Ma emá icas y su Didác ica pa a Maes os
ESTOCÁSTICA Y SU
DIDÁCTICA PARA
MAESTROS
P oyec o Eduma -Maes os
Di ec o : Juan D. Godino
h p://www.ug .es/local/jgodino/eduma -maes os/
Manual pa a el Es udian e Edición Feb e o 2002
Ca men Ba ane o
Juan D. Godino
P oyec o
Eduma -Maes os
Di ec o : Juan D. Godino
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ESTOCÁSTICA Y SU DIDÁCTICA
PARA MAESTROS
Ca men Ba ane o
Juan D. Godino
Es ocás ica y su didác ica
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ESTOCÁSTICA Y SU DIDÁCTICA PARA
MAESTROS
 Los au o es
Depa amen o de Didác ica de la Ma emá ica
Facul ad de Ciencias de la Educación
Uni e sidad de G anada
18071 G anada
ISBN: 84-932510-0-3
Depósi o Legal: g 339-2002
Imp esión: Rep oDigi al. C/ Baza, 6.
La Mediana. Polígono Junca il. Albolo e.
18220-G anada.
Dis ibución en In e ne :
h p://www.ug .es/local/jgodino/eduma -
maes os/
Publicación ealizada en el ma co del
P oyec o de In es igación y Desa ollo del
Minis e io de Ciencia y Tecnología,
BSO2002-02452.
Índice
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Índice
Capí ulo 1: ESTADÍSTICA
A: Con ex ualización p o esional
Análisis de p oblemas escola es sob e es adís ica en p ima ia .......................................
B: Conocimien os ma emá icos
1. Es adís ica y sus aplicaciones
1.1.¿Qué es la es adís ica? .......................................................................................
1.2. B e es no as his ó icas .....................................................................................
1.3. Pano ama ac ual ...............................................................................................
1.4. Es udios es adís icos ........................................................................................
2. Va iables es adís icas. Tablas y g á icos
2.1. Población, indi iduos y ca ac e es ...................................................................
2.2. Tipos de es udios es adís icos. Censos y mues as ex aidas de una población
2.3. Va iables es adís icas .......................................................................................
2.4. Tablas de ecuencias .......................................................................................
2.5. G á icos es adís icos .........................................................................................
2.6. Ag upación de a iables en in e alos .............................................................
2.7. Rep esen ación g á ica de ecuencias acumuladas .........................................
2.8. G á ico del onco ............................................................................................
3. Ca ac e ís icas de posición cen al y dispe sión de una dis ibución de ecuencias
3.1. Medidas de endencia cen al ..........................................................................
3.2.Ca ac e ís icas de dispe sión .............................................................................
4. Talle de ma emá icas ..................................................................................................
C. Conocimien os didác icos
1. O ien aciones cu icula es
1.1. La es adís ica en la sociedad y la enseñanza obliga o ia .............................
1.2. Diseño cu icula base del MEC .................................................................
1.3. P incipios y es ánda es pa a la ma emá ica escola del NCTM .................
2. Desa ollo cogni i o y p og esión en el ap endizaje ..................................................
3. Si uaciones y ecu sos
3.1. In es igaciones y p oyec os ........................................................................
3.2. Da os y uen es de da os ..............................................................................
3.3. Recu sos en In e ne ....................................................................................
4. Con lic os en el ap endizaje. Ins umen os de e aluación
4.1. Comp ensión de ablas y g á icos es adís icos ............................................
4.2. Medidas de posición cen al ........................................................................
4.3. Ca ac e ís icas de dispe sión .......................................................................
4.4. Í emes de e aluación ...................................................................................
5. Talle de didác ica
5.1. Análisis de ex os escola es. Diseño de unidades didác ica ........................
5.2. Análisis de espues as a a eas de e aluación .............................................
Bibliog a ía ...............................................................................................
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Es ocás ica y su didác ica
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Capí ulo 2: P obabilidad
A: Con ex ualización p o esional
Análisis de p oblemas escola es sob e p obabilidad en p ima ia .....................................
B: Conocimien os ma emá icos
1. Fenómenos es ocás icos
1.1. Aza y lenguaje ........................................................................................................
1.2. El aza en la ealidad ...............................................................................................
2. P obabilidad. Asignación subje i a de p obabilidades
2.1. Expe imen o y suceso alea o io ........................................................................
2.2. Suceso segu o e imposible ................................................................................
2.3. Asignación de p obabilidades subje i as ..........................................................
2.4 P obabilidad, como g ado de c eencia ..............................................................
3. Es imación de p obabilidades a pa i de las ecuencia ela i as
3.1. F ecuencia absolu a y ela i a. Es abilidad de las ecuencias ela i as ..........
3.2. Es imación ecuencial de la p obabilidad ........................................................
3.3. Simulación de expe imen os alea o ios .............................................................
4. Asignación de p obabilidades. Regla de Laplace .........................................................
5. P obabilidades en expe imen os compues os ...............................................................
5.1. Resul ados de un expe imen o compues o ....................................................
5.2. Cálculo de p obabilidades a pa i del diag ama en á bol ............................
5.3. Expe imen os dependien es e independien es ..............................................
6. Talle de ma emá icas ..................................................................................................
C. Conocimien os didác icos
1. O ien aciones cu icula es
1.1. Diseño cu icula base del MEC ..................................................................
1.2. P incipios y es ánda es pa a la ma emá ica escola del NCTM ..................
2. Desa ollo cogni i o y p og esión en el ap endizaje
2.1. La in uición del aza ....................................................................................
2.2. La es imación de la ecuencia ela i a ........................................................
2.3. Es imación de posibilidades y noción de p obabilidad ................................
3. Si uaciones y ecu sos
3.1. Juegos y so eos ............................................................................................
3.2. Expe imen ación y es imación ecuencial de p obabilidades .....................
3.3. Cons ucción de disposi i os alea o ios .......................................................
3.4. Recu sos en In e ne .....................................................................................
4. Con lic os en el ap endizaje. Ins umen os de e aluación ...........................................
5. Talle de didác ica
5.1. Análisis de ex os escola es. Diseño de unidades didác icas ........................
5.2. Análisis de í emes de e aluación ..................................................................
5.3. Análisis de en e is as a niños ......................................................................
Bibliog a ía ..........................................................................................................
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Es ocás ica y su Didác ica pa a
Maes os
Capí ulo 1:
ESTADÍSTICA
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Es adís ica
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A: Con ex ualización P o esional
ANÁLISIS DE PROBLEMAS SOBRE ESTADÍSTICA EN PRIMARIA
Consigna:
A con inuación incluimos algunos enunciados de p oblemas y eje cicios que han sido
omados de lib os de ex o de p ima ia. Pa a cada uno de ellos:
1) Resuel e los p oblemas p opues os.
2) Indica los concep os y p ocedimien os ma emá icos que se ponen en juego en la
solución.
3) Clasi ica los enunciados en es g upos según el g ado de di icul ad que les a ibuyes
( ácil, in e medio, di ícil).
4) Pa a cada p oblema enuncia o os dos del mismo ipo, cambiando las a iables de la
a ea, de mane a que uno e pa ezca más ácil de esol e y o o más di ícil.
5) ¿Piensas que los enunciados son su icien emen e p ecisos y comp ensibles pa a los
alumnos de p ima ia? P opón un enunciado al e na i o pa a aquellos eje cicios que
no e pa ezcan su icien emen e cla os pa a los alumnos.
6) Consigue una colección de lib os de ex o de p ima ia. Busca en ellos ipos de
p oblemas no incluidos en es a elación. Explica en qué se di e encian.
Enunciados de p oblemas incluidos en lib os de p ima ia
1. Lee es e ex o y comple a la abla, en u cuade no, con el núme o de eces que
apa ece cada le a ocal. "UN SOL PARA CONOCER. UNA LUNA PARA SENTIR.
UN LIBRO PARA APRENDER. UN MUNDO PARA VIVIR"
- Rep esen a los da os en un diag ama de ba as.
- ¿Cuán as le as ocales iene el ex o?
- ¿Qué le a ocal es la moda en el ex o?
- Haz o a abla pa a las consonan es y complé ala
- ¿Cuán as le as son consonan es?
- ¿Qué le a consonan e es la moda?
VOCALES FRECUENCIA
2. En es e diag ama de ba as se ha
ep esen ado el núme o de he manos que
ienen los alumnos y alumnas de la clase
de 6º. ¿Cuán as pe sonas ienen un solo
he mano? ¿Y cinco he manos? ¿Cuán os
alumnos y alumnas hay en 6º?
3. El gas o mensual en elec icidad de una
amilia en el úl imo año ha sido el
siguien e:
E F M A My J Jl Ag S O N D
3.500 3.278 4.251 3.740 3.125 3.470 2.432 2.560 3.680 2.549 4.578 4.689
Núme o de he manos
543210
F ecuencias
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
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¿Cuál ha sido el gas o medio mensual? ¿Y el gas o medio dia io?
4. La amilia López ha eco ido es a semana las siguien es dis ancias: 3 km, 4 km, 5
km, 7 km, 6 km, 10 km u 8 km. ¿Qué media de kilóme os dia ios ha hecho?
5. Cons uye un diag ama de ba as pa a cada una de es as ablas de ecuencias
Colo es Nº de coches
ROJO 38
BLANCO 50
NEGRO 26
GRIS 20
AMARILLO 6
Equipos Pun os
LEONES 20
OSOS 35
GUEPARDOS 25
GACELAS 40
6. Es e his og ama ep esen a las al u as
de un g upo de pe sonas.
- ¿Cuán as pe sonas miden menos de
155 cm? ¿Y más de 155 cm?
- ¿Cuán as pe sonas o man el in e alo
de mayo al u a?
7. Los esul ados, en cen íme os, de la
p ueba de sal o "a pies jun os" ue on:
167 150 190 153 120 186 130 142
181 163 146 183 171 136 184 151
149 136 146 139 142 107 167 155
Comple a la abla y cons uye un his og ama.
8. La ac i idad p o esional de las pe sonas de una
ciudad se ha ep esen ado en es e g á ico de sec o es.
• ¿A qué ac i idad p o esional se dedica el mayo
núme o de pe sonas de esa ciudad?
• Si las pe sonas que abajan son 20.000, 8.000 y
12.000, dí qué núme o co esponde a cada
ac i idad.
9. En es a g á ica es án ep esen ados los goles
ma cados en el p ime iempo de un pa ido de
balonmano.
• ¿Cuál e a el esul ado en el minu o 5?
• ¿En qué minu o iban empa ados a goles?
• ¿Qué equipo iba ganando en el p ime iempo?
` Nº de pe sonas
ENTRE 0 y 120
ENTRE 121 y 150
ENTRE 151 y 180
MÁS DE 180
Se icios
Ag icul u a
Ganade ía e
indus ia
TIEMPO
30
25
20
15
10
5
0
Nº
D
E
G
OL
ES
8
6
4
2
0
LOCAL
VISITANT
al u a
F ecuencia
150 155 160 165 170 175 180
0
4
8
12
16
20
Es adís ica
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9. ¿Cuál es el alo o alo es más ecuen es del núme o de calzado? ¿Qué an o po cien o de
alumnos calzan el 40 o un núme o mayo de calzado?
10. ¿Cuáles son las p incipales di e encias en la dis ibución de ecuencias del núme o de
calzado de chicos y chicas? (Usa la in o mación dada en la abla 1)
2.5. G á icos es adís icos
Las dis ibuciones de ecuencias de las a iables es adís icas pueden
ep esen a se median e ablas y g á icos. A menudo es p e e ible un g á ico, po que
pe mi e esal a las p incipales ca ac e ís icas de la dis ibución. El denominado g á ico
de ba as pe mi e ilus a isualmen e cie as compa aciones de amaño, especialmen e
cuando se p ecisa compa a dos mues as. En el diag ama de ba as, cada uno de los
alo es de la a iable co espondien e se ep esen a en el eje de abscisas de un g á ico
ca esiano, a in e alos igualmen e espaciados. Pa a cada alo se dibuja una ba a (o
ec ángulo) cuya al u a ha de se p opo cional a la ecuencia absolu a o ela i a de
dicho alo .
O o ipo de ep esen ación es el g á ico de línea poligonal, usado con en aja
pa a mos a cambios de una a iable a lo la go del iempo. El g á ico de ba as se
puede usa pa a a iables cuali a i as pe o el g á ico de líneas no.
Figu a 1: Diag ama de ba as (‘p ác ica de depo e’ según sexo)
El g á ico de sec o es (que in o malmen e se denomina a eces g á ico de la
' a a' o 'pas el') mues a cla amen e cómo una can idad o al se epa e, así como el
amaño ela i o de las dis in as pa es. El á ea de cada sec o es p opo cional a la
ecuencia de la modalidad que ep esen a. En el g á ico de sec o es cada modalidad o
alo de la a iable se ep esen a po un sec o ci cula cuyo ángulo cen al y, po lo
an o ambién su á ea, es p opo cional a la ecuencia. Una o ma sencilla de cons ui lo
es mul iplicando la ecuencia ela i a po 360; de es e modo se ob iene la ampli ud del
ángulo cen al que end á cada una de las modalidades obse adas.
En la elabo ación de g á icos es adís icos es undamen al la p ecisión, la cla idad
en los í ulos, la elección del ipo de g á ico y el uso de escalas adecuadas. Si uno de
es os aspec os no se iene en cuen a, el g á ico puede da una idea inadecuada de la
in o mación que se a a de comunica .
123
P ác ica de depo e
0
5
10
15
20
25
123
P ác ica de depo e
chicos
chicas

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Figu a 2: G á ico se sec o es de ‘p ác ica de depo e’
Eje cicios:
11. Rep esen a median e un diag ama de ba as la dis ibución de la a iable "p ác ica de
depo e" y analiza las en ajas de cada una de las dos ep esen aciones.
12. Busca en la p ensa ejemplos de g á icos es adís icos ealizados inadecuadamen e, azonando
dónde se hallan los e o es en su elabo ación.
13. Comple a los da os de la Tabla 4 y ep esén alos g á icamen e.
Tabla 4: F ecuencia de la a iable 'núme o de he manos'
Valo F ecuencia
absolu a F ecuencia
ela i a F ecuencia
acumulada F ecuencia ela i a
acumulada
1 1 0.033
2 10 0.333
3 5 0.166
4 7 0.233
5 3 0.100
6 1 0.033
7 3 0.100
To al 30 1.00
2.6. Ag upación de a iables en in e alos
Cuando la a iable es adís ica que es udiamos es con inua, como la al u a de los
alumnos, los alo es obse ados suelen se dis in os unos de o os, o las ecuencias
pequeñas, con lo cual una abla de ecuencias y su co espondien e ep esen ación
g á ica no cons i uyen buenos esúmenes es adís icos. Po dicho mo i o se p ocede a
de ini unos in e alos de alo es y se ecuen an las ecuencias de los alo es en cada
in e alo de clase (Tabla 5). Los ex emos de es e in e alo se denominan ex emos de
clase y el pun o medio ma ca de clase.
El his og ama de ecuencias es la g á ica ap opiada pa a ep esen a es as ablas
de ecuencias de da os ag upados en in e alos. En el his og ama la ecuencia de cada
in e alo se ep esen a po medio de un ec ángulo cuya á ea es p opo cional a la
ecuencia en dicho in e alo. Los his og amas pueden ep esen a ecuencias absolu as
o ela i as. También podemos compa a una misma a iable en dos mues as, u ilizando
his og amas con la misma ampli ud de in e alos, como se mues a en la igu a 4.
G á ico de sec o es
depo e
1
2
3
25,00%
53,33%
21,67%
Es adís ica
709
Figu a 3: His og ama de ecuencias absolu a de la al u a de los alumnos
Figu a 4: His og ama de ecuencias ela i as de peso de alumnos según sexo
Tabla 5: Dis ibución de ecuencias de "pese as en el bolsillo"
Nº de
clase Lími e
in e io Lími e
supe io Ma ca de
clase F ecuencia F ecuencia
ela i a F ec. abs.
acumulada F ec. el.
acumulada
1 0 500 250 33 0.5500 33 0.5500
2 500 1000 750 13 0.2167 46 0.7667
3 1000 1500 1250 3 0.0500 49 0.8167
4 1500 2000 1750 3 0.0500 52 0.8667
5 2000 2500 2250 1 0.0167 53 0.8833
6 2500 3000 2750 1 0.0167 54 0.9000
7 3000 3500 3250 1 0.0167 55 0.9167
8 3500 4000 3750 0 0.0000 55 0.9167
9 4000 4500 4250 1 0.0167 56 0.9333
10 4500 5000 4750 0 0.0000 56 0.9333
11 5000 5500 5250 3 0.0500 59 0.9833
12 5500 6000 5750 0 0.0000 59 0.9833
13 6000 6500 6250 0 0.0000 59 0.9833
14 6500 7000 6750 0 0.0000 59 0.9833
15 7000 7500 7250 1 0.0167 60 1.0000
His og ama pa a al u a
al u a
F ecuencias
150 160 170 180 190 200
0
4
8
12
16
20
sexo=1
sexo=2
Po cen aje
44 54 64 74 84 94
45
25
5
15
35
55
C. Ba ane o y J. D. Godino
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Eje cicio:
14. Con los da os de la abla de ecuencias 5, ep esen a g á icamen e el his og ama de
ecuencias absolu as de las "pese as en bolsillo" con in e alos de ampli ud 500.
2. 7. Rep esen ación g á ica de ecuencias acumuladas
En las igu as 5 y 6 ep esen amos g á icamen e las ecuencias acumuladas de
las a iables “núme o de calzado” y “pese as en bolsillo”. En los dos casos ob enemos
una g á ica c ecien e, pues las ecuencias acumuladas son mayo es a medida que
aumen amos el alo de la a iable. Sin emba go, las g á icas son lige amen e
di e en es. En la a iable sin ag upa “núme o de calzado” iene o ma de escale a,
co espondiendo a cada alo de la a iable una al u a igual a su ecuencia acumulada.
En la a iable ag upada ma camos en el ex emo supe io de cada in e alo de
clase una al u a igual a su ecuencia acumulada, uniendo a con inuación los pun os
ob enidos median e una línea poligonal que se llama polígono acumula i o de
ecuencias.
Figu a 5: Diag ama de ecuencias acumuladas del “núme o de calzado”
Figu a 6: Polígono acumula i o de ecuencias de las “pese as en bolsillo”
2. 8. G á ico del onco
El g á ico del onco (en inglés -s em and lea -) es u ilizado pa a la
ep esen ación de dis ibuciones de a iables cuan i a i as, consiguiendo con él, además
de una g á ica de la dis ibución, la isualización de los alo es de los da os que
es amos es udiando. Pa a ejempli ica lo abaja emos con el conjun o de da os que se
mues a en la Figu a 7, y que supond emos ha sido ecogido en clase po los p opios
alumnos.
pese as
F ecuencia
0 2 4 6 8
(X 1000)
0
20
40
60
80
100
calzado
F ecuencia
34 36 38 40 42 44 46
0
20
40
60
80
100
Es adís ica
711
Peso en Kg.
Va ones Hemb as
55 64 70 74 75 70 60 45 46 50 47 55
64 93 60 62 70 80 49 52 50 46 50 52
61 60 62 68 65 65 52 48 52 63 53 54
66 68 70 72 72 71 54 54 53 55 57 44
56 56 56 53 60 65 67 61 68 55 64 60
Figu a 7
Pa a ealiza es e g á ico p ocede emos de la siguien e o ma:
• Se edondean los da os a dos o es ci as, exp esando los alo es con núme os
en e os. En nues o ejemplo, pues o que los da os disponibles cons an sólo de
dos ci as, es e paso no es necesa io.
• Se o denan de meno a mayo , como se mues a en la Figu a 8
44 45 46 46 47 48 49 50 50 50 52 52 52 52 53
53 53 54 54 54 55 55 55 55 56 56 56 57 60 60
60 60 60 61 61 62 62 63 64 64 64 65 65 65 66
67 68 68 68 70 70 70 70 71 72 72 74 75 80 93
Figu a 8
• Se sepa an po la izquie da uno o más dígi os de cada da o, según el núme o de
ilas que se quie a ob ene , en gene al no más de 12 ó 15. Cada uno de es os
alo es se esc iben uno debajo del o o, azando una línea a la de echa de los
núme os esc i os. Es as ci as cons i uyen el " onco".En nues o caso
oma emos la p ime a ci a pa a o ma con ella el " onco".
• Pa a cada da o o iginal se buscan los dígi os esc i os de su onco y a la de echa
de los mismos se esc iben las ci as que nos habían quedado. Es as ci as o man
las "hojas".
De es e modo ob enemos el g á ico del onco pa a nues os da os (Figu a 9).
4 4 5 6 6 7 8 9
5 0 0 0 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 7
6 0 0 0 0 0 1 1 2 2 3 4 4 4 5 5 5 6 7 8 8 8
7 0 0 0 0 1 2 2 4 5
8 0
9 3
Figu a 9: G á ico del ondo del peso de los alumnos
Como se obse a, el esul ado es, en la p ác ica, un his og ama de ampli ud de
in e alo 10, que además de mos a nos la o ma de la dis ibución, p esen a odos los
da os o denados. Es a ep esen ación puede se ampliada o condensada pa a aumen a o
disminui el núme o de ilas, subdi idiendo o undiendo dos o más ilas adyacen es. Po
ejemplo, pa a ex ende el g á ico de la Figu a 9, podemos subdi idi en dos cada ila de
la siguien e o ma: ma camos con un as e isco las ilas cuyos dígi os de la de echa
a ian de 0 a 4 y con un pun o las ilas cuyos dígi os de la de echa a ian de 5 a 9. Es e
C. Ba ane o y J. D. Godino
712
nue o diag ama, que podemos obse a en la Figu a 10 ecibe el nomb e de g á ico del
" onco ex endido".
4* 4
4. 5 6 6 7 8 9
5* 0 0 0 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4
5. 5 5 5 5 6 6 6 7
6* 0 0 0 0 0 1 1 2 2 3 4 4 4
6. 5 5 5 6 7 8 8 8
7* 0 0 0 0 1 2 2 4
7. 5
8* 0
9. 3
Figu a 10: G á ico del onco ex endido del peso de los
alumnos
Al compa a el g á ico del onco con un his og ama de ecuencias obse amos
las siguien es en ajas:
• Su ácil cons ucción, especialmen e con papel cuad iculado.
• Se pueden obse a los da os con más p ecisión que en el his og ama, pues los
ec ángulos pueden ocul a di e encias impo an es en e los alo es, mien as
que en el g á ico del onco es as lagunas pueden se ácilmen e de ec adas y
obse adas.
• Pueden ob ene se a pa i de él ápidamen e los es adís icos de o den, como los
alo es máximo y mínimo, la mediana, cua iles, pe cen iles y sus angos, así
como la moda.
• Es ácil compa a dos mues as de da os en el mismo g á ico, como emos en la
igu a 11.
Como con apa ida obse amos que no podemos elegi la ampli ud del
in e alo, como en el caso del his og ama, sino que iene impues a po el sis ema de
nume ación. Tampoco podemos escoge la escala de la ep esen ación g á ica, que
iene impues a po el espaciado del papel empleado.
CHICOS CHICAS
4* 4
4. 5 6 6 7 8 9
5* 0 0 0 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4
5 5. 5 5 5 6 6 6 7
4 4 2 2 1 0 0 6* 0 0 0 1 3 4
8 8 6 5 5 6. 5 7 8
2 2 1 0 0 0 0 7*
5 7.
0 8*
3 9.
Figu a 11: G á ico del onco ex endido del peso pa a chicos y chicas

Es adís ica
713
3. CARACTERÍSTICAS DE POSICIÓN CENTRAL Y DISPERSIÓN
DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
Supongamos que enemos que elegi en la clase al alumno/a cuyas
ca ac e ís icas ep esen en mejo cada una de las a iables ecogidas. ¿A quien
elegi ías? ¿Qué alo es elegi ías como mejo ep esen an e de cada una de las a iables
analizadas? En lo que sigue es udia emos la o ma de esumi una dis ibución de da os.
3.1. Medidas de endencia cen al
La compa ación de dos dis ibuciones de ecuencias co espondien es, po
ejemplo, a mues as dis in as de una misma a iable (como "núme o de he manos",
"al u a", e c.), puede hace se de una mane a di ec a po medio de la abla, o isualmen e
con ayuda de g á icos es adís icos. Pe o ambién puede hace se eligiendo un alo
ep esen a i o de cada mues a. La media, la moda y la mediana son soluciones
ma emá icas idóneas pa a es e p oblema según dis in as ci cuns ancias. Reciben el
nomb e de 'es adís icos' o ca ac e ís icas de posición (o endencia) cen al.
La media a i mé ica:
Es la p incipal medida de endencia cen al. Es el núme o que se ob iene
sumando odos los alo es de la a iable es adís ica (xi) y di idiendo po el núme o de
alo es (N). Si un alo apa ece a ias eces debe ponde a se po su ecuencia ( i).
Simbólicamen e,
ii
i
x
xN
=
∑
La media es la mejo es imación de una can idad desconocida, cuando hemos
hecho a ias medidas de la misma. Es a es la p opiedad de la media que usamos cuando
cali icamos a un alumno a pa i de a ias e aluaciones o cuando es imamos el iempo
de espe a en la pa ada de un au obús. Po an o si e pa a esol e p oblemas como el
siguien e:
Un obje o pequeño se pesa con un mismo ins umen o po ocho es udian es de una clase,
ob eniéndose los siguien es alo es en g amos: 6'2, 6'0, 6'0, 6'3, 6'1, 6'23, 6'15, 6'2 ¿Cuál
se ía la mejo es imación del peso eal del obje o?
La media es la can idad equi a i a a epa i cuando enemos di e en es can idades
de una cie a magni ud y que emos dis ibui la en o ma uni o me, como cuando
hablamos del núme o medio de niños po amilia o de la en a pe cápi a, o en el siguien e
ejemplo:
Unos niños lle an a clase ca amelos. And és lle a 5, Ma ía 8, José 6, Ca men 1 y Daniel
no lle a ninguno. ¿Cómo epa i los ca amelos de o ma equi a i a?
O as p opiedades de la media son las siguien es:
1) La media es un alo comp endido en e los ex emos de la dis ibución.
2) El alo medio es in luenciado po los alo es de cada uno de los da os.
3) La media no iene po qué se igual a uno de los alo es de los da os. Incluso
puede no ene "sen ido" pa a los da os conside ados (como deci que el núme o
medio de hijos en las amilias españolas es 1.1).
4) Hay que ene en cuen a los alo es nulos en el cálculo de la media.
5) La media es un " ep esen an e" de los da os a pa i de los que ha sido calculada.
C. Ba ane o y J. D. Godino
714
6) La media se exp esa en las mismas unidades de medida que los da os.
Eje cicios:
15. Hay 10 pe sonas en un ascenso , 4 muje es y 6 homb es. El peso medio de las muje es es de
58 kgs y el de los homb es de 72. ¿Cuál es el peso medio de las 10 pe sonas del ascenso ?
16. La media en luidez e bal de una clase de un colegio es de 400. Si ex aemos una mues a
alea o ia de 5 es udian es y esul a que la pun uación de los 4 p ime os es de 380, 420, 600, 400.
¿Cuál se ía ap oximadamen e la pun uación espe ada pa a el quin o es udian e?
17. Pa a ap oba cie a asigna u a, un es udian e necesi a ob ene una pun uación media de 6 (o
más) en e cua o exámenes. Las pun uaciones de Ped o en los es p ime os ue on de 3'5, 6'6 y
6'2. ¿Qué pun uación mínima necesi a ob ene en el cua o examen pa a ap oba la asigna u a?
18. La edad media de los 175 alumnos de una escuela es de 8 años, y la de los 12 adul os
(p o eso es y pe sonal) es de 40 años. ¿Cuál es la edad media de odas las pe sonas de esa
escuela?
La moda
Es el alo de la a iable que iene mayo ecuencia. Po ejemplo, en la Tabla 3
la moda del núme o de calzado es el 37.
En una dis ibución puede habe más de una moda. Si exis e una sola moda se
llama unimodal, si exis en dos bimodal, si hay más de dos se llama mul imodal. En
gene al es una medida de endencia cen al poco e icaz ya que si las ecuencias se
concen an ue emen e en algunos alo es al oma uno de ellos como ep esen an e los
es an es pueden no queda bien ep esen ados, pues no se ienen en cuen a odos los
da os en el cálculo de la moda. Sin emba go, es la única ca ac e ís ica de alo cen al
que podemos oma pa a las a iables cuali a i as. Además su cálculo es sencillo.
La mediana
Si suponemos o denados de meno a mayo odos los alo es de una a iable
es adís ica, se llama mediana al núme o al que exis en an os alo es de la a iable
supe io es o iguales como in e io es o iguales a él.
• Po ejemplo si en una amilia los niños ienen 3, 5 y 8 años, la edad del niño
mediano es 5 años. La mediana es igual a 5.
• Si nace un nue o bebé (0 años) aho a enemos dos niños medianos, uno de 3 y o o
de 5 años. En es e caso hay una inde e minación y pa a esol e la omamos como
mediana el alo 4 (media en e 3 y 5).
Pa a calcula la mediana a pa i de una abla de ecuencias o de un polígono de
ecuencias acumuladas, obse amos que la ecuencia ela i a acumulada que
co esponde a la mediana es exac amen e igual a 1/2. Po an o, en la Tabla 3 (núme o
de calzado) y ya que al núme o de calzado 37 co esponde una ecuencia acumulada
0’43 y al núme o 38 una ecuencia acumulada 0’60 la mediana es igual a 38. Es o lo
podemos e mejo en el diag ama de ecuencias acumuladas ( igu a 5).
La mediana p esen a cie as en ajas como medida de endencia cen al en e a
la media en algunas dis ibuciones, ya que no se e a ec ada po los alo es ex emos de
las obse aciones; po ello su uso es pa icula men e indicado en las dis ibuciones
asimé icas. También se puede aplica con a iables es adís icas o dinales, mien as que
la media no se puede aplica en es os casos.
Es adís ica
715
3.2. Ca ac e ís icas de dispe sión
Las ca ac e ís icas de dispe sión son es adís icos que nos p opo cionan una
medida del mayo o meno ag upamien o de los da os espec o a los alo es de
endencia cen al. Todas ellas son alo es mayo es o iguales a ce o, indicando un alo
ce o la ausencia de dispe sión.
Una de ales medidas puede se la di e encia en e el alo mayo y el meno de
la dis ibución de ecuencias, que ecibe el nomb e de eco ido (o ango). En su
cálculo sólo in e ienen dos alo es (el máximo y el mínimo) po lo que es escasamen e
ep esen a i a de la dispe sión del conjun o de da os.
• El ango pa a la dis ibución del “núme o de calzado” es igual a 11 ( 46 – 35).
La medida de dispe sión más u ilizada es la des iación ípica (s), que es la aíz
cuad ada de la suma de los cuad ados de la di e encia en e cada alo y la media
di idida dicha suma po el núme o de alo es; su cuad ado ecibe el nomb e de
a ianza y iene dada, po an o, po la siguien e exp esión:
222
ii
2
ii
(-x )
xx
==-
sx
NN
∑∑
Eje cicios:
19. ¿Qué se puede deci sob e el esul ado de un examen, si la dis ibución de las pun uaciones
de los alumnos e i ican lo siguien e?:
a) La des iación ípica es ce o.
b) El ango es g ande, pe o la des iación ípica es pequeña
c) El ango es pequeño, pe o la des iación ípica es g ande.
20. In en a un p oblema e e ido a cali icaciones de ma emá icas de un cu so cuya media sea
ap oximadamen e 5 y cuya des iación ípica sea ap oximadamen e 2.
21. En los exámenes ealizados po Lucía, la mediana ue de 8'8, su pun uación media ue de 9'0
y el ango ue 0'8. ¿Cuáles ue on las pun uaciones de los es exámenes?
4. TALLER DE MATEMÁTICAS
1. En la abla adjun a p esen amos los esúmenes es adís icos de las a iables
conside adas en la encues a ealizada en clase.
a) Razona qué p omedio es más adecuado pa a cada a iable.
b) ¿Cuál de las a iables iene mayo /meno dispe sión?
c) ¿Qué alumno ( e Tabla 1 de da os) se ía más ep esen a i o en cada una de las
a iables?
d) ¿Hay algún alumno que sea ep esen a i o en odas las a iables?
Es adís icos de las a iables del mues eo ealizado en clase
Va iable Peso Al u a Longi ud Calzado Pese as
Media 62.38 168.46 167.7 38.8 1026.87
Mediana 62 166.5 165 38 500
Moda 58 161 160 37 0
Des iación ípica 8.57 8.41 10.29 2.77 1530.50
Mínimo 46 155 150 35 0
Máximo 86 191 188 46 7500
Rango 40 36 38 11 7500
Tamaño de mues a 60 60 60 60 60
C. Ba ane o y J. D. Godino
716
2. En elación a los da os ecogidos en clase (Tabla 1),
a) ¿Son más al os los alumnos que p ac ican mucho depo e?
b) ¿Reciben las chicas más dine o que sus compañe os?
Razona las espues as basándo e en lo que has ap endido sob e la es adís ica.
3. En es e diag ama de
dispe sión, indica si exis e
elación en e la al u a y el
peso. Es ima la al u a de una
pe sona que pesa 60 kg.
¿Pod ías dibuja una ec a
que si a pa a calcula
ap oximadamen e la al u a en
unción del peso?
4. A pa i del g á ico del onco de la a iable "Longi ud de b azos ex endidos", que se
mues a a con inuación, calcula
a) el máximo, mínimo, mediana y cua iles.
b) Calcula el an o po cien o de alumnos con b azos más la gos y más co os que los
uyos.
15* 0234
15. 555578889
16* 00000001122344
16. 55556688
17* 1111222
17. 5788999
18* 000012
18. 55578
5. Al medi la al u a en cm. que pueden sal a un g upo de escola es, an es y después de
habe e ec uado un cie o en enamien o depo i o, se ob u ie on los alo es siguien es.
¿Piensas que el en enamien o es e ec i o?
Al u a sal ada en cm.
Alumno Ana Bea Ca ol Diana Elena Fanny Gia Hilda Ines Juana
An es del en enamien o 115 112 107 119 115 138 126 105 104 115
Después del en enamien o
128 115 106 128 122 145 132 109 102 117
6. A con inuación ep oducimos da os sob e núme o de pulsaciones po minu o en
di e sas especies animales3
3 Ejemplo omado de F iel, Mok os y Russell (1992). S a is ics: Middles, means and in-be weens. Palo
Al o, CA: Dayle Seymou .
150
160
170
180
190
200
40 60 80 100
Peso kg
Al u a cm
Es adís ica
723
ins umen o de in es igación de los p oblemas que les gus a ía esol e . En algunos
países como Es ados Unidos o Ingla e a es ya adicional el celeb a en las escuelas
compe iciones de p oyec os es adís icos y es posible que es a endencia no a de en
llega a nues os cen os. A con inuación suge imos algunos p oyec os que pod ían
ealiza se en los cu sos 5º y 6º de educación p ima ia.
Ac i idad 1: In ención de o o en las p óximas elecciones al consejo escola
Se p opone diseña , lle a a cabo y analiza los da os de una encues a en el cen o pa a es udia
la in ención de o o en el p óximo consejo escola , una ez que se conocen los candida os a
ep esen an es de los alumnos. Los alumnos deben diseña el cues iona io, selecciona una
mues a ep esen a i a de alumnos del cen o, dis ibui el cues iona io y analiza los da os.
Algunas cues iones elacionadas son:
• ¿Qué p egun as debemos inclui en el cues iona io? ¿Es án cla as las p egun as? ¿Qué
a iables iden i ica i as del alumno pod ían in lui en su in ención de o o?
• ¿Cómo elegimos la mues a de alumnos? ¿Cuál es la población obje i o? ¿Cuál es la
población que podemos alcanza ?
• ¿Se ía la encues a iable si hay un po cen aje al o de no espues a? ¿Cómo podemos mo i a
la pa icipación y disminui la no espues a? ¿Cómo y cuándo dis ibuimos el cues iona io y
ecogemos los da os?
• ¿Qué nos dicen los esul ados? ¿Son di e en es en los dis in os cu sos? ¿En chicos y chicas?
Ac i idad 2: ¿Se mejo a con la p ác ica?
1. Es imación de iempos:
In en a es ima la du ación de un minu o. Pa a ello u compañe o coge un eloj que cuen e
segundos y e indica cuando debes comenza a calcula el iempo. Tú e concen as y cuando
c eas que ha pasado un minu o dices ¡ya!. Tu compañe o mi a el eloj y ano a los segundos
anscu idos. Comp obáis si el iempo anscu ido es e dade amen e un minu o o en cuán os
segundos e has equi ocado. ¿C ees que si epi es el expe imen o 10 eces, cada ez es ima ás
el minu o con más exac i ud? ¿Mejo as con la p ác ica?
2. Es imación de dis ancias:
T abaja con un compañe o. Uno dibuja un segmen o con una egla g aduada y mide su
longi ud;, el o o es ima la longi ud del segmen o. Ano ad la di e encia en e el alo es imado y
el alo eal del segmen o. ¿C ees que si epi es el expe imen o a ias eces, cada ez es ima ás
mejo la longi ud del segmen o? ¿Mejo as con la p ác ica?
3. Du an e la clase de gimnasia se ecogen da os de cada alumno el p ime día de clase y una
ez anscu ido 3 meses. Pod ían analiza se, en e o as las siguien es a iables, pa a e si la
p ác ica ayuda a mejo a , qué alumno mejo ó más globalmen e y si mejo an más las chicas o los
chicos:
• iempo en segundos pa a eco e 50 me os
• pulsaciones po minu o an es y después de co e los 50 me os
• al u a máxima que se puede sal a
• longi ud máxima que se puede sal a
• Núme o de abdominales seguidos has a cansa se
• Núme o de canas as ences adas en 10 in en os
Ac i idad 3: ¿Cuán as len ejas iene un kilo de len ejas?
Se a a de es ima el núme o ap oximado de len ejas en un kilo, sin ene que con a las odas.
Pues o que el p oceso de llenado de un paque e de len ejas iene un componen e alea o io, es e

C. Ba ane o y J. D. Godino
724
Pues o que el p oceso de llenado de un paque e de len ejas iene un componen e alea o io, es e
núme o a ia á de uno a o o paque e. Se plan ea así un p oblema de es imación que es común a
o os muchos con ex os, po ejemplo, cuando se es ima el núme o medio de glóbulos ojos en
sang e de indi iduos adul os.
Los alumnos po equipos pod ían a a de es ima el núme o de len ejas en paque es
seleccionados de a ias ma cas come ciales. Se p esen a ía el p oblema de que hay que
especi ica con cla idad la a iedad, pues exis en di e sos amaños. Una ez ijada una a iedad
y comp ados paque es de di e sas ma cas cada equipo a a ía de es ima el núme o de len ejas
de su paque e.
Pa a ello se pueden oma da os del núme o de len ejas en a ias mues as de unidades
de capacidad pequeñas, como el cen íme o cúbico y esol e p ime o el p oblema de la
es imación del núme o de len ejas en un cm3. Los alumnos ecoge án da os de las mues as de
cm3 ep esen ándolos g á icamen e, y es udiando su dis ibución, media y des iación ípica.
Calculado el olumen de los paque es de kilo de len ejas, pa a calcula la dis ibución
del núme o de len ejas en un paque e de kilo, se a a de hace un cambio de a iable en una
dis ibución. Po an o, la media y des iación ípicas queda án a ec adas po el cambio de escala
que pasa del cm3 al olumen del paque e.
3.2. Da os y uen es de da os
Los p oyec os en la clase de es adís ica se conciben como e dade as
in es igaciones asequibles al ni el del alumno, donde a amos de in eg a la es adís ica
den o del p oceso más gene al de in es igación. Es deci , plan eamos unos obje i os y
p egun as que el alumno debe a a de con es a . Pa a ello el alumno necesi a ecoge
da os, que pueden p o eni de di e sas uen es, se ob enidos median e di e en es
écnicas, y co esponde a di e sas escalas de medida y ipos de a iables es adís icas,
como se esume en la abla siguien e:
Tipos de da os en los p oyec os
P ocedencia de los da os Va iables es adís icas incluidas
Anua ios es adís icos Cuali a i a
Encues as Cuan i a i a pocos alo es
Expe imen o ealizado en la clase Cuan i a i a necesidad de ag upa
In e ne Técnica de ecogida de da os
P ensa Obse ación
Simulación Encues a
Medida
Conside amos impo an e que
el alumno enga opo unidad de
ap ecia es a di e sidad de
da os es adís icos. Algunas
eces los da os se encuen an
disponibles, pe o hay que sabe
localiza los de di e en es
uen es, como lib os o anua ios
Es adís ica
725
es adís icos. Po ejemplo, el g á ico adjun o, omado del bole ín de C uz Roja
Española, Diciemb e, 2001 puede se i pa a plan ea una ac i idad de compa ación de
dos conjun os de da os, que pod ía apoya se en o as ep esen aciones g á icas
al e na i as.
La ed In e ne p opo ciona en la ac ualidad da os pa a cualquie ema po el que
los alumnos es én in e esados, bien a pa i de se ido es es adís icos especí icos como
Da a Se s and S o ies Lib a y donde los p o eso es de es adís ica han pues o sus da os
al se icio de la enseñanza, bien ecu iendo a o ganismos o iciales como el INE,
Eu os a , Unesco u o os.
En o as ocasiones los da os son ecogidos po los alumnos median e la
ealización de una encues a o a a és de un expe imen o. La encues a eque i á la
elabo ación de un cues iona io, ijando los obje i os del mismo, eligiendo las a iables
explica i as y edac ando las p egun as que pe mi an ob ene la in o mación deseada de
una o ma cla a y concisa. La selección de una mues a ep esen a i a plan ea
p oblemas de ipo eó ico y p ác ico, elacionados con la población obje i o y
alcanzada, el ma co de mues o, los mé odos de selección, la adminis ación del
cues iona io y los p oblemas de no espues a.
La in o mación que que emos ecoge puede co esponde a di e sos ni eles que
se co esponden con di e en es écnicas de ob ención de da os: in o mación conscien e y
conocida (encues a), in o mación desconocida, pe o que puede deduci se de la
obse ación e in o mación no conscien e ni obse able (medida).
3.3. Recu sos en In e ne
1. His og amas:
h p://ma i.usu.edu/nl m/na / ames_asid_174_g_2_ _5.h ml
Es a página pe mi e explo a el e ec o
de a ia la anchu a de los in e alos
sob e la o ma del his og ama, así como
de añadi o qui a da os.
P opo ciona ambién ablas de
ecuencia pa a el his og ama elegido,
así como la media y mediana.
Es posible ambién isualiza el e ec o
de los alo es a ípicos, an o sob e el
his og ama como sob e la media y
mediana.
C. Ba ane o y J. D. Godino
726
C eacion de g á icos in e ac i amen e
h p://nces.ed.go /nceskids/G aphing/
Usando es a página los alumnos
pueden c ea y modi ica a su gus o
una a iedad de g á icos es adís icos,
p opo cionando los da os de en ada,
que pod ían se da os omados en clase
po los alumnos.
Los g á icos son in e ac i os y una ez
c eados es posible cambia el o ma o o
colo es, sup imi o añadi nue os
da os.
Los g á icos pueden se imp esos pa a
se u ilizados en los p oyec os po los
es udian es.
4. CONFLICTOS EN EL APRENDIZAJE: INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN
4.1. Comp ensión de ablas y g á icos es adís icos
Los p o eso es suponen, a eces, que la elabo ación de ablas y g á icos es muy
sencilla y dedican poco iempo a su enseñanza. Sin emba go, elabo a una abla de
ecuencias o un g á ico supone ya una p ime a educción es adís ica, pues se pie den
los alo es o iginales de cada uno de los da os indi iduales pasándose a la dis ibución
de ecuencias. Es e concep o es ya complejo, al e e i se al conjun o de los da os y no a
cada caso pa icula . Mien as que los niños comp enden bien p opiedades que se
e ie en a indi iduos, como el colo de pelo de una pe sona o su al u a, les esul a más
p oblemá ico comp ende la idea de dis ibución del colo de pelo de un g upo.
La des eza en la lec u a c í ica de da os es una necesidad en nues a sociedad
ecnológica, ya que encon amos ablas y g á icos en la p ensa, come cio, así como en
dis in as asigna u as del cu ículo. Podemos dis ingui cua o ni eles dis in os de
comp ensión de los g á icos, que pueden aplica se a las ablas y g á icos es adís icos. El
obje i o de la educación es adís ica se ía lle a a cada alumno a adqui i el mayo ni el
pa a el cual es é capaci ado:
• Lec u a li e al (lee los da os): es e ni el de comp ensión equie e una lec u a li e al
del g á ico; no se ealiza in e p e ación de la in o mación con enida en el mismo. Po
ejemplo, en la Figu a 1, esponde a la p egun a, ¿cuán os chicos p ac ican mucho
depo e?
• In e p e a los da os (Lee den o de los da os): incluye la in e p e ación e in eg ación
de los da os en el g á ico; equie e la habilidad pa a compa a can idades y el uso de
o os concep os y des ezas ma emá icas. Po ejemplo, en la Figu a 1, esponde a la
p egun a de si p ac ican más depo e los chicos o las chicas.
• Hace una in e encia (Lee más allá de los da os): equie e que el lec o ealice
Es adís ica
727
p edicciones e in e encias a pa i de los da os sob e in o maciones que no se e lejan
di ec amen e en el g á ico. En la Figu a 1, da un azonamien o sob e si los da os se
pod ían aplica a odos los chicos y chicas del colegio.
• Valo a los da os (Lee de ás de los da os). Supone alo a la iabilidad y comple i ud
de los da os, como hace un juicio sob e si ealmen e las p egun as de la encues a
miden la p ác ica de depo e, o cómo pod íamos medi lo de una o ma más iable.
Hay a ios pun os que a ec an a la comp ensión de los g á icos y a su di icul ad y
que deben se enidos en cuen a po los p o eso es:
• conocimien o p e io del ema al que se e ie e el g á ico; si el alumno es á o no
amilia izado con el con ex o;
• conocimien o p e io del con enido ma emá ico del g á ico, es o es, los concep os
numé icos, elaciones y ope aciones con enidas en el mismo;
• conocimien o p e io del ipo de g á ico empleado (g á ico de ba as, pic og ama, e c.).
Cuando los alumnos a an de hace los g á icos es adís icos come en e o es. Los
más habi uales son los siguien es:
• elección inco ec a del ipo de g á ico, como usa polígonos de ecuencias con
a iables cuali a i as;
• la elección de las escalas de ep esen ación son poco adecuadas, o bien omi i las
escalas en alguno de los ejes ho izon al o e ical, o en ambos;
• no especi ica el o igen de coo denadas;
• no p opo ciona su icien es di isiones en las escalas de los ejes;
• no espe a los con enios, como al ob ene un diag ama de sec o es en los que és os no
son p opo cionales a las ecuencias de las ca ego ías.
• mezcla da os que no son compa ables en un g á ico, como compa a 30 sillas y 50 kg.
de ca ne.
4.2. Medidas de posición cen al
Además de se uno de los p incipales concep os es adís icos, la media iene muchas
aplicaciones en cues iones p ác icas de la ida dia ia. Que es e concep o no es an simple
como pa ece lo puedes comp oba al a a de esol e el siguien e p oblema:
P oblema: Hay 10 pe sonas en un ascenso , 4 muje es y 6 homb es. El peso medio de las
muje es es de 60 kilos. y el de los homb es de 90. ¿Cuál es el peso medio de las 10
pe sonas del ascenso ?
Una eacción ecuen e al esol e el p oblema an e io es deci que la media es 75
kilos. Sin emba go es a solución es e ónea po que en el ascenso hay más homb es que
muje es. Las si uaciones en las cuales se debe calcula una media ponde ada son
ecuen es: calcula la pun uación media en un cu so, la elocidad media, o el índice de
p ecios. También cuando calculamos la media a pa i de una abla de da os. No se puede
ol ida que en es e caso cada alo de la a iable iene que ponde a se po su ecuencia.
También se come en e o es al calcula la media, mediana y moda. Algunos de los
más ecuen es son:
• Moda: Toma la mayo ecuencia absolu a, en luga del alo de la a iable.
• Mediana: No o dena los da os pa a calcula la mediana; calcula el da o cen al de las
ecuencias absolu as o denadas de o ma c ecien e; calcula la moda en ez de la
mediana; equi oca se al calcula el alo cen al.
C. Ba ane o y J. D. Godino
728
• Media: Halla la media de los alo es de las ecuencias; no ene en cuen a la
ecuencia absolu a de cada alo en el cálculo de la media.
En o os casos el cálculo se hace co ec amen e, pe o no se en iende el algo i mo de
cálculo. Es o se puede comp oba si le pides a un alumno que e diga 10 núme os
di e en es cuya media sea igual a cua o o bien que e dé el núme o que al a en e 5
sabiendo que la suma de los cua o p ime os es 23 y la media es igual a 5. Muchos no
sab án como hace lo o lo ha án con di icul ad.
4.3. Ca ac e ís icas de dispe sión
El es udio de una dis ibución de ecuencias no puede educi se al de sus
p omedios, ya que dis ibuciones con medias o medianas iguales pueden ene dis in os
g ados de a iabilidad. Un e o ecuen e es igno a la dispe sión de los da os cuando se
e ec úan compa aciones en e dos o más mues as o poblaciones.
Ejemplo: ¿Te pa ece po ejemplo, que demues an igual cons ancia y debe ían cali ica se
igual dos alumnos si en el p ime o u o un 10 en el examen eó ico y un 0 en el p ác ico y
o o que u o un 6 y un 4?
La des iación ípica mide la in ensidad con que los da os se des ían espec o de la
media, pe o muchos lib os de ex o no esal an bien es a p opiedad y ponen mayo én asis
en la he e ogeneidad en e las obse aciones que en su des iación espec o de la posición
cen al.
Ejemplo: ¿Cuál de los dos conjun os iene mayo dispe sión?
Conjun o A: 10, 20, 30, 40, 50 y 60 cm.
Conjun o B :10, 10, 10, 60, 60 y 60 cm.
O as di icul ades se e ie en al cálculo, ya que algunos alumnos suponen que no
hay que ene en cuen a los ce os pa a calcula la des iación ípica o no ponde an los
alo es cuando hacen un cálculo a pa i de la abla de ecuencias.
4.4. I emes de e aluación
A con inuación incluimos in o mación sob e algunos í emes usados en
in es igaciones sob e la comp ensión de la es adís ica. Indica cuál es la solución co ec a
y el ipo de azonamien o que subyace en las espues as inco ec as.
I em 1. El ayun amien o de un pueblo quie e es ima el núme o p omedio de niños po
amilia. Di iden el núme o o al de niños de la ciudad po 50 (que es el núme o o al de
amilias) y ob ienen 2.2. ¿Cuáles de las siguien es a i maciones son cie as?
a) La mi ad de las amilias de la ciudad ienen más de 2 niños
b) En la ciudad hay más amilias con 3 niños que amilias con 2 niños
c) Hay un o al de 110 niños en la ciudad
d) Hay 2,2 niños po adul o en la ciudad
e) El núme o más común de niños po amilia es 2
I em 2. Supón que quie es comp a un coche nue o y quie es decidi en e la ma ca A y
B. En una e is a de au omó iles encuen as un es udio es adís ico sob e epa aciones
e ec uadas el úl imo años que mues a que la ma ca A iene menos a e ías que la B. Sin
emba go, e encuen as un amigo que e dice que comp ó el año pasado un coche B y no

Es adís ica
729
ha enido más que p oblemas: p ime o se le es opeó la inyección de gasolina y gas ó
25.000 p s, luego u o que cambia el eje ase o y al inal, ha endido el coche po que se
le ue la ansmisión. ¿Que decisión oma ías, comp a un coche A o B?
Í em 3. Ma ia y Ped o dedican una media de 8 ho as cada in de semana a hace
depo e. O os 8 es udian es dedican cada semana una media de 4 ho as a hace depo e.
a. ¿Cuál es el núme o medio de ho as que hacen depo e cada in de semana los 10
es udian es?.
b. Ma ía y Ped o dedican además 1 ho a cada in de semana a escucha música y los
o os 8 es udian es, 3 ho as. ¿Cuál es el núme o medio de ho as que escuchan
música los 10 es udian es?
c. ¿Cuál se ía el núme o medio de ho as que es os 10 es udian es dedican, cada in de
semana, en e las dos ac i idades: hace depo e y escucha música?
5. TALLER DE DIDÁCTICA
5.1. Análisis de ex os escola es. Diseño de unidades didác icas
Consigue una colección de lib os de ex o de ma emá icas de 2º y 3e ciclo de
p ima ia ( ecomendamos busca los lib os que u ilizas e pe sonalmen e, o bien los de
algún amilia o amigo).
1. Busca ejemplos y eje cicios elacionados con las ideas es adís icas.
2. Iden i ica aspec os del desa ollo del ema en los manuales escola es que conside es
po encialmen e con lic i os.
3. Desc ibe los cambios que in oduci ías en el diseño de las lecciones p opues as pa a
los cu sos 5º y 6º de p ima ia.
5.2. Análisis de espues as a a eas de e aluación
Un p o eso ha pedido a sus alumnos que midan la can idad de nie e caída cada día de
una semana. Han ob enido los da os siguien es: Lunes, 6 cm, Ma es, 4 cm, Mié coles,
4 cm, Jue es 1 cm y Vie nes 0 cm. El p o eso pide calcula la can idad media de nie e
que ha caído al día.
Pa a cada una de las siguien es si uaciones, desc ibe los posibles mo i os de las
espues as del alumno y cómo puede ayuda le un p o eso a comp ende el concep o o
el p ocedimien o implicado:
a) Isabel no en iende po qué la suma de 15 cm se iene que di idi po 5 en luga de 4
pa a sabe el p omedio de nie e caída.
b) Ca los no comp ende po qué la espues a puede se 3 en luga de una de las
medidas.
c) Isabel no comp ende po qué la suma de las di e encias en e cada pun uación y la
media iene que se ce o.
2. Supón que o mas pa e de un ju ado de un concu so escola sob e expe iencias en la
clase de ciencias. Jaime in es igó si las plan as de guisan es c ecen más bajo la luz sola
o con una can idad igual de luz p oceden e de una lámpa a. La abla siguien e con iene
las mediciones que ealizó.
C. Ba ane o y J. D. Godino
730
Al u a de las plan as pa a cada una de las condiciones de
iluminación
Luz sola 0'4 1'3 1'8 1'9 2'2 2'2 2'3 2'5 2'6 2'6 2'8 3
Luz a i icial 1'3 1'5 1'8 2 2' 2'2 2'2 2'3 2'4 2'7 2'8 3
Jaime in o mó que la al u a media de las 12 plan as de guisan es expues as a la luz sola
ue de 2.13 y la co espondien e a las o as 12 plan as expues as a la luz a i icial ue de
2.2. Concluyó que las plan as de guisan es c ecen más bajo la luz a i icial. E alua la
conclusión de Jaime.
3. Pa a cada uno de los í emes siguien es analiza las espues as de los alumnos, indicando
si es o no co ec a y explica el ipo de azonamien o seguido
Í em 1. Se han elegido 10 amilias y el núme o medio de hijos en e las 10 amilias es 1.2 hijos
po amilia. Los Ga cía ienen 4 hijos y los Pé ez ienen 1 hijo, ¿cuán os hijos pod ían ene las
o as 8 amilias pa a que la media de hijos en las diez amilias sea 1.2 ? Jus i ica u espues a.
Respues as
a. “Las o as 8 amilias ienen que suma un o al de 7 niños. Po que al hace esa media
necesi amos 12 niños”.
b. “De las 8 amilias, que 7 de ellas engan 1 hijo y la oc a a que no enga hijos, ...”
c. “ Pod ían ene dos niños. Po que la media es de 9’6 niños en e las 8 amilias:
Familia 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª
N. hijos 2 1 1 1’6
1 1 1 1
d. “Pod ían ene un hijo po amilia, pe o no sab ía explica po qué. C eo que es po que de
10 amilias que elijo, cojo 8 y si los di ido me da 1’25”.
Í em 2. Cua o amigos se eúnen pa a p epa a una cena. Cada uno de ellos ajo ha ina pa a
hace la masa de las pizzas. Como que ían hace cua o pizzas del mismo amaño, los que
habían aído más ha ina egala on a los que lle a on menos. ¿La can idad de ha ina egalada
po los que habían aído mucha ue mayo , meno o igual a la ecibida po los que habían aído
poca? ¿Po qué piensas eso?
Respues as
§ “Es igual po que al inal se queda on odos con la misma ha ina”.
§ “Es igual po que la can idad de ha ina que dan los que ienen mucha es igual a la
can idad de ha ina que los que la eciben”.
§ “Fue meno ya que al inal end án que ene odos la misma can idad”.
Í em 3. Tenemos seis núme os y el más g ande es el 5. Sumamos es os núme os y di idimos la
suma po seis. El esul ado es 4. ¿Te pa ece posible? ¿Po qué?
§ “ Sí es posible, po que sí se puede hace . Po ejemplo, cogemos cua o eces el 5 y una ez
el 4, lo sumamos y lo di idimos en e 6 y el esul ado es 4”.
§ “No es posible po que en e 6 núme os donde el mayo es 5 no pueden suma 24”.
§ “No es posible po que en odo caso sald ía –4 y no 4”.
4. Las siguien es a eas se han usado pa a de ec a o os e o es de comp ensión de la
media. Analiza qué p opiedad se a a de e alua y cuál es la espues a co ec a:
1) ¿Qué quie e deci que el núme o medio de niños po amilia en España es 1’2? Danos
Es adís ica
731
un ejemplo de 10 amilias de modo que le núme o medio de niños en las 10 amilias
sea igual a 1’2.
2) Unos niños aen ie a a clase pa a plan a mace as. Cada uno ae lo que puede y los
que aen más ie a epa en a los que aen menos de modo que al inal cada niño
iene 1’3 kilos de ie a. Si un niño nue o iene a clase y deciden epa i a pa es
iguales, ¿Qué can idad end á aho a cada niño?
3) La edad media de un g upo de niños es de 7’8 años. Cuál se á la edad media de los
niños den o de seis meses?
BIBLIOGRAFÍA
Ba ane o, C. (2000). Didác ica de la Es adís ica. G anada: G upo de In es igación en
Educación Es adís ica. Depa amen o de Didác ica de las Ma emá icas.
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Ba ane o, C., Godino, J. D. y Es epa, A. (1993). Análisis explo a o io de da os; sus
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Vallecillos, A. (2001). Análisis explo a o io de da os. En, E. Cas o (Ed.). Didác ica de
la ma emá ica en la Educación P ima ia (pp. 559-589). Mad id: Sín esis.
C. Ba ane o y J. D. Godino
732
P obabilidad
739
B: Conocimien os Ma emá icos
1. FENÓMENOS ESTOCÁSTICOS
La p incipal azón pa a in oduci el es udio de las si uaciones alea o ias y las
nociones básicas sob e p obabilidad en la enseñanza p ima ia es que las ales si uaciones
son ecuen es en la ida co idiana.
1.1. Aza y lenguaje
En nues as con e saciones, juegos, cuen os y canciones in an iles, p ensa y
li e a u a encon amos con ecuencia e e encias al aza . Po ejemplo, los niños usan
canciones como “Pi o –pi o” pa a echa a sue es en el escondi e o en el esca e, juegan
al pa chís, la oca, o ganizan so eos, e c.
• Si buscamos la palab a alea o io en el "Dicciona io del uso del español" (M. Moline
(1983) encon amos: "Incie o. Se dice de lo que depende de la sue e o el aza ",
siendo el aza la "supues a causa de los sucesos no debidos a una necesidad na u al ni
a una in e ención in encionada humana ni di ina".
• Si buscamos la palab a aza encon amos: "Del á abe 'zah ', lo , po la que se
pin aba en una de las ca as del dado".
Es a de inición nos emi e al juego de dados, un ejemplo ípico de lo que odo el
mundo acep a como enómenos alea o ios, donde una ca ac e ís ica es el ca ác e
imp e isible del esul ado.
Hay muchas o as palab as elacionadas con “aza ” y “alea o io”:
casual, acciden al, e en ual, o ui o, impensado, imp e isible, inespe ado
inopinado, ocasional, ....
También hay muchas exp esiones que se usan en los juegos in an iles, con es e mismo
signi icado:
po sue e, po sue e, po chi ipa, po chamba , de ebo e, de echazo, sin
que e , sin in ención, sin plan,...
Es a a iedad de exp esiones indica que los enómenos alea o ios son ce canos a
nues a expe iencia y que incluso los niños son capaces de obse a el ca ác e
imp e isible de es os enómenos.
1.2. El aza en la ealidad
Al a a de busca ejemplos de enómenos alea o ios encon amos cua o g andes
campos de aplicación de la es adís ica elacionados con el homb e: el mundo biológico,
ísico, social y polí ico.
Nues o mundo biológico
Den o del campo biológico, emos que muchas ca ac e ís icas he edadas en el
nacimien o no se pueden p e e de an emano: el sexo, colo de pelo, peso al nace , e c.
Algunos asgos como la es a u a, núme o de pulsaciones po minu o, ecuen o de hema íes,
e c, dependen incluso del momen o en que se miden.

C. Ba ane o y J. D. Godino
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En medicina, la posibilidad de con agio o no en una epidemia, la edad en que se su e
una en e medad in an il, la du ación de un cie o sín oma, o la posibilidad de un
diagnós ico co ec o cuando hay a ias posibles en e medades que p esen an sín omas
pa ecidos a ían de uno a o o chico. El e ec o posible de una acuna, el iesgo de eacción
a la misma, la posibilidad de he eda una cie a en e medad o de ec o, o el modo en que se
de e mina el ecuen o de glóbulos ojos a pa i de una mues a de sang e son ejemplos de
si uaciones alea o ias.
Cuando se hacen p edicciones sob e la población mundial o en una egión dada pa a el
año 2050, po ejemplo, o sob e la posibilidad de ex inción de las ballenas, se es án usado
es udios p obabilís icos de modelos de c ecimien o de poblaciones, de igual o ma que
cuando se hacen es imaciones de la ex ensión de una cie a en e medad o de la espe anza
de ida de un indi iduo.
En ag icul u a y zoo ecnia se u ilizan es os modelos pa a p e e el e ec o del uso de
e ilizan es o pes icidas, e alua el endimien o de una cosecha o las consecuencias de la
ex ensión de una epidemia, nube óxica, e c.
Po úl imo, y en el ámbi o de la psico isiología, obse amos el e ec o del aza sob e el
cocien e in elec ual o en la in ensidad de espues a a un es ímulo, así como en los ipos
di e en es de ca ac e es o capacidades de los indi iduos.
El mundo ísico
Además del con ex o biológico del p opio indi iduo, nos hallamos inme sos en un
medio ísico a iable. ¿Qué mejo uen e de ejemplos sob e enómenos alea o ios que los
me eo ológicos?. La du ación, in ensidad, ex ensión de las llu ias, o men as o g anizos;
las empe a u as máximas y mínimas, la in ensidad y di ección del ien o son a iables
alea o ias. También lo son las posibles consecuencias de es os enómenos: el olumen de
agua en un pan ano, la magni ud de daños de una iada o g anizo son ejemplos en los que
se p esen a la ocasión del es udio de la es adís ica y p obabilidad.
También en nues o mundo ísico dependemos de cie as ma e ias p imas como el
pe óleo, ca bón y o os mine ales; la es imación de es as necesidades, localización de
uen es de ene gía, el p ecio, e c, es án suje os a a iaciones de un cla o ca ác e alea o io.
O a uen e de a iabilidad alea o ia es la medida de magni udes. Cuando pesamos,
medimos iempo, longi udes, e c, come emos e o es alea o ios. Uno de los p oblemas que
se puede plan ea es la es imación del e o del ins umen o y asigna una es imación lo
más p ecisa posible de la medida. Po úl imo, ci amos los p oblemas de iabilidad y con ol
de la calidad de los apa a os y disposi i os que usamos: coche, ele iso , e c.
El mundo social
El homb e no i e aislado: i imos en sociedad; la amilia, la escuela, el abajo, el
ocio es án llenos de si uaciones en las que p edomina la ince idumb e. El núme o de hijos
de la amilia, la edad de los pad es al con ae ma imonio, el ipo de abajo, las c eencias
o a iciones de los miemb os a ían de una amilia a o a.
En la escuela, ¿podemos p e e las p egun as del p óximo examen?; ¿quién gana á el
p óximo pa ido?, ...
Pa a desplaza nos de casa a la escuela, o pa a i de acaciones, dependemos del
anspo e público que puede su i e asos. ¿Cuán os iaje os usa án el au obús?
¿Cuán os clien es hab á en la caja del supe me cado el ie nes a las 7 de la a de?
En nues os a os de ocio p ac icamos juegos de aza ales como quinielas o lo e ías.
Acudimos a encuen os depo i os cuyos esul ados son incie os y en los que end emos
que hace cola pa a consegui las en adas, ...
Cuando hacemos una póliza de segu os no sabemos si la cob a emos o po el
P obabilidad
741
con a io pe de emos el dine o pagado; cuando comp amos acciones en bolsa es amos
expues os a la a iación en las co izaciones,...
El mundo polí ico
El Gobie no, a cualquie ni el, local, nacional o de o ganismos in e nacionales,
necesi a oma múl iples decisiones que dependen de enómenos incie os y sob e los
cuales necesi a in o mación. Po es e mo i o la adminis ación p ecisa de la elabo ación de
censos y encues as di e sas. Desde los esul ados elec o ales has a los censos de población
hay muchas es adís icas cuyos esul ados a ec an las decisiones de gobie no y odas es as
es adís icas se e ie en a dis in as a iables alea o ias ela i as a un cie o colec i o. En e
las más impo an es ci a emos: el índice de p ecios al consumo, las asas de población
ac i a, emig ación - inmig ación, es adís icas demog á icas, p oducción de los dis in os
bienes, come cio, e c, de las que dia iamen e escuchamos sus alo es en las no icias.
2. PROBABILIDAD. ASIGNACIÓN SUBJETIVA DE PROBABILIDADES
2.1. Expe imen o y suceso alea o io
Un ejemplo co idiano de si uación alea o ia es el p onós ico del iempo. Pa a
lle a lo a cabo se aplican las écnicas de ecogida de da os es adís icos y pa a un día
dado no sabemos con segu idad cuál se á la empe a u a o si llo e á. Sin emba go,
dependiendo de la época del año unos sucesos nos pa ecen más p obables que o os.
U ilizamos la exp esión "expe imen o alea o io" pa a desc ibi es e ipo de si uaciones.
Eje cicios
1. Daniel y Ana son niños co dobeses. Acuden a la misma escuela y su p o eso les ha pedido
que p epa en una p e isión del iempo pa a el día 24 de Junio, echa en que comenza án sus
acaciones. Pues o que es án aún en el mes de Mayo, Daniel y Ana no pueden p edeci
exac amen e lo que ocu i á. Po ello, han buscado una lis a de exp esiones pa a u iliza en la
desc ipción del p onós ico. He aquí algunas de ellas:
cie o; posible; bas an e p obable; hay alguna posibilidad; segu o; es imposible; casi
imposible; se espe a que; incie o; hay igual p obabilidad; puede se ; sin duda, ...
¿Pod ías acaba de clasi ica es as palab as según la mayo o meno con ianza que exp esan en
que ocu a un suceso? Busca en el dicciona io nue as palab as o ases pa a e e i e a hechos
que pueden ocu i y compá alas con las dadas an e io men e.
2. Busca en la p ensa ases o p e isiones sob e hechos u u os en que se usen las palab as
an e io es. Clasi ícalas según la con ianza que ienes en que ocu an. Compa a u clasi icación
con la de o os compañe os.
En p obabilidad llamamos "expe imen o" an o a los e dade os expe imen os que
podamos p o oca como a enómenos obse ables en el mundo eal; en és e úl imo
caso, la p opia acción de obse a el enómeno se conside a como un expe imen o. Po
ejemplo, la comp obación del sexo de un ecién nacido se puede conside a como la
ealización de un expe imen o. Di e enciamos en e expe imen os de e minis as y
alea o ios. Los p ime os son aquellos que, ealizados en las mismas ci cuns ancias sólo
ienen un esul ado posible. Po el con a io, un expe imen o alea o io se ca ac e iza po
la posibilidad de da luga , en idén icas condiciones, a di e en es esul ados.
C. Ba ane o y J. D. Godino
742
Suceso es cada uno de los posibles esul ados de un expe imen o alea o io.
Dis inguimos en e sucesos elemen ales, cuando no pueden descompone se en o os más
simples y suceso compues os cuando se componen de dos o más sucesos elemen ales
po medio de ope aciones lógicas como la conjunción, disyunción o negación.
Eje cicio
3. Pone es ejemplos de expe imen os alea o ios y de e minis as. Pa a cada uno de ellos
desc ibi un suceso simple y o o compues o.
2.2. Suceso segu o e imposible
El conjun o de odos los esul ados posibles de un expe imen o alea o io se
denomina espacio mues al o suceso segu o. Suele ep esen a se median e la le a E.
Po ejemplo, el espacio mues al ob enido al lanza un dado se ía E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Es e espacio mues al es ini o, pe o podemos conside a un espacio mues al con
in ini os esul ados posibles. Po ejemplo, la du ación de una lámpa a pod ía a ia en
un in e alo con inuo [0, 1000], donde hay in ini os pun os. O os casos se ían el peso o
la alla de una pe sona omada al aza de una población.
Pues o que el suceso segu o cons a de odos los esul ados posibles, siemp e se
e i ica. Teó icamen e pod íamos ambién pensa en un suceso que nunca pueda ocu i ,
como ob ene un 7 al lanza un dado o dina io. Lo llama emos suceso imposible y lo
ep esen amos po ∅.
Eje cicios:
4. Desc ibi el espacio mues al asociado a cada uno de los siguien es expe imen os: a)
lanzamien o simul áneo de dos monedas. b) suma de los pun os ob enidos al lanza
simul áneamen e dos dados.
5. Desc ibi un suceso imposible asociado a cada uno de los expe imen os del eje cicio 2.
6. En una caja hay 4 bolas ojas, 3 e des y 2 blancas. ¿Cuán as bolas se deben saca
sucesi amen e pa a es a segu o de ob ene una bola de cada colo ?
7. Dos sucesos que no pueden ocu i a la ez se llaman incompa ibles. Po ejemplo, no pueden
ocu i a la ez los sucesos "ob ene pa " y "ob ene impa " cuando lanzamos un dado. Tampoco
pod ían ocu i a la ez "se meno que 3" y "se mayo que 5". ¿Pod ías da ejemplos de o os
sucesos incompa ibles?
2.3. Asignación de p obabilidades subje i as
La asignación de p obabilidades median e palab as o exp esiones no es muy
p ecisa. Po ello, pa a asigna p obabilidades a sucesos, se hace co esponde un alo
numé ico en e 0 y 1.
Es o pe mi e compa a di e en es sucesos, o bien si ua los sob e un g á ico, que
llama emos la escala de la p obabilidad (Figu a 1). Una ez ealizado el eje cicio 1
indi idualmen e o po pa ejas, pueden compa a se los esul ados de los di e sos
g upos. Pues o que cada alumno o g upo ha abajado independien emen e del es o, las
p obabilidades asignadas ienen un ca ác e subje i o. Cada alumno pod ía usa
di e en e in o mación o dis in os c i e ios seguidos en su asignación.
P obabilidad
743
Finalmen e, pod emos ob ene unas p obabilidades en las que oda la clase se
mues e de acue do, omando el alo medio o la mediana de las p obabilidades
asignadas indi idualmen e a los di e sos sucesos po los di e en es alumnos.
Figu a 1
2.4 P obabilidad, como g ado de c eencia
Pa a medi la mayo o meno posibilidad de que ocu a un suceso en un
expe imen o, le asignamos un núme o en e 0 y 1 llamado su p obabilidad.
La p obabilidad a ía en e 0 y 1
El suceso segu o siemp e ocu e y el suceso imposible no puede ocu i .
Asignamos una p obabilidad 0 a un suceso que nunca puede ocu i , po ejemplo, que
salga un 7 al lanza el dado. Asignamos un 1 a un suceso que ocu e siemp e que se
ealiza el expe imen o; po ejemplo, al lanza una moneda es segu o que sald á o "ca a o
c uz".
En e es os dos casos se encuen an el es o de los sucesos asociados a cada
expe imen o. A pesa de que no sabemos cual de ellos ocu i á en una p ueba pa icula ,
algunos de ellos nos me ecen más con ianza que o os, en unción de nues os
conocimien os sob e las condiciones de ealización del expe imen o. Po medio de la
p obabilidad cuan i icamos nues o g ado de c eencia ace ca de la ocu encia de cada
uno de los sucesos asociados a un expe imen o. A cualquie o o suceso dis in o del
"imposible" y del "segu o" se le asigna un núme o en e 0 y 1.
Es e alo lo asignamos de acue do con nues a in o mación y la c eencia que
engamos en la ocu encia del suceso. Po ello, di e en es pe sonas pod ían asigna una
p obabilidad dis in a al mismo suceso.
Po ejemplo, si nos p egun an po la p obabilidad de que una cie a pe sona llegue
a cumpli 25 años, di emos que es muy al a. Pe o, si su médico sabe que es a pe sona
su e una en e medad incu able da á un alo bajo pa a es a misma p obabilidad.
Eje cicios:
8. Espe anza de ida: A pa i de una abla de ida, hace p edicciones sob e la p obabilidad
de i i x años, o de i i en el año 2010, según sea un chico o una chica, el p o eso , e c.
9. In es igación. Discu i y o dena las p obabilidades de que se p oduzcan di e sos in en os
an es de 5, o 10 años ( acunas, iajes in e plane a ios, ene gía,...)
Imposi
ble
Hay igual p obabilidad
Segu o
5
10
0
10
1
2
1
0
10
10
C. Ba ane o y J. D. Godino
744
10. Acciden es:. Esc ibi una se ie de ases sob e la educción o aumen o del núme o de
acciden es, p obabilidad de que se p oduzcan en una echa dada y o dena las de mayo a
meno p obabilidad.
11. Resul ados de elecciones. Con mo i o de algunas elecciones escola es, locales, e c,
plan ea la mayo o meno p obabilidad de que esul e elegido un candida o, o de que log e
odos los o os, los 2/3, e c. Pa a ello u iliza los g á icos de alguna encues a publicada en la
p ensa local (po ejemplo, un g á ico de ba as o sec o es).
12. Recoge de la p ensa los da os de las empe a u as máxima y mínima du an e una semana
en las capi ales de p o incia. Con ecciona una abla es adís ica con es os da os. ¿Cuál c ees
que se á la empe a u a máxima y mínima más p obable la p óxima semana?
13. Busca dos g á icos es adís icos di e en es que hayan apa ecido en la p ensa local
ecien emen e. Pa a cada uno de ellos desc ibe el expe imen o alea o io al que se e ie en; los
sucesos asociados y cuál de ellos es más p obable. ¿Pod ías hace un g á ico al e na i o pa a
ep esen a la in o mación en cada uno de los casos?
3. ESTIMACIÓN DE PROBABILIDADES
3.1. F ecuencia absolu a y ela i a. Es abilidad de las ecuencias ela i as
Cuando ealizamos un expe imen o N eces, llamamos ecuencia absolu a del
suceso A el núme o N
A de eces que ocu e A. Al cocien e h(A)=NA/N le llamamos
ecuencia ela i a del suceso. Se pueden obse a las es p opiedades siguien es en las
ecuencias ela i as:
1. La ecuencia ela i a del suceso a ía en e 0 y 1;
2. La ecuencia ela i a del suceso segu o siemp e es 1 en cualquie se ie de ensayos.
3. Supongamos que un suceso A se o ma uniendo sucesos que no ienen elemen os
comunes. En es e caso, la ecuencia ela i a del suceso A es la suma de las
ecuencias ela i as de los sucesos que lo componen.
Po ejemplo, al lanza un dado, h(pa )= h(2)+h(4)+h(6).
El alo de la ecuencia ela i a de un suceso no es ijo pa a N, pues o que se a a
de un enómeno alea o io. Dos alumnos de la clase que ealicen el mismo expe imen o
50 eces pueden ob ene di e en es alo es de las ecuencias absolu a y ela i a del
mismo suceso. Sin emba go, pa a una se ie la ga de ensayos, las luc uaciones de la
ecuencia ela i a son cada ez más a as y de meno magni ud.
Es e hecho iene una demos ación ma emá ica, en los eo emas conocidos como
"leyes de los g andes núme os". También puede obse a se expe imen almen e; po
ejemplo, en las es adís icas ecogidas en g andes se ies de da os sob e na alidad,
acciden es, enómenos a mos é icos, e c.
3.2. Es imación ecuencial de la p obabilidad
La es abilidad de la ecuencia ela i a en la gas se ies de ensayos, jun o con el
hecho de que haya enómenos pa a los cuales los sucesos elemen ales no son
equip obables, hace que pueda es ima se el alo ap oximado de la p obabilidad de un
suceso a pa i de la ecuencia ela i a ob enida en un núme o ele ado de p uebas. Es e
es el único mé odo de asigna p obabilidades en expe imen os ales como "lanza una

P obabilidad
745
chinche a" o " ene un acciden e de coche en una ope ación e o no". Recue da, no
obs an e, que el alo que ob enemos de es a o ma es siemp e ap oximado, es deci ,
cons i uye una es imación de la p obabilidad.
Sabemos, po ejemplo, que, debido a las leyes gené icas la p obabilidad de nace
a ón o muje es ap oximadamen e la misma. Sin emba go, si en un hospi al hacemos
una es adís ica de nacimien os no se ía a o que un día dado, de diez ecién nacidos, 7 u
8 uesen a ones. Se ía más a o que uesen a ones 70 o más en e cien ecien nacidos,
y oda ía más di ícil que más del 70% de en e 100.000 ecién nacidos lo uesen.
Con es e ejemplo, emos ambién que es muy impo an e el amaño de la mues a
en la es imación de las p obabilidades ecuenciales. A mayo amaño de mues a,
mayo iabilidad, po que hay más a iabilidad en las mues as pequeñas que en las
g andes.
Eje cicios
14 ¿Cuál de las siguien es a i maciones e pa ece e dade a cuando lanzamos un dado? ¿Po
qué?
a) la p obabilidad de ob ene un 3 es mayo que la de ob ene un 6
b) la p obabilidad de ob ene un 6 es mayo que la de ob ene un 3;
c) la p obabilidad de ob ene un 6 es igual que la de ob ene un 3;
d) la p obabilidad de ob ene un 1es mayo que 1/2 ;
e) Asigna un alo numé ico a la p obabilidad de ob ene un 1.
15. Expe imen os con chinche as. Po pa ejas, los alumnos lanzan una caja de chinche as sob e
una mesa, con ando cuán as de ellas caen de pun a o de cabeza. Con los esul ados de oda la
clase puede es ima se, ap oximadamen e, la p obabilidad de es os dos sucesos y el p o eso
puede ap o echa pa a hace obse a a los chicos que exis en ejemplos de expe imen os en los
que la aplicación de la egla de Laplace no es pe inen e.
3.3. Simulación de expe imen os alea o ios
La ealización de expe imen os alea o ios usando disposi i os ísicos, como dados,
ichas, bolas, ule as, e c. puede eque i bas an e iempo. A eces, incluso puede que
no se dispongan de ales disposi i os en núme o su icien e pa a oda la clase. Una
al e na i a álida consis e en simula ales expe imen os po medio de una abla de
núme os alea o ios. Es e p ocedimien o incluso pe mi e esol e p oblemas de
p obabilidad eales haciendo las simulaciones con un o denado .
Llamamos simulación a la sus i ución de un expe imen o alea o io po o o
equi alen e con el cual se expe imen a pa a ob ene es imaciones de p obabilidades de
sucesos asociados al p ime expe imen o. La es imación de la p obabilidad que se
ob iene con el expe imen o simulado es an álida como si se a ase del expe imen o
eal. Es e es el mé odo que se emplea pa a ob ene p e isiones en las siguien es
si uaciones:
a) Expe imen os complejos, como se ía plani ica el á ico du an e una ope ación
salida de acaciones.
b) Expe imen os pelig osos, como es ima la empe a u a de con ol o la elocidad de
eacción pe mi ida en una cen al nuclea .
c) Si uaciones u u as: es udios ecológicos o sob e con aminación ambien al.
C. Ba ane o y J. D. Godino
746
Eje cicios
16. Explica cómo usa la abla de núme os alea o ios de la igu a 3, o los núme os alea o ios
gene ados po u calculado a, pa a simula los siguien es expe imen os:
a) Lanza una moneda. Figu a 2
b) Ti a un dado.
c) Saca bolas nume adas del 1 al 100 de una bolsa.
d) Gi a una ule a como la de la igu a 2.
e) Obse a el sexo de un ecién nacido.
) Obse a el sexo de 2 ecién nacidos
8231
4167
2530
7720
5676
1581
1649
564
3295
5354
4496
8048
9488
3297
7785
6922
7832
9461
9526
1473
4871
0564
2895
0249
4688
3781
8989
5516
2423
1518
2179
8540
9166
3163
8419
7023
5233
9033
9349
1256
2125
5297
0125
8071
9371
5108
7098
6403
6207
1817
Figu a 3: Tabla de núme os alea o ios
4. ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES. REGLA DE LAPLACE
Eje cicios
17. Cuando lanzamos un dado, ob enemos el espacio mues a E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Supongamos
que es e dado es á pe ec amen e cons uído. No enemos, po an o, mo i os pa a da en aja a
ninguno de los esul ados. ¿Cuál se ía la p obabilidad de cada uno de los esul ados elemen ales,
P(1) = ; ... ; P(6)= ? Razona la espues a.
18. En el espacio mues al ob enido al lanza un dado podemos o ma subconjun os suyos o
sucesos, po ejemplo, A = "ob ene pa " = {2, 4, 6 }. Esc ibe los elemen os de los siguien es
subconjun os de E:
B = "núme o impa " =
C "núme o p imo" =
D = "núme o compues o" =
F = "múl iplo de 3" =
Asigna p obabilidades a cada uno de los sucesos B, C, D, E. Razona las espues as.
Si un espacio mues al cons a de un núme o ini o n de sucesos elemen ales y no
enemos mo i o pa a supone que alguno de ellos pueda ocu i con mayo ecuencia
que los es an es, la p obabilidad de cada uno de es os sucesos elemen ales es 1/n
En es os casos, podemos aplica la egla de Laplace pa a calcula las
p obabilidades de los sucesos compues os. Un suceso compues o que se compone de k
sucesos elemen ales, iene, en es e caso una p obabilidad igual a k/n ( egla de Laplace)
En el caso de que engamos mo i os pa a pensa que algún suceso puede da se con
mayo ecuencia que o os (po ejemplo, al usa un dado sesgado) o bien cuando el
espacio mues al es in ini o, no podemos aplica es a egla.
B 45º A 135º
C 90º D 90º
P obabilidad
747
Eje cicios
19. Un expe imen o consis e en lanza un dado con o ma de dodecaed o, con los núme os del 1
al 12 en sus ca as. Encon a la p obabilidad de cada uno de los siguien es sucesos:
a) Ob ene un núme o pa ; b) Ob ene un núme o p imo; c) Ob ene un di iso de 12.
20. Se oma un núme o comp endido en e 0 y 999
a) ¿Cuál es la p obabilidad de que el núme o sea múl iplo de 5?
b) ¿Cuál es la p obabilidad de que la ci a cen al sea mayo que las o as dos?
21. A un cong eso asis en 100 pe sonas. De ellas, 80 hablan ancés y 40 inglés. ¿Cuál es la
p obabilidad de que un asis en e hable los dos idiomas?
Axiomas de la p obabilidad
En los apa ados an e io es hemos is o es modos di e en es de asigna
p obabilidades, según el ipo de expe imen o alea o io:
a) En el caso de espacios mues ales con un núme o ini o de sucesos elemen ales en
los que pueda aplica se el p incipio de indi e encia, calculamos las p obabilidades
usando la egla de Laplace.
b) Si no podemos usa la egla de Laplace, pe o enemos in o mación es adís ica sob e
las ecuencias ela i as de apa ición de dis in os sucesos, podemos ob ene una
es imación ecuencial de las p obabilidades.
c) En los demás casos, el único modo de asigna las p obabilidades a los sucesos es de
modo subje i o.
En odos los casos, las p obabilidades cumplen unas mismas p opiedades, que se
ecogen en la de inición axiomá ica de la p obabilidad.
Toda eo ía ma emá ica se desa olla a pa i de una se ie de axiomas.
Gene almen e es os axiomas se basan en la abs acción de cie as p opiedades de los
enómenos que se es udian, que pa a el caso de la p obabilidad son las es p ime as
p opiedades que hemos ci ado sob e las ecuencias ela i as.
Como consecuencia, se conside a que la p obabilidad es oda aplicación, de inida
en el conjun o de los sucesos asociados a un expe imen o alea o io, que cumpla las es
siguien es p opiedades:
1. A odo suceso A le co esponde una p obabilidad P(A), núme o comp endido en e
0 y 1.
2. La p obabilidad del suceso segu o es 1, P(E)=1.
3. La p obabilidad de un suceso que es unión de sucesos incompa ibles es la suma de
las p obabilidades de los sucesos que lo componen.
5. PROBABILIDADES EN EXPERIMENTOS COMPUESTOS
Con ecuencia, los p oblemas de p obabilidad in oluc an dos o más expe imen os.
Algunos ejemplos de es as si uaciones son:
• Lanza al ai e dos monedas, es monedas, ...
• Adi ina el sexo de una pa eja de mellizos no idén icos, an es de hace la ecog a ía.
• El núme o de bombillas de ec uosas en una caja de 10 bombillas
C. Ba ane o y J. D. Godino
748
• El núme o de es udian es en una clase que ha es udiado la lección
En es as si uaciones, algunas eglas sencillas pueden se ú iles pa a calcula la
p obabilidad. Es udia emos algunos ejemplos pa a deduci es as eglas a pa i de los
mismos.
5.1. Resul ados de un expe imen o compues o
Ejemplo:
Al lanza simul áneamen e dos monedas, ¿es más ácil ob ene una o dos ca as?
Solución: Se a a de un expe imen o compues o de dos expe imen os simples:
• P ime expe imen o: Lanza la p ime a moneda. E = { C, +}
• Segundo expe imen o: Lanza la segunda moneda. E = { C, +}
Las posibilidades que se pueden p esen a en el expe imen o compues o se
p esen an en la abla siguien e:
Segundo Expe imen o
P ime Expe imen o
C +
C CC C+
+ +C ++
Obse amos po an o que la p obabilidad de ob ene dos ca as es ¼ y la de ob ene
una ca a es ½ pues o que enemos dos posibilidades.
Eje cicios
22. Desc ibe con la ayuda de una abla odos los sucesos que puedes ob ene en los siguien es
expe imen os compues os:
a) Sexo de dos ecién nacidos
b) Núme os al lanza dos dados a la ez
c) G upo sanguíneo de dos ecién nacidos
23. De una bolsa con 3 bolas blancas y 3 bolas azules sacamos dos bolas. Desc ibe odos los
esul ados si :
a) De ol emos la p ime a bola a la caja después de e el colo
b) No la de ol emos
5.2. Cálculo de p obabilidad a pa i del diag ama en á bol
O a o ma de ep esen a las posibilidades en es e expe imen o compues o es
median e un diag ama en á bol, que nos si e ambién pa a obse a la o ma en que se
ob iene la p obabilidad.
Obse a el diag ama que hemos cons uido pa a ep esen a el expe imen o que
consis e en lanza dos monedas. En es e diag ama ano amos, pa a cada expe imen o sus
posibilidades y la p obabilidad de los di e en es esul ados
P obabilidad
755
encende á la p óxima ez.
Los esul ados ob enidos en es e ipo de expe imen os apoyan ue emen e la
conclusión de que los niños adap a sus p edicciones a las p obabilidades de los sucesos que
se le p esen an como es ímulo. Ello nos indica que los niños son capaces de ap ecia las
di e en es ecuencias ela i as con que apa ecen los esul ados de los enómenos
alea o ios.
Es a p edicción mejo a con la edad, Como esul ado de expe iencias acumuladas, la
in uición de la ecuencia ela i a se desa olla de un modo na u al como consecuencia de
las expe iencias del niño con si uaciones que implican sucesos alea o ios, en las que sea
necesa ia una es imación de las ecuencias ela i as de los enómenos. Es ácil pensa en
ales expe iencias en la ida dia ia, po ejemplo, cuando es imamos el iempo que
anscu e en e un au obús y o o, o hacemos una p e isión sob e si a a llo e o no, según
el día se p esen e más o menos nublado, e c. Al llega a la adolescencia, incluso se pueden
elegi es a egias adecuadas en unción de las ecuencias de los sucesos alea o ios.
2.3. Es imación de posibilidades y noción de p obabilidad
El niño puede hace juicios p obabilís icos, en si uaciones sencillas, po ejemplo al
elegi , en e dos u nas o cajas con di e en e núme o de bolas blancas y neg as, aquella que
o ezca más posibilidades de ob ene una bola blanca. Hay que ene en cuen a que aquí
apa ece un p oblema de compa ación de acciones po lo que se segui án las es a egias y
e apas que se desc iben sob e p opo cionalidad.
Los niños comienzan esol iendo p oblemas que impliquen compa ación de
p obabilidades de un mismo suceso A en dos expe imen os di e en es sólo en si uaciones
donde, bien el núme o de casos a o ables o el núme o de casos no a o ables a A son
iguales en ambos expe imen os (sus es imaciones se basan en compa aciones bina ias).
Pos e io men e pasan a esol e p oblemas en que los casos se pueden pone en
co espondencia median e una p opo ción.
Los adolescen es p og esan ápidamen e en el cálculo de p obabilidades, incluso
cuando las acciones a compa a ienen di e en e denominado . Es o se obse a con niños
a pa i de 12-13 años, e incluso a pa i de 10 años con la ayuda de la ins ucción.
3. SITUACIONES Y RECURSOS
Los esul ados de di e sas in es igaciones p opo cionan o ien aciones sob e
cómo ayuda a los niños en el desa ollo del azonamien o p obabilís ico. Algunas de
es as o ien aciones son las siguien es:
1. P opo ciona una amplia a iedad de expe iencias que pe mi an obse a los
enómenos alea o ios y di e encia los de los de e minis as.
2. Es imula la exp esión de p edicciones sob e el compo amien o de es os enómenos
y los esul ados, así como su p obabilidad.
3. O ganiza la ecogida de da os de expe imen ación de modo que los alumnos engan
posibilidad de con as a sus p edicciones con los esul ados p oducidos y e isa
sus c eencias en unción de los esul ados.
4. Resal a el ca ác e imp e isible de cada esul ado aislado, así como la a iabilidad
de las pequeñas mues as, median e la compa ación de esul ados de cada niño o po
pa ejas.
5. Ayuda a ap ecia el enómeno de la con e gencia median e la acumulación de
esul ados de oda la clase y compa a la iabilidad de pequeñas y g andes mues as.

C. Ba ane o y J. D. Godino
756
En los siguien es apa ados desc ibimos algunos ipos de ac i idades y ecu sos
pa a el es udio de la p obabilidad en p ima ia.
3.1. Juegos y so eos
Los niños son muy a icionados a los juegos. En ellos el aza in e iene en
di e en es o mas. Po ejemplo, los niños echan a sue e cuando juegan al escondi e o al
esca e po que ninguno quie e “queda se”. Podemos ap o echa es as ac i idades
in an iles pa a hace les obse a los esul ados alea o ios y no alea o ios.
Po o o lado los niños juegan al pa chís, la oca y o os juegos de aza y en los que
a eces ambién se mezclan las es a egias. Algunos de es os juegos con ibuyen a la
o mación de c eencias, como, po ejemplo, que el núme o cinco es el más di ícil,
cuando se lanza un dado. Todas es as ac i idades se pod ían ap o echa en elación con
la in oducción de la p obabilidad
Ac i idad 1.
“Pi o pi o” es una canción que usan los niños pa a echa a sue es. Dice así: “Pi o pi o go go i o,
donde as u an boni o, a la e a de mi abuela, pim, pam ue a! (El que le oque se queda).
a) ¿Conoces o as canciones pa a echa a sue es? ¿Cuándo las usais?
b) Vamos a coloca nos en un co o y echa a sue es con “pi o pi o” ¿Se ía jus o comenza
siemp e po el mismo niño? ¿Po qué?
c) ¿Conoces o as o mas de echa a sue es?
d) ¿Pod íamos pone los nomb es de cada niño en un papel y elegi uno al aza ? ¿Qué signi ica
elegi al aza ? ¿Cómo lo ha ías? ¿Es más ácil que salga el nomb e de un niño o de una niña?
3.2. Expe imen ación y es imación ecuencial de p obabilidades
En es e ipo de ac i idades se p opo ciona a los alumnos algunos disposi i os
gene ado es de esul ados alea o ios, como dados, monedas, ichas, ule as, e c. La
inalidad se á que los alumnos expe imen en y adquie an una expe iencia de lo
alea o io, incluyendo la obse ación de la imp e isibilidad de esul ados, la a iabilidad
de las pequeñas mues as y la con e gencia g adual a la p obabilidad eó ica. Se á
necesa io que el p o eso o ganice la ecogida de da os, la ep esen ación g á ica de los
esul ados y la discusión de los mismos. Se anima á a los alumnos a exp esa sus
c eencias p e ias sob e los enómenos alea o ios y a con as a las con los esul ados
expe imen ales. La ecogida de da os, o ganización en ablas y ep esen ación g á ica
pe mi e conec a es e ema con la es adís ica.
Ac i idad 2:
a) Imagina que es ás jugando al pa chís con un amigo. Pa a pode comenza a mo e la icha es
p eciso ob ene un cinco, pe o u amigo p e ie e que se le exija ob ene un 3, po que piensa que de
es e modo iene en aja. ¿Tú que opinas? ¿Puedes deja le que comience a mo e la icha cuando le
salga el 3, o es p eciso que los dos juguéis a ob ene el mismo núme o?
O o compañe o sugie e que hagáis un expe imen o pa a esol e la discusión. Piensa que de
es e modo se puede sabe quién iene en aja.
Fíja e en la abla que e p esen amos a con inuación. T a a de adi ina cuan as eces,
P obabilidad
757
ap oximadamen e, sald á el 3 y cuan as el 5 si lanzas un dado 24 eces. Esc ibe es e núme o en la
columna "núme o espe ado de eces".
Resul ado
Recuen o F ecuencia absolu a F ecuencia ela i a Nº espe ado de eces
1
2
3
4
5
6
To al 24 1 24
b) Lanza el dado 24 eces y ano a los esul ados en la abla. El núme o de eces que sale cada ca a
del dado es su ecuencia absolu a. Si di idimos dicho núme o po el núme o o al de lanzamien os
(en es e caso 24), ob enemos la ecuencia ela i a de ese suceso. Calcula la ecuencia ela i a de
ob ene 5 y la de ob ene 3. ¿Cuál es mayo ?.
c) El p o eso mos a á en la piza a los esul ados de oda la clase. P epa a á con ellos una abla y un
g á ico de ba as. Compa a es os esul ados con los ues os y con la es imación que habéis hecho.
d) Con el in de ap ecia la ley de es abilidad de las ecuencias ela i as y compa a los alo es de la
p obabilidad asignados según la egla de Laplace con el co espondien e concep o ecuencial, se
ecoge án odos los esul ados de los dis in os g upos en una hoja de egis o como la siguien e:
Suceso obse ado:
Pa eja Nº
Nº de
expe imen os
F ecuencia
absolu a
Nº de expe imen os
acumulados (N)
F ecuencia
acumulada (A)
F ecuencia
ela i a (A/N)
1
2
......
e) En un diag ama ca esiano se ep esen a án los pun os (N,A/N), núme o de expe imen os
acumulados, ecuencia ela i a. A pesa de que la ley de es abilidad de las ecuencias ela i as es
álida sólo cuando n c ece inde inidamen e, los alumnos pod án ap ecia una cie a egula idad o
endencia hacia el alo asignado "a p io i", aunque el núme o de expe iencias de clase sea limi ado.
Tendencia de la media mues al
Media mues al = 3.548
0
1
2
3
4
5
6
1
18
35
52
69
86
103
120
137
154
171
188
205
222
239
256
273
290
307
324
341
358
375
392
409
426
443
460
477
494
n
Media mues al
Mues a seleccionada
C. Ba ane o y J. D. Godino
758
3.3. Cons ucción de disposi i os alea o ios
En es a ac i idad se p opo ciona a los alumnos ca ulina, ije as y pegamen o pa a
cons ui disposi i os alea o ios con esul ados equip obables y no equip obable. La
inalidad es que los alumnos dis ingan los casos en que es posible o no es posible aplica
el p incipio de indi e encia. Asimismo, les pe mi i á ap ecia la u ilidad de la es imación
ecuencial de la p obabilidad en aquellos casos en que no puede aplica se dicho
p incipio. En la cons ucción de es os gene ado es apa ecen conexiones con o os emas,
como polied os egula es y no egula es, desa ollo de polied os, sec o ci cula .
Al e na i amen e es as ac i idades pod ían plan ea se en el es udio de los ci ados emas.
Ac i idad 3:
Un dado o dina io se puede cons ui eco ando en ca ulina el siguien e pe il
Figu a 2
1) Cons uye un dado eco ando en ca ulina es e pe il, pe o nume a dos ca as con el
núme o 5 y ninguna con el 1.
2) Expe imen a con es e dado. Enume a, pa a es e caso, el conjun o de odos los esul ados
posibles. ¿Cuáles son sus p obabilidades?
3) Cons uye un dado, eco ando en ca ulina el pe il dibujado. Pega un pequeño peso en la
ca a del 1, po ejemplo, un bo ón. De es e modo hemos cons uido un dado sesgado.¿Qué
consecuencias iene el hecho de que una ca a del dado pese más que las es an es? En es e
caso, ob ene un 1, ¿es más, menos o igual de p obable que an es? ¿Puedes cons ui un
dado sesgado de al mane a que casi siemp e salga el 5?
4) Cons uye dados sesgados y no sesgados que engan más de 6 esul ados posibles. En las
igu as adjun as p esen amos algunos polied os
egula es. Cons uye dados sesgados y no sesgados
con es os polied os egula es. ¿Cuáles son los
polied os egula es con los que puedes cons ui dados
no sesgados? ¿Pod ías cons ui un dado no sesgado
con un polied o no egula ?
Ac i idad 3:
Cons uye una ule a como la que ep esen amos a con inuación. Sólo necesi as un ozo de
ca ulina, un compás pa a aza el con o no ci cula , un bolíg a o como eje de gi o y un clip
suje apapeles pa cialmen e desen ollado.
a) Da un empujón al clip y obse a en qué zona se pa a. Si se de iene en la zona ayada
decimos que ha ocu ido el suceso simple R; si se pa a en la blanca ocu e el suceso simple
B. El conjun o de odos los sucesos elemen ales es, po an o: E ={ R, B}
P obabilidad
759
b) Si i amos 40 eces, ¿al ededo de cuán as eces ocu i á R?; ¿y B?
c) Haz es e expe imen o con un compañe o y comple a la abla siguien e:
Figu a 3
Suceso Recuen o Nº de eces
ob enidos
F ecuencia
ela i a
Nºde eces
espe ado
R
B
To al 40 1 40
d) Compa a us esul ados con los de los o os compañe os.
e) Asigna p obabilidades a los sucesos R y B: P(R) = ; P(B) =
) In en a juegos de aza basados en los esul ados de lanza las ule as que ep oducimos a
con inuación
C. Ba ane o y J. D. Godino
760
3.4. Recu sos en In e ne
1. ¿Cuáles son us posibilidades?
h p://nces.ed.go /nceskids/p obabili y/dice_handle .asp
Die1
Die2
Rolls
Die1
Die2
Rolls
Die1
Die2
Rolls
1 0 2
0
1 2
0
0 1
3
1 2
2
0 0
1
0 1
0
0 0
1
1 2
1
0 2
0
0 1
0
1 2
1 0 1
Pe mi e expe imen a el
lanzamien o de dos dados.
Se puede elegi el núme o de
lanzamien os y se ep esen an
los esul ados de dos o mas
di e en es:
•
Median e una abla con las
ecuencias de cada uno de
los esul ados posibles en
el expe imen o;
•
Con un diag ama de ba as
de la suma de los dos
dados ( ecuencias
absolu as y po cen ajes.
Se puede aumen a el núme o
de expe imen os y acumula
los esul ados.
Es e expe imen o pe mi e
plan ea p egun as de
p edicción sob e cuáles sumas
son más o menos p obables al
lanza los dos dados y
con as a es as p edicciones
con los esul ados. También
si
e pa a analiza el “sesgo de
equip obabilidad” compa ando
las posibilidades de que los
dos núme os sean iguales o
di e en es.
Es e expe imen o pod ía p ime o ealiza se en la clase con dados eales. Los niños
abaja ían po pa ejas con dados de di e en e colo (pa a di e encia el o den de los
mismos) y ano a ían sus esul ados en una abla simila a la an e io . Debe ían calcula
el alo de la suma en cada uno de los casos posibles. Con los da os de oda la clase, se
ealiza ía la g á ica en la piza a pa a discu i cuál o cuáles sumas son más p obables.

P obabilidad
761
2. ¿Es mejo cambia ?
h p://ma i.usu.edu/nl m/na / ames_asid_117_g_1_ _5.h ml
Pe mi e expe imen a con una
a ian e del p oblema de las es
pue as que consis e en lo
siguien e:
Hay que adi ina cuál, en e es
ca as es un Rey. Una ez elegida
una de las ca as, se enseña una de
las dos es an es (siemp e una ca a
di e en e del Rey).
An es de le an a la ca a elegida
se o ece la posibilidad de cambia
a la o a ca a que oda ia no ha
sido descubie a. ¿Cuál es la mejo
es a egia, cambia de ca a o
conse a la elección inicial?
Se a a de pensa an es de comenza el juego las posibilidades que enemos y adi ina cuál es la
mejo es a egia. Seguidamen e se expe imen a el juego con la es a egia elegida o bien con las
dos es a egias y se e isa la p edicción inicial si es necesa io.
Finalmen e se a a de azona po qué la es a egia en cues ión da una mayo p obabilidad y
ambién el po qué nos engañan nues as in uiciones sob e la p obabilidad.
4. CONFLICTOS EN EL APRENDIZAJE: INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN
Uno de los es udios más comple os de e aluación de la comp ensión de la idea de
p obabilidad en los niños es el de G een. A con inuación incluimos algunos de sus
í emes que con emplan es aspec os di e en es:
• El lenguaje de p obabilidad: comp ensión de los é minos que usamos pa a
e e i nos al aza y la p obabilidad.
• Razonamien o combina o io: capacidad de enume a odos los casos en un
expe imen o alea o io.
• Razonamien o p obabilís ico p opiamen e dicho.
I em 1. Esc ibe una palab a o ase que signi ique lo mismo que:
a) Imposible
b) Posible
c) Igual posibilidad
d) Poca posibilidad
e) Muy p obable
Es e es un í em de lenguaje y el o den de di icul ad es el siguien e: a) b) d) e) c) pa a
C. Ba ane o y J. D. Godino
762
los niños de 11-12 años. Los po cen ajes de acie o a ían en e el 80% en la pa e a)
y el 50% en la pa e c).
I em 2. En una clase de ma emá icas hay 13 niños y 16 niñas. Cada nomb e de los
alumnos se esc ibe en un ozo de papel. Todos los ozos se ponen en un somb e o
y el p o eso saca uno sin mi a . Señala la ase co ec a:
a) Es más p obable que el nomb e sea de un niño.
b) Es más p obable que el nomb e sea de una niña.
c) Es igual de p obable que el nomb e sea de un niño o de una niña.
d) No lo se.
Es e es un í em de azonamien o p obabilís ico y e alúa la comp ensión de la egla
de Laplace que en es e caso no se aplica al se los sucesos no equip obables. El
índice de acie os en los niños de 11-12 años es el 63%.
I em 3. Cuando se lanza un dado, ¿qué núme o o núme os son más di íciles de ob ene ?
¿o son odos iguales?
Es e es un í em de azonamien o p obabilís ico y e alúa las c eencias subje i as de
que algunos núme os son más di íciles de ob ene que o os. Ap oximadamen e el 20%
de los niños de en e 11-12 años piensan que al lanza un dado el cinco es el núme o
más di ícil de ob ene .
I em 4. Ma ía y Es eban juegan a los dados. Ma ía gana un eu o si el dado sale 2, 3, 4,
5 o 6. ¿Cúan o debe gana Es eban pa a que el juego sea equi a i o.
Es e es un í em de azonamien o combina o io y ambién e alúa la comp ensión de
la idea de juego equi a i o. Sólo el 45% de los chicos en e 11 y 12 años sabe esol e el
p oblema.
I em 5. Se pidió a algunos niños lanza una moneda 150 eces. Algunos lo hicie on
co ec amen e. O os hicie on ampas. Ano a on con la le a C la apa ición de una ca a
y con + una c uz. Es os son los esul ados de Daniel y Diana:
Daniel: c+c++cc++cc+c+c++c++c+ccc+++ccc++c++c+c+c++cc+ccc+
c+c+cc+++cc++c+c++cc+c++cc+c++cc+cc+c+++c++cc++c++
c+c+cc+c++cc+c+c++ccc+cc++c+c++cc+++c+++c+c++ccc++
Diana: +cc+++c++++c+cc+++cc+cc+++cc+ccc+++c++++++c+c+c+c+
+++cccccc+ccc+c+cc+ccccc+ccc++ccc+c+ccccccccc++c+
ccccccc+++++cccc++c+c+cc+cc+cc++++++c+cc++ccc++ccc
¿Hicie on ampas Daniel o Diana? ¿Po qué?
Es e es un í em de azonamien o p obabilís ico y solo el 30 % de los niños da la
solución co ec a (Diana). Los esul ados no mejo an en los adul os quienes dan
P obabilidad
763
espues as pa ecidas. Se supone que Diana hace ampas po que la se ie iene achas
la gas, sin emba go, es o es lo que suele sucede en una se ie de esul ados alea o ios.
Es in e esan e que los niños, sin emba go, pueden mos a muchas ideas co ec as
sob e p obabilidad con es e í em, po ejemplo:
• Con a las ca as y c uces en cada secuencia y compa a con el esul ado eó ico ½.
• A gumen a que los esul ados alea o ios con imp edecibles.
• A gumen a que la secuencia de Daniel es demasiado o denada pa a se alea o ia.
I em 6. La p obabilidad de que nazca un a ón es 1/2. A lo la go de un año comple o,
hab á más días en los cuales al menos el 60% de los nacimien os co esponden a
a ones:
a) en un hospi al g ande (100 nacimien os al día)
b) en un hospi al pequeño (10 nacimien os al día)
c) no hay ninguna di e encia.
Es e í em es de azonamien o p obabilís ico y e alúa la comp ensión del e ec o que
el amaño de la mues a iene sob e un expe imen o alea o io. Sabemos que la
p obabilidad de nace a ón es ½. Es e esul ado puede a ia , pe o es más p obable que
a íe en una mues a pequeña, po que es menos iable. Po an o, la espues a co ec a
es la b). De nue o, an o niños como adul os allan en es e í em, donde el índice de
acie os es sólo el 20%.
5. TALLER DE DIDÁCTICA
5.1. Análisis de ex os escola es. Diseño de unidades didác icas
Consigue una colección de lib os de ex o de ma emá icas de 2º y 3e ciclo de
p ima ia ( ecomendamos busca los lib os que u ilizas e pe sonalmen e, o bien los de
algún amilia o amigo).
1. Busca ejemplos y eje cicios elacionados con las ideas de aza y p obabilidad
2. Iden i ica aspec os del desa ollo del ema en los manuales escola es que conside es
po encialmen e con lic i os.
3. Desc ibe los cambios que in oduci ías en el diseño las lecciones p opues as pa a los
cu sos 5º y 6º de p ima ia.
5.2. Análisis de í ems de e aluación y diseño de si uaciones didác icas
A. Analiza los concep os ma emá icos pues os en juego en los í ems siguien es y es udia
las posibles in e p e aciones e óneas del enunciado así como las posibles concepciones
que lle en a una espues a e ónea.
B. Diseña una si uación de ap endizaje que pe mi a conciencia a los alumnos de sus
ideas e óneas espec o a es os p oblemas.
C. Ba ane o y J. D. Godino
764
I em 1. La p obabilidad de que un niño nazca a ón es ap oximadamen e 1/2.
¿Cuál de las siguien es secuencias de sexos es más p obable que ocu a en seis
nacimien os?
a) VHHVHV; b) VHHHHV; c) las dos son igual de p obables.
I em 2. En dos cajas, e ique adas como A y B, se in oducen las siguien es
can idades de canicas ojas y azules:
Caja Rojas Azules
A 6 4
B 60 40
¿Cuál caja da más p obabilidad de ob ene una bola azul?
I em 3.
a) Al lanza dos dados, ¿qué es más p obable ob ene , 5 en
uno y 6 en o o, o 6 en ambos dados?
b) Al lanza una moneda, ¿qué es más p obable ob ene ,
ca a en una y c uz en o a, o ca a en ambas?
c) Al lanza dos dados, ¿qué es más p obable, ob ene el
mismo núme o en los dos, o di e en es núme os?
I em 4. Responde si es ás de acue do con las siguien es a i maciones y po qué:
a) José p ocu a en a en clase, cada día, poniendo p ime o el pié de echo. C ee que
es o aumen a sus posibilidades de ob ene buena no a.
b) Lola ellenó en cie a ocasión un bole o de lo e ía con los siguien es núme os: 1,
7, 13, 21, 22, 36, y esul a que ganó. Como consecuencia piensa que debe juga
siemp e el mismo g upo de núme o, po que de es e modo gana á.
c) Oli ia y Juana an a comp a un bille e de lo e ía y sólo quedan dos núme os: el
123456 y el 378146. Oli ia p e ie e juga al p ime o po que dice que es más
ácil que en un so eo esul en los núme os consecu i os. Juana, po el con a io,
opina que la lo e ía es algo aza oso y, po an o, el núme o 378146 iene más
posibilidades de sali .
d) Ped o ha pa icipado en una lo e ía semanal du an e los dos úl imos meses.
Has a aho a no ha ganada nunca, pe o decide con inua po la siguien e azón:
“La lo e ía es un juego basado en la sue e, a eces gano, a eces pie do. Yo ya
he jugado muchas eces, y nunca he ganado. Po lo an o, es oy más segu o que
an es de que gana é en alguna pa ida p óxima”.
5.3. Análisis de en e is as a niños
Conside a el juego siguien e:
Te p opongo un juego, y ú me dices si es jus o o no: Con una ba aja, amos a juga
con las siguien es eglas: Sacamos una ca a. Si sale una ca a de o os, ú ganas 1 p s.
y si sale una ca a de o o palo dis in o, yo gano 1 p s. ¿Es jus o?
Analiza la siguien e en e is a a un niño, indicando si su azonamien o es co ec o