Aplicación de la rectificación controlada en los convertidores DC-DC de varios interruptores de tanque resonante serie

UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA
Depa amen d’Enginye ia Elec ònica
TESIS DOCTORAL
APLICACIÓN DE LA RECTIFICACIÓN CONTROLADA EN LOS
CONVERTIDORES DC-DC DE VARIOS INTERRUPTORES DE
TANQUE RESONANTE SERIE
Al onso Conesa Roca
Tesis Doc o al
Aplicación de la ec i icación con olada en los
con e ido es DC-DC de a ios in e up o es de anque
esonan e se ie
po
Al onso Conesa Roca
p esen ada en el
Depa amen d’Enginye ia Elec ònica
de la
Uni e si a Poli ècnica de Ca alunya
Di ec o es de Tesis:
Robe Piqué López
En ic Fossas Cole
Ba celona, Sep iemb e de 2005
P esen ación de la Tesis Doc o al
En el p esen e abajo se es udia la aplicación de la ec i icación con olada en los
con e ido es DC-DC de a ios in e up o es de anque esonan e se ie. Los
con e ido es es udiados son el PRC, el SRC y el SPRC. En es as es uc u as se a a
analiza las posibilidades de egulación que o ecen dichos con e ido es, con la
inalidad de ob ene la máxima obus ez an e a iaciones de la ca ga y de la ensión de
en ada.
T as el p ime capí ulo de in oducción a la emá ica de la esis, en el capí ulo segundo
se deducen unos nue os con e ido es de i ados de los clásicos. Se ob ienen los
modelos ma emá icos de los con e ido es esul an es de la sus i ución de las e apas
ec i icado as y se sin e izan las nue as es uc u as ec i icado as. Los nue os
con e ido es an a denomina se PRC-CR, SRC-CR y SPRC-CR, en cla a alusión a su
nue a e apa de ec i icación con olada (Con olled Rec i ica ion).
En el e ce capí ulo se in oducen los con olado es desa ollados pa a los nue os
con e ido es. El con ol del con e ido se a a ealiza ac uando en el bloque
ec i icado median e dos ipos básicos de ac uación. El p ime o con ealimen ación de
a iable de es ado del anque esonan e, median e un con olado no lineal One-Cycle.
El segundo con ealimen ación de a iable de es ado de salida, median e un egulado
lineal PI.
En el cua o capí ulo se analiza la es uc u a del con e ido PRC-CR median e dos
mé odos de análisis. El p ime mé odo p opues o es el de ap oximación al p ime
a mónico, y de su análisis se deduci án in e esan es conclusiones. En p ime luga
pun os de abajo óp imos pa a posibili a la egulación en el con e ido dadas las
condiciones de ca ga del mismo. Se ob end á la dependencia de la a iable p opia de
salida de cada con e ido espec o a la elación de conducción del bloque ec i icado y
se p opond án c i e ios de diseño del con e ido . La me odología plan eada se e i ica
median e la simulación del con e ido . El segundo mé odo de análisis se basa en la
solución del modelo ma emá ico en espacio de es ado del con e ido . Bajo es e análisis
se ob end á nue amen e la elación de la ensión de salida espec o a la elación de
conducción de la e apa ec i icado a y los pa áme os del con e ido . Finalmen e se
compa an los esul ados ob enidos po ambos mé odos de análisis.
En el quin o y sex o capí ulo se analizan los con e ido es SRC-CR y SPRC-CR,
espec i amen e, de igual o ma a la p opues a en el capí ulo cua o del PRC-CR.
En el sép imo capí ulo se p esen an los esul ados expe imen ales ob enidos de los
p o o ipos de los con e ido es desa ollados.
Finalmen e en el capí ulo oc a o se p esen an las conclusiones ob enidas de la esis
doc o al. Se e alúan los bene icios y limi aciones obse adas en las es uc u as
desa olladas. Se p opone el plan eamien o de posibles mejo as en unción de las no
idealidades del con e ido y del con olado p opues o, ab iendo u u as líneas de
in es igación que se i án de complemen o al p esen e abajo.

Ag adecimien os
Quie o p esen a mis ag adecimien os a odas las pe sonas que han con iado en mí pa a
la ealización de es e abajo.
A Juan Ma ín de la Uni e sidad de O iedo po su apoyo y amis ad. También a A u o
po sus sabios consejos.
A odos los p o eso es que he enido en mi o mación como ingenie o desde la
diploma u a, pasando po la licencia u a, has a el doc o ado. En especial a los de la
EUETIB, pues además de maes os míos aho a son unos an ás icos compañe os.
A F ancesc Guinjoan, que aunque siemp e ha es ado en el anonima o en es e abajo, su
ayuda y apoyo ha sido de capi al impo ancia pa a mí.
De o ma especial a Guille mo Velasco su apoyo o ecido du an e odo el p oceso de
ealización de es a Tesis y a Manuel Manzana es su ayuda en el pesado abajo dia io.
G acias since as.
A mis di ec o es de esis po la paciencia demos ada y ayuda o ecida en la ealización
de es e abajo.
No obs an e los mayo es ag adecimien o engo que hacé selos a mi muje Ma a, y a
mis hijos Blanca y Ma í, po su paciencia, comp ensión, ayuda, a o , apoyo,
con ianza, ... en el du o día a día.
ÍNDICE
Lis a de Símbolos
1. INTRODUCCIÓN ........................................................................................................1
1.1 Con e ido es esonan es de a ios in e up o es y su con ol ...............................4
1.2 P oblemá ica de los con e ido es esonan es de a ios in e up o es....................8
1.3 Obje i os del p esen e abajo...............................................................................10
2. OBTENCIÓN DE LAS NUEVAS ESTRUCTURAS................................................13
2.1 In oducción ..........................................................................................................15
2.2 El PRC con ec i icación con olada.....................................................................18
2.3 El SRC con ec i icación con olada.....................................................................24
2.4 El SPRC con ec i icación con olada...................................................................30
2.5 Resumen de las es uc u as y modelos ob enidos .................................................36
3. CONTROLES PROPUESTOS...................................................................................39
3.1 In oducción ..........................................................................................................41
3.2 Con olado One-Cycle .........................................................................................42
3.2.1 Caso del PRC-CR...........................................................................................44
3.2.2 Caso del SRC-CR...........................................................................................47
3.2.3 Caso del SPRC-CR ........................................................................................49
3.3 Con olado lineal..................................................................................................49
4. ANÁLISIS DEL PRC-CR ..........................................................................................51
4.1 Análisis po ap oximación al p ime a mónico.....................................................53
4.1.1 Compo amien o del PRC clásico a la ecuencia de esonancia...................53
4.1.2 Impedancia de en ada del PRC clásico.........................................................55
4.1.3 Impedancia e ec i a dependien e de la elación
de conducción del ec i icado .......................................................................61
4.1.4 Impedancia de en ada del PRC-CR ..............................................................65
4.1.5 Función de ans e encia del anque esonan e ..............................................70
4.1.6 Tensión de salida no malizada.......................................................................76
4.1.7 C i e ios de cálculo del con e ido ...............................................................80
4.1.8 Resul ados de simulación...............................................................................83
4.2 Solución del modelo en espacio de es ado............................................................87
4.2.1 In oducción ...................................................................................................87
4.2.2 Re e encias pa a el análisis de las o mas de onda ........................................88
4.2.3 Solución gene al de las a iables esonan es .................................................91
4.2.4 Valo es del ec o de es ado en los ins an es de cambio de in e alo ...........95
4.2.5 Du ación del in e alo de 0 a 1 .................................................................100
4.2.6 Tensión de salida..........................................................................................102
4.2.7 Cambio de a iables y no malización de las ecuaciones.............................105

1. INTRODUCCIÓN
3
Los con e ido es de ene gía conmu ados han ido g adualmen e eemplazando a los
sis emas lineales de alimen ación de los equipos elec ónicos ac uales, debido a que son
una solución más adecuada a los p oblemas de alimen ación de dichos equipos. El
endimien o en la con e sión de la ene gía de los sis emas conmu ados es muy supe io
al de los sis emas lineales, pues es os úl imos son cla amen e disipa i os, mien as que
los conmu ados idealmen e no lo son. Es a conside ación es á de acue do, ambién, con
la endencia ac ual de la elec ónica de in eg ación y op imización de sis emas, pues los
con e ido es conmu ados an a p esen a una mayo elación po encia/peso y
po encia/ olumen que los sis emas de alimen ación elec ónicos lineales.
No obs an e, pese a las e iden es en ajas de los con e ido es conmu ados, p esen an
cie os aspec os en los que se ha de con ibui a su mejo a, an o en el con e ido po su
compo amien o no lineal y a ian e con el iempo, po sus cambios cíclicos de
opología ([MOH95],[RAS95]), como en el con olado del mismo pues plan ea
con oles no lineales y complejos dada la es uc u a.
Aún p esen ando un al o endimien o en el p oceso de con e sión de ene gía, és e se
puede op imiza median e las es a egias de conmu ación denominadas de ensión ce o,
Ze o-Vol age Swi ching (ZVS), o de co ien e ce o, Ze o-Cu en Swi ching (ZCS), con
las que educi las pé didas po conmu ación de los in e up o es del con e ido . En el
conjun o de pé didas a ibuibles a los in e up o es de un de e minado con e ido
PWM un impo an e an o po cien o es debido a la disipación de ene gía que sucede en
el p oceso de encendido y apagado. Con el obje i o de minimiza dicha ene gía de
pé didas en conmu ación, se plan ea una ac uación en el gobie no del in e up o cuando
al menos una de las magni udes que a ec an a la po encia disipada, ensión o co ien e,
p esen e un alo nulo. Dependiendo del ipo de con e ido , dichos pasos po ce o son
p opios de la es uc u a, al como en los con e ido es de anque esonan e, o se han de
impone median e un ci cui o auxilia . En ningún caso a exis i un uncionamien o
comple amen e óp imo, pues o se inc emen a la complejidad del con e ido o se
inc emen an las pé didas en conducción de los in e up o es o se pie de agilidad pa a
segui una de e minada ley de con ol. Todo ello, la mayo ía de las eces, con cla a
dependencia del alo de la ca ga y el pun o de abajo del con e ido .
Mención apa e con iene ci a el inc emen o de complejidad y análisis de las es uc u as
de con e sión de ene gía esonan es, que hace que su diseño sea di ícil y con excesi a
dependencia de los e ec os pa ási os de los componen es del con e ido .
Pese a las di icul ades ci adas, los con e ido es esonan es pueden apo a un
inc emen o en el endimien o ene gé ico de con e sión eléc ica además de hace
disminui la gene ación de in e e encias elec omagné icas, EMI, an o adiadas como
conducidas, que puede a ec a de o ma impo an e a o os equipos del en o no. El
inc emen o no able de las necesidades ene gé icas en nues a sociedad ha hecho
aumen a la demanda de sis emas de alimen ación y de a amien o de la ene gía
eléc ica. Po an o, cualquie inicia i a encaminada a consegui un inc emen o del
endimien o en el p oceso de con e sión eléc ica, o mejo a en algunos de los aspec os
plan eados, epe cu i á en una educción eno me en las pé didas y op imización del uso
de los ac uales ecu sos ene gé icos, debido a la eno me di usión y uso de los ac uales
con e ido es conmu ados en nues a sociedad.
1. INTRODUCCIÓN
4
La disminución de pé didas en conmu ación a a posibili a aumen a el endimien o de
con e sión ene gé ica o, asumiendo un endimien o acep able, inc emen a la ecuencia
de conmu ación del con e ido . Es a úl ima posibilidad es una endencia cla a en la
e olución ac ual de odas las es uc u as de con e sión de ene gía en el ámbi o de
elec ónica de po encia. Se con ibuye a la disminución de olumen y peso de
capacidades, de induc ancias y ans o mado es en el equipo, inc emen ando la elación
po encia/ olumen o po encia/peso del con e ido has a lími es muy supe io es a los
posibles median e los p ime os con e ido es lineales.
Los ac uales con e ido es DC-DC abajan a ele adas ecuencias de conmu ación
(cen ena es de kHz) po lo que son sis emas de dinámica ápida. Es o acili a la
posibilidad de egulación de la ensión o co ien e de salida, y la ac uación an e
ansi o ios o pe u baciones en la ca ga y alimen ación del con e ido , siemp e
median e un con ol adecuado. Es a úl ima condición jus i ica la impo an e ía de
in es igación ac ual que es el es udio de con oles no lineales aplicados en los campos
de la au omá ica y elec ónica de po encia, [MAR95], [KHA96]. El obje i o buscado en
odo es e á ea de conocimien o es op imiza , espec o a los con oles lineales clásicos, el
sis ema o plan a en es udio, mejo ando su espues a dinámica, su obus ez an e
a iaciones en la ca ga e inmunidad an e las pe u baciones de la uen e de
alimen ación.
1.1 Con e ido es esonan es de a ios in e up o es y su con ol
Exis e g an can idad de con e ido es DC-DC esonan es y no esul a ácil ealiza una
clasi icación cla a de los di e en es ipos. Dependiendo del au o , la clasi icación se
pod á ealiza espec o al núme o de ansis o es, ipo de conmu ación, ipo de
es uc u a, e c.
Sin emba go, pa ece cla o que pa a maneja media o al a po encia en la con e sión DC-
DC, y en gene al pa a cualquie o ma de con e sión de ene gía, es necesa io
ac ualmen e acudi a las opologías de a ios in e up o es [JAC04]. Es os con e ido es
esonan es es án basados en los denominados in e so es esonan es, pues exci an un
ci cui o comple amen e esonan e en un pun o de uncionamien o ípicamen e p óximo a
su ecuencia de esonancia.
Es os ci cui os es án cons i uidos po di e en es e apas, po lo que den o de es as
es uc u as exis en di e en es con igu aciones en unción de cómo son las e apas que
cons i uyen el con e ido . A con inuación se ci an las di e en es posibilidades:
• con la uen e de alimen ación del con e ido de ensión o de co ien e,
• si el in e so es de puen e comple o o medio puen e,
• según el núme o y la o ma de asociación de los induc o es y condensado es que
o man el anque esonan e,
• si la colocación de la ca ga espec o al ci cui o esonan e es en se ie con el
anque esonan e o en pa alelo a un componen e del mismo, y
• el ipo de il o de salida usado.
1. INTRODUCCIÓN
5
Todas es as posibilidades dan una g an a iedad de con e ido es. Sin emba go las es
es uc u as más u ilizadas en la indus ia son las es udiadas en es a esis (PRC, SRC y
SPRC) y p esen adas en las igu as 1.1, 1.2, 1.3.
Fig. 1.1. Esquema del PRC (Pa allel-loaded Resonan Con e e )
Fig. 1.2. Esquema del SRC (Se ies-loaded Resonan Con e e )
G an pa e de es a popula idad es debida a que en la implemen ación ísica del
con e ido , los e ec os pa ási os de los componen es se pueden inco po a a la
es uc u a del con e ido . Po ejemplo la induc ancia de dispe sión del ans o mado
1. INTRODUCCIÓN
6
de enlace o su capacidad en los de anados, puede deja de se un incon enien e y pasa
a se pa e ac i a del ci cui o esonan e [JOH88b].
Fig. 1.3. Esquema del SPRC (Se ies Pa allel-loaded Resonan Con e e )
El p ime análisis de un con e ido esonan e DC-DC apa eció en el año 1982
p esen ado po V. Vo pe ian y S. Ćuk, en el que se ealiza un análisis es á ico y
dinámico del SRC. El siguien e abajo impo an e ue el de R. L. S eige wald [STE84]
en el año 1984, con la p ime a clasi icación impo an e de los con e ido es de anque
esonan e y la in oducción del mé odo de ap oximación al p ime a mónico. Pos e io es
abajos ue on el de A.F. Wi ulski y R.W. E ickson [WIT86] pa a el SRC y S.D.
Johnson y R.W. E ickson [JOH88a] pa a el PRC. A pa i de es e momen o empiezan a
apa ece g an can idad de apo aciones en la bibliog a ía, an o en aplicaciones de los
con e ido es, como en el diseño y op imización de la plan a y su con ol.
La apa ición del con e ido SPRC ue pos e io , en 1988, pe o su uso se ha ex endido
ápidamen e pese al inc emen o de componen es eac i os, po p esen a los bene icios
del con e ido se ie y del pa alelo.
El con ol de los con e ido es esonan es siemp e se ha ealizado median e el gobie no
de los in e up o es de la e apa in e so a que hace de enlace de la uen e de
alimen ación con el anque esonan e. De es a o ma, pa a ealiza una a iación de una
de e minada magni ud del con e ido , como po ejemplo la ensión en la ca ga, en los
in e up o es del conjun o in e so se plan ean como acciones posibles a ealiza en la
o ma de onda de ensión de salida del puen e la:
• a iación de su ecuencia,
• a iación de su ase o in e alo de ac uación (clamped-mode) y
• cuan i icación de las secuencias de ac i ación (Quan um Sequence Con ol).
1. INTRODUCCIÓN
7
Median e la p ime a es a egia de ac uación, los in e up o es que exci an el anque
esonan e son ac i ados de mane a que se aplique una o ma de onda de ensión
cuad ada, de ecuencia s y de ampli ud E ( igu a 1.4). Con la segunda es a egia se
aplica una o ma de onda semicuad ada o en de pulsos bipola es, de ecuencia s, de
ampli ud E y de iempo mue o T/2- on de ensión ce o ( igu a 1.5). En la e ce a se
combinan unos pe iodos de ensión cuad ada, al como en la ac uación de ecuencia
a iable, con unos pe iodos de ausencia comple a de ensión ( igu a 1.6). En las
siguien es igu as se ep esen an las o mas de ensión de exci ación del anque
esonan e bajo las di e en es es a egias.
Fig. 1.4. Fo ma de onda en el in e so con ac uación po a iación de ecuencia
Fig. 1.5. Fo ma de onda en el in e so con ac uación po a iación de ase
Fig. 1.6. Fo ma de onda en el in e so con ac uación po cuan i icación
de las secuencias de ac i ación
La g an a iedad de apo aciones que se encuen an en la bibliog a ía écnica
co esponden a abajos de modelado de las ci adas es uc u as, de análisis del
compo amien o es aciona io, de ap oximaciones de pequeña señal pa a analiza su
compo amien o dinámico, de di e en es conside aciones de diseño ísico del
con e ido , p opues as de es a egias de con ol y p esen ación de aplicaciones
indus iales óp imas de es os con e ido es.
En 1982 en [RAN82] ya e a p opues a una egulación de la ensión de salida del PRC
median e la a iación de la ecuencia de conmu ación del anque esonan e.

1. INTRODUCCIÓN
8
El es udio del plano de ase que p esen an los con e ido es esonan es, supuso un
pun o de pa ida básico y e e encia obligada en el es udio de es os con e ido es.
Den o de es e con ex o, en g an can idad de abajos se ha es udiado el compo amien o
y dinámica de dichos con e ido es, y p opues o di e en es mé odos de con ol al como
en [ORU85a],[ORU85b], [ORU85c], [ROS92], [TSA88a].
El es udio de la ene gía asociada al anque esonan e, ambién ha conducido a la
p opues a de es a egias de con ol al como en [KIM91b].
El es udio de la dinámica de o ma disc e a de es os con e ido es ha hecho apa ece
modelos y con oles disc e os, al como los p opues os en [ELB88], [KIM91a].
Una p opues a in e esan e ue la apa ecida en 1984 en [HAA84] con la aplicación de la
In eg al Pulse Modula ion en el SRC. En él se es udia la dinámica del con e ido bajo
es a nue a p opues a de con ol y se p oponen mejo as de uncionamien o.
Así mismo, en [KLA86], [KLA89] apa ece una nue a e in e esan e opología que
pe mi e un lujo de ene gía bidi eccional, en e en ada y salida del con e ido SRC,
posibili ando su uso como con e ido DC-AC median e una écnica de modulación de
pulsos de po encia (powe pulse modula ion). También, en [BID90] se p esen a un
ondulado median e un con e ido SRC, y el lazo de con ol que lo posibili a.
Jun amen e con los es udios ela i os a las es uc u as clásicas a anque esonan e, en
[GU88] se p oponen nue as es uc u as que pe mi an mejo es mé odos de egulación en
los con e ido es esonan es.
Pa a el con e ido SPRC ambién han habido apo aciones, como [BAT89], [BAT90],
[BAT91], que desde el es udio del plano de ase han analizado la dinámica del
con e ido y su con ol.
La in oducción de con olado es no lineales en es os con e ido es a pa i de los años
90, gene ó una g an a iedad de apo aciones en la bibliog a ía [CAR00], [CAS00],
[VEN04], siendo los con oles más es udiados el de deslizamien o y el de pasi idad.
También g an can idad de publicaciones se encuen an abo dando la p oblemá ica de las
pé didas en conmu ación y de conducción de los in e up o es con olados del bloque
in e so [BUR01]. Median e al e na i as de con ol se p e enden minimiza dichas
pé didas pa a mejo a el endimien o del con e ido .
1.2 P oblemá ica de los con e ido es esonan es de a ios
in e up o es
Un p ime aspec o es á elacionado con el con ol de es as es uc u as. El núme o de
elemen os almacenado es de ene gía en un con e ido indica el o den del con e ido ,
que esul a en un g ado o es imación de su complejidad en su con ol. En los
con e ido es esonan es en es udio, el de meno o den es el SRC de o den es po
posee es elemen os eac i os, el PRC es de o den cua o y el SPRC de o den cinco.
Pese a se con e ido es de ele ado o den son sis emas del ipo SISO (Single Inpu
1. INTRODUCCIÓN
9
Single Ou pu ). La única ac uación disponible pa a el con ol es desde los in e up o es
ipo MOSFET o IGBT del in e so , que es la p ime a e apa que o ma el con e ido .
Las acciones de con ol ealizadas en el in e so ienen que p opaga se a a és del
anque esonan e y el il o de salida, has a llega a la ca ga. Es a p opagación a a
conlle a un e a do en la espues a del sis ema, que es an o mayo cuan o meno sea el
ancho de banda del il o de salida de los con e ido es y po an o de dinámica más
len a.
O o aspec o c í ico es la excesi a in luencia del alo de la ca ga en las o mas de onda
de las magni udes esonan es de los con e ido es. Dado que el anque esonan e es un
ci cui o se ie abajando en o no a su ecuencia na u al, el alo de la ca ga del
con e ido a ec a en eno me medida al alo de la co ien e po la bobina esonan e y
al alo del ol aje del condensado esonan e [ERI01].
Asumiendo una es a egia de con ol po a iación de ecuencia, las a iaciones del
pun o de abajo del con e ido y las a iaciones de ca ga pueden ocasiona a iaciones
eno mes en las magni udes esonan es. Si se han de sopo a es as condiciones de
abajo en el con e ido , se ha de ealiza un sob edimensionado de los in e up o es y
de los componen es esonan es. Los cos es de diseño y de ab icación del con e ido se
han de inc emen a no ablemen e, y se e á disminuida su elación po encia/ olumen (o
peso). También el endimien o de con e sión ene gé ica del con e ido disminui á pues
las pé didas de conducción en los in e up o es se inc emen a án.
Respec o a la conmu ación de los ansis o es del puen e in e so de es os con e ido es
de anque esonan e, las mínimas pé didas de conmu ación suceden en dos condiciones
de abajo di e en es. Una p ime a cuando el paso po ce o de la ensión de exci ación
del anque esonan e coincide con el de la co ien e esonan e y una segunda cuando se
consigue una conmu ación del ipo ZVS que ga an ice el apagado de los ansis o es a
ensión nula.
La p ime a condición de abajo co esponde al caso pa icula que la ecuencia de
conmu ación del in e so impone un compo amien o esis i o a la en ada del anque
esonan e. Es a ecuencia de conmu ación coincide con la ecuencia na u al del anque
esonan e pa a el SRC, pe o expe imen a pequeñas a iaciones dependiendo del alo
de la ca ga pa a el PRC y del SPRC. Po an o, si el ma gen de egulación y ca ga es
amplio, no se puede ga an iza una mínima disipación de po encia en odas las
condiciones de abajo de es os dos úl imos con e ido es.
Pa a el caso de una conmu ación ipo ZVS, se puede ga an iza el encendido y apagado
de los ansis o es a ensión nula pa a un amplio ma gen de alo es de ca ga. Pe o, si la
co ien e esonan e expe imen a g an a iación en sus alo es, el apagado a ensión nula
no se a a pode ga an iza pa a odos los alo es posibles de co ien e esonan e.
Po an o, ue a de las condiciones de conmu ación op imas, en dichos con e ido es
pueden sucede conmu aciones con impo an e disipación de ene gía, al como en un
con e ido ipo PWM. Además las pé didas en conducción pueden ácilmen e
inc emen a se exponencialmen e, hecho és e que cues iona el uso de los con e ido es
de anque esonan e en aplicaciones con g an a iación en el pun o de abajo y en la
ca ga.
1. INTRODUCCIÓN
10
Pa a el caso pa icula del PRC, las aplicaciones ípicas de uso son pa a gene a una
ensión con inua ija a la salida sin g andes má genes de egulación y en sis emas que
p esen en pocas pe u baciones en o no al pun o de abajo deseado. De es a o ma, el
lazo de con ol de los in e up o es del in e so del anque esonan e egula pequeñas
a iaciones de ecuencia o ángulo de ac i ación, según sea la es a egia de ac uación.
De hecho, la p opia es uc u a del anque esonan e y la ca ac e ís ica no lineal del
conjun o de la ca ga p o ocan una pob e egulación de la ensión de salida en
condiciones de g an a iación de la ca ga.
Es in e esan e ambién comen a que el campo ípico de uso de es os con e ido es suele
se an e ca gas que necesi en g andes ni eles de ol aje [JOH88b], siendo poco usado
en aplicaciones po debajo de los 48 V.
Po úl imo, comen a que el mé odo de ac uación más u ilizado es po a iación de la
ecuencia de la o ma de onda de ensión cuad ada de exci ación del anque esonan e.
El ci cui o con olado necesi a un oscilado con olado po ensión de al a sensibilidad
en el con ol pa a co egi adecuadamen e pequeñas pe u baciones, dada la espues a en
ecuencia del anque esonan e, que no es ácil de implemen a y supone una di icul ad
añadida a la concepción del sis ema.
1.3 Obje i os del p esen e abajo
El es udio de la p esen e Tesis Doc o al a di igido a las es uc u as de con e ido es
con inua-con inua de anque esonan e se ie de a ios in e up o es. Es as son:
• el Con e ido Resonan e Pa alelo, PRC ( igu a 1.1),
• el Con e ido Resonan e Se ie, SRC ( igu a 1.2) y
• el Con e ido Resonan e con dos condensado es, SPRC o LCC ( igu a 1.3).
En es as es uc u as se a a sus i ui la ac ual e apa ec i icado a no con olada que
poseen po una e apa ec i icado a con olada. La sín esis de cada nue a e apa end á
de e minada po las magni udes esonan es que in e engan en el bloque ec i icado de
cada con e ido .
Desde las nue as e apas ec i icado as se a a ealiza el con ol del con e ido , po lo
que se a a pasa de con ola median e el bloque in e so del con e ido a con ola
po el bloque ec i icado . En es e abajo no se con empla la posibilidad de con ola
los dos bloques a la ez. Nos cen a emos en es udia las posibilidades que o ece el
con ol desde la e apa ec i icado a de los con e ido es p esen ados, dejando el con ol
simul áneo de los dos bloques como una posible con inuación de la p esen e esis.
Median e el análisis de las nue as es uc u as ob enidas se ha de de e mina pa a cada
una de ellas en qué condiciones se consigue la máxima egulación de las magni udes de
salida. También pa a qué alo es de ca ga, alo es de los componen es del con e ido y
condiciones de abajo la egulación de las magni udes de salida son óp imas.
Además, se han de deduci las ecuencias de conmu ación del bloque in e so y las
condiciones de ca ga que minimicen los p oblemas asociados a es os con e ido es
comen ados en el an e io apa ado 1.2. Se end án que de e mina las condiciones
1. INTRODUCCIÓN
11
óp imas de diseño que ga an icen la mínima a iación de las magni udes esonan es,
odo ello aunque las magni udes de salida del con e ido y su ca ga puedan
expe imen a g an a iación.
Se p opond án dos ipos de con olado es a los con e ido es en es udio. El p ime o
median e ealimen ación de las a iables de es ado esonan es, deducido de la eo ía de
p omediado de sis emas [KHA96] y que co esponde con un con olado no lineal ipo
One-Cycle. El segundo con olado p opues o es el clásico lineal median e la
ealimen ación de a iables de es ado de salida y un egulado P opo cional In eg al.
O o ipo de con olado es no lineales, como el de modo deslizan e, han sido
p e iamen e es udiados y deses imados pa a los con e ido es desa ollados en es a
esis, po su di ícil implemen ación ísica y escasa apo ación p ác ica [CON00].
De los dos con olado es p opues os, el segundo ci ado es el ípico eedback
ampliamen e u ilizado en el con ol de con e ido es DC-DC, mien as que el p ime o
es un con ol eed o wa d. El uso del con olado One-Cycle es posible de implemen a
dada la nue a es a egia de con ol del con e ido median e el ec i icado con olado.
Es a a a se una nue a apo ación del con ol de ciclo único, cuyo uso y aplicación se
ha ex endido eno memen e en los con e ido es de po encia desde su p esen ación en
1995 po Keyue M. Smedley y Slobodan Ćuk, [SME95a]. La ápida ex ensión de es e
con ol no lineal iene jus i icada po las excelen es en ajas que eó icamen e plan ea,
que an desde el echazo a pe u baciones de línea y de ca ga de o ma ápida, has a la
eliminación de e o dinámico y es aciona io en e la e e encia y la magni ud
conmu ada p omediada. Debido a su apidez de acción, eó icamen e se puede ob ene
un excelen e compo amien o dinámico en iempos ansi o ios y ga an iza es ados
es aciona ios obus os del con e ido .
Se ha de es udia la in luencia de los di e en es lazos de con ol p opues os en las
nue as es uc u as sin e izadas y e i ica las expec a i as que a p io i p esen an dichos
con olado es en las p es aciones dinámicas de los nue os con e ido es.
2. OBTENCIÓN DE LAS NUEVAS ESTRUCTURAS
18
()
∫
=2
0
2
1s
T
p
s
od
n
T
V (2.6)
En o ma de esquema de bloques el SPRC se conside a como apa ece en la igu a 2.6.
Fig. 2.6. Esquema de bloques del SPRC
Dadas las simili udes en la e apa ec i icado a del SPRC clásico y el PRC clásico, el
con ol u2 a a se el mismo que el de la ecuación (2.3), pe o conside ando la a iable
de ansmisión de ene gía p.
2.2 El PRC con ec i icación con olada
En la igu a 2.7 se ep esen a el con e ido esonan e pa alelo de puen e comple o
(Full-B idge Pa allel-loaded Resonan Con e e ) obje o de es udio. Pa a posibili a
una egulación de la ensión de salida, o, de inida como la ensión en la esis encia de
ca ga RL, se p ecisa una ac uación adecuada en los in e up o es Sa, Sa’, Sb y Sb’,
median e las es a egias comen adas en el capí ulo 1.1 de in oducción.
Fig. 2.7. Con e ido esonan e pa alelo de puen e comple o (FB-PRC)
Se a a de un con e ido de cua o o den, po ene cua o elemen os que almacenan
ene gía. En la igu a 2.8 se p esen a el con e ido con la e apa in e so a pa cialmen e
modelada. El sis ema es del ipo SISO (Single Inpu Single Ou pu ), pues la ensión

2. OBTENCIÓN DE LAS NUEVAS ESTRUCTURAS
19
aplicada al anque esonan e depende á únicamen e de la unción de con ol u1, la cual
puede oma los alo es
{
}
1,0,1
1
−
∈u.
Fig. 2.8. Modelo del PRC clásico
Pa a posibili a el con ol del con e ido median e la e apa ec i icado a se sus i uyen
los in e up o es no con olados (diodos D1, D1’, D2 y D2’) po in e up o es
con olados. El nue o esquema se á el p opues o en la igu a 2.9.
Fig. 2.9. Sus i ución de in e up o es no con olados
po con olados en el PRC clásico
A pa i de la an e io igu a se analiza el conjun o de casos de in e és, en unción de la
es uc u a que oma el ci cui o, median e las di e en es posiciones (ON/OFF) que
pueden oma los in e up o es. P e iamen e es impo an e ene p esen e la na u aleza
de las magni udes eléc icas que an a a ec a a dichos in e up o es: si an a ene un
compo amien o como uen e de ensión o como uen e de co ien e. Es a conside ación
se indica en la igu a 2.10.
Fig. 2.10. Na u aleza de las magni udes que in e ienen en
los nue os in e up o es con olados del PRC
2. OBTENCIÓN DE LAS NUEVAS ESTRUCTURAS
20
Se obse a que la nue a ma iz de conmu ación ec i icado a es exci ada po una uen e
de ensión, ensión en ex emos del condensado C ponde ada po la elación de espi as
del ans o mado , y p esen a una salida po uen e de co ien e, co ien e po el
induc o L . Es o condiciona que sean necesa ios in e up o es unidi eccionales en
co ien e y bidi eccionales en ensión en la nue a e apa ec i icado a con olada, al
como se mues a en la misma igu a 2.10.
Se p oponen es casos de in e és, de los que se deduce un modelo gene al del PRC que
incluye la nue a a iable de con ol u2.
• Caso A, con los in e up o es
S1: ON S1’: OFF S2: OFF S2’: ON
Se desc ibe con las ecuaciones
L
oo
L
o
L
L
R
d
d
Ci
d
di
L
n
i
nd
d
Ci
d
di
LEu
+=
+=
+=
+=
1
1
(2.7)
que en no ación de espacio de es ados esul a
L
o
L
o
o
L
L
CR
C
i
d
d
L
L
nd
di
C
i
nC
i
d
d
L
u
L
E
d
di
−=
−=
−=
−=
1
1
1
(2.8)
• Caso B, con los in e up o es
S1: OFF S1’: ON S2: ON S2’: OFF
Con las ecuaciones
2. OBTENCIÓN DE LAS NUEVAS ESTRUCTURAS
21
L
oo
L
o
L
L
R
d
d
Ci
d
di
L
n
i
nd
d
Ci
d
di
LEu
+=
+=−
−=
+=
1
1
(2.9)
y en é minos de espacio de es ado
L
o
L
o
o
L
L
CR
C
i
d
d
L
L
nd
di
C
i
nC
i
d
d
L
u
L
E
d
di
−=
−−=
+=
−=
1
1
1
(2.10)
• Caso C. P esen a dos opciones de in e up o es, y ambas se desc iben po las
mismas ecuaciones:
a) S1: ON S1’: ON S2: OFF S2’: OFF
b) S1: OFF S1’: OFF S2: ON S2’: ON
Queda desc i o po las ecuaciones
L
oo
L
o
L
R
d
d
Ci
d
di
L
d
d
Ci
d
di
LEu
+=
+=
=
+=
0
1
(2.11)
y en espacio de es ado como
2. OBTENCIÓN DE LAS NUEVAS ESTRUCTURAS
22
L
o
L
o
oL
CR
C
i
d
d
L
d
di
C
i
d
d
L
u
L
E
d
di
−=
−=
=
−= 1
(2.12)
Conside ando (2.8), (2.10) y (2.12) el caso gene al pa a el PRC es de la o ma
L
o
L
o
oL
L
CR
C
i
d
d
u
L
nL
d
di
u
C
i
nC
i
d
d
u
L
E
L
d
di
−=
+−=
−=
+−=
2
2
1
1
1
(2.13)
Los alo es pe mi idos en las en adas u1 y u2 pa a el uncionamien o del PRC son los
siguien es:
{}
1,0,1
1
+
−∈u
{}
1,0,1
2
+
−∈u
Se obse a que la a iable de con ol u1 es á desacoplada de la a iable u2. Es a úl ima
oma los siguien es alo es en los es di e en es casos de es udio:
Caso A : u2 = +1
Caso B : u2 = -1
Caso C : u2 = 0
Con el nue o modelo ma emá ico del PRC deducido y pa a los casos en que se ha
es ablecido su uncionamien o, la es uc u a clásica del con e ido se ha de modi ica
hacia una nue a es uc u a ep esen ada en la igu a 2.11. Se obse a en la igu a que,
en el bloque ec i icado , con sólo dos in e up o es con olados y dos espon áneos ipo
diodo se consiguen los es casos de in e és pa a el uncionamien o deseado del
con e ido . Además, se obse a que la implemen ación ísica de los nue os
in e up o es con olados se ha p opues o median e el uso de ansis o es ipo MOSFET
y diodos.
El nue o con e ido p esen ado es denominado Con e ido de anque Resonan e
Pa alelo con Rec i icación Con olada, Pa allel-loaded Resonan Con e e wi h
2. OBTENCIÓN DE LAS NUEVAS ESTRUCTURAS
23
Con olled Rec i ica ion (PRC-CR), po con ene en su es uc u a un ec i icado
con olado en ez del clásico ec i icado no con olado.
Pa a ga an iza la con inuidad de la co ien e po el induc o L pa a cualquie alo de
la a iable de con ol u2, se incluye un diodo de lib e ci culación en el bloque
ec i icado .
Fig. 2.11. Con e ido PRC-CR
Es impo an e comen a que el nue o con e ido p opues o a a e i a el modo de
conducción discon inua de la ensión en el condensado esonan e po la acción del
con ol u2. El con olado diseñado pa a el con e ido puede e i a la en ada en
conducción de odos los in e up o es del puen e ec i icado dado que no es un caso de
in e és de los plan eados. Se e i a así un modo de conducción indeseado del PRC
clásico pa a la aplicación en es udio.
Al sis ema de ecuaciones (2.13) se le puede ealiza una no malización de a iables con
el in de ob ene un sis ema de ecuaciones gené ico o mado po a iables
no malizadas. Pa a ello se p oponen los siguien es cambios de a iables:
i
C
L
E
x1
1= (2.14)
E
x1
2= (2.15)
L
i
C
L
E
x1
1= (2.16)
o
E
x1
2= (2.17)
Se p opone ambién un cambio en la a iable empo al de la o ma
τ
CL = (2.18)

2. OBTENCIÓN DE LAS NUEVAS ESTRUCTURAS
24
El sis ema de ecuaciones esul an e es
21
2
222
1
211
2
12
1
1
1
L
x
CR
CL
x
CL
CL
d
dx
ux
CL
CL
n
x
CL
CL
d
dx
ux
L
C
C
L
n
x
d
dx
ux
d
dx
−=
+−=
−=
+−=
τ
τ
τ
τ
(2.19)
Tomando
C
C
=
α
(2.20)
CL
CL
=
β
(2.21)
LC
L
R
1
=
δ
(2.22)
esul a el siguien e sis ema no malizado pa a el PRC-CR
()
21
2
222
1
211
2
12
1
1
1
xx
d
dx
ux
n
x
d
dx
ux
n
x
d
dx
ux
d
dx
δβ
τ
β
τ
αβ
τ
τ
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+−=
−=
+−=
(2.23)
2.3 El SRC con ec i icación con olada
En la igu a 2.12 se p esen a el con e ido esonan e se ie de puen e comple o (Full-
B idge Se ies-loaded Resonan Con e e ). La ope a i a de análisis es idén ica a la de la
an e io es uc u a.
2. OBTENCIÓN DE LAS NUEVAS ESTRUCTURAS
25
Fig. 2.12. Con e ido esonan e se ie de puen e comple o (FB-SRC)
Se obse a que es un con e ido de e ce o den. En la igu a 2.13 se sus i uye el
conjun o in e so po su ci cui o equi alen e pa a simpli ica el es udio del con e ido .
Fig. 2.13. Modelo del SRC
Nue amen e, el sis ema es del ipo SISO en la co ien e po la ca ga, IL, con la unción
de con ol u1. Pa a posibili a el con ol del con e ido desde la e apa ec i icado a, se
uel en a sus i ui los in e up o es no con olados (diodos D1, D1’, D2 y D2’) po
in e up o es con olados, esul ando el esquema p opues o en la igu a 2.14.
Fig. 2.14. Sus i ución de in e up o es no con olados
po con olados en el SRC
En el SRC, la na u aleza de las magni udes eléc icas que a ec an a los nue os
in e up o es ienen un compo amien o al como el p esen ado en la igu a 2.15. La
nue a ma iz de conmu ación es exci ada po una uen e de co ien e, co ien e po el
induc o esonan e L ponde ada po la elación de espi as del ans o mado , y p esen a
una salida po uen e de ensión, ensión en ex emos del condensado de salida C . És o
2. OBTENCIÓN DE LAS NUEVAS ESTRUCTURAS
26
de e mina que los in e up o es deben se bidi eccionales en co ien e y unidi eccionales
en ensión, al como se indica en la siguien e igu a.
Fig. 2.15. Na u aleza de las magni udes que in e ienen en
los nue os in e up o es con olados del SRC
Se p esen an de nue o es casos de in e és de los que se deduce un modelo gene al del
SRC que incluye una a iable nue a de con ol: u2.
• Caso A, con los in e up o es
S1: ON S1’: OFF S2: OFF S2’: ON
Se desc ibe con las ecuaciones
L
oo
o
R
d
d
Cin
d
d
Ci
n
d
di
LuE
+=
=
++=
1
(2.24)
que en no ación de espacio de es ado es
L
o
o
o
CR
C
i
n
d
d
C
i
d
d
u
L
E
L
n
L
d
di
−=
=
+−−= 1
(2.25)
• Caso B, con los in e up o es
S1: OFF S1’: ON S2: ON S2’: OFF
Se desc ibe con las ecuaciones
2. OBTENCIÓN DE LAS NUEVAS ESTRUCTURAS
27
L
oo
o
R
d
d
Cin
d
d
Ci
n
d
di
LuE
+=−
=
−+=
1
(2.26)
que en espacio de es ado es
L
o
o
o
CR
C
i
n
d
d
C
i
d
d
u
L
E
L
n
L
d
di
−−=
=
++−= 1
(2.27)
• Caso C, con los in e up o es
S1: OFF S1’: ON S2: OFF S2’: ON
Se desc ibe con las ecuaciones
L
oo
R
d
d
C
d
d
Ci
d
di
LuE
+=
=
+=
0
1
(2.28)
que en espacio de es ado queda como
L
oo
CR
d
d
C
i
d
d
u
L
E
L
d
di
−=
=
+−= 1
(2.29)
El caso gene al pa a el SRC esul a
2. OBTENCIÓN DE LAS NUEVAS ESTRUCTURAS
34
Con (2.41), (2.43) y (2.45) se p esen a como caso gene al pa a el SPRC:
L
o
L
o
p
oL
s
s
p
L
p
p
p
s
CR
C
i
d
d
u
L
nL
d
di
C
i
d
d
u
C
i
nC
i
d
d
u
L
E
L
L
d
di
−=
+−=
=
−=
+−−=
2
2
1
1
1
(2.46)
Los alo es pe mi idos en las en adas u1 y u2 pa a el uncionamien o del SPRC son de
nue o los siguien es:
{}
1,0,1
1
+
−∈u
{}
1,0,1
2
+
−∈u
La a iable de con ol u1 con inua desacoplada de la a iable u2, la cual oma los
siguien es alo es en los es di e en es casos de in e és:
Caso A : u2 = +1
Caso B : u2 = -1
Caso C : u2 = 0
Dado el nue o modelo del SPRC deducido y pa a los casos de uncionamien o en que
es á es ablecido su uncionamien o, la es uc u a del con e ido clásica se ha de
modi ica hacia una nue a es uc u a como la p opues a a con inuación.
Fig. 2.21. Con e ido SPRC-CR

2. OBTENCIÓN DE LAS NUEVAS ESTRUCTURAS
35
El nue o con e ido p esen ado se denominada Con e ido de anque Resonan e Se ie
Pa alelo con Rec i icación Con olada, Se ies Pa allel loaded Resonan Con e e wi h
Con olled Rec i ica ion (SPRC-CR). Se obse a que la opología del ec i icado de
salida es idén ica a la del PRC. Es o es así po la coincidencia que exis e en e ambos
con e ido es en la na u aleza de las a iables que in e ienen en su bloque ec i icado .
Finalmen e, con la no malización de a iables se p esen a un sis ema de ecuaciones
gené ico del sis ema (2.46). Pa a ello se ealizan los siguien es cambios de a iables.
i
C
L
E
x′
=1
1 (2.47)
p
E
x1
2= (2.48)
s
E
x1
2= (2.49)
L
i
C
L
E
x1
1= (2.50)
o
E
x1
2= (2.51)
siendo
p s
p s
CC
CC
C+
=
′ (2.52)
Se ealiza ambién un cambio en la a iable empo al de la o ma
τ
'
CL = (2.53)
El sis ema de ecuaciones que esul a es
21
2
222
1
1
3
211
2
132
1
1
1
L
s
p
p
x
CR
CL
x
CL
CL
d
dx
ux
CL
CL
n
x
CL
CL
d
dx
x
C
C
d
dx
ux
L
C
C
CL
n
x
C
C
d
dx
uxx
d
dx
′
−
′
=
′
+
′
−=
′
=
′
−
′
=
+−−=
τ
τ
τ
τ
τ
(2.54)
Si se aplica el siguien e cambio de cons an es
2. OBTENCIÓN DE LAS NUEVAS ESTRUCTURAS
36
p
C
C
=
α
(2.55)
CL
CL ′
=
β
(2.56)
LC
L
R⋅= 1
δ
(2.57)
p
C
C
′
=
γ
(2.58)
s
C
C
′
=
ρ
(2.59)
Resul a inalmen e el sis ema no malizado pa a el SPRC-CR
()
21
2
222
1
1
3
211
2
132
1
1
1
xx
d
dx
ux
n
x
d
dx
x
d
dx
ux
n
x
d
dx
uxx
d
dx
δβ
τ
β
τ
ρ
τ
βαγ
τ
τ
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+−=
=
−=
+−−=
(2.60)
2.5 Resumen de las es uc u as y modelos ob enidos
Como esumen se p esen an las es nue as es uc u as ob enidas y sus modelos
ma emá icos deducidos en no ación de espacio de es ado.
Pa a el PRC-CR co esponde la siguien e es uc u a y desc ipción ma emá ica:
L
o
L
o
oL
L
CR
C
i
d
d
u
L
nL
d
di
u
C
i
nC
i
d
d
u
L
E
L
d
di
−=
+−=
−=
+−=
2
2
1
1
1
2. OBTENCIÓN DE LAS NUEVAS ESTRUCTURAS
37
Pa a el SRC-CR:
2
21
u
C
i
n
CR
d
d
C
i
d
d
u
L
nu
L
E
L
d
di
L
oo
o
+−=
=
−+−=
Pa a el SPRC-CR:
L
o
L
o
p
oL
s
s
p
L
p
p
p
s
CR
C
i
d
d
u
L
nL
d
di
C
i
d
d
u
C
i
nC
i
d
d
u
L
E
L
L
d
di
−=
+−=
=
−=
+−−=
2
2
1
1
1
2. OBTENCIÓN DE LAS NUEVAS ESTRUCTURAS
38
CAPÍTULO 3
CONTROLES PROPUESTOS
Subíndice:
3. CONTROLES PROPUESTOS...................................................................................39
3.1 In oducción ..........................................................................................................41
3.2 Con olado One-Cycle .........................................................................................42
3.2.1 Caso del PRC-CR...........................................................................................44
3.2.2 Caso del SRC-CR...........................................................................................47
3.2.3 Caso del SPRC-CR ........................................................................................49
3.3 Con olado lineal..................................................................................................49

3. CONTROLES PROPUESTOS
41
3.1 In oducción
A con inuación se analizan las condiciones que han de cumpli los posibles
con olado es de la nue a e apa ec i icado a con olada. El obje i o de dichos
con olado es es egula la a iable p opia de la ca ga de cada con e ido a un alo
cons an e deseado y ga an iza obus ez an e a iaciones de ca ga y de la ensión de
en ada.
Tal como se ha comen ado en el capí ulo 2, cada una de las nue as es uc u as de
con e ido es p esen adas se puede di idi en dos subsis emas. El p ime subsis ema
co esponde al ci cui o del anque esonan e y el segundo co esponde al ci cui o del
il o de salida, es ando ambos enlazados median e los in e up o es del ec i icado .
Ambos subsis emas p esen an dinámicas bien di e en es debido a los alo es ípicos de
diseño de los condensado es e induc o es de cada ci cui o, esul ando que las
magni udes eléc icas del anque esonan e ienen una e olución mucho más ápida que
las del il o de salida. Como hipó esis de análisis se a a conside a en es ado
es aciona io la e olución de la ensión en los condensado es esonan es y la co ien e
po los induc o es esonan es una o ma de onda de al a ecuencia y pe iódica. Y pa a
los il os de salida, la e olución de la co ien e po el induc o y la ensión en el
condensado como o mas de onda de baja ecuencia.
En nues a p opues a de es udio se exci a el subsis ema del anque esonan e median e
una a iable de con ol u1 de ecuencia ija p óxima a la ecuencia de esonancia con
o ma de onda cuad ada omando como posibles alo es {-1, 1}. Es a o ma de abajo
es ípica en la bibliog a ía [FOS95], pues hace e oluciona las magni udes esonan es en
égimen es aciona io de o ma es able y pe iódica. G acias a es a pe iodicidad de las
magni udes del anque esonan e, en la segunda a iable de con ol u2 se pueden
p opone di e sas es a egias de con ol con las que consegui la egulación y obus ez
deseadas en el con e ido .
En la igu a 3.1 se ep esen an las dos posibles es a egias que se pueden implemen a
con un con olado pa a el con ol de u2:
• median e el sensado de la a iable de es ado del anque esonan e (opción 1), o
• median e el sensado de la a iable de es ado de salida (opción 2).
La p ime a es a egia p opues a se puede consegui con un con olado ipo One-Cycle.
En es e caso, la ley de con ol u2 se ob end á median e el sensado de la a iable
esonan e de ansmisión de ene gía del con e ido en cues ión.
La segunda es a egia p opues a es la clásica de ealimen ación de la a iable de salida
con un egulado lineal o no lineal. La a iable de con ol u2 se ob end á aho a median e
el sensado de la a iable p opia de la ca ga del con e ido .
3. CONTROLES PROPUESTOS
42
Fig.3.1. Posibles es a egias pa a de e mina el con ol u2
3.2 Con olado One-Cycle
Es e con olado se deduce de la aplicación de la eo ía de p omediado de sis emas
[KHA96] ampliamen e u ilizada en el análisis de sis ema complejos.
El mé odo de p omediado se aplica a sis emas de la o ma
(
)
ε
ε
,, x x =
& (3.1)
donde ε es un pa áme o posi i o pequeño y ( ,x,
ε
) es T-pe iódica en . Es o es
()()
(
)
[
)
[
)
o
Dx x xT
ε
ε
ε
ε
,0,0,,,,,,,
×
×
∞
∈
∀
=+
pa a un dominio n
R
D∈. El mé odo ap oxima la solución de es e sis ema po la
solución de un “sis ema p omediado”, ob enido del p omediado de ( ,x,
ε
) en
ε
=0.
El lado de echo de la igualdad p esen ada en (3.1) es á mul iplicado po una cons an e
posi i a
ε
. Cuando
ε
es pequeña, la solución x a ia á “len amen e” espec o a las
luc uaciones pe iódicas de ( ,x,
ε
). Es in ui i amen e cla o que si la espues a de un
sis ema es mucho más len a que la exci ación, la espues a se á de e minada
básicamen e po el alo medio de la exci ación. Es a in uición iene sus o ígenes en la
eo ía de sis emas lineales, donde es conocido que si el ancho de banda de un sis ema es
mucho más pequeño que el ancho de banda de la en ada, en onces el sis ema ac ua á
como un il o pasa bajos que echaza á la componen e de al a ecuencia de la en ada.
Es a in e p e ación del p omediado de un sis ema supone un escalado empo al de la
e olución de las a iables del mismo po la eliminación de las componen es de al a
ecuencia, ealizando po an o una in e p e ación de la dinámica del sis ema más len a.
Es as ideas son ambién aplicables a los sis emas no lineales, ales como los sis emas de
con e sión de ene gía conmu ados en es udio.
3. CONTROLES PROPUESTOS
43
Se asocia con el sis ema (3.1) el denominado sis ema p omediado au ónomo
(
)
x x a
ε
=
& (3.2)
donde
() ()
∫
=
T
a dx
T
x
0
,,
1
τε
(3.3)
El p oblema básico en el mé odo de p omediado es de e mina has a que pun o el
compo amien o del sis ema au ónomo (3.2) se ap oxima al compo amien o del sis ema
más complejo no au ónomo (3.1). Median e un cambio de a iables adecuado se puede
demos a que el sis ema no au ónomo se compo a como una pe u bación del sis ema
au ónomo. Po an o, la ap oximación de un sis ema no au ónomo po uno au ónomo
se á an o más álida cuan o menos e ec o p esen en las pe u baciones del sis ema, es
deci , cuan o más a enuadas sean las componen es de en ada de al a ecuencia po el
sis ema.
La eo ía de p omediado nos p esen a el siguien e eo ema:
Sea ( ,x,
ε
) con inua y aco ada, con de i adas pa ciales ambién
con inuas y aco adas has a de segundo o den espec o a (x,
ε
) pa a
( ,x,
ε
)∈[0,∞)×D×[0,εo). Se supone que es T pe iódica en pa a
>0 y
ε
es un pa áme o posi i o. Sean x( ,
ε
) y xa ( ,
ε
) soluciones de
(3.1) y (3.2), espec i amen e.
•
Si
()
],0[,
ε
ε
b
D xa ∈∀∈
y
() ()
εεε
kxx a ≤− ,0,0 ,
en onces
()
(
)
εεε
k x x a ≤− ,, en ],0[
ε
b
•
Si Dp ∈
* es un pun o de equilib io
exponencialmen e es able pa a el
sis ema p omediado (3.2) , en onces
exis e una cons an e posi i a
ρ
al que
si
()
ρε
<− *
,0 pxa y
() ()
εεε
kxx a ≤− ,0,0 , en onces
()
(
)
εεε
k x x a ≤− ,, pa a odo ∈ [0,∞)
3. CONTROLES PROPUESTOS
50
Fig. 3.6. Sinc onización de o mas de onda
En colo e de, m , apa ece la magni ud esonan e sensada, en colo azul, c, la ampa
sinc onizada con dicha a iable esonan e, en ojo, m, la salida del egulado lineal a
modula y en osa, gs, la señal de ac i ación de los in e up o es con olados del bloque
ec i icado .
Median e es a sinc onización se ap o echan los pasos po ce o de la a iable esonan e
de ansmisión de ene gía pa a conmu a los in e up o es y consegui conmu aciones
con la meno disipación de ene gía posible.

CAPÍTULO 4
ANÁLISIS DEL PRC-CR
Subíndice:
4. ANÁLISIS DEL PRC-CR ..........................................................................................51
4.1 Análisis po ap oximación al p ime a mónico.....................................................53
4.1.1 Compo amien o del PRC clásico a la ecuencia de esonancia...................53
4.1.2 Impedancia de en ada del PRC clásico.........................................................55
4.1.3 Impedancia e ec i a dependien e de la elación de conducción
del ec i icado ...............................................................................................61
4.1.4 Impedancia de en ada del PRC-CR ..............................................................65
4.1.5 Función de ans e encia del anque esonan e ..............................................70
4.1.6 Tensión de salida no malizada.......................................................................76
4.1.7 C i e ios de cálculo del con e ido ...............................................................80
4.1.8 Resul ados de simulación...............................................................................83
4.2 Solución del modelo en espacio de es ado............................................................87
4.2.1 In oducción ...................................................................................................87
4.2.2 Re e encias pa a el análisis de las o mas de onda ........................................88
4.2.3 Solución gene al de las a iables esonan es .................................................91
4.2.4 Valo es del ec o de es ado en los ins an es de cambio de in e alo ...........95
4.2.5 Du ación del in e alo de 0 a 1 .................................................................100
4.2.6 Tensión de salida..........................................................................................102
4.2.7 Cambio de a iables y no malización de las ecuaciones.............................105
4.2.8 Resul ados de simulación de la ensión de salida no malizada....................108
4.3 Compa ación de esul ados.................................................................................110
4. ANÁLISIS DEL PRC-CR
4.1 Análisis po ap oximación al p ime a mónico
53
Es necesa io analiza es a nue a p opues a de con e ido de anque esonan e
denominada PRC-CR, pues una g an can idad de a iables son las que in e ienen y
condicionan su dinámica. Tal como sucede pa a los con e ido es de anque esonan e
clásicos, a a exis i en el compo amien o del con e ido g an dependencia de la
ecuencia de conmu ación del in e so , de la impedancia ca ac e ís ica del anque
esonan e, de la elación de ans o mación del ans o mado de enlace y del alo de la
ca ga.
Del análisis de la es uc u a se ob iene la dependencia de las o mas de onda de ensión
y co ien e del con e ido espec o a los alo es de componen es y pa áme os del
ci cui o an es mencionados. Como esul ados se ob end án
9 ecuencias de conmu ación óp imas de uncionamien o,
9 má genes óp imos de egulación,
9 elación ensión de salida espec o a la ca ga del con e ido y el ciclo de abajo
del ec i icado y
9 c i e ios de cálculo del con e ido .
El es udio de la es uc u a es abo dado, en p ime luga , median e un análisis po
ap oximación al p ime a mónico. Es e mé odo, pese a su simplicidad, a a o ece unos
esul ados in e esan es y con un pequeño e o . Pa a co obo a es e análisis se
solucionan las ecuaciones del modelo ma emá ico en a iable de es ado, ob eniendo las
ecuaciones empo ales del con e ido . Finalmen e son compa adas las soluciones
ob enidas po ambos mé odos de análisis y se obse an sus simili udes.
4.1 Análisis po ap oximación al p ime a mónico
Es e mé odo ue p opues o en los abajos de S eige wa ld [STE88] y conside a de las
di e en es o mas de onda del con e ido únicamen e el alo medio y el p ime
a mónico. Es a isión de las o mas de onda pe mi e simplicidad y el conside a lineal
un compo amien o cla amen e no lineal. No obs an e el e o que se come e en el
análisis es pequeño pa a las condiciones habi uales de abajo de es os con e ido es,
con una ecuencia de conmu ación en o no a la ecuencia de esonancia. La conocida
espues a selec i a del anque esonan e hace que los a mónicos supe io es al
undamen al de la ecuencia de conmu ación esul en excesi amen e a enuados y
apenas in luyan en el compo amien o del con e ido .
4.1.1 Compo amien o del PRC clásico a la ecuencia de esonancia
Pa a cualquie a de los modos de ac uación pa a el PRC clásico ci ados en el an e io
apa ado 1.1, se ecomienda el abajo en ecuencias lige amen e supe io es a la de
esonancia del anque LC. Es a es una zona de uncionamien o es able del con e ido y
que ga an iza una conmu ación ZVS en los in e up o es del in e so que exci an el
anque. Así se limi a el s ess de dichos componen es y se educe el amaño de las edes
snubbe s, las cuales pueden se no disipa i as median e condensado es.
4. ANÁLISIS DEL PRC-CR
4.1 Análisis po ap oximación al p ime a mónico
54
No obs an e, den o de un con ex o de máxima egulación posible de la ensión de salida
del con e ido o an e a iaciones impo an es de la esis encia de ca ga, una ecuencia
de abajo en o no a la de esonancia iene a ios aspec os nega i os. Todos ellos es án
elacionados con la impedancia de en ada ZIN(j
ω
) que p esen a el conjun o anque LC,
ans o mado de aislamien o, puen e ec i icado , il o de salida y esis encia de ca ga,
a dicha ecuencia de abajo. En la igu a 4.1 se indica el pun o de e aluación de dicha
impedancia en el con e ido .
Figu a 4.1. PRC clásico indicando los e minales de e aluación de la ZIN(j
ω
)
Es a impedancia de en ada, ZIN(j
ω
), es una impedancia no lineal y que puede a ia
eno memen e de un pun o de abajo a o o si la ecuencia del in e so es p óxima a la
ecuencia de esonancia del anque LC. Es e iden e que el pun o de abajo iene dado
po la ensión y co ien e de salida del con e ido . Po an o, en nues o es udio den o
del con ex o de máxima egulación, se han de supone g an can idad de posibles pun os
de abajo o, lo que es lo mismo, supone g an can idad de posibles ZIN(j
ω
) en el
con e ido .
En o no a la ecuencia de esonancia, la ZIN(j
ω
) puede oma alo es desde ce canos a
la impedancia ca ac e ís ica del anque LC, ZC, has a alo es nulos. Valo es de
impedancia p óximos a es e úl imo caso p esen an pun os de abajo con co ien es
idealmen e in ini as. Es o implica un sob edimensionado de los in e up o es del puen e
in e so y de los elemen os eac i os del anque po las ele adas co ien es que an a
pode ci cula , así como po las ensiones que an a apa ece . Como medida de
segu idad, se á necesa io aco a los pun os de abajo que p o oquen una ZIN(j
ω
) nula o
excesi amen e baja, educiendo en la medida necesa ia el ma gen de egulación del
con e ido .
Si se conside a el PRC-CR [CON01], la ZIN(j
ω
) se á igualmen e no lineal. Depende á
del conjun o esis encia de ca ga, il o de salida, ec i icado con olado, ans o mado
de aislamien o y anque esonan e. Aho a, además del alo de la esis encia de ca ga
del con e ido , a ec a á el ciclo de abajo de los in e up o es del puen e ec i icado .
En la igu a 4.2 se p esen a el PRC-CR indicando los e minales de e aluación de la
ZIN(j
ω
).
4. ANÁLISIS DEL PRC-CR
4.1 Análisis po ap oximación al p ime a mónico
55
Nos encon amos con la misma p oblemá ica po las g andes a iaciones de la ZIN(j
ω
),
acen uada po los e ec os de la elación de conducción del ec i icado . Cuando dicha
elación de conducción sea un alo pequeño el anque esonan e es a á sin ca ga,
esul ando un módulo de ZIN(j
ω
) excesi amen e bajo si la ecuencia de conmu ación es
p óxima a la de esonancia. Pa a ga an iza en es as condiciones el ma gen de
egulación es necesa io nue amen e un sob edimensionado de los componen es del
con e ido , po lo que el diseño se con ie e en poco e icien e, excesi amen e
oluminoso y pesado, y poco en able económicamen e.
Fig. 4.2. PRC-CR indicando los e minales de e aluación de la ZIN(j
ω
)
O o aspec o es la e olución ines able a la que a a ende el con olado cuando el ciclo
de abajo sea pequeño. Pa a ciclos de abajo pequeños la ZIN(j
ω
) iende a se
igualmen e pequeña, haciendo que las magni udes esonan es, co ien e po el induc o
L y ensión en el condensado C , aumen en al como se ha comen ado an e io men e.
Dado que el con olado del con e ido ende á a ga an iza la ensión de salida
cons an e, an e un inc emen o de la ensión en el condensado esonan e se educi á el
ciclo de abajo del ec i icado . Es a acción lle a nue amen e a disminui la ZIN(j
ω
) con
una endencia indeseada de co ien es in ini as en el in e so y ciclos de ac i ación
nulos en el puen e ec i icado . Es a endencia sólo puede se e i ada po las no
idealidades del con ol en o ma de e a dos y iempos de espues a, o po las
esis encias pa ási as de los componen es del con e ido ( esis encias en conducción de
los in e up o es, esis encias pa ási as de los componen es esonan es, e c ...)
De odas es as conside aciones se concluye que pa a el PRC-CR no es un ma gen de
ecuencias de conmu ación óp imo las ecuencias muy p óximas a la de esonancia.
Del es udio de la ZIN(j
ω
) del con e ido se án deducidas ecuencias adecuadas de
abajo que posibili en la egulación y obus ez deseadas del con e ido , man eniendo
aco ada la impedancia de en ada del mismo.
4.1.2 Impedancia de en ada del PRC clásico
A modo de in oducción al análisis del PRC-CR, se p esen a la e olución de la
impedancia de en ada, ZIN(j
ω
), del PRC clásico. Del es udio de dicha impedancia, se

4. ANÁLISIS DEL PRC-CR
4.1 Análisis po ap oximación al p ime a mónico
56
de e minan las ecuencias óp imas de abajo del in e so del con e ido que nos
minimizan la p oblemá ica de la ZIN(j
ω
) ci ada en el an e io apa ado, an e las
posibilidades de g andes a iaciones en el pun o de abajo del con e ido po
a iaciones de ca ga o de ensión de salida.
Conside amos como pun o de inicio del es udio el indicado en la igu a 4.3 como Re.
Dicha esis encia se encuen a ya analizada en la bibliog a ía [STE88, ERI01] pa a un
PRC clásico, median e la ap oximación del p ime a mónico de las o mas de onda
implicadas en ese pun o del con e ido .
Fig. 4.3. PRC clásico indicando la Re
De odo el conjun o esis encia de ca ga, il o de salida, ec i icado no con olado y
ans o mado de aislamien o se deduce un equi alen e denominado esis encia e ec i a
Re de alo
Le RnR 2
2
8
π
= (4.1)
Dicho conjun o es un sis ema no lineal de di ícil modelado si no se analiza desde la
ap oximación de p ime a mónico. Con dicho análisis, el modelo de compo amien o
que se ob iene como esis encia óhmica lineal da unas posibilidades de análisis muy
in e esan es con g an ap oximación al compo amien o eal del con e ido .
En el es udio del con e ido PRC-CR esa esis encia e ec i a Re se á una impedancia
e ec i a, Ze(d), dependien e del ciclo de abajo del puen e ec i icado , siendo es o
demos ado más adelan e. Pe o, mien as an o, conside emos el caso del PRC clásico.
Se obse a que la ensión esul an e del puen e in e so exci a un il o pasa bajos RLC
o mado po L , C y Re, al como en la igu a 4.4.
Fig. 4.4. Modelo ci cui al pa a el análisis de p ime a mónico
4. ANÁLISIS DEL PRC-CR
4.1 Análisis po ap oximación al p ime a mónico
57
La exci ación del ci cui o es el p ime a mónico de la o ma de onda de ensión de
salida del puen e in e so gen,1. La impedancia de en ada del ci cui o iene dada po la
exp esión
()
1
//)( +
+=−+=
e
e
CeLIN RCj
R
LjjXRjXjZ
ω
ωω
(4.2)
Es e iden e que el alo de dicha impedancia, pa a una induc ancia y capacidad
cons an es, depende de la ecuencia de abajo y del alo de Re. Si se no maliza la
unción (4.2) espec o a la impedancia ca ac e ís ica del anque, ZC =(L /C )1/2 , se
ob iene
e
C
o
oC
IN
R
Z
j
j
Z
jZ
+
+=
ω
ω
ω
ω
ω
1
)( (4.3)
En la igu a 4.5 se ep esen a el módulo de (4.3) espec o a la pulsación no malizada a
la pulsación na u al del anque, ωo. Se conside an cua o posibles casos de ca ga
no malizada Re/ZC. El alo lími e ∞, co espondien e a una Re in ini a (en colo e de),
el alo lími e 0, co espondien e a una Re nula (en colo azul), el alo 0,5 (en colo
ojo) y el alo 2 (en colo magen a).
De la ep esen ación de la ecuación (4.3) se ob ienen las siguien es conclusiones:
 Pa a cualquie alo de Re/ZC el módulo de la impedancia de en ada, ⏐ZIN(j
ω
)⏐,
es a á aco ado a un alo pe enecien e a la egión que encie an las cu as de
alo 0 e ∞, al como se ep esen a en colo en la igu a 4.6.
 Exis e una ecuencia en el ma gen in e io de esonancia denominada m, en la
que el módulo de la impedancia de en ada del ci cui o es independien e del
alo esis i o de Re, sólo a iando su ase. Dicho alo de ecuencia se
ep esen a en la igu a 4.7.
 Pa a alo es de ecuencia in e io es a m el módulo de la impedancia de en ada
es siemp e supe io al caso de esis encia nula. Pa a ecuencias supe io es a m
el módulo ⏐ZIN(j
ω
)⏐ es siemp e in e io al caso de esis encia nula.
Las conclusiones p ime a y e ce a indicadas se demues an ma emá icamen e median e
el Teo ema de Elemen os Ex as de Middleb ook [ERI01, MID89].
Pese a la simplicidad del modelo analizado, se obse a que jus i ica la p oblemá ica
comen ada en el an e io apa ado (apa ado 4.1.1) espec o al PRC clásico abajando el
in e so en o no a la ecuencia de esonancia. Median e la ecuación (4.3) o median e
la igu a 4.5, se deduce que pa a ecuencias p óximas a o exis en alo es de
impedancia de en ada muy pequeños pa a cie os alo es de Re/ZC. En conc e o, pa a la
ecuencia o y pa a los alo es de ca ga no malizada de 10 y 100 la impedancia de
en ada no malizada co esponde p ác icamen e con los alo es de 0,1 y 0,01,
espec i amen e.
4. ANÁLISIS DEL PRC-CR
4.1 Análisis po ap oximación al p ime a mónico
58
Se da la ci cuns ancia indeseada que con o me aumen a el alo de la esis encia de
ca ga, disminuye dicha impedancia de en ada. Po an o, se inc emen a la co ien e po
el anque esonan e, la co ien e po los in e up o es del puen e in e so y la co ien e
po la uen e de alimen ación. Es e compo amien o es pa icula del PRC y
documen ado en la bibliog a ía [STE88, ERI01] po su p oblemá ica asociada.
Fig. 4.5. Módulo de ZIN(j
ω
) no malizado pa a di e en es alo es de Re/ZC
Fig. 4.6. Regiones de posibles alo es de ZIN(j
ω
)
4. ANÁLISIS DEL PRC-CR
4.1 Análisis po ap oximación al p ime a mónico
59
Fig. 4.7. Indicación de la m y de la Zm
La posible apa ición de pun os de abajo que gene en una baja impedancia ZIN(j
ω
) es
un e ec o indeseable. Se an a inc emen a las pé didas en conducción de los
in e up o es, inc emen a el desgas e o s ess en los componen es pasi os (incluidos
condensado es) y a ec a ambién nega i amen e a la ba e ía o uen e de en ada de
alimen ación. El diseño del con e ido pasa a se un aspec o muy c í ico, sob e odo
pa a el induc o esonan e y la selección del condensado esonan e. Es necesa io que el
compo amien o de dichos componen es sea óp imo en odo el ele ado ma gen
dinámico de a iación de las ensiones y co ien es que han de sopo a , si se desea un
endimien o acep able en el con e ido , mul iplicándose la p oblemá ica si se desea
aumen a la po encia de abajo.
Po an o desde la pe spec i a que o ece es e análisis, pa a educi las a iaciones de
ZIN(j
ω
), las ecuencias de abajo del in e so in e esan es son:
I. pa a alo es po encima de esonancia, el ma gen de ecuencias de s>1,5 o , y
II. pa a alo es po debajo de esonancia, el pun o s= m .
El caso I co esponde a un ma gen de ecuencias lige amen e supe io al ípico
ecomendado pa a el PRC y p esen a como en aja el ga an iza una conmu ación ZVS
de los in e up o es del puen e in e so pa a cualquie alo de ca ga. El caso II es un
pun o conc e o y en él no se ga an izan conmu aciones ZVS, pues la conmu ación a a
depende del alo de la ca ga.
La ecuencia m es aquella en la que se iguala el módulo de la impedancia del caso de
esis encia nula y el de esis encia in ini a.
m
m
m
m
m
m m Cj
CL
Cj
CLj
Cj
LjLj
ω
ω
ω
ω
ω
ωω
11
1222 +−
=
+
=+= (4.4)
4. ANÁLISIS DEL PRC-CR
4.1 Análisis po ap oximación al p ime a mónico
66
La ecuación (4.19) depende de n, RL y d, po el é mino de Ze(d), y depende de la
ecuencia de abajo. Dado que el módulo de ZIN(j
ω
) depende de a ias a iables, pa a
ca ac e iza su compo amien o se ep esen a pa a los siguien es casos con alo es
no malizados:
i. espec o a la ecuencia de conmu ación s pa a di e en es índices de ca ga,
conside ando a ias elaciones de conducción, d, y
ii. espec o a s pa a di e en es d, conside ando a ios índices de ca ga.
9 Caso i. Co esponde a las igu as 4.14, 4.15, 4.16, 4.17 y 4.18. Cada g á ica p esen a
una elación de conducción di e en e en el con e ido , de 0,2 , 0,4 , 0,6 , 0,8 y 1,0.
En cada g á ica apa ecen los alo es de índice de ca ga de 0,1 , 0,5 , 1 , 2 y 10.
9 Caso ii. Co esponde a las igu as 4.19, 4.20, 4.21, 4.22 y 4.23. Cada g á ica
p esen a un índice de ca ga de 0,1 , 0,5 , 1 , 2 y 10. En cada g á ica apa ecen los
alo es de elación de conducción de 0,2 , 0,4 , 0,6 , 0,8 y 1,0.
En las g á icas puede ap ecia se que pa a ecuencias de abajo p óximas a la de
esonancia, 0,9 o ≤ s ≤ 1,1 o, el módulo de la impedancia dec ece eno memen e, al
como e a de espe a . Su alo es á condicionado po el índice de ca ga y ciclo de abajo
conside ado, pe o, en cualquie caso, es e compo amien o a ec a de o ma impo an e al
uncionamien o y endimien o del con e ido , caso que se desee abaja en es e ango
de ecuencias.
En el ango de ecuencias p óximo a s=1,5 o, se obse a en las g á icas que las
a iaciones que expe imen a el ⏐ZIN(j
ω
)⏐ del PRC-CR son pequeñas. El
compo amien o es muy pa ecido al del PRC clásico, e incluso pa a alo es del índice
de ca ga g andes las a iaciones pueden se mínimas, al como se ap ecia en las igu as
4.22 y 4.23. La a iación es p ác icamen e nula y de alo p óximo al caso de
esis encia de ca ga del con e ido in ini a.
Sin emba go pa a ms = sí que exis en a iaciones ap eciables espec o a las
conclusiones ex aídas de la igu a 4.7 pa a el PRC clásico. La impedancia compleja
Ze(d) a ec a de o ma impo an e en la ZIN(j
ω
), cosa que no sucedía pa a el caso de la
esis encia óhmica Re. Se obse a que la impedancia de en ada ZIN(j
ω
) no es un alo
conc e o a la m independien emen e de la ca ga del con e ido , ni ampoco es un alo
aco ado en odo el ma gen de ecuencias en e los alo es de índice de ca ga nulo e
in ini o.
Los esul ados en la m no son an concluyen es como los ob enidos según el modelo de
la igu a 4.4. No obs an e, se obse a en las igu as 4.14 a 4.23 que la ecuencia m es el
pun o de abajo en el ma gen de ecuencias in e io es a la de esonancia en el que se
p oducen meno es a iaciones del ⏐ZIN(j
ω
)⏐. Po an o, dada la es a egia de
uncionamien o plan eada en el con e ido , queda jus i icado su in e és como
ecuencia de ac i ación del anque esonan e po las en ajas que compo a: la co ien e
po el induc o esonan e a a ende a se cons an e, así como la co ien e po los
in e up o es del puen e in e so y, po consiguien e, la ensión en el condensado
esonan e.

4. ANÁLISIS DEL PRC-CR
4.1 Análisis po ap oximación al p ime a mónico
67
Fig. 4.14. Módulo de ZIN(j
ω
) no malizada
con d = 0,2
Fig. 4.15. Módulo de ZIN(j
ω
) no malizada
con d = 0,4
Fig. 4.16. Módulo de ZIN(j
ω
) no malizada
con d = 0,6
Fig. 4.17. Módulo de ZIN(j
ω
) no malizada
con d = 0,8
Fig. 4.18. Módulo de ZIN(j
ω
) no malizada
con d = 1,0
4. ANÁLISIS DEL PRC-CR
4.1 Análisis po ap oximación al p ime a mónico
68
Fig. 4.19. Módulo de ZIN(j
ω
) no malizada
pa a un índice de ca ga de 0,1
Fig. 4.20. Módulo de ZIN(j
ω
) no malizada
pa a un índice de ca ga de 0,5
Fig. 4.21. Módulo de ZIN(j
ω
) no malizada
pa a un índice de ca ga de 1
Fig. 4.22. Módulo de ZIN(j
ω
) no malizada
pa a un índice de ca ga de 2
Fig. 4.23. Módulo de ZIN(j
ω
) no malizada
pa a un índice de ca ga de 10
A con inuación se analiza en de alle el compo amien o de la ZIN(j
ω
) pa a el caso de
ms =. E aluando la ecuación (4.19) a la ecuencia m esul a
()
dZ
Z
j
j
Z
jZ
e
C
C
mIN
+
+=
2
1
1
2
1)(
ω
(4.20)
4. ANÁLISIS DEL PRC-CR
4.1 Análisis po ap oximación al p ime a mónico
69
En la igu a 4.24 se p esen a el módulo de la impedancia de en ada no malizada a la
ecuencia m, ob enido de la ecuación (4.20), espec o al índice de ca ga pa a di e en es
elaciones de conducción en el puen e ec i icado .
Fig. 4.24. Módulo de la ZIN(j
ω
) no malizada en el con e ido a la m,
espec o al índice de ca ga.
Se obse a en la igu a que:
 pa a un g an ma gen de alo es del índice de ca ga, dicho módulo pe manece
aco ado en o no al alo de Zm no malizado:
2
1
=
C
m
Z
Z (4.21)
 conside ando el caso de índice de ca ga uni a io, la a iación que a a exis i en
la impedancia de en ada a a se in e io al 50 %, y si se ga an iza un índice de
ca ga de alo 5 o supe io , las a iaciones an a se in e io es al 15%.
 la máxima des iación espec o al alo de Zm sucede con elaciones de
conducción en o no al 0,5.
Po an o, a a esul a adecuado el uso de un ans o mado educ o en el con e ido .
El é mino elación de ans o mación, n, pasa a se supe io a la unidad, in luyendo
no ablemen e en la impedancia ZIN(j
ω
) po que, como se obse a en la ecuación (4.14),
la impedancia e lejada en el p ima io de la Ze(d) queda mul iplicada po el cuad ado de
la elación de ans o mación. Es e esul ado es bene icioso en el con ex o de la
p oblemá ica analizada, pues el anque esonan e se hace más inmune a las a iaciones
de ca ga y de elación de conducción, pe maneciendo la ZIN(j
ω
) mucho más aco ada al
alo de diseño de Zm.
4. ANÁLISIS DEL PRC-CR
4.1 Análisis po ap oximación al p ime a mónico
70
4.1.5 Función de ans e encia del anque esonan e
Una ez ca ac e izada la impedancia e ec i a Ze(d) del con e ido , se p ocede a
consegui una ecuación que elacione las ensiones de en ada y salida en el anque LC
esonan e. Se ob end á, po an o, la unción de ans e encia que elaciona las
magni udes que exci an el anque esonan e.
Conside ando el p ime a mónico de la ensión de exci ación del anque esonan e,
gen,1, y la ensión y la impedancia Ze(d), la unción de ans e encia que elaciona
ambas magni udes co esponde, como es ob io, con un il o pasa–bajos de segundo
o den, pe o con una ca ga que es una impedancia. La ecuación es la siguien e:
()
1
1
)(
)(
)(
22
1, ++
==
dZ
L
jCLj
j
j
jH
e
gen
ωω
ω
ω
ω
(4.22)
que se puede esc ibi como
()
dZ
Z
j
jH
e
C
oo
ω
ω
ω
ω
ω
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=2
1
1
)( (4.23)
El é mino Ze(d)/ZC que apa ece en (4.23) es el deducido en (4.16), po lo que la unción
de ans e encia del anque esonan e es una unción del índice de ca ga.
Pa a el caso que la ecuencia de conmu ación sea o, la unción de ans e encia esul a
(
)
C
e
oZ
dZ
jjH −=)(
ω
(4.24)
que es ep esen ada en la igu a 4.25
4. ANÁLISIS DEL PRC-CR
4.1 Análisis po ap oximación al p ime a mónico
71
Fig. 4.25. Módulo de la unción de ans e encia del anque esonan e a o
El esul ado ob enido en la igu a 4.25 iene elación con el p esen ado en las igu as
4.11 y 4.12 pues las es igu as son una misma ep esen ación de la ecuación (4.16). Si
se conside a la ecuación (4.24) no malizada al índice de ca ga se ob iene
(
)()
L
e
C
L
C
e
C
L
o
Rn
dZ
j
Z
R
n
Z
dZ
j
Z
R
n
jH
2
22
)( −=−=
ω
(4.25)
Po an o, las g á icas ep esen adas en la igu a 4.25 son casos pa icula es pa a
di e en es índices de ca ga de la igu a 4.11.
Es in e esan e comen a que, pa a cualquie índice de ca ga, el sis ema se uel e
ines able pa a d pequeñas, pues el módulo de la unción de ans e encia iende a
in ini o. Se e i ica nue amen e que una ecuencia p óxima a la de esonancia en el
in e so del con e ido no a a se un pun o de abajo adecuado.
A con inuación se e alúa la ecuación (4.23) en el ma gen de ecuencias en o no a 1,5 o.
En las igu as 4.26 y 4.27 se p esen a el caso de 1,2 o .

4. ANÁLISIS DEL PRC-CR
4.1 Análisis po ap oximación al p ime a mónico
72
Fig. 4.26. Módulo de H(j
ω
) espec o
a la elación de conducción pa a 1,2 o
Fig. 4.27. Módulo de H(j
ω
) espec o
al índice de ca ga pa a 1,2 o
En las igu as 4.28 y 4.29 se p esen a el caso de 1,5 o .
Fig. 4.28. Módulo de H(j
ω
) espec o
a la elación de conducción pa a 1,5 o
Fig. 4.29. Módulo de H(j
ω
) espec o
al índice de ca ga pa a 1,5 o
En las igu as 4.30 y 4.31 se p esen a el caso de 2 o .
Fig. 4.30. Módulo de H(j
ω
) espec o
a la elación de conducción pa a 2 o
Fig. 4.31. Módulo de H(j
ω
) espec o
al índice de ca ga pa a 2 o
En las igu as 4.32 y 4.33 se p esen a el caso de 2,5 o .
4. ANÁLISIS DEL PRC-CR
4.1 Análisis po ap oximación al p ime a mónico
73
Fig. 4.32. Módulo de H(j
ω
) espec o
a la elación de conducción pa a 2,5 o
Fig. 4.33. Módulo de H(j
ω
) espec o
al índice de ca ga pa a 2,5 o
Finalmen e se e alúa la ecuación (4.23) a la ecuencia m . Conside ando el alo de
pulsación p esen ado en la ecuación (4.5) se ob iene
()
dZ
Z
j
jH
e
C
m
21
2
)(
+
=
ω
(4.26)
En las igu as 4.34 y 4.35 se p esen a el módulo de la ecuación (4.26), al como se ha
ealizado pa a las an e io es posibles ecuencias de abajo.
Fig. 4.34. Módulo de H(j
ω
) espec o
a la elación de conducción pa a m
Fig. 4.35. Módulo de H(j
ω
) espec o
al índice de ca ga pa a m
Compa ando los esul ados ob enidos en las di e en es ecuencias p opues as, se
ap ecia que con o me aumen a la ecuencia, el módulo de la unción de ans e encia
del anque esonan e es meno . Po an o, no es deseable inc emen a en exceso la
ecuencia de conmu ación del con e ido , pues la ans e encia del ni el de ensión
desde la en ada del anque esonan e hacia la ca ga a a esul a a enuada, limi ando el
alo de ensión máxima posible a la salida del con e ido .
Po o a pa e, se obse a que la unción de ans e encia del anque esonan e
pe manece p ác icamen e cons an e pa a índices de ca ga ele ados. El alo a que iende
dicho módulo en cada una de las ecuencias conside adas se ob iene de la ecuación
(4.23) conside ando la condición
4. ANÁLISIS DEL PRC-CR
4.1 Análisis po ap oximación al p ime a mónico
74
()
dZ
Z
e
C
oo
ω
ω
ω
ω
>>
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
2
1 (4.27)
Median e la condición (4.27) el módulo de la unción de ans e encia p esen ada en
(4.23) esul a
2
1
1
)(
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
o
jH
ω
ω
ω
(4.28)
En la Tabla 4.1 se p esen an los alo es de la ecuación (4.28) pa a las ecuencias
omadas como ejemplo.
o
ω
ω
2
1 1,2 1,5 2,0 2,5
)(
ω
jH 2,00 2,27 0,80 0,33 0,19
Tabla 4.1. Valo es del módulo de la unción de ans e encia del anque esonan e
pa a índices de ca ga ele ados
Que la unción de ans e encia sea p ác icamen e cons an e es un e ec o bene icioso
pa a el con e ido ya que ga an iza que las magni udes esonan es an a es a aco adas
en o no a alo es conc e os. Po an o, se con inúa analizando es e e ec o. La condición
(4.27) se puede o ganiza como
()
2
1⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
>>
o
o
C
e
Z
dZ
ω
ω
ω
ω
(4.29)
Conside ando la ecuencia no malizada a la ecuencia na u al
o
F
ω
ω
= (4.30)
y la elación de la ecuencia de abajo F como
2
1
F
F
F −
= (4.31)
la condición (4.29) queda de la o ma
4. ANÁLISIS DEL PRC-CR
4.1 Análisis po ap oximación al p ime a mónico
75
(
)
F
Z
dZ
C
e>> (4.32)
Si se conside a un alo en la impedancia e ec i a no malizada al como
(
)
F
Z
dZ
C
e3= (4.33)
la máxima des iación que se a a p oduci en el ⏐H(j
ω
)⏐de la ecuación (4.23) es de an
solo el 5%. Es e e o es su icien emen e pequeño y e iden emen e dec ece con o me se
inc emen a el módulo de Ze(d). Conside ando los pun os que cumplen con el alo
(4.33) como los pun os on e a que an a sa is ace la desigualdad (4.29), median e el
módulo de Ze(d) de la ecuación (4.16) se ob iene
()
F
d
Z
R
n
C
L3
cos18 3
2
2=
−⋅
π
π
(4.34)
Despejando la elación de conducción de (4.34), se ob iene el alo máximo de d que
man iene el ⏐H(j
ω
)⏐ cons an e espec o al índice de ca ga y a la elación de ecuencia.
Viene dado po
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅⋅
−=
3
1
2
2
22
4
38
1a ccos
1
C
L
Z
R
n
F
d
π
π
(4.35)
En la igu a 4.36 se ep esen a la ecuación (4.35). En ella apa ecen las zonas en las que
el módulo de la unción de ans e encia del anque es p ác icamen e cons an e pa a la
ecuencia en conside ación. En dichas zonas es án con enidos los alo es de índice de
ca ga y d que cumplen la condición (4.27).
Pa a la ecuencia s=1,2 o la zona de ganancia cons an e es el á ea de colo azul cla o.
El es o de pun os del plano no an a cumpli con la condición (4.27). De odos los
casos con emplados es e es el de meno zona de ganancia cons an e. Pa a la ecuencia
s= m= o/2 la zona óp ima se inc emen a has a el lími e indicado. Con o me se
inc emen a la ecuencia de abajo se inc emen a la zona de ganancia cons an e, siendo
el caso s=2,5 o el de máxima á ea óp ima de las ecuencias conside adas.
En odas las ecuencias es udiadas se obse a que la condición (4.27) no se cumple
únicamen e cuando el índice de ca ga es pequeño y con elaciones de conducción
ele adas.
4. ANÁLISIS DEL PRC-CR
4.1 Análisis po ap oximación al p ime a mónico
82
que ambién se puede exp esa po
()
C
o
o
IN ZjZ
ω
ω
ω
ω
ω
1
(min)
2
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= (4.43)
Los alo es que oma el módulo de la impedancia de en ada pa a las ecuencias en
es udio se indican en la Tabla 4.2.
o
ω
ω
2
1 1,2 1,5 2,0 2,5
()
(min)
ω
jZIN 2
1·ZC 0,36·ZC 0,83·ZC 1,50·ZC 2,10·ZC
Tabla 4.2. Impedancia de en ada mínima pa a di e en es ecuencias de abajo
Dado el alo de (4.41), median e la Tabla 4.2 se ob iene pa a la ecuencia de abajo
seleccionada el alo necesa io de la impedancia ca ac e ís ica del con e ido . Quedan
po an o seleccionados a pa i de es e momen o la s y ZC del con e ido .
Llegados a es e pun o con iene de e mina si el con e ido a a ene un índice de
ca ga que ga an ice la poca dispe sión en los alo es de las a iables esonan es. Pa a
ello se ha de sabe la elación de ans o mación del ans o mado de aislamien o n. Se
ob iene median e la ecuación (4.38) despejando la n y conside ando el caso de elación
de conducción máxima
()
)(2
4
2
ω
π
jH
máxV
E
n
o
= (4.44)
En la ecuación (4.44) el alo del módulo de la unción de ans e encia del anque
esonan e, al como se obse a, depende de la ecuencia de abajo. Se debe elegi el
alo que co esponda según la Tabla 4.1, pa a la ecuencia de conmu ación
seleccionada en el con e ido .
Una ez de e minada la elación n, se calcula el índice de ca ga, n2RL/ZC. Es e alo ha
de se su icien emen e g ande pa a ga an iza egulación de la ensión de salida y
ganancia cons an e en la unción de ans e encia del anque esonan e. Es a
comp obación se ha de ealiza con las g á icas que elacionan la ensión de salida
no malizada y el ⏐H(j
ω
)⏐ espec o al índice de ca ga, pa a la ecuencia de
conmu ación seleccionada.
Finalmen e es in e esan e hace la es imación del alo de ensión en el condensado
esonan e pa a su dimensionado y selección. Dada la ecuencia de abajo elegida y el
alo del módulo de la unción de ans e encia co espondien e, median e la ecuación
(4.36) y (4.37) se ob iene

4. ANÁLISIS DEL PRC-CR
4.1 Análisis po ap oximación al p ime a mónico
83
EjH
π
ω
4
)(
ˆ= (4.45)
4.1.8 Resul ados de simulación
Median e el so wa e simulado PSIM 4.1, de Powe sim Technologies Inc., se
e i ican los esul ados ob enidos de las ecuaciones y g á icas deducidas en los
apa ados an e io es. Con iene eco da que dichos esul ados p o ienen del análisis
ap oximado al p ime a mónico de las o mas de onda en es udio, po lo que es
necesa io alida dicha hipó esis y obse a si el e o que in oduce es acep able o
desp opo cionado.
El esquema PSIM del con e ido PRC-CR se p esen a en la igu a 4.50. Se obse a que
la ensión de en ada del con e ido es de 100V. La elación de ans o mación del
ans o mado de aislamien o es n = 4. La impedancia ca ac e ís ica del anque
esonan e es de 46,9 Ω, dados los alo es de induc ancia y condensado esonan e
u ilizados. La esis encia de ca ga del con e ido es de 14 Ω. Con es os da os esul a un
índice de ca ga de alo 4,77 .
Fig. 4.50. Esquemá ico del con e ido
Se simula el con e ido a la ecuencia m y a la ecuencia 1,5 o. Pa a cada ecuencia
se p esen an dos posibles elaciones de conducción del conjun o ec i icado .
• Simulación a la ecuencia m:
9 El ⏐ZIN(j
ω
)⏐ espe ado, median e la ecuación (4.6) o la Tabla 4.2, es de 33,1 Ω.
9 El alo del índice de ca ga del con e ido es su icien emen e g ande pa a supone
la unción de ans e encia p ác icamen e cons an e. Median e la g á ica 4.35 se
puede ap ecia es a a i mación. El alo de ⏐H(j
ω
)⏐ es, según la misma g á ica 4.35
o la Tabla 4.1, de 2.
9 El alo de pico espe ado de la co ien e esonan e, median e la ecuación (4.41), es
de 3,84 A.
9 El alo de pico espe ado de la ensión esonan e, median e la ecuación (4.45), es de
254 V.
4. ANÁLISIS DEL PRC-CR
4.1 Análisis po ap oximación al p ime a mónico
84
En la igu a 4.51 se ep esen an las o mas de onda ob enidas de la simulación
co espondien es a una elación de conducción de 0,3. En la g á ica supe io se p esen a
la ensión esonan e en el secunda io del ans o mado , ’, (en ojo) y la ensión de
salida del puen e ec i icado semicon olado, ec, (en azul) En la g á ica in e io
apa ece la co ien e esonan e, i , (en ojo) y la co ien e po el induc o del il o de
salida, IL, (en azul).
Fig.4.51. Resul ados de simulación pa a m y d = 0,3
Fig.4.52. Resul ados de simulación pa a m y d = 0,7
El alo de pico de la ensión esonan e es de 276 V y el alo de pico de la co ien e
esonan e es de 3,86 A. Se obse a en la g á ica que es os dos alo es son muy
4. ANÁLISIS DEL PRC-CR
4.1 Análisis po ap oximación al p ime a mónico
85
p óximos a los espe ados, eniendo en cuen a que la ensión esonan e ep esen ada es
di idida po 4 po se en ex emos del secunda io del ans o mado . Respec o a la
ensión de salida, el alo ob enido es de 11 V, siendo el alo espe ado de 10 V
median e la g á ica 4.46.
En la igu a 4.52 se p esen an las o mas de onda ob enidas de la simulación
co espondien es a una elación de conducción de 0,7.
El alo de pico de la ensión esonan e es de 272 V y el alo de pico de la co ien e
esonan e es de 4,26 A. Se obse a nue amen e que es os alo es son muy p óximos a
los espe ados, conside ando la elación de ans o mación n en la ensión esonan e. El
alo ob enido de ensión de salida es de 32 V, siendo el alo espe ado de 35 V
median e la g á ica 4.46.
• Simulación a la ecuencia 1,5 o:
9 El ⏐ZIN(j
ω
)⏐ espe ado, median e la Tabla 4.2, es de 38,9 Ω.
9 Pa a el alo del índice de ca ga del con e ido , se puede supone la unción de
ans e encia p ác icamen e cons an e e igual a 0,8. Es e alo se deduce de la
g á ica 4.29 y la Tabla 4.1.
9 El alo de pico espe ado de la co ien e esonan e, median e la ecuación (4.41), es
de 3,27 A.
9 El alo de pico espe ado de la ensión esonan e, median e la ecuación (4.45), es de
102 V.
Fig.4.53. Resul ados de simulación pa a 1,5 o y d = 0,3
En la igu a 4.53 se p esen an las o mas de onda ob enidas de la simulación
co espondien es a una elación de conducción de 0,3. El alo de pico de la ensión
esonan e es de 103 V y el alo de pico de la co ien e esonan e de 3,75 A. Se obse a
ambién que es os alo es son muy p óximos a los espe ados, conside ando la elación n
4. ANÁLISIS DEL PRC-CR
4.1 Análisis po ap oximación al p ime a mónico
86
del ans o mado . Respec o a la ensión de salida, el alo ob enido es de 4 V, siendo el
alo espe ado de 3,8 V median e la g á ica 4.40.
Fig.4.54. Resul ados de simulación pa a 1,5 o y d = 0,7
En la igu a 4.54 se p esen an las o mas de onda ob enidas de la simulación
co espondien es a una elación de conducción de 0,7. El alo de pico de la ensión
esonan e es de 94,4 V y el alo de pico de la co ien e esonan e es de 3,58 A. Se
obse a nue amen e que es os alo es son muy p óximos a los espe ados, conside ando
la n. El alo ob enido de ensión de salida es de 12 V, siendo el alo espe ado de 12 V
median e la g á ica 4.40.
Se obse a que los alo es de co ien e y ensión deducidos de las ecuaciones (4.41) y
(4.45) coinciden en g an medida con los ob enidos en las simulaciones. La máxima
des iación obse ada en las o mas de onda p esen adas es de sólo el 15%. Si la
ecuencia de abajo del PRC uese en o no a la ecuencia de esonancia, las
a iaciones que se pueden p oduci en las a iables del anque esonan e pueden llega a
se del 100%. Po an o, den o de es e con ex o, se en iende que una a iación del 15%
pueda se denominada como aco ada.
Se puede conclui con que el análisis p esen ado apo a in o mación pa a:
9 p edeci con pequeño e o la e olución de las magni udes del con e ido . De
o ma ácil se pueden ob ene las a iables de ensión y co ien e esonan es, y la
ensión de salida.
9 deduci las ecuencias óp imas de abajo. La ecuencia m pa a un
uncionamien o po debajo de esonancia y la ecuencia 1,5 o po encima de
esonancia.
9 diseña adecuadamen e el con e ido pa a ga an iza que las a iables
esonan es pe manezcan aco adas en sus alo es de diseño, posibili ando la
egulación de la ensión de salida.
4. ANÁLISIS DEL PRC-CR
4.2 Solución del modelo en espacio de es ado
87
4.2 Solución del modelo en espacio de es ado
4.2.1 In oducción
Un paso adelan e en el análisis del PRC-CR en es ado es aciona io es de e mina la
e olución de las o mas de onda de las magni udes esonan es en el dominio del iempo.
Exis en g an can idad de abajos en la bibliog a ía que analizan la e olución en es ado
es aciona io de las o mas de onda del con e ido PRC clásico, ob ienen ecuaciones
ce adas de la ensión de salida del con e ido , p esen an pau as de diseño e incluso
análisis en égimen ansi o io del con e ido . Algunos de es os abajos son los de
[JOH88a], [ JOH88b], [BHA89], [RIC89], ... Pe o la dinámica del con e ido PRC-CR
se hace di e en e a la del PRC clásico po la p esencia del ec i icado con olado, no
siendo álidas las ecuaciones de es os abajos ci ados en el nue o con e ido que se
es á analizando.
La me odología que se a a segui en el análisis es la misma que A. K. S. Bha y M. M.
Swamy p opusie on en su abajo [BHA89].
Se an a ob ene las ecuaciones de e olución en el dominio del iempo, pe o
implíci amen e exis en cie as ap oximaciones en el análisis, ya u ilizadas en es e
abajo y ampliamen e u ilizadas en la bibliog a ía:
• ensión cons an e en la ca ga,
• co ien e cons an e po la bobina del il o de salida.
Es as ap oximaciones hacen que el con e ido pueda se modelado al como apa ece en
la igu a 4.55, en la que odo el conjun o il o de salida ca ga es sus i uido po una
uen e de co ien e de alo cons an e IL.
Fig. 4.55. Modelo ci cui al de compo amien o del PRC-CR

4. ANÁLISIS DEL PRC-CR
4.2 Solución del modelo en espacio de es ado
88
4.2.2 Re e encias pa a el análisis de las o mas de onda
En la mayo ía de abajos que exis en en la bibliog a ía pa a el análisis del PRC clásico
se oma como e e encia de análisis la ensión cuad ada del puen e in e so . Es e
plan eamien o es lógico y adecuado pues las o mas de onda de ensión y co ien e del
con e ido es án condicionadas po la exci ación del puen e in e so .
En la igu a 4.56 se p esen a un esul ado de simulación pa a la ecuencia de
conmu ación m. Apa ece en la igu a una e olución de las o mas de ondas ípicas en el
con e ido , omando como e e encia la ensión de salida del puen e in e so , gen, (en
azul). En ojo ambién apa ece la co ien e po la bobina esonan e, i , en e de la
ensión en el condensado esonan e, , y en osa la co ien e de en ada al
ans o mado de aislamien o, i .
Se obse a en la igu a que den o de un semipe iodo de uncionamien o apa ecen dos
modos opológicos en el con e ido , en los in e alos señalados de 0 a 1 y de 1 a 2,
condicionadas po el signo de la ensión esonan e.
Fig. 4.56. Fo mas de onda en égimen es aciona io del PRC clásico
con e e encia en la ensión del in e so
En la igu a 4.57 se p esen an unas o mas de onda pa a el PRC-CR con la misma
e e encia clásica de la igu a 4.56. En la igu a se obse a que las o mas de onda de
ensión y co ien e esonan es son bas an e pa ecidas, pe o la co ien e i p esen a un
iempo de conducción ON, que es a iable e impues o po la ec i icación con olada.
En es e caso, den o de un semipe iodo de uncionamien o se obse an es modos
opológicos en el con e ido pa a los in e alos señalados de 0 a 1, de 1 a 2 y de 2 a
3. Es e aumen o de modos opológicos p o oca un inc emen o de la complejidad del
análisis, siendo impo an e es ablece un c i e io de e e encia adecuado al es udio.
La a iable de con ol es el iempo ON , o du ación del in e alo de 1 a 2, que se
encuen a en e dos in e alos de uncionamien o de du ación a iable según el pun o de
abajo del con e ido , el in e alo de 0 a 1 y el in e alo de 2 a 3. Es e aspec o
inc emen a la complejidad del análisis pa a es ablece una e e encia adecuada y se
p opone un cambio de e e encia, al como el p esen ado en la igu a 4.58.
4. ANÁLISIS DEL PRC-CR
4.2 Solución del modelo en espacio de es ado
89
Fig. 4.57. Fo mas de onda en égimen es aciona io del PRC-CR
con e e encia en la ensión del in e so
La nue a e e encia de análisis p opues a es la ensión del condensado esonan e. Pa a
los con olado es p esen ados en el capí ulo 3, la en ada en conducción de los
in e up o es de la e apa ec i icado a se ealiza en los pasos po ce o de la ensión ,
es ando la elación de conducción de los in e up o es del ec i icado de e minada po
el iempo ON y la dis ancia empo al en e pasos po ce o de dicha ensión. Es e iden e
que dicha dis ancia empo al coincidi á con los semipe iodos de la ecuencia de
conmu ación del puen e in e so , en es ado es aciona io del con e ido . Los
con olado es necesi an una sinc onización con dicha ensión esonan e, po lo que es
in e esan e que sea la e e encia de análisis, al como apa ece en la igu a 4.58.
Dada la sime ía que exis e en e semipe iodos de la ensión , el es udio queda
simpli icado al semipe iodo posi i o en el que, como se obse a en la igu a 4.58,
apa ecen es in e alos de es udio:
9 de 0 a d, de du ación impues a po el con olado ,
9 de d a 1, de du ación no con olada y a iable dependien e del pun o de abajo
del con e ido , y
9 de 1 a 2, ambién de du ación a iable po depende del segundo in e alo, y
calculable una ez conocido el pe iodo de la ensión de exci ación y la du ación
del p ime y segundo in e alo.
Es a secuencia de in e alos es denominada Caso 1, y se obse a que exis e co ien e i
de alo IL/n desde el ins an e 0 has a el ins an e d, siemp e an es del ins an e 1. No
obs an e puede exis i o a secuencia de in e alos en el con e ido , al como se
p esen a en la igu a 4.59, es ableciendo es a nue a secuencia el denominado Caso 2.
4. ANÁLISIS DEL PRC-CR
4.2 Solución del modelo en espacio de es ado
90
Fig. 4.58. Fo mas de onda en es aciona io del PRC-CR con e e encia
en la ensión del condensado esonan e. Caso 1
Fig. 4.59. Caso 2 de o mas de onda del PRC-CR
En es a úl ima secuencia sucede, al como se ap ecia en la igu a, que d es pos e io a 1,
siendo los in e alos de es udio:
9 de 0 a 1, de du ación no con olada y a iable dependien e del pun o de abajo
del con e ido ,
9 de 1 a d, de du ación a iable dependien e del pun o de abajo del con e ido ,
pe o deducible conocido el ON impues o po el con ol y la du ación del p ime
in e alo.
9 de 1 a 2, de du ación conocida po depende del ON y del pe iodo de la ensión
de exci ación del anque esonan e.
Con iene menciona que las o mas de ondas de las an e io es igu as co esponden a la
ecuencia de conmu ación m. No obs an e, siemp e que la ecuencia de conmu ación
sea supe io a o/2, la secuencia de in e alos sólo pod án se de Caso 1 o de Caso 2.
4. ANÁLISIS DEL PRC-CR
4.2 Solución del modelo en espacio de es ado
91
Po ejemplo, en la igu a 4.60 se p esen an las o mas de onda pa a una ecuencia de
1,5 o, que co esponde, como se puede obse a , al Caso 2 de uncionamien o.
F ecuencias de conmu ación in e io es a o/2no ienen in e és en nues o análisis, po lo
que a pa i de aho a nos cen amos en la solución de las ecuaciones pa a ambos casos
de uncionamien o.
Fig. 4.60. Fo mas de onda del PRC-CR a la ecuencia de 1,5 o
4.2.3 Solución gene al de las a iables esonan es
Comenzando po el Caso 1 de es udio ep esen ado en la igu a 4.58, se analizan las es
opologías po las que e oluciona el con e ido .
• P ime a, de 0 a d con el modelo ci cui al equi alen e de la igu a 4.61 y las
ecuaciones (4.46):
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+=
+=
n
I
d
d
Ci
d
di
LE
L
(4.46)
Fig. 4.61. Modelo de 0 a d
• Segunda, de d a 1 con el modelo ci cui al equi alen e de la igu a 4.62 y las
ecuaciones (4.47):
4. ANÁLISIS DEL PRC-CR
4.2 Solución del modelo en espacio de es ado
98
∫′
+= −
−1
0
1
01 01
)(
0
)(
1)()(
de e
τ
τ
uBxx A
A (4.82)
El ec o de es ado en el ins an e d es de igual o ma
∫′
+= −− d
dd
d
dde e
1
11
)(
1
)( )()(
τ
τ
uBxx AA (4.83)
Y en el ins an e 2
∫′
+= −
−2
2
22
)(
)(
2)()(
d
d
d
dde e
τ
τ
uBxx A
A (4.84)
Imponiendo nue amen e la condición de es ado es aciona io, )()( 02 xx −= , y
eo denando, se ob iene el alo inicial pa a es e caso como
[]
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
′
+
′
+
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧′
+−=
∫∫
∫
−
−−
−−
−
−
2
2
1
2
1
0
112
02
2
)(
1
)()(
01
)()(
1
)(
0)(
d
d
d
d
dd dedee
deee
ττ
τ
τ
τ
τ
uBuB
uBIx
A
AA
AA
AL
(4.85)
del que se ob ienen las soluciones siguien es:
()()
(
)
(
)
()()
()()()()
()()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+
−−−
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+
−+−
−=
02
0112
02
02
0
cos1
sinsin
cos1
coscos
2
1
2
1
)(
Z
E
n
I
n
I
i
o
oo
C
o
dodo
LL
ω
ωω
ω
ωω
L
(4.86)
()()()()
()()
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()()
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−+
−−−
−
−+
−
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−+
−+−
−=
02
02
02
02
02
0112
0
cos1
sinsin
2
1
cos1
sin
2
1
cos1
coscos
)(
Z
n
I
Z
n
I
EE
o
dodo
C
L
o
o
C
L
o
oo
ω
ωω
ω
ω
ω
ωω
L
(4.87)
Es de no a que an o el é mino i ( 0) como el é mino ( 0) son idén icos en ambos
casos de análisis.
Conocidas aho a las componen es del ec o de es ado en el ins an e 0 se puede calcula
median e (4.82) las componen es del ec o de es ado en el ins an e 1 .

4. ANÁLISIS DEL PRC-CR
4.2 Solución del modelo en espacio de es ado
99
(
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(
)
(
)
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02
02
02
02
1
1
02
0112
1
cos1
sin
cos1
sin
sin
2
cos
2cos1
coscos
2
)(
Z
E
n
I
n
I
n
I
n
I
i
o
o
Co
o
do
L
do
L
o
ooLL
−+
−
+
−+
−
−−
−−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−+
−+−
−+=
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ωω
L
(4.88)
()()
(
)
(
)
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02
02
1
1
02
0112
1
cos1
sin
cos
2
sin
2cos1
sinsin
2
)(
Z
n
I
Z
n
I
Z
n
I
o
o
doC
L
doC
L
o
oo
C
L
−+
−
−−
−+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−+
−−−
+=
ω
ω
ω
ω
ω
ωω
L
(4.89)
Median e (4.83) se ob iene el ec o de es ado en el ins an e d, con las componen es
(
)
(
)
(
)
(
)
()()
()() ()()
()()
()()
02
02
11
02
02
cos1
sin
cossin
cos1
coscos
2
1
2
1
)(
Z
E
Z
E
n
I
n
I
i
o
o
do
C
do
C
o
dodo
LL
d
−+
−
−+−−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−+
−+−
−+=
ω
ω
ωω
ω
ωω
L
(4.90)
()() ()()
(
)
(
)
()()
()()()()
()() ()()
()()
02
02
02
02
02
02
11
cos1
sin
2cos1
sinsin
2
cos1
sin
sincos)(
Z
n
I
Z
n
I
E EE
o
o
C
L
o
dodo
C
L
o
o
dodod
−+
−
−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−+
−−−
+
−+
−
−+−+−=
ω
ω
ω
ωω
ω
ω
ωω
L
(4.91)
Finalmen e con (4.84) se calculan las componen es pa a el ins an e 2. El esul ado,
como es de espe a , es idén ico al ins an e 0 del Caso 2 pe o con el signo cambiado e
idén ico al ins an e 2 del Caso 1.
(
)()
(
)
(
)
()()
()()()()
()()
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−+
−−−
−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−+
−+−
+−=
02
0112
02
02
2
cos1
sinsin
cos1
coscos
2
1
2
1
)(
Z
E
n
I
n
I
i
o
oo
C
o
dodoLL
ω
ωω
ω
ωω
L
(4.92)
()()
(
)
(
)
()()
()()
()() ()()()()
()()
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−+
−−−
+
−+
−
−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−+
−+−
+−=
02
02
02
02
02
0112
2
cos1
sinsin
2
1
cos1
sin
2
1
cos1
coscos
)(
Z
n
I
Z
n
I
EE
o
dodo
C
L
o
o
C
L
o
oo
ω
ωω
ω
ω
ω
ωω
L
(4.93)
En las igu a 4.68 y igu a 4.69 se indican los alo es calculados en las ecuaciones de la
(4.86) a la (4.93), pa a di e en es ecuencias de conmu ación.
4. ANÁLISIS DEL PRC-CR
4.2 Solución del modelo en espacio de es ado
100
Fig.4.68. Valo es del ec o de es ado en los ins an es de cambio de in e alo
pa a el Caso 2 a la ecuencia m
Fig.4.69. Valo es del ec o de es ado en los ins an es de cambio de in e alo
pa a el Caso 2 a la ecuencia 1,5 o
4.2.5 Du ación del in e alo de 0 a 1 .
Pa a ambos casos de análisis en el ins an e 0 la ensión ( 0) es nula. Po an o,
imponiendo al condición en la ecuación (4.75) ó (4.87) y eo denando se ob iene
4. ANÁLISIS DEL PRC-CR
4.2 Solución del modelo en espacio de es ado
101
()
(
)
[]
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
()()
[]
()()
()()()()
[]
02
0202
01020102
sinsin
2
1
sin
2
1
cos1
sinsincoscos1
E
Z
n
I
E
Z
n
I
dodo
C
L
o
CL
o
oooo
−−−−
−+−+=
=−−+−−+
ωω
ωω
ωωωω
L
L
(4.94)
Si se de ine
()()
02
cos1 a o
−
+
=
ω
(4.95)
()()
02
sin b o−
=
ω
(4.96)
()()()()()()
[]
{}
0202 sinsinsin
2
1
E
Z
n
I
ac dodoo
CL −−−−−+=
ωωω
(4.97)
esul a
(
)()
(
)
(
)
c b a oo
=
−
+
−
0101 sincos
ω
ω
(4.98)
que se puede esc ibi como
()()
22
01
sin ba
c
o+
=+−
φω
(4.99)
donde
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=−
b
a
1
an
φ
(4.100)
Aplicando posibles cambios igonomé icos se llega a la exp esión
(
)
22
02
o
−
−=
ω
π
φ
(4.101)
En la ecuación (4.99) se ha de ene en cuen a el cuad an e de abajo pues siemp e hay
dos posibles soluciones ma emá icas y sólo una ísica. Con es a conside ación, la
du ación del in e alo de 0 a 1 , como di e encia de ángulos, se á
()
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<+−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=−
>−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=−
−
−
oSo
oSo
si
ba
c
sin
si
ba
c
sin
πφω
φω
22
1
01
22
1
01
(4.102)
4. ANÁLISIS DEL PRC-CR
4.2 Solución del modelo en espacio de es ado
102
4.2.6 Tensión de salida
La ensión de salida del con e ido , Vo, es el alo medio de la ensión de salida del
puen e ec i icado con olado, ec. Po an o, su cálculo se ealiza e aluando ec sob e
un semipe iodo del pe iodo de conmu ación, dada la ec i icación y pe iodicidad de la
ensión esonan e . Se ob end á median e
∫
−
=2
0
)(
1
02
eco d
V (4.103)
Pa a cada uno de los dos casos de uncionamien o p opues os, la e olución de los
in e alos es di e en e y, po an o, la ecuación de cálculo de la ensión Vo ambién.
Dados los in e alos de e olución de la ensión esonan e y la acción del con ol, la
ensión de salida se exp esa pa a el Caso 1 como
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡+
−
=∫∫ 2
0
0
)(1
0
02
1
d
C
o
d
d
d d
n
V (4.104)
esul ando inalmen e
()
∫
−
=d
d
C
od
n
V
0
0
02
1)(
1 (4.105)
De igual o ma, pa a el Caso 2 la ensión de salida se exp esa como
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡++
−
=∫∫∫ 2
1
1
0
0
)()(1
101
02
2
d
C
o
d
d
d d
n
d
n
V (4.106)
esul ando inalmen e
()
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡+
−
=∫∫ d
d
C
od d
n
V
1
1
0
101
02
2)()(
1 (4.107)
Tensión de salida pa a el Caso 1.
La ensión en el condensado esonan e, , hay que conside a la solamen e en el
in e alo de 0 a d. Po an o ope ando en la ecuación (4.57) con los é minos iniciales
de (4.74) y (4.75), y el ec o de con ol de (4.53), se ob iene
4. ANÁLISIS DEL PRC-CR
4.2 Solución del modelo en espacio de es ado
103
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2
0
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2
0
02
2
02
0
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1
02
12
0
02
12
0
1
cos1
sin
2
1
cos1
sin
cos
2
1
cos1
cos
sin
2
1
cos1
sin
2
1
cos1
sin
2
1
cos1
cos
cos1
cos
cos
cos1
sin
sin)(
Z
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I
Z
n
I
Z
n
I
Z
n
I
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I
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EE
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C
L
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oC
L
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oC
L
o
o
C
L
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C
L
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o
o
o
C
od
−+
−
−
−+
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−−
−+
−
−−
−+
−
−
−+
−
−
−+
−
−
−+
−
−−
−+
−
−+=
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
L
L
L
L
(4.108)
Resol iendo la in eg al de la ecuación (4.105) con (4.108), la ensión de salida esul a
()
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(
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⎭
⎬
⎫
−+
−−−
−−+
⎩
⎨
⎧
−+
−+−
−−−
−
=
02
0112
0
02
0112
00
02
1
cos1
sinsin
cos1
cos1
coscos
sin
1
E
E
E
n
V
o
oo
do
o
o
oo
do
o
d
C
o
ω
ωω
ω
ω
ω
ωω
ω
ω
L
(4.109)
Es a ecuación p esen a como a iable de cálculo el ángulo
(
)
0
do −
ω
que es impues o
di ec amen e po el con olado . Depende ambién del ángulo
()
01
o−
ω
, el cual
depende del pun o de abajo del con e ido y que debe se calculado median e la
ecuación (4.102) del apa ado 4.2.5.
Tensión de salida pa a el Caso 2.
En es e caso la ensión debe se e aluada pa a los in e alos de 0 a 1 y de 1 a d .
Pa a el in e alo de 0 a 1 , ope ando en la ecuación (4.69) con los é minos iniciales de
(4.86) y (4.87), y el ec o de con ol de (4.65), se ob iene
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(
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02
2
0
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2
0
02
2
02
0
02
1
02
12
0
02
12
0
2
01
cos1
sin
2
1
cos1
sin
cos
2
1
cos1
cos
sin
2
1
cos1
sin
2
1
cos1
sin
2
1
cos1
cos
cos1
cos
cos
cos1
sin
sin)(
Z
n
I
Z
n
I
Z
n
I
Z
n
I
Z
n
I
E
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EE
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L
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L
o
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oC
L
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o
C
L
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C
L
o
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o
o
o
o
C
−+
−
−
−+
−
−−
−+
−
−−
−+
−
−
−+
−
−
−+
−
−
−+
−
−−
−+
−
−+=
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
L
L
L
L
L
(4.110)
Se obse a que és a úl ima ecuación es idén ica a la ecuación (4.108), po se las
ecuaciones y ec o es de con ol u ilizados en su ob ención iguales.

4. ANÁLISIS DEL PRC-CR
4.2 Solución del modelo en espacio de es ado
104
De igual o ma, pa a el in e alo de 1 a d , con la ecuación (4.69), con los é minos
(4.88) y (4.89) y con el ec o (4.66), se ob iene
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)
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02
2
0
02
2
0
02
02
0
02
2
02
02
11
2
1
cos1
cos
sin
2
1
cos1
sin
cos
2
1
cos1
sin
2
1
cos1
sin
2
1
cos1
sin
2
1
cos1
sin
sincos)(
Z
n
I
Z
n
I
Z
n
I
Z
n
I
Z
n
I
E EE
o
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L
o
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L
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C
L
o
o
C
L
o
o
C
L
o
o
oo
C
d
−+
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−−
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−−
−+
−
−
−+
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−
−+
−
−
−+
−
−+−+−=
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ωω
L
L
L
(4.111)
Resol iendo la in eg al de la ecuación (4.107) con (4.110) y (4.111), la ensión de salida
esul a
()
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)
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)
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)
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[]
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⎬
⎫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−+
−
−+−
−
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−+
−
−−−
−
+
⎩
⎨
⎧
+−+
−−−
+−−−
−
=
02
02
0101
0
02
02
0101
0
02
0112
001
02
2
cos1
sin
cossin
cos
cos1
sin
sincos
sin
cos1
sinsin
2
n
E
V
o
o
oo
o
do
o
o
oo
o
do
oo
oo
d
C
o
ω
ω
ωω
ω
ω
ω
ω
ωω
ω
ω
ωω
ωω
L
L
(4.112)
Conocidas aho a las dos ecuaciones posibles de la ensión de salida del con e ido ,
(4.109) pa a el Caso 1 y (4.112) pa a el Caso 2, la ope a i a de cálculo de la ensión Vo
queda desc i a en el diag ama de lujo de la igu a 4.70.
Fig. 4.70. Diag ama de lujo pa a la ob ención de la Vo adecuada
4. ANÁLISIS DEL PRC-CR
4.2 Solución del modelo en espacio de es ado
105
4.2.7 Cambio de a iables y no malización de las ecuaciones
Dada la complejidad de las ecuaciones ob enidas se p oponen los siguien es cambios de
a iables que acili en la no ación ma emá ica.
Se sus i uye
2
02 S
T
=− (4.113)
y conside ando el concep o de elación de conducción, se ob ienen
(
)
2
0
0
S
d
dT
d
−
= (4.114)
(
)
2
01
01
S
T
d
−
= (4.115)
(
)
2
12
12
S
T
d
−
= (4.116)
donde
(
)
(
)
011202
−
+
−
=
−
(4.117)
po an o
1
1201
=
+
dd (4.118)
1
20
=
+
dd dd (4.119)
En el Caso 1 de análisis se cumple
1
1210
=
+
+
ddd dd (4.120)
y pa a el Caso 2
1
2101
=
+
+
dd ddd (4.121)
cumpliendo ambos modos que
dd ddd 0101
=
+
(4.122)
La elación en e la ecuencia de conmu ación s del puen e in e so espec o a la
ecuencia na u al o, al como se había p esen ado en (4.30), queda de inida como
s
o
o
s
T
T
F== (4.123)
4. ANÁLISIS DEL PRC-CR
4.2 Solución del modelo en espacio de es ado
106
Reo denando los é minos de ángulos esul an
()
F
T
s
o
s
o
s
oo
π
ππωω
====− 2
1
2
2
02 (4.124)
() () ()
(
)
(
)
12
1212
121212
2
2
22 d
F
T
FT
F
F
s
s
s
oo
π
π
π
ππω
=
−
=
−
=−=−=− (4.125)
() () ()
(
)
(
)
01
0101
010101
2
2
22 d
F
T
FT
F
F
s
s
s
oo
π
π
π
ππω
=
−
=
−
=−=−=− (4.126)
() () ()
(
)
(
)
d
s
d
s
d
d
s
dodo d
F
T
FT
F
F
0
00
000
2
2
22
π
π
π
ππω
=
−
=
−
=−=−=− (4.127)
Se de ine ambién
2
s
o
T
F
ω
π
γ
== (4.128)
Pa a el Caso 1, la ecuación (4.109) de la ensión de salida del con e ido en é minos
de las nue as a iables es
()
(
)
(
)
()
()
[]
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()
⎭
⎬
⎫
+
−
−+
⎩
⎨
⎧
+
+
−=
γ
γγ
γ
γ
γ
γγ
γ
γ
cos1
sinsin
cos1
cos1
coscos
sin
1
0112
0
0112
00
1
dd
d
E
dd
d
E
Ed
n
V
d
dd
C
oL
(4.129)
que p esen ando en o ma no malizada esul a
()
(
)
(
)
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[]
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()
γ
γγ
γ
γ
γ
γγ
γ
γ
cos1
sinsin
cos1
1
cos1
coscos
sin
1
0112
0
0112
00
1
+
−
−+
+
+
−=
dd
d
dd
dd
E
V
n
d
dd
C
oL
(4.130)
Pa a el Caso 2 la ecuación (4.112) esul a
(
)
(
)
()
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()
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()
⎭
⎬
⎫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−+
⎩
⎨
⎧
+
−
+−=
γ
γ
γγγ
γ
γ
γ
γγγ
γ
γ
γγ
γ
cos1
sin
cossincos
cos1
sin
sincossin
cos1
sinsin
2
1
01010
01010
0112
001
2
ddd
E
ddd
E
dd
E
EdEd
n
V
d
d
d
C
o
L
L
(4.131)
que ambién en o ma no malizada es
4. ANÁLISIS DEL PRC-CR
4.2 Solución del modelo en espacio de es ado
107
(
)
(
)
()
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()
()() ()()
()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−+
+
−
+−=
γ
γ
γγγ
γ
γ
γ
γγγ
γ
γ
γγ
γ
cos1
sin
cossincos
1
cos1
sin
sincossin
1
cos1
sinsin
1
2
01010
01010
0112
001
2
ddd
ddd
dd
dd
E
V
n
d
d
d
C
o
L
L
(4.132)
Las ecuaciones (4.130) y (4.132) dependen, además de la elación de la ecuencia de
abajo del in e so
γ
, de
• el ciclo de abajo d0d impues o po el con ol, y
• el ciclo de abajo d01 que depende de la co ien e de salida IL del con e ido .
El ciclo de abajo d01 se calcula median e la siguien e ecuación, deducida de (4.102)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧+−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
>
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
−
−
os
os
si
ba
c
d
si
ba
c
d
πφ
γ
φ
γ
22
1
01
22
1
01
sin
1
sin
1
(4.133)
A los é minos que a ec an a (4.133) se les e ec úan los cambios de a iables p opues os
y son no malizados espec o a E, esul ando
(
)
γ
cos1+=a (4.134)
()
γ
sin=b (4.135)
() ( )()()
[]
{}
γγγ
dd
CL dd
E
Z
n
I
ac 00 sin1sinsin
2
1−−−+= (4.136)
22
γ
π
φ
−= (4.137)
La solución de la ensión de salida se puede ep esen a en un plano de es ado, es deci ,
espec o a la co ien e de salida no malizada, o ambién espec o a la esis encia de
ca ga del con e ido . Pa a el p ime caso, el conjun o de ecuaciones se compac a como
una unción del ipo
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
base
L
d
o
I
I
d
E
V
n,
0 (4.138)
siendo
C
base Z
E
nI = (4.139)

5. ANÁLISIS DEL SRC-CR
5.1 Análisis po ap oximación al p ime a mónico
115
5.1 Análisis po ap oximación al p ime a mónico
De igual o ma que pa a el PRC-CR, se analiza el SRC-CR con el mé odo de la
ap oximación al p ime a mónico.
Nue amen e, an e g andes a iaciones en la egulación de las magni udes eléc icas en
la salida del con e ido o an e g andes a iaciones de la esis encia de ca ga, si el
in e so abaja a ecuencias de conmu ación ce canas a la de esonancia del anque,
an a exis i g andes a iaciones en la impedancia de en ada, ZIN(j
ω
), del con e ido .
Pa a de e minados alo es de ca ga o de elación de conducción del bloque ec i icado ,
el alo del ⏐ZIN(j
ω
)⏐ se á muy pequeño, con lo que la co ien e po el bloque in e so
y el anque esonan e puede se un alo excesi amen e al o. De nue o enemos, en
es as ecuencias de abajo, el p oblema de las pé didas en conducción y del diseño del
con e ido ci ados en el apa ado 4.1.1.
El análisis que se ealiza seguidamen e, se o ien a a ca ac e iza el compo amien o del
con e ido con ec i icación con olada y a encon a los pun os de abajo óp imos que
minimicen los e ec os indeseados comen ados an e io men e. Es a pe spec i a de
ga an iza un compo amien o cons an e a las magni udes esonan es no es conside ada
en [ROS98], siendo undamen al en es e abajo.
El pun o de pa ida del análisis se es ablece en el SRC clásico. En la igu a 5.1 se
p esen a dicho con e ido indicando los e minales de e aluación de la impedancia de
en ada.
Fig. 5.1. SRC clásico indicando los e minales de e aluación de la ZIN(j
ω
)
5.1.1 Impedancia de en ada del SRC clásico
Conside amos de nue o como pun o de inicio al es udio de la impedancia de en ada,
ZIN(j
ω
), el indicado en la igu a 5.2 como Re. Dicho é mino se encuen a ya analizado
en la bibliog a ía [STE88] [ERI01] y se p esen a como una esis encia e ec i a, Re, que
modela odo el conjun o esis encia de ca ga, il o de salida, ec i icado no con olado
y ans o mado de aislamien o. El alo de la ci ada esis encia es
5. ANÁLISIS DEL SRC-CR
5.1 Análisis po ap oximación al p ime a mónico
116
Le RnR 2
2
8
π
= (5.1)
Fig. 5.2. SRC clásico indicando los e minales de e aluación de la Re
Pa a el SRC clásico, la ensión de salida del puen e in e so , y en conc e o su p ime
a mónico, gen,1, exci a un sis ema RLC se ie o mado po L , C y Re , al como se
p esen a en la igu a 5.3.
Fig. 5.3. Modelo de compo amien o en el análisis de p ime a mónico
Conside ando Re como una esis encia lineal óhmica, la impedancia de en ada del
ci cui o se ob iene con la exp esión:
()
e
eCLIN R
Cj
LjRjXjXjZ ++=+−=
ω
ωω
1 (5.2)
No malizando la ecuación (5.2) esul a
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛−+=
ω
ω
ω
ωω
o
oC
e
C
IN j
Z
R
Z
jZ (5.3)
En la igu a 5.4 se ep esen a el módulo de ZIN(j
ω
) no malizado espec o a la ecuencia
no malizada, pa a di e en es alo es de Re/ZC. Las es cu as que apa ecen en la igu a
son el alo lími e 0, co espondien e a una Re nula (en colo azul), el alo 0,5 (en colo
ojo) y el alo 2 (en colo magen a). Un alo de Re in ini o es e iden e que p o oca á
en el alo de ⏐ZIN(j
ω
)⏐ un alo in ini o pa a cualquie ecuencia.
5. ANÁLISIS DEL SRC-CR
5.1 Análisis po ap oximación al p ime a mónico
117
Fig. 5.4. Módulo de ZIN(j
ω
) no malizada
De la ecuación (5.3), en la que se conside a una esis encia Re lineal, se deducen las
siguien es conclusiones:
 Pa a cualquie alo de esis encia e ec i a, Re, el módulo de la impedancia de
en ada ZIN(j
ω
) es a á aco ado a un alo pe enecien e a la egión que encie an
las cu as Re = 0 y Re = ∞.
 Pa a cualquie ecuencia si disminuye la Re, el ⏐ZIN(j
ω
)⏐ iende a disminui y
ice e sa.
Es a úl ima conclusión mues a, a o unadamen e, en el SRC un compo amien o p opio
de un con e ido PWM. Un inc emen o del alo de la ca ga en el con e ido a a
p o oca una disminución de las co ien es po el con e ido , y ice e sa. Con iene
eco da que en el PRC es e e ec o sucede a la in e sa, ocasionando una impo an e
p oblemá ica que ha sido comen ada en el an e io apa ado.
El peo ma gen de ecuencias de abajo con inúa siendo el p óximo a la ecuencia de
esonancia, no exis iendo pun os al como la m que apa ecen en el PRC. Es o hace que
la de e minación de un pun o de ecuencia óp imo de abajo no sea e iden e y sea más
p opio habla de una anja óp ima.
5.1.2 Impedancia e ec i a dependien e de la elación de conducción del
ec i icado
En la igu a 5.5 se p esen a el esquema del SRC-CR en es udio. En es e con e ido la
esis encia e ec i a, Re, se á una impedancia e ec i a dependien e del ángulo, Ze(d), al
como se demos a á a con inuación.
5. ANÁLISIS DEL SRC-CR
5.1 Análisis po ap oximación al p ime a mónico
118
Fig. 5.5. SRC-CR indicando los e minales de e aluación de ZIN(j
ω
)y Ze(d)
Se p ocede a de e mina una exp esión de la impedancia e ec i a dependien e de la
elación de conducción del ec i icado , Ze(d), dada la e olución de las o mas de onda
del con e ido . En la igu a 5.6 se p esen a el con e ido SRC-CR con un modelado
pa cial del bloque in e so de exci ación del anque esonan e y del bloque ec i icado .
Fig. 5.6. Modelo del con e ido SRC-CR
Se conside a el supues o de izado nulo en la ensión del condensado del il o de
salida. De es a o ma, la ensión en la ca ga, Vo, es de alo cons an e. También, la
co ien e que ci cula po la esis encia de ca ga, IL, es de alo cons an e e igual al alo
medio de la co ien e iL. La ensión p end á o ma de semicuad ada con una du ación
de su iempo mue o impues a po la elación de conducción de los in e up o es del
puen e ec i icado . Fue a de los ins an es de alo nulo en p, su signo end á impues o
po el signo de la co ien e i .
En la igu a 5.7 se p esen a una posible e olución de las o mas de onda de co ien e y
ensión más signi ica i as. Co esponden a una e olución ideal en es ado es aciona io y
pa a una elación de ans o mación uni a ia. Apa ece la co ien e esonan e i (en
e de), la ensión de salida Vo (en ojo), la ensión de en ada del ans o mado , p, o
del puen e ec i icado , p/n (en azul) y su co espondien e p ime a mónico como p,1
(en osa discon inuo).
Se obse a que la ensión p es semicuad ada de alo de pico Vo y con un de e minado
ciclo de abajo d impues o po el ec i icado . Se obse a, además, que en e el p ime
a mónico de p e i exis e un des ase, po lo que nue amen e, pa a el SRC-CR, se ha de
5. ANÁLISIS DEL SRC-CR
5.1 Análisis po ap oximación al p ime a mónico
119
habla de una impedancia e ec i a dependien e de la elación de conducción, Ze(d), en
luga de Re.
Fig. 5.7. Fo mas de onda ideales en el con e ido
El ec i icado con olado y el il o de salida hacen que la co ien e po la ca ga cumpla
(
)
π
π
d
inI L
cos1
ˆ
−
= (5.4)
El p ime a mónico de p , p,1 , median e la descomposición en Se ie de Fou ie , iene
dado po la siguien e exp esión
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−+⋅−= 22
sincos1
22
)(
1,
d
dVn op
ππ
ωπ
π
(5.5)
como unción del alo de ensión cons an e Vo y de la elación de conducción, d, de los
in e up o es del ec i icado .
Dado que
LLo RIV
=
(5.6)
se sus i uye (5.4) en (5.6)
(
)
Lo i
d
RnV ˆ
cos1
π
π
−
= (5.7)
y pos e io men e en (5.5) pa a ob ene

5. ANÁLISIS DEL SRC-CR
5.1 Análisis po ap oximación al p ime a mónico
120
()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−+⋅−= 22
sincos1
22
ˆ
)( 2
3
2
2
1,
d
dRni L p
ππ
ωπ
π
(5.8)
Median e una ep esen ación aso ial de la ensión p,1 y la co ien e i , se ob iene la
impedancia e ec i a como
() ()
()
()
()
0
22
2
3
2
2
0
22
1,
ˆ
cos1
22
ˆ
ˆ
ˆ
j
d
j
L
j
d
j
p
j
ee ei
edRni
ei
e
edZdZ d
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−−
===
ππ
ππ
ϕ
π
π
(5.9)
esul ando
() ()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
−⋅
=22
2
3
2cos18 d
j
Le e
d
nRdZ
ππ
π
π
(5.10)
La ep esen ación g á ica de la ecuación (5.10) no malizada al alo de la esis encia de
ca ga RL y la elación de ans o mación al cuad ado, se ep esen a en las siguien es
igu as. En la igu a 5.8 se p esen a el módulo y en la igu a 5.9 el a gumen o. Se
ap ecia que cuando los alo es de la elación de conducción, d, ienden a ce o el módulo
de la impedancia e ec i a iende ambién a ce o, y pa a alo es de d que ienden a 1
dicho módulo iende al alo de la esis encia e ec i a de la ecuación (5.1).
Fig. 5.8. Módulo de Ze(d) no malizado en RL y n2
Se obse a ambién que la e olución del a gumen o de la impedancia e ec i a es lineal
desde 0º a 90º.
5. ANÁLISIS DEL SRC-CR
5.1 Análisis po ap oximación al p ime a mónico
121
Fig. 5.9. A gumen o de Ze(d)
No malizando la ecuación (5.10) espec o a la impedancia ca ac e ís ica del anque
esonan e, ZC, se ob iene la ecuación (5.11) nue amen e en é minos del índice de ca ga,
n2RL/ZC, que se á u ilizada en pos e io es deducciones.
() ()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
−⋅
=22
2
3
2cos18 d
j
C
L
C
ee
d
Z
R
n
Z
dZ
ππ
π
π
(5.11)
5.1.3 Impedancia de en ada del SRC-CR
La impedancia de en ada ZIN(j
ω
) queda de inida po la ecuación
() () ()
dZ
Cj
LjdZjXjXjZ e
eCLIN ++=+−=
ω
ωω
1 (5.12)
que se puede no maliza de la o ma
(
)
(
)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛−+=
ω
ω
ω
ω
ω
o
o
eIN j
Zc
dZ
Zc
jZ (5.13)
Es a úl ima ecuación depende de RL y d, po el é mino de Ze(d), y depende de la
ecuencia de abajo, s. En es e momen o del análisis aún no hay de inido un pun o de
ecuencia óp imo del con e ido , po lo que exis en es a iables en juego en dicha
ecuación pa a su p esen ación g á ica. Pa a ca ac e iza el compo amien o de la ZIN(j
ω
)
se p opone ep esen a su módulo pa a los siguien es casos con alo es no malizados:
5. ANÁLISIS DEL SRC-CR
5.1 Análisis po ap oximación al p ime a mónico
122
i. espec o a la ecuencia de conmu ación s pa a di e en es índices de ca ga,
conside ando a ias elaciones de conducción, d, y
ii. espec o a s pa a di e en es d, conside ando a ios índices de ca ga.
9 Caso i. Co esponde a las igu as 5.10 a 5.14. Cada g á ica p esen a una elación
de conducción, d, di e en e en el con e ido , de 0,2 , 0,4 , 0,6 , 0,8 y 1,0. En cada
g á ica apa ecen los alo es de índice de ca ga de 0,5 , 1, 2, 5 y 10.
Fig. 5.10. Módulo de ZIN(j
ω
) no malizada
con d = 0,2
Fig. 5.11. Módulo de ZIN(j
ω
) no malizada
con d = 0,4
Fig. 5.12. Módulo de ZIN(j
ω
) no malizada
con d = 0,6
Fig. 5.13. Módulo de ZIN(j
ω
) no malizada
con d = 0,8
Fig. 5.14. Módulo de ZIN(j
ω
) no malizada
con d = 1,0
Se obse a que, debido al e ec o de la Ze(d), se desplaza el pun o de esonancia del
con e ido . Es o hace que si la ecuencia s es supe io a la de esonancia del anque
5. ANÁLISIS DEL SRC-CR
5.1 Análisis po ap oximación al p ime a mónico
123
LC se ga an iza en la ZIN(j
ω
) un compo amien o induc i o en el anque esonan e. Si s
es in e io a la ecuencia de esonancia o, dependiendo del alo de esis encia RL, el
compo amien o puede se capaci i o, esis i o o induc i o.
9 Caso ii. Co esponde a las igu as 5.15 a 5.19. Cada g á ica p esen a el
compo amien o pa a un índice de ca ga de 0,5 , 1, 2, 5 y 10. En cada g á ica se obse a
la e olución pa a las elaciones de conducción de 0,2 , 0,4 , 0,6 , 0,8 y 1,0.
Fig. 5.15. Módulo de ZIN(j
ω
) no malizada
pa a un índice de ca ga de 0,5
Fig. 5.16. Módulo de ZIN(j
ω
) no malizada
pa a un índice de ca ga de 1
Fig. 5.17. Módulo de ZIN(j
ω
) no malizada
pa a un índice de ca ga de 2
Fig. 5.18. Módulo de ZIN(j
ω
) no malizada
pa a un índice de ca ga de 5
Fig. 5.19. Módulo de ZIN(j
ω
) no malizada
pa a un índice de ca ga de 10
Se obse a, al como en el an e io caso p esen ado, que pa a de e minados índices de
ca ga, la a iación del ángulo de conducción del bloque ec i icado hace a ia la
5. ANÁLISIS DEL SRC-CR
5.1 Análisis po ap oximación al p ime a mónico
130
Fig. 5.28. Resul ado de simulación pa a d = 0,3
Fig. 5.29. Resul ado de simulación pa a d = 0,6

5. ANÁLISIS DEL SRC-CR
5.2 Solución del modelo en espacio de es ado
131
5.2 Solución del modelo en espacio de es ado
5.2.1 In oducción
A con inuación se a a de e mina la e olución de las o mas de onda en es ado
es aciona io de las magni udes esonan es en el dominio del iempo del SRC-CR.
La me odología de análisis es la misma que la ealizada pa a el con e ido PRC-CR.
Dada la pe iodicidad y sime ía de las o mas de onda, el análisis se ealiza á sólo pa a
el semipe iodo posi i o de la co ien e esonan e, i , siendo sus conclusiones ex ensibles
al semipe iodo nega i o.
Median e la ap oximación ípica de ensión cons an e en la ca ga, el con e ido se
modela al como apa ece en la igu a 5.30, en la que el il o de salida se conside a ideal
y se sus i uye po su equi alen e como uen e de ensión.
Fig. 5.30. Modelo de compo amien o del SRC-CR
En la igu a 5.31 se ep esen a una e olución ípica de las o mas de ondas en el
con e ido . Como es lógico, la o ma de onda que se oma como e e encia es la
co ien e esonan e, i , (en ojo), pues con su paso po ce o se inicia el in e alo de
conducción de la e apa ec i icado a de salida. Además, en la igu a apa ece en azul la
ensión de salida del puen e in e so , gen, en e de la co ien e de salida del
ec i icado , iL, y en osa la ensión en el condensado esonan e, .
Se obse a en la misma igu a 5.31 que den o de un semipe íodo de uncionamien o
apa ecen es in e alos de es udio:
9 de 0 a d, de du ación impues a po el con olado , que es ablece el iempo ON ,
del ec i icado ,
9 de d a 1, de du ación no con olada y a iable dependien e del pun o de abajo
del con e ido , y
9 de 1 a 2, ambién de du ación a iable po depende del segundo in e alo.
5. ANÁLISIS DEL SRC-CR
5.2 Solución del modelo en espacio de es ado
132
Fig. 5.31. Fo mas de onda en es ado es aciona io del SRC-CR
con e e encia en la co ien e esonan e. Caso 1
Es a secuencia de in e alos es denominada Caso 1, y se obse a que exis e co ien e iL,
de alo n
⋅
i , desde el ins an e 0 has a el ins an e d, siemp e an es del ins an e 1. No
obs an e, puede exis i o a secuencia de in e alos en el con e ido , al como se
p esen a en la igu a 5.32, es ableciendo es a nue a secuencia el denominado Caso 2.
Fig. 5.32. Fo mas de onda en es ado es aciona io del SRC-CR
con e e encia en la co ien e esonan e. Caso 2
En es a úl ima secuencia sucede, al como se ap ecia en la igu a 5.32, que d es
pos e io a 1, siendo los in e alos de es udio:
5. ANÁLISIS DEL SRC-CR
5.2 Solución del modelo en espacio de es ado
133
9 de 0 a 1, de du ación no con olada y a iable dependien e del pun o de abajo
del con e ido ,
9 de 1 a d, de du ación a iable dependien e del pun o de abajo del con e ido ,
pe o deducible conocidos el ON impues o po el con ol y la du ación del p ime
in e alo.
9 de 1 a 2, de du ación conocida po depende de ON y del pe íodo de la ensión
de exci ación del anque esonan e.
5.2.2 Solución gene al de las a iables esonan es
Comenzando po el Caso 1 de es udio indicado en la igu a 5.31, se analizan los es
modos opológicos po los que e oluciona el con e ido .
• P ime o, de 0 a d con el modelo ci cui al de la igu a 5.33 y las ecuaciones (5.21):
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
++=
d
d
Ci
nV
d
di
LE
o
(5.21)
Fig. 5.33. Modelo de 0 a d
• Segundo, de d a 1 con el modelo ci cui al de la igu a 5.34 y las ecuaciones (5.22):
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
+=
d
d
Ci
d
di
LE
(5.22)
Fig. 5.34. Modelo de d a 1
• Te ce o, de 1 a 2 con el modelo ci cui al de la igu a 5.35 y las ecuaciones (5.23):
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
+=−
d
d
Ci
d
di
LE
(5.23)
Fig. 5.35. Modelo de 1 a 2
El sis ema modelado se puede desc ibi en no ación de espacio de es ado, a pa i de las
ecuaciones (5.21) a (5.23), como
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡−
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
2
1
00
0
1
1
0
u
u
L
Vn
L
E
i
C
L
d
d
d
di
o
(5.24)
5. ANÁLISIS DEL SRC-CR
5.2 Solución del modelo en espacio de es ado
134
donde
{}
1,1
1
−
+
=u (5.25)
y
{
}
0,1
2
+
=u (5.26)
Se obse a que es un sis ema de la o ma
uBxAx
+
=
& (5.27)
donde
de 0 a d :
[]
T
d11
0++== uu (5.28)
de d a 1 :
[]
T
d01
1+== uu (5.29)
de 1 a 2 :
[]
T
01
12 −== uu (5.30)
con solución den o de cada in e alo median e la ecuación
0,d,1,2ide e
i
i
i=+= ∫−
−:,)()()( )(
)(
ττ
τ
uBxx A
A (5.31)
La solución gene al de (5.27) usando (5.31) en el in e alo adecuado es
()
() ()() ()()
()() ()()
()() ()()
()()() ()()()
u
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−−−
−−−
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
iooio
io
C
o
io
C
i
i
ioioC
io
C
io
Vn E
Z
Vn
Z
E
i
Z
Z
i
ωω
ωω
ωω
ωω
cos1cos1
sinsin
cossin
sin
1
cos L
(5.32)
Con inuando con el Caso 2 de es udio de la igu a 5.32, y con igual me odología que la
plan eada pa a el Caso 1, se analizan sus es modos opológicos.
• P ime o, de 0 a 1 con el modelo ci cui al de la igu a 5.36 y las ecuaciones (5.33):
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
++=
d
d
Ci
Vn
d
di
LE
o
(5.33)
Fig. 5.36. Modelo de 0 a 1
5. ANÁLISIS DEL SRC-CR
5.2 Solución del modelo en espacio de es ado
135
• Segundo, de 1 a d con el modelo ci cui al de la igu a 5.37 y las ecuaciones (5.34):
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
++=−
d
d
Ci
Vn
d
di
LE
o
(5.34)
Fig. 5.37. Modelo de 1 a d
• Te ce o, de d a 2 con el modelo ci cui al de la igu a 5.38 y las ecuaciones (5.35):
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
+=−
d
d
Ci
d
di
LE
(5.35)
Fig. 5.38. Modelo de d a 2
El sis ema desc i o en ecuaciones de es ado es, aho a,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
′
′
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡−
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
2
1
00
0
1
1
0
u
u
L
Vn
L
E
i
C
L
d
d
d
di
o
(5.36)
donde
{
}
1,1
1
−
+
=
′
u (5.37)
y
{
}
0,1
2
+
=
′
u (5.38)
Se obse a que, idén icamen e al Caso 1, es un sis ema de la o ma
uBxAx
′
+
=
& (5.39)
donde
de 0 a 1 :
[
]
T
11
01 ++=
′
=
′uu (5.40)
de 1 a d :
[
]
T
d11
1+−=
′
=
′uu (5.41)
de d a 2 :
[
]
T
d01
2−=
′
=
′uu (5.42)
con solución den o de cada in e alo median e la ecuación

5. ANÁLISIS DEL SRC-CR
5.2 Solución del modelo en espacio de es ado
136
0,1,d,2ide e
i
i
i=
′
+= ∫−
−:,)()()( )(
)(
ττ
τ
uBxx A
A (5.43)
De igual o ma, se ob end á la solución gene al de (5.39) usando (5.43) en el in e alo
adecuado, esul ando
()
() ()() ()()
()() ()()
()() ()()
()()() ()()()
u′
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−−−
−−−
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
iooio
io
C
o
io
C
i
i
ioioC
io
C
io
Vn E
Z
Vn
Z
E
i
Z
Z
i
ωω
ωω
ωω
ωω
cos1cos1
sinsin
cossin
sin
1
cos L
(5.44)
5.2.3 Valo es del ec o de es ado en los ins an es de cambio de in e alo
P ocediendo de o ma simila a la ealizada pa a el PRC-CR, median e las ecuaciones
(5.31) y (5.43) se ob ienen las soluciones en es ado es aciona io pa a el SRC-CR de los
alo es del ec o de es ado, en cada uno de los dos casos en es udio. Pa a ello, se
comienza calculando el alo de las a iables de es ado al p incipio del in e alo de
análisis, ins an e 0, sabiendo que su alo es igual y de signo opues o a los alo es del
inal de in e alo, ins an e 2 de cada caso, dada la sime ía exis en e en las o mas de
onda.
Caso 1 de es udio
El ec o de es ado en el ins an e d es, median e (5.31),
∫−− += d
dd
d
dde e
0
00
)(
0
)( )()(
τ
τ
uBxx AA (5.45)
El ec o de es ado en el ins an e 1 iene dado po
∫−
−+= 1
1
11
)(
)(
1)()(
d
d
d
dde e
τ
τ
uBxx A
A (5.46)
Y en el ins an e 2
∫−− += 2
1
212 12
)(
1
)(
2)()(
de e
τ
τ
uBxx AA (5.47)
Imponiendo la condición de es ado es aciona io que )()( 02 xx
−
=
y eo denando, se
ob iene el alo inicial como
5. ANÁLISIS DEL SRC-CR
5.2 Solución del modelo en espacio de es ado
137
[]
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
++
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+−=
∫∫
∫
−−−
−−
−
−
2
1
2
1
112
0
202
12
)(
1
)()(
0
)()(
1
)(
0)(
d
d
dedee
deee
d
d
dd
ττ
τ
ττ
τ
uBuB
uBIx
AAA
AAA L
(5.48)
del que se ob ienen las siguien es soluciones pa a las componen es del ec o de es ado:
()()
(
)
(
)
()()
(
)
(
)
()()
()()()()
()()
02
02
02
02
02
0112
0
cos1
sinsin
2
cos1
sin
2cos1
sinsin
)(
Zc
nV
Zc
nV
Zc
E
i
o
dodoo
o
oo
o
oo
−+
−−−
−
−+
−
+
−+
−
−
−
=
ω
ωω
ω
ω
ω
ω
ω
L
(5.49)
(
)()
(
)
(
)
()()
()()()()
()()
02
02
02
0112
0
cos1
coscos
22
cos1
coscos
)(
nVnV
EE
o
dodooo
o
oo
−+
−+−
+−
−+
−
+
−
−=
ω
ωω
ω
ω
ω
L
(5.50)
Conocido aho a el ec o de es ado en el ins an e 0, se puede calcula median e (5.45)
las componen es del ec o de es ado en el ins an e d, esul ando
()()
()()
(
)
(
)
()()
()()()()
()() ()()
()()
02
02
02
02
02
1
02
120
cos1
sin
2cos1
sinsin
2
cos1
sin
cos1
sin
)(
Zc
nV
Zc
nV
Zc
E
Zc
E
i
o
oo
o
dodoo
o
do
o
do
d
−+
−
−
−+
−−−
+
−+
−
−
−+
−
+
+
−
+=
ω
ω
ω
ωω
ω
ω
ω
ω
L
(5.51)
()()
()()
(
)
(
)
()()
()()()()
()()
02
02
02
1
02
120
cos1
coscos
22
cos1
cos
cos1
cos
)(
nVnV
E
EE
o
dodooo
o
do
o
do
d
−+
−+−
+−
−+
−
−
−+
−
+
+
−
−+=
ω
ωω
ω
ω
ω
ω
L
(5.52)
De idén ica o ma median e (5.46) se ob iene el ec o de es ado en el ins an e 1, de
componen es
()()
()()
(
)
(
)()
(
)
()()
()()
()() ()()
()()
02
1
02
120
02
0112
02
02
1
cos1
sin
2cos1
sin
2
cos1
sinsin
2cos1
sin
)(
Zc
nV
Zc
nV
Zc
nV
Zc
E
i
o
doo
o
doo
o
ooo
o
o
−+
−
+
−+
−+−
−
−+
−
−
−
+
−+
−
=
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
L
(5.53)
5. ANÁLISIS DEL SRC-CR
5.2 Solución del modelo en espacio de es ado
138
()()
(
)
(
)
()()
()()
()() ()()
()()
02
1
02
120
02
0112
1
cos1
cos
2cos1
cos
2
cos1
coscos
2
)(
nV
nV
nV
o
doo
o
doo
o
ooo
−+
−
−
−+
−+−
−
−+
−
+−
+=
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
L
(5.54)
Median e (5.47) se calculan las componen es pa a el ins an e 2, siendo el esul ado,
como e a de espe a , idén ico al ins an e 0 pe o con el signo cambiado.
(
)()
(
)()
()()
()()()()
()() ()()
()()
02
02
02
02
02
0112
2
cos1
sin
2cos1
sinsin
2
cos1
sinsin
)(
Zc
nV
Zc
nV
Zc
E
i
o
oo
o
dodoo
o
oo
−+
−
−
−+
−−−
+
−+
−
−−
−=
ω
ω
ω
ωω
ω
ω
ω
L
(5.55)
()()
(
)
(
)
()()
()()()()
()()
02
02
02
0112
2
cos1
coscos
22
cos1
coscos
)(
nVnV
EE
o
dodooo
o
oo
−+
−+−
−+
−+
−
+−
+−=
ω
ωω
ω
ω
ω
L
(5.56)
En la igu a 5.39 se indican los alo es calculados en las ecuaciones de la (5.49) a la
(5.56).
Fig. 5.39. Valo es del ec o de es ado en los ins an es de cambio de in e alo pa a el Caso 1
Caso 2 de es udio
Ope ando de igual o ma, el ec o de es ado en el ins an e 1 es, median e (5.43),
∫′
+= −
−1
0
1
01 01
)(
0
)(
1)()(
de e
τ
τ
uBxx A
A (5.57)
5. ANÁLISIS DEL SRC-CR
5.2 Solución del modelo en espacio de es ado
139
El ec o de es ado en el ins an e d es, de igual o ma,
∫′
+= −− d
dd
d
dde e
1
11
)(
1
)( )()(
τ
τ
uBxx AA (5.58)
Y en el ins an e 2
∫′
+= −
−2
2
22
)(
)(
2)()(
d
d
d
dde e
τ
τ
uBxx A
A (5.59)
Imponiendo nue amen e la condición de es ado es aciona io, )()( 02 xx −= , y
eo denando, se ob iene el alo inicial pa a es e caso como
[]
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
′
+
′
+
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧′
+−=
∫∫
∫
−
−−
−−
−
−
2
2
1
2
1
0
112
02
2
)(
1
)()(
01
)()(
1
)(
0)(
d
d
d
d
dd dedee
deee
ττ
τ
τ
τ
τ
uBuB
uBIx
A
AA
AA
AL
(5.60)
del que se ob ienen las soluciones siguien es pa a sus componen es
()()
(
)
(
)
()()
(
)
(
)
()()
()()()()
()()
02
02
02
02
02
0112
0
cos1
sinsin
2
cos1
sin
2cos1
sinsin
)(
Zc
nV
Zc
nV
Zc
E
i
o
dodoo
o
oo
o
oo
−+
−−−
−
−+
−
+
−+
−
−
−
=
ω
ωω
ω
ω
ω
ω
ω
L
(5.61)
(
)()
(
)
(
)
()()
()()()()
()()
02
02
02
0112
0
cos1
coscos
22
cos1
coscos
)(
nVnV
EE
o
dodooo
o
oo
−+
−+−
+−
−+
−
+
−
−=
ω
ωω
ω
ω
ω
L
(5.62)
Es de no a que an o el é mino i ( 0) como el é mino ( 0) son idén icos en ambos
casos de análisis.
Conocido aho a el ec o de es ado en el ins an e 0 se puede calcula median e (5.57), el
ec o de es ado en el ins an e 1 . Sus componen es esul an se
()()
()()
(
)
(
)()
(
)
()()
()()
()() ()()
()()
02
210
02
1
02
0112
02
02
1
cos1
sin
2cos1
sin
2
cos1
sinsin
2cos1
sin
)(
Zc
nV
Zc
nV
Zc
nV
Zc
E
i
o
doo
o
doo
o
ooo
o
o
−+
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−
−+
−
+
−+
−
−
−
+
−+
−
+=
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
L
(5.63)