N LA OBRA Ma hema ical Rec ea ions and Essays, W.W.
Rouse Ball esc ibía:
La o mación de diseños median e sie e piezas de made a...
conocidas po ans... es uno de los pasa iempos más an iguos del
O ien e. Son cen ena es las igu as que es posible cons ui , que
emedan homb es, muje es, pája os, bes ias, peces, casas, ba -
cos, obje os domés icos, dibujos, e c. Pe o es e ipo de a eas,
aunque ec ea i as, no ienen ca ác e ma emá ico, po lo que a
mi pesa , me con en a é con menciona las de pasada.
En con adicción con la opinión que Ball mani es aba en
la an e io ci a, se p esen an en es e abajo una se ie de
ac i idades de ca ác e ma emá ico cuyo sopo e ma e ial
es p ecisamen e el conjun o de esas sie e piezas de made-
a conocidas po ans.
Los ang ams o man pa e del g upo de juegos de disec-
ción, de cuyo es udio se ocupa una de las amas más an i-
guas de la ma emá ica ec ea i a y el que u ilizamos en
es a expe iencia es quizás el más conocido de odos: el
ang am chino. Los ans se ob ienen di idiendo un cua-
d ado en sie e piezas ( igu a 1): dos iángulos g andes,
dos pequeños, uno mediano, un cuad ado y un omboide.
Es e a ículo iene como
obje i o p esen a una
expe iencia sob e Didác ica
de la Geome ía lle ada a
cabo en la Facul ad de
Ciencias de la Educación de
San iago de Compos ela con
alumnos de la especialidad
de maes o en Educación
P ima ia.
En ella se u ilizó un juego de
disección (el ang am chino)
como base pa a la
ealización de una se ie de
ac i idades que ienen un
obje i o múl iple: conciencia
a los alumnos sob e las
en ajas del uso de un
ma e ial manipula i o pa a el
es udio de p opiedades
geomé icas; desa olla
di e sas o mas de
azonamien o ma emá ico;
analiza la alidez de la
comp obación en e a la
demos ación en di e sas
si uaciones; con on a las
concepciones p e ias de los
alumnos con los esul ados
de las expe imen aciones.
13
Geome ía pa a u u os
p o eso es de p ima ia:
expe iencias
con el ang am chino
Ma ía Te esa Fe nández Blanco
ARTÍCULOS
E
42
eb e o 2003, pp. 13-22
Figu a 1
Es a disección no se hace de mane a a bi a ia: como se
ap ecia en la igu a, las líneas son azadas de o ma que
los ans gua dan en e sí una se ie de elaciones geomé-
icas que desc ibimos a con inuación:
• odos los é ices ienen ángulos múl iplos de 45°;
• odas las piezas con ienen al iángulo pequeño un
núme o en e o de eces;
•si omamos como unidad de longi ud un ca e o del
iángulo pequeño, los lados de los di e sos ans
se án 1, 2, √2
—, 2√2
—.
Es e juego nació como pasa iempo y su p incipal obje i o
e a la o mación de diseños, conocidos con el nomb e de
ang amas, la única es icción que enía e a que odos los
ang amas se cons uían u ilizando odas las piezas ( igu a
2). Es a pa icula disección a a condiciona la cons uc-
ción de los ang amas, de mane a que pa a algunas igu-
as end emos a ias posibilidades, mien as que o as en-
d án una única solución e inluso nos encon a emos con
igu as imposibles de ealiza u ilizando únicamen e los
sie e ans (pese a que exis en lib o publicados que con ie-
nen más de mil igu as dis in as). A pesa de la sencillez
del juego, la cons ucción de ang amas equie e un al o
g ado de in uición geomé ica y de c ea i idad.
Ob iamen e, de las cua o ca ego ías
an e io es la más in e esan e desde el
pun o de is a de la didác ica de las
ma emá icas es la e ce a, aunque el a-
bajo con es e ma e ial no debe ía
exclui las o as, ya que la manipulación
de las piezas con ines lúdicos puede
se i pa a que los alumnos se amilia i-
cen con sus o mas, sus medidas y o as
ca ac e ís icas p opias de cada an.
P oblemas del ipo de «¿cuán os polígo-
nos con exos di e en es podemos o -
ma con los sie e ans?» pe enece ían a
dicha ca ego ía. El uso que da emos en
es a ocasión al ang am no es á con eni-
do o malmen e en ninguna de las ca e-
go ías an e io es, si bien en algún
momen o se plan ea án p oblemas con
posibilidades combina o ias como el
desc i o más a iba.
Noso os u iliza emos el ang am como
ecu so y ma e ial didác ico pa a la in o-
ducción y o mación de concep os geo-
mé icos, con el in de que a lo en las
concepciones p e ias que ienen los
alumnos sob e dis in os concep os ma e-
má icos, pa a e o za conocimien os y
conduc as co ec as y, a su ez, e i a obs-
áculos que condiciona ían y, en algún
caso, impedi ían un ap endizaje pos e io ,
pa a desa olla habilidades y p ocesos,
e c. Los concep os y habilidades geomé-
icas se án el núcleo del obje i o que se
quie e pe segui , pe o sin ol ida nos de la
Medida e incluso de los Núme os que
apa ece án de una mane a na u al, ayu-
dando de es e modo a elaciona dis in os
bloques de la ma emá ica que habi ual-
men e se man ienen di e enciados.
Con iene acla a que el plan eamien o,
desa ollo y obje i o del abajo ealiza-
do con es e ma e ial se ía dis in o si se
a a a de alumnos de p ima ia o in an-
il. La egla básica del ang am consis e
en u iliza siemp e los sie e elemen os,
sin emba go, con niños pequeños se
puede simpli ica su uso u ilizando sola-
men e algunas de las piezas. En los p i-
me os ciclos educa i os in e esa esal a ,
sob e odo, el econocimien o de o -
mas geomé icas, ealiza gi os y despla-
zamien os de igu as y desa olla la c ea-
i idad (Cascallana, 1988). Po o a pa e,
…u iliza emos
el ang am
como ecu so
y ma e ial
didác ico pa a
la in oducción
y o mación
de concep os
geomé icos,
con el in de que
a lo en
las concepciones
p e ias
que ienen
los alumnos
sob e dis in os
concep os
ma emá icos,
pa a e o za
conocimien os
y conduc as
co ec as
y a su ez e i a
obs áculos que
condiciona ían
y en algún caso
impedi ían
un ap endizaje
pos e io ,
pa a desa olla
habilidades
y p ocesos…
14
Figu a 2
Los juegos con ang ams pueden ag upa se en las
siguien es ca ego ías (Ga dne , 1988):
1. Búsqueda de una o a ias mane as de cons ui un
ang ama dado o, en su de ec o, de una demos a-
ción elegan e de la imposibilidad de su cons ucción.
2. Encon a la mane a de ep esen a , de la o ma más
a ís ica o humo ís ica, o de ambas, silue as de ani-
males, igu as humanas u o os obje os econocibles.
3. Resolución de p oblemas de geome ía combina o ia
que son plan eados omando como base los sie e
ans y sus elaciones.
4. Diseño de juegos compe i i os que equie an uno o
más conjun os de ans.
los alumnos de es a expe iencia educa-
i a son u u os p o eso es de p ima ia
y, como consecuencia de su paso po
los dis in os ni eles educa i os, ienen
adqui idas concepciones p e ias (algu-
nas e óneas) que se án di íciles de
modi ica , amplia o incluso abandona ;
pe o cuyo análisis y, en algún caso, con-
as e con los esul ados ob enidos se -
i á pa a en iquece y amplia los obje-
i os p e ios de las ac i idades p o-
pues as.
Me odología
La me odología seguida en el desa ollo
de es a expe iencia es á basada en la
«es uc u a de labo a o io», es deci ,
en ocada como una ac i idad in es iga-
do a sob e la cons ucción de concep-
os, esolución de p oblemas, écnicas
de colabo ación, e c. poniendo én asis
en la o mación de concep os y en la
o ma de adqui i los. Bajo es a si uación,
el alumno cons uye sus p opios conoci-
mien os y el p o eso se con ie e en
«p omo o » de la in es igación, p esen-
ando, o ganizando y guiando el abajo
(Alsina, Bu gués y Fo uny, 1987).
La clase se o ganiza en g upos educi-
dos (cua o alumnos como máximo en
cada uno) con lo que se busca que los
alumnos expongan sus ideas den o del
mismo e in e accionen con sus compa-
ñe os. El deba e y el con as e de esul-
ados con los demás g upos y con el
p o eso en iquece á la si uación y ayu-
da á a consolida y es ablece conclu-
siones.
Apelando al dicho «la geome ía se hace
con las manos», p ime amen e dejamos
que manipulen los sie e ans y que
in en en o ma un cuad ado con odas
las piezas como oma de con ac o con el
ma e ial. Pos e io men e, se inicia á la
expe iencia p opiamen e dicha en la
que plan ea emos a los alumnos a ias
ac i idades, alguna de las cuales se p e-
sen a más adelan e con de alle, en la
que se p e ende a a mul i ud de con-
enidos ma emá icos en e los que des-
acamos los siguien es:
•T iángulos. Clasi icación.
•Cuad ilá e os. Clasi icación.
•T iángulos semejan es.
•T iángulos cong uen es.
•Al u a de un iángulo.
•Teo ema de Pi ágo as.
•Concep o de polígono.
•Elemen os de un polígono.
•Clasi icación de polígonos.
•No ación.
•Ángulos.
•Pe íme o.
•Supe icie. Unidad de á ea.
•Núme os i acionales.
•Razonamien o po inducción.
•Ejes de sime ía de una igu a.
Desc ipción de las ac i idades
P esen a emos de o ma más de allada en es e documen o
seis de las ac i idades que componen es a expe iencia, en
las cuales se sigue la o mulación p opues a po Ángel
Ál a ez (1996) y que se i án como ejemplos de lo expues-
o en la in oducción. De es a o ma, en algunas de ellas se
in oducen y amplían concep os, en o as se desa ollan
habilidades y des ezas, y en las es an es se p ocu a com-
bina ambos elemen os. Una ca ac e ís ica que se puede
obse a en algunas de ellas es que no son plan eadas
como cue pos ce ados y disjun os sino que son e omadas
y eplan eadas con pos e io idad (a pa i de nue os con-
cep os a ados o nue os esul ados ob enidos), lo que
obliga a eces a amplia los esul ados o las conclusiones
ob enidas con an e io idad, es deci , el desa ollo de la ac i-
idad no es lineal, con una ac i idad as o a, sino que
pod ía de ini se como un eco ido en espi al (se uel en
a a a ac i idades an e io es desde o o pun o de is a y
se analiza la in luencia de los nue os esul ados o concep-
os sob e conclusiones ob enidas en ellas). Es e es el caso
de la clasi icación de las piezas del ang am que, a pesa
de se la p ime a de las ac i idades p opues as, a lo la go
del desa ollo de las demás se i á en iqueciendo y amplian-
do po la apa ición de nue os c i e ios de clasi icación.
En cada una de las ac i idades se dis ingui án los obje i-
os que se p e enden consegui , las dudas y p oblemas
conc e os que su gen en su desa ollo y que p o ocan a
menudo que la abla de con enidos plan eada a p io i se
amplíe ( ea i mando es e hecho la in luencia del alumno
sob e su ap endizaje) y, po úl imo, un b e e esumen del
desa ollo de la ac i idad.
La me odología
seguida
en el desa ollo de
es a expe iencia
es á basada
en la «es uc u a
de labo a o io»…
15
Ac i idad 1
¿Qué o ma ienen las piezas del ang am? Clasi ícalas
según dis in os c i e ios.
En geome ía una de las a eas p opues as con más asi-
duidad a los alumnos es la de clasi ica los elemen os de
un conjun o de e minado (bas a obse a que los lib os de
geome ía de p ima ia y p ime os cu sos de secunda ia
con ienen mul i ud de es as clasi icaciones: de ángulos, de
líneas, de polígonos, de iángulos...). La impo ancia de
una clasi icación adica no sólo en ob ene una pa ición
de un conjun o sino en conoce las ca ac e ís icas y p o-
piedades de los elemen os de dicho conjun o, de mane a
que el ealiza es as ac i idades a endiendo a dis in os c i-
e ios nos pe mi i á conoce mejo dichos elemen os. Así
mismo, es in e esan e e cómo algunos de los c i e ios
elegidos po los alumnos en un p incipio pueden no da
luga a clasi icaciones in e esan es po múl iples causas: la
elación escogida no es de equi alencia, odas las igu as
es án en una misma clase de equi alencia o incluso cada
elemen o compone su p opia clase.
También llama la a ención a los alumnos el hecho de que
c i e ios apa en emen e dis in os (como la exis encia de
diagonales y el núme o de lados) dan a eces luga a cla-
si icaciones idén icas (en es e caso en iángulos y cuad i-
lá e os), lo que si e pa a in oduci dis in as ca ac e iza-
ciones de los polígonos (po su núme o de lados o de dia-
gonales, po ejemplo).
Obje i os
•Ob ene dis in os c i e ios pa a clasi ica iángulos.
•Dis ingui c i e ios que pe mi en clasi ica de los que no.
•Comp ende la noción de pa ición de un conjun o.
•Clasi ica cuad ilá e os. Aquí apa ece un elemen o
nue o, las diagonales, que nos an a amplia el núme-
o de c i e ios pa a hace esa clasi icación y que,
como consecuencia, en iquece án el conocimien o de
los polígonos en gene al.
•Di e encia en e iángulos semejan es y cong uen es.
P incipales dudas
•Posibilidad de que un iángulo pueda se , po ejem-
plo, ec ángulo e isósceles. El hecho de que duden
sob e es o a a p o oca la necesidad de econoce la
posibilidad de clasi ica los iángulos a endiendo a
dis in os c i e ios e, inmedia amen e, in oduci una
abla de doble en ada que con enga las dos clasi ica-
ciones: según el ipo de ángulo y según la igualdad de
los lados. Con espec o a es a abla es muy in e esan-
e el deba e que su ge en el aula sob e la exis encia o
no de algunos pa es de ca ac e ís icas: «equilá e o +
ec ángulo», «ob usángulo + isósceles».
•La segunda duda su ge con la pieza
que no es ni un iángulo ni un cua-
d ado ( omboide). La p ime a
imp esión les hace pensa en un
ombo, pe o enseguida se dan
cuen a de que no lo es y analizan
las p opiedades que ca ac e izan un
ombo y cuáles de ellas man iene el
an que ienen delan e. Es as e le-
xiones nos an a pe mi i en a de
lleno en la clasi icación de los cua-
d ilá e os, cons ui dis in os polígo-
nos de es e ipo y busca c i e ios
pa a clasi ica los: a endiendo a
igualdad de diagonales, posición de
diagonales, igualdad de lados, pa a-
lelismo de lados, ejes de sime ía,
ángulos ec os, ángulos iguales, e c.
No podemos pe de de is a que la ac i i-
dad e a clasi ica las piezas del ang am,
pe o pa a ello hay que econoce las
ca ac e ís icas de cada uno de los ans y
eso ue lo que se hizo has a el momen o:
qué ipo de polígono son a endiendo a
sus lados, si ienen sime ías, qué ipo de
ángulos ienen, e c. De es a mane a, ene-
mos bien ca ac e izados odos los ans, lo
que nos se á de g an ayuda pa a las p ó-
ximas ac i idades. Los c i e ios usados en
es a clasi icación po los alumnos es án
muy condicionados po los que acabamos
de e en las de iángulos y cuad ilá e os:
núme o de lados, núme o de lados igua-
les, ipos de ángulos, exis encia de ángu-
los ec os, exis encia de lados pa alelos,
exis encia de diagonales, e c. Es cu ioso
cons a a que algunos c i e ios como la
exis encia de ejes de sime ía (o su núme-
o), la can idad de diagonales dis in as,
nunca son enidos en cuen a a pesa de
habe sido abajado en las clasi icaciones
de iángulos y cuad ilá e os. Es o nos
mues a que los alumnos se manejan más
cómodamen e den o de las clasi icacio-
nes clásicas que ellos es udia on, a pesa
de que a eces no sean las más idóneas
pa a lo que se p e ende a a .
Ac i idad 2
Mide y ano a odas las longi udes (de
lados) dis in as que encuen es.
La sola manipulación del ma e ial no es
su icien e pa a ecoge oda la in o ma-
La impo ancia de
una clasi icación
adica no sólo
en ob ene
una pa ición
de un conjun o
sino en conoce
las ca ac e ís icas
y p opiedades
de los elemen os
de dicho
conjun o…
16
ción que és e puede ansmi i y ampo-
co pe mi e plasma la cla amen e sob e
el papel, po odo ello es muy impo -
an e el uso de una no ación co ec a
pa a cada pieza que nos ayude a gana
agilidad y e icacia. En es e sen ido, se
p opone a los alumnos usa símbolos o
le as pa a e e i nos a dichas piezas,
siemp e después de que ellos comp en-
dan la necesidad de hace lo, as lo que
se plan ea la a ea de halla no aciones
adecuadas. Se p esen an a ias, pe o en
odas las ocasiones la acep ada po la
mayo ía as un b e e análisis de las
en ajas e incon enien es de cada una
es, coincidiendo con la p opues a po
Ál a ez (1996), la siguien e:
P: iángulos pequeños,
G: iángulos g andes,
M: iángulo mediano,
R: omboide,
C:cuad ado.
O a no ación cómoda y bas an e ep e-
sen a i a se ía: TP, TG, TM, Ry C.
Obje i os
•Ve la necesidad y con eniencia de
la u ilización de una no ación
co ec a, lo cual a a pe mi i sim-
pli ica y mejo a la comp ensión
an o de la esc i u a como de los
g á icos y esquemas usados en el
desa ollo de las ac i idades.
•Comp ende el concep o de unidad
de medida de longi ud.
•Ve la u ilidad del abajo con una
a iable pa a no hace depende el
esul ado ob enido del ang am de
cada g upo. Necesidad del uso del
lenguaje algeb aico pa a ep esen-
a esul ados gene ales en e a
da os o medidas pa icula es.
•U iliza el eo ema de Pi ágo as
pa a consegui odas las longi udes
de los lados de los ans.
P incipales dudas
•Ope aciones con el núme o i acio-
nal √2
—. Buscan la mane a de elimi-
na la aíz in en ando ap oxima su
alo , lo que implica á que en ese
in en o apa ezcan nociones como
ap oximación po de ec o, ap oximación po exceso,
núme o de decimales pa a ope a , e c.
•P oblemas de di e sos ipos elacionados con el sig-
ni icado de a iable y el núme o de a iables que
necesi an pa a ob ene odas las longi udes.
El p ocede habi ual de los alumnos, cuando se les plan-
ea es e p oblema, es medi con una egla la longi ud de
los lados de cada an y sólo después de la in e ención del
p o eso en el sen ido de p opone les gene aliza los
esul ados ob enidos a cualquie o o ang am indepen-
dien emen e de las dimensiones del cuad ado inicial, usa-
án una a iable de la cual an a depende odas las
demás longi udes. El núme o √2
— apa ece al calcula , a
pa i de la aplicación del eo ema de Pi ágo as, la hipo e-
nusa de P. Aquí con iene acla a que ienen absolu a
libe ad pa a elegi como a iable cualquie lado de cual-
quie a de los ans, lo que nos pe mi i á con as a y com-
pa a los esul ados ob enidos po cada uno de los g upos
y ol e sob e la idea de semejanza. Es cie o que se
pod ía habe omado como unidad de longi ud el ca e o
de P(o cualquie o o lado) con lo cual se elimina ía la
dependencia de una a iable, pe o ese no se ía el obje i-
o que se p e ende y ampoco consegui íamos elimina el
elemen o pe u bado y la di icul ad, que iene pa a ellos,
ope a con él. Además, en ninguna de las ocasiones en
que ue plan eada la ac i idad los alumnos sugi ie on es a
posibilidad, po lo que no se conside ó necesa ia una indi-
cación en es e sen ido, si bien en un análisis pos e io sí
ue comen ada es a posibilidad po pa e de la p o eso a.
Es p eciso señala que en la mayo ía de las ocasiones los
alumnos obse an que es su icien e aplica el eo ema de
Pi ágo as una sola ez, pues las demás longi udes se ob ie-
nen di ec amen e manipulando co ec amen e los ans, es
deci , que una co ec a y de enida manipulación y análisis
de las piezas puede aho a cálculos innecesa ios.
Ac i idad 3
Encuen a la supe icie del ang ama cuad ado omando
como unidad cada una de las piezas. Calcula la supe i-
cie de las demás piezas omando como unidad:
a) Un iángulo g ande.
b) El omboide.
c) Un iángulo pequeño.
d) El iángulo mediano.
Al manipula las sie e piezas es ácil obse a que el ián-
gulo pequeño es á con enido en las demás piezas un
núme o en e o de eces, lo cual nos lle a a conside a es a
ac i idad como una de las más sencillas, siemp e que se
enga cla o el concep o de unidad de medida, en es e caso
de supe icie.
…es muy
impo an e
el uso de
una no ación
co ec a
pa a cada pieza
que nos ayude
a gana
agilidad
y e icacia.
17

Sin emba go, el concep o de unidad de medida no es á
an cla o como debie a y es o se cons a a cuando en es a
ac i idad lo p ime o que hacen es calcula el á ea de
cada pieza y después mul iplica la o di idi la po el
núme o co espondien e pa a ob ene el de las demás
con espec o a la pieza elegida. Es sólo en es e momen-
o cuando u ilizan la idea de unidad de medida de supe -
icie, lo que e ela la iden i icación que hacen los alum-
nos en e un concep o gene al (unidad de medida) y un
caso pa icula del mismo (las unidades del sis ema
mé ico decimal).
Obje i os
•Concep o de unidad de medida. Medida de supe icie.
•Habi ua a los alumnos a abaja con cualquie uni-
dad de medida.
•Pasa de una unidad a o a de o ma sencilla.
•Ob ene un nue o c i e io pa a la clasi icación de las
piezas a endiendo al á ea.
P incipales dudas
•Núme o de al u as de un iángulo. Es a duda su ge
cuando p e enden calcula el á ea del iángulo
pequeño pa a ob ene la del ang ama en o ma de
cuad ado La con icción gene alizada de que sólo
ienen una al u a de i a de la idea p e ia de base de
un iángulo como el lado de mayo longi ud que,
además, se coloca ho izon almen e, lo que implica
que la al u a es el segmen o que baja pe pendicu-
la men e desde el é ice opues o a la base. El ián-
gulo es ec ángulo-isósceles y lo colocan con la
hipo enusa como base ( e igu a) pa a pode cal-
cula la al u a siguiendo la enseñanza que han eci-
bido an e io men e.
Ac i idad 4
Tomando los dos iángulos pequeños,
únelos pa a ob ene odos los polígonos
que puedas. Desc ibe cada uno de los
polígonos ob enidos y sus ca ac e ís i-
cas p incipales.
Den o de es a misma ac i idad pode-
mos dis ingui dos plan eamien os: el
p ime o en el que sólo se admi en unio-
nes de lados de la misma longi ud y el
segundo en el que se pe mi e cualquie
ipo de unión. En el p ime caso sólo
pod án cons ui cuad ilá e os y iángu-
los, conc e amen e los an C, R y el M
( igu a 4). El segundo caso pe mi i á la
apa ición de polígonos cónca os ( igu a
5), ob end án polígonos de más lados y
deslizando un lado sob e o o ob en-
d án una in inidad de polígonos dis in-
os ( igu a 6) los cuales, sin emba go,
end án una se ie de ca ac e ís icas
comunes. Es e úl imo pan eamien o los
lle a á has a una si uación de con lic o
en e el esul ado y sus concepciones, la
cual obliga á a eenuncia el concep o
de polígono de modo lo más cla o y
de allado posible ( igu a 6).
Obje i os
•Re isa y amplia el concep o de
polígono.
•Clasi icación de polígonos en cón-
ca os y con exos.
•Comp oba que igu as de igual á ea
pueden ene dis in o pe íme o.
•Posibilidad de usa el pe íme o
como c i e io pa a clasi ica los ans.
…lo que e ela
la iden i icación
que hacen
los alumnos en e
un concep o
gene al
(unidad
de medida)
y un caso
pa icula
del mismo
(las unidades
del sis ema mé ico
decimal).
18
Figu a 3
a
•Rechazo a la apa ición de pa es de la unidad, como
se ía el caso en el que si omamos como unidad de
medida la supe icie de M, end ían como supe icie
de P la mi ad de M. Es o obedece a la poca con ian-
za de los alumnos cuando se a a de abaja con
acciones o decimales y a su iden i icación de las
soluciones co ec as de un p oblema numé ico con
núme os en e os. Figu a 5 Figu a 6 Figu a 7
Figu a 4
P incipales dudas
•Cons ucción de igu as que no
saben si son o no polígonos, pues
no encajan den o de la idea que
ellos ienen de es e concep o, aun-
que en la mayo ía de los casos no
son capaces de expone azones
(más o menos con incen es) en
que basa sus hipó esis. En e las
igu as que p o ocan es a cues ión
se encuen an p incipalmen e los
polígonos cónca os, pues o que
has a aho a no habían apa ecido en
ac i idades an e io es, y cons uc-
ciones como la de la igu a 7.
•La idea, muy a aigada en los alum-
nos a pesa de su supues a o ma-
ción ma emá ica an e io (algunos
alumnos ienen supe ada la asigna-
u a de Ma emá icas de COU), de «a
igual á ea co esponde igual pe í-
me o» supone uno de los p incipa-
les obs áculos en el desa ollo de
es a ac i idad, llegando en algún
caso los alumnos a ea i ma se en
es a hipó esis e ónea pese a ob e-
ne esul ados que la desmien en
(piensan que el allo es del esul a-
do y no de la hipó esis).
Ac i idad 5
O dena las piezas del ang am.
O dena ambién es una ac i idad p o-
pia de nume osos campos de la ma e-
má ica y, aunque su dominio habi ual
de ac uación sea el de los Núme os,
amos a e la impo ancia que llega a
adqui i en geome ía. El enunciado de
la ac i idad es á plan eado de o ma
poco cla a y es demasiado gene al, pe o
es e e ec o es á buscado con el in de
p o oca un análisis y deba e que nos
a a pe mi i e oma la idea de clasi i-
cación como elación de equi alencia
pe o sin en a de mane a muy p o un-
da ni o malis a en la Teo ía de Con-
jun os.
Obje i os
•P opiedades que de e minan una
elación de o den.
•Di e encia o dena de clasi ica .
P incipales dudas
•Al aplica la elación «meno que» (o «mayo que»), que
es la que apa ece en un p ime momen o, se encuen an
con el p oblema de de ini ese «meno que» con espec-
o a algo conc e o, es deci , si uno plan ea «¿qué pieza
del ang am es meno que las demás», au omá icamen e
los alumnos piensan en los iángulos pequeños, al igual
que conside an los iángulos g andes como las piezas
mayo es del ang am (nó ese que en ningún caso ha
sido necesa io de ini el signi icado de «mayo que», las
espues as se basan únicamen e en la p opia in uición).
Sin emba go, el p oblema su ge a la ho a de «o dena »
las o as es piezas pues o que ello equie e una de ini-
ción conc e a de la elación que es amos aplicando.
Aquí su gen como posibles al e na i as el á ea y el pe í-
me o: en el p ime caso ninguna de las piezas se ía
mayo que las demás, pe o sí en el segundo.
Llegado a es e pun o el p o eso analiza con los alum-
nos el p oceso seguido y los in i a a eco da el con-
cep o de elación de o den. T as un b e e epaso del
mismo, es asumido ápidamen e el con lic o exis en e
en e la «o denación» ealizada y el cumplimien o de la
p opiedad an isimé ica (exis en piezas dis in as que
coinciden en á ea y pe íme o). T as la so p esa de los
alumnos se les hace e que lo que ellos hicie on en
ealidad no es o a cosa que clasi ica de nue o las pie-
zas a endiendo a nue os c i e ios, con lo que se e o-
man ac i idades an e io es y se mues a a los alumnos
la impo ancia de ene cla os los concep os ma emá i-
cos que hay que aplica (en es e caso el de elación de
o den) con el in de e i a pos e io es so p esas.
•Con lic o sob e el signi icado de o dena . En el dic-
ciona io se p esen a como sinónimo de coloca , dis-
ibui … y es e signi icado se ace ca más al concep o
p e io de los alumnos que el ma emá ico de es able-
ce una elación de o den.
Ac i idad 6
Toma es iángulos de en e los cinco exis en es. Ensaya cómo
deben si ua se pa a ob ene el polígono del máximo (mínimo)
núme o de lados. Ex iende el esul ado a n iángulos.
En es a ac i idad se aplican y elacionan concep os adqui-
idos en las an e io es (polígono cónca o, con exo, con-
cep o de é ice, e c.), po lo que no es plan eada en nin-
gún caso como una ac i idad p opicia pa a que a lo en
nue os con enidos. En es e sen ido, podemos conside a -
la una ac i idad in eg ado a o globalizado a.
Obje i os
•Indaga sob e las dis in as posibilidades de elección
de los iángulos y la in luencia de es a elección sob e
el esul ado inal.
O dena
ambién
es una ac i idad
p opia
de nume osos
campos
de la ma emá ica
y, aunque
su dominio
habi ual
de ac uación sea
el de los Núme os,
amos a e
la impo ancia
que llega
a adqui i
en geome ía.
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•Habi ua al alumno a plan ea es a egias de análisis
en las que se a en de un modo exhaus i o odas las
si uaciones posibles.
•Usa el mé odo de inducción.
El azonamien o induc i o se puede conside a como un
p ocedimien o educa i o muy ú il pa a la adquisición y
descub imien o de concep os y p opiedades de ámbi o
geomé ico o ma emá ico en gene al. El uso de la induc-
ción pa a con a (en es e caso, el núme o de lados) con-
sis e en analiza la e olución de una de e minada can idad
al aumen a la complejidad del p oblema.
P incipales dudas
•¿El núme o máximo (mínimo) de lados del polígono
que se a a o ma depende de los iángulos escogi-
dos?
An es de comenza con la enume ación de posibles esul-
ados nos plan eamos las dis in as posibilidades de elec-
ción de los iángulos:
•u iliza dos pequeños y el mediano (PPM);
• oma dos pequeños y el g ande (PPG);
•dos g andes y uno pequeño (GGP);
•dos g andes y el mediano (GGM);
•y, po úl imo, uno g ande, uno pequeño y el media-
no (PMG).
En p incipio no esul a muy cla o pa a los alumnos que la
solución depende o no de la combinación elegida y
comienzan a en en a se con el p oblema po el mé odo
de ensayo-e o . Si p e endemos ob ene el polígono con
el meno núme o de lados y enemos en cuen a que cada
g upo hace su elección de iángulos, nos encon amos
con polígonos como los de la igu a 8.
y llega a la solución pa a n iángulos
esul a muy sencillo ( igu a 9).
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Figu a 8
T as sucesi as manipulaciones y análisis, y con alguna
indicación po pa e del p o eso en casos conc e os,
obse an que pa a ob ene el núme o mínimo necesi an
que lados de dis in os iángulos unidos o men un lado
del polígono nue o (supond ía «con e i dos lados en
uno») y que, además, el polígono sea con exo pa a no
gana lados, es deci , uni los polígonos en e sí po lados
de igual longi ud.
En el caso de cons ui el polígono con el mayo núme o
de lados la si uación cambia (no depende de la elección)
Figu a 9
E aluación
La e aluación es una pa e impo an e
en el p oceso de enseñanza-ap endiza-
je y, como al, debe se plan eada en la
desc ipción y p og amación de oda
ac i idad (y es impo an e que nues os
alumnos de Magis e io así lo en iendan)
pues casi siemp e ac i idades di e en-
es equie en mé odos o c i e ios de
e aluación di e en es. Es o es impo -
an e a la ho a de p og ama cualquie
ac i idad con nues os alumnos, pues
c eemos que uno de los e o es de la
enseñanza adicioinal consis e en la
mecanización de los medios de e alua-
ción (exámenes esc i os en su mayo ía)
des i uando o igno ando o almen e
o as posibilidades muchas eces más
educa i as pa a los alumnos (lec u a de
lib os, ealización y exposición de a-
bajos, exámenes o p uebas en g upo,
abajo de aula…). La me odología
seguida condiciona á el sis ema de e a-
luación, po lo que, al habe plan eado
la clase con una es uc u a de labo a o-
io el p o eso debe á ecoge in o ma-
ción sob e cada alumno y sob e la
dinámica del g upo du an e odas las
sesiones de abajo.
Se p opuso a los alumnos as inaliza
las ac i idades la ealización de un an-
g am o iginal, en el cual se die an las
dos p incipales ca ac e ís icas del an-
g am chino manejado en clase, es deci ,
debe ían cons ui un ang am de o ma
que u ie a una pieza «gene ado a» en
cuan o al á ea (el papel que hacía el an
P en el ang am chino) y que odos los
diseños de igu as es u ie an o mados
con odas las piezas que esul a an de la
disección de ese ang am. Es e abajo
debe ía es a acompañado de una se ie
de ac i idades de ipos di e sos que
ellos mismos p opond ían (en algunos
casos o iginales y en o as adap aciones
de las ya ealizadas) en las que se a-
bajasen con enidos ma emá icos.
Se les enseña on o os modelos de an-
g ams que cumplían esos equisi os
( ang am cuad ado, ang am ec angu-
la , ang am iangula , e c.), en los que
se podían obse a di e en es igu as
gene ado as dependiendo de la igu a
de la que se pa ía, y o os que no los
cumplían pe o que se ían igualmen e
pa a abaja con enidos ma emá icos,
incluso en algún caso aumen aba la
complejidad de la disección, de las o -
mas y de los con enidos a es udia ( an-
g am en o ma de hue o).
Los esul ados ue on muy in e esan es,
desde la igu a inicial elegida pa a ea-
liza la disección has a la o ma de
plan ea las ac i idades. La mayo ía
op ó po elegi un polígono egula
como igu a inicial pa a ob ene los
ans, mien as que o os oma on como
e e encia un ba co, un muñeco, e c. En
cuan o a la o ma de plan ea las ac i i-
dades, enemos po un lado los que
siguen un esquema idén ico al plan ea-
do en clase y, po o o lado, los que eli-
gen o o ipo de opciones como, po
ejemplo, un cuen o en el que el p o a-
gonis a es la igu a a pa i de la cual se
ob ienen los di e sos ans y en cuyo
desa ollo se an ob eniendo o os p o-
agonis as de la his o ia a pa i de las
mismas piezas. Mien as se lee y sigue
la his o ia se an plan eando al niño
di e en es ac i idades de con enido
ma emá ico.
La p esen ación ambién ue in e esan e
pues o que con as aban los que plan ea-
ban su abajo de un modo académico:
p esen ación de las piezas, ac i idades,
soluciones; y quienes op aban po un
es uche que con enía las piezas en di e-
en es ma e iales y se sepa aba po un
lado el ma e ial pa a el alumno y po o o las indicaciones
pa a el p o eso .
Conclusiones
Es cie o que los con enidos apa ecen un poco deso de-
nados si los compa amos con el esquema lógico-deduc i-
o ma cado po la enseñanza de la geome ía adicional;
sin emba go es o hace, desde mi pun o de is a, que se
gene en concep os, habilidades y p ocedimien os en el
momen o que ealmen e los necesi a el alumno y no an es.
De es a o ma, pe demos la secuencia lineal que se sigue
habi ualmen e, pe o, po el con a io, se do an de signi i-
cado los concep os es udiados, iendo el nacimien o de
algunos de ellos como espues a a p oblemas o si uacio-
nes conc e os, es deci , la idea consis e en no p esen a las
ma emá icas como un edi icio e minado lleno de con eni-
dos en p incipio innecesa ios (desde el pun o de is a del
alumno), sino en i cons uyendo dicho edi icio siguiendo
más o menos lo que es el desa ollo de la his o ia de cual-
quie ciencia.
La mayo ía de las ac i idades son sencillas y se necesi a
poco iempo pa a su desa ollo; sin emba go, cuando
menos lo espe amos se complican debido a los siguien es
mo i os:
1. Las concepciones p e ias de los alumnos como con-
secuencia de una geome ía pob e y es ingida al
cálculo de á eas y olúmenes como único obje i o.
2. Poca des eza en la manipulación del ma e ial, en pa -
icula el ang am, lo que hace que no ean la com-
ponen e geomé ica que se de i a de las elaciones
que exis en en e las piezas, así como la escasa « isión
geomé ica» que di icul a la consecución de algunas
igu as con apidez.
3. Tendencia a da un alo numé ico en cualquie ipo
de si uación de medida aunque no se equie a explí-
ci amen e. Es a endencia p o oca que no ean la u i-
lidad de usa una a iable o bien que no lleguen a
comp ende el signi icado de unidad de medida.
Una conclusión de ipo gene al se basa en la impo ancia
que adquie e la me odología empleada o o gándole el
mismo peso que a los con enidos. Desde es a pe spec i a,
el clima en el que ap enden los u u os p o eso es a a
con igu a su ac i ud a la ho a de encon a se con las si ua-
ciones de enseñanza como señalan Gimeno y Fe nández,
ci ados po Azcá a e (1998):
El mé odo con el que ap enden los u u os p o eso es gene a un
clima en el que ap enden muchas des ezas p o esionales so e-
adamen e, de o ma implíci a, que son las que con igu an deci-
didamen e las ac i udes del u u o p o eso a la ho a de en en-
a se con las si uaciones de enseñanza.
…la idea consis e
en no p esen a
las ma emá icas
como un edi icio
e minado
lleno
de con enidos
en p incipio
innecesa ios
(desde el pun o
de is a
del alumno),
sino en i
cons uyendo
dicho edi icio
siguiendo
más o menos lo
que es el desa ollo
de la his o ia
de cualquie
ciencia.
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