3. CAMACHO, G.T. y ORTIZ, M., (1996). "Com1
damage in b i le ma e ials", ln ema ional Joum,
pp. 2899-2938.
.mpac
es. 33,
4. NA YEB-HASHEMJ,H .. McCLINTOCK,F. y RITCHIE.R., (
1982).
"El ec s o
ic ion and high o que on a igue c ack p opaga ion in mode III ", Me alu gical
T ansac ions, 60, pp. 2197-2204.
5. ORTIZ, M. y PANDOLFI, A., (1999). ·' ini e-de o ma ion i e e sible cohesi e
elemen s o h ee-di mensional c ack-p opaga ion analysis", ln e na ional
Joumal o Nwne ical Me hods in Enginee i11g, 44, pp. J 267- I
282.
6. ROSE, J.H., FERRANTE, J. y SMITH, J
.R., ( 1981 ). "Uni e sal binding ene gy
cu es o me als and bime allic in e aces", Phys. Re . Le ., 47, pp. 675-678.
7. SONG. S. y YOYANOVICH, M.M., ( 1987). "Explici ela i e con ac p essu e
exp esion: dependence upon su ace oughness pa amc e s and icke s
mic oha dness coe icien s", A/AA Jou na/, a ículo nº 87-0152.
8. TABOR, D., (1981). "F ic ion - he p esen s a e o ou unde s anding",
T
ansac ions o he ASME, 103, pp. 169-179.
9. TSCHEGG, E .. RITCHJE, R., y McCLJNTOCK, F., (1983). ··on he in luence o
ubbing ac u e su accs on a igue c ack p opaga ion in mode III ",
Imema io11a/ Joumal o Fa igue, pp. 29-35.
1 O. WOO, K.L. y THOMAS, T.R .. ( I
980). "Con ac o ough su aces: a e iew o
expe imen al wo k", Wea , 58, 331-340.
I l. WRIGGERS, P., VU VAN, T., y STEIN. E., (1990). ·· ini e elemen o mula ion
o la ge de o ma ion impac -con ac p oblems wi h ic ion'·, Compu e s a11d
s uc u es, 37, pp.319-331.
12. ZA V ARISE, G ., ( 1991 ). "P oblemi e momeccanici di con al o -aspelli isici e
compu azionali''. Tesis doc o al, Uni e sidad de Padua, I alia.
1480
UNA SOLUCIÓN NUMÉRICA EFICIENTE PARA PROBLEMAS
DINÁMICOS DE MECÁNICA DE LA FRACTURA
RESUMEN.
M.P. A iza Mo eno & J. Domínguez Abascal
Escuela Supe io de Ingenie os. Uni e sidad de Se illa.
Camino de los Descub imien os s/n. 4l092- Se illa.
[email p o ec ed]
Los p oblemas de Mecánica de la F ac u a pued :n esllldia se usando la o mulación clásica de
elemen os de con o no combinada con la subdi isión del dominio po medio de con o nos in e nos
a i iciales que no es án únicamen e de inidos. La necesidad de emplea sub egiones desapa ece
cuando se combinan la ecuación in eg al clásica y la ecuación in eg al en acciones. Una de las
p incipales di icul ades que se de i an del uso de la ep esen ación in eg al de las acciones es la
e aluación de las in eg ales hipe singula es. En es e abajo las in eg ales hipe singula es se
ans o n1an analí icamen e en in eg ales egula es que pueden e alua se numé icamen e.
Se p esen a la o mulación e implemen ación e ec i a de es a onnulación mix a pa a p oblemas
dinámicos annónicos idimensionales de Mecánica de la F ac u a. Se u iliza po p ime a ez la
ep esen ación in eg al idimensional de las accione, pa a p oblemas de es e ipo. Los ejemplos
numé icos mues an la e icacia del modelo p opues o. Los esul ados se compa an con los ob enidos
po o os au o es u ilizando di e en es p ocedimien os.
1.- INTRODUCCIÓN.
Las Ecuaciones In eg ales de Con o no Hipe singula es han apa ecido como una
buena alle na i a a la o mulación clásica de Elemen os de Con o no (EC) pa a el
análisis de p oblemas de ac u a. En es e abajo se ans o ma la ep esen ación
in eg al de las acciones pa a p oblemas elás icos idimensionales en el dominio de
la ecuencia de o ma que puedan e alua se numé icamen e sin di icul ades
especiales. Es e abajo es una ex ensión a p oblemas dinámicos de uno an e io de
Domínguez e al. (2000) en el que se p esen ó la o mulación pa a p oblemas
elas os á icos idimensionales de g ie as.
2.- ECUACIÓN INTEGRAL DE CONTORNO EN TRACCIONES EN
ELASTICIDAD.
La ep esen ación in eg al clásica de los desplazamien os pa a un pun o in e no y
de un cue po elás ico O cuyo con o no es una supe icie egula í con no mal
ex e io uni a ia n(x) bajo condiciones de ue zas de olumen nulas, puede esc ibi se
como:
1481
u,(y
)+
P,:
(x,y
)u* (x)d -Ju:
(x,y
)p* (x)d = O
(1)
pa a /, k
=
1, 2, 3; donde
uk
y Pk ep esen an la componen e k de los ec o es de
desplazamien os y acciones, espec i amen e, y
u,/, pi/
son los enso es de
desplazamien os y acciones de la solución undamen al, espec i amen e.
Las ensiones en pun os in e nos pueden ob ene se de i ando los desplazamien os en
un pun o y e in oduciendo las de o maciones co espondien es en la elación
ensión-de o mación.
La ep esen ación in eg al de las componen es de las acciones se ob iene
de i ando la ecuación ( 1
), haciendo uso de la ley de Hooke y las componen es del
ec o de acciones.
/1
1
(y)+
s ,,k
(x,y
)N,,,
(y
)u,
(x)dI-
-
d,;,,*
(x,y
)N,,,
(y
)p*
{x)d
= O
(2)
En el caso de p oblemas es á icos, después de a ias ans o maciones de la
ecuación (2), se ob iene une EIC gene al en acciones en é minos de in eg ales
egula es y débilmen e singula es únicamen e:
1
P,
(y)+
J ,,,,kN,,,[u*
(x)-11, (y
)-u
u.
(y
X-•
1
-Y
1
)]-d,;,,,N,,,[p,
(x)-
P
(y
)]
(3)
)
1,
(y)!,*
+u
1
(y
)1,,,k + P
(y )K,*
]= O
4; 1-
donde I
1k
, J
1
h
k
y K
1k
se dan en Domínguez e al. (2000) pa a p oblemas es á icos. En el
caso de una exci ación dinámica la p ime a in eg al en la ecuación (3) pe manece
igual i.e., és a con iene la o ma egula izada de los núcleos es á icos, los é minos
I
1
k
, J
1
hk
y
K1k
ambién pe manecen como en el caso es á ico, y el único cambio en la
ecuación (3) es la suma de dos in eg ales de con o no egula es y débilmen e
singula es con eniendo la di e encia en e los núcleos dinámicos y es á icos. Es as
in eg ales se e alúan numé icamen e en odos los casos.
3.- FORMULACIÓN DE ELEMENTOS DE CONTORNO
La p esen e écnica de EC, basada en el uso de la EIC en acciones en
combinación con la EIC clásica, iene algunas ca ac e ís icas en común con el
Mé odo Dual de Elemen os de Con o no p esen ado po Mi y Aliabadi (] 992) pa a
p oblemas es á icos y po Wen e al. ( 1998) pa a el es udio de p oblemas dinámicos
1482
usando la ans o mada de Laplace. En el p esen e abajo se empica una o mulación
en el dominio de la ecuencia en combinación con elemen os cuad á icos a un
cua o.
Pa a p oblemas en los que la geome ía co esponde a una o a ias g ie as
incluidas en un medio in ini o, solo se u iliza la EIC en l acciones en una ca a de la
g ie a y se elige como a iable básica la Ape u a de G ie a. Pa a p oblemas de
cue pos in ini os con g ie as in e nas, se esc ibe la EIC en acciones pa a una de las
ca as de la g iela y la EIC clásica pa a el con o no ex e io . La a iable b,ísica en la
g ie a es la Ape u a de G ie a , mien as que las a iables del con o no ex e io son
acciones y desplazamien os. En los casos en los que exis en g ie as ex e io es, los
desplazamien os en la in e sección e111 e la g ie a y el con o no ex e io son
incógni as del sis ema; sin emba go se necesi an los desplazamien os en ambas
supe icies de la g ie a. En es os casos se esc ibe la EIC en acciones pa a una
supe icie de la g ie a y la EIC es ánda pa a la o a. Hay una di e encia impo an e
en la colocación en e la EIC en acciones y la EIC clásica. En la EIC en acciones,
el desplazamien o en el con o no debe sa is ace la condición de con inuidad de
Holde . u
k
E c
1
.o. en el pun o de colocación. Como consecuencia de es o no puede
u iliza se en los nodos si uados en el con o no del elemen o la colocación es ánda .
Siguiendo la idea de Gallego y Domínguez ( 1996) pa a dos dimensiones, el con o no
se disc e iza con elemen os de supe icie cuad á icos es ánda . Sin emba go, no se
coloca en los nodos del con o no, sino en cie os pun os ce ca de los nodos en el
in e io de los elemen os. Es e mé odo de Colocación Múl iple ha sido u ilizado con
éxi o pa a p oblemas es á icos po Domínguez e al. (2000).
4.- EJEMPLOS NUMÉRICOS
Han sido analizados a ios p oblemas dinámicos de g ie as que mues an la
p ecisión y sencillez de es e mé odo.
El p ime p oblema que se es udia co esponde a una g ie a ci cula en un medio
in inilo. Sob e la g ie a se p opaga un onda longi udinal a lo la go de la di ección
pe pendicula a la supe icie de la g ie a. El coe icien e de Poisson del ma e ial es
=0.25. En la igu a 1 se mues a la malla de EC, los elemen os si uados en el en e
de la g ie a ienen sus nodos in e medios a un cua o de su longi ud.
1483
Fig.
l. Disc e ización de EC pa a g ie a ci cula en medio in ini o.
En la igu a 2 se ep esen a la ampli ud de la Ape u a de G ie a pa a di e en es
posiciones a lo la go del adio pa a a ios alo es del pa áme o ak=aw/c1; donde, a
es el adio de la g ie a, w es la ecuencia de exci ación y c
1
es la elocidad de onda
longi udinal del ma e ial. Los alo es de la Ape u a de G ie a se no malizan con el
desplazamien o del pun o cen al pa a una ca ga es á ica de igual ampli ud. Los
alo es calculados se compa an con los ob enidos po B ud cck y Achenbach ( 1988),
Mal ( 1970) y Sáez y Domínguez ( 1999). Los cua o g upos de esul ados p esen an
un g an acue do.
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
O.O
0.2 0.4
·--BEM
X Mal (1970)
o Bud eck& Achenbach (1988)
· - - - - · Saez & Dominguez (1999)
X
0.6 0.8
ia
Fig. 2.
Ape u a de G ie a no malizada.
1484
1.0
La igu a 3 mues a los acLO es de in ensidad de ensión
K
1
ob enidos a pa i de la
Ape u a de G ie a de los nodos a un cua o pa a un ango de ecuencias O
aw/c
1
1.5 y dis in os alo es del módulo de Poisson; siendo K1
Ji
/c
K
1
= 2(1- ) Llu. L
(4)
donde L es la longi ud del elemen o y Llu la Ape u a de G ie a de los nodos a un
cua o. Los esul ados mues an un buen acue do con los ob enidos po Pa LOn
(1989).
16,···-···-···········-·---·········-·-·-············-·--·-·············-···-···········-·········--····························-···········--,
1.4
1.2
08
0.25
--Pa on (1989)
--B.E.M.
05 0.75
o,a/c1
1.25 1.5
Fig. 3.
Fac o de in ensidad de ensión de ape u a pa a una onda de p esión.
En la con e encia se discu i án o os dos ejemplos numé icos. Uno co esponde
a una g ie a elíp ica en medio in ini o
some ida al e ec o de ondas longi udinales
a mónicas. El úl imo ejemplo co esponde a una g ie a semielíp ica de bo de
con enida en una ba a p ismá ica some ida a acción a mónica uni o me en las
ca as pa alelas a la g ie a.
5.- CONCLUSIONES
En es e abajo se ex iende a p oblemas dinámicos idimensionales en el
dominio de la ecuencia una o mulación que pe mi e a a la EIC en acciones sin
g andes di icul ades. Las in eg ales hipe singula es se ans o man pa a da luga a
in eg ales de supe icie egula es o débilmen e singula es que pueden in eg a se
numé icamen e.
1485
El p ocedimien o de in eg ación es an gene al que pe mi e ans o ma la
o mulación hipe singula de EC en algo an cla o, gene al y ácil de maneja como
la o mulación clásica. Los elemen os a un cua o se emplean pa a p oblemas de
g ie as sin ninguna di icul ad. Los esul ados numé icos ob enidos pa a g ie as con
geome ías di e en es mues an que el mé odo es p eciso y obus o.
6.· AGRADECIMIENTOS
Los au o es desean ag adece a la Di ección Gene al de Enseñanza Supe io del
Minis e io de Educación y Cul u a el apoyo económico ecibido a a és de los
p oyec os PB96-l 380 y PB96-l 322-C03-01.
7 .- REFERENCIAS
l. BUDRECK, O.E. y J.D. ACHENBACH (1988) "Sca c ing om Th ee-
Dimensional Plana C acks by he Bounda y In eg al Equa ion Me hod", In . J.
Nume . Me h. Eng., 55, pp. 405-412.
2. DOMÍNGUEZ, J., M.P. ARIZA y R. GALLEGO (2000) .. Flux and T ac ion
Bounda y Elemen s wi hou Hype singula o S ongly-singula In eg als", In .
J. Nume . Me h. Eng., 48. pp. 111-135.
3. GALLEGO, R. Y J. DOMÍNGUEZ (1996) .. Hype singula BEM o T ansien
Elas odynamics". ln . J. Nume . Me h. Eng., 39, pp. 1681-1705.
4. MAL, A.K. (1970) ·'Jn e ac ion o Elas ic Wa es wi h Penny Shape C ack", In .
J. Eng. Sci., 8, pp. 381-388.
5. MI, Y. y M.H. ALIABADI ( 1992) "Dual Bounda y Ele nen Me hod o Th ee-
Dimensional F ac u e Mechanics Analysis'', Eng. An. B.E., JO, pp. 161-171.
6: PARTON, V.Z. y V.G. BORISKVSKY (1989) .. Dyna nic F ac u e Mechanics.
Vol.! S alionay C acks", He nisphe e Publishing Co po a ion. New Yo k.
7. SÁEZ, A. Y J.DOMÍNGUEZ ( 1999) ··sca e ing o Elas ic Wa es by C acks in
3-D T ans e sely Iso opic Solids'', B.E. Techniques. Queen Ma y and
Wes ield College. Uni e si y o London. M.H. Aliabadi (Ed.), pp. 455-463.
8. WEN, P.H., M.H. ALIABADI y D.P. ROOKE (1998) "C acks in Th ee
Di nensions: A Dynamic Dual Bounda y Elemen Analysis", Co npu . Me h.
Appl. Mech. Eng., 167, pp 139-151.
1486
MECATRONICA