OTROS
TRABATOS
INTELIGENCIA ARTIFICIAL
Y
PENSAMIENTO REAL
HERNAN,
F.
I.B.
Fon
de
San Lluis
11.
Valencia.
SUMMARY
This pape ocussses on he analysis o Ha dy's poi i o iew, «a bo om, al1 ma hema icians hink in he same
way», and looks o i s implica ions on eaching.
Resea ch on A i icial In elligence p o ides some hin s which sugges ha a new app oach o he ela ionship
be ween concep s and p ocesses.
INTRODUCCION
«A
menudo se me ha p egun ado si Ramanujan
enía algún sec e o especial; si sus mé odos e an
de una clase di e en e de la de o os ma emá i-
cos, si había algo ealmen e ano mal en su mo-
do de pensa . No puedo esponde a es as p e-
ENSERANZA
DE LAS CIENCIAS,
1985,
pp.
195-203
gun as con su icien e con ianza o con icción; pe-
o c eo que no. Mi opinión es que, en el ondo,
odos los ma emá icos piensan del mismo modo,
y que Ramanujan no e a una excepción»
(Ha dy)
OTROS TRABAJOS
Muchos, que conside a án la opinión de Ha dy algo ¿Cuáles son los enlaces ya exis en es en N? ¿Cómo
más que discu ible, acep anan segu amen e sin epa- o alece esos enlaces y cómo se ayuda a es ablece
os una a i mación menos polémica y comp ome ida, o os nue os?
la que Polya designa como P incipio Gené ica: ((Una Si u iésemos espues as
pa a
esas
p egun as, la ense-
ez en endido cómo el géne o humano ha adqui ido ñanza
de
las
ma emá icas
sena
un
camino
de
Pe-
el conocimien o de cie os hechos o concep os, es a e-
o
no
lo
es.
mos en mejo es condiciones de juzga cómo los jó e-
nes humanos debenan adqui i al conocimlen o >. (Pol- La p esen e exposición se concen a á en los enlaces;
ya,
1966).
oma á como e e encia los p ac icados po alumnos
y p o eso es de ma emá icas; y ha á uso de algunas con-
A eces, no obs an e, puede se más suges i o el análi- clusiones
que
p o ienen de~
campo
de la in eligencia
sis de una p oposición dogmá ica y a e ida que el de a i icial
y
que
pe mi en
una
mejo iluminación de cie -
o a más dulce y cau elosa. os aspec os que se han man enido más bien a la
Una de las en ajas de los enunciados más ca egó icos somb a.
eside en la acilidad con que quedan some idos al ies-
go de una e u ación empí ica o lógica. De esa en aja
1.
LOS METODOS FORMALES
p ocede o a: el lec o es á ad e ido de que su in e - Cuando nues os alumnos llegan
a
las aulas ya saben
ención es decisi a y de que se le sugie e una pa ici- muchas cosas, han esuel o muchos p oblemas de su
pación no neu al. ida y han hecho una eno me can idad de descub i-
Así pues, se le in i a aquí, si no iene o a cosa mejo mien os. Los alumnos de bachille a o saben azona
lógicamen e, aun en o mas complejas como la del a-
que hace ,
a
'Oma
'Omo
pun o
de
pa ida
una
p oPo- zonamien o indi ec o: ((Como
no
quie o
e
a
Juan,
sición cie amen e dogmá ica:
Todos los ma emd icos
es a
a de
no
i é
a
la
disco eca; po que
si
uese
me
lo
son isomo os.
pod ía encon a ya que él a muy a menudo)).
Pa a do a de sen ido a es a a i mación hay, cla o es-
No
empezamos, pues,
desde
ce o.
En
ealidad,
lo
que
á, que busca espues a a una p egun a, ¿en dónde a- amos
a
hace
jun os
en
el
aula
es
e lexiona
sob e
dica el isomo ismo?. el pensamien o que ya poseen y sob e el mundo que
Y
en caso de encon a algunos indicios, se ía csn e- ya conocen, eelabo a pa e de esos conocimien os y
nien e busca ambién espues a a una segunda p egun- añadi nue os conocimien os ligados median e enlaces
a, ¿cuáles son sus implicaciones en la enseñanza de las es ables.
ma emá icas? Una de las e lexiones esenciales que hay que hace en
Designando, con no poca audacia, median e M
y
M' ma emá icas es que los mé odos o males pueden se
las men es de dos ma emá icos, la ase e ación de que ú iles pa a desen ol e se y a anza en el in e io de un
M
M' son isomo as lo que indica es que hay dos con- sis ema bien de inido. Pe o el mecanismo de la deduc-
jun os A y A' o mados no po los obje os ma e ná i- ción y los mecanismos lógicos en gene al ca ecen de dos
cos -hechos, algo i mos, es uc u as concep uales- p opiedades que a menudo se les suponen: la con inui-
sino po los signi icados de esos obje os, y que hay una dad y la uni ocidad.
co espondencia ' uncional' en e signi icado de a, que
El
azonamien o deduc i o no es con inuo.
Es lo que
es un elemen o de A, y signi icado de a', que es un ele- cabe in e i de la siguien e si uación p opues a a alum-
men o de A'.
Y
que además hay unas leyes de conipo- nos de
15
años,
sición o
enlaces
en e los elemen os de A, po un lado,
y en e los elemen os de A', po o o; y que muchos «Se iene un en de cinco casillas
de esos enlaces e,,
%,
e,, .
.
. son iguales en M
y
en
M'.
uu l
Eso no signi ica que haya el mismo núme o de enlaces que se ellenan del siguien e modo: pones dos núme-
en M que en M'; puede ocu i , y de hecho ocu e, que os en las p ime as casillas
haya más enlaces en M que en M'.
-1
Si compa amos aho a M con N, siendo N la men e de
una ap endiz de ma emá icas, las p egun as a las que y las o as se o man como aquí
hab ía que esponde pa a mejo a la enseñanza de las
ma emá icas son a ias:
1-1
-1
¿Qué obje os elegi pa a que sean conocidos po
N?
Aho a e dan la p ime a y la úl ima casilla, ellena las
¿Cómo ayuda a que signi icado de a" que es un ele- es del medio
men o de A", sea 'equi alen e' a Signi icado de a?
3
e
¿Cuáles son los enlaces e,,
%,
e,
,...
.
j-Tlllz]
e
¿Cómo se es ablecen esos enlaces?
196
ENSENANZA
DE LAS
CIENCIAS
OTROS TRABAJOS
Aho a la p ime a casilla es
a
y la úl ima es
b
ellena las del medio
Un buen núme o de alumnos que llega on a esc ibi
-
.P
no
consiguie on'deduci que b
=
2a
+
3x
;
y po lo
an o no pudie on esponde a la úl ima p egun a.
El da se cuen a de que b= 2a
+
3x es una idea que
no apa ece como espuma de la deducción, sino que
eme ge de ni eles más al os.
El
azonamien o deduc i o no es uní oco.
Ese es p e-
cisamen e el mo i o po el que suelen a ae las no e-
las policíacas. Si el azonamien o lógico solamen e p o-
dujese un enunciado ele an e que pudiese ob ene se
como conclusión, se jus i ica ía que odo azonado co-
ec o concluyese la misma cosa, pe o no es al el caso.
Si alguien me dice «Es a mañana he llegado al abajo
con diez minu os de e aso)), puedo deduci que esa
pe sona sabe habla , que iene abajo, que su abajo
no lo hace siemp e po la a de, que sabe a qué ho a
comienza su abajo (o que al menos alguien lo sabe),
que a la ho a en que enía que empeza su abajo no
es aba,. . . Pe o ¿cuáles de esas conclusiones ienen al-
gún peso o alguna impo ancia?
Cuando se p esen a a alumnos compe en es el p oble-
ma de halla el lado pequeño de un ec ángulo de ma-
ne a que al cons ui un cuad ado en su in e io el ec-
ángulo sob an e enga la misma o ma que el p imi i-
o, muchos de ellos buscan sabe cuán o mide b pa -
iendo de:
'=AL
b 1-b
y deducen co ec amen e que
1
-
b= b2
;
pe o a con i-
nuación (aun habiendo esul ado ecuaciones de segundo
g ado en o as ocasiones) deducen que
=
b, lo
cual es ambién co ec o, pe o pe ec amen e inú il, y
no deducen que: -1
b=
-
2
que es lo que iene a cuen o.
Si quie e us ed en e ene se un poco, puede p oba con-
sigo mismo: ¿Qué conclusiones de i an de que es e
iángulo sea isósceles y sus ángulos midan 36" y 72"?
Las conclusiones posibles (1) son muy nume osas; pe-
o no odas end án el mismo sen ido pa a el suje o;
algunas se án impo an es y o as ni siquie a se án
bus-
cadas
po que son comple amen e ajenas a su in e is
ac ual.
Es o es algo que no se pasa po al o en las in es iga-
ciones en in eligencia a i icial. En e ec o: «El obje i-
o de la in eligencia a i icial es llega a sabe qué es
lo que es á ocu iendo cuando la men e de uno escoge
silenciosa e in isiblemen e, de en e una mi íada de po-
sibilidades, cuál es la que iene más sen ido en una si-
uación muy compleja. En muchas ocasiones de pen-
samien o eal el azonamien o deduc i o no es su icien-
emen e ap opiado, y no po que dé espues as e óneas,
sino po que hay demasiados enunciados co ec os que
pueden hace se, pe o que ca ecen de impo ancia pa a
la si uación que se es á conside ando; son, sencillamen-
e, demasiadas las cosas que hay que ene en cuen a
simul áneamen e pa a que sea su icien e el azonamien-
o po sí solo)).
(Ho s ad e , 1979).
2.
METODOS INFORMALES
Los p ime os p og ahas de in eligencia a i icial ado-
lecían del de ec o de usa no malmen e mé odos o -
males de azonamien o. Los se es humanos ponen en
juego odos los ipos de azonamien o o mal o in o -
mal que c een ap opiados pa a el p oblema que es án
a ando. Eso explica que aquellos p ime os in en os
en in eligencia a i icial esul asen poco uc í e os y
se hayan abandonado en su mayo pa e. Su base ana-
lógica es aho a bien di e en e: ((La esencia de la in eli-
gencia consis e en encon a p ocedimien os que, limi-
ando la búsqueda de soluciones, esuel an p oblemas
que de o a o ma esul anan in a ables)). (Lena ,
1984).
No que emos se aquí menos cla os: los enlaces de ca-
ác e lógico que o man pa e del isomo ismo pue-
den da se po supues os en un alumno medio a pa i
de, digamos, los quince años, y en oca emos la bús-
queda hacia enlaces de o o ni el. Un pa de ejemplos
pueden apo a algún signi icado, po ago que sea,
a es a búsqueda.
2.1
El
p oblema del acei e
y
el inag e
Dos asos, sin es a llenos, con ienen el mismo olu-
men de acei e uno y de inag e el o o. Se in oduce
una cucha a en el aso del acei e y se saca liena. Se uel-
ca su con enido en el aso del inag e. Una ez hecho
es o se in oduce en el segundo aso una cucha a igual,
se saca llena y se uelca su con enido en el p ime a-
so. Al inal de odo ello, ¿hay más inag e en el p i-
me o que acei e en el segundo, menos inag e en el
p ime o que acei e en el segundo o igual?.
Los cuad os
1
y
11
esquema izan dos p ocedimien os
de esolución.
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS
OTROS TRABAJOS
Cuad o
1
Acei e
Tomo
x
Vinag e
Tengo
V+
x
Me lle o una cucha ada,y.
I
LCuBn o inag e hay en y?
2
J
1
Nada Todo
(p oblema
esual o) esuel o
)
En once~
wa
y-z
de ncei e.
z,
de inag e, es lo que
he
dejado
de acei e en el
oe?.;undo aso.
Lueno
al
p ime aso a
,io :;iueci-a:
I*jual can ida-!
do
acei e en
V
que de inag e en
A
-
I
I
Cuad o
11
/
inag e
b)
V+$A
1
C)
( +&
A)
d) i.nag e en
A
LV
I +
1
e) acei e en
V
L
LA
=
L(I--~A=;(A)A
kA-
.+,
.
l
n+
i
n+i
-LA
-
h+i
Respues a: Igual can idad
da
acei e en
V
que de inag e en
A.
1
--1.1=1
El segundo de es os p ocedimien os es empleado po n n+
1
n n+
1
que puede oma una ' ida p o-
pocas pe sonas, aun siendo el más o mal de los dos. pia' independien e del p oblema en cues ión
y
de la que
Debido p obablemen e a ese ca ác e o mal se encuen- de i an algunas consecuencias no ables, como se mues-
a es a in e esan e p opiedad a en el cuad o
111.
198
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS
OTROS
TRABAJOS
Cuad o
111
Es o ilus a la indudable po encia de la deducción
1ó-
gica; pe o aun asi se ia e óneo pensa que el
mo o
de esas in e encias ha sido la lógica. El mo o es á más
bien en la p esunción de que lo que se a a ensaya pue-
de da esul ado.
El p ime o de los p ocedimien os es el que
-
con de-
e minadas a ian es
-
sigue la mayona de los alum-
nos de
14
a
16
años que log an esol e lo, y ambién
el que sigue la mayo ía de las pe sonas más en ena-
das en ma emá icas. Es e p ocedimien o no iene en
absolu o de e minado únicamen e po la lógica o la de-
ducción. Hay en él:
abs acción: ija me en la can idad de inag e que me
lle o en la segunda cucha ada;
clasi icación: odo es inag e; no hay nada de inag e;
hay algo;
imágenes isuales: de los dos asos, de las cucha adas,
del p oceso de ecoge las y acia las;
1
decisiones: la clasi icación y la abs acción pueden se -
'
me ú iles.
1
Se mi e como se mi e, es e p ocedimien o es muy cam-
plejo y, sin emba go, es el p ocedimien o más comuín,
jno es, en onces, e elado de enlaces pues os en p ác-
ica del mismo modo po pe sonas dis in as?
1
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS
2.2
P oblemas del cubo encajable
Se quie e cons ui un cubo comple amen e sólido, pe o
hecho de dos clases dis in as de made a, de modo que
su aspec o ex e io sea el que se mues a en la igu a
1
y con la condición de que sus dos piezas componen-
es encajen y desencajen pe ec amen e. ¿Cómo han de
es a diseñadas ambas piezas?
Se puede ap ecia que el p ime ensayo de esolución
puede se
e u ado
median e una deducción lógica.
O os ensayos que ampoco conducen a la esolución
son ambién e u ados po azonamien os lógicos.

OTROS TRABAJOS
Cuando su ge po in la idea de una solución ace a-
da, esa idea puede se
con i mada
asimismo po un a-
zonamien o lógico.
Pe o el in e alo en e las ideas inap opiadas
y
la idea
inal que esuel e el p oblema, ese in e alo es á ocu-
pado po la men e del esolu o en una amplia gama
de azonamien os in o males en los que la imaginación
isual desempeña un papel imp escindible.
Se obse a ambién que aun habiendo a ias solucio-
nes, aquellas pe sonas que encuen an la solución po
p ime a ez diseñan las piezas de al mane a que es ine-
i able acep a la exis encia de un isomo ismo men al
cuya mani es ación obse able es la u ilización de ca i-
les oblicuos en luga de ho izon ales y e icales.
3.
SISTEMAS EXPERTOS
«En in eligencia a i icial se hace una dis inción en e
dos ipos de conocimien o, el p ocesual y el decla a i-
o. Una pieza de conocimien o de dice que es
decla a-
i a
si es almacenada explíci amen e, de mane a que
no sólo el p og amado , sino ambién el p og ama pue-
den «lee la» como si es u iese en una enciclopedia. Eso
gene almen e signi ica que es á codi icada localmen-
e, y no es á dispe sa. Po el con a io, el conodmien-
o
p ocesual
no es á codi icado como hechos, sino so-
lamen e como p og amas)) (Ho s ad e ,
1979).
.
-
Cuando se me p egun a « ¿cuán os habi an es iene Ba -
celona?)) la espues a «cua o millones)) me pa ece co-
mo si la es u iese leyendo di ec amen e. Pe o si se me
p egun a «¿cuán as a is as iene un icosaed o?)) en on-
ces imagino un icosaed o y oy con ando sus a is as
ayudado po esa imagen men al; la espues a no es á
almacenada localmen e (aunque en o a men e puede
es a lo).
«Una dis inción pa alela puede es ablece se en e p o-
piedades
sin ác icas
y p opiedades
semán icas.
Idas p i-
me as esiden inambiguamen e den o del obje o bajo
conside ación, mien as que las segundas dependen de
la elación del obje o con una clase po encia1m :n e in-
ini a de o os obje os y po ello no son comple amen-
e localizables. Las p opiedades sin ác icas pueden se
de ec adas median e es s p edeciblemen e ini os. Las
p opiedades sin ác icas es án «p óximas a la supe i-
cie» y po ello no p o ocan la c eación de es iic u as
cognosci i as mul idimensionales. Los aspec os semán-
icos no pueden se some idos a un es de iempo ijo
p edecible.)) (Ho s ad e ,
1979).
Algunas pa es de las ma emá icas son sin ác ieas. Lo
que ocu e en el ce eb o de un se humano cuando ha-
ce una mul iplicación de dos núme os puede hace se
igualmen e bien en a ios ipos de ((ha dwañen: ináqui-
nas mecánicas como la de Pascal, calculado as de bol-
sillo, g andes o denado es.
Pe o las ma emá icas consis en sob e odo en la eso-
lución de p oblemas y la mayo pa e del conocimien-
o que se necesi a pa a esol e un p oblema no es de-
cla a i o, sino que es á dispe so y no puede p edeci se
el iempo que lle a á o ganiza su es uc u a mul idi-
mensional. La esolución del p oblema es se nán ico;
lo que un ce eb o humano hace cuando busca una ana-
logía o in en a hace una gene alización es á en ni el
más al o que el co espondien e a la mul iplicación de
dos núme os, y po aho a no hay un modo sencillo de
ep esen a lo u ilizando elemen os de ni el más bajo.
«El obje i o cen al de la in eligencia a i icial es la
c eación de
sis emas expe os,
sis emas capaces de
ap ende de su p opia expe iencia y que engan como
uen e p ima ia la capacidad de azonamien o in o -
mal (analogía, descomposición en subp oblemas, uso
de imágenes, ocalización, sue e,.
.
.)
basada en amplios
conocimien os cuidadosamen e ob enidos a pa i de
expe os humanos)) (Lenan,
1984).
Es so p enden e que ese obje i o sea igno ado po lo
gene al en aquellos luga es donde exp esamen e se p e-
ende el desa ollo de la in eligencia eal, los cen os
de enseñanza.
¿No debe ía la enseñanza de las ma emá icas concen-
a su a ención en aquellas capacidades que se a a
de busca en los expe os humanos pa a hace sis emas
expe os?
Si así uese. se ~od ía Densa en la ans o mación de
1
las clases
dé
ma emá icas de la escuela secunda ia en
cen os de in eligencia a i icial;
lo cual signi icana pa-
sa de enseña el azonamien o o mal
y
hace escaso
uso del azonamien o in o mal a enseña el azona-
mien o in o mal analogía, uel a a ás, imaginación i-
sual, c ea i idad, sen ido de la o ma, explo ación,. .
man eniendo la zona ins umen al común: clasi ica-
ción, inducción, explicación, deducción.
4.
RECONOCER
Y
TRANSMITIR ENLACES
Tan o si se a i ma «Todos los ma emá icos son isomo -
o~» como si se p egun a
«
¿Todos los ma emá icos son
isomo os?)), la enseñanza de las ma emá icas endna
que busca el modo de econoce enlaces de al o ni el
y los medios más adecuados pa a la ansmisión «men-
al» de esos enlaces.
En consecuencia, los p o eso es de ma emá icas debe-
ían se expe os buscado es de enlaces de al o ni el.
Los dos luga es más p óximos en donde busca son el
análisis de sus p opios p ocesos de pensamien o ma e-
má ico y la obse ación cuidadosa del pensamien o de
los alumnos.
Eso no es ácil, cla o,
y
la me odología co ec a es á
aún po de ini . Pa a pe ila es a me odología, o me-
odología~, se á necesa io ecoge un ex enso capi al
de in o mación. Ya se han expues o aquí algunos ejem-
plos y se aíiadi án aho a unos cuan os más.
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS
OTROS
TRABAJOS
Fig.
2
4.1
Analogía « o ma-núme o))
¿Cuan os á boles es án plan ados en cada uno de los
cuad ados de la igu a
2?
¿Y
en un cuad ado de lado n?
Un expe o humano sabe que el p ocedimien o de con-
a los uno po uno es ine icaz cuando haya de espon-
de a la segunda p egun a. ¿Que p ocedimien os em-
plea en onces? Vis o el abajo de nume osos expe os
humanos (alumnos
y
p o eso es) odos ellos han e-
cu ido a la
o ma
en 1-a que esos-á boles es án o gaiii-
zados, pa a así sabe el núme o de á boles. Pe o la o -
ma condiciona a su ez la búsqueda. De la mul i ud
de p ocedimien os que pod ía habe en p incipio, so-
lamen e han apa ecido cua o en esos abajos:
a) Con a po ilas
b) Con a po diagonales
c) Con a po capas.
d) Con a po p esencia/ausencia o sí/no.
7-Y
Fig.
3
4.2.
C eación de imágenes
Cuando un se humano se p opone diseña una ueda
de au omó il puede obse a se la exis encia de un en-
lace de al o ni el que suele pa i de una condición ini-
cial, al núme o de o nillos, o, en gene al un núme o
o ganizado enlace que se despliega en una a iedad
in ini a de ~osibilidades aue ienen de e minadas po
un c i e io de sime ía. como lo mues an es os dise-
ños c eados po alumnos de
2'
cu so de bachille a o:
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS
OTROSTRABAJOS
Un sis ema expe o, suje o a esas condiciones de sime-
ía y núme o puede diseña la ueda an bien o mejo
que un expe o humano.
Un expe o humano, sin emba go, no ensaya al aza :
se lo piensa p ime o; ni iene el azonamien o lógico
como mo o de su c eación: la belleza, la uncionali-
dad y la a monía guían su abajo.
Un expe o humano puede decidi de en e a ios di-
seños cuál es el más o iginal, el más ingenioso.
1
4.3
¿Qué
es lo impo an e?
En en ado a es os p oblemas consecu i os, «¿En cuán-
os ce os acaba el p oduc o de los cien p ime os nú-
me os na u ales?)) «¿En cuán os ce os acaba el p o-
duc o de los mil p ime os núme os na u ales?)), un se
humano algo expe o
decide
que no a a hace el p o-
duc o de esos mil núme os. Un p og ama no expe o
los mul iplica con g an apidez
y
cuen a el núme o de
ce os. Un expe o humano «p ema emá ico», una ez
encon ada la espues a a la p ime a p egun a, 24 ce-
os, es ablece una inducción basada en la p opo cio-
nalidad y a i ma que en el segundo caso hab á 24x10
=
240 ce os.
Un expe o humano «ma emá ico» busca qué es lo im-
po an e, el núme o de cincos (po que doses hay de
sob a).
Aquí hay dos enlaces: el p ema emá ico
(p ocedimien o
usado po un g an núme o de es udian es de 14 a 16
años) y el ma emá ico (p ocedimien o empleado po la
casi o alidad de es udian es uni e si a ios de
ma emá icas).
Ambos enlaces exis en. El p o eso expe o debe sa-
be lo y ac ua en consecuencia: «desa a » el enlace p i-
me o, de ni el bajo, y consolida el enlace segundo,
de al o ni el.
4.4
Vol e a ás
Uno de los p incipales p oblemas de la in eligencia a -
i ical es la c eación de sis emas expe os que sean ca-
paces de econside a una si uación, ol e a ás
y
pen-
sa de o a mane a. Los ma emá icos ienen como uno
de los enlaces de su isomo ismo esa capacidad. Pue-
den, y po lo gene al lo hacen, ol e a ás
y
conside-
a el segundo p ocedimien o de esolución del p oble-
ma del acei e y el inag e
y
ap ecia que ese p ocedi-
mien o iene un allo, que p o iene de habe supues o
que an es de saca llena la cucha ada del segundo aso
se ha agi ado la mezcla has a hace la homogénea. De
ese modo, ha dejado de conside a los casos lími e: na-
da de acei e o nada de inag e.
El p oblema del p o eso es sabe cómo se ansmi e
esa capacidad de ol e a ás, capacidad que exis e,
aunque ale a gada.
5.
¿QUE OBJETOS?
El ejemplo
3
ace ca de los ce os señala algo que es una
e idencia, que los enlaces se eje cen sob e obje os o blo-
ques de conocimien os p eexis en es. En es e caso, el
hecho de que el núme o 10 solamen e puede ob ene se
como p oduc o del 2 y el
5.
Sin ese conocimien o ma-
emá ico, los enlaces que cabe emplea son de bajo
ni el.
El es udio de los enlaces nos lle a así al o o elemen o
esencial del isomo ismo, los obje os ma emá icos.
Así como, p obablemen e, el u u o de la in eligencia
a i icial depende de la capacidad de los p og amado-
es pa a apo a a sus sis emas la ma e ia p ima ade-
cuada
-
es o es, la eno me can idad de conocimien-
os
y
expe iencias que undamen an el azonamien o
humano
-
así ambién puede deci se que el u u o de
la enseñanza de las ma emá icas depende en g an me-
dida de cómo selecciona de en e la eno me can idad
de conocimien os decla a i os, p opiedades sin ác icas
y bloques concep uales aquellos más me ecedo es de
ap endizaje.
Tampoco sabemos con ce eza cuáles deben elegi se;
pe o sí que hay azones pa a pensa que la elección no
debe ía hace se con a eglo a c i e ios es á icos o his-
ó icos, sino en unción de su capacidad de p oyección,
es deci , de su capacidad de se uen e de analogías ex-
plo aciones, imágenes, inducciones, gene alizaciones
y
c eación de ideas nue as.
Así,
a
no es impo an e po que sea i acional (que
es la e sión académica) sino po que es la diagonal del
cuad o unidad (y lia diagonal del cubo unidad); po -
que su cons ucción con egla y compás es uen e de
analogía pa a cons ui
l
/5,
a,
/7,
. . .
,
ime-
dian e un p ocedimien o i e a i o; po que es la al u a
del olio no malizado DIN-4 de base 1, e c.
De mane a semejan e, y po da algunos ejemplos más,
las sucesiones u,, u,, u,, u,, ... que cumplen la condi-
.
,
cion u,
+
u,,,
=
u,,, son mucho más me ecedo as de
a ención que cap ichosas sucesiones cuyo in e és mue-
e en ellas mismas, po que aquellas pe mi en o ma
la sucesión
'&
que iene como lími e el
núme o de o o, cuya impo ancia es eno me an o cul-
u al, a qui ec ónica y es é icamen e como en la p o-
pia na u aleza de las o mas ege ales
y
animales;
el es udio de las di e sas secciones de un cubo es más
impo an e que el de las secciones de un e aed o e-
gula , po que el cubo -y po ex ensión el cuboide-
es una o ma esencial en la o ganización eal de nues-
o espacio, mien as que la pi ámide iangula es un
obje o a o;
la cons ucción de polígonos es ellados a pa i de un
polígono egula susci a una elación en e o mas de-
co a i as
y
núme os p imos en e si que e ue za el ca-
ác e uni a io de di e sas o mas de obse ación;
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS
OTROS
TRABAJOS
p oblemas como el de las o es de Hanoi o el juego
de Nim deben su alo didác ico a que son especial-
men e ap opiados pa a p ac ica y comp ende el un-
damen al concep o de ecu sión;
p egun as como «¿qué p e ie es, apos a 1 con a 100,
10 con a 1000,
1
millón con a 10 millones
ó
10 mi-
llones con a 1000 millones?» son algo más que p e-
gun as sob e po cen ajes, po que pe mi en sub aya
que si uaciones ma emá icamen e equi alen es pueden
, ene en e si g andes di e encias subje i as;
el hecho de que el iángulo, el cuad ado y el hexágo-
no egula sean los únicos polígonos egula es que Ile-
nan el plano po sí solos, es un hecho ma emá ico de
g an senzillez y belleza; pe o el concep o más gene al
de módulo plano, como igu a encajable consigo mis-
ma y que llena el plano, ab e, po una pa e, una in i-
nidad de posibilidades nue as que p oducen una com-
p ensión y una u ilización más icas del plano,
y
su-
gie e, po o a pa e, una in es igación análoga
en
el
espacio.
PERSPECTIVA FINAL
En in, después de odo, al ez la opinión de Ha dy
no sea an dogmá ica como pudo habe pa ecido al co-
mienzo. En cualquie caso, un anhlisis de ella más a
ondo y más sis emá ico podna pone en cla o algu-
nas zonas oscu as del ap endizaje de las ma emá icas.
No as
(1)
Y
muy di e sas, como se mani ies a en la siguien e
mues a:
i) Que la al u a AH coincide con la media iz de BC ( ig 5)
ii) Que, siendo M el pun o medio de AC, las á eas de los
iángulos ABM y BMC son iguales
iii) Que BC es el lado de un pen ágono egula insc i o en
la ci cun e encia ci cunsc i a a ABC
i ) Que, omando BS
=
BC, el iángulo CBS es semejan e
al
BRC
)
Que AS es la sección áu ea de AC
Fig.
5
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
LENAT, D.B..
1984,
P og amación de sis emas in eligen es
HOFSTADTER, D.R.,
1979,
Godel, Esche , Bach. An
Ele -
(((In es igación y Ciencia», no
98).
nal Golden B aid;
(Penguin Books, London) pags.
560,
POLYA,
C.,
1%6
Ma hema ical Disco e y,
(John Wiley and
363.
583. Sons: New Yo k), ol. 11, p.
132.
ENSEÑANZA
DE
LAS CIENCIAS
203