TYPES MODULO `POUR LES FORMES INT´
ERIEURES DE GLnSUR
UN CORPS LOCAL NON ARCHIM´
EDIEN
pa
Albe o M´ınguez & Vincen S´eche e
Abs ac . — Le F be a non-A chimedean locally compac ield o esidue cha ac e is ic p, le D
be a ini e dimensional cen al di ision F-algeb a and le `be a p ime numbe di e en om p. We
de elop a heo y o `-modula ypes o he g oup GLm(D), m⩾1, in p epa a ion o he s udy o
he `-modula smoo h ep esen a ions o his g oup.
In oduc ion
1. Soi F un co ps commu a i localemen compac non a chim´edien de ca ac ´e is ique ´esiduelle
pe soi D une alg`eb e `a di ision cen ale de dimension inie su F don le deg ´e ´edui es no ´e
d. Pou m⩾1, on pose G = GLm(D), qui es une o me in ´e ieu e de GLmd(F). La h´eo ie des
ypes complexes pou G a ´e ´e d´e elopp´ee dans une s´e ie d’a icles [24, 25, 26, 28, 4, 29] `a la
sui e des a aux de Bushnell e Ku zko [8, 10] pou GLn(F), n⩾1. C’es un ou il puissan , qui
pe me une desc ip ion explici e de la ca ´ego ie des ep ´esen a ions lisses complexes de G. Dans
ce a icle, on d´e eloppe une h´eo ie des ypes modulai es pou G, dans l’objec i d’´e udie les
ep ´esen a ions lisses modulai es de G, c’es -`a-di e `a coe icien s dans un co ps R alg´eb iquemen
clos de ca ac ´e is ique `non nulle e di ´e en e de p( oi [21, 22]).
2. La h´eo ie des ep ´esen a ions modulai es des g oupes ´educ i s p-adiques a ´e ´e d´e elopp´ee
pa Vign´e as [31, 32]. Compa ´ee `a la h´eo ie complexe, elle p ´esen e de g andes simila i ´es mais
aussi des di ´e ences impo an es, `a la ois dans les ´esul a s e dans les m´e hodes. Les ep ´esen-
a ions modulai es d’un sous-g oupe ou e compac ne son pas semi-simples en g´en´e al. Le
ai que `soi di ´e en de p´equi au `a l’exis ence d’une mesu e de Haa `a aleu s dans R su le
g oupe, mais la mesu e d’un sous-g oupe ou e compac peu ˆe e nulle. Il au dis ingue en e
les deux no ions de ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale (c’es -`a-di e don ous les modules de
Jacque ela i emen `a un sous-g oupe pa abolique p op e son nuls) e supe cuspidale (c’es -`a-
di e qui n’es sous-quo ien d’aucune indui e pa abolique d’une ep ´esen a ion d’un sous-g oupe
de Le i p op e). On a une no ion de suppo supe cuspidal pou une ep ´esen a ion i ´educ ible,
mais on igno e en g´en´e al s’il es unique. Il n’exis e pas de e sion modulai e de la o mule des
Ce a ail a b´en´e ici´e de inancemen s de l’EPSRC (GR/T21714/01, EP/G001480/1) e de l’Agence Na ionale de
la Reche che (ANR-08-BLAN-0259-01, ANR-10-BLANC-0114). Le p emie au eu es aussi inanc´e en pa ie pa
MTM2010-19298 e FEDER.
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INGUEZ & VINCENT S´
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aces ni du h´eo `eme de Paley-Wiene . Il y a des ep ´esen a ions i ´educ ibles non isomo phes
d’un mˆeme g oupe don ous les modules de Jacque p op es son isomo phes.
3. L’un des p incipaux ou ils don on dispose pou ´e udie les ep ´esen a ions modulai es d’un
g oupe ´educ i p-adique es la h´eo ie des ypes, pou les g oupes pou lesquels une elle h´eo ie
exis e. Une h´eo ie des ypes modulai es a ´e ´e d´e elopp´ee pou le g oupe GLn(F) ( oi [31, 32])
e l’obje du p ´esen a icle es de p odui e une h´eo ie analogue pou ses o mes in ´e ieu es. On
l’u ilise dans [21] pou cons ui e une classi ica ion `a la Zele inski des ep ´esen a ions modulai es
i ´educ ibles de G en e mes de mul isegmen s e dans [22] pou cons ui e une classi ica ion des
ep ´esen a ions banales de G. Dans un a ail en cou s de S´eche e e S. S e ens, elle es u ilis´ee
pou ob eni une d´ecomposi ion en blocs de la ca ´ego ie des ep ´esen a ions lisses modulai es de
G.
4. No e p emi`e e ˆache es de g´en´e alise au cas modulai e la cons uc ion des ypes simples e
semi-simples de GLn(F) e de ses o mes in ´e ieu es. Pou cela, nous ep enons les a gumen s de
la h´eo ie complexe en expliquan commen les adap e au cas modulai e. Nous p oduisons donc,
dans un p emie emps, une amille de pai es (J, λ), compos´ees d’un sous-g oupe ou e compac
de G e d’une ep ´esen a ion lisse i ´educ ible λde J e poss´edan les p op i´e ´es sui an es :
(1) pou ou e ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale ρde G, il exis e une pai e (J, λ), unique
`a conjugaison p `es, elle que la es ic ion de ρ`a J adme e une sous- ep ´esen a ion isomo phe
`a λ;
(2) deux ep ´esen a ions i ´educ ibles cuspidales de G con iennen une mˆeme pai e (J, λ) si
e seulemen si elles son ine iellemen ´equi alen es.
De elles pai es son appel´ees des ypes simples maximaux pou G. Elles pe me en de d´ec i e
les ep ´esen a ions i ´educ ibles cuspidales comme indui es compac es de ep ´esen a ions i ´e-
duc ibles de sous-g oupes ou e s compac s modulo le cen e ( oi le h´eo `eme 3.11).
Th´eo `eme A. — Soien ρune ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale de Ge (J, λ)un ype sim-
ple maximal con enu dans ρ. Il exis e une unique ep ´esen a ion du G-no malisa eu de Jqui
p olonge λe don l’indui e `a Gsoi isomo phe `a ρ.
Ceci pe me d’´e udie la ´educ ion modulo `des Q`- ep ´esen a ions i ´educ ibles cuspidales
en i`e es (§§3.5-3.6) e ou ni les p emie s ´esul a s qui di `e en du cas d´eploy´e : oi les h´eo-
`emes 3.15, 3.26 e la p oposi ion 3.22, que l’on compa e a `a [31], h´eo `emes III.1.1 e III.5.10.
Th´eo `eme B. — (1) Il y a des Q`- ep ´esen a ions i ´educ ibles cuspidales en i`e es don la
´educ ion modulo `n’es pas i ´educ ible.
(2) Il y a des F`- ep ´esen a ions i ´educ ibles cuspidales n’adme an pas de el`e emen `a Q`.
(3) Tou e F`- ep ´esen a ion i ´educ ible supe cuspidale se el`e e `a Q`.
Il s’agi ensui e, ´e an donn´e pou chaque en ie i= 1, . . . , un ype simple maximal (Ji, λi)
de GLmi(D), de p odui e une pai e cou an e de la ep ´esen a ion λ1⊗···⊗λ de J1×···×J ,
c’es -`a-di e une pai e compos´ee d’un sous-g oupe ou e compac K de G a ec m1+· · ·+m =m
e d’une ep ´esen a ion lisse i ´educ ible τde K gou e nan les ep ´esen a ions i ´educ ibles de
G don le suppo cuspidal es de la o me ρ1⊗· · ·⊗ρ , o`u ρies une ep ´esen a ion i ´educ ible
cuspidale de GLmi(D) con enan le ype simple maximal (Ji, λi). De elles pai es cou an es son
appel´ees des ypes semi-simples pou G e leu cons uc ion ai l’obje de la in de la sec ion 2.
TYPES MODULO `POUR GLm(D) 3
5. La h´eo ie des ypes de Bushnell e Ku zko pe me de compa e la h´eo ie des ep ´esen a ions
lisses de G `a celle de ce aines alg`eb es de Hecke a ines. Dans le cas modulai e, ce e compa aison
n’es pas aussi pa ai e que dans le cas complexe (on n’a pas en g´en´e al d’´equi alences de ca ´e-
go ies d´ec i an les blocs de la ca ´ego ie des ep ´esen a ions lisses de G comme dans [10, 29])
mais elle es e e icace dans l’´e ude des ep ´esen a ions i ´educ ibles de G g ˆace `a la p op i´e ´e de
p esque-p ojec i i ´e in odui e pa Dippe [14] e d´e elopp´ee pa Vign´e as e A abia [32, 33].
Un p obl`eme impo an es la compa aison en e indui es pa aboliques e modules indui s. On
donne au pa ag aphe 4.2 des condi ions pou qu’une indui e pa abolique soi i ´educ ible. Un
co ollai e es le h´eo `eme 4.18 pe me an de amene le p obl`eme de la classi ica ion de ou es
les ep ´esen a ions i ´educ ibles de G `a celui des ep ´esen a ions i ´educ ibles ayan un suppo
cuspidal ine iellemen ´equi alen `a ρ⊗· · ·⊗ρ, o`u ρes une ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale
ix´ee. On a en in le h´eo `eme de compa aison 4.20, qui pe me d’associe `a ou e ep ´esen a ion
i ´educ ible cuspidale ρde G un ca ac `e e non ami i´e νρde ce g oupe poss´edan la p op i´e ´e
sui an e ( oi la p oposi ion 4.37).
Th´eo `eme C. — Si ρ0es une ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale de GLm0(D),m0⩾1, alo s
l’indui e no malis´ee de ρ⊗ρ0es ´educ ible si e seulemen si m0=me ρ0es isomo phe `a ρνρ
ou `a ρν−1
ρ.
6. Si l’on essaie d’´e end e `a G les echniques employ´ees dans [31, 32] pou le g oupe GLn(F), on
es con on ´e au ai que les ep ´esen a ions i ´educ ibles cuspidales de G n’on pas de mod`ele de
Whi ake e qu’il n’y a pas de h´eo ie des d´e i ´ees pou les ep ´esen a ions i ´educ ibles de G,
don l’usage es c ucial dans [32]. C’es la aison pou laquelle on in odui un ou il echnique
impo an , qui pe me de ai e un lien en e ep ´esen a ions de G e ep ´esen a ions des g oupes
lin´eai es GL su une ex ension inie du co ps ´esiduel de F. Le poin de d´epa es un p ocessus
associan `a ou e ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale ρde G un obje Θ(ρ) appel´e endo-classe.
Il es d´ec i dans [4] pou les ep ´esen a ions complexes e onc ionne de a¸con similai e pou les
ep ´esen a ions modulai es. On en ou e dans [7] une in e p ´e a ion a i hm´e ique dans le cas
o`u R es le co ps des nomb es complexes e o`u D = F es de ca ac ´e is ique nulle. Si ρes une
ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale de G, on peu lui a ache un en ie ⩾1, une ex ension
inie kdu co ps ´esiduel de F e un onc eu Kde la ca ´ego ie des ep ´esen a ions lisses de G
dans la ca ´ego ie des ep ´esen a ions du g oupe ini GL (k) poss´edan les p op i´e ´es sui an es :
(1) il es exac ;
(2) il en oie ep ´esen a ions admissibles su ep ´esen a ions de dimension inie e ep ´esen a-
ions cuspidales su ep ´esen a ions cuspidales (ou nulles) ;
(3) il annule les ep ´esen a ions i ´educ ibles de G – e uniquemen celles-l`a – don le suppo
cuspidal es de la o me ρ1⊗ · · · ⊗ ρ a ec Θ(ρi)6=Θ(ρ) pou au moins un i.
Pa exemple, si ρes de ni eau 0, on a =me kes le co ps ´esiduel de D, e Kes le onc eu
associan `a ou e ep ´esen a ion de G la ep ´esen a ion de GLm(k) su l’espace de ses in a ian s
sous le adical p o-unipo en du sous-g oupe compac maximal GLm(OD).
La p op i´e ´e de non-annula ion (3) joue un ˆole essen iel : oi le pa ag aphe 5.2, no ammen
la p oposi ion 5.11 e le lemme 5.7. On no e a que la p eu e de ce lemme epose su un ´esul a
p o ond de h´eo ie des ypes complexes ´e abli dans [29].
Ces onc eu s son la gemen u ilis´es dans [21] pou p ou e l’unici ´e du suppo supe cus-
pidal d’une ep ´esen a ion i ´educ ible e d´e ini la no ion de ep ´esen a ion ´esiduellemen non
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d´eg´en´e ´ee de G, qui g´en´e alise celle de ep ´esen a ion non d´eg´en´e ´ee e es `a la base de no e
classi ica ion des ep ´esen a ions i ´educ ibles de G en e mes de mul isegmen s.
7. Te minons ce e in oduc ion en d´ec i an b i`e emen le a ail e ec u´e dans chaque sec ion.
Dans la sec ion 2, on d´e ini des ep ´esen a ions i ´educ ibles de ce ains sous-g oupes ou e s
compac s de G, appel´ees ypes simples (§2.5) e semi-simples (§2.7).
Dans la sec ion 3, on classe les ep ´esen a ions i ´educ ibles cuspidales de G en e mes de ypes
simples maximaux ( h´eo `eme 3.4). Ceci pe me d’associe ce ains in a ian s aux ep ´esen a ions
i ´educ ibles cuspidales de G (§3.4) e d’´e udie le p obl`eme de leu ´educ ion mod `(§3.5) e
de leu el`e emen (§3.6).
La sec ion 4 es consac ´ee `a l’´e ude des liens en e les ep ´esen a ions lisses de G e les modules
su ce aines alg`eb es de Hecke a ines. On in odui la no ion de ep ´esen a ion quasi-p ojec i e
(§4.1) e on donne des condi ions pou qu’une indui e pa abolique soi i ´educ ible. Un co ollai e
es l’impo an h´eo `eme 4.18 pe me an de amene le p obl`eme de la classi ica ion de ou es
les ep ´esen a ions i ´educ ibles de G `a celui des ep ´esen a ions i ´educ ibles ayan un suppo
cuspidal ine iellemen ´equi alen `a ρ⊗· · ·⊗ρ, o`u ρes une ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale
ix´ee.
Dans la sec ion 5, on d´e ini les onc eu s Kdiscu ´es plus hau e on ´e udie leu s p op i´e ´es.
On ob ien en pa iculie les p oposi ion impo an es 5.12 e 5.18 ´e ablissan la compa ibili ´e de
ces onc eu s `a l’induc ion e `a la es ic ion pa abolique.
Reme ciemen s
Nous eme cions Jean-F an¸cois Da , Guy Hennia , Shaun S e ens e Ma ie-F ance Vign´e as
pou de nomb euses discussions `a p opos de ce a ail.
Une pa ie de ce a ail a ´e ´e ´ealis´ee lo s du s´ejou des au eu s `a l’E win Sch ¨odinge Ins i u e
en jan ie - ´e ie 2009 e du second au eu `a l’Ins i u Hen i Poinca ´e de jan ie `a ma s 2010 ;
que ces deux ins i u ions soien eme ci´ees pou leu accueil e leu sou ien inancie . Une au e
pa ie en a ´e ´e ´ealis´ee lo s de plusieu s s´ejou s `a l’Uni e si y o Eas Anglia : nous eme cions
celle-ci pou son accueil e Shaun S e ens pou ses nomb euses in i a ions.
Albe o M´ınguez eme cie le CNRS pou les six mois de d´el´ega ion don il a b´en´e ici´e en 2011.
Vincen S´eche e eme cie l’Uni e si ´e de la M´edi e an´ee e l’Ins i u de Ma h´ema iques de
Luminy, o`u il ´e ai en pos e du an la majeu e pa ie de ce a ail.
No a ions e con en ions
1. Dans ou ce a icle, F es un co ps commu a i localemen compac non a chim´edien de
ca ac ´e is ique ´esiduelle no ´ee pe R es un co ps alg´eb iquemen clos de ca ac ´e is ique di ´e-
en e de p.
2. Tou es les F-alg`eb es son suppos´ees uni ai es e de dimension inie. Pa F-alg`eb e `a di ision
on en end F-alg`eb e cen ale don l’anneau sous-jacen es un co ps, pas n´ecessai emen commu-
a i . Si K es une ex ension inie de F, ou une alg`eb e `a di ision su une ex ension inie de F,
on no e OKson anneau d’en ie s, pKson id´eal maximal, kKson co ps ´esiduel e qKle ca dinal
de kK. En pa iculie , on pose q=qFune ois pou ou es.
TYPES MODULO `POUR GLm(D) 5
3. Une R- ep ´esen a ion lisse d’un g oupe opologique G es la donn´ee d’un R-espace ec o iel
V e d’un homomo phisme de G dans Au R(V) el que le s abilisa eu dans G de ou ec eu
de V soi ou e . Dans ce a icle, ou es les ep ´esen a ions son des R- ep ´esen a ions lisses.
Un R-ca ac `e e de G es un homomo phisme de G dans R×de noyau ou e . Si πes une R-
ep ´esen a ion de G e χun R-ca ac `e e de G, on no e χπ ou πχ la ep ´esen a ion g7→ χ(g)π(g).
Si aucune ambigu¨ı ´e n’es `a c aind e, on ´ec i a ca ac `e e e ep ´esen a ion plu ˆo que R-ca-
ac `e e e R- ep ´esen a ion.
1. P ´eliminai es
1.1. On ixe une F-alg`eb e `a di ision D de deg ´e ´edui no ´e d. Pou m⩾1, on no e Mm(D) la
F-alg`eb e des ma ices de aille m×m`a coe icien s dans D, e on pose Gm= GLm(D).
1.2. Soi G = Gmpou m⩾1. On d´esigne pa RR(G) la ca ´ego ie ab´elienne des ep ´esen a ions
de G (qui son lisses e `a coe icien s dans R), pa I R(G) l’ensemble des classes d’isomo phisme
des ep ´esen a ions i ´educ ibles de G e pa GR(G) le g oupe de G o hendieck des ep ´esen a-
ions de longueu inie de G. Ce de nie es un Z-module lib e de base I R(G) canoniquemen
muni d’une ela ion d’o d e pa iel no ´ee ⩽.
Si σes une ep ´esen a ion de longueu inie de G, on no e [σ]son image dans GR(G). Si
σes i ´educ ible, [σ]d´esigne donc sa classe d’isomo phisme. Lo squ’aucune con usion ne se a
possible, il nous a i e a d’iden i ie une ep ´esen a ion a ec sa classe d’isomo phisme.
1.3. On ixe une ois pou ou es une acine ca ´ee de qdans R.Si P = MU es un sous-g oupe
pa abolique de G muni d’une d´ecomposi ion de Le i, on no e G
Ple onc eu de es ic ion pa a-
bolique no malis´e de RR(G) dans RR(M) e iG
Pson adjoin `a d oi e, c’es -`a-di e le onc eu
d’induc ion pa abolique no malis´e lui co espondan . Ces onc eu s son exac s e ils p ´ese en
l’admissibili ´e e le ai d’ˆe e de longueu inie ( oi [31, II], pa ag aphes 2.1, 3.8, 5.13). Soi
P−le sous-g oupe pa abolique de G oppos´e `a P ela i emen `a M.
P oposi ion 1.1. — Si πe σson des ep ´esen a ions admissibles de Ge de M espec i e-
men , on a un isomo phisme de R-espaces ec o iels :
(1.1) HomG(iG
P−(σ), π)≃HomM(σ, G
P(π))
di de seconde adjonc ion ( oi [31, II.3.8]).
Si α= (m1, . . . , m ) es une amille d’en ie s ⩾1 de somme m, il lui co espond le sous-g oupe
de Le i s anda d Mαde Gmcons i u´e des ma ices diagonales pa blocs de ailles m1, . . . , m
espec i emen , que l’on iden i ie na u ellemen `a Gm1× · · · × Gm . On no e Pαle sous-g oupe
pa abolique de Gmde ac eu de Le i Mα o m´e des ma ices iangulai es sup´e ieu es pa blocs
de ailles m1, . . . , m espec i emen , e on no e Uαson adical unipo en . Les onc eu s iGm
Pαe
Gm
Pαson simplemen no ´es espec i emen iαe α. Si, pou chaque en ie i∈ {1, . . . , }, on a
une ep ´esen a ion πide Gmi, on pose :
(1.2) π1× · · · × π =iα(π1⊗ · · · ⊗ π ).
1.4. Une ep ´esen a ion i ´educ ible de G es cuspidale si son image pa G
Pes nulle pou ou
sous-g oupe pa abolique p op e P de G, c’es -`a-di e si elle n’es isomo phe `a aucun quo ien (ou,
de a¸con ´equi alen e, `a aucune sous- ep ´esen a ion) d’une indui e pa abolique p op e. Elle es
supe cuspidale si elle n’es isomo phe `a aucun sous-quo ien d’une indui e pa abolique p op e.

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´
E an donn´e une ep ´esen a ion i ´educ ible πde G, il exis e une amille α= (m1, . . . , m )
d’en ie s ⩾1 de somme m, e , pou chaque i∈ {1, . . . , }, il exis e une ep ´esen a ion i ´educ ible
cuspidale ρide Gmi, de elle so e que πsoi un quo ien de ρ1× · · · × ρ . On no e :
(1.3) cusp(π)
la somme o melle [ρ1]+· · · +[ρ ]dans le mono¨ıde commu a i lib e de base la ´eunion disjoin e
des I R(Gm), m⩾1. Elle es uniquemen d´e e min´ee e s’appelle le suppo cuspidal de π( oi
[31, II.2.20] e [21, 2]).
1.5. Soien H un sous-g oupe ou e de G e σune ep ´esen a ion de H su un R-espace ec o iel
V. On no e indG
H(σ) l’indui e compac e de σ`a G, cons i u´ee des onc ions : G →V localemen
cons an es `a suppo compac modulo H elles que (hg) = σ(h) (g) pou h∈H, g∈G, e :
(1.4) H(G, σ)
l’alg`eb e de Hecke de G ela i emen `a σ, c’es -`a-di e l’alg`eb e des G-endomo phismes de indG
H(σ).
Pa ´ecip oci ´e de F obenius e d´ecomposi ion de Mackey, elle s’iden i ie `a l’alg`eb e de con olu-
ion des onc ions : G →EndR(V) elles que (hgh0) = σ(h)◦ (g)◦σ(h0) pou ous h, h0∈H
e g∈G e don le suppo es une union inie de H-doubles classes.
Si σes le ca ac `e e i ial du g oupe H, on no e simplemen H(G,H) l’alg`eb e de Hecke qui
lui co espond.
1.6. Soi `un nomb e p emie di ´e en de p. On no e Q`le co ps des nomb es `-adiques, Z`
son anneau d’en ie s e F`le co ps ´esiduel de Z`. On ixe une clˆo u e alg´eb ique Q`de Q`, on
no e Z`son anneau d’en ie s e F`le co ps ´esiduel de Z`, qui es une clˆo u e alg´eb ique de F`.
D´e ini ion 1.2. — Une ep ´esen a ion de G su un Q`-espace ec o iel V es en i`e e si elle es
admissible e si elle adme une s uc u e en i`e e, c’es -`a-di e un sous-Z`-module de V s able pa
G e engend ´e pa une base de V su Q`( oi [31, 34]).
Soi ˜πune ep ´esen a ion i ´educ ible en i`e e de G su un Q`-espace ec o iel V. D’ap `es [35,
Theo em 1] e [31, II.5.11], on a les p op i´e ´es sui an es :
(1) ou es les s uc u es en i`e es de ˜πson de ype ini comme Z`G-modules ;
(2) si es une s uc u e en i`e e de ˜π, la ep ´esen a ion de G su ⊗F`es de longueu inie ;
(3) la semi-simpli i´ee de ⊗F`, qu’on no e `(˜π) e qu’on appelle la ´educ ion de ˜π, ne d´epend
pas du choix de mais seulemen de la classe d’isomo phisme de ˜π.
Pa lin´ea i ´e, on a un mo phisme de g oupes :
(1.5) `:Gen
Q`(G) →GF`(G),
o`u Gen
Q`(G) es le sous-g oupe de GQ`(G) engend ´e pa les classes d’isomo phisme de Q`- ep ´esen-
a ions i ´educ ibles en i`e es de G.
Rema que 1.3. — Si H es un g oupe p o ini, ou e Q`- ep ´esen a ion de dimension inie de
H es en i`e e (Se e [30], h´eo `eme 32), e on a un mo phisme de ´educ ion `analogue `a (1.5).
1.7. Soi ˜σune Q`- ep ´esen a ion en i`e e d’un sous-g oupe ou e H de G. Si es une s uc u e
en i`e e de ˜σ, alo s d’ap `es [35, P oposi ion II.3] le sous-module indG
H( ) des onc ions `a aleu s
dans es une s uc u e en i`e e de indG
H(˜σ) e on a un isomo phisme na u el :
(1.6) indG
H( )⊗F`≃indG
H( ⊗F`).
TYPES MODULO `POUR GLm(D) 7
Si en ou e indG
H(˜σ) es de longueu inie, ceci implique que `([indG
H(˜σ)]) = [indG
H( `(˜σ))].
1.8. On choisi des acines ca ´ees de qdans Q`e F`de so e que la seconde soi la ´educ ion
modulo `de la p emi`e e. Soi P = MU un sous-g oupe pa abolique de G. Si es une s uc u e
en i`e e d’une Q`- ep ´esen a ion en i`e e ˜σde M, le sous-espace iG
P( ) des onc ions `a aleu s dans
es une s uc u e en i`e e de iG
P(˜σ) e on a un isomo phisme na u el :
(1.7) iG
P( )⊗F`≃iG
P( ⊗F`).
Si en ou e ˜σes de longueu inie, ceci implique que `([iG
P(˜σ)]) = [iG
P( `(˜σ))]. Voi [31, II.5].
2. Types simples e semi-simples pou GLm(D)
Dans ce e sec ion, on d´e ini des ep ´esen a ions i ´educ ibles de ce ains sous-g oupes ou e s
compac s de GLm(D), appel´ees R- ypes simples (§2.5) e semi-simples (§2.7). Ce e cons uc-
ion es due `a Bushnell-Ku zko [8, 10] dans le cas des ep ´esen a ions complexes de GLn(F).
Elle a ensui e ´e ´e adap ´ee pa Vign´e as [31, 32] aux ep ´esen a ions modulai es de GLn(F) e
g´en´e alis´ee aux ep ´esen a ions complexes de GLm(D) pa B oussous [2], S´eche e [24, 25, 26]
puis S´eche e-S e ens [29].
Les pa ag aphes 2.1 `a 2.5 ´e ablissen la cons uc ion p og essi e des R- ypes simples `a pa i
des s a es e des ca ac `e es simples. On in odui au pa ag aphe 2.6 la no ion de pai e cou an-
e, puis on d´e ini au pa ag aphe 2.7 les R- ypes semi-simples de GLm(D) comme pai es cou an-
es de R- ypes simples maximaux de sous-g oupes de Le i de GLm(D). On calcule les alg`eb es de
Hecke associ´ees `a ces R- ypes simples e semi-simples. On ´e udie au pa ag aphe 2.8 la ´educ ion
modulo `des ypes simples, ce qui ou ni une au e p eu e de l’exis ence des F`- ypes simples.
2.1. S a es simples
Dans ce pa ag aphe, on appelle le langage des s a es simples. On ou e a plus de d´e ails
dans [8, 10, 24].
2.1.1. Soien A une F-alg`eb e cen ale simple e VAun A-module `a gauche simple. L’alg`eb e
EndA(VA) es une F-alg`eb e `a di ision don l’alg`eb e oppos´ee es no ´ee D. Aussi VAes -il un D-
espace ec o iel `a d oi e, e on a un isomo phisme canonique de F-alg`eb es en e A e EndD(VA).
Si A es une alg`eb e cen ale simple su une ex ension inie K de F, on no e NA/Ke A/K
espec i emen la no me e la ace ´edui es de A su K.
2.1.2. Une OD-chaˆıne de ´eseaux de VAes une sui e L= (Lk)k∈Zde OD- ´eseaux de VA
qui es s ic emen d´ec oissan e e pou laquelle il exis e un en ie e⩾1 (appel´e la p´e iode de
Λ su OD) el qu’on ai Lk+e=LkpDpou ou k∈Z. Un OF-o d e h´e ´edi ai e de A es une
sous-OF-alg`eb e Ade A elle qu’il y ai une OD-chaˆıne de ´eseaux Lde VApou laquelle :
(2.1) A={a∈A|aLk⊆Lk, k ∈Z}.
Deux OD-chaˆınes de ´eseaux ansla ´ees l’une de l’au e d´e inissen le mˆeme OF-o d e h´e ´edi ai-
e, e l’applica ion L7→ Ad´e inie pa (2.1) indui une bijec ion en e classes de ansla ion de
OD-chaˆınes de ´eseaux de VAe OF-o d es h´e ´edi ai es de A. Si Aes un OF-o d e h´e ´edi ai e
de A d´e ini pa une OD-chaˆıne de ´eseaux L, le sous-OF-module :
(2.2) P=P(A) = {a∈A|aLk⊆Lk+1, k ∈Z}
8ALBERTO M´
INGUEZ & VINCENT S´
ECHERRE
es le adical de Jacobson de A. On no e :
(2.3) K=K(A) = {g∈A×|gAg−1=A}
le no malisa eu de Adans A×. Pou g∈K, on no e υA(g) l’en ie n∈Zd´e ini pa gA=Pn.
L’applica ion υAes un mo phisme de g oupes de Kdans Z, don le noyau U(A) es le g oupe
des ´el´emen s in e sibles de A. On pose U0(A) = U(A) e , pou k⩾1, on pose Uk(A) = 1 + Pk.
2.1.3. Une s a e de A es un quad uple [A, n, , β] compos´e d’un OF-o d e h´e ´edi ai e Ade
A, de deux en ie s , n ´e i ian 0 ⩽ ⩽n−1 e d’un ´el´emen β∈P−n. Deux s a es [A, n, , βi],
a ec i∈ {1,2}, son di es ´equi alen es si β2−β1∈P− .
´
E an donn´ee une s a e [A, n, , β] de A, on no e E la F-alg`eb e engend ´ee pa β. Ce e s a e
es di e pu e si E es un co ps, si l’o d e Aes no malis´e pa E×e si υA(β) = −n. Dans ce
cas, on no e B le commu an de E dans A : c’es une E-alg`eb e cen ale simple, e A∩B es
un OE-o d e h´e ´edi ai e de B. Le plus pe i en ie k⩾υA(β) pou lequel ou ´el´emen x∈A
el que βx −xβ ∈Pksoi con enu dans A∩B + Pes no ´e k0(β, A) e po e le nom d’exposan
c i ique de la s a e pu e [A, n, , β].
D´e ini ion 2.1. — Une s a e [A, n, , β] de A es simple si elle es pu e e si < −k0(β, A).
2.1.4. `
A ou e s a e simple [A, n, 0, β] de A on associe dans [24, 3.3] deux sous-g oupes
ou e s compac s H(β, A), J(β, A) de U(A). Chacun d’eux es il ´e pa une sui e d´ec oissan e
de p o-p-sous-g oupes ou e s compac s :
(2.4) Hk(β, A) = H(β, A)∩Uk(A),Jk(β, A) = J(β, A)∩Uk(A), k ⩾1.
On en oie `a [24, 28] pou une ´e ude d´e aill´ee des p op i´e ´es de ces g oupes.
2.2. Ca ac `e es simples
On choisi un homomo phisme injec i ιp,Rdu g oupe µp∞(C) des acines complexes de l’uni ´e
d’o d e une puissance de p e s le g oupe mul iplica i R×, ainsi qu’un ca ac `e e complexe addi i
ψF,C: F →C× i ial su pFmais pas su OF.
2.2.1. Soi [A, n, 0, β] une s a e simple de A, e soi q0=−k0(β, A). Dans [24, 3.3], on
associe `a ce e s a e e `a ou en ie 0 ⩽m⩽q0−1 un ensemble ini CC(A, m, β) (qui d´epend
de ψF,C) de ca ac `e es complexes de Hm+1(β, A) appel´es ca ac `e es simples de ni eau m.
2.2.2. Comme les Hm+1(β, A), pou 0 ⩽m⩽q0−1, son des p o-p-g oupes, l’applica ion
θ7→ ιp,R◦θes bien d´e inie pou θ∈CC(A, m, β). Son image, no ´ee CR(A, m, β), es un ensemble
de R-ca ac `e es de Hm+1(β, A) appel´es R-ca ac `e es simples de ni eau m. Tou es les p op i´e ´es
des ca ac `e es simples complexes se anspo en aux R-ca ac `e es simples. On en oie le lec eu
`a [8, 10, 6, 24, 28, 4] pou une ´e ude d´e aill´ee de ces p op i´e ´es.
2.2.3. Soi [A0, n0,0, β0] une s a e simple d’une F-alg`eb e cen ale simple A0, e supposons
qu’il exis e un isomo phisme de F-alg`eb es ϕde F(β) e s F(β0) el que ϕ(β) = β0. Il exis e
alo s une bijec ion :
(2.5) CR(A,0, β)→CR(A0,0, β0)
canoniquemen associ´ee `a ϕ, appel´ee applica ion de ans e ( oi [24, 3.3.3]).
On u ilise a, dans la sec ion 4 no ammen , une ela ion d’´equi alence en e ca ac `e es simples
appel´ee endo-´equi alence. On en oie `a [6, 4] pou une d´e ini ion de ce e ela ion.
TYPES MODULO `POUR GLm(D) 9
2.3. β-ex ensions
2.3.1. Soi H un sous-g oupe ou e de G = A×e soi σune ep ´esen a ion de H. Si y∈G,
on no e Iy(σ) le R-espace HomH∩Hy(σ, σy), e on no e IG(σ) l’ensemble des y∈A×pou lesquels
Iy(σ) n’es pas nul, qu’on appelle ensemble d’en elacemen de σdans G.
2.3.2. Soien [A, n, 0, β] une s a e simple de A e B=A∩B le OE-o d e h´e ´edi ai e de B
d´e ini pa A. L’´egali ´e J(β, A) = U(B)J1(β, A) indui un isomo phisme de g oupes :
(2.6) J(β, A)/J1(β, A)≃U(B)/U1(B)
pe me an d’associe canoniquemen e bijec i emen une ep ´esen a ion de J = J(β, A) i iale
su J1= J1(β, A) `a une ep ´esen a ion de U(B) i iale su U1(B).
2.3.3. Soi θ∈C(A,0, β) un ca ac `e e simple. D’ap `es [24, 3.3.2], le no malisa eu de θdans
G con ien (K(A)∩B×)J(β, A) e son ensemble d’en elacemen dans G es J1(β, A)B×J1(β, A).
P oposi ion 2.2. — Il exis e une ep ´esen a ion i ´educ ible ηde J1, unique `a isomo phisme
p `es, don la es ic ion `a H1= H1(β, A)con ien θ. Elle poss`ede les p op i´e ´es sui an es :
(1) sa dimension su Res ´egale `a (J1: H1)1/2, sa es ic ion `a H1es un mul iple de θ, e
l’indui e de θ`a J1es un mul iple de η;
(2) elle es no malis´ee pa (K(A)∩B×)J, son ensemble d’en elacemen dans Ges ´egal `a
J1B×J1e , pou ou y∈B×, le R-espace d’en elacemen Iy(η)es de dimension 1;
(3) la ep ´esen a ion indui e de ηau g oupe U1(A)es i ´educ ible.
D´emons a ion. — Puisque R es alg´eb iquemen clos e de ca ac ´e is ique di ´e en e de p, e
puisque J1es un p o-p-g oupe, ou es ses ep ´esen a ions son semi-simples, e la p eu e exis an
dans le cas complexe ( oi [5, 8.3] e [25, P oposi ion 2.10]) s’applique.
On appelle ce e ep ´esen a ion ηla ep ´esen a ion de Heisenbe g associ´ee `a θ.
2.3.4. Une β-ex ension de η(ou de θ) es une ep ´esen a ion i ´educ ible de J p olongean η
don l’en elacemen dans G es ´egal `a JB×J. On no e B(θ) = BR(θ) l’ensemble des β-ex ensions
de θ.
Si R es le co ps des nomb es complexes, on sai d’ap `es [25] ( oi ibid., h´eo `eme 2.28) que
ou ca ac `e e simple adme une β-ex ension. On a oi que la m´e hode u ilis´ee dans [25] es
enco e alable dans le cas o`u R es quelconque, e pa cons´equen que ou R-ca ac `e e simple
adme une β-ex ension. Dans le cas o`u R = F`, on e a au pa ag aphe 2.8 commen p ou e
ce ´esul a pa ´educ ion modulo `( oi le co ollai e 2.7).
Lemme 2.3. — La ep ´esen a ion ηse p olonge `a Je , pou ou e ep ´esen a ion κde Jp o-
longean η, l’indui e de κ`a U(B)U1(A)es i ´educ ible.
D´emons a ion. — Pou p ou e l’exis ence d’une ep ´esen a ion de J p olongean η, on ep end
la p eu e de [25, Th´eo `eme 2.13] qui es enco e alable lo sque R es de ca ac ´e is ique non nulle.
Si κes un el p olongemen , on no e ρl’indui e de κ`a U(B)U1(A). Le ai que l’ensemble
d’en elacemen de κdans U(B)U1(A) soi ´egal `a J implique que l’alg`eb e des endomo phismes
de ρes de dimension 1, mais ceci ne su i pas, lo sque R es de ca ac ´e is ique non nulle, pou
en d´edui e que ρes i ´educ ible. Pou applique le c i `e e d’i ´educ ibili ´e [33, 4.2], il s’agi de
mon e que, pou ou quo ien i ´educ ible πde ρ, la ep ´esen a ion κes un ac eu di ec de
16 ALBERTO M´
INGUEZ & VINCENT S´
ECHERRE
alg`eb e de Hecke de ype A −1e de pa am`e e q0, le ca dinal du co ps ´esiduel de F0. En
d’au es e mes, il exis e un isomo phisme de R-alg`eb es :
(2.17) H(GL (OF0),I0)→H(U(Bmax), σ).
En ep enan la p eu e de ibid., lemme 4.4 e `a l’aide du lemme 2.18(4), on ob ien des homo-
mo phismes de R-alg`eb es :
(2.18) H(U(Bmax), σ)→H(Jmax, κmax ⊗σ),→H(G, λ),
le p emie ´e an un isomo phisme e le second injec i . En composan (2.17) e (2.18), on ob ien
un homomo phisme injec i Ψ de H(GL (OF0),I0) dans H(G, λ). On pose :
(2.19) h=hλ=0 id −1
$λ0∈M (Ms(D0)) = B
o`u id −1es la ma ice iden i ´e de M −1(Ms(D0)), e on ixe une onc ion ϕ∈H(G, λ) de suppo
JhJ. On a mon e qu’il exis e un unique isomo phisme de R-alg`eb es (2.16) p olongean Ψ,
p ´ese an les suppo s e p enan en la onc ion ca ac ´e is ique de IhI la aleu ϕ. Pou cela,
on ep end l’a gumen de ibid., h´eo `eme 4.6, `a ceci p `es que la p eu e de ibid., lemme 4.14, doi
ˆe e modi i´ee.
Lemme 2.22. — L’´el´emen ϕes in e sible dans H(G, λ).
D´emons a ion. — Soi ϕ0∈H(G, λ) une onc ion de suppo Jh−1J. Le p odui ϕ∗ϕ0es
un mul iple scalai e de l’´el´emen neu e dans H. Il es donc soi nul, soi in e sible, e on a
mon e que sa aleu en 1 n’es pas nulle. On ixe un ensemble X de ep ´esen an s de J modulo
J∩h−1Jh, qu’on peu suppose ˆe e con enu dans J1. On a :
ϕ∗ϕ0(1) = X
x∈X
λ(x)ϕ(h)ϕ0(h−1)λ(x)−1.
D’ap `es le lemme 2.18(2), l’op´e a eu d’en elacemen ϕ(h)∈Ih(λ) se d´ecompose sous la o me
Φκ⊗Φσa ec Φκ∈Ih(κ) e Φσ∈Ih(σ), e le lemme 2.11(2) mon e que Φσes in e sible. De
a¸con analogue, l’op´e a eu d’en elacemen ϕ0(h−1) se d´ecompose sous la o me Φ0
κ⊗Φ0
σ, o`u Φ0
σ
es l’in e se de Φσ. On a donc :
(2.20) ϕ∗ϕ0(1) = X
x∈X
η(x)ΦκΦ0
κη(x)−1⊗idσ,
o`u idσes l’iden i ´e su l’espace de σ, e l’on no e Π le ac eu de gauche de ce p odui enso iel.
Puisque J1∩h−1J1hes un p o-p-g oupe, la es ic ion de η`a celui-ci es semi-simple. Il exis e
donc un unique ac eu i ´educ ible en commun en e les es ic ions `a J1∩h−1J1hde ηe de
ηh, e l’op´e a eu ΦκΦ0
κes un mul iple non nul de la p ojec ion su ce ac eu . En an que
ep ´esen a ion lisse i ´educ ible d’un p o-p-g oupe, ce ac eu a pou dimension une puissance
de p, qui es non nulle dans R. On en d´edui que la ace de Π es non nulle, ce qui e mine la
d´emons a ion du lemme 2.22.
`
A pa i de l`a, on e mine en ep enan l’a gumen de ibid., h´eo `eme 4.6. Ceci me in `a la
p eu e de la p oposi ion 2.21.
Comp e enu de ce qui p ´ec`ede, on ob ien le ´esul a sui an .
Co ollai e 2.23. — Tou ´el´emen non nul de H(G, λ)suppo ´e pa une double classe JyJ, a ec
y∈IG(λ), es in e sible.

TYPES MODULO `POUR GLm(D) 17
2.6. Pai es cou an es
Dans ce pa ag aphe, on appelle quelques ai s conce nan la h´eo ie des pai es cou an es.
Pou plus de d´e ails, on en oie le lec eu `a [9, 32]. On ixe m⩾1 e on pose G = Gm.
2.6.1. Soi τune ep ´esen a ion i ´educ ible d’un sous-g oupe ou e compac K de G. Il
lui co espond la R-alg`eb e H=H(G, τ) d´e inie au pa ag aphe 1.5 e le onc eu :
(2.21) Mτ:σ7→ HomK(τ, σ)
de R=RR(G) e s la ca ´ego ie des H-modules `a d oi e. Pa ´ecip oci ´e de F obenius, celui-ci
s’iden i ie au onc eu σ7→ HomG(indG
K(τ), σ).
2.6.2. Soi M un sous-g oupe de Le i de G e soi τMune ep ´esen a ion i ´educ ible d’un
sous-g oupe ou e compac KMde M. Soi P un sous-g oupe pa abolique de G de ac eu de
Le i M e soien U e U− espec i emen son adical unipo en e le adical unipo en oppos´e `a
U pa appo `a M.
D´e ini ion 2.24. — On di que (K, τ) es une pai e P-cou an e de (KM, τM) si :
(1) on a l’´egali ´e KM= K ∩M e une d´ecomposi ion d’Iwaho i :
K = (K ∩U−)·(K ∩M) ·(K ∩U) ;
(2) la es ic ion de τ`a KMes ´egale `a τMe les sous-g oupes K ∩U−e K ∩U son con enus
dans le noyau de τ;
(3) il exis e dans le cen e de M un ´el´emen z o emen P-n´ega i au sens de la d´e ini ion
6.16 de [9] e el que Hcon ienne un ´el´emen in e sible de suppo KzK.
Si (K, τ) es P-cou an e pou ou sous-g oupe pa abolique P de G de ac eu de Le i M, on
di simplemen que c’es une pai e cou an e.
Rema que 2.25. — L’alg`eb e de Hecke u ilis´ee dans [9] es l’alg`eb e de Hecke associ´ee `a la
con ag ´edien e (K, τ∨). Elle es oppos´ee `a H( oi ibid., 2.3) ce qui explique que zes suppos´e
n´ega i (e non pas posi i ) dans la condi ion 3.
Exemple 2.26. — On ep end les no a ions de l’exemple 2.10, e on no e M le sous-g oupe de
Le i de GLm(D) cons i u´e des ma ices diagonales. Alo s le couple (I,1I) es une pai e cou an e
de (I ∩M,1I∩M).
2.6.3. On suppose que (K, τ) es une pai e cou an e de (KM, τM). On a ix´e au pa ag aphe
1.3 une acine ca ´ee de qdans R. Il lui co espond un homomo phisme injec i de R-alg`eb es :
(2.22) jP:H(M, τM)→H(G, τ)
aisan de Hun module `a gauche su HM=H(M, τM) ( oi [32, II.10] : pou la aison donn´ee `a
la ema que 2.25, l’homomo phisme jPp ´ese e les suppo s des onc ions de HMsuppo ´ees pa
les ´el´emen s P-n´ega i s de M, e non pas P-posi i s comme dans [9]). Ce homomo phisme d´e ini
un onc eu de es ic ion, no ´e j∗
P, de la ca ´ego ie des H-modules `a d oi e e s la ca ´ego ie des
HM-modules `a d oi e. Pou ou e ep ´esen a ion σde G, la p ojec ion na u elle de σ e s son
module de Jacque G
P(σ) indui un isomo phisme :
(2.23) j∗
P(Mτ(σ)) ≃
−→ MτM G
P(σ)
de HM-modules `a d oi e ( oi [32, II.10.1]).
18 ALBERTO M´
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ECHERRE
Rema que 2.27. — On d´edui de (2.23) que, si une ep ´esen a ion σde G con ien une pai e
cou an e, alo s G
P(σ) es non nul. En pa iculie , si une ep ´esen a ion i ´educ ible σde G
con ien une pai e cou an e pou M 6= G, alo s σn’es pas cuspidale.
D’ap `es Blondel [1, II] ( oi aussi Da [12, 2]), on a un isomo phisme :
(2.24) ΦP: indG
K(τ)→iG
PindM
KM(τM),ΦP( )(g)(x) = Z
U
(uxg)du,
de ep ´esen a ions de G e de HM-modules `a gauche, o`u du es la mesu e de Haa su U no -
malis´ee de elle so e que K ∩U soi de olume 1, a ec ∈indG
K(τ), g∈G e x∈M.
P oposi ion 2.28. — Soi σune ep ´esen a ion de Mengend ´ee pa sa composan e τM-iso y-
pique. Alo s l’indui e iG
P(σ)es engend ´ee pa sa composan e τ-iso ypique.
D´emons a ion. — Pa hypo h`ese, σes quo ien d’une somme di ec e de copies de indM
KM(τM),
c’es -`a-di e qu’il exis e un ensemble S e un homomo phisme su jec i de ep ´esen a ions de M :
M
S
indM
KM(τM)→σ.
Si l’on applique le onc eu exac iG
P(qui commu e aux sommes di ec es a bi ai es) e la o mule
(2.24), on oi que l’indui e pa abolique iG
P(σ) es un quo ien d’une somme de copies de indG
K(τ),
c’es -`a-di e qu’elle es engend ´ee pa sa composan e τ-iso ypique.
2.7. Types semi-simples
Soi A la F-alg`eb e cen ale simple Mm(D) e soi G = Gm.
2.7.1. Soi α= (m1, . . . , m ) une amille d’en ie s ⩾1 de somme m. On pose M = Mαe
P = Pα. Pou i∈ {1, . . . , }, soi (Ji, λi) un ype simple maximal de Gmi. On pose :
(2.25) JM= J1× · · · × J
e on no e λMla ep ´esen a ion λ1⊗ · · · ⊗ λ de JM.
D´e ini ion 2.29. — Un couple de la o me (JM, λM) es appel´e un R- ype simple maximal de
M.
Pou chaque en ie i, on ixe une s a e simple [Ai, ni,0, βi] de Mmi(D) e un ca ac `e e simple
θi∈C(Ai,0, βi) con enu dans λi, e on suppose que Aies s anda d. De ce ai , on a Ji= J(βi,Ai)
e le quo ien de ce g oupe pa J1
i= J1(βi,Ai) es isomo phe `a GLsi(ki), pou un ce ain en ie
si⩾1 e une ce aine ex ension kide kF. On pose J1
M= J1
1× · · · × J1
.
On ixe une sui e de OD- ´eseaux Lde Dm( oi [29, De ini ion 1.1]) sa is aisan aux condi ions
de ibid.,§7.2. D’ap `es loc. ci ., ces donn´ees d´e inissen des sous-g oupes ou e s compac s :
(2.26) K = K(L),K1= K1(L)=K∩U1(L),
de G poss´edan les p op i´e ´es sui an es :
(1) K e K1adme en une d´ecomposi ion d’Iwaho i pa appo `a (M,P0), pou ou sous-
g oupe pa abolique P0de G de ac eu de Le i M ;
(2) on a K ∩M = JMe K1∩M = J1
M;
TYPES MODULO `POUR GLm(D) 19
(3) K1es un p o-p-sous-g oupe dis ingu´e de K e :
(2.27) K/K1≃JM/J1
M≃GLs1(k1)× · · · × GLs (k ).
Il exis e donc une unique ep ´esen a ion τde K p olongean λM, d´e inie pa la o mule :
(2.28) τ(uxu0) = λM(x), u ∈K∩U−, x ∈K∩M, u0∈K∩U.
2.7.2. On suppose que ous les ca ac `e es simples θ1, . . . , θ son endo-´equi alen s [4]. Il
su i a de sa oi ici que, sous ce e condi ion, on peu suppose que les βison ous ´egaux `a un
mˆeme βe que les θison ans e s les uns des au es. On no e Al’o d e s anda d de Mm(D)
don les blocs diagonaux son les Ai,i∈ {1, . . . , }e on no e θ∈C(A,0, β) le ans e de θi
(qui ne d´epend pas du choix de i). On pose E = F(β). Dans ce cas, on a ( oi [29, 7.1]) :
(2.29) K = K(A)=H1(β, A)(J(β, A)∩P),K1= K1(A) = H1(β, A)(J1(β, A)∩P).
On ixe une β-ex ension κde θe on no e κla ep ´esen a ion de K su l’espace des ec eu s
K∩U-in a ian s de κ. Sa es ic ion `a JMes de la o me κ1⊗· · ·⊗κ , o`u κies une β-ex ension
de θi. Pou i= 1, . . . , , on ´ec i λisous la o me κi⊗σi. On ´euni les σisui an leu classe de
conjugaison sous Γ = Gal(kD0/kE), ce qui d´e ini une pa i ion :
{1, . . . , }= I1∪ · · · ∪ Iu
a ec u⩾1, puis un sous-g oupe de Le i L de G con enan M, qu’on ´ec i L1× · · · × Lu, o`u
chaque Ljes isomo phe `a G jpou un ce ain j⩾1.
Rema que 2.30. — Qui e `a conjugue chaque (Ji, λi), i∈Ij, pa un ´el´emen con enable de
Gmi, on peu suppose que les σi,i∈Ij, son ous isomo phes, e donc que l’en ie mi, la s a e
[Ai, ni,0, βi], le ca ac `e e θie la β-ex ension κine d´ependen pas de i∈Ij. C’es ce qu’on ai
dans la sui e du pa ag aphe.
On no e σla ep ´esen a ion σ1⊗ · · · ⊗ σ consid´e ´ee comme ep ´esen a ion de K i iale su
K1. Rema quons que τ=κ⊗σe que K es un sous-g oupe de J = J(β, A).
P oposi ion 2.31. — On suppose que ous les (Ji, λi)son ´egaux `a un mˆeme ype simple max-
imal (J1, λ1). Alo s (K, τ)es une pai e cou an e de (JM, λM), e l’applica ion :
(2.30) λ17→ indJ
K(τ)
indui une bijec ion de T(θ1)dans T(θ)( oi les no a ions du pa ag aphe 2.5.1).
D´emons a ion. — L’hypo h`ese su les (Ji, λi) implique que u= 1, c’es -`a-di e que L = G. On
p oc`ede comme dans [26, 5.2.3] au moyen de la p oposi ion 2.6 e du co ollai e 2.23.
Exemple 2.32. — On ep end les no a ions de l’exemple 2.26 e on iden i ie M `a D×m. Si l’on
choisi (J1, λ1)=(O×
D,1O×
D), alo s K = J = I e la pai e cou an e lui co espondan pa la
p oposi ion 2.31 es (I,1I).
Pou j= 1, . . . , u, on no e Mjle p odui des Gmipou i∈Ij(c’es un sous-g oupe de Le i de
Lj) e (JMj, λMj) le p odui des (Ji, λi) pou i∈Ij. Comp e enu de la ema que 2.30, on peu
o me la pai e cou an e (Kj, τj) de (JMj, λMj) donn´ee pa la p oposi ion 2.31 ( ela i emen `a
un sous-g oupe pa abolique Pjde Ljde ac eu Mj). On pose :
KL= K1× · · · × Ku, τL=τ1⊗ · · · ⊗ τu.
Pa cons uc ion, (KL, τL) es une pai e cou an e de (JM, λM).
20 ALBERTO M´
INGUEZ & VINCENT S´
ECHERRE
P oposi ion 2.33. — (1) (K, τ)es une pai e cou an e de (KL, τL), e donc de (JM, λM).
(2) La es ic ion `a Ld´e ini un isomo phisme de R-alg`eb es de H(G, τ)su H(L, τL).
D´emons a ion. — Dans le cas complexe, le ´esul a es donn´e pa [29, P oposi ion 8.1]. On
ep end la p eu e de [28, P oposi ion 5.17], dans laquelle (K, τ) es no ´ee (JP, ϑP). Pou le calcul
de IG(τ), on emplace [17, P oposi ion 1.2] pa le lemme 2.11. La p eu e de [28, Th´eo `eme
5.10] (dans laquelle κes no ´ee κP) es enco e alable, qui e `a emplace [8, P oposi ion 5.1.8]
pa [28, P oposi ion 5.5(ii)], qui es enco e aie dans le cas modulai e puisque K1(no ´e J1
P) es
un p o-p-g oupe. Aussi a- -on :
IG(τ)⊆K·(L ∩B×)·K,
de so e que la es ic ion de G `a L d´e ini un isomo phisme de R-alg`eb es de H(G, τ) su
H(L, τL) ( oi [32, II.8]). Le es e de la p eu e se ai comme dans [28, P oposi ion 5.17]. En
pa iculie , l’a gumen de [10, Lemma 3.9] es enco e alable, la cons an e ces ´egale `a l’indice
de K ∩ζ−1Kζdans K (a ec les no a ions de loc. ci .), qui es une puissance de pg ˆace `a la
d´ecomposi ion d’Iwaho i de K.
2.7.3. On ´euni les ca ac `e es simples θisui an leu classe d’endo-´equi alence ( oi [4]), ce
qui d´e ini une pa i ion :
(2.31) {1, . . . , }= I1∪ · · · ∪ I , ⩾1,
puis un sous-g oupe de Le i S de G con enan M, qu’on ´ec i S1×· · ·×S . D’ap `es le pa ag aphe
2.7.2, il co espond `a chaque k= 1, . . . , une pa i ion Ik,1∪ · · · ∪ Ik,ukde Ike une ex ension
inie F0
kde F. On no e nk,j le ca dinal de Ik,j e on pose :
(2.32) G0=
Y
k=1
uk
Y
j=1
GLnk,j (F0
k).
Pou k∈ {1, . . . , }, on o me la pai e cou an e (Kk, τk) donn´ee pa la p oposi ion 2.33 `a pa i
des (Ji, λi), i∈Ik. On pose :
KS= K1× · · · × K , τS=τ1⊗ · · · ⊗ τ .
Pa cons uc ion, (KS, τS) es une pai e cou an e de (JM, λM). On no e I0le sous-g oupe d’Iwa-
ho i s anda d de G0, qui es le p odui des sous-g oupes d’Iwaho i s anda ds de GLnk,j (F0
k).
P oposi ion 2.34. — (1) (K, τ)es une pai e cou an e de (KS, τS), donc de (JM, λM).
(2) La es ic ion `a Sd´e ini un isomo phisme de R-alg`eb es de H(G, τ)su H(S, τS), e on
a un isomo phisme de R-alg`eb es :
Ψ : H(G0,I0)→H(G, τ)
p ´ese an les suppo s.
D´emons a ion. — Dans le cas complexe, le ´esul a es donn´e pa [29, Theo em 8.2]. On e-
p end la p eu e de [28, Co ollai e 4.6], dans laquelle la pai e (K, τ) es no ´ee (˜
K, %). L’a gumen
de [10, Co olla y 6.6] es enco e alable, la cons an e ces ´egale `a l’indice de ˜
K∩ζ−1˜
Kζdans ˜
K
(a ec les no a ions de loc. ci .), qui es une puissance de pg ˆace `a la d´ecomposi ion d’Iwaho i
de ˜
K.
TYPES MODULO `POUR GLm(D) 21
2.7.4. On d´e ini main enan la no ion de ype semi-simple.
D´e ini ion 2.35. — Un ype semi-simple de G es une pai e cou an e (K, τ) d’un ype simple
maximal d’un sous-g oupe de Le i de G, d´e inie pa la p oposi ion 2.34.
C’es coh´e en a ec la d´e ini ion 2.8, c’es -`a-di e qu’un ype semi-simple de ni eau 0 de G es
un ype semi-simple au sens de la d´e ini ion 2.35.
Rema que 2.36. — Un ype semi-simple associ´e pa la p oposi ion 2.34 `a un ype simple maxi-
mal d’un sous-g oupe de Le i M (d´e ini ion 2.29) es simple si e seulemen si on es dans l’un
des deux cas sui an s :
(1) On a M = G, auquel cas ce ype semi-simple es simple maximal.
(2) La pai e (JM, λM) don ce ype semi-simple es une pai e cou an e es , `a conjugaison
p `es pa M, de la o me λM=λ0⊗ · · · ⊗ λ0a ec λ0un ype simple maximal de ni eau 0, auquel
cas on es dans la si ua ion de la p oposi ion 2.31 a ec J = K.
P oposi ion 2.37. — Soi πune ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale de G. Si πcon ien un
ype semi-simple, alo s ce ype semi-simple es simple maximal.
D´emons a ion. — D’ap `es la ema que 2.27, ce ype semi-simple ne peu pas ˆe e une pai e
cou an e ela i emen `a un sous-g oupe de Le i p op e de G. Pa cons´equen , il es donn´e pa
la p oposi ion 2.31 a ec M = G. C’es donc un ype simple maximal.
2.8. R´educ ion des ypes simples e semi-simples
Soi `un nomb e p emie di ´e en de p, e soi [A, n, 0, β] une s a e simple de A. On ixe des
homomo phismes ιp,Q`e ιp,F`( oi le pa ag aphe 2.2) els que, pou ou x∈µp∞(C), l’image
de ιp,Q`(x) dans F`soi ´egale `a ιp,F`(x).
2.8.1. On pose J = J(β, A), J1= J1(β, A) e H1= H1(β, A).
P oposi ion 2.38. — Pou ou en ie 0⩽m⩽−k0(β, A)−1, la ´educ ion modulo `d´e ini
une bijec ion de CQ`(A, m, β) e s CF`(A, m, β).
On appelle a el`e emen d’un F`-ca ac `e e simple θ∈CF`(A, m, β) son image ´ecip oque dans
CQ`(A, m, β) pa ce e bijec ion.
P oposi ion 2.39. — Soi θ∈CF`(A,0, β)un F`-ca ac `e e simple, soi ˜
θle el`e emen de θ`a
CQ`(A,0, β)e soi ˜κune β-ex ension de ˜
θ.
(1) Si kes une s uc u e en i`e e de ˜κ, alo s k⊗F`es une β-ex ension de θ.
(2) L’homomo phisme de ´educ ion `indui une su jec ion de BQ`(˜
θ)su BF`(θ).
D´emons a ion. — La p eu e es analogue `a celle donn´ee dans [31, III.4.18]. On no e κla F`-
ep ´esen a ion k⊗F`de J. La es ic ion de ˜κ`a H1es un mul iple de ˜
θ, donc la es ic ion
de κ`a H1es un mul iple de θ. La es ic ion de κau p o-p-g oupe J1con ien donc e es
de mˆeme dimension que la ep ´esen a ion de Heisenbe g η. En in, d’ap `es [31, Lemme I.9.8],
l’en elacemen de κdans G es ´egal `a JB×J. C’es donc une β-ex ension de θ.

22 ALBERTO M´
INGUEZ & VINCENT S´
ECHERRE
Soi main enan κ0une β-ex ension de θ. D’ap `es le lemme 2.4, il exis e un F`-ca ac `e e χ
de k×
E el que κsoi isomo phe `a κ0χ, c’es -`a-di e que `(˜κ) es ´egale `a κ0χ. Si l’on no e αle
el`e emen de Teichm¨ulle de χ−1, alo s l’image de ˜κ0αpa `es κ0.
Rema que 2.40. — Deux β-ex ensions de ˜
θon des ´educ ions mod `isomo phes si e seule-
men si elles son o dues l’une de l’au e pa un Q`-ca ac `e e d’o d e une puissance de `.
2.8.2. Soien kun co ps ini de ca ac ´e is ique pe kune clˆo u e alg´eb ique de k. Pou ou
n⩾1, on no e knl’ex ension de kde deg ´e ncon enue dans k. Si R es Q`ou F`, on no e Xn(R)
l’ensemble des R-ca ac `e es de k×
ndon l’o bi e sous Gal(k/k) es de ca dinal n. D’ap `es G een
[18], on a une co espondance su jec i e :
(2.33) ˜χ7→ σ(˜χ)
de Xn(Q`) e s l’ensemble des classes de Q`- ep ´esen a ions i ´educ ibles cuspidales de GLn(k),
e l’ensemble des an ´ec´eden s de σ(˜χ) pa (2.33) es l’o bi e de ˜χsous Gal(k/k).
Th´eo `eme 2.41 (James [20]). — Soi un en ie n⩾1.
(1) Pou ou ˜χ∈Xn(Q`), la ep ´esen a ion `(σ(˜χ)) es i ´educ ible e cuspidale, e elle ne
d´epend que de la ´educ ion modulo `de ˜χ.
(2) On a une co espondance su jec i e :
(2.34) χ7→ σ(χ) = `(σ(˜χ))
de l’ensemble des F`-ca ac `e es χde k×
nadme an un el`e emen dans Xn(Q`) e s l’ensemble
des classes de F`- ep ´esen a ions i ´educ ibles cuspidales de GLn(k); l’ensemble des an ´ec´eden s
de σ(χ)es l’o bi e de χsous Gal(k/k).
(3) La ep ´esen a ion σ(χ)es supe cuspidale si e seulemen si χ∈Xn(F`).
On en d´edui le ´esul a sui an .
P oposi ion 2.42. — Soi (U(A),˜σ)un Q`- ype simple de ni eau 0de G, o`u Aes un o d e
h´e ´edi ai e de G.
(1) Si ses une s uc u e en i`e e de ˜σ, alo s s⊗F`es un F`- ype simple de ni eau 0de G.
(2) L’homomo phisme de ´educ ion `indui une su jec ion de TQ`(A)su TF`(A).
D´emons a ion. — En consid´e an un ype simple de ni eau 0 comme une ep ´esen a ion du
quo ien U(A)/U1(A), on se am`ene au p obl`eme de la ´educ ion des ep ´esen a ions i ´educ ibles
cuspidales du g oupe ini GLs(kD) a ec s⩾1.
2.8.3. On ´edui main enan les ypes simples e semi-simples.
P oposi ion 2.43. — Soi θ∈CF`(A,0, β)un F`-ca ac `e e simple e soi ˜
θle el`e emen de θ
`a CQ`(A,0, β).
(1) Si les une s uc u e en i`e e d’un Q`- ype simple con enan ˜
θ, alo s l⊗F`es un F`- ype
simple con enan θ.
(2) L’homomo phisme de ´educ ion `indui une su jec ion de TQ`(˜
θ)su TF`(θ).
D´emons a ion. — On ixe un Q`- ype simple ˜
λcon enan ˜
θ, qu’on ´ec i ˜κ⊗˜σ. Si ke sson
des s uc u es en i`e es de ˜κe ˜σ espec i emen , k⊗ses une s uc u e en i`e e de ˜
λ. Le ´esul a
es alo s une cons´equence des p oposi ions 2.39 e 2.42.
TYPES MODULO `POUR GLm(D) 23
La p oposi ion 2.43 mon e que l’exis ence des F`- ypes simples se d´edui de celle des Q`- ypes
simples p ou ´ee dans [24, 25]. On e mine ce e sec ion pa le ´esul a sui an .
P oposi ion 2.44. — Soi Mun sous-g oupe de Le i de G, soi (JM, λM)un F`- ype simple
maximal de Me soi (JM,˜
λM)un Q`- ype simple maximal de M ele an (JM, λM).
(1) Si es une s uc u e en i`e e d’un Q`- ype semi-simple de Gassoci´e `a (JM,˜
λM), alo s
⊗F`es un F`- ype semi-simple de Gassoci´e `a (JM, λM).
(2) Pou ou F`- ype semi-simple (K, τ)de Gassoci´e `a (JM, λM), il exis e un Q`- ype semi-
simple de Gassoci´e `a (JM,˜
λM)don la ´educ ion modulo `soi isomo phe `a τ.
3. Rep ´esen a ions cuspidales de GLm(D)
Soi m⩾1 un en ie e soi G = GLm(D). Dans ce e sec ion, on e ec ue la classi ica ion des
ep ´esen a ions i ´educ ibles cuspidales de G en e mes de ypes simples maximaux ( h´eo `eme
3.4). Ceci a ´e ´e ai pa Bushnell-Ku zko [8] e S´eche e-S e ens [28] dans le cas complexe e
pa Vign´e as [31] pou GLn(F) dans le cas modulai e. Ce e classi ica ion pe me d’associe
ce ains in a ian s `a une ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale de G (pa ag aphe 3.4).
On ´e udie ensui e les p obl`emes de la ´educ ion e du el`e emen des ep ´esen a ions i ´educ-
ibles cuspidales de G. On mon e que, con ai emen au cas d´eploy´e ai ´e dans [31], une Q`- e-
p ´esen a ion i ´educ ible cuspidale en i`e e de G ne se ´edui pas oujou s en une ep ´esen a ion
i ´educ ible ( h´eo `eme 3.15) e qu’une F`- ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale de G n’adme pas
oujou s un el`e emen (pa ag aphe 3.6). N´eanmoins, on p ou e que ou e F`- ep ´esen a ion i -
´educ ible supe cuspidale adme un el`e emen ( oi le h´eo `eme 3.26), e on donne dans le cas
o`u D es commu a i e une nou elle p eu e du h´eo `eme de Vign´e as selon lequel la ´educ ion
modulo `d’une Q`- ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale en i`e e es i ´educ ible (co ollai e 3.18
e ema que 3.19).
3.1. Types simples maximaux
Soien (J, λ) un ype simple maximal de G = Gme N = NG(λ) son no malisa eu dans G.
P oposi ion 3.1. — Pou ou e ep ´esen a ion Λp olongean λ`a N, l’indui e indG
N(Λ) es une
ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale de G. En ou e, l’applica ion :
(3.1) Λ 7→ indG
N(Λ)
indui une bijec ion en e p olongemen s de λ`a Ne classes d’isomo phisme de ep ´esen a ions
i ´educ ibles cuspidales de Gcon enan λ.
D´emons a ion. — La p eu e s’inspi e de [33] mais des modi ica ions doi en ˆe e appo ´ees.
Soi (J, λ) un ype simple de G, qu’on d´ecompose sous la o me λ=κ⊗σ, e soi Λ une e-
p ´esen a ion de N p olongean λ. Puisque l’en elacemen de Λ dans G es ´egal `a N ( ema que
2.20), la R-alg`eb e des endomo phismes de indG
N(Λ) es isomo phe `a R.
Lemme 3.2. — La ep ´esen a ion de Nsu la composan e η-iso ypique de indG
N(Λ) es isomo -
phe `a la somme di ec e des Λn, a ec n∈NB×(U)J/N.
Rema que 3.3. — Dans le cas o`u D = F, les g oupes NB×(U) e NB×(σ) son ´egaux, de
so e que la ep ´esen a ion de N su la composan e η-iso ypique de indG
N(Λ) es i ´educ ible e
isomo phe `a Λ : oi [33, Co olla y 8.4].
24 ALBERTO M´
INGUEZ & VINCENT S´
ECHERRE
D´emons a ion. — Il su i de ep end e la p eu e de [33, P oposi ion 8.3] en p enan ga de
`a la di ´e ence en e le B×-no malisa eu de U e celui de σ: la composan e η-iso ypique de
indG
N(Λ) se d´ecompose en la somme di ec e des HomJ1∩Ng(η, Λg) pou gd´ec i an un sys `eme
de ep ´esen an s de G modulo (N,J1). Pa cuspidali ´e de σ, ces espaces son nuls sau pou
g∈NB×(U)J1. Le ´esul a s’ensui .
On pose main enan N◦= NB×(U)J, e on a le co ollai e sui an au lemme 3.2.
Co ollai e 3.4. — La ep ´esen a ion de N◦su la composan e η-iso ypique de indG
N(Λ), no ´ee
Λ◦, es i ´educ ible e isomo phe `a l’indui e de Λ`a N◦.
Pou applique le c i `e e d’i ´educ ibili ´e [33, 4.2], il s’agi de mon e que, pou ou quo ien
i ´educ ible πde indG
N(Λ), la ep ´esen a ion Λ◦es un quo ien de la es ic ion de π`a N◦. Soi
πun el quo ien i ´educ ible ; puisque l’indui e compac e de Λ◦`a G es isomo phe `a indG
N(Λ),
la es ic ion de π`a N◦con ien Λ. Pa ailleu s, puisque J1es un p o-p-g oupe, la composan e
η-iso ypique de πes un quo ien de celle de indG
N(Λ) comme ep ´esen a ion de N◦, qui es
isomo phe `a Λ◦d’ap `es le co ollai e 3.4. Mais c’es aussi un ac eu di ec de la es ic ion de π
`a J1(qui es semi-simple), de so e que πa la p op i´e ´e a endue. En in, indG
N(Λ) es cuspidale,
puisque ses coe icien s son `a suppo compac modulo le cen e de G ( oi [31, II.2.7]).
Il ne es e qu’`a p ou e que (3.1) es bijec i e. No ons Z le cen e de G e ixons un ca ac `e e
ω: Z →R×don la es ic ion `a J∩Z co¨ıncide a ec le ca ac `e e pa lequel agi λ|J∩Z. On no e λω
l’unique ep ´esen a ion de JZ p olongean λe de ca ac `e e cen al ω. On a p ou e que (3.1)
indui une bijec ion en e p olongemen s de λω`a N e classes d’isomo phisme de ep ´esen a ions
i ´educ ibles cuspidales de G con enan λω. Pa un a gumen similai e `a celui de [31, III.4.27],
la ep ´esen a ion λωadme un p olongemen Λ `a N e l’applica ion χ7→ Λχes une bijec ion
en e les ca ac `e es de N i iaux su JZ e les p olongemen s de λω`a N. On en d´edui que
(3.1) es injec i e. Si main enan ρes une ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale de G con enan
λω, alo s ρes un quo ien de indG
N(Λ ⊗R[N/JZ]). Il exis e donc un ca ac `e e χde N i ial
su JZ el que ρsoi un quo ien de (e donc soi isomo phe `a) indG
N(Λχ). Ceci me in `a la
d´emons a ion de la p oposi ion 3.1.
Un couple de la o me (N,Λ) p odui `a pa i d’un ype simple maximal (J, λ) de G es appel´e
un ype simple maximal ´e endu de G.
3.2. Rep ´esen a ions cuspidales de ni eau 0
Rappelons qu’une ep ´esen a ion i ´educ ible de G es de ni eau 0 s’il exis e un OF-o d e
h´e ´edi ai e Ade A = Mm(D) el qu’elle poss`ede un ec eu non nul in a ian pa U1(A).
Th´eo `eme 3.5. — Tou e ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale de ni eau 0de Gcon ien un
ype simple maximal de ni eau 0.
D´emons a ion. — Soi ρune ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale de ni eau 0 de G, e soi Aun
o d e h´e ´edi ai e minimal pa mi ceux pou lesquels ρa des ec eu s in a ian s pa U1= U1(A),
que l’on peu suppose s anda d. On pose U = U(A). On a un isomo phisme de g oupes :
(3.2) U/U1→GLm1(kD)× · · · × GLm (kD),
o`u ⩾1 es la p´e iode de Ae les mides en ie s don la somme es ´egale `a m. De ce e a¸con, le
g oupe de Galois Gal(kD/kF) op`e e su l’ensemble des classes d’isomo phisme de ep ´esen a ions
de U/U1.
TYPES MODULO `POUR GLm(D) 25
Lemme 3.6. — Il exis e une ep ´esen a ion i ´educ ible σde U i iale su U1 elle que
HomU(σ, ρ)6= 0, e qui es cuspidale en an que ep ´esen a ion de U/U1.
D´emons a ion. — L’exis ence d’une ep ´esen a ion i ´educ ible σde U i iale su U1 elle que
HomU(σ, ρ)6= 0 es donn´ee pa le lemme 2.16. Pou p ou e que σes cuspidale en an que
ep ´esen a ion de U/U1, on peu ep end e l’a gumen de [31, III.3.2].
Fixons une ep ´esen a ion σde U sa is aisan aux condi ions du lemme 3.6. Le couple (U, σ)
es un ype semi-simple. D’ap `es la p oposi ion 2.37, puisque ce ype semi-simple appa aˆı dans
une ep ´esen a ion cuspidale, c’es un ype simple maximal, ce qui me in `a la d´emons a ion
du h´eo `eme 3.5.
3.3. Rep ´esen a ions cuspidales de ni eau non nul
L’obje de ce pa ag aphe es de d´emon e le ´esul a sui an .
Th´eo `eme 3.7. — Tou e ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale de ni eau non nul de Gcon ien
un ype simple maximal de ni eau non nul.
Soi ρune ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale de ni eau non nul de G. Dans un p emie
emps, il s’agi de mon e que ρcon ien un ca ac `e e simple. Comme au pa ag aphe 2.2, on
ixe un homomo phisme injec i ιp,Rdu g oupe des acines complexes de l’uni ´e d’o d e une
puissance de p e s R×e un ca ac `e e ψF,C: F →C× i ial su pFmais pas su OF.`
A une
s a e [A, n, n −1, β] de A = Mm(D) co espond le ca ac `e e :
(3.3) ψβ:x7→ ιp,R◦ψF,C◦ A/F(β(x−1))
du sous-g oupe ou e compac Un(A).
Lemme 3.8. — Il exis e une s a e simple [A, n, n −1, β]de A elle que la es ic ion de ρ`a
Un(A)con ienne ψβ.
D´emons a ion. — La d´emons a ion de B oussous [3] dans le cas complexe, elle-mˆeme inspi ´ee
de celle de Bushnell e Ku zko [10] conce nan GLn(F), s’adap e ici. Rappelons-en les p incipales
´e apes.
(1) D’abo d, on mon e que ou e ep ´esen a ion de G de ni eau non nul con ien une s a e
ondamen ale au sens de [28, D´e ini ion 3.9].
(2) Ensui e, on mon e qu’une ep ´esen a ion de G de ni eau non nul con enan une s a e
ondamen ale scind´ee (au sens de [28, D´e ini ion 3.9]) a un module de Jacque non nul ela i e-
men `a un sous-g oupe pa abolique p op e de G.
(3) En in, on mon e que ou e ep ´esen a ion de G de ni eau non nul con enan une s a e
ondamen ale non scind´ee de A con ien ´egalemen une s a e simple de A.
L’´e ape 1 ( oi pa exemple [19]) epose su [3, P oposi ion 1.2.2] qui ne d´epend pas du co ps
R. L’´e ape 2 epose p incipalemen su les p oposi ions 2.3.2 e 2.4.3 de [3] (qui co esponden
espec i emen au h´eo `eme 3.7 e au lemme 3.9 de [10]) ; la p emi`e e es ind´ependan e du
co ps R, e la p eu e de la seconde es e alable dans le cas modulai e. L’´e ape 3 epose su [3,
Th´eo `eme 1.2.5], qui ne d´epend pas du co ps R.
Lemme 3.9. — Il exis e une s a e simple [A, n, 0, β]de Ae un ca ac `e e simple θdans
C(β, 0,A) els que la es ic ion de ρ`a H1(β, A)con ienne θ.
32 ALBERTO M´
INGUEZ & VINCENT S´
ECHERRE
D´emons a ion. — Soi (J, λ) un F`- ype simple maximal de G con enu dans ρ. D’ap `es la p o-
posi ion 2.43, il y a un Q`- ype simple maximal (J,˜
λ) ele an λe , d’ap `es la p oposi ion 3.25,
on peu le choisi de elle so e que ˜
N = N (a ec les no a ions de la p eu e du h´eo `eme 3.22).
La in de la p eu e es la mˆeme que celle du h´eo `eme 3.22.
Rema que 3.27. — Dans le cas banal, c’es -`a-di e lo sque l’o d e de qddans F×
`es s ic emen
sup´e ieu `a m, ou e ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale es supe cuspidale, e le h´eo `eme 3.26
s’applique ( oi [22]).
Exemple 3.28. — On a donne un exemple de F`- ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale n’ad-
me an aucun el`e emen `a Q`. D’ap `es le co ollai e 3.25, il su i de ou e un exemple o`u
la quan i ´e (3.21) es >1. On ixe une alg`eb e qua e nionique D su F. Soi (U, σ) un F`- ype
simple de ni eau 0 de GL2(D). On peu suppose que U = GL2(OD) e consid´e e σcomme
une F`- ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale de GL2(kD). On ixe une ex ension quad a ique k
de kD. D’ap `es le pa ag aphe 2.8.2, la ep ´esen a ion σes pa am´e ´ee pa un F`-ca ac `e e χde
k×adme an un el`e emen :
(3.22) ˜χ:k×→Q×
`
el que ˜χq26= ˜χ. On no e ˜σla Q`- ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale de GL2(kD) pa am´e ´ee
pa ˜χ. C’es un el`e emen de σ. On suppose que :
(3.23) χq2=χ,
c’es -`a-di e que la ep ´esen a ion σn’es pas supe cuspidale. Soi ρune F`- ep ´esen a ion i ´e-
duc ible de GL2(D) don la es ic ion `a U con ien σ, e soi ˜ρune Q`- ep ´esen a ion i ´educ ible
don la es ic ion `a U con ien ˜σ. Ce son des ep ´esen a ions cuspidales de ni eau 0. Si b(ρ) = 2,
alo s ρse el`e e en ˜ρpuisque l’en ie b(˜ρ) di ise 2 e es un mul iple de b(ρ) = 2. On suppose
main enan que b(ρ) = 1, de so e qu’on a :
(3.24) χq=χ.
Pou que ρse el`e e en une Q`- ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale de GL2(D), il au e su i
qu’on puisse choisi ˜σde so e que son o bi e sous l’ac ion de Gal(kD/kF) soi de ca dinal 1. En
d’au es e mes, il au e su i que χadme e un el`e emen ˜χ el que :
(3.25) ˜χq2= ˜χq6= ˜χ,
ce qui es impossible. En conclusion, une F`- ep ´esen a ion ρi ´educ ible cuspidale non supe -
cuspidale de ni eau 0 de GL2(D) a un el`e emen `a Q`si e seulemen si b(ρ) = 2.
Exemple 3.29. — Si q= 4 e `= 17, le g oupe k×es le p odui di ec d’un g oupe cyclique
d’o d e 15 pa un g oupe d’o d e 17. Un F17-ca ac `e e de k×es i ial su le ac eu d’o d e 17 e
´e i ie donc la condi ion (3.23), c’es -`a-di e qu’aucune F17- ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale
de GL2(kD) n’es supe cuspidale. Comp e enu de (3.24), on a b(ρ) = 1 si e seulemen si on
aχ3= 1. Si ˜χes un Q17-ca ac `e e de k×d’o d e 17, sa ´educ ion modulo 17 es le ca ac `e e
i ial, qui pa am`e e une F17- ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale non supe cuspidale de ni eau
0 de GL2(D) n’adme an pas de el`e emen `a Q17.

TYPES MODULO `POUR GLm(D) 33
4. Types e alg`eb es de Hecke
Ce e sec ion es consac ´ee `a `a l’´e ude des liens en e ep ´esen a ions lisses de G e modules su
ce aines alg`eb es de Hecke a ines. On in odui la no ion de ep ´esen a ion quasi-p ojec i e au
pa ag aphe 4.1, e on donne au pa ag aphe 4.2 des condi ions pou qu’une indui e pa abolique
soi i ´educ ible. Un co ollai e es l’impo an h´eo `eme 4.18 pe me an de amene le p obl`eme
de la classi ica ion de ou es les ep ´esen a ions i ´educ ibles de G `a celui des ep ´esen a ions
i ´educ ibles ayan un suppo cuspidal ine iellemen ´equi alen `a [ρ]+· · · +[ρ]=n·[ρ]o`u
ρes une ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale ix´ee. On explique au pa ag aphe 4.4 que ce
p obl`eme de classi ica ion ne d´epend que de ne d’un nomb e limi ´e de pa am`e es a ach´es
`a ρ. Ceci pe me de se amene , pou ce aines ques ions, au p obl`eme de la classi ica ion des
ep ´esen a ions i ´educ ibles unipo en es du g oupe d´eploy´e GLn(F0), o`u F0es une ex ension
inie de F.
4.1. Rep ´esen a ions quasi-p ojec i es
Soi m⩾1 un en ie e soi Q une ep ´esen a ion de G = Gm. La d´e ini ion sui an e es due
`a A abia [32, A.3].
D´e ini ion 4.1. — La ep ´esen a ion Q es di e quasi-p ojec i e si, pou ou e ep ´esen a ion
V de G e ou homomo phisme su jec i ϕ∈HomG(Q,V), l’homomo phisme de EndG(Q) dans
HomG(Q,V) d´e ini pa α7→ ϕ◦αes su jec i .
On di qu’une ep ´esen a ion de G es sans Q- o sion si elle n’adme pas de sous- ep ´esen a-
ion non nulle W elle que HomG(Q,W) = {0}. On appelle que R=RR(G) es la ca ´ego ie des
ep ´esen a ions (lisses) de G su des R-espaces ec o iels. On a le h´eo `eme impo an sui an
( oi [32, A.5, h´eo `eme 10]).
Th´eo `eme 4.2. — On suppose que Qes quasi-p ojec i e e de ype ini.
(1) Le onc eu V7→ HomG(Q,V) d´e ini une ´equi alence en e la sous-ca ´ego ie pleine de R
o m´ee des ep ´esen a ions sans Q- o sion qui son quo ien s d’une somme di ec e de copies de
Q, e la ca ´ego ie des EndG(Q)-modules `a d oi e.
(2) Ce e ´equi alence indui une bijec ion en e les classes de ep ´esen a ions i ´educ ibles V
de G elles que HomG(Q,V) 6={0}e les classes de EndG(Q)-modules i ´educ ibles.
Soi τune ep ´esen a ion i ´educ ible d’un sous-g oupe ou e compac K de G. On ep end
les no a ions du pa ag aphe 2.6 e on pose :
(4.1) Q = indG
K(τ).
Comme τes i ´educ ible, Q es de ype ini. Elle n’es pas oujou s p ojec i e, c’es -`a-di e que
le onc eu Mτn’es pas oujou s exac su R. Cependan , si elle es quasi-p ojec i e, on a
oi que ce onc eu es exac su une sous-ca ´ego ie su isammen g ande.
D´e ini ion 4.3. — On no e Eτla sous-ca ´ego ie pleine de R o m´ee des sous-quo ien s de
ep ´esen a ions engend ´ees pa leu composan e τ-iso ypique.
Ce e sous-ca ´ego ie es s able pa sous-quo ien s dans R. Son in ´e ˆe ´eside dans le ´esul a
sui an . On pose H=H(G, τ), l’alg`eb e des endomo phismes de Q.
P oposi ion 4.4. — On suppose que Q = indG
K(τ)es quasi-p ojec i e e de ype ini.
(1) La es ic ion du onc eu Mτ`a Eτes un onc eu exac .
34 ALBERTO M´
INGUEZ & VINCENT S´
ECHERRE
(2) Pou ou H-module `a d oi e m, l’homomo phisme canonique de H-modules :
m→Mτm⊗HindG
K(τ)
es un isomo phisme.
D´emons a ion. — Dans [32, A.3], A abia d´e ini une ca ´ego ie DQsu laquelle Mτes exac ,
e elle con ien Eτd’ap `es ibid., p oposi ion 3. La seconde asse ion es une cons´equence de ibid.,
h´eo `eme 4.
Soi P un sous-g oupe pa abolique de G de ac eu de Le i M e de adical unipo en U, e
soi τMune ep ´esen a ion i ´educ ible d’un sous-g oupe ou e compac KMde M. On suppose
que (K, τ) es une pai e cou an e de (KM, τM) ( oi le pa ag aphe 2.6).
P oposi ion 4.5. — Soi σune ep ´esen a ion de longueu inie de Mengend ´ee pa sa com-
posan e τM-iso ypique. On suppose que Q = indG
K(τ)es quasi-p ojec i e de ype ini. Le onc eu
Mτindui des bijec ions :
(1) en e ac eu s i ´educ ibles de iG
P(σ)con enan τe ac eu s i ´educ ibles de Mτ(iG
P(σ)) ;
(2) en e ac eu s i ´educ ibles du socle de iG
P(σ)con enan τe ac eu s i ´educ ibles du socle
de Mτ(iG
P(σ)) ;
(3) en e ac eu s i ´educ ibles du cosocle de iG
P(σ)con enan τe ac eu s i ´educ ibles du
cosocle de Mτ(iG
P(σ)).
Rema que 4.6. — En d’au es e mes, la mul iplici ´e d’une ep ´esen a ion i ´educ ible πcon-
enan τdans iG
P(σ) ( esp. dans le socle, le cosocle de iG
P(σ)) es ´egale `a la mul iplici ´e de Mτ(π)
dans Mτ(iG
P(σ)) ( esp. le socle, le cosocle de Mτ(iG
P(σ))).
D´emons a ion. — D’ap `es la p oposi ion 2.28, l’indui e iG
P(σ) es engend ´ee pa sa composan e
τ-iso ypique. On ixe une sui e de composi ion de iG
P(σ) dans Rdon les quo ien s son i ´e-
duc ibles. D’ap `es la p oposi ion 4.4, les e mes de ce e sui e de composi ion son dans Eτe
on ob ien le ´esul a oulu en appliquan Mτ.
Rappelons (§2.6.3) qu’on a un homomo phisme jPde HM=H(M, τM) dans H.
P oposi ion 4.7. — Pou ou HM-module `a d oi e mde dimension inie, on a un isomo phis-
me de ep ´esen a ions de G:
(4.2) m⊗HMindG
K(τ)≃iG
P−m⊗HMindM
KM(τM),
o`u P−d´esigne le sous-g oupe pa abolique de Goppos´e `a P ela i emen `a M.
Rema que 4.8. — L’hypo h`ese de dimension inie su mp o ien de ce que no e p eu e u ilise
la p op i´e ´e de seconde adjonc ion (1.1).
D´emons a ion. — Le onc eu Mτadme un adjoin `a gauche :
(4.3) m7→ m⊗HindG
K(τ)
de la ca ´ego ie des H-modules `a d oi e dans R, e le onc eu j∗
Padme un adjoin `a gauche
m7→ m⊗HMHde la ca ´ego ie des HM-modules `a d oi e e s celle des H-modules `a d oi e. `
A
pa i de (2.23) e en u ilisan la seconde adjonc ion (1.1), on ob ien le ´esul a .
Le cas qui nous in ´e esse pa iculi`e emen es celui d’un ype semi-simple ( oi le pa ag aphe
2.7).
TYPES MODULO `POUR GLm(D) 35
P oposi ion 4.9. — Soi (K, τ)un ype semi-simple de G. Alo s l’indui e compac e indG
K(τ)
es quasi-p ojec i e de ype ini.
D´emons a ion. — On a u ilise le c i `e e [33, 3.1]. Il s’agi de mon e que la es ic ion de
Q = indG
K(τ) `a K se d´ecompose sous la o me V ⊕W, o`u V es une somme di ec e de copies de
τe o`u aucun sous-quo ien i ´educ ible de W n’es isomo phe `a τ. On d´ecompose τsous la
o me κ⊗σe on no e εla es ic ion de κ`a K1. Comme K1es un p o-p-g oupe ( oi (2.26)),
la es ic ion de Q `a K1es semi-simple e se d´ecompose sous la o me V1⊕W1, o`u V1es une
somme di ec e de copies de εe o`u aucun sous-quo ien i ´educ ible de W1n’es isomo phe `a ε.
Ces sous-espaces son s ables pa K. En an que ep ´esen a ions de K, l’espace W1ne con ien
aucun sous-quo ien isomo phe `a τe V1es de la o me κ⊗ς, o`u :
ς= HomK1(κ,Q)
es une ep ´esen a ion de K i iale su K1.
Lemme 4.10. — La ep ´esen a ion ςes une somme di ec e de conjugu´es de σ.
D´emons a ion. — Comp e enu de la cons uc ion des ypes semi-simples au pa ag aphe 2.7,
il y a un sous-g oupe de Le i L ⊆G el que (K, τ) soi une pai e cou an e de (KL, τL) e el
que :
KL= K1× · · · × Ku, τL=τ1⊗ · · · ⊗ τu,
a ec u⩾1 e o`u chaque (Ki, τi), i= 1, . . . , u, es de la o me donn´ee pa la p oposi ion 2.31.
(A ec les no a ions du pa ag aphe 2.7.3, L es le sous-g oupe de Le i associ´e `a la pa i ion :
{1, . . . , n}=
a
k=1
uk
a
i=1
Ik,j
e ues la somme des uk.) Plus p ´ecis´emen , pou chaque i∈ {1, . . . , u}, il exis e une s a e
simple [Ai, ni,0, βi] d’une F-alg`eb e cen ale simple Ai, un ca ac `e e simple θi∈C(Ai,0, βi) e
un sous-g oupe pa abolique Pide A×
i els que Ki= H1(βi,Ai)(J(βi,Ai)∩Pi), e τise d´ecompose
sous la o me κi⊗σi.
La es ic ion de Q `a K1se d´ecompose en la somme di ec e des indui es indK1
K1∩Kx(τx) pou x∈
K G/K1. Aussi l’espace de ςes -il la somme di ec e des sous-espaces ec o iels HomK1∩Kx(ε, τx)
pou x∈K G/K1. Si l’on ´ec i :
HomK1∩Kx(ε, τx)⊆HomK1∩(K1)x(ε, εx)⊗Vσ,
o`u Vσd´esigne l’espace de σqui comp e ici comme un espace de mul iplici ´e, on oi que seuls
les x∈G qui en elacen εappo en une con ibu ion non nulle. On peu donc suppose que x
appa ien `a L, e plus p ´ecis´emen , si l’on ´ec i x= (x1, . . . , xu), on peu choisi chaque xidans
B×
i, o`u Bies le cen alisa eu de F(βi) dans Ai. Comp e enu des d´ecomposi ions d’Iwaho i
des g oupes K e K1e des isomo phismes :
(4.4) K/K1≃KL/K1
L≃
u
Y
i=1
Ki/K1
i,
l’espace HomK1∩Kx(κ, τx) se d´ecompose sous la o me :
HomK1
L∩Kx
L(κL, τx
L) =
u
O
i=1
HomK1
i∩Kxi
i(κi, τxi
i).
36 ALBERTO M´
INGUEZ & VINCENT S´
ECHERRE
On es donc amen´e `a p ou e le lemme dans le cas d’un ype semi-simple (Ki, τi) donn´e pa la
p oposi ion 2.31 ou, ce qui e ien au mˆeme, dans le cas d’un ype simple (J, λ) associ´e `a une
s a e simple [A, n, 0, β]. Dans ce cas, on ep end les a gumen s de la d´emons a ion de Vign´e as
[33, 8]. D’abo d, on peu emplace λpa une ep ´esen a ion de la o me donn´ee pa le lemme
2.18 a ec B0=A0∩B maximal. G ˆace `a [25, Lemme 1.7], on peu mˆeme suppose que Aes
inclus dans A0. Ensui e, la in de la p eu e ne di `e e pas de celle de [33, Co olla y 8.4(1)].
Le lemme pe me de ´e i ie que la ep ´esen a ion Q sa is ai au c i `e e [33, 3.1], e le ´esul a
s’ensui .
Rema que 4.11. — On suppose que R es de ca ac ´e is ique `non nulle. Soi (J, λ) un ype
simple e soi F0une ex ension de F comme dans la p oposi ion 2.21. Si qF0n’es pas cong u `a 1
modulo `, alo s σes p ojec i e comme ep ´esen a ion de J/J1≃GLs(kD0) ( oi [31, III.2.9]).
Puisque le onc eu indG
Jp ´ese e la p ojec i i ´e, on en d´edui que l’indui e compac e indG
J(λ)
es p ojec i e.
4.2. Pai es cou an es e induc ion pa abolique
Soi un en ie m⩾1 e soi G = Gm. Deux pai es cuspidales (M, %) e (M0, %0) de G son di es
ine iellemen ´equi alen es s’il y a un ca ac `e e non ami i´e χde M el que (M0, %0) soi conjugu´ee
`a (M, %χ) sous G. On no e [M, %]Gla classe d’ine ie (c’es -`a-di e la classe d’´equi alence ine ielle)
de (M, %). Si Ω es la classe d’ine ie d’une pai e cuspidale de G, on no e :
(4.5) I R(Ω)?= cusp−1(Ω)
l’ensemble des classes de ep ´esen a ions i ´educ ibles de G don le suppo cuspidal appa ien
`a Ω.
P oposi ion 4.12. — Soi (M, %)une pai e cuspidale de G, soi Ω = [M, %]Gsa classe d’ine ie,
soi (JM, λM)un ype simple maximal de Mcon enu dans %e soi (K, τ)une pai e cou an e
de (JM, λM)dans G. Alo s :
π∈I (Ω)?⇔cusp(π)∈Ω⇔HomJ(τ, π)6={0}.
D´emons a ion. — La ep ´esen a ion %es un quo ien i ´educ ible de indM
JM(λM). En induisan
`a G le long de n’impo e quel sous-g oupe pa abolique P de sous-g oupe de Le i M, e comp e
enu de (2.24), on en d´edui que ou quo ien i ´educ ible de iG
P(%) es un quo ien i ´educ ible
de indG
K(τ). Pa cons´equen , ou e ep ´esen a ion i ´educ ible πde G don le suppo cuspidal
appa ien `a Ω con ien τ.
In e semen , soi πune ep ´esen a ion i ´educ ible de G con enan τ. D’ap `es (2.23), la e-
p ´esen a ion G
P(π) con ien λM, c’es -`a-di e qu’il exis e un sous-quo ien i ´educ ible de G
P(π)
de la o me %χ a ec χun ca ac `e e non ami i´e de M. Soi %0une ep ´esen a ion i ´educ ible
cuspidale d’un sous-g oupe de Le i M0e soi P0un sous-g oupe pa abolique de G de ac eu de
Le i M0 el que πsoi une sous- ep ´esen a ion de iG
P0(%0). Ainsi G
P(iG
P0(%0)) a un sous-quo ien de
la o me %χ. On d´edui du lemme g´eom´e ique que les pai es (M, %) e (M0, %0) son ine iellemen
´equi alen es, c’es -`a-di e que cusp(π) appa ien `a Ω.
Soi M un sous-g oupe de Le i de G. On suppose que M = Mαpou α= (m1, . . . , m ). Pou
chaque i∈ {1, . . . , }, soi (Ki, τi) un ype semi-simple de Gmi. On pose :
KM= K1× · · · × K , τM=τ1⊗ · · · ⊗ τ .
TYPES MODULO `POUR GLm(D) 37
Soi (K, τ) un ype semi-simple de G qui soi une pai e cou an e de (KM, τM). Soi en in σune
ep ´esen a ion i ´educ ible de M con enan τM.
P oposi ion 4.13. — La ep ´esen a ion iG
P(σ)es i ´educ ible si e seulemen si :
MτiG
P(σ)
es un H-module i ´educ ible.
D´emons a ion. — L’une des implica ions es donn´ee pa le h´eo `eme 4.2 join `a la p oposi ion
2.28. Pou l’au e, soi πune sous- ep ´esen a ion i ´educ ible de iG
P(σ). D’ap `es la p oposi ion
4.12, le H-module Mτ(π) es non nul : il es donc ´egal `a Mτ(iG
P(σ)). Puisque iG
P(σ) es engen-
d ´ee pa sa composan e τ-iso ypique d’ap `es la p oposi ion 2.28, elle es ´egale `a π, ce qui p ou e
qu’elle es i ´educ ible.
P oposi ion 4.14. — On suppose que :
(4.6) MτM(σ)⊗HMH
es un H-module i ´educ ible. Alo s Mτ(iG
P(σ)) es i ´educ ible e isomo phe `a MτM(σ)⊗HMH,
e la ep ´esen a ion iG
P(σ)es i ´educ ible.
D´emons a ion. — On commence pa p ou e le ´esul a sui an . On no e Q l’indui e compac e
de τ`a G e QMcelle de τM`a M.
Lemme 4.15. — Soi πune ep ´esen a ion admissible de Mengend ´ee pa sa composan e τM-
iso ypique. Il exis e un homomo phisme su jec i :
MτM(π)⊗HMH→MτiG
P−(π)
de H-modules `a d oi e.
Rema que 4.16. — La condi ion d’admissibili ´e p o ien de ce que no e p eu e u ilise (4.2),
qui n´ecessi e la p op i´e ´e de seconde adjonc ion.
D´emons a ion. — On pa de l’applica ion canonique su jec i e :
(4.7) MτM(π)⊗HMQM→π.
En appliquan le onc eu iG
P−`a (4.7), on ob ien une applica ion su jec i e :
(4.8) iG
P−(MτM(π)⊗HMQM)→iG
P−(π)
en e ep ´esen a ions engend ´ees pa leu composan e τ-iso ypique d’ap `es la p oposi ion 2.28.
D’ap `es (4.2), le memb e de gauche de (4.8) es isomo phe `a MτM(π)⊗HMQ. D’ap `es la p opo-
si ion 4.4, en appliquan le onc eu Mτ`a (4.8), on a une applica ion su jec i e :
(4.9) Mτ(MτM(π)⊗HMQ) →MτiG
P−(π)
e le memb e de gauche de (4.9) es isomo phe `a MτM(π)⊗HMH.
Appliquons le lemme 4.15 `a σ. D’ap `es la p oposi ion 2.28, le module Mτ(iG
P−(σ)) es non nul.
Il es donc i ´educ ible d’ap `es le lemme 4.15 e l’hypo h`ese su (4.6). D’ap `es la p oposi ion 4.13,
la ep ´esen a ion iG
P−(σ) es i ´educ ible. D’ap `es [13, Lemme 4.13] ( oi aussi [21, P oposi ion
2.2]), elle es donc isomo phe `a iG
P(σ) : on en d´edui le ´esul a oulu.

38 ALBERTO M´
INGUEZ & VINCENT S´
ECHERRE
Co ollai e 4.17. — On suppose que Hes lib e de ang 1su HM. Alo s iG
P(σ)es i ´educ ible,
e le H-module Mτ(iG
P(σ)) es i ´educ ible e isomo phe `a MτM(σ)⊗HMH.
D´emons a ion. — Puisque QMes quasi-p ojec i e de ype ini, le h´eo `eme 4.2 implique que
le HM-module MτM(σ) es i ´educ ible. Puisque Hes lib e de ang 1 su HM, l’hypo h`ese de
la p oposi ion 4.14 es ´e i i´ee. On en d´edui le ´esul a oulu.
On e mine ce pa ag aphe en donnan une applica ion impo an e du co ollai e 4.17. Si ρes
une ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale de G, on no e :
(4.10) Ωρ={[ρχ]|χ: G →R×non ami i´e}
la classe d’´equi alence ine ielle de ρ.
Th´eo `eme 4.18. — Soi ⩾1un en ie e soien ρ1, . . . , ρ des ep ´esen a ions i ´educ ibles
cuspidales deux `a deux non ine iellemen ´equi alen es. Pou chaque i∈ {1, . . . , }, on ixe un
suppo cuspidal si o m´e de ep ´esen a ions ine iellemen ´equi alen es `a ρi.
(1) Pou chaque en ie i, soi πiune ep ´esen a ion i ´educ ible de suppo cuspidal si. Alo s
l’indui e π1× · · · × π es i ´educ ible.
(2) Soi πune ep ´esen a ion i ´educ ible de suppo cuspidal s1+· · · +s . Il exis e des
ep ´esen a ions π1, . . . , π , uniques `a isomo phisme p `es, elles que πisoi de suppo cuspidal
sipou chaque ie elles que π1× · · · × π soi isomo phe `a π.
Rema que 4.19. — Pou sun suppo cuspidal, on no e :
(4.11) I (s)?= cusp−1(s)
l’ensemble des classes de ep ´esen a ions i ´educ ibles de suppo cuspidal s. Si l’on pose s=
s1+· · · +s , l’applica ion :
(π1, . . . , π )7→ π1× · · · × π
indui une bijec ion de I (s1)?× · · · × I (s )?dans I (s)?.
D´emons a ion. — Pou chaque i, soi (Ji, λi) un ype simple maximal con enu dans ρi, soi ni
le nomb e e mes dans sie soi mile deg ´e de ρi. On no e aussi (Ki, τi) le ype semi-simple
associ´e `a (Ji, λi) e nipa la p oposi ion 2.31. On pose :
M=Gm1n1× · · · × Gm n ,
KM= K1× · · · × K ,
τM=τ1⊗ · · · ⊗ τ .
On no e (K, τ) le ype semi-simple associ´e aux (Ji, λi) pa la p oposi ion 2.34, qui es une
pai e cou an e de (KM, τM). L’alg`eb e H=H(G, τ) es lib e de ang 1 comme module su
HM=H(M, τM). D’ap `es la p oposi ion 4.9, l’indui e compac e indG
K(τ) es quasi-p ojec i e de
ype ini. On es donc dans les condi ions d’applica ion du co ollai e 4.17, don on d´edui que
l’indui e π1× · · · × π es i ´educ ible.
Pou le poin (2), on ema que que (2.23) ou ni un isomo phisme de HM-modules :
Mτ(π)≃MτM( G
P(π)),
o`u P es un sous-g oupe pa abolique de G de ac eu de Le i M. Puisque Hes lib e de ang
1 su HM, la es ic ion de Mτ(π) `a HMes i ´educ ible. C’es donc un module de la o me
m=m1⊗· · ·⊗m , o`u mies un H(Gmini, τi)-module i ´educ ible. Puisque l’indui e compac e de
TYPES MODULO `POUR GLm(D) 39
τi`a Gminies quasi-p ojec i e de ype ini, il exis e d’ap `es le h´eo `eme 4.2 une ep ´esen a ion
i ´educ ible πide Gmini elle que Mτi(πi) soi isomo phe `a mi. En pa iculie , le suppo cuspidal
de πies o m´e de ep ´esen a ions ine iellemen ´equi alen es `a ρi. Posons :
π0=π1× · · · × π ,
qui es i ´educ ible d’ap `es le poin (1). D’ap `es le h´eo `eme 4.2 enco e, il su i de p ou e
que Mτ(π) e Mτ(π0) son des H-modules isomo phes pou en d´edui e que πe π0son des
ep ´esen a ions isomo phes. D’ap `es le co ollai e 4.17, on a :
Mτ(π0)≃m⊗HMH.
La es ic ion de Mτ(π) `a HMes isomo phe `a m, ce don on d´edui pa adjonc ion que Mτ(π)
es isomo phe `a m⊗HMH, ce qui donne le ´esul a oulu.
4.3. Compa ibili ´e du onc eu des τ-in a ian s `a l’induc ion pa abolique
Soi m⩾1, soi ρune ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale de Gm, soi (J, λ) un ype simple
maximal con enu dans ρe soi α= (n1, . . . , n ) une amille d’en ie s ⩾1 de somme n. On pose
M=M(mn1,...,mn )e G = Gmn. On no e :
(Kn, τn)
la pai e cou an e de G associ´ee `a (J, λ) pa la p oposi ion 2.31, on no e Hnson alg`eb e de Hecke
e Mn=Mτnle onc eu qu’elle d´e ini de R(G) dans la ca ´ego ie des Hn-modules `a d oi e.
On no e ταla es ic ion de τn`a Kn∩M, qui es isomo phe `a la ep ´esen a ion τn1⊗ · · · ⊗ τn
du g oupe Kα= Kn1× · · · × Kn . On no e Hα=Hn1⊗ · · · ⊗ Hn son alg`eb e de Hecke e Mα
le onc eu co espondan de R(M) dans la ca ´ego ie des Hα-modules `a d oi e. Soi :
(4.12) jα:Hα→Hn
le mo phisme (2.22) co espondan `a (Kn, τn) consid´e ´ee comme une pai e cou an e de (Kα, τα).
P oposi ion 4.20. — Soi σune ep ´esen a ion admissible de Mengend ´ee pa sa composan e
τα-iso ypique. On a un isomo phisme de Hn-modules `a d oi e :
(4.13) Mni(mn1,...,mn )(σ)≃HomHα(Hn,Mα(σ)).
Rema que 4.21. — Dans le cas o`u R es le co ps des nomb es complexes, ce ´esul a ne n´eces-
si e pas d’hypo h`ese d’admissibili ´e su la ep ´esen a ion σ. Il s’agi d’un cas pa iculie de [9,
Co olla y 8.4] ob enu `a pa i de (2.23) pa adjonc ion, en u ilisan le ai que Mnindui une
´equi alence de ca ´ego ies en e la sous-ca ´ego ie de R(G) o m´ee des ep ´esen a ions engend ´ees
pa leu composan e τn-iso ypique e la ca ´ego ie des Hn-modules `a d oi e (e un ´esul a ana-
logue pou Mα). Quand R es de ca ac ´e is ique non nulle, ces onc eu s ne d´e inissen pas en
g´en´e al des ´equi alences de ca ´ego ies e il au ou e une au e app oche.
Rema que 4.22. — L’hypo h`ese d’admissibili ´e p o ien de ce que no e p eu e u ilise le lem-
me 4.15 e une in´egali ´e de la o me (4.16).
D´emons a ion. — On suppose pou le momen que σes une ep ´esen a ion (lisse) quelconque
de M. On pose i=i(mn1,...,mn )e = (mn1,...,mn )e on d´e ini des onc eu s :
F:σ7→ Mn(i(σ)),G:σ7→ HomHα(Hn,Mα(σ))
40 ALBERTO M´
INGUEZ & VINCENT S´
ECHERRE
de R(M) dans la ca ´ego ie des Hn-modules `a d oi e. On no e espec i emen Qne Qαles
indui es compac es de τn`a G e de τα`a M. Comp e enu de la p op i´e ´e d’adjonc ion de i, on
a un isomo phisme onc o iel de R-espaces ec o iels :
(4.14) F(σ)≃HomM( (Qn), σ)
qui es en ai un isomo phisme de Hn-modules `a d oi e. En appliquan (2.23) `a Qn, on ob ien
le ´esul a sui an .
Fai 4.23. — L’isomo phisme (2.23) appliqu´e `a la ep ´esen a ion Qnindui un isomo phisme
de (Hn,Hα)-bimodules de Hn e s Mα( (Qn)).
G ˆace `a (4.14) e au ai 4.23, on ob ien un homomo phisme de Hn-modules :
(4.15) ωσ:F(σ)≃HomM( (Qn), σ)γσ
−→ HomHα(Mα( (Qn)),Mα(σ)) ≃G(σ)
qui es onc o iel en σ, o`u γσd´esigne l’homomo phisme onc o iel de R-espaces ec o iels ob enu
en appliquan le onc eu Mα.
On suppose main enan que σes engend ´ee pa sa composan e τα-iso ypique, c’es -`a-di e
qu’il y a un homomo phisme su jec i :
: QS
α→σ
d’une somme di ec e a bi ai e de copies de Qα e s σ, o`u S d´esigne un ensemble quelconque
qui indexe la somme di ec e. Ceci donne le diag amme commu a i :
F(Qα)S
ωQS
α

F( )//F(σ)
ωσ

G(Qα)S
G( )
//G(σ)
o`u les deux l`eches ho izon ales F( ) e G( ) son su jec i es ca les deux onc eu s Fe Gson
exac s su la ca ´ego ie Eα, d’ap `es les p oposi ions 4.4 e 2.28.
Lemme 4.24. — Si ωQαes un isomo phisme, alo s ωσes un isomo phisme pou ou e e-
p ´esen a ion σadmissible e engend ´ee pa sa composan e τα-iso ypique.
D´emons a ion. — Si ωQαes un isomo phisme, alo s ωQS
αes un isomo phisme e ωσes donc
su jec i e. On en d´edui que :
(4.16) dim F(σ)⩾dim G(σ).
On a aussi l’in´egali ´e con ai e d’ap `es le lemme 4.15. On en d´edui que ωσes bijec i e pou σ
admissible e engend ´ee pa sa composan e τα-iso ypique.
Lemme 4.25. — L’homomo phisme ωQαes un isomo phisme.
D´emons a ion. — Les Hn-modules F(Qα) e G(Qα) son ous les deux lib es de ang 1 d’ap `es
(2.24). Il su i de p ou e que l’image pa ωQαd’une base de F(Qα) es une base de G(Qα).
La base canonique de HomM( (Qn),Qα) es l’´el´emen ed´e ini pa :
mod Qn(U) 7→ x7→ Z
U
(ux)du
TYPES MODULO `POUR GLm(D) 41
pou ∈Qne x∈M, o`u Qn(U) d´esigne le sous-espace de Qnengend ´e pa les ec eu s de la
o me u· − , a ec ∈Qne u∈U=U(mn1,...,mn ). On a calcule son image pa γQαe
´e i ie que c’es une base de HomHα(Mα( (Qn)),Mα(Qα)). Soi W=Wλle g oupe d´e ini au
pa ag aphe 2.5.4, soi W0le sous-g oupe de Wcons i u´e des ma ices de pe mu a ion dans W
e soi Wα=W0∩M. Dans chaque classe de W0/Wα, il exis e un unique ´el´emen de longueu
minimale ; ces ´el´emen s o men un sys `eme de ep ´esen an s de W0/Wαno ´e Dα.
Pou w∈W, on ixe un ´el´emen τw∈Hnnon nul de suppo KnwKn, qu’on oi comme un
´el´emen de Mα( (Qn)).
Fai 4.26. — Hnes un Hα-module `a d oi e lib e de base {τw, w ∈Dα}.
Ceci pe me de se es eind e aux τw,w∈Dα. Comp e enu de (2.24) e du ai 4.23, l’image
de epa γQαes l’´el´emen de HomHα(Mα( (Qn)),Mα(Qα)) qui `a τwassocie :
(4.17) 7→ x7→ Z
U
τw( )(ux)du
pou w∈Dα,x∈M e pou dans l’espace de τ, no ´e V.
Lemme 4.27. — Pou w∈W0, on a KnwKn∩P6=∅si e seulemen si w∈Wα.
D´emons a ion. — Si w∈Wα, alo s KnwKn∩P n’es pas ide pa ce que :
(Kn∩M)w(Kn∩M) ∩M6=∅.
In e semen , on suppose que KnwKn∩P6=∅. Soi Anl’o d e h´e ´edi ai e appa aissan dans
la cons uc ion du pa ag aphe 2.3.7, que l’on peu suppose s anda d. Ainsi Knes inclus dans
U(An) ; on a donc U(An)wU(An)∩P6=∅. Soi A0l’o d e h´e ´edi ai e s anda d A(m,...,m)de
Mmn(D). Il con ien An, de so e qu’on a U(A0)wU(A0)∩P6=∅. Soien Wmax le sous-g oupe
des pe mu a ions de GLmn(OD) e Xmax un sys `eme de ep ´esen an s des doubles classes de
Wmax modulo Wmax ∩U(A0). On no e aussi Xmax,Mun sys `eme de ep ´esen an s des doubles
classes de Wmax ∩M modulo Wmax ∩U(A0)∩M. Alo s on a :
a
w0∈Xmax
U(A0)w0U(A0)∩P = GLmn(OD)∩P = a
w0∈Xmax,M
U(A0)w0U(A0)∩P.
On en d´edui que wappa ien `a Xmax,M, donc w∈W0∩M = Wα.
Ce lemme implique que, pou w /∈Wα,x∈M e ∈V, l’in ´eg ale de (4.17) es nulle. Pou
ou ∈V, on no e [1, ]Ml’´el´emen de Qαde suppo Kn∩M e p enan en 1 la aleu . On
d´edui de ce qui p ´ec`ede que, pou w∈Dα, on a :
γQα(e)(τw) = la onc ion 7→ [1, ]Msi w= 1,
0 sinon.
En conclusion, γQα(e) es une base de HomHα(Mα( (Qn)),Mα(Qα)) comme H-module `a d oi e
lib e de ang 1. Ceci me in `a la p eu e du lemme 4.25.
La p oposi ion 4.20 se d´edui main enan des lemmes 4.24 e 4.25.
48 ALBERTO M´
INGUEZ & VINCENT S´
ECHERRE
La ques ion de sa oi si un ca ac `e e simple appa aˆı ou non dans une ep ´esen a ion i ´educ-
ible cuspidale es li´ee `a la no ion d’endo-classe que nous n’a ons ai que men ionne au pa a-
g aphe 2.2.3. On no e :
(5.7) Θmax
la F-endo-classe associ´ee `a θmax, que nous ne d´e ini ons pas ( oi [4] pou une d´e ini ion). La
d´e ini ion sui an e nous su i a.
D´e ini ion 5.6. — Une ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale de Gm0,m0⩾1, es di e d’endo-
classe Θmax si elle con ien un ca ac `e e simple qui es un ans e de θmax.
La s´e ie de lemmes qui sui a pou objec i le co ollai e 5.10 e la p oposi ion 5.11.
Lemme 5.7. — Soien (J, λ)un ype simple e (K0, τ0)un ype semi-simple dans G. On suppose
que λes un sous-quo ien de la es ic ion de indG
K0(τ0)`a J. Alo s :
(1) (K0, τ0)con ien un ca ac `e e simple θ0∈C(A0,0, β0);
(2) le ca ac `e e θ0e le ca ac `e e simple θcon enu dans λson ans e s l’un de l’au e.
D´emons a ion. — Si R es de ca ac ´e is ique nulle, l’hypo h`ese implique qu’il exis e un mo -
phisme non nul de indG
J(λ) dans indG
K0(τ0). Soi πun quo ien i ´educ ible de indG
J(λ) con enu
dans l’image de ce mo phisme. Comme (K0, τ0) es un ype pou G ( oi [29]), la ca ´ego ie des
ep ´esen a ions engend ´ees pa leu composan e τ0-iso ypique es s able pa sous-quo ien s dans
RR(G), donc πcon ien `a la ois λe τ0. Le ´esul a ien alo s de la classi ica ion des ypes
semi-simples dans [29].
On suppose main enan que le co ps R es de ca ac ´e is ique `non nulle. Comme ou es les
ep ´esen a ions consid´e ´ees son lisses su des sous-g oupes ou e s compac s, elles son d´e inies
su F`( oi [31, II.4]), de so e qu’il su i de p ou e le ´esul a pou R = F`. On suppose donc
qu’on es dans ce cas, ce qui pe me d’u ilise le p oc´ed´e de ´educ ion modulo `. On ixe un
Q`- ype semi-simple ˜τ0 ele an τ0(p oposi ion 2.44) e un ac eu i ´educ ible ˜
δde la es ic ion
de indG
K0(˜τ0) `a J don la ´educ ion modulo `adme λpou sous-quo ien . On no e ˜
θle el`e emen
de θe on ixe une β-ex ension ˜κde ˜
θ.
Lemme 5.8. — Soi πune ep ´esen a ion i ´educ ible d’un p-g oupe ini H elle que `(π)
poss`ede des ec eu s H-in a ian s non nuls. Alo s πes le ca ac `e e i ial de H.
D´emons a ion. — On p oc`ede pa ´ecu ence su le ca dinal de H. Si H es d’o d e p, il es
cyclique e πes un ca ac `e e. Les aleu s p ises pa πson des acines p-i`emes de l’uni ´e, e
ce son aussi des acines de l’uni ´e d’o d e une puissance de `puisque `(π) es i ial. On en
d´edui que πes i ial.
On suppose main enan que H es d’o d e > p e on no e V l’espace de π. Comme H es
´esoluble, il poss`ede un sous-g oupe H0dis ingu´e e d’indice p. La es ic ion de V `a H0adme
un ac eu i ´educ ible W don la ´educ ion poss`ede des ec eu s H-in a ian s non nuls. Pa
hypo h`ese de ´ecu ence, W es de dimension 1 e H0agi dessus i ialemen . Il exis e donc
un H0-homomo phisme non i ial du ca ac `e e i ial de H0 e s la es ic ion de V `a H0. Pa
´ecip oci ´e de F obenius, il exis e un H-homomo phisme non i ial :
indH
H0(1) →V.

TYPES MODULO `POUR GLm(D) 49
Puisque V es i ´educ ible, ce homomo phisme es su jec i , donc V es un ac eu di ec de
indH
H0(1), ce don on d´edui que V es une ep ´esen a ion i ´educ ible de H i iale su H0. Puisque
H/H0es cyclique, V es de dimension 1. On e mine comme dans le cas o`u H es d’o d e p.
Lemme 5.9. — Il exis e une Q`- ep ´esen a ion i ´educ ible ˜
ξde J i iale su J1 els que ˜
δsoi
isomo phe `a ˜κ⊗˜
ξ.
D´emons a ion. — On no e ˜
δ1la es ic ion de ˜
δau p o-p-g oupe H1(β, A). Sa ´educ ion modulo
`con ien θ. En appliquan le lemme 5.8 `a ˜
δ1˜
θ−1, on en d´edui que ˜
δ1con ien ˜
θ. On conclu
en appliquan le lemme 2.16.
Soi ˜πun sous-quo ien i ´educ ible de indG
K0(˜
λ0) con enan ˜
δ, qui es de la o me donn´ee pa
le lemme 5.9. Si ˜
ξn’es pas cuspidale, une manipula ion classique pe me de emplace ˜
δpa un
ype semi-simple ˜
δ00 de la o me ˜κ00 ⊗˜
ξ00, o`u ˜
ξ00 es dans le suppo cuspidal de ˜
ξ, e ce ype semi-
simple appa aˆı dans ˜π. En ep enan l’a gumen u ilis´e dans le cas o`u R es de ca ac ´e is ique
nulle, on ou e que ˜πcon ien les ypes semi-simples ˜
λ0e ˜
δ00, ce qui implique que :
(1) (K0,˜
λ0) con ien un ca ac `e e simple ˜
θ0∈CQ`(A0,0, β0) ;
(2) le ca ac `e e ˜
θ0e le ca ac `e e ˜
θson ans e s l’un de l’au e.
`
A pa i de l`a, on ob ien le ´esul a oulu pa ´educ ion modulo `.
Co ollai e 5.10. — Soien ρ1, . . . , ρndes ep ´esen a ions i ´educ ibles cuspidales. On suppose
que l’indui e ρ1× · · · × ρnposs`ede un sous-quo ien i ´educ ible cuspidal πd’endoclasse Θmax.
Alo s ρ1, . . . , ρne πson ou es d’endo-classe Θmax.
D´emons a ion. — Pou chaque i, on no e mile deg ´e de ρi. On pose α= (m1, . . . , mn)
e on no e mla somme des mi. Soi (Jα, λα) un ype simple maximal de Mαcon enu dans
%=ρ1⊗· · ·⊗ρn. Soi (K, τ) un ype semi-simple de Gmqui es une pai e cou an e de (Jα, λα).
Soi πun sous-quo ien i ´educ ible cuspidal de ρ1×· · ·×ρne soi (J, λ) un ype simple maximal
con enu dans π. Comme ρ1×· · · ×ρnes un quo ien de indGm
K(τ), le ype simple λes un sous-
quo ien de la es ic ion de indGm
K(τ) `a J. D’ap `es le lemme 5.7, les ep ´esen a ions ρ1, . . . , ρn
son ou es d’endo-classe Θmax.
P oposi ion 5.11. — Soien ρ1, . . . , ρndes ep ´esen a ions i ´educ ibles cuspidales de mˆeme
endo-classe Θmax. Soi πun sous-quo ien i ´educ ible de ρ1× · · · × ρnde suppo cuspidal no ´e
[τ1]+· · · +[τ ]. Alo s τ1, . . . , τ son ou es d’endo-classe Θmax e la ep ´esen a ion K(π)es
non nulle.
D´emons a ion. — On pose γ= (deg(τ1),...,deg(τ )). Le module de Jacque γ(iα(%)) a pou
sous-quo ien i ´educ ible la ep ´esen a ion cuspidale τ1⊗ · · · ⊗ τ . En appliquan le co ollai e
5.10 `a chacun des τi, on ob ien le ´esul a annonc´e.
5.3. Compa ibili ´e `a l’induc ion pa abolique
On p ou e dans ce pa ag aphe une p op i´e ´e de compa ibili ´e de K`a l’induc ion pa abolique
(p oposi ion 5.12). Soi α= (m1, . . . , m ) une amille d’en ie s ⩾1 de somme m, ce qui d´e ini
une d´ecomposi ion :
(5.8) Dm= Dmi⊕ · · · ⊕ Dm
50 ALBERTO M´
INGUEZ & VINCENT S´
ECHERRE
en D-espaces ec o iels `a d oi e. Pou chaque i∈ {1, . . . , }, on pose Ai=Mmi(D). On suppose
que E s abilise la d´ecomposi ion (5.8), c’es -`a-di e que E es con enu dans la sous-alg`eb e diago-
nale A1× · · · × A ⊆A. On no e Bile cen alisa eu de E dans Ai. Comp e enu de l’hypo h`ese
ai e su E, le p odui B1× · · · × B s’iden i ie `a une sous-E-alg`eb e de B. On ixe :
A1 un ca ac `e e simple maximal θmax,i ∈C(Amax,i,0, β) de Gmi, pou un o d e h´e ´edi ai e
E-pu maximal s anda d Amax,i de Ai, d’endo-classe Θmax ;
A2 une β-ex ension κmax,i de θmax,i.
On no e Φil’isomo phisme de E-alg`eb es de Bidans Mm0
i(D0) ob enu pa es ic ion de Φ `a Bi,
e on pose ¯
Gi= Jmax,i/J1
max,i, qu’on iden i ie `a GLm0
i(kD0). Ces donn´ees d´e inissen pou chaque
iun onc eu Kide R(Gmi) dans R(¯
Gi). On d´e ini aussi un onc eu :
Kα:π7→ HomJ1
max,α (κmax,α, π)
de R(Mα) dans R(¯
Mα), o`u l’on a pos´e :
Jmax,α = Jmax,1× · · · × Jmax, ,
J1
max,α = J1
max,1× · · · × J1
max, ,
κmax,α =κmax,1⊗ · · · ⊗ κmax,
ainsi que ¯
Mα= Jmax,α/J1
max,α, qui es canoniquemen isomo phe au sous-g oupe de Le i s anda d
¯
G1× · · · × ¯
G de ¯
G. On no e Al’o d e p incipal s anda d de A el que A∩Ai=Amax,i pou
ou i. Soien θle ans e de θmax `a C(A,0, β) e κle ans e de κmax en une β-ex ension de
θ. On suppose que :
A3 la ep ´esen a ion de J∩Mαsu l’espace des ec eu s J∩Uα-in a ian s de κes isomo phe
`a κmax,α.
On a le ´esul a sui an .
P oposi ion 5.12. — Pou chaque i∈ {1, . . . , }, soi πiune ep ´esen a ion i ´educ ible de
Gmi. Alo s on a un isomo phisme de ep ´esen a ions de ¯
G:
K(π1× · · · × π )≃K1(π1)× · · · × K (π ).
D´emons a ion. — Le ´esul a es ai dans le cas o`u R es de ca ac ´e is ique nulle : la p eu e
de Schneide e Zink [23, P oposi ion 5.7] es enco e alable. On peu donc suppose que R es
de ca ac ´e is ique `non nulle. On p oc`ede pa ´ecu ence su α.
Lemme 5.13. — Pou ou e ep ´esen a ion πde Mα, il exis e un homomo phisme injec i :
(5.9) κmax ⊗¯ια(Kα(π)) →iα(π)
de ep ´esen a ions de Jmax, o`u ¯ιαd´esigne l’induc ion pa abolique de ¯
Mα`a ¯
G.
D´emons a ion. — On ep end la p emi`e e pa ie de la p eu e de [31, III.5.12], en u ilisan la
p oposi ion 2.18.
En appliquan le onc eu exac K, on d´edui du lemme 5.13, pou ou e ep ´esen a ion πde
Mα, un homomo phisme injec i :
(5.10) ¯ια(Kα(π)) →K(iα(π))
de ep ´esen a ions de ¯
G.
TYPES MODULO `POUR GLm(D) 51
Soien π=π1⊗ · · · ⊗ π une ep ´esen a ion i ´educ ible de Mαe %0une ep ´esen a ion i ´e-
duc ible cuspidale d’un sous-g oupe de Le i Mα0de Mαdon l’indui e `a Mα, no ´ee π0, adme une
sous- ep ´esen a ion isomo phe `a π. Au moyen du lemme 5.13, on a le diag amme commu a i :
¯ια(Kα(π))

//K(iα(π))

¯ια(Kα(π0)) //K(iα(π0))
o`u, pa hypo h`ese de ´ecu ence, on peu emplace la ligne du bas pa le mo phisme injec i :
(5.11) ¯ια0(Kα0(%0)) →K(iα0(%0)).
La su jec i i ´e de (5.11) implique donc celle de (5.10), e l’on a amen´e la p eu e de la p oposi-
ion 5.12 au cas o`u les πison i ´educ ibles e cuspidales. Supposons donc qu’il en es ainsi.
Qui e `a o d e πpa un ca ac `e e non ami i´e de Mα, on peu suppose que son ca ac `e e cen al
es `a aleu s dans F`, donc que πes d´e inie su F`. Il su i donc de p ou e le ´esul a dans le
cas o`u R = F`, ce que l’on suppose d´eso mais.
Lemme 5.14. — Soi ˜κmax une β-ex ension ele an κmax, e soi ˜
Kle onc eu associ´e. Pou
ou e Q`- ep ´esen a ion en i`e e ˜πde longueu inie de G, on a `([˜
K(˜π)]) = [K ( `(˜π)) ].
D´emons a ion. — Il su i de le p ou e pou une ep ´esen a ion i ´educ ible. Soien kmax une
s uc u e en i`e e de κmax e lune s uc u e en i`e e de ˜π. Alo s HomJ1
max (kmax,l) es une s uc u e
en i`e e de K(˜π).
D’ap `es la p oposi ion 3.22, il y a une Q`- ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale en i`e e ˜πde Mα
elle que `(˜π)⩾[π]. Comme le ´esul a es alable en ca ac ´e is ique 0, on a un isomo phisme :
(5.12) ¯ια(˜
Kα(˜π)) →˜
K(iα(˜π))
de Q`- ep ´esen a ions de ¯
G. Comp e enu du lemme 5.14, ceci implique que (5.10) es un iso-
mo phisme de ep ´esen a ions de ¯
G.
Rema que 5.15. — On a en ai p ou ´e que, pou ou e ep ´esen a ion πde longueu inie de
Mα, l’homomo phisme injec i (5.10) es un isomo phisme de ep ´esen a ions de ¯
G.
Co ollai e 5.16. — Pou i∈ {1, . . . , }, soi ρiune ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale de
Gmicon enan θmax,i e soi (Jmax,i, κmax,i ⊗σi)un ype simple maximal con enu dans ρi. Alo s :
(5.13) K(ρ1× · · · × ρ ) = M
i1
· · · M
i
σφi1
1× · · · × σφi
,
o`u φes un g´en´e a eu de Gal(kD0/kE)e o`u chaque ijd´ec i {0, . . . , b(ρj)−1}.
5.4. Compa ibili ´e `a la es ic ion pa abolique
On p ou e main enan une p op i´e ´e de compa ibili ´e de K`a la es ic ion pa abolique (p opo-
si ion 5.18). On pose G = Gm.
Soi ¯
P = ¯
M¯
U un sous-g oupe pa abolique s anda d de ¯
G. Il lui co espond un o d e h´e ´edi ai e
s anda d Bde B el que :
¯
P = U(B)J1
max/J1
max ≃U(B)/U1(Bmax),¯
U=U1(B)J1
max/J1
max ≃U1(B)/U1(Bmax)
52 ALBERTO M´
INGUEZ & VINCENT S´
ECHERRE
e on a alo s un isomo phisme canonique ¯
M≃U(B)/U1(B). Soi Aun o d e h´e ´edi ai e E-pu
de A el que A∩B = Be qui soi p op e au sens de [26, D´e ini ion 4.7]. Soi θle ans e de
θmax dans C(A,0, β) e soi κle ans e de κmax con enan θ. Tou e ep ´esen a ion du g oupe
J = J(β, A) i iale su J1= J1(β, A) peu ˆe e ue comme une ep ´esen a ion de ¯
M. On no e
¯ι¯
G
¯
Ple onc eu d’induc ion pa abolique de ¯
M `a ¯
G.
P oposi ion 5.17. — Soi πune ep ´esen a ion de G, e soi ¯
P = ¯
M¯
Uun sous-g oupe pa a-
bolique s anda d de ¯
G.
(1) On a un isomo phisme canonique de ep ´esen a ions de ¯
M:
(5.14) K(π)¯
U≃HomJ1(κ, π).
(2) Pou ou e ep ´esen a ion i ´educ ible ξde J i iale su J1, on a un homomo phisme
injec i de R-alg`eb es :
(5.15) End¯
G(¯ι¯
G
¯
P(ξ)) ≃H(Jmax, κmax|U(B)J1
max ⊗ξ),→H(G, κ ⊗ξ)
e un isomo phisme :
(5.16) Hom ¯
M(ξ, K(π)¯
U)≃HomJ(κ⊗ξ, π)
de End¯
G(¯ι¯
G
¯
P(ξ))-modules.
D´emons a ion. — On p ou e l’asse ion (1) comme dans [23, 5] g ˆace aux p op i´e ´es de ans-
e en e β-ex ensions, e on ob ien (5.15) au moyen du lemme 2.18. En in, on a des isomo -
phismes de R-espaces ec o iels :
HomJ(κ⊗ξ, π)≃Hom ¯
M(ξ, K(π)¯
U)≃Hom¯
G(¯ι¯
G
¯
P(ξ),K(π))
e on ´e i ie qu’ils son End¯
G(¯ι¯
G
¯
P(ξ))-´equi a ian s.
Expliquons commen ¯
P = ¯
M¯
U d´e ini un sous-g oupe pa abolique P = MU de G. On ixe un
E⊗FD-module `a gauche simple S e on o me le B-module `a gauche simple :
VB= HomE⊗FD(S,Dm).
La E-alg`eb e oppos´ee `a EndB(VB) es isomo phe `a D0. On no e (e1, . . . , em0) une base de VBsu
D0d´e inissan l’isomo phisme (5.2). Un sous-g oupe pa abolique s anda d ¯
P de ¯
G co espond `a
un d apeau de ce e base, qui d´e ini lui-mˆeme un d apeau de VB, mais aussi un d apeau de Dm
pa ´equi alence de Mo i a ( oi [26]). Ce de nie d apeau d´e ini un sous-g oupe pa abolique P
de G el que :
(5.17) ¯
P = (P ∩U(Bmax))J1
max/J1
max.
De a¸con analogue, le ac eu de Le i s anda d ¯
M de ¯
P d´e ini un ac eu de Le i M de P el
que :
(5.18) ¯
M = (M ∩U(Bmax))J1
max/J1
max.
On no e κla ep ´esen a ion de K = H1(β, A)(J∩P) d´e inie au pa ag aphe 2.7.2 e don l’indui e `a
J es isomo phe `a κ. (L’hypo h`ese de p op e ´e ai e su Aplus hau co espond `a la condi ion su
Aau pa ag aphe 2.7.2.) D’ap `es la p oposi ion 2.33, la pai e (K,κ⊗σ) es un ype semi-simple
de G.
Comme au pa ag aphe 5.3, soi α= (m1, . . . , m ) une amille d’en ie s ⩾1 de somme m. On
suppose que ¯
P = ¯
M¯
U co espond au sous-g oupe pa abolique s anda d Pα= MαUα.
TYPES MODULO `POUR GLm(D) 53
P oposi ion 5.18. — Soi πune ep ´esen a ion de G. L’applica ion na u elle :
K(π)¯
U→Kα( α(π))
es un isomo phisme de ep ´esen a ions de ¯
M.
D´emons a ion. — On commence pa ema que qu’on a des isomo phismes :
K(π)¯
U≃HomJ1(κ, π)≃HomK1(κ, π)
de ep ´esen a ions de ¯
M d’une pa , e que :
Kα( α(π)) = HomJ1
max,α (κmax,α, α(π))
d’au e pa . Pou ob eni le ´esul a oulu, il su i d’ap `es (2.23) de p ou e le lemme sui an .(1)
Lemme 5.19. — La pai e (K1, ε)es une pai e cou an e de (J1
max,α, ηmax,α).
D´emons a ion. — D’ap `es [1, page 246], il su i de p ou e que, pou ou e ep ´esen a ion π
de M, l’applica ion :
(5.19) HomK1(κ, π)→HomJ1
max,α (κmax,α, α(π))
es injec i e, ce qu’on a ai e pa ´ecu ence su α. Soi πune ep ´esen a ion de M. On consid`e e
(5.19) comme un homomo phisme de ep ´esen a ions de K/K1≃¯
M. On no e Vson noyau, qui
es de dimension inie, e on suppose que Ves non nul. Il exis e donc un sous-g oupe de Le i
¯
M0⊆¯
M e une ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale σ0de ¯
M0 elle que Vposs`ede une sous-
ep ´esen a ion de suppo cuspidal ( ¯
M0, σ0). Si ¯
M0=¯
M, on calcule la composan e σ0-iso ypique,
ce qui donne une sui e exac e :
0→Vσ0→HomK(κ⊗σ0, π)→HomJmax,α (κmax,α ⊗σ0, α(π))
d’espaces ec o iels. Comme (K,κ⊗σ0) es une pai e cou an e de (Jmax,α, κmax,α ⊗σ0) d’ap `es
la p oposi ion 2.33, on a Vσ0= 0, ce qui con edi le ai que σ0es une sous- ep ´esen a ion de
V.
On suppose main enan que ¯
M0es un sous-g oupe de Le i p op e de ¯
M e on no e α0la amille
elle que ¯
M0co esponde `a M0= Mα0. On no e aussi ¯
P0=¯
M0¯
U0le sous-g oupe pa abolique
s anda d de ¯
G de ac eu de Le i ¯
M0. On pose U0= Uα0. On no e B0l’o d e h´e ´edi ai e de B
inclus dans B el que :
U(B0)J1(β, A)/U1(B0)J1(β, A)≃¯
M0
e on choisi un o d e h´e ´edi ai e E-pu A0p op e el que A0∩B = B0. On lui associe pa
ans e une β-ex ension (J0, κ0) a ec J0= J(β, A0). On no e κmax,α0la ep ´esen a ion du g oupe
Jmax,α0= J0∩M0su l’espace des ec eu s J0∩U0-in a ian s de κ0. Soi (K0,κ0) la pai e associ´ee
`a (J0, κ0) comme au pa ag aphe 2.7.2, a ec la p op i´e ´e que l’indui e de κ0`a J0es isomo phe `a
κ0. On ob ien :
HomK1(κ, π)¯
M∩¯
U0≃HomJ01(κ0, π)≃HomK01(κ0, π)
e :
HomJ1
max,α (κmax,α, α(π)) ¯
M∩¯
U0≃HomJ01
α(κ0
α, α(π)) ≃HomK01
α(κ0
α, α(π)),
(1)Le second au eu eme cie Shaun S e ens pou une discussion su une e sion p ´eliminai e de la p eu e de ce
lemme.

54 ALBERTO M´
INGUEZ & VINCENT S´
ECHERRE
o`u J01
α= J01∩M e o`u κ0
αes la es ic ion de κ0`a J0
α= J0∩M. De a¸con analogue, on no e
κ0
αla es ic ion de κ0`a K0
α= K0∩M e ε0
αsa es ic ion `a K01
α= K01∩M. Pa hypo h`ese
de ´ecu ence, la pai e (K01
α, ε0
α) es une pai e cou an e de (J01
max,α0, ηmax,α0). On en d´edui que
l’applica ion :
HomK01
α(κ0
α, α(π)) →HomJ01
max,α0(κmax,α0, α0(π))
es un isomo phisme. En appliquan le onc eu des ¯
M∩¯
U0-in a ian s `a (5.19) e en p enan
ensui e la composan e σ0-iso ypique, on ob ien une sui e exac e :
0→(V¯
M∩¯
U0)σ0→HomK0(κ0⊗σ0, π)→HomJmax,α0(κmax,α0⊗σ0, α0(π))
de R-espaces ec o iels. Comme (K0,κ0⊗σ0) es une pai e cou an e de (Jmax,α0, κmax,α0) d’ap `es
la p oposi ion 2.33, on ou e que (V¯
U0)σ0= 0, ce qui donne une con adic ion.
Ceci me in `a la p eu e de la p oposi ion 5.18.
Rema que 5.20. — Soi n⩾1. On plonge E diagonalemen dans Mmn(D) ≃Mn(A). On no e
An
max l’o d e E-pu maximal s anda d de Mmn(D) e θn
max le ans e de θmax dans C(An
max,0, β).
Il y a une unique β-ex ension κn
max du ca ac `e e simple θn
max qui soi compa ible `a κmax ( oi la
condi ion A3 du pa ag aphe 5.3). Il co espond `a ce e β-ex ension un onc eu :
(5.20) Kn:R(Gmn)→R(GLm0n(kD0)).
Soien n1, . . . , n ⩾1 des en ie s els que n1+· · · +n =ne , pou chaque i∈ {1, . . . , }, soi
πiune ep ´esen a ion i ´educ ible de Gmni. Alo s on a un isomo phisme canonique :
(5.21) Kn(π1× · · · × π )≃Kn1(π1)× · · · × Kn (π ).
On pose α= (n1, . . . , n ) e on a un onc eu :
(5.22) Kα:R(M(mn1,...,mn ))→R(GLm0n1(kD0)× · · · × GLm0n (kD0))
co espondan `a la ep ´esen a ion κn1
max ⊗· · ·⊗κn
max du g oupe J(β, An1
max)×· · ·×J(β, An
max). On
no e ¯
U(m0n1,...,m0n )le sous-g oupe unipo en s anda d de GLm0n(kD0) associ´e `a (m0n1, . . . , m0n ).
Si πes une ep ´esen a ion de Gmn, on a un isomo phisme canonique :
(5.23) Kn(π)¯
U(m0n1,...,m0n )≃Kα( (mn1,...,mn )(π)).
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F ance. URL: h p://www.ma h.jussieu. /∼minguez/ •E-mail : [email p o ec ed]
Vincen S´
eche e, Uni e si ´e de Ve sailles Sain -Quen in-en-Y elines, Labo a oi e de Ma h´ema iques
de Ve sailles, 45 a enue des E a s-Unis, 78035 Ve sailles cedex, F ance
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