V Cong eso de Ingenie ía de O ganización
Valladolid-Bu gos, 4-5 Sep iemb e 2003
ƒ Índice
Técnicas de ag egación y desag egación en p oblemas de op imización y en
modelos de plani icación de la p oducción. Es ado de la cues ión.∗
Miguel A. Muñoz1, José M. F amiñán2, Ra ael Ruiz-Usano3 y Ped o L. González4
1 Ingenie o Indus ial. E-mail: m[email p o ec ed]
2 D . Ingenie o Indus ial. E-mail: [email p o ec ed]
3 D . Ingenie o Indus ial. E-mail: [email p o ec ed]
4 Ingenie o de O ganización Indus ial. E-mail: [email p o ec ed].
G upo I+DT O ganización Indus ial. Escuela Supe io de Ingenie os de Se illa.
Camino de los Descub imien os, s/n. 41092, Se illa.
RESUMEN
La plani icación de la p oducción es una impo an e unción emp esa ial cuyo p oceso se di ide,
usualmen e, en a ios ni eles je á quicos, po lo que las écnicas de ag egación y desag egación
apa ecen de o ma na u al en es e con ex o. En la ac ualidad exis en dos en oques pa a abo da
los p oblemas de plani icación de la p oducción con écnicas de ag egación y desag egación: el
adicional en oque basado en la Plani icación Je á quica de la P oducción –“Hie a chical
P oduc ion Planning” (HPP), en e minología anglosajona– y el ecien e en oque explica i o del
p oceso de ag egación median e la eo ía de la ag egación en p og amación ma emá ica. El
p esen e abajo expone una isión gene al y una e isión bibliog á ica sob e las écnicas de
ag egación y desag egación en p oblemas de op imización y en modelos de plani icación de la
p oducción, haciendo especial hincapié en el segundo de los en oques comen ado con
an e io idad.
Palab as cla e: P og amación ma emá ica, Ag egación y desag egación, Plani icación de la
p oducción.
1. In oducción.
La plani icación de la p oducción es una impo an e unción emp esa ial cuyo obje i o es la
de e minación de los ni eles de p oducción, de in en a io y de ue za de abajo de o ma que
se sa is aga la demanda y de o ma que no se ulne en las es icciones de capacidad de las
ins alaciones. No malmen e, los ecu sos ísicos de la emp esa se suponen ijos du an e el
ho izon e de iempo conside ado. El es ue zo de plani icación se ealiza con el p opósi o de
u iliza de la mejo mane a posible es os ecu sos.
Usualmen e, el p oceso de plani icación de la p oducción se di ide en a ios ni eles
je á quicos ( e , po ejemplo, [1], p. 307). Cada ni el iene sus p opias ca ac e ís icas de
ho izon e de plani icación, ni el de de alle de la in o mación eque ida, alcance de las
decisiones omadas, e c., po lo que las écnicas de ag egación y desag egación apa ecen de
o ma na u al en es e con ex o.
∗ Es e abajo se enma ca den o del P oyec o DPI2001-3110, inanciado po el Minis e io de Ciencia y
Tecnología y con co inanciación p o enien e del Fondo Eu opeo de Desa ollo Regional (FEDER).
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(i)
(ii)
Las azones aducidas adicionalmen e pa a emplea p ocedimien os de ag egación y
desag egación en un con ex o de plani icación de la p oducción son a ias:
1) Una azón pa a u iliza écnicas de ag egación y desag egación es que la ce eza de los
da os necesa ios pa a plani ica la p oducción es discu ible. Un ejemplo ípico es á cons i uido
po las p e isiones de la demanda de los p oduc os inales que o e a la emp esa al me cado.
En e ec o, es un hecho admi ido el que la p e isión de la demanda ealizada pa a g upos de
p oduc os da luga a esul ados con meno es e o es de p e isión que la p e isión de la
demanda ealizada di ec amen e pa a a ículos o í ems indi iduales ( e , po ejemplo, [2], p.
744). Po lo an o, la en abilidad del es ue zo compu acional eque ido usualmen e po la
esolución di ec a de un modelo desag egado y de allado puede y suele se pequeña desde una
óp ica del ipo cos e-bene icios.
2) O a azón pa a u iliza écnicas de ag egación y desag egación en un con ex o de
plani icación de la p oducción es la no disponibilidad de algunos da os ([3], p. 413). Po
ejemplo, los da os de cos es necesa ios pa a ealiza la plani icación de la p oducción pueden
es a disponibles sólo a ni el de g upos de p oduc os, pe o no a ni el de a ículos indi iduales.
3) En la plani icación de la p oducción, apa ecen con ecuencia en la p ác ica modelos de
op imización de g an amaño. Una causa ípica que o igina modelos de g an amaño es que el
núme o de í ems que se deben conside a en un p oblema eal es muy ele ado ([4], p. 419).
4) En la plani icación de la p oducción, apa ecen con ecuencia modelos de op imización de
g an complejidad. Po ejemplo, cuando se incluyen cos es de pues a a pun o, su gen modelos
de p og amación lineal con a iables bina ias y/o en e as ( e , po ejemplo, [5], p. 99). Es a
complejidad hace que la esolución óp ima de los modelos en iempos de compu ación
azonables sea in iable, incluso en p oblemas de amaño mode ado.
5) O a azón pa a emplea écnicas de ag egación y desag egación en un con ex o de
plani icación de la p oducción es que pe mi e p esen a modelos con di e en es ni eles de
de alle a deciso es de di e en es ni eles je á quicos ([5], p. 101).
En la ac ualidad exis en dos en oques pa a abo da los p oblemas de plani icación de la
p oducción con écnicas de ag egación y desag egación:
En oque basado en la Plani icación Je á quica de la P oducción –“Hie a chical
P oduc ion Planning” (HPP), en e minología anglosajona–. Es e en oque iene su o igen en el
abajo de Hax y Meal [6]. Es os au o es p oponen educi la complejidad descomponiendo el
p oceso de plani icación en p oblemas sepa ados, los cuales se pueden esol e median e
modelos y mé odos de esolución ap opiados ([5], p. 99).
En oque explica i o del p oceso de ag egación median e la eo ía de la ag egación en
p og amación ma emá ica. Es e en oque ha sido p opues o ecien emen e po Leis en [3] y se
basa en dos hechos:
• La plani icación de la p oducción es una de las aplicaciones adicionales de la
in es igación ope a i a ( e , po ejemplo, [5]).
• Las écnicas de ag egación y desag egación se pueden u iliza pa a esol e p oblemas
de op imización de g an amaño, como he amien a de esolución compe i i a con
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o as como las me aheu ís icas o las heu ís icas ad-hoc. Es e uso de las écnicas de
ag egación y desag egación iene su o igen en una g an pa e en el abajo de Zipkin
[7]. Roge s, Plan e, Wong y E ans [8] p esen an una e isión bibliog á ica de las
écnicas de ag egación y desag egación en p oblemas de op imización has a la echa de
su publicación.
En el ma co an e io men e desc i o, el p esen e abajo p esen a una isión gene al y una
e isión bibliog á ica sob e las écnicas de ag egación y desag egación en p oblemas de
op imización y en modelos de plani icación de la p oducción. La ci ada e isión bibliog á ica
se cen a á undamen almen e en las con ibuciones pos e io es a la echa de publicación del
abajo de Roge s, Plan e, Wong y E ans [8] de 1991. Po o a pa e, debido a la abundancia
de ma e ial bibliog á ico y a la exis encia de abajos de e isión bibliog á ica sob e el
en oque HPP ( e , po ejemplo, [9]), el abajo se ceñi á exclusi amen e al segundo de los
en oques comen ado con an e io idad.
El es o del abajo es á es uc u ado de la o ma siguien e: en el apa ado 2 se p esen an las
e e encias básicas sob e écnicas de ag egación y desag egación en p oblemas de
op imización, así como la e minología y no ación empleadas. Las secciones 3 y 4 p esen an
los p incipales esul ados de la eo ía de la ag egación en p og amación lineal con inua y con
a iables en e as, espec i amen e. Finalmen e, en la sección 5 se abo dan los p oblemas de
ag egación y desag egación en con ex os de plani icación de la p oducción.
2. Técnicas de ag egación y desag egación en p oblemas de p og amación lineal.
Las écnicas de ag egación y desag egación han sido p opues as en la li e a u a académica
como he amien as pa a esol e p oblemas de op imización de g an amaño. Una e e encia
clásica de ag egación y desag egación en p oblemas de op imización es la de Roge s, Plan e,
Wong y E ans [8]. En es e a ículo, los au o es desa ollan un ma co de abajo gene al pa a
la implan ación de las écnicas de ag egación y desag egación y ealizan una e isión
bibliog á ica de las con ibuciones has a el año de su publicación.
También se han publicado algunos ex os sob e el ema, como los de Dudkin, Rabino ich y
Vakhu insky [10], Leis en [11] y S uh [12]. De igual o ma, se han ealizado a ias esis
doc o ales o de habili ación como las de F ancis [13], Ka hu ia [14], Liesegang [15], Taylo
[16] y Zipkin [7].
En is a del ma e ial bibliog á ico an e io , que ecopila en buena medida las con ibuciones
ealizadas, aquí se p esen an sólo los esul ados undamen ales de las écnicas de ag egación y
desag egación en p oblemas de op imización, indicando la(s) e e encia(s) en la(s) que se
sus en an dichos esul ados. Además, se ecopilan las con ibuciones apa ecidas en es e
con ex o con pos e io idad a la e e encia de Roge s, Plan e, Wong y E ans [8]. El es udio se
es inge a p oblemas de p og amación lineal, habida cuen a que la complejidad en los
modelos de plani icación de la p oducción no suele se aconsejable ([17], p. 540).
Considé ese el siguien e p oblema de p og amación lineal con inua de g an amaño:
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P oblema P1
0
a suje o
max *
≥
≤
=
x
bax
cxz
(1)
donde
c = (cj) = ec o de coe icien es, de n componen es.
b = (bi) = ec o de capacidades, de m componen es.
a = (aij) = ma iz ecnológica de amaño m x n.
x = (xj) = ec o de a iables de decisión, de n componen es.
Pa a ob ene el p oblema ag egado (los componen es gene ales de las écnicas de ag egación
y desag egación pueden consul a se en [8]) es necesa io oma dos ipos de decisiones:
1) Escoge dos pa iciones “adecuadas”, una pa a el conjun o de índices de las a iables σ =
{Sk: k=1,…,K} y o a pa a el conjun o de índices de las es icciones
ρ
= {Rl: l=1,…,L}.
El p oblema ag egado cons a, po an o, de K a iables y L es icciones. En ocasiones,
sólo se ag egan a iables y ambién pueden ag ega se sólo es icciones.
2) Escoge dos ec o es de pesos “adecuados”, uno pa a las a iables g = (gj) y o o pa a las
es icciones h = (hi), no malizados po g upos:
.,...,1 1,
.,...,1 1,
Llh
Kkg
l
k
Ri
i
Sj
j
==
==
∑
∑
∈
∈
(2)
(3)
Una ez omadas las dos decisiones an e io es, el p oblema ag egado queda en la o ma:
P oblema 2
0
a suje o
max *
≥
≤
=
X
BAX
CXZ
(4)
donde
C = (Ck) = Vec o de coe icien es ag egado, de K componen es, con C
∑
∈
=
k
Sj
jjk gc
A = (Alk) = Ma iz ecnológica ag egada, de dimensiones L x K, con
∑∑
∈∈
=
lk
RiSj
jijilk gahA
B = (Bl) = Vec o de capacidades ag egado, de L componen es, con
∑
∈
=
l
Ri
iil bhB
X = (Xk) = Vec o de a iables ag egadas de decisión, de K componen es.
Una ez conocida la solución óp ima X* del p oblema ag egado, es p eciso de e mina una
solución desag egada y de allada. El p ocedimien o más usual consis e en u iliza como pesos
pa a desag ega los mismos que se usa on pa a ag ega (p ocedimien o de desag egación de
pesos ijos):
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a)
b)
c)
d)
−
−
−
e)
−
kkjj SjKkXgx ∈∀== ,,...,1 pa a ,
* (5)
O o p ocedimien o consis e en u iliza el mé odo de disección óp ima, p opues o po Zipkin
[7]. Es e mé odo es, en gene al, más cos oso compu acionalmen e que el p ocedimien o de
desag egación de pesos ijos ( éase, po ejemplo, [18], p. 125).
3. Resul ados undamen ales en p og amación lineal con inua.
Cuando odas las a iables de decisión del p oblema P1 pueden oma alo es con inuos, los
siguien es esul ados son acep ados en la li e a u a sob e ag egación y desag egación en
p og amación lineal:
Suponiendo ijadas las pa iciones
σ
y
ρ
, es á p obada la exis encia de unos pesos óp imos
gj* y hi* pa a a iables y es icciones, espec i amen e. Es deci , si se u ilizan es os pesos
pa a ag ega y ambién pa a desag ega según el p ocedimien o de desag egación de pesos
ijos, la solución desag egada ob enida median e el p oceso de ag egación y desag egación es
óp ima ( e , po ejemplo, [3], p. 420).
Los pesos óp imos se calculan en unción de la solución óp ima del modelo o iginal ( e ,
po ejemplo, [3], p. 420). Es o es de escasa u ilidad p ác ica, ya que si conociésemos la
solución óp ima del modelo o iginal a p io i, no se necesi a ía u iliza un p ocedimien o de
ag egación y desag egación pa a esol e el modelo o iginal.
Suponiendo ijadas las pa iciones
σ
y
ρ
y ijados unos pesos gj y hi pa a a iables y
es icciones, espec i amen e, no hay, en gene al, ninguna ga an ía ni de admisibilidad ni de
op imalidad al aplica el p ocedimien o de ag egación y desag egación ( e , po ejemplo, [3],
p. 420).
En el caso pa icula de que se ag eguen sólo a iables:
Tan o el p ocedimien o de desag egación de pesos ijos como el p ocedimien o de
disección óp ima p opo cionan siemp e soluciones admisibles pa a el modelo o iginal
( e , po ejemplo, [3], p. 418), independien emen e del conjun o de pesos seleccionados.
El mé odo de disección óp ima p opo ciona una solución an buena o mejo que la
p opo cionada po el p ocedimien o de desag egación de pesos ijos ( e , po ejemplo,
[19], p. 620). Po el con a io, cuando se emplea el mé odo de disección óp ima en el caso
de ag egación conjun a de a iables y es icciones no hay ga an ía ni siquie a de
admisibilidad ( e , po ejemplo, [8], p. 563).
Ni el p ocedimien o de desag egación de pesos ijos ni el p ocedimien o de disección
óp ima ga an izan op imalidad en el p oceso de ag egación y desag egación.
Los en oques i e a i os de ag egación y desag egación a an de ali ia los p oblemas de
no admisibilidad y subop imalidad que se plan ean. La eo ía de la ag egación i e a i a ha sido
es udiada de o ma monog á ica en los ex os de Dudkin, Rabino ich y Vakhu insky [10] y,
más ecien emen e, de Leis en [11]. Los en oques i e a i os suge idos po la li e a u a son los
siguien es:
Man ene las pa iciones
σ
y
ρ
in a iables y ajus a i e a i amen e los pesos de las
a iables y/o es icciones. El p ocedimien o es como sigue: se seleccionan unos pesos

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−
)
g)
h)
−
−
−
i)
−
pa a ag ega , se ob iene el modelo ag egado y se esuel e. A con inuación se u ilizan los
pesos elegidos pa a desag ega y se ob iene una solución desag egada pa a el modelo
o iginal. Se ecalculan los pesos en unción de la solución desag egada ob enida y se
uel e a i e a . Es e p ocedimien o se denomina de ac ualización de pesos (“weigh
upda ing”, en e minología anglosajona).
Man ene el núme o de g upos cons an e pe o cambia la asignación de a iables y/o
es icciones a g upos en e i e ación e i e ación. Es e p ocedimien o se denomina
eag upamien o (“ eclus e ing”, en e minología anglosajona). Es e p ocedimien o se
puede combina o no con el an e io . Po ejemplo, Leis en ([3], p. 423) conside a sólo
eag upamien o, mien as que Jö ns en, Leis en y S o øy [20] u ilizan ambas es a egias
conjun amen e.
En los p ocedimien os de ag egación y desag egación i e a i os se u iliza siemp e el
p ocedimien o de desag egación de pesos ijos, ya que el mé odo de disección óp ima no
pa ece p esen a ninguna en aja en en oques i e a i os ni en el caso de es a egias de
ac ualización de pesos ni en el caso de es a egias de eag upamien o ([3], p. 422).
Leis en [11] mues a un p ocedimien o i e a i o de ag egación y desag egación basado en
es a egias de eag upamien o que con e ge ápidamen e al óp imo del p oblema o iginal en
un núme o ini o de i e aciones bajo cie as hipó esis.
En el caso pa icula de que se ag eguen sólo a iables y no se conside e la posibilidad de
eag upamien o:
Jö ns en, Leis en y S o øy [21] desa ollan a ias es a egias i e a i as de ag egación y
desag egación basadas en conside aciones de ipo g adencial, e aluando la bondad de las
dis in as es a egias con algunos ejemplos numé icos.
S o øy [22] desa olla un p ocedimien o pa a mejo a el alo de la unción obje i o,
cambiando los pesos de i e ación a i e ación. El p ocedimien o es heu ís ico, en el sen ido
que puede no con e ge hacia el conjun o de pesos óp imos y no hay, po an o, ga an ía
de op imalidad en el p oceso i e a i o de ag egación y desag egación.
S o øy [23] enuncia y demues a un eo ema y un co ola io. El eo ema a i ma que la
solución óp ima del p oblema ag egado usando los pesos óp imos es no degene ada si y
sólo si la solución óp ima del p oblema o iginal es no degene ada y sus a iables básicas
se ag egan en g upos sepa ados. El co ola io a i ma que cuando dos o más a iables
básicas de la solución óp ima del p oblema o iginal son ag egadas en la misma a iable
del p oblema ag egado usando los pesos óp imos, la solución óp ima del p oblema
ag egado es degene ada.
En el caso pa icula de que se ag eguen sólo a iables y se conside e la posibilidad de
eag upamien o:
Aboudi, Jö ns en y Leis en [24] desa ollan un conjun o de p ocedimien os de
eag upamien o y de modi icación de pesos que ga an izan una secuencia de alo es de la
unción obje i o no dec ecien e, aunque no se ga an iza la op imalidad del p oceso de
ag egación y desag egación. Los esul ados de es os p ocedimien os se pueden mejo a
con p ocedimien os heu ís icos de mejo a de pesos como los desc i os po Jö ns en,
Leis en y S o øy [21]. Los esul ados ob enidos po los au o es en a ios ejemplos
numé icos han sido muy buenos.
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−
a)
b)
c)
Jö ns en, Leis en y S o øy [20] desa ollan un p ocedimien o en el que se pe mi e el
eag upamien o y la modi icación de pesos. El p ocedimien o ga an iza la op imalidad del
p oceso de ag egación y desag egación siemp e que la solución óp ima del modelo
o iginal y las soluciones óp imas de cada uno de los p oblemas ag egados que apa ecen en
las dis in as i e aciones sean no degene adas.
4. Resul ados undamen ales en p og amación lineal con a iables en e as.
En el caso de que algunas o odas las a iables del p oblema P1 sean en e as, los siguien es
esul ados undamen ales son aplicables:
Los pesos óp imos ambién exis en en el caso de p oblemas de p og amación lineal con
a iables en e as ([19], p. 620), pe o, al igual que en el caso con inuo, ampoco se pueden
de e mina sin conoce la solución óp ima del modelo de allado.
En el caso de ag ega sólo a iables, a di e encia del caso con inuo, ni el p ocedimien o de
desag egación de pesos ijos ni el p ocedimien o de disección óp ima ga an izan soluciones
admisibles pa a el p oblema o iginal. El p ocedimien o de desag egación pa a ob ene
soluciones admisibles ha de se diseñado especí icamen e pa a cada ipo de p oblema ([19], p.
620).
Aunque los pesos óp imos ambién exis en cuando se exige in eg idad, dichos pesos no se
pueden de e mina po p ocedimien os i e a i os del ipo ac ualización de pesos o del ipo
eag upamien o, pues o que no exis e una eo ía de la dualidad pa a p og amación lineal con
a iables en e as ([3], p. 432).
En la li e a u a académica han apa ecido en los úl imos años algunas implemen aciones de
écnicas de ag egación y desag egación en p og amación lineal con a iables en e as ([25],
[26], [27]), pe o no en un con ex o de plani icación de la p oducción (sal o la debida a
Jö ns en y Leis en [28], que se comen a en el epíg a e siguien e).
5. En oque explica i o del p oceso de ag egación y desag egación en plani icación de
la p oducción median e la eo ía de la ag egación.
Recien emen e, Leis en [3] in e p e a y explica el p oceso de ag egación y desag egación en
un con ex o de plani icación de la p oducción, haciendo uso de la eo ía de la ag egación en
p og amación ma emá ica. Es e en oque es, cie amen e, no edoso, pues o que el en oque
adicional basado en la HPP puede conside a se que se ealiza de o ma heu ís ica (o como
caja neg a) y desde un pun o de is a modelado ([3], p. 414).
En su a ículo, Leis en [3] es udia los p oblemas de admisibilidad y/o op imalidad que se
pueden p esen a al ag ega y desag ega los p oblemas clásicos de plani icación de la
p oducción. T adicionalmen e, los p oblemas de admisibilidad en HPP han sido es udiados
bajo la denominación de “ag egación pe ec a” ( e , po ejemplo, [29]). La ag egación
pe ec a signi ica que se cons uye el p oblema ag egado de o ma que se ga an ice que odo
plan de allado admisible, al se ag egado, espe e las es icciones del p oblema ag egado. Sin
emba go, (1) las condiciones pa a una ag egación pe ec a sólo se pueden alcanza bajo
ci cuns ancias especiales, (2) la desag egación de un plan ag egado admisible no iene po qué
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p opo ciona un plan de allado admisible y (3) el concep o de ag egación pe ec a no
conside a p oblemas de op imalidad. Leis en [3] demues a que sólo es posible elimina los
p oblemas de no admisibilidad y no op imalidad u ilizando p ocedimien os i e a i os de
ag egación y desag egación, especialmen e los basados en es a egias de eag upamien o.
En la línea de la e e encia an e io , Jö ns en y Leis en [28] u ilizan un p ocedimien o
i e a i o de ag egación y desag egación pa a esol e un modelo de p og amación lineal
en e a-mix a de plani icación de la p oducción. Median e el p ocedimien o i e a i o, los
au o es gene an modelos in e p e ados como modelos de plani icación en un con ex o HPP.
Apa e de las dos e e encias ci adas con an e io idad no se han encon ado o as
aplicaciones de la eo ía de la p og amación ma emá ica a la plani icación de la p oducción,
po lo que es a línea de in es igación pa ece se p ome edo a.
6. Conclusiones.
La plani icación de la p oducción es una unción emp esa ial que, po di e sas azones, se
abo da usualmen e u ilizando écnicas de ag egación y desag egación. T adicionalmen e, el
en oque empleado es el denominado ab e iadamen e HPP (Plani icación de la P oducción
Je a quizada o “Hie a chical P oduc ion Planning”, en e minología anglosajona). El en oque
HPP no se basa en la eo ía de la ag egación y desag egación en p oblemas de op imización,
po lo cual, ecien emen e, algunos au o es han mos ado in e és en abo da los p oblemas de
plani icación de la p oducción desde es a óp ica al e na i a. En es e abajo se p esen a una
isión gene al y una e isión bibliog á ica sob e las écnicas de ag egación y desag egación
en p oblemas de op imización y en modelos de plani icación de la p oducción.
Ag adecimien os
Los au o es desean mos a su ag adecimien o al P o eso D . Raine Leis en, de la
Uni e sidad de Duisbu go (Alemania), po su ines imable ayuda du an e la ealización de es e
abajo.
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