SEGUIMIENTO VISUAL BASADO EN PASIVIDAD EN
SISTEMAS NO INERCIALES
Fabio G´
omez-Es e n, Miguel G. Co dones and F.R. Rubio
Dep . Ingenie ´
ıa de Sis emas y Au om´
a ica
Escuela Supe io de Ingenie os. Uni e sidad de Se illa
Camino de los Descub imien os s/n. 41092-Se illa. SPAIN
e-mails: { gs,co dones, ubio}@ca uja.us.es
TEL: +34 954487346 FAX: +34 954487340
Abs ac
En es e abajo se p esen a la s´
ın esis e implemen aci´
on
de un con olado basado en pasi idad des inado al
seguimien o de isual de obje os m´
o iles den o de un es-
quema de echazo de pe u baciones. El p op´
osi o de la apli-
caci´
on es con ola la l´
ınea de isi´
on de una pla a o ma de
senso es de dos g ados de libe ad asen ada sob e un sis-
ema de e e encia m´
o il, cuando el mo imien o del eh´
ıculo
e es e o acu´
a ico que sopo a la pla a o ma ac ´
ua como
un e ec o pe u bado de ene g´
ıa limi ada. Los pa es ex e -
nos debidos al mo imien o del sis ema de e e encia de la
base deses abilizan la imagen y pueden causa una p´
e dida
del obje i o isual. Dichas pe u baciones se pueden com-
pensa de mane a e ec i a inco po ando un esquema cl´
asico
de echazo de pe u baciones con ganancia L2basado en
pasi idad, inicialmen e dise˜
nado pa a sis emas ine ciales.
La p incipal apo aci´
on de es e abajo consis e en hace -
los ex ensi os a sis emas no ine ciales con ealimen aci´
on
isual. Los con olado es dise˜
nados han sido p obados en
una pla a o ma de labo a o io ins alada sob e una mesa de-
ses abilizado a que emula el oleaje o el mo imien o de un
eh´
ıculo e es e, in oduciendo el e ec o pe u bado de
mane a ealis a.
Palab as cla e: Sis emas no lineales, Robo s m´
o iles,
Pasi idad, Con ol obus o, Seguimien o isual.
1 In oducci´
on
En ecien es abajos, la eo ´
ıa de los sis emas hamil onianos
y la pasi idad han pe mi ido p o undiza en el a amien o de
la elaci´
on pe u baciones-salida de los sis emas ealimen a-
dos. En [4] se han demos ado las p opiedades de echazo
de pe u baciones pa a sis emas PCH ( ´
ease ambi´
en un en-
oque ecien e m´
as p ´
ac ico en [5]) al impone unas de e mi-
nadas condiciones en la ma iz de disipaci´
on de un sis ema
hamil oniano, de modo que en bucle ce ado p esen e una
ganancia L2 educida, el algunos casos cuan i icable, en la
elaci´
on pe u baci´
on-salida.
Los senso es de eh´
ıculos o obo s m´
o iles como an enas
sa ´
eli e o sis emas de seguimien o isual, se en a ec ados
de mane a con inua po pe u baciones no deseadas debidas
al mo imien o sis ema de e e encia sob e el que se asien-
an. Las pe u baciones se e lejan como ue zas de co iolis
y cen ´
ı ugas p opias de los sis emas no ine ciales. Es os
sis emas encuen an la di icul ad de man ene una l´
ınea de
isi´
on es able en e a los mo imien os del obje i o isual o
los del p opio sis ema de e e encia del senso . Pa a obje-
i os alejados la segunda de las pe u baciones es la que m´
as
e ec o iene en el seguimien o y equie e un a amien o espe-
cial. En el caso de eh´
ıculos acu´
a icos es as pe u baciones
ienen ca ´
ac e sinusoidal y po an o es de espe a que su
ene g´
ıa es ´
e aco ada, hecho impo an e pa a la e ec i idad
del esquema de echazo de pe u baciones L2. Mo i ado po
ello, en es e a ´
ıculo se p opone el empleo de un con olado
de Slo ine y Li con echazo de pe u baciones en sen ido L2
basado en pasi idad, inme so en un sis ema de seguimien o
isual que p opo ciona la ayec o ia de e e encia a dicho
con olado .
A in de es udia de o ma ealis a las ca ac e ´
ıs icas y el
e ec o de las pe u baciones, se ha cons uido una pla a o ma
de labo a o io de dos g ados de libe ad sob e una mesa
deses abilizado a de dos g ados de libe ad y se ha imple-
men ado un sis ema de seguimien o isual median e c´
ama a
CCD. Al analiza el e ec o de las pe u baciones de la mesa
deses abilizado a sob e la calidad del seguimien o isual, se
ha obse ado expe imen almen e una sus ancial mejo a al in-
co po a el nue o esquema de echazo de pe u baciones al
sis ema de con ol. Es os esul ados se ilus an de o ma
g ´
a ica.
El p esen e a ´
ıculo se o ganiza del siguien e modo: En
la secci´
on 2, se p esen a el modelo simpli icado de la
pla a o ma. En la secci´
on 3, se p opone la es uc u a de con-
ol deseada, di idida en subsis ema isual y subsis ema de
con ol. En la secci´
on 4 se ilus a la implemen aci´
on de lab-
o a o io de los con olado es. La secci´
on 5 p esen a algunos
esul ados expe imen ales. Finalmen e se apo an una se ie
de conclusiones en el apa ado 6.
2 Modelo del sis ema
El sis ema consis e en una pla a o ma de dos g ados de lib-
e ad inme sa en un sis ema de e e encia no ine cial. La
s´
ın esis de con olado es pa a es a pla a o ma p esen a e os
como la es abilizaci´
on obus a con echazo de pe u baciones
y el seguimien o isual de obje os m´
o iles.
El modelo empleado co esponde a la pla a o ma de dos g a-
dos de libe ad mos ada en la igu a 1. Se compone de dos
cue pos p incipales: la base, cuya posici´
on es ´
a de e minada
po el ´
angulo de acimu ϕy el cue po p incipal que con iene
la c´
ama a y cuya coo denada gene alizada es el ´
angulo de
ele aci´
on θ. En nues a ins alaci´
on expe imen al, es e sis-
ema se asien a en una mesa mecanizada capaz de gi a en
dos ejes. El sis ema comple o e e ido a ie a posee cua-
o g ados de libe ad, aunque en nues o modelo conside -
a emos s´
olo la cinem´
a ica de la pla a o ma de dos g ados de
libe ad en un sis ema ijo, ya que el sis ema de e e encia de
la mesa se supone desconocido en aplicaciones eales. Po
an o cualquie e ec o de acoplamien o debido al mo imien o
de es e sis ema se ´
a a ado como pe u baci´
on ex e na.
El peso del cue po de ele aci´
on se concen a a lo la go del
eje de gi o, po lo que la ene g´
ıa po encial es in a ian e y
po an o desapa ece de las ecuaciones. El o igen del ´
angulo
de acimu es a bi a io. La a iable θes ce o cuando ambos
cue pos son pe pendicula es. Las coo denadas gene alizadas
del sis ema son (ϕ,θ).
Figu e 1: Pla a o ma de dos g ados de libe ad.
Las ecuaciones de mo imien o se ob ienen de mane a sen-
cilla en o ma hamil oniana. Bajo la suposici´
on an e io , la
ene g´
ıa mec´
anica o al se educe a la ene g´
ıa cin´
e ica:
1
2˙ϕ˙
θΓ(θ) 0
0Iyy2˙ϕ
˙
θ(1)
que coincide al mismo iempo con el lag angiano y el hamil-
oniano del sis ema. El ´
e mino Γ(θ) ep esen a la siguien e
exp esi´
on:
Γ(θ),Izz1+Ixx2sen2(θ) + Izz2cos2(θ)(2)
donde Izz1es el momen o de ine cia en o no al eje zde la
base, y Ixx2,Iyy2eIzz2lo son espec o a los ejes x,yand z
espec i amen e.
3 Seguimien o de obje os m´
o iles en supe -
ices no ine ciales
El p oblema de con ol de es a pla a o ma puede se a ado
en p ime a ap oximaci´
on como una es abilizaci´
on de pun os
de equilib io. En e ec o, si el obje i o isual no es m´
o il o
su desplazamien o es len o ( .g . sa ´
eli e de comunicaciones
no geos aciona io), el e o en posici´
on puede se es imado
po la c´
ama a y co egido median e linealizaci´
on po eali-
men aci´
on en e o as opciones.
Sin emba go si el obje i o de con ol es el seguimien o i-
sual de un obje o m´
o il, el p oblema c ece en in e ´
es. El
mo imien o del obje i o espec o a la l´
ınea de isi´
on de la
c´
ama a puede da se en una o ambas de las siguien es si ua-
ciones:
•Seguimien o de obje os m´
o iles desde una pla a o ma
apoyada en ie a. La soluci´
on a es e p oblema, al se un
caso pa icula , es ´
a con enida en el siguien e supues o.
•Seguimien o de obje os ijos o m´
o iles desde una
pla a o ma apoyada en la cubie a de un buque u o a
base m´
o il. En es e caso el obje o a segui end ´
a un
ec o de elocidad no nulo con espec o al sis ema de
e e encia ligado a la cabeza del pedes al, an o si el ob-
je o es ´
a en mo imien o como si no. Es a elocidad se ´
a
la composici´
on del mo imien o del p opio obje o con el
mo imien o de la pla a o ma debido a las oscilaciones
p o ocadas en el buque po el oleaje.
Siendo el segundo caso el m´
as gene al, se ´
a el que abo -
da emos a con inuaci´
on. Se plan ea ´
a el con ol como un
seguimien o de ayec o ias basado en pasi idad con echazo
de pe u baciones. Las ayec o ias de e e encia se ´
an aque-
llas que hagan nulas las coo denadas del obje o en la imagen
cap ada po la c´
ama a y sus de i adas. Pa a ello se inclui ´
a un
m´
odulo de p ec´
alculo de la ayec o ia de e e encia en i ud
de los mo imien os del obje i o en la imagen de la c´
ama a.
El esquema de con ol p opues o apa ece en la igu a 2.
3.1 Seguimien o isual
El dise˜
no del p ime bloque consis e en calcula la ayec o-
ia deseada pa a las coo denadas de la pla a o ma, qd( ) =
(ϕd( ), θd( )) de modo que la imagen del obje o m´
o il se
es abilice en el cen o de la pan alla de la imagen cap u ada
po la c´
ama a CCD. La en ada de es e bloque es ´
a o mada
po la posici´
on 2D del obje o en la imagen, e e ida al cen o
Rada
Video
Encode /gy o
Seguimien o de
ayec o ia basado en
pasi idad
Cálculo isual de la
ayec o ia de e e encia
D( )
x( ),y( )
q( ),q'( )
qd( ),q'd( )
Pe u bación (oleaje)
+
+
u
Pla a o ma de senso es
Figu e 2: Esquema de con ol pa a seguimien o isual.
de la pan alla. Deno a emos es as coo denadas (x( ), y( )).
Supongamos que exis e una ayec o ia qd( )∈ C2´
unica en
las coo denadas a icula es de la pla a o ma, al que
q( ) = qd( )⇒(x( ), y( )) = (0,0),∀
Es a ayec o ia es, e iden emen e desconocida, pues de-
pende de los mo imien os del buque y del obje o m´
o il. Sin
emba go, como se e ´
a a con inuaci´
on, bas a ´
a con conoce
las ayec o ias de las coo denadas del obje o en la imagen
cap u ada po la c´
ama a, pa a es ima qd( )y sus de i adas
en cada ins an e . Conocidas ´
es as, se dise˜
na ´
a un con o-
lado basado en pasi idad pa a log a es abilidad asin ´
o ica
de la ayec o ia, y consecuen emen e
lim
→∞
(x( ), y( )) = (0,0)
Es admisible a i ma que las coo denadas en pan alla (x,y),
as´
ı como las coo denadas idimensionales en el sis ema de
e e encia de la c´
ama a, (X,Y,Z), son medidas del e o en
seguimien o. Sin emba go, es necesa io exp esa dicho e o
en coo denadas a icula es (ϕ, θ), y as´
ı se ob end ´
a a con in-
uaci´
on. La posici´
on 2D del obje i o en la imagen cap u ada
se supone es imada po un algo i mo de isi´
on po compu a-
do es ´
anda . El c´
alculo de las coo denadas (X, Y, Z)del ob-
je o e e idas al sis ema de e e encia de la c´
ama a se de i a
de las p opiedades geom´
e icas ilus adas en la igu a 3. Po
semejanza de i´
angulos, se iene
x
d=X
Z
y
d=Y
Z
siendo dla dis ancia ocal al plano de la imagen, un
pa ´
ame o ca ac e ´
ıs ico (y a menudo ajus able) de la c´
ama a.
T as algunas manipulaciones se despejan las coo denadas 3D
X=xD
√d2+ 2
Y=yD
√d2+ 2
donde 2=x2+y2. El e o de o ien aci´
on de la c´
ama a en
unci´
on de xey iene dado po
eϕ= a c an(X
Z) = a c an x
d=ϕd−ϕ
eθ= a c an(Y
Z) = a c an y
d=θd−θ
Si de i amos es a exp esi´
on, se iene
˙eϕ=d
d a c an X
Z=d
d a c an x
d
=˙xd
d2+x2= ˙ϕd−˙ϕ
˙eθ=d
d a c an Y
Z=d
d a c an y
d
=˙yd
d2+y2=˙
θd−˙
θ,
De donde ob enemos ayec o ia a icula deseada y sus
de i adas en el ins an e
qd( ) = ϕ( )
θ( )+eϕ( )
eθ( )(3)
˙qd( ) = ˙ϕ( )
˙
θ( )+˙eϕ( )
˙eθ( )
(4)
Es a ayec o ia obje i o calculada en iempo eal se ´
a la e -
e encia del bloque de es abilizaci´
on de ayec o ias que se
dise˜
na ´
a a con inuaci´
on con m´
e odos basados en pasi idad.
3.2 Subsis ema de es abilizaci´
on de ayec o ias
Pa a log a el seguimien o de ayec o ias pa i emos de las
ecuaciones de Eule –Lag ange, y emplea emos los esul a-
dos de [4]. Dada la ma iz de ine cia del pedes al
M=Γ(θ) 0
0Iyy2(5)
Y
Z
d
Vis a la e al
Vis a supe io
Z
d
X
y
x
Plano de la Imagen
Plano de la Imagen
Figu e 3: Coo denadas en pan alla y coo denadas eales.
se esc ibe la din´
amica en bucle abie o en la es uc u a de
Eule -Lag ange pa a sis emas ob´
o icos
M(q)¨q+C(q, ˙q) ˙q=τ. (6)
donde los ´
e minos de ene g´
ıa po encial no son conside a-
dos en es a aplicaci´
on po azones ya expues as, aunque si
exis ie an el a amien o se ´
ıa equi alen e.
Pa a es abiliza la ayec o ia de e e encia qd( )aplica emos
la ley de con ol
τ=M(q)˙
ξ+C(q, ˙q)ξ+ν(7)
donde
ξ= ˙qd−Λ(q−qd)(8)
yΛ=ΛT>0. Sus i uyendo en (7) se ob iene
M(q) ˙s+C(q, ˙q)s=ν(9)
donde s,˙q−ζ. De iniendo la unci´
on de ene g´
ıa como
H(s, q) = 1
2sTM(q)s(10)
en onces a lo la go de las ayec o ias (9)
d
d H=sTM(q) ˙s+1
2sT˙
Ms
=−sTCs +1
2sT˙
Ms +sTν=sTν(11)
La ´
ul ima exp esi´
on se debe a la an isime ´
ıa de la ma iz
(˙
M-2C). El sis ema es disipa i o espec o a (sTν) y un mapa
pasi o ν7→ spo que H≥0, po cualquie condici´
on inicial.
Si de inimos, adicionalmen e
ˆν=Ks (12)
Figu e 4: Es uc u a de con ol pa a seguimien o de ayec-
o ias
donde K=KT>0es una ma iz de inida posi i a que
apa ece en la es uc u a de con ol (Fig.4) en la pa e de eal-
imen aci´
on. En onces se iene que
P oposi ion 3.1. La ley de con ol
τ=M(q)[¨qd−Λ( ˙q−˙qd)]
+C(q, ˙q)( ˙qd−Λ(q−qd))
+Kd[ ˙q−˙qd+ Λ(q−qd)]
donde Kd=KT
d>0yΛ=ΛT>0a e son pa ´
ame os de
ajus e, y qd( )es la ayec o ia calculada que se ha de segui ,
es abiliza asin ´
o icamen e el e o e( ) = q( )−qd( )en el
o igen
La p ueba es conocida as los esul ados de [4], y no se p e-
sen a ´
a en es e luga .
3.3 Rechazo de pe u baciones en seguimien o de
ayec o ias
El esquema p opues o se basa en el celeb ado con olado
de Slo ine y Li [2], que en p incipio ca ece de p opiedades
de echazo de pe u baciones cuan i icable cuando se oma
el e o en posici´
on del obo como salida del sis ema. Un
hecho conocido de la li e a u a ( ´
ease [3]) es que la adici´
on
de un ´
e mino p opo cional al e o al con olado de Slo ine
y Li p opo ciona un m´
e odo de echazo de pe u baciones en
sen ido L2hacia la salida e( ) = q( )−qd( )con un ni el de
a enuaci´
on γa bi a iamen e bueno en caso de sis emas com-
ple amen e ac uados. La p oposici´
on an e io se ans o ma
en
P oposi ion 3.2. Consid´
e ese la pla a o ma de dos g ados
de libe ad con ley de con ol
τ=M(q)[¨qd−Λ( ˙q−˙qd)]
+C(q, ˙q)( ˙qd−Λ(q−qd))
+Kd[ ˙q−˙qd+ Λ(q−qd)] + Kp(q−qd)
con odas las cons an es de inidas en la p oposici´
on 3.1,
y sup´
ongase adicionalmen e que se cumplen las siguien es
condiciones:
Kd=1
21
γ2+1+λ
Kp=1
2γ2+1+λ.
En onces, la a enuaci´
on L2desde la en ada a la salida τ
la salida (q−qd)es in e io a la ganancia a bi a iamen e
de inida γ, y el compo amien o ansi o io puede se ajus-
ado usando el escala posi i o λ.
La p ueba de es e esul ado puede lee se en [3]. Lo em-
plea emos pa a su implemen aci´
on en la pla a o ma eal de
dos g ados de libe ad con ealimen aci´
on isual, pa a lo que
se desc ibi ´
a la conexi´
on en e el sis ema de a amien o de
imagen y la es uc u a aqu´
ı desc i a.
4 Implemen aci´
on
En la igu a 5 apa ece el sis ema de expe imen aci´
on de lab-
o a o io. La pla a o ma gi a en dos ejes impulsados po mo-
o es de co ien e con inua ipo b ushless. La mesa deses abi-
lizado a cons a de dos mo o es i ´
asicos con olados con un
a iado de elocidad. La medida de los senso es de posici´
on
(encode s inc emen ales e inclin´
ome os pa a la mesa) y e-
locidad (gi ´
oscopos) se ealimen a al PC que con iene dos
a je as (una po eje) de adquisici´
on y con ol dSpace basadas
en el DSP TMS320C31 y un en o no de con ol en iempo
eal Con olDesk.
Pa a la ealimen aci´
on isual se ha desa ollado un algo-
i mo sencillo de a amien o de im´
agenes que se ejecu a en
un PC dis in o del de con ol de la pla a o ma. Dicho al-
go i mo de e mina las coo denadas xeyde un c´
ı culo ne-
g o en la imagen cap u ada y las ajus a en unci´
on de los
Figu e 5: Pla a o ma expe imen al
pa ´
ame os calib ados de la c´
ama a. A con inuaci´
on se cal-
culan los dos ´
angulos de la l´
ınea que apun a al obje o, e e i-
dos al eje longi udinal de la c´
ama a. Es e eje coincide con
el de la pa e supe io de la pla a o ma. Conocidas es as
coo denadas, se ansmi en po medio de da ag amas UDP
sob e una ed E he ne desconges ionada hacia el o denado
de con ol de la pla a o ma. En es a m´
aquina se ha imple-
men ado una aplicaci´
on de memo ia compa ida que ecibe
los da ag amas y ansmi e los alo es a las a je as DSP.
El iempo de mues eo log ado con es e esquema es de 20
milisegundos, sin habe se ap eciados e ec os signi ica i os
elacionados con el e aso de comunicaci´
on.
La iden i icaci´
on de los pa ´
ame os del modelo ´
ısico de
la pla a o ma se han ob enido median e ajus e m´
ınimo
cuad ´
a ico sob e los da os cap u ados po el PC. La compen-
saci´
on de icci´
on ( e apa ado siguien e) es posible medi-
an e la iden i icaci´
on de los coe icien es del modelo de LuG e
al y como se indica en [1].
5 Resul ados expe imen ales
La calidad de los esul ados inc emen a conside ablemen e
al inco po a a nues o con olado el esquema de p eali-
men aci´
on pa a la compensaci´
on de icci´
on basado en el
modelo de LuG e p esen ado en [1].
Con el con olado p esen ado, la igu a 6 mues a los e-
sul ados expe imen ales. La ganancia L2del mapa pe u -
baci´
on-salida ha sido ajus ada de acue do con la p oposici´
on
3.2. Aunque el alo de γpuede hace se a bi a iamen e

peque˜
no, en los expe imen os se ha obse ado que no
se puede educi po debajo de cie o alo debido a la
apa ici´
on de un ib aci´
on sos enida. Es a ib aci´
on, debida
a din´
amicas no modeladas, se e ampli icada al aumen a el
´
e mino de i a i o (disipa i o) del con olado , y es o se p o-
duce p ecisamen e al educi el alo de γ.
Figu e 6: Seguimien o isual de obje i o ijo con
mo imien o de mesa senoidal y pe u baci´
on adi i a.
6 Conclusiones
En es e abajo se ha p esen ado la implemen aci´
on p ´
ac ica
de un con olado basado en la es uc u a hamil oniana con
ealimen aci´
on de isual y a enuaci´
on de pe u baciones.
El dise˜
no se basa en el con olado de Slo ine and Li mejo-
ado pa a inco po a un esquema de echazo de pe u ba-
ciones. Como apo aci´
on no edosa es a es uc u a ha sido in-
me sa en con ex o poco habi ual en abajos de pasi idad: el
seguimien o isual. La ex ensi´
on es na u al y iene dada po
el hecho de que la e e encia m´
o il del con olado de Slo ine
y Li es calculada bas´
andose en conside aciones geom´
e icas
po un subsis ema de seguimien o isual.
Se ha es udiado un sis ema eal o mado po una pla a o ma
de dos g ados de libe ad sob e una mesa deses abilizado a
emulando la supe icie de un buque. Se ha ealimen ado el
sis ema median e encode s, gi ´
oscopos y una c´
ama a CCD
pa a ealimen aci´
on isual. De o ma expe imen al se ha
ilus ado el compo amien o del sis ema en e a la p esen-
cia de pe u baciones ex e nas.
Acknowledgemen s. Los au o es desean exp esa su
ag adecimien o al minis e io espa˜
nol de ciencia y ec-
nolog´
ıa pa ocina es e abajo en el ma co de los p oyec os
DPI2001-2424-C02-01 y DPI2000-1218-C04-01.
Re e ences
[1] Olsson H. Lischinscky P. As om K.J., Canudas de
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