Estudio para la resolución numérica de las ecuaciones de conservación de masa, cantidad de movimiento y energía para su aplicación en el estudio de la influencia del ángulo de ataque en la aerodinámica de un cilindro cuadrado

Es udio pa a la esolución numé ica de las ecuaciones de conse ación
de masa, can idad de mo imien o y ene gía pa a su aplicación en el
es udio de la in luencia del ángulo de a aque en la ae odinámica de un
cilind o cuad ado
Memo ia del p oyec o
Au o : Joan Pau Vidal Beni ez
Di ec o : Assensi Oli a Llena
Co-Di ec o : F ancesc Xa ie T ias Miquel
G ado en Ingenie ía de Vehículos Ae oespaciales
Escola Tècnica i Supe io d’Enginye ies Indus ial i Ae onàu ica de Te assa (ETSEIAT)
Junio de 2015
Joan Pau Vidal Beni ez 1
Joan Pau Vidal Beni ez 2
Ag adecimien os
Quisie a ag adece a odas las pe sonas y en idades que de una u o a o ma han sido de
ayuda y han hecho posible es e p oyec o:
 A la Uni e si a Poli ècnica de Ca alunya y la Escola Tècnica Supe io d’Enginye ies
Indus ial i Ae onàu ica de Te assa (ETSEIAT) po la educación ecibida y la
opo unidad de con e i me en Ingenie o de Vehículos Ae oespaciales.
 Al g upo de abajo del Cen e Tecnològic de T ans e ència de Calo i Massa el apoyo y
la ayuda p es ados, an o en el ámbi o ísico como en el in o má ico, p opo cionando
un aseso amien o de calidad y necesa io pa a el desa ollo de es e p oyec o.
En especial, quisie a da las g acias a los p o eso es y doc o es F ancesc Xa ie T ias
Miquel, Ca los Da id Pé ez Sega a y Assensi Oli a Llena, cuyas clases han se ido de
inspi ación pa a la ealización de es e p oyec o, y su ayuda a lo la go del mismo han
sido de e minan es pa a lle a lo a cabo.
 A mi amilia y amigos, el apoyo imp escindible que me han p es ado du an e odos
es os años de o mación. A mis pad es po el es ue zo ealizado pa a p opo ciona me
una educación ú il y de calidad, que me pe mi a ene un u u o. Y a mi pa eja quisie a
ag adece le su apoyo y comp ensión incondicionales du an e es os años, sin su
paciencia y su ayuda jamás hubie a llegado has a es e pun o.
 Y po úl imo, da las g acias a odas aquellas pe sonas que, en mayo o meno medida,
han hecho posible la ealización de es e abajo.
Joan Pau Vidal Beni ez 3
Abs ac
El p esen e es udio iene como obje i o el ap endizaje de las bases del es udio po mé odos
numé icos de las ecuaciones que gobie nan los p ocesos clásicos de la mecánica de luidos y su
aplicación en el desa ollo de códigos compu acionales pa a la esolución de p oblemas de
in e és ecnológico.
Pa a llega al obje i o ma cado, se esol e án una se ie de casos de c ecien e di icul ad,
c eando p og amas in o má icos pa a su esolución y compa ando los esul ados ob enidos
con esul ados e i icados.
El pun o inal de es e p oyec o es el es udio de un caso de ipo ae odinámico de in e és en el
campo de la ingenie ía, el enómeno de o ex shedding en el lujo lamina sob e un cilind o
cuad ado.
Joan Pau Vidal Beni ez 4
Índice de con enidos
Ag adecimien os ........................................................................................................................... 2
Abs ac ......................................................................................................................................... 3
Índice de con enidos ..................................................................................................................... 4
Índice de igu as ............................................................................................................................ 6
Índice de ablas ............................................................................................................................. 8
Nomencla u a................................................................................................................................ 9
1. In oducción ........................................................................................................................ 10
1.1. Obje i o ....................................................................................................................... 10
1.2. Alcance ........................................................................................................................ 10
1.3. Requisi os .................................................................................................................... 11
1.4. Jus i icación ................................................................................................................. 12
1.5. An eceden es y es ado del a e .................................................................................. 13
2. In oducción a los mé odos numé icos ............................................................................... 14
2.1. Disc e ización de ecuaciones ...................................................................................... 14
2.2. Resolución de la disc e ización empo al .................................................................... 16
2.3. Resolución de la disc e ización espacial ..................................................................... 18
2.3.1. TDMA (T i-Diagonal Ma ix Algo i hm) ............................................................... 18
2.3.2. Gauss-Seidel ........................................................................................................ 19
2.3.3. Line by line (TDMA + Gauss-Seidel) ..................................................................... 19
2.4. Esquemas numé icos................................................................................................... 20
3. T ans e encia de calo po conducción ............................................................................... 22
3.1. Fo mulación................................................................................................................. 22
3.2. Caso de es udio: Conducción bidimensional ansi o ia en un medio compues o po
a ios ma e iales ..................................................................................................................... 23
3.2.1. Hipó esis de abajo ............................................................................................ 24
3.2.2. Disc e ización del dominio .................................................................................. 25
3.2.3. Disc e ización de las ecuaciones ......................................................................... 26
3.2.4. Algo i mo de esolución ...................................................................................... 29
3.2.5. Análisis de esul ados .......................................................................................... 30
4. La ecuación de con ección-di usión.................................................................................... 33
4.1. Fo mulación................................................................................................................. 33
4.2. Caso de es udio: Con ección-di usión ........................................................................ 34

Joan Pau Vidal Beni ez 5
4.2.1. Hipó esis de abajo ............................................................................................ 37
4.2.2. Disc e ización del dominio .................................................................................. 38
4.2.3. Disc e ización de las ecuaciones ......................................................................... 39
4.2.4. Algo i mo de esolución ...................................................................................... 41
4.2.5. Análisis de esul ados .......................................................................................... 42
5. F ac ional S ep Me hod ....................................................................................................... 49
5.1. Fo mulación y concep os ............................................................................................ 49
5.1.1. Mallas escalonadas .............................................................................................. 51
5.1.2. De e minación de Δ ........................................................................................... 52
5.2. Caso de es udio: D i en Ca i y .................................................................................... 53
5.2.1. Hipó esis de abajo ............................................................................................ 54
5.2.2. Disc e ización del dominio .................................................................................. 54
5.2.3. Disc e ización de las ecuaciones ......................................................................... 55
5.2.4. Algo i mo de esolución ...................................................................................... 62
5.2.5. Análisis de esul ados .......................................................................................... 63
6. Caso de aplicación: Vo ex Shedding ................................................................................... 71
6.1. Desc ipción del caso .................................................................................................... 71
6.1.1. Vo ex shedding ................................................................................................... 73
6.2. Disc e ización del dominio .......................................................................................... 74
6.3. Cálculo de las ue zas ae odinámicas .......................................................................... 75
6.4. Algo i mo de esolución .............................................................................................. 76
6.5. Análisis de esul ados .................................................................................................. 77
6.5.1. P e-Vo ex Shedding ............................................................................................ 78
6.5.2. Pos -Vo ex Shedding .......................................................................................... 80
7. Desa ollo pos e io del es udio ......................................................................................... 90
7.1. Plani icación ................................................................................................................ 92
8. Aspec os económicos y ambien ales .................................................................................. 94
8.1. Aspec os ambien ales ................................................................................................. 94
8.2. P esupues o ................................................................................................................ 94
9. Conclusiones........................................................................................................................ 96
Bibliog a ía .................................................................................................................................. 97
Joan Pau Vidal Beni ez 6
Índice de igu as
Figu a 1. Va iación de la empe a u a en el iempo según los di e en es esquemas [1] ........... 17
Figu a 2. Fo ma expandida del sis ema Ax=b ............................................................................. 18
Figu a 3. Esquema del sis ema [2] .............................................................................................. 23
Figu a 4. Disc e ización del dominio ........................................................................................... 25
Figu a 5. Flujo de calo a a es de las pa edes del nodo P ........................................................ 26
Figu a 6. Mapa de empe a u as ob enido pa a =10000/2 s .................................................... 30
Figu a 7. Mapa de empe a u as de e e encia pa a =10000/2 s [2] ........................................ 31
Figu a 8. E olución empo al de la empe a u a de dos pun os del dominio ............................ 32
Figu a 9. Caso 1, a iación de la a iable en la di ección del lujo [3] ........................................ 34
Figu a 10. Caso 2, a iación de la a iable en la di ección pe pendicula al lujo [3] ................. 35
Figu a 11. Caso 3, lujo diagonal [3] ............................................................................................ 36
Figu a 12. Caso 4, el p oblema de Smi h-Hu on [3] ................................................................... 36
Figu a 13. Disc e ización del dominio pa a los casos 1 a 3 ......................................................... 38
Figu a 14. Disc e ización de dominio pa a el p oblema de Smi h-Hu on .................................. 38
Figu a 15. Solución del caso 1 en unción del núme o adimensional Pe .................................... 42
Figu a 16. Solución del caso 2, a iación lineal de Phi(x) ............................................................ 43
Figu a 17. Compo amien o del sis ema pa a Pe=1, Pe=100 y Pe=1000 .................................... 44
Figu a 18. Reducción de la di usión numé ica po g oso de malla ............................................ 45
Figu a 19. Phi(x) en la salida pa a di e en es alo es de Pe ........................................................ 47
Figu a 20. E olución del sis ema a medida que aumen a la in luencia de la con ección .......... 48
Figu a 21. E ec o de la densidad de malla pa a un Pécle cons an e ......................................... 48
Figu a 22. S agge ed mesh .......................................................................................................... 52
Figu a 23. Esquema del caso ....................................................................................................... 53
Figu a 24. Malla es uc u ada no uni o me pa a cálculo de P, N=80 y 𝛾=2 ............................ 55
Figu a 25. E aluación del é mino de lujo pa a la componen e ho izon al de la elocidad ...... 57
Figu a 26. E aluación del é mino de lujo pa a la componen e e ical de la elocidad .......... 58
Figu a 27. Cálculo de la componen e ho izon al de la elocidad (u) .......................................... 60
Figu a 28. Cálculo de la componen e e ical de la elocidad ( ) ............................................... 60
Figu a 29. Compa ación de los pe iles de elocidades pa a Re=100 ......................................... 66
Figu a 30. Compa ación de los pe iles de elocidades pa a Re=5000 ....................................... 67
Figu a 31. D i en ca i y. Re=100, u ............................................................................................. 68
Figu a 32. D i en Ca i y. Re=100, ............................................................................................. 68
Figu a 33. D i en Ca i y. Re=100, 𝜓............................................................................................ 68
Figu a 34. D i en Ca i y. Re=5000, u .......................................................................................... 70
Joan Pau Vidal Beni ez 7
Figu a 35. D i en Ca i y. Re=5000, ........................................................................................... 70
Figu a 36. D i en Ca i y. Re=5000, 𝜓 .......................................................................................... 70
Figu a 37. Esquema del caso de aplicación ................................................................................. 72
Figu a 38. Malla u ilizada pa a el es udio del o ex Shedding, con el cilind o esal ado.......... 74
Figu a 39. Re=30. ψ, α=0 ............................................................................................................ 79
Figu a 40. Re=30. u, α=0 ............................................................................................................. 79
Figu a 41. Re=30. ψ , α=5° .......................................................................................................... 80
Figu a 42. Re=30. u, α=5° ............................................................................................................ 80
Figu a 43. Re=30. ψ , α=10° ........................................................................................................ 80
Figu a 44. Re=30. u, α=10° .......................................................................................................... 80
Figu a 45. Re=100. 𝜓 , =300 ...................................................................................................... 81
Figu a 46. Re=100. u, =300 ........................................................................................................ 81
Figu a 47. Re=100. 𝜓 , =500 ...................................................................................................... 81
Figu a 48. Re=100. u, =500 ........................................................................................................ 81
Figu a 49. Re=100. 𝜓 , =700 ...................................................................................................... 82
Figu a 50. Re=100. u, =700 ........................................................................................................ 82
Figu a 51. Re=100. 𝜓 , =1000 .................................................................................................... 82
Figu a 52. Re=100. u, =1000 ...................................................................................................... 82
Figu a 53. Re=100. ψ, =2225 ..................................................................................................... 83
Figu a 54. Re=100. u, =2225 ..................................................................................................... 83
Figu a 55. Re=100. ψ, =5529 ..................................................................................................... 84
Figu a 56. Re=100. u, =5529 ...................................................................................................... 84
Figu a 57. Re=100. ψ, =6250 ..................................................................................................... 85
Figu a 58. Re=100. u, =6250 ...................................................................................................... 85
Figu a 59. E olución empo al de los coe icien es de sus en ación y esis encia pa a Re=100 y
𝛼=0 .............................................................................................................................................. 86
Figu a 60. Coe icien e de esis encia medio en unción del Reynolds pa a 𝛼=0 [10]................. 87
Figu a 61. Cl,RMS en unción del núme o de Reynolds pa a 𝛼=0 [10] ....................................... 88
Figu a 62. Núme o de S ouhal según el núme o de Reynolds, pa a 𝛼=0 [8] ............................ 88
Figu a 63. Diag ama de Gan de la ampliación del es udio ....................................................... 93
Joan Pau Vidal Beni ez 8
Índice de ablas
Tabla 1. Coo denadas de los pun os P1 a P3 .............................................................................. 24
Tabla 2. P opiedades de los ma e iales M1 a M4 ....................................................................... 24
Tabla 3. Condiciones de con o no ............................................................................................... 24
Tabla 4. Casos pa icula es de la ecuación de con ección-di usión ........................................... 33
Tabla 5. Compa ación de los esul ados ob enidos y es udio del e o ela i o [3] ................... 46
Tabla 6. Compa ación de elocidades pa a Re=100 ................................................................... 64
Tabla 7. Compa ación de elocidades pa a Re=5000 ................................................................. 65
Tabla 8. Ca ac e ización del égimen según su núme o de Reynolds pa a 𝛼=0 ......................... 87
Tabla 9. Ca ac e ización del égimen según el ángulo de a aque del cilind o pa a Re=100 ...... 88
Tabla 10. Ta eas de ampliación del es ....................................................................................... 92
Tabla 11. Resumen de cos es del p oyec o ................................................................................. 95
In oducción a los mé odos numé icos
Joan Pau Vidal Beni ez 15
ob eniendo así una ecuación de disc e ización que exp esa á el p incipio de conse ación de la
a iable 𝜙 en cada olumen de con ol de la misma mane a en que la ecuación di e encial
exp esa su conse ación en un olumen de con ol in ini esimal. Aplicando es as ecuaciones
de disc e ización, se ob end á el alo de 𝜙 en el nodo de cada olumen de con ol. Po úl imo,
se debe á es ablece cómo se compo a la a iable en e dos nodos. Pod ía es ablece se que el
alo de 𝜙 en odo el olumen de con ol es el mismo que en el nodo, pe o un análisis más
exac o y no mucho más complicado consis e en es ablece una a iación lineal de la a iable
en e dos nodos. De cualquie modo, en la me odología escogida pa a es e abajo es o
co esponde ía a un abajo de pos -p oceso, donde una ez conocido el alo de 𝜙 en cada
nodo, se do a ía al algo i mo de he amien as pa a conoce su alo en pun os si uados en e
dos nodos.
Pa a pode disc e iza la ecuación po el mé odo de olúmenes ini os se á necesa io, pues,
disc e iza el dominio espacial donde se es udia á la dis ibución de 𝜙, es o puede hace se de
dos o mas:
 Nodos cen ados: Es e mé odo de disc e ización consis e en di idi el dominio en
di e en es olúmenes de con ol, y si ua el nodo en el ba icen o de cada olumen.
Ideal pa a casos donde in e ienen a ios ma e iales o luidos.
 Ca as cen adas: En es e o o mé odo, po el con a io, se si ua án los nodos en los
pun os deseados y se gene a á un olumen de con ol al ededo de cada nodo.
Una ez disc e izado el espacio e in eg ada la ecuación sob e cada olumen de con ol, se
pod á ob ene el alo de 𝜙 en el pun o de es udio en unción de su alo en los nodos
adyacen es, ag upando é minos y o denando la ecuación de mane a cómoda, se ob iene una
ecuación simila a la que se p esen a:
𝑎𝑃𝜙𝑃=𝑎𝐸𝜙𝐸+𝑎𝑊𝜙𝑊+𝑎𝑁𝜙𝑁+𝑎𝑆𝜙𝑆+𝑏𝑝
(2.1)
Donde los é minos 𝑎𝑖 co esponden a los é minos que acompañan al alo de 𝜙 en cada
nodo adyacen e (los subíndices E, W, N y S co esponden a las di ecciones Es e, Oes e, No e y
Su en inglés, y ep esen an los nodos adyacen es en un espacio bidimensional en es e caso) y
𝑏𝑃 ep esen a el é mino independien e de la ecuación.

In oducción a los mé odos numé icos
Joan Pau Vidal Beni ez 16
2.2. Resolución de la disc e ización empo al
Pa a casos es aciona ios, las ecuaciones de disc e ización que ob end emos se án su icien es
pa a esol e el p oblema median e los algo i mos que se án p esen ados en p óximos
capí ulos, pudiendo se a adas como ecuaciones algeb aicas más simples.
En casos ansi o ios, po el con a io, se deben disc e iza ambién las ecuaciones en el
dominio empo al. Pa a ello se in eg a á la ecuación en un in e alo de iempo, de mane a
análoga al p oceso con olúmenes de con ol, y se ob end á así un alo de 𝜙 en el nodo de
es udio y el ins an e de iempo ac ual, que depende á, en gene al, de 𝜙 en los nodos
adyacen es an o en el ins an e de iempo ac ual como en el an e io . El g ado en el que φ
depende del ins an e p esen e o el an e io se medi á con la in oducción del pa áme o β
(que oma alo es en e 0 y 1), y se consegui á así una ecuación con una es uc u a como la
que se mues a:
aPϕPn+1= β(aEϕE+aWϕW+aNϕN+aSϕS+bp)n+1+(1-β)(aEϕE+aWϕW+aNϕN+aSϕS+bp)n
(2.2)
El pa áme o β oma á usualmen e los alo es β=0, β=1 o β=0.5, de iniendo así uno de los
siguien es esquemas:
 Esquema explíci o
El esquema explíci o consis e en conside a que el alo de 𝜙𝑃 se man iene cons an e
e igual a 𝜙𝑃𝑛 du an e odo el in e alo de iempo desde 𝑡=𝑡𝑛 has a 𝑡=𝑡𝑛+1=𝑡𝑛+
Δ𝑡, cuando cambia de mane a ab up a a 𝜙𝑃𝑛+1. Sus i uyendo β=0 en la ecuación (2.2),
el alo 𝜙𝑃𝑛+1 deja de depende de los nodos adyacen es en el mismo ins an e de
iempo pa a depende únicamen e de los alo es de 𝜙 en el ins an e an e io . Se
ob iene así una esolución mucho más di ec a, ya que bas a á con conoce la
dis ibución inicial de 𝜙 y los é minos cons an es de la ecuación pa a conoce el alo
de 𝜙 en cada nodo y cada ins an e de iempo.
Pese a es a simplicidad, y al con a io que los o os dos esquemas que se p esen a án
en es e capí ulo, el esquema implíci o iene algunos p oblemas de con e gencia pa a
inc emen os empo ales demasiado g andes, esul ando en alo es de 𝜙 no ealis as
ísicamen e, de mane a que sólo se á escogido cuando la escala de iempo del
p oblema ísico que se aya a es udia necesi e un inc emen o empo al lo
su icien emen e pequeño.
 Esquema implíci o
El esquema implíci o es el caso diame almen e opues o al explíci o. Es e esquema
supone que el cambio en 𝜙 sucede ins an áneamen e en 𝑡=𝑡𝑛 y pe manece
cons an e du an e odo el inc emen o empo al has a 𝑡=𝑡𝑛+1. Cuando se impone
In oducción a los mé odos numé icos
Joan Pau Vidal Beni ez 17
β=1 en la ecuación (2.2), se hace pa en e el hecho de que pa a encon a el alo de
𝜙𝑃𝑛+1 es necesa io conoce el alo de 𝜙 en los nodos adyacen es en el mismo ins an e
de iempo. Así pues, se hace necesa ia la esolución de un sis ema de ecuaciones de
mane a simul ánea. Es o se á conseguido median e un p oceso i e a i o: pa a cada
ins an e de iempo 𝑡=𝑡𝑛+1 se impond án alo es de 𝜙 en odo el dominio como
es imación inicial, se usa án es os alo es pa a calcula el alo de 𝜙 en cada pun o del
dominio, y se compa a á el nue o alo con el de la es imación inicial, epi iendo el
p oceso has a que ambos campos de 𝜙 sean su icien emen e simila es según un cie o
c i e io de con e gencia.
Si bien es e esquema pa ece lige amen e menos simple que el an e io , es o se e
compensado po una mayo acilidad pa a ob ene esul ados ísicamen e ealis as
pa a cualquie inc emen o de iempo, al igual que el esquema C ank-Nicholson que se
explica á a con inuación, se a a de un esquema incondicionalmen e es able.
 Esquema C ank-Nicholson
A medio camino en e los esquemas explíci o e implíci o se encuen a el esquema
C ank-Nicholson. Es e esquema supone una a iación lineal del alo de φ en e un
ins an e de iempo y el siguien e. Pa a aplica es e esquema, se impond á β=0.5, de
mane a que el alo de 𝜙𝑃𝑛+1 depende an o del ins an e de iempo ac ual como del
an e io y, de la misma mane a que en el esquema implíci o se á necesa io un p oceso
i e a i o. Al igual que el esquema implíci o, es e esquema es incondicionalmen e
es able, pe o con una mayo p ecisión ya que se a a de una ap oximación de
segundo o den.
Figu a 1. Va iación de la empe a u a en el iempo según los di e en es esquemas [1]
In oducción a los mé odos numé icos
Joan Pau Vidal Beni ez 18
2.3. Resolución de la disc e ización espacial
Como ya se ha mencionado p e iamen e, median e la disc e ización de las ecuaciones que
gobie nan de e minados enómenos ísicos, se p e ende educi el sis ema de ecuaciones
di e enciales a un sis ema de ecuaciones algeb aicas co ien es (de la o ma ma icial 𝐴𝑥=𝑏,
o en su o ma expandida en la Figu a 2) de esolución ela i amen e sencilla. No obs an e,
esol e un sis ema de ecuaciones pa a cada nodo en un dominio con un al o núme o de
nodos puede con e i se en una a ea complicada. Es po ello que se con ie e en esencial el
uso de de e minadas he amien as que, ap o echando las en ajas que o ece la compu ación,
esuel an es os sis emas de la mane a más ápida posible. Es as he amien as son llamadas
sol e s o algo i mos de esolución, y se debe á escoge un sol e de e minado en unción del
con ex o gene al p oblema a a a .
Figu a 2. Fo ma expandida del sis ema Ax=b
2.3.1. TDMA (T i-Diagonal Ma ix Algo i hm)
El TDMA (o algo i mo de ma iz i-diagonal) es un algo i mo de esolución di ec o, lo que
signi ica que esuel e las ecuaciones que a a sin necesidad de un p oceso i e a i o. Como su
p opio nomb e indica, es e sol e esuel e di ec amen e los casos en los que la ma iz A iene
alo es no nulos an solo en sus es diagonales p incipales (aunque como se e á más
adelan e, puede se modi icado pa a esol e casos más gene ales). Pa iendo de la ecuación
disc e izada (como ejemplo, pa a un caso de cálculo unidimensional de empe a u as):
𝑎𝑃𝑖𝑇𝑖=𝑎𝐸𝑖𝑇𝑖+1+𝑎𝑊𝑖𝑇𝑖−1+𝑏𝑃𝑖
(2.3)
En no ación ma icial, los coe icien es 𝑎𝐸𝑖 y 𝑎𝑊𝑖 apa ece ía en la ma iz A cambiados de signo y
en las diagonales supe io e in e io a la p incipal espec i amen e. Es impo an e obse a
que los coe icien es 𝑎𝑊1 y 𝑎𝐸𝑛 son nulos. De es a mane a, el alo de 𝑇1 puede pone se en
unción de 𝑇2 y és e, en unción de 𝑇3 y así sucesi amen e has a llega a 𝑇𝑛, que depende ía de
la empe a u a en un nodo ue a del dominio, pe o ealmen e no in e iene en la esolución
In oducción a los mé odos numé icos
Joan Pau Vidal Beni ez 19
ya que 𝑎𝐸𝑛=0. Comp endido es o, es cla o que la solución consis e en encon a una
exp esión del ipo:
𝑇𝑖=𝑃𝑖𝑇𝑖+1+𝑅𝑖
(2.4)
Donde, ope ando con la ecuación (2.3), podemos ob ene las de iniciones de 𝑃𝑖 y 𝑅𝑖 pa a es e
caso de ejemplo:
𝑃𝑖=𝑎𝐸𝑖
𝑎𝑃𝑖−𝑎𝑊𝑖𝑃𝑖−1 𝑅𝑖=𝑏𝑃𝑖+𝑎𝑊𝑖𝑅𝑖−1
𝑎𝑃𝑖−𝑎𝑊𝑖𝑃𝑖−1
(2.5) (2.6)
2.3.2. Gauss-Seidel
El algo i mo de esolución de Gauss-Seidel pe enece al segundo g an g upo de sol e s, los
sol e s i e a i os. Es e ipo de algo i mos se basan en el mé odo de ensayo y e o , p obando
una solución y mejo ándola a base de epe i los cálculos.
En conc e o, el algo i mo Gauss-Seidel supone un alo a bi a io pa a la a iable es udiada y
esuel e el sis ema de ecuaciones pun o a pun o, ac ualizando el alo u ilizado pa a los
cálculos. Una ez calculada la a iable pa a odo el dominio, se compa a el alo ob enido en
cada pun o con el alo supues o (o ul imo calculado a medida que aumen a el núme o de
i e aciones) y se epi e el cálculo has a que es a di e encia es an pequeña como la p ecisión
es ablecida.
2.3.3. Line by line (TDMA + Gauss-Seidel)
El mé odo line by line o TDMA apoyado en Gauss-Seidel es un algo i mo de esolución i e a i o
que combina los dos mé odos an e io es. Es e sol e pa a casos de más de una dimensión
empieza plan eándose como un TDMA, pe o apa ece el impedimen o de las dimensiones
añadidas. Po ejemplo, en un caso bidimensional no dispond emos de es diagonales no nulas
en la ma iz de coe icien es, si no de cinco. En es os casos, puede o za se a la ma iz a se i-
diagonal añadiendo an as incógni as como sea necesa io al é mino independien e median e
una suposición inicial de alo es. De es a mane a se puede esol e una línea del dominio
como si se a a a de un TDMA co ien e y, una ez esuel a, se pasa ía a la siguien e siguiendo
una de e minada di ección de ba ido. Al conclui es e ba ido, se compa a ían los esul ados
con la suposición inicial y se e ina ía el esul ado i e ando como se ha explicado en el
algo i mo Gauss-Seidel.
Es e sol e busca á el mismo ipo de solución que el TDMA, es in e esan e en is a a los casos
de es udio que se e án en es e p oyec o es ablece los alo es de los pa áme os de es a
In oducción a los mé odos numé icos
Joan Pau Vidal Beni ez 20
solución pa a un p oblema gené ico bidimensional donde se es udia la a iable 𝜙.
𝑃𝑖=𝑎𝐸𝑖
𝑎𝑃𝑖−𝑎𝑊𝑖𝑃𝑖−1 𝑅𝑖=𝑏𝑃𝑖+𝑎𝑁𝑖𝜙𝑁𝑖+𝑎𝑆𝑖𝜙𝑆𝑖+𝑎𝑊𝑖𝑅𝑖−1
𝑎𝑃𝑖−𝑎𝑊𝑖𝑃𝑖−1
(2.7) (2.8)
2.4. Esquemas numé icos
En el es udio del mo imien o de un luido, como se ha á pa en e a pa i del capí ulo 4, es
necesa io e alua el alo de la p opiedad es udiada (𝜙) en las ca as de los olúmenes de
con ol, mien as que sólo se conoce su alo en los nodos. Es e cálculo se ealiza á median e
el uso de esquemas numé icos que es ablecen una elación en e esos dos alo es.
Aunque exis e un g an núme o de es os esquemas, se p esen a án a con inuación los
esquemas que se an a u iliza en el p esen e es udio, conocidos como esquemas de bajo
o den (el o den de un esquema es el núme o de nodos ecinos que in e ienen en su cálculo).
El hecho de que sean esquemas de bajo o den implica una meno p ecisión, pe o una mayo
es abilidad del esquema.
Es os esquemas siguen una misma o ma, 𝜙𝑖−𝜙𝑃
𝜙𝐼−𝜙𝑃=𝛼𝑖 pa a las ca as e y n, y 𝜙𝑖−𝜙𝑃
𝜙𝐼−𝜙𝑃=1−𝛼𝑖
pa a las ca as w y s, donde 𝛼𝑖 es un pa áme o que depende del esquema, como se mues a a
con inuación:
 Cen al Di e ence Scheme (CDS): Esquema de segundo o den aunque puede ene
p oblemas de es abilidad. El alo de la a iable se calcula como la media a i mé ica:
𝜙𝑒=𝜙𝑃+𝑑𝑃𝑒
𝑑𝑃𝐸(𝜙𝐸−𝜙𝑃)
(2.9)
Ob eniendo así pa a las ca as e y n:
𝛼𝑒=𝑑𝑃𝑒
𝑑𝑃𝐸
(2.10)
Y pa a las ca as w y s:
𝛼𝑤=𝑑𝑊𝑤
𝑑𝑃𝑊
(2.11)

In oducción a los mé odos numé icos
Joan Pau Vidal Beni ez 21
 Upwind Di e ence Scheme (UDS): Esquema es able de p ime o den. El alo de la
a iable en cualquie ca a se oma como el alo en el nodo aguas a iba, en unción
del sen ido del lujo en esa misma ca a:
{𝜙𝑖=𝜙𝑃 𝑚𝑖󰇗 >0
𝜙𝑖=𝜙𝐼 𝑚𝑖󰇗 <0
(2.12)
De mane a que la elación 𝛼𝑖 esul a:
{𝛼𝑖=0 𝑚𝑖󰇗 >0
𝛼𝑖=1 𝑚𝑖󰇗 <0
(2.13)
 Exponen ial Di e ence Scheme (EDS): Simila al esquema CDS, pe o en luga de
supone una elación lineal, se impone una ecuación exponencial que es solución de la
ecuación de con ección-di usión pa a un caso unidimensional:
𝜌𝑒𝑣𝑥𝑒𝜙=Γe𝑑𝜙
𝑑𝑥
(2.14)
In eg ando en e los dos nodos:
∫𝑑𝜙
𝜙
𝐸
𝑃=𝜌𝑒𝑣𝑥𝑒
Γe𝑑𝑥
(2.15)
𝜙𝐸=𝜙𝑃𝑒𝜌𝑒𝑣𝑥𝑒𝑑𝑃𝐸
Γe
(2.16)
Repi iendo el p oceso in eg ando en e P y e, y p ocediendo análogamen e pa a la
ca a w, esul an las elaciones:
{
𝛼𝑖=𝑒𝜌𝑖𝑣𝑥𝑖𝑑𝑃𝑖
Γi−1
𝑒𝜌𝑖𝑣𝑥𝑖𝑑𝑃𝐼
Γi−1 𝑖=𝑒,𝑛
𝛼𝑖=𝑒𝜌𝑖𝑣𝑥𝑖𝑑𝐼𝑖
Γi−1
𝑒𝜌𝑖𝑣𝑥𝑖𝑑𝑃𝐼
Γi−1 𝑖=𝑤,𝑠
(2.17)
Joan Pau Vidal Beni ez 22
Capí ulo 3
3. T ans e encia de calo po conducción
Aunque el es udio ealizado en es e p oyec o se cen a á p incipalmen e en los enómenos
ocasionados en el mo imien o de un luido, es in e esan e es udia p ime o la ans e encia de
calo po conducción con el obje i o de ob ene y asen a una base pa a la me odología que se
a a segui du an e el p oyec o. De es a mane a, en el p esen e capí ulo se an a p esen a las
leyes que gobie nan la ans e encia de calo en cue pos sólidos y se a a habla de su
esolución numé ica pa a casos complejos con aplicaciones eales.
Pa a log a es os obje i os, se escoge á un caso pa icula de es udio (conducción
bidimensional ansi o ia en un medio compues o po a ios ma e iales), y se esol e á es e
p oblema median e un sencillo código en lenguaje de p og amación C++ (adjun o en o ma o
elec ónico en el Anexo A.1), en el que se e án aplicados odos los concep os explicados en el
capí ulo a modo de ejemplo p ác ico. Es e eje cicio ha sido p opo cionado po el Cen e
Tecnològic de T ans e ència de Calo i Massa y puede se encon ado en [2].
3.1. Fo mulación
Pa a es ablece las bases de la ans e encia de calo po conducción, como en cualquie o o
campo, es con enien e empeza mos ando la o mulación que se emplea á, en es e caso, se
emplea á la ecuación gene al de conse ación de la ene gía pa icula izada pa a cue pos
sólidos es á icos como se expone a con inuación:
𝑑
𝑑𝑡∫𝑒𝑖 𝜌 𝑑𝑉
𝑉𝑎 = −∫ 𝑞󰇗
󰇍
󰇍

·𝑛
󰇍

𝑆𝑎 𝑑𝑆
(3.1)
Pa a que pe mi a se a ada como una ecuación algeb aica, es a ecuación se á disc e izada de
mane a que pod á se esuel a de mane a mucho más sencilla con alguno de los mé odos
p esen ados en el capí ulo an e io .
T ans e encia de calo po conducción
Joan Pau Vidal Beni ez 23
3.2. Caso de es udio: Conducción bidimensional ansi o ia en
un medio compues o po a ios ma e iales
Una ba a muy la ga de sección cuad ada es á compues a po cua o ma e iales di e en es
(M1-M4, ep esen ados en di e en es colo es en la Figu a 3). Las coo denadas de los pun os P1
a P3 se dan en la Tabla 1(obsé ese que la igu a no es á a escala). Las p opiedades de los
ma e iales se dan en la Tabla 2. Cada uno de los cua o lados de la ba a in e acciona con el
en o no de una mane a di e en e, como se desc ibe en la Tabla 3. La empe a u a inicial es
T=8.00 °C en odo el dominio.
El obje i o es esol e el sis ema median e un p og ama en lenguaje C++ pa a cada ins an e de
iempo, ob eniendo los alo es de la empe a u a en cada pun o del dominio. En pa icula , se
ob end á el alo de la empe a u a pa a cada ins an e de iempo (has a un iempo =10000s)
en dos pun os conc e os del dominio (los pun os (0.65, 0.56) y (0.74, 0.72)) pa a acili a la
ep esen ación g á ica de los esul ados.
Figu a 3. Esquema del sis ema [2]
T ans e encia de calo po conducción
Joan Pau Vidal Beni ez 24
𝑥[𝑚]
𝑦[𝑚]
p1
0.50
0.40
p2
0.50
0.70
p3
1.10
0.80
Tabla 1. Coo denadas de los pun os P1 a P3
𝜌[𝑘𝑔/𝑚3]
𝑐𝑝[𝐽/𝑘𝑔𝐾]
𝜆[𝑊/𝑚𝐾]
𝑀1
1500.00
750.00
170.00
𝑀2
1600.00
770.00
140.00
𝑀3
1900.00
810.00
200.00
𝑀4
2500.00
930.00
140.00
Tabla 2. P opiedades de los ma e iales M1 a M4
Pa ed
Condición de con o no
In e io
Iso é mica a 𝑇=23.00 ℃
Supe io
Flujo de calo uni o me 𝑄𝑓𝑙𝑜𝑤=60 𝑊/𝑚
Izquie da
En con ac o con un luido a 𝑇𝑔=33.00 ℃ y con coe icien e de ans e encia de
calo 𝛼=9.00 𝑊/𝑚2𝐾
De echa
Tempe a u a uni o me 𝑇=8.00+0.005𝑡 ℃ (donde es el iempo en
segundos)
Tabla 3. Condiciones de con o no
3.2.1. Hipó esis de abajo
Po al de simpli ica las ecuaciones y ajus a las al p oblema en cues ión, se debe án ealiza
una se ie de hipó esis:
 Es udio bidimensional ansi o io.
 P opiedades e mo ísicas cons an es.
 Esquema de esolución implíci o.
 Se medi á un in e alo de 10000 segundos, disc e izado en in e alos de 1 segundo.
T ans e encia de calo po conducción
Joan Pau Vidal Beni ez 31
En la Figu a 6 se obse a el mapa de empe a u as ob enido con el código desa ollado (Anexo
A.1), en un ins an e de iempo a la mi ad del in e alo de 10000 segundos, con las di isiones
en e los ma e iales incluidas en la imagen. Podemos obse a como la anja in e io se
man iene a empe a u a cons an e, y la anja de echa aumen a su empe a u a con el
iempo, dando al p oblema su ca ác e ansi o io (nunca se llega á a un es ado es aciona io si
la empe a u a de esa pa ed a ía linealmen e con el iempo). También se puede e con
bas an e cla idad cómo las p opiedades e mo ísicas de cada ma e ial in luyen en las
pendien es de las líneas iso e mas. A pesa de posibles pequeños e o es de p ecisión debidos,
como se ha comen ado, al núme o de nodos, podemos obse a como los esul ados
ob enidos son simila es a los mos ados en la Figu a 7, esul ados ob enidos po el CTTC
(Cen e Tecnològic de T ans e ència de Calo i Massa) de la Uni e si a Poli ècnica de
Ca alunya y que pueden se encon ados en [2].
Figu a 7. Mapa de empe a u as de e e encia pa a =10000/2 s [2]
Además de ello se han ep esen ado las empe a u as de dos pun os del dominio pa a se
compa ados (los pun os (0.65, 0.56) y (0.74, 0.72)) en la Figu a 8. Como puede obse a se (y es
lógico a la is a del mapa de empe a u as p esen ado) el pun o más ce cano al ex emo
de echo del dominio es el que aumen a su empe a u a de o ma más ápida.

T ans e encia de calo po conducción
Joan Pau Vidal Beni ez 32
Figu a 8. E olución empo al de la empe a u a de dos pun os del dominio
Joan Pau Vidal Beni ez 33
Capí ulo 4
4. La ecuación de con ección-di usión
An es de a a la esolución numé ica de las ecuaciones de Na ie -S okes, es con enien e
empeza analizando un caso más gene al, la ecuación de con ección-di usión. Es a ecuación,
o mulada más adelan e (ecuación (4.1)), p e ende esumi las ecuaciones de con inuidad,
conse ación de la can idad de mo imien o y conse ación de la ene gía en una sola
exp esión, explicando así el compo amien o de un medio luido que se ans o ma po medio
de es os p ocesos ísicos: la con ección y la di usión.
4.1. Fo mulación
La ecuación de con ección di usión se esc ibe u ilizando unos pa áme os gené icos (𝜙, Γ, S)
que debe án se e aluados en unción de cómo se desee pa icula iza la exp esión, de la
mane a que se obse a en la Tabla 4, siendo la ecuación esul an e la que se mues a a
con inuación:
𝜕𝜌𝜙
𝜕𝑡 +∇·(𝜌𝑢
󰇍

𝜙)=∇·(Γ ∇𝜙)+𝑆
(4.1)
Ecuación
𝜙
𝛤
S
Con inuidad
1
0
0
Can idad de mo imien o - X
u
𝜇
−𝜕𝑝𝑑𝜕𝑥
⁄
Can idad de mo imien o - Y
𝜇
−𝜕𝑝𝑑𝜕𝑦
⁄+𝜌𝑔𝛽(𝑇−𝑇∞)
Ene gía ( CP cons an e)
T
𝜆𝐶𝑃
⁄
𝜙𝐶𝑃
⁄
Tabla 4. Casos pa icula es de la ecuación de con ección-di usión
Es in e esan e analiza los di e en es é minos de la ecuación y su signi icado ísico:
 Té mino ansi o io (𝜕𝜌𝜙
𝜕𝑡): Indica la a iación empo al de la a iable de es udio.
 Té mino con ec i o (∇·(𝜌𝑢
󰇍

𝜙)): Co esponde al anspo e de la p opiedad que se
es udia po e ec o del mo imien o del luido.
 Té mino di usi o (∇·(Γ ∇𝜙)): Indica el cambio en la a iable po e ec o de los
g adien es de concen ación.
 Té mino de uen e (S): Foco de gene ación o sumide o de la a iable de es udio.
La ecuación de con ección-di usión
Joan Pau Vidal Beni ez 34
4.2. Caso de es udio: Con ección-di usión
Como es udio p e io a a a la esolución de las ecuaciones de Na ie -S okes a casos más
complejos, se aplica á la ecuación de con ección-di usión a un conjun o de cua o casos
ela i amen e sencillos, con solución conocida, comp obando así la p ecisión del mé odo
empleado y de los códigos desa ollados. En es e caso de es udio se p og ama á un código
pa a esol e los es p ime os p oblemas, dada la simili ud que poseen en e sí, y se
desa olla á un código sepa ado pa a el p oblema de Smi h-Hu on. Pese a que es os dos
p og amas pod ían uni se, se man end án sepa ados pa a mayo cla idad.
Es os casos de ejemplo pueden encon a se en [3].
1. Flujo unidimensional con a iación unidimensional de la a iable en la di ección del lujo.
Figu a 9. Caso 1, a iación de la a iable en la di ección del lujo [3]
Dado el siguien e campo de elocidades, con un alo a bi a io de 𝑈0, se conoce la solución
analí ica de es e caso, que sigue una o ma exponencial como se mues a en la ecuación (4.21)
del apa ado de análisis de esul ados.
Campo de elocidades:
{𝑢(𝑥,𝑦)=𝑈0
𝑣(𝑥,𝑦)=0
(4.2)
La ecuación de con ección-di usión
Joan Pau Vidal Beni ez 35
2. Flujo unidimensional con a iación unidimensional de la a iable en la di ección
pe pendicula al lujo.
Figu a 10. Caso 2, a iación de la a iable en la di ección pe pendicula al lujo [3]
Es e caso es muy simila al an e io en cuan o al código desa ollado pa a esol e lo. Sólo
hab á que cambia el campo de elocidades pa a ob ene el nue o esul ado, que sigue una
ley lineal como se puede e en la ecuación (4.22) de la sección de análisis de esul ados.
Campo de elocidades:
{𝑢(𝑥,𝑦)=0
𝑣(𝑥,𝑦)=𝑉0
(4.3)
La ecuación de con ección-di usión
Joan Pau Vidal Beni ez 36
3. Flujo diagonal.
Figu a 11. Caso 3, lujo diagonal [3]
En es e caso el lujo es bidimensional y iene una solución conocida pa a el caso en que el lujo
sigue la diagonal p incipal del ecin o, las condiciones de con o no son las de la igu a, y el
núme o de Pécle o al es in ini o (𝑃𝑒=𝜌𝑉𝐿
⁄).
Campo de elocidades (con ángulo de la elocidad 𝛼):
{𝑢(𝑥,𝑦)=𝑉0·cos𝛼
𝑣(𝑥,𝑦)=𝑉0·sin𝛼
(4.4)
4. Flujo solenoidal (p oblema de Smi h-Hu on).
Figu a 12. Caso 4, el p oblema de Smi h-Hu on [3]

La ecuación de con ección-di usión
Joan Pau Vidal Beni ez 37
El caso de lujo solenoidal o p oblema de Smi h-Hu on es un caso de benchma k, se a a de
un caso usado pa a e alua la p ecisión del mé odo numé ico u ilizado, así como de la
ap oximación que se hace a de e minados é minos de la ecuación de es udio. En es e caso, y
como se e á en el análisis de los esul ados, la solución consis e en un conjun o de alo es de
la a iable de es udio en de e minados pun os disc e os del dominio.
Campo de elocidades:
{𝑢(𝑥,𝑦)=2𝑦(1−𝑥2)
𝑣(𝑥,𝑦)=−2𝑥(1−𝑦2)
(4.5)
Condiciones de con o no:
{
𝜙=1+ anh [(2𝑥+1)·10], −1<𝑥<0 𝑦=0 (𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎)
𝜙=1− anh [10], 𝑥=−1 0<𝑦<1
𝜙=1− anh [10], −1<𝑥<1 𝑦=1
𝜙=1− anh [10], 𝑥=1 0<𝑦<1
𝜕𝜙𝜕𝑦
⁄=0, 0<𝑥<1 𝑦=0 (𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎)
(4.6)
4.2.1. Hipó esis de abajo
An es de p ocede con la disc e ización de la ecuación es adecuado analiza las hipó esis que
se ha án pa a abaja con ella, ya que an a in lui en el p oceso. Es as hipó esis limi a án en
g an pa e la a iedad de casos que pod án se simulados con los códigos desa ollados
u ilizando es e p ocedimien o. Sal o que se mencione lo con a io, las hipó esis que se
oma án pa a el p esen e es udio son las siguien es:
 Es udio bidimensional y es aciona io.
 Flujo lamina e incomp esible.
 Fluido New oniano.
 Hipó esis de Boussinesq: p opiedades e mo ísicas cons an es excep o en el é mino
de ue zas másicas (𝜌𝑔𝛽(𝑇−𝑇∞)).
 Disipación iscosa desp eciable.
 T abajo de expansión o comp esión desp eciable.
 Medio anspa en e a la adiación.
 Medio mono-componen e y mono ásico.
 Pa a el p esen e es udio se oma á S=0 po simplicidad y pa a ajus a se a los casos de
es udio.
La ecuación de con ección-di usión
Joan Pau Vidal Beni ez 38
4.2.2. Disc e ización del dominio
Pa a los es p ime os eje cicios se ha escogido una malla en la que los nodos es án si uados
en los cen os de los olúmenes de con ol y, pa a e alua mejo el alo de la a iable de
es udio, se han añadido olúmenes de con ol sin supe icie en las ca as de los olúmenes de
con ol ex e io es al como se puede obse a en la Figu a 13.
Figu a 13. Disc e ización del dominio pa a los casos 1 a 3
El concep o de olúmenes de con ol sin supe icie pe mi e es ablece de mane a más p ecisa
las condiciones en el con o no del dominio, pues o que po no ene supe icie, el nodo es á
si uado exac amen e en el con o no. Además cada uno de es os nodos no se elaciona con los
nodos que iene a los lados, ya que la supe icie de con ac o no exis e.
Po simplicidad en el momen o de p og ama el p oblema de Smi h-Hu on, se ha op ado po
una malla simple con nodos en los cen os de los olúmenes de con ol. Además, debido a la
geome ía pa icula de es e p oblema, el dominio se di idi á ho izon almen e en dos pa es,
de mane a que asegu emos que pa a x=0 hay siemp e la ca a en e dos nodos como mues a
la Figu a 14.
Figu a 14. Disc e ización de dominio pa a el p oblema de Smi h-Hu on
La ecuación de con ección-di usión
Joan Pau Vidal Beni ez 39
4.2.3. Disc e ización de las ecuaciones
P ocediendo como en el capí ulo 3, se disc e iza á la ecuación de con ección-di usión con
in ención de aplica la a cada olumen de con ol del dominio es udiado en cada caso. Así pues,
eniendo en cuen a las hipó esis an e io es, se án eliminados los é minos conside ados nulos
y se eo ganiza á la ecuación de la mane a más con enien e, ob eniendo así la siguien e
exp esión:
∇·(𝜌𝑢
󰇍

𝜙−Γ ∇𝜙)=0
(4.7)
Po comodidad se ealiza á un cambio de a iable. Tomando 𝐽= 𝜌𝑢
󰇍

𝜙 −Γ∇𝜙 se ob iene:
𝜕𝐽𝑥
𝜕𝑥+𝜕𝐽𝑦
𝜕𝑦=0
(4.8)
E, in eg ando es a ecuación sob e un olumen de con ol bidimensional:
∫𝜕𝐽𝑥
𝜕𝑥
𝑒
𝑤𝑑𝑥+∫𝜕𝐽𝑦
𝜕𝑦
𝑛
𝑠𝑑𝑦=0
(4.9)
𝐽𝑒−𝐽𝑤+𝐽𝑛−𝐽𝑠=0
(4.10)
Deshaciendo el cambio de a iable y ap oximando los g adien es de 𝜙 como en el caso de
es udio del capí ulo 3:
𝜌𝑢𝑒𝜙𝑒−Γ𝑒𝜙𝐸−𝜙𝑃
𝑑𝑃𝐸 𝑆𝑒−𝜌𝑢𝑤𝜙𝑤+Γ𝑤𝜙𝑃−𝜙𝑊
𝑑𝑃𝑊 𝑆𝑤+𝜌𝑣𝑛𝜙𝑛−Γ𝑛𝜙𝑁−𝜙𝑃
𝑑𝑃𝑁 𝑆𝑛
−𝜌𝑢𝑠𝜙𝑠+Γ𝑠𝜙𝑃−𝜙𝑆
𝑑𝑃𝑆 𝑆𝑠=0
(4.11)
Aho a se debe á ob ene una o ma de e alua el alo de 𝜙 en las ca as de los olúmenes de
con ol pa a los é minos 𝜌𝑢𝑖𝜙𝑖. Pa a ello se u iliza á uno de los esquemas numé icos
p esen ados en el capí ulo 2, en es e caso se emplea á un esquema de di e encia exponencial
(EDS) pa a ob ene una buena p ecisión en los es p ime os eje cicios, y un esquema Upwind
(UDS) pa a el p oblema de Smi h-Hu on, ya que p opo ciona una mayo es abilidad. De es a
mane a, se ob end á una elación en e el alo de 𝜙 en la ca a del olumen y su alo en los
nodos adyacen es:
𝜙𝑒−𝜙𝑃
𝜙𝐸−𝜙𝑃=𝛼𝑒 → 𝜙𝑒=𝛼𝑒(𝜙𝐸−𝜙𝑃)+𝜙𝑃
(4.12)
La ecuación de con ección-di usión
Joan Pau Vidal Beni ez 40
𝜙𝑤−𝜙𝑊
𝜙𝑃−𝜙𝑊=𝛼𝑤 → 𝜙𝑤=𝛼𝑤(𝜙𝑃−𝜙𝑊)+𝜙𝑊
(4.13)
Donde el alo del pa áme o 𝛼𝑖 depende á del esquema numé ico u ilizado ( éase capí ulo 2).
Además, 𝜙𝑛 se e alúa como 𝜙𝑒 y 𝜙𝑠 se e alúa como 𝜙𝑤. Sus i uyendo en la ecuación (4.11) y
simpli icando é minos, se ob iene:
𝜌𝑢𝑒[𝛼𝑒𝜙𝐸+𝜙𝑃(1−𝛼𝑒)]−𝛤𝑒(𝜙𝐸−𝜙𝑃
𝑑𝑃𝐸 )𝑆𝑒−𝜌𝑢𝑤[𝜙𝑊(1−𝛼𝑤)+𝛼𝑤𝜙𝑃]
+𝛤𝑤(𝜙𝑃−𝜙𝑊
𝑑𝑃𝑤 )𝑆𝑤+ 𝜌𝑣𝑛[𝛼𝑛𝜙𝑁+𝜙𝑃(1−𝛼𝑛)]
−𝛤𝑛(𝜙𝑁−𝜙𝑃
𝑑𝑃𝑁 )𝑆𝑛−𝜌𝑣𝑠[𝜙𝑆(1−𝛼𝑠)+𝛼𝑠𝜙𝑃]=0
(4.14)
De igual mane a que en el capí ulo 3, se debe án ag upa los é minos de la ecuación pa a
ob ene una exp esión de la o ma:
𝑎𝑃𝜙𝑃=𝑎𝐸𝜙𝐸+𝑎𝑊𝜙𝑊+𝑎𝑁𝜙𝑁+𝑎𝑆𝜙𝑆
(4.15)
Ob eniendo así los siguien es coe icien es:
𝑎𝐸=𝛤𝑒𝑆𝑒
𝑑𝑃𝐸−𝜌𝑢𝑒𝛼𝑒
(4.16)
𝑎𝑊=𝜌𝑢𝑤(1−𝛼𝑤)+𝛤𝑤𝑆𝑤
𝑑𝑃𝑊
(4.17)
𝑎𝑁=𝛤𝑛𝑆𝑛
𝑑𝑃𝑁−𝜌𝑣𝑛𝛼𝑛
(4.18)
𝑎𝑆=𝜌𝑢𝑠(1−𝛼𝑠)+𝛤𝑠𝑆𝑠
𝑑𝑃𝑆
(4.19)
𝑎𝑃=𝑎𝐸+𝑎𝑊+𝑎𝑁+𝑎𝑆+𝜌(𝑢𝑒−𝑢𝑤+𝑣𝑛−𝑣𝑠)
(4.20)
Los nodos si uados en las on e as del dominio end án alo es impues os en unción de sus
condiciones de con o no, que pueden se is as en la desc ipción de cada caso.
La ecuación de con ección-di usión
Joan Pau Vidal Beni ez 47
Figu a 19. Phi(x) en la salida pa a di e en es alo es de Pe

La ecuación de con ección-di usión
Joan Pau Vidal Beni ez 48
Figu a 20. E olución del sis ema a medida que aumen a la in luencia de la con ección
Es ambién con enien e analiza en es e caso p ác ico el e ec o de la densidad de la malla. En
la Figu a 21 se puede e la magni ud del e o come ido empleando una malla demasiado
g uesa. El cambio obse ado en la cu a u a del pe il de 𝜙 iende a ace ca lo al pe il
ob enido pa a un núme o de Pécle más bajo haciendo posible obse a de nue o el e ec o de
la di usión numé ica. En la Figu a 21, conc e amen e pa a la malla de densidad 100x50, se
ap ecia cómo el pe il ob enido es ealmen e simila al co espondien e a 𝑃𝑒=10 en la Figu a
19.
Po o a pa e queda ambién pa en e el hecho de que, pa a cie a densidad de malla,
aumen a el núme o de nodos se aduce en un aumen o de p ecisión ela i amen e pequeño,
como puede e se en los casos de densidad de malla 1400x700 y 1000x500 de la Figu a 21.
Figu a 21. E ec o de la densidad de malla pa a un Pécle cons an e
Joan Pau Vidal Beni ez 49
Capí ulo 5
5. F ac ional S ep Me hod
El F ac ional S ep Me hod (FSM o mé odo de la p oyección) es un p ocedimien o de esolución
de las ecuaciones de Na ie -S okes, en égimen incomp esible y dependien e del iempo,
in oducido inicialmen e po los abajos de Cho in [4] y Temam [5].
La en aja cla e del FSM consis e en que los cálculos de la elocidad y la p esión se ealizan de
mane a desacoplada, es deci , ninguna de las a iables in e iene en el cálculo de las o as.
Pa a consegui es o, se calcula á el campo de elocidades de mane a que cumpla la ecuación
de can idad de mo imien o sin el é mino de g adien e de p esión, ob eniendo así una
elocidad p edicha. Después, se calcula á la mínima pe u bación median e el g adien e de
p esiones pa a que el campo de elocidades cumpla la condición de incomp esibilidad.
5.1. Fo mulación y concep os
Se es ablece como pun o de pa ida la o mulación ípica de las ecuaciones de Na ie -S okes
pa a lujo incomp esible. Como se puede deduci ácilmen e a pa i del capí ulo 4, se a a de
la pa icula ización de la ecuación de con ección-di usión pa a la conse ación de can idad de
mo imien o:
𝜌𝜕𝑢
󰇍

𝜕𝑡+(𝜌𝑢
󰇍

·∇)𝑢
󰇍

=𝜇∆𝑢
󰇍

−∇𝑃
(5.1)
∇·𝑢
󰇍

=0
(5.2)
Realizando po comodidad el sencillo cambio de a iable 𝑅(𝑣)=−(𝜌𝑣·∇)𝑣+𝜇Δ𝑣, la
ecuación queda inalmen e:
𝜌𝜕𝑢
󰇍

𝜕𝑡=𝑅(𝑢
󰇍

)−∇𝑃
(5.3)
El obje i o consis e en p oyec a la ecuación (5.3) sob e un espacio de di e gencia nula
siguiendo el eo ema de Helmhol z-Hodge, de mane a que desapa ece el é mino de g adien e
de p esiones:
F ac ional S ep Me hod
Joan Pau Vidal Beni ez 50
 Teo ema de Helmhol z-Hodge: Dado un campo ec o ial 𝜔
󰇍
󰇍

, de inido en un dominio
ce ado Ω y con condiciones de on e a (𝛿Ω) sua es, se puede descompone de
mane a única en la suma del g adien e de un campo escala y un campo ec o ial de
di e gencia nula.
𝜔
󰇍
󰇍

=𝑎+∇𝜑
(5.4)
Donde
∇·𝑎=0 𝑎∈Ω
(5.5)
In eg ando la ecuación (5.3) en el iempo median e un esquema explíci o has a el ins an e 𝑛+
12 u ilizando el mé odo de ex apolación lineal de Adams-B ash o h (donde in e iene el alo
de la a iable en los dos ins an es de iempo an e io es) se ob iene:
𝜌𝑢𝑛+1
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

−𝑢𝑛
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

Δ𝑡 =32𝑅(𝑢𝑛
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

)−12𝑅(𝑢𝑛−1
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

)−∇𝑃𝑛+1
(5.6)
Median e la descomposición de Helmhol z-Hodge aplicada al campo de la elocidad,
ob enemos el campo elocidad p edicha como la suma del campo elocidad (de di e gencia
nula, po la ecuación de con inuidad) y el g adien e de p esión:
𝑢𝑃
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

=𝑢𝑛+1
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

+Δ𝑡
𝜌∇𝑃𝑛+1
(5.7)
Pudiendo así ans o ma la ecuación (5.6) en una nue a ecuación pa a el campo de elocidad
p edicha independien e de la p esión, que se á el pun o de pa ida pa a el cálculo de odas las
a iables:
𝜌𝑢𝑝
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

−𝑢𝑛
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

Δ𝑡 =32𝑅(𝑢𝑛
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

)−12𝑅(𝑢𝑛−1
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

)
(5.8)
Aplicando el ope ado di e gencia a la ecuación (5.7) se ob iene una ecuación que pe mi i á
calcula el g adien e de p esiones:
∆𝑃𝑛+1=𝜌
Δ𝑡∇·𝑢𝑝
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

(5.9)
F ac ional S ep Me hod
Joan Pau Vidal Beni ez 51
Es a ecuación de Poisson pa a la p esión se á el cen o del algo i mo de esolución del
F ac ional S ep Me hod, ya que pa a esol e la se á necesa io emplea alguno de los sol e s
is os an e io men e, de mane a que la mayo ía del iempo de cálculo se á empleado en es e
pun o. Una ez esuel a es a ecuación, se pod á calcula inalmen e el alo de la elocidad en
cada nodo en el siguien e ins an e de cálculo a pa i de la ecuación de la descomposición
inicial:
𝑢𝑛+1
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

=𝑢𝑃
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

−Δ𝑡
𝜌∇𝑃𝑛+1
(5.10)
De es a mane a se es ablece el p ocedimien o a segui en cada ins an e de iempo pa a
ob ene el alo de la elocidad y el g adien e de p esiones en ese mismo ins an e de iempo:
1. Cálculo de la elocidad p edicha:
𝑢𝑝
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

=𝑢𝑛
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

+Δ𝑡
𝜌[32𝑅(𝑢𝑛
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

)−12𝑅(𝑢𝑛−1
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

)]
(5.11)
2. Cálculo del g adien e de p esiones a pa i de la elocidad p edicha:
∆𝑃𝑛+1=𝜌
Δ𝑡∇·𝑢𝑝
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

(5.9)
3. Co ección de la elocidad p edicha con el campo de p esiones pa a ob ene la elocidad
eal que cumple la ecuación de con inuidad:
𝑢𝑛+1
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

=𝑢𝑃
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

−Δ𝑡
𝜌∇𝑃𝑛+1
(5.10)
5.1.1. Mallas escalonadas
Si se a a de aplica el e ce paso del FSM explicado an e io men e a un caso unidimensional
u ilizando una única malla ( o mulación de malla colocada), después de aplica di e encias
ini as a un cie o nodo P pa a calcula la elocidad en ese pun o, se ob iene:
𝑢𝑛+1
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

=𝑢𝑃
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

−Δ𝑡
𝜌(𝑃𝐸𝑛+1−𝑃𝑊
𝑛+1
2∆𝑥 )
(5.12)
Es deci , la ap oximación de ∇𝑃𝑛+1 en el nodo P es comple amen e independien e del alo de
𝑃𝑃𝑛+1. Es e enómeno gene a g a es e o es en la solución, y se ob ienen alo es del campo de
elocidad comple amen e e óneos y ca en es de sen ido ísico, como el conocido
F ac ional S ep Me hod
Joan Pau Vidal Beni ez 52
checke boa d p oblem, que se p oduce cuando la solución con e ge de mane a que las
a iables es udiadas oman alo es al e nos y comple amen e i eales en odo el dominio.
Es necesa io, po an o, encon a un mé odo pa a elaciona los alo es de p esión y
elocidad en el mismo pun o del espacio, y es aquí donde apa ecen las s agge ed meshes
(mallas escalonadas o desplazadas).
El concep o de s agge ed mesh consis e en u iliza di e en es mallados pa a las componen es
de la elocidad y la p esión, ob eniendo así un o al de es mallas pa a la esolución de un
caso bidimensional. Las mallas pa a las componen es de la elocidad se gene a ían
desplazando la malla co espondien e a la p esión en la di ección de cada componen e de la
elocidad, ob eniendo un conjun o de mallas como se mues a en la Figu a 22.
Figu a 22. S agge ed mesh
5.1.2. De e minación de Δ
En cuan o al ca ác e empo al, el F ac ional S ep Me hod es un mé odo explíci o. Como se
explicó en el capí ulo 2, un mé odo explíci o se basa esencialmen e en p edeci el es ado del
sis ema en un ins an e de cálculo a pa i del es ado en el ins an e an e io .
Aunque el esquema explíci o eque i á po an o menos po encia de cálculo, end á ambién
cie as limi aciones debido al hecho de que p edice en luga de calcula . Es as limi aciones se
aducen en que, pa a ob ene una p edicción p ecisa, se necesi an inc emen os de iempo
muy pequeños po al de que el código no p esen e ines abilidades y con e ja en una solución
co ec a.
Pa a calcula los inc emen os de iempo (Δ ) co ec os, se ecu e a la condición CFL, dicha
condición es ablece que el inc emen o empo al no debe se mayo que el iempo especí ico
de los enómenos ísicos de con ección y di usión. Po ejemplo, no end ía sen ido medi la

F ac ional S ep Me hod
Joan Pau Vidal Beni ez 53
elocidad de una pa ícula al a a esa un olumen de con ol en in e alos de iempo más
g andes que el iempo que a da la pa ícula en a a esa dicho olumen. Así, se ob ienen las
ecuaciones del inc emen o de iempo con ec i o (5.13) y di usi o (5.14), y pa a cada ins an e
de iempo se debe á aplica la condición más es ic i a, es deci , la que esul e en un
inc emen o de iempo meno .
∆𝑡𝑐=min(∆𝑥
|𝑢|·0.35)
(5.13)
∆𝑡𝑑=min(𝜌∆𝑥2
𝜇·0.2)
(5.14)
5.2. Caso de es udio: D i en Ca i y
Con el obje i o de lle a a la p ác ica el F ac ional S ep Me hod se ha seleccionado como caso
de es udio el D i en Ca i y. Po sus ca ac e ís icas, es e caso p opo ciona á una base i me
pa a la pa e inal de es e es udio, además de se un caso sencillo de analiza desde el pun o
de is a eó ico, ya que, como se e á en el análisis de esul ados, pe mi e obse a de mane a
di ec a el e ec o de los di e en es pa áme os del caso.
Es e caso consis e en una ca idad bidimensional, de al u a y anchu a dadas (en es e es udio
pa icula , cuad ada), comple amen e ocupada po un luido new oniano de p opiedades
ísicas conocidas. La pa ed supe io de la ca idad se mue e a una elocidad cons an e y
conocida 𝑢=𝑢𝑟𝑒𝑓, p opo cionando mo imien o al sis ema. La Figu a 23 mues a un esquema
más isual del caso.
Figu a 23. Esquema del caso
F ac ional S ep Me hod
Joan Pau Vidal Beni ez 54
El p esen e es udio consis e en la esolución numé ica de las a iables de elocidad y p esión
p esen es en la ecuación de conse ación de la can idad de mo imien o, y los esul ados
ob enidos se án compa ados con los da os ob enidos po Ghia (y o os au o es) en su es udio
del caso disponible en [6]. Además, se obse a á y comen a á la enomenología de ás de la
a iación del núme o de Reynolds, que ca ac e iza cada caso pa icula y mues a la
impo ancia ela i a de los é minos con ec i o y di usi o de la ecuación.
5.2.1. Hipó esis de abajo
Pa a plan ea es e caso, se debe á o mula una se ie de hipó esis. Ya que el código
desa ollado pa a la esolución de es e caso de es udio sen a á la base pa a la siguien e y
úl ima ase del es udio, es con enien e elabo a un poco más la explicación de cada hipó esis,
con el obje i o de en ende como limi a á al caso inal de aplicación:
 Es udio bidimensional y ansi o io. El es udio bidimensional es quizá la hipó esis más
limi an e, ya que la g an mayo ía de casos eales p esen an una enomenología
idimensional. No obs an e, la gene alización del p esen e es udio a un caso
bidimensional es di ec a y no debe ía p esen a g an incon enien e.
 P opiedades ísicas cons an es. La p ime a consecuencia di ec a de es e ni el de
análisis es la imposibilidad de esol e casos de lujo comp esible (donde la densidad
del luido no se man iene cons an e).
 Flujo lamina . No se end á en cuen a pa a es e es udio el égimen u bulen o del
luido, limi ando así el código a la esolución de lujos pa a un ango de Reynolds
lamina .
 Fluido New oniano. Se conside a que los es ue zos co an es son cons an es y
p opo cionales al g adien e de la elocidad. Es a hipó esis exclui ía cie os luidos que
no la cumplen, como sang e, miel, o pin u a en e o os.
 Medio mono-componen e y mono ásico. Quedan ue a de ango de es udio casos
donde in e engan más de un componen e, haya un cambio de ase, po ejemplo de
líquido a gas.
5.2.2. Disc e ización del dominio
La disc e ización del dominio pa a es e caso de es udio p esen a di e encias no ables espec o
a las de los casos de es udio de capí ulos an e io es. En es e caso, no solo se á necesa io
emplea una o mulación de malla s agge ed como se explicó an e io men e, sino que
ambién es adecuado el uso de una malla condensada en las pa edes del dominio, pa a da
una mayo cla idad al compo amien o del luido en con ac o con las pa edes sólidas. Pa a
F ac ional S ep Me hod
Joan Pau Vidal Beni ez 55
ello, se ha ecu ido a una o mulación de mallado que puede se encon ada en [7] y se ha
adap ado lige amen e al código desa ollado pa a es e caso de es udio, ob eniendo así la
exp esión (5.15), que p opo ciona la posición de las ca as de los olúmenes de con ol pa a la
malla donde se esol e á la p esión:
𝑥𝑖=𝐿2(1+( anh(𝛾·2𝑖
𝑁−1)
anh(𝛾)))
(5.15)
Donde L es la longi ud del dominio, N el núme o o al de nodos, y 𝛾 es un pa áme o que
con ola la densi icación de la malla, 𝛾=0 co esponde a malla uni o me y la condensación
aumen a a medida que lo hace 𝛾 (en es e es udio se oma a en gene al 𝛾=2).
Con es a ecuación se ob iene la malla ep esen ada en la Figu a 24. De es a mane a, pa a
si ua los nodos de la malla bas a á con calcula el pun o medio de dos ca as consecu i as, y
pa a o mula las mallas de las componen es e ical y ho izon al de la elocidad bas a á con
desplaza la malla de la p esión como se obse a en la Figu a 22.
Figu a 24. Malla es uc u ada no uni o me pa a cálculo de P, N=80 y 𝛾=2
5.2.3. Disc e ización de las ecuaciones
Las ecuaciones (5.9)-(5.11) que o man el núcleo del F ac ional S ep Me hod debe án se
disc e izadas como p e io paso al desa ollo del código necesa io pa a la simulación del caso
de es udio. Dado que el FSM es un mé odo explíci o en el ámbi o empo al po de inición, las
ecuaciones ob enidas en el apa ado de o mulación es án ya disc e izadas en el dominio
F ac ional S ep Me hod
Joan Pau Vidal Beni ez 56
empo al, in eg adas sob e un in e alo de iempo Δ . El obje i o es, po an o, disc e iza las
en el dominio espacial.
Pa a e alua la p ime a ecuación del FSM (ecuación (5.11)) se á necesa io comenza
disc e izando el é mino 𝑅(𝑢
󰇍

) pa a cada una de las dos componen es de la elocidad. Pa a la
componen e ho izon al 𝑢, se debe in eg a la ecuación de 𝑅(𝑢) sob e un olumen de con ol
de la malla s agge ed que co esponde a es a componen e de la elocidad, como se indicó en
la Figu a 22:
(5.16)
Realizando la in eg al y ap oximando los alo es de las de i adas como se explicó en apa ados
an e io es:
𝑅(𝑢)=1
𝑉𝑝[(𝜇𝑒𝑢𝐸 −𝑢𝑃
𝑑𝐸𝑃 𝐴𝑒−𝜇𝑤𝑢𝑃 −𝑢𝑊
𝑑𝑊𝑃 𝐴𝑤+ 𝜇𝑛𝑢𝑁 −𝑢𝑃
𝑑𝑁𝑃 𝐴𝑛
−𝜇𝑠𝑢𝑃 −𝑢𝑆
𝑑𝑆𝑃 𝐴𝑠 )
−((𝜌𝑢)𝑒𝑢𝑒𝐴𝑒−(𝜌𝑢)𝑤𝑢𝑤𝐴𝑤+ (𝜌𝑣)𝑛𝑢𝑛𝐴𝑛−(𝜌𝑣)𝑠𝑢𝑠𝐴𝑠) ]
(5.17)
Donde es con enien e p es a a ención a la e aluación de los é minos con ec i os. Den o de
cada uno de es os é minos, se encuen an la p opiedad anspo ada que se quie e calcula y
el é mino de lujo a a és de la supe icie ((𝜌𝑢𝑒)𝐴𝑒 po ejemplo). Pa a e alua la p opiedad
anspo ada se u iliza á uno de los esquemas numé icos explicados en el capí ulo 2, en es e
caso se u iliza á un esquema CDS pa a e i a la di usión numé ica que pod ían in oduci o os
esquemas como el Upwind.
Po o a pa e, pa a e alua los é minos de lujo en las ca as se u iliza á una in e polación
lineal al como se mues a en la Figu a 25:
F ac ional S ep Me hod
Joan Pau Vidal Beni ez 63
debe án ac ualiza los alo es supues os ( 𝑃∗[𝑖,𝑗]=𝑃[𝑖,𝑗]) y se ol e á al paso núme o 7.
9. Cálculo de la elocidad: Con los alo es de la p esión calculados en el pun o 8 y median e
las ecuaciones (5.33) y (5.34), se calcula á el alo de las componen es de la elocidad en
sus espec i as mallas.
10. Comp obación del c i e io empo al: En es e caso la condición pa a acaba la simulación
consis e en comp oba que el sis ema ha llegado a un es ado es aciona io, pa a ello se
e alua á la siguien e condición: |𝑢
󰇍

[𝑖,𝑗]𝑛+1−𝑢
󰇍

[𝑖,𝑗]𝑛|<𝜀 pa a cada componen e de la
elocidad en cada pun o de su espec i a malla.
Si el sis ema llega a es ado es aciona io se con inúa al pun o 11 del algo i mo, de lo
con a io se eg esa al pun o 4 pa a epe i el p oceso.
11. Pos p oceso: Cálculos inales e imp esión de esul ados con el o ma o adecuado pa a su
compa ación con el caso de benchma k.
12. Fin.
5.2.5. Análisis de esul ados
U ilizando el código disponible en el Anexo A4 se simula án los casos que se pueden encon a
en [6] y se compa a án los esul ados ob enidos con los de ese mismo es udio, con el obje i o
de e i ica el co ec o uncionamien o del código p opio. Los casos analizados po los au o es
de [6] comp enden alo es del Reynolds en e 100 y 10000, mien as que en el p esen e
análisis el lími e supe io del núme o de Reynolds se á 5000. Es o es debido al hecho de que, a
causa de las limi aciones en la po encia de cálculo de la época en que ue esc i o el a ículo, el
esquema numé ico u ilizado en la e e encia es un UDS (Upwind Di e ence Scheme) en luga
del CDS u ilizado en el p esen e es udio. Como ya se ha comen ado an e io men e, el uso del
UDS causa la apa ición de la di usión numé ica, de mane a que el lujo se compo a como si la
simulación se ealiza a pa a un alo meno del Reynolds.
De es a mane a, empleando un UDS se encuen a que el lujo llega a un égimen u bulen o
pa a 𝑅𝑒≈10 000 en luga de 𝑅𝑒≈6000 como sucede u ilizando un CDS sin alsa disipación
de ene gía.
Po al de man ene el análisis lo más conciso posible se mos a án an solo los casos que
suponen los ex emos del in e alo, 𝑅𝑒=100 y 𝑅𝑒=5000, siendo además los casos con
mayo y meno p ecisión espec i amen e, y se comen a á la e olución del sis ema en e
ambos.

F ac ional S ep Me hod
Joan Pau Vidal Beni ez 64
Las ablas Tabla 6 y Tabla 7 mues an la compa ación en e los esul ados ob enidos con el
código desa ollado en el Anexo A4 y los esul ados ob enidos en [6] pa a los alo es
mencionados del Reynolds.
Los alo es de ambas ablas co esponden al es ado es aciona io del luido, pa a la línea
e ical cen al (𝑥=0.5) en el caso de la componen e ho izon al de la elocidad (𝑢) y pa a la
línea ho izon al cen al (𝑦=0.5) en el caso de la componen e e ical (𝑣).
𝑦
𝑢𝑏𝑒𝑛𝑐ℎ
𝑢𝑐𝑜𝑑𝑒
𝜀𝑟 (%)
𝑥
𝑣𝑏𝑒𝑛𝑐ℎ
𝑣𝑐𝑜𝑑𝑒
𝜀𝑟(%)
0
0
0
0
0
0
0
0
0.0547
-0.03717
-0.03700
0.4494
0.0625
0.09223
0.09321
1.0669
0.0628
-0.04192
-0.04161
0.7375
0.0703
0.10091
0.10156
0.6481
0.0703
-0.04775
-0.4611
3.4361
0.0781
0.1089
0.10932
0.3884
0.1016
-0.06434
-0.06334
1.5593
0.0938
0.12317
0.12320
0.0232
0.1719
-0.1015
-0.09948
1.9896
0.1563
0.16077
0.15891
1.1575
0.2813
-0.15662
-0.15439
1.4269
0.2266
0.17507
0.17153
2.0202
0.4531
-0.2109
-0.20991
0.4710
0.2344
0.17527
0.17166
2.0609
0.5
-0.20581
-0.20506
0.3664
0.5
0.005454
0.04902
10.1128
0.6172
-0.13641
-0.13641
1.6556
0.8047
-0.24533
-0.24624
0.3725
0.7344
0.00332
0.008517
156.5313
0.8594
-0.22445
-0.22262
0.8149
0.8516
0.23151
0.24596
6.2434
0.9063
-0.16914
-0.16629
1.6829
0.9531
0.68717
0.70313
2.3232
0.9453
-0.10313
-0.10067
2.3809
0.9609
0.73722
0.75171
1.9661
0.9531
-0.08864
-0.08634
2.5917
0.9688
0.78871
0.80211
1.6990
0.9609
-0.07391
-0.07180
2.8493
0.9766
0.84123
0.85268
1.3615
0.9688
-0.05906
-0.05695
3.5696
1
1
1
0
1
0
0
0
Tabla 6. Compa ación de elocidades pa a Re=100
F ac ional S ep Me hod
Joan Pau Vidal Beni ez 65
𝑦
𝑢𝑏𝑒𝑛𝑐ℎ
𝑢𝑐𝑜𝑑𝑒
𝜀𝑟 (%)
𝑥
𝑣𝑏𝑒𝑛𝑐ℎ
𝑣𝑐𝑜𝑑𝑒
𝜀𝑟(%)
0
0
0
0
0
0
0
0
0.0547
-0.41165
-0.41305
0.339268
0.0625
0.42447
0.425852
0.325564
0.0628
-0.42901
-0.42891
0.023476
0.0703
0.43329
0.433689
0.092173
0.0703
-0.43643
-0.43645
0.004752
0.0781
0.43648
0.436229
0.057553
0.1016
-0.40435
-0.40561
0.312622
0.0938
0.42951
0.428213
0.301981
0.1719
-0.3305
-0.31892
3.502849
0.1563
0.35368
0.345101
2.425736
0.2813
-0.22855
-0.21222
7.14402
0.2266
0.28066
0.266589
5.013503
0.4531
-0.07404
-0.05867
20.76145
0.2344
0.2728
0.258151
5.369866
0.5
-0.03039
-0.01795
40.93452
0.5
0.00945
-0.00034
103.5857
0.6172
0.08183
0.086571
5.793114
0.8047
-0.30018
-0.30676
2.193584
0.7344
0.20087
0.203256
1.187734
0.8594
-0.36214
-0.37258
2.882994
0.8516
0.33556
0.344362
2.62316
0.9063
-0.41442
-0.4266
2.938996
0.9531
0.46036
0.465401
1.094948
0.9453
-0.52876
-0.54571
3.205237
0.9609
0.45992
0.46514
1.134917
0.9531
-0.55408
-0.5681
2.530167
0.9688
0.4612
0.469777
1.859728
0.9609
-0.55069
-0.55471
0.730476
0.9766
0.48223
0.501832
4.064835
0.9688
-0.49774
-0.49116
1.322504
1
1
1
0
1
0
0
0
Tabla 7. Compa ación de elocidades pa a Re=5000
Los alo es esal ados en ambas ablas co esponden a e o es ela i os de g an magni ud, y
obedecen a dos azones:
 Los al os e o es ela i os en el cálculo de la componen e ho izon al de la elocidad en
el caso de Re=5000 apa ecen debido a la densidad de malla u ilizada, en es e caso una
malla de 80x80 nodos y un ac o de densi icación 𝛾=2. Es a malla esul a se
insu icien e, p o ocando es a magni ud en los e o es. El uso de es a malla, sin
emba go, esul a de los lími es que impone el p opio código, ya sea po cómo ha sido
desa ollado o po los equisi os compu acionales de un caso an p óximo a la
u bulencia.
 El es o de alo es exage adamen e ele ados co esponden con el cálculo del e o
ela i o en pun os donde el alo absolu o de la componen e calculada es muy
p óximo a ce o. En es os pun os, debido a la na u aleza del cálculo del e o ela i o,
es común encon a alo es muy ele ados del e o ela i o aunque el alo calculado
sea muy p óximo al espe ado.
F ac ional S ep Me hod
Joan Pau Vidal Beni ez 66
Como complemen o a la compa ación de alo es median e ablas, se p esen a ambién una
compa ación u ilizando g á icos que ayuden a comp ende los enómenos que ienen luga en
es e caso, espe ando así log a una mejo compa ación en e los da os apo ados po Ghia y
o os au o es en [6] y los ob enidos en es e es udio.
Figu a 29. Compa ación de los pe iles de elocidades pa a Re=100
Las igu as Figu a 29 y Figu a 30, además de acili a la comp ensión de las ablas an e io es,
pe mi e ob ene una p ime a idea ap oximada de la e olución del sis ema.
A medida que aumen a el alo del núme o de Reynolds, es ácil obse a como aumen an los
g adien es de elocidad ce ca de las pa edes, compo amien o que indica la p oximidad del
égimen u bulen o. Es p ecisamen e a causa de es e aumen o del g adien e de elocidad en la
p oximidad de las pa edes lo que impulsa el uso de una malla condensada, ya que la p ecisión
en esas zonas es la cla e pa a simula co ec amen e los casos con un Reynolds ce cano al
c í ico.
F ac ional S ep Me hod
Joan Pau Vidal Beni ez 67
Figu a 30. Compa ación de los pe iles de elocidades pa a Re=5000
En las igu as se hace pa en e, además, la no able a iación en la p ecisión debida a la
di e encia en e las mallas empleadas. El caso de 𝑅𝑒=100 se ha simulado empleando una
malla de 100x100 nodos con un ac o de densi icación de 𝛾=2, que o ece una buena
p ecisión, como se puede comp oba en la Tabla 6. Compa ación de elocidades pa a Re=100.
El caso de 𝑅𝑒=5000, po el con a io, equie e una capacidad compu acional mayo po su
ce canía al égimen u bulen o. Po es e mo i o se ha simulado es e caso empleando una
malla de 80x80 nodos con 𝛾=2. Es a malla o ece una peo p ecisión, pe o u iliza un núme o
de nodos que an o el código como el equipo in o má ico u ilizados pueden ope a con mayo
acilidad, ya que de o a mane a se eque i ía un g an iempo de cálculo.
Una ez ha quedado pa en e la alidez de los esul ados ob enidos po el código desa ollado,
el obje i o es analiza la ísica del p oblema, comp ende el compo amien o eal del luido en
la si uación que se es udia, y comp ende mejo la ansición del luido de Reynolds bajos a
Reynolds al os. Pa a ello, se p esen an a con inuación los mapas de elocidad ho izon al,
elocidad e ical, y unción de co ien e pa a cada uno de los dos casos.
F ac ional S ep Me hod
Joan Pau Vidal Beni ez 68
Figu a 31. D i en ca i y. Re=100, u
Figu a 32. D i en Ca i y. Re=100,
Figu a 33. D i en Ca i y. Re=100, 𝜓
Es e p ime conjun o de igu as pe mi e comp ende con acilidad el compo amien o eal del
lujo pa a Re=100.
 En la Figu a 32 se puede obse a con cla idad como en la zona de echa de la ca idad
el luido iene una elocidad al a en sen ido nega i o, mien as que en el lado de echo
la iene en sen ido posi i o, indicando que el lujo baja po la pa e de echa y sube po
la izquie da.
 En la Figu a 31 se dis inguen cla amen e dos zonas: Una zona supe io donde el luido
alcanza su mayo elocidad (jus o en la pa ed, la condición de con o no es 𝑢=1) y

F ac ional S ep Me hod
Joan Pau Vidal Beni ez 69
una zona más ce cana al cen o de elocidad nega i a, donde el lujo se mue e de la
zona de echa a la zona izquie da de la ca idad.
 Tan o la Figu a 31 como la Figu a 32 mues an conco dancia con la Figu a 29,
ayudando así a comp ende el signi icado de los ex emos ela i os de la elocidad.
 Las líneas de co ien e, en la Figu a 33 ep esen an la unión de las dos igu as
an e io es. Se puede ap ecia cla amen e como el luido en con ac o con la pa ed
supe io desciende po la pa e de echa de la ca idad y uel e a la zona izquie da.
Además, es a igu a mues a el inicio de la o mación de dos zonas de eci culación en
las esquinas in e io es de la ca idad. Es as zonas adqui i án impo ancia a medida que
aumen e el Re, ya que es un enómeno ue emen e elacionado con la u bulencia y
cuan as más zonas de es e ipo apa ezcan y más ue e sea su in luencia, más
p obabilidades hay de en a en égimen u bulen o.
Las siguien es igu as comple an la explicación, o eciendo una isión in ui i a de lo que
sucede pa a 𝑅𝑒=5000 y la ansición en e los dos es ados.
 Compa ando las igu as Figu a 31 y Figu a 34, se puede e un cambio impo an e en
el g adien e de elocidad de la pa ed supe io . La zona de a as e del luido se ha
educido conside ablemen e debido al aumen o del Reynolds. Po la p opia de inición
del núme o de Reynolds, es e aumen o implica que el luido se mue e a mayo
elocidad o bien es menos iscoso, educiendo así la icción que sopo a.
 Debido a que el luido a 𝑅𝑒=5000 iene más ene gía que el luido a 𝑅𝑒=100
(debido a una meno disipación iscosa o a un aumen o de la elocidad), la zona de la
Figu a 34 donde el luido iene elocidad nega i a se e desplazada hacia abajo.
 Apa ecen dos enómenos que mues an que el lujo se ace ca al égimen u bulen o y
o ecen una mayo jus i icación del uso de una malla condensada en las pa edes:
 Los g adien es de elocidades en la p oximidad de las pa edes e icales se
uel en más b uscos. Es o es indicado del eng osamien o de la capa lími e
que, a medida que oma impo ancia, a o ece la ansición a égimen
u bulen o.
 Aumen an las zonas de eci culación de lujo an o en núme o como en
amaño, a o eciendo ambién la ansición a lujo u bulen o.
F ac ional S ep Me hod
Joan Pau Vidal Beni ez 70
Figu a 34. D i en Ca i y. Re=5000, u
Figu a 35. D i en Ca i y. Re=5000,
Figu a 36. D i en Ca i y. Re=5000, 𝜓
Joan Pau Vidal Beni ez 71
Capí ulo 6
6. Caso de aplicación: Vo ex Shedding
T as es udia y comp ende el F ac ional S ep Me hod y habe desa ollado y e i icado
(median e un caso de benchma k como el D i en Ca i y) un p og ama pa a pone lo en
p ác ica, se puede conclui que los mé odos u ilizados en el desa ollo de es e es udio
uncionan y p opo cionan esul ados azonablemen e iables. El obje i o, po an o, se
con ie e en es udia un caso más complicado pe o con un mayo in e és ecnológico.
Con es e in se ha seleccionado el caso “Flujo sob e un cilind o cuad ado con ángulo de
a aque”. Es e caso ha sido ampliamen e es udiado en la comunidad cien í ica ( éanse [8], [9] y
[10]), ya que como se ha comen ado en el capí ulo 1, iene un g an in e és p ác ico. Además,
se a a de un ace camien o del p esen e es udio a la ae odinámica, ya que se pod án calcula
las ue zas ae odinámicas (li y d ag o sus en ación y esis encia) sob e la supe icie del
cilind o cuad ado.
El obje i o de es e análisis se á el de emplea el código desa ollado basado en el FSM y
disponible en el Anexo A5 pa a es udia un escena io eal. No obs an e, debido a que el código
se ha desa ollado du an e el p oceso de ap endizaje que ecoge el p esen e es udio, es á
lejos de se op imizado pa a es e caso en conc e o. Así pues, no se p e ende ealiza un
es udio en p o undidad sino ob ene una isión supe icial de la enomenología que iene luga
en es a si uación, p es ando a ención a la in luencia del Reynolds y del ángulo de a aque en el
enómeno del o ex shedding.
6.1. Desc ipción del caso
El caso de es udio consis e en un cue po bidimensional cuad ado odeado po un luido con
elocidad ela i a al cue po no nula. Pa a log a el e ec o de a ia el ángulo de a aque (ángulo
ela i o en e la elocidad del luido y la ca a ho izon al del cilind o cuad ado), se a ia á
co espondien emen e el alo de cada una de las componen es de la elocidad, siendo su
módulo siemp e |𝑢|=𝑢0. Pa a consegui egula de es a mane a el ángulo de la elocidad
inciden e, las ca as in e io e izquie da ac úan como en ada de luido, mien as que las ca as
supe io y de echa ac úan como salida lib e del lujo, de mane a que el sis ema se asemeje a
un lujo lib e.
La Figu a 37 mues a la con igu ación escogida pa a el dominio de es udio.
Caso de aplicación: Vo ex Shedding
Joan Pau Vidal Beni ez 72
Además, es con enien e comen a las ca ac e ís icas pa icula es del caso:
 El caso cumple odas las hipó esis de es udio p esen adas en el apa ado 5.2.1.
 Toda la geome ía del caso se de ine en unción del pa áme o ℎ, el lado del cilind o
cuad ado.
 El pe il de elocidades aguas a iba es comple amen e plano, po an o la elocidad
de cualquie pa ícula que no haya en ado en con ac o con el sólido es cons an e.
Figu a 37. Esquema del caso de aplicación
 No se es udia el compo amien o é mico del p oblema, de mane a que las únicas
incógni as son las componen es de la elocidad (𝑢 y 𝑣) y la p esión (P).
 Se ealiza á un es udio del e ec o del ángulo de a aque, simulando el sis ema pa a
a ios ángulos. A pesa de que en la mayo ía de publicaciones donde se es udia es e
caso se a ía el ángulo de a aque o ando el cilind o, po simplicidad en el p esen e
es udio se cambia á el ángulo de a aque egulando las componen es de la elocidad
en las en adas del sis ema pa a ob ene la inclinación del lujo deseada.
 Las ecuaciones que gobie nan es e caso son las mismas que las expues as en el
capí ulo 5 y segui án el mismo esquema de esolución que co esponde al FSM:
Caso de aplicación: Vo ex Shedding
Joan Pau Vidal Beni ez 79
de succión sob e el obje o, conocida como sus en ación ae odinámica. Pa a
con igu aciones simé icas como es el caso, debido a que la educción de p esión es
igual a ambos lados de obje o, la ue za de sus en ación se á nula.
 En la pa e ase a apa ece una es ela o mada po las pa ículas de luido que odean
al obje o y uel en a ocupa el “ acío” dejado po és e. La elocidad de las pa ículas
ce canas a la pa e ase a del sólido se á casi nula y aumen a án su elocidad a
medida que se alejen.
 Compa ando ambas igu as con las igu as Figu a 45 a Figu a 48 se hace pa en e el
e ec o del aumen o del núme o de Reynolds sob e la es ela p e ia al o ex shedding.
A medida que aumen a el Reynolds los es ue zos iscosos pie den impo ancia
espec o a los e ec os con ec i os, causados po la elocidad del luido, de mane a
que los g adien es de elocidad aumen an y la es ela iende a ol e se más compac a.
La zona ase a se a asa debido a la ápida ecupe ación de ene gía po pa e de las
pa ículas luidas y las zonas de elocidad ele ada se ace can más al cue po del luido.
Figu a 39. Re=30. ψ, α=0
Figu a 40. Re=30. u, α=0
Una ez comp obado el compo amien o que pod ía conside a se la base de odo el es udio,
pueden simula se con acilidad di e en es ángulos de a aque. Como mues a del e ec o de es e
cambio en el ángulo se han simulado 𝛼=5° y 𝛼=10° y se han ob enido las igu as Figu a 41
a Figu a 44. En ellas se puede ap ecia cómo aumen a el ángulo de a aque no solo inclina la
es ela, ambién la de o ma y, como mues an las líneas de co ien e p oduce un e ec o simila
al que se ob iene al inicio del o ex shedding. Además, p es ando a ención a las zonas donde
la elocidad es más al a, y conc e amen e en la Figu a 44, se puede e cómo una de ellas
iende a educi se, p oduciendo po an o un desequilib o en la ue za de succión de uno y
o o lado, esul ando en un alo no nulo de la ue za de sus en ación o al.

Caso de aplicación: Vo ex Shedding
Joan Pau Vidal Beni ez 80
Figu a 41. Re=30. ψ , α=5°
Figu a 42. Re=30. u, α=5°
Figu a 43. Re=30. ψ , α=10°
Figu a 44. Re=30. u, α=10°
6.5.2. Pos -Vo ex Shedding
Vis o el compo amien o del lujo pa a alo es bajos del núme o de Reynolds, el obje i o
aho a es obse a los enómenos que ienen luga pa a Reynolds más al os, en los que el
enómeno del o ex shedding ya iene luga . Pa a ello, se oma á como e e encia el caso
𝑅𝑒=100 y con ángulo de a aque nulo, y una ez se haya comp endido es e caso, se ealiza án
compa aciones muy supe iciales con o os alo es del Reynolds y ángulo de a aque. Como
no a impo an e, cabe des aca que los alo es del iempo que apa ecen en los pies de o o de
las igu as a con inuación, no co esponden a iempos en segundos, sino a inc emen os
empo ales de la mane a en que se io du an e el desa ollo del FSM.
En las igu as Figu a 45 a Figu a 50 se puede e con cla idad la p ime a ase del p oceso: la
es abilización apa en e. En es a ase, el lujo se compo a de mane a p ác icamen e idén ica a
los casos de lujo lamina de la sección 6.5.1. Sin emba go, cuando el alo del Reynolds es
supe io al alo c í ico, en luga de pe manece en un es ado es aciona io (que se ía simila a
Caso de aplicación: Vo ex Shedding
Joan Pau Vidal Beni ez 81
las igu as Figu a 47 y Figu a 48), el lujo se uel e ines able y empieza a oscila de o ma
pe iódica, c eando ó ices de mane a al e na. En las igu as Figu a 49 y Figu a 50 se empieza a
in ui es e mo imien o, empezando como la apa ición de un pequeño lujo de eci culación en
la pa e in e io del cilind o cuad ado.
Figu a 45. Re=100. 𝜓 , =300
Figu a 46. Re=100. u, =300
Figu a 47. Re=100. 𝜓 , =500
Figu a 48. Re=100. u, =500
Caso de aplicación: Vo ex Shedding
Joan Pau Vidal Beni ez 82
Figu a 49. Re=100. 𝜓 , =700
Figu a 50. Re=100. u, =700
Si bien en la Figu a 49 se puede empeza a ap ecia el inicio de la segunda ase, es en las
igu as Figu a 51 y Figu a 52 donde es a ase se mues a en su pleni ud: se a a de la ase de
ansición. La es ela del luido ya se ha o mado en longi ud, y empieza a apa ece el o ex
shedding en o ma de lige os mo imien os en el campo de elocidad ep esen ado po la
Figu a 52.Con espec o a las líneas de co ien e, se e con cla idad como uno de los ó ices
oma un amaño muy supe io y se impone al o o.
Figu a 51. Re=100. 𝜓 , =1000
Figu a 52. Re=100. u, =1000
A pa i de es e pun o es cuando se desa olla po comple o el o ex shedding. Las
oscilaciones en el luido alcanzan su máxima ampli ud y, po an o, las ue zas que apa ecen
sob e el cilind o cuad ado ambién alcanzan su máxima magni ud. Es p ecisamen e es e e ec o
el que con ie e al o ex shedding en un caso de in e és ecnológico, ya que causa g an
núme o de p oblemas en di e sos equipos. Las igu as Figu a 53 a Figu a 58 ilus an di e sas
pa es de es e p oceso. Las igu as Figu a 53 y Figu a 54 pe enecen a un momen o inicial de
es a e ce a ase, donde las oscilaciones son mayo es que en la ase de ansición pe o no
Caso de aplicación: Vo ex Shedding
Joan Pau Vidal Beni ez 83
llegan a su máxima ampli ud. Los pa es de igu as Figu a 55-Figu a 56 y Figu a 57-Figu a 58
co esponden a medio pe íodo, de mane a que ilus an pe ec amen e el compo amien o del
luido en es a úl ima ase.
Figu a 53. Re=100. ψ, =2225
Figu a 54. Re=100. u, =2225
Caso de aplicación: Vo ex Shedding
Joan Pau Vidal Beni ez 84
Figu a 55. Re=100. ψ, =5529
Figu a 56. Re=100. u, =5529

Caso de aplicación: Vo ex Shedding
Joan Pau Vidal Beni ez 85
Figu a 57. Re=100. ψ, =6250
Figu a 58. Re=100. u, =6250
Caso de aplicación: Vo ex Shedding
Joan Pau Vidal Beni ez 86
A pesa de que el código desa ollado dis a mucho del u ilizado po las publicaciones ci adas
en cuan o a p ecisión de los esul ados, esul a su icien e pa a ealiza una p ime a es imación
de las di e encias en e los dis in os casos simulados, pa a di e en es alo es del Reynolds y el
ángulo de a aque. Así, se han simulado dis in os casos, ob eniendo pa a cada uno la e olución
empo al de los coe icien es adimensionales de sus en ación y esis encia, al como se
mues a en la Figu a 59.
Pa a analiza co ec amen e los esul ados, es impo an e des aca los e o es que con iene el
g á ico de la Figu a 59 y que de i an de e o es en el código. Se ob iene un alo demasiado
al o del coe icien e de esis encia 𝐶𝑑 en los ins an es iniciales, que debe ía se
ap oximadamen e igual al mínimo de la cu a ep esen ada (al ededo de 𝐶𝑑=1.5) así como
un alo e óneo sob e el que oscila el coe icien e de sus en ación 𝐶𝑙, que debe ía se nulo
pa a un caso simé ico, al y como se ha comen ado en el apa ado 6.5.1. Ambos e o es son
debidos p incipalmen e al p oceso de cálculo del campo de p esiones. Como se comen ó en el
capí ulo 5 ése es el paso más impo an e del FSM. El código desa ollado en el p esen e
es udio se ha ealizado u ilizando un sol e y un esquema numé ico co ec os, pe o no lo
su icien e como pa a esol e es e caso con la exac i ud eque ida.
No obs an e, los da os con enidos en dicho g á ico son su icien es pa a comp oba el
enómeno de o ex shedding: se puede obse a con cla idad la oscilación pe iódica de ambos
coe icien es.
Figu a 59. E olución empo al de los coe icien es de sus en ación y esis encia pa a Re=100 y 𝛼=0
Caso de aplicación: Vo ex Shedding
Joan Pau Vidal Beni ez 87
Las oscilaciones de es os coe icien es y po an o el enómeno de o ex shedding pueden
cuan i ica se median e es pa áme os: 𝐶𝑙,𝑅𝑀𝑆 (media cuad á ica del coe icien e de
sus en ación) , 𝐶𝑑,𝑚𝑒𝑎𝑛 ( alo medio del coe icien e de esis encia) y 𝑆𝑡 (núme o de S ouhal).
Compa ando los esul ados ob enidos en simulaciones pa a di e en es núme os de Reynolds y
con ángulo de a aque nulo, se ha elabo ado la Tabla 8. En ella, se puede comp oba lo
comen ado an e io men e. Si bien es cie o que los núme os no son exac amen e los mismos,
se puede obse a cla amen e que se encuen an en el mismo ango de alo es y, po an o,
aunque no si an como esul ado exac o, sí que dan alidez al análisis cuali a i o. Las igu as
Figu a 60 y Figu a 61 si en como comp obación de es e hecho.
Es in e esan e en pa icula obse a la Figu a 62. En ella se puede e como a medida que
aumen a el núme o de Reynolds, el núme o de S ouhal c ece muy ápidamen e. Es o se
e leja ambién en los da os ob enidos con el código desa ollado, de mane a que se concluye
que, a mayo Reynolds (es o es, mayo elocidad del luido o meno iscosidad), más in ensa
se á la oscilación de las ue zas sob e el obje o y po an o, mayo es ib aciones su i á.
Re
𝐶𝑙,𝑅𝑀𝑆
𝐶𝑑,𝑚𝑒𝑎𝑛
𝑆𝑡
75
0.1163
1.7343
0.1408
100
0.1548
1.6764
0.1520
150
0.2175
1.6745
0.1669
200
0.2696
1.6634
0.1805
Tabla 8. Ca ac e ización del égimen según su núme o de Reynolds pa a 𝛼=0
Figu a 60. Coe icien e de esis encia medio en unción del Reynolds pa a 𝛼=0 [10]
Caso de aplicación: Vo ex Shedding
Joan Pau Vidal Beni ez 88
Figu a 61. Cl,RMS en unción del núme o de Reynolds pa a 𝛼=0 [10]
Figu a 62. Núme o de S ouhal según el núme o de Reynolds, pa a 𝛼=0 [8]
Median e la Tabla 9 se puede comp oba (pa a un núme o educido de casos) el e ec o del
ángulo de a aque en las a iables es udiadas pa a un Reynolds ijo 𝑅𝑒=100. Aumen a el
ángulo de a aque den o del ango es udiado, po o a pa e, iene inicialmen e el e ec o de
aumen a an o 𝐶𝑙,𝑅𝑀𝑆, como 𝐶𝑑,𝑚𝑒𝑎𝑛 y 𝑆𝑡, pe o inalmen e uel e a disminui los a alo es
pa ecidos a los de 𝛼=0°.
𝛼
𝐶𝑙,𝑅𝑀𝑆
𝐶𝑑,𝑚𝑒𝑎𝑛
𝑆𝑡
0
0.1548
1.6764
0.1520
5
0.1696
1.8958
0.1553
10
0.1512
1.6903
0.1519
Tabla 9. Ca ac e ización del égimen según el ángulo de a aque del cilind o pa a Re=100
Joan Pau Vidal Beni ez 95
de 83.33€. A ni el de so wa e an sólo se ha u ilizado la he amien a g a ui a de
p og amación en C++ De -C++ y el so wa e ma emá ico Ma lab, que puede se
encon ado bajo licencia educa i a en los o denado es de la uni e sidad y, po lo
an o, no ha supues o ningún cos e pa a el p esen e es udio.
Concep o
Cos e (€)
Recu sos humanos
5200
Recu sos in o má icos
83.33
To al
5283.33
Tabla 11. Resumen de cos es del p oyec o

Joan Pau Vidal Beni ez 96
Capí ulo 9
9. Conclusiones
El p esen e es udio p e endía cumpli un obje i o cuya base e a el ap endizaje: pa iendo de
los conocimien os básicos de la mecánica de luidos y un conocimien o apenas básico de
p og amación en C++, se p e endía p o undiza en la esolución numé ica de las ecuaciones de
Na ie -S okes, que gobie nan la enomenología de la mecánica de luidos.
Pa a cumpli es e obje i o, se ha adop ado una es a egia bien de inida: p ime o, en el
capí ulo 2 se han es ablecido las bases de la esolución po mé odos numé icos, pa a adqui i
sol u a con la e minología p opia del análisis numé ico. Una ez sen adas es as bases, en cada
capí ulo se han ido p esen ando y uniendo las dis in as ecuaciones que se p e endía es udia ,
empezando po la ecuación de conse ación de ene gía, p esen ando luego la ecuación de
con ección-di usión y, po úl imo, pa icula izando es a ecuación pa a el caso de conse ación
de can idad de mo imien o que, jun o con la ecuación de conse ación de masa, han
con o mado el p ime caso de lujo eal que se ha esuel o: el D i en Ca i y. Es e úl imo caso
ha sido e i icado median e los da os apo ados en [6] pa a asegu a que los mé odos
empleados son álidos pa a casos simila es.
Llegado a es e pun o, el es udio ya cub ía las bases necesa ias pa a el desa ollo de códigos de
p og amación capaces de esol e casos benchma k sencillos, como demues an los Anexos
A1-A5. El obje i o se ía aho a la esolución de un caso p ác ico, con un cie o in e és ísico y
ecnológico más que pu amen e académico, y con es e in se escogió el caso “Flujo sob e un
cilind o cuad ado con ángulo de a aque”, ya que es un caso de comp ensión sencilla y con una
enomenología que puede se ácilmen e analizada con los conocimien os p e iamen e
poseídos sob e la ma e ia, además de posee la su icien e simili ud con el D i en Ca i y como
pa a que el algo i mo de esolución sea muy pa ecido en ambos casos.
Es e úl imo caso ha sido esuel o y analizado, exponiendo los pun os donde el código
desa ollado no p opo ciona esul ados 100% co ec os pe o demos ando que los esul ados
p opo cionados son igualmen e álidos, cons i uyendo un análisis cuali a i o adecuado pa a el
caso p esen ado.
En is a de lo que se ecoge en la memo ia del es udio y de los códigos expues os en los
Anexos A1-A5, se puede conclui que se ha cumplido el alcance p opues o pa a es e es udio,
dejando como ecomendación su ampliación según lo expues o en el capí ulo 7, pa a el
es udio del égimen u bulen o, ob eniendo así los conocimien os y la p ác ica necesa ios pa a
la esolución de casos gene ales, siendo la única limi ación p esen a la que in oduce el p opio
sis ema in o má ico u ilizado.
Joan Pau Vidal Beni ez 97
Bibliog a ía
[1] Pa anka , Suhas V. Nume ical Hea T ans e and Fluid Flow. s.l. : McG aw-Hill, 1980.
[2] CTTC. A Two-dimensional T ansien Conduc ion P oblem.
[3] CTTC. Valida ion o he con ec ion-di ussion equa ion.
[4] Cho in, A. J. Nume ical Solu ion o he Na ie -S okes Equa ions. 22, 1968, Jou nal o
Compu a ional Physics, pp. 745-762.
[5] Temam, R. Su l’app oxima ion de la solu ion des equa ions de Na ie -S okes pa la
mé hode des pas ac ionnai es (II). 1969, A chi e o Ra ional Mechanics and Analysis, Vol. 33,
pp. 337-385.
[6] U. Ghia, K. N. Ghia y C. T. Shin. High-Re Solu ions o Incomp essible Flow Using he Na ie -
S okes Equa ions and a Mul ig id Me hod. 48, Cincinna i : s.n., Janua y 15, 1982, Jou nal o
Compu a ional Physics, pp. 387-411.
[7] F. X. T ias, M. So ia, A. Oli a y C. D. Pé ez-Sega a. Di ec nume ical simula ions o wo-
and h ee-dimensional u bulen na u al con ec ion lows in a di e en ially hea ed ca i y o
aspec a io 4. Te assa : CTTC, 2007.
[8] Sohanka , A., No be g, C. and Da idson, L. A Nume ical S udy o Uns eady Two-
Dimensional Flow A ound Rec angula Cylinde s a Incidence. 1996.
[9] Sohanka , A and Da idson, L. Nume ical Simula ion o Uns eady Flow A ound a Squa e
Two-Dimensional Cylinde . 1995.
[10] D. H. Yoon, K. S. Yang y C. B. Choi. Flow pas a squa e cylinde wi h an angle o incidence.
s.l. : Depa men o Mechanical Enginee ing, Inha Uni e si y, 2010.
Además de los documen os explíci amen e e e enciados se conside an ambién como uen es
de in o mación undamen ales pa a la ealización de es e p oyec o los cu sos ealizados bajo el
ámbi o de la p opia i ulación de G ado en Ingenie ía de Vehículos Ae oespaciales que el au o
ha ealizado, jun o con su co espondien e documen ación.
Joan Pau Vidal Beni ez 98