan forma y tamaño: las transformaciones isométricas.
Berta había anotado algunos ejemplo s: una d iapositi va, la sombra, mover una silla...
Pe pe ¿estas a ctivi dades las haremo s en g ran grupo o en p equeño gru po? [Muy probablemente cuando dice
‘en gran grupo’ quiera realmente decir ‘individualmente’ ]
P ep e propone una segun da actividad que consiste en presentar varias figur as y que ellos las identifiquen con
unas etiquetas. La verdad es que tardé mucho en saber de qué estábamos hablando, yo tenía en la cabeza
dibujitos, un elefante mirando para cada lado y por lo visto P ep e h ablaba de poner vario s triángulos de
forma que las etiquetas fuesen: isósceles, equilátero... Creo que iba bu scando a lgo como repasar la
clasificación de los triángulos. Yo no creo qu e sea necesario para el tema. Al f in al tampoco era esta

Capít ulo 2: Meto dología. El p roceso de invest igaci ón
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exactamente la idea d e Pe pe , sino qu e si se p onían figuras geométricas por ejemplo triángulos y
cuadriláteros ha bría quien agrupara por nú mero de lados, y habría quién clasificaría los triángulos seg ún los
lados o según los á ngulos y s aldría de a lgún modo el vocabu lario de triá ngulo rectángulo, isó scele s etc. Me
parece bien, creo que lo recogemo s en las dos primeras a ctivi dades.
P ep e ¿hay que r epas ar ángulos en la in troducción? Yo creo que no, que no van a hacer falta hasta que
lleguemos a los giros y en ese momento se recuerdan los principales ángulo s y se puede hacer algún ejercicio
sumando ángulos, como una composici ón de giros de ig ual centro.
Al final proponemos tres actividades:
1. Agrupar figuras geométricas, habrá quien a grupe por f orma, por tamañ o o por número de la dos... de
momento todas valen pero vamos a estudiar unas en concreto.
2. El mismo ejercicio con otras figuras.
3. Entonces explicaríamos qué son las iso metrías.
4. Ver qu é movi miento realizamos pa ra transformar esta figura en a que lla que lo expliquen con sus
palabras, a ver si logramos identific ar las translaciones, giros y simetrías, aunque no salgan los nombres.
No sabemos cuánto nos ocup arán estas actividades, si quedan cortas p ara un día yo comenzaría con el
primer movimi ento.
 Conclusió n del tema :
La idea de P ep e, que fue una de las que se propusieron el otro día era acabar estudiando las coorden adas en
el plano, ha cie ndo por ejemplo una simetría respecto del eje d e ordenadas y ver cuáles son las coordenadas
de los puntos tran sformados. Yo creo que las c oordenadas ya le resultan conocidas a los alu mnos, las
tratamos en pr imero y conforme las u semos se acordarán, como siempre el típico fallo de si va p rim ero la
ab scisa o la ordenada. Mi idea es acabar el tema estudia ndo los frisos.
Viendo a lgunas actividades, vemos que en todos los libr os tratan las traslaciones con el vector d ibujado y
con coo rdena das. Hasta a hora n o he sido del todo consciente del empeño de P ep e por las co ordenadas,
ahora veo que es necesario introducirlas en alg ún momento. Tenemos claro qu e el último movimiento será
el giro, ahora decidimos comenzar por la simetría, p rimero b uscaremos ejes de simetría en figuras,
realizaremos simetrías respecto de ejes, alguna simetría respecto de los ejes coordenados, con ello
introducimos/recordamos las coordenadas, después vemos las traslacio nes y p or último lo s giros.
Evaluación : P ep e n o lo tiene clar o, y o lo he estado p ensando y quiero h acer algo distinto. Mi idea es acabar
el tema dando u nas foto copias sobre los frisos, expl icand o los d istintos tipos y cómo se usan en ello s los
movimientos, al final rea lizaríam os un a visita al Alcázar y harían u n trabajo sobre uno o varios frisos:
partiendo d e u n fr iso, comentar q ue movimientos a parecen y las p ropiedades d e unos d e ellos, alg o a sí. No
estoy segu ro de si con esta actividad puedo saber si los a lumnos h an co mprendido los distintos co nceptos ,
así que no descarto realizar u n examen, en cualquier caso al p lantear la a ctiv idad traba jando en grupos en
la evaluación se tendrá en cuenta el trabajo diario en clase.
Como siempre hay motiv os personales qu e me lleven a esta idea, intentando ser sincero, enumero aquí
algunos:

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1. No me siento seg uro a la hora d e mandar actividades, aparte de relaciones de ejercicios sólo he
mandado búsquedas de b iografías y cosas de ese estilo que influían en la nota fin al. Siempre he evaluado
mediante exámenes, salvo en las activ idades d e trabajo co operativo del año pasado.
2. Mi grupo concreto de 2º E.S.O. es bastante bueno. La mitad son de mi tuto ría del añ o pasa do.
3. He comentado con el seminario la visita, les ha gustado la idea aunque ningún otro profesor de segundo
se ha animado, no van a dar ese tema. Ya lo habíamos introducido a principio de curso en el plan de centro.
De todas formas en u n examen qué pregunt amos, creemos que alg unos ejercicios del estilo de los
realizados. Dar una figura, realizar una transformación... Pero que también habría lugar pa ra p reguntas
sobre teoría en plan ¿qué elemento s identifican a un giro?
Materiales : Ana n os ha tra ído más lib ros para consultarlos y un par de vídeos, estos nos los r epartimos uno
para cada uno. Le echamos un vistazo a los libros y nos ll evamos unos cuan tos cada uno.
Personalmente no s é muy bien q ué materi ales vamos a utilizar, creemo s que u saremos espejos y el m ira
para tratar la simetría, y que otros aspectos d e la simetría o la s traslaciones podemos tra tarlos b ien con los
geoplanos o simplemente con tra mas o usan do los cuadernos cuadriculados de los alumnos. No aca bo de
ver el libro de espejos, a ver cuando mi re la s foto copias con las actividades q ue trae.
Me preocup a que siempre que trabajo con fichas con los a lumnos , intentan escribirlo todo en la fich a, no
toman apuntes y las dejan tiradas por la clase.
Trabajo pendiente : Buscar actividades p ara tratar cada u no de los movimientos, quizás n os reunamos algún
día para hablar de ello e intercambiar los v ídeos y los libros. ”
Durante la lectura del diario, se aprecia mucha mayor particip ación de Pepe (y de P ascua l
que es quien escribe), q ue de Berta. Esto es debido a ella no podría llevar a cabo la
experiencia, porqu e para ese momento no estarí a dando clase. Aunque aportó mucho en el
trabajo de búsqueda y sele cción de actividades, no quería influir mucho en la propuesta final
del grupo. En cambio, el h echo de estar sin clases, le podría permitir, cuando se realizase la
práctica de Pas cual, asistir como colab oradora a algun as de sus sesi ones.
Los diseños p lanteados s e llevar on a cab o en las etapas pre vistas, aunqu e la selec ci ón,
adaptación y secuencia de las actividades que hacía n se fue alarg ando in termin ablemente,
debido a la cantidad de e ll as que iban det erminando. Ante nuestra insistenci a en acota r
estos procesos much o m á s y en ir cerr ando sus propuestas, consegu imos que las fuesen
finalizan do por su cuenta, tras continuas reelaboraciones y perfecci onamiento de su s
diseños y tras varias pr órrogas de tiempo, agotando el periodo fijado para el comienzo de la
experiencia. Posteriorment e, cada profesor hizo las modificaciones que consideró necesari as
para personalizar a ún más su diseñ o y para adap tarlo a su pr opio alu mnado.

Capít ulo 3: Resul tados de Pascual

241

Nuestro profesor consider a también que el trabajo en pequeños grup os estimu la a aquel que
está menos motivado para ello, siempre que lo estén algun os de sus componentes, pero qu e
no se consigue si una ma yoría coincide en esa actitud. De ahí la importanci a de su consti tución:
Que al estar en un g rupo d onde h ay tres trabajando, obliga al cuar to a trabajar. Sin embargo, en una clase, si
hay muchos que no quieren trabajar , el grupo no funciona … Es difíc il (E1Pa, 597 -9).
Pascual entiende que el papel del grupo es desarrol lar habilidad es sociales, es timular a los
alumnos a trabajar y a resolver conflictos, etc. Sin embargo, no habla de la imp ortancia para el
aprendizaje del trab ajo ent re iguales.
Se sup one que, al trabajar en grupo, se ponen en j uego más hab ilidades sociales q ue trabajando
individualmente. Entonces, al obligarlos a trabajar en grupo, van a surg ir más conflicto s y van a surgir mejores
conductas positivas. Ahí aprovecharemos para fomentar esto … (E1Pa, 298 - 30 1).
Pretende que el trab ajo en pequeños grupos n o consista en un reparto de las A ctividades para
acabar antes, sin o que las hagan to das entre todos, entrado en una dinámica de discu sión y
aportaciones mutuas. Da por hecho que coexisten am bas realidade s en la clase y, aunque
espera que la m ayor parte funcio ne bien, reconoce que no suele ser así, per o no explicita
medidas a t omar para que esto no ocurra:
Yo esper o que les guste, qu e estén interesados, que más o menos haya b astantes que entren en la dinámica de
trabajo... Siempre que trabajo en g rupo pasan dos co sas: o se reparten las Actividad es, tú h aces la u no, yo l a
dos, la tres y la cuatro y acabamo s a ntes… Acabar lo antes p osible, mejor, y, bueno, ya d espués las copiamos.
No nos las e xplicamos, s ino que vamos cambiando los pa peles y las vamos copiand o toda s y sin problem a
ninguno. Esos son unos y los otros, lo ideal, que algunos han llegado, es que, bueno, más o menos, se hacen en
grupo o empezamos ind ividualmente y r ápidamente empezamos a debatir y a d iscutir a ver cómo se hace,
cómo no se hace, a poner en común ideas, algunos están ahí, o sea, en algunos ha llegado a fu ncion ar eso bien
(E1Pa, 368-79).
 El Clima del Aula
Las dificultades fun damentales que P ascual manifi esta sobre la gestión del aul a, se refieren,
por un lado, a conductas de alumnos concre tos que le parecen especialment e negativas, como
llegar tarde a clase, salir al servicio, etc. Y, por otro lado, a conductas m ás gener ales, como es
conseguir que se pongan a trabajar y que se impliqu en realmente en las tareas que propone. A
esto añade el caso de alumnos que, al saber que no han superado la presente evalua ción, es
posible que se nieg ue n a trabajar la próxima semana po r consid erarlo inútil, en el sentido de
que no va a ca mbiar su cali ficación en esta e valuación :
¿Dificultades? Bueno, dificultades las mismas de siempre, o s ea , el control d iario de la clase, el mism o de hoy,
la q ue lle ga todos los días tarde, yo porqu e hoy he llegado yo más tarde que ella, es siempre la misma, el qu e
va al servicio... E l chaval éste q ue tengo, en concreto, que d ice que está suspenso ya en la evalu ación y

Ana Ro dríguez Ch amizo: Propu estas Metodo lógicas de Prof esores Novel es de Matemát icas: Diseño y Práct ica en Secun daria
Estudi os de caso

242

entonces, como la seg unda ya la tiene suspendida, ya n o estudia: dice que va a estudiar a partir de la Semana
Santa. Dificultades sobre todo en el manejo de la clase, que se pongan a trabajar (E1Pa, 584-93).
Sin embargo, nue stro profesor no indica explícitam ente aquellos factores que se refieren a la
forma en que quiere establecer el orden en la clase, ni a estructuras de responsabilid ad, ni el
modo en que v a a lle var sus intervenciones sobre la disciplina, es decir, las normas s ociales y
matemáticas que podría establecer. Com o vere mos en el Apartado 3. 1. 2 sobre la Evaluación,
la única medida explícita que hemos co nstatad o ha sido su intención de anunciar a los
estudiantes desd e el comienz o de la experien cia que serán val or adas las a ctitudes positivas y
de cooperación.
Si n embargo, esp era co n seguir despertar el inter és y la implicaci ón en las tareas de los
estudiantes en esta exper iencia, aún siendo bi en c onsciente d e la falta de motivación d e
muchos alumn os:
Yo espero que esa s dificulta des de falta de interés, de falta de t rabajo, de falta d e a tención, que en cierta
medida, sean más fáciles de corregir en este tema (E1Pa, 600- 2) .
 Organización de l Tiempo
La propuesta de duración de la intervención de ens eñan za e stá poco precisa en su diseño, es
decir, Pascual habla de ent re una a dos sem ana s de duración, aproximada mente . Aunq ue tiene
planificad as previamente las Actividades, da la impresión de no saber calcular bien los
tiempos, o d e que es flexib le en este asun to . Él l o expr esa así:
Incidir en algún aspecto de la Geometría, en cuatro o cinco sesiones (DisPa, 3) .
TEMPORALIZACIÓN: N os proponíamos rea lizarla en ci nco o seis sesio nes. Creo que l a program ación final
andará más cerca de las ocho sesiones (DisPa, 37 - 8) .
En cuanto a fechas, hemos pedido a todo s los participan tes del Curso -P, que estén situadas en
el segundo trimestre, para poder hacer una valoraci ón conjunta durant e el tercer trim estre .
Como la realización del diseño ha tardado mucho más de lo previsto en todos los casos, ha
quedado po co margen para situarla en dicho trimestre. Pascual ha decidido hacerla antes de
las vacacione s de Se mana Santa, pero no en v ísp eras de vacaci ones, por que incid iría
negativament e en la actitud de implicación de los alumnos, que no suele ser grande, en
general, y m enos en ese momento, c on la segunda e valuación y a realizada.
Pretendemos r ealizarla tras finalizar la segunda evalua ción, antes de Semana Santa, y que cuente para la
tercera. Tampoco me gustaría realizarla justo en la última semana , para que los alumnos no faltasen tanto a
clase (DisPa, 40 - 3) .

Capít ulo 3: Resul tados de Pascual

243

El hacer la experiencia bastante avanzado el curso o frece algunas ventajas, como c onocer
mejor a l os estudiantes y haber te nido la posibilidad de haber trabajado en pequeños grupo s
antes de la realiz ación de la experiencia:
A la altura de curso en la que vaya a realizar esta experiencia , ya habré trabajado en grupos (DisPa, 54) .
Otro asp ecto que Pascual tiene previsto es la entrega sucesiva de las H ojas de Actividades, una
en to rno a cada movimiento, justificand o m u y clarament e el po rqué de esa op ció n. Con est a
medida pretende, por una parte, respetar las posibles diferencias en el rit mo de realización de
las mismas, pero garanti za ndo que estén trabaja ndo to d os en un mismo movimien to
simultáneam ente. Por otra p arte, desco nfía del cuidado del material que los alumnos puedan
tener a lo larg o de la experiencia, si las entrega t odas juntas. Incluso pueden llegar a perd erlas.
Les iremos repartiend o las Activid ades en b loq ues, uno p or cada mov imiento. S i la s fuésemos d ando d e un a en
una, estaríamos toda la clase repartiend o foto copias e impediríamos el trabajo continuo de los alu mnos y si las
entregásemos todas a la vez las podrían perder, olvidar en casa o que cada uno empezase en un ord en distinto
(DisPa, 131-6).
Algo important e que nuestro prof esor pret ende hacer es regular el ritmo de trabajo, tratand o
de garantizar la reflexión sobre l o que están trabajand o, para que su objetivo n o sea terminar
rápidament e las Actividades, sino s er conscientes de lo que están desarrollando y ralentiza r
más bien su rit mo de trabaj o.
En irles frenando, más que en irles a yudando para que corran más, o sea, hacerles que vay an reflex ionando
más, que no corran, ni hagan todas las cuestiones unas detrás de otras seguida s (E1Pa, 364-6).
Pascual nos comenta cómo va a resolver los distintos ritmos de cada grupo en la realización de
las tareas. La manera de que gan en tiempo los que se vayan r etrasando s erá que te r minen en
casa lo que no hayan podido hacer en clase , proponiendo que contrast en co n el resto de
componentes d el grupo, al día siguiente, el trabajo qu e han realizad o solos .
Por otra parte, q ueremos que los alumnos realicen la mayor pa rte del trabajo en clase, traba jando en el grupo,
discutiendo y reflexionand o pero, al realizarse la ex per iencia en unas pocas sesiones, no podemos p ermitir que
algunos se queden muy atrasa dos. E s por ello q ue, a aq uello s gr upos que más se retrasen, les a nim aremos a
acabar alguna actividad en casa y que al día siguiente las pongan en común ( DisPa, 13 7- 42) .
Ha previsto la visita al Alcáz ar al término del tratamie nto del tema en clase , como aplicación y
colofón final d el mismo.
Como parte final de la experiencia estaba prevista una visita al Alcázar (DisPa, 522) .
Otro aspecto diferente de la organización del tiem po, est á referido a la coordinación con
profesores de otros depar tamentos, lo cual ve muy difícil y n o menciona c ómo lo resuelv e:

Ana Ro dríguez Ch amizo: Propu estas Metodo lógicas de Prof esores Novel es de Matemát icas: Diseño y Práct ica en Secun daria
Estudi os de caso

244

Esto resulta muy complicado [coo rdinars e con otros Departamen tos] , ya que, si no nos orga nizamos apen as
los d e Matemáticas, cómo h acerlo con otros p rofesores, cómo orga nizar los tiempos y cómo se complementan
las distintas enseñanzas… (DisPa, 255 - 7) .
En síntesis, Pasc ua l se plan tea trabajar durante toda l a experiencia, salvo la p rimera sesión,
en grupos heterogén eos d e cuatro alumnos, para favorece r la cooperació n mutua y la s
actitudes pos itivas entre ellos, p ensando cuidadosa mente en la forma más adecuad a de
distribució n. No señala ninguna relaci ón entre el trabajo en grupo y el aprendizaje de los
estudiantes, si no que entiend e s u papel como estímu lo al desar rollo de habilida des soci a les
en el los, de act itudes de colabo ración y de resolució n de conflictos .
Nuestro profesor no indica las normas sociales y matemá ticas que v a a establecer. A Pascua l
le preocupa poco el comportamiento de los estudiantes, porque los c onoce del curso
anterior y no presentan pr oblemas de disciplina.
No precisa mucho la duración de l a experien cia, que considera entre cuatro y ocho sesione s,
previa a la Seman a Santa , aunque no en la última semana porque incide negativa mente en la
implicación de los alumn os, que no suele ser grande en vís peras de vacacione s, con la
segunda eva luación ya rea lizada .
Con respecto al ritm o de trabajo de los estudiantes, considera que hay que respetarlo e
incluso ralentizarlo, para que reflexion en sobre lo que están haciendo. Para ello, entregará
sucesivamente las Hojas de Trabajo, una por cada movimiento y día. No obstante, para
garantizar que todo s los gru pos trabajen simultá neamente en el mismo , pedirá que los que
quede n retrasados, terminen en casa l as Activida des que n o han po dido hacer en el aula y s e
corrijan en su peque ño grupo al día s iguiente.

3 . 1. 1. 5 RESULT ADOS DE L PAPEL DEL P ROFESOR
Una función del profesor, que Pascual recono ce implí citamente, es una estructuración clara de
los contenid os, para lo cual ha puest o empeño en el diseño d e las Actividade s.
Los movimientos están b ien diferenciados todos. Es más, creemos que preguntados convenientemente puede n
distinguir entre movimientos directo s e inversos (DisPa 115- 6)

Capít ulo 3: Resul tados de Pascual

245

Otra función es la preparación pre via de las sesi ones. Por ejemplo, nos comenta que ha
necesitado do s visitas previas al Alcázar, antes de la que va a realizar con los estudiantes, para
preparar la propu esta conc reta de Actividad es:
Antes de visitar el Alcázar con los alumnos, realicé dos visitas (DisPa, 528 ).
Para e l tema de los movimien tos, el qu e nos ocupa, P ascual ha procurad o que el proceso s ea
muy sencillo p or haber gra duado mucho la difi cultad de las propuestas , por lo que espera no
tener que intervenir continu amente contestando preg untas. Piensa que su papel será el de dar
vueltas entre l os grup os y hacerles reflexionar al ir terminan do las Acti vidades, más que el d e
resolver las du das que les vayan surgi en do.
En los temas de Álgebra se qu edaban parados p rácticamente los grup os en c ualquier pa so que les dejara dar a
ellos. Pero, en éste tema, como t odavía no he empezado, pienso que los pasos son bien sencillos, o sea, que yo
quiero creer que voy a tener q ue intervenir menos en c ada Activ ida d , que en muchas Actividades que, aunque
yo después me lleve dand o vueltas q ue, yo pien so qu e les voy a ser vir, más q ue para a yudarles a h acer los
ejercicios o tener que darles ideas a la hora de ha cerlos, para obli garlos d espués a refl exionar sobre lo que han
hecho (E1Pa, 341-8 ).
Pascual quier e, sobre todo, hacerles reflexionar mediante el planteamient o de c uestiones qu e
les im pidan pasar de puntillas por las Acti vidades, sin hacerse co nsciente s de lo que están
trabajando. Parece que son preguntas genuinas, para que los alumnos caigan en la cuenta de
sus propios pro cesos, aunq ue tenemos p ocos eje mplos.
Yo creo q ue ahora mismo , lo q ue más habrá que hacer, es obligarles a pensar, o sea , hacerles preguntas.
Bueno ¿y esto por qué lo has hecho así? Fíjate en ta l cosa … (E1 Pa, 356- 9 ).
Considera también que al contrastar las Actividade s realizad as en casa entre ellos al día
siguiente, si no las han resuelto todos de fo r ma similar, implicar á que puede ha ber fallos y
tendrán que pregun tar, pero si todos las tienen igual es , no habrá tales pregu ntas, pues las
considerarán validadas por el grupo. Pascual s e reserva el pap el de validación para el cas o de
que no haya acuerd o tras e l debate .
Ahí lo d igo, por ejemplo , en la Activ idad ésta de la simetría , que puede ser qu e caiga a l final del día en la clase
y la acab en en casa y al otro día la tengan qu e comentar, ellos est án muy p oco en la dinámica de aca barlo en
casa, al otro día lo ponemos en común y si ha y fallos , me preguntan , pero si a todos les ha salido igual ,
entonces es que está bien (E1Pa, 349- 54) .
Si salen cosas d istintas, pues las discutís y si no llegáis a un acuerdo me llamáis y están en el debate y en el
llegar a un ac uerdo. Entonces o me llaman al p rincipio o no me llaman nunca. Hay algunos q ue me llaman
si empre y otros que n o me ll aman nunca (E1Pa, 35 9- 61 ).
De l mismo modo, Pascual asume l a funci ón de ayudar a que los alumnos se que den con ideas
claras sobre l os contenidos aprendidos, para l o que presenta en su diseño resúmenes de lo s

Ana Ro dríguez Ch amizo: Propu estas Metodo lógicas de Prof esores Novel es de Matemát icas: Diseño y Práct ica en Secun daria
Estudi os de caso

246

mismos, para que los le an una v ez trabajadas las Actividades, en lugar de ay udarles a que sean
ellos quienes sin teticen las ideas obteni das .
Presentamos a los alumnos pequeños resúmenes con la teoría que vayamos estudiando (DisPa, 93 ).
Por último, co nsider a que motivar a los alumn os es muy importante y es lo que está
procurando con l os conteni dos y met odología aplicad os en es te tema:
Yo intento hacer atractivos todos los temas, hay algunos que los h ago menos atractivos, en éste en concreto
voy a intentar que se enganchen bien (E 1Pa, 549-552).
Por todo ello, más allá del objeti vo de aprendizaje matemátic o, Pascual s e propone ta mbién un
objetivo afectivo , es decir, que la experiencia sea algo significativa para los alumnos, que el
hecho de hacer algo distinto de lo que suele n hacer, e incluso de lo que hacen otros
profesores, quede en el recuerd o de los alumnos co mo algo relevant e , memorable y valios o,
digno de ser tenid o en cue nta en el futur o:
Lo q ue yo b usco, en concreto, es que sé que hay experiencias de é stas a sí, que después, al cabo de un tiempo,
son las que uno r ecuerda, a nivel afectivo. O sea, haber hecho algo distinto, con tal profesor hice algo distinto,
estudié tal cosa de tal manera, por ejemplo, bueno, a alguno les quedará eso (E1Pa, 538- 42) .
En sínte sis, Pascual c onside ra que el papel de l profesor, fuera del aula con siste en
estructurar bien los c onte nidos mediante Actividade s que tengan bien gradua dos los niveles
de dificultad y preparar bi en las se siones.
Dentro del aula, ha de promover que los alumno s se queden con ideas c laras y
especialmen te hacerles re flexionar sobre lo q ue están haciendo con preguntas genuinas
sobre los p rocesos segu idos.
Se ad judica un pa pel de validación del trab ajo de l os estud iantes en segun da instancia, es
decir, para resolver las discrepanc ias de los estudia ntes en sus resultado s , q ue tienen que
intentar va lidar en el grup o en primer lu gar, me diante la comparac ión y el debate,
recurriendo a él en caso d e duda .
También preten de hacer atractiva s las matemát icas para los alumnos siguiend o es te tipo d e
metodolo gía, para que qu ede en su re cuerdo como algo relevan te y valioso .
3. 1. 1. 6 RES ULTADOS D EL PAPEL D EL ALUM NO
Pascual considera que el papel del alumno c onsiste en ir ‘ descubriendo ’ lo s contenidos que se
han propuesto, m ediante la realización de las Activid ades que vayan haciendo y la búsqueda

Capít ulo 3: Resul tados de Pascual

247

de respuestas a las cuestio nes que se le vayan plantean do. P ara ello, el trabajo en pequeños
grupos los hac e más prot agonistas del trab ajo , ya que la tar ea pr opiamente dicha co nsis te,
precisamente, en hacerlas.
Yo creo que también hacer q ue tengan ellos más peso en las Activida des, que se centren más en el trabajo, que
trabajen más que de otra forma , al estar traba jando en grupo. Lo que hemos hab lado siempre ¿n o? (E1Pa,
594 -6).
Trabajando en grupos h eterogéneos, permitir q ue todos los alumnos puedan ‘ descubrir ’ los d istintos
contenidos y sentir que son ellos lo s que resu elven las distintas cuestio nes pr opuestas (DisPa, 69 - 71) .
También le parece relevante que el profesor fomente la impli cación d el alumnado en las
Actividades, que el tratamiento del tema sea acti vo, reforzando su participació n mediante el
trabajo en p equeños grupo s. Sin embargo, est e prota gonismo es relativo, pues, por una parte,
ellos no han intervenid o en la selección ni en la elabora ción de las Actividad es, pues la
secuencia estará cerrada . Po r otra par te, é stas están muy guiadas, muy centrad as y dirigidas a
una finali dad concreta relacionada con los contenidos, que no les permite ni mucha iniciativa,
ni estrategias d e resoluc ión diversas, ni las pueden sentir cercanas a sus in tereses y
problemática. Por eje mplo, en el estud io de los gir os:
Y yo creo que también hacer que tengan ellos más peso en las Actividades, q ue se centren más en el trabajo,
que trabajen más que de otra fo rma, al estar trabajando en grupo. Lo mismo que h emos habla do siempre
¿no? (E1Pa, 594- 6) .
Girando una figura alejada del centro de giro. Los alumnos deb en obser var como cada pu nto permanece a la
misma distancia del centro de giro y basta con girar los vértices (DisPa, 177-9).
Por todo ello, c uando se les pide a los alumnos algo a lo que no están acostumbrados, po r
ejemplo, exp oner a los demás sus trab ajos, opon en muchas r esistencias:
Ellos son reacios a este tipo de explicacio nes, a exponer los trabajos realizados (DisPa, 259-60).
Pascual transfier e parte de su papel de validación al pequeño grupo , como hemos visto en el
Apartado anterior. Es decir, encomienda a l os alumnos consensuar las diferencias de
planteamiento s o de resultados entre los compone ntes de cada grupo, de modo que n o
recurran enseguida al profesor, sino que traten de solucionar las cuestione s entre e llos. Esto
contribuye al debate de las ideas entre iguales, estimulá ndo les a que discuta n las distintas
respuestas y ll eguen a acue rdos .
Si salen cosas distintas, pues las discutís y si no llegáis a un acuerdo me llamáis y lo debatís y llegad a un
acuerdo (E1Pa, 356-8 ).
Otro pap el que Pascual asign a a l alumno es que tome notas de las acla raciones que el prof esor
vaya haciendo durante el desarrollo de la propues ta, co nsult e el libro de texto y e xprese sus
propios procesos de trabaj o y sus propias conclusi ones. No obstan te, nos parec e entender d e

Ana Ro dríguez Ch amizo: Propu estas Metodo lógicas de Prof esores Novel es de Matemát icas: Diseño y Práct ica en Secun daria
Estudi os de caso

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las declaraciones de nues tro profesor, que una dificultad que plantea el traba jo a partir de
‘ Fich as ’ de Actividades es que precisamente los estudian tes dejan de usar su cuaderno y el
libro de texto, así como de resumir y describ ir los pro cesos seguid os.
Con las fichas in tentan realizar todas las Actividades en ellas, así no to man a puntes en el cuaderno, ni tan
siq uiera de los comentarios qu e les realicemos. También , a l trabajar en fichas, no recurren al libro pa ra
consultar dudas (DisPa , 95 - 7) .
En s íntesis, Pascual considera que el pa pel de l a lumno c onsiste en q ue éstos pu edan ir
‘ descubr iendo ’ los c onte nido s que s e han propuesto, mediante la reali zación de l as
Actividade s diseñadas. Pa ra ello, ve como un apoyo el traba jo en pe queño s grupos, porque
les hace imp licarse más y s er más prota gonistas del mism o.
Sin embargo, este protagon ismo es relativo, pues , por una pa rte, ellos no han intervenido en
la selección ni en la e laboración de las Actividad es. Po r otra parte, é stas están muy guiadas ,
dirigidas a una finalida d concreta, relaciona da con los contenidos.
Pascual transfiere parte de su papel de validación al pequeño grupo, ya que l os estudiantes
han de consensuar las diferencias de planteamientos o de resultados entre los c ompo nentes
del grupo. Esto contribu ye al debate de las ideas entre iguales y a que pueda n validar sus
propios resu ltados.

3 . 1. 2 RESUL TADOS DE LA EVALUACIÓN
La evalu ación no está muy tratada en el diseño de la intervención de enseñanz a de Pascual.
Como él mism o dice, primero ha hecho el diseño de la experiencia con sus compañer os de
grupo del Curso- P y despu és se ha puesto a reflexionar so bre cómo evaluar, sin haber llegado
en este punt o a un conse nso con ellos . Tiene claro que, como se trata de una intervenci ón
especial, quiere evaluar de m odo difer ente, aunque a la ho ra de tomar decisi ones concretas
tiene muchas dud as:
EVALUACIÓN: Este es sie mpre u no de los aspectos que más descu idamos. Primero elaboramos las Actividades
que vamos a trabajar y a posteriori decidimos a ver cómo las evaluamos (DisPa, 280 - 2) .
3 . 1. 2. 1 PARA QU É EVAL UAR
Apenas aparecen referenci as en el diseñ o de la int ervención de enseñanza de Pascual en torno
a por qué o para qué ev aluar. Po r ello, en la primera entrevista realizada, planteamos esta

Capít ulo 3: Resul tados de Pascual

249

importante cuestión, para hacer aflorar las concepciones de este profesor acerca del papel de
la evaluación en el proces o de enseñanza aprendizaje. En un primer momento, la confund e
con autoevaluaci ón del alumnado y la co ncib e como dar respuesta a ciertos cue stionarios que
ayuden a tomar c onciencia de los aprend izajes adquiri dos:
Sí, yo sé a dónde vas [cuando me preguntas para qué evaluar], pero hay un cu estionario de autoevaluación,
para qu e ellos sean co nscientes de que he aprendido esto o he t rabajado más o he a prendido m enos, p ero
cuestionarios estos de a utoevalu ación que hay, que ellos sean conscientes del ap rendizaje que han tenido
(E1Pa, 479 - 83) .
Una vez bien centrada la cuestión, Pascual se remite, en primer lugar, a tener como referente s
unos criterios de evaluaci ón que, curiosa mente, previ amente él no ha definid o . Creemos que
con esto él se refiere a su concepción teórica de la evalu ación, de la que nos parece captar que
no la ha ejerci tado mucho:
Sí, evaluar ¿para qué? E valuar pa ra saber si ..., evaluar atendiendo a los criterios que nos hemos marcado,
atendiendo a los criterios de evaluación (E 1Pa, 497 - 9) .
Ateniéndose más concretament e a la experiencia di señada, considera importa nte compara r
los objetivos que previamente se pr etenden alcanz ar, con los realmen te conseguid os, tanto
desde el punto de v ista del profesor, como la to ma de conciencia de este hecho por parte del
propio interesad o:
Para saber si se h an alcanzado los objetivos o n o se han alcanzado o en qué medida se han alcanzado esos
objetivos, qué objetivos se han alcanzado y cuáles no (E1Pa, 500 - 2) .
A nivel de los alumnos ellos reciben si han alcanzado este objetiv o o no lo ha alcanzado ( E1Pa, 503 - 4) .
También co nsid era importante valorar la adecuación de las Ac tividades propuestas a la
consecución d e dichos obj etivos, además de los agrup amientos realiz ados:
Para evaluar las Act ividades, p ues yo me quedo en: t ales A cti vi dades funcio nan bien para alc anzar tales
objetivos o tales Actividades no funcionan bien para alcanz ar tales objetivos (E1Pa, 505 -7 ).
Tales agrupamientos funcionan b ien, en concreto este año, para otros tra bajos en g rupo futuros, o no
funcionan bien (E1Pa, 508 -9 ).
No es frecuente que un profesor en esta eta pa de desarrollo profesional, dé más importan cia a
evaluar la propia experiencia (aquí lla mada ‘ Activid ad ’), que p oner n otas a los estudiante s,
desligando tan claramente evaluaci ón de calificaci ón:
Yo pienso más en la evaluación de la Actividad que en la evaluaci ón de ellos mismos. ¿Par a qué vale, no?
¿Para qué le pongo yo una n ota a los niñ os? Toda la p arte de evaluar la Actividad, sí la tengo muy clara (E1Pa,
510 -3 ).
Pascual es consciente de la función social de las calificaciones, aunque no profun diza en ello,
considerand o que aporta una valiosa información sobre la corr elación entre los esfuerz os del

Ana Ro dríguez Ch amizo: Propu estas Metodo lógicas de Prof esores Novel es de Matemát icas: Diseño y Práct ica en Secun daria
Estudi os de caso

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estudiante y sus r esultad os, y también de la i magen qu e tienen ellos de su pr opio aprendizaje y
estos resultados. Sin emb argo, no toma pos tura crítica ante el hecho d e una posible
discriminaci ón de determi nados tipos de alumn os, ni pone en cuestión el tipo d e medi ción del
aprendizaje qu e puede dar una nota:
¿Para qué sirve una nota para un niño cuando va a su casa? Pues, eso es a nivel social, a nivel de que se te
reconozca el aprendizaje qu e ha s tenido, de que tú seas consciente de que el esfuerzo q ue h aces se te valora o
de que tú seas consciente de que tú esf ue rz o no tiene resultados (E1Pa, 514 -8 ).
Incluso muchos creen q ue ello s están aprendiendo y se enfrentan a que después no han aprendido y eso pues
muchas veces pasa en un examen y lo ven ellos mismo s, o sea ¿q ué me p asa que me h e esforzado y no he
aprendido? (E1Pa, 519 - 22 ).
Considera, por otra parte, que la evaluación aporta mucha luz so bre aprendiza jes deficiente s,
que consid era directa mente fall os, los cuales pueden ayudarle a un diagn óstico del momen to
concreto en el que se encu entra el proc eso del estud iante:
¿Qué fallos se pueden correg ir a p artir d e ahí? ¿Hablándolo con el los, vien do y señalándoles los fallos? (E1Pa ,
523 -4 ).
Mira, pues tu fallo es éste, o no estudias b ien, o no haces los problemas o estudias la teoría y no estás
haciendo problemas… Algun as cosas de ésas se las puedes decir… El evaluar les puede servir para enmendar su
aprendizaje, aparte de señalarles lo s objetivos que no han c ub ier to en este tema en concreto (E1Pa, 525 -9 ).
Creemos qu e Pascual piensa qu e la evalu ación pued e estimular a ha cer m ejor determinadas
cosas. Po r ejemplo, el pien sa que si anuncia que va a tener en cuenta en la evaluación las
actitudes de los estudiantes, las está fomentand o po siti vamente. En su diseño apar ec e
explícitament e su idea de anunciar al alumnado, desde el comienzo de su reali zación, que sus
actitudes van a ser evaluad as, como única f orma que menciona de fav orece rlas :
Esto se debe hacer saber a los alumnos, de forma que se fomente la co laboración y las actitud es positivas
(DisPa, 284).
En síntesis, Pascual conside ra que la finalidad princ ipal de la e valuación es valorar la
experiencia que va a realizar, lo cual tiene muy claro, au nque no manifiesta en qué sentido .
En segundo lugar, aportar datos sobre el proceso de ap rendizaje de cada estud i ante, l o que
puede servir para me jorar su forma de aprender , mostrándoles la correlació n entre esfuerzo
y resultado s y pod erles s e ñalar los objetivos que no han cubierto en el t ópico concreto. Para
nuestro profe sor, lo de me nos es la calificació n del alumno .
La evaluació n también aporta datos sobre la adecu ación de las Actividade s propue stas a la
consecución de los objeti vos previstos y la contribu ción de los agrup amiento s realizados.

Capít ulo 3: Resul tados de Pascual

257

Eso de que evalúen los alumnos, de evaluar la Actividad y esto... (E1Pa, 458).
Ellos son participativos pero, en su propia evaluación, ellos se deja n evaluar por mí , que yo so y el profeso r
(E1Pa, 476-7).
Pascual concibe l a posible autoevaluaci ón de los aprendiz ajes por parte de lo s propios
alumnos, com o fruto de la corrección de l os exámene s. Al entregarlos corregidos a los alumnos
y ell os los revisan, t oman conciencia de sus fallos, po r lo que pueden mejorar desde sus
errores y c omprobar lo que han aprendid o realmente.
Eso igual que en los exám enes y la corrección de los exámenes, desp ués en el que yo les explico los fallos, les
voy corrigiend o los fa llos y ell os están ahí a utoevaluándose, poniéndose los err ores, los tr abajos irán
corregidos, las notas irán justificadas, los fallos s eñalad os, en tonce s hay un autocontrol (E1Pa, 484 -8 ).
Tiene una idea positiva de la autoevaluación de los aprendiz ajes, e incluso las ha hecho siendo
alumno, pero no se ha decidido a ello en este caso. Conoce varios cuestionarios pero él h a
realizado el suyo propio para evaluar otr os aspectos (Apartado 3. 1. 2. 2): lo s referid os al modo
de interrelación entre ellos en los grupos, las actividades propuestas, la metodología seguida ,
la visita al Alcáz ar y la expe riencia global mente c onsiderada.
Que no hago una autoevalua ción completamente de ellos, que se podía llegar y y o alguna vez l o he hecho
siendo a lumno, autoevaluaciones. Al final ér amos sinceros en la auto evaluación y era un tanto d e la n ota que
pon ía el p rofesor. Yo me acuerdo q ue en el colegio mismo, c orregíamos los ejercicios, los exámenes cambiados
y era más crítico un compañero con otro que el propio profesor (E1Pa, 489-95).
Hay un cuestionario de autoevaluación, que ellos sean conscientes de que he aprendido esto o he trabajado
más o he a prendido más. Pero cuestionar ios estos de autoevaluación q ue h ay, qu e ellos sean con scientes del
aprendizaje que han tenido (E 1Pa , 480-3).
El único papel que les adju dica es val orar la experi encia en sí misma:
Al fin alizar la experiencia, formularemos a los alum nos algunas pr eguntas, p ara que las respondan d e forma
escrita, sobre su apreciación ( Dis Pa, 295-6).
Después les he puesto un cuestio nario a ver si les h a gu stado, si h an trabajado b ien en grupo, cómo han
trabajado, qué tema han trabajado… (E1Pa, 462-3).
Sí [ellos van a evaluar la experiencia], y o me vo y a llevar un a opinió n per sonal de cada uno de ellos, de cómo se
ha dado la experiencia. Normalmente lo suelen rellenar, so n pocos los que no lo entregan... (E1Pa, 469-71).
Resumiendo, Pascual se propone que tanto él como los estudiantes eva lú en los aprend izajes
y la experien cia, mientra s que solamente é l inter vendrá en su ca lificación.
Nuestro profesor tiene una i dea positiva de la autoevalua ción del aprendizaje de los
alumnos, pero no se ha de cidido a que pa rticipen en su propia calif icación.

Ana Ro dríguez Ch amizo: Propu estas Metodo lógicas de Prof esores Novel es de Matemát icas: Diseño y Práct ica en Secun daria
Estudi os de caso

258

3. 2 RESULTADOS DEL CONOCIMIEN TO EN LA ACCIÓ N
Los resultados corre spondientes a la práctica vamos a presentarlos de fo r ma algo diferente a
los referid os al conocimiento declarati vo, en el sentido de presentar una información má s
amplia, por tratarse de una realidad mucho más co mpleja que la anterior. En consecuencia,
establecemos dos tratamientos complementari os de los datos, que nos ayuden a una
comprensi ón más profund a de lo que ha ocurrido en l a práctica de Pascual.
En primer lugar, presentamos todos los episodi os en que hem os dividido la s sesiones de su
experiencia, cuyo s dat os proceden de las g rabaciones en audio y en vídeo de sus clases, as í
como de nuestras propias observaci ones de las m ism as, aunque se trata de una reducción de
los m ism os . En principio, las categorías que aparecen en ello s son las del sistema de cate goría s
que establecim os inicialm ente.
En segundo lugar, organizamos los datos según el sistema emergente del estudio , añadiendo
los datos proced entes de l a segunda entr evista realiz ada a Pascual después de su experienci a,
lo que puede matizar nuestras propias apr eciaciones con su valoraci ón o aclaraciones a l o qu e
ha ocurrido en la práctica, aunque no es propiament e conoci miento en la acci ón.

3. 2. 1 RESULTADOS O R GANIZADOS POR EPISODIOS
La práctica de la ex perien cia en el aula la he mos estru cturado, en primer lugar, por s esiones y
éstas, a su vez, las hem os dividido en ‘ episodi os ’ (c omo ya describim os en el A partado 2. 4. 1 ),
es decir , part es d e la sesi ón que tienen un objetiv o claro y/o e st án basadas en ciertos cri terios
relacionad os, bien con la m archa de las actividades en el aula, bie n co n límites temporales,
espaciales, de c onducta, de l progra ma de acti vidades o del cont enido trabajado (Doyle, 1986).
3. 2. 1. 1 RESULTADOS DE LA PRIMERA SESIÓN, ORGANIZADOS EN T RES EPISODIOS:
INTRODUCCIÓ N AL TEMA DE LOS MOVIM IENTOS

EPISODIOS

OBJETIVOS

CONTENIDOS

ACTIVIDADES

TIEMPO

1. 1

- Hacer aflorar las ideas
de los alumnos

- Clasificación figuras
planas

Clasificación de figuras.
Puesta en común

25 m

Capít ulo 3: Resul tados de Pascual

259

1. 2

- Familiarizar a los
alumnos con los
movimientos en el pl ano

- Identificación de
transformaciones.
- Definición de los
movimientos en el pl ano

Presentaci ón de información
por parte del p rofesor.
Identi ficación de
transformaciones

15 m

1. 3

- Repasar las
coordenadas cartes ianas

- Representación de
coordenadas cartes ianas

Identi ficación y trabajo co n
coordenadas
Pa resuel v e duda s

15 m

[Pa 1]: Epi sodios de la Primera Se sión
RESULTADOS DEL EPISODIO [PA 1. 1]

2. METODOLOGÍA:
SUBCATEGORÍAS

Evento inici al
Comienzo de la clase
Objetivo
- Permitir que afloren las ideas del alumnado sobre transformaciones en el plano.

Contenido
- Clasificación de figuras planas según el criterio que cada estu diante considere
adecuado.
- Identificación de distin tas transformac iones.
Descripción
Pa rep arte u na h oja a los alumnos reco rrien do la clase. Éstos están s entado s
como lo hacen habitualmente . No introduce el tema, n i d a instrucciones
espe cíficas (Opa, 5; 7-8) . Les indica que hagan la Actividad 1 (DisPa, 317-20), en la
que aparecen distintas fig uras planas para que el alumno las agrupe por el criterio
que le pare zca más apropiado.
Pa: Tenéis 5 minutos para hacer el primero.
A: eso es poco tiempo (TaPa, 8).
Pasado un minuto, pregunta en voz alta, desde d elante, a una alumna:
¿Cómo va tu trabajo? (TaPa, 15).
Va pasand o por las parejas que l o llaman para pregu ntarle algo. Las preguntas son
del tipo:
A: No entiendo, ¿qué hay que hacer? (TaPa, 17).
A: ¿Cómo lo hag o? (TaPa, 20).
Pa responde repitiendo el enunci ado de la Acti vidad con palabras similares:
Como quieras. Trata de agrupar las figu ras que aparecen como te parezca mejor
(TaPa, 21).
Pasados unos minuto s, Pa dibuja en la pizarra las mismas figuras que los alum nos
tienen en su Hoja en la primera Activid ad (Opa, 9-14).
Desde la pizarra se dirige a toda la clase para exponer las distintas clasificaciones

2. 1 Tipos de Activid ades
- De expresión de
conocimientos previos.
- De contraste.

2. 2 Tipos de Recursos
Didácticos
Primera Hoja de
Actividades.
Pizarra y tiza.

2. 4 Organización y Cima
del Aula
Los alumnos están
sentados en p arejas,
mirando a la pizarra.
El ambiente del aula es
de ruido, aunque p arecen
concentrados en la
Actividad propuesta.
Cuando Pa habla delante
de la pi zarra, le prestan
poca atención.

2. 5 Or ganización del
Tiempo
Pa comienza diciendo que
tienen cinco minu tos para
hacer la actividad , pero

Ana Ro dríguez Ch amizo: Propu estas Metodo lógicas de Prof esores Novel es de Matemát icas: Diseño y Práct ica en Secun daria
Estudi os de caso

260

que ha visto que han hecho los alumnos. Habla deprisa y no todos los alumnos le
escuchan. Hay bastante r uido. No pide silencio, ni hace intentos para llamar la
atención de los e studiantes. Algunos, al menos, no le prestan atención (Opa, 15 -
18).
Pa: Bien . La mayoría habéis agrupado poniendo todos los triángu los juntos, los
cuadriláteros juntos, los d os d iábolo s juntos, las flores juntas , las interrogaciones.
¿Vale? Con los cuadriláteros, habéis separado los r omboides d e los cuadr ados.
¿Vale? Podéis clasificarlos co mo q ueráis (TaPa, 21-5).
A continuación introduce el tema de los movimientos me diante una breve
exposición oral, ayud ándose d e las figuras que ha dibujado en la pizarra:
La forma en que vamos a ha cerlo este año son las transformaciones g eométricas
¿vale? A algunos los vamos a lla mar movimientos, a quellos en que no va a variar
el tamaño. Es d ecir, yo p uedo mover la figur a per o no camb iar el tamaño. Por
ejemplo, yo puedo mover esta figura a ésta, p ero ésta otra la dejo ap arte, porque
es tan grande que no… (TaPa, 25-30).
Así, pide de nuevo a todos que c lasifique n ahora las figuras da das en la Actividad
1, teniendo en cuenta el sigui ente c riterio: relacionar aq uellas figuras que
conservan la forma y el tamaño:
Pa: Si agrupamos por ese criterio ¿cuántos salen? Tien en que conservar la forma y
el tama ño. Pon edle otra letr a. Tenéis que a grupar los que tenga n igual forma e
igual tamaño (TaPa, 30-2).
Vuelve a atender a l os alumnos en sus mesas.
Pa realiza intervencione s de distinto tipo:
 Intervenciones relacionadas con el ‘ control ’ d el tra bajo, dirigiéndose a un
alumno concreto:
Pa: ¿Tú que has hecho? (TaPa, 39 ).
Otro alumno reclama su ate nción :
Pa: si, dime.
A: profesor ¿pasamos a otra?
Pa: No, todavía no hemos p asado a la siguiente. Alberto, siéntate (TaPa, 41 -
43).
 Intervenciones relacionadas con el conten ido de la tarea:
Por parte de algún alumno:
No he entendido lo que hay que hacer, o no lo sé hacer , o cómo lo hago …
Por parte del profesor:
Pa: ¿estás agrupando por la misma forma y el mismo tamaño? (TaPa, 37).
Esto mismo pregunta a varios alumnos al acercarse a ellos:
Pa: ¿Has agrupado por tamaños o no?
A: si lo qu e pasa es que me he confundido y vo y a hacer esto a lápiz (TaP a,
39 -40).
Pasados unos minutos se dirige de nuevo a la pizarra. Espera un poco a que haya
menos ruido para empezar a hablar y lue go dice:

de he c ho les deja doce,
hasta que va a la pizarra,
desde la que h abla algo
menos de otros cin co
minutos.

2. 6 Papel del Profesor
- Atiende de forma
personal a cada alumno o
pareja:
- Alienta el tr abajo
pedido.
- Comprueba si entienden
la tarea.
- Orienta y dirige la
resolución de la tare a.
- Introduce las diferentes
nociones impl icadas.
- No se arroga ningún
papel de garantizar el
orden, ni el si lencio.

2. 7 Papel del Alumno
- Realiza la Actividad
pedida.
- Pregunta al profesor o a
su compañero las dud as
que le su rge n.
- Participa en la puesta en
común, respond iendo
voluntariamente a las
preguntas que va
formulando Pa sobre la
marcha de la exposición.

Capít ulo 3: Resul tados de Pascual

261

Solo vamos a estudiar este a ño algunas tran sformacio nes. ¿Va le? Se trans forma la
figura y sale o tra por el estilo. ¿V ale? No vamos a tra bajar deformaciones d e la
figura que p ierdan la form a. ¿Vale? Por ejemplo, este triángulo si tú lo tiras de
aquí para abajo podría sacar un triángulo como éste. ¿ Vale? Esta no la vamos a
utilizar. Y la otra q ue tampoco v amos a utilizar v a a ser ésta. Como si fuera un
espejo que a umenta el tamaño. ¿Va le? Solo vamos a trabajar con
transformaciones que conserve n la forma y el tamaño. ¿De acuerdo? A esto le
vamos a llamar movimi entos (T aPa, 48-55).
Evento final
Pa concluye la exp licació n de la primera Actividad desde la pizarra.

Tab la [Pa 1. 1]: Resultados d el Episodi o [Pa 1. 1]

RESULTADOS DEL EPISODIO [PA 1. 2]

2. METODOLOGÍA:
SUBCATEGORÍAS

Evento inici al
Pa da comienzo a la segund a Acti vidad.
Objetivo
- Familiarizar a los alumnos c on los movimientos en el plano mediante el
des cubrimiento de las transformaciones que no cambian la forma ni el tamañ o.
Contenido
- Identificación de distin tas transformac iones, en tre ellas los movimientos en el plano .
Descripción
Una vez terminada su breve intervención del e pisodi o anterior, Pa pide al alumnado
que haga la Actividad 2 (DisPa, 321 -4), dánd ole algunas in dicaciones que enlazan con
la Actividad anterior y la expli c ación que acaba de hacer. Repite q ue sólo van a
estudiar los movimientos. Para ello, Pa se refiere a las figuras que aparecen en esta
segunda Actividad, es decir, parejas de figuras planas relacionada s entre sí por una
traslación, un giro o una sime tría.
Atiende de nuevo a los alumnos según le van llamando. A continuación presentamos
algunas de las interacciones que se producen. Po r ejemplo:
Pa: ¿aquí que pone?
A: no me entero de nada.
Pa lee: El segu ndo dice: indica qu e transformación puede llevar cada figura en la otra
correspondiente… Para llevar esta fig ura aquí ¿qué es lo q ue hace? Se mueve, se
empuja para allá.
A: este lado se mueve con éste.
Pa: ¿Para llevar de éste a éste qué hace?
A: se mueve de aquí y se pone aquí.
Pa: Y ésta que hay aquí ¿qué hace?
A: pues se pone encima y ya está. Y ésta se le da la vuelta.

2. 1 Tipos de
Activid ades
- De identificación y
reconocimiento.
- De presentaci ón de
información.
- De contraste.

2. 2 Tipos de
Recursos Didácticos
Primera Hoja de
Actividades.
Pizarra y tiza.

2. 4 Organización y
Clima del Aula
Los alumnos
continúan sentados
en pare jas, en sus
sitios habituales.
Hay bastante ruido de
fondo todo el tiempo,
pero están
concentrados en la
tarea.

2. 5 Organización del

Ana Ro dríguez Ch amizo: Propu estas Metodo lógicas de Prof esores Novel es de Matemát icas: Diseño y Práct ica en Secun daria
Estudi os de caso

262

Pa: se le da la vuelta no, porque tiene distinta forma .
A: se pone así, invertida.
Pa: invertida, no. Si fuese invertida estaría así (TaPa, 58-64).
De la misma mane ra, en otro grupo:
A: Profesor ¿ahora qué hay que hacer?
Pa: ¿qué haces con esta figura de aquí a aquí?
A: yo no sé, mov erla.
Pa: moverla, vale ¿pero hace lo mismo con ésta, de aquí a aquí, que con ésta?
A: En ésta le da la vuelta.
Pa: Ésta le da la vuelta, vale, ésta la empuj a. ¿Y en ésta ?
A: la empuja, vamos, la pones encima.
Pa: ¿Y en ésta?
A: le da la vuelta.
Pa: ¿le da la vuelta y la empuja? ¿Y en ésta?
A 1 : la empuja.
A 2 : la empuja y la gira un poquito.
A 3 : profesor, le da la vuelta ¿no?
Pa: si le diera la vuelta caería así. Y tiene la misma postura
A 3 : a vale, vale.
Pa: ¿si? Pues lo escribes: le doy l a vuelta, la empu jo, l a emp ujo, le doy la vuelta… Así .
Lo que tú has dicho. ¿Vale? (T aPa , 65-75).
Continúa atendiendo las llamadas de los alumnos. El resto de interacc iones entre Pa y
las distintas parejas son muy parecidas .
Cuando considera que la Actividad está hecha, pasados unos d iez minutos, va de
nuevo a la pizarra, d ibuja las f iguras de esta segunda Actividad y se dirige a todo el
grupo d esde e lla, preguntando a los alumnos, en general, como se pasa de una figura
a otra.
Pa: Mirad ¿lo veis? Si la giro completamente no cae.
A 1 : habrá que levantarla.
A 2 : lev antá ndola, profesor.
Pa: le doy la vuelta ¿Y ésta?
A 1 : empujando.
A 2 : la empujas.
Pa: la empujas. ¿Hay otra forma de llevarla que empujarla?
A: dándole la vuelta.
Pa: dándole la vuelta también ¿vale? Si la empujo y le doy la vuelta, v uelve a quedar la
misma. ¿Vale?
A: ¿se puede doblar el papel? (TaPa, 139-44).
Pa continúa de forma simil ar co n el resto de las fi guras que ha dibujado. L os alumnos
siguen respondiendo y él vuelve a pre guntar: ¿Hay otra forma de hacerlo? Y vuelve n a
responder.
A modo de conclusión, añade: h abéis visto que se trata de empujar, girar o darle la

Tiempo
Pa dedica un par d e
minutos a enlazar l a
primera A ctividad con
la segunda y pide a
los alumnos que
hagan ésta última,
dándoles unos 10
minutos, hasta que
decide hacer “la
puesta en común” en
la pizarra, a la que
dedica dos o tres
minutos más.

2. 6 Papel del
Profesor
- Introduce la
Actividad .
- Responde a las
dudas de los alumnos
que n o ha n entendid o
la tarea, repi tiendo de
nuevo las
instrucciones que dio
en la pi zarra.
- Establece
conexiones entre el
lenguaje cotidian o y
la terminología
matemática.
- Hace preguntas p ara
conducir el trabajo.
- Establece
conclusiones.

2. 7 Papel del
Alumno
- Realiza la Actividad
pedida con el fin de
descubrir l os distintos
tipos de movimientos.

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