Nelineární systémy : analýza

VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ - TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA Fakulta strojní NELINEÁRNÍ SYSTÉMY ANALÝZA Miluše Vítečková Antonín Víteček Ostrava 2019 Lektor: Prof. RNDr. Ing. Miloš Šeda, Ph.D. Copyright ©: Prof. Ing. Miluše Vítečková, CSc. Prof. Ing. Antonín Víteček, CSc., Dr.h.c. NELINEÁRNÍ SYSTÉMY. ANALÝZA ISBN 978-80-248-4302-5 On-line DOI 10.31490/9788024843025 Předmluva Učební texty „Nelineární systémy“ jsou věnovány základním vlastnostem a analýze nelineárních dynamických systémů z hlediska automatického řízení. Hlavní důraz je kladen na jednoduchost a názornost. Texty obsahují plně řešené příklady, které tvoří nedílnou součást probírané teorie. Předpokládá se znalost teorie automatického řízení v rozsahu skript: Vítečková, M., Víteček, A. Základy automatické regulace. 2. rozšířené vydání. Ostrava, 2014, příp. jiných podobných učebních textů. Vzhledem k tomu, že učební texty pojednávají o základech nelineárních systémů, nejsou v nich uváděny přesné důkazy ani odkazy na použitou literaturu. Pro prohloubení a rozšíření problematiky nelineárních systémů jsou doporučeny níže uvedené publikace: ČELIKOVSKÝ, M. Nelineární systémy. Nakladatelství ČVUT, Praha, 2006 HUBA, M. Nelineárne systémy. Vydavateľstvo STU, Bratislava, 2003 KHALIL, H. Nonlinear systems. Third edition. Prentice-Hall, New Jersey, 2002 NOSKIEVIČ, P. Modelování a identifikace systémů. Montanex, Ostrava, 1999 RAZÍM, M., ŠTECHA, J. Nelineární systémy. Vydavatelství ČVUT, Praha, 1997 SASTRY, S. Nonlinear Systems. Analysis, Stability, and Control. Springer-Verlag, New York, 1999 Učební texty jsou určeny pro studenty, kteří se zabývají teorií automatického řízení. 4 Obsah Obsah Předmluva .............................................................................................................. 3 Obsah ..................................................................................................................... 4 Seznam základního značení a symbolů ................................................................. 5 1 Úvod .............................................................................................................. 11 1.1 Systémy a jejich základní vlastnosti ....................................................... 11 1.2 Některé zvláštnosti ve vlastnostech nelineárních systémů ..................... 16 1.3 Nelineární systémy řízení ....................................................................... 28 2 Matematické modely nelineárních systémů .................................................. 30 2.1 Spojité stavové modely ........................................................................... 30 2.1.1 Základní spojité stavové modely ...................................................... 30 2.1.2 Vlastnosti rovnovážných stavů a mezních cyklů ............................. 33 2.2 Klasické modely nelineárních systémů .................................................. 42 2.2.1 Základní nelinearity .......................................................................... 43 2.2.2 Základní zapojení statických nelinearit ............................................ 53 2.3 Analýza nelineárních dynamických systémů ......................................... 63 2.3.1 Analýza ve stavové a fázové rovině ................................................. 65 2.3.2 Nepřímá Ljapunovova metoda ......................................................... 91 2.3.3 Přímá Ljapunovova metoda .............................................................. 97 2.3.4 Kruhové kritérium stability ............................................................ 112 2.3.5 Popovovo kritérium stability .......................................................... 133 2.3.6 Metoda ekvivalentního přenosu ..................................................... 143 2.3.7 Experimentální identifikace soustav metodou relé ........................ 158 Literatura ........................................................................................................... 169 Seznam základního značení a symbolů 5 Seznam základního značení a symbolů a, ai, b, bi, c, d… konstanty ae amplituda regulační odchylky ai koeficienty levé strany diferenciální rovnice, koeficienty mnohočlenu ve jmenovateli přenosu, koeficienty charakteristického mnohočlenu au amplituda první harmonické aM amplituda kmitů mezního cyklu A(  ) = modG(j  ) =G(j  ) modul kmitočtového přenosu, grafické vyjádření A(  ) = amplitudová kmitočtová charakteristika A matice systému (dynamiky) řádu n [typu (n, n), (n×n)] bi koeficienty pravé strany lineární diferenciální rovnice, koeficienty mnohočlenu v čitateli přenosu b koeficient viskózního tření B konstanta B matice vstupu typu (n, r) C matice výstupu typu (m, n) C integrační konstanta D matice převodu typu (m, r) e regulační odchylka e vektor regulačních odchylek dimenze n e() trvalá regulační odchylka E energie E(s) Lobraz regulační odchylky f obecná funkce f vektorová obecně nelineární funkce dimenze n   2 =f kmitočet g(t) obecná nelineární funkce, impulsní funkce g gravitační zrychlení g vektorová obecně nelineární funkce 6 Seznam základního značení a symbolů G(s) přenos GM(s) přenos měřicího členu GR(s) přenos regulátoru GS(s) přenos soustavy Gt(s) transformovaný přenos )(j e)()(j)()(j   AQPG =+= kmitočtový přenos, grafické vyjádření G(j  ) = amplitudofázová kmitočtová charakteristika )(j)()(j  mmm QPG += Popovova charakteristika GN(ae) ekvivalentní přenos h(t) přechodová funkce h vektorová obecně nelineární funkce H Hurwitzova matice I jednotková matice 1j −= imaginární jednotka J moment setrvačnosti ki koeficient přenosu (zisk) kt zesílení pro transformaci K konstanta, zesílení lineárního regulátoru KP zesílení regulátoru, váha proporcionální složky regulátoru KA zesílení u Ajzermanovy hypotézy KK zesílení u Kalmanovy hypotézy KH zesílení pro Hurwitzův sektor l délka m stupeň mnohočlenu v čitateli přenosu, dimenze výstupního signálu y, řád derivace vstupního signálu, hmotnost m0 moment tření n stupeň charakteristického mnohočlenu, stupeň mnohočlenu ve jmenovateli přenosu, dimenze vektoru stavových proměnných x, řád systému N charakteristický mnohočlen, mnohočlen ve jmenovateli přenosu (kořeny = póly) Seznam základního značení a symbolů 7 P reálná symetrická kladně definitní matice řádu n [typu (n, n), (n×n)] P(  ) = ReG(j  ) reálná část kmitočtového přenosu Pm(  ) reálná část u Popovovy charakteristiky Q(  ) = ImG(j  ) imaginární část kmitočtového přenosu Qm(  ) imaginární část u Popovovy charakteristiky Q reálná symetrická kladně definitní matice řádu n [typu (n, n), (n×n)] r dimenze vstupního signálu u, rádius vektor (průvodič) u polárních souřadnic R množina reálných čísel s =  + j  komplexní proměnná, nezávisle proměnná v Laplaceově transformaci si póly lineárního dynamického systému = kořeny mnohočlenu N(s), vlastní čísla matice Q t (spojitý) čas   2 =T perioda Td dopravní zpoždění TD derivační časová konstanta TI integrační časová konstanta Ti (setrvačná) časová konstanta Tp perioda ustálených kmitů u akční veličina, řízení, vstupní veličina (vstup), napětí u vektor vstupních veličin (vstup) dimenze r U(s) L-obraz akční veličiny v, v1 poruchová veličina (porucha) V(x) Ljapunovova funkce w žádaná veličina W(s) L-obraz žádané veličiny w vektor žádaných veličin (dimenze m) x stavová, fázová veličina (stav, fáze), obecný signál x vektor stavových (fázových) veličin (stav, fáze) dimenze n 8 Seznam základního značení a symbolů xe rovnovážný stav y regulovaná veličina, výstupní veličina (výstup) Y(s) L-obraz regulované veličiny y vektor výstupních veličin dimenze m z vektor (pomocných) stavových veličin ze rovnovážný stav  sklon přímky, úhel vychýlení kyvadla, reálná konstanta, úhel sklonu tečny stavové trajektorie  = Re s reálná část komplexní proměnné s β sklon přímky, konstanta  (ε) oblast počátečních stavů  přírůstek, konstanta  kladné číslo, oblast stavů  (t) Heavisideův jednotkový skok  = 2  f úhlový kmitočet, úhlová rychlost  = Im s imaginární část komplexní proměnné s  M úhlový kmitočet kmitů mezního cyklu  (  ) = arg G(j  ) fáze kmitočtového přenosu, grafické vyjádření  (  ) = fázová kmitočtová charakteristika  u fázové zpoždění první harmonické  úhel (argument) u polárních souřadnic λ reálná konstanta ξ koeficient poměrného tlumení τ čas Horní indexy * optimální, doporučený –1 inverzní T transponovaný Seznam základního značení a symbolů 9 Dolní indexy w žádaný t transformovaný, transformace 0 počáteční hodnota Symboly . (totální) derivace podle času  odhad  norma (zobecněná vzdálenost)  absolutní hodnota Relační znaménka  přibližně rovno =  po zaokrouhlení rovno = ˆ korespondence mezi originálem a obrazem  implikace  ekvivalence  a zároveň, konjunkce Grafické značky (jednonásobný) pól dvojnásobný pól nelineární systém (prvek, člen) lineární systém (prvek, člen) jednorozměrový signál (veličina) mnohorozměrový signál (veličina) součtový člen (vyplněný segment označuje znaménko minus) ‒ _ 16 1 Úvod přístupy a metody řeší pouze některé problémy, a to pouze pro určitou skupinu nelineárních systémů. Dále se budeme zabývat dynamickými systémy se soustředěnými parametry, tj. takovými systémy, jejichž vlastnosti se dají vyjádřit pomocí obyčejných diferenciálních rovnic s případným dopravním zpožděním. Výjimečně se budeme také zabývat diskrétními systémy popsanými obyčejnými diferenčními rovnicemi. Vstupy, výstupy a stavy budeme u matematických modelů také nazývat vstupními, výstupními a stavovými proměnnými, veličinami nebo signály. Nelineární systémy (modely, prvky) budeme označovat zdvojenými obdélníky a proměnné (vstupy, výstupy, stavy atd.) malými písmeny bez argumentu (protože argumentem může být spojitý nebo diskrétní čas, komplexní proměnná s nebo z atd.). Z důvodu přehlednosti argument budeme rovněž vynechávat ve složitějších vztazích a tam, kde nemůže dojít k omylu. Vzhledem k tomu, že teorie lineárních systémů je velmi dobře propracovaná s mnoha obecnými přístupy, je snaha zastoupit nelineární systémy jejich lineárními aproximacemi. Bohužel u nelineárních systémů existuje celá řada jevů, které lineární teorie nedovede popsat ani vysvětlit. 1.2 Některé zvláštnosti ve vlastnostech nelineárních systémů Jak již bylo řečeno, u lineárních systémů každá lokální vlastnost je současně globální vlastností. U nelineárních systémů tomu tak není. Většina vlastností je lokální, tj. týkají se určitého bodu nebo oblasti ve stavovém prostoru. Nyní formou příkladů si ukážeme některé vlastnosti, které vystupují u nelineárních systémů a které budou v dalším textu vysvětleny podrobněji. U nelineárních systémů nelze zaměňovat pořadí prvků zapojených sériově (příklad 1.3), může vystoupit tzv. únik v konečném čase (příklad 1.4), ve stavovém prostoru může vzniknout uzavřená křivka, tzv. mezní cyklus, jejíž tvar nezáleží na počátečních podmínkách (příklad 1.5), může existovat více řešení (příklad 1.6), nemusí existovat žádné řešení (příklad 1.7), může vystoupit bifurkace (příklad 1.8), při harmonickém vstupu se mohou na výstupu objevit nižší nebo vyšší harmonické (příklad 1.9), nelineární systém řízení může být stabilizován při saturovaném řízení (příklad 1.10) apod. Velmi důležité je, že u nelineárních systémů ve většině případů tratí svůj význam některé matematické modely, jako např. obrazové a kmitočtové přenosy, impulsní a přechodové funkce. Příklad 1.3 Je třeba určit odezvy integrátoru s nasycením na vstupu nebo výstupu (obr. 1.5) pro skokové změny vstupu 1 Úvod 17 )()( 0tutu  = . Statická nelinearita nasycení je definována vztahem (obr. 1.6)        =      −−   =1,sign 1, satnebo 1,1 1, 1,1 sat xx xx x x xx x x (1.9)      − =  = .0,1 ,0,0 ,0,1 sign x x x x (1.10) Vztah (1.10) popisuje nelinearitu ideální dvoupolohové relé (znaménkovou funkci). Obr. 1.5 Integrátor s nasycením na: a) vstupu, b) výstupu – příklad 1.3 Obr. 1.6 Statická nelinearita: a) nasycení, b) ideální dvoupolohové relé Řešení: Je zřejmé, že pro integrátor s nasycením na vstupu platí (obr. 1.7a)        =.1,sign ,1, )( 00 00 uut utu ty x xsat 1− b ) a) b) 1− 1 1 x xsign 1− 0 0 1 u y s 1 b ) a) b) u y s 1 18 1 Úvod Bude-li nasycení na výstupu, pak lze psát (obr. 1.7b)        =.1,sign ,1, )( 00 00 tuu tutu ty Obr. 1.7 Odezvy integrátoru na skokové změny s nasycením na: a) vstupu, b) výstupu – příklad 1.3 Z obr. 1.7 vyplývá, že u nelineárních systémů při změně pořadí jejich prvků dochází k podstatnému rozdílu v jejich odezvách, a tedy i jejich vlastností. Je také zřejmé, že u nelineárních systémů tratí svůj význam přechodová funkce (charakteristika), protože její průběh závisí na velikosti skokové změny. Příklad 1.4 Je dán nelineární dynamický systém bez vstupu t )(tu 1− b ) a) b) 5,0− 1 5,1− 0 5,0 0=u 5,0 5,1 1 0−=u 5,1 0−=u 5,0 0−=u 1 0=u 5,1 0=u 0 0=u t )(tu 1− 5,0− 1 5,1− 0 5,0 0=u 5,0 5,1 1 0−=u 5,1 0−=u 5,0 0−=u 1 0=u 5,1 0=u 0 0=u )(ty 1− 5,0− 1 5,1− 0 5,0 5,1 1− 5,0− 1 5,1− 0 5,0 5,1 )(ty t 5,0 0=u 1 0−=u 5,1 0−=u 5,0 0−=u 1 0u 0 0=u t 5,0 0=u 1 0−u 5,0 0−=u 1 0=u 5,1 0=u 0 0=u 1 Úvod 19 0 3)0(),()( yytyty ==  . Je třeba určit jeho odezvu na počáteční podmínku, tj. řešení dané diferenciální rovnice pro zadanou počáteční podmínku. Řešení: Lze psát   . 21 )( 2 1 dd 1 dd 1 d d 2 0 0 0 )( 2 0 )( 33 3 0 0 ty y ty y y y ty y y t yt ty y t ty y − = =      −===   Obr. 1.8 Únik v konečném čase – příklad 1.4 Byl využit vztah   1\,0, 1 d1−+ + =+ RnxC n x xx n n . (1.11) Je zřejmé, že platí (obr. 1.8) 20 1 Úvod = − = →→ ty y ty y t y t2 0 0 2 1 2 121 lim)(lim 2 0 2 0 . Z obr. 1.8 vyplývá, že pro 2 0 21 yt = nastává únik odezvy. Naproti tomu u lineárních systémů všechny odezvy (stabilní i nestabilní) trvají nekonečně dlouho, protože jsou dány vždy váženým součtem exponenciálních funkcí. Příklad 1.5 Je dán nelineární dynamický systém popsaný soustavou dvou diferenciálních rovnic ,)( ,)( 1 2 2 2 1 2 22 2 2 2 2 1 2 11 xxxaxx xxxaxx +−−= −−−=   (1.12) u kterého je třeba určit řešení pro různé počáteční podmínky (stavy) x1(0) a x2(0). Řešení: Úloha byla řešena pomocí počítače (analyticky bude řešená dále) a byly získány průběhy pro a = 2 ukázané na obr. 1.9. Obr. 1.9 Stavový portrét nelineárního dynamického systému – příklad 1.5 1 Úvod 21 Křivky vycházející z různých počátečních podmínek se nazývají stavové trajektorie, stav x(t) pro konkrétní t ≥ 0 se nazývá zastupující nebo zobrazující bod a soubor průběhů stavových trajektorií pro různé počáteční podmínky se nazývá stavový portrét daného nelineárního dynamického systému. Orientace stavových trajektorií ukazuje směr růstu času t. Ze stavového portrétu na obr. 1.9 vyplývá, že všechny stavové trajektorie, ačkoliv vycházejí z různých počátečních podmínek, se přibližují k uzavřené křivce a setrvávají na ní (platí to pro náš případ). Tato uzavřená křivka se nazývá mezní cyklus a odpovídají mu stabilní periodické kmity. Ke stejnému závěru můžeme přijít, když pravoúhlé souřadnice původního systému zastoupíme polárními souřadnicemi (obr. 1.10) ,sin,cos ,arctg, 21 1 2 2 2 2 1   rxrx x x xxr == =+= (1.13) kde r je radiusvektor (průvodič), φ – argument. Obr. 1.10 Zavedení polárních souřadnic Protože platí ,cossin,sincos 21      rrxrrx +=−= proto po dosazení do rovnic původního systému a úpravě se dostane ).1( sin cos )( ),1( cos sin )( 22 22 −−=−− −=−−           rrarr rrarr Odečtením druhé rovnice od první rovnice se získá vztah ),1( sin cos cos sin 0−      +=       r ze kterého vyplývá, že může být splněn pouze pro 1=   . 1 x  r 2 x 0 22 1 Úvod Obdrželi jsme matematický model nelineárního dynamického systému transformovaný do polárních souřadnic .)0(,1 ,)0(),( 0 0 22  == =−=  rrrarr (1.14) Z první rovnice vyplývá, že pro 0=r  dostaneme v polárních souřadnicích kružnici o poloměru a ( 0 22 =−ra ), tj. vznikne mezní cyklus. Druhé řešení 0=r ( 0 1=x , 0 2=x ) odpovídá rovnovážnému stavu (ekvilibriu) v počátku souřadnic. Protože stavové trajektorie se od něho vzdalují, jde o nestabilní rovnovážný stav. Soustavu rovnic (1.14) můžeme snadno vyřešit   ,, e1e e )( ln 2 1 dd )( 1 2 0 2 0 2 2 2 2 22 2 0 )( 22 2 2 0 )( 22 22 2 0 0 r ra K K a K a tr ra r a r rar tata ta t tr r t tr r − = + = + = =       − = − −   .)(dd , e1 )( 0 )( 0 22 tt K a tr t t ta == + =  −   Obdrželi jsme řešení v polárních souřadnicích tt K a tr ta = + =−)(, e1 )( 2 2  (1.15) a po dosazení do (1.13) v pravoúhlých souřadnicích tata K ta tx K ta tx 22 2 2 2 1e1 sin )(, e1 cos )( −− + = + = (1.16) Je zřejmé, že pro K = 0 z obou řešení (1.15) a (1.16) se obdrží rovnice kružnice o poloměru a, tj. vznikne mezní cyklus. Pro jiné hodnoty vznikne spirála, která se pro Kar  0 0 přibližuje k meznímu cyklu zevnitř a pro 0 0 Kar spirála se bude přibližovat k meznímu cyklu z vnějšku, viz obr. 1. 9. Je tedy zřejmé, že mezní cyklus je stabilní. Příklad 1.6 U nelineárního dynamického systému 0)0(,)()( == ytyty  1 Úvod 23 je třeba určit odezvu na zadanou počáteční podmínku. Řešení: Podobně jako v příkladě 1.4 lze psát == ty y y t ydd 1 d d     ==  t ty t ty yy y0 )( 0 0 )( 0 2dd 1  2 4 1 )( tty = . Při integraci byl použit vztah (1.11). Obdržené řešení není jediné, protože nelineární diferenciální rovnici popisující daný systém vyhovuje pro počáteční podmínku y(0) = 0 rovněž řešení 0)( =ty . Vidíme tedy, že z počáteční podmínky vycházejí dvě rozdílná řešení, co u lineární diferenciální rovnice není možné. Obr. 1.11 Dvě rozdílná řešení – příklad 1.6 Příklad 1.7 Je zřejmé, že u nelineárního dynamického systému 0)0(,)(sign)( =−= ytyty  , kde 24 1 Úvod    −  =,0pro1 ,0pro1 sign y y y neexistuje žádné řešení, protože žádná spojitě diferencovatelná funkce nevyhovuje dané diferenciální rovnici. Přesto takové podobné dynamické systémy mají veliký význam pro robustní řízení v tzv. klouzavých módech. Uvedený nelineární systém může např. popisovat jednoduchý regulační obvod s integrační soustavou a ideálním dvoupolohovým regulátorem, kde y(t) = e(t) je regulační odchylka. Příklad 1.8 Je třeba provést podrobnou analýzu logistického modelu růstu populace 0 )0(, )( 1)()( xx b tx taxtx =      −=  , (1.17) kde x(t) je velikost populace daného druhu v čase t (např. počet jedinců), a – konstanta růstu populace (např. počet jedinců za časovou jednotku), b – „ideální“ velikost populace (např. počet jedinců). Uvedený model je spojitý, a proto při interpretaci výsledků je třeba brát v úvahu např. zaokrouhlení na nejbližší nižší celé číslo. Řešení: Můžeme psát =       − += − t tx x t tx xb a x xbxbb a x xbx 0 )( 0 )( dd 111 dd )( 1 00    =       − t tx x a xb x 0 )( 0 ln  atat at xbx bx xxb bx tx − −+ = +− =e)(e e )( 00 0 00 0 . (1.18) Průběhy řešení pro různé počáteční podmínky x0 (na obr. 1.12a je zaznačena pouze jedna počáteční podmínka x0) a t ≥ 0 jsou na obr. 12a. Jsou to vlastně rozšířené stavové trajektorie (rozšířené o čas). Jejich průmět na osu x vytváří v podstatě jedinou stavovou trajektorii na přímce (pro n = 1). Z obr. 1.12a vyplývá, že rozšířené stavové trajektorie pro x0 > 0 se sbíhají k hodnotě x = xe = b (asymptoticky stabilní rovnovážný stav), viz obr. 1.12b. Je zřejmé, že rovnovážný stav x = xe = 0 je nestabilní. Na obr. 1.12b jsou vlastnosti obou rovnovážných stavů xe = b a xe = 0 vyjádřeny pomocí šipek. U lineárních dynamických systémů existuje vždy jediný rovnovážný stav. 1 Úvod 25 Uvažujme nyní logistický model růstu populace ve tvaru c b tx taxtx −      −= )( 1)()(  , (1.19) kde c je velikost odebírané populace (např. počet jedinců za časovou jednotku). Stavová trajektorie v rovině n = 2 pro různé hodnoty c jsou na obr. 1.13. Pro c = 0 stavová trajektorie odpovídá vztahu (1.17). Obr. 1.12 Logistický model růstu populace: a) rozšířené stavové trajektorie, b) stavové trajektorie – příklad 1.8 Obr. 1.13 Stavové trajektorie logistického modelu růstu populace v rovině pro různé hodnoty c – příklad 1.8 x b 4 ab x  0 c = 0 4 ab c= 4 ab c 4 ab c 2 b b ) bxe= 0 x x 0= e x b) a) 32 2 Matematické modely nelineárních systémů resp.  +++= )()()()( 1tttt uDDuCxy , (2.6) kde D1 je matice typu (m,r) atd. Obr. 2.2 Stavové modely spojitých dynamických systémů Dynamické t-invariantní systémy se často nazývají stacionární. Dynamické t-invariantní systémy bez vstupu (nebuzené) 0 )0()],([)( xxxfx == tt  (2.7a) )]([)( tt xhy = , (2.7b) resp. 0 )0(),()( xxAxx== tt  , (2.8a) ]),(),([)( tttt uxfx =  ]),(),([)( tttt uxhy = t-variantní nelineární dynamický systém )](),([)( ttt uxfx =  )](),([)( ttt uxhy = t-invariantní nelineární dynamický systém f a h nezávisí explicitně na čase f a h jsou lineární vzhledem k x a u )()()()()( ttttt uBxAx +=  )()()()()( ttttt uDxCy += t-variantní lineární dynamický systém f a h jsou lineární vzhledem k x a u matice A, B, C a D nezávisí na čase t )()()( ttt BuAxx+=  )()()( ttt DuCxy+= t-invariantní lineární dynamický systém 2 Matematické modely nelineárních systémů 33 )()( tt Cxy= (2.8b) se nazývají autonomní. Výstupní rovnice (2.7b) a (2.8b) nemají vliv na dynamické vlastnosti systémů (2.7) a (2.8), a tedy ani na jejich stabilitu, proto při jejich analýze se většinou neuvažují. Pokud dynamické systémy (2.7) a (2.8) jsou řízeny pomocí zpětné vazby, tj. vektor řídicích proměnných u(t) je funkcí vektoru stavových proměnných x(t), případně vektoru výstupních proměnných y(t), pak při konstantním vektoru žádaných proměnných w(t) se rovněž obdrží autonomní dynamický systém. Z tohoto důvodu se autonomními dynamickými systémy budeme zabývat podrobněji. Při zkoumání vlastností daného rovnovážného stavu ze u nelineárního systému 0 )0()],([)( zzzgz == tt  (2.9) je vhodné ho přesunout do počátku nových souřadnic, tj.    = = −= )()( 0 )()( tt tt e ezx x zzx   (2.10) 0 )0()],([)( xxxfx == tt  , (2.11a) kde ee tt zzxzxgxf −=+= )0()0(],)([)]([ . (2.11b) Na závěr ještě jednou přehledně shrňme základní tvary stavových matematických modelů: ),,( tuxfx =  – neautonomní (buzený, t-variantní), ),( uxfx =  – neautonomní (buzený, t-invariantní), ),( txfx =  – autonomní (nebuzený, t-variantní), )(xfx =  – autonomní (nebuzený, t-invariantní). 2.1.2 Vlastnosti rovnovážných stavů a mezních cyklů Při analýze vlastností autonomních dynamických systémů zkoumáme chování (průběh) stavových trajektorií vycházejících ze zadaných počátečních stavů (podmínek), tj. zkoumáme vlastnosti jejich odezev na různé počáteční stavy (podmínky). U autonomních dynamických systémů (2.7a) a (2.8a) mohou nastat pro t → ∞ ustálené stavy rovnovážné (klidové) a periodické (pohybové). 34 2 Matematické modely nelineárních systémů Uvažujme nejdříve lineární autonomní dynamický systém (2.8a). Označme xx = → )(lim t t , (2.12) pak pro rovnovážný stav platí 0= → )(lim t tx  , (2.13) tj. Ax=0 . Tato rovnice má jediné řešení 0= e x , (2.14) tzn., že lineární autonomní dynamický systém má jediný rovnovážný stav (2.14) v počátku stavových souřadnic (obr. 2.3a). Tento rovnovážný stav se nazývá ekvilibrum. Rovnovážný stav je singulárním stavem (bodem) ve stavovém prostoru, protože jím může procházet nekonečně mnoho stavových trajektorií. Naproti tomu regulárním stavem (bodem) může procházet pouze jediná stavová trajektorie (samozřejmě pro daný dynamický systém a daný počáteční stav). V případě periodického ustáleného stavu platí )()( p Ttt += xx , kde Tp je perioda ustálených kmitů. V případě periodického ustáleného stavu u lineárního autonomního dynamického systému vznikne ve stavovém prostoru pouze jediná uzavřená křivka, která je jednoznačně určena počátečním stavem x(0) = x0 (obr. 2.3b). Obr. 2.3 Ustálený stav ve stavové rovině: a) rovnovážný, b) periodický 0= e x 2=n 2 x 1 x 0 )0( xx = 0 2=n 2 x 1 x a) b) 2 Matematické modely nelineárních systémů 35 Obr. 2.4 Ustálený stav v rozšířeném stavovém prostoru: a) rovnovážný (klidový), b) periodický V rozšířeném stavovém prostoru (o čas) rovnovážnému stavu odpovídá časová osa (2.4.a) a periodickému ustálenému stavu (periodickému pohybu) odpovídá neměnící se nekonečná spirála začínající v počátečním stavu x(0) = x0 (obr. 2.4b). Obr. 2.3 a 2.4 platí pro n = 2, tj. pro stavovou rovinu. U nelineárního autonomního dynamického systému (2.7a) pro 0= → )(lim t tx  , (2.15) se dostane )(xf=0 . (2.16) Je zřejmé, že tato nelineární rovnice nemusí mít řešení, může mít více řešení a dokonce i nekonečný počet řešení. Vyplývá z toho, že nelineární autonomní dynamický systém nemusí mít žádný rovnovážný stav, může mít několik izolovaných rovnovážných stavů a dokonce může mít i nekonečný počet rovnovážných stavů, které mohou tvořit souvislou nebo nesouvislou oblast ve stavovém prostoru. V případě periodického ustáleného stavu u nelineárního autonomního dynamického systému vznikne ve stavovém prostoru uzavřená křivka, tzv. mezní cyklus, ke které se stavové trajektorie sbíhají (obr. 1.9), nebo od ní odbíhají, případně se některé sbíhají a jiné odbíhají pro různé počáteční stavy (v okolí této uzavřené křivky), tj. mezní cyklus nezávisí na počátečních stavech. Obecně u nelineárního autonomního dynamického systému může vzniknout několik mezních cyklů, přičemž větší mezní cyklus může obsahovat menší vnitřní mezní cyklus, ve kterém vždy vystupuje klidový rovnovážný stav (obr. 2.5). 0= e x 2=n )( 2tx )( 1tx 0 )0( xx = 0 2=n )( 2tx )( 1tx t t a) b) 36 2 Matematické modely nelineárních systémů Obr. 2.5 Mezní cykly a rovnovážný stav ve stavové rovině Vlastnosti rovnovážných stavů a mezních cyklů určují vlastnosti celého autonomního dynamického systému. Nejdůležitější vlastností rovnovážných stavů a mezních cyklů je stabilita. U nelineárních dynamických systémů již nevystačíme s definicí stability pro lineární dynamické systémy. Poměrně velmi obecný přístup ke stabilitě byl navržen A. A. Ljapunovem. Stabilita ve smyslu Ljapunova Rovnovážný stav xe je lokálně stabilní (ve smyslu Ljapunova), když pro libovolné ε > 0 existuje takové δ(ε) > 0, že platí (obr. 2.6a)  −− ee txxxx )( 0 pro 0 tt  , (2.17) kde  je libovolná norma. U stabilního rovnovážného stavu xe stavová trajektorie x(t) zůstává v jeho blízkém okolí (obr. 2.6a). Pokud stavová trajektorie x(t) se od rovnovážného stavu xe vzdaluje a existuje takový časový okamžik t1, že platí  − e txx )( pro 01 ttt  , (2.18) pak rovnovážný stav xe je nestabilní (obr. 2.6b). Asymptotická stabilita ve smyslu Ljapunova Rovnovážný stav xe je lokálně asymptoticky stabilní (ve smyslu Ljapunova), když je lokálně stabilní (2.17) a navíc platí (obr. 2.6c) e t etxxxx =− → )(lim 0  . (2.19) 0 e x Mezní cykly 2 x 2=n Rovnovážný stav 1 x 2 Matematické modely nelineárních systémů 37 Obr. 2.6 Rovnovážný stav: a) stabilní, b) nestabilní, c) asymptoticky stabilní Interpretace rovnovážného stavu v rozšířeném stavovém prostoru pro n = 1 a n = 2 je na obr. 2.7 a 2.8, viz také příklad 1.8. Obr. 2.7 Interpretace rovnovážného stavu v rozšířeném stavovém prostoru pro n = 1 Obr. 2.8 Interpretace rovnovážného stavu v rozšířeném stavovém prostoru pro n = 2   )(tx 0 x )(tx 0 x e x e x   )(tx 0 x e x )( 1 tx   a) b) c) e x 0 x  )( 1tx )( 2tx 2=n t 1 t STABILNÍ NESTABILNÍ ASYMPTOTICKY STABILNÍ  e x 0 x  2  2 )(tx 1=n t 1 t STABILNÍ NESTABILNÍ ASYMPTOTICKY STABILNÍ 38 2 Matematické modely nelineárních systémů Exponenciální stabilita Rovnovážný stav xe je lokálně exponenciálně stabilní, když existují takové reálné konstanty α, λ > 0, že platí )( 00 e)()( tt ee tt −− −−   xxxx pro 0 tt  . (2.20) Z exponenciální stability vyplývá asymptotická stabilita. Opačné tvrzení neplatí, tj. exponenciální stabilita je přísnější než stabilita asymptotická. Pokud oblast počátečních stavů  − e txx )( může být rozšířena na celý stavový prostor, pak jsou to globální vlastnosti daného rovnovážného stavu xe. Je zřejmé, že v tomto případě může existovat pouze jediný rovnovážný stav xe. V případě jediného rovnovážného stavu xe jeho vlastnost můžeme vztáhnout na celý systém. Z tohoto důvodu u lineárního dynamického systému hovoříme o stabilitě či nestabilitě jako o vlastnosti tohoto systému, a ne o vlastnosti jeho jediného rovnovážného stavu. Jak již bylo dříve řečeno, u nelineárních dynamických systémů mohou vystupovat mezní cykly. Pro jednoduchost budeme uvažovat autonomní nelineární dynamický systém pro n = 2, tj. stavovou rovinu. Rovnovážné stavy mohou být obklopeny jedním i více mezními cykly. Uvnitř mezního cyklu může vystupovat další mezní cyklus nebo musí existovat rovnovážný stav, příp. celá oblast rovnovážných stavů. Základní druhy mezních cyklů s jedním rovnovážným stavem xe ve stavové rovině (n = 2) jsou na obr. 2.9, kde je ukázána rovněž jejich zjednodušená fyzikální interpretace pomocí rotačního tělesa a kuličky. Nestabilní oblasti u mezních cyklů na obr. 2.9a, c, d jsou značeny šedě. 2 Matematické modely nelineárních systémů 39 Obr. 2.9 Mezní cykly ve stavové rovině: a) stabilní s nestabilním rovnovážným stavem, b) polostabilní se stabilním rovnovážným stavem, c) polonestabilní s nestabilním rovnovážným stavem, d) nestabilní se stabilním rovnovážným stavem Příklad 2.1 U dynamického systému 0)0(,2 ,4)0(,1 20212 10121 ==+−= ==−= zzzz zzzz   (2.21) je třeba určit rovnovážný stav a trajektorii vycházející se zadaného počátečního stavu. Řešení: Nejdříve určíme rovnovážný stav .]1,2[ 1 2 0 0 2 1 2 1T e e e z z z z=    = =     = =z   (2.22) Zavedeme nové stavové proměnné v souladu s (2.9) – (2.11) e x e x e x e x a) b) c) d) 40 2 Matematické modely nelineárních systémů 1 ,2 2222 1111 −=−= −=−= zzzx zzzx e e a dostaneme stavový model dynamického systému (2.21) v jednodušším tvaru 11)0(, ,22)0(, 2020212 1010121 −=−==−= =−=== zxxxx zxxxx   (2.23) s rovnovážným stavem TT eee xx ]0,0[],[ 21 ==x . (2.24) Vydělením druhé rovnice v (2.23) první rovnicí se dostane −=−= 1122 2 1 1 2dd d dxxxx x x x x −=−=  )( 2 1 )( 2 2 )( 11 )( 22 1 10 2 20 1 10 2 20 ][ 2 1 ][ 2 1 dd tx x tx x tx x tx x xxxxxx +=+ 2 20 2 10 2 2 2 1)()( xxtxtx 0,5)()( 2 2 2 1=+ ttxtx . (2.25) Stavová trajektorie pro t ≥ 0 vytvoří kružnici o poloměru 5 se středem v rovnovážném stavu T e]0,0[=x v nových souřadnicích ),( 21 xx , případně v T e]1,2[=z v původních souřadnicích ),( 21 zz , viz obr. 2.10. Obr. 2.10 Průběh stavové trajektorie – příklad 2.1 2 Matematické modely nelineárních systémů 41 Orientaci stavové trajektorie určíme na základě rovnice 21 xx =  , ze které vyplývá, že z počátečního stavu T ]1,2[)0( −=x , tj. pro 01)0( 2−=x musí s rostoucím časem klesat )( 1tx , a proto orientace stavové trajektorie vycházející z počátečního stavu )0(x bude zprava – doleva a shora – dolů. I když stavová trajektorie tvoří uzavřenou křivku (v našem případě kružnici), není to mezní cyklus, protože pro jiný počáteční stav )0(x , resp. )0(z se dostane jiná uzavřená křivka (kružnice). Rovnovážný stav e x , resp. e z je tzv. střed, podrobněji viz podkap. 2.3.1. Je zřejmé, že pro libovolný počáteční stav 0 )0( xx = trajektorie zůstane vždy v „blízkosti“ jediného rovnovážného stavu e x , a proto rovnovážný stav typu střed je globálně stabilní (ve smyslu Ljapunova). Tuto globální vlastnost rovnovážného stavu lze rozšířit na celý systém, tj. daný dynamický systém (2.21), resp. (2.23) je globálně stabilní (ve smyslu Ljapunova). Příklad 2.2 Na obr. 2.11 je stavový portrét nelineárního dynamického systému s matematickým modelem .]2)(3)[( ,]2)(3)[( 1 2 2 2 1 22 2 2 122 2 2 2 2 1 22 2 2 111 xxxxxxx xxxxxxx +++−+−= −++−+−=   (2.26) Vzhledem ke složitosti matematického modelu stavový portrét včetně orientace stavových trajektorií byl získán pomocí počítače. Je třeba určit vlastnosti obou mezních cyklů a jediného rovnovážného stavu e x . Řešení: Stavové trajektorie v okolí rovnovážného stavu e x se do něho sbíhají, a proto rovnovážný stav e x je lokálně asymptoticky stabilní, je to tzv. ohnisko. Stavové trajektorie se od vnitřního mezního cyklu vzdalují, a proto jde o nestabilní mezní cyklus. K vnějšímu meznímu cyklu se z obou stran stavové trajektorie sbíhají, a proto jde o stabilní mezní cyklus. Dynamický systém (2.26) bude podrobněji analyzován v příkladu 2.20. 48 2 Matematické modely nelineárních systémů Řešení: Protože v rovnici (2.34) vystupuje jednoznačná nelinearita absolutní hodnota (obr. 2.20), je třeba uvažovat dva případy. Obr. 2.20 Absolutní hodnota a) yyy = ||0 V tomto případě rovnice (2.34) bude 022 22 =−−=− uyyuyy . Její řešení je      −+− −++ =,]0,1( pro11 ),,1( pro11 uu uu y (2.35) pro interval ),1( −u se jedná o stabilní horní větev, viz obr. 2.21 a pro interval ]0,1( −u je to nestabilní část. b) yyy −= ||0 Rovnice (2.34) pak bude 022 22 =++=−− uyyuyy . Její řešení je      −−−− −+− =,)1,( pro11 ),1,0( pro11 uu uu y (2.36) pro interval )1,0( u se jedná o nestabilní část, a pro interval )1,( −u je to stabilní spodní větev (obr. 2.21). 0 y |y| 2 Matematické modely nelineárních systémů 49 Obr. 2.21 Nelinearita typu hystereze – příklad 2.3 Závislosti výstupní veličiny y na vstupní veličině u (2.35) a (2.36) jsou ukázány na obr. 2.21. Plnou čarou jsou označeny stabilní úseky (větve) a čárkovanou čarou nestabilní úseky (větve). Je zřejmé, že pro hodnoty vstupní veličiny 1 =u dochází ke skokovým změnám z jedné stabilní větve na druhou. Např. při periodickém průběhu vstupní veličiny u s amplitudou větší než 1 se vytvoří uzavřená smyčka tzv. hystereze obsahující nestabilní úsek. V rozmezí vstupní veličiny )1,1( −u hodnota výstupní veličiny y závisí na její předchozí hodnotě, tj. na její historii. Dochází zde k určitému rozporu – systém je statický, ale má paměť. V okolí hodnot vstupní veličiny 1 =u hodnota výstupní veličiny y závisí nejenom na její historii, ale i na její časové změně, tj. ty dd , příp. tu dd . Znovu je zde určitý rozpor – systém je statický, ale pro určité hodnoty vstupní veličiny jeho vlastnosti závisí na derivaci ty dd , příp. tu dd (existence časových derivací je vlastnost dynamických systémů). Vidíme, že „dynamika“ se projevuje pouze tam, kde statická charakteristika systému je nejednoznačná. Velkým problémem je, že existuje mnoho druhů hysterezí s nejrůznějšími vlastnostmi, které jsou popisovány matematickými modely s různou strukturou a složitostí. Většina autorů hysterezi zahrnuje mezi statické charakteristiky, ale vhodnější je hovořit o nelinearitě typu hystereze (nelinearita s hysterezí). Dvoupolohové relé s hysterezí (obr. 2.22) Matematický model (dvoupolohového) relé s hysterezí (2.37) je neúplný model, který popisuje jeho vlastnosti např. pro harmonický vstup. Většinou jde o uměle vytvořenou nelinearitu, která má široké použití v regulaci a při praktické realizaci řízení v klouzavém módu. 50 2 Matematické modely nelineárních systémů        −− − −  = 0 pro 0 pro 0 pro 0 pro uauB uauB uauB uauB y     (2.37) Obr. 2.22 Dvoupolohové relé s hysterezí Je zajímavé, že relé s hysterezí může být vytvořeno zpětnovazebním zapojením statických jednoznačných nelinearit, viz obr. 2.24 a v podkapitole 2.2.2. v příkladě 2.6. Třípolohové relé s hysterezí (obr. 2.23) Rovněž tato nelinearita je uměle vytvořena. Má použití v regulačních obvodech, především v klimatizačních zařízeních, servomechanismech atd. Její matematický model (2.38) je také neúplný a popisuje její vlastnosti např. pro harmonický vstup.            −− −  −− −  = 0 pro 0 pro0 0 pro 0 pro 0 pro0 0 pro 2 12 1 1 21 2 uauB uaua uauB uauB uaua uauB y       (2.38) B a u y B− -a 2 Matematické modely nelineárních systémů 51 Obr. 2.23 Třípolohové relé s hysterezí Obr. 2.24 Realizace dvoupolohového relé s hysterezí pomocí kladné zpětné vazby Realizace třípolohového relé s hysterezí pomocí kladné zpětné vazby je na obr. 2.25. Obr. 2.25 Realizace třípolohového relé s hysterezí pomocí kladné zpětné vazby u y 1 u B aa 12 − 1 y B B− 2 a− 2 a u y 1 u B a 1 y B B− B u y B− 2 a− 1 a− 2 a 1 a 52 2 Matematické modely nelineárních systémů Vůle (obr. 2.26) Nelinearita vůle vystupuje v nejrůznějších mechanismech, kde jedna část předává pohyb jiné části. Jsou to především ozubené a pákové převody, kloubové mechanismy atd. Nelinearita vůle je zvláštní typ nelinearity, jejíž vlastnosti vystihuje obr. 2.26b a částečně i neúplný matematický model (2.39).        + =− − = 0 pro)( 0 prokonst 0 pro)( 1 1 1 uauk ua k y u uauk y    (2.39) Obr. 2.26 Nelinearita vůle: a) charakteristika, b) interpretace Realizace hystereze nelinearity vůle je na obr. 2.27, ze kterého je rovněž zřejmá její dynamika. Sklon obou větví je k1 a k2 je veliké číslo )1( 2k . Obr. 2.27 Realizace nelinearity vůle pomocí záporné zpětné vazby Jak již bylo řečeno v příkladu 2.3, existuje mnoho různých hysterezí. U některých dochází k nespojitostem (např. obr. 2.21, 2.22, 2.23), ale většina u y s k2 a a− 1 k a− 0 u y arctg k1 arctg k1 a a) b) 2 Matematické modely nelineárních systémů 53 hysterezí nespojitosti neobsahuje. Důležité je, že hystereze vytváří uzavřenou smyčku, která nezmizí ani při velmi malých kmitočtech vstupní periodické veličiny. S hysterezí se setkáváme u každého reálného systému, stejně jako s necitlivostí a nasycením. 2.2.2 Základní zapojení statických nelinearit Při analýze a syntéze základních zapojení statických jednoznačných nelinearit se používají jak analytické, tak i grafické metody. U analytických metod se předpokládá, že statické nelinearity jsou jednoznačné a prosté, tj. musí platit )()( 2121 ufufuu  . (2.40) U grafických metod se z důvodu jednoduchosti většinou předpokládá, že nelinearity jsou liché, tj. )()( ufuf =−− , (2.41) a proto při konstrukci výsledné statické nelinearity lze uvažovat u každé nelinearity pouze její polovinu v prvním kvadrantu. Paralelní zapojení Pro paralelní zapojení tří nelinearit v souladu s obr. 2.28a platí )()()()( 321321 ufufufyyyufy −+=−+== . (2.42) Obr. 2.28 Paralelní zapojení statických nelinearit: a) blokové schéma, b) konstrukce výsledné statické nelinearity Ze vztahu (2.42) vyplývá přímo grafická konstrukce výsledné statické nelinearity (obr. 2.28b). Pro zvolenou hodnotu vstupní veličiny u sečteme 2 y 321 yyy −+ 1 y 0 321 ,, yyy y )( 1uf )( 2uf )( 3uf 2 y 3 y u 1 y 3 y− y u )( 11 ufy = )( 22 ufy = )(ufy = )( 33 ufy −=− a) b) 54 2 Matematické modely nelineárních systémů pořadnice 1 y , 2 y a 3 y s uvažováním příslušných znamének u součtového uzlu a dostaneme tak výslednou hodnotu y. Je zřejmé, že uvedena metoda může být použita pro libovolný počet statických nelinearit. Příklad 2.4 Je dána statická nelinearita 1 )( 11 + == u u ufy (2.43) a je třeba navrhnout vhodnou paralelní statickou nelinearitu )( 22 ufy = tak, aby výsledná statická nelinearita byla lineární se sklonem 2, tj. uufy 2)( == . uufy 2)( == . (2.44) Řešení: Pro paralelní zapojení nelinearit lze psát  + + = + −= −=+= 1 2 1 22 2 1221 u uu u u uy yyyyyy 1 2 )( 2 22 + + == u uu ufy . (2.45) Je zřejmé, že platí u u uu u u yyy 2 1 2 1 2 21 = + + + + =+= , a proto zadání bylo splněno. Sériové zapojení Pro sériové zapojení tří jednoznačných statických nelinearit v souladu s obr. 2.29a lze psát )(),(),(1112223 ufyyfyyfy ===     )( 123 ufffy = . (2.46) Sestrojení výsledné statické nelinearity je zřejmé z obr. 2.29b. Pro zvolenou hodnotu vstupní veličiny u postupně určíme hodnoty 1 y , 2 y a odpovídající hodnotu y . Při větším počtu nelinearit sestrojíme nejdříve dílčí výsledné nelinearity a pak teprve výslednou statickou nelinearitu. Při menším počtu než 3 zastoupíme nelinearitu lineární závislosti, např. druhou nelinearitu 12 yy = . 2 Matematické modely nelineárních systémů 55 Obr. 2.29 Sériové zapojení statických nelinearit: a) blokové schéma, b) konstrukce výsledné statické nelinearity Příklad 2.5 Pro statickou nelinearitu (2.43) z příkladu 2.4, tj. 1 1+ =u u y je třeba navrhnout sériovou statickou nelinearitu )( 12 yfy = , která zajistí výslednou lineární statickou charakteristiku (2.44), tj. uy 2= . Řešení: V souladu se vztahem (2.46) můžeme psát   )()( 1212 uffyfy == . Zvolíme-li )(2)( 1 1 112 yfyf − = , )( 1 1 1yfu − = kde 1 1 1 1 11 )( y y yf − = − a) b) u y )( 1uf )( 12 yf )( 23 yf 1 y 2 y u )(ufy = )( 23 yfy = )( 11 ufy = 1 y y 2 y )( 122 yfy = 56 2 Matematické modely nelineárních systémů je inverzní funkce (funkce 1 f je prostá, lze tedy k ní vytvořit funkci inverzní), pak dostaneme 1 1 12 1 2 )( y y yfy − == . (2.47) Snadno se přesvědčíme, že platí   u u u u u uffy 2 1 1 1 2 )( 12 = + − + == . Zpětnovazební zapojení Pro zpětnovazební zapojení statických nelinearit v souladu s obr. 2.30a lze psát      = === = −− )( )()()( 1 2 1 111 11 ufy yfyfyfyuu yuu  (2.48) Vztahy (2.48) ukazují na postup řešení zpětnovazebního zapojení, tj. nejdříve se určí závislost )( 1yfu − = a pak teprve )(ufy = . Konstrukce výsledné statické nelinearity pro zápornou zpětnou vazbu je ukázána na obr. 2.30b. Nejdříve se vykreslí nelinearita přímé větve )( 11 ufy = a inverzní nelinearita zpětnovazební větve )( 1 1 2yfy − = a pro zvolenou hodnotu výsledné veličiny y sečteme úseky 1 u , 1 y a dostaneme odpovídající hodnotu vstupní veličiny u ( 11 yuu += pro zápornou zpětnou vazbu). Obr. 2.30 Zpětnovazební zapojení statických nelinearit: a) blokové schéma, b) konstrukce výsledné statické nelinearity pro zápornou zpětnou vazbu Příklad 2.6 Je třeba ukázat, že zapojení s kladnou zpětnou vazbou na obr. 2.24 a 2.25 skutečně realizuje dvoupolohové a třípolohové relé s hysterezí obr. 2.22 a 2.23. a) b) u y 1 u 1 y 11 yuu += )( 1 1 2yf − )( 11 uf )(uf y 11,, yuu )( 11 uf )( 2yf 1 u 1 y y 2 Matematické modely nelineárních systémů 57 Řešení: Vzhledem k tomu, že obě reléové nelinearity se skládají z přímkových úseků a kladná zpětná vazba je lineární, konstrukce výsledných nelinearit je velmi snadná (stačí vždy určit 1 bod, např. pro By = a uvědomit si, že v prvém případě 0 1=u , ve druhém případě 21 au = a využít středovou symetrii), viz obr. 2.31. Nestabilní úseky reléových nelinearit s hysterezí jsou čárkované. Obr. 2.31 Konstrukce reléových nelinearit s hysterezí: a) dvoupolohové relé, b) třípolohové relé Zapojení se zápornou zpětnou vazbou lze použít pro realizaci inverzní statické nelinearity, viz obr. 2.32. Obr. 2.32 Blokové schéma se zápornou zpětnou vazbou pro realizaci inverzní funkce V souladu s obr. 2.32 a vztahy (2.48) můžeme psát )( 1 1 11 11 yfy k yuu yuu +=+= −= Pro → 1 k dostaneme u y 1 u 1 y 1 k )(yf a) b) 1 y a B y= 11,, yuu B a y B− -a 1 12 y aa B y− = y ,,, 11 yuu B B− 2 a− 1 a− 2 a 1 a 64 2 Matematické modely nelineárních systémů .)0(),,,,( ,)0(),,,,( ,)0(),,,,( 021 2022122 1012111 nnnnn n n xxxxxfx xxxxxfx xxxxxfx == == ==        (2.51) Velmi výhodný je tvar, ve kterém každá stavová složka je derivací předchozí složky, tj. .)0(),,,,( ,)0(, ,)0(, 021 20232 10121 nnnn xxxxxfx xxxx xxxx == == ==      (2.52) V tomto případě stav x se nazývá fáze a všude místo pojmu stavový se používá pojem fázový, např. fázový model, fázový prostor, fázová trajektorie atd. Pojem stav je obecnější než pojem fáze, tj. každá fáze je stavem, ale opačně to neplatí. Někdy, především v matematické literatuře, pojmy stav a fáze se nerozlišují. Výhodou fázového vyjádření je snadné určení orientace fázové trajektorie především pro n = 2 a např. u mechanických systémů interpretace fázových složek: x – poloha, x  – rychlost, x  – zrychlení, x – ryv. Převedení (transformace) stavového vyjádření na fázové vyjádření nemusí být jednoduché a vždy možné. Příklad 2.8 Nelineární dynamický systém je popsán stavovým modelem ,)0(, ,)0(, 202 3 2 2 12 101211 zzzzz zzzzz =+= =+=   (2.53) který je třeba převést na fázový model. Řešení: Zvolíme např. 12221211211 ,xxzzxxzxxzx −=+====   a dostaneme .)0(,)( ,)0(, 20102022 3 12 2 12 1010121 zzxxxxxxx zxxxx +==+−+= ===   (2.54) Úspěšnost převedení stavového modelu na fázový model závisí na jeho složitosti a na vhodné volbě nových stavových složek (proměnných). 2 Matematické modely nelineárních systémů 65 Příklad 2.9 Dynamický systém je popsán nelineární diferenciální rovnicí n-tého řádu .)0(,,)0(,)0( ),,,,,( )1( 0 )1( 00 )1()( −− − === = nn nn zzzzzz zzzzfz     (2.55) Daný model je třeba vyjádřit fázově. Řešení: Zvolíme )1( 1121 ,,, − −===== n nn zxxzxxzx     a dostaneme .)0(),,,,( ,)0(, ,)0(, )1( 0021 020232 010121 − === === === n nnnn zxxxxxfx zxxxx zxxxx       (2.56) 2.3.1 Analýza ve stavové a fázové rovině Metoda stavové nebo fázové roviny dovoluje analyzovat vlastnosti dynamických systémů popsaných soustavou dvou diferenciálních rovnic 1. řádu ,)0(),,( ,)0(),,( 2022122 1012111 xxxxfx xxxxfx == ==   (2.57) případně diferenciální rovnicí 2. řádu ,)0(,)0(),,( 00 zzzzzzfz  === (2.58) kterou lze vždy přímo zapsat fázově (viz příklad 2.9), tj. pro zxxzx  === 121 , se dostane .)0(),,( ,)0(, 0202212 010121 zxxxxfx zxxxx    === === (2.59) Je zřejmé, že fázové vyjádření (2.59) je speciálním případem stavového vyjádření (2.57) pro 2211 ),( xxxf = . Stavovou trajektorii T txtxt )](),([)( 21 =x pro t0 můžeme získat složkově řešením soustavy rovnic (2.57) a obdržíme parametrické řešení )(),(2211 txxtxx == (2.60) s parametrem t. 66 2 Matematické modely nelineárních systémů Eliminací parametru (času) t získáme rovnici stavové trajektorie )( 122 xxx = . (2.61) Rovnici stavové trajektorie (2.61) můžeme často získat přímo. Vydělením druhé rovnice první rovnicí v (2.57) se dostane diferenciální rovnice 1. řádu stavové trajektorie ),( ),( d d 211 212 1 2xxf xxf x x= , (2.62) protože t x x t x xd d , d d2 2 1 1==  . Řešením diferenciální rovnice (2.62) se obdrží přímo rovnice stavové trajektorie (2.61) pro daný počáteční stav T xx ],[)0( 20100== xx . Bohužel tato diferenciální rovnice bývá často silně nelineární a její analytické řešení nelze vždy snadno určit. Často pro posouzení vlastností dynamických systémů 2. řádu dobře poslouží přibližný průběh stavové (fázové) trajektorie získaný ručním náčrtem. Z diferenciální rovnice (2.62) na základě její pravé strany lze pro každý bod T xx ],[ 21 =x získat směrnici tečny stavové trajektorie (která tímto bodem prochází). Tečna v daném bodě se znázorní krátkou úsečkou se sklonem α (obr. 2.45) s případnou orientací. Pokud se tyto tečny (úsečky) určí pro celou síť bodů v definiční oblasti pravé strany diferenciální rovnice (2.62), tak se obdrží její směrové pole. Ruční získání směrového pole je pracné. Některé grafické kalkulačky mají tuto funkci zabudovanou jako slope (direction, vector) field. Pro zadaný počáteční stav lze průběh stavové trajektorie (v matematice se používá pojem integrální křivka) přibližně načrtnout. Obr. 2.45 Úsečka reprezentující tečnu stavové trajektorie v bodě T xx ],[ 21 =x 1 x 1 x T xx ],[ 21 =x 2 x 0 2 x  2 Matematické modely nelineárních systémů 67 Pro ruční vykreslení stavové (fázové) trajektorie nebo stavového (fázového) portrétu je značně výhodnější metoda izoklín. Izoklína je geometrické místo bodů, v nichž tečny stavových trajektorií mají stejný sklon. Rovnici izoklín získáme z diferenciální rovnice stavové trajektorie (2.62) pro konstantní sklon, tj. pro konstantní směrnici tečny stavové trajektorie i x x  tg d d 1 2= , = ),( ),( tg 211 212 xxf xxf i  (2.63) )tg,( 12 i xfx  = . (2.64) Z rovnice izoklín (2.64) pro daný úhel sklonu tečny stavové trajektorie αi nebo její směrnice i  tg se dostane odpovídající izoklína. Izoklíny se mohou protínat pouze v singulárních bodech, tj. v rovnovážných stavech. Podobně jako u směrového pole pro danou izoklínu sklony tečen znázorníme krátkými úsečkami s případnou orientací. Při sestrojování průběhu stavové (fázové) trajektorie nebo stavového (fázového) portrétu metodou izoklín postupujeme tak, že v definiční oblasti funkcí ),( 211 xxf a ),( 212 xxf určíme hlavní izoklíny, pro které 0 1=x  a 0 2=x  , tj. pro které je nulová změna v čase pro x1 a x2: )(0),( 1102211 xfxxxf == , (2.65) )(0),( 1202212 xfxxxf == . (2.66) Je zřejmé, že izoklína (2.65) určuje tečny kolmé na osu 1 x (nulová rychlost 0 1=x  ) a izoklína (2.66) určuje zase tečny kolmé na osu 2 x (nulová rychlost 0 2=x  ), viz obr. 2.46. Průsečík hlavních izoklín (2.65) a (2.66) určuje rovnovážný stav (obecně nemusí existovat). Izoklína (2.65) rozděluje orientaci (směr) stavových trajektorií zleva – doprava a naopak, tj. 00,00),( 1 1 1211     xt t x xxxf  . (2.67) Časový přírůstek t musí být vždy kladný, čas nelze vrátit, a proto orientace stavových trajektorií bude zleva – doprava. Podobně pro 68 2 Matematické modely nelineárních systémů 00,00),( 1 1 1211     xt t x xxxf  (2.68) je orientace stavových trajektorií je zprava – doleva. Obr. 2.46 Hlavní izoklíny pro 0 1=x  a 0 2=x  Izoklína (2.66) rozděluje orientaci stavových trajektorií shora – dolů a naopak, tj. pro 00,00),( 2 2 2212     xt t x xxxf  (2.69) je orientace stavových trajektorií je zdola – nahoru. Podobně pro 00,00),( 2 2 2212     xt t x xxxf  (2.70) je orientace stavových trajektorií je shora – dolů. Pro fázové vyjádření modelu dynamického systému ),( , 2122 21 xxfx xx = =   (2.71) rovnice (2.65) má jednoduchý tvar 0 2=x . V tomto případě platí jednoduché pravidlo: v horní polorovině fázové roviny ( 0 12 = xx  ) orientace fázových trajektorií je zleva – doprava a v dolní polorovině ( 0 12 = xx  ) zprava – doleva. Fázové trajektorie, na rozdíl od stavových trajektorií, v regulárních bodech protínají osu 1 x vždy pod pravým úhlem (kolmo). Pouze v rovnovážných 1 x )0( )( 2 1202 = = x xfx  )0( )( 1 1102 = = x xfx  2 x 0 2 Matematické modely nelineárních systémů 69 stavech, tj. singulárních bodech, mohou osu 1 x protínat pod libovolným úhlem. U fázového vyjádření (2.71) rovnovážné stavy vždy leží na ose 1 x (pokud existují). Protože pro blízké okolí rovnovážných stavů vlastnosti nelineárního dynamického systému popisují přibližně odpovídající vlastnosti linearizovaného dynamického systému v těchto rovnovážných stavech, lze pro klasifikaci rovnovážných stavů nelineárního dynamického systému použít klasifikaci rovnovážných stavů lineárního dynamického systému. Uvažujme nelineární dynamický systém [viz (2.57)] ,)0(),,( ,)0(),,( 2022122 1012111 xxxxfx xxxxfx == ==   (2.72) s rovnovážnými stavy ,2,1,],[ 21 == ixx T eieiei x Linearizujeme nelineární dynamický systém v rovnovážných stavech ei x a dostaneme , 2 1 2 1                   =           x x dc ba x x ei x   (2.73a) resp. xAx x= ei  , (2.73b) kde ,, ,, 22222 11111 xxxxx xxxxx ei ei   =−= =−= (2.73c) . ,,,, 2 2 1 2 2 1 1 1 ei ei eieieiei dc ba x f d x f c x f b x f a x x xxxx A      =   =   =   =   = (2.73d) Vlastnosti rovnovážného stavu ei x linearizovaného nelineárního dynamického systému jsou dány jeho dvěma póly 1 s a 2 s , tj. kořeny charakteristického mnohočlenu ).)(( ))(()det()( 21 ssss cbdsas dsc bas ssN ei i −−= =−−−= −− −− =−= x AI (2.74) 70 2 Matematické modely nelineárních systémů Jsou možné tyto případy: a) Oba póly jsou reálné záporné  rovnovážný stav je asymptoticky stabilní uzel. Stavové trajektorie se nespirálovitě blíží k rovnovážnému stavu (obr. 2.47a). b) Oba póly jsou reálné kladné  rovnovážný stav je nestabilní uzel. Stavové trajektorie se nespirálovitě vzdalují od rovnovážného stavu (obr. 2.47b). c) Oba póly jsou reálné, jeden je záporný a druhý kladný  rovnovážný stav je nestabilní sedlo. Stavové trajektorie se nejdříve blíží k rovnovážnému stavu a pak se od něj vzdalují (obr. 2.47c). d) Oba póly jsou komplexní se zápornou reálnou částí  rovnovážný stav je asymptoticky stabilní ohnisko. Stavové trajektorie se spirálovitě blíží k rovnovážnému stavu (obr. 2.47d). e) Oba póly jsou komplexní s kladnou reálnou částí  rovnovážný stav je nestabilní ohnisko. Stavové trajektorie se spirálovitě vzdalují od rovnovážného stavu (obr. 2.47e). f) Oba póly jsou ryze imaginární  rovnovážný stav je stabilní střed. Stavové trajektorie tvoří uzavřené křivky okolo rovnovážného stavu. Tyto křivky závisí na počátečních stavech (obr. 2.47f). Výše uvedené případy jsou nesingulární a jsou z praktického hlediska důležité, protože jednoznačně určují vlastnosti daného rovnovážného stavu. Pro úplnost si uvedeme základní singulární případy: g) Jeden pól je reálný záporný a druhý je nulový  rovnovážný stav je degenerovaný stabilní uzel. V tomto případě rovnovážný stav není jediný bod, ale je tvořen nekonečně mnoha body, které tvoří přímku (tečkovaná čára na obr. 2.48g), ke které se sbíhají stavové trajektorie. h) Jeden pól je reálný kladný a druhý je nulový  rovnovážný stav je degenerovaný nestabilní uzel. V tomto případě rovnovážný stav není jediný bod, ale je tvořen nekonečně mnoha body, které tvoří přímku (tečkovaná čára na obr. 2.48h), od které se stavové trajektorie vzdalují. i) Oba póly jsou nulové  rovnovážný stav je degenerovaný uzel. V tomto případě rovnovážný stav je rovněž tvořen nekonečně mnoha body, které tvoří přímku (tečkovaná čára na obr. 2.48i). Stavové trajektorie probíhají paralelně s touto přímkou, ale na jejích opačných stranách mají opačnou orientaci. Pro počáteční stavy nacházející se na této přímce, stavové trajektorie tuto přímku neopustí. Z výše uvedeného a z obou obr. 2.47 a 2.48 vyplývá, že pokud póly dynamického systému pro n = 2 jsou reálné, pak rovnovážný stav je nestabilní 2 Matematické modely nelineárních systémů 71 sedlo, stabilní nebo nestabilní uzel, který v případě nulového jednoho nebo obou pólů může být degenerovaný. Jsou-li póly komplexní (vždy musí být komplexně sdružené), pak rovnovážný stav je stabilní nebo nestabilní ohnisko a v případě nulové reálné části rovnovážný stav je stabilní střed. Obr. 2.47 Poloha dvojice pólů linearizovaného dynamického systému a odpovídající průběhy stavových trajektorií (nesingulární případy) Příklad 2.10 Matematický model lineárního dynamického systému má ve fázovém vyjádření tvar . , 12 21 xx xx −= =   (2.75) 1 s s 2 s Re Im ei x a) Asymptoticky stabilní uzel 1 s s 2 s Re Im ei x b) Nestabilní uzel 1 s s 2 s Re Im ei x c) Nestabilní sedlo 1 s s 2 s Re Im ei x e) Nestabilní ohnisko 1 s s 2 s Re Im ei x f) Stabilní střed 1 s s 2 s Re Im ei x d) Asymptoticky stabilní ohnisko 72 2 Matematické modely nelineárních systémů Je třeba určit směrové pole pro 33 1− x , 33 2− x a izoklíny pro  − . Obr. 2.48 Poloha pólů linearizovaného dynamického systému a odpovídající průběhy stavových trajektorií (singulární případy) Řešení: Vydělením druhé rovnice první rovnicí (2.75) se získá diferenciální rovnice fázových trajektorií 2 1 1 2 d d x x x x−= . (2.76) Jejím řešením [viz příklad 2.1, vztah (2.25)] pro počáteční stav T xx ],[ 20100=x získáme rovnici stavové trajektorie 2 20 2 10 2 2 2 1xxxx +=+ . (2.77) Je to kružnice se středem v počátku souřadnic a poloměrem 2 20 2 10 xx + . (2.78) Pro každý počáteční stav x0 dostaneme uzavřenou křivku – kružnici, jejíž poloměr (2.78) je dán tímto počátečním stavem. Rovnovážný stav je stabilní střed. Protože jde o fázové vyjádření, orientace fázové trajektorie je zřejmá, tj. 1 s s 2 s Re Im g) Degenerovaný stabilní uzel 1 s s 2 s Re Im h) Degenerovaný nestabilní uzel s 2,1 s Re Im i) Degenerovaný uzel 2 Matematické modely nelineárních systémů 73 ve směru pohybu hodinových ručiček (horní polorovina zleva-doprava, dolní polorovina zprava-doleva). Směrové pole Pro určení směrového pole sestavíme tabulku (tab. 2.1) a pro každý bod T xx ],[ 21 =x s krokem 1 vypočteme na základě (2.76) hodnotu  tgdd 12 =xx , kde α je úhel sklonu tečny fázové trajektorie a  tg – směrnice tečny (viz obr. 2.49). Směrové pole s fázovou trajektorií pro T ]1,2[ 0−=x je na obr. 2.49. Tab. 2.1 Hodnoty směrnic  tg – příklad 2.10 1 x 2 x 3− 2− 1− 0 1 2 3 3 1 3 2 3 1 0 3 1 − 3 2 − 1− 2 2 3 1 2 1 0 2 1 − 1− 2 3 − 1 3 2 1 0 1− 2− 3− 0    − − − 1− 3− 2− 1− 0 1 2 3 2− 2 3 − 1− 2 1 − 0 2 1 1 2 3 3− 1− 3 2 − 3 1 − 0 3 1 3 2 1  tg Při vyznačování orientace úseček, které reprezentují tečny, je vhodné si uvědomit hodnoty  tg pro dané úhly α, viz tab. 2.2. Tab. 2.2 Znaménko  tg α      −− 2 ,        −0, 2        2 ,0          , 2  tg + – + – 80 2 Matematické modely nelineárních systémů Obr. 2.53 Regulační obvod s nelineárním P regulátorem: a) blokové schéma, b) statická charakteristika nelineárního regulátoru – příklad 2.13 Řešení: Předpokládá se, že některá vstupní veličina (nezáleží na tom, zda jde o žádanou veličinu nebo některou z poruchových veličin) způsobí počáteční stav 0)0( 0=ee a dále již nepůsobí, a proto pro 0t lze považovat všechny vstupní veličiny za nulové. Pro nelineární regulační obvod na obr. 2.53a lze psát .),(,)1(, 1111 2vyyvukyeaeKuywe +=+=+=−=  (2.91) Po uvažování 0 1=== vvw pro 0t a vzájemném dosazení a úpravě dostaneme nelineární diferenciální rovnici 1. řádu 0)0(,0)1( 0 2 1==++ eeeaeKke  . (2.92) Zvolíme-li stavové, v našem případě fázové, proměnné 211,xxexe ===  , (2.93) w y s k1 e )(eKP v 1 y 1 v a) u b) 2 Matematické modely nelineárních systémů 81 pak fázovou trajektorii můžeme vykreslit přímo, viz obr. 2.54a. b) Obr. 2.54 Regulační obvod s nelineárním P regulátorem: a) průběhy fázových trajektorií, b) časové odezvy – příklad 2.13 1 xe = 0 e 3 01Keak 12 xxe  == Lineární P regulátor 01Kek a) Nelineární P regulátor 82 2 Matematické modely nelineárních systémů Z obr. 2.54a vyplývá, že nelineární P regulátor odstraní regulační odchylku e0 podstatně rychleji z důvodu vyšší počáteční rychlosti. Rovněž je zřejmé, že regulační obvod s nelineárním P regulátorem je asymptoticky stabilní (má jediný rovnovážný stav e = ee = 0). Nelineární diferenciální rovnici (2.92) můžeme vyřešit analyticky, tj. −= + t te e dKk aee e 0 1 )( 2 0)1( d    −=       + t te e Kk ae e0 1 )( 2 2 0 1 ln 2 1  Ktk Ktk ae e te 1 1e )e1(1 )( 2 2 0 0− − −+ = . (2.94) Je zřejmé, že pro lineární P regulátor (a = 0) dostaneme Ktk ete 1 e)( 0− = . (2.95) Odezvy regulačního obvodu pro nelineární a lineární P regulátor na počáteční regulační odchylku e0 pro k1 = 1 s–1, K = 2, a = 5 jsou na obr. 2.54b. Poznámka: Pro nenulové vstupní veličiny (w ≠ 0, v ≠ 0, v1 ≠ 0) regulační obvod s nelineárním P regulátorem na obr. 2.53a v souladu s (2.90) a (2.91) popisuje nelineární diferenciální rovnice 1. řádu t tvtw tvktetaeKk t e d )]()(d[ )()()](1[ d d1 1 2 1 − +−+−= . (2.96) Z této diferenciální rovnice vyplývá, že poruchová veličina v1(t) působící na výstupu soustavy má na regulační odchylku e(t) stejný vliv, jako žádaná veličina w(t) (až na znaménko). Platí to pro všechny regulační obvody s jednotkovou zpětnou vazbou. Dále je zřejmé, že při skokové změně žádané veličiny w(t) je vstupem impuls )( d )(d 0tw t tw  = pro )()( 0twtw  = , (2.97) kde )(t  je Diracův jednotkový impuls, )(t  – Heavisideův jednotkový skok. Derivaci skoku ve vztahu (2.97) je třeba chápat jako zobecněnou derivaci. Impuls (2.97) způsobí sice nenulovou počáteční odchylku e0, ale trvalá regulační odchylka e(∞) bude nulová. 2 Matematické modely nelineárních systémů 83 Naproti tomu skoková změna poruchové veličiny )()( 0tvtv  = způsobí trvalou regulační odchylku určenou vztahem 0 31 )()( v K aee−=+ . (2.98) Příklad 2.14 Na obr. 2.55a je zjednodušené blokové schéma servomechanismu se servomotorem a převodovkou. Servomotor je napájen střídavým napětím ze zesilovače (P regulátor se zesílením KP [V·rad–1]). Servomotor s převodovkou je popsán nelineární diferenciální rovnicí 2. řádu )( d )(d sign d )(d 10 2 2tuk t ty m t ty J=+ , (2.99) kde y(t) je úhlová výchylka výstupního hřídele [rad], J – moment setrvačnosti pohybujících se částí redukovaný na výstupní hřídel [kg·m2], m0 – moment tření (obr. 2.55b) [kg·m2·s–2·rad], u(t) – napětí [V], k1 – koeficient přenosu servomotoru s převodovkou [kg·m2·s–2·V˗1·rad]. Nelinearita vyjádřena výrazem t ty md )(d sign 0 (2.100) je způsobena Coulombovým suchým třením (obr. 2.55b). Je třeba nakreslit stavovou trajektorii pro skokovou změnu žádané veličiny )()( 0twtw  = . Obr. 2.55 Servomechanismus: a) zjednodušené blokové schéma, b) nelinearita tření – příklad 2.14 w y 0 e 0 m moment y  0 m− a) u b) zesilovač Servomotor s převodovkou 84 2 Matematické modely nelineárních systémů Řešení: V souladu s obr. 55a a vztahem (2.99) můžeme psát )()()()()()( tetwtytytwte −=−= , (2.101) )( d )]()(d[ sign d )]()([d 10 2 2teKk t tetw m t tetw JP = − + − , (2.102) Skoková změna žádané veličiny w(t) způsobí počáteční regulační odchylku 00 )0( wee == (2.103) a proto pro t > 0 po úpravě dostaneme 0)( d )(d sign d )(d 10 2 2=++ teKk t te m t te JP , 0)0(,)0( 000 ==== eewee  (2.104) protože t te t te d )(d sign d )(d sign −=      − . Zvolíme-li za stavové proměnné exxex  === 121 , , tak dostaneme fázový model .0)0(,sign ,)0(, 02022 0 1 1 2 0010121 ===−−= ==== exxx J m x J Kk x wexxxx P  (2.105) Diferenciální rovnici fázové trajektorie získáme vydělením druhé rovnice první rovnicí 2 2 0 1 1 1 2sign d d x x J m x J Kk x xP+ −= , (2.106a) resp. 2 0 1 1 1 2 d d xJ m x J Kk x xP −= , (2.106b) kde znaménko + platí pro 0 2x a znaménko – pro 0 2x . Diferenciální rovnici fázové trajektorie (2.106b) lze řešit analyticky       −=  )( 1 1 0 1 1 )( 22 1 10 2 20 d)(d)( tx xP P tx x x Kk m x J Kk xx  2 Matematické modely nelineárních systémů 85         −= )( 1 1 0 2 1 1 )( 2 2 1 10 2 20 2 22 1tx x P P tx xx Kk m x J Kk x 2 0 2 1 0 1 1 2 2)( r Kk m x J Kk tx P P=        + , (2.107) pro 2 1 0 0 1 2 0     = P PKk m w J Kk r , kde r0 je délka poloosy elips (pro osu x2) a P Kk m 1 0  (2.108) jsou středy elips. Horní znaménko platí pro 0 2x a dolní znaménko pro 0 2x . Fázová trajektorie začíná v počátečním stavu a skládá se z posloupnosti polovin elips, přičemž každá předchozí elipsa určí počáteční stav na ose x1 pro následující elipsu atd. a to až poslední elipsa (zastupující bod) padne do intervalu rovnovážných stavů      − PP Kk m Kk m 1 0 1 0, . (2.109) Ke změně elips dochází na ose x1, je to tzv. přepínací křivka (obr. 2.56). Zvolíme-li vhodně parametry servomechanismu, např. rad5,0,s1 1 0 21== P PKk m J Kk , (2.110) pak dostaneme rovnice kružnice o poloměru r0 2 0 2 1 2 2)5,0( rxx =+ , (2.111) tj. fázová trajektorie se skládá z posloupnosti půlkružnic, viz obr. 2.56. Přibližný průběh fázové trajektorie můžeme určit metodou izoklín. Hlavní izoklíny získáme z fázových rovnic (2.105)        = −=− == == .0pro5,0 ,0pro5,0 0 ,00 2 1 0 2 1 0 12 21 x Kk m x Kk m xx xx P P   (2.112) 86 2 Matematické modely nelineárních systémů Další izoklíny získáme z rovnice izoklín viz [(2.106b) pro (2.110)]   tg 5,05,0 tg 1 2 2 1 −=  −= x x x x . (2.113) Sestavíme tab. 2.4 pro významnější úhly α sklonu tečen fázových trajektorií a doplníme o hlavní izoklíny (2.112). Tab. 2.4 Rovnice izoklín – příklad 2.14   tg Rovnice izoklíny 0 2x 0 0 5,0 1−=x 4   1 5,0 12 xx = 2   + 5,0pro0 12 −= xx − 5,0pro0 12 = xx 0 2x 0 0 5,0 1=x 4   1 5,0 12 = xx  2   + 5,0pro0 12 −= xx − 5,0pro0 12 = xx Izoklíny a fázová trajektorie jsou na obr. 2.56. Obr. 2.56 Fázová trajektorie nelineárního servomechanismu – příklad 2.14 ex = 1 0 e exx  == 12 1− 2− 3− 3− 1− 2 2 1 3 3 1 Přepínací přímka Oblast rovnovážných stavů 0 2 Matematické modely nelineárních systémů 87 Z obr. 2.56 vyplývá, že nelineární servomechanismus má jedinou souvislou oblast rovnovážných stavů (2.109), a proto je globálně asymptoticky stabilní. Dále je zřejmé, že moment servomotoru nestačí k překonání momentu tření 0 m a že vznikne trvalá regulační odchylka P Kk m e 1 0 )(  . (2.114) Snížení trvalé regulační odchylky )(e a zlepšení „sledování“ změn žádané veličiny w lze dosáhnout zvýšením hodnot koeficientů 1 k , P K a snížením momentu tření 0 m . Příklad 2.15 Na obr. 2.57a je blokové schéma obvodu dvoupolohové regulace. Je třeba provést jeho analýzu za předpokladu, že žádaná veličina w(t) se v okamžiku t = 0 změní skokem z hodnoty 0 na hodnotu w0 > 0. Dopravní zpoždění 0 d T . Obr. 2.57 Obvod dvoupolohové regulace: a) blokové schéma, b) dvoupolohové relé s hysterezí – příklad 2.15 Řešení: Odvod dvoupolohové regulace na obr. 2.57a můžeme popsat vztahy ( ) )()()(),()()(,)()( 111111 tvtytytytwteTtuktytyT d+=−=−=+  a obr. 2.57b. sTd sT k− +e 1 1 1 w e y Vypnuto u 1 v Zapnuto B a u 0 ywe −= a− 1 y a) b) 88 2 Matematické modely nelineárních systémů U nelineárních regulačních obvodů je často výhodnější sledovat průběh regulační odchylky )(te než průběh výstupní veličiny )(ty , proto po dosazení a úpravě dostaneme ( ) d Ttuktvtw t tvtw Tte t te T−−−+ − =+ 11 1 11 )()( d )]()(d[ )( d )(d . (2.115) Protože pro t < 0 jsou w(t) = 0, v1(t) = 0 a y(t) = 0 a pro t ≥ 0 platí w(t) = w0, v1(t) = 0 0 00 = we , můžeme pro t > 0 psát )()()( 101 d TtuketeteT −−=+  , (2.116a) resp. pro Td = 0 )()()( 101 tuketeteT −=+  . (2.116b) Nejdříve budeme uvažovat soustavu bez dopravního zpoždění (2.116b). Pro větší názornost budeme současně vyšetřovat časový průběh regulační odchylky e(t) (obr. 2.58) i průběh fázové trajektorie (obr. 2.59). V intervalu 1 0t (zapnuto) akční veličina Btu =)( ( ae  0 ). Řešením diferenciální rovnice (2.116b) dostaneme časový průběh regulační odchylky        −−= − 1 e1)( 10 T t Bkete . Odpovídající fázovou trajektorii získáme přímo pro ex = 1 a exx  == 12 z diferenciální rovnice (2.116b) pro Btu =)( , tj. )( 110 1 eBke T e−−=  . V okamžiku 1 t regulační odchylka nabude hodnoty ate −=)( 1 , a proto nastoupí skoková změna (přepnutí) akční veličiny z Btu =)( na 0)( =tu . Řešením diferenciální rovnice (2.116b) pro 0)( =tu a novou počáteční podmínku ate −=)( 1 dostaneme časový průběh regulační odchylky v intervalu 21 ttt  (vypnuto) attaete T tt −−        −+= − −)(e1)()( 10 1 1  . Fázovou trajektorii obdržíme z diferenciální rovnice (2.116b) pro 0)( =tu , tj. )( 10 1 ee T e−=  . 2 Matematické modely nelineárních systémů 89 V okamžiku 2 t regulační odchylka dosáhne hodnoty ate =)( 2 , v tomtéž okamžiku akční veličina se skokem změní (přepne) z hodnoty 0)( =tu na Btu =)( . Časový průběh regulační odchylky v intervalu 32 ttt  (zapnuto) získáme řešením diferenciální rovnice (2.116b) pro Btu =)( a novou počáteční podmínku ate =)( 2 attaBkete T tt +−        −+−= − −)(e1)()( 210 1 2  . Obr. 2.58 Dvoupolohová regulace: a) průběhy regulační odchylky, b) průběhy akčních veličin – příklad 2.15 96 2 Matematické modely nelineárních systémů a proto nelineární model fyzického kyvadla (2.129) lze v okolí 0 1==  x zastoupit jeho lineární aproximací Obr. 2.61 Stavový (fázový) portrét fyzického kyvadla pro 0b – příklad 2.16 Obr. 2.62 Stavový (fázový) portrét fyzického kyvadla pro 0=b – příklad 2.16 2 Matematické modely nelineárních systémů 97 , , 212 21 x J b x J mgl x xx −−= =   (2.137) viz také (2.131) a (2.132) pro T e]0,0[=x . 2.3.3 Přímá Ljapunovova metoda Přímá (druhá) Ljapunovova metoda je velmi obecná, ale současně i náročná. Vyžaduje určitou zkušenost spočívající ve volbě vhodné, tzv. Ljapunovovy funkce V[x(t)] = V(x), která může být interpretována jako energie daného systému (příklad 2.17). Značně vhodnější je její interpretace jako zobecněná vzdálenost (norma) od vyšetřovaného rovnovážného stavu e x . Většinou se předpokládá, že rovnovážný stav je v počátku souřadnic, tj. 0= e x , viz (2.9) – (2.11). Uvažujme funkci V(x), která vyhovuje v oblasti D stavového prostoru X těmto požadavkům (předpokládá se, že oblast D obsahuje počátek 0=x ): a) V(x) > 0 pro všechna Dx mimo 0=x , b) V(x) = 0 pro 0=x , pak funkce V(x) je kladně definitní v oblasti D. Pokud: a) V(x) ≥ 0 pro všechna Dx , b) V(x) = 0 pro 0=x , pak funkce V(x) je kladně semidefinitní v oblasti D. V tomto případě funkce V(x) může být nulová i pro 0x . Dále platí – je-li funkce V(x) kladně (semi)definitní, pak funkce [– V(x)] je záporně (semi)definitní. Velmi často se jako Ljapunovovy funkce používají kvadratické formy  = = == n i n jjiij TxxqV 1 1 )( Qxxx , (2.138) kde čtvercová matice Q je reálná a symetrická, tj. T QQ = . Pro reálnou symetrickou matici Q její vlastní čísla n sss ,,, 21  jsou reálná a jsou dána kořeny mnohočlenu )det( QI −s . 98 2 Matematické modely nelineárních systémů Pak pro kvadratickou formu (2.138) platí (i = 1, 2,…, n): a) V(x) je kladně definitní 0 i s , b) V(x) je kladně semidefinitní 0 i s , c) V(x) je záporně definitní 0 i s , d) V(x) je záporně semidefinitní 0 i s . Matici Q nazýváme stejně jako odpovídající kvadratickou formu, tj. kladně definitní, kladně semidefinitní atd. Pokud kvadratická forma V(x) nevyhovuje výše uvedeným podmínkám, pak je spolu s příslušnou maticí Q indefinitní. Pokud funkce V(x) vyhovuje podmínce →→ )(xx V , (2.139) pak je radiálně neomezená (neohraničená), kde x je norma (zobecněná velikost) vektoru x. Je zřejmé, že kvadratická forma (2.138) je radiálně neomezená. Uvažujme nyní totální derivaci funkce V(x) podle času t [viz (2.120)] . )( )( )( )( d d d )(d )( 2 1 21                               = =         =         == x x x xf x x x x x n n TT f f f x V x V x V V t V t V V    (2.140) Vidíme, že )(xV  závisí na pravé straně rovnice (2.120) popisující daný autonomní nelineární dynamický systém, tzn., že totální derivace funkce V(x) podle času t, tj. )(xV  bude různá pro různé dynamické systémy. Totální derivace funkce V(x) podle času t, tj. )(xV  představuje tedy časovou derivaci funkce V(x) podél trajektorie x(t). Pokud funkce V(x) bude kladně definitní a spojitě diferencovatelná v oblasti D (D obsahuje 0= e x ) stavového prostoru X, pak může být kandidátem na Ljapunovovu funkci. Předpokládejme, že pro Ljapunovovu funkci V(x) v oblasti D platí: 2 Matematické modely nelineárních systémů 99 a) V(x) je kladně definitní a )(xV  je záporně semidefinitní, pak daný rovnovážný stav 0= e x je lokálně stabilní (ve smyslu Ljapunova); b) V(x) je kladně definitní a )(xV  je záporně definitní, pak daný rovnovážný stav 0= e x je lokálně asymptoticky stabilní (ve smyslu Ljapunova); c) V(x) je kladně definitní a )(xV  je kladně definitní, pak daný rovnovážný stav 0= e x je lokálně nestabilní. Pokud Ljapunovova funkce V(x) je radiálně neomezená a oblast D je celý stavový prostor X, pak výše uvedené vlastnosti jsou globální a můžeme je vztáhnout na celý dynamický systém, tj. nejenom na rovnovážný stav 0= e x . Je zřejmé, že v tomto případě dynamický systém může mít pouze jediný rovnovážný stav e x . Zajímavá je geometrická interpretace totální derivace Ljapunovovy funkce V(x) podle času t [viz (2.140)] x x x T V V        =)( , kde )(grad )( x x xV V=   (2.141) je gradient Ljapunovovy funkce V(x), který je kolmý na její hladinu (viz obr. 2.63) i cV =)(x (konst). (2.142) Protože )(xV  je skalárním součinem )(grad xV a x  , tj. lze psát  cos)(grad)( = xxx  VV , (2.143) kde α je úhel mezi vektory )(grad xV a x  . Ze vztahu (2.143) vyplývá 2 3 2 0cos0)(     xV  , (2.144) tzn., že vektor x  protíná hladiny (2.142) Ljapunovovy funkce V(x) směrem dovnitř k menším hodnotám ci, viz obr. 2.63. Velmi názorná je interpretace záporné definitnosti totální derivace )(xV  Ljapunovovy funkce podle času t v případě, že Ljapunovova funkce vyjadřuje zobecněnou vzdálenost. 100 2 Matematické modely nelineárních systémů Podmínka 0)( xV  znamená, že pro rostoucí čas t se vzdálenost od rovnovážného stavu 0= e x zmenšuje, až dosáhne rovnovážného stavu 0= e x , pro který platí V(0) = 0 a 0)( =0V  , viz obr. 2.64. Obr. 2.63 Geometrická interpretace podmínky 0)( xV  , viz vztahy (2.143) a (2.144) Obr. 2.64 Geometrická interpretace podmínky 0)( xV  2 x 1 x 0 x 0= e x )(xV 2 x 1 x 0 x 3 c 2 c 1 c 0 0= e x x  )(grad xV α 1 )( +  = ii i cc cV x 2 Matematické modely nelineárních systémů 101 Při přímé Ljapunovově metodě ověřování stability rovnovážných stavů je třeba si uvědomit, že ne každá kladně definitní funkce musí být Ljapunovovou funkcí V(x) pro daný rovnovážný stav e x . Pokud zvolená funkce nevyhovuje podmínkám lokální (asymptotické) stability v daném rovnovážném stavu e x , neznamená to, že daný rovnovážný stav e x není lokálně (asymptoticky) stabilní. V tomto případě je nutno za kandidáta na Ljapunovovu funkci V(x) zvolit jinou kladně definitní funkci nebo pro ověření stability použít jinou metodu. Z tohoto důvodu přímá Ljapunovova metoda je velmi náročná na zkušenosti a znalosti z oblasti nelineárních dynamických systémů. Naproti tomu, i když přímá Ljapunovova metoda dává pouze postačující podmínky stability, je velmi obecná se širokým spektrem využití. Zde, v této podkapitole, jsou uvedeny pouze její základní ideje a nejdůležitější poznatky. Příklad 2.17 Je dáno fyzické kyvadlo na obr. 2.60 z příkladu 2.16 pro  = 1 x a   = 2 x [viz (2.129)] .sin , 212 21 x J b x J mgl x xx −−= =   (2.145) za předpokladu, že   1 x a ax  2 0 , kde a je konstanta omezující rychlost kyvadla. Je třeba ověřit stabilitu rovnovážného stavu 0= e x , viz obr. 2.61 a 2.62. Řešení: Za Ljapunovovu funkci zvolíme celkovou energii kyvadla ),cos1(, 2 1 , 1 2 2xmglEJxE EEE pk pk −== += (2.146) kde Ek je kinetická energie kyvadla, Ep – potenciální energie kyvadla. Je zřejmé, že pro   1 x celková energie kyvadla E je kladně definitní funkce, a proto může být kandidátem na Ljapunovovu funkci )cos1( 2 1 )( 1 2 2xmglJxEV −+==x . (2.147) Budeme uvažovat kyvadlo bez tlumení a s tlumením. a) Fyzické kyvadlo bez tlumení (b = 0) 102 2 Matematické modely nelineárních systémů Matematický model kyvadla bez tlumení má tvar .sin , 12 21 x J mgl x xx −= =   (2.148) Na základě vztahu (2.140) určíme totální derivaci Ljapunovovy funkce podle času t   =           − = 1 2 21 sin sin)( x J mgl x JxxmglV x  0sinsin 1212 =−= xmglxxmglx . (2.149) Protože V(x) je kladně definitní a 0)( =xV  , tj. stavová trajektorie daná počátečním stavem 0 x se ani nepřibližuje, ani nevzdaluje od rovnovážného stavu, tzn. rovnovážný stav kyvadla 0= e x je lokálně stabilní ve smyslu Ljapunova. Je to stabilní střed (obr. 2.62). b) Fyzické kyvadlo s tlumením (b > 0) Matematický model kyvadla s viskózním třením je dán vztahem (2.145). Na základě vztahu (2.140) pro stejnou Ljapunovou funkci (2.147) a matematický model (2.145) dostaneme   =           −− = 21 2 21 sin sin)( x J b x J mgl x JxxmglV x  2 2 2 21212 sinsin bxbxxmglxxmglx −=−−= . (2.150) Vidíme, že i v tomto případě )(xV  je záporně semidefinitní, protože pro 0 2=x je 0)( =xV  , ale x1 může být libovolné v rozmezí   1 x . Proto i v tomto případě můžeme pouze konstatovat, že rovnovážný stav 0= e x je lokálně stabilní ve smyslu Ljapunova, i když víme z příkladu 2.16, že rovnovážný stav 0= e x je lokálně asymptoticky stabilní ohnisko. Je to určité zklamání, ale je třeba si uvědomit, že Ljapunovova teorie dává pouze postačující podmínky pro stabilitu, resp. asymptotickou stabilitu zvoleného rovnovážného stavu e x . Protože v případě kyvadla s tlumením Ljapunovova funkce (2.147) nedává plnou odpověď na stabilitu rovnovážného stavu 0= e x , zkusme ji zobecnit na tvar 2 Matematické modely nelineárních systémů 103 )cos1( 2 1 )( 1 xmglV T−+= Qxxx , (2.151) kde Q je kladně definitní symetrická matice. Můžeme psát (q12 = q21)   =−+                 =)cos1( 2 1 )( 1 2 1 2212 1211 21 xmgl x x qq qq xxV x )cos1()2( 2 11 2 2222112 2 111 xmglxqxxqxq −+++= . (2.152) Aby matice Q byla kladně definitní, musí platit 0,0,0 2 1222112211 − qqqqq . (2.153) Na základě (2.140) dostaneme   =           −− +++= 21 2 1122222121111sin ,sin)( x J b x J mgl x xqxqxqxqxmglV x  1112 2 2221221121112 22 sin 00 sin 0 1xx J mgl qx J b qqxx J b qqxmglx J q−       −+ =      −+ =      −=  (2.154) Nyní musíme zvolit q11, q12 a q22 tak, aby V(x) byla kladně definitní, tj. musí platit (2.153) a )(xV  byla záporně definitní, tj. bq J b qqJq == 12121122 0,, . (2.155) Zvolíme-li např. bq 2 1 12 = [podmínky kladné definitnosti (2.153) jsou splněny], pak dostaneme 2 211 2 1 sin 2 1 )( bxxx J bmgl V−−=x  . (2.156) Protože pro   1 x Ljapunovova funkce V(x) je kladně definitní a její totální derivace podle času t )(xV  je záporně definitní, rovnovážný stav 0= e x je lokálně asymptoticky stabilní. 104 2 Matematické modely nelineárních systémů Z příkladu je zřejmé, že přímá Ljapunovova metoda i pro velmi jednoduché nelineární dynamické systémy může být náročná a také pracná. Příklad 2.18 Je třeba analyzovat autonomní nelineární dynamický systém 3 12 21 , xx xx −= =   (2.157) z hlediska stability. Řešení: Nejdříve určíme rovnovážné stavy T e x x]0,0[ 0 ,0 3 1 2=    −= =x . (2.158) Nelineární dynamický systém (2.157) má jediný rovnovážný stav 0= e x . Nejdříve použijeme nepřímou Ljapunovovu metodu [viz (2.125)] . 00 10 03 10 ,)(),()( 2 1 0       =       − = −== e e x ttt e e x A xxxxAx x x  (2.159) Sestavíme charakteristický mnohočlen 0 0 1 )det()( 2,1 2== − =−= ss s s ssN ee xx AI . (2.160) Protože oba kořeny (póly linearizovaného systému) jsou nulové, o stabilitě či nestabilitě rovnovážného stavu 0= e x na základě nepřímé Ljapunovovy metody nemůžeme rozhodnout. Nyní použijeme přímou Ljapunovovu metodu. Za Ljapunovovu funkci zkusíme 0,;)( 21 2 22 2 11 += aaxaxaV x (2.161) a dostaneme [viz (2.140)] 2 Matematické modely nelineárních systémů 105   .)(2 2222)( 21 2 121 2 3 12211 3 1 2 2211 xxxaa xxaxxa x x xaxaV −= =−=         − =x  (2.162) I když funkce (2.161) je kladně definitní, její totální derivace podle času t (2.162) je indefinitní, a proto je pro daný nelineární dynamický systém nevhodná. Nyní zkusíme funkci 0,;)( 21 2 22 4 11 += aaxaxaV x (2.163) a dostaneme   2 3 122 3 11 3 1 2 22 3 11 2424)( xxaxxa x x xaxaV −=         − =x  . Pro 2 21 aa = obdržíme 022)( 2 3 122 3 12 =−= xxaxxaV x  . (2.164) Obr. 2.65 Fázový portrét nelineárního dynamického systému (2.157) – příklad 2.18 112 2 Matematické modely nelineárních systémů 2.3.4 Kruhové kritérium stability Můžeme-li v regulačním obvodě oddělit nelinearitu od lineární dynamické části, pak můžeme pro ověření stability jediného rovnovážného stavu použít kmitočtová kritéria, která vycházejí z Nyquistova kritéria stability pro lineární regulační obvody. Jejich nevýhodou je, že dávají pouze postačující podmínky, ale jsou relativně jednoduchá a v technické praxi oblíbená. Kritéria budou uvedena pouze v základní podobě. Nejdříve zavedeme pojem sektorová nelinearita [α, β], viz obr. 2.67. Sektorová nelinearita [α, β] 0),0(),,( 12 == tftufu (2.184) je v rovině (u1, u2) vymezena dvojicí přímek se směrnicemi α a β, tj. 0),0(,),( 111 = tfutufu  (2.185a) pro všechna t. Obr. 2.67 Sektorová nelinearita [α, β] Celou nerovnost vynásobíme u1 a dostaneme 0),0(,),( 2 111 2 1= tfutufuu  . (2.185b) Z této nerovnosti pro  0 vyplývá, že sektorová nelinearita prochází počátkem a vyskytuje se v prvním a třetím kvadrantu. Nerovnost (2.185a) se často zapisuje ve tvaru 0),0(,0, ),( 1 1 1= tfu u tuf  . (2.185c) 1 u 12 uu  = 0),0(),,( 12 == tftufu 2 u 12 uu  = 2 Matematické modely nelineárních systémů 113 Velmi důležité je, že sektorová nelinearita vždy prochází počátkem souřadnic. Je to z důvodu existence pouze jediného rovnovážného stavu, a proto lze případnou stabilitu rozšířit na celý zpětnovazební obvod. Předpokládá se, že sektorovou nelinearitu můžeme v regulačním obvodě oddělit od lineární dynamické části popsané přenosem G(s), jehož stupeň čitatele je menší než stupeň jmenovatele, v souladu s obr. 2.68. V některých případech budeme vstupní veličinu u1 do nelinearity považovat a také označovat jako regulační odchylku e. Obr. 2.68 Zpětnovazební obvod se sektorovou nelinearitou Např. regulační obvod se sektorovou nelinearitou (nelineární akční člen) pro 0)( =tw na obr. 2.69 může být snadno transformován na obvod na obr. 2.68 pro )()()()( sGsGsGsG MSR = , (2.186) kde GR(s) je přenos regulátoru, GS(s) – přenos soustavy, GM(s) – přenos měřicího členu. Na pořadí lineárních členů nezáleží. Obr. 2.69 Regulační obvod se sektorovou nelinearitou Zpětnovazební nelineární obvod na obr. 2.68 se často nazývá Lurjeho typu a bývá popsán stavově xc bAxx T y yf = −= ),(  (2.187) kde f(y) je sektorová nelinearita umístěná ve zpětné vazbě (obr. 2.70) a kde přenos lineární dynamické části je dán vztahem (stavový model musí být řiditelný a pozorovatelný) 1 u 2 u w e )(sGR )(sGS )(sGM y )(sG 1 u 2 u 0 0=w 114 2 Matematické modely nelineárních systémů bAIc 1 )()( − −= ssG T . (2.188) Obr. 2.70 Zpětnovazební nelineární obvod Lurjeho typu Z hlediska kmitočtových metod ověřování stability zpětnovazební obvody na obr. 2.68 – 2.70 při nulových vstupech až na označení veličin mohou být považovány za ekvivalentní. Ale pokud např. v regulačním obvodě na obr. 2.69 žádaná veličina w(t) nebude nulová, tj. )()( 0twtw  = ( 0 0w ), pak vznikají závažné problémy. Může dojít k posunutí rovnovážného stavu z počátku souřadnic (při neexistenci integračního členu v přenosu lineární části). V případě integračního členu je důležité jeho umístění, tj. zda je před nelinearitou, nebo za ní (viz příklad 1.3 a 2.23) atd. Nepříjemné je, že reálné regulační obvody téměř vždy obsahují integrační člen a nelinearitu typu nasycení, viz příklad 2.24. Některé problémy lze obejít transformací blokového schématu na obr. 2.70 v souladu s obr. 2.71. Obr. 2.71 Transformace zpětnovazebního obvodu )(sG y )(yf  )(sGt y )(yft  )(sG y )(sGt t k )(yf )(yft t k )(sG y )(yf 2 Matematické modely nelineárních systémů 115 Je zřejmé, že pro konstantní zesílení kt lineárních členů výsledné vlastnosti zpětnovazebního obvodu zůstanou stejné. V souladu s obr. 2.71 lze psát )(1 )( )( sGk sG sG t t+ = , (2.189) ykyfyf tt −= )()( . (2.190) Transformovaná lineární část )(sGt má již jiné póly než původní část ).(sG Dochází k přesouvání pólů, většinou vlevo, tj. do stabilní oblasti. Ze vztahu (2.190) vyplývá, že rovněž dochází k transformaci sektoru, ve kterém leží transformovaná nelinearita )(yft , tj. tttt kk −=−=  , . (2.191) Pro ověřování stability zpětnovazebních nelineárních obvodů se sektorovými nelinearitami (obr. 2.68 a 2.70) byly formulovány hypotézy, z nichž dvě mohou být při návrhu nelineárních regulačních obvodů užitečné. Ajzermanova hypotéza Nahradí-li se sektorová nelinearita [α, β] lineárním zesílením kA v daném, sektoru, tj.   A k (2.192) a zpětnovazební obvod pro toto zesílení kA je asymptoticky stabilní, pak se lze domnívat, že i původní zpětnovazební nelineární obvod bude asymptoticky stabilní. Kalmanova hypotéza Vyhovuje-li jednoznačná nelinearita nerovnosti     1 1 d )(d u uf (2.193) a nahradí-li se lineárním zesílením kK v tomto sektoru, tj.    K k (2.194) a zpětnovazební obvod bude pro toto zesílení kK asymptoticky stabilní, pak se lze domnívat, že i původní zpětnovazební nelineární obvod bude asymptoticky stabilní. Protože platí     , (2.195) 116 2 Matematické modely nelineárních systémů je zřejmé, že z platnosti Kalmanovy hypotézy vyplývá i platnost Ajzermanovy hypotézy, tj. Kalmanova hypotéza je přísnější. Bohužel i za předpokladu asymptotické stability lineární dynamické části tyto hypotézy obecně neplatí. Mezní hodnoty α a β v nerovnosti   H k (2.196) pro zesílení kH nahrazující nelinearitu, pro které daný zpětnovazební lineární obvod je globálně asymptoticky stabilní, vymezují tzv. Hurwitzův sektor pro danou lineární dynamickou část G(s). Nyní již můžeme formulovat kruhové kritérium stability. Uvažujme zpětnovazební nelineární obvod na obr. 2.68 s časově proměnnou sektorovou nelinearitou (2.185a), pak platí: Zpětnovazební nelineární obvod na obr. 2.68 je globálně asymptoticky stabilní, když pro: a)  0 amplitudofázová kmitočtová charakteristika otevřeného zpětnovazebního obvodu G(jω) s p nestabilními póly pro   0 leží vně tzv. kritické kružnice se středem   2 + − (2.197) ležícím na záporné reálné poloose, procházející body )0j,1(  − a )0j,1(  − a obklopí ji p/2 krát (tj. pπ krát) v kladném smyslu, tj. proti pohybu hodinových ručiček. b)  =0 amplitudofázová kmitočtová charakteristika asymptoticky stabilního otevřeného zpětnovazebního obvodu G(jω) (tj. bez pólů na imaginární ose) pro   0 leží napravo od vertikální přímky procházející bodem  1− na záporné reálné poloose. c)   0 amplitudofázová charakteristika asymptoticky stabilního zpětnovazebního obvodu G(jω) (tj. bez pólů na imaginární ose) je vevnitř kritické kružnice se středem na reálné ose a procházející body ( j0,/1  − ) a ( j0,/1  − ). Tento případ pro 0  může vzniknout např. transformací (2.191). Je zřejmé, že pro  =0 a )()( sGsGo  = kruhové kritérium stability přejde na klasické Nyquistovo kritérium pro lineární regulační obvody. Amplitudofázová kmitočtová charakteristika otevřeného zpětnovazebního (regulačního) obvodu se často nazývá Nyquistova charakteristika, a proto dále tento název budeme používat. Kruhové kritérium stability je pouze postačující podmínkou globální asymptotické stability a je poměrně konzervativní. 2 Matematické modely nelineárních systémů 117 Příklad 2.22 V regulačním obvodě na obr. 2.69 s nestabilní soustavou )12,0)(1( 2 )( +− =ss sGS (2.198) a konvenčním regulátorem PI        += sT KsG I PR 1 1)( (2.199) se stavitelnými parametry 5 *= P K , 1 *= I T s a s přenosem měřicího členu 1)( =sGM je uvažována náhrada sektorové nelinearity akčního členu [1/2, 1] lineárním členem se zesílením (koeficientem přenosu) 75,0= a k . Je třeba ověřit stabilitu daného regulačního obvodu. Sektorová nelinearita může být časově proměnná. Řešení: Nejdříve ověříme stabilitu regulačního obvodu pro nominální hodnotu 75,0= a k . V souladu s obr. 2.68 a 2.69 platí ( 1= M G ) ( ) = +− + == )( )( )12,0)(1( 12 )()()( sN sM sssT sTKk sGsGksGk o o I IPa SRaa Charakteristický mnohočlen PaIPaII KksTKksTsTsN 2)12(8,02,0)( 23 +−++= . Sestavíme Hurwitzovu matici               −= PaI IPaI PaI KkT TKkT KkT 28,00 0)12(2,0 028,0 H a dostaneme a) 3 2 2 1 012 =− a PPa k KKk , 118 2 Matematické modely nelineárních systémů b) −−= − =04,0)12(8,0 )12(2,0 28,0 2 2PaIPaI IPaI PaI KkTKkT TKkT KkT H  − )12(2 Pa Pa IKk Kk T (2.200) . )23(4 3 −  P P IK K T Stabilní oblast pro stavitelné parametry PI regulátoru KP a TI je na obr. 2.72. V našem případě 5 *= P K a 1 *= I T s, tj. nastavené hodnoty stavitelných parametrů regulátoru PI leží ve stabilní oblasti, viz obr. 2.72. Pro nastavené hodnoty stavitelných parametrů 5 *= P K a 1 *= I T s lze na základě nerovnosti (2.200) určit Hurwitzův sektor. Po dosazení * P K a * I T do (2.200) a kH = ka dostaneme 15 2  H k , (2.201) tj. Hurwitzův sektor je ),152(  . Obr. 2.72 Stabilní oblast pro stavitelné parametry PI regulátoru KP a TI – příklad 2.22 2 Matematické modely nelineárních systémů 119 Pro ověření stability regulačního obvodu s časově proměnnou sektorovou nelinearitou [1/2, 1] použijeme kruhové kritérium. Střed kritické kružnice leží na záporné reálné poloose a je dán vztahem (2.197). Průběh Nyquistovy charakteristiky G(jω) je na obr. 2.73 a detail jeho důležitější části okolo kritického bodu (–1, j0) a kritické kružnice je na obr. 2.74. Protože přenos G(s) obsahuje jeden nestabilní pól s = 1 (p = 1), proto Nyquistova charakteristika G(jω) musí obklopit kritický bod (–1, j0) (klasické Nyquistovo kritérium) a kritickou kružnici půlkrát. Je třeba vzít v úvahu, že Nyquistovu charakteristiku G(jω) pro 0→  je nutno spojit se zápornou reálnou poloosou (zaznačeno čárkovaně). Regulační obvod s nestabilní soustavou (2.198) a regulátorem PI pro 5 *= P K a 1 *= I T s a sektorovou nelinearitou [1/2, 1] je globálně asymptoticky stabilní. Protože platí [viz (2.192) a (2.201)] ),152(]1,21[ ),152(];1,21[   HA kk a regulační obvod je globálně asymptoticky stabilní, je rovněž splněna Ajzermanova hypotéza. Kalmanovu hypotézu nelze ověřit z důvodu neznámého průběhu sektorové nelinearity [1/2, 1]. Obr. 2. 73 Nyquistova charakteristika G(jω) – příklad 2.22 120 2 Matematické modely nelineárních systémů Obr. 2.74 Detail Nyquistovy charakteristiky G(jω) – příklad 2.22 Přechodové charakteristiky regulačního obvodu s nestabilní soustavou seřízeného pro nominální hodnotu ka = 0,75 jsou na obr. 2.75. I když přechodové charakteristiky vykazují značné překmity, dochází k jejich poměrně rychlému ustálení. Obr. 2.75 Přechodové charakteristiky regulačního obvodu pro různé hodnoty kA – příklad 2.22 2 Matematické modely nelineárních systémů 121 Příklad 2.23 Pomocí kruhového kritéria je třeba ověřit stabilitu nelineárního zpětnovazebního obvodu Lurjeho typu na obr. 2.70 pro )1( )( 1 1+ =sTs k sG (2.202) a časově proměnnou sektorovou nelinearitu ],[  pro parametry: 1 1=k , 5,0 1=T s, 0=  , 5,4=  . Řešení: Protože 0=  a lineární část (2.202) obsahuje jeden nulový pól, použijeme transformaci zpětnovazebního obvodu v souladu s obr. 2.71 pro 5,0= t k . Na základě vztahů (2.189) a (2.191) dostaneme 12 2 )1( 1 )1( )(1 )( )( 2 1 2 1 1 1 1 1 1 ++ = ++ = + + + = + =sskkssT k sTs kk sTs k sGk sG sG t t t t , .4 ;5,0 =−= −=−= tt tt k k   Obr. 2.76 Transformace sektoru nelinearity – příklad 2.23 y )(yf 0=  5,4=  y )(yf 0= t  4= t  5,0= t k 128 2 Matematické modely nelineárních systémů Obr. 2.82 Odezvy regulačního obvodu s regulátorem P a zesílením za nasycením – příklad 2.24 2 Matematické modely nelineárních systémů 129 b) Integrační regulátor – I Přenos integračního regulátoru I je sT sG I R1 )( = , (2.211) kde TI je integrační časová konstanta. Přenos lineární části [viz obr. 2.79 a vztah (2.204)] je dán vztahem 2 1 1)1( )()()( + == sTsT k sGsGsG I SR . (2.212) Po dosazení  j=s dostaneme kmitočtový přenos )(jIm)(jRe )1(j2 )(j 22 1 2 1 1    GG TTTT k G II += −+ −= , (2.213a) kde 222 1 22 1 11 )1(4 2 )(jRe −+ −=   TT T Tk GI , (2.213b) ])1(4[ )1( )(jIm 222 1 22 1 22 1 1 −+ − =    TT T T k GI . (2.213c) Podobně jako v předchozím případě pro významné úhlové kmitočty  sestavíme tab. 2.6 a na jejím základě můžeme sestrojit přibližnou Nyquistovu charakteristikou, viz obr. 2.83. Tab. 2.6 Nyquistova charakteristika pro regulátor I – příklad 2.24  0 1 1 T  )(jRe  G I T Tk 11 2− I T Tk 211 − 0 )(jIm  G − 0 0 130 2 Matematické modely nelineárních systémů a) b) Obr. 2.83 Nyquistova charakteristika pro regulátor I: a) celkový průběh, b) detail – příklad 2.24 Z obr. 2.83 vyplývá, že za předpokladu linearity, tj. dostatečně vysoké hodnoty B, z Nyquistova kritéria stability dostaneme 22 11111 Tk T T Tk I I −− . (2.214) Stabilní oblast je ukázána na obr. 2.84. V našem případě 1 1=k , 2 1=T s, 4 *= I T s. Vidíme, že hodnota 4 *= I T s leží s dostatečnou rezervou ve stabilní oblasti. 2 Matematické modely nelineárních systémů 131 Obr. 2.84 Stabilní oblast pro stavitelný parametr I T regulátoru – příklad 2.24 Protože 0=  a lineární část G(s) obsahuje jeden nulový pól (regulátor I), kruhové kritérium nelze přímo použít. Na obr. 2.85 jsou zobrazeny průběhy výstupní veličiny y(t) a akční veličiny u1(t) před nasycením pro jednotkovou skokovou změnu žádané veličiny )()( 0twtw  = ( 1 0=w ) v závislosti na hodnotě B. Z obou obrázků je zřejmý záporný vliv B na kvalitu regulačního pochodu a dokonce na stabilitu. Při nízké hodnotě B vzhledem ke skoku žádané veličiny w0 dochází k nedoregulování, a tedy ke vzniku trvalé regulační odchylky )( w e , která způsobí neomezený růst akční veličiny u1(t) před nasycením, viz obr. 2.85 pro B = 0,5, a tedy nestabilitu. 132 2 Matematické modely nelineárních systémů a) b) Obr. 2.85 Odezvy regulačního obvodu s regulátorem I – příklad 2.24 2 Matematické modely nelineárních systémů 133 2.3.5 Popovovo kritérium stability Je uvažován zpětnovazební nelineární obvod na obr. 2.86 pro 0)( =tw . U Popovova kritéria stability vstup do nelinearity je nejčastěji označován jako e (většinou jde o analýzu regulačního obvodu). Obr. 2.86 Nelineární zpětnovazební obvod Je zřejmé, že všechny struktury nelineárních zpětnovazebních obvodů pro 0)( =tw jsou z hlediska stability, až na označení veličin, ekvivalentní. Předpokládá se, že nelinearita je jednoznačná po částech spojitá tinvariantní, která leží v segmentu [0, β] (obr. 2.87) 0)0(,)(0 = feef  , (2.215a) příp. 0)0(,0, )( 0= fe e ef  . (2.215b) Obr. 2.87 Sektorová nelinearita [0, β] Nelineární zpětnovazební obvod (obr. 2.86) s asymptoticky stabilní lineární částí G(s) a jednoznačnou po částech spojitou t-invariantní sektorovou e 0)0(),(== fefu u eu  = u w e )(ef )(sG y 134 2 Matematické modely nelineárních systémů nelinearitou [0, β] je globálně asymptoticky stabilní, je-li splněna Popovova nerovnost   1 )](j)j1Re[( −+ Gq pro všechna 0  , (2.216) kde q je reálné číslo. Označme )(jIm)(),(jRe)(  GQGP == , (2.217) dosadíme do (2.216) a po úpravě obdržíme   1 )()( −− QqP . (2.218) Zavedeme modifikovaný kmitočtový přenos )(j)()(j)()(j  mmm QPQPG +=+= , (2.219a) kde )(jRe)(jRe)()(  GGPP mm === , (2.219b) )(jIm)(jIm)()(  GGQQ mm === , (2.219c) jehož grafické vyjádření se nazývá Popovova charakteristika. Popovova nerovnost (2.216) pak bude mít tvar   1 )()( −− mm qQP . (2.220) Zastoupíme nerovnost (2.220) rovností a po úpravě dostaneme rovnici tzv. Popovovy přímky      +=  11 mm P q Q (2.221) se směrnicí q1 , která protíná reálnou osu v bodě  1− . Nyní lze Popovou nerovnost (2.220), a tedy i (2.216) geometricky interpretovat tak, že Popovova charakteristika (2.219) leží napravo od Popovovy přímky (2.221), viz obr. 2.88. 2 Matematické modely nelineárních systémů 135 Obr. 2.88 Geometrická interpretace Popovovy nerovnosti Nyní Popovovo kritérium stability můžeme zformulovat ve tvaru: Nelineární zpětnovazební obvod s asymptoticky stabilní lineární částí )(j  G a jednoznačnou po částech spojitou sektorovou nelinearitou [0, β] je globálně asymptoticky stabilní, leží-li Popovova charakteristika )(j  m G pro všechna 0  napravo od Popovovy přímky procházející bodem  1− na reálné ose. Pokud lineární část G(s) má jeden nulový pól a ostatní póly leží v levé polorovině komplexní roviny s (pouze tento případ budeme uvažovat), pak se předpokládá, že nelinearita leží v segmentu [ε, β], kde ε je malé kladné číslo. Tento předpoklad eliminuje nelinearity, které mají pro e = 0 nulovou derivaci (např.: )sign( 2ee , 3 e atd.) nebo rostou pomaleji než lineární funkce e  (např.: )sign(e , )sat(e , )sign(ee atd.). Základní případy vzájemné polohy Popovovy přímky a Popovovy charakteristiky jsou názorně ukázány na obr. 2.89. 136 2 Matematické modely nelineárních systémů Obr. 2.89 Základní případy vzájemné polohy Popovovy přímky a Popovovy charakteristiky: a) a b) Popovovo kritérium je splněno, c) a d) Popovovo kritérium splněno není Protože platí     −−= −= )()( )()(   QQ PP Průběh Nyquistovy charakteristiky )(j  G pro   0 je symetrický podle reálné osy s průběhem pro −  0 . Podobně platí     −== −== )()()()( )()()()(   mmm mmm QQQQ PPPP Průběh Popovovy charakteristiky )(j  m G pro   0 se pokrývá s průběhem pro −  0 . Průběhy obou charakteristik pro −  jsou na obr. 2.90. Z výše uvedených důvodů se obě charakteristiky vykreslují pouze pro   0 . Pokud Popovova )(j  m G a Nyquistova )(j  G charakteristika protíná zápornou reálnou poloosu, tj. přecházejí ze 3. do 2. kvadrantu, pak se vždy protnou na záporné reálné poloose v bodě, který musí ležet napravo od bodu )0j,1(  − . Je to nutná podmínka globální asymptotické stability. a) b) c) d) Im Im Im  1 −  1 −  1 −  1 − Re Re Re Re =  =  0=  0=  0=  0=  Mezní Popovova přímka )(j  m G )(j  m G )(j  m G )(j  m G Im 0 =  =  0 0 Popovova přímka 2 Matematické modely nelineárních systémů 137 Obr. 2.90 Popovova a Nyquistova charakteristika: a) celkové průběhy, b) detail okolo počátku 144 2 Matematické modely nelineárních systémů   = ++== 1 0)]sin()()cos()([ 2 )sin()( k ekeke tkabtkaa a taftu  . (2.229) Pro symetrické nelinearity je 0 0=a . Budeme uvažovat pouze první harmonickou (k = 1), tj. )](sin[)(sin)(cos)( 11 eueuee ataatabtaa  +=+ , (2.230) )()()( 2 1 2 1eeeu abaaaa += , (2.231a) )( )( arctg)( 1 1 e e eu ab aa a=  , (2.231b) kde u a je amplituda první harmonické, u  – fázové zpoždění (fáze) první harmonické. Označme u Tt  == 2 (2.232) a pak Fourierovy koeficienty jsou dány vztahy  =   2 0 1dcos)sin( 1 )( ee afaa , (2.233a)  =   2 0 1dsin)sin( 1 )( ee afab . (2.233b) Nyní již můžeme definovat ekvivalentní přenos liché nelinearity e e e e a e eu eN a aa a ab a aa aG eu )( j )( e )( )( 11 )(j +==  . (2.234) Z definice ekvivalentního přenosu vyplývá jeho podobnost s kmitočtovým přenosem lineárních dynamických členů. Je tady ale základní rozdíl. Kmitočtový přenos je funkcí úhlového kmitočtu ω, naproti tomu ekvivalentní přenos je funkcí amplitudy vstupní veličiny e a . Pro lichou nelinearitu )()( efef −−= lze vztah  =   2 0 1dcos)sin( 1 )( ee afaa , upravit, protože platí )d(sindcos  = . Dostaneme 2 Matematické modely nelineárních systémů 145  == )2( )0( 2 0 1d)( 1 )sind( 1 )sin( 1 )(      e e e e e ee eeu a e a a u afaa  , (2.235) tj. integrál )2( )0( d)(  e e eeu , je roven plošnému obsahu vymezenému nejednoznačnou nelinearitou, viz obr. 2.96a. Proto pro jednoznačnou nelinearitu (obr. 2.96b) je Fourierův koeficient 0)( 1= e aa . V tomto případě ekvivalentní přenos je reálné číslo dané vztahem  ==   2 0 1dsin)sin( 1 )( )( e ee e eN af aa ab aG . (2.236) Obr. 2.96 Lichá nelinearita: a) nejednoznačná, b) jednoznačná Jak již bylo řečeno, metoda ekvivalentního přenosu se také nazývá metoda harmonické linearizace. Harmonická linearizace se podstatně liší od obyčejné linearizace, např. Jacobiovy (Taylorovy) linearizace, která uvažuje lineární členy v Taylorově rozvoji jednoznačné a hladké nelinearity ve zvoleném bodě (v pracovním bodě, v rovnovážném stavu, viz podkapitola 2.3.1). Jacobiova linearizace se používá převážně v časové oblasti a daná nelinearita je zastoupena jedinou přímkou, tj. tečnou (uvažovány jsou jednorozměrové nelinearity) procházející daným bodem (obr. 2.97a). Linearizační přímka může být také sečnou procházející daným bodem a určenou graficky nebo metodou nejmenších čtverců (obr. 2.97b) atd. Při harmonické linearizaci jednoznačná lichá nelinearita je zastoupená celým svazkem přímek procházejících pracovním bodem (obr. 2.97c), přičemž každé hodnotě amplitudy ae harmonického (sinusového) průběhu vstupní veličiny e(t) (2.227) odpovídá jediná konkrétní přímka. 0)( 1 e aa u 0 e 0)( 1= e aa u 0 e 146 2 Matematické modely nelineárních systémů Obr. 2.97 Linearizace: a) tečnou, b) sečnou, c) harmonická Z výše uvedeného vyplývá, že ekvivalentní přenos jednoznačné liché nelinearity (obr. 2.97c) lze interpretovat jako zesílení, které závisí na amplitudě ae. Podobně ekvivalentní přenos nejednoznačné liché nelinearity lze považovat za komplexní zesílení závislé na amplitudě ae vstupní veličiny e(t). Harmonická linearizace (tj. metoda ekvivalentního přenosu) může být použita i na nespojité liché nelinearity (reléové nelinearity atd.) a používá se v kmitočtové oblasti. Uvažujme nyní nelineární regulační obvod na obr. 2.94. Aby v něm vznikly samobuzené kmity (autooscilace, tj. mezní cyklus), musí kmity y(t) na výstupu otevřeného (rozpojeného) regulačního obvodu mít stejnou amplitudu ay = ae jako kmity regulační odchylky e(t) a fázové zpoždění –π (sumační uzel obrací znaménko). Předpokládá se, že w(t) = 0. Podmínku vzniku a existence samobuzených kmitů, tj. mezního cyklu, lze vyjádřit vztahem 1)()(j −= eN aGG  , (2.237a) resp. )( 1 )(j eN aG G−=  . (2.237b) Výraz )( 1 eN aG − (2.238) se nazývá kritická charakteristika dané nelinearity. Ze vztahů (2.237) je zřejmé, že podmínka vzniku samobuzených kmitů je podobná Nyquistově kritériu pro mez stability lineárních regulačních obvodů. Vidíme, že kritická charakteristika (2.238) plní tutéž roli jako kritický bod )0j,1(− v lineárních regulačních obvodech, pro které tato podmínka má tvar e u 0 e a a) e u 0 b) e u 0 c) 2 Matematické modely nelineárních systémů 147 1)(j −=  o G , (2.239) kde )(j  o G je kmitočtový přenos otevřeného regulačního obvodu. Rovnici (2.237a) nebo (2.237b) lze řešit analyticky nebo graficky. Při analytickém řešení je třeba komplexní rovnici zapsat ve tvaru soustavy dvou rovnic pro reálnou a imaginární část (viz příklad 2.28). Jejich řešením určíme amplitudu My aa = a úhlový kmitočet M  = . Budou-li jejich hodnoty reálné a kladné, pak v nelineárním regulačním obvodě vzniknou samobuzené kmity s amplitudou My aa = a úhlovým kmitočtem M  = . Při grafickém řešení v komplexní rovině vyneseme Nyquistovu charakteristiku (amplitudofázovou kmitočtovou charakteristiku) lineární dynamické části )(j  G a kritickou charakteristiku )(1 eN aG− nelinearity. Nejdůležitější případy vzájemné polohy Nyquistovy charakteristiky )(j  G a kritické charakteristiky )(1 eN aG− jsou na obr. 2.98. Předpokládá se, že lineární dynamická část )(sG nemá nestabilní póly v pravé polorovině komplexní roviny s. V souladu se vztahem (2.237b) můžeme nyní zformulovat podmínku stability nelineárního regulačního obvodu ve tvaru: Nelineární regulační obvod je globálně asymptoticky stabilní, neobklopuje-li Nyquistova charakteristika (amplitudofázová kmitočtová charakteristika) lineární dynamické části )(j  G kritickou charakteristiku nelinearity )(1 eN aG− a nemá-li s ní společný bod. Na obr. 2.98a Nyquistova charakteristika )(j  G neobklopuje kritickou charakteristiku )(1 eN aG− , a proto nelineární regulační obvod je globálně asymptoticky stabilní. 148 2 Matematické modely nelineárních systémů Obr. 2.98 Hlavní případy vzájemné polohy Nyquistovy charakteristiky )(j  G a kritické charakteristiky )(1 eN aG− pro nelineární regulační obvod: a) globálně asymptoticky stabilní, b) nestabilní, c) se stabilním mezním cyklem, d) se stabilním i nestabilním mezním cyklem Obr. 2.98b ukazuje případ nestabilního regulačního obvodu. Nyquistova charakteristika )(j  G obklopuje celou kritickou charakteristiku )(1 eN aG− . Na obr. 2.98c je ukázán případ, kdy pro amplitudy regulační odchylky Me aa 0 nelineární regulační obvod je nestabilní (červená šipka ukazuje růst amplitudy y a ) a pro amplitudy regulační odchylky Me aa  je nelineární regulační obvod stabilní (červená šipka ukazuje pokles amplitudy y a ). Průsečík obou charakteristik bod ),( MM aM  odpovídá stabilnímu meznímu cyklu s amplitudou M a a úhlovým kmitočtem M  . Hodnotu amplitudy M a odečteme z kritické charakteristiky )(1 eN aG− a hodnotu úhlového kmitočtu M  odečteme z Nyquistovy charakteristiky )(j  G . c) b) Im N Im Re Re Re 0=  Im 0→ e a → e a )(j  G )(j  G )(j  G )( 1 eN aG − )( 1 eN aG − → e a → e a →r Im =  =  0→  0→  0→ e a 0= e a Im )( 1 eN aG − M d) Im Re )(j  G )( 1 eN aG − → e a →r Im =  0→  0→ e a Im M Im →r Im a) 0 0 0 0 =  0 2 Matematické modely nelineárních systémů 149 Obr. 2.98d ukazuje případ, kdy pro amplitudy regulační odchylky Ne aa  a Me aa  je nelineární regulační obvod stabilní (červené šipky ukazují pokles amplitudy y a ) a pro amplitudy regulační odchylky MeN aaa  je regulační obvod nestabilní (červené šipky ukazují růst amplitudy y a ). Průsečík obou charakteristik bod ),( NN aN  odpovídá nestabilnímu meznímu cyklu, protože pro amplitudu regulační odchylky Ne aa  amplituda y a klesá (kmity jsou tlumené) a pro MeN aaa  amplituda y a roste (kmity se zvětšují) až do průsečíku ),( MM aM  , který odpovídá stabilnímu meznímu cyklu s periodickými kmity o úhlovém kmitočtu M  a amplitudě M a . Doposud jsme předpokládali, že vstupem nelinearity je regulační odchylka e(t). Tento předpoklad není podstatný. Nelinearita může být umístěna v libovolném místě regulačního obvodu (tj. v přímé i zpětnovazebné větvi). Důležité je, aby lineární dynamická část měla vlastnosti dolnopropustného filtru. Velikou výhodou metody ekvivalentního přenosu je, že lineární dynamická část může být velmi vysokého řádu (čím vyšší řád, tím vyšší přesnost) a nelinearita může obsahovat nespojitosti, hystereze atd. Další výhodou je, že Nyquistova charakteristika lineární dynamické části i ekvivalentní přenos mohou být určeny experimentálně. Má to význam v těch případech, kdy nelinearita je netypická a popis vlastností lineární dynamické části není k dispozici v analytickém tvaru. Metoda ekvivalentního přenosu může být rozšířena i na značně složitější nelineární regulační obvody s více nelinearitami, které mohou být nesymetrické a mohou mít i vlastní dynamiku. Ekvivalentní přenosy některých důležitějších lichých nelinearit s odpovídajícími kritickými charakteristikami jsou uvedeny níže. aa a B aG e e eN = , 4 )(  (2.240) )( 1 eN aG − B u 0 e a) Ideální dvoupolohové relé 0= e a Im 0 Re → e a B− 150 2 Matematické modely nelineárních systémů aa a a a a a B aG e eee eN         −         −= ,j1 4 )( 2  (2.241) aa a a a B aG e ee eN          −= ,1 4 )( 2  (2.242) B a 4  − )( 1 eN aG − B a u 0 e a− b) Dvoupolohové relé s hysterezí aae= Im 0 Re → e a B− B a 2  − )( 1 eN aG − B a u 0 e a− c) Ideální třípolohové relé aae→ Im 0 Re → e a B− 2aae= 2 Matematické modely nelineárních systémů 151                 −+  = 1 2 111 1 1 1 ,1arcsin 2 0, )( k B a ka B ka B ka Bk k B ak aG e eee e eN  (2.243) Příklad 2.27 Pro dvoupolohové relé s hysterezí (obr. 2.99a) je třeba určit ekvivalentní přenos a kritickou charakteristiku. Řešení: Obr. 2.99 Průchod sinusového průběhu dvoupolohovým relé s hysterezí: a) charakteristika dvoupolohového relé s hysterezí, b) průběhy vstupní e(t) a výstupní u(t) veličiny V souladu se vztahy (2.233) a obr. 2.99a můžeme psát )(tu )sin()( tate e  = B a u 0 e a− a) b) 1 2  + )(),(tetu B− 1  + 0 a B ae  e a B a − − − t  =  2 1  1 1 k − )( 1 eN aG − B u 0 e 1 k B − d) Nasycení 1 k B ae Im 0 Re → e a B− 1 k B 1 arctgk 152 2 Matematické modely nelineárních systémů e ee a Ba B afaa            4 dcosdcosdcos dcos)sin( 1 )( 1 1 1 1 0 2 2 0 1 −= =      −+−= ==     + + (2.244a) 2 0 2 2 0 1 1 4 dsindsindsin dsin)sin( 1 )( 1 1 1 1         −= =      −+−= ==     + + e ee a aB B afab            (2.244b) kde 2 1 111 1arccos arcsinsin,         −= === e e e a a a a aat   (2.245) Nyní již můžeme vyjádřit na základě vztahů (2.234) a (2.244) ekvivalentní přenos pro dvoupolohové relé s hysterezí [viz (2.241)] aa a a a a a B a aa a ab aG e eeee e e e eN         −         −=+= ,j1 4 )( j )( )( 2 11  (2.246) a kritickou charakteristiku aa a a a a B a aG e ee e eN         +         −−=− ,j1 4)( 12  . (2.247) Pro ideální dvoupolohové relé ze vztahů (2.246) a (2.247) pro 0→a dostaneme e eN a B aG  4 )( = (2.248) a kritickou charakteristiku 2 Matematické modely nelineárních systémů 153 B a aG e eN 4)( 1  −=− . (2.249) Podle očekávání jsme obdrželi pro ekvivalentní přenosy vztahy shodné s (2.241) a (2.240). Příklad 2.28 U nelineárního regulačního obvodu na obr. 2.100 je třeba ověřit, zda vznikne stabilní mezní cyklus. Pokud ano, je třeba určit jeho amplitudu M a a úhlový kmitočet M  . Obr. 2.100 Nelineární regulační obvod s ideálním dvoupolohovým relé – příklad 2.28 Řešení: Pro vznik stabilního mezního cyklu komplexní rovnice (2.237a) 1)()(j −= eN aGG  , (2.250) musí mít kladná reálná řešení Me aa = a M  = . Ekvivalentní přenos ideálního dvoupolohového relé je dán vztahem (2.240) [(2.248)]. Po dosazení do (2.250) a úpravě dostaneme ).1(j)( 4 1 4 )1j)(1j(j 2 21 2 21 1 21 1    TTTT a Bk a B TT k e e −++−=− −= ++ Tato komplexní rovnice je ekvivalentní dvěma reálným rovnicím w e y v B u 0 e B− )(ef u )(efu = )1)(1( )( 21 1++ =sTsTs k sG