Re is a h e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo
y
Diseño en Ingenie ía. Vol.
8,
2,
103-119( 1992)
COTAS PARA LA TRANSMISION DE CALOR
TURBULENTA DE LOS METALES LIQUIDOS EN
CONDUCTOS RECTANGULARES CALENTADOS
ASIMETRICAMENTE
ABRAHAM SALAZAR*
Y
ANTONIO CAMPO**
*Dep . o Mechanical Enginee ing,
Uni e si y o Ken ucky,
Lexing on, KY 40506, USA.
**College o Enginee ing,
Idaho S a e Uni e si y,
Pocaiello,
ID
83209, USA.
RESUMEN
En es e abajo se explo a un aco amien o del p oblema de la ansmisión de calo pa a
me ales líquidos en conduc os con o mados po dos placas pa alelas. El lujo se conside a
u bulen o y es á hid odinámicamen e desa ollado a la en ada de la p ime a egión adiabá ica
del conduc o. El calen amien o se e ec úa en una pa ed de la segunda egión, pe maneciendo la
o a aislada. A la ecuación de la ene gía incluyendo el é mino de conducción molecula axial,
se la inco po an dos pa ones ex emos de elocidad que si en de co as: uno uni o me y o o
pa abólico lamina . La simulación numé ica del p oblema conjugado elíp ico, se ealiza po
di e encias ini as u ilizando olúmenes de con ol conjun amen e con el algo i mo de Thomas,
TDMA, pa a la esolución del sis ema de ecuaciones algeb aicas. Los esul ados numé icos,
en é minos del núme o de Nussel , se p esen an pa a dos casos ca ac e izados po
Re
=
7060
y
73620 y una gama amplia de
P
asociada a los me ales líquidos. En gene al, la in luencia
que eje ce el mecanismo conduc i o axial se mani ies a en un sensible descenso del núme o de
Nussel al inicio de la zona de en ada é mica. Los esul ados que se apoyan en el aco amien o
hid odinámico mues an buena conco dancia con los escasos da os expe imen ales epo ados
en la li e a u a. Es e p ocedimien o basado en las co as p opo ciona una g an simpli icación al
p oblema e mohid áulico.
SUMMARY
This wo k se s bound o he o ced hea ansmission o liquid me als h ough pa allel-
pla e channels. The u bulen low is hyd odynamically de eloped a he inle o he i s
egion o he channel and he hea ing akes place in he second egion o he channel. The
ene gy equa ion accoun ing o axial molecula conduc ion embodies wo ex eme bounds o
he u bulen eloci y p o ile: one is uni o m and he o he is pa abolic (lamina ). The
nume ical simula ion o he ellip ic conjuga e p oblem is ca ied ou by ini e-di e ences ia
Recibido: Mayo
1990
QUni e si a Poli kcnica de Ca alunya (España) ISSN
0213-1315
A.
SALAZAR
Y
A.
CAMPO
con ol olumes. Nume ical esul s, in e ms o he Reynolds numbe , a e p esen ed o wo
cases,
Re
=
7060 and
Re
=
73620 and a wide spec um o
P
associa ed wi h liquid me als. The
compu ed esul s elying on he hyd odynamic bounds show good ag eemen wi h he scan
expe imen al da a epo ed in he li e a u e. This compu a ional p ocedu e based on bounded
eloci ies p o ides a g ea simpli ica ion o he solu ion o he he mohyd aulic p oblem.
INTRODUCCION
Es bien sabido que los conduc os anula es concén icos cons i uyen una geome ía
de g an impo ancia en equipos de in e cambio de calo . El in e cambiado de calo más
simple es á cons uido po un pa de ubos ci cula es dispues os de mane a concén ica:
un luido se anspo a po la egión ci cula , mien as que al o o lo hace po la egión
anula . O a geome ía de igual impo ancia
la
cons i uyen los conduc os de sección
ec angula que son u ilizados en los canales de en iamien o de algunos eac o es
nuclea es. Un caso lími e de la geome ía anula an es ci ada co esponde al de los
conduc os limi ados po dos placas planas pa alelas cuando el cocien e de los adios
iende a uno. De igual o ma, el conduc o ec angula se educe a uno de placas planas
pa alelas cuando el espaciamien o en e ambas placas iende a ce o.
La ansmisión del calo u bulen a de los luidos co ien es
(P
>
0.7) ha sido
es udiada ampliamen e a a és de los años. Es os es udios aba can si uaciones en
donde la elocidad se encuen a plenamen e desa ollada, en an o que la empe a u a
es á desa ollándose. En gene al, ha quedado demos ado que cuando
P
>
0.7
los mé odos p edic i os suelen conco da con los da os expe imen ales den o de un
pequeño ma gen de ole ancia acep ado comunmen e en cálculos de ingenie ía.
Sin emba go, cuando el luido en cues ión es un me al líquido
(P
<
0.1),
con
mo imien o u bulen o las di e gencias en e el análisis p edic i o y los esul ados del
labo a o io suelen acen ua se. En es e sen ido, la causa o iginal de es a disc epancia
se debe, en g an pa e, a que la al a conduc i idad é mica de es os líquidos de ipo
me álico apo a ca ac e ís icas é micas un an o inusuales. De aquí se desp ende
que el mecanismo de di usión dominan e sea la conducción é mica molecula , lo cual
ae como consecuencia que el coe icien e con ec i o in e no y po ende el núme o de
Nussel adquie an magni udes muy al as. Es a peculia idad es muy en ajosa y unida
al hecho de que es os luidos se man ienen en la ase líquida en un amplio ango de
empe a u as, son las azones p imo diales po la que los me ales líquidos es án siendo
empleados cada ez más como medios e ige an es en sis emas de in e cambio é mico
que equie en al as asas de ansmisión del calo . Como ejemplos ípicos se pueden
ci a las cen ales e monuclea es
y
e mosola es o en aquellas aplicaciones en donde el
á ea de in e cambio é mico es á limi ada po el peso como en el caso de de las na es
espaciales.
En i ud a los a gumen os expues os an e io men e, la idea cen al de es e
abajo consis e en es udia el desa ollo é mico de los me ales líquidos que luyen
u bulen amen e a a és de conduc os de placas pa alelas calen adas asimé icamen e.
Pa a ello se explo a á la in luencia que eje ce la conducción molecula axial, la
cual según Faggiani
y
Go il, se omi e no malmen e en el análisis de égimenes
u bulen os. Pa a acomoda la conducción molecula axial, la o mulación del p oblema
COTAS PARA LA TRANSMISION DEL CALOR TURBULENTA
de con ección o zada u bulen a equie e se enma cada bajo la óp ica de na u aleza
conjugada. Además, en es e abajo se conside a án los dos posibles ex emos
hid odinámicos del lujo u bulen o; o sea, el pe il de elocidad uni o me y el pe il
lamina pa abólico. El p ime o se adop a bajo el concep o de elocidad media y el
segundo semeja el pe il lamina clásico. La ac ibilidad del aco amien o gene ado po
la conside ación de es os dos pe iles ex emos ha sido econocida some amen e po
Ja e i2 y Leckne 3 con cie a an e io idad, pe o ello exclusi amen e pa a el espec o de
luidos co ien es con
P
>
0.7.
En e an o, pa a el campo hid odinámico del p oblema plan eado, es con enien e
señala que la conside ación de elocidad uni o me cons i uye una co a supe io pa a
el calo local ansmi ido po la pa ed del conduc o. Po consiguien e, cuando és e sea
el caso, debe espe a se una sob ees imación del alo del coe icien e con ec i o in e no
y, po ende, del núme o de Nussel co espondien e. El caso con a io, o sea, el pe il
pa abólico, po su pa e ep esen a el lími e in e io y po supues o debe espe a se una
subes imación de dicho coe icien e.
Una e isión bibliog á ica exhaus i a pone de elie e a ios a ículos publicados
sob e es e ema especí ico, pe o que excluyen la acción de la conducción axial molecula .
Es os a ículos apa ecen en las e e encias
[4]-[9].
Adicionalmen e, dos in es igaciones
de ipo expe imen al en donde se e leja pa cialmen e la acción de es e enómeno
molecula son las de Ducha elle
y
Vau ey"
y
Fuch
",
epec i amen e.
En i ud del azonamien o expues o, las hipó esis así es ablecidas sen a án las
bases pa a ma ca un aco amien o de índole es ic amen e hid odinámico pa a ealiza
el análisis é mico del lujo u bulen o de los me ales líquidos a a és de placas pa alelas
con incidencia de calo unila e al. Como es de espe a se, las co as pa a el p oblema
bajo es udio p opo cionan, a su ez, alo es ex emos pa a los conduc os de geome ías
concén icas y ec angula es.
Con el p opósi o de alida el aco amien o é mico pa a la dis ibución del
núme o de Nussel se emplea án los da os expe imen ales ob enidos en [10,11]. O as
compa aciones más de alladas son i ealizables debido a que no se disponen de da os
expe imen ales que analicen a ondo es e singula mecanismo.
ANALISIS DEL PROBLEMA
Considé ese el lujo de un me al líquido desplazándose u bulen amen e a a és
de un conduc o o mado po dos placas pa alelas con calen amien o asimé ico. Las
suposiciones impe an es en es e abajo se enume an a con inuación:
a) El lujo es incomp esible.
b) El pe il de elocidad u bulen o es á plenamen e desa ollado.
c) Las p opiedades e mo ísicas se suponen cons an es.
d) Los e ec os de con ección na u al es án ausen es.
e) La disipación iscosa no se oma en conside ación.
) La conducción de calo molecula en la di ección axial se iene en cuen a.
g)
La conducción de calo po la acción u bulen a en la di ección axial se desca a.
A.
SALAZAR
Y
A.
CAMPO
Bajo es e p eámbulo, la ecuación de la ene gía asociada a la Figu a
1
puede
esc ibi se así:
en donde
ü
es la elocidad media empo al
y
los o os símbolos apa ecen desglosados
en la nomencla u a.
aislado
u bulen o
E=
ü
í
y)
e il
de
elocldod
aislado
Figu a
1.
Esquema del conduc o.
Debe des aca se que es e es udio conjugado es de na u aleza bi egional.(-oo
<
x
<
cm)
y
es á egido po la ecuación (1) que es de ca ác e pa cialmen e elíp ico. La p ime a
egión del conduc o comp endida en e
-00
<
x
<
O, iene ambas pa edes a'diabá icas.
En e an o, la segunda egión,
O
<
x
<
oo, consis e de una pa ed adiabá ica
y
la o a
ecibe una densidad de lujo de calo uni o me
qw
en oda su ex ensión, p opo cionando
así un calen amien o unila e al. El me al líquido posee una empe a u a uni o me
T,
a
la en ada de la p ime a egión adiabá ica. Po lo an o, el p oblema así desc i o queda
o mulado o almen e cuando a la ecuación (1) se le asignan las siguien es condiciones
de con o no é micas:
pa a x
-+
-cm
(2)
pa a
y
=
O; -oo<x<oo
(3)
pa a
y
=
2L;
-cm
<
x
<
O
(4)
pa a y=2L; x>O
(5)
pa a x
=
0;
-O
5
y
5
2L
(6)
COTAS PARA LA TRANSMISION DEL CALOR TURBULENTA
(3,-
=
(E)
o+
pa a
x=0;
O<
y
5
2L
pa a
x
-
m
Además, con iene des aca que la ecuación
(8)
co esponde a la si uación lími e de
un pe il é micamen e desa ollado, en donde la elocidad media del me al líquido
V,
se calcula de acue do a la elación:
y
la empe a u a olumé ica media
Tm
se ob iene a pa i de su de inición:
In oduciendo las a iables adimensionales ap opiadas
se log a de ini el siguien e g upo de pa áme os adimensionales:
Vm
Dh
V
Re
=
-
P
=
-
Pe
=
ReP
V
o!
e,
1
CM
-
-
--
-
Re
C
L+
=
(12)
P
u
4 2
que apa ece án en la o mulación del p oblema. La desc ipción de odos los símbolos
pa icipan es se de alla en la nomencla u a.
En i ud de lo an es expues o, la ecuación
(1)
puede esc ibi se en o ma
adimensional de la siguien e mane a:
Análogamen e, las condiciones de con o no impe an es esul an aho a:
pa a z
-
-m
(14)
pa a
Y
=
O;
-m
<
z
<
m
(15)
pa a Y
=
112;
-m
<
z
<
O
(16)
pa a Y
=
112;
z
>
O
(17)
pa a z=0; OSY
<
1
(18)
A.
SALAZAR
Y
A.
CAMPO
pa a
z
=
0;
O
5
Y
5
1
pa a z
+
oo
La esolución del sis ema de ecuaciones (13)-(20) p opo ciona el campo de
empe a u a del me al líquido en las dos egiones co ien e a iba y co ien e abajo
del conduc o. Siguiendo la adición implan ada pa a lujo u bulen o, los esul ados
ob enidos se exp esa on en é minos del núme o de Nussel local. La exp esión de
Nu
pa a un conduc o de placas pa alelas con lujo de calo cons an e en la pa ed es:
en donde
y
O,
=
O(z,
S)
es la empe a u a de la pa ed calen ada.
COTAS PARA EL PERFIL DE VELOCIDAD
En lo que espec a al campo hid odinámico, el cálculo del pe il de elocidad
u bulen a no e is e mayo es di ucul ades y apa ece de e minado con g an p ecisión
en las e e encias [12,13]. En e an o, debido a que el ema cen al de es e a ículo lo
cons i uyen las co as hid odinámicas, és as se desc iben a con inuación. El pe il de
elocidad u bulen o U(Y) se conside ó de dos o mas;
a)
uni o me
y
b)
pa abólico
lamina clásico. En es e sen ido, el pe il uni o me
cons i uye la solución más simple y a la ez más c uda que se puede emplea pa a
el campo de elocidad u bulen a de cualquie luido. Po o o lado, pa a el pe il
pa abólico se u ilizó el co espondien e a un lujo lamina de ipo Poiseuille cuya
exp esión adimensional es á dada po
La ecuación (23) de ine las dos co as hid odinámicas que se i án de en ada pa a la
ecuación (13). Adicionalmen e, la di usi idad é mica adimensional
E~/V
en el úl imo
é mino de la ecuación (13) es á inculada a la di usi idad de can idad de mo imien o
po in e medio de la ecuación (12). Los alo es numé icos de
EM/V
se de e mina on,
po simplicidad, media e el modelo de Reicha d 14 pa a una sola capa. Es o es,
4
€,/U
=
- ;L+Y(l
-
2Y)[1+ 2(1
-
4~)~]
3
siendo
K
=
0.4.
COTAS PARA LA TRANSMISION
DEL
CALOR TURBULENTA
Es e modelo ue c eado o iginalmen e pa a el es udio del desa ollo de la capa lími e
u bulen a en ube ías ci cula es. Sin emba go, en es e abajo se ha empleado den o
del ma co de la de inición del diáme o hid áulico y de un con enien e camljio de
a iable que elaciona la coo denada adial en la ube ía ci cula con la coo denada
ans e sal medida desde la pa ed del conduc o ec angula .
En e an o, se sabe que la ecuación
(24)
ha sido ecomendada pa a la zona
hid odinámica comple amen e u bulen a y no pa a la subcapa iscosa. En es e sen ido,
conside ando que en los me ales líquidos la in luencia de la ansmisión del calo
u bulen a en es a pequeña zona al ededo de la pa ed es de po si baja en e a la
di usión molecula , no se incu e en e o es signi ica i os al ob ia es a ecomendación
y u iliza la ecuación
(24)
pa a oda la egión del lujo. Debemos eco da que dada la
na u aleza de la di usión u bulen a, es de espe a se que la alidez de es a simpli icación
se eduzca al aumen a an o el núme o de Reynolds
Re
como el núme o de P and l
P . En consecuencia, se pueden egis a lige as des iaciones en los esul ados de es os
casos ex emos.
Adicionalmen e, se ealizó una e isión de a ios modelos pa a la a iación del
núme o de P and l u bulen o P , adop ándose inalmen e el modelo de Aze y ChaoI5:
en donde
Es a decisión es u o apoyada en el hecho de que las p edicciones que usa es e modelo
son las que más se ace can a los esul ados expe imen ales de los me ales líquidos en la
ango de los núme os de Pecle es udiados no malmen e.
METODO
DE
SOLUCION
El conjun o de ecuaciones
(13)-(20)
es de na u aleza elíp ica conjugada y
ue disc e izado haciendo uso de la écnica mode na de los olúmenes de con ol
ecomendada po Pa anka 16
y
empleando un p og ama adecuado. En es e mé odo,
el dominio se disc e iza en un núme o de olúmenes de con ol, cada uno coincidiendo
con un pun o modal. Las ecuaciones en di e encias ini as se ob ienen haciendo
que la ecuación de la ene gía se sa is aga en cada olumen de con ol pa icipan e.
Pos e io men e, el sis ema de ecuaciones algeb aicas co espondien e al esquema de
di e encias ini as comple amen e implíci o se esol ió i e a i amen e po el mé odo
"line by line", el cual se apoya en el e icien e algo i mo de Thomas, ambién conocido
como TDMA en la li e a u a especializada.
La apidez de con e gencia y la acilidad de adap ación de es a me odología son
a ibu os ampliamen e elogiados pa a p oblemas de di usión, . an o pa abólicos como
elíp icos17.
Al
compa a se es e p ocedimien o con o os disponibles en la li e a u a
se obse a una educción d ás ica del iempo de compu ación
(CPU)
pa a ob ene
esul ados de al a con iabilidad.
A.
SALAZAR
Y
A.
CAMPO
PRESENTACION DE LOS RESULTADOS
La alidación del p ocedimien o numé ico se ealizó u ilizando como base el
p oblema más sencillo de ca ác e uni egional con luidos co ien es (0.7
<
P
<
5)
epo ados en las e e encias [5,8,9]. Pa a odos los casos compa ados se obse ó una
conco dancia excelen e en la egión de desa ollo é mico.
Los esul ados pe inen es a es e a ículo se han sepa ado en dos g upos, uno pa a
Re
=
7060 y el o o pa a
Re
=
73620. En ambos se explo ó la gama comple a de
Y
co espondien e a los me ales líqudos (0.001
<
P
<
0.1). La escogencia de es os
núme os de Reynolds ue hecha con el simple p opósi o de compa a los esul ados
con los de o os au o es, especialmen e con aquellos que epo an da os expe imen ales
como Ducha elle y Vau eylO. En es a e e encia se p esen an esul ados de labo a o io
pa a la aleación Na-K en los angos del núme o de P and l 0.022
<
P
<
0.01
y
del
núme o de Reynolds 3000
<
Re
<
102000.
La simulación numé ica de Faggiani y Go il conside a la conducción molecula axial
en dos egiones del conduc o y emplea el modelo hid odinámico p opues o po Fuchs".
Además, Ha on e allo ob u ie on una solución analí ica del p oblema sin conducción
axial en é minos de una se ie in ini a.
E ec o
de
Re
=
7060
La Figu a 2 mues a la a iación del núme o de Nussel pa a el caso
P
=
0.002.
Aquí se ap ecia que la p edicción de Faggiani y Go i' es á pe ec amen e aco ada
no ándose un lige o ace camien o hacia la cu a basada en el pe il de elocidad
pa abólico. Pa a es e caso en donde
Pe
=
14, la p esencia de la conducción axial hace
que las cu as de Nu se desplacen hacia a iba en el en o no de
z
=
A medida
qiue
z
aumen a, las des iaciones ienden a desapa ece . Es e es el pa ón ca ac e ís ico
en la en ada pa a los lujos con núme os de Pecle muy bajos.
En la Figu a 3 se obse a que las dos co as hid odinámicas en na can bien los
esul ados numé icos de
[l].
Es a igu a con iene un g upo de da os hallados en
[lo].
A
pesa de que los da os se salen de la banda, és os es án más ce ca de la cu a basada en
el pe i¡ pa abólico lamina que de la cu a de
[l]
calculada con un pe il de elocidad
u bulen o ap opiado. Es o puede debe se a que pa a es os núme os de Reynolds an
bajos el pe il de elocidad se des ía d ás icamen e del pe il u bulen o uni e sal y
se asemeja más al pa abólico, al como
lo
discu e ace adamen e Leckne 3. También
apa ecen dibujados los esul ados del núme o de ~ussel asin ó ico Nu, suge idos en
[lo].
Ambos alo es es án aco ados, pe o se obse a un desplazamien o hacia la cu a
de elocidad uni o me, o sea, la co a supe io . La Figu a 4 se dibuja pa a
P
=
0.02
y
el compo amien o es análogo al de la Figu a 3. Los cálculos cuando el núme o
de P and l aumen a a
P
=
0.1 se deposi an en la Figu a 5. Es e alo al o de
PT
co esponde al ex emo supe io de la gama de me ales líquidos. Desa o unamen e, no
exis en da os expe imen ales pa a es e ipo de luido. No obs an e, las dis ibuciones
de
hh
calculadas en [1,5] coinciden en oda la egión de desa ollo é mico
y
es án
pe ec amen e aco adas. Adicionalmen e, se puede ap ecia que el mecanismo de
conducción
axial
no pa icipa pa a lujos con núme o de Pecle al o, o sea
Pe
=
706.
COTAS PARA LA TRANSMISION DEL CALOR TURBULENTA
Figu a
2.
Dis ibución del núme o de Nussel local.
-
-
FaggianiGon
[l]
da os expe imen ales
PO]
15
1
O"
1
o-'
z
Figu a
3.
Dis ibución del núme o de Nussel local. Compa ación con da os
expe imen ales.
A.
SALAZAR
Y
A.
CAMPO
Nu,
alo asin ó ico de
Nu
Pe
núme o de Pecle ,
ReP
P
núme o de P and l,
/a
P
núme o de P and l u bulen o, ecuación (25)
Re
núme o de Reynolds, ecuación (12)
qw
densidad de liijo de calo en la pa ed
T
empe a u a media empo al
Tm
empe a u a olumé ica media, ecuación (10)
To
empe a u a de en ada
Tw
empe a u a de la pa ed calen ada
ü
elocidad media empo al
U
elocidad adimensional, ecuación (11)
Vm
elocidad media, ecuación
(9)
x,
y
coo denadas
Y
coo denada ans e sal adimensional, ecuación (11)
z
coo denada axial adimensional, ecuación (11)
c
di usi idad é mica molecula
di usi idad de can idad de mo imien o u bulen o, ecuación (24)
EH
di usi idad é mica u bulen a, ecuación
(12)
8
empe a u a adimensional, ecuación (11)
c
pa áme o de p opo cionalidad,
c
=
0.4
u
iscosidad cinemá ica
REFERENCIAS
1.
S.
Faggiani y
F.
Go i, "In luence o s eamwise molecula hea conduc ion on he hea
ans e coe icien o liquid me als in u bulen low be ween pa allel pla es", Jou nal o
Hea T ans e , Vol. 102, pp. 292-296, (1980).
2. V. Ja e i, "Lamina hea ans e in a ec angula channel o he empe a u e bounda y
condi ion o hi d kind", In e na ional Jou nal o Hea and Mass T ans e , Vol. 21, pp.
1029-1034, (1978).
3.
B. Leckne , "Hea ans e in he en ance egion wi h ully de eloped u bulen low
be ween pa allel pla es", In e na ional Jou nal o Hea and Mass T ans e , Vol.
15,
pp.
35-42, (1972).
4.
A.P. Ha on y
A.
Qua mby, "The e ec o axially a ying and unsymme ical bounda y
condi ions on hea ans e wi h u bulen low be ween pa allel pla es", In e na ional
Jou nal
o
Hea and Mass T ans e , Vol.
6,
pp. 903-914, (1963).
5.
A.P. Ha on,
A.
Qua mby y
1.
G undy, "Fu he calcula ions on he hea ans e wi h
u bulen low be ween pa allel pla es", In e na ional Jou nal o Hea and Mass T ans e ,
Vol.
2,
pp. 817-823, (1964).
6.
H.M.
Tan y
W.
Cha e s, ((An expe imen al in es iga ion o o ced-con ec i e hea ans e
o ully de eloped u bulen low in a ec angula duc wi h asymme ic liea ing", Sola
Ene gy, Vol.
13,
pp.121-135, (1970).
7.
J
.F. Ve e le y E.C. Fe nándes, "Coe icien es de an e encia pa a o escoamen o u bulen o
en e placas pa alelas", Anales del Cong eso B asile o de Ingenie ía Mecánica,
1,
pp. 163-
172, Sao Paulo, B asil, (1981).
COTAS PARA LA TRANSMISION DEL CALOR TURBULENTA
8. M. Sakakiba a, "Analysis o hea ans e in he en ance egion wi h ully de eloped
u bulen low be ween pa allel pla es
-
he case o uni o m wall hea lux", Memo ies o
he Facul y o Enginee ing, Fukui Uni e si y, Fukui, Japan, pp. 107-120, (1982).
9. E.M. Spa ow, A.Ga cía y W. Chuck, "Nume ical and expe imen al u bulen hea ans e
esul s o a one-sided hea ed ec angula duc ", Nume ical Hea T an e , Vol.
9,
pp. 301-
322, (1986).
10.
L.
Ducha elle y
L.
Vau ey, "Dé e mina ion des coe icien s de con ec ion d'un alliage NaK
en ecoulemen u bulen en e plaques planes pa alleles", In e na ional Jou nal o Hea
and Mass T ans e , Vol. 7, 1017-1031, (1964).
11. H. Fuchs, "Hea ans e o lowing sodium: Theo e ical and expe imen al in es iga ion
on empe a u e luc ua ions in a ube", Edig Ins i u o Reak o o schung Wü elingen,
Schweiz, Ge many, (1973).
12. P.M .S. A aujo, "A semi-analy ical app oach o u bulen low h ough concen ic annuli"
,
Cong esso Nazionale sulla T ansmissione de Calo e, Fi enze, I aly, (1989).
13. F.S. She man,
"
Viscous Flow", McG aw-Hill, New Yo k, (1990).
14. H. Reicha d , "Volls inddige da s ellung de u bulen en
geschwindigkeis e eilung
in
gla en lei ungen", Zei sch i i ue Angewand e Ma hema ik und Mecanik, Vol.
31,
7,
pp. 108-219, (1951).
15.
N.Z.
Aze y
B.T.
Chao, "A mechanism o u bulen hea ans e in liquid me als",
In e na ional Jou nal o Hea and Mass T ans e , Vol.
1,
pp.121-138. (1960).
16. S.V. Pa anka , "Nume ical Hea T ans e and Fluid Flow", McG aw-Hill, New Yo k, USA,
(1980).
17. S.V. Pa anka , "A calcula ion p ocedu e o wo-dimensional ellip ic si ua ions", Nume ical
Hea T ans e , Vol.
4,
pp. 409-425, (1981).
18. D.E. Dwye y P.S.
Tu,
"Unila e al hea ans e o liquid me als lowing in annuli", Nuclea
Science and Enginee ing, Vol.
15,
pp. 58-68, (1962).
19.
'
D.K. Hennecke, "Hea ans e by Hagen-Poiseuille low in he he mal de elopmen egion
wi h axial conduc ion"
,
Wa me und S o übe agung, Vol.
1,
pp.177-184, (1968).
