Presentación y resolución dinámica de problemas mediante Geogebra

Marzo de 2011, Número 25, páginas 161174 ISSN: 1815 -0640 Coordinado por Agustín Carrillo de Albornoz REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA – MARZO DE 2011 - NÚMERO 25 - PÁGINA 161 Presentación y resolución dinámica de problemas mediante GeoGebra Eva Barrena Algara; Raúl Manuel Falcón Ganfornina; Rosana Ramírez Campos; Ricardo Ríos Collantes de Terán. Resumen GeoGebra es un software de Matemáticas, diseñado para enseñar y aprender, que ofrece herramientas para la resolución dinámica de problemas. Sin embargo, a la hora de exponer dicha resolución, parece que a priori no ofrece una forma de elaborar presentaciones secuenciales. Para solventar esta dificultad, en el presente artículo se explora la posibilidad de usar herramientas como deslizadores, casillas de control y operadores booleanos, junto a unas básicas nociones de Java. Abstract GeoGebra is a mathematic software, designed for teaching and learning, which offers tools for the dynamical resolution of problems. However, for the exposition of such a resolution, it seems that a priori the program does not offer facilities for the elaboration of sequential presentations. In order to solve it, the possibility of using tools such as sliders, check boxes and boolean operators, together with basic notions of Java programming, are analyzed in deep in the core part of this work. Resumo GeoGebra é um software de Matemáticas, desenhado para ensinar e aprender, que oferece ferramentas para a resolução dinâmica de problemas. No entanto, à hora de expor dita resolução, parece que a priori não oferece uma forma de elaborar apresentações secuenciales. Para solventar esta dificuldade, no presente artigo explora-se a possibilidade de usar ferramentas como sliders, caixas de controle e operadores booleanos, junto a umas básicas noções de Java. 1. Introducción Un slideware o programa de presentaciones es una herramienta informática que se utiliza para mostrar información de forma visual, normalmente mediante una secuencia de diapositivas en las que se permite colocar texto, gráficos y otros objetos. Entre los más difundidos se encuentran PowerPoint (Microsoft), Keynote (Apple) o Impress (OpenOffice). En los últimos años el uso docente de slidewares ha aumentado de forma exponencial puesto que estos programas permiten expresar ideas de forma concisa, enfocar la atención del alumnado, comprender conceptos de forma visual y adecuar el ritmo de trabajo atendiendo a la diversidad del aula (García Manzano, 2009, p.193). No obstante, existen argumentos razonados en contra tanto del abuso como del uso incorrecto de estas herramientas. En este sentido puede mencionarse la creación de diapositivas con una alta densidad de información o con excesivas animaciones que distraen al alumnado (Hassner, 2005, p. 395). Por otra parte, cabe observar que una metodología basada Presentación y resolución dinámica de problemas mediante GeoGebra E. Barrena Algara, R. Manuel Falcón Ganfornina, R. Ramírez Campos, R. Ríos Collantes de Terán. REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA – MARZO DE 2011 - NÚMERO 25 - PÁGINA 162 únicamente en este tipo de presentaciones invita al alumnado a una relajación y a un desplazamiento de la atención del profesor a la pantalla, al mismo tiempo que no promueve una confrontación dialéctica profesor-alumno (García Manzano, 2009, p. 194). Esto conlleva a una debilitación de la capacidad analítica del estudiante y a una pérdida de su razonamiento verbal y espacial (Tufte, 2003, pp. 12 y 25), que resulta aún más patente en el aula de Matemáticas, donde el desarrollo cognitivo se centra en la resolución de problemas y no tanto en la exposición en sí de la materia. La manipulación de los elementos que intervienen en los mismos es fundamental y no es suficiente realizar una presentación secuencial que refleje únicamente las distintas partes de la exposición de un problema (enunciado, planteamiento y resolución), sino que se requiere de una interacción por parte del estudiante que le permita asimilar conceptos y profundizar en su conocimiento. En el sentido de facilitar una interacción por parte del alumnado, los avances llevados a cabo en los últimos años en sistemas informáticos basados en geometría dinámica (DGS), como pueden ser Cabri, Cinderella o GeoGebra, han permitido tanto la presentación de resultados como la resolución de problemas matemáticos, haciendo uso de una metodología docente basada en la manipulación de objetos. Sin embargo, a diferencia de los slidewares, que se basan en una secuencia de diapositivas o páginas individuales, los DGS’s incorporan todos los elementos de la presentación en una única pantalla, donde se van acumulando en pasos sucesivos tanto los elementos geométricos utilizados, como los textos informativos que guían al alumnado en la resolución de un determinado problema, lo que representa el inconveniente de saturación de información. No obstante, la versatilidad de este tipo de programas a la hora de generar applets interactivos en Java, permite que una alternativa para aligerar esta saturación de información sea crear un entorno web donde aparezcan, por una parte, un marco que muestre la pantalla del correspondiente DGS a utilizar por el alumnado y, por otra, las distintas explicaciones asociadas al problema en cuestión. Sin embargo, cuando la naturaleza del problema requiera una larga secuenciación entre textos explicativos y manipulación de los elementos del DGS por parte del estudiante, la extensión de la página web correspondiente puede llegar a ser un inconveniente, pues no se podría visualizar en una misma pantalla instrucciones y entorno de trabajo. En el presente artículo plantearemos como solución el uso de las herramientas existentes en un DGS para elaborar una presentación secuencial interactiva en el marco del programa informático en sí. En concreto utilizaremos las siguientes herramientas disponibles en GeoGebra: deslizadores, animación automática, casillas de control, operadores booleanos y creación de applets de Java. A través de ejemplos prácticos, el lector podrá preparar una secuencia de diapositivas que ilustren la explicación de problemas matemáticos, creando su propio modelo de slideware y disponiendo de las herramientas necesarias para la creación de materiales adaptados a las necesidades de su aula. Como ilustración de las distintas herramientas que se van a explicar, se mostrará su utilización con vistas a crear en GeoGebra 1 una presentación que englobe diferentes resoluciones del problema de Sam Loyd “La piedra de afilar” (Sam Loyd, 1914, p. 172), gran inventor de rompecabezas y acertijos, que divulgó 1 En el desarrollo del presente artículo se ha utilizado la versión 3.2.45 de GeoGebra. Presentación y resolución dinámica de problemas mediante GeoGebra E. Barrena Algara, R. Manuel Falcón Ganfornina, R. Ramírez Campos, R. Ríos Collantes de Terán. REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA – MARZO DE 2011 - NÚMERO 25 - PÁGINA 163 las matemáticas extensamente y gozó de gran popularidad gracias a la aparición de sus trabajos en revistas y diarios durante más de 50 años, así como por el uso de algunos de sus acertijos en campañas publicitarias de importantes candidatos a la presidencia de los EE.UU. 2 2. Presentaciones secuenciales en GeoGebra GeoGebra memoriza el orden de los pasos realizados a la hora de llevar a cabo una construcción geométrica, pudiéndose utilizar la barra de navegación por pasos para crear una presentación lineal del algoritmo de construcción. Si bien es posible determinar los elementos geométricos a mostrar marcándolos como puntos de interrupción, la linealidad a la que está sometida la construcción no permite hacer desaparecer de la pantalla dichos elementos, salvo que se oculten expresamente. De esta forma, la presentación resultante dispone solamente de una única diapositiva en la que es difícil separar convenientemente las distintas fases de la exposición de un problema: enunciado, planteamiento y resolución. Por otra parte, la linealidad citada imposibilita atender las diversas opciones de resolución que surgen a la hora de abordar cualquier problema matemático, por ello que se hace necesario elaborar un mecanismo de navegación alternativo que posibilite tanto la aparición y desaparición de elementos como la elección de la ruta de resolución a seguir. Una posibilidad consiste en crear una barra de navegación personalizada, haciendo uso de un deslizador que permitiese al usuario poder elegir la etapa de la presentación que quisiera visualizar. En particular, si la presentación a elaborar constase de n etapas diferenciadas, bastaría crear un deslizador Etapa definido en el Intervalo [1, n] con Incremento 1. Cabe observar que una presentación básica estaría formada al menos por las siguientes tres etapas: 1. Enunciado. 2. Elección de la ruta de resolución. 3. Resolución. La presentación de cada etapa puede estar constituida a su vez por un conjunto de diapositivas que sería regulado a partir de un segundo deslizador. Cada etapa estaría entonces vinculada a una serie de elementos que deben aparecer en la pantalla únicamente cuando el deslizador se encuentra en la posición exacta asociada. Esto puede lograrse haciendo uso de la opción “condición para exponer el objeto”, dentro de las propiedades avanzadas de cada elemento. Sería suficiente escribir Etapa == m, siendo m el número asociado a la etapa en cuestión. Cuando el usuario moviese el deslizador a una etapa anterior o posterior, el objeto desaparecería, tal y como ocurriría en una presentación secuencial al uso. Este procedimiento tiene el inconveniente de que si posteriormente se necesita intercalar una etapa intermedia, sería necesario modificar las condiciones de todos los objetos creados hasta el momento. Para evitar esta circunstancia es recomendable hacer uso de variables booleanas asociadas a cada etapa. En el caso de una presentación con las tres etapas indicadas anteriormente, dichas variables se definirían por ejemplo como: enu = Etapa == 1 sol = Etapa == 2 res = Etapa == 3 Como condición para exponer objetos se introduciría entonces los nombres de dichas variables en lugar de la expresión Etapa == m. De esta forma, en caso de 2 Puede ampliarse información sobre Loyd en la dirección web http://www.samuelloyd.com . Presentación y resolución dinámica de problemas mediante GeoGebra E. Barrena Algara, R. Manuel Falcón Ganfornina, R. Ramírez Campos, R. Ríos Collantes de Terán. REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA – MARZO DE 2011 - NÚMERO 25 - PÁGINA 164 tener avanzada la presentación y necesitar intercalar una nueva etapa (como, por ejemplo, una etapa de “conocimientos previos” entre el enunciado y la elección de solución), bastaría aumentar el intervalo de definición del deslizador de [1, n] a [1, n+1] y modificar únicamente la definición de las variables booleanas correspondientes, sin necesidad de cambiar las propiedades de todos los objetos ya existentes en la hoja de trabajo. El uso de variables booleanas es también fundamental a la hora de determinar la ruta de resolución a llevar a cabo. Es necesario crear para ello tantas Casillas de Control para Ocultar Objetos como métodos de resolución se tengan previstos plantear en la presentación. Su valor booleano verdadero (1) / falso (0) (según esté activada o no la casilla, respectivamente), puede utilizarse entonces como condición para exponer un determinado objeto. Sin embargo, dado que GeoGebra no permite casillas de control de selección única, hay que analizar los mencionados valores booleanos para obligar al usuario a marcar una única casilla. De esta forma, se puede por ejemplo incorporar un mensaje de error si, al pasar a una etapa posterior mediante el deslizador, no se ha seleccionado ninguna casilla o se ha marcado más de una. En concreto, si existen k posibles métodos de resolución asociadas a las casillas de control Sol 1 , Sol 2 , …, Sol k , se define la variable: Sol = Sol 1 + Sol 2 + … + Sol k De esta forma, si la variable Sol tiene valor nulo, entonces el usuario no ha marcado ninguna solución, mientras que si tiene un valor mayor que la unidad, entonces ha marcado más de una solución. Se pueden crear por tanto un par de textos con mensajes de error asociados a cada una de las anteriores situaciones. Finalmente, en el planteamiento y la resolución del problema es cuando pueden aplicarse explícitamente las herramientas algebraicas y geométricas de GeoGebra. Dependiendo de cada problema en cuestión, la combinación de éstas con los deslizadores permite mejorar una de las características más atractivas de los slidewares, como es ofrecer una interfaz gráfica para incorporar animaciones basadas en rotaciones, desplazamientos, etc. Por su parte, unos conocimientos básicos en HTML posibilitan generar applets interactivos en Java que no se encuentran incluidos como tales en GeoGebra. 3. Ejemplo práctico Siguiendo las ideas presentadas en la anterior sección y como ilustración de las mismas, se muestran a continuación los diversos pasos a llevar a cabo para elaborar una presentación secuencial en GeoGebra con tres rutas distintas de resolución del siguiente problema de Sam Lloyd 3 llamado “La piedra de afilar”, el que se presenta a continuación. “Se dice que dos sirios honestos reunieron sus ahorros y compraron una piedra de afilar. Como vivían a varias millas de distancia, convinieron que el mayor conservaría la piedra hasta que el tamaño de ésta se hubiera reducido a la mitad, y luego se la daría al otro hombre. La piedra tenía un diámetro exacto de 22 pulgadas, con un orificio de 3 pulgadas 1/7 en el centro de la manija, como lo muestra el dibujo. ¿Cuál sería el diámetro de la piedra al recibirla el segundo hombre?” 3 Se puede obtener una versión completa del ejemplo práctico a desarrollar en la dirección web http://www.geogebra.org/en/upload/files/spanish/omthales/Loyd/Loyd.html. Presentación y resolución dinámica de problemas mediante GeoGebra E. Barrena Algara, R. Manuel Falcón Ganfornina, R. Ramírez Campos, R. Ríos Collantes de Terán. REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA – MARZO DE 2011 - NÚMERO 25 - PÁGINA 165 Figura 1. Portada del problema “The Grindstone Puzzle” (Sam Loyd, 1914, p. 172). 3.1. Barra de navegación: deslizador En una nueva hoja de trabajo de GeoGebra, se ocultan los ejes y se visualiza la Barra de Entrada. Seguidamente se realizan los siguientes pasos: En la esquina superior derecha se inserta un deslizador de nombre Etapa en el Intervalo [1,3] con Incremento 1 y Ancho 300. Con el botón derecho del ratón sobre el deslizador se desactiva la opción Muestra Rótulo. Encima del deslizador se inserta el siguiente texto: Enunciado | Soluciones | Resolución En Entrada se define las variables booleanas asociadas: enu = Etapa == 1 sol = Etapa == 2 res = Etapa == 3 En la vista algebraica se puede comprobar cómo cambian los valores booleanos al desplazar el deslizador (Fig. 2). Figura 2. Creación de un deslizador que actúa como barra de navegación 3.2. Primera etapa: enunciado En la hoja de trabajo creada, según se especifica en la sección anterior, se plantea el enunciado del problema a resolver siguiendo los siguientes pasos: Se inserta la imagen del problema en la esquina superior izquierda. Se inserta el texto del enunciado del problema debajo del deslizador secuencial. En las Propiedades Avanzadas del texto se impone enu como Condición para Exponer el Objeto. (Fig. 3). De esta forma, cuando el usuario mueve el deslizador a una etapa posterior, el texto del enunciado desaparece, tal y como ocurriría en una presentación secuencial. Presentación y resolución dinámica de problemas mediante GeoGebra E. Barrena Algara, R. Manuel Falcón Ganfornina, R. Ramírez Campos, R. Ríos Collantes de Terán. REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA – MARZO DE 2011 - NÚMERO 25 - PÁGINA 166 Figura 3. Vinculación de un texto a la primera diapositiva 3.3. Segunda etapa: elección de la ruta de solución (casillas de control) Para posibilitar la elección de la ruta de solución, se mueve el deslizador hacia el intervalo correspondiente a la etapa Soluciones y se llevan a cabo los siguientes pasos: Se insertan tres casillas de control que tendrán como Subtítulos una descripción de cada tipo de solución (Fig. 4): Aproximación mediante deslizador, Solución Algebraica y Solución de Loyd: Teorema de Pitágoras para círculos. Figura 4. Creación de casillas de control para elegir entre las posibles soluciones En Propiedades (Fig. 5), se cambian sus nombres respectivamente por Sol_1, Sol_2 y Sol_3. Estas casillas sólo deben verse cuando el deslizador está en el instante Soluciones. Para ello, en sus Propiedades Avanzadas imponemos sol como Condición para Exponer el Objeto. Presentación y resolución dinámica de problemas mediante GeoGebra E. Barrena Algara, R. Manuel Falcón Ganfornina, R. Ramírez Campos, R. Ríos Collantes de Terán. REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA – MARZO DE 2011 - NÚMERO 25 - PÁGINA 167 Figura 5. Propiedades básicas de una casilla de control Se crea la variable Sol = Sol_1 + Sol_2 + Sol_3. Se insertan los siguientes textos: “No has marcado ninguna casilla” con res ∧ Sol = 0 como Condición para Exponer el Objeto y “Has marcado más de una casilla” con condición res ∧ Sol > 1. 3.4. Tercera etapa: resolución En la etapa de resolución se plantean los diferentes métodos de resolución del problema. La construcción de cada uno de ellos se hace de forma separada. Así, en este caso concreto se distinguen tres métodos de resolución: basado en animaciones automáticas, resolución algebraica y resolución geométrica, cuyas construcciones se detallan en las siguientes secciones. 3.4.1. Animaciones automáticas El primer método de resolución será aproximativo. La idea es crear un deslizador asociado al diámetro de la piedra a medida que ésta se va desgastando (Fig. 6). A partir de dicho diámetro se puede calcular el área de la piedra en todo momento y compararla con el área de la superficie gastada. Desplazando el deslizador llegará un instante en el que ambas áreas coincidan. Todos los elementos que intervengan en esta resolución tendrán asociada la condición res ∧ Sol = 1 ∧ Sol_1 = 1 para ser expuestos. Además, con vistas a trabajar en una pantalla lo más limpia posible de elementos, previamente debe marcarse la casilla de control Aproximación mediante deslizador y desplazarse el deslizador hasta la etapa Resolución. A continuación se siguen los siguientes pasos: Se introducen en la barra de entrada los datos de partida: diámetro d del orificio y diámetro inicial D 0 de la piedra: d = 3 + 1 / 7 D_0 = 22. Se crea el deslizador diam en el Intervalo [d, D 0 ], con Incremento 0.01 y Ancho 400, correspondiente al diámetro de la piedra restante. Se dibujan tres círculos concéntricos C 1 , C 2 y C 3 , empezando por el mayor, de radio D 0 , el segundo, de radio diam, y el del orificio, de radio d. En Propiedades puede elegirse un color y sombreado para cada círculo. Presentación y resolución dinámica de problemas mediante GeoGebra E. Barrena Algara, R. Manuel Falcón Ganfornina, R. Ramírez Campos, R. Ríos Collantes de Terán. REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA – MARZO DE 2011 - NÚMERO 25 - PÁGINA 168 Figura 6. Utilización de deslizadores para incorporar animaciones Deben añadirse los textos asociados a las medidas de las áreas: “Área inicial = ” + (Area[C_1] – Area[C_3]) “Área final = ” + (Area[C_2] – Area[C_3]) “Área gastada = ” + (Area[C_1] – Area[C_2]) También se podría insertar otro texto encima del deslizador diam para indicar las instrucciones de buscar una solución aproximada de la solución desplazando el deslizador. 3.4.2. Resolución algebraica El segundo método de resolución será algebraico, mostrando únicamente cómo se resuelve el problema utilizando la fórmula del área de una corona circular (Fig. 7). En concreto, si D f es el diámetro buscado, entonces, dado que el área inicial debe ser el doble que el área final, debe cumplirse que: (1) Bastaría entonces con que el alumno introdujese la última fórmula anterior en la barra de entrada de GeoGebra para obtener el valor de D f : D_f = sqrt((D_0² - d²) / 2 + d²). En caso de querer incluir un texto informando al usuario acerca de dicha fórmula, ésta podría ser incorporada en la hoja de trabajo como imagen o bien haciendo uso por ejemplo de la herramienta LaTex disponible en GeoGebra, que permite introducir símbolos matemáticos con una mayor calidad. 0 22 02 0 22 2 1 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 ² ² ² ² ² f f f DdD d D D d d D d Dd π π π π     −    −     = ⇔ = ⇔ = − + −     −         Presentación y resolución dinámica de problemas mediante GeoGebra E. Barrena Algara, R. Manuel Falcón Ganfornina, R. Ramírez Campos, R. Ríos Collantes de Terán. REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA – MARZO DE 2011 - NÚMERO 25 - PÁGINA 169 Figura 7 Solución algebraica En concreto, una vez marcada la casilla de control Solución Algebraica y desplazado el deslizador hasta la etapa de Resolución, bastaría introducir los siguientes dos textos: a) “Si D_0 es el diámetro inicial, d es el diámetro del agujero central y D_f es el diámetro de la piedra al pasar al segundo sirio, entonces:” b) \frac {π \left(\frac{D_0}2\right)² - π \left(\frac d2\right)²} {π \left(\frac {D_f}2\right)² - π \left(\frac d2\right)²} = 2 \, ≡ \, \frac {D_0² - d²} {D_f² - d² } = 2 \, ≡ \, D_f = \sqrt{ \frac 12 \left(D_0² - d²\right) + d²} En el segundo texto habría que marcar la casilla Fórmula LaTex (Fig. 8). Ambos textos deben tener asociados la condición res ∧ Sol = 1 ∧ Sol_2 = 1. 3.4.3. Resolución geométrica El tercer método de resolución será geométrico, si bien se basa en la primera igualdad que aparece en (1), de donde se puede deducir que: Figura 8: Fórmula LaTex .