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LAGACETA DE LA RSME,Vol. 7.2 (2004), P´
ags. 449–467 449
HISTORIA
Secci´on a ca go de
Jos´e Fe ei ´os Dom´ınguez1
Un episodio de la c isis de undamen os: 1904
po
Jos´e Fe ei ´os
La c´eleb e c isis de undamen os a p incipios del siglo XX es un aspec o
bien conocido de la his o ia de la ma em´a ica, pe o hay que deci que –como
an as eces sucede– en la mayo pa e de las exposiciones no suele encon a se
el desa ollo eal de la cues i´on. La p esen aci´on habi ual nos habla de c´omo
el descub imien o de las an inomias hacia 1900 supuso una g a e c isis pa a
la concepci´on conjun is a de los undamen os, que en onces es aba pe ec a-
men e asen ada; a pa i de ah´ısu gi ´ıan los di e sos in en os de cla ifica los
undamen os, que –seg´un es a e si´on simplis a– se educen a es: logicismo,
in uicionismo, o malismo; y el deba e m´as in enso end ´ıa luga en los a˜nos
1920, con los desa ollos en en ados del p og ama de Hilbe y la ma em´a ica
in uicionis a, has a llega al so p enden e desenlace de los eo emas de incom-
ple i ud de G¨odel. Poni´endonos un an o es ic os, hab ´ıa que deci que odas
las afi maciones an e io es son alsas, o cuando menos muy sesgadas.
El deba e sob e undamen os su gi´o en ealidad du an e los a˜nos 1870, so-
b e odo a p op´osi o de la undamen aci´on del an´alisis y las definiciones de los
n´ume os eales, pe o ambi´en con mo i o de la dispu a en e la eo ´ıa de un-
ciones iemanniana y weie s assiana, y las publicaciones de Dedekind sob e
eo ´ıa de n´ume os algeb aica2. Fue sob e odo un deba e alem´an (al menos
en es a p ime a pa e, ampliado du an e los a˜nos 1890 al es o del mundo
ma em´a ico) y se consolid´o una di isi´on en e los pa ida ios m´as adicales de
los m´e odos mode nos, aglu inados en o no a la Uni e sidad de G¨o ingen,
1Los in e esados en colabo a con es a secci´on pueden di igi sus con ibuciones a la
siguien e di ecci´on: Jos´e Fe ei ´os Dom´ınguez; Depa amen o de Filoso ´ıa y L´ogica, Uni e -
sidad de Se illa; C/ Camilo Jos´e Cela, s/n; 41018 – Se illa; Co eo elec ´onico: [email p o ec ed]
2Sob e es e ema pueden e se los p ime os cap´ı ulos de mi lib o [1999], o mi a ´ıculo
[1998] en es a misma e is a.
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ylosc ´ı icos de dichos m´e odos, cen ados en la uni e sidad m´as impo an e
has a los a˜nos 1890, Be l´ın, que end´ıan de o ma m´as o menos acusada al
cons uc i ismo. La dispu a u o que e sob e odo con la cues i´on de qu´e
me odolog´ıa puede admi i se, y con la acep aci´on de cie os axiomas unda-
men ales: ue m´as que nada un deba e en e mode nos ycons uc i is as.Aho a
bien, si hay que ci a posiciones impo an es, debe ´ıamos menciona del lado
“mode no” el logicismo, el pla onismo (Can o , G¨odel) y el o malismo (en
a ias e siones), y del lado cons uc i is a el in uicionismo, el p edica i ismo
(Poinca ´e, Weyl) y a ios o os en oques cons uc i is as (Skolem, e c.)3.
Encuan oalacues i´on de cu´ando se die on las discusiones m´as in ensas,
lo cie o es que hubo a ios pe ´ıodos calien es:losa˜nos en o no a 1870, con
las discusiones ci adas m´as a iba, in e iniendo pe sonajes como Riemann,
Weie s ass, K onecke , Can o y Dedekind; los a˜nos in e medios de la d´ecada
de 1880, momen o en el que ya hay una conciencia p ecisa de las posiciones en
dispu a (a iculada po du Bois-Reymond, Can o , K onecke y Dedekind en
di e sos abajos) y en el que la eo ´ıa de conjun os adquie e p o agonismo;
los a˜nos 1900-1905, en los que no s´olo se discu i´oap op´osi o de las an ino-
mias, sino po el axioma de elecci´on y el p oblema del con inuo; o los a˜nos en
o no a 1921, donde la idea de la c isis se p esen ´o de un modo especialmen e
d am´a ico.
En la p esen e ocasi´on, me gus a ´ıa discu i con de alle lo que suced´ıa hace
exac amen e 100 a˜nos. Y es que la segunda mi ad de 1904 ue un momen o
´algido, casi di ´ıamos que d am´a ico, en el desa ollo de los acon ecimien os.
Los sucesos que nos an a in e esa es u ie on di ec amen e elacionados con la
celeb aci´on del 3e Cong eso In e nacional de Ma em´a icos en Heidelbe g (Ale-
mania), del 8 al 13 de agos o. All´ı ue donde Hilbe expuso un p ime ge men
de las ideas que da ´ıan luga a su c´eleb e p og ama de undamen aci´on, pe o
sob e odo donde J. K¨onig p esen ´o una demos aci´on muy cuidadosa de que
la ca dinalidad del con inuo no puede se un ale . Es a con e encia de K¨onig
caus´o sensaci´on: el p opio Can o es aba p esen e, y la eacci´on ue de g an
in ensidad; hubo despu´es una euni´on in o mal de a ios ma em´a icos donde
el p oblema ue discu ido en de alle. Finalmen e, al mes siguien e, Ze melo dio
consudemos aci´on del eo ema del buen o den y Hausdo ff encon ´o el allo
de la p ueba de K¨onig en un lema debido a Be ns ein. Todos es os desa ollos
es u ie on muy elacionados con el g upo de ma em´a icos de G¨o ingen y con
la inspi aci´on de Da id Hilbe (1862-1943).
3Una isi´on muy simila de la c isis se o ece en el lib o de De Lo enzo [1998]. Sob e las
dis in as posiciones en undamen os, po desg acia no hay ning´un lib o muy bueno en nues o
idioma; pueden consul a se F aenkel, Ba -Hillel y Le y [1973] o Fe e man [1998], en e o as
ob as.
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LAGACETA 451
1.HILBERT, LOS PRIMEROS ICM YLAIMPLANTACI
´
ON DE LA MATEM´
ATICA
MODERNA
Los p ime os Cong esos In e nacionales u ie on mucho que e , p ecisa-
men e, con la pol´emica en e mode nos y cons uc i is as, con ibuyendo de
mane a impo an e a la di usi´on de las nue as ideas y la eo ´ıa de conjun-
os que se ´ıa pa a codifica las. Ya el p ime o, en 1897, si i´o pa a e enda
las nue as ideas a a ´es de las con e encias plena ias de Adol Hu wi z (1859-
1919) sob e desa ollos ecien es en la eo ´ıa gene al de las unciones anal´ı icas,
y de Jacques Hadama d (1865-1963) sob e aplicaciones posibles de la eo ´ıa de
conjun os (donde apun aba hacia el es udio de conjun os de unciones en abs-
ac o). Vale la pena indica que, al celeb a se el Cong eso en Zu ich, donde
Hu wi z e a p o eso , los ma em´a icos de G¨o ingen u ie on la ocasi´on de
impone su o ien aci´on; eco demos que Hu wi z e a disc´ıpulo del pode oso
y muy influyen e Felix Klein (1849-1925), el “minis o de ex e io es” de la
ma em´a ica alemana4,adem´as de amigo ´ın imo de Hilbe .
El segundo cong eso ue o o asun o, ya que se celeb ´oenPa ´ıs, y los
anceses –con la excepci´on de Hadama d– man en´ıan cie a dis ancia con
espec o a las pol´emicas undacionales, y ac i udes me odol´ogicas m´as bien
adicionales. Es e e a el caso desde luego de odo un decano de la ma em´a ica
ancesa como Cha les He mi e (1822-1901), pese al papel que desempe˜n´oen
la ansmisi´on de ideas alemanas a F ancia. El modo de abajo de He mi e
es aba lejos de los m´e odos mode nos: abajaba con exp esiones anal´ı icas
conocidas, y la b´usqueda de p incipios undamen ales no e a lo suyo; se in-
e es´o especialmen e po las ideas de Weie s ass, mien as que los nue os
en oques de Dedekind y Can o le esul a on o almen e ajenos5. Sin duda,
algunas de las con ibuciones ancesas a anzaban ideas impo an es pa a la
ma em´a ica mode na, pe o lo hac´ıan de una mane a elajada, sin la adica-
lidad de un Riemann, Dedekind, Can o o Hilbe . En odo caso, muchos de
ellos mos aban simpa ´ıa po las esis c ´ı icas de K onecke , como se hab´ıa
demos ado en los a ´ıculos filos´oficos de Hen i Poinca ´e (1854-1912) desde
1894, y como se demos a ´ıa en las discusiones de Bai e, Bo el, Lebesgue y
Hadama d sob e el axioma de elecci´on en 1905.
Cla o es ´a que nues a memo ia es siemp e muy pa cial, y el cong eso de
1900 se ecue da sob e odo po la con e encia que impa i´o Hilbe 6.Con iene
acla a que no se a ´o de una con e encia plena ia, sino de una comunicaci´on
en la Secci´on de “Bibliog a ´ıa e His o ia” (!); pe o en la publicaci´on final de las
4La ase, muy ap opiada, es de F aenkel [1967], 152. Klein e a ambi´en impo an e como
“minis o del in e io ”, g acias a sus elaciones con el e dade o Minis o, a su papel en la
DMV, e c.
5Ve po ejemplo los comen a ios de M. Noe he [1902], 384.
6Ve G ay [2003].
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ac as del cong eso, se decidi´o inclui el ex o de Hilbe jun o a las con e encias
plena ias “dada su g an impo ancia”.
El i az y a e ido Hilbe , siemp e ac i o y o iginal, decidi´o hace un
in en o de “le an a el elo” de lo que el u u o depa aba a las ma em´a icas.
Na u almen e, su e dade a in enci´on e a con ibui a de e mina ese u u o,
como ambi´en es aba haciendo en onces, con o os medios, su men o y aliado
Felix Klein. De los 23 p oblemas que hab´ıa seleccionado, Hilbe s´olo u o
iempo pa a discu i 10, pe o en odo caso decidi´oempeza conelp oblema del
con inuo de Can o . No e a una decisi´on casual, sino oda una decla aci´on de
in enciones y una apues a sob e d´onde es a ´ıa el u u o de las ma em´a icas: ¡el
u u o pe enec´ıa a los mode nos! Hilbe mos aba sus afinidades de la mane a
m´as adical, poni´endose del lado de Can o , de sus n´ume os ansfini os y de
sus ideas m´as especula i as.
Geo g Can o Da id Hilbe
(1845-1918) (1862-1943)
Vale la pena comen a un pa de de alles al espec o, po la impo an-
cia que ienen pa a lo que sigue. Adem´as de eco da el p incipal p oblema
pendien e de la eo ´ıa can o iana, que el p opio Can o –sumido aho a en c i-
sis men ales– lle aba a˜nos sin menciona p´ublicamen e7, Hilbe dedicaba la
mi ad de su discusi´on a un segundo p oblema, el del buen o den. Un conjun-
o o denado [de n´ume os] es ´a do ado de un buen o den cuando “no s´olo en
7De odos modos, Hilbe y sus colabo ado es sab´ıan muy bien que Can o lle aba a˜nos
planeando un a ´ıculo donde discu i ´ıa las an inomias y da ´ıa una in e esan e “demos aci´on”
del eo ema de buen o den. Ve Pu ke & Ilgauds [1987]. Tambi´en lo sab´ıan o os, como
Dedekind [Can o 1932], o Hausdo ff [Pu ke 2002], a a ´es de sus con ac os con el p opio
Can o .
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el p opio conjun o, sino ambi´en en cada uno de sus subconjun os, exis e un
p ime n´ume o [elemen o]”. Ob iamen e, el conjun o de los n´ume os eales en
su o den habi ual no es ´a bien o denado, y su ge la p egun a de si es posible
eo dena los de mane a que se les do e de un buen o den, cues i´on
que en opini´on de Can o debe con es a se afi ma i amen e. Me
pa ece sumamen e deseable que ob engamos una demos aci´on di-
ec a de es a no able a i maci´on de Can o , digamos, median e
la de e minaci´on eal [y conc e a] de un al o denamien o de los
n´ume os eales... (Hilbe 1900, 299).
Hoy sabemos que Hilbe es aba pidiendo algo imposible, al menos con los
m´e odos y los axiomas de la eo ´ıa de conjun os al como hoy la conocemos.
Y es que su o mulaci´on, cu iosamen e, pa ece pedi una de e minaci´on cons-
uc i a del buen o den en cues i´on. Lo cual nos ecue da que, pese a se el
au op oclamado palad´ın de los m´e odos mode nos en ma em´a icas, Hilbe a
menudo ecu i´o a la u ilizaci´on de elemen os k onecke ianos o cons uc i os
(como sucede, po cie o, en su amoso p og ama undacional basado en la
eo ´ıa de la demos aci´on).
Tambi´en nos in e esa menciona algo del segundo p oblema p esen ado
po Hilbe . De nue o, es aba elegido es a ´egicamen e pa a en a iza la im-
po ancia de los m´e odos mode nos: se a a del p oblema de la consis encia de
los axiomas de la a i m´e ica [de R], lo que se ´ıa pa a llama la a enci´on hacia
la nue a axiom´a ica de inspi aci´on conjun is a. Y de nue o hay una ´ul ima
pa e en la discusi´on de es e p oblema que apun a a los sucesos que nos an a
in e esa . Hilbe des acaba la impo ancia de la demos aci´on de consis encia
al es ablece la c´eleb e y pol´emica esis de que al demos aci´on bas a pa a
afi ma la “exis encia ma em´a ica” de los n´ume os eales en an o concep o
ma em´a ico y, m´as conc e amen e, en an o conjun o in ini o (el con inuo). Y
pasaba a deci que exac amen e en el mismo sen ido exis en ambi´en:
las clases de n´ume os [o dinales ansfini os] y las po encias [o ca -
dinales ansfini os] supe io es de Can o . Pues engo la con icci´on
de que ambi´en la exis encia de es os ´ul imos pod ´ase demos a-
da en el sen ido que acabo de indica , igual que la del con inuo, y
con a iamen e a lo que sucede con el conjun o de absolu amen e
odas las po encias o ale s de Can o ; conjun o pa a el cual, co-
mo puede mos a se, no es posible es ablece un sis ema de axio-
mas consis en e, en el sen ido que es ablecido po m´ı, y que po
an o esul a se , en mi e minolog´ıa, un concep o que no exis e
ma em´a icamen e. (Hilbe 1900, 301).
Tenemos aqu´ı la p ime a indicaci´on publicada de la exis encia de an inomias
en la eo ´
ıa de conjun os, pe o e a una indicaci´on an aga que p obablemen e
no ue comp endida. El caso es que Hilbe y los ma em´a icos de G¨o ingen
conoc´ıan, g acias a ca as de Can o echadas en 1897 y 1899, las an inomias

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del “conjun o” de odos los o dinales (habi ualmen e llamada de Bu ali-Fo i)
y el “conjun o” de odos los ca dinales (de Can o )8. A es o p ecisamen e se
efie e Hilbe en su ´ul ima ase, en lo que pa ece se una dudosa aplicaci´on
in e sa de su p incipio sob e la exis encia ma em´a ica, ya que de la inexis encia
como conjun o demos ada po Can o concluye la inexis encia de un sis ema
axiom´a ico consis en e.
El genial Can o , a ollado an o po su pe sonalidad impe uosa como
po su capacidad c ea i a en ma em´a icas, io enseguida g andes posibilidades
en las an inomias. En p ime luga , demos aban que las ideas logicis as de
Dedekind y o os no e an sos enibles, y po an o le pa ec´ıa que en´ıan en
apoyo de su isi´on me a ´ısica de la eo ´ıa de conjun os. En segundo luga ,
p on o comp endi´o que la an inomia de los o dinales ansfini os pod´ıa da
endimien os ma em´a icos ( ´eanse las ca as a Hilbe y a Dedekind de 1899,
en los abajos ci ados en la no a an e io ). La idea e a la siguien e: suponga-
mos que un conjun o Cno iene po ca dinal un ale , en onces debe se posible
es ablece una biyecci´on en e sus elemen os y los o dinales, pe o no s´olo con
un segmen o de los o dinales (lo que ha ´ıa del ca dinal de Cun ale ), sino con
odos los o dinales. Aho a bien, un conjun o equipo en e con un “conjun o
inconsis en e” debe se ambi´en inconsis en e, y lo mismo debe sucede con
C, po con ene un subconjun o inconsis en e.
Pe o es e azonamien o in ui i o deb´ıa se p ecisado, y los p incipios no
es aban cla os pa a Can o . Po eso busc´o la ayuda de ma em´a icos de o ien a-
ci´on m´as l´ogica como Dedekind y Hilbe , pe o ampoco aqu´ıencon ´o la ayuda
necesa ia. Finalmen e, as a˜nos planeando una e ce a pa e de sus Con ibu-
ciones a la undamen aci´on de la eo ´ıa de conjun os ans ini os (publicados
en 1895 y 1897 po los Ma hema ische Annalen), la cues i´on se qued´oenel
in e o. Sin emba go, el mismo a gumen o in ui i o ue publicado en nues o
amoso a˜no de 1904 po el ingl´es Philip Jou dain (1879-1921), quien sos u-
o co espondencia con Can o , F ege y Russell, y se ´ıa luego el p ime o en
esc ibi sob e la his o ia de la eo ´ıa de conjun os ( ´ease Jou dain 1904).
Vol iendo a Hilbe , con lo an e io hab ´a bas ado pa a en ende la na u-
aleza de su apues a y el g an papel que desempe˜n´o con sus in e enciones y
esc i os en la di usi´on de los m´e odos mode nos y la eo ´ıa de conjun os. Pe o
hay que aco da se ambi´en y sob e odo de su influencia di ec a sob e el amplio
g upo de ma em´a icos que se eun´ıa en G¨o ingen. Felix Be ns ein (1878-1956),
po ejemplo, hab´ıa es udiado en Halle con Can o , pe o esc ibi´osu esisbajo
la di ecci´on de Hilbe 9;el ´ı ulo e a In es igaciones en eo ´ıa de conjun os,y
8Can o encon ´o es os a gumen os en 1896, mien as abajaba en su p esen aci´on sis-
em´a icadela eo ´ıa de conjun os ansfini os. Ve Can o [1932], Can o [1991], Dedekind
[1932], ol. 3, Pu ke & Ilgauds [1987].
9Una di ecci´on nunca muy a en a, ue a de la asignaci´on del ema y las o ien aciones
iniciales: en el mismo a˜no se p esen a on ¡ocho esis bajo su di ecci´on! S´olo ol emos a
encon a esis sob e emas de conjun os y undamen os en 1910 con K. G elling, y en 1918
con H. Behmann (Hilbe [1935], 431-33).
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la echa de la de ensa ma zo de 1901. En es e abajo, Be ns ein o ec´ıa una
demos aci´on de la siguien e ecuaci´on en e ale s -que como e emos ae ´ıa
secuelas-: ℵℵα
µ=ℵµ·2ℵα(Be ns ein 1901, 50). Tambi´en E ns Ze melo (1871-
1953) ha dejado esc i o que ue p ecisamen e la influencia decisi a de Hilbe
lo que le condujo de la ma em´a ica aplicada en que abaj´o al habili a se
(hid odin´amica, mec´anica es ad´ıs ica) a la eo ´ıa de conjun os y la l´ogica10.
Ya en el in ie no de 1900-1901 Ze melo impa ´ıa en G¨o ingen un cu so
sob e eo ´ıa de conjun os, que pa ece habe sido el p ime o sob e la ma e ia
en cualquie uni e sidad, y enseguida descub i´o la an inomia del conjun o de
odos los conjun os que no pe enecen a s´ı mismos (habi ualmen e llamada
de Russell). Tambi´en Hilbe hab´ıa buscado su p opio camino en el campo
de las an inomias, llegando a o mula una que a su en ende e a “pu amen e
ma em´a ica”, pe o que esul a sin duda menos ele an e que las habi uales11.
As´ı pues, en G¨o ingen e a bien conocido el p oblema de las an inomias
an es de que u ie a luga el no able in e cambio de ca as en e Russell y
F ege, y la publicaci´on de los lib os de ambos que die on a conoce la cues i´on
a bombo y pla illo en 1903: espec i amen e, The P inciples o Ma hema ics12
y el segundo olumen de G undgese ze de A i hme ik.Esm´as, Be ns ein (que
conoci´o el asun o de p ime a mano) nos in o ma de que la cues i´on hab´ıa sido
discu ida, sin llega a un esul ado cla o, en a ias de las Na u o sche e -
sammlungen alemanas, es o es, los cong esos de cien ´ıficos, en los cuales hab´ıa
siemp e una secci´on de ma em´a icas (Be ns ein 1905, 187). Pe o quiz´alosde
G¨o ingen no supie on eflexiona con suficien e p o undidad sob e la na u-
aleza del p oblema plan eado. Hilbe c e´ıa pode esponde al desa ´ıo de las
an inomias median e demos aciones de consis encia que emplea ´ıan “m´e odos
de demos aci´on conocidos” (1900, 300). Ze melo no pa ece habe se p eocu-
pado en exceso a la is a de su an inomia, que sin emba go e a oda una
demos aci´on de con adicci´on pa a las ideas habi uales –las de Dedekind,
F ege, el p ime Hilbe , y Russell– ace ca de los conjun os13. Todo pa ece
indica que ue la espues a inequ´ı oca de F ege, secundada po Russell, lo
que finalmen e les hizo conscien es del alcance de la si uaci´on.
Como di ´ıa el p opio Hilbe e ospec i amen e, la an inomia de Ze melo-
Russell u o “un e ec o ealmen e ca as ´ofico en el mundo ma em´a ico” (Hil-
be 1927, 169). Po cie o iempo, el p opio Hilbe c ey´oqueK onecke
es aba en lo cie o al exigi una es icci´on adical de los m´e odos y axiomas
admi idos14. Pe o su confianza en la ma em´a ica mode na, su ecundidad de
10Peckhaus [1990].
11Sob e Ze melo, e Rang & Thomas [1981], y sob e Hilbe , Peckhaus & Kahle [2002].
12No con undi con los P incipia Ma hema ica de 1910-1913, esc i os po Whi ehead y
Russell.
13Hay que insis i en que Can o no e a de enso de la llamada eo ´ıa ”ingenua” de conjun-
os -basada en el axioma de comp ehensi´on-, az´on po la cual las an inomias no le a ec aban
a´el sino a Dedekind; sob e es e ema, ease Pu ke & Ilgauds [1987], o mi [1999].
14Reminiscencias de Paul Be nays en Reid [1970].
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ideas y su op imismo na u al acaba on imponi´endose. La eacci´on ue p esen-
ada p ecisamen e en la con e encia plena ia que impa i´o, ya como g an figu a
consag ada de la ma em´a ica a ni el mundial, en el Cong eso In e nacional de
1904. Es a eacci´on consis i´o en desa olla su idea de 1900 sob e las demos a-
ciones de consis encia como ga an es de la exis encia de conjun os. Pa a ello,
modific´o sensiblemen e sus plan eamien os con espec o al ipo de m´e odos
que se ´ıa necesa io aplica , ecu iendo a m´e odos p opios del cons uc i ismo
de K onecke a fin de es ablece una demos aci´on de consis encia pu amen e
sin ´ac ica.
En 1900 Hilbe espe aba esol e la cues i´on aplicando m´e odos conocidos
de la eo ´ıa de los i acionales, con lo que segu amen e que ´ıa e e i se sin m´as
am´e odos conjun is as habi uales, como el de las co adu as de Dedekind o el
de las sucesiones undamen ales de Can o 15. Es a p ime a eacci´on consis ´ıa,
pues, en in en a demos a la consis encia de los axiomas elabo ando un mo-
delo median e m´e odos conjun is as, jus amen e a la mane a c´omo Dedekind
hab´ıa mos ado (1888) que hab´ıa modelos de sus axiomas pa a la a i m´e ica.
Pe o e a una eacci´on ingenua, al no ad e i oda ´ıa el alcance del desa ´ıo
que las an inomias plan eaban. Po cie o, es impo an e ene en cuen a que
du an e los a˜nos 1890 Hilbe ue un seguido del logicismo de Dedekind.
Toda ´ıa en 1899, en la in oducci´on de su cu so sob e geome ´ıa euclidea que
acab´o de p epa a las amosas ideas de G undlagen de Geome ie,leemosque
“las leyes de la l´ogica pu a” incluyen a “ oda la a i m´e ica”, espec o a lo cual
emi e al lib o de Dedekind, donde se explican “las elaciones en e l´ogica y
a i m´e ica”16 .
T as la an inomia de Ze melo-Russell, y los an´alisis o ecidos po F ege y
el p opio Russell, quedaba cla o que el p oblema exig´ıa un a amien o m´as
p o undo:
las pa adojas de la eo ´ıa de conjun os [...] mues an, a mi pa ece ,
que las concepciones y medios de in es igaci´on p e alen es en la
l´ogica, en endida en el sen ido adicional, no es ´analaal u ade
las igu osas exigencias que impone la eo ´ıa de conjun os...
La a i m´e ica es conside ada a menudo como una pa e de la l´ogica
[...]. Pe o, si obse amos con a enci´on, ad e imos que en la exposi-
ci´on adicional de las leyes l´ogicas se emplean ya cie os concep os
undamen ales a i m´e icos, po ejemplo el concep o de conjun o [!]
y has a cie o pun o ambi´en el de n´ume o. As´ı nos encon amos
15A a o de es o habla el con enido del cu so impa ido en 1897-1898, y de nue o en 1899-
1900, sob e Zahlbeg iff und Quad a u des K eises [El concep o de n´ume o y la cuad a u a
del c´ı culo]. Ag adezco a W. Sieg, que se enca ga de edi a el u u o olumen de Sp inge
con eniendo es as lecciones, su amabilidad al pone el manusc i o a mi disposici´on. Ve
ambi´en Sieg [1999] y Sieg [2002].
16Ve el abajo oda ´ıa in´edi o de M. Halle (bo ado de 1996), y la edici´on de es e
cu so que se publica ´a en b e e en Sp inge .
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LAGACETA 457
mo i´endonos en c´ı culos, y po ello es necesa io un desa ollo pa -
cialmen e simul aneo de las leyes de la l´ogica y de la a i m´e ica, si
es que p e endemos e i a las pa adojas. (Hilbe 1904, 130-31)
Es e comen a io sob e el concep o de conjun o indica que las an inomias han
o zado a Hilbe a cambia adicalmen e su opini´on ace ca de los conjun os:
si oda ´ıa en 1899 e an “l´ogica pu a”, de acue do con Dedekind, aho a son un
concep o ma em´a ico, y en pa icula “a i m´e ico” (lo cual debe en ende se en
el con ex o de la idea amplia –conjun is a– de a i m´e ica que su gi´o du an e la
a i me izaci´on del an´alisis y la ma em´a ica pu a). Resul a ´ıpico de Hilbe el
habla de es a cues i´on como si los cambios de en oque no le hubie an a ec ado
a´el mismo ´ın imamen e.
El desa ollo plan eado en es a con e encia, publicada al a˜no siguien e,
empleaba ideas l´ogicas muy udimen a ias, omadas sob e odo de la l´ogica
p oposicional y la l´ogica de la iden idad, pa a con ellas o mula simb´olicamen e
los axiomas a i m´e icos de Dedekind sin inclui el axioma de inducci´on (Hilbe
1904, 133). A con inuaci´on, una in es igaci´on combina o ia de las igualdades
de i ables a pa i de es os p incipios o males mos aba que no es posible
deduci una con adicci´on. De aqu´ı, Hilbe (1904, 134) ex a´ıa la consecuen-
cia de que “la afi maci´on de la exis encia del in ini o”, o sea, de un conjun o
infini o, “es ´a jus ificada”. Es a consecuencia se basaba en que los axiomas
a ados exigen un dominio infini o pa a cumpli se; como puede e se, a es as
al u as la demos aci´on de consis encia segu´ıa siendo un medio pa a es ablece
la exis encia de conjun os. Luego, se p ome ´ıa una p ueba de consis encia pa a
el sis ema axiom´a ico comple o, con axioma de inducci´on.
En esumen, la con e encia que comen amos cons i u´ıa un a ance signi-
fica i o en la di ecci´on del p og ama que se desa olla ´ıa a pa i de 1920,
pe o oda ´ıa muy lejos de ad e i las dificul ades implicadas, y lejos sob e
odo de con a con un an´alisis sa is ac o io de los p incipios l´ogicos necesa ios.
A es e espec o, la influencia de Whie ehead y Russell en los a˜nos 1910 ue
muy impo an e pa a los de G¨o ingen, y el cu so impa ido po Hilbe en
1917-1918 supuso un a ance muy no able17.
Po su no edad, las ideas plan eadas po Hilbe en es a con e encia a a-
je on la a enci´on de au o es impo an es como Poinca ´e en 1905 y 1908, Ma io
Pie i en 1906, y L. E. J. B ouwe en 1907 y 1908. El p ime o y el ´ul imo no
deja ´ıan de se˜nala deficiencias que Hilbe acab´o po acep a y sol en a en
su eo ´ıa de la demos aci´on madu a, desa ollada jun o a Paul Be nays en los
a˜nos 1920. Como ha indicado Sieg, es p obable que la ce e a c ´ı ica de Hen i
Poinca ´e (1854-1912) haya e asado mucho el desa ollo de la eo ´ıa de la
demos aci´on. Poinca ´einsis i´o una y o a ez en que s´olo es posible da una
demos aci´on sin ´ac ica de consis encia empleando la inducci´on ma em´a ica
sob e las ´o mulas del sis ema:
17Sob e es e ema debe consul a se Sieg [1999], que puede complemen a se con Mancosu
[1999].
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pa adojas; es o ue uno de los mo i os po los que Ze melo o ece ´ıa o a
demos aci´on m´as comple a y elegan e del esul ado en 1908. En e ce luga ,
Be ns ein o ec´ıa sus eflexiones en el sen ido de que el conjun o de odos los
o dinales es admisible, pe o es un conjun o que no admi e un buen o den. La
idea de admi i conjun os no bien-o denables iba di ec amen e en con a del
abajo de Ze melo, pe o pa ad´ojicamen e Be ns ein no en´ıa p oblemas en
admi i el axioma de elecci´on24 .
En cua o y ´ul imo luga en´ıa el co o pe o muy in e esan e a ´ıculo
de ´
Emile Bo el (1871-1956), quien econoc´ıa habe lo esc i o di ec amen e a
in i aci´on de Hilbe , y que es ´a echado el 1 de diciemb e de 1904. Bo el ol ´ıa
a plan ea el con enido del abajo de Ze melo bajo una o ma condicional:
an es de Ze melo e a conocido que, dado un conjun o Cbien o denado, se
puede asigna un elemen o dis inguido a cada subconjun o de C;Ze melohab´ıa
ob enido el esul ado no edoso de que, in e samen e, la soluci´on al p oblema
de asigna un elemen o dis inguido en a˜na la exis encia de un buen o den
pa a el conjun o. Pe o Bo el en a izaba que es o no cons i uye una soluci´on
comple a del p oblema, ya que oda ´ıa es necesa io “da un medio cuando
menos e´o ico pa a de e mina el elemen o dis inguido mde un subconjun o
cualquie a” de C.Yes olepa ec´ıa sumamen e di ´ıcil en casos como el de C
igualalconjun odelosn´ume os eales (Bo el 1905, 194).
En esumen, Bo el se negaba a acep a la alidez gene al del axioma de
elecci´on y ped´ıa alg´un eemplazo pa a el mismo de na u aleza cons uc i a.
En apoyo de su pun o de is a ci aba una ca a de Bai e, en la que ´es e dec´ıa:
“dudo que se pueda jam´as encon a una medida com´un en e el con inuo... y
los conjun os bien o denados; enemos ah´ı, en mi opini´on, dos cosas cada una
de las cuales no es ´a definida m´as que i ualmen e, y hay posibilidades de
que es as dos i ualidades sean i educ ibles” (Bo el 1905, 195).
3.CONCLUSI´
ON
A pa i de es os a ´ıculos publicados en 1905, el deba e dej´odese p imo -
dialmen e en e au o es alemanes, y pas´o defini i amen e a in e nacionaliza se
(p oceso que hab´ıa empezado, como hemos dicho, en los a˜nos 1890). Hubo
una in ensa discusi´on en F ancia, pe o ambi´en en Ingla e a, e c. De lo que
se a aba, a fin de cuen as, e a de en ende las implicaciones me odol´ogicas
de la ma em´a ica mode na, y de alcanza un acue do sob e la admisibilidad
de sus m´e odos. El axioma de elecci´on ue el ema cen al po que con adec´ıa
muy di ec amen e las p e e encias agamen e cons uc i is as de la mayo ´ıa
de los ma em´a icos. De modo que la nue a discusi´on que hubo a pa i de
1905, aunque complicada con la inmiscusi´on de cues iones sob e l´ogica y sob e
24Uno se p egun a si los di e sos e o es come idos en sus abajos no hab ´an sido la causa
po la cual Be ns ein se dedic´o, a pa i de es e momen o, a cues iones bien alejadas de la
eo ´ıa de conjun os, sob e odo de ma em´a ica aplicada.

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LAGACETA 465
las pa adojas, no e a a fin de cuen as sino una e si´on ampliada y efinada del
iejo deba e que en´ıa exis iendo desde 1870.
Como p e i´o S eini z en su c´eleb e abajo de 1910 sob e eo ´ıa gene al
de cue pos, el axioma de elecci´on ue siendo acep ado cada ez m´as,ali sead-
i iendo su impo ancia y la imposibilidad de educi lo a algo m´as elemen al.
Tambi´en es cie o lo que di ´ıa G¨odel muchos a˜nos despu´es: que di ´ıcilmen e
puede encon a se un p incipio que efleje mejo el esp´ı i u de la eo ´ıa de con-
jun os, con su insis encia desde la p ime a ho a en los subconjun os a bi a ios,
que aquel axioma. El desa ollo de la eo ´ıa de conjun os axiom´a ica y la l´ogica
mos ´oc´omo e i a las iejas an inomias, y puso de elie e la plena acep a-
bilidad del axioma. Con es o quedan indicadas las espues as p incipales a la
mayo pa e de las cues iones que se pusie on sob e el ape e en aquel agi ado
a˜no de 1904. Queda el p oblema del con inuo como ´ul imo elemen o pendien e.
Todos sabemos que el m´e odo del o cing de Cohen es ableci´o la indepen-
dencia de la hip´o esis de Can o con espec o a los axiomas conjun is as, y
muchos han is o en es o la soluci´on al p ime p oblema de Hilbe . Pe o es a
idea no deja de se pa ad´ojica, pues el papel undamen al y b´asico que de-
sempe˜nan los n´ume os eales con as a con nues a incapacidad de esponde
con s´ı o no a la sencilla p egun a de Can o : ¿es odo subconjun o de Robien
enume able, o bien equipo en e a R? Si conside amos que es a p egun a no ad-
mi e espues a un´ı oca, pa ece que es amos dando la az´on, a fin de cuen as,
a Bai e con su idea del con inuo como i ualidad i educ ible ( e el final de
la secci´on an e io ). Una ez m´as, y como ad i i´oLeibnizhaceya essiglos,
el labe in o del con inuo nos con unde.
REFERENCIAS
[1] F. Be ns ein, Un e suchungen zu Mengenleh e. Tesis doc o al. G¨o ingen &
Halle, 1901.
[2] –¨
Ube die Reihe de ansfini en O dnungszahlen, Ma h. Ann. 60 (1905), 187–
193.
[3] E. Bo el, Quelques ema ques su les p incipes de la h´eo ie des ensembles,
Ma h. Ann. 60 (1905), 194–195.
[4] G. Can o , Gesammel e Abhandlungen ma hema ischen und philosophischen In-
hal s, 1932. Reimp eso en G. Olms, 1966.
[5] –B ie wechsel. Be lin, Sp inge , 1991.
[6] R. Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen? B aunschweig, Vieweg, 1888.
Reimp eso en Dedekind 1932. T aducci´on en Alianza Uni ./UAM, 1997.
[7] –Gesammel e We ke, ol. III. B aunschweig, Vieweg, 1932.
[8] J. De Lo enzo, La ma em´a ica: de sus undamen os y c isis, Mad id, Tecnos,
1998.
“his o ia72” — 2004/6/2 — 20:55 — page 466 — #18
466 HISTORIA
[9] S. Fe e man, In he Ligh o Logic, Ox o d, Ox o d Uni . P ess., 1998.
[10] J. Fe ei ´
os, Laby in h o Though . A his o y o se heo y and i s ole in mod-
e n ma hema ics.Basel,Bi kh¨ause , 1999.
[11] –El en oque conjun is a en ma em´a icas, La Gace a de la RSME, 1 (1998),
389–412
[12] A. F aenkel, Lebensk eise. Aus den E inne ungen eines j¨udischen Ma hema ik-
e s. S u ga , Deu sche Ve lags-Ans al , 1967.
[13] A. F aenkel, Y. Ba -Hillel, A. Le y, Founda ions o Se Theo y,Ams e dam,
No h-Holland, 1973.
[14] J. G ay, El desa ´ıo de Hilbe .Mad id,C ´ı ica, 2003.
[15] M. Halle , Hilbe on geome y, numbe and con inui y. In´edi o, bo ado de
1996, apa ece ´aenThe Bulle in o Symbolic Logic.
[16] F. Hausdo , De Po enzbeg iff in de Mengenleh e. Jah esbe ich de DMV
13 (1904), 569–571.
[17] D. Hilbe , Ma hema ische P obleme. Nach ich en on de Gesellscha de
Wissenscha en zu G¨o ingen, Ma hema isch-Physikalische Klasse, 1900. Reim-
p eso en D. Hilbe 1935.
[18] –¨
Ube die G undlagen de Logik und A i hme ik, Ve handlungen des d i en
In e na ionalen Ma hema ike kong ess, Leipzig, Teubne , 1905. T ad. inglesa en
J. an Heijenoo ,F om F ege o G¨odel, Ha a d Uni . P ess, 1967, 129–138.
[19] –Die G undlagen de Ma hema ik, Abh. ma h. Sem. Hamb. Uni . 6 (1928), no
1/2, 65–85.
[20] –Gesammel e Abhandlungen, ol. III. Be lin, Sp inge , 1935.
[21] Ph. Jou dain, On he ansfini e ca dinal numbe s o well-o de ed agg ega es.
Philos. Magazine, se ie 6 (1904), VII, 61–75.
[22] G. Kowalewski, Bes and und Wandel – Meine Lebense ine ungen – zugleich
ein Bei ag zu neue en Geschich e de Ma hema ik, Munich, Oldenbou g, 1950.
[23] B. Le i, In o no alla eo ia degli agg ega i, Is . Lomba do Accad. Sci. Le .
Rendicon i XXXV (1902), 863–868.
[24] P. Mancosu, Be ween Russell and Hilbe : Behmann on he ounda ions o
ma hema ics, The Bulle in o Symbolic Logic 5 (1999), 303–330.
[25] G.H. Moo e, Ze melo’s Axiom o Choice, Be lin, Sp inge , 1982.
[26] M. Noe he , Cha les He mi e, Ma h. Ann. 55 (1902), 337–385.
[27] V. Peckhaus, ‘Ich habe mich wohl geh¨u e , alle Pa onen au einmal zu e -
schiessen’: E ns Ze melo in G¨o ingen. His .&Phil.o Logic11 (1990), 19–58.
[28] V. Peckhaus & R. Kahle. Hilbe ’s Pa adox, His o ia Ma hema ica 29 (2002),
157–175.
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LAGACETA 467
[29] H. Poinca ´
e, Les ma h´ema iques e la logique, Re uedem´e aph. e de mo ale
13 (1905), 815–835. T aducci´on en W. Ewald,F om Kan o Hilbe ,Ox o d
Uni . P ess, ol. 2, 1021–1038.
[30] W. Pu ke , G undz¨uge de Mengenleh e - His o ische Ein ¨uh ung, en F.
Hausdo ,Gesammel e We ke, omoII:G undz¨uge de Mengenleh e, Be lin,
Sp inge , 2002.
[31] W. Pu ke & H. J. Ilgauds, Geo g Can o 1845-1918,Basel,Bi kh¨ause , 1987.
[32] B. Rang & W. Thomas, Ze melo’s disco e y o he ‘Russell pa adox’, His o ia
Ma hema ica 8 (1981), 15–22.
[33] C. Reid, Da id Hilbe . Be lin, Sp inge , 1970.
[34] A. Schoen lies, Zu E inne ung an Geo g Can o . Jah esbe ich de DMV 31
(1922), 97–106.
[35] W. Sieg, Hilbe ’s P og ams: 1917-1922, The Bulle in o Symbolic Logic 5 (1999),
1–44.
[36] –Beyond Hilbe ’s Reach?, en D. B. Malamen , ed.,Reading Na u al Philoso-
phy: Essays in he His o y and Philosophy o Science and Ma hema ics,Open
Cou , 2002, pp. 363–405.
[37] E. Ze melo, Beweis, dass jede Menge wohlgeo dne we den kann, Ma h. Ann.
59 (1904), 514–516.
Jos´e Fe ei ´os Dom´ınguez
Dep amen o de Filoso ´ıa y L´ogica
Uni e sidad de Se illa
C/ Camilo Jos´eCela,s/n
41018 – Se illa
Co eo elec ´onico: [email p o ec ed]