Análisis de un problema de frontera libre que modela el flujo de hielo polar en un entorno de la grounding line

XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones X Congreso de Matem´ atica Aplicada Sevilla, 24-28 septiembre 2007 (pp. 1–8) An´alisis de un problema de frontera libre que modela el flujo de hielo polar en un entorno de la grounding line Marco A. Fontelos1y Ana I. Mu˜ noz.2 1Dpto. de Matem´aticas, Instituto de Matem´aticas y F´ısica Fundamental, C.S.I.C., C/Serrano 123, 28006 Madrid, Espa˜na. E-mail: [email protected]. 2Dpto. de Matem´atica Aplicada, E.S.C.E.T., Universidad Rey Juan Carlos, C/ Tulip´an, s/n, 28933, M´ostoles, Madrid, Espa˜na. E-mail: [email protected]. Palabras clave: Problema de frontera libre, Glaciolog´ıa, Fluido Newtoniano, Teorema de LaxMilgram, Transformadas de Mellin. Resumen En esta comunicaci´on presentaremos el estudio de flujo del hielo en un tipo particular de manto de hielo, denominado en la bibliograf´ıa inglesa marine ice sheet. Consideraremos un r´egimen de flujo estacionario modelado por un problema de Stokes en un dominio bidimensional acotado. Analizaremos el comportamiento del flujo en un entorno de la grounding line, que es la zona donde tiene lugar la transici´on entre la parte del manto polar que desliza sobre una base s´olida rocosa y la parte que flota en el mar. Probaremos la existencia de soluciones para grounding lines con ´angulo de contacto nulo, v´ıa el teorema de Lax-Milgram. Tambi´en determinaremos la geometr´ıa y propiedades asint´oticas de la frontera libre utilizando una formulaci´on en t´erminos de funciones de corriente y transformadas de Mellin. 1. Introduci´on En este trabajo estudiaremos un problema de frontera libre que nace en el ´ambito de la Glaciolog´ıa y que implica el movimiento de una l´ınea de contacto, denominada grounding line, que separa dos fases, la s´olida que se corresponde con el hielo y la l´ıquida que ser´a el agua del mar. La existencia de grounding lines suele darse en unos mantos de hielo particulares, denominados en la bibliograf´ıa inglesa marine ice sheets, en cuyos m´argenes, el hielo polar deja de fluir sobre la roca y acaba flotando en el agua del mar. Estas lenguas de hielo que se adentran en el mar reciben el nombre de ice shelves. El estudio del flujo del hielo en un entorno de la grounding line, constituye uno de los problemas que m´as controversia ha suscitado en lo que refiere a cuales son los mecanismos dominantes en 1 Marco A.Fontelos y Ana I. Mu˜noz la din´amica del flujo. Fuera de esta zona de transici´on, el flujo del hielo es razonablemente bien entendido. En la ice sheet, el flujo est´a dominado fundamentalmente por la cizalla en planos horizontales cercanos a la base, sin embargo, en la ice shelf tienen mayor relevancia los esfuerzos laterales y las tensiones longitudinales. El an´alisis del problema que nos ocupa ha experimentado un creciente inter´es debido, entre otros motivos, al llamado efecto invernadero, pues la din´amica de la grounding line desempe˜na un papel crucial en la estabilidad de marine ice sheets, como por ejemplo, Ant´artida Occidental. En esta comunicaci´on analizaremos un modelo matem´atico que describe el flujo del hielo en un entorno de la grounding line. En la secci´on 2 presentaremos el modelo y en una primera aproximaci´on al problema, consideraremos una versi´on linelizada del problema original. En la secci´on 3, se prueba la existencia y unicidad de soluciones d´ebiles para el problema linealizado, hacemos un estudio de la regularidad de las soluci´on y se determina la geometr´ıa de la frontera libre. Finalmente, en la secci´on 4, estudiamos el problema original, considerado como una perturbaci´on del caso lineal. 2. El modelo matem´atico Consideraremos el flujo de un manto de hielo bidimensional estacionario modelado como un flujo de Stokes en un dominio acotado D:= {(x, z)∈[−M, M]×[−1,0]}, que representa un entorno de la grounding line. N´otese que la coordenada horizontal xes la correspondiente a la direcci´on principal de flujo y la za la direcci´on vertical. Figura 1: Escenario del problema f´ısico. En la figura 1, aparecen representadas las dos zonas con r´egimen de flujo perfectamente diferenciado, que son el manto de hielo que fluye sobre un lecho rocoso (ice sheet) y la parte que se adentra en el mar (ice shelf ). La zona de transici´on entre ellas se localiza en un entorno de la grounding line, que en nuestro sistema de referencia coincide con el punto (0,−1), donde confluir´an condiciones de contorno mixtas pudiendo darse singularidades en la soluci´on. Sin embargo, como veremos, se obtienen soluciones con ´angulo de contacto nulo, para las cuales existe una energ´ıa de disipaci´on acotada en un entorno de esta l´ınea de contacto. Asumiremos que la grounding line se mueve con velocidad horizontal constante Uy el hielo ser´a modelado como un fluido Newtoniano de viscosidad constante que supondremos, sin p´erdida de generalidad, µ≡1. La frontera superior, en contacto con el aire, viene dada por Γ0:= {(x, z)/x ∈ 2 An´alisis del flujo de hielo polar en un entorno de la grounding line. [−M, M], z = 0}. La parte del dominio en contacto con el substrato s´olido se define como Γ1:= {(x, z)/x ∈[−M, 0), z =−1}. La ´unica frontera no localizada, y por tanto libre, es Γ2:= {(x, z)/x ∈(0, M], z =z=−1 + b(x)}, que representa la base del manto de hielo que flota sobre el mar. Tomaremos un sistema de referencia ligado a la grounding line. El problema consistir´a en determinar el campo de velocidades (−U, 0)+−→ v, la presi´on Π y la localizaci´on y geometr´ıa de la frontera libre. A lo largo de la exposici´on denotaremos las componentes de −→ vpor (u, v)y(vx, vz), indistintamente. Las ecuaciones a considerar son: ∇ · T=−∇p+ ∆−→ v= 0 y ∇ · −→ v= 0 en D, que son la de conservaci´on del momento y de la masa, respectivamente, donde p= Π − ρig(z+ 1) es una presi´on generalizada, con ρi, la densidad del hielo y T, dado por Tij = −pδij + (vi,j +vj,i), el tensor de esfuerzos. Referente a las condiciones de contorno, en Γ0impondremos velocidad vertical y esfuerzos de cizalla nulos: ~v ·~n = 0 y −→ t T−→ n= 0, donde −→ ny−→ tson los vectores normal y tangente a Γ0respectivamente. En Γ1imponemos la condici´on de no deslizamiento ~v =−→ 0 , mientras que en la parte del hielo que est´a en contacto con el mar, Γ2, imponemos un equilibrio entre la fuerza hidrost´atica del agua y los esfuerzos viscosos en el hielo, es decir, T−→ n=ρgb(x)−→ n, donde ρ=ρw−ρiyρwla densidad del agua. Tambi´en debemos imponer un flujo de entrada ~vin en x→ −Mde tipo Poiseuille y otro de salida ~vout en x→ −Mde tipo uniforme, concretamente, ~vin = (σ 2(1 −z2),0) y ~vout = (U∞,0),(1) donde σyU∞son dos constantes positivas arbritarias pero relacionadas del modo siguiente por conservarse la masa, U=1 b(M)³R0 −1vin x(z)dz −R0 b(M)vout x(z)dz´.Por otro lado, Γ2 debe evolucionar siguiendo el campo de velocidades, de donde deducimos que en el caso estacionario, 0 = Ubx+vz−bxvx.Puesto que ∇ · ~v = 0, podemos introducir una funci´on de corriente ψtal que ψx=w=vz,ψz=−u=−vx. Aplicando el operador rotacional a −∇p+ ∆~v = 0, se obtiene que ψes una funci´on biharm´onica. Por tanto, el problema que queremos resolver en t´erminos de la funci´on de corriente es: ∆2ψ= 0 en D, (2) (−ψz, ψx) = −→ 0 en Γ1,(3) −→ n T−→ n=ρgb(x),−→ t T−→ n= 0 y Ubx+ψx+bxψz= 0 en Γ2,(4) ψx=−→ t T−→ n= 0 en Γ0,(5) (−ψz, ψx) = ~vin en (−M, z) y (−ψz, ψx) = ~vout en (M, z).(6) Gracias a (4)1, podemos sustituir (4)3por b(x) = −1 U(ψ(x, −1 + b(x)) −ψ(x, −1)) .Definiendo el par´ametro adimensional γ=ρgL2 µU , con µ= 1 y L= 1, donde Les la escala longitud en la direcci´on principal de flujo, y por tanto γ=ρg U, y eligiendo ψ(x, −1) = 0 para x≤0, podemos sustituir (3) por ψz=ψ= 0 en Γ1,(7) y (4)1por −→ n T−→ n=−γψ en Γ2.(8) 3 Marco A.Fontelos y Ana I. Mu˜noz El resultado principal de este trabajo es el siguiente: Si las normas ° °~vin° °C2[−1,0] y° °~vout° °C2[−1+b(M),0] yb(M)son suficientemente peque˜nos, entonces existe una ´unica soluci´on d´ebil ψ∈H2+δ(D),b(x)∈C1+δ[0, M](0< δ ¿1) del problema no lineal (2)-(8). Adem´as, el comportamiento asint´otico de b(x)cerca de la grounding line es: b(x) = Cx3 2+o(x3 2). 3. El problema linealizado Para deducir la versi´on linealizada del problema (2)-(8), supondremos que la frontera libre Γ2dada por z=−1 + b(x), verifica que b(x) = εh(x) para ε¿1 y que h(0) = 0. La principal dificultad del an´alisis se encuentra en el flujo en las proximidades de la grounding line localizada en (0,−1). Supondremos que en este punto hx(0) = 0 de modo que Γ1y Γ2 convergen con regularidad C1. Esta hip´otesis acerca de la frontera libre ser´a verificada a posteriori y nos permitir´a aplicar un difeomorfismo del dominio original Den el rect´angulo S= [−M, M]×[−1,0]. Una vez realizado el difeomorfismo, con el consiguiente cambio de coordenadas, que denotaremos del mismo modo, y tras desestimar t´erminos de orden O(ε), se tiene que el problema original puede ser formulado en S= [−M, M]×[−1,0] de este modo: ∆2ψ= 0 en S , (9) ψ=ψzz −ψxx = 0 en z= 0, x ∈[−M, M],(10) ψ=ψz= 0 en z=−1, x ∈[−M, 0] ,(11) ψzz −ψxx = 0 en 3ψxxz +ψzzz +γψx= 0 en z=−1, x ∈[0, M],(12) ψz=−vin x, ψx=vin zen x=−Myψz=−vout x, ψx=vout zen x=M. (13) Una vez conocida ψ, se tiene que εh(x) = −1 Uψ(x, −1). 3.1. Existencia, unicidad y regularidad parcial En esta secci´on probaremos la existencia y unicidad de soluci´on d´ebil del problema linealizado (9)-(13), que escribimos en t´erminos del tensor de esfuerzos T, como sigue: ∇ · T= 0,∇ · −→ v= 0 en [−M, M]×[−1,0] ,(14) donde Txx =−p+ 2ψxz,Txz =Tzx =ψxx −ψzz yTzz =−p−2ψxz, con condiciones de contorno Txz = 0, vz= 0 en z= 0,−→ v=−→ 0 en z=−1, x < 0 (15) Txz = 0 , Tzz =−γψ =−γZx 0 vz(s, −1) en z=−1, x > 0,(16) y las de flujo de entrada y salida en x→ ±Mdadas por (13). Probaremos el siguiente resultado: Existe una ´unica soluci´on d´ebil ψ∈H2(D)de (14)-(16 ) verificando (13). Demostraci´on: en un primer paso escribimos la velocidad como −→ v=−→ u0+−→ u1,donde −→ u0tiene divergencia nula y es [C∞((−M, M)×(−1,0))]2verificando las condiciones (13) y (15). Se puede encontrar f´acilmente (v´ease [1]) ψ0∈C∞((−M, M)×(−1,0)) tal que 4 An´alisis del flujo de hielo polar en un entorno de la grounding line. −→ u0= (−ψ0 z, ψ0 x) y que verifique: ψ0 x→vin z,ψ0 z→ −vin x,ψ0 x→vout z,ψ0 z→ −vout x,ψ0, ψ0 zz = 0 en z= 0, ψ0 z= 0 en z=−1 y x < 0. En particular, c1(x)≡ψ0 zz −ψ0 xx yc2(x)≡ ψ0 x+γ¡ψ0 zzz + 3ψ0 zxx¢ser´an regulares, as´ı como sus derivadas de cualquier orden en z=−1, x > 0. El campo de velocidades −→ u1y su tensor de esfuerzos asociado T1tendr´an que verificar: ∇ · T1=−→ s1,∇ · −→ u1= 0 en [−M, M]×[−1,0] ,(17) las condiciones de contorno: T1 xz = 0, v1 z= 0 en z= 0,−→ u1=−→ 0 en z=−1, x < 0 y T1 xz =−c1(x), T1 zz(x, −1) + γZx 0 v1 z(s, −1) = −Zx 0 c2(s)ds, en z=−1, x > 0, y adem´as la condici´on de que ψ1, dada por −→ u1= (−ψ1 z, ψ1 x), se anule junto con sus primeras derivadas en x=±M. Introducimos el espacio de las funciones test X, cierre con respecto de la norma k−→ ϕkX≡³RS|∇−→ ϕ|2´1 2del conjunto X∗: n−→ ϕ∈£C∞ 0(S)¤2,∇ · −→ ϕ= 0, ϕ2(x, 0) = 0, x ∈[−M, M] y ϕ1=ϕ2= 0 en [−M, 0] × {−1}o. En t´erminos de la funci´on de corriente consideraremos aquellas ωtales que −→ ϕ= (−ωz, ωx)∈ X. La desigualdad de Korn puede aplicarse para dominios acotados y para funciones −→ ϕque se anulan en una parte de la frontera, por otro lado, las inmersiones de Sobolev implican que el espacio de funciones test Ya considerar es el cierre con respecto a la norma H2(S) del conjunto de las funciones de corriente ωcuyas velocidades −→ ϕ= (−ωz, ωx) pertenecen a X∗. Multiplicando la ecuaci´on (17) por −→ ϕ∈X, integrando por partes, teniendo en cuenta las condiciones para T1y las propiedades de X, se tiene, en t´erminos de las funciones corriente ω, de −→ ϕyψ, de −→ u1, con ω∈Y, que: (ω, ψ)−γZR+,z=−1 ψ(x, −1)ωx(x, −1) =ZR+,z=−1 c1(x)ωz(x, −1) + ZR+,z=−1 c2(x)ωx(x, −1) −ZS (−ωz, ωx)·−→ s1,(18) donde (ω, ψ) = RS(ϕi,j +ϕj,i)(v1 i,j +v1 j,i). La ecuaci´on (18) puede escribirse como A(ω, ψ) = Lω, donde A(ω, ψ)≡a(ω, ψ)−b(ω, ψ), a(ω, ψ)≡RS(ϕi,j +ϕj,i)(v1 i,j +v1 j,i) y b(ω, ψ)≡ γRR+,z=−1ψ(x, −1)ωx(x, −1). Tanto acomo bson formas bilineales continuas en Yy Lω ≡ZIR+,z=−1 c1(x)ωz(x, −1) + ZR+,z=−1 c2(x)ω(x, −1) −ZS (−ωz, ωz)·−→ s1 es una forma lineal continua en Y, dada la regularidad de c1, c2y−→ s1en infinito y el hecho de que la traza de H2pertenece a H1en un dominio acotado de dos dimensiones. Finalmente, A(ω, ψ) es coerciva, pues por la desigualdad de Korn se tiene que: A(ω, ω)≡a(ω, ω)−γZR+,z=−1 ω(x, −1)ωx(x, −1) = a(ω, ω)≥CkωkH2. Del teorema de Lax-Milgram se deduce la existencia de una ´unica soluci´on ψ∈H2. 5 Marco A.Fontelos y Ana I. Mu˜noz 3.2. Regularidad en un entorno de la grounding line Nos centraremos en estudiar la regularidad de la soluci´on en un entorno del punto conflictivo (0,−1), donde se tienen condiciones de contorno mixtas y por tanto puede darse alg´un tipo de singularidad. As´ı pues consideremos un entorno de la grounding line que denotaremos por Ωg≡BR(−1,0), con R > 0 suficientemente peque˜no. Dada la naturaleza eliptica del problema puede deducirse que no s´olo ψ∈H2sino que adem´as ψ∈C4en el interior de S/Ωg. Para analizar la regularidad en la regi´on Ωg, tomamos particiones del dominio, y consideramos la restricci´on de ψa Ωg, que denotaremos por ψg. Tras varias manipulaciones algebraicas, se obtiene que ψgsatisface el siguiente problema: ∆2ψg=J(x, z) en IR×[−1,+∞],(19) ψg=ψg,z = 0 en x < 0, z=−1,(20) ψg,zz −ψg,xx =G(x) en x > 0, z=−1,(21) 3ψg,xxz +ψg,zzz =F(x) en x > 0, z=−1,(22) donde G(x) y F(x) pertenecen a L2(R+), J(x, y)∈L2(R+×[−1,+∞]) y son funciones de soporte compacto no conteniendo a (0,−1). Podemos expresar la soluci´on de (19)- (22) como ψg=ψ(1) g+ψ(2) gdonde ψ(1) gresuelve (19)-(22) con condiciones de contorno homog´eneas y ψ(2) ges arm´onica con condiciones de contorno dadas por (20)-(22). Puesto que la fuente J(x, z) tiene soporte compacto no conteniendo (0,−1), puede decirse que ψ(1) g se comporta en un entorno de (0,−1) como soluci´on de la versi´on homog´enea de (19)-(22) que pertenece localmente a H2. Formulando el problema para ψ(1) gen coordenadas polares (r, θ) entorno a (0,−1), con θ= 0 para x > 0, z=−1, y θ=πpara x < 0, z=−1, tenemos que las soluciones puede ser buscadas de la forma: ψ(1) g(r, θ) = rα+1fα(θ), donde fα(θ) = Asin((α+ 1)θ) + Bcos((α+ 1)θ) + Csin((α−1)θ) + Dcos((α−1)θ). Los coeficientes A, B, C yDdeben ser determinados por la condiciones de contorno y α elegido de modo que sean satisfechas. Teniendo en cuenta que ψ(1) g∈H2 loc(BR(−1,0)), resulta que el primer valor de αcompatible es α=1 2y por tanto: ψ(1) g∼Cr3 2f1 2(θ) + O(r) cuando r→0 (23) Respecto a ψ(2) g, ha de verificar ∆2ψ(2) g=³∂2 ∂r2+1 r ∂ ∂r +1 r2 ∂2 ∂2θ´2ψ(2) g= 0, junto con las condiciones de contorno: −1 r3∂θθθ ψ(2) g−3 r∂rrθ ψ(2) g+3 r2∂rθ ψ(2) g−4 r3∂θψ(2) g=Fy ∂rr ψ(2) g−1 r2∂θθ ψ(2) g−1 r∂rψ(2) g= 0 en θ= 0, y ψ(2) g=∂θψ(2) g= 0 en θ=π. La homogeneidad en rsugiere la introducci´on de la transformada de Mellin en rde ψ, definida por la expresi´on ˜ ψ(λ, θ) = R∞ 0ψ(r, θ)riλ−2dr. Multiplicando las ecuaciones anteriores por potencias de radecuadas e integrando en rde 0 a infinito, se obtiene que el problema que tiene que cumplir la transformada ˜ ψ(λ, θ) de ψ(2) g(r, θ) presenta soluciones del tipo: ˜ ψ(λ, θ) = Acos((iλ −1)θ) + Bsin((iλ −1)θ) + Ccos((iλ + 1)θ) + Dsin((iλ + 1)θ). Los coeficientes A,B,CyDson funciones de λque quedan determinados por las condiciones de contorno. Definiendo b=iλ −1, s= sin((iλ −1)π), c= cos((iλ −1)π) y γ= 6 An´alisis del flujo de hielo polar en un entorno de la grounding line. 2b(b+1)(b+2), resulta que para θ= 0, ˜ ψ(λ, 0) = tan((iλ−1)π) 2γ˜ F(λ), de lo que se deduce que ˜ ψ 3 2 rrr =−˜ F(λ) 2tan((iλ −1)π).Utilizando la f´ormula inversi´on, tenemos que ∂rrrψ(2) g(r, 0) = −1 2π 1 r3 2 P.V. R∞ 0 ξ3 2 r−ξF(ξ)dξ,, escribi´endola, para analizarla, de la forma ∂rrrψ(2) g=ψrrr,1+ ψrrr,2, donde ψrrr,1=−1 2π 1 r1 2 P.V. R∞ 0 ξ1 2 r−ξf(ξ)dξ yψrrr,2=1 2π 1 r3 2R∞ 0ξ1 2f(ξ)dξ. Por un lado tenemos que R∞ −∞ ¯¯¯^ ψrrr,1 s¯¯¯ 2dλ ≤CR∞ −∞ ¯¯¯e fs¯¯¯ 2dλ , 0< s < 1,(s6=1 2). Utilizando la identidad de Plancherel para transformadas de Mellin, resulta krsψrrr,1(r)k2 L2= R∞ 0ξ2s|ψrrr,1(ξ)|2dξ ≤CR∞ 0ξ2s|f(ξ)|2dξ ≤Ckfk2 L2y por una desigualdad de tipo Hardy, se tiene que r1 2−s|ψrr,1(r, 0) −ψrr,1(0,0)| ≤ krsψrrr,1kL2≤CkfkL2. Por otro lado, puesto que el soporte de f(ξ) es acotado, se obtiene que R∞ 0ξ1 2f(ξ)dξ ≤CkfkL2, De la estimaciones obtenidas para ψ(1) gyψ(2) gse deduce que ∂rψg(r, 0) = 2Cr1 2+O(r) cuando r→0 y por tanto la representaci´on a primer orden de la frontera libre es b(x) = εh(x)∼Cx3/2. 4. Problema no lineal Los resultados obtenidos en el apartado anterior pueden ser generalizados al problema original no lineal. A continuaci´on describiremos brevemente los pasos seguidos para probar la existencia de una ´unica soluci´on d´ebil para el problema original no lineal, v´ıa los teoremas del punto fijo de Banach y el de Lax-Milgram. En primer lugar probamos la existencia y unicidad en el caso de que la geometr´ıa del dominio Dfuese conocida. Asumiremos que la interfase Γ2es suficientemente regular, digamos C1+δ. Argumentaremos de modo similar al que lo hicimos para el problema linealizado. Consideramos −→ v=−→ v0+−→ v1donde −→ v0es un campo de velocidades regular y con divergencia nula que satisface las condiciones de flujo de entrada y salida, as´ı como las condiciones de contorno en z= 0 y en (x, −1), x < 0. El problema para −→ v1puede formularse del modo siguiente: Encontrar −→ v1tal que para toda −→ ϕ∈X(v´ease secci´on 3.2), con ψ1yωfunciones de corriente asociadas a −→ v1y−→ ϕrespectivamente, se verifica, ZD (v1 i,j+v1 j,i)(ϕi,j+ϕj,i)dxdy+γZM 0 ψ1(x, b(x)) d dxω(x, b(x))dx =ZΓ2³−→ t T(−→ v0)−→ n´−→ ϕ·−→ t+ ZΓ2¡−→ n T(−→ v0)−→ n¢−→ ϕ·−→ n ds −γZΓ2 ψ0(x, b(x))−→ ϕ·−→ n ds −ZD −→ ϕ·−→ J dxdy ≡ hf, −→ ϕi.(24) Esta formulaci´on permite aplicar el teorema de Lax-Milgram, la desigualdad de Korn, la de trazas y las inclusiones de Sobolev, de donde se concluye la existencia de ~v1∈¡H1(D)¢ verificando (24) y la siguiente estimaci´on: ° ° ° ° −→ v1° ° ° °H1(D) ≤Cµ° °T(−→ v0)−→ n° °L2(Γ2)+γ° °ψ0° °L2(Γ2)+° ° °−→ J° ° °L2(D)¶≤C° °ψ0° °H3(D). A continuaci´on reformulamos el problema de frontera libre como sigue: Encontrar el campo de velocidades −→ v1y una curva z=b(x)que describa Γ2verificando bx=1 U(v0 z+v1 z)−1 Ubx(v0 x+v1 x)≡1 U(v0 z+v1 z) + F·−→ v0+−→ v1, bx¸.(25) 7 Marco A.Fontelos y Ana I. Mu˜noz y tal que (24) y (25) son satisfechas simult´aneamente. Para resolver este problema buscaremos un punto fijo pr´oximo a la soluci´on del problema linalizado. Esto implicar´a relacionar el problema en Dcon el problema definido en S= [−M, M]×[−1,0], mediante un difeomorfismo adecuado. Tras un cambio de variables adecuado se tiene la siguiente reformulaci´on de (24): a(−→ v1,−→ ϕ)≡ZS (v1 i,j0+v1 j,i0)(ϕi,j0+ϕj,i0)dx0dy0+γZM 0 ψ1ωx0(x0,−1)dx0=f0,−→ ϕ®+¿G(−→ v1, b),−→ ϕÀ, con f0,−→ ϕ®=ZM 0³³−→ t T(−→ v0)−→ n´ϕx0+¡−→ n T(−→ v0)−→ n¢ϕz0´dx −γZM 0 ψ0(x, b(x))ϕz0dx donde DG(−→ v1, b),−→ ϕE≤CkbkW1,∞µ° °ψ0° °H3(S)+° ° °−→ v1° ° °H1(S)¶k−→ ϕkH1(S)con kbkW1,∞suficientemente peque˜no y hf0,−→ ϕi ≤ C° °ψ0° °H3(S)k−→ ϕkH1(S).Para resolver el problema no lineal por el m´etodo del punto fijo consideremos el problema definido por: a(−→ v1,−→ ϕ) = f0,−→ ϕ®+G(−→ w , b),−→ ϕ®ybx=1 U(v0 z+v1 z) + F·−→ v0+−→ w , bx¸,(26) que representa una aplicaci´on no lineal Tde (b, −→ w) en (b, −→ v1). La soluci´on que buscamos es un punto fijo de T. Si −→ w∈H1(S) y b∈W1,∞, puede deducirse que kbkC1+δ+° ° ° ° −→ v1° ° ° °H1+δ(S) ≤C° °ψ0° °H2(S)³1 + ° °b° °C1+δ+k−→ wkH1+δ(S)´+C° °b° °C1+δk−→ wkH1+δ(S), y por tanto, la aplicaci´on Ttransforma la bola de radio εen C1+δ(0, M)×H2(S) en una bola de radio R=C° °ψ0° °H3(S)(1 + ε) + Cε2que es m´as peque˜na que εsi ambos, εy ° °ψ0° °H3(S), son suficientemente peque˜nos. De este modo, Tser´ıa una contracci´on y por el teorema del punto fijo de Banach existir´ıa una ´unica soluci´on del problema de frontera libre no lineal. Adem´as b(x) = Cx1+δsup µ1 xδ¯¯¯¯ 1 U(v0 z+v1 z) + F·−→ v0+−→ v1, bx¸¯¯¯¯¶≤Cx1+δ.(27) Esto permite aplicar el difeomorfismo considerado en secciones anteriores y extender al caso no lineal el an´alisis realizado para el problema linealizado, obteni´endose que el comportamiento asint´otico de b(x) cerca de (0,−1) es: b(x) = Cx3 2+o(x3 2). Referencias [1] M.A. Fontelos, A.I. Mu˜noz. A free boundary problem in glaciology: The motion of grounding lines. Interfaces and free boundaries, 9 (2007), 67–93. 8