XX Cong eso de Ecuaciones Di e enciales y Aplicaciones
X Cong eso de Ma em´
a ica Aplicada
Se illa, 24-28 sep iemb e 2007
(pp. 1–8)
El cambio de los in a ian es po eedback median e
pe u baci´on de columnas
M. A. Bei ia1, I. de Hoyos2
1Dp o. de Did´ac ica de la Ma em´a ica y de las CCEE, Escuela de Magis e io, Uni e sidad del Pa´ıs
Vasco, E-01006 Vi o ia-Gas eiz. E-mail: [email p o ec ed].
2Dp o. de Ma em´a ica Aplicada y Es ad´ıs ica e I.O., Facul ad de Fa macia, Uni e sidad del Pa´ıs Vasco,
Apa ado 450, E-01080 Vi o ia-Gas eiz. E-mail: [email p o ec ed].
Palab as cla e: pe u baci´on es uc u ada, ac o es in a ian es,´ındices de con olabilidad, desigual-
dades de en elazamien o, mayo izaci´on
Resumen
Es udiamos la a iaci´on de los in a ian es po eedback de una ma iz ec angula
n×(n+m) cuando ealizamos peque˜nas pe u baciones adi i as en las ´ul imas m
columnas, en algunos casos pa icula es.
1. In oducci´on
En las ´ul imas d´ecadas se ha es udiado el cambio de las o mas can´onicas de ma ices
ob enidas median e la adici´on de una ma iz con en adas su icien emen e peque˜nas ( ´ease,
po ejemplo, [2, 6, 8, 9, 10, 11]). En es os p oblemas se puede modi ica odos los elemen os
de las ma ices o iginales. En o os casos s´olo se puede pe u ba los elemen os en unas
de e minadas posiciones, dando luga a p oblemas de pe u baci´on es uc u ada ( ´ease
[3, 4, 5, 7]). Nues o p oblema consis e en es udia el compo amien o de los in a ian es
po eedback cuando se pe u ban algunas columnas de una ma iz ec angula .
En conc e o, conside amos ma ices ec angula es [A B]∈Cn×(n+m)o, equi alen e-
men e, pa es de ma ices (A, B) de Cn×n×Cn×m. En p ime luga , ob enemos condi-
ciones necesa ias que han de e i ica los in a ian es po eedback de odas las ma ices
[A B0]∈Cn×(n+m), siendo B0cualquie ma iz su icien emen e p ´oxima a B.
Rec´ıp ocamen e, ob enemos condiciones necesa ias y su icien es que ienen que sa is-
ace unos polinomios y unos n´ume os en e os pa a se los ac o es in a ian es y los ´ındices
de con olabilidad de un pa de ma ices (A, B0), siendo B0una ma iz an p ´oxima a B
como que amos. Es e p oblema lo hemos esuel o en los siguien es casos:
1
M. A. Bei ia, I. de Hoyos
1. cuando (A, B)es comple amen e con olable;
2. cuando (A, B)es comple amen e incon olable, es deci , B= 0;
3. cuando Bs´olo iene una columna.
Es os p oblemas pueden conside a se ambi´en como p oblemas de comple aci´on de
ma ices, dado que una pa e de la ma iz queda ija ( ´ease, po ejemplo, [1, 12, 13, 14, 15]).
2. No aciones, de iniciones y esul ados p e ios
Una pa ici´on es una secuencia no c ecien e ini a o in ini a de en e os no nega i os
casi odos nulos, a= (a1, a2, . . . ).Deno amos po |a|el peso de a, es deci , la suma de sus
componen es.
La pa ici´on conjugada de a,a= (a1, a2, . . . ) se de ine po ak:= Ca d{i:ai≥k}.
Sean aybdos pa iciones de en e os. Se dice que aes ´a mayo izada d´ebilmen e po b,
i. e., a≺≺ b⇔Pk
i=1 ai≤Pk
i=1 bi,pa a k= 1, . . . , n, y se dice que aes ´a mayo izada po
b, i. e., a≺b⇔a≺≺ byPn
i=1 ai=Pn
i=1 bi.
De inimos a∪bcomo la pa ici´on cuyas componen es son las de ayb eo denadas en
o den no c ecien e.
Se e i ica que a≺b⇔b≺a.
Sea Xuna ma iz compleja m×n, con m≤n. Llama emos ac o es in a ian es de
X, a los ac o es in a ian es de la ma iz polinomial [sIm0] −X. Deno a emos po d(α)
el g ado del polinomio α.
Deno a emos po Λ(X) := {λ1, . . . , λ }el espec o de X; po s(λi, X) la pa ici´on de
λien la ca ac e ´ıs ica de Seg e de Xy po w(λi, X) la pa ici´on de λien la ca ac e ´ıs ica
de Wey de X, i.e., en la pa ici´on conjugada de s(λi, X). Si λ /∈Λ(X), s(λ, X) := (0) y
w(λ, X) := (0).
Sean γ1| · · · | γmyγ0
1| · · · | γ0
mpolinomios m´onicos dados. Sean γ= (γ1, . . . , γm) y
γ0= (γ0
1, . . . , γ0
m) las cadenas o madas po es os polinomios.
De inimos γ0≺≺ γ⇔γ0
1· · · γ0
i|γ1· · · γi,pa a i= 1, . . . , m
yγ0≺γ⇔γ0≺≺ γyγ0
1· · · γ0
m=γ1· · · γm.
Aho a se puede enuncia el siguien e lema sob e mayo izaci´on d´ebil de cadenas de
polinomios.
Lema 1 Dadas dos cadenas de polinomios m´onicos ϕ= (ϕ1, . . . , ϕn)yϕ0= (ϕ0
1, . . . , ϕ0
n)
ales que ϕ0≺≺ ϕ, exis e un n´ume o ini o de cadenas in e medias de polinomios m´onicos
de al mane a que pa a pasa de una de ellas a la siguien e s´olo hay que ealiza una
ans o maci´on elemen al de uno de los dos ipos siguien es:
(1) ϕ0
i=ϕi∀i /∈ {j, k},j < k,(s−λ0)ϕ0
j=ϕjyϕ0
k= (s−λ0)ϕk, pa a alguna a´ız
compleja de ϕj,
(2) ϕ0
i=ϕi∀i6=jy(s−λ0)ϕ0
j=ϕj, pa a alguna a´ız compleja de ϕj.
Deno a emos po k1≥ · · · ≥ k 1> k 1+1 =· · · =kq= 0, los ´ındices de con olabilidad
de (A, B). Deno a emos po ( 1, 2, . . . ) la pa ici´on de los ´ındices de B uno sky, que es
la pa ici´on conjugada de la de los ´ındices de con olabilidad.
2
Cambio de in a ian es po pe u baci´on de columnas
En el siguien e esul ado se dan las elaciones en e los in a ian es del pa y de la
ma iz cuad ada. Co esponde a un p oblema de comple aci´on de columnas.
Teo ema 2 ([15], [1]). Sea A∈Fn×ny sean ω1| · · · | ωnsus ac o es in a ian es. Sean
ϕ1| · · · | ϕnpolinomios m´onicos y k1≥ · · · ≥ k 1en e os posi i os dados. En onces exis e
una ma iz Bcon ang(B) = 1 al que ϕ1, . . . , ϕnson los ac o es in a ian es y k1, . . . , k 1
los ´ındices de con olabilidad no nulos de [A B]si y s´olo si
(i) ωi− 1|ϕi|ωipa a i= 1, . . . , n,
(ii) (k1, . . . , k 1)≺(d(θ 1), . . . , d(θ1)), donde θj=Qn+j
i=1 mcm(ϕi−j,ωi− 1)
Qn+j−1
i=1 mcm(ϕi−j+1,ωi− 1),
j= 1, . . . , 1, siendo ϕi:= 1 yωi:= 1 pa a i < 1.
Deno a emos po kXkcualquie no ma de ma iz de X.
Dado un n´ume o eal ρ > 0, B(λi, ρ) es la bola abie a con cen o λiy adio ρ, y
de inimos el ρ-en o no del espec o de Mcomo el conjun o Vρ(M) := S
i=1 B(λi, ρ), donde
las bolas son disjun as dos a dos. Un n´ume o eal ρsu icien emen e peque˜no como pa a
que se e i ique lo an e io se llama ´a adecuado a la ma iz M.
Aho a se p esen an las condiciones necesa ias de pe u baci´on de un pa de ma ices.
Teo ema 3 ([8]). Sea = ( 1, 2, . . . )la pa ici´on de los n´ume os de B uno sky de
(A, B)∈Cn×n×Cn×m. Sea Λ(A, B) = {λ1, . . . , λu}el espec o de (A, B). Sea ρ > 0
adecuado a [A B].
Exis e ε > 0 al que si k[A B]−[A0B0]k< ε, en onces se cumplen las condiciones:
(i) Λ(A0, B0)⊂Vρ(A, B),
(ii) si µij ∈Λ(A0, B0)∩B(λi, ρ),pa a j= 1, . . . , i, e i= 1, . . . , u, en onces
S i
j=1 w(µij,[A0B0]) ≺≺ w(λi,[A B]),pa a i= 1, . . . , u,
(iii) si 0= ( 0
1, 0
2, . . . )es la pa ici´on de los n´ume os de B uno sky de (A0, B0), en onces
≺≺ 0y 0
1≤m,
(i ) | 0|−| |=Pu
i=1 |w(λi,[A B])| − Pu
i=1 P i
j=1 |w(µij,[A0B0])|.
3. Relaci´on de equi alencia asociada a es e p oblema
Sean (A1, B1)y(A2, B2) dos pa es de Cn×n×Cn×m. Decimos que (A1, B1) es PQ-
equi alen e a (A2, B2), y lo deno a emos (A1, B1)P Q
∼(A2, B2) si exis en ma ices P∈
C(n×n)yQ∈C(m×m)in e ibles ales que (A2, B2) = (P A1P−1, PB1Q).
Pues o que es a elaci´on es un caso pa icula de la elaci´on de equi alencia po eed-
back, dos pa es PQ-equi alen es end ´an los mismos ´ındices de con olabilidad y los mis-
mos ac o es in a ian es.
El siguien e lema mues a que si se esuel e el p oblema pa a un pa , se esuel e pa a
cualquie o o de su clase.
3
M. A. Bei ia, I. de Hoyos
Lema 4 Sea [A1B1]∈Cn×(n+m)y sea [A2B2]=[PA1P−1PB1Q]. En onces, en odo
en o no de [A1B1]exis e una ma iz [A1B1+E1]con k0
1≥ · · · ≥ k0
m≥0como ´ındices
de con olabilidad y ϕ0
1| · · · | ϕ0
ncomo ac o es in a ian es si y s´olo si en odo en o no de
[A2B2]exis e una ma iz [A2B2+E2]con esos in a ian es p esc i os.
4. Condiciones necesa ias
Las condiciones necesa ias de pe u baci´on que se ob ienen a pa i del eo ema de
comple aci´on de columnas (Teo ema 2) y el de pe u baci´on de pa es de ma ices (Teo ema
3) es el siguien e.
Teo ema 5 Sea A∈Cn×ny sean ω1| · · · | ωnsus ac o es in a ian es. Sea [A B]∈
Cn×(n+m)con ϕ1| · · · | ϕncomo ac o es in a ian es y k1≥ · · · ≥ k 1> k 1+1 =· · · =
km= 0 como ´ındices de con olabilidad.
Exis e ε > 0 al que si k[A B]−[A B0]k< ε,ϕ0
1| · · · | ϕ0
nson los ac o es in a ian es
yk0
1≥ · · · ≥ k0
0
1> k0
0
1+1 =· · · =k0
m= 0 son los ´ındices de con olabilidad de [A B0],
en onces se cumplen las condiciones:
(i) ωi− 0
1|ϕ0
i|ωipa a i= 1, . . . , n,
(ii) (k0
1, . . . , k0
0
1)≺(d(θ0
0
1), . . . , d(θ0
1)), donde
θ0
j=Qn+j
i=1 mcm(ϕ0
i−j, ωi− 0
1)
Qn+j−1
i=1 mcm(ϕ0
i−j+1, ωi− 0
1), j = 1, . . . , 0
1,
siendo ϕ0
i:= 1 yωi:= 1 pa a i < 1,
(iii)
ϕ0≺≺ ϕ
(i ) si 0es la pa ici´on de los n´ume os de B uno sky de (A, B0), en onces ≺≺ 0.
5. Caso con olable
Supongamos que (A, B) es con olable con k1≥ · · · ≥ km≥0 como ´ındices de con-
olabilidad. Si se pe u ba lige amen e la ma iz B, el nue o pa (A, B0) sigue siendo
con olable, es deci , ϕ0=ϕ= (1,(n)
. . ., 1). En es e caso, las condiciones del Teo ema 5 se
educen a:
(ii) k0= (k0
1, . . . , k0
0
1)≺(d(ωn), . . . , d(ω1)),
(i ) ≺ 0.
Pa a el pa (A, B) se cumple la elaci´on k= (k1, . . . , k 1)≺(d(ωn), . . . , d(ω1)),siendo
1= ang(B).
Como ≺ 0⇐⇒ k0≺k, podemos conclui que, en el caso con olable, las condiciones
necesa ias pueden educi se a k0≺k.
4
Cambio de in a ian es po pe u baci´on de columnas
Se demues a que en es e caso, es a condici´on es su icien e pa a encon a , an ce ca
como que amos de B, una ma iz B0de o ma que (A, B0) enga k0
1≥ · · · ≥ k0
m≥0 como
´ındices de con olabilidad, como se enuncia en el siguien e eo ema.
Teo ema 6 Sea (A, B)∈Cn×n×Cn×mun pa con olable con k1≥ · · · ≥ k 1> k 1+1 =
· · · =km= 0 como ´ındices de con olabilidad.
Sea (k0
1, . . . , k0
m)una pa ici´on no c ecien e de en e os.
Pa a odo ε > 0exis e una ma iz B0con k[A B]−[A B0]k< ε, al que (A, B0)es
con olable y iene k0
1. . . k0
mcomo ´ındices de con olabilidad si y s´olo si
(k0
1, . . . , k0
m)≺(k1, . . . , km).
6. Caso comple amen e incon olable
Supongamos que (A, B) = (A, 0) y que los ac o es in a ian es de A(y los de [A0])
son ω1| · · · | ωn, es deci , ϕ=ω. En es e caso, la condici´on (iii) del Teo ema 5 se deduce
de la condici´on (i) y la condici´on (i ) es i ial. Po an o las condiciones necesa ias se
educen a la (i) y la (ii).
Se demues a que en es e caso, es as dos condiciones son su icien es pa a encon a ,
con no ma an peque˜na como que amos, una ma iz B0de o ma que (A, B0) enga k0
1≥
· · · ≥ k0
m≥0 como ´ındices de con olabilidad y ϕ0
1| · · · | ϕ0
ncomo ac o es in a ian es,
como se enuncia en el siguien e eo ema.
Teo ema 7 Sea A∈Cn×ny sean ω1| · · · | ωnsus ac o es in a ian es.
Sean ϕ0= (ϕ0
1, . . . , ϕ0
n)una cadena de polinomios m´onicos y k0
1≥ · · · ≥ k0
0
1> k0
0
1+1 =
· · · =k0
m= 0 en e os.
Pa a odo ε > 0exis e una ma iz B0con ango 0
1ykB0k< ε, al que (A, B0) iene
k0
1, . . . , k0
mcomo ´ındices de con olabilidad y ϕ0
1| · · · | ϕ0
ncomo ac o es in a ian es si y
s´olo si
(i) ωi− 0
1|ϕ0
i|ωipa a i= 1, . . . , n,
(ii) (k0
1, . . . , k0
0
1)≺(d(θ0
0
1), . . . , d(θ0
1)), donde
θ0
j=Qn+j
i=1 mcm(ϕ0
i−j, ωi− 0
1)
Qn+j−1
i=1 mcm(ϕ0
i−j+1, ωi− 0
1), j = 1, . . . , 0
1,
siendo ϕ0
i:= 1 yωi:= 1 pa a i < 1.
7. La ma iz Bs´olo iene una columna
Cuando B iene s´olo una columna, es deci , si m= 1, se iene que 1≤1. Al pe u ba
lige amen e en la ´unica columna de Bse iene que 0
1= 1. Como consecuencia, la condici´on
(i ) del Teo ema 5 es i ial. Adem´as, po la condici´on (ii) se iene que k0
1=d(θ0
1) =
Pn
i=1 d(ωi)−Pn
i=1 d(ϕ0
i) = k1+Pn
i=1 d(ϕi)−Pn
i=1 d(ϕ0
i). De es o se deduce que k0
1−k1=
Pn
i=1 d(ϕi)−Pn
i=1 d(ϕ0
i).En onces las condiciones del Teo ema 5 se educen a:
5

M. A. Bei ia, I. de Hoyos
(i) ωi−1|ϕ0
i|ωipa a i= 1, . . . , n,
(ii) k0
1−k1=Pn
i=1 d(ϕi)−Pn
i=1 d(ϕ0
i),
(iii) ϕ0≺≺ ϕ.
Veamos que en es e caso, es as condiciones son su icien es pa a encon a , an ce -
ca como que amos de b, una columna b0de o ma que (A, b0) enga k0
1como ´ındice de
con olabilidad y ϕ0
1| · · · | ϕ0
ncomo ac o es in a ian es.
Como m= 1 en onces M0 iene un ´unico ´ındice de con olabilidad. Po lo an o, el
p oblema de p esc ipci´on de in a ian es se a a educi a pode consegui una ma iz [A b0]
con los ac o es in a ian es p esc i os.
Po el Lema 4 se puede conside a que Aes ´a en o ma can´onica de Jo dan, dado que
la semejanza de pa es de ma ices es un caso pa icula de PQ-equi alencia. Deno a emos
po Jai(λj) el bloque de Jo dan de ama˜no aico espondien e al alo p opio λj(con los
unos po encima de la diagonal) y po J(λj) la ma iz que iene en la diagonal odos los
bloques de Jo dan asociados al alo p opio λj, o denados de mayo a meno ama˜no.
Vamos a enuncia dos lemas que nos pe mi i ´an da una idea de la demos aci´on del
eo ema pos e io . En el p ime o de ellos se mos a ´a que, si Aes ´a en o ma de Jo dan,
pa a ob ene los ac o es in a ian es se puede conside a cada alo p opio po sepa ado.
Lema 8 Sea [A B]∈Cn×(n+m)con Λ(A) = {λ1, . . . , λ }. Si A= diag(J(λ1), . . . , J(λ ))
yB= [B1. . . , B ]T, en onces s(λi,[A B]) = s(λi,[J(λi)BT
i]), pa a i= 1, . . . , .
Como consecuencia del Lema 8, no se pie de gene alidad si se conside a que A iene
un ´unico alo p opio, que puede se el ce o, pa a simpli ica la no aci´on. Adem´as bas a
conside a que s´olo hay dos bloques de Jo dan po que si hubie a m´as se pod ´ıa pe u ba
en a ias eces, eniendo en cuen a en cada paso s´olo dos de dichos bloques ( ´ease el Lema
1).
Pa a pode mos a el p incipal esul ado de es a secci´on, necesi amos conoce c´omo
son los ac o es in a ian es y el ´ındice de con olabilidad de un pa (A, b) en unci´on de
los elemen os no nulos de b. Es e es el obje i o del siguien e lema.
Lema 9 Sea [A, b]∈C(a1+a2)×(a1+a2+1) con A= diag(Ja1(λ), Ja2(λ)).
Sean ω= (1, . . . , 1, sa2, sa1),ϕ= (1, . . . , 1, sc2, sc1)yk1las cadenas de ac o es in a i-
an es de Ay(A, b)y el ´ındice de con olabilidad de (A, b), espec i amen e.
En onces b= [∗(p1−1)
. . . ∗bp10(a1−p1)
. . . 0|∗ (p2−1)
. . . ∗ba1+p20(a2−p2)
. . . 0]T, donde ∗indica
cualquie n´ume o y bp16= 0 6=ba1+p2
si y s´olo si
k1= m´ax{p1, p2},c2= m´ın{a1−p1, a2−p2}yc1=a1−p1+a2−p2−c2+m´ın{p1, p2}.
Vamos a p ocede a enuncia el p incipal esul ado de es a secci´on.
Teo ema 10 Sea A∈Cn×ny sean ω1| · · · | ωnsus ac o es in a ian es. Sea [A b]∈
Cn×(n+1) con ϕ1| · · · | ϕncomo ac o es in a ian es y k1como ´ındice de con olabilidad.
Sean k0
1un n´ume o en e o y ϕ0
1| · · · | ϕ0
npolinomios m´onicos dados.
Pa a odo ε > 0exis e una columna b0con kb0−bk< ε, al que (A, b0) iene k0
1como
´ındice de con olabilidad y ϕ0
1| · · · | ϕ0
ncomo ac o es in a ian es si y s´olo si
6
Cambio de in a ian es po pe u baci´on de columnas
(i) ωi−1|ϕ0
i|ωipa a i= 1, . . . , n,
(ii) k0
1−k1=Pn
i=1 d(ϕi)−Pn
i=1 d(ϕ0
i),
(iii) ϕ0≺≺ ϕ.
Vamos a pone un ejemplo que si a de indicaci´on de la demos aci´on de es e eo e-
ma. Conside amos la ma iz M= [A b] donde Aes nilpo en e con ac o es in a ian es
no i iales s5ys3. Dependiendo de c´omo sea la columna b, (A, b) end ´a como ´ındice de
con olabilidad 0,1, . . . , 5. En el siguien e e ´ıculo mos amos c´omo pod ´ıan se las ca -
ac e ´ıs icas de Seg e co espondien es a es os ´ındices de con olabilidad, que se˜nalamos
a la de echa, y c´omo se pod ´ıa pasa de un pa , con unos in a ian es, a o o, median e
ans o maciones elemen ales de ipo (1), indicadas po lechas ho izon ales, o median e
ans o maciones elemen ales de ipo (2), indicadas po lechas e icales o inclinadas. El
sen ido de las lechas nos indica cu´ales son los in a ian es que se pueden consegui a pa i
de los de la ma iz Minicial, pe u bando ei e adamen e.
(5,3 )

(0)
(5,2 )

(4,3 )
oo

(1)
(5,1 )

(4,2 )
oo

(3,3 )
oo
(2)
(5,0 )

(4,1 )
oo

(3,2 )
oo
(3)
(4,0 )

(3,1 )
oo
(4)
(3,0) (5)
Pa a indica las posiciones de la ´unica columna de bque hay que pe u ba en cada paso
ponemos sub´ındices a la ma iz M, indicando en neg i a las posiciones que necesa iamen e
deben se di e en es de ce o, eniendo en cuen a el Lema 9. Ponemos es as ma ices en
luga de las co espondien es ca ac e ´ıs icas de Seg e. Tenemos, as´ı, un segundo e ´ıculo.
M

(0)
M1|6

M1
oo

(1)
M12|67

ss
M12|6
oo

M12
oo
(2)
M123|678

M123|67
oo

ss
M123|6
oo
(3)
M1234|678

M1234|67
oo
ss
(4)
M12345|678 (5)
Pa a e c´omo se ´ıa el ec o bTen cada caso enemos el e ce e ´ıculo.
7
M. A. Bei ia, I. de Hoyos
[00000|000]

ss
(0)
[∗0000|?00]
ss
[?0000|000]
oo

ss
(1)
[∗ ∗ 000| ∗ ?0]
ss
[∗?000|?00]
oo
ss
[∗?000|000]
oo
ss
(2)
[∗ ∗ 000|∗∗?]

[∗ ∗ ?00| ∗ ?0]
oo
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(3)
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(4)
[∗ ∗ ∗ ∗ ?| ∗ ∗∗] (5)
Aqu´ı las es ellas ?indican elemen os no nulos y los as e iscos ∗indican cualquie
elemen o. Consegui emos una ma iz M0= [A b0] con unos in a ian es p esc i os, con el
m´ınimo de pe u baciones, si colocamos un elemen o su icien emen e peque˜no exclusi a-
men e en las posiciones en las que apa ece una es ella.
Ag adecimien os
Ag adecemos a los miemb os del G upo de ´
Algeb a Lineal de la UPV/EHU las sug-
e encias apo adas.
Es e abajo ha sido inanciado po los p oyec os MTM 2004-06389-CO2-01 del MEC
y GIU05/28 de la UPV/EHU.
Re e encias
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