Resolución del PRODUCT RATE VARIATION PROBLEM (PRVP) de
g andes dimensiones como un p oblema de a ec ación
Na alia Mo eno Palli, Albe Co ominas Subias
IOC / DOE / ETSEIB,UPC; A .Diagonal 647, 08028 Ba celona, [email p o ec ed]
IOC / DOE / ETSEIB,UPC; A .Diagonal 647, 08028 Ba celona, [email p o ec ed]
RESUMEN
El PRVP es un p oblema que se p esen a en las líneas de p oducción mix as. Una de las o mas de
esol e lo consis e en educi lo al p oblema de a ec ación y aplica en onces algo i mos
especí icos pa a es e úl imo. Es e abajo p esen a un es udio de los algo i mos y una expe iencia
compu acional.
1. In oducción
El PRVP (P oduc ion Ra e Va ia ion P oblem) se p esen a en la de e minación de secuencias
egula es en con ex o JIT y su obje i o es minimiza la a iación de las asas de p oducción a
lo la go del iempo pa a los di e sos p oduc os implicados.
El PRVP es un caso pa icula del p oblema de Monden [1] que consis e en encon a
secuencias con el consumo de componen es lo más egula posible. El p opio Monden [1]
p esen a un p ocedimien o heu ís ico pa a esolución de dicho p oblema.
En 1989 Mil enbu g [2] in oduce el PRVP y lo o mula como un p oblema de p og amación
en e a no lineal con el obje i o de minimiza la des iación o al de las asas de p oducción en
una línea de p oducción mix a. Pa a ello, Mil enbu g p esen a un algo i mo exac o con
eque imien os de iempo ele ados, po lo que p opone ambién dos algo i mos heu ís icos.
Pa a la esolución exac a se pueden aplica algo i mos basados en la p og amación dinámica.
El p opues o po Mil enbu g, S eine y Yeomans [3] sólo pe mi e esol e p ác icamen e
ejempla es de pequeñas dimensiones, pues o que los eque imien os de memo ia y de iempo
c ecen ápidamen e a medida que aumen a el núme o o al de unidades a secuencia y, más
aún, el núme o de ipos de p oduc os. Bau is a, Companys y Co ominas [4] p esen an un
algo i mo de p og amación dinámica aco ada (BDP) en el que la u ilización de co as y su
compa ación con el alo de una solución ob enida con un p ocedimien o heu ís ico hace
posible la esolución en iempos b e es de ejempla es de mayo es dimensiones.
En 1993 Kubiak [5] in oduce la denominación PRVP. Kubiak y Se hi [6,7] demues an que
el PRVP puede educi se al p oblema de a ec ación cuando las unciones que componen la
unción obje i o son no nega i as y con exas. Bau is a, Companys y Co ominas [8]
es ablecen un p ocedimien o gene al de cálculo pa a la ma iz del p oblema de a ec ación,
an o pa a el caso minisum (minimización de una suma de unciones de disc epancia) como
pa a el minimax (minimización del alo máximo de la unción o unciones de disc epancia).
No obs an e, sólo muy ecien emen e [9] se ha publicado una limi ada expe iencia
compu acional de esolución del PRV como un p oblema de a ec ación.
En es e abajo se a a el caso minisum del PRVP como un p oblema de a ec ación (AP), con
una ma iz de cos es do ada de p opiedades especí icas que, median e las opo unas
adap aciones, pe mi en ob ene una mayo e iciencia de los algo i mos. En la Sección 2 se
expone el modelo ma emá ico del p oblema; la Sección 3 se e ie e a los algo i mos de
esolución del p oblema de a ec ación (AP); en la Sección 4 se desc ibe el PRVP como un
caso pa icula de AP; en la Sección 5 se p esen a la expe iencia compu acional y la Sección 6
incluye las conclusiones e indicaciones sob e las líneas de abajo u u as.
2. El modelo ma emá ico
Se conside a un p oduc o del que exis en V a ian es o ipos, que se p oducen en una línea en
la que los iempos de cambio de un ipo a o o son desp eciables y en la que cada unidad,
independien emen e de cuál sea la a ian e a que co esponda, equie e el mismo iempo
( iempo de ciclo, que puede adop a se como unidad de iempo sin pé dida de gene alidad). Se
a a de secuencia un o al de U unidades, de las que ui son de ipo i (i=1,...,V) de modo que
las asas de ab icación de los dis in os ipos de p oduc o se man engan an cons an es como
sea posible a lo la go del iempo.
Las asas ideales, i, son:
ViUu ii ...1,
=
=
(1)
Si se denomina xih al núme o de unidades de ipo i p oducidas as h ciclos de ab icación, el
p oblema se puede o maliza como sigue:
),(
1 1 hx zmin ih
U
h
V
iiS∑∑
== =
(2)
En [8] se demues a que es e p oblema es equi alen e a un p oblema de a ec ación en el que
los elemen os de la ma iz, ) (
ik
ϕ, se pueden calcula median e la exp esión:
)),1(),(()( hk hk i
U
hiik −−
∑
==
ϕ (3)
3. Algo i mos de esolución del p oblema de a ec ación (AP)
Los algo i mos pa a la esolución de AP pueden se ag upados en es clases: p imales,
p imal-duales y duales.
Dell'Amico y To h [10] p esen an un excelen e esumen sob e el es ado del a e del p oblema
de a ec ación, en el que se desc iben las écnicas de esolución y algunos códigos disponibles.
De la expe iencia compu acional incluida en dicho abajo los au o es concluyen que los
códigos más e icien es co esponden a algo i mos p imal-duales y duales. De hecho, en dicha
expe iencia no se u ilizan códigos basados en algo i mos p imales; los au o es indican que no
exis en códigos disponibles e icien es, aunque la complejidad de algunos algo i mos p imales
es compa able a la de los p imal-duales. O os au o es, como se expone en [11], coinciden en
la ap eciación de que los algo i mos p imales son menos e icien es que los duales y los
p imal-duales.
Ama lle [12] incluye ambién una sín esis sob e algo i mos y códigos pa a el AP e inco po a
a la expe iencia compu acional un código basado en un algo i mo p imal, el de Ba [13],
conside ado como uno de los más e icien es en e los de su clase. La conclusión es que dicho
código equie e iempos de cálculo mayo es que los co espondien es a algo i mos de ipo
dual y p imal-dual.
4. El PRVP como un caso pa icula del AP
Como se ha indicado an e io men e, el PRVP, conside ado como un p oblema de a ec ación
p esen a p opiedades especí icas:
i) Es ácil ob ene una solución de buena calidad median e un p ocedimien o heu ís ico.
ii) Si conside amos una ma iz de a ec ación en que las ilas co esponden a unidades y
las columnas a posiciones, en cada ila enemos una (o, en caso de empa e, dos)
posición ideal y los alo es de los elemen os de la ma iz son c ecien es a de echa y a
izquie da de dichas posiciones ideales.
De odo ello se desp ende que:
i) A p io i se puede pensa que los algo i mos p imales pueden se más e icien es que
pa a los ejempla es del AP sin p opiedades especí icas, dada la disponibilidad de una
solución inicial de buena calidad.
ii) En las soluciones óp imas p obablemen e in e ienen únicamen e elemen os de la
ma iz si uados en posiciones p óximas a las ideales, po lo que pa ece azonable
u iliza un algo i mo que sólo u ilice los elemen os que podemos llama más
p ome edo es, con una comp obación pos e io del ca ác e óp imo de la solución
ob enida (si no lo es, se inco po an nue os elemen os y se ei e a).
En elación con es a úl ima conside ación, en Volgenan [14] se p opone una mejo a de uno
de los algo i mos más e icien es pa a ma ices comple as (Jonke y Volgenan [11]). Dicha
mejo a consis e en esol e el AP con un subconjun o de los elemen os de la ma iz (po
ejemplo, los p mejo es de cada ila); de es e modo se abaja con una ma iz poco densa, a la
que se aplica la adap ación del algo i mo LAPJV pa a ma ices poco densas (LAPJVsp [11]) ;
se comp ueba si la solución ob enida es óp ima pa a el p oblema o iginal y si no lo es se
inco po a un nue o elemen o a la ma iz y se ei e a. Es e en oque pe mi e esol e el AP en
menos iempo y con meno es eque imien os de memo ia. En el caso del PRVP los elemen os
a ene en cuen a se pueden elegi con mayo undamen o, la ma iz poco densa es más ácil
de almacena y, inalmen e, la comp obación de la op imalidad se puede simpli ica .
Es as son las conside aciones que han o ien ado la expe iencia compu acional que se desc ibe
en la sección siguien e.
5. Expe iencia compu acional
Los cálculos se han ealizado en una SUN 450 Ul a SPARC2 con 4 p ocesado es a 250 Mhz
y 512 Mb de RAM.
Las unciones que se han u ilizado en la expe iencia compu acional son:
2
,)()(
),(
h xhx
h xhx
iihihi
iihihi
−=
−= (4)
Se han e ec uado las p uebas con di e sos ejempla es del PRVP, que se han gene ado ijando
el núme o o al de unidades y el núme o de ipos y ob eniendo el núme o de unidades de cada
ipo ale o iamen e.
Unos p ime os esul ados pusie on de mani ies o que en e los algo i mos disponibles
(BARR p imal, NAUC dual y APC y LAPJV p imal-duales) aplicados al
PRVP el más ápido esul aba se el algo i mo LAPJV, p esen ado en [11], seguido muy de
ce ca po el APC. La Figu a 1 p esen a la compa ación de los iempos medios de CPU (media
de 5 ejempla es pa a cada dimensión núme o de unidades).
Figu a 1 : Compa ación de los iempos pa a 20 ipos del p oduc o
Se abandona on los algo i mos menos e icien es y se p o undizó el es udio de los más ápidos
(APC y LAPJV).
Pa a ma ices con elemen os en e os se ha llegado a esol e ejempla es con U=10000, lo que
no ha sido posible al u iliza a iables de doble p ecisión, a causa de los mayo es
eque imien os de memo ia (en es e caso se ha llegado a U=8500). En los ejempla es de
10000 unidades, con a iables en e as, el iempo medio de CPU ha sido de 1042.34 segundos.
Los cálculos en doble p ecisión equie en más iempo (po ejemplo, con LAPJV y U=5000:
146.70 s con ma iz en e a y 201.69 s con ma iz en doble p ecisión).
Pa a la aplicación del algo i mo modi icado p esen ado en [14] se esuel e p ime o el
p oblema haciendo in e eni sólo los elemen os incluidos en la que hemos denominado
anja cuo a, (es deci , aquellos elemen os que co esponden a una des iación de la
p oducción eal, en elación con la ideal, meno que la unidad); pa a la esolución se u iliza el
algo i mo LAPJVsp (algo i mo LAPJV adap ado pa a ma ices poco densas que se desc ibe
en [11]), en el que se ha adap ado al PRVP la u ina pa a la comp obación de la op imalidad.
Pa a las unciones simé icas con que se ha ealizado la expe iencia compu acional, se ha
ob enido siemp e la solución óp ima en la p ime a i e ación, es deci , en ningún caso han
in e enido en la solución óp ima elemen os no pe enecien es a la anja cuo a. El hecho de
abaja con un núme o educido de elemen os y de que con ellos bas e habi ualmen e pa a
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
100 200 300 400 500
dimensión del p oblema
iempo
medio
CPU (s)
BARR
NAUC
APC
LAPJV
encon a una solución óp ima dan luga muchas eces a una educción ap eciable de los
iempos de cálculo, al como se e leja, a í ulo de ejemplo, en la Tabla 1.
Ma iz poco densa
(LAPJVsp)
Ma iz comple a
(LAPJV)
Núme o de elemen os
54946
5000 x 5000
Tiempo CPU (s)
0.38
24.9
Tabla 1: Compa ación de LAPJVsp y LAPJV pa a 10 ipos del p oduc o
Pa a los mejo es algo i mos (LAPJV y LAPJVsp) se ha es udiado la in luencia en el iempo
de cálculo del núme o de ipos de p oduc os, del núme o o al de unidades y de la des iación
ipo,
σ
, de las ui .
Se ha compa ado (Fig.2) el compo amien o de ambos algo i mos pa a el mismo conjun o de
ejempla es (núme o o al de unidades igual a 500 en odos los casos y cinco ejempla es pa a
cada uno de los alo es u ilizados del núme o de ipos de p oduc o). El aumen o del núme o
de ipos in luye especialmen e en los iempos de cálculo del algo i mo LAPJVsp, ya que el
núme o de elemen os de la ma iz “poco densa” iende a ap oxima se al de la ma iz comple a
cuando hay muchos ipos de p oduc o con un núme o pequeño de unidades. En cie os
ejempla es ( .g.: 225 ipos de los cuales 223 ienen una unidad y los o os dos, 77 y 200
unidades) los iempos de cálculo del algo i mo LAPJV son excepcionalmen e ele ados.
Figu a 2 : Compa ación de los iempos de LAPJVsp y LAPJV pa a di e en es núme os del ipo del p oduc o
Se ha es udiado el compo amien o del LAPJVsp, con 10 ipos de p oduc o, pa a di e en es
alo es del núme o o al de unidades (5 ejempla es pa a los alo es meno es o iguales a 6500
y 2 pa a los demás ). Po supues o, los iempos (Fig. 3 y Fig. 4) aumen an a medida que c ece
el núme o o al de unidades, con un cambio de endencia a pa i , ap oximadamen e, de U =
5000, ya que los ejempla es g andes equie en la u ilización de memo ia ex e na.
Figu a 3: Compa ación de los iempos medios pa a LAPJVsp
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
dimensión del p oblema
iempo
medio
CPU (s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
050 100 150 200 250 300 350 400 450 500
núme o de ipos
iempo
medio
CPU(s) LAPJVsp
LAPJV

Figu a 4: Compa ación de los iempos medios pa a LAPJVsp
Po lo que espec a al pa áme o
σ
, las p uebas se han ealizado con más de 500 ejempla es
con 10 ipos de p oduc o y 500 unidades, pa a cada uno de los algo i mos LAPVJ y LAPVJsp.
Los iempos que se e lejan en las igu as 5 y 6 co esponden a la ejecución del algo i mo, sin
inclui los de cálculo de la ma iz. La esolución en la medida de iempos es de una cen ésima
de segundo, po lo cual, en el caso del LAPJVsp, el núme o de alo es dis in os egis ados
es pequeño y los iempos apa en emen e coinciden pa a nume osos ejempla es.
Figu a 5 : Compa ación de los iempos (en segundos) pa a di e en es
σ
(LAPJV)
Figu a 6 : Compa ación de los iempos (en segundos) pa a di e en es
σ
(LAPJVsp)
6. Conclusiones y líneas de abajo u u as
Aunque la expe iencia compu acional oda ía es limi ada pa ece ya su icien e pa a indica
que el a amien o del PRVP como un p oblema de a ec ación pe mi e esol e ejempla es de
dimensiones conside ables en iempos su icien emen e b e es pa a las aplicaciones eales del
p oblema.
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
012 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144
des iación ipo
ie
m
p
o
0
2
4
6
8
10
12
14
16
5000 5500 6000 6500 7000 7500 8000 8500
dimensión del p oblema
iempo
medio
CPU (s)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
012 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144
des iación ipo
ie
m
p
o
Además, los iempos son menos sensibles al núme o de ipos que en los algo i mos basados
en la p og amación dinámica.
Po o a pa e, el a amien o del PRVP como un AP se puede aplica a cualquie ipo de
unción de disc epancia con exa, con independencia de que la unción sea o no la misma pa a
los dis in os ipos de p oduc os, con sólo modi ica en cada caso el cálculo de los elemen os
de la ma iz, lo cual esul a inmedia o, como se ha expues o en la Sección 2.
A co o plazo, es á p e is o amplia la expe iencia compu acional y el análisis de los
esul ados de la misma y abo da la esolución del p oblema min max i,h (xih,,h) como un
p oblema de a ec ación de cuello de bo ella.
Re e encias
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