Die allokasie van die vraag na elektrisiteit met behulp van gemengde heeltallige programmering

Anderson, C. A.; Klerck, W. G. Article Die allokasie van die vraag na elektrisiteit met behulp van gemengde heeltallige programmering South African Journal of Business Management Provided in Cooperation with: University of Stellenbosch Business School (USB), Bellville, South Africa Suggested Citation: Anderson, C. A.; Klerck, W. G. (1983) : Die allokasie van die vraag na elektrisiteit met behulp van gemengde heeltallige programmering, South African Journal of Business Management, ISSN 2078-5976, African Online Scientific Information Systems (AOSIS), Cape Town, Vol. 14, Iss. 2, pp. 37-44, https://doi.org/10.4102/sajbm.v14i2.1139 This Version is available at: https://hdl.handle.net/10419/217825 Standard-Nutzungsbedingungen: Die Dokumente auf EconStor dürfen zu eigenen wissenschaftlichen Zwecken und zum Privatgebrauch gespeichert und kopiert werden. Sie dürfen die Dokumente nicht für öffentliche oder kommerzielle Zwecke vervielfältigen, öffentlich ausstellen, öffentlich zugänglich machen, vertreiben oder anderweitig nutzen. Sofern die Verfasser die Dokumente unter Open-Content-Lizenzen (insbesondere CC-Lizenzen) zur Verfügung gestellt haben sollten, gelten abweichend von diesen Nutzungsbedingungen die in der dort genannten Lizenz gewährten Nutzungsrechte. Terms of use: Documents in EconStor may be saved and copied for your personal and scholarly purposes. You are not to copy documents for public or commercial purposes, to exhibit the documents publicly, to make them publicly available on the internet, or to distribute or otherwise use the documents in public. If the documents have been made available under an Open Content Licence (especially Creative Commons Licences), you may exercise further usage rights as specified in the indicated licence. https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ Die allokasie van ~e vraag na elektrisiteit met behulp van gemengde heeltallige programmering c.A. Anderson Elektrlsiteitsafdeling, Stadsraad van Pretoria W.G. Klerck Skool vir Bedryfsleiding, Universiteit van Suid-Afrika, Pretoria The 1lloc1tlon of the demand for electrlclty using mixed Integer programming. In this paper the authors have investigated the use of mixed integer programming to solve an allocation problem that exists in the Electricity Department of the Pretoria Municipality. In the Pretoria supply area the demand for electricity Is provided for by using the municipal power sta· lions Rooiwal and Pretoria West and by obtaining power from Escom. Every year the Electricity Department must decide how the monthly demand (12 months ahead) for electricity must be allocated between their own power stations and the supply from Escom. The allocation must be done in such a way that certain requirements are met. These requirements refer to the demand for electricity, the availability of the municipality's own generators, the capacity of the two power stations and a so called supply requirement laid down by Escom. A mixed Integer programming model was developed in which these requirements were catered for and in which the running costs were minimized. Results obtained thus far from the model indicate that it can provide the Electricity Department with a useful tool in solving a complicated allocation problem. S. Air. J. Bus. Mgmt. 1983, 14: 3744 In hierdie artikel word ondersoek ingestel na die gebruik van gemengde heeltallige programmering om 'n allokasie probleem in die Elektrislteitsafdeling van die Pretorlase Munisipaliteit op le los. In die Pretoriase toevoergebied word daar in die vraag na elektrisiteit voorslen deur twee munisipale kragsentrales, te wete Rooiwal en Pretoria-Wes te gebrulk en deur elektrisiteit van Evkom aan te koop. Elke jaar moet die elektrislteitsafde· ling bepaal op welke wyse die maandelikse (12 maande v~ruit) vraag na elektrisiteit tussen sy eie kragsentrales en die voorsiening van Evkom geallokeer moet word. Die allokasie moet sodanig geskied dat aan sekere vereistes voldoen word. Hierdie vereistes het betrekking op die vraag na elektrisiteit, die beskikbaarheid van die munisipaliteit se eie krag generators, die kapasiteit van die kragsentrales en 'n so~enaamde invoerbeperking van Evkom. 'n Gemengde heeltalhge programmeringsmodel is onlwikkel waarin al die vereistes as beperkinge geformuleer is en waarin die bedryfskostes geminimeer is. Voorlopige resultate loon dat die model wel nuttig deur die Eleklrisiteilsafdeling aangewend kan word om 'n ingewikkelde allokeringsprobleem op le los. S. Air. TydsJcr. Bedryfsl. 1983, 14: 37 - 44 C.A. Aadmoa ~oof vmpreidingsingenieur (Primere projekte) Elektrisiteitsafdeling, tadsraad van Pretoria, Posbus 423 Pretoria 0001 Republiek van Suid-Afrika ' ' W.G. llffck• Mede-~rofessor, Skool vir Bedryfsleiding, Universiteit van Sutd-Afrika, Posbus 392, Pretoria 0001, Republiek van Suid-Afrika • Aan wie korrespondensic gcrig moet word Ontvang Oktober 1982; aanvaar Februarie 1983 lnleiding Die voorsiening van elektriese krag is een van die groot koste-items in die begroting van die Pretoriase munisipaliteit. Die energie-verwantekoste (hoofsaaklik steenkool en water) van hul eie kragsentrales en die totale koste verbonde aan Evkom aankope bedra ongeveer R83,5 miljoen vir die 1982/83 boekjaar. Aangesien die koste van elektrisiteitvoorsiening van so 'n groot omvang is, is dit wenslik om ondersoek in te stel na metodes om hierdie koste sover moontlik te minimeer. Probleemstelllng In die Pretoriase toevoergebied word daar in die vraag na elektrisiteit voorsien deur twee munisipale kragsentrales, te wete Rooiwal en Pretoria-Wes, te gebruik en deur elektrisiteit van Evkom aan te koop. Die Pretoria-Weskragsentrale, wat reeds ongeveer 30 jaar in bedryf is, het ses turbogenerators terwyl daar by die Rooiwalkragsentrale, wat ongeveer 20 jaar in bedryf is, vyf turbogenerators is. Verder is 'n gasturbine onlangs by Pretoria-Wes ge1nstalleer. Elke jaar moet die munisipaliteit die vraag na elektrisiteit tussen sy eie kragsentrales en die voorsiening van Evkom allokeer en wel op so 'n wyse dat die bedryfskoste tot 'n minimum beperk word. Die werklike allokasie van die vraag na elektrisiteit tussen verskillende kragvoorsieningseenhede is reeds onder andere deur Day 1 en Garver2 ondersoek. Genoemde skrywers het van lineere-en heeltallige programmering gebruik gemaak om die probleem op te los. In hierdie werkstuk sa1 daar ondersoek ingestel word na die gebruik van optimiseringsmodelle om bogenoemde probleem op te los. Die gebruik van 'n model om die genoemde allokasie uit te voer noodsaak die keuse van 'n beplanningshorison. Volgens 'n ooreenkoms met Evkom moet in elke kalenderjaar die maandelikse invoer van elektrisiteit vanaf Ev~om aan sekere vereistes voldoen. Om die rede is die beplanningshorison op een jaar gestel en is dit verder in 12 afsonderlike rnaande onderverdeel. Die optimiseringsmodel sal dus onder andere bestaan uit 12 submodelle wat die allokasie van die vraag na elektrisiteit bepaal. . 'n Belangrike komponent van die optimiseringsmodel 1s daardie beperkinge wat op die vraag na elektrisit~it betrekking bet. Die vraag na elektrisiteit in 'n gegewe penode word met behulp van 'n lasduurkromme voorgestel. Alvorens die 38 ontwikkeling van die optimiseringsmodel uiteengesit word, sal die gebruik van lasduurkrommes eers bespreek word. Die lasduurkromme Maandelikse lasduurkrommes word gebruik om elektrisiteitsverbruik in 'n gebied voor te stel. Dit toon die tydsduur waarin die elektrisiteitslas 'n sekere waarde oorskry en is gewoonlik kromlynig. 'n Lasduurkromme vir 'n tipiese maand word in Figuur I getoon. Die kromme toon dat die aanvraag uitgestuur vir 'n tydsduur h (uur) die waarde Lh (MW) oorskry. Die spitsaanvraag uitgestuur gedurende die maand word deur Lp aangedui. Die minimum aanvraag Lb, dit wil se die laagste minimum dagaanvraag, moet gedurende die voile aantal ure in die maand voorsien word en staan as die basislas bekend. Die energie (KWh) uitgestuur gedurende die maand word deur die oppervlakte onder die kromme voorgestel. Om by linieere programmering aanpasbaar te wees moet die lasduurkromme by benadering deur Iineere segmente voorgestel word. Om 'n geskikte benadering van die lasduurkromme te verkry en om die grootte van die model te beperk is vyf segmente gebruik. Die keuse van vyf segmente is tot 'n mate arbitrer en sal in die toekoms verdere aandag geniet. Die segmentering is sodanig gedoen dat die oppervlakte van 'n segment (kWh) gelykstaande is aan die oppervlakte onder die kurwe vir die betrokke tydsduur. Die indeling van die segmente is in hierdie ondersoek vir 'n tipiese maand I I I I I I I --------+-------- 1 I I I I I h Tydsduur (uur) Verklaring: hmAantal ure in die maand h - Die tydsduur h waarin die aanvraag uitgestuur L" -die W<1arde L, oorskryf L, -Spitsaanvraag (MW) uitgestuur gedurende die maand L• -Basislas fiaau, I Lasduurkromme vir 'n tipiese maand S.-Afr. Tydskr. Bedryfsl. 1983, 14(2) Tabet 1 Kumulatiewe tydsduur Tipiese lasvereista Segment tot en met betrokke nr segment (uur) 07o MW I I 100,0 725 2 so 96,S 693 3 200 86,0 624 4 400 74,5 540 5 744 49,2 357 met 31 dae (744 uur) en 'n spitslas van 725 MW gedoen soos in Tabel I getoon. Vir een uur in 'n maand met 31 dae moet die elektrisiteit gelewer minstens 725 MW wees. Vir 744 uur moet die elektrisiteit gelewer minstens 357 MW wees. Die optimiseringsmodel Die veranderlikes Die veranderlikes in die model kan in vier groepe verdeel word en het betrekking op: (a) Die aantal turbogenerators wat loop. (b) Die uitset van die turbogenerators bo die minimum uitset. (c) Die Evkom-invoer. (d) Die uitset van die gasturbine. Die aantal turbogenerators wat loop Die eerste groep veranderlikes verwys na die aantal generators te Rooiwal en Pretoria-Wes wat in elke maand van die jaar en in elke segment van die lasduurkromme loop. Vir Rooiwal en Pretoria-Wes word die volgende stel veranderlikes dus gedefinieer: N(M,S,U) -Die aantal tipe U generators wat in maand M in segment S van die lasduurkromme loop. M = 1,2, ... 12 S = 1,2, ... 5 U = B,R Wanneer die indeks U gelyk is aan B verwys dit na die generators van Pretoria-Wes en wanneer U gelyk is aan R verwys dit na die generators te Rooiwal. In die model word daar dus net voorsiening vir twee tipe turbogenerators gemaak. Die uitset van die turbogenerators 'n Turbogenerator kan slegs tussen 'n minimum en 'n maksimum leweringsvlak bedryf word. Om die rede is daar 'n groep veranderlikes wat verwys na die uitsetvlak bo die minimum uitset. Indien 'n generator in bedryf geplaas word moet dit ten minste 'n minimum drywing V(U) !ewer. Die drywing wat generator tipe U bo die minimum V(U) !ewer word deur X(M,S,U) aangedui. Die waardes wat X(M,S,U) kan aanneem, word onder andere bepaal deur die aantal tipe Ugenerators wat aangeskakel is. Indien daar net een tipe Ugenerator aangeskakel is kan X(M,S,U) enige waarde tussen nut en een aanneem. Wanneer X(M,S,U) gelyk is aan nul en N(M,S,U) gelyk is aan een, dan lewer tipe U-generator die minimum uitset V(U). As X(M,S,U) gelyk is aan 1,0 S. Afr. J. Bus. Mgmt. 1983, 14(2) I er tipe U-generator die maksimum uitset W(U). 'n ~ d d" X(M,S,U) waarde van 0,5 toon aan at 1e generator 'n ·tset halfpad tussen V(U) en W(U) lewer. Wanneer daar, UI S . seq tipe U-generators is, dan kan X(M, ,U) emge waarde tussen Oen q aanneem. Evkom-invoer Ingevolge 'n konsep-ooreenkoms tussen Evkom en die Stadsraad van Pretoria word Evkom se standaardtarief toegepas. Die hoofkomponente van die tarief is 'n maandelikse aanvraagheffing (Rand per kW) en 'n energieheffing (sent per kWh). Aangesien die Stadsraad van Pretoria die hooftransforrnator by die Kwagga-invoerstasie voorsien het, word 'n spesiale afslag op die aanvraagheffing toegepas. Die konsep-ooreenkoms maak ook voorsiening vir wedersydse bystand. lngevolge hierdie klousule word 56 megawatt sonder aanvraagheffing teen slegs 'n energieheffing elke maand met uitsondering van Junie, Julie en Augustus aan die Stadsraad gelewer; dit is indien Evkom die nodige reserwe-ontwikkelingskapasiteit beskikbaar het. Vir die ontwikkeling van die model kan die Evkom-invoer as twee afsonderlike invoere beskou word. By die eerste invoer word daar vir aanvraag en energieverbruik betaal. By die tweede invoer is die aanvraag komponent gratis. Twee kontinue veranderlikes word dus benodig om die drywing ingevoer van Evkom voor te stel: (a) E(M,S) -Drywing (gemeet in MW) ingevoer vanaf Evkom in segment S en maand M (b) F(M,S) - Gratis drywing ingevoer vanaf Evkom in segment S en maand M Gasturbine-uitset Die vierde groep veranderlikes verwys na die drywing gelewer deur die gasturbine in elke maand en in elke segment van die lasduurkromme: G(M,S) -Drywing gelewer deur die gasturbine in maand M en in elke segment S van die lasduurkromme. Met die uitsondering van die eerste groep veranderlikes is al die veranderlikes kontinu. Die beperklnge Die beperkinge in die model het betrekking op die volgende: (a) Die beskikbaarheid van die generators (b) Die lasvereistes (c) Die aansitbeperkinge vir die generators (d) Sekerheidsbeperking (e) Gasturbine-kapasiteit (0 lnvoerbeperking Die beskikbaarheid van die generators Die aantal generators van elke tipe wat gebruik word om krag te !ewer kan nie meer wees as wat beskikbaar is nie: N(M,S,U) s A(M,U) waar A(M,U) die aantal tipe U-generators beskikbaar in maand M is. Vir elke maand van die jaar, vir elke segment van die lasduurkromme en vir elke tipe generator moet daar dus 'n beskikbaarheidsbeperking wees. Dit beteken dat daar 120 02x 5 x 2) beskikbaarheidsbeperkinge moet wees. Die aan39 tal beskikbaarheidsbeperkinge kan tot 24 (2 per maand) verminder word indien aanvaar word dat 'n generator wat in 'n gegewe maand in segment S van die lasduurkromme krag lewer ook in segmente waar groter lasvereistes voorkom, krag sal lewer. Die beskikbaarheidsbeperking reduseer dan tot: ' E N(M,S,U) s A(M,U) S=I (1) Die lasvereistes Daar moet 'n stel beperkinge wees wat toesien dat die drywing wat plaaslik ontwikkel word en vanaf Evkom ingevoer word, voldoende is om in die totale aanvraag te voorsien. Die beperkinge word gegee deur die uitdrukking: 'tr V(U) N(N,S,U) + [W(U) -V(U)!. X(M,S,U) ' ' + E E(M,I) + E F(M,I) + G(M,I) ~ L (M,S) l=S I= S waar L(M,S) -die lasvereiste in maand M en in segment S van die lasduurkromme. Die uitdrukking V(U). N(M,S,U) gee die minimum uitset gelewer deur die tipe U-generator in maand M en in segment S van die lasduurkromme. Die uitdrukking (W(U) - V(U)) X (M,S,U) gee die drywing gelewer deur die generators U bo die minimum uitset. Die aanvraagkoste verbonde aan die fa·kom-invoer moet by elke segment van die lasduurkromme in berekening gebring word. Die drywing wat in 'n gegewe maand in segment S ingevoer word sal ook in segmente waar groter lasvereistes voorkom beskikbaar wees. Die maandelikse spitsaanvraag ingevoer vanaf Evkom sal dus gelyk wees aan die som van die drywing ingevoer vir segmente I tot 5. Vandaar die uitdrukking I; E(M,I) en E F(M,I). l=S l=S Indien die beskikbaarheidsbeperkinge geformuleer word soos in vergelyking I aangetoon, reduseer die lasvereistes tot: I; V(U) I; N(M,1,U) + (W(U) -V(U)) X (M,S,U) U l=S s s s + E E(M,I) + E F(M,I) + E G(M,I) i!: L(M,S) 1 .s 1-s 1-s (2) Die aanname met betrekking tot die beskikbaarheidsbeperking geld dus ook ten opsigte van die gasturbine. Vandaar die uitdrukking E1G(M,I) in bogenoemde vergdyking 2. Aansitbeperkinge . . Alvorens 'n generator krag kan lewer moet d1t eers aan dae gang gesit word. Om dus te voorkom dat 'n_generator krag )ewer sonder dat dit aan die gang is word die volgende stel beperkinge geformuleer: s X(M,S,U) - 1 ~~ N(M,l,U) s 0 (3) Sekerheldsbeperking . By die Pretoria-Weskragsentrale word daar om sekerhe1dsrecles minstens een generator in bedryf gehou. Dus N(M,5,8) i!: I (4) 40 Aangesien N(M,5,8) groter of gelyk aan een is, impliseer dit dat minstens een generator in segment vyf van die Jasduurkromme krag )ewer en dus ook in al die ander segmente; dit wit se minstens een Pretoria-Wes generator )ewer in elke maand van die jaar altyd krag. Gasturbinekapasiteit Indien die maksimum kapasiteit van die gasturbine P(M) is dan geld die volgende: EG(M,S) s P(M) s M = 1,2, ...• 12 S = 1.2. . . .• 5 Invoerbeperking (5) Om te verhoed dat die drywing uitgestuur gedurende die spits maande (gewoonlik die wintermaande) veel hoer is as gedurende die nie-spitsmaande, bet Evkom 'n reduksiefaktorklousule in die ooreenkoms vir die lewering van elektrisiteit aan Pretoria. In die klousule word bepaal dat die Evkom-invoer so gereguleer moet word dat die verhouding van die gemiddelde maandelikse aanvraag ingevoer gedurende 'n kalenderjaar tot die maksimum maandelikse aanvraag ingevoer minstens gelykstaande moet wees aan 'n reduksiefaktor. Die waarde van die reduksiefaktor is tans 0,833. Dit impliseer dat die toename in die drywing ingevoer gedurende die spitsmaand nie meer moet wees as 200/o van die gemiddelde maandelikse drywing ingevoer nie. Indien daar nie aan hierdie klousule voldoen word nie, word 'n bykomende bedrag in die daaropvolgende kalenderjaar teen die Stadsraad gehef. Dit beteken dat daar dan tot 'n mate vir Evkom-aanvraag betaal moet word sonder dat daar energieverbruik was. Die omvang van die penalisering is baie groot en kan meer as RI miljoen bedra. Hierdie beperking word gegee deur die uitdrukking E E E(M,S)/12 2: T M S E E(P,S) s waar P die spitsmaand en T die reduksiefaktor is. Apriori kan daar egter nie met sekerheid bepaal word watter maand die spitsmaand is nie. Ten einde die probleem te oorbrug word elke maand as 'n potensiele spitsmaand beskou en gevolglik is daar dan 12 beperkinge naamlik ~ f E(M,S)/12 2: T P = 1,2, ... , 12 E E(P,S) s Die uitdrukking vereenvoudig na 12 T E E(P,S) -E E E(M,S) s o S M S (6) P = 1,2, ...• 12 Die doelfunksie Die doelfunksie in die betrokke model is 'n uitdrukking van die totale 'bedryfskoste' en die oplossing van die model sal hierdie koste minimeer. Die 'bedryfskoste' bestaan uit die volgende komponente: (a) Lopende koste van turbogenerators (b) Koste van Evkom-invoer (c) Lopende koste van die gasturbine S.-Afr. Tydskr. Bcdryfsl. 198], l4( 2) Lopende koste van turbogenerators Die lopende koste van die turbogenerators is die maandelikse veranderlike koste en sluit items soos steenkoolkoste en koste van waterverbruik in. Vanwee die samestelling van die model moet daar onderskei word t~ die lopende koste van 'n turbogenerator teen minimum uitset (Cv) en die lopende koste, bo en behalwe die koste teen minimum uitset, verbonde aan die gebruik van een tur. bogenerator teen maksimum uitset (Cw). Die kostekoeffisiente Cv en Cw word in Rand per MW uitgedruk. Koste van Evkom-invoer Die koste verbonde aan die Evkom-invoer (E(M,S)) is die maandelikse koste ten opsigte van die maksimum aanvraag vir die betrokke maand en die energieverbruik gedurende die maand. Die Evkom kostekoeffisient CE is bogemelde koste uitgedruk in Rand per MW. Die 'gratis' Evkom drywing se koste word voorgestel deur die kostekoeffisient Cf. Lopende koste van gasturbine Die lopende koste van die gasturbine is die maandelikse veranderlike koste en bestaan hoofsaaklik uit die koste van die dieselbrandstof. Die gasturbine koste-koeffisient CG is die maandelikse grenskoste uitgedruk in Rand per MW. Die volledige doelfunksie is soos volg: Minimeer E E E (Cv(M,S,U). N(M,S,U) + C. (M,S,U). M U S X(M,S,U)) + E E CE{M,S). E(M,S) + E E CF (M,S). M S M S F(M,S) + E E CG(M,S). G(M,S) (7) M S Die uitdrukking C.(M,S,U). N(M,S,U) gee die lopende koste van die tipe U-generators teen minimum uitset in maand M en in segment S van die lasduurkromme (segmente met hoer Iasvereistes ingesluit). Die lopende koste bo en behalwe die koste teen minimum uitset verbonde aan die gebruik van die tipe U-generators teen werklike uitset in maand M en in segment S van die lasduurkromme word deur Cw(M,S,U) . X(M,S,U) gegee. Die uitdrukkings CE(M,S) . E(M,S), CF(M,S) F(M,S) en CG(M,S) . G(M,S) gee die respektiewelike koste verbonde aan die Evkom-invoer, die gratis Evkom-invoer en die gebruik van die gasturbine in maand M en in segment S van die lasduurkromme (segmente met hoer lasvereistes ingesluit). Die model word in bylaag een saamgevat. Die model bestaan onder andere uit -252 beperkinge -120 heelgetal veranderlikes -300 kontinue veranderlikes. Die data wat benodig word om die model in werking te stel sal vervolgens behandel word. Die data Die data wat vir die model benodig word is: die beskikbare turbogenerators A{M,U) (sien vergelyking I) Die minimum V{U) en maksimum W(U) kapasiteite vir elke tipe generator (sien vergelyking 2) Die lasvereistes L(M,S) (Sien vergelyking 2) S. Afr. J. Bus. Mgmt. 1983, 14(2) _ Die kapasiteit P(M) van die gasturbine (sien vergelyking 5) _ Die koste-koeffisiente (sien vergelyking 7) Die wyse waarop bogenoemde inligting bekom en bereken is sal nie in hierdie artikel in detail uiteengesit word nie. Anderson 3 gee 'n volledige uiteensetting van al die nodige berekenings. Waar nodig sat daar in die artikel slegs 'n kort uiteensetting gegee word van die berekenings. Die beskikbare generators Te Rooiwal en Pretoria-Wes is daar onderskeidelik 'n maskimum van vyf en ses generators beskikbaar. Weens geskeduleerde onderhoud en ander onvoorsiene omstandighede sal al die generators nie elke maand beskikbaar wees nie. Kapasiteite van die generators Die maksimum kapasiteit van 'n generator is 25 MW te Pretoria-Wes en 56 MW te Rooiwal. Die minimum uitset waarteen 'n generator bedryf word is 12 MW te PretoriaWes en 35 MW te Rooiwal. Die lasvereistes Die lasvereistes in elke segment en vir elke kalendermaand vir 1983 is as volg beraam: (a) 'n Genormaliseerde maandelikse lasduurkromme word bepaal. (b) Die uurspitsaanvraag (segment l) word vir elke maand in 1983 beraam. (c) Met behulp van die genormaliseerde maandelikse lasduurkromme en die beraamde uurspitsaanvraag word die lasvereistes in die ander segmente bepaal. Genormaliseerde lasduurkrommes Met behulp van historiese data (boekjare l 969/701977 /78) word 'n genormaliseerde maandelikse lasduurkromme vir elke kalendermaand bepaal. Die genormaliseerde lasduurkromme toon aan watter persentasie van die sisteemlas in elke segment voorkom asook die tydsduur van elke segment. In Tabel 2 word byvoorbeeld 'n gemiddelde lasduurkromme vir Meimaand getoon. In segment 2 is die lasvereistes byvoorbeeld 95,60/o van die spitsaanvraag. Beraming van die uurspitsaanvraag (segment 1) Die uurspitsaanvraag vir elke maand in 1983 is beraam deur gebruik te maak van die funksie Y = aeb• waar y uurspitsaanvraag x - jaar Tabel 2 'n Genormaliseerde lasduurkromme Segment Sisteemlas Tydsduur nr. 07o (uur) I 100 2 95,6 49 3 86,0 150 4 74,5 200 5 49,2 344 41 Data vir die periode 1971 tot 1982 is gebruik om die parameters a en b te beraam. Die lasvereistes in die ander segmente Die lasvereistes in segmente twee tot vyf is grafies bepaal sodat die oppervlakte onder die betrokke deel van die lasduurkromme dieselfde is as die oppervlakte ingesluit deur die segment. Met behulp van die beraamde uurspitsaanvraag word die sisteemlas in elk van die ander segmente bereken. Die kapasiteit van die gasturbine Die kapasiteit P(M) van die gasturbine in elke maand vir alle segmente is 25 MW onder normale omstandighede. Koste-koeffisiente Die koeffisiente in die doelfunksie (sien vergelyking 7) verwys na: die lopende koste C.(M,S,U) van die turbogenerator teen minimum uitset -die lopende koste Cw(M,S, U) van 'n turbogenerator teen maksimum uitset (bo en behalwe die koste teen minimum uitset) die koste CE(M,S) van die Evkom-invoer -die koste CF{M,S) van die 'gratis' Evkom-invoer -die lopende koste CG(M,S) van die gasturbine. Ten einde die minimum lopende koste C.(M,S,U) en die maksimum lopende koste Cw(M,S,U) vir elke tipe turbogenerator te bepaal, is dit eers nodig om die maandelikse grenskoste (uitgedruk inc/kWh) te bereken. Aangesien die maandelikse grenskostedata vir die plaaslike kragsentrales nie bekend is nie word die gemiddelde jaarlikse grenskoste (ook genoem die energieverwantekoste) as 'n aanduiding van die koste geneem. Die gemiddelde jaarlikse grenskoste (dit sluit hoofsaaklik steenkool en water in) vir Pretoria-Wes en Rooiwal is beraam op 1,599 c/kWh en 1,0265 c/kWh onderskeidelik; dit is vir die kalenderjaar 1983. Die lopende koste C (M,S,U) Die waarde c. (segeme~te met hoer lasvereistes ingesluit) in enige gegewe maand vir enige gegewe segment word gegee deur die produk van -die kumulatiewe tydsduur (ure) van die segment -minimum uitset van die generator (MW) -energieverwante koste (R/MWh) Aangesien die tydsduur vir segmente een tot vier van die lasduurkromme vir alle maande dieselfde is, is die waardes van c. vir segmente een tot vier dieselfde. Die lopende koste C (M,S,U) Die Jopende koste Cw(M,S,U) van 'n turbogenerator teen maksimum uitset (bo en behalwe die koste teen minimum uitset) word op 'n dergelike wyse as C. bereken. Die koste CE(M,S) van die Evkom-invoer Die Evkomtarief is basies 'n tweeledige tarief te wete 'n aanvraagverwante koste en 'n energieverwante koste. Laasgenoemde koste word normaalweg deur Evkom kwartaalliks aangepas. . Die totale Evkom koste (R/MW) vir elke segment en m elke maand word gegee deur die som van die aanvraagheffing en die energiekoste. Die energiekoste word gegee deur 42 S.-Afr. Tydskr. Bedryfsl. 198], l4(l; Tabel 3 Allokasie van die 1983 vraag na elektrisiteit Stelsel as geheel Pretoria-Wes Rooiwal Evkom• AanAanvraag Energie vraag Energie Aanvraag Energie Aanvraag Energie Maand MW GWH Turbo Gas GWH MW GWH MW GWH Januarie 557 287 23 9 224 167 310 Ill Februarie 588 286 25 8 224 150,5 339 127 Maart 586 312 12 9 224 167 350 136 April 614 307 12 9 224 161 378 137 Mei 661 327 27 9 224 167 409 152 Junie 782 383 125 23 47 280 202 354 161 Julie 784 394 125 25 ISO 280 208 354 166 Augustus 716 353 72 II 280 208 354 134 September 628 306 45 9 224 161 359 136 Oktober <,08 320 75 56 224 167 309 98 November SS4 289 75 S4 224 161 2SS 74 Desember 571 279 7S 50,) 224 167 272 62 "Die gratis Evkomdrywing van S6MW is behalwe vir Junie, Julie en Augustus, hierby ingesluit. Vir Junie tot Augustus is dit nie beskikbaar nie. die produk van die energieheffing en die kumulatiewe tydsduur van die betrokke segment. Die koste CF(M,S) van die 'gratis' Evkom-invoer Die koste van die 'gratis' Evkom-invoer word gegee deur die produk van die energieheffing en die kumulatiewe tydsduur van elke segment. Die aanvraagheffing is dus by die koste uitgesluit. Die lopende koste CG(M,S) vir die gasturbine Ten einde die lopende koste Co(M,S) vir die gasturbine te bepaal, is dit eers nodig om die maandelikse grenskoste (uitgedruk in c/kWh) te bereken. Aangesien die maandelikse grenskostedata vir die gasturbine nie bekend is nie word die verwagte gemiddelde jaarlikse brandstofkoste as 'n tydelike maatreel gebruik. Die verwagte koste (energieverwante koste) vir 1983 is 15,37 c/kWh. Die lopende koste Co(M,S) vir die gasturbine word gegee deur die produk van die energieverwante koste en die kumulatiewe tydsduur vir elke segment. Probleemoplosslng Die rekenaaroplossing wat met gebruik van bostaande data vir 1983 verkry is, word in Tabet 3 kortliks saamgevat. Die volgorde waarin die kragbronne benut moet word is soos volg: Rooiwal, Evkom, Pretoria-Wes en daarna die gasturbine. Rooiwalkragsentrale Die oplossing toon dat Rooiwal deurgaans in alle maande ten voile benut moet word. Rooiwal moet dus die grootste moontlike dee) van die basislas voorsien (sien Figuur I). Evkom-i nvoer Die Evkom-invoer moet gebruik word om na Rooiwal die res van die basislas en 'n groot deel van die verdere las te voorsien. Gedurende die laaste kwartaal verkry PretoriaW es prioriteit bo Evkom. Die oordeelkundige bepaling van die Evkom-mikpunte is 'n kritiese belangrike bestuurstaak want die mikpunte le die grondslag vir die ekonomiese beheer van die kragbronne. Tans word die Evkom-mikpunte twee of driekeer per jaar gewysig. Die rekenaaroplossing toon dat dit bykans elke maand aangepas behoort te word. Pretoria-Weskragsentrale Gedurende die eerste vyf maande word Pretoria-Wes so te se slegs om sekerheidsredes gebruik. Gedurende Junie en Julie is die benutting hoog tydens spitstye. Gedurende Augustus en September is die benutting weer laag, ook tydens spitstye. Gedurende die laaste kwartaal word Pretoria-Wes ten voile gebruik om 'n deel van die basislas te voorsien. Hierdie ommekeer vind plaas omdat die Evkomenergiekoste gedurende die laaste kwartaal (l ,60Sc/kWh) hoer is as die gemiddelde energieverwante koste vir Pretoria-Wes vir 1983 (l ,S990c/kWh). Gasturbine Die oplossing toon dat die gasturbine slegs gedurende Junie en Julie benut moet word. Die energie-uitset moet uiters laag wees. Reduksiefaktorklousule Volgens die optimale oplossing is vier van die twaalf invoerbeperkinge (Mei tot Augustus) bindend. In elk van die maande is die drywing gelewer deur Evkom 354 MW. Daar is dus 4 'spitsmaande' sover dit die Evkom-invoer betref en is dit dus noodsaaklik om meer as een invoerbeperking te he. Die styging in die drywing gelewer gedurende die maande is beperk tot 200Jo van die twaalf maandelikse gemiddelde. Sonder die invoerbeperking sou die styging in die invoer 200Jo oorskry het en sou die Stadsraad onderhewig wees aan die betaling van 'n boete. Evaluering van die oplosslng Die grootste tekortkoming in die huidige model-oplossing is die feit dat die beskikbare generators te Rooiwalkragsentrale deurgaans ten voile benut moet word. Aangesien dit s. Afr. J. Bus. Mgmt. 1983, 14(2) om praktiese redes nie moontlik is om 'n kragsentrale so te bedryf nie is dit noodsaaklik om die model te wysig. Een moontlike oplossing vir die probleem is om die volle uitset van 56 MW van die Rooiwalgenerators te verminder; dit wil se die koeffisient W(U) in vergelyking (2) aan te pas. 'n Ander moontlikheid is om die Rooiwalgenerators in sekere segmente van die lasduurkromme slegs teen minimum uitset te bedryf. Op die wyse sal die benutting van die kragsentrale verminder kan word. 'n Verdere moontlike tekortkoming in die model is die gebruik van Pretoria-Wes om gedurende die laaste kwartaal 'n dee! van die basislas te voorsien. Hierdie verskynsel kan hoofsaaklik toegeskryf word aan die feit dat die gemiddelde energieverwante koste vir 1983 vir Pretoria-Wes laer is gedurende die laaste kwartaal as die koste van Evkomkrag. Indien die werklike maandelikse energiekoste gebruik word en nie 'n gemiddelde twaalf maandelikse energiekoste nie mag die verskynsel moontlik nie voorkom nie. Hierdie aspek sal verder ondersoek moet word alvorens 'n finale besluit geneem kan word. Volgens die elektrisiteitsafdeling van die Stadsraad moet daar gedurende April tot Oktober 'n hoer draaiende reserwe te Pretoria-Wes bestaan. (Draaiende reserwe is die oormaat kragontwikkelingstoerusting wat met die kragstelsel gesinchroniseer is en wat gereed is om onmiddellike ontwikkeling te verskaf.) Die model maak tans voorsiening daarvoor dat een turbogenerator te Pretoria-Wes te alle tye beskikbaar is. Die beskikbaarheid kan verhoog word deur beperking (4) ooreenkomstig die behoeftes aan te pas. Samevatting Met die uitsondering van bogenoemde tekortkominge strook die oplossing van die model basies met die huidige beleid waarvolgens kragbronne benut word. Die model hied 'n maklik implementeerbare metode waarvolgens die maandelikse Evkom-mikpunte bereken kan word. Dit kan ook gebruik word (mits die nodige inligting beskikbaar is) om 'n vooruitskatting van die minimum jaarlikse bedryfskoste te verkry. Die model kan as 'n nuttige hulpmiddel deur die Pretoriase Elektrisiteitsafdeling gebruik word om 'n ingewikkelde allokasie probleem op te Jos. Aangesien algemeen beskikbare rekenaarprogrammateur gebruik is, kan so 'n model deur ander munisipaliteite waar daar 'n soortgelyke samestelling van kragbronne bestaan, benut word. Summary In this paper the authors have investigated the use of mixed integer programming to solve an allocation problem that exists in the Electricity Department of the Pretoria Municipality. In the Pretoria supply area the demand for electricity is provided for by using the municipal power stations Rooiwal and Pretoria West and by obtaining power from Escom. Every year the Electricity Department must decide how the monthly demand ( 12 months ahead) for electricity must be allo.:ated between their own power stations and the supply from Escom. The allocation must be done in such a way that total running costs are minimized subject to certain constraints. These constraints refer to the monthly demand for electricity, the monthly availability of the municipality's own tur43 bo generators and a gas turbine, the monthly capacity of the two power stations and a so-called monthly supply requirement laid down by Escom. The costs to be minimized are the running costs of the turbo generators, the cost of the Escom supply and the running costs of the gas turbine. The cost of the Escom supply consists of an availability charge (Rand/KW) as well as a charge for energy (cent(KWh) used. Escom undertook to supply 56 megawatt each month (except June to August) without levying an availability charge. With the aid of historical data ( 1969/701977 /78) a normalized load duration curve was developed for each calender month. This load duration curve was approximated by five linear segments so that it can be amenable for mixed integer programming. The load duration curve was then used to formulate the monthly demand constraints. The peak demand for each of the following 12 months was estimated and then with the aid of the load duration curve the nonpeak demands were calculated. For each month of the year, for each segment of the load duration curve and for each type of generator there must be an availability constraint (availability of generators). This meant a total of 120 (12 x 5 x 2) availability constraints. The number of availability constraints were reduced to 24 (2 per month) by assuming that if a generator supplied power in a given segment of the curve it would also supply power in die segments where increased demands occur. With regard to the electricity supplied by Escom, it was required by Escom that the load sent out during the peak months should not be much higher that the loads sent out during the nonpeak months. It was therefore required to smooth the supply of electricity bought from Escom. If this was not done the municipality was subject to a severe penalty. Constraints were therefore formulated that smoothed the supply of power bought from Escom. The following mixed integer programming model was formulated: (a) Decision variables N(M, S, U) - X(M, S, U) E(M, S) F(M, S) G(M, S) The number of generators of type U running in month M in segment S of the load duration curve. M = l, 2, . . . 12 S = l, 2, . . . 5 U = B (Pretoria West) or R (Rooiwal) The running condition of unit U in segment Sand in month M. Power (in MW) supplied by Escom in month M and segment S. Free Power supplied by Escom (availability charge excluded) in month M and segment s. Power (MW) supplied by the gas turbine in month M and segment S. (b) Constraints EN(M,S,U) ~ A(M,U) (l) s EV(U) '£, N(M,l,U) + (W(U) -V(U)) X (M,S,U) U 5 l=S ~ 5 + E E(M,I) x t_ F(M,I) + ~ G(M,1) ~ L(M,S)(2) l=S l=S 1-S 5 X(M,S,U) - EN(M,l,U) ~ 0 (3) 44 N(M,5,B) .::: I EG(M,S) s P(M) s (4) (5) 12T EE(P,S) - E EE(M,S) s 0 S M S (6) P = 1,2, ... , (12) (c) Objective function Minimize EE E (Cv(M,S,U). N(M,S,U) + C.JM,S,U). M U S X (M,S,U) + ~ fCE(M,S,). E(M,S) + ~ fCF{M,S). F(M,S) + E EGo(M,S) G(M,S) M S (d) Parameters A(M, U) V(U) W(U) L(M, S) P(M) T Cv(M, S, U) Cw(M, S, U) The number of type U generators used in month M Minimum capacity (MW) of generator u. Maximum capacity (MW) of generator u. Load requirements (MW) in month M and segment S. Capacity (MW) of the gas turbine. Reduction factor (0,833) Running cost of unit U when producing the minimum amount of power. Running cost of unit U ( over and above minimum output) when producing the maximum amount of power Cost of Escom power i.e. availability and energy cost. CF{M, S) Cost of Escom power, energy cost only. Co(M, S) Running cost of the gas turbine. The model was run on the Burroughs 7700 computer using the Tempo Programming System. Results obtained thus far from the model indicate that it can provide the Electricity Department with a useful tool in solving a complicated allocation problem. Verwysings I. Day, J.T. Forecasting minimum production costs with linear programming. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems. Vol., Pos -90, No 2, March/ April 1971. 2. Garver, L.L. Power Generation Scheduling by Integer Programming -Development of Theory. IEEE Trans., Power Apparatus and Systems, 81, 730. S.-Afr. Tydskr. Bedryfsl. 1983, 14(2) 3. Anderson, C.A. Die gebruik van 'n optimiseringsmodel in die implementering van 'n strategiese plan vir die Pretoriase Munisipa)e Elektrisiteitsafdeling. Ongepubliseerde MBL skripsie, SBL, Universiteit van Suid-Afrika, 1982. Bylaag 1 Samevatting van die model (a) Die veranderlikes N(M,S,U) -Die aantal tipe U generators wat in maand Min segment S van die lasduurkromme loop M = 1,2, ... , 12 S = 1,2, ... , 5 U = B of R X(M,S,U) -Omvang van die drywing gelewer deur generator U bo die minimum in maand M en segment S O s X(M,S,U) s q waar q die aantal tipe U generators is. E(M,S) Drywing (gemeet in MW) ingevoer vanaf Evkom in segment S en maand M F(M,S) Gratis drywing (MW) ingevoer vanaf Evkom in segment Sen maand M. G(M,S) -Drywing (MW) gelewer deur die gasturbine in maand M en in segment S. (b) Die beperkinge EN(M,S,U) s A(M,U) s (I) 5 5 EV(U) E N(M,l,U) + (W(U) -V(U)) X (M,S,U) + 1~5E(M.I) x U l=S 5 5 E F(M,I) + E G(M,I) .2: L(M,S) l=S l=S X(M,S,U) + !:N(M,l,U) s 0 N(M,5,B) .2: I EG(M,S) s P(M) s 12T ED(P,S) -E EE(M,S) s O S M S (c) Die doe/funksie P = 1,2 ... , 12 (2) (3) (4) (5) (6) Minimeer EE E (C.(M,S,U).N(M,S,U) + Cw(M,S,U). X (M,S,U) + M U S E ECE(M,S). E(M,S) + E ECF(M,S). F(M,S) + E ECG(M,S) G(M,S) MS MS MS (d) Die parameters A(M,U) V(U) W(U) Julus L(M,S) P(M) T Cv(M,S,U) Hoeveelheid U generators beskikbaar in maand M -Minimum kapasiteit (MW) van generator U Maksimum kapasiteit (MW) van generator U Lasvereistes (MW) in maand M en segment S Kapasitcit (MW) van die gasturbine Reduksiefaktor (0,8333)