MATERIALES COMPUESTOS 03 295
Análisis del ensayo de agmen ación median e
el mé odo de los elemen os de con o no
E. G aciani, V. Man ič, F. Pa ís
G upo de Elas icidad y Resis encia de Ma e iales, Uni e sidad de Se illa, España
Janis Va na
Di ision o Polyme Enginee ing, Uni e sidad de Luleå, Suecia
RESUMEN
El ensayo de agmen ación se emplea pa a la ca ac e ización de la enacidad a ac u a de
la in e ase en e la ib a y la ma iz en ma e iales compues os. Con es e ensayo se p e ende
consegui el c ecimien o es able de una g ie a a lo la go de la in e ase en una p obe a que
con iene una única ib a embebida en la ma iz polimé ica. Pa a ob ene alo es de la
enacidad de la in e ase, a pa i de los esul ados del ensayo, es usual emplea soluciones
semi-analí icas del es ado ensional en el en o no del é ice de la g ie a. Dichas soluciones
se suelen ob ene a pa i de hipó esis simpli ica i as.
El obje i o de es e es udio es la ob ención de una solución numé ica p ecisa del es ado
ensional exis en e en la p obe a du an e la ealización del ensayo. Pa a consegui es e
obje i o, es necesa io ene en cuen a las ensiones esiduales exis en es en la p obe a,
debidas al en iamien o desde la empe a u a de cu ado has a la empe a u a ambien e, e
inclui en el análisis un algo i mo que pe mi a modela el con ac o en e la ib a y la ma iz
a lo la go de la g ie a de in e ase.
Debido a odo ello, se ha empleado el Mé odo de los Elemen os de Con o no pa a ealiza
el análisis, ya que, al u iliza como a iables p ima ias las ensiones y desplazamien os en
el con o no, se acili a en g an medida la imposición de las condiciones de con ac o y el
empleo de una disc e ización del modelo lo su icien emen e ina como pa a calcula con
exac i ud la solución asin ó ica en el en o no del é ice de la g ie a.
1. DESCRIPCIÓN DEL ENSAYO
El ensayo de agmen ación en ma e iales compues os emplea una p obe a consis en e en
una única ib a, su icien emen e la ga, embebida en una ma iz polimé ica (Kelly and
Thyson, 1965). Es a p obe a se suje a po los ex emos median e unas mo dazas y es
some ida a un ala gamien o en la di ección de la ib a, al como se esquema iza en la
Figu a 1, en la cual se ha exage ado el diáme o de la ib a pa a que se pueda obse a su
MATERIALES COMPUESTOS 03
296
colocación. La ca ga aplicada en los ex emos de la p obe a se ansmi e a la ib a a a és
de ensiones angenciales en la in e ase, po an o, an es de que se p oduzca el p ime
allo, an o la ib a como la ma iz se encuen an some idas a un es ado de ensión
longi udinal uni o me en la zona de la p obe a si uada en e los e ue zos.
ib ama iz e ue zos
Fig. 1 – Esquema del ensayo de agmen ación.
Como la ib a iene un compo amien o ágil en e a ac u a y su de o mación de o u a
es mucho meno que la de la ma iz, llegado a un cie o ni el de la ca ga aplicada se
p oduce una o u a en la ib a, po su pun o más débil, de o ma que és a queda di idida en
dos agmen os. Al sepa a se la ib a, en el plano de o u a la ensión longi udinal se hace
nula, sin emba go, se sigue p oduciendo una ans e encia de ca ga de la ma iz a la ib a a
a és de ensiones angenciales en la in e ase, de o ma que la ib a sigue some ida a la
misma ensión longi udinal que enía an es de p oduci se la o u a, sal o en una zona en el
en o no de la o u a, al como mues a la Figu a 2a.
(a)
σ
(b)
σ
(c)
σσ
(d)
σσ
Fig. 2 – (a) P ime allo en la ib a. (b) P oceso de agmen ación. (c) Sa u ación sin
despegue en e ib a y ma iz. (d) Sa u ación con despegue en e ib a y ma iz.
Po an o, as la p ime a o u a, un lige o inc emen o de la ca ga aplicada a la p obe a
p o oca la apa ición de nue os agmen os, al como se mues a en la Figu a 2b. Du an e
es e p oceso, denominado agmen ación, exis e una elación lineal, en coo denadas
loga í micas, en e la de o mación en la ib a y la longi ud media de los agmen os, debido
a que la esis encia de la ib a es á de inida po una dis ibución es adís ica de Weibull. La
agmen ación sucesi a de la ib a conlle a una disminución de la zona de la misma
some ida a al as ensiones. De es a o ma, llega un momen o, denominado sa u ación, en
que la longi ud de los agmen os es demasiado co a pa a que se alcance en ellos un ni el
de ensión su icien e pa a p o oca nue as o u as, al como se mues a en la Figu a 2c.
Debido a la can idad de ene gía libe ada epen inamen e al pa i se la ib a se inician en los
ex emos de cada uno de los agmen os unas g ie as de despegue en e la ib a y la ma iz.
Compa ando el c ecimien o de es as g ie as con la apa ición de nue as o u as en la ib a el
MATERIALES COMPUESTOS 03 297
ensayo puede conside a se di idido en es e apas. En la p ime a, la agmen ación de la
ib a se p oduce sin un c ecimien o ap eciable del despegue en e ib a y ma iz.
Pos e io men e, en una segunda e apa, las g ie as de despegue comienzan a c ece de o ma
paula ina mien as con inua la agmen ación de la ib a. Po úl imo, alcanzada la
sa u ación, el aumen o de la ca ga aplicada p o oca únicamen e el c ecimien o de las
g ie as de despegue en e la ib a y la ma iz pe o no la apa ición de nue os agmen os en
la ib a.
Debido a que el c ecimien o del despegue p o oca un descenso en la ensión axial de la
ib a, cuan o an es comience y cuan o más ápido se p opague el despegue en e la ib a y
la ma iz mayo se á la longi ud media de los agmen os una ez alcanzada la sa u ación,
al como se esquema iza en la Figu a 2d.
Al ealiza el ensayo de agmen ación es posible que apa ezcan g ie as que nacen de los
ex emos de los agmen os de la ib a y se p opagan a a és de la ma iz, bien
ans e sales a la aplicación de la ca ga o con o ma cónica (G aciani e al., 2003). Es as
g ie as p o ocan la o u a de la p obe a sin que alle la in e ase y, po an o, en es os casos
no se puede medi la enacidad a ac u a de la misma.
2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
Teniendo en cuen a que las dimensiones de la p obe a son mucho mayo es que el diáme o
de la ib a, puede conside a se que la solución del p oblema p esen a sime ía axial. Po
an o, pa a calcula la solución del es ado ensional en la p obe a median e el MEC se ha
empleado una o mulación con sime ía axial (G aciani e al., 1999) que incluye el e ec o
de las ensiones esiduales que apa ecen como consecuencia del p oceso de cu ado
median e la solución de un p oblema e moelás ico a empe a u a cons an e (Bak , 1986).
Las condiciones de equilib io y compa ibilidad en la in e ase en e la ib a y la ma iz han
sido es ablecidas median e el desa ollo de un algo i mo débil de con o no con sime ía
axial, basado en el p esen ado po Blázquez e al. (1998) pa a p oblemas planos, que
pe mi e el acoplamien o inmedia o de las ecuaciones co espondien es a ambos sólidos y la
imposición de las condiciones de con ac o (G aciani e al., 1999). Aunque el algo i mo
empleado pe mi e ene en cuen a el e ec o de la icción en e la ib a y la ma iz en las
ca as de la g ie a de despegue, dicho e ec o no ha sido enido en cuen a en es e es udio.
El plan eamien o median e el Mé odo de los Elemen os de Con o no, pe mi e el cálculo de
los alo es de las componen es de los desplazamien os y del ec o ensión en los nodos de
la disc e ización del con o no de los sólidos. Pos e io men e, empleando es a solución, se
pueden calcula los alo es de los desplazamien os y las componen es del ec o ensión en
cualquie pun o de in e és (Pa ís y Cañas, 1997).
MATERIALES COMPUESTOS 03
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3. ANÁLISIS NUMÉRICO
Suponiendo que los agmen os son su icien emen e la gos y que el c ecimien o del
despegue es análogo a ambos lados de la o u a de la ib a, bas a modela medio agmen o
de la ib a pa a ob ene la solución del es ado ensional en la p obe a, ya que és e se á
idén ico en el en o no de cada o u a de la ib a y simé ico espec o al plano de o u a. Las
condiciones de con o no, esquema izadas en la Figu a 3, son las siguien es:
• Sime ía espec o al plano de o u a de la ib a.
• Bo de ex e io de la p obe a lib e de ensiones.
• Unión pe ec a en e la ib a y la ma iz en la zona no despegada.
• Con ac o sin icción en e las ca as de la g ie a de despegue.
• La ca ga aplicada a la p obe a se ha modelado como un desplazamien o uni o me del
plano medio del agmen o en la di ección del eje de la ib a.
(a)
z
L
m
Lu
00
ε=
pegado
(b)
Lu
00
ε=
z
L
m
con ac opegado
a
Fig. 3 – Modelo del ensayo: (a) sin despegue, (b) con despegue.
Se ha empleado una combinación de ib a de id io y ma iz epoxy, cuyas p opiedades
e moélas icas se ecogen en la Tabla 1, en la que se han incluido ambién las dimensiones
de la sección de la ib a y de la p obe a. Se ha conside ado en odos los casos que la
empe a u a de solidi icación en el cu ado es á a 80 K po encima de la empe a u a
ambien e.
Fib a Ma iz
Módulo de Young 70 GPa 3.5 GPa
Coe icien e de Poisson 0.2 0.3
Coe icien e de dila ación é mica 7·10-6 K-1 50·10-6 K-1
Diáme o 10 µm 550 µm
Tabla 1 – P opiedades de los ma e iales.
3.1 P oceso de agmen ación de la ib a
El p ime obje i o del es udio ha sido modela el p oceso de agmen ación de la ib a sin
c ecimien o de las g ie as de despegue, con el obje i o de obse a cómo se p oduce la
sa u ación en el p oceso de agmen ación y selecciona los amaños de agmen o que se
an a emplea en los siguien es modelos. La geome ía y las condiciones de con o no
MATERIALES COMPUESTOS 03 299
empleadas se esquema izan en la Figu a 3a. En ambos casos, se ha e inado la
disc e ización en el en o no del é ice de la g ie a, de o ma que el más pequeño de los
elemen os en que se ha di idido el con o no iene un amaño de m.10 6µ
−
El e ec o de la agmen ación se puede obse a en la Figu a 4a, en la que se mues a la
e olución de la ensión longi udinal en el eje de la ib a al di idi sucesi amen e los
agmen os po la mi ad, pa iendo de una longi ud inicial co espondien e a L 80=.
Como se pone de mani ies o en la Figu a 4b, la ensión máxima en la ib a no se e
al e ada de o ma sus ancial cuando los agmen os son la gos y dec ece ápidamen e po
debajo de un de e minado alo del amaño del agmen o. A la is a de es os esul ados,
pa a los siguien es análisis se han empleado es longi udes de agmen o: una la ga
( L 80=), una co a ( L 20=) y una in e media ( L 40
=
).
(a)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
020406080
%5.1=
ε
Posición en el eje (z/
)
Tensión en la ib a [GPa]
]80[),0(
zz
Lz =
σ
]40[),0(
zz
Lz =
σ
]10[),0(
zz
Lz =
σ
]20[),0(
zz
Lz =
σ
]80[),0(
zz
Lz =
σ
]40[),0(
zz
Lz =
σ
]10[),0(
zz
Lz =
σ
]20[),0(
zz
Lz =
σ
(b)
0.8
0.9
1
1.1
0 20406080100120
Tensión máxima en la ib a [GPa]
Tamaño del agmen o (L
/
)
máx
zz z),0(
σ
máx
zz z),0(
σ
%5.1=
ε
Fig. 4 – P oceso de agmen ación: (a) Va iación de la ensión longi udinal en el eje la
ib a. (b) Disminución de la máxima ensión longi udinal en la ib a.
3.2 C ecimien o de la g ie a de despegue en la in e ase
Pa a es udia el c ecimien o de la g ie a de despegue se ha empleado el modelo mos ado
en la Figu a 3b, a iando la longi ud de la g ie a de despegue en el ango a 82.0
<
<.
Los esul ados ob enidos mues an que en odos los casos la g ie a de despegue es á
ce ada, con lo cual el c ecimien o es en modo II.
La ob ención de la solución ensional del modelo con g ie a de despegue no es, en
p incipio, un p oblema i ial, ya que la aplicación del dec emen o de empe a u a
co espondien e al p oceso de cu ado es an e io a la apa ición de la isu a. Sin emba go, a
la is a de los esul ados ob enidos, se obse a que an o la empe a u a de cu ado como la
ca ga aplicada du an e el ensayo p o ocan la apa ición de ensiones de comp esión en las
ca as de la g ie a de despegue, de o ma que se puede ga an iza que és a pe manece
ce ada du an e odo el p oceso. Teniendo en cuen a, además, que se no se ha conside ado
el e ec o de la icción, las ecuaciones que gobie nan el análisis son lineales y se puede
esol e el p oblema aplicando de o ma simul ánea el dec emen o é mico debido al
cu ado y la ca ga al modelo con la g ie a ya c ecida desde el inicio.

MATERIALES COMPUESTOS 03
300
En la Figu a 5a se obse a como dec ece la ensión longi udinal a lo la go del eje de un
agmen o cuando p og esa el despegue en e la ib a y la ma iz. Po consiguien e, el
c ecimien o del despegue en e ib a y ma iz es un e ec o que se opone a la apa ición de
nue as o u as en la ib a. En la Figu a 5b se mues a, en coo denadas loga í micas, la
solución ob enida pa a las componen es del enso de ensiones en e a la dis ancia al
é ice de la g ie a (
ρ
). Se comp ueba que la ensión no mal en el ondo de g ie a es
aco ada, mien as que la ensión angencial en el ondo de g ie a y la ensión no mal de
con ac o en e la ib a y la ma iz ienen un compo amien o singula p opo cional a .
5.0−
ρ
(a)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
05101520
L 40,%5.1 ==
ε
g ie a][sin),0( z
zz
σ
]4[),0(
zz
az =
σ
]2[),0(
zz
az =
σ
g ie a][sin),0( z
zz
σ
]4[),0(
zz
az =
σ
]2[),0(
zz
az =
σ
Tensión en la ib a [GPa]
Posición en el eje (z/
)
(b)
0.01
0.1
1
10
100
1.0E-04 1.0E-03 1.0E-02 1.0E-01
Tensión [GPa]
),(
ρσ
+− z
),(
ρσ
−− z
),(
ρσ
+− z
z
),(
ρσ
+− z
),(
ρσ
−− z
),(
ρσ
+− z
z
a L 2,40,%5.1 ===
ε
Dis ancia al é ice de la g ie a (
ρ
) [µm]
Fig. 5 – Es ado ensional en la p obe a: (a) ensión longi udinal en el eje de la ib a,
(b) ensiones singula es en el en o no del é ice de la g ie a.
Pa a es udia la p opagación de la g ie a, se asumi á que la ene gía uni a ia libe ada
du an e el c ecimien o de la g ie a de despegue se á igual a la que se necesi a pa a c ea las
nue as supe icies. Po an o emplea emos un c i e io de la o ma:
IIc
aa
a
a
z
a
z
a
a
II Gdzaz uz
a
G=−= ∫
+
→
δ
εε
δ
ε
δ∆σ
δ
),(),(
2
11
lim ),(),(
0
),( (1)
Donde ),( a
II
G
ε
es la ene gía uni a ia libe ada en el c ecimien o de la g ie a (I win, 1957);
),( a
z
u
ε
∆
es la di e encia en e los desplazamien os de la ma iz y la ib a y IIc
G es la
enacidad a ac u a de la in e ase en modo II.
En la Figu a 6a se mues an los alo es de ),( a
II
G
ε
, calculados pa a las es con igu aciones
escogidas, en e al amaño de la g ie a de despegue. Aunque es a cu a sólo es álida pa a
un alo de la de o mación aplicada del 1.5 %, se ob ienen cu as cuali a i amen e
simila es a és a, pa a odos los alo es den o del ango de de o maciones que su e la
p obe a du an e el ensayo. Po an o, se pueden ex ae las siguien es conclusiones:
• La ene gía libe ada iende a in ini o cuando el amaño de g ie a iende a ce o, lo cual
jus i ica ía la apa ición de una pequeña g ie a de despegue en e ib a y ma iz en el
ins an e de p oduci se la o u a de la ib a.
MATERIALES COMPUESTOS 03 301
• Cuando los agmen os son g andes ( L 80
=
y L 40
=
), la solución en el en o no
de cada o u a de la ib a coincide y, po an o, la ene gía libe ada du an e el
c ecimien o de la g ie a no depende del amaño del agmen o.
• El c ecimien o de las g ie as de despegue es es able du an e odo el ensayo, ya que la
ene gía libe ada dec ece siemp e al aumen a el amaño de la g ie a.
(a)
0
10
20
30
40
50
60
70
02468
Tamaño de la g ie a (a/
)
Tasa de ene gía libe ada [kJ/m
2
]
%5.1=
ε
]80[
),(
a
II
LG =
ε
]40[
),(
a
II
LG =
ε
]20[
),(
a
II
LG =
ε
]80[
),(
a
II
LG =
ε
]40[
),(
a
II
LG =
ε
]20[
),(
a
II
LG =
ε
(b)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
00.511.522.53
]80[J/m50
2),(
a
II
LG ==
ε
]40[J/m50
2),(
a
II
LG ==
ε
]20[J/m50
2),(
a
II
LG ==
ε
]80[J/m50
2),(
a
II
LG ==
ε
]40[J/m50
2),(
a
II
LG ==
ε
]20[J/m50
2),(
a
II
LG ==
ε
Tamaño de la g ie a (a/
)
De o mación aplicada [%]
Fig. 6 – C ecimien o de la g ie a de despegue: (a) asa de libe ación de ene gía, (b)
longi ud de la g ie a en e a la ca ga aplicada.
Debido a que la g ie a es á siemp e ce ada, se puede calcula el alo de la de o mación
que es necesa io aplica pa a que se p opague una g ie a de un amaño de e minado,
aplicando la ecuación (1). Pa a ello hay que ene en cuen a que:
),(),(),( ),1(),0(),( z z z aaa
αβαβ
ε
αβ
σεσσ
+=
),(),(),( ),1(),0(),( z uz uz u aaa
αα
ε
α
ε
+= (2)
donde ),0( a
αβ
σ
y ),0( a
u
α
co esponden a la solución del p oblema aplicando únicamen e el
dec emen o de empe a u a debido al p oceso de cu ado y ),1( a
αβ
σ
y ),1( a
u
α
co esponden a la
solución del p oblema aplicando únicamen e una de o mación longi udinal de alo
unidad. In oduciendo es a descomposición en (1) se ob iene una ecuación de segundo
g ado a pa i de la cual se puede calcula el alo de la de o mación necesa ia pa a que se
p opague la g ie a de despegue.
En la Figu a 6b se mues an los esul ados ob enidos siguiendo el p ocedimien o desc i o,
pa a un alo supues o de la enacidad a ac u a de la in e ase de 50 J/m2. Como puede
obse a se, la p opagación de las g ie as de despegue es muy len a al p incipio y su
elocidad de c ecimien o a aumen ando con o me aumen a el amaño de la g ie a.
MATERIALES COMPUESTOS 03
302
4. CONCLUSIONES
La p ime a conclusión que se puede ob ene de los esul ados p esen ados es que la
aplicación del Mé odo de los Elemen os de Con o no con sime ía axial pa a modela el
ensayo de agmen ación pe mi e ob ene soluciones muy p ecisas del es ado ensional en
el p oblema. Se ha obse ado como es as soluciones es án de acue do con el
compo amien o espe ado y son capaces de ep oduci con exac i ud el compo amien o
asin ó ico de las ensiones y los desplazamien os en el en o no del é ice de la g ie a de
despegue.
Dado que como esul ado del ensayo de agmen ación se pueden ob ene los alo es del
amaño medio de los agmen os y de la longi ud media de las g ie as de despegue en e a
la de o mación aplicada, soluciones análogas a las p esen adas se án de g an u ilidad a la
ho a de calcula la enacidad a ac u a de la in e ase a pa i de los da os del ensayo, ya
que a pa i de ellas se á posible cons ui pa a un alo de la enacidad a ac u a de la
in e ase una única cu a simila al conjun o mos ado en la igu a 6b, eniendo en cuen a
además en cada ins an e cual es el amaño medio de los agmen os. El alo de la
enacidad a ac u a de la in e ase conside ada se á, po an o, el que mejo ajus e los
esul ados de las medidas expe imen ales del despegue en e ib a y ma iz en e a la
de o mación aplicada.
No obs an e, an es de pode lle a a cabo es a a ea con exac i ud es necesa io ene en
cuen a en el es udio el e ec o de la icción en e las ca as de la g ie a de despegue. Aunque
conside a es e e ec o no añade excesi a di icul ad a la ho a de ob ene las soluciones
numé icas del p oblema con el algo i mo p esen ado, es bas an e complejo inclui lo en el
es udio. Es o es debido, po una pa e, a que añade un pa áme o, el coe icien e de icción
en e las supe icies, del cual es di ícil es ima o medi su alo y, po o a, a que las
soluciones asin ó icas de las ensiones y los desplazamien os en el en o no del é ice de la
isu a cambian cuali a i amen e y equie en po an o de un análisis de los esul ados más
complejo que el p esen ado.
REFERENCIAS
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