320 ANALES
DE
l iECANICA
DE
LA
FRACTURA
Vol. 12
ESTUDIO MICROMECANICO DE DESPEGUES EN LA INTERFASE ENTRE FIBRA Y MATRIZ
EN MATERIALES COMPUESTOS
J.C. del
Caño ,
J.
Cañas:j:, F. Pa ís:j:, V. Man ic:j:,
J.
Sánchez:j:
E.T.S.I. Indus iales; Dp o. Resis encia de Ma e iales, Pº del Cauce s/n, 47011 Valladolid
:j:
E.T.S.I. Indus iales; Dp o. Mecánica Medios Con inuos, A . Reina Me cedes s/n, 41012 Se illa
Resumen. Se p esen a un es udio numé ico basado en el Mé odo de los Elemen os de Con o no del
p oblema mic omecánico de despegue pa cial en e ib a y ma iz en ma e iales compues os e o zados
con ib a, bajo acción de ca gas ans e sales. El análisis con empla la posible p esencia de zonas de
con ac o sin icción en la po ción despegada de la in e ase. Se iden i ica ca ác e singula de algunas
componen es de ensión en la p oximidad del in del pegado, y se calculan numé icamen e pa áme os
asociados a la singula idad median e un p oceso de ex apolación. La compa ación de los pa áme os
conocidos analí icamen e con los alo es ob enidos esul a sa is ac o ia. Se sugie e la u ilidad po encial
de es e ipo de análisis pa a de e mina p opiedades ísicas de la in e ase con
el
apoyo de da os
expe imen ales.
Abs ac . A nume ical s udy on he míc omechanícal p oblem
o
pa ially debonded ibe and ma ix
in ans e sely loaded ibe - ein o ced composi es is p esen ed. The analysis accoun s o he possibili y
o
ic ionless con ac
wnes
along he debonded
wne
o
he in e ace. The Bounda y Elemen Me hod
is
used h ough. The singula na u e o so ne s ess componen s nea he end o he bonded
wne
is
íden i ied, and pa ame e s ela ed
o
he singula i y a e nume ically calcula ed
by
using an ex apola ion
p ocedu e. Compa ison
o
heo e ically known pa ame e s agains i s calcula ed alues
is
sa is ac o y.
The po en ial use ulness o his kind o nume ical analysis oge he wi h expe imen al da a in o de
o
de e mine physícal p ope ies
o
he in e ace is sugges ed.
l.
INTRODUCCION
La obse ación median e mic oscopio de g ie as
ans e sales en ma e iales e o zados con ib a, e ela
que el p oceso de ag ie amien o comienza po
despegues en la in e ase ib a-ma iz, pa a ni eles
ela i amen e bajos de la ca ga ans e sal. Pa a ni eles
supe io es de ca ga, es os despegues se conec an a
a és de la ma iz o mando una mac og ie a. Po
an o, las p opiedades y mecanismos de allo de la
in e ase juegan un papel dominan e en el
compo amien o· del ma e ial bajo ca ga ans e sal. El
obje i o úl imo que anima la ealización del p esen e
abajo
es
el es ablecimien o de un p ocedimien o pa a
la cuan i icación de las p opiedades esis en es a
ac u a de la in e ase. Ello pod ía se lle ado a cabo
ealizando el mejo ajus e posible de los pa áme os
de
un c i e io de esis encia dado, al compo amien o
obse ado en la expe imen ación. La dis ibución
de
ensiones
y/o
desplazamien os, que in e end á de una
u o a mane a en el c i e io de esis encia, debe se pues
conocida.
En esumen, se ía necesa io con a con:
-in o mación p ecisa ace ca del es ado ensional en
condiciones de despegue de la in e ase.
-da os expe imen ales ace ca de las condiciones en
que se inicia y p opaga dicho despegue.
El p esen e abajo se dedica al p ime o
de
los pun os
an e io es, es udiándose la iabilidad de ob ene
numé icamen e de modo su icien emen e p eciso
el
es ado ensional en el ipo de p oblemas conside ado,
u ilizando disc e izaciones basadas en écnicas de
con o no, más en ajosas que las écnicas de dominio
en el ipo de p oblemas en elas icidad lineal que
se
es udian. En la sección 2 se expone el p oblema a
analiza . Su elección esponde al c i e io de acilidad
de ma e ialización y obse ación en labo a o io, si
bien es os aspec os no son abo dados en es e a ículo.
Las secciones 3 y 4 desc iben b e emen e las
p incipales ca ac e ís icas de la écnica numé ica
que
se ha implemen ado pa a ob ene los esul ados que
se
p esen an en la sección 5. En la sección 6 se esumen
las
conclusiones del es udio. ealizado.
ANALES
DE
MECANICA
DE
LA
FRACTURA
Vol.
12
(1995)
321
2.
DESCRIPCION
DEL
PROBLEMA
El p esen e análisis se ealiza bajo hipó esis de
de o mación plana en elas icidad lineal. El p oblema
p opues o· es mos ado en
la
Fig.
l.
Consis e en una
ib a única; cuyas p opiedades co esponden a una
ib a de id io, odeada
po
una ma iz de dimensiones
su icien emen e g andes como pa a pode se
conside ada in ini a. Las p opiedades de
la
ma iz
co esponden a una esina epoxy. Se asumi á un
ángulo de despegue
2a
o ien ado simé icamen e
espec o a
la
di ección de
la
ca ga, y sepa ación nula
en
la
zona despegada cuando no ac úan ca gas
ex e io es. Es conocido, e po ejemplo [1], que es e
ipo de p oblemas es independien e de la ca ga, en el
sen ido de que las zonas de sepa ación y con ac o (y la
posible pa ición de es a úl ima
en
zonas de adhesión y
deslizamien o, en el caso de que exis a icción), no
dependen del ni el de ca ga, suponiendo que
e ec i amen e se aplique alguna acción no nula de
la
ca ga.
El
alo de
la
acción ex e io no iene po
an o una signi icación ele an e
en
es e es udio,
pues o que
odas
las ensiones se án p opo cionales al
ni el de ca ga; no obs an e, en
la
igu a 1 se indica un
alo ipo cómodo
pa a
la
obse ación du an e la
expe imen ación. Solamen e se analiza á
la
mi ad
supe io del p oblema, ap o echando la sime ía del
mismo.
3.
EL
METODO
DE
LOS
ELEMENTOS
DE
CONTORNO
EN
PROBLEMAS
DE
CONTACTO
Los undamen os del Mé odo de los Elemen os de
Con o no en elas icidad lineal es án bien desc i os en
la
li e a u a [3,4], y no se án comple amen e
desa ollados aquí. Pa a el p opósi o de es a
exposición considé ese un . sólido bidimensional
elás ico sin ca gas de olumen. Pode nos usa el
segundo eo ema de Be i pa a gene a an as
ecuaciones co no necesi emos pa a calcula los
pa áme os inde e minados de la solución ap oximada
que hayamos plan eado p e iamen e. To na emos
siemp e la solución undamen al de Kel in pa a un
medio in ini o co no solución auxilia , aunque son
posibles o as elecciones. Las ecuaciones que se
ob ienen son de la o ma :
ciJ
(x)u/x)+
JaDT¡)l'
(x,y)uj(y)d5(y)
=
=
lw
'Jiij(x,y)TJ(y)d5(y)
(1)
dónde
an
es el con o no del dominio D que ocupa el
sólido, "y" simboliza gené icamen e un pun o del
sólido (siemp e en su con o no en es a ecuación),
"x"
es
la
posición de la ca ga unidad de la solución
auxilia , "i","j" son índices que a ían de 1 a 2 en
p oblemas bidimensionales, uj(y), Tj(y) son los
35x10"6
Pa
zona
pegada
=
2n:
-
2a
ma iz
J
E=2.8
x1
0"9
Pa
l Poiss=0.33
zona
no
pegada
=
2a
línea
de
sime ía
Fig.
l.
P oblema a analiza y di ecciones locales de las componen es de ensión y desplazamien o.
A p ime a is a pod ía pensa se que si a es pequeño
no hab ía zona de con ac o, pe o en odo caso pa ece
cla o que
pa a
a g ande, digamos 90º, exis i á una
zona de con ac o en e
las
supe icies despegadas de la
ib a y la ma iz en las ce canías de a. El es udio
numé ico debe, po an o, se capaz de modela es as
zonas
de con ac o, lo que po o a
pa e
cons i ui á la
apo ación más impo an e espec o a las soluciones
analí ic¡iS disponibles [2], al como
se
comen a en la
sección4.
ec o es de desplazamien o y ensión en , y
'! ¡j(x.y),
T¡jW(x,y)
son los ec o es desplazamien o y
ensión de
la
solución auxilia , ac uando su ca ga
unidad en di ección "i". Se en iende suma o io de 1 a
2 en índices que, co no "j", se epi en en el mismo
é mino. Si "x" se si úa en el con o no del sólido los
dos ín eg andos de (1) son singula es: la in eg al
izquie da
exi_s e
en el sen ido del alo p incipal de
Cauchy, mien as
la
de echa con iene sólo una
singula idad débil, in eg able ·en el sen ido
con encional. Adicionalmen e, si "x" es á en el
con o no, depende de la geome ía local del
con o no en pun o. Si "x" es á ue a o den o del
322 ANALES
DE
MECANICA
DE
LA FRACTURA Vol. 12
sólido, los dos in eg andos son egula es. Si "x" es á
ue a es cij=O, y
si
es á den o, es c¡j=Oij·
La
écnica de
con o no más popula consis e
en
esc ibi la ecuación
(1) con el pun o uen e "x" si uado
en
cada
una
de las
posiciones nodales
yP
(p=
l...n)
de una disc e ización
habi ual en elemen os de con o no. Es a es la écnica
empleada p incipalmen e
en
es e abajo, aunque
ambién se usan ecuaciones ob enidas con "x" ue a del
sólido
pa a
p opósi os pa icula es que se indica án
más adelan e.
La
solución ap oximada, cuyos pa áme os se p e ende
de e mina , se plan ea del modo habi ual, exp esando
las ensiones y los desplazamien os como combinación
lineal
de
p- unciones NP(y), no nulas
en
pequeñas
po ciones del con o no (elemen os). Cada
una
de es as
unciones ale 1
en
un
pun o pa icula del con o no
(el nodo p, que se
aSQGia
a esa unción), y ce o
en
las
demás posiciones nodales.
Con
es a elección, los
pa áme os a de e mina son p ecisamen e las·
componen es del desplazamien o y ensión
en
los
nodos.
La
ap oximación esul a:
uj(y)
=
í:NP(y)uj(yP)
p
(2)
p
La
sus i ución
de
(2)
en
(l)
pa a
el pun o uen e en
xq
conduce
a:
"H'l:Pu.(yP)="G'l:P .(yP)
(3)
.1:,.,¡
IJ
J
.1:,.,¡
IJ
j
p p
donde:
si p
= :.
q
(4)
Se
ha
elegido ap oxima ensiones y desplazamien os
en base a es posiciones nodales
yP
en cada elemen o:
un
nodo (compa ido
po
dos elemen os)
en
cada
ex emo del elemen o y o o en algún pun o
in e medio. Habi ualmen e se denominan elemen os
pa abólicos con inuos
en
la
li e a u a.
En
cuan o a la
geome ía, el p oblema con iene sólo con o nos
ci cula es y ec os, que pueden se desc i os
exac amen e, no siendo necesa io ecu i a
in e polación.
Po
ello se
ha
implemen ado geome ía
exac amen e ci cula
pa a
los elemen os
de
la
in e ase.
La
ecuación (3) plan eada pa a an os pun os
xq
como
nodos
yP
engamos cons i uye un sis ema de
ecuaciones algeb aicas que pe mi i ía calcula las
ensiones y desplazamien os desconocidos
en
p oblemas de un solo cue po con condiciones de
con o no co ec amen e de midas.
En
un p oblema de
con ac o en e dos sólidos A y B (Figu a 2), las
condiciones de con o no en la zona de con ac o
in oluc an a iables de ambos sólidos, po lo que las
ecuaciones (3) plan eadas pa a los sólidos A y B, y las
ecuaciones de con ac o deben esol e se
conjun amen e.
Sólido A
Fig.
2.
Zona
de con ac o y de mición de ejes locales.
Las mencionadas condiciones de con ac o,
pa a
el caso
sin icción que nos ocupa, deben ga an iza el
equilib io,
la
ausencia de in e pene aciones, y que no
haya acciones en
la
zona despegada (aunque puede
habe las
en
lazona
pegada). Así, pa a un pun o M en
la zona pegada end emos:
u
(M)+
u~
CM:)=
O,
i=l,2
T¡A(M)=T¡B(M),
i=l,2
(5)
y pa a M en
la
zona despegada, pe o en con ac o:
u~(M)+u~(M)=O
T1
A
(M)=
T1
B
(M)~
0
Ti'
(M)=
T:(M)
=O
(6)
Finalmen e,
en
la zona de sepa ación de la zona
despegada se iene
u~
(M)+
u~
(M)
~O
T¡A
(M)=
T¡B
(M)=
0,
i=
1,2
(7)
En
los p oblemas sin icción, la solución no depende
de
la his o ia de ca ga, no siendo po an o necesa io
plan ea
la
aplicación inc emen al de la misma. Po
an o, la es a egia de solución se
ha
basado
en
la
de e minación i e a i a de las zonas de con ac o y
sepa ación.
Pa a
ello se pa e de una es imación de la
zona de con ac o, se esuel e el conjun o de ecuaciones
o mado
po
(3), plan eado pa a A y B, jun o a las
ecuaciones de con ac o, y se comp ueba si
hay
iolaciones de la
2ª
de
las ecs. (6) o de la 1 ª de las (7).
Si es así, se modi ican algunas de las condiciones de
ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA Vol. 12 (1995) 323
con ac o supues as y se einicia
el
p oceso. La solución
se alcanza cuando
no
se iolan las ecuaciones
mencionadas. Es e p ocedimien o
es
una
pa icula ización del algo i mo más gene al que
se
desc ibe en [5].
En cuan o a la esolución conjun a de las ecuaciones
(3) pa a los sólidos A y B y las
de
con ac o, que debe
ealiza se en cada i e ación del p oceso an e io , se ha
implemen ado una esolución a su ez i e a i a.
Se
comienza esol iendo las ecuaciones (3) del sólido
ma iz suponiendo desplazamien os nulos en las zonas
pégadas y de con ac o. Las ensiones ob enidas son
aplicadas a la ib a median e las condiciones de
con ac o. Se ob iene la solución pa a la ib a bajo es as
condiciones, y los desplazamien os ob enidos
se
aplican, nue amen e a a és de las condiciones de
con ac o, al sólido ma iz. El p oceso con inúa has a
que los desplazamien os de la in e ase
se
es abilizan
con un ni el de ole ancia ela i a global
p ede e minado (0.0002 en los casos p esen ados).
Pa a es e ipo
de
p oblemas de con ac o, en los que uno
de los sólidos es mucho más ígido que el o o, el
p ocedimien o desc i o suele esul a en ajoso en e a
la esolución conjun a de odas las ecuaciones del
p oblema, po que los eque imien os de memo ia y el
núme o de ope aciones suele se meno (el p oceso
con e ge en dos o es i e aciones en los casos
es Udiados). Adicionalmen e, es e p ocedimien o no
impide ealiza una condensación p e ia ( écnica
desc i a en [6]) de los g ados de libe ad que
pe manecen pasi os.
Ha.y
que no a , sin emba go que
pa a p oblemas con ma e iales de igidez simila ,
el
p oceso con e ge más len amen e, pe diendo así
su
a ac i o.
4. CONSIDERACIONES ACERCA DEL ESTADO
TENSIONAL
EN
EL
BORDE
DE
GRIETA
Si los sólidos uesen del mismo ma e ial, y el ángulo a
de despegue uese muy pequeño,
el
p oblema
p esen a ía la ípica singula idad de ensión (asociada
al modo
I)
en el lado pegado. Sin emba go, los
ma e iales son dis in os y a puede ene cualquie
alo , lo que hace di ícil an icipa
el
ca ác e de la
solución de ensiones pa a la con igu ación gene al.
En e o os au o es, England
[7]
obse ó que la
aplicación de la eo ía lineal de la elas icidad a un
p oblema análogo al de la
Fig.l,
conside ando bo des
de g ie a lib es, conduce a soluciones oscilan es ce ca
del in del pegado, mani es ando es e au o que dichas
soluciones son ísicamen e inco ec as, pues o que
implican in e pene aciones en e los sólidos.
Comninou [8-10] ha plan eado la esolución
de
p oblemas de g ie as ec as admi iendo zonas
de
con ac o,
no
p esen ando sus soluciones el inacep able
ca ác e oscilan e an es desc i o. En [8] se mues a
que
con acción ans e sal a la g ie a, si uación
asimilable a nues o p oblema
si
a
es
pequeño, la zona
de con ac o
es
pequeñísima. Sin emba go, bajo ca ga
combinada [9], si uación más pa ecida a la que
se
da
en nues o p oblema en la ecindad del
in
del pegado
si a
no
es
pequeño, la zona de con ac o cub e buena
pa e de la longi ud de la g ie a.
Lo
an e io sugie e
que eó icamen e end emos siemp e zona de con ac o,
lo
que hace espe a un papel impo an e del allo po
co an e en la p opagación de la g ie a
[8,
10],
con
independencia de la o ien ación de la misma espec o
de las ca gas ex e io es.
En o o o den de cosas, la modelización numé ica
de
la discon inuidad de
¡
en el
in
del pegado usando
el
ipo de elemen o e e ido en la sección 3, equie e
alguna ac uación especial. Se ha implemen ado una
écnica de nodo doble, que pa a un sólido A consis e
en
coloca dos nodos en la misma posición geomé ica,
jus o en
el
pun o de discon inuidad, eniendo cada
nodo
(lA,
2A en la ig.3) de mida
su
unción
de
ap oximación N1A(y), N2A(y), sob e
un
elemen o
dis in o. La Fig.3. mues a la disposición de
nodos
dobles,
lA,
2A,
lB,
2B, en un p oblema de con ac o,
asi como los elemen os adyacen es.
sólido A
lA
2A
~$~
_y~
sólido B
lB
2B
Fig. 3. Nodos dobles en el
in
del pegado.
En nues o caso,
lA
y lB es a án siemp e pegados,
siéndoles de aplicación las ecuaciones (5). Los
nüQos
2A y
2B
pueden es a , en la solución numé ica,
en
con ac o o bien en sepa ación, aplicándose las
ecuaciones (6) o (7). En odo caso, enemos
16
incógni as en la discon inuidad (cua o po nodo), y
ocho ecuaciones de con ac o. Las o as
ocho
ecuaciones que p ecisamos se han ob enido median e
una de las dos opciones siguien es: 1
ª,
plan eando la
ecuación (3) pa a cada sólido. con
xP
en lá
discon inuidad
(4
ecuaciones), y u¡(IA)=u¡(2A),
u¡(1B)=ui(2B) (o as 4 ecuaciones), o bien
2ª,
plan eando dos ecuaciones del ipo (3) en cada sólido,
con
xP
en el ex e io de los mismos
(8
ecuaciones).
En
la Fig.3. se indican con aspas, a escala o ien a i a,
las
posiciones que se han usado en es e abajo. La opción
1
ª,
más simple,
es
ap opiada sólo si 2A y
2B
es án
en
324 ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA Vol. 12 (1995)
sepa ación, ya que
en
o o caso, la p ime a de las
ecuaciones (6) esul a edundan e.
En
odo caso, se
ob iene, como debe ocu i , el mismo desplazamien o
en
los cua o nodos, sal o e o es numé icos
inhe en es a la e aluación de las in eg ales
en
(4), y de
la esolucióñ del sis ema lineal de ecuaciones.
S.
RESULTADOS
Las disc e izaciones se ealizan de modo que la
p ime a dis ancia en e nodos desde el in del pegado
sea pequeña ( ípicamen e 0.001 º), siendo cada
in e alo nodal sucesi o el doble que el an e io .
En
odos los casos analizados se encuen an oscilaciones
de la solución numé ica, que a ec an únicamen e a los
es o cua o nodos más p óximos a
a,
con
independencia de ló ce cano que se si úe el nodo más
p óximo. Es as oscilaciones se a ibuyen al hecho de
que
en
los nodos
en
e=a.
la ensión es eó icamen e
in ini a, y
no
puede ep esen a se numé icamen e. Los
esul ados en los nodos a ec ados
po
es a ines abilidad
simplemen e se han desca ado.
72
o
~
M
~
00
~
M M M
Wº
~~~~~~~=n==~e
-5
-10
-15
-20
-25
-30
-35
-40
-45
Fig.
4. Tensiones calculadas pa a el caso a =
80º
El
ca ác e singula
de
cada componen e de ensión se
ha
iden i icado, además de
po
simple inspección,
median e dos p ocedimien os: a) compa ando
la
e olución al a ina
la
disc e ización, usando
disc e izacíones con su nodo más p óximo á a a 0.01º,
0.001º, y 0.0001º y, b) comp obando la apa ición
de
un
segmen o casi ec o en g á icos análogos a la Fig.6,
que ep esen an log(T¡) en e a -log 1
a-e
l.
La
Fig. 4. mues a la dis ibución de ensiones
no males y angenciales
pa a
despegue a = 80º, como
ejemplo.
Se
ap ecia e olución singula de
la
ensión
angencial
T2
en
la
zona pegada (9>a), y de la ensión
no mal T 1
en
la
zona
de
con ac o (Eka).
La
ensión
no mal T 1
en
la
zona pegada no p esen a ca ác e
singula .
Pa a
a = 60º (Fig.5) se ap ecia el mismo
ca ác e de cada componen e
de
ensión.
59.5
10
60.5
61
61.5
o~~~~~~==~~
-10 e
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
T(xlOA-7)
Pa
Fig. 5. Tensiones calculadas pa a el caso
a=
60º
Pa a
a mayo que unos 40º, las disc e izaciones
empleadas de ec an alguna zona de con ac o, y las
soluciones p esen an el aspec o de las Figs.4 y 5. Es
no o io que pa a a meno que unos 75º coexis an una
acción (no singula )
en
la zona pegada con una
inmedia a zona de con ac o
en
la zona despegada.
Si
a es meno de ap oximadamen e 40º, la zona de
con ac o no es cap ada
po
las disc e izaciones
empleadas, aba cando po an o menos de 0.0001
º·
Pa ece cla o que la solución pa a bo des lib es
(numé ica o analí ica) pod ía aplica se pa a p opósi os
p ác icos
en
es os casos sin e o ap eciable.
2.5
Log( T2 x 10"-7
Pa)
2
-·-
a=60º
---{j;--
a=80 º
1.5
/ -Log (
(9-a)
ad )
o 2 3
Fig. 6. T 2 en e a (9--a.), a escala loga í mica.
La
apa ición de una zona ec a en las p oximidades de
9=a en g á icas loga í micas de ensión en e a
dis ancia al in del pegado, es mos ada
en
la Fig.5
pa a
dos casos ep esen a i os.
La
pendien e de es os
segmen os ec os es el o den de la singula idad,
mien as que su o denada en el o igen es ácilmen e
elacionable .con el ac o de in ensi icación.
El
o den
de
la singula idad así calculado se mues a
en
la Tabla
1, jun o con el coe icien e de co elación
2
ob enido
en
el ajus e
po
mínimos cuad ados de los segmen os
"casi ec os" iden i icados. Se han usado seis pun os
pa a cada ajus e.

ANALES
DE
MECANICA
DE
LA FRACTURA Vol. 12 (1995) 325
Pa a juzga
la
p ec1s1on de los esul ados, cabe
compa a el o den calculado
de
las singula idades con
el del p oblema, localmen e simila ,
de
in e ase ec a,
con zona pegada y subsecuen e zona
de
con ac o. Es e
o den se calcula exac amen e a pa i de las
exp esiones dadas en [11], demos ándose que pa a el
caso sin icción, ale 0.5, y que no depende de las
cons an es elás icas.
La
compa ación con los ó denes
de singula idad ob enidos e ela una di e encia meno
del 1%. Adicionalmen e, exis e una conco dancia
excelen e en e los esul ados ob enidos cuando no se
cap a zona de con ac o
(a<40º;
no se mues an es os.
esul ados po que su in e és es anecdó ico
disponiéndose de solución analí ica) y la
co espondien e solución analí ica [2].
Tabla
1.
O denes de singula idades calculados
numé icamen e, y con ac o de ec ado.
Zona pegada Con ac o
a
¡
2
o den
60º
,
0.9998 0.505 0.1º
80º
,
0.9996 0.504 7º
6. CONCLUSIONES
Se
ha
econocido, en base a los esul ados numé icos y
a soluciones analí icas ya disponibles, que la p esencia
de ma e iales di e en es en el p oblema de despegue
pa cial en e ib a y ma iz implica la p esencia de
zonas de con ac o en
la
zona despegada. Se
ha
mos ado que la ensión no mal en la zona pegada no
es singula , dándose la so p enden e posibilidad de
que sea de acción, a pesa de
la
p esencia inmedia a
de lá zona de con ac o.
La
comp esión en la zona de
con ac o y la ensión angencial en
la
zona pegada se
han iden i icado como singula es. Es e ca ác e de las
soluciones es aco de con el p esen ado en [8,9] pa a
g ie as ec as.
Cuando
la
zona de con ac o es muy pequeña, la
disc e ización puede no cap a la. En es os casos pa ece
cla o que
la
solución analí ica disponible se pod ía
aplica sin e o ap eciable, al como
se
hace en [2].
De
la
p ecisión ob enida en el es udio numé ico
ealizado, cabe conclui la alidez del mé odo seguido
pa a ob ene el es ado de ensión
de
modo
su icien emen e p eciso, jus amen e en los casos en
que
la
aplicación de
la
solución analí ica mencionada
p oduci ía e o es impo an es. Desde un pun o de
is a p ác ico, el pa áme o de in e és se á el ac o de
in ensi icación, o el p opio es ado de . ensiones y
desplazamien os ce ca del bo de de g ie a. La
p ecisión ob enida pa a el o den de la singula idad,
pe mi e es ima la p ecisión ob enida en o as
a iables del p oblema.
Ag adecimien o. El apoyo económico apo ado po
la
Caja
de Aho os de Salamanca bajo su P oyec o pa a Jó enes
In es igado es es co dialmen e ag adecido.
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