Slide 1
Cons u¸c˜ao de Modelos
de P og ama¸c˜ao Linea e In ei a
T anspa ˆencias de apoio `a lecciona¸c˜ao de aulas e´o icas
Ve s˜ao 2
c
°2000, 1998
Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP
Cons u¸c˜ao de Modelos de P og ama¸c˜ao Linea e In ei a 1
Slide 2
Modeliza¸c˜ao
Os 10 p inc´ıpios
•N˜ao c ia um modelo complicado quando um simples ´e su icien e.
•N˜ao molda o p oblema `a ´ecnica de esolu¸c˜ao que se p e ende u iliza .
•Resol e igo osamen e o modelo encon ado. S´o assim se sabe ´a se hipo ´e icas
inconsis ˆencias das solu¸c˜oes do modelo com a ealidade ˆem o igem no p ´op io
modelo ou n˜ao.
•Valida os modelos an es de os implemen a .
•O modelo n˜ao de e se omado li e almen e pois nunca ´e a ealidade.
•O modelo n˜ao de e se o ¸cado a aze , ou se c i icado po n˜ao aze , aquilo pa a
que n˜ao oi c iado.
•N˜ao sob es ima os modelos.
•Uma das p incipais an agens da modeliza¸c˜ao ´e o p ocesso de desen ol imen o do
modelo.
•Um modelo n˜ao pode se melho do que a in o ma¸c˜ao usada na sua cons u¸c˜ao.
•Os modelos nunca subs i uem os agen es de decis˜ao.
Slide 3
Fo mula¸c˜ao de modelos ma em´a icos em In es iga¸c˜ao
Ope acional
Algo i mo pa a cons ui um modelo ma em´a ico pa a um p oblema de
In es iga¸c˜ao Ope acional:
Passo I — De e mina , no p oblema conc e o, aquilo que ´e ixo e n˜ao pode
se al e ado e aquilo que se pode decidi ( a i´a eis de decis˜ao).
Rep esen a essas a i´a eis de uma o ma alg´eb ica.
Passo II — Iden i ica as es i¸c˜oes do p oblema, is o ´e, aquilo que limi a
as nossas decis˜oes, e ep esen ´a-las como igualdades ou desigualdades
que sejam un¸c˜oes das a i´a eis de decis˜ao.
Passo III — Iden i ica o(s) objec i o(s) do p oblema e ep esen ´a-lo(s)
como uma un¸c˜ao das a i´a eis de decis˜ao, que de e se minimizada ou
maximizada.
No a: S´o exis e p oblema quando h´a mais do que uma solu¸c˜ao admiss´ı el.
Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP
Cons u¸c˜ao de Modelos de P og ama¸c˜ao Linea e In ei a 2
Slide 4
P oblema de Mis u a de P odu os
A companhia Elec o & Dom´es icos p e ende escalona a p odu¸c˜ao de um
no o ape echo de cozinha que eque dois ecu sos: m˜ao-de-ob a e
ma ´e ia-p ima. A companhia conside a a hip´o ese de 3 modelos di e en es,
endo o seu depa amen o de engenha ia o necido os seguin es dados:
Modelo A B C
M˜ao-de-ob a (ho as po unidade) 7 3 6
Ma ´e ia-p ima (quilos po unidade) 4 4 5
Luc o ($ po unidade) 4 2 3
O o necimen o de ma ´e ia-p ima es ´a limi ado a 200 quilos/dia. Po dia
es ˜ao dispon´ı eis 150 ho as de abalho. O objec i o ´e maximiza o luc o
o al. Fo mule o modelo que pe mi i ia esol e es e p oblema.
Slide 5
P oblema de Mis u a de P odu os
Resolu¸c˜ao
Passo I — O que se desconhece, e que se p e ende de e mina na ase de
esolu¸c˜ao do modelo, s˜ao as quan idades a p oduzi dia iamen e de cada
um dos modelos — as a i´a eis de decis˜ao.
Rep esen ando-as algeb icamen e:
xA−p odu¸c˜ao di´a ia do modelo A (node unidades)
xB−p odu¸c˜ao di´a ia do modelo B (node unidades)
xC−p odu¸c˜ao di´a ia do modelo A (node unidades)
Passo II — Res i¸c˜oes do p oblema.
N˜ao podemos p oduzi quan idades in ini as de A, B e C (o que da ia
um luc o in ini o) po que es amos limi ados pela ma ´e ia-p ima (200) e
m˜ao-de-ob a (150) dispon´ı eis, alo es que n˜ao podemos excede .
En ˜ao, a m˜ao-de-ob a necess´a ia pa a p oduzi uma unidade do modelo
A (7 ho as), ezes o n´ume o de unidades do modelo A a p oduzi (xA),
Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP
Cons u¸c˜ao de Modelos de P og ama¸c˜ao Linea e In ei a 3
Slide 6
mais a m˜ao-de-ob a necess´a ia pa a p oduzi uma unidade do modelo B
(3 ho as), ezes o n´ume o de unidades do modelo B que se esol a
p oduzi (xB), mais a m˜ao-de-ob a necess´a ia pa a p oduzi uma
unidade do modelo C (6 ho as), ezes o n´ume o de unidades do modelo
C que se enha a p oduzi (xC), n˜ao pode ˜ao excede as 150 ho as, is o
´e:
7xA+ 3xB+ 6xC≤150
Aplicando o mesmo acioc´ınio `a ma ´e ia-p ima, ob e -se-ia:
4xA+ 4xB+ 5xC≤200
As es i¸c˜oes que al am ao p oblema dizem di ec amen e espei o `as
a i´a eis de decis˜ao, e s˜ao:
xA≥0, xB≥0, xc≥0
ou seja, n˜ao se podem p oduzi quan idades nega i as.
Passo III — O objec i o do p oblema ´e maximiza o luc o o al, is o ´e, o
luc o ob ido com os 3 modelos. Como cada unidade do modelo A d´a um
Slide 7
luc o de 4, do modelo B d´a 2 e do modelo C d´a 3, a un¸c˜ao objec i o
se ´a:
max LUCRO = 4xA+ 2xB+ 3xC
O modelo do nosso p oblema se ´a en ˜ao:
Encon a os n´ume os xA,xBexC ais que:
max LUCRO = 4xA+ 2xB+ 3xC
sujei o a:
7xA+ 3xB+ 6xC≤150
4xA+ 4xB+ 5xC≤200
xA, xB, xC≥0
Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP
Cons u¸c˜ao de Modelos de P og ama¸c˜ao Linea e In ei a 4
Slide 8
P oblema da e ina ia de pe ´oleo
Uma e ina ia de pe ´oleo pode mis u a 3 ipos de c ude pa a p oduzi
gasolina no mal e supe . Exis em dispon´ı eis duas unidades de mis u a.
Pa a cada ciclo de p odu¸c˜ao a unidade mais an iga usa 5 ba is de c ude A,
7 ba is de c ude B e 2 ba is de c ude C pa a p oduzi 9 anques de
gasolina no mal e 7 de gasolina supe . A unidade de mis u a mais ecen e
usa 3 ba is de c ude A, 9 de B e 4 de C pa a p oduzi , num ciclo de
p odu¸c˜ao, 5 anques de gasolina no mal e 9 de supe .
De ido a con a os j´a assinados, a e ina ia em que p oduzi , pelo menos,
500 anques de no mal e 300 anques de supe . Exis em dispon´ı eis 1500
ba is de c ude A, 1900 de c ude B e 1000 de c ude C. Po cada anque de
gasolina no mal p oduzida a e ina ia ganha 6 unidades mone ´a ias e, po
anque de supe , 9 unidades mone ´a ias.
O p oblema ´e sabe como u iliza as ese as de c ude e as duas unidades de
mis u a, de o ma a, espei ando os comp omissos assumidos, maximiza o
luc o da e ina ia.
Slide 9
P oblema da e ina ia de pe ´oleo
Resolu¸c˜ao
Va i´a eis de decis˜ao
x1−node ciclos de p odu¸c˜ao a ealiza na unidade an iga
x2−node ciclos de p odu¸c˜ao a ealiza na unidade no a
Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP

Cons u¸c˜ao de Modelos de P og ama¸c˜ao Linea e In ei a 5
Slide 10
Res i¸c˜oes
C ude dispon´ı el:
Tipo A: 5x1
|{z}
gas o na
unidade
an iga
+ 3x2
|{z}
gas o na
unidade
no a
≤1500
Tipo B: 7x1+ 9x2≤1900
Tipo C: 2x1+ 4x2≤1000
Con a os assinados:
Gasolina no mal: 9x1
|{z}
p oduzido
na unidade
an iga
+ 5x2
|{z}
p oduzido
na unidade
no a
≥500
Gasolina supe : 7x1+ 9x2≥300
Slide 11
E ainda:
x1, x2≥0
Fun¸c˜ao objec i o
max LUCRO =
gasolina no mal
z}| {
6×( 9
|{z}
node
anques
po ciclo
x1
|{z}
node
ciclos
| {z }
unidade an iga
+ 5x2
|{z}
unidade no a
) +
gasolina supe
z }| {
9×(7x1+ 9x2)
Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP
Cons u¸c˜ao de Modelos de P og ama¸c˜ao Linea e In ei a 6
Slide 12
A endamen o de espa¸co num a maz´em
Uma emp esa planeia a enda espa¸co num a maz´em, sendo as suas
necessidades pa a os p ´oximos 5 meses as seguin es:
Mˆes Necessidade de
espa¸co (m2)
1 1500
2 1000
3 2000
4 500
5 2500
Pe ´ıodo de a endamen o Cus o po m2
(meses) ($)
1 2800
2 4500
3 6000
4 7300
5 8400
Cons ua um modelo que pe mi a de e mina o esquema de con a os a
assina , po o ma a sa is aze as necessidades de espa¸co o mais
economicamen e poss´ı el.
Slide 13
A endamen o de espa¸co num a maz´em
Resolu¸c˜ao
Va i´a eis de decis˜ao
xij −espa¸co a a enda no in´ıcio do mˆes ipo um pe ´ıodo de jmeses
Res i¸c˜oes
Que em cada mˆes es eja a endado pelo menos o espa¸co necess´a io:
(mˆes 1) P5
j=1 x1j≥1500
(mˆes 2) P5
j=2 x1j+P4
j=1 x2j≥1000
(mˆes 3) P5
j=3 x1j+P4
j=2 x2j+P3
j=1 x3j≥2000
(mˆes 4) P5
j=4 x1j+P4
j=3 x2j+P3
j=2 x3j+P2
j=1 x4j≥500
(mˆes 5) x15 +x24 +x33 +x42 +x51 ≥2500
xij ≥0
1≤i≤5,1≤j≤6−i
Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP
Cons u¸c˜ao de Modelos de P og ama¸c˜ao Linea e In ei a 7
Slide 14
Fun¸c˜ao objec i o
min CUSTO =
cus o de a enda
1 m2po 1 mˆes
z}|{
2800
espa¸co a endado
po 1 mˆes
(no in´ıcio do mˆes
1, 2, 3, 4 ou 5)
z }| {
5
X
i=1
xi1+ 4500
4
X
i=1
xi2+ 6000
3
X
i=1
xi3
+ 7300
2
X
i=1
xi4+ 8400 x15
Slide 15
A endamen o de espa¸co num a maz´em
Resolu¸c˜ao mais compac a
Dados
Cj−cus o de a enda 1m2po um pe ´ıodo de jmeses
Ni−necessidade de espa¸co no mˆes i
Va i´a eis de decis˜ao
xij −espa¸co a a enda no in´ıcio do mˆes ipo um pe ´ıodo de jmeses
Res i¸c˜oes
Que em cada mˆes es eja a endado pelo menos o espa¸co necess´a io:
∀iP6−i
j=1 xij +Pi−1
k=1 P6−k
j=i+1−kxkj ≥Ni
Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP
Cons u¸c˜ao de Modelos de P og ama¸c˜ao Linea e In ei a 8
Slide 16
Fun¸c˜ao objec i o
5
X
j=1
Cj×
6−j
X
i=1
xij
Slide 17
F´ab ica de papel
O papel ´e no malmen e ab icado em olos g andes (em la gu a e em
diˆame o), que depois s˜ao di idos em olos mais pequenos, que po sua ez
pode ˜ao se di ec amen e pa a clien es ou pa a co a em o ma os.
Vejamos o seguin e exemplo. O papel ´e p oduzido em olos com 6 me os de
la gu a. A pa i des e olos ´e necess´a io p oduzi 30 olos mais pequenos
com 280cm, 60 olos com 200cm e 48 olos com 150cm. Assim sendo, um
olo de 6 me os pode se di idido, po exemplo, em 2 olos de 280,
sob ando um “ olinho” de 40cm que ´e conside ado despe d´ıcio. Assumindo
que exis em olos g andes em quan idade su icien e pa a sa is aze es a
encomenda, o p oblema consis e em de e mina a o ma de co a os olos
g andes de o ma a minimiza o despe d´ıcio.
Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP
Cons u¸c˜ao de Modelos de P og ama¸c˜ao Linea e In ei a 15
Slide 30
q−
3
X
i=1
A i −(1 −δ)A≤0 (2)
δ∈ {0,1}(3)
Pa a e i ica mos que as inequa¸c˜oes (1–3) modelizam a implica¸c˜ao de
condi¸c˜oes de emos elemb a que pa a que uma implica¸c˜ao a⇒bseja
e dadei a ´e p eciso que se a o e dadei a en ˜ao b amb´em o seja e que se b
o alsa en ˜ao a amb´em o seja.
De ac o, se P3
i=1 Aei > p en ˜ao pa a que a es i¸c˜ao (1) se e i ique ´e
o ¸coso que δ= 1. O a δ= 1 ans o ma (2) em P3
i=1 A i ≥q, como se
p e endia.
Se, po ou o lado, P3
i=1 A i < q en ˜ao, pa a que (2) se e i ique ´e o ¸coso
que δ= 0. Com δ= 0 a es i¸c˜ao (1) ica P3
i=1 Aei ≤p, como se que ia
demons a .
No a:
´
E poss´ı el ainda modeliza ou as ope a¸c˜oes l´ogicas en e condi¸c˜oes.
Ap esen am-se de seguida 3 casos dis in os:
Slide 31
1. Disjun¸c˜ao (apenas uma de duas es i¸c˜oes es ´a ac i a)
(xi)≤0∨g(xi)≤0
Seja Mum n´ume o “mui o g ande” e δuma a i´a el bin´a ia:



(xi)≤δM
g(xi)≤(1 −δ)M
2. K, de en e N es i¸c˜oes, s˜ao e i icadas
1(xi)≤d1
2(xi)≤d2
.
.
.
N(xi)≤dN














































1(xi)≤d1+δ1M
2(xi)≤d2+δ2M
.
.
.
N(xi)≤dN+δNM
PN
i=1 δi=N−K
δi∈ {0,1}
M=∞
Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP

Cons u¸c˜ao de Modelos de P og ama¸c˜ao Linea e In ei a 16
Slide 32
3. Fun¸c˜oes com apenas N alo es poss´ı eis
(xi) = d1ou d2ou ... ou dN( (xi)∈ {d1, d2,...,dN})







(xi) = PN
i=1 δidi
PN
i=1 δi= 1
δi∈ {0,1}
Slide 33
Ae opo o Ale op - Manu en¸c˜ao
O ae opo o de Ale op ´e a base dos a i˜oes da companhia a´e ea PAT. T a a-se de um
ae opo o mode no, e de uma emp esa de a ia¸c˜ao em expans˜ao, que p e ende man e a
sua compe i i idade num sec o de ac i idade o emen e conco encial. O aumen o de
compe i i idade passa, nomeadamen e, pela ealiza¸c˜ao de dois objec i os, a melho ia da
qualidade de se i¸co e a edu¸c˜ao dos cus os de ope a¸c˜ao. Po ou o lado, a segu an¸ca de
uma companhia a´e ea ´e um aspec o de p imo dial impo ˆancia, es ando in imamen e
ligado `a manu en¸c˜ao. Pa a man e um a i˜ao em boas condi¸c˜oes ´ecnicas, p ocede-se `a
manu en¸c˜ao p e en i a aos apa elhos da PAT, a a ´es de pequenas inspec¸c˜oes en e
a e agem e pos e io descolagem. A di ec¸c˜ao da emp esa es ´a amb´em a conside a a
hip´o ese de o e ece es es se i¸cos de manu en¸c˜ao a ou as companhias de a ia¸c˜ao, mesmo
que pa a al enha que aumen a `as equipas de manu en¸c˜ao. O elemen o c ucial nes as
equipas ´e o che e de manu en¸c˜ao, ´ecnico al amen e quali icado, que necessi a de aze
o ma¸c˜ao espec´ı ica pa a cada ipo de a i˜ao e ob e assim uma licen¸ca imp escind´ı el pa a
o desempenho dessas un¸c˜oes. A cada licen¸ca co esponde uma ca ego ia de a i˜oes,
exis indo 4 licen¸cas di e en es:
Tipos de licen¸cas A i˜oes
1 Boeing 717 (100 luga es)
2 Boeing 777 (300 a 500 luga es)
3 Ai bus A319 (124 luga es)
4 Ai bus A340 (350 luga es)
Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP
Cons u¸c˜ao de Modelos de P og ama¸c˜ao Linea e In ei a 17
Slide 34
Cada ´ecnico pode e no m´aximo 2 licen¸cas. A p imei a licen¸ca demo a ´a ios anos a
ob e , sendo po an o mais ca a pa a a emp esa, enquan o a segunda licen¸ca demo a
menos anos a ob e , icando na u almen e mais ba a a. O cus o da segunda licen¸ca
depende ainda da licen¸ca an e io que o ´ecnico possui. Ac ualmen e exis em 9 equipas de
manu en¸c˜ao, cada uma che iada po um ´ecnico licenciado, que uncionam em 3 u nos.
Cus o (M$)
Licen¸ca Licen¸ca a i a
an e io
1 2 3 4
0 2 4 2 4
1 - 1 2 3
2 1 - 2 3
3 1 3 - 2
4 1 2 1 -
Tu no Che e de equipa Tipo de licen¸ca
1 1, 2
1 2 1
3 2
4 3, 4
2 5 2
6 3
7 4
3 8 3, 4
9 3
Pa a pode o e ece se i¸cos a ou as companhias de a ia¸c˜ao, a emp esa p e ende que
exis am 4 licen¸cas de cada ipo, no conjun o dos che es de manu en¸c˜ao. Is o pode se
conseguido en iando pa a o ma¸c˜ao ac uais che es de equipa (po an o ´ecnicos que j´a
possuem 1 licen¸ca) ou ou os ´ecnicos que ainda n˜ao possuem nenhuma licen¸ca. No
en an o, de cada u no s´o pode ´a sai , no m´aximo, 1 che e de equipa pa a o ma¸c˜ao.
Esc e a um modelo de p og ama¸c˜ao ma em´a ica que pe mi a de e mina a pol´ı ica de
ob en¸c˜ao de licen¸cas que minimiza os cus os pa a a Ale op.
Slide 35
Ae opo o Ale op - Manu en¸c˜ao
Resolu¸c˜ao
Va i´a eis de decis˜ao
xij =


1 se ´ecnico i i a licen¸ca j
0 se n˜ao
A emp esa p e ende que exis am 4 licen¸cas de cada ipo, num o al de 16
licen¸cas. Como, no conjun o dos che es de manu en¸c˜ao exis en es, j´a exis em
12 licen¸cas, s˜ao necess´a ias mais 4 licen¸cas, que no limi e pode ˜ao se odas
ob idas po ´ecnicos no os. Nesse caso o n´ume o m´aximo de ´ecnicos, ´ındice
ina o mula¸c˜ao, se ´a igual a 13, 9 j´a exis en es e 4 no os.
Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP
Cons u¸c˜ao de Modelos de P og ama¸c˜ao Linea e In ei a 18
Slide 36
Res i¸c˜oes
A emp esa p e ende que exis am 4 licen¸cas de cada ipo, no conjun o dos
che es de manu en¸c˜ao:
P13
i=1 xi1= 2
P13
i=1 xi2= 1
P13
i=1 xi3= 0
P13
i=1 xi4= 1
Um ´ecnico pode e no m´aximo 2 licen¸cas e os ´ecnicos no os s´o pode ˜ao
ob e nes a ase uma licen¸ca:
(es a es i¸c˜ao n˜ao em e e ida explici amen e no enunciado, no en an o pode-se in e i
que n˜ao ha e ´a disponibilidade de empo pa a que um ´ecnico no o ob enha duas licen¸cas)
P4
j=1 xij ≤1∀i∈{2,3,5,6,7,9,10,11,12,13}
P4
j=1 xij = 0 ∀i∈{1,4,8}
Slide 37
De cada u no s´o pode ´a sai , no m´aximo, 1 che e de equipa pa a o ma¸c˜ao:
P4
j=1 P3
i=1 xij ≤1
P4
j=1 P6
i=4 xij ≤1
P4
j=1 P9
i=7 xij ≤1
Cada ´ecnico s´o pode ob e 1 ez a mesma licen¸ca:
x21 =x32 =x52 = 0
x63 =x74 =x93 = 0
Fun¸c˜ao objec i o
ckj = cus o de i a licen¸ca jdado que j´a se em licen¸ca k
min
4
X
j=1



13
X
i=10
c0jxij +X
i∈{6,9}
c3jxij +X
i∈{3,5}
c2jxij +c1jx2j+c4jx7j


Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP
Cons u¸c˜ao de Modelos de P og ama¸c˜ao Linea e In ei a 19
Slide 38
Bibliog a ia
•Hillie , F ade ick S. e Liebe man, Ge ald (1995). In oduc ion o
Ope a ions Resea ch, Mc G aw-Hill.
•Oli ei a, Jos´e Fe nando (1996). Apon amen os de In es iga¸c˜ao
Ope acional 1. FEUP.
Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP