MATE
RI
ALES
COM
P
UESTOS
01
2
49
ANÁLISIS DEL
FL
U
JO
DE CALOR EN MATERIALES
GRADUADOS
FL"N
C
IO
NALMEN
TE
EN CONTACTO
ME
DIANTE
EL
MÉTODO
DE
LOS ELEMENTOS DE CONTORNO
J.
P. Núñcz*.#, V.
Ma
n
ic
*, F. Pa
ís
*,
J.
Be
gc
*''
*Escuela Supe i
o
de Ingenie os.
Uni .
de
Se
i
ll
a.
Camino
de l
os
Descub
imicn os
s/n, 41092 Se illa
**Colo ado Sch
oo
l
o
Mines. Gol den, 1500 lllinois
S
ee ,
CO
8040 l, USA
e-ma
il: man i
c@cs
i.us.es, pa is@es
i.
us.es,
jbe ge @
mines.edu
Palab as Cla e: Ma e iales G aduados Funcionalmen e (FGM5), Ma e iales Anisó opos,
Conducción de calo , Re es imien os é micos, Mé odo de los Elemen os de Con o no.
Res
ume
n: Se desa olla una aplicación del Mé odo de los
El
emen os de Con o no pa a los
p oblemas del lujo de calo es aciona io en los sólidos anisó opos en con ac o. Las
conduc i idades é micas en cada sólido se cons
id
e an cons an es o con una a iación
exponencial en una di ección a bi a ia pe o ija. Los esul ados numé icos p esen ados
demues an la u ilidad del c
ód
igo compu acional desa ollado pa a el es udio de las
aplicaciones de los ma e iales g aduados
.
únciona/menle (FCMs) como las ba e as
!é micas de los álabes
en
los mo o es é micos some!idos a a ias empe alu as.
Abs ac
.·
A Bounda y Elemen
ana~
)lsis
o
s eady-s a e hea l ans e p oblems in
aniso opic so/ids
in
con ac
is
de eloped. The ma/ conduc i i ies in each so/id a e
conside ed o be cons an! o wi h an exponen ial a ia ion
in
a . ixed bu a bi/ Qiy
di ec ion. N
um
e
ical esul s p esen ed demons a e use. ulness o/ !he compu a ional code
de eloped
o
an analysis o. app!ica ions
o
Func iona/ly G aded Ma e ials (FCMs) as
he mal ba ie coa ings
in
high-lempe alu e u bine engine app/icalions.
1.-
INT
RODUCCIÓN
La po encia
que
gene an los mo o es é micos (po ejemplo 1 as u binas de
gas
o mo o es
de
a iones)
de
p
en
de un
da
men a
lmen e de la empe a u a
máxima
del ciclo que desc
i
be el
luido
que
ci cula po el mo o
.
Sin
emba
go, es a
em
pe a u a máxima es á limi ada
po
el
ma e ial que con o ma los álabes de la u
bi
na
el
e al o ma que cualquie descub imien o o
a ance en la mejo a de las p opiedad
es
de l
os
ma e iales y su esis encia a al as
empe
a
u as in
l
uye de
ma
ne a im
po
an e en el end
im
ien o
de
los mo o es é micos.
"Aho a en
GEC
I, 5-7 ue
F an<;:ois
T u au , 91000 E y, F ance
25
0
MA
TE
RIAL
ES
COMPUES
TO
S
01
Pa a p o eg
e
las pa es me á
li
cas de un calo excesi o en las aplicaciones de al a
e
mp
e a u a
se
han u
il
izado l
os
e es imien os con encional
es
hom
ogéneos
de
ma
e
iales
ce ámicos. La di icul ad en su u ilización consis e en que, debido a las al as ension
es
esiduales y ém1icas
que
apa
ece
n en la in e ase unidas a la baja
es
is encia al desp
egue
de
la misma así
co
mo a la ba
ja
enacidad del e es imien o, es os ma e iales son p opicios al
ag
i
e amien o y d
es
conchado,
lo
que
co
nduce a una pé dida de la p o ección
én
nica
y
inalme
n
e al allo del
co
mpon
en
e es u
c u
al '.
En los nu
e os
di
seños
el
e los e es imien os é micos
se
apli
ca
n las capas o las en e -ca
pas
c
on
una c
ompo
sición g aduada del me al y de la ce ámica de al o ma que las p
op
iedad
es
e momecánicas del
e es
imien o c
e
ca del sub
s
a o me álico y las
de
l p opio su
bs
a o
me álico ue an simila
e
s. Es os nu
e
os ma e iales se pueden conside a c
om
o ma e iales
c
ompu
es os no ho
mo
gé
neos de pa ículas en los cuales la acción ol
umé
i
ca
de Jos
cons i uye
n
es y posiblemen e la mic o -es uc u a del ma e ial
a
ía a
a és del espeso . La
aplicación de es os
ma
e iales, llamados ma e ial
es
g aduad
os
uncionalmen e (Func ionally
G
ad
ed Ma
e
ials - F
GM
s)2, pe mi e educi las ension
es
es
idual
es
e inc em
en
a la
esis encia al desp
eg
ue y
ademá
s, debido
al
a
um
en o del con enido del me al en el
e es imien o, se aume
n
a su enac
id
ad3. Su p oceso de ab i
cac
ión
se
basa en un con ol
exhaus
i
o de la po osidad, que
se
ha á may
o
ce
ca del subs
a
o y meno en la supe icie
el
e al o ma
qu
e al di undi una aleación me álica po el
ma
e ial se ob enga el
e
ec o
deseado.
El
p
esen e abajo es á enma cado den o
el
e un abajo
má
s amplio que es el desa o
ll
o de
una he amien a de
cá
lc
ul
o pa a ana
li
za p oble
ma
s é micos y e m
oe
lás i
co
s planos que
incluyen l
os
FGMs anisó opos, y en pa icula
es
udia el e ec o
el
e la
p
esencia de g
i
e as
y
co
n ac o en los especimenes some idos a un luj o de calo
.
Debido a las bien
conoc
id
as
en ajas del Mé odo de los Elemen os de
Co
n o no (M
EC)
pa a el análisis
de
l
as
g
i
e as y
el
co
n
ac
o4, sob e odo a su inhe en e p ecisión en la e aluación de los pa áme os
de
los
es ados ensional
es
sing
ul
a
es
,
se
ha op ado po es e mé odo en el desa ollo de dicho
có
digo. En es e
a
í
c
ul
o
se
p esen a la
p
ime a pa e del abajo d
esc
i o, que es el desa o
ll
o
de un
có
digo pa a el análisis del lujo de calo es aciona io en p oblemas con FGMs.
El
MEC
es un mé o
do
numé
i
co apli
ca
do a la so
lu
ción de las
Ec
u
ac
iones In eg ales
de
C
on
o no (
EI
C)
co
espondien
es
a un p oblema de e
min
ado. La o nmlación
ge
ne al de
las EIC pa a el p oblema del
l
ujo_ de
ca
lo es
ac
iona io en medios anisó opos homog
én
eos
a ozos desa o
ll
ad
a p e iamen e' se ha implemen ado6 en un
có
digo del M
EC
más
ge
ne al
ya exis en e en el G upo de Elas
i
cidad y
Re
sis encia de
Ma
e
ial
es
de la ESI de Se i
ll
a.
El
én asis
de
es e a ículo
es
á en la
o
mulación de la EIC, y su implemen ación en dicho
código, pa a los FGM anisó opos
co
n una a
i
ación exponencial de las conduc i i
da
d
es
é micas.
El
en
oque aquí
p
esen ado se pod ía
ác
ilmen e ex ende a
o
os
i
pos de
a iación de las
co
nduc i i
da
des 7,
co
mo
po
ejemplo la cua
d
á ica. Finalmen e
se
p
esen an
soluciones numé i
ca
s
de
dos p oblemas. El p ime o
co
n una solución ana
lí
ica
co
n
oc
ida,
pa a demos
a
un
co
ec o u nci
ona
mie
n
o del código desa ollado.
El
segundo ep
ese
n a
una simulación senci
ll
a del p oblema de un sus a o homogéneo y un e es imien o de
i
po
FGM con un
de
sp
eg
ue asimilable a g
i
e
a
si uada en la
in
e
ase.
M
ATE
RIALES
CO
MP
UEST
OS
01
25 1
2
.-
EL
PROBLEMA DEL
FL
U
JO
DE CALOR EN FGM EXPONEN
CI
ALES
Se
co
nside a el lujo de calo
es
aciona
i
o en un sólido bidimensional D e 912
en
el plano
(x¡, x2) y con un con o
n
o oD sua e a ozos. El ma e ial del só
li
do
se supone en
gene al
anisó opo con una a iación de las conduc i idad
es
de
om
1
a:
ku( x
)=
K
u ex
p{2
~
·
x
}
x E
D.
i,J=1,2
,
donde el ec
o
cons an e
~
=
(/]
1,
/]
2) ep esen a la di ección y
mag
ni ud de la a
1'
ia
ció
n.
~
se cons
id
e a eal o
co
mplejo imagi
na
io.
La
ma
i
z K
es
simé
i
ca y posi i
a
de inida.
Pa a ma e
i
ales isó opos K ij = K bij . El
l
ujo de
ca
lo se calcula
como
h¡(x)
=-ku
(x
)T_
1(x)
do
nde T(x) es la empe a u a del sólido.
El
lujo n
o m
al asoci
ado
a
un
ec o no mal uni a
i
o n(x) se
e a
lúa como q(x) =
n¡(
x)h¡(x
).
La L
ey
de Fou ie
h¡ ¡(x) =
Q(
x
),
d
ond
e Q(x)
es
la in ensidad del lu
jo
de
calo , se puede esc ibi en
é minos
de
empe a u a como:
-
(K
ii
~
¡¡
(x) + 2/]¡ K
¡¡
,
1 (x)
)
e
xp
{
2
~
· x} =
Q(
x) . (1)
En
cada pa e del con o
n
o oD = oD
uo
Dq
uo
DR
uoD
cp
u8
D
ci
de inimos un ipo de
condiciones de con o no o
de
con ac o é mi
co
con o os sólidos. Así, enemos:
don
de
T y q son la empe a u a y el
l
uj
o no mal p esc i os,
To
es
la empe a u a
ambien al y R es el
co
e icien e
de
es
is encia é m
ica
(puede se una
a
iable de pun o).
Adicionalmen e:
A B A B A
"D
q + q =O, T -T =
R q
en o ci
donde o
Dcp
y oDci ep esen an
es
pec i amen e las
zon
as de con ac o pe ec o e
impe ec o
en
e el sólido aquí ana
li
za
do, seña
lad
o
co
mo
A,
y el o o señalado como B.
3.- DESARROLLO DEL MEC PARA LOS
FGM
EXPON
EN
Ci
ALES
3.1.- Solución undamen al
pa a
los FGM exponenciales
La solución undamen al es la solución
en
empe a u a en odo el plan o o iginada p
o
una
uen e de
ca
lo pun ual4, Q(x) = 6
(x
- y) , y E 912 , donde
6(
x - y)
es
la unción del a. La
solución undamen al de la ecuación (
1)
iene la exp esión 8:
252
MATERIALES
COMPUESTOS
01
K
(KR)e
-
Jl
·(X+
~
)
G(x,y)=-
0
2T
de K
donde
y
es
el pun o
de
la uen e
de
calo . x es el pun o donde
se
e alúa la empe a u a,
K=
pT
Kp
, R = TK - 1 siendo = x
-y,
Ko
esla uncióndc
Bessel
modi ícadade
o den ce o. Pa a los ma e iales isó opos es a
exp
esión coincide con la ob enida
p e iamen e9. Se puede obse a que
C(x,y)
=
C(y,
x
).
El
l
ujo no mal co espondien e a
C(x,
y)
se
calcula
como
su de i ada
cononnal
K:
donde
n = n(x) y K1
es
la unción
de
Be
ssc
l modi ícada de
p ime
o den.
3.2.- Ec
uaci
ón
In
eg
al
de
Con o
n
o pa a los
FGM
exponenciales
Conside emos el
es a
do
eal en el eo ema
de
G ccn de ecip oci
dad
pa a el
só
li
do
D
como
aquél de ínido en el con o no
iJD
po
la empe a u a
T(x)
y el lujo no mal q(x) asociado
a la no mal ex e io a 8D , y con Q(x) =
O.
En onces si el es ado auxilia
es
el de inido
po
C(x.y)
y
iJ
G(
x
,y)
o
pa a y E D
uo
D , se puede ob ene
con
un
p ocedimie
n o
es ánda 4·5·6 la EIC
de
empe a u a pa a los FGM exponencial
es
:
•
cK
(y)T(y)
+
(oC
(x
,y)T(
x
)-C(
x,
y)q(
x)J
ds
x = O, (2)
a
(D
.
MATERIALES
COMPUESTOS
01
253
o
K
11
=5, K
22
=
l.
K12= K
21
= O
~
,
=-
1.5,
~
2=
0
q- 0
-l
11
o
o
o .
Fig. 1. Con igu ación de placa
cuad ada
de
FG 11.
colocación.
Se
ha u ilizado un en oque emianalí ico
pa a el cálculo de las in eg ales sob e los elemen os
que incluyen el pun o
de
colocación. Los é minos
singula
es
ob enidos de los desa ollos asin ó icos
de
las uncion
es
de Bessel se han in eg ado analí icamen e
y l
os
é minos egula es es an es
se
han in eg ado
numé icamen e.
4.-
EJEMP
LOS
4.1.-
Plac
a
cuad
a
da
de
FGM
ani
só o
po
~e
consi
de
a un p oblema pa a una placa se9.ún la
¡gu a 1 en el cual se conoce la solución
ana
lí
ica~
:
T(x
1
.x
2) =
100~
-e
-2
P1
x1
~
-
e-
2
P1
J1
La solución en q
es
cons an e en oda la placa.
El
exponen e
J
1=-l.5 co esponde a una
educción
de
las
co
nduc i idades é micas en e las ca as x1=0 y x1=1 de alo 0.0498. El
con o no
se
ha di
sc
e izado con 120
elemen os
uni o memen e dis ibuido .
100
-
O.
E+OO
"'
-o
75
-
o
-3.E
-
05
-o
"'
.~
50
"'
-6
.
E-
05
E
25
o
·9.E-05
z
o g
LlJ
-l.E
-04
o
0.5
XI
o
0.2 0.4
0.6 0.8
X¡
donde e K
(y)=
1 si y E
D,
e K
(y)=
0.5 si y
es
un pun o en una pa e sua e
de
D
y Fig. 2. a) E olución
de
T.
b) E
o
nonnalizado
de
T.
c ,
(y)=
1-1 so
n{n(l
)/
n<
2l )a cco/ n<I
).
Kn
<
2
))
1<.
• 2
2T
o
~ ~
.1<.
.1
'
si y es el é ice
de
una esquina
de
( D con los ec o es no males ex e io es n (1) y n <2> .
Resol iendo EIC (2) pa a y E cD
de
spués
de
aplica las condiciones de con o no
(y
en su
caso las de con ac o)
se
ob ienen
lo
s alo
es
de T y q en
iJ
D desconocidos. Una ez
co
nocidos T y q
en
odo
iJ
D,
se
e a
lúa T
en
D u ilizando (2) pa a y E
D.
3.3.-
Impl
eme
n
a
ción
del có
di
go del
MEC
El
algo i mo
ele
esolución numé ica
de
la
EIC
(2)
se
ha i
mp
lemen ado 6 de acue do al
p ocedimien o gene al del
MEC
de
colocaciones
de
sc
i o en Pa ís y
Cañas
4.
El
con o no del
só
lido y las a iables
se
han disc c iza
clo
median e el
eme
n os lineales con inuos. La
in eg ales
se
e alúan numé icamen e sob e los elemen os
que
no incluyen el pun o
de
100.-
------
----
--------------
~
50
25
1
-o-Ana
l
i ic~
--MEC
1
0+----
----
----.---,--~
o
0.2
0.4
~
0.6
0.8
1
::
l.E+OO
.---------------
---,
~
0
l.E-01
-o
-
~
I.E-02
'"
E l.E-
03
o
z l.E·
04
l
-o-Ca a
de echa J
--
Ca a
i7quie daJ
g
l.
E-
05
+----- ----.---~----.---
~
U.J
o
0.1
0.2
0.3
0.4 0.5
Fig.
3.
a) E olución de q en la ca a
de
echa. b)
Va
l
o
absolu o del e o no malizado
de
q.
Se p esen a una compa ación
de
la solución analí ica en T y en q con
la
ob enida
po
el
MEC. En la igu a
2a
se obse a una excelen e coincidencia en e la solución numé ica y la
analí ica
en
T.
Pa a conoce la p ecisión
de
la solución ob enida
se
p esen an en la igu a
2b
los e o es
de
T no malizados
al
alo
máximo
de
T en la placa. Aunque en la igu a 3a
ampoco
es
ap eciable la di e encia en e la
so
lución analí i
ca
y
numé ica
en q, los e o es
254
MATERIALES
COMPUESTOS
O 1
E
E
o
a=
4mm
o
11
K=
2.09Wm
·2K·1
a
.!:l
11
o
K=25.5 1
Wm·
2K·1
T0=
295K
L=
l6mm
Fig.
4.
Con
i
gu ación
de
sus a o
con e es imien o.
0.
01
16
0.0087
0.0058
0.0029
500 T(
K)
+
()
C u
a izq
uie
da
-e-
Ca a
de ech
a
1000
en q son
ma
y
o
es
que
l
os
de
T.
Se pueden
obse
a
pequeñas oscilaciones debido a la
p oximidad de las esquinas. La m
ag
ni ud
de
es as
oscilaciones es
ap oximadam
en e
de
un 1% del
alo de q
ana
lí
i
co
,
como
se
puede
e
en la
igu a 3b.
4.2.- Sus a o isó opo homogéneo con
e es imien o
FGM
isó opo
Se cons
id
e a una con igu ación
de
su
s a o con
e es imien o some ida a una ele
ada
Ten
la ca a
supe io del e es imien o y con
un
despegue en la
in
e
ase modelado
co
mo
una g ie a, igu a 4. La
conduc i idad é mica del e es imi
en o
coincide
con la del sus a o
en
la
in e
ase. Las esis encias
é micas en las ca as ex e i
o e
s
supe
i
o
e
in
e io
son
R
-¡==
5x
L0
'4W.1
nlK
y R
- ==
L0-
4W.1m2K
1500
espec
i amen e.
Aunque
el códi
go
apli
cado
pe mi a
conside a
una
esis encia é mica ini a y a iable a lo
la go de la g ie a (que en un
modelo
má
s
ealis a pod ía se unción
de
la
p esión
ele
con ac o en los labios
de
la g ie a o
de
la sepa aci
ón
de los
mismos
), l
os
esul ados aquí p esen ados
co esponden a una esis encia in ini a,
es
deci
la g ie a ac úa
como
un aislan e
pe ec o. Pa a disc e
i
za el sus
a
o y
Fig
5.
E olución de
Ten
las
ca as
la e ales.
e e
s imien o se han u ilizado 77 y 93
elemen os
de
con o no espec i amen e,
disc e izando la in e ase c
on
una
ma
ll
a
con o
m
e.
1600
0-
Ca a
in
c í01
1400
--8-
C1 a
su
pe
i
o
---A- In e
ase
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2 0.016
Fig. 6. E olución de T en las
ca a
s ho izon ales
y en la in e ase.
Los
esul ados de T
ob
en
i
dos
en l
as
ca a
s la e ales se
p
es
en an
en la
i
gu a
5. En la
ca
a
de echa
la g
i
e a p o oca
un sal o
en
T
con
pendien
es nulas en
los labios de la g ie a de acue do con la
condición
de
co
n o no, un aislamien o
pe ec o. La e olución
encon
ada
de
T
ap oximadame
n e lin
ea
l en el
su
s a o y
exponenc
ial en el e
es
imien o en la
ca a izquie
da
es
á de acue do con l
as
soluciones
mono
-dimensionales en cada
ipo de ma e ial y se co esponde con el
hecho
de
que la pe u b
ación
del lujo
de
ca
lo
debido
a la g ie a se ha
ya
amo i
guado
a es a di
s
ancia.
MATERIALES
COMPUE
ST
OS 0 1 255
5.E+06
4 E+
06
3
.
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lución de q en las ca as ho izon ales
y en la
in
e
ase.
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H '
-+q
E
3 R
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de
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ón
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08
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1
4 - J
~
~~
l.
L-OS
I.
F.
-07 I
E-
06 1.E-05
(
m)
Fig. 8. E aluación del é mino s
in
g
ul
a de q.
En la igu a 6 se puede obse
a
el
e ec o
de
la g
i
e a, p ime o
en
un
au
men
o conside able
de
la
T,
al ededo
ele
260
°C, en la
ca
a
supe io del e es
i
mien o
encima
de
la g ie a, y segundo en la e
olución
de
l sal o
de
T a lo la go
de
la g ie a
ele
acue do con el desa o
ll
o asin ó
i
co
10
cuyo
p
i
me
é mino es p opo cional a
la
u
nción aíz cuad ada de la
dis ancia al é ice de la g ie a.
En la e olución ho izon al de q, igu a
7, la p esencia
de
la g ie a implica
una
disminuci
ón
del lujo en la
ca
a
supe
io
del e es imien o si uada
enci
ma
de la g ie a, y en una
singula
i
dad de q en la in e ase en el
en o no del é ice de la g ie a. Es a
singula idad
se
analiza con más
de alle en la igu a 8, donde se puede
e
un
acu
e do excelen e del
o den
de
singula idad calculado
(med
ian e una
eg
es
ión
li
neal de la e olución de q
en unción de la dis ancia al
é
ice de
la g ie a en escala loga í mica) con el
p edicho analí icamen e
10
(-0.5).
La
exce
le
n
e con
co
dancia
de
los esul ados numé icos del
MEC
con l
as
ca ac e ís icas
ele
la
solución ana
lí
ica conocid
as
a-
p i
o
i pe mi e
supo
ne que es
os
esul ados
numé
icos
a
p
oxi
ma
n adecuadamen e T y q del p oblema
pl
an eado.
5.- CONCLUSIONES
Se ha
p
es
en
ado la o mulaci
ón
eó
ica (l
os
núcl
eos
in eg ales y la Ecuación In
eg
al de
Con o
mo c
o
e
sp
on
dien es) y la implemen aci
ón
de un
cód
igo del
Mé odo
de l
os
Elemen os
el
e
Co
n o no (M
EC)
con l
os
elemen
os
li
neales con inu
os
pa
a los
p oblemas
de
lujo de
cal
o
es
aciona
io
en a i
os
só
lidos anisó o
pos
hom~g~neo
s
o F
GM
ex p
o~e?c1ales
en con ac o.
Lo
s esul ados
num
é icos demu
es
an que es e cod1
go
puede se
mu
y u
!l
en el
es udio de los e es imien os é mi
cos
de ipo FGM, en pa icula en p esencia de
allos
de
ipo despegue -
g
ie a, q
ue
o
iginan un
cam
bio
b
usco de
esis
e~c
i
a
é mi
ca
en
la i
n e
ase
y po lo an o una ue e pe u bación del lujo de calo . El abaJO
p
ese
n ado ep esen a la
p ime a pa e del desa o
ll
o en cu so de un có
digo
del MEC pa a los
p oblema
s
e
moe
l
ás
icos en las
con
~
i
g
u
ac
iones
d
esc
i as.
256 MATERIAL
ES
COMPUESTOS
01
6.-
AGRADECIMIENTOS
.
Se ag adece
la
ayuda ecib
id
a de la Comisi
ón
de In e cambio Cul u al, Educa i o y
Cien í ico en e España y los EE.UU. de Amé ica (P oyec o del P og ama Fulb igh N.
99271) y de la DGES C del Minis e io de Educaci
ón
y Cul u a (P oyec o
N.
P
B98-Il
18).
7.-
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1
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Man ic V., Pa
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s F
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Bc ge J., S
in
g
ul
a
i ies
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2D Aniso opic
Po
en ial P oble
ms
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Mul ima e ial Co
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