Caracterizaciones de las transformaciones de Möbius

Facultad de Matemáticas Departamento de Geometría y Topología Caracterizaciones de las transformaciones de Möbius Realizado por Emilio Montalbán Jurado Dirigido por Pablo Sebastián Alegre Rueda 12 de julio de 2023 2 Resumen En este trabajo buscamos maneras alternativas de caracterizar las transformaciones de Möbius que llevan el disco de Poincaré en sí mismo. Para ello, hacemos un repaso histórico de la geometría hiperbólica. Seguido de las construcciones del modelo del disco conforme y las transformaciones de Möbius, donde veremos en detalle las transformaciones de Möbius que llevan el disco de Poincaré en sí mismo. Por último, analizaremos y comentaremos diversos artículos sobre caracterizaciones de las transformaciones de Möbius. 3 4 Abstrac In this thesis we look for alternative ways to characterise the Möbius transformations that take the Poincaré disk to itself. To do so, we make a historical review of hyperbolic geometry. This is followed by the constructions of the conformal disk model and Möbius transformations, where we will look in detail at the Möbius transformations that take the Poincaré disk into itself. Finally, we will analyse and comment on several papers on characterisations of Möbius transformations. 5 6 Índice general 1. Historia de la Geometría Hiperbólica 11 2. Preliminares 19 2.1. Curvas y superficies en R3........................ 19 2.2. Geometría intrínseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3. Aplicaciones entre superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3. Modelo hiperbólico 27 3.1. Modelo del hiperboloide H2....................... 27 3.2. Modelo del disco de Poincaré D..................... 33 4. Transformaciones de Möbius 39 4.1. La esfera de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.2. Transformaciones de Möbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3. Punto fijo y la razón doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.4. Transformaciones de Möbius como matrices . . . . . . . . . . . . . . 48 4.5. Las transformaciones de Möbius en el disco . . . . . . . . . . . . . . . 50 5. Más resultados sobre las transformaciones de Möbius 55 5.1. Transformaciones de Möbius armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.2. Otras transformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 7 8ÍNDICE GENERAL Introducción Las transformaciones de Möbius son un conjunto de transformaciones del plano complejo extendido en sí mismo, M:C∞→C∞. Estas transformaciones podemos construirlas geométricamente a través de una proyección estereográfica y tienen una gran relación con la geometría hiperbólica. Podríamos decir que surgen en 1827 con la publicación del trabajo de August Ferdinand Möbius, Der barycentrische Calcul, en el que introduce las coordenadas homogéneas y transformaciones geométricas, en especial, las que reciben su nombre. La geometría hiperbólica se desarrolla bajo la discusión del Quinto Postulado de Euclides, en el que se afirma que, por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela. Este debate dura más de 2000 años e incluye a algunos de los matemáticos más influyentes de cada época. Cuando hablamos de geometría hiperbólica en el plano tenemos diversos modelos, entre ellos el del Hiperboloide, o el del disco de Poincaré o modelo del disco conforme. Aunque este tipo de geometría se formalizó en el siglo XIX, hoy en día se sigue investigando sobre ésta y muchas preguntas siguen abiertas. En este trabajo de fin de grado pretendemos realizar un repaso sobre el modelo del disco de Poincaré y estudiar algunos artículos recientes sobre caracterizaciones de las transformaciones de Möbius en el disco de Poincaré. La estructura del trabajo es la siguiente: En el primer capítulo haremos un repaso histórico de la geometría hiperbólica, en el que partiremos de los primeros rastros de la geometría, hasta la formalización de la geometría hiperbólica. Para ello, pasaremos por el comienzo de la formalización de la geometría con Thales, seguido por Euclides, quien escribe multitud de matemáticas. Entre sus escritos destacaremos los de geometría, en especial, sus cinco postulados, es con este último con el que comienza la discusión. Mencionaremos varios matemáticos que intentaron probar el Quinto Postulado a partir de los otros cuatro. Aunque no es hasta el siglo XIX que se comienza a buscar consecuencias de que sea falso. En este periodo veremos la interesante historia entre los Bolyai y Gauss, hasta llegar a Lobachevski y Beltrami. En 1868 este último probó que la geometría de Lobachevski era consistente, y dio luz a la geometría hiperbólica. En el segundo capítulo haremos un repaso de resultados fundamentales de las asignaturas Geometría local de curvas y superficies yGeometría Aplicada, que serán necesarios para los capítulos posteriores. A continuación, construiremos en el tercer capítulo el modelo hiperbólico del disco 9 16 CAPÍTULO 1. HISTORIA DE LA GEOMETRÍA HIPERBÓLICA en la hipótesis contraria. Todos los teoremas que hemos establecidos sin especificar ningún sistema Po S significa que son absolutos, es decir, que son válidos independientemente de que Po S sean ciertos." En el presente llamamos a esto tres tipos de geometría: euclídea, hiperbólica y absoluta. Figura 1.5: Janos Bolyai Por el 20 de junio de 1831 el Apéndice ya había sido publicado y Farkas Bolyai envió una copia a Gauss, quien le escribió a otro amigo diciendo: "Reconozco a este joven geómetra Bolyai como un genio de primera categoría." Sin embargo, a Farkas le escribió: "Alabar el trabajo sería como alabarme a mí mismo ya que el contenido del trabajo coincide casi exactamente con mis propios pensamientos los cuales han estado ocupando mi mente por los últimos treinta o treinta y cinco años." Que Gauss dijese haber realizado los mismos descubrimientos o similares no quitó mérito a los avances de Bolyai, sin embargo, Gauss añadió algo más en esa carta, lo cual hizo que Janos quedarse totalmente decepcionado y desilusionado. "...tenía la intención de escribir un artículo de modo que mis ideas no se perdiesen conmigo. De este modo estoy gratamente sorprendido de no tener que hacer este trabajo y estoy encantado de que el hijo de mi viejo amigo sea quien me haya suplantado de un modo tan sorprendente." Mientras ocurría la intensa conversación entre los Bolyai y, el Príncipe de las Matemáticas, Gauss. Otro matemático llegaba a la misma conclusión, el ruso Nikolai Ivanovich Lobachevski (1792-1856). 17 Lobachevski era el hijo de un gobernador oficial que murió cuando él solo tenía siete años. Cuando entró en la universidad su principal idea era estudiar medicina, pero cambió su plan de estudio a uno científico amplio que incluía matemáticas y física. Figura 1.6: Nikolai Ivanovich Lobachevski Lobachevski también fue amigo de Gauss. Llegó a ser profesor de la Universidad de Kazán a la edad de veintiún años. También se convirtió en rector de la misma, desde 1827 hasta 1846, tras este periodo siguió permaneció como profesor de la Universidad donde se había graduado hasta el fin de sus días. La idea de afrontar el Axioma de las Paralelas no consistió en intentar probar el postulado a partir de los otros axiomas. Sino que estudió la geometría en la cual el Quinto Postulado no se cumple. Lobachevski categorizó la geometría euclídea como un caso particular de esta geometría más general. En febrero de 1826 en la sesión del Departamento de Ciencias Fisicomatemáticas de la Universidad de Kazan, Lobachevski solicitó que se escuchara su trabajo sobre una nueva geometría. Pero no es hasta 1829 que publica este trabajo sobre geometría no euclídea. Se publicó en el Kazan Messenger, pero fue rechazado por Ostrogradski cuando se presentó para su publicación en la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Por lo tanto, este estudio solo se escribió en ruso, y por ello atrajo poco la atención cuando apareció, además quienes lo leyeron fueron muy críticos con él como ya hemos mencionado. Deseando dar a conocer mejor su geometría y difundirla en la Europa Occidental, en 1837 publicó un artículo Géométrie imaginaire y un resumen de su nueva geometría Geometrische Untersuchungen zur Theori der Parellellinien que fue publicado en Berlín en 1840. La publicación alemana impresionó a Gauss. De nuevo, en la obra alemana, de 61 páginas, impera el siguiente axioma 5” Existen al menos dos líneas paralelas a una recta dada por un punto exterior a dicha recta. La historia de como la geometría de Lobachevsky acabó siendo aceptada consiste en la publicación de la traducción de la obra de Lobachesky Geometrische Untersuchungen zur Theori der Parellellinien realizada por el francés Hoüel en 1866, diez 18 CAPÍTULO 1. HISTORIA DE LA GEOMETRÍA HIPERBÓLICA años después de la muerte de Lobachevski. Y gracias a Beltrami, que, en 1868, dio una prueba consistente de la geometría de Lobachevski, la ahora llamada Geometría Hiperbólica. Capítulo 2 Preliminares Comenzaremos viendo las nociones necesarias para nuestro estudio, así como fijar notación. Vamos a necesitar nociones de curvas planas, curvas en R2, y curvas alabeadas, R3, así como de superficies en R3. 2.1. Curvas y superficies en R3 Definición 2.1. Una curva parametrizada regular (c.p.r)en Rpes una aplicación α: (a, b)⊆R→Rp:t7→ α(t) = (x1(t), ..., xp(t)) tal que: 1. αes diferenciable en todo punto (Condición de diferenciabilidad). 2. α′= 0 para todo punto (Condición de Regularidad). Definición 2.2. Sea α: (a, b)→Rmuna c.p.r., α=α(t). Una reparametrización regular de αes una función biyectiva y de clase Ck),k≥1, f: (c, d)⊆R→(a, b) : r7→ f(r) = t tal que en todo (c, d)se cumple que df dr =dt dr = 0 Definición 2.3. Sean α(t)una c.p.r y c, d ∈(a, b)con c<d. Definimos la longitud del segmento c−dcomo Ld c(α) = Zd c|α′(t)|dt Esta definición no depende de la parametrización de la curva. Definición 2.4. Sea α(t)una c.p.r en la que 0∈(a, b). Definimos su parámetro arco como: Lt 0(α) = Zt 0|α′(t)|dξ =s 19 20 CAPÍTULO 2. PRELIMINARES Con el parámetro arco podemos obtener una reparametrización de la curva donde es más cómodo trabajar. Teorema 2.5. Toda c.p.r puede ser reparametrizada regularmente por su parámetro arco. Definición 2.6. La parametrización de una curva por su arco se llama parametrización natural. Las curvas parametrizadas naturalmente tienen la siguiente caracterización. Teorema 2.7. Una curva esta parametrizada natural si y solo si |˙α|= 1 Igual que las funciones, las curvas también tienen vector tangente, el cual nos servirá para calcular varias propiedades. Definición 2.8. Sean una c.p.r α: (a, b)→Rpyt0un punto del intervalo. Definimos el vector velocidad de αen α(t0)como α′(t0). A partir de el vector velocidad definimos el vector tangente a αen α(t0)como t(t0) = α′(t) |α′(t)| Este vector es unitario y por para cualquier valor de t0es diferente de cero por la definición de curva regular. Si tenemos que nuestra curva esta parametrizada naturalmente nuestro vector tangente equivale a calcular únicamente t(s) = ˙α(s) Pues el módulo de la derivada es 1. Con el vector tangente podemos calcular la recta tangente a la curva en un punto de la siguiente manera. Definición 2.9. Sean α(t)una c.p.r y t0un punto del intervalo. Definimos la recta tangente a αen el punto α(t0)como la recta que pasa dicho punto y tiene por dirección el vector tangente t(t0). Tiene como ecuación β:R→Rp:r7→ β(r) β(r) = α(t0) + rt(t0) Hasta aquí hemos visto todos los conceptos que necesitamos sobre curvas. Ahora definiremos los conceptos relacionados con superficies. Definición 2.10. Una superficie parametrizada en R3es una aplicación X:U⊆R2→R3, donde U es abierto, tal que: 2.1. CURVAS Y SUPERFICIES EN R321 1. Xes de clase C∞ 2. Si X=X(u, v), ∂X ∂u ×∂X ∂v = 0 todo punto de U A partir de ahora notamos por X1=∂X ∂u yX2=∂X ∂v . Definición 2.11. Con las condiciones de la Definición 2.10, y además, tenemos que Xes también inyectiva. Se dirá que Xes superficie simple. Definición 2.12. Sea M un subconjunto de R3dotado de la topología euclídea relativa. Decimos que M es una superficie regular (s.r)si para cada p∈Mexiste U⊆R2 abierto y existe una aplicación X:U→R3diferenciable tales que: 1. X(U)⊆My es un entorno abierto de pen M. 2. Xes homomorfismo sobre su imagen, dotada ésta de la topología euclídea relativa de R3. 3. Xes una superficie parametrizada. En la siguiente definición veremos un tipo de superficie que nos será útil. Definición 2.13 (Superficie de revolución).Sea H un plano y C⊆Hla imagen de una c.p.r αsin autointersecciones, aunque puede ser cerrada. Sea R⊆Huna recta que no corta a C. Entonces, el conjunto M que obtenemos al girar C alrededor de R es una superficie regular llamada superficie de revolución, de generatriz C y eje de revolución R. Al igual que con las curvas, en el caso de las superficies, estas tienen asociado un plano tangente. Definición 2.14. Sea Xuna superficie y un punto p de esta superficie, definimos el plano tangente a Xen p al plano que para por p y tiene como vector característico aX1(p)×X2(p). Otro vector que necesitaremos. Definición 2.15. Sea Xuna superficie y un punto p de esta. Definimos el vector normal de Xen p al vector N(u0, v0) = X1(p)×X2(p) |X1(p)×X2(p)|, este vector es unitario y está bien definido. La recta normal a Xen p es la recta que pasa por p con la dirección de N(p). 22 CAPÍTULO 2. PRELIMINARES Si consideramos distintas superficies simples en una superficie regular recubriendo un punto de ésta, el vector normal en dicho punto cambiará, a lo sumo, de sentido, mientras que el plano tangente no depende de la parametrización. Nota 2.16. El plano tangente a la superficie M en el punto p lo notaremos por Tp(M). 2.2. Geometría intrínseca De una manera intuitiva, las propiedades intrínsecas son aquellas que podemos estudiar por un observador que se mueve sobre la propia superficie, es decir, son aquellas que se conservan por aplicaciones que conservan magnitudes que se pueden medir. Primero definiremos que es una métrica, que la necesitaremos para el próximo capítulo. Definición 2.17. Sea una superficie regular M. Una métrica en la superficie Mes una asignación p∈M7→ gp, donde gpes una forma bilineal, simétrica y definida positiva en Tp(M). Definición 2.18. Sea Muna superficie regular y guna métrica en M. Si X= X(u1, u2)es una superficie simple en M, definimos los coeficientes métricos de gen Xcomo gij(u1, u2) = gX(u1,u2)(Xi(u1, u2),Xj(u1, u2)), para todos i, j = 1,2. Para simplificar la notación escribiremos los coeficientes métricos como gij(p) = gp(Xi(p),Xj(p)) ogij =g(Xi,Xj). Definición 2.19. Sean Muna s.r. y guna métrica en M. Se dice que ges diferenciable si los coeficientes métricos en cada superficie simple de Mson funciones diferenciables. A partir de ahora, solo consideraremos métricas diferenciables. En cada superficie simple de una s.r., los coeficientes métricos determinan la métrica. De hecho, si v1, v2∈Tp(M)con p∈X(U)se escriben como v1=v1 1X1(p) + v2 1X2(p) v2=v1 2X1(p) + v2 2X2(p) Definición 2.20. Sean Muna s.r. y guna métrica en M. Dado un vector v ∈ Tp(M), se define la norma de v como |v|=qgp(gp(v,v)). 2.2. GEOMETRÍA INTRÍNSECA 23 entonces gp= (v1, v2) = 2 X i,j=1 v1 1vj 2gij(p).(2.1) Proposición 2.21. Los coeficientes métricos verifican: 1. gii =g(Xi,Xi) = |Xi|2>0,i= 1,2, 2. g12 =g(X1,X2) = g(X2,X1) = g21, 3. g11g22 −g12g21 =g11g22 −g2 12 >0 Proposición 2.22. Para definir una métrica en una superficie simple, basta considerar funciones diferenciables gij que verifiquen las propiedades de la Proposición 2.21. La métrica entonces quedará determinada mediante la ecuación 2.1. Mediante la propiedad 3 de la Proposición 2.21 podemos ver que podemos almacenar los coeficientes métricos en una matriz G G=g11 g12 g21 g22 esta matriz es invertible pues por la propiedad 3 sabemos que es mayor que cero y por la propiedad 2 sabemos que es simétrica. La matriz inversa viene dada por G−1= g22 |g|−g21 |g| −g12 |g| g11 |g|!. De esta forma obtenemos, g11 =g22 |g|, g12 =−g21 |g|, g21 =−g12 |g|, g22 =g11 |g|,(2.2) que nos serán útiles para la siguiente definición. Definición 2.23. Sean Muna s.r. y guna métrica en M. Si X=X(u1, u2)es una superficie simple en M, se definen los símbolos de Christoffel de gen Xcomo las funciones Γk ij =1 2 2 X h=1 ∂gih ∂uj+∂ghj ∂ui−∂gij ∂uhghk,∀i, j, k = 1,2. Definición 2.24. Sean Muna s.r., guna métrica en M,X=X(u1, u2)una superficie simple en Myα(t) = X(u1(t), u2(t)) una curva en X. Se define el parámetro natural o parámetro arco de α(t)respecto de la métrica gcomo s=Zt t0|α′(ξ)|dξ, donde |·|denota la norma dada en la Definición 2.20. 24 CAPÍTULO 2. PRELIMINARES Al igual que antes dijimos que toda curva podía parametrizarse naturalmente, ahora también se pueden parametrizar naturalmente con las condiciones anteriores. Ahora definiremos que es una geodésica, de manera intuitiva, las curvas geodésicas de una superficie son las que se comportan como rectas en el plano euclídeo. Definición 2.25. Sean M una s.r., g una métrica en M, X=X(u1, u2)una superficie simple en M y α(t) = X(u1(t), u2(t)) una curva en X. Se dice que α(t)es una geodésica en Xsi su parámetro t es función afín del arco y se verifican las siguientes ecuaciones, conocidas como ecuaciones de las geodésicas d2uk dt2+ 2 X i,j=1 Γk ij dui dt duj dt = 0,∀k= 1,2. Una curva en M será una geodésica si lo es en cada superficie simple de M. Teorema 2.26 (Existencia y Unicidad de las Geodésicas).Sean M una superficie regular y g una métrica en M. Dados un punto p en M y un vector v ∈Tp(M), existe una única geodésica α: (−ε, ε)→Mtal que α(0) = pyα′(0) = v. 2.3. Aplicaciones entre superficies Para terminar este capítulo, mencionaremos varios resultados sobre aplicaciones entre superficies vistos en la asignatura de Geometría Aplicada. Las primeras definiciones son requisitos de las aplicaciones que deben cumplir para poder construir propiedades que nos interesarán en nuestro estudio. Definición 2.27. Sea M una superficie regular en R3. Una función continua f: M→Rdecimos que es diferenciable si para cada punto p∈Mexiste una superficie simple (U, X)en M tal que para cada p∈Uyf◦Xes diferenciable en p′=X−1(p). Definición 2.28. Sean M, N superficies regulares y f:M→Nuna aplicación continua f:M→Nse dice diferenciable en p∈Msi existen (U, X)en Mcon p∈X(U)y(V, Y)en Ncon f(p)∈Y(V)tales que Y−1◦f◦Xes diferenciable en p′=X−1(p). Decimos que fes diferenciable en M si f es diferenciable en para cualquier p perteneciente a M. Definición 2.29. Una aplicación f:M→Nse dice regular en p∈Msi existen (U, X)en M con p∈X(U)y(V, Y)en N con f(p)∈Y(V)tal que Y−1◦f◦Xes regular en p′=X−1(p), es decir, el Jacobiano es distinto de cero. Definición 2.30. Sean M, N superficies regulares. Una aplicación f:M→Nse llama difeomorfismo si es biyectiva, diferenciable y, además, su inversa es diferenciable. Definición 2.31. Dados f:M→Ndiferenciable y p∈M, definimos la diferencial de f en p como la siguiente aplicación f∗p:Tp→Tf(p)(N) v 7→ f∗p(v) = (f◦γ)′(0),∀v ∈Tp(M) con γ: (−ε, ε)→Muna curva diferenciable cumpliendo γ(0) = pyγ′(0) = v. 2.3. APLICACIONES ENTRE SUPERFICIES 25 Ahora veremos la primera propiedad que nos interesará en nuestro estudio. Definición 2.32. Sean M y N dos superficies regulares dotadas de métricas y f: M→Nuna aplicación diferenciable. Decimos que f es una isometría si es biyectiva, regular y su diferenciable f∗pes isometría para todo punto p perteneciente a M. Las isometrías son las aplicaciones que conservan las magnitudes que se pueden medir. Observación. 1. Que f∗p:Tp(M)→Tf(p)(N)sea isometría quiere decir que gp(v1, v2) = hf(p)(f∗pv1, f∗pv2),∀p∈M. con g la métrica de M y h la de N. 2. Toda isometría es difeomorfismo. 3. Las isometrías conservan las longitudes de las curvas. Definición 2.33. Decimos que una superficie M es localmente isométrica a otra superficie N si para todo punto p de M, existen U’ entorno abierto de p en M, V’ abierto en N y f:U′→V′isometría. Si tanto M es localmente isométrico a N, como N lo es a M, entonces decimos que son superficies localmente isométricas. Las isometrías tienen la siguiente caracterización. Teorema 2.34 (Caracterización de superficies localmente isométricas).Sean M,N superficies regulares. Entonces M es localmente isométrica a N si y solo si ∀p∈M, existen U abierto ∈R2,X:U→R3superficie simple en M con p∈X(U) eY:U→R3superficie simple en N tales que los coeficientes métricos gij de Xy los hij de Ycoinciden, es decir gij(u1, u2) = hij(u1, u2), para todo (u1, u2)∈U. Corolario 2.35. Sean M y N dos superficies regulares dotadas de métricas. Si estas superficies son localmente isométricas, entonces tienen la misma geometría intrínseca en puntos correspondientes. Ahora veremos otra propiedad, la de conformidad. Definición 2.36. Una aplicación diferenciable f:M→Nse dice conforme si es regular, biyectiva y gp(v1, v2) = λ2(p)hf(p)(f∗pv1, f∗pv2),∀p∈M, ∀v1, v2∈Tp(M), siendo λ2una función diferenciable en M, diferente a cero en cada punto. 32 CAPÍTULO 3. MODELO HIPERBÓLICO Por la definición 2.24 tenemos que el parámetro arco de αes s=arcshinh(t), luego t=sinh(s), y la curva parametrizada naturalmente es α(s) = (sinh(s),0, cosh(s)). Veamos ahora que esta curva es, efectivamente, geodésica. Lo hacemos por la definición de geodésica 2.25. Como hemos visto α(s)está sobre la superficie del Hiperboloide X(u, v)=(u, v, √1 + u2+v2) y así α(s) = X(sinh(s),0). Entonces tenemos u1=sinh(s)yu2= 0, y las derivadas de estas son du1 ds =cosh(s),d2u1 ds2=sinh(s),du2 ds = 0,d2u2 ds2= 0 (3.11) Veamos que la definición se cumple. Primero para k= 1 d2u1 ds2+ 2 X i,j=1 Γ1 ij du1 ds duj ds , se reduce a d2u2 ds2+ Γ1 11(u1(s), u2(s)) du1 ds 2 , ya que du2/ds = 0. Sustituyendo Γ1 11 y las derivadas (3.11) sinh(s) + −sinh(s) cosh2(s)cosh2(s) = 0. Tenemos que se cumple para k= 1. A continuación, hacemos lo mismo para k= 2. Y nos queda Γ2 11(u1(s), u2(s)) du1 ds 2 = 0, debido a que Γ2 11(u1(s), u2(s)) = 0. Como se cumplen las dos ecuaciones de las geodésicas, tenemos que α(s)es una geodésica sobre el hiperboloide. Estamos en condiciones de calcular todas las geodésicas del hiperboloide, para demostrar el siguiente resultado nos ayudaremos de los dos resultados anteriores. Teorema 3.9. Las geodésicas de H2son las hipérbolas máximas, i.e, las curvas obtenidas cuando cortamos H2con planos que pasan por el origen de coordenadas. Demostración. Para probar esto calcularemos una geodésica que pasa por p∈H2 cualquiera y tiene vector de dirección v∈Tp(H2)aleatorio. 3.2. MODELO DEL DISCO DE POINCARÉ D33 Por el teorema anterior sabemos que el hiperboloide es homogéneo e isotrópico, entonces existe una isometría que lleva pen el Polo Norte y al vector ven ∂ ∂x N. Así que la geodésica que pasa por pcon dirección vserá γ=f−1(α)donde αes la geodésica del lema 3.8, que pasa por Ncon dirección ∂ ∂x N. Como αes el corte de H2con el plano y= 0,fpertenece al grupo de las matrices ortogonales respecto de la métrica de Minkowsky y las aplicaciones lineales transforman planos que pasan por el origen en planos que pasan por el origen, γserá el corte de H2con un plano que pasa por el origen de coordenadas. Por tanto, hemos calculado todas las geodésicas de H2. Figura 3.1: Una geodésica de H2. 3.2. Modelo del disco de Poincaré D Una vez visto el modelo del hiperboloide vamos a estudiar el modelo del disco. El disco de Poincaré consiste en un disco abierto en R2centrado el origen con radio 1 D={z∈C:|z|<1} y con una métrica ˆ hque expresamos en función de las coordenadas (u1, u2)como sigue ˆ h=4 (1 −|u|2)2((du1)2+ (du2)2).(3.12) Una de las ventajas del modelo del disco de Poincaré con respecto al del hiperboloide es que el disco unitario Des un subconjunto acotado en el plano euclídeo. Por tanto, podemos ver todo el plano hiperbólico fácilmente en una hoja de papel. Otra de las ventajas de este modelo es que la métrica que utilizamos es conforme a la métrica euclídea de R2, pues se obtiene a partir de ella multiplicándola por una función positiva. La métrica nos proporciona los coeficientes métricos que nos servirán para nuestro estudio, estos son: ˆ h11 =ˆ h22 =4 (1 −|u|2)2, ˆ h12 =ˆ h21 = 0. 34 CAPÍTULO 3. MODELO HIPERBÓLICO Veamos que ˆ hes una métrica en D, tenemos que ver que los coeficientes métricos verifican las propiedades de 2.21. 1. Tenemos que ver que los coeficientes ˆ h11 yˆ h22 son positivos, es decir, ˆ hii >0. Está claro pues ˆ h11 =ˆ h22 =4 (1−|u|2)2>0. 2. En segundo lugar, los coeficientes cruzados tienes que ser iguales, es decir, ˆ h12 =ˆ h21, lo cual es cierto pues ambos son iguales a 0. 3. Por último, tenemos que comprobar que ˆ h11ˆ h22 −ˆ h2 12 >0, sabemos que el primer sumando es mayor que 0, pues es el producto de dos cantidades positivas, mientras que el segundo sumando es 0, entonces tenemos que ˆ h11ˆ h22 −ˆ h2 12 >0. Luego por 2.22 tenemos que ˆ hes una métrica en D. Figura 3.2: Disco de Poincaré, donde la longitud del segmento aes igual a la del segmento b, esto es debido a la métrica h. Para estudiar las propiedades del disco vamos a proyectar lo que ya hemos estudiado en el hiperboloide, vamos a usar la llamada Proyección Estereográfica Hiperbólica, la cual consiste en coger un punto cualquiera del hiperboloide y unirlo mediante una recta con el polo sur del hiperboloide que como ya indicamos es el (0,0,−1). El punto de intersección de esta recta con el disco de Poincaré es la proyección de ese punto en el disco. Esta proyección la expresamos mediante la siguiente aplicación π:H2→D (x, y, z)7→ π(x, y, z) = x 1 + z,y 1 + z.(3.13) Observación. La inversa de (3.13) nos será útil en esta sección y viene dada por π−1(x, y) = 2x 1−x2−y2,2y 1−x2−y2,1 + x2y2 1−x2−y2. El resultado de aplicar la Proyección Estereográfica Hiperbólica a todos los puntos de H2es D. Veamos que la proyección es un difeomorfismo para ello tenemos que ver que π cumple las propiedades de la Proposición 2.30. 3.2. MODELO DEL DISCO DE POINCARÉ D35 Figura 3.3: Proyección π(p). 1. Para ver que πes biyectiva componemos con su inversa, tenemos que π◦ π−1(x, y) = IdDyπ−1◦π(x, y, z) = IdH2. 2. Para ver que πes diferenciable basta ver que la composición de aplicaciones del siguiente diagrama es diferenciable. Por la Definición 2.27, tenemos que ver que id−1◦π◦Xes diferenciable y esto se tiene ya que id−1◦π◦X=u 1 + √1 + u2+v2,v 1 + √1 + u2+v2. Luego πes un difeomorfismo. Ahora veamos que f es una aplicación regular. Para ver que πes regular utilizamos la Definición 2.29, y vemos que el jacobiano de Id−1◦π◦Xes distinto de cero en cada punto. Hemos comprobado que la aplicación πcumple estas dos propiedades para poder ver que esta posee una propiedad aún más fuerte, esta es que πes una isometría, esto quieres decir que cualquier recta que cojamos en el Hiperboloide conservará su longitud en el disco de Poincaré. Esta propiedad es muy conveniente pues, como ya expusimos antes, una de las ventajas de este modelo es que lo podemos dibujar en una hoja de papel y además podremos saber la longitud de las curvas con exactitud. Luego, veamos que, efectivamente, π∗pes isometría, por la Observación 2.3 tenemos que ver que los coeficientes métricos coinciden. Es decir, necesitamos calcular los coeficientes métricos de −1◦π◦X. 36 CAPÍTULO 3. MODELO HIPERBÓLICO Para no abusar de notación, llamemos Y(u, v) = Id−1◦π◦X. Así tenemos que Y(u, v) = u 1 + √1 + u2+v2,v 1 + √1 + u2+v2. Calculamos Y1eY2para calcular los coeficientes geométricos, y obtenemos Y1=1 (1 + √1 + u2+v2)2√1 + u2+v2(√1 + u2+v2+1+v2,−uv), Y2=1 (1 + √1 + u2+v2)2√1 + u2+v2(−uv, √1 + u2+v2+1+u2). Los coeficientes métricos son ˆ h′ 11 =2 + u2+ 3v2+ 2√1 + u2+v2+ 2√1 + u2+v2v2+v4+u2v2 (1 + √1 + u2+v2)2(1 + u2+v2), ˆ h′ 12 =uv(2√1 + u2+v2+2+u2+v2 (1 + √1 + u2+v2)2(1 + u2+v2), ˆ h′ 22 =2+3u2+v2+ 2√1 + u2+v2+ 2√1 + u2+v2u2+u4+u2v2 (1 + √1 + u2+v2)2(1 + u2+v2), simplificando estas expresiones llegamos a que, efectivamente, hij =ˆ h′ ij, luego π∗pes isometría y por la Observación 2.3 tenemos que πtambién lo es. Tras estudiar estas propiedades ahora vamos a calcular las geodésicas del disco de Poincaré. La idea va a ser proyectar las geodésicas del Hiperboloide que como ya sabemos por el Teorema 3.9 son las hipérbolas máximas de H2. Las enunciamos en el siguiente teorema. Teorema 3.10. Las geodésicas de Dson los segmentos que pasan por el origen de coordenadas del disco y los arcos de circunferencia que cortan ortogonalmente a la frontera del disco. Demostración. Primero reescribimos la expresión de la Proyección Estereográfica del Hiperboloide al disco de la siguiente manera π(ξ, z) = u=ξ 1 + z, π−1(u) = (ξ, z) = 2u 1−|u|2,1 + |u|2 1−|u|2. Por el Teorema 3.9 sabemos que una geodésica αen el modelo del Hiperboloide es el conjunto de puntos que satisface la ecuación λiξi+µz = 0.(3.14) Diferenciamos dos casos, el caso en el que µ= 0 y el caso en que µ= 0: 3.2. MODELO DEL DISCO DE POINCARÉ D37 (Caso 1) Cuando µ= 0 estos puntos corresponden a las hipérbolas máximas que pasan por el Polo Norte, y estas, mediante π, se transforman en rectas que pasan por el origen. (Caso 2) Cuando µ= 0, podemos dividir por −µy escribir la siguiente ecuación lineal z=λiξi=⟨λ, ξ⟩ Por π−1tenemos: 1 + |u|2 1−|u|2=2⟨λ, ξ⟩ 1−|u|2 . Esta ecuación se satisface en el disco y podemos simplificarla por: ∥u∥2−2⟨λ, ξ⟩+ 1 = 0 . Completando el cuadrado conseguimos |u−λ|2=|λ|2−1.(3.15) De nuevo, tenemos dos casos: (Caso 2. 1)|λ|2≤1obtenemos, o bien, el vacío, o bien, un punto en la frontera del disco. Ninguno de estos tipos de puntos nos proporciona una geodésica. (Caso 2. 2) Mientras que cuando |λ|2>1obtenemos la circunferencia centrada em λy de radio p|λ|2−1. Si llamamos u0a uno de los puntos donde la circunferencia corta con la frontera de D. Los tres puntos, 0,u0yλforman un triángulo de lados: |Ou0|=|u0|= 1,|Oλ|=|λ|,|u0λ|=|u0−λ|, Que satisfacen el Teorema de Pitágoras por (3.15) y de este modo la circunferencia que corta a Den un ángulo recto es una geodésica. 38 CAPÍTULO 3. MODELO HIPERBÓLICO Figura 3.4: Algunas geodésicas de D. Capítulo 4 Transformaciones de Möbius Las transformaciones de Möbius son un conjunto de transformaciones del plano complejo extendido en sí mismo M:C∞→C∞. Estas transformaciones tienen una serie de propiedades y conexiones con la geometría hiperbólica. En este capítulo definiremos las transformaciones de Möbius, estudiaremos algunas propiedades de estas transformaciones. En especial, prestaremos atención a las transformaciones que llevan el disco Den sí mismo. En primer lugar, introduciremos el concepto de plano complejo extendido, para ello necesitamos definir la esfera de Riemann. 4.1. La esfera de Riemann La esfera de Riemann está muy relacionada con la proyección estereográfica, que es una proyección entre la esfera y el plano. En nuestro estudio, este plano será el complejo. Notemos a la esfera como S2={(x, y, z)∈R3|x2+y2+z2= 1}, centrada en el origen del plano complejo. El ecuador de la esfera, x2+y2= 1, es la intersección con el plano complejo y (1,0,0) coincide con z= 1 y(0,1,0) con z=i. Como en el capítulo anterior definimos el Polo Norte de la esfera como N= (0,0,1) y el Polo Sur como S= (0,0,−1). Definamos ahora una aplicación entre CyS2. Definición 4.1. La proyección estereográfica τes la aplicación que lleva τ:S2\N→C P7→ τ(P) = Q:= (NP)∩C. Esta aplicación proyecta cualquier punto de la esfera al plano complejo mediante la recta que une al punto de la esfera, P, con el polo norte. En la siguiente figura se ve claro cómo funciona esta aplicación. 39 40 CAPÍTULO 4. TRANSFORMACIONES DE MÖBIUS Figura 4.1: Proyección estereográfica τ. Observemos que el plano complejo queda dividido en dos zonas, la de afuera de la circunferencia dibujada por el ecuador y la de dentro. Con esto, podemos ver que τlleva cualquier punto de la esfera que pertenezca al hemisferio norte {(x, y, z)∈ R3|x2+y2+z2= 1, z > 0}a la zona de fuera, mientras que los del hemisferio sur, {(x, y, z)∈R3|x2+y2+z2= 1, z < 0}los lleva adentro de la circunferencia. Teorema 4.2. Para cualquier P= (x, y, z)∈S2yw=u+iv ∈C, la Proyección Estereográfica τes de la forma τ(P) = x 1−z+iy 1−z, y la inversa es τ−1(w) = 2u u2+v2+ 1,2v u2+v2+ 1,u2+v2−1 u2+v2+ 1.(4.1) Demostración. Sea wla proyección de P∈S2en el plano complejo. Definimos el triángulo rectángulo de vértices w,N,o, donde la arista Nw es el segmento de la recta que describe la proyección τ, sea también el triángulo de vértices P,N,L, donde NP es el segmento de la recta que, de nuevo, describe τ, y LP =les el segmento que corta perpendicularmente con NO. Tenemos que estos dos triángulos son semejantes, luego x2+y2 |w|=1−z 1=x u=y v Resolviéndolo obtenemos 1−z 1=x u⇒u=x 1−z 1−z 1=y v⇒v=y 1−z Por tanto, tenemos el resultado que queríamos τ(x, y, z) = u+iv =x 1−z+iy 1−z. Nos falta probar la fórmula de la inversa. Resolvemos para u+iv =τ(x, y, z): u2+v2=x2+y2 (1 −z)2=1−z2 1 + z=−1 + 2 1−z⇒1−z=2 u2+v2+ 1.(4.2) 4.1. LA ESFERA DE RIEMANN 41 Sustituyendo en u+iv =x+iy 1−z, obtenemos x+iy =2u+i2v u2+v2+ 1. Identificando la parte real y la compleja, tenemos los valores de xey. x=2u u2+v2+ 1 y=2v u2+v2+ 1. Por último, para tener el valor zdespejamos en (4.2) 1−z=2 u2+v2+ 1; u2+v2+ 1 −(u2+v2+ 1)z= 2; (u2+v2+ 1)z=u2+v2−1; z=u2+v2−1 u2+v2+ 1. Por tanto, tenemos que la inversa de la Proyección Estereográfica τes la de (4.1). Para terminar de definir la proyección τvamos a asignarle una proyección al único punto del que no hemos hablado, el polo norte N, a este le asignamos τ(N) = ∞, ya que cada punto que se acerca más a Ncorresponde con un módulo cada vez más grande. Aún más, las identidades 1/0 = ∞y1/∞= 0 son verdades para este punto. Esto nos permite expandir la definición de Proyección Estereográfica a τ:S2→C∞ P7→ τ(P) = Q:= (NP)∩C, N7→ τ(N) = ∞. Definición 4.3. Llamamos a C∞plano complejo extendido. C∞es el conjunto C∪ ∞. Junto este concepto y la biyectividad de τ, estamos en condiciones de definir Definición 4.4 (Esfera de Riemann).La identificación entre C∞yS2, con ∞correspondiéndose con Ny cualquier otro punto de S2con su Proyección Estereográfica se conoce como la esfera de Riemann. Proposición 4.5. La proyección estereográfica lleva rectas y círculos en C∞en círculos en S2y viceversa. Demostración. Geométricamente, podemos ver que las líneas en Ccorresponden con la intersección del plano que contiene esa línea, el Polo Norte Ny la esfera, lo cual 48 CAPÍTULO 4. TRANSFORMACIONES DE MÖBIUS 4.4. Transformaciones de Möbius como matrices En esta sección explicamos como podemos expresar las transformaciones de Möbius como matrices. Mostraremos que las transformaciones de Möbius pueden dotarse de estructura de grupo y obtendremos diversas aplicaciones de esta interpretación algebraica. Teorema 4.20. El conjunto de las transformaciones de Möbius M=M(z) = az +b cz +d|ac −bd = 1(4.9) es un grupo bajo la operación de composición. Este grupo lo llamamos grupo de Möbius. Demostración. Comprobamos que este conjunto con la operación definida cumple las propiedades de grupo. Es cerrado, pues para M1=a1z+b1 c1z+d1yM2=a2z+b2 c2z+d2tenemos M2◦M1=(a2a1+b2c1)z+ (a2b1+b2d1) (c2a1+d2c1)z+ (c@b1+d2d1)∈ M (4.10) y esto lo podemos normalizar. Está claro que cumple la propiedad de asociatividad, pues la función composición es asociativa. La transformación I(z) = zactúa como la identidad. Por el teorema 4.9 sabemos que existe una transformación inversa para cada transformación de Möbius. Así pues, la composición dota al conjunto de las transformaciones de Möbius de estructura de grupo. Esta manera de interpretar las transformaciones de Möbius nos permite formular la siguiente aplicación. Definición 4.21. La aplicación Γ : SL(2,C)→ M lleva a b c d 7→ az +b cz +d. Es decir, lleva matrices 2×2con determinante 1a la transformación de Möbius. Observación. Como las matrices tienen determinante 1, estas transformaciones de Möbius están normalizadas. También podríamos definir una aplicación en la que obtengamos transformaciones de Möbius no normalizadas. 4.4. TRANSFORMACIONES DE MÖBIUS COMO MATRICES 49 Veamos que a través de esta aplicación es equivalente trabajar con transformaciones de Möbius y con elementos de SL(2,C). Proposición 4.22. La aplicación Γes un homeomorfismo sobreyectivo. Demostración. Primero probamos que la matriz identidad se corresponde con la transformación de Möbius identidad 1 0 0 1 7→ 1z 1=z. Ahora veamos que el producto de dos matrices se corresponde con la composición de las transformaciones de Möbius correspondientes a1b1 c1d1a2b2 c2d2=a2a1+b2c1a2b1+b2d1 c2a1+d2c1c2b1+d2d17→ (a2a1+b2c1)z+ (a2b1+b2d1) (c2a1+d2c1)z+ (c2b1+d2d1), que corresponde con (4.10) Y, por último, que la matriz inversa se corresponde con la transformación de Möbius inversa −d b c−a7→ −dz +b cz −a, que coincide con (4.4). El hecho de que el homeomorfismo sea sobreyectivo viene de que hay exactamente dos matrices que van a la misma transformación de Möbius. ±a b c d 7→ az +b cz +d.(4.11) Lo cual finaliza la prueba. La ecuación (4.11) nos permite definir un isomorfismo de las transformaciones de Möbius con un grupo más restringido. Teorema 4.23. El grupo de Möbius y el grupo especial lineal proyectivo, PSL(2,C) = SL(2,C)/±I, son isomorfos, es decir M∼ =PSL(2,C). Demostración. Como todo elemento de PSL(2,C)corresponde con ±A, A ∈SL(2,C), entonces todo miembro de Mcorresponde a un miembro de PSL(2C)y viceversa. Hay una manera de caracterizar la acción de las transformaciones de Möbius a través de la acción de 2 vectores columna. Definición 4.24. Las coordenadas homogéneas de z∈C∞están definidas como un par (ζ, ξ)∈C2tal que z=ζ/ξ. 50 CAPÍTULO 4. TRANSFORMACIONES DE MÖBIUS Sin embargo, λ(ζ, ξ), con λ∈C2determinan el mismo número complejo. Para resolver esto, existe el concepto de coordenadas homogéneas normalizadas, donde λ es elegida tal que ζ2+ξ2= 1. Aun así, no vamos a usarlas, pues en el contexto en el que trabajamos no nos aportan ninguna ventaja. Proposición 4.25. La acción de PSL(2,C)en C2es equivalente a la acción de M en C. Demostración. Si consideramos un elemento de C2como una coordenada homogénea compleja de z∈C, entonces a b c d ζ ξ=aζ +bξ cζ +dξ 7→ aζ +bξ cζ +dξ =aζ/ξ +b cζ/ξ +d=az +b cz +d=M(z). También podemos establecer otra manera de ver los puntos fijos. Lema 4.26. Los puntos fijos de una transformación de Möbius M(z) = az+b cz+dvienen dados por los autovectores de la matriz M=a b c d  Demostración. Los autovectores de Mson los vectores v= (ζ1, ζ2)T,ζ1, ζ2∈C tales que Av =λv, para algún λ∈C, que corresponde con M(z) = M(ζ1/ζ2) = (λζ1)/(λζ2) = z. 4.5. Las transformaciones de Möbius en el disco En esta sección estudiaremos un caso particular de las transformaciones de Möbius. Las transformaciones que llevan el disco en el disco. Utilizamos en esta sección el libro de M. Hitchman [23]. Comencemos viendo una definición alternativa del modelo del disco de Poincaré para la geometría hiperbólica. La diferencia entre esta definición y la vista en 3.2 es que aquí vamos a definirlo como un par de elementos, el que uno es el disco tal y como lo conocemos y el segundo elemento es el conjunto de todas las transformaciones de Möbius que llevan Den sí mismo. Definición 4.27. El modelo del disco de Poincaré para la geometría hiperbólica es el par (D,H)donde D={z∈C|∥z∥<1}, y Hconsiste en todas las transformaciones de Möbius Ttal que T(D) = D. A Hlo llamaremos el grupo de transformaciones en geometría hiperbólica. Denotaremos por S1 ∞al círculo unidad que llamaremos el círculo en infinito. Este círculo no hay que confundirlo con el disco de Poincaré. Además, S1 ∞rodea al disco de Poincaré. 4.5. LAS TRANSFORMACIONES DE MÖBIUS EN EL DISCO 51 Es equivalente que una transformación de Möbius lleve Den sí mismo, también lleva S1 ∞en sí mismo. Ahora vamos a considerar un círculo generalizado Cque es ortogonal al círculo en infinito. Si invertimos C,S1 ∞se invierte en sí mismo. Además, si esta inversión la tomamos en el interior de S1 ∞, es decir, el disco D, entonces también lo transforma en sí mismo. A esto le sigue que la composición de dos inversiones como esas es una transformación de Möbius que manda Den sí mismo, y, por tanto, coincide con el grupo H. Veamos esto poco a poco. Una inversión en un círculo generalizado Cque es ortogonal a S1 ∞lo llamaremos reflexión del plano hiperbólico, o una reflexión hiperbólica. Estas reflexiones nos van a ser de gran utilidad pues todas las transformaciones de Hlas podemos describir con dichas reflexiones. Por ejemplo, una rotación en el origen es una transformación de Möbius que transporta Den sí mismo, así que está en H. Y esta rotación podemos verla como la composición de dos reflexiones de rectas que intersecan en el origen, ya que estas dos rectas cortan con el círculo unidad en ángulos rectos. Una reflexión sobre una recta sobre esa es una reflexión del disco de Poincaré, así que las rotaciones en el origen son la composición de dos reflexiones. Veamos ahora que este ejemplo se puede generalizar. Teorema 4.28. Cualquier transformación de Möbius en Hes la composición de dos reflexiones de D. Demostración. Supongamos que Tes una transformación de Möbius que envía Den sí mismo. Esto significa que algún punto en D, llamémosle z0, es enviado al origen, 0. Sea z∗ 0el punto simétrico a z0con respecto a S1 ∞. Como Tenvía el círculo unidad en sí mismo, y las transformaciones de Möbius preservan los puntos simétricos, entonces Tenvía z∗ 0a∞. También, existe un punto z1en el círculo en infinito que es enviado al punto 1. Tenemos dos casos. El primero es que z0= 0, entonces z∗ 0= ´ınf, y Tfija 0y∞, Entonces tenemos que T se corresponde con una dilatación seguida de una rotación. Pero como hemos dicho que Tenvía el disco en sí mismo, el parámetro de dilatación debe ser 1, entonces Tes simplemente una rotación, y como hemos visto antes, la rotación se puede ver como la composición de dos reflexiones. En el caso de que z0= 0, si usamos z0, z∗ 0yz1como pilares, podemos construir T como dos transformaciones de Möbius como sigue: Primero, invertimos un círculo Cortogonal a S1 ∞que envía z0al origen. Veamos que, efectivamente, este círculo existe. Dibujamos un círculo con diámetro 0z∗ 0. Sea puno de los puntos de intersección de este círculo con S1 ∞, construimos el círculo Ca través de p centrado en z∗ 0. Como el ángulo formado por ∠0pz∗ 0es recto, S1 ∞es ortogonal a C, así que la inversión sobre Clleva S1 ∞a sí mismo. Además, como z∗ 0es enviado a ∞y los puntos simétricos deben seguir siéndolo, la inversión en Cdebe llevar z0a0. Por tanto, la primera inversión lleva z0a0yz∗ 0a∞. Para construir Ttenemos 52 CAPÍTULO 4. TRANSFORMACIONES DE MÖBIUS que llevar también z1a1. Por la inversión en Chemos enviado el punto z1a un z′ 1 en el círculo unidad. Ahora reflejamos a través de la línea que pasa por el origen y bisecta el ángulo ∠10z′ 1. Este envía z′ 1a 1, enviando Da él mismo y deja 0y∞fijos. Componiendo estas dos inversiones tenemos una transformación de Möbius que lleva z0a0,z∗ 0a∞yz1a1. Y como sabemos, una transformación de Möbius es determinada por la imagen de tres puntos, entonces Tes una transformación de Möbius. Entonces podemos ver las transformaciones en Hcomo la composición de dos inversiones sobre unos círculos generalizados en S1 ∞. Estas transformaciones podemos clasificarlas según estos círculos generalizados se corten dos veces, una o ninguna vez. En el caso que se corten dos veces tenemos que la transformación recibe el nombre de rotación hiperbólica, mientras que si solo se cortan una vez se llaman desplazamiento paralelo, por último, si no se cortan ninguna vez se conocen como traslación hiperbólica. En el caso de que los círculos se cortan dos veces tenemos uno de los cortes va a ser dentro del disco necesariamente, llamémosle pa dicho punto, y llamemos p∗al otro punto de intersección que tiene que estar fuera del disco. El punto p∗tiene que ser el simétrico a prespecto al círculo unidad ya que ambos círculos generalizados son ortogonales a S1 ∞. Figura 4.3: Rotación hiperbólica en z[23]. Esto resulta en que la transformación de Möbius fijará pyp∗, causando la rotación de los puntos en Dalrededor de p. Por tanto, a este tipo de transformación en Hlas llamamos rotación hiperbólica respecto de p. Si estamos en el caso de que se intersequen una sola vez, entonces este corte debe producirse en S1 ∞, llamémosle, de nuevo, pal punto de intersección. Sino el punto simétrico p∗, que tendría que ser distinto de p, tendría que pertenecer también a los dos círculos generalizados, dándonos dos puntos de intersección, lo cual no es cierto. La aplicación resultante mueve puntos en círculos en Dque son tangentes a pen el círculo unidad. Los círculos en Dque son tangentes a S1 ∞reciben el nombre de horociclos. A este tipo de transformación las llamaremos desplazamiento paralelo. 4.5. LAS TRANSFORMACIONES DE MÖBIUS EN EL DISCO 53 Figura 4.4: Desplazamiento paralelo en z Por último, si los círculos generalizados de inversión no intersecan, entonces al menos uno de los círculos generalizados debe ser un círculo, además hay dos puntos pyqsimétricos a ambos círculos generalizados. Estos dos puntos son fijos bajo la transformación de Möbius ya que cada inversión lleva paqy viceversa. Además, ambos puntos fijos deberán estar en el círculo unidad. Entonces esta transformación llevará los puntos a través de círculos generalizados que conectan pyq. Veámoslo gráficamente: Figura 4.5: Traslación hiperbólica de z Para terminar esta sección veamos qué forma tienen las transformaciones que pertenecen a H. Teorema 4.29. Toda transformación T∈ H es de la forma T(z) = eiθ z−z0 1−z0z donde θes un ángulo, y z0es el punto de Dque es mandado a 0. Demostración. Sean z0∈D,z1∈S1 ∞, y que la aplicación T∈ Htiene como imágenes T(z0) = 0,T(z∗ 0) = ∞yT(z1) = 1. Usando la razón doble, tenemos T(z) = [z, z0, z1, z∗ 0] = z−z0 z−z∗ 0 z1−z∗ 0 z1−z0 . 54 CAPÍTULO 4. TRANSFORMACIONES DE MÖBIUS Pero z∗ 0=1 z0, así que T(z) = z−z0 z−1/z0 z1−1/z0 z1−z0 =z0z1−1 z1−z0 z−z0 z0z−1. Tenemos que la cantidad z0z1−1 z1−z0 Es una constante (compleja), y esta tiene módulo 1, pues como 1 = |z1|2=z1z1, entonces z0z1−1 z1−z0 =z0z1−z1z1 z1−z0 =−z1(z1−z0) z1−z0 . Como |z1|= 1 y, en general, |α|=|α|, entonces esta expresión tiene módulo 1, y puede ser expresada como eiθ para algún θ. Por tanto, hemos visto que cualquier transformación Ten Hse puede expresar como T(z) = eiθ z−z0 1−z0z, donde θes un ángulo y z0es un punto en el disco que es enviado a 0. Capítulo 5 Más resultados sobre las transformaciones de Möbius En este capítulo exploraremos algunos tipos de transformaciones de Möbius, explicaremos algún artículo reciente y, por último, veremos líneas de investigación y preguntas que siguen abiertas sobre las transformaciones de Möbius y la geometría hiperbólica. Dividiremos el capítulo en dos secciones. En la primera analizaremos un artículo sobre un tipo de transformaciones de Möbius, las armónicas. Mientras que, en la segunda, comentaremos algunos otros tipos, algún artículo de interés. 5.1. Transformaciones de Möbius armónicas En esta sección explicaremos el artículo de N. Yilmaz Özgür, Ellipses and harmonic Möbius transformations (2010), publicado en Universităţii “OvidiusÇonstanţa. El objetivo del artículo es caracterizar estas transformaciones según la forma de estas. En artículos anteriores [14] [20] se probó que las únicas transformaciones de Möbius que llevan elipses en elipses son las semejanzas. Mientras que en este se estudia la imagen de las elipses por transformaciones de Möbius armónicas. Hace falta mencionar que cuando usemos el término elipse nos referimos a elipses no circulares, y cuando digamos círculo, como en el capítulo anterior, nos referiremos a círculos generalizados. En primer lugar, definiremos las transformaciones de Möbius armónicas introducidas por M. Chuaqui en [12]. Chuaqui comienza con una función compleja armónica, f, es decir, cumple ∆f=∂2f ∂x2+∂2f ∂y2= 0. A continuación, utiliza que, si fes armónica, entonces se puede descomponer como f=h+g. 55 56CAPÍTULO 5. MÁS RESULTADOS SOBRE LAS TRANSFORMACIONES DE MÖBIUS Seguidamente, utiliza el concepto de segunda dilatación compleja, P. Duren las define como sigue [24] Definición 5.1. La segunda dilatación compleja wde fes una medida de distorsión en Crealizada por f. Sea z=x+iy y sea f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Sean fx=ux+ivxyfy=uy+ivylas derivadas parciales y fz=fx−ify 2, fz=fx+ify 2. La segunda dilatación compleja de fse define como el cociente w=fz/fz. En nuestro caso, coincide con w=g′/h′. Además, Chuaqui también considera que w=αconstante, luego, despejando h′e integrando, obtenemos que g=αh. Entonces podemos reescribir las funciones armónicas como f=h+αh. Usamos esta caracterización de las funciones armónicas para definir las transformaciones de Möbius armónicas. Definición 5.2. Una transformación de Möbius armónica es una función armónica que tiene forma f=h+αh, donde hes una transformación de Möbius y αes una constante compleja de módulo menor estricto que uno, es decir, |α|<1. Luego demuestra que este tipo de transformaciones lleva círculos a elipses. Y en [13] los mismos autores demuestran que una aplicación armónica que transporta círculos a elipses son transformaciones de Möbius armónicas. Por otra parte, nos hará falta una definición y un resultado de [14] . Definición 5.3. Diremos que dos curvas C1yC2son Möbius-equivalentes si existe una transformación de Möbius Ttal que C2=T(C1). Proposición 5.4. Si dos elipses ε, ε′son Möbius-equivalentes, entonces T es una semejanza. Demostración. La demostración se puede encontrar en [14]. Esta proposición es equivalente a decir que la única transformación de Möbius que lleva elipses en elipses son las semejanzas. Con este breve resumen ya podemos centrarnos por completo en el análisis de este artículo. Como dijimos al principio, el objetivo va a ser investigar las imágenes de las elipses bajo las transformaciones de Möbius armónicas. Al comienzo del artículo el autor hace un breve resumen de resultados sobre transformaciones de Möbius, en este menciona una propiedad que no hemos visto a lo largo del trabajo, demostrémosla. 5.1. TRANSFORMACIONES DE MÖBIUS ARMÓNICAS 57 Proposición 5.5. Las transformaciones de Möbius con c= 0 forman el subgrupo de semejanzas, que es subgrupo del grupo de Möbius (4.9). Las transformaciones de este subgrupo son de la forma S(z) = Az +B;A, B ∈C, A = 0. Demostración. Notemos el conjunto de las transformaciones de Möbius con c= 0 como S. Primero vamos a ver que las transformaciones de Sson de la forma S(z) = Az +B. Sea M(z)una transformación de Möbius, si c= 0 tenemos que M(z) = az +b d, que la podemos reescribir trivialmente como M(z) = Az +B. Recordemos que en Lema 4.18 ya vimos que estas transformaciones de Möbius tenían al infinito como punto fijo. Ahora vamos a probar que (S,◦)es un subgrupo de (M, ◦), para ello tenemos que ver que se cumplen tres propiedades: 1. Scontiene al elemento identidad, I, de M, esto es trivial pues, I(z)∈ S. 2. La operación es cerrada en S. Sean S, S′dos transformaciones veamos que la composición está en S. S◦S′=S(S′(z)) = S(A′z+B′) = A(A′z+B′) + B= (AA′)z+ (AB′+B), que, efectivamente, pertenece a S. 3. Por último, tenemos que ver que para cada transformación en Sla inversa también está. Por el Teorema 4.9 sabemos que para cada transformación de Möbius existe la inversa que es de la forma M−1(w) = −dw +b cw −a Como las transformaciones que pertenecen a Stiene c= 0, las inversas de las funciones serán de la forma M−1(w) = −d −aw+b −a, entonces las funciones inversas también están en S. Por tanto, tenemos que Sbajo la operación de composición es un subgrupo de (M,◦). 64CAPÍTULO 5. MÁS RESULTADOS SOBRE LAS TRANSFORMACIONES DE MÖBIUS Bibliografía [1] Scriba, P. Schreiber, 5000 years of geometry. Birkhäuser/Springer, (2015). [2] A. Lo Bello, R. Arnzen, The commentary of al-Nayrizi on Books II-IV of Euclid’s Elements of Geometry with a translation of that portion of Book I missing from ms Leiden or. 399.1 but present in the newly discovered Qom manuscript edited by Ru¨diger Arnzen. Brill, (2009). [3] Proclus, Translates by Glenn, R. Morrow and J. M. Dillon , Proclus’ Commentary on Plato’s Parmenides. Princeton University Press, (1992). [4] Euclides. Elementos. Editorial Gredos, (1991). Se han consultado diversas páginas web correspondientes al siguiente servidor: [5] The MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics. University of St. Andrews, Scotland. www-history.mcs.st-and.ac.uk [6] B. Szénássy. History of Mathematics in Hungary Until the 20th Century. Akadémiai Kiadó, (1992). [7] M. P. do Carmo. Geometría Diferencial de Curvas y Superficies. Alianza Editorial, Madrid, (1990). [8] M. Á. Hernández Cifre y J. A. Pastor. Un curso de Geometría Diferencial. CSIC, Madrid, (2010). [9] Profesores del Departamento de Geometría y Topología de la Universidad de Sevilla. Apuntes de Geometría Local de Curvas y Superficies, Sevilla, (2021). [10] I. Ruiz Donaire, M. Prado Rodríguez J. Rebollo Bueno, Resumen de la asignatura Geometría Aplicada, Sevilla, (2022). [11] N. Yilmaz Özgür, Ellipses and harmonic Möbius transformations, An. Ştiinţ. Univ. Ovidius Constanţa Ser. Mat., (2010). [12] M. Chuaqui, P. Duren and B. Osgood, The Schwarzian Derivative for Harmonic Mappings, J. Anal. Math., 91 (2003), 329-351. [13] M. Chuaqui, P. Duren and B. Osgood, Ellipses, Near Ellipses, and Harmonic Möbius Transformations, Proc. Amer. Math. Soc., 133 (2005), 2705-2710. 65 66 BIBLIOGRAFÍA [14] A. Coffman and M. Frantz, Möbius Transformations and Ellipses, The Pi Mu Epsilon Journal, 6 (2007), 339-345. [15] A. Lascurain Orive, Una introducción a la geometría hiperbólica bidimensional, (2004). [16] O. Demirel, A Characterization of Möbius transformations by use of hyperbolic triangles, J. Math. Anal. Appl. 198 (2013), 457-461. [17] A. A. Ungar, "Analytic Hyperbolic Geometry: Mathematical Foundations and Applications", Published by World Scientific, (2005). [18] O. Demirel, E.S. Seyrantepe, A Characterization of Möbius transformations by use of hyperbolic regular polygons, J. Math. Anal. Appl. 374 (2011), 566-572. [19] H. Haruki, T.M. 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